优化探究精品教案解三角形应用举例1
高中数学教案】人教A版必修5第一章1.2《解三角形应用举例》教案
《解三角形应用举例》教案一、教学目标1.知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.过程与方法（1）通过解决“底部不可到达的物体高度测量”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形的问题的方法.（2）进一步提高利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力.3.情感、态度与价值观进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力二、教学重点和难点教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学关键：将实际问题中的高度问题转化为数学问题.教学突破方法：通过分析实践、自主探究、合作交流等一系列的寻求问题解决方法的活动，讨论解决方法，步步改进方法，探求最佳方法.三、教法与学法导航教学方法：本节课是解三角形应用举例的延伸.采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架.通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法.教学形式要坚持“引导——讨论——归纳”，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯.作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.学习方法：学生通过数学建模，自主探究、合作交流，在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华.四、教学过程1.创设情境，导入新课提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.2.主题探究，合作交流例1 如图1，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.图1分析：求AB 长的关键是先求AE ，在△ACE 中，如能求出点C 到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由点C 观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长.解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上.在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD =a ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得： )sin(sin βαβ-=a AC ， h a h AC h AE AB +-=+=+=)sin(sin sin sin βαβαα. 例 2 如图2，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角0454'︒=α，在塔底C 处测得A 处的俯角150'︒=β.已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ，求出山高CD （精确到1m ）.图2教师：根据已知条件，大家能设计出解题方案吗（给时间给学生讨论思考）？若在△ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？学生：需求出BD 边.教师：那如何求BD 边呢？学生：可首先求出AB 边，再根据∠BAD=α求得.解:在△ABC 中，∠BCA =90°+β，∠ABC =90°-α，∠BAC =αβ-，∠BAD =α.根据正弦定理， )sin(βα-BC =)90sin(β+︒AB.所以 AB =)sin()90sin(βαβ-+︒BC =)sin(cos βαβ-BC .在Rt △ABD 中，得：BD =AB sin ∠BAD =)sin(sin cos βααβ-BC .将测量数据代入上式，得：BD =)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'-'''︒︒︒︒ =934sin 0454sin 150cos 3.27'''︒︒︒≈177.4（m ）.CD =BD -BC ≈177-27.3=150（m ）.学生：山的高度约为150 m.教师：有没有别的解法呢？学生：若在.△ACD 中求CD ，可先求出AC .教师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC ？学生：同理，在△ABC 中，根据正弦定理求得.（解题过程略）例3 如图3，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上，行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD （精确到1m ）.图3教师：欲求出CD ，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？学生：在△BCD 中教师：在△BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ，根据条件，易计算出哪条边的长？ 学生：BC 边解:在△ABC 中， ∠A =15°，∠C = 25°-15°=10°，根据正弦定理，A BC sin =CAB sin ， BC =C A AB sin sin =︒︒10sin 15sin 5≈7.452 4（km ）. tan tan81047(m)CD BC DBC BC =⨯∠≈⨯︒≈答：山的高度约为1047m.教材第15页练习第1、2、3题.3.小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.4.课外作业（1）教材第19、20页习题1.2 A 组第6，7，8题（2）为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m ？答案：20+3320m。
优化方案高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第1
【优化方案】2017高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第1课时 解三角形的实际应用举例应用案巩固提升 新人教A 版必修5[A 基础达标]1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为 4 m ，∠A ＝30°，则其跨度AB 的长为( )A ．12 mB ．8 mC ．3 3 mD ．4 3 m解析：选D.由题意知，∠A ＝∠B ＝30°， 所以∠C ＝180°－30°－30°＝120°， 由正弦定理得，AB sin C ＝ACsin B， 即AB ＝AC ·sin C sin B ＝4·sin 120°sin 30°＝4 3.2．(2016·淄博检测)一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直线行驶至海岛C ，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C ( )A ．北偏东60°，10 2B ．北偏东40°，10 3C ．北偏东30°，10 3D ．北偏东20°，102解析：选B.在△ABC 中，∠ABC ＝110°＋10°＝120°. 又AB ＝BC ，故∠CAB ＝∠ACB ＝30°，AC ＝102＋102－2×10×10cos 120°＝10 3.故此船沿着北偏东70°－30°＝40°方向行驶了10 3 海里到达海岛C ，故选B. 3．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸选定一点C ，测出A 、C 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A 、B 两点间的距离为( )A ．50 3 mB ．50 2 mC ．25 2 mD.2522m解析：选B.因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°，根据正弦定理ACsin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB ，可知50sin 30°＝ABsin 45°，解得AB ＝50 2 m ，选B.4.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB 的高度，在塔的同一侧选择C ，D 两个观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD ＝120°，C ，D 两地相距500 m ，则电视塔AB 的高度是( )A ．100 2 mB ．400 mC ．200 3 mD ．500 m解析：选D.设AB ＝x ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，所以BC ＝AB ＝x ；在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，所以BD ＝3x ；在△BCD 中，∠BCD ＝120°，CD ＝500 m ，由余弦定理得(3x )2＝x 2＋5002－2×500x cos 120°，解得x ＝500 m.5．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的速度是( )A ．52海里/时B ．5海里/时C ．102海里/时D ．10海里/时解析：选D.如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10海里，在直角三角形ABC 中，由正弦定理可得AB ＝5海里，于是这艘船的速度是10海里/时．故选D.6．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________km.解析：如图所示，在△ABC 中，由题意，知∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设B 船到灯塔C 的距离为x km ，即BC ＝x ，由余弦定理，可知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC cos 120°，即9＝4＋x 2－2×2x ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，整理得x 2＋2x －5＝0，解得x ＝－1－6(舍去)或x ＝－1＋ 6.答案：6－17．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为________km.解析：如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105° ⇒∠ABC ＝45°，AC ＝60 km ， 根据正弦定理，得BC ＝AC sin ∠BAC sin ∠ABC ＝60sin 30°sin 45°＝302(km)．答案：30 28．湖中有一小岛，沿湖有一条南北方向的公路，在这条公路上的一辆汽车测得小岛在南偏西15°的方向上，汽车向南行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.解析：如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 (km)．由正弦定理得BCsin ∠CAB＝ABsin ∠ACB，所以BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223(km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝6－223×6＋24＝36(km)． 答案：369．如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°方向，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°方向，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C 点，求P ，C 间的距离．解：因为AB ＝40，∠BAP ＝120°，∠ABP ＝30°， 所以∠APB ＝30°，所以AP ＝40， 所以BP 2＝AB 2＋AP 2－2AP ·AB ·cos 120°＝402＋402－2×40×40×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝402×3， 所以BP ＝40 3.又∠PBC ＝90°，BC ＝80，所以PC 2＝BP 2＋BC 2＝(403)2＋802＝11 200， 所以PC ＝407 海里．10．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km 处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km 有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km 的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多少时间该考点才算合格？解：如图，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C 、D 两点到考点的距离为1 km.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠ABC ＝30°，由正弦定理，得sin ∠ACB ＝sin 30°AC ·AB ＝32， 所以∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， 所以∠BAC ＝30°，所以BC ＝AC ＝1， 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， 所以△ACD 为等边三角形，所以CD ＝1. 