高中数学选修2-3二项式定理讲义含答案

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2019-2020学年高二数学人教A版选修2-3文档：第1章 1.3.1 二项式定理 Word版含答案

1.3 二项式定理1．3.1 二项式定理1．能用计数原理证明二项式定理．(重点)2．能记住二项式定理和二项展开式的通项公式．(重点)3．能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理二项式定理阅读教材P29～P31，完成下列问题．1．二项式定理(1)公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n b n(n∈N*)叫做二项式定理．(2)(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中各项的系数C k n (k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．2．二项展开式的通项(a＋b)n的二项展开式中的C k n a n－k b k叫做二项展开式的通项，用T k＋1表示，即通项为展开式的第n＋1项：T k＋1＝C k n a n－k b k.温馨提示：二项式系数C r n与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )(3)C k n a n－k b k是(a＋b)n展开式中的第k项．( )(4)(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数相同．( ) 【解析】 (1)× 因为(a ＋b )n 展开式中共有n ＋1项．(2)× 因为二项式的第k ＋1项C k n a n －k b k 和(b ＋a )n 的展开式的第k ＋1项C k n b n －k a k 是不同的，其中的a ，b 是不能随便交换的．(3)× 因为C k n a n －k b k 是(a ＋b )n 展开式中的第k ＋1项．(4)√ 因为(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数都是C r n . 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√[小组合作型]二项式定理的正用、逆用(1)用二项式定理展开⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －32x25； (2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k ＋…＋(－1)n C n . 【精彩点拨】 (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x ＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．【自主解答】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －32x25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32x2＋…＋C 5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32x25 ＝32x 5－120x 2＋180x －135x4＋4058x7－24332x10.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k (－1)k ＋…＋C n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n.1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．[再练一题] 1．(1)求二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －1x 4的展开式； (2)化简(x －2)5＋5(x －2)4＋10(x －2)3＋10(x －2)2＋5(x －2).【导学号：29472028】【解】 (1)⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1x ＋C 24(3x )2⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x 3＋C 4⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1x 4＝81x 2－108x ＋54－12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －2)5＋C 15(x －2)4＋C 25(x －2)3＋C 35(x －2)2＋C 45(x －2)＋C 5(x －2)0－1 ＝[(x －2)＋1]5－1＝(x －1)5－1.二项式系数与项的系数问题(1)求二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数．【精彩点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．【自主解答】 (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1∴第6项的二项式系数为C 56＝6，第6项的系数为C 56·(－1)·2＝－12.(2)T r ＋1＝C r 9x9－r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x r＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r ， ∴9－2r ＝3，∴r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84.1．二项式系数都是组合数C k n (k ∈{0,1,2，…，n })，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第k ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C k n .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280.[再练一题] 2．(1)已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )A.3 B ．－3C ．6D ．－6(2)设(x －2)n展开式中，第二项与第四项的系数之比为12，则含x 2的项是________．【解析】 (1)T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a x r ＝C r 5(－a )r x ，由5－2r 2＝32，解得r ＝1.由C 15(－a )＝30，得a ＝－6.故选D.(2)(x －2)n 展开式的第二项与第四项分别为T 2＝C 1n x n －1(－2)＝－2C 1n x n －1，T 4＝C 3n x n－3(－2)3＝－22C 3n x n －3. 依题意得－2C1n－22C3n ＝12，即n 2－3n －4＝0，解得n ＝4(舍去n ＝－1)．设(x －2)4展开式中含x 2的项为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 4x 4－r (－2)r .由4－r ＝2，得r ＝2，即(x －2)4展开式中含x 2的项为T 3＝C 24x 2(－2)2＝12x2.【答案】 (1)D (2)12x 2[探究共研型]求展开式中的特定项探究1 如何求⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项．【提示】利用二项展开式的通项C r 4x 4－r·1xr ＝C r 4x 4－2r求解，令4－2r ＝0，则r ＝2，所以⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项为C 24＝4×32＝6.探究2 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的每一项是如何得到的？【提示】 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到．探究3 如何求⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项？【提示】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x 分别与(2x ＋1)3展开式中常数项C 3＝1及x 2项C 1322x 2＝12x 2分别相乘再把积相加得x ·C 3＋1x ·C 13(2x )2＝x ＋12x ＝13x .即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项为13x .已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．【自主解答】通项公式为：(1)∵第6项为常数项，∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令10－2r 3＝2，得r ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405.(3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z.令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k .∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，k ＝2,0，－2，即r ＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236,295 245x －2.1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第k 项，T k ＝C k －1n a n －k ＋1b k －1； (2)求含x k 的项(或x p y q 的项)； (3)求常数项； (4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．[再练一题]3．(1)在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是________． (2)若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －a x26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________. 【导学号：29472029】【解析】 (1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3相乘的结果， ∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a x26的展开式的通项是T k ＋1＝C k 6x 6－k · (－a )k x －2k ＝C k 6x 6－3k (－a )k ，令6－3k ＝0，得k ＝2，即当k ＝2时，T k ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知得C 26a ＝60，解得a ＝4. 【答案】 (1)207 (2)41．化简(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1得( ) A ．(x －1)4 B ．x 4 C ．(x ＋1)4D ．x 5【解析】原式＝[(x －1)＋1]4＝x 4. 【答案】 B2．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式中常数项是( )A ．－28B ．－7C ．7D ．28【解析】 T k ＋1＝C k 8·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 28－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13xk ＝(－1)k·C k 8·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫128－k ·x 8－43k ，当8－43k ＝0，即k ＝6时，T 7＝(－1)6·C 68·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝7. 【答案】 C3．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x2－1x 6的展开式中，中间项是________．【解析】由n ＝6知中间一项是第4项，因为T 4＝C 36(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3. 【答案】－160x 34．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________.【导学号：29472030】【解析】 T k ＋1＝C k 9·(x 2)9－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12k ·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123·C 39·x 9＝－212x 9，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－212.【答案】 84 －2125．求⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x3＋23x25的展开式的第三项的系数和常数项．【解】 T 3＝C 25(x 3)3⎝⎛⎭⎪⎪⎫23x22＝C 25·49x 5，所以第三项的系数为C 25·49＝409. 通项T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k ⎝⎛⎭⎪⎪⎫23x2k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23k ·C k 5x 15－5k ，令15－5k ＝0，得k ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x23＝8027.。

