常微分方程

中国海洋大学本科生课程大纲

课程属性：公共基础/通识教育/学科基础/专业知识/工作技能，课程性质：必修、选修

一、课程介绍

1.课程描述：

常微分方程是数学学科的一门基础理论课程,是一门专业必修课，是数学分析，高等代数和解析几何的综合应用和发展。通过学习不仅可加强先修课程中已学过的概念和方法，且为后续课程的学习准备解决问题的方法和工具。常微分方程与微积分同时诞生，以解决天文学、力学等实际问题而闻名于世，是研究事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最基本的数学理论和方法。现实生活中许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如物体运动、生物群体竞争、疾病的传播等。对这些规律的描述、认识和分析，往往可以归结为用常微分方程描述的数学模型的分析和研究。由此可知，它是数学理论联系实际的重要渠道之一，它有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一种强有力的工具。

2.设计思路：

本课程适用于数学与应用数学专业、信息与计算科学专业二年级本科生。本课程主要包括六个部分内容：初等积分法；基本定理；一阶线性微分方程组；n 阶线性微分方程；定性理论与稳定性理论简介；一阶偏微分方程初步。

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初等积分法主要讲解几类能用初等（积分）解法求解的方程类型及其求解方法。要求学生掌握各种类型的解法，具有判断一个给定方程的类型和正确求解的能力。重点是求解方法，难点是识别方程的类型以及熟练掌握求解方法。

基本定理包括解的存在唯一性定理，解的延展定理，解对初值的连续依赖性定理和解的可微性定理，构成了常微分方程主要理论部分。解的存在唯一性定理表明，若右端函数满足连续和利布希兹条件，则保证方程的解存在性与唯一性。它是常微分方程理论中最基本的定理，有其重大的理论意义。另一方面，由于能求得精确解的方程不多，所以该定理给出的求近似解法就具有重要的实际意义。解的延拓定理及解对初值的连续依赖性与可微性定理揭示了微分方程的重要性质。要求学生必需理解本章定理的条件和结论，掌握证明方法，能运用定理证明有关问题。重点是证明的思路和方法，特别是逐次逼近法，难点是贯穿定理证过程的利布希兹条件运用和证明过程中不等式技巧的把握；

一阶线性微分方程组主要讲线性微分方程组的理论。线性微分方程组理论是微分方程理论中的重要部分，无论从实用的角度或从理论的角度来说，本章所提供的方法和结果都是非常重要的，它是进一步学习常微分方程理论和其它有关课程必不可少的基本知识，基本要求：（1）理解线性微分方程组解的存在与唯一性定理，熟练掌握逐步逼近法；（2）掌握线性微分方程组的一般理论，把握解空间的代数结构；（3）基解矩阵求法。一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是难以通过积分求得，但当系数矩阵是常系数矩阵时，可以通过代数方法（Jordan标准型、矩阵指数）求出基解矩阵。重点掌握一阶线性微分方程组的解空间结构和常系数线性微分方程组的解法，难点是证明一阶齐次常微分方程组的解空间是n 维线性空间和一阶常系数齐次或非齐次微分方程组的求解。

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n 阶线性微分方程是值得重视的方程，这不仅仅因为n阶线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且它是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术中也有广泛的应用。要求学生重点掌握n阶线性微分方程的基本理论和常系数n 阶线性微分方程的解法，对于高阶方程的降阶问题和二阶线性方程的幂级数解法作简单了解。熟悉Laplace变换是求解n阶常系数线性微分方程初值问题的方法。把握n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，能够将一阶线性微分方程组的有关结果推广到n 阶线性微分方程，以统一的观点理解这两部分的内容。

定性理论与稳定性理论简介主要介绍定性理论和稳定性理论，定性理论产生与发展与生产实践和物理、力学以及工程技术问题紧密联系，它主要研究轨线在相平面或相空间的分布以及极限环或周期轨的稳定性和不稳性等问题。稳定性理论研究平衡态的稳定性问题，主要研究方法是李雅普诺夫第一方法和第二方法。在现代科学技术中，无论是定性理论还是稳定性理论都有着极其广泛的应用。要求学生对定性理论或是稳定性理论有所了解，对常微分方程的后继课程产生浓厚的兴趣。

一阶偏微分方程是选修内容，对学生不做基本要求。

3. 课程与其他课程的关系：

先修课程：高等代数、空间解析几何、数学分析I；

并行课程：数学分析II、III；

后置课程：《数学物理方程》。本课程与这门课程构成了数学专业中应用性极强的微分方程理论，内容和要求各有侧重、联系密切。

二、课程目标（知识、能力、素质一体化设计）

课程目标是使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，建立确定性数学模型的思

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想方法，培养学生运用数学理论和方法解决实际问题的能力。通过对本课程的学习，一方面，要求学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握一些基本理论和各种类型方程求解的主要方法，具有一定的解题能力，为学习本学科的近代内容和后继课程（如数学物理方程、常微分方程定性与稳定性理论、泛函分析等）打下基础。另一方面，要求学生具有分析与解决问题的能力。

三、学习要求（课程要求：主动学习、有效学习、学习指导）

要完成所有的课程任务，学生必须：

（1）按时上课,上课认真听讲，积极参与课堂讨论、随堂练习和测试。

（2）按时完成常规练习作业。这些作业要求学生按书面形式提交，只有按时提交作业，才能掌握课程所要求的内容。延期提交作业需要提前得到任课教师的许可。

（3）完成教师布置的一定量的阅读文献资料、建模练习，引导学生探讨某些更深入的问题。

四、参考教材与主要参考书

1、选用教材:

[1]常微分方程（第二版），东北师范大学微分方程教研室编，高等教育出版社，2006年5月出版；

2、主要参考书：

[1]《常微分方程》（第二版），王高雄等编，高等教育出版社，1995年出版。

[2]《常微分方程教程》，丁同仁等编，高等教育出版社，1991年出版。

[3]《常微分方程讲义》，王柔怀吴卓群编，人民教育出版社，1979年出版。

五、进度计划（时间顺序、讲授内容、指定阅读资料、课下作业）

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