因为BC12×60＝5(min)，所以在BC 上需5 min ，CD 上需5 min.最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续5 min 才算合格．[B 能力提升]1．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762海里/小时 B ．346海里/小时 C.1722海里/小时 D ．342海里/小时解析：选A.如图所示，在△PMN 中，PMsin 45°＝MNsin 120°，所以MN ＝68×32＝346，所以v ＝MN 4＝1726(海里/小时)．2.如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为________．解析：在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， 所以∠ACB ＝75°，∠ACB ＝∠ABC . 所以AC ＝AB ＝120(m)．如图，作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度． 由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD ，所以120sin 90°＝CDsin 30°，所以CD ＝60(m)．所以河的宽度为60 m. 答案：603．空中有一气球D ，在它正西方向的地面上有一点A ，在此处测得气球的仰角为45°，同时在气球的南偏东60°方向的地面上有一点B ，测得气球的仰角为30°，两观察点A ，B 相距266 m ，计算气球的高度．解：如图，设CD ＝x ， 在Rt △ACD 中，∠DAC ＝45°， 所以AC ＝CD ＝x .在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°， 所以CB ＝CDtan 30°＝3x .在△ABC 中，∠ACB ＝90°＋60°＝150°，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2·AC ·BC ·cos ∠ACB ， 所以2662＝x 2＋(3x )2－2·x ·3x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32， 所以x ＝387(m)． 所以气球的高度为387 m.4.(选做题)如图，一人在C 地看到建筑物A 在正北方向，另一建筑物B 在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30 km 到达D 处，看到A 在他的北偏东45°方向，B 在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．解：依题意得，CD ＝30 km ，∠ADB ＝∠BCD ＝30°＝∠BDC ，∠DBC ＝120°，∠ADC ＝60°，∠DAC ＝45°.在△BDC 中，由正弦定理得BC ＝DC sin ∠BDC sin ∠DBC ＝30sin 30°sin 120°＝10(km)．在△ADC 中，由正弦定理得AC ＝DC sin ∠ADC sin ∠DAC ＝30sin 60°sin 45°＝35(km)．在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB＝(35)2＋(10)2－2×35×10cos 45°＝25. 所以AB ＝5(km)，即这两座建筑物之间的距离为5 km.。
《解三角形的实际应用举例》教学设计讲课稿
《解三角形的实际应用举例》教学设计课题：解三角形的实际应用举例一、教材分析本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。
在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。
二、教学目标1、知识与技能①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语（如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等）2、过程与方法①采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用3、情感态度价值观①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值收集于网络，如有侵权请联系管理员删除②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力三、教学重点、难点1、重点：①实际问题向数学问题的转化②掌握运用正、余弦定理等知识方法解三角形的方法2、难点：实际问题向数学问题转化思路的确定四、教学方法与手段本节课的重点是正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形，而正确运用两个定理的关键是要结合图形，明确各已知量、未知量以及它们之间的相互关系。
通过问题的探究，要让学生结合实际问题，画出相关图形，学会分析问题情景，确定合适的求解顺序，明确所用的定理；其次，在教学中让学生分析讨论，在方程求解繁与简的基础上选择解题的思路，以提高学生观察、识别、分析、归纳等思维能力。
解直角三角形的应用(1)优质课教学设计
《解直角三角形的应用—仰角俯角》教学设计
∵ ∠C=20⁰，AC=45
∵cosC=CD AC
∴CD=45cos20 ⁰
a sinA cosB c =
＝，cosA ＝a tanA b ＝，b tanB a ＝ 有斜用弦, 无斜用切；取原避中。
二、仰角俯角的概念
仰角与俯角的定义：
图
巩固上节课所学，为学生提供参与数学活动的时间和空发挥学生的主体作用；解直角三角形的知识点是这节通过小组活动，使学生对解直角三角形的理解
交流合作，解决问题
答：1、有两个直角三角形
2、CD，它是这两个直角三角形的公共边
3、AC和BC
4、无斜用切，选择用正切
解：由题意可得，∠ACD=90
∵∠BDC=45 °
解：由题意可得，∠ADB=∠ADC=90 ∵∠BAD=30°AD=120
tan∠BAD=BD AD
∴BD=120tan30 °=40 √3
tan∠DAC=DC AD
∴DC=120tan60 °=120 √3
∴BC=BD+DC=160 √3
3.在山脚C处测得山顶A的仰角为水平地面向前300m到达D点，在
讨论交流、自由发言
设计理念：总结归纳不应该仅仅是知识的简单罗列，而应该是优化认知结构，完善知识体系的一种有效手段，为充分发挥学生的主体作用，从学习的知识、方法、体验是那
交流合作，解决问题
给学有余力的同学布置的思考题，旨在拓展这部分学生的
思维，让不同层次的学生都能得到发展
解直角三角形的应用
彭雯
由已知推可知，由未知想须知
若找不到,可构造;
⑵找到的直角三角形是否可解,若不可直接求解,
,设x求解.
1。
解三角形应用举例教学设计
解三角形应用举例（第一课时）【教材分析】本节课选自人教A版《必修五》第一章第二节（第一课时），是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。
在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。
【学情分析】本节课的教学对象是高二年级的学生。
1.已有的能力：学生已经学习了正弦定理和余弦定理，能够运用解决一些三角形问题，具有了一定的基础。
2.存在的问题：学生在运用正弦定理和余弦定理解三角形的时候不能将实际问题转化成数学问题的问题，构造模型的能力有待提高。
【课型】实际应用课【教学方法】自主探究，合作探究【教学准备】多媒体设备，天宫二号成功发射视频，三封信件【教学目标】1.知识与技能：①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法2.过程与方法：①采用启发与尝试的方法，让学生在解决实际问题中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架②通过解三角形应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用3.情感、态度、价值观：①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力【教学难点】实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解【教学过程】（含时间分配）一、创设情境，明确目标（5分钟）观看视频。
提出：“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
解三角形应用举例》 教案
教学过程一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．考点2 实际应用中的常用术语 术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角的范围是(0°，360°)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度例：(1)北偏东m °：(2)南偏西n °：坡角坡面与水平面的夹角设坡角为α，坡度为i ，则i ＝hl＝tan α坡度坡面的垂直高度h 和水平宽度l的比三、例题精析【例题1】【题干】隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距 3 km的C、D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离．【解析】如图，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，所以AC＝CD＝ 3.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，由正弦定理知BC＝ 3 sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，所以AB＝ 5 km，所以A，B两目标之间的距离为 5 km.【题干】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m 后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．【解析】如图所示，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40，此时∠DBF ＝45°.过点B 作BE ⊥CD 于E ，则∠AEB ＝30°.在△BCD 中，CD ＝40， ∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°，由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BDsin ∠BCD ，则BD ＝40sin 30°sin 135°＝20 2.∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°. 在Rt △BED 中，BE ＝DB sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt △ABE 中，∠AEB ＝30°， 则AB ＝BE tan 30°＝103(3－3)．故塔高为103(3－3) m.【题干】如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．【解析】设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝10 3 t 海里，BD ＝10 t 海里，在△ABC 中，由余弦定理，有BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6.解得BC ＝ 6.又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC ，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12. ∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6.∴t ＝610小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．【题干】(2013·广州模拟)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内的海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 的北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 的北偏东(45°＋θ)(其中sin θ＝2626，0°＜θ＜90°)且与点A 相距1013海里的位置C . (1)求该船的行驶速度(单位：海里/时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．【解析】如图所示，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626.因为0＜θ＜90°，所以cos θ＝1－⎝⎛⎭⎫26262＝52626.BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝10 5.所以船的行驶速度为10523＝155海里/时．(2)法一：如图所示以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B ，C 的坐标分别是B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，BC 与x 轴的交点为D .