高中数学选修2-3：第四讲二项式定理含解析精品

第四讲二项式定理【教材扫描】一、二项式定理（1）二项式定理011()C C C C ()n n n k n k k n n n n n n a b a a b a b b n --*+=+++++∈L L N ，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，共有）n +1项，其中各项的系数C ({0,1,2,,})k n k n ∈L 叫做二项式系数. 说明：二项式定理中的,a b 既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.在二项式定理中，如果设1,a b x ==，则得到公式：0122(1)C C C C C n k k n nn n n n n x x x x x+=++++++L L . （2）二项展开式的通项二项展开式中的C k n k k n ab -叫做二项展开式的通项，用1k T +表示，即通项为展开式的第k+1项：1C k n k k k n T a b -+=. 2．“杨辉三角”与二项式系数的性质（1）杨辉三角当n 依次取1,2，3，…时，()n a b +展开式的二项式系数可以表示成如下形式：该表称为“杨辉三角”，它蕴含着许多规律：例如：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之_______. （2）二项式系数的性质①对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式C C m n m n n-=得到.②增减性与最大值.当12n k +<时，二项式系数是逐渐增大的；当12n k +>时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数2C nn最大；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数1122C,Cn n nn-+相等且最大.③各二项式系数的和.已知0122(1)C C C C C n k k n nn n n n n x x x x x +=++++++L L .令1x =，则0122C C C C n nn n n n=++++L .也就是说，()n a b +的展开式的各个二项式系数的和为2n 【知识运用】题型一二项式定理的正用与逆用【例1】(1)求(3x ＋1x)4的展开式；(2)化简(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．【解析】 (1)法一：(3x ＋1x)4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3·1x＋C 24(3x )2·(1x)2＋C 34(3x )·(1x)3＋C 44·(1x)4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.法二：(3x ＋1x)4＝?3x ＋1?4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2. (2)原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55(x －1)0－1 ＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1. 【变式】1.求(1＋1x)4的展开式．【解】 (1＋1x )4＝1＋C 14(1x )＋C 24(1x )2＋C 34(1x )3＋C 44(1x)4＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x4.2．设n 为自然数，化简C 0n ·2n －C 1n ·2n －1＋…＋(－1)k ·C k n ·2n －k＋…＋(－1)n ·C nn ＝________．解：原式＝C 0n ·2n ·(－1)0＋C 1n 2n －1·(－1)1＋…＋(－1)k ·C k n 2n －k＋…＋(－1)n·C nn ·20＝(2－1)n＝1．答案：1题型二二项式系数与项的系数问题【例2】 (1)求二项式(2x －1x)6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求(x －1x)9的展开式中x 3的系数．【解析】由已知得二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r·(－1x)r∴第6项的二项式系数为C 56＝6，第6项的系数为C 56·(－1)·2＝－12. (2)设展开式中的第r ＋1项为含x 3的项，则T r ＋1＝C r 9x9－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r， ∴9－2r ＝3，∴r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84. 【拓展】本例条件不变，问题(1)改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”．问题(2)改为“求展开式中x 5的系数”，该如何求解．【解】 (1)由通项T r ＋1＝C r6·(2x )6－r·(－1x)r知第四项的二项式系数为C 36＝20，第四项的系数为C 36·(－1)3·23＝－160. (2)设展开式中第r ＋1项为含x 5的项，则T r ＋1＝C r 9·x9－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r， ∴9－2r ＝5， ∴r ＝2.即展开式中的第3项含x 5，且系数为C 29＝36.【变式】1.已知在的展开式中，第6项为常数项. （1）求含错误！未找到引用源。