由题设，得x 1＝y 1＝22AB ＝40， x 2＝AC cos ∠CAD ＝1013·cos(45°－θ)＝30， y 2＝AC sin ∠CAD ＝10 13·sin(45°－θ)＝20. 所以过点B ，C 的直线l 的斜率k ＝2010＝2，直线l 的方程为y ＝2x －40.又点E (0，－55)到直线l 的距离d ＝|0＋55－40|1＋4＝35＜7，所以船会进入警戒水域．法二：如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q .在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝402×2＋102×5－102×132×402×105＝31010.所以sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝1－910＝1010. 在△ABQ 中，由正弦定理，得AQ ＝AB ·sin ∠ABCsin 45°－∠ABC＝402×101022×21010＝40.由于AE ＝55＞40＝AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE ＝AE －AQ ＝15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．在Rt △QPE 中，PE ＝QE ·sin ∠PQE ＝QE ·sin ∠AQC ＝QE ·sin(45°－∠ABC )＝15×55＝35＜7.所以船会进入警戒水域．四、课堂运用【基础】1．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 3 km，那么x的值为()A.3B．23C.3或2 3 D．3解析：选C如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得(3)2＝x2＋32－2x·3·cos 30°，整理得x2－33x＋6＝0，解得x＝3或2 3.2．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50 m B．100 mC．120 m D．150 m解析：选A设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB ＝100，BC＝3h，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.3．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拨高度为(精确到0.1 km)( )A ．11.4B ．6.6C ．6.5D ．5.6解析：选B ∵AB ＝1 000×1 000×160＝50 0003m ， ∴BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝50 00032m. ∴航线离山顶h ＝50 00032×sin 75°≈11.4 km. ∴山高为18－11.4＝6.6 km.【巩固】4.2012年10月29日，超级风暴“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.解析：∵由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴xsin 45°＝10sin 60°.∴x＝1063m.答案：1063m5．(2013·铜川模拟)一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是________海里/小时．解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD ＝CA＝10.在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是5＝10海里/小时．0.5答案：10【拔高】6．如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(1)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？解：(1)如图所示，连接MP .依题意，有A ＝23，T 4＝3. ∵T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sin π6x . 当x ＝4时，y ＝23sin2π3＝3，∴M (4,3)． 又P (8,0)，∴MP ＝42＋32＝5km.(2)在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5，设∠PMN ＝θ，则0°＜θ＜60°.∵由正弦定理得MP sin 120°＝NP sin θ＝MN sin 60°－θ， ∴NP ＝1033sin θ，MN ＝1033sin(60°－θ)， 故NP ＋MN ＝1033sin θ＋1033sin(60°－θ)＝1033⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ＝1033sin(θ＋60°)． ∵0°＜θ＜60°，∴当θ＝30°时，NP ＋MN 最大，即将∠PMN 设计为30°时，才能使折线赛道MNP 最长．7．为扑灭某着火点，现场安排了两支水枪，如图，D 是着火点，A 、B 分别是水枪位置，已知AB ＝1 5 2 m ，在A 处看到着火点的仰角为60°，∠ABC ＝30°，∠BAC ＝105°，求两支水枪的喷射距离至少是多少？解：在△ABC 中，可知∠ACB ＝45°，由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC sin ∠ABC， 解得AC ＝15 m.又∵∠CAD ＝60°，∴AD ＝30，CD ＝153，sin 105°＝sin(45°＋60°)＝6＋24. 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC， 解得BC ＝156＋22m. 由勾股定理可得BD ＝BC 2＋CD 2＝155＋ 3 m ，综上可知，两支水枪的喷射距离至少分别为30 m ，155＋ 3 m.课程小结解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．课后作业【基础】1.如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a kmB.3a kmC.2a kmD ．2a km解析：选B 利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB ＝120°，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°＝2a 2－2a 2×⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2，故AB ＝3a .2．(2013·永州模拟)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．2 2 kmB ．3 2 kmC ．3 3 kmD ．2 3 km解析：选B 如图，由条件知AB ＝24×1560＝6.在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin 30°＝ABsin 45°，所以BS ＝ABsin 45°sin 30°＝3 2.3.如图，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )A ．2.7 mB ．17.3 mC ．37.3 mD ．373 m解析：选C ∵在△ACE 中，tan 30°＝CE AE ＝CM －10AE . ∴AE ＝CM －10tan 30°m. ∵在△AED 中，tan 45°＝DE AE ＝CM ＋10AE， ∴AE ＝CM ＋10tan 45° m ，∴CM －10tan 30°＝CM ＋10tan 45°， ∴CM ＝103＋13－1＝10(2＋3)≈37.3 m.【巩固】4某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m ，则折断点与树干底部的距离是________ m.解析：如图，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，所以∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AOsin 45°＝20sin 60°，解得AO ＝2063 m.答案：20635.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．解：作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M ，DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298，DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130，EF ＝BE －FC 2＋BC 2＝902＋1202＝150.在△DEF 中，由余弦定理得，cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF ＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.【拔高】6.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？解：如图，连接A 1B 2∵由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1A 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200，∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝302海里/时．7.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解：(1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos ∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28.＝14海里/小时．所以渔船甲的速度为BC2(2)法一：在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°. 即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314. 法二：在△ABC 中，因为AB ＝12，AC ＝20，BC ＝28，∠BCA ＝α，由余弦定理，得cos α＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ×BC， 即cos α＝202＋282－1222×20×28＝1314. 因为α为锐角，所以sin α＝1－cos 2 α＝ 1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.。
解三角形应用举例 教学设计
解三角形应用举例一、教学目标1、知识与技能目标初步运用正弦定理、余弦定理解决某些与测量和几何计算有关的实际问题．2、过程与方法目标（1）通过解决“测量一个底部不能到达的建筑物的高度”或“测量平面上两个不能到达的地方之间的距离”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形问题的方法；（2）进一步提高应用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力．3、情感、态度与价值观目标（1）通过学生亲自实施对“测量” 问题的解决，体会如何将具体的实际问题转化为抽象的数学问题，体验问题解决的全过程；（2）发展学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力，以及交流与合作的能力，着重学生多元智能的发展。
二、教学重点、难点1、重点是如何将实际问题转化为数学问题，并利用解斜三角形的方法予以解决．2、分析、探究并确定将实际问题转化为数学问题的思路是难点和关键．三、教学方法与手段1、教学方法：运用认知建构教学理论和多元智能发展观，在教学中采用自主探究与尝试指导相结合，引导学生通过分析实践、自主探究、合作讨论得出转化（解决）问题的方法．2、学习方法：在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华知识。
3、教学手段：实际模拟、合作学习、多媒体（投影仪）四、教学过程：（一）检查预习效果：问题1：怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？问题2：怎样测量地面上两个不能到底的地方之间的距离？问题3：物理问题；问题4: 台风问题。
（二）一些术语：仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：坡角和坡度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。
坡比是坡角的正切值。
方位角与方向角：方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。
方位角的取值范围为0°～360°。
探究式导学案1：1.2.1 解三角形应用举例（一）
1.2.1 解三角形应用举例之（Ⅰ）距离测量的问题【学习目标】1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决不可到达点的距离测量问题.【重、难点】1. 重点：分析测量问题的实际情景，从中找到测量距离的方法.2. 难点：根据题意建立数学模型，画出示意图，并判断题型.【知识链接】1. 应用正、余弦定理解斜三角形时，我们共学习了几种题型？它们分别是什么？各用哪个定理求解？答：①两角任一边（正弦定理求解）；②两边一对角（正弦定理或余弦定理求解）；③两边一夹角（余弦定理求解）；④三边已知（余弦定理求解）.【自主探究】（一）要点识记1. 方向角—— 从指北或指南方向线转到目标方向线时所成的小于90°的水平转角. 一般用“南偏东（西）多少度”或“北偏东（西）多少度”表示．如图所示，OA表示北偏东60°，OB表示_________，OC表示_________，OD表示_________.【答案】北偏西30°、南偏西45°、南偏东20°.2. 方位角—— 从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的水平角．如图所示，点E所在的方位角是_________．【答案】135°3. 基线—— 在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线_________，测量的精确度越高．【答案】越长（二）深层探究1．如图，测量不可到达的两点A、B之间的距离有哪几个步骤？答：可分四个步骤：第一步：选择基线CD，构造∆ABC，∆ADC，∆BDC，确定需要测量的角度∠ADB，∠BDC，∠DCA，∠ACB；第二步：在∆ADC中，应用正弦定理求AD；第三步：在∆BDC中，应用正弦定理求BD；第四步：在∆ABC中，应用余弦定理求AB.（三）拓展探究1. 解三角形应用题的一般步骤是什么？答：解三角形应用题属于数学建模问题，解决此类问题的一般步骤为：（1）建立模型：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在一个解斜三角形中；（2）测量数据：根据建立的模型，测量基线的长度和相关的角度；（3）解三角形：根据已知的量判断三角形问题的题型，选择合适的定理求解；（4）解决问题：把三角形的解转化为实际问题的结论.【典例突破】学前必读：解斜三角形的所有问题都可归结为上述这几种题型，因而，在应用正、余弦定理设计距离测量（解三角形）的实际问题时，也要把待解决的问题划归为某一种题型，然后创设所需要的条件，则问题即可顺利解决.题型一. 测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC = 60°，∠ACB = 75°. 求A、B两点之间的距离.【解析】 在∆ABC 中，应用正弦定理， AC sinB=AB AB =ACsinC sinB=55sin75°sin45°=55√3+55.【解题反思】（1）为了测量AB ，测量者选定了线段AC ，该线段叫做_________； （2）判断该题所属题型，该题型用哪个定理求解？答：（1）基线；（2）该题属“两角任一边”的题型，用“正弦定理”求解.变式1. 要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A 、B 两点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，且AB ＝120m 由此可得河宽为(精确到1m)( ) A ．170m B ．98m C ．95m D ．86m【答案】 C【解析】 在△ABC 中，AB ＝120，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，则∠ACB ＝60°，由正弦定理，得BC ＝120sin45°sin60°＝40 6.设△ABC 中，AB 边上的高为h ，则h 即为河宽， ∴h ＝BC ·sin ∠CBA ＝406×sin75°≈95(m)题型二. 测量两个不可到达的点之间的距离的问题例2. 如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），请在例1的基础上设计一种测量A 、B 两点间距离的方法.答：先在岸边选定两点CD ，测得CD =a ，并且在CD 两点分别测得∠BCA =α，∠ACD =β，∠CDB =γ，∠BDA =δ.在∆ADC 中，应用正弦定理得 AC =asin(γ+δ)sin[180°−(β+γ+δ)]=asin(γ+δ)sin(β+γ+δ)在∆BDC中，应用正弦定理得BC=asinγsin[180°−(α+β+γ)]=asinγsin(α+β+γ)在∆ABC中，应用余弦定理计算出AB两点之间的距离AB=√AC2+BC2−2AC×BCcosα【解题反思】测量距离问题的关键是什么？答：选择基线，确定能够测量的量（角度和距离），构造三角形，判断题型，恰当选择定理.变式2.在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形式，在两个相距√3a2的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA=60°，∠ACB=45°，如图所示，求蓝方这两支部队的距离.方法1）在∆ADC中，∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°，∠ACD=60°∴∠DAC=60°∴AD=CD=AC=√3a2在∆BCD中，∠DBC=180°−30°−105°=45°，DBsin∠BCD =CDsin∠DBC∴DB=CD∙sin∠BCDsin∠DBC =√3a2√6+√24√22=3+√34a在∆ADB中，AB2=AD2+BD2−2AD∙BD∙cos∠ADB=34a2+(3+√34a)2−2×√32a∙3+√34a∙√32=3a28∴AB=√64a，即蓝方这两支精锐部队的距离为√64a.方法2）在∆ADC中，∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°，∠ACD=60°.∴∠DAC=60°∴AD=CD=AC=√3a2在∆BCD中，∠DBC=180°−30°−105°=45°，BCsin∠BDC =CDsin∠DBC∴BC=CD∙sin∠BDCsin∠DBC =√3a212√22=√64a在∆ABC中，AB2=AC2+BC2−2AC∙BC∙cos∠ACB=34a2+(√64a)2−2×√32a∙√64a∙√22=3a28∴AB=√64a，即蓝方这两支精锐部队的距离为√64a.【学习小结】测量问题的设计思路是以解三角形的四种题型为依据的. 所以，测量问题的关键是根据题意，构造或画出方位图，并抽象成三角图形，再根据目标问题，确定能够测量的量（距离和角度），判断问题所属的类型，然后恰当选择正、余弦定理求解三角形.。
解三角形应用举例 说课稿 教案 教学设计
解三角形应用举例●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。
除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。
课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。
情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。
●教学重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系●教学难点灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。
然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。
Ⅱ.讲授新课[范例讲解]例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒,距离精确到0.01n mile)学生看图思考并讲述解题思路教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角∠ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB解：在∆ABC 中，∠ABC=180︒- 75︒+ 32︒=137︒，根据余弦定理，AC=ABC BC AB BC AB ∠⨯⨯-+cos 222=︒⨯⨯⨯-+137cos 0.545.6720.545.6722≈113.15[来源:Z,xx,]根据正弦定理,CAB BC ∠sin = ABC AC∠sinsin ∠CAB = AC ABCBC ∠sin= 15.113137sin 0.54︒≈0.3255,所以 ∠CAB =19.0︒,75︒- ∠CAB =56.0︒答:此船应该沿北偏东56.1︒的方向航行,需要航行113.15n mile例2、在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30m ，至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高。
教学设计5：解三角形应用举例
4.7解三角形应用举例1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a))．2．方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B 点的方位角为α(如图(b))．3．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．[试一试](2013·南京一模)如图，海岸线上有相距5 n mile 的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距3 2 n mile 的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5 n mile 的C 处，则两艘船之间的距离为________n mile.【解析】连结AC ，BC ＝AB ＝5，∠ABC ＝60°，所以△ABC 为等边三角形，所以AC ＝5，且∠DAC ＝180°－75°－60°＝45°.在△ACD 中由余弦定理得CD 2＝(32)2＋52－2×32×5×cos π4＝13，故两艘船之间的距离为13 n mile.【答案】13把握解三角形应用题的四步(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系； (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．[练一练]如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为________m.【解析】由正弦定理得 AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B ＝50×2212＝502(m)．【答案】502考点一测量距离问题研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.归纳起来常见的命题角度有：1两点都不可到达； 2两点不相通的距离；3两点间可视但有一点不可到达. 角度一 两点都不可到达1.如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，测出AB 的距离，其方法测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A ，B 两点间的距离．【解析】∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°， ∴AC ＝DC ＝32. 在△BCD 中，∠DBC ＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64.在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45° ＝34＋38－2×32×64×22＝38. ∴AB ＝64(km)． ∴A ，B 两点间的距离为64km. 角度二 两点不相通的距离2.如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离．即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，试计算AB 的长． 【解析】在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000. ∴AB ＝200 7 m.即A ，B 两点间的距离为200 7 m.[备课札记] 角度三 两点间可视但有一点不可到达3.如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出AB 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出AC 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60 m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________． 【解析】∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°， 所以由正弦定理得，AB sin C ＝ACsin B， ∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)．即A，B两点间的距离为20 6 m.【答案】20 6 m[类题通法]求距离问题的注意事项(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．考点二测量高度问题[典例]某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340米/秒)【解析】由题意，设AC＝x，则BC＝x－217×340＝x－40，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC，即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.在△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，所以CH＝AC·tan ∠CAH＝1403(米)．故该仪器的垂直弹射高度CH为1403米．[备课札记][类题通法]求解高度问题的注意事项(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．[针对训练](2010·江苏高考)某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)．示意图如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.(1)该小组已测得一组α，β的值，tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？【解析】(1)由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝H tan β，解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.因此电视塔的高度H 是124 m. (2)由题知d ＝AB ，则tan α＝Hd.由AB ＝AD －BD ＝H tan β－htan β，得tan β＝H －h d ，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝h d ＋H H －h d≤h2H H －h ，当且仅当d ＝H H －h＝125×125－4＝555时取等号．又0＜α－β＜π2，所以当d ＝555时，tan(α－β)的值最大，即α－β的值最大．考点三测量角度问题[典例] 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．【解析】 如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°， 解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20.根据正弦定理得BC sin α＝ACsin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.[备课札记] [类题通法]解决测量角度问题的注意事项(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用． [针对训练]如图所示，处于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．【解析】在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°.由余弦定理得：BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°＝402＋202－2×40×20×⎝⎛⎭⎫－12＝2 800， 所以BC ＝207.由正弦定理得：AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC，故sin ∠ACB ＝AB BC sin ∠BAC ＝40207×32＝217.又∠ACB 为锐角，所以cos ∠ACB ＝277.又θ＝∠ACB ＋30°，所以cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－ sin ∠ACB sin 30°＝277×32－217×12＝2114.[课堂练通考点]1．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是________海里．【解析】如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里)． 【答案】1022．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.【解析】如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)， ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得， MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 【答案】1033.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？【解析】如图，连结A 1B 2，由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102， ∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2. 由已知，A 1B 1＝20，∴∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°， 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝30 2(海里/时)．。
教案--解斜三角形应用举例
课题：解斜三角形的应用举例一、教学目标1．掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法，会利用解任意三角形的知识解决一些实际问题； 2．能够在解斜三角形应用过程中，灵活地选择正弦定理和余弦定理；3．通过解斜三角形应用举例进一步培养学生将实际问题转化为数学问题，用数学方法解决实际问题的能力； 4．使学生体会知识来源于实际生活，数学知识在实际生活的中的应用，从而培养学生学习数学的兴趣． 二、教学重点 利用解斜三角形解决相关实际问题．教学难点 利用解斜三角形解决相关实际问题及运算问题． 三、教学具准备 木制三角板、投影仪 四．教学方法： 启发式（一）复习引入 1．正弦定理：R Cc Bb Aa 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆的半径）2．余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bcac b A 2cos 222-+=,cos 2222B ca a c b-+=⇔caba c B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=，⇔abcb a C 2cos 222-+=3．解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力.下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用.（二）知识准备1．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角。
如图（1）所示：2．方位角：指从北方向线顺时针到目标方向线的水平角；方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角。
如图（2）所示：图（1） 图（2） （三）例题讲解例题一 如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95m ，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 长为1.40m ，计算BC 的长（保留三个有效数字）．思路分析：什么是最大仰角？例题中涉及到一个怎样的三角形？三角形△ABC 已知什么?要求什么？ 已知△ABC 的两边AB ＝1.95m ，AC ＝1.40m ，夹角A ＝66°20′，求第三边的长．． 解：由余弦定理，得222222cos 1.95 1.402 1.95 1.40cos 6620'BC AB AC AB AC A =+-=+-⨯⨯⨯3.5711.89()BC m =∴≈答：顶杆约长1.89m 。
解斜三角形应用举例教学设计
课题：解斜三角形应用举例（一）一、教材依据全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（下）第五章平面向量5.10《解斜三角形应用举例》第一课时。
二、设计思想本节重点利用解斜三角形解决相关实际问题.解斜三角形知识在生产 实践中有着广泛的应用，解斜三角形有关的实际问题过程，贯穿了数学建 模的思想.这种思想就是从实际出发，经过抽象概括，把它转化为具体问 题中的数学建模，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际 问题的解.强化上述思维过程，既是本节的重点，又是本节难点.解三角形应用题的另一个难点是运算问题，由于将正弦定理、余弦定 理看成几个“方程“，那么解三角形的应用题实质上就是把已知信息按方 程的思想进行处理，解题时应根据已知和未知合理选择一个“容易解”的 方程，从而是解题过程简洁.同时，由于具体问题中给出的数据通常是近 似值，故运算过程一般较为复杂，必须借助于计算器计算，因此要加强训 练，达到“算法简炼，算式工整，计算准确”的要求.三、教学目标1.掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法，会利用解任意三角知识结构:形的知识解决一些实际问题;2. 能够在解斜三角形应用过程中，灵活地选择正弦定和余弦定理;3. 通过解斜三角形应用举例进一步培养学生将实际问题转化为数学问题,用数学方法解决实际问题的能力;4. 使学生体会知识来源于实际生活，数学知识在实际生活的中的应用，从而培养学生学习数学的兴趣.四、教学重点利用解斜三角形解决相关实际问题.五、教学难点利用解斜三角形解决相关实际问题及运算问题.六、教学准备1、教学方法：启发式、自学辅导法2、教具:七、教学过程1 复习提问正弦定理、余弦定理以及分别用它们解斜三角形的基本情况, 而后指明，实际问题形式多样，简单结论不能概括，提出新的例题引入新课.例题一2新课例题讲解（图）例题一CD、设置情境（提出问题）如上图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如图）.已知车厢的最大仰角为60°油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m, AB与水平线之间的夹角为6° 20' AC长为1.40m,计算BC的长（保留三个有效数字）.这是一个应用问题，请同学生们想一想，如何计算?②、探索研究师：什么是最大仰角?生：最大仰角是车厢立起的最大角度.师：例题中涉及一个怎样的三角形？在^ ABC中已知什么，要求什么?生：图中涉及△ ABC，在△ ABC中已知两边和一角，求第三边的长.师：你能把这一实际问题化归为一道数学题吗?③、建立数学模型解答已知△ ABC 的两边AB= 1.95m, AC= 1.40m,夹角A= 66° 20'求BC的长.由学生解答，教师巡视并对学生解答进行讲评小结.解：由余弦定理，得AB^ - 2-AB ^AC= r95^+1.40^-2x1.95xl.40xcos66"20*= 3/751答：顶杆PC约长1.89m。
九年级下册数学教案《解直角三角形的应用举例》
九年级下册数学教案《解直角三角形的应用举例》教材分析解直角三角形是继勾股定理后对直角三角形的进一步学习，主要研究如何利用解直角三角形的有关知识，解决与直角三角形有关的实际问题。
比如：方向角问题、仰角俯角问题、坡度问题等。
我们要理解解直角三角形的方法，理解方向角、仰角、俯角、坡度等名词的意义，掌握将实际问题转化为数学模型的思想方法，达到灵活运用数学知识解决实际问题的目的。
学情分析《解直角三角形的应用举例》是直角三角形的学习中重要的教学内容，是在学生已经学习了锐角三角函数的基本知识上，要求学生会运用“解直角三角形”的知识，按照一定的规则，解决实际生活中碰到的问题，从而达到“能力培养与方法习得”、“情感态度与价值观”的教学目标。
教学目标1、掌握仰角、俯角的概念，会正确运用概念解直角三角形的知识，解决实际问题。
2、体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途。
3、感知解直角三角形的应用与现实生活的密切联系，进一步认识将数学知识运用于实践的意义。
教学重点将实际问题转化为解直角三角形问题。
教学难点将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素间的关系求解。
教学方法讲授法，演示法，讨论法，练习法教学过程一、复习导入1、在直角三角形中，（由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程）叫做解直角三角形。
2、如图，在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系：（1）三边之间的关系a 2 +b 2 =c 2（勾股定理）（2）两锐角之间的关系∠A + ∠B = 90°（3）边角之间的关系sin A =∠A 的对边斜边 = a c cos A =∠A 的邻边斜边 = b c tan A =∠A 的对边∠A 的邻边= a b二、探究问题1、2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接。
“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km 的圆形轨道上运行。
如图，当组合体运行到地球表面P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P 点的距离是多少（地球半径约为6400km ，π取3.142，结果取整数）？分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点。
解三角形应用举例教学设计
解三角形应用举例教材：普通高中课程标准实验教科书·人教B版·必修5·1.2一、教学目标1 知识与技能目标初步运用正弦定理、余弦定理解决某些与测量和几何计算有关的实际问题．2 过程与方法目标（1）．通过解决“测量一个底部不能到达的建筑物的高度”或“测量平面上两个不能到达的地方之间的距离”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形问题的方法；（2）．进一步提高应用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力．3 情感、态度与价值观目标（1）．通过学生亲自实施对“测量” 问题的解决，体会如何将具体的实际问题转化为抽象的数学问题，体验问题解决的全过程；（2）．发展学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力，以及交流与合作的能力，着重学生多元智能的发展。
二、教学重点、难点1 重点是如何将实际问题转化为数学问题，并利用解斜三角形的方法予以解决．2 分析、探究并确定将实际问题转化为数学问题的思路是难点和关键．三、教学方法与手段1 教学方法：运用认知建构教学理论和多元智能发展观，在教学中采用自主探究与尝试指导相结合，引导学生通过分析实践、自主探究、合作讨论得出转化（解决）问题的方法．2 学习方法：在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华知识。
3 教学手段：实际模拟、合作学习、多媒体（投影仪）四、教学过程【教学环节一：复习回顾】教学内容：完成下列两个小题：① 在△ABC中，已知A=300, B=300, c =，则a =_______，c =_______。
② 如图，为了测量某障碍物两侧A、B两点间的距离，给定下列四组数据，测量时最好选用数据（），最好不要选用数据（）(A) (B) (C) (D)师生互动：学生独立完成上面两个小题，并作出回答，回答时阐明作答依据。
设计意图：（1）复习：①正、余弦定理；②解斜三角形的方法。
（2）为本节课重点知识的学习做一些知识准备。
优质课教学设计：解三角形应用举例
1.2 解三角形应用举例（高度测量问题）（人教A版高中课标教材数学必修5）一、教学内容解析：本节课的内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第一章《解三角形》1.2《应用举例》的第二课时，测量底部不可到达的建筑物高度问题.在第一课时学生学习了应用正弦定理和余弦定理解决有关测量距离的问题，初步了解从实际背景中抽象数学模型，将“不可测”问题转化为“可以算”的问题，从而解决实际问题的研究方法.本节课是解三角形应用举例的延伸，继续探究底部不可到达的建筑物等的高度测量问题.解三角形知识本身是从人类长期的生产和生活实践中产生和发展起来的，在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识，本节内容具有显著的实践性，通过从实际背景中提出问题、分析问题、建构数学模型、应用数学知识计算，进而解决问题，使学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达和交流的能力，增强学生应用数学的意识,培养学生的数学建模能力.本节课的教学重点：1.通过对实地测量任务的交流展示，体会数学建模过程；2.通过对设计方案的分析，理解建构三角形模型的一般方法；3.结合用测量工具收集的数据，巩固应用正弦定理和余弦定理解三角形问题.二、教学目标解析：（一）教学目标：1.体会从实际情境中发现问题——设计方案建构数学模型——运用正弦定理、余弦定理等知识进行计算求解——检验的数学建模过程，培养学生的数学建模素养；2.归纳建构三角形模型的一般方法，解决有关底部不可到达的建筑物高度测量的问题；3.操作简单的测量工具测量仰角、距离等，收集数据，进行解三角形运算，使学生掌握正弦定理和余弦定理的应用；4.通过小组交流汇报的形式展示数学建模过程，让学生体会数学建模思想，培养学生的数学表达能力；5.创设问题情境、组织讨论交流提高学生参与学习的热情，通过小组合作学习方式，培养学生的合作意识和合作学习的能力，发展学生的创新意识和实践能力.（二）目标解析：1.高中数学学科素养包含数学抽象、逻辑推理、几何直观、数学运算、数据分析和数学建模六个方面，本节课重点培养学生的数学建模素养．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.本节课从实际背景出发，让学生亲自经历提出问题、建构模型、应用数学知识运算得到数学结果，反复检验得到符合实际的结果这样一个数学建模过程，培养学生数学建模素养；2.本节的例题是有关测量底部不可到达的建筑物等的高度的问题．由于底部不可到达，常常需要建构多个三角形，用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题．本节课主要是研究解斜三角形在测量中的应用，关于测量问题，一是要通过对工具的使用熟悉仰角、俯角的意义，二是要会选点构建三角形模型，在几个三角形中找出已知与未知之间的关系，逐步逐层转化，最终归结为解三角形的问题；3.用数学是学数学的出发点和归宿，通过设计操作实验，让学生体验数学在解决问题中的应用价值；4.将探究问题与解三角形运算相结合，引导学生既要关注实际背景，又要重视基础落实，同时创造更多的实践机会在“做数学”中落实基础；5.通过小组合作的方式完成测量任务，在课上以小组汇报的形式展示实验报告，以小组为单位进行讨论交流，培养学生合作学习的能力.三、学情分析：1.学生学习背景：我校属于区属市重点学校，学生知识基础较好，学校有丰富的社团活动，学生有小组活动经验，具有一定的动手能力和表达能力.2.学生知识储备：学生在初中已经学习过解直角三角形，能够通过建立直角三角形模型解决实际问题中的长度和角度的测量，在必修一中学生已经学习过数学建模的知识，了解建模的基本过程.在本章第一节学生学习了正弦定理和余弦定理，这些知识都将为本节课的学习奠定基础，在此基础上进一步向探究构建多个三角形的问题自然过渡.在研究中学生无法构建数学模型，或者是没有从所给的背景资料中正确的提取出数学信息也将成为本节课学习的障碍，在完成测量任务的过程中依靠实际生活背景，指导学生应用简单的测量工具，帮助学生理解数学概念，借助课本例题引导学生应用于实际问题.坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯．教学难点：从不同设计方案中概括数学建模的一般方法.四、教学策略分析：本节课以数学实验为抓手，以问题探究为载体，为学生提供动手操做、动脑思考和主动交流的机会，引导学生积极思考、合作探究，体现“重过程、重情感、重生活”的理念.教学中在学生体验测量过程的基础上，通过学生动手实践、动手画图等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生学会数学地思考问题的能力，增进应用意识和问题意识.利用学生感兴趣的数学文化知识和生活中的问题，实现情感、态度、价值观目标.通过小组交流，互相取长补短，提高合作意识. 五、教学过程：（一）课前准备，体验数学建模过程：课本例题3的学习引发学生的探究热情，教师从学生的兴趣出发布置测量任务，即让学生利用自制测角仪和卷尺等工具测量天津市地标建筑——天塔的高度，天塔周围被水环绕，属于典型的底部不可到达的建筑物.采用分组合作的方式，将学生分为三组，分别设计方案，进行实地测量，并完成实验报告.教师在测量过程中指导学生使用工具，并纠正操作中的错误，引导学生对遇到的实际问题进行思考，主动寻找解决方案，帮助学生完善实验报告（见附件）.【设计意图】1.亲自实践体验测量的过程，思考如何设计测量方法，在探索中体会数学抽象和数学建模；2.动手操作工具，直观感知，增强对数学概念的理解，如仰角、基线、张角；3.小组合作完成任务，提高学生的合作意识和合作能力，在完成任务的过程中依据学生的能力分配任务，使学生更乐于参与数学研究学习，有利于激发学生的学习兴趣；4.选择学生熟悉的生活场景展开问题，课堂中使用的很多数据都来源于学生的亲自采集，使数学学习更贴近生活.（二）情境引入，感受生活中的数学：【创设情境】播放视频介绍测量目标“天塔”的基本情况，明确建筑物的显著特征——底部不可到达，其次介绍测量前期的准备工作，包括使用的基本工具，任务完成时间和实验报告表格.【设计意图】从学生熟悉的生活背景引入，激发学生的探究兴趣，体会数学学习的应用价值.（三）学生任务展示：【学生活动】三个小组分别选择一种方案进行交流，介绍方案设计、测量的过程、计算的结果和对结果的反思，展示实验报告（见附件）和设计图.【学生活动】第一组方案介绍.设计思路源自课本例题，即在地面选择与塔底在一条基线上的两点M 、E ，用测角仪分别测量两点到塔顶A 点处的仰角，设M 处仰角∠AMB ＝α，E 处仰角∠AEB ＝β，用卷尺测量EM ＝a该设计方案提供两种解法，解法一，解两个直角三角形.BM AB =αtan ，BE AB =βtan ，a AB AB BM BE =-=-αβtan tan ，代入数值可得出天塔AB 的高度.解法二，解直角三角形和斜三角形.∠MAE ＝α－β，由正弦定理可得ββαsin )sin(AM ME =-，解得ββαsin )sin(⋅-=aAM ，αsin ⋅=AM AB ，代入数据可得出天塔AB 的高度.同理由正弦定理计算AE 也可以计算出结果.进行误差分析：1.无法精准定位E 、M 点与塔底在一条基线上；2.卷尺量程过短，需要分段测量.【教师活动】概括测量过程，引导学生体会“设计方案，发现问题——选点构建三角形模型——解三角形——检验结果”这样的建模过程.【学生活动】第二组方案介绍.选择地面两个点M 、E ，但与塔底B 不在一条基线上，用测角仪分别测量两点到塔顶A 点处的仰角，设M 处仰角∠AMB ＝α，E 处仰角∠AEB ＝β，测量EM ＝a ，但需增加测量点M 、E 与塔底的张角∠MBE ，学生提供测张角的APP 软件可以实现测量，设∠MBE ＝θ. 计算，βtan AB EB =，αtan AB MB =，由余弦定理可得 θcos 2222BM EB MB EB EM ⋅-+=，代入数值可解出塔的高度AB .误差分析：1.地势高低不平；2.无法精准定位塔底B 点，张角的测量会产生误差.【教师活动】总结测量过程，引导学生再次体会“设计方案，发现问题——选点构建三角形模型——解三角形——检验结果”的建模过程.【学生活动】第三组方案介绍.选择一处较低的建筑物，用测角仪从上方M 点处和下方E 点处分别测量到塔顶的仰角，设M 处仰角为β，E 处仰角∠AEB ＝α，测量EM ＝a.计算 ∠AME ＝90°＋β，∠EAM ＝α－β，由正弦定理可得AME AE EAM EM ∠=∠sin sin ，即)90sin()sin(ββα+=- AE a ， 解得 )90sin()sin(ββα+⋅-=a AE ，αsin ⋅=AE AB ，代入数值可解出塔的高度AB .分析误差：塔高不能用卷尺一次性测量，需分层测量再相加.【教师活动】对每组讲解中出现的问题随时纠正，在一旁协助学生完成交流活动，结合测量过程引导学生进一步体会数学建模的思想，逐步形成数学建模的一般过程.【设计意图】1. 通过让学生讲述操作过程，增强学生对知识的理解；2. 提高学生的数学表达能力；3. 通过小组合作和交流，促进学生的数学学习.（四）讨论交流：【教师活动】结合三个方案引导学生归纳1.如何选点建构三角形；2.应用哪些知识解三角形；3.造成误差的原因和减小误差的方式.【学生活动】归纳1.选择塔顶与地面两个可到达点建构三角形；归纳2.解直角三角形和应用正弦定理、余弦定理解斜三角形；归纳3.减小误差方法有使用精准的仪器、多次测量取平均值等.【设计意图】反思方案，体会建模思想，提升建模方法.【教师活动】布置讨论任务1.听完三组的方案，谈谈自己的想法；2.总结数学建模的过程.【学生活动】充分讨论后发言1.小组互评：各小组成员自由发言，对其他组的方案进行评价；2.学生现场产生更多的方案，预设如图在第三组方案的基础上，用测角仪从M点处分别测量到塔顶的仰角β和到塔底的俯角α，测量EM＝a，应用解三角形的知识可解出塔的高度AB.3.结合测量过程学生总结数学建模过程：（五）多元评价，实现自我提升：1.小组自评：经历整个测量任务和现场的展示之后，由各组组长对本组的表现进行自我评价；2.教师评价：结合整个建模活动，从小组合作、方案设计、参与程度、数据分析等方面进行总结和点评.【设计意图】采用多元评价方式，通过自我评价引导学生反思和总结；通过小组互评引导学生善于发现别人的优秀之处，进一步完善自我；教师的点评更要充分肯定每一位积极参与的同学，从方案的创新性、合理性和有效性进行评价，关注数据的真实和整理过程的认真、细心，同时也要提出改进和完善的方法，帮助学生进一步提升.（六）课后作业：整理实验报告，总结经验与不足.附件测量天塔高度实验报告E 处仰角∠AEB ＝α，测量EM ＝a. ＋β，∠EAM ＝α－β， AME AE EAM EM ∠=∠sin sin ，即sin(βα-a。
解三角形应用教案
龙文教育个性化辅导教案提纲教师： 杨坤 学生： 时间： 2014 年 4 月 日 段一、学习目标与考点分析：1、熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，结合几何性质建模解决生活中的应用问题。
2、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。
二、教学内容：解三角形应用举例知 识 梳理1.已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A +B +C = π求C ，由正弦定理求a 、b ．2.已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C = π，求另一角．3.已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A +B +C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况．4.已知三边a 、b 、c ，应用余弦定理求A 、B ，再由A +B +C = π，求角C ．5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东××度， 北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度.6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.如图中OD 、OE 是视线，DOC ∠ 是仰角，EOC ∠ 是俯角.7.关于三角形面积问题①ABC S ∆=21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； ②ABC S ∆＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；③ABC S ∆＝2R 2sin A sin B sin C .（R 为外接圆半径） ④ABC S ∆＝Rabc4；教学方法：对解三角函数的知识点进行总结分析。
教学设计6：解三角形应用举例
4.7解三角形应用举例1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图3－8－1①)．图3－8－12．方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图3－8－1②)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．3．坡度与坡比坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比．4．视角观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角(如图3－8－2)．图3－8－2)图3－8－31．(人教A 版教材习题改编)如图3－8－3所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km【解析】 在△ABC 中，AC ＝BC ＝a ，∠ACB ＝120°， ∴AB 2＝a 2＋a 2－2a 2cos 120°＝3a 2，AB ＝3a . 【答案】 B2．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°、距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为( )A.1762海里/时 B ．346海里/时C.1722海里/时 D ．342海里/时【解析】 如图．由题意知∠MPN ＝75°＋45°＝120°，∠PNM ＝45°. 在△PMN 中，由正弦定理，得 MN sin 120°＝PMsin 45°，∴MN ＝68×3222＝34 6.又由M 到N所用时间为14－10＝4小时，∴船的航行速度v ＝3464＝1726(海里/时)．【答案】 A3．(2011·上海高考)在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米．【解析】 在△ABC 中，∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°， ∴∠ACB ＝180°－75°－60°＝45°， 又AB ＝2，由正弦定理，得AC sin 60°＝ABsin 45°，故AC ＝ 6.【答案】64．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为________米．【解析】 如图所示，山的高度MN ＝200米，塔高为AB ，CN ＝MB ＝2003，AC ＝NC3＝2003·3＝2003.所以塔高AB ＝200－2003＝4003(米)．【答案】40035．(2013·扬州模拟)如图3－8－4，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ．则这条河的宽度为________m.图3－8－4【解析】 因为∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， 则∠ACB ＝180°－30°－75°＝75°，所以AC ＝AB ＝120 m ，h ＝AC ·sin A ＝120×12＝60(m)．【答案】 60图3－8－5(2013·宝鸡调研)如图3－8－5所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？【思路点拨】在△BAD 中，由正弦定理，求DB →△BCD 中，用余弦定理求CD→求时间t【尝试解答】 由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB ，∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5（3＋3）·sin 45°sin 105°＝5（3＋3）·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝53（3＋1）3＋12＝103(海里)，又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝60°，BC ＝203(海里)． 在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1200－2×103×203×12＝900.∴CD ＝30(海里)．则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．,1．利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关三角形中，建立一个解三角形的模型； 2．利用正、余弦定理解出所求的边和角，得出该数学模型的解．图3－8－6某单位在抗震救灾中，需要在A 、B 两地之间架设高压电线，测量人员在相距6 000 m 的C 、D 两地(A 、B 、C 、D 在同一个平面上)，测得∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°(如图3－8－6)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A 、B 距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，7≈2.6)【解析】 在△ACD 中，∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，CD ＝6 000，∠ACD ＝45°，根据正弦定理AD ＝CD sin 45°sin 60°＝23CD ， 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°， CD ＝6 000，∠BCD ＝30°，根据正弦定理BD ＝CD sin 30°sin 135°＝22CD .又△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°， 根据勾股定理，AB＝AD2＋BD2＝23＋12CD＝1 00042，实际所需电线长度约为1.2AB≈7 425.6(m).图3－8－7(2013·青岛质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度(声音的传播速度为340米/秒)【思路点拨】用|AC|表示|BC|，在△ABC中，根据余弦定理列方程求|AC|，在△ACH中，求|CH|.【尝试解答】由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－217×340＝x－40，在△ABC中，由余弦定理得：|BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA|·|CA|·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420.在△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，所以|CH|＝|AC|·tan∠CAH＝140 3.答：该仪器的垂直弹射高度CH为1403米．1．在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；2．分清已知条件与所求，画出示意图；明确在哪个三角形内运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶A仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，求该塔的高度．【解析】如图所示，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h，在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴OD＝3·OA＝3h，在△OCD中，CD＝10，且∠OCD＝120°，由余弦定理得：OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD cos∠OCD，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos 120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．因此该塔的高度为10米.在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(3－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？【思路点拨】设缉私船t小时后在D处追上走私船，确定出三角形，先利用余弦定理求出BC，再利用正弦定理求出时间．【尝试解答】设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t.在△ABC中，AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°.利用余弦定理可得BC ＝ 6. 由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝26×32＝22，得∠ABC ＝45°，即BC 与正北方向垂直． 于是∠CBD ＝120°.在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t ＝12，得∠BCD ＝30°，又CD sin 120°＝BC sin 30°，即103t3＝6，得t ＝610. 所以当缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船，最少要花610小时．,测量角度问题的一般步骤(1)在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离； (2)用正弦定理或余弦定理解三角形； (3)将解得的结果转化为实际问题的解．图3－8－8如图3－8－8所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．【解析】 如题图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°， 由余弦定理，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800， ∴BC ＝207，由正弦定理得，AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ，∴sin ∠ACB ＝AB BC sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°， 得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114. 故cos θ的值为2114.一个程序解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．从近两年高考试题看，高考对正、余弦定理的实际应用考察较少，但此部分内容能较好地考察学生的阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力及函数与方程的思想，因此应积极备考．思想方法之七 构建三角形模型解决实际应用问题(2013·泉州模拟)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．【规范解答】 (1)设小艇与轮船在B 处相遇，相遇时小艇航行的距离为S 海里，如图所示．在△AOB 中A ＝90°－30°＝60°，∴S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos 60° ＝900t 2－600t ＋400＝ 900（t －13）2＋300. 故当t ＝13时，S min ＝103， 此时v ＝10313＝30 3. 即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)由题意可知OB ＝vt ，在△AOB 中利用余弦定理得：v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t cos 60°，故v 2＝900－600t ＋400t 2 ∵0＜v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900， 即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23， 又t ＝23时，v ＝30(海里/小时)， 故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23. 此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．易错提示：(1)理解能力差，方向角概念不清，不能根据题设条件做出示意图，导致无法入手；(2)主要是不会构建v 与t 的函数关系式，难以利用条件解不等式．防范措施：(1)理清方向角的概念，准确画出相关示意图．(2)在△AOB 中，根据题设条件，恰当选择正弦(余弦)定理求解．1．(2013·温州模拟)在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30 m ，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底前进10 3 m ，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔的高度为________．【解析】 如图，依题意有PB ＝BA ＝30，PC ＝BC ＝103，在三角形BPC 中，由余弦定理可得cos 2θ＝（103）2＋302－（103）22×103×30＝32，所以2θ＝30°，4θ＝60°，在三角形PCD中，可得PD ＝PC ·sin 4θ＝103·32＝15(m)． 【答案】 15 m图3－8－92．(2013·石家庄模拟)某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A ，B ，且AB 长为80米，当航模在C 处时，测得∠ABC ＝105°和∠BAC ＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D 处，测得∠BAD ＝90°和∠ABD ＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案保留根号)【解析】 在△ABD 中，∵∠BAD ＝90°，∠ABD ＝45°，∴∠ADB ＝45°.∴AD ＝AB ＝80，∴BD ＝80 2.在△ABC 中，BC sin 30°＝AB sin 45°， ∴BC ＝AB sin 30°sin 45°＝80×1222＝40 2. 在△DBC 中，DC 2＝DB 2＋BC 2－2DB ·BC cos 60°＝(802)2＋(402)2－2×802×402×12＝9 600. ∴DC ＝406，航模的速度V ＝40620＝26米/秒． 答：航模的速度为26米/秒．。
高一数学教案：解斜三角形应用举例（1）.doc
高一数学教案：解斜三角形应用举例（1）.doc课题：解斜三角形应用举例（1）教学目的：1会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；2搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；3理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；4通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力教学重点：实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法：启发式在教学中引导学生分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并启发学生在解三角形时正确选用正、余弦定理教学过程：一、复习引入： 1．正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin === 2．余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=?bca cb A 2cos 222-+= ,cos 2222B ca a c b -+=?ca b a c B 2cos 222-+= C ab b a c cos 2222-+=，?ab c b a C 2cos 222-+= 3．解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力明解斜三角形在实际中的一些应用二、讲解范例：例1 自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车箱支点A 之间的距离为1．95ｍ，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 长为1．40ｍ，计算BC 的长(保留三个有效数字) 分析：求油泵顶杆BC 的长度也就是在△ABC 内，求边长BC 的问题，而根据已知条件，AC ＝1．40ｍ，AB ＝1．95 ｍ，∠BAC ＝60°＋6°20′＝66°20′相当于已知△ABC 的两边和它们的夹角，所以求解BC 可根据余弦定理解：由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A＝1．952＋1．402－2×1．95×1．40×cos66°20′＝3．571∴BC ≈1．89 （ｍ）答：油泵顶杆B C 约长1．89 ｍ评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来例2某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间分析：设舰艇从A 处靠近渔船所用的时间为ｘｈ，则利用余弦定理建立方程来解决较好，因为如图中的∠1，∠2可以求出，而AC 已知，BC 、AB 均可用ｘ表示，故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题解：设舰艇从A 处靠近渔船所用的时间为ｘｈ，则AB ＝21ｘ海里，BC ＝9ｘ海里，AC ＝10 海里，∠ACB ＝∠1＋∠2＝45°＋（180°－105°）＝120°，根据余弦定理，可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°得(21ｘ)2＝102＋（9ｘ）2－2×10×9ｘcos120°，即36ｘ2－9ｘ2×10＝0 解得ｘ1＝32，ｘ2＝－125 (舍去)∴AB ＝21ｘ＝14，BC ＝9ｘ＝6再由余弦定理可得cos ∠BAC ＝,9286.010142610142222222=??-+=??-+AC AB BC AC AB∴∠BAC ＝21°47′，45°＋21°47′＝66°47′所以舰艇方位角为66°47′，32小时即40分钟答：舰艇应以66°47′的方位角方向航行，靠近渔船则需要40分钟评述：解好本题需明确“方位角”这一概念，方位角是指由正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角，其范围是（0°，360°）在利用余弦定理建立方程求出ｘ后，所求舰艇方位角就转化为一个已知三边求角的问题，故仍然利余弦定理例3用同样高度的两个测角仪AB 和CD 同时望见气球E 在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β，已知B 、D 间的距离为a ，测角仪的高度是b ，求气球的高度分析：在Rt △EGA 中求解EG ，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC 中有较多已知条件，故可在△EAC 中考虑EA 边长的求解，而在△EAC 中有角β，∠EAC ＝180°－α两角与BD ＝a 一边，故可以利用正弦定理求解EA解：在△ACE 中，AC ＝BD ＝a ，∠ACE ＝β，∠AEC ＝α－β，根据正弦定理，得AE ＝)sin(sin βαβ-a在Rt △AEG 中，EG ＝AE sin α＝)sin(sin sin βαβα-a ∴EF ＝EG ＋b ＝)sin(sin sin βαβα-a ＋b ，答：气球的高度是)sin(sin sin βαβα-a ＋b 评述：此题也可以通过解两个直角三角形来解决，思路如下：设EG ＝ｘ，在Rt △EGA 中，利用cot α表示AG ；在Rt △EGC 中，利用cot β表示CG ，而CG －AG ＝CA ＝BD＝a ，故可以求出EG ，又GF ＝CD ＝b ，故EF 高度可求例4如图所示，已知半圆的直径AB ＝2，点C 在AB 的延长线上，BC ＝1，点P 为半圆上的一个动点，以DC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC 的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值分析：要求四边形OPDC 面积的最大值，这首先需要建立一个面积函数，问题是选谁作为自变量，注意到动点P 在半圆上运动与∠POB 大小变化之间的联系，自然引入∠POB ＝θ作为自变量建立函数关系OPDC 可以分成△OPC 与等边△PDC ，Ｓ△OPC 可用21·OP ·OC ·sin θ表示，而等边△PDC 的面积关键在于边长求解，而边长PC 可以在△POC 中利用余弦定理表示，至于面积最值的获得，则通过三角函数知识解决解：设∠POB ＝θ，四边形面积为ｙ，则在△POC 中，由余弦定理得：PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos θ＝5－4cos θ∴ｙ＝Ｓ△OPC ＋Ｓ△PCD ＝θsin 2121??＋43(5－4cos θ) ＝2sin(θ－3π)＋435 ∴当θ－3π＝2π即θ＝65π时，ｙmax ＝2435 评述：本题中余弦定理为表示△PCD 的面积，从而为表示四边形OPDC 面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式sin （α＋β）＝sin αcos β＋cosαsin β的构造及逆用，应要求学生予以重视三、课堂练习：1如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船，奉命以103海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜问：辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间解：设辑私船应沿CD 方向行驶ｔ小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103ｔ海里，BD ＝10ｔ海里∵BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝（3－1）2＋22－2（3－1）·2cos120°＝6, ∴BC ＝6 226120sin 2sin sin sin sin =?=?=∴=BC A AC ABC ABC AC A BC∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°,21310120sin 10sin sin sin sin =??=?=∴=t t CD CBD BD BCD CBD CD BCD BD∴∠BCD ＝30°,∴∠DCE ＝90°－30°＝60°由∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°得∠D ＝30°∴BD ＝BC ，即10ｔ＝6∴ｔ＝106 (小时)≈15(分钟) 答：辑私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，需时约15分钟四、小结通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：。
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课题: 2.2解三角形应用举例
第一课时
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。
其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。
对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
●教学重点
实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
●教学难点
根据题意建立数学模型，画出示意图
●教学过程
Ⅰ.课题导入
1、[复习旧知] 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、[设置情境]
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
Ⅱ.讲授新课
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
[例题讲解]
(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=︒
75。
求A、B
51，∠ACB=︒
两点的距离(精确到0.1m)
启发提问1：∆ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边。
解：根据正弦定理，得
ACB AB ∠sin = ABC
AC ∠sin AB = ABC
ACB AC ∠∠sin sin = ABC
ACB ∠∠sin sin 55 = )
7551180sin(75sin 55︒-︒-︒︒
= ︒
︒54sin 75sin 55 ≈ 65.7(m)
答:A 、B 两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B 在观察站C 南偏东60︒，则A 、B 之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型。
解略：2a km
例2、如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法。
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。
首先需要构造三角形，所以需要确定C 、D 两点。
根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC ，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD=a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA=α，
∠ ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA =δ，在∆ADC 和∆BDC 中，应用正弦定理得
AC =
)](180sin[)sin(δγβδγ++-︒+a = )sin()sin(δγβδγ+++a BC = )](180sin[sin γβαγ++-︒a = )
sin(sin γβαγ++a
计算出AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离
AB = αcos 222BC AC BC AC ⨯-+
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练：若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA=60︒，∠ACD=30︒，∠CDB=45︒，∠BDA =60︒
略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206
评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。
Ⅲ.课堂练习
课本第14页练习第1、2题
Ⅳ.课时小结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
Ⅴ.课后作业
课本第22页第1、2、3题
●板书设计
●授后记。