数学(北师大版选修2-3)课件1.5.1二项式定理

(2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2 ＋…＋Cnr (x＋1)n－r(－1)r＋…＋Cnn(－1)n＝[ (x＋1)＋(－1)] n＝xn．
二项式系数与项的系数
(1)求二项式2
x－1x6 的展开式中第
6
项的二项式
系数和第 6 项的系数；
(2)求x－1x9 的展开式中 x3 的系数．
第一章计数原理
§ 5 二项式定理
5．1 二项式定理
学习目标
重点难点
1.理解二项式定理是代数乘法公式
的推广．
1.重点是二项式定理、
2．掌握二项式定理，并能利用计数推导及通项公式．
原理证明二项式定理．
2．难点是利用计数原
3．会用二项式定理解决与二项式展理推导出二项展开式.
开式有关的简单问题.
阅读教材：5.1二项式定理的有关内容，完成下列问题． 1．二项式定理一般地，对于任意正整数n，都有(a＋b)n＝ _C_0n_a_n＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_r_b_r＋__…__＋__C_nn_b_n_____(n∈N＋)．这个公式称为二项式定理．等号右边的多项式称为(a＋b)n 的二项展开式，(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中各项的系数_C_nr___(r＝0,1,2，…，n)称为二项式系数．
1．(1)求(x＋2y)4 的展开式；
(2)
化
简：
C0n(x
＋
1)n
－C
1 n
(x＋
1)n
－
1＋
C2n
(x
＋
1)n
－2
－
…
＋(

2018-2019学年高二数学人教A版选修2-3讲义：第一章 1.3 第1课时二项式定理 Wor

姓名，年级：时间：错误!第1课时二项式定理[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P29~P31的内容，回答下列问题．在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b）2的展开式：(a＋b)2＝（a＋b）（a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.（1)如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？提示：从上述过程可以看到，(a＋b）2是2个(a＋b）相乘，根据多项式乘法法则，每个(a ＋b）在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个（a＋b）中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前,（a＋b）2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－k×b k（k＝0，1,2)的形式．（2)在合并同类项之前，（a＋b）2的展开式为a×a＋a×b＋b×a＋b×b，每项都是a2－k×b k(k ＝0,1,2）的形式，你能从组合的观点解释合并同类项后a2－k×b k的系数特点吗?提示：当k＝0时，a2－k×b k＝a2，是由2个（a＋b)中都不选b得到的，相当于从2个(a＋b）中取0个b(即都取a)的组合数C错误!，因此a2只有1个；当k＝1时,a2－k×b k＝ab，是由一个(a＋b)中选a，另一个（a＋b）中选b得到的．由于b 选定后，a的选法也随之确定,因此，ab出现的次数相当于从2个（a＋b）中取1个b的组合数,即ab共有C错误!个;当k＝2时,a2－k×b k＝b2，是由2个(a＋b)中都选b得到的，相当于从2个(a＋b）中取2个b的组合数C错误!，因此b2只有1个．由上述分析可以得到：（a＋b)2＝C错误!a2＋C错误!ab＋C错误!b2.(3）仿照上述过程，你认为(a＋b)3，（a＋b）4，(a＋b）n的展开式是什么？提示：（a＋b）3＝C03a3＋C错误!a2b＋C错误!ab2＋C错误!b3；（a＋b）4＝C0，4a4＋C错误!a3b＋C错误!a2b2＋C错误!ab3＋C错误!b4；(a＋b）n＝C0n a n＋C1，n a n－1b＋…＋C错误!ab n－1＋C错误!b n。

数学选修2-3讲义：第1章1.31.3.1 二项式定理含答案

1.3二项式定理1.3.1二项式定理学习目标：1.会证明二项式定理．(难点)2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式．(重点)教材整理二项式定理阅读教材P26～P27例1以上部分，完成下列问题．二项式定理及相关的概念判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．()(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．()(3)C r n a n－r b r是(a＋b)n展开式中的第r项．()(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．()【解析】(1)×因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．(2)×因为二项式的第r＋1项C r n a n－r b r和(b＋a)n的展开式的第r＋1项C r n b n－r a r 是不同的，其中的a ，b 是不能随便交换的．(3)× 因为C r n an －r b r是(a ＋b )n 展开式中的第r ＋1项． (4)√ 因为(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数都是C r n . 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√二项式定理的正用、逆用【例1】 (1)用二项式定理展开⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25；(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)r C r n (x ＋1)n －r＋…＋(－1)n C n n .【精彩点拨】 (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x ＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋…＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 25＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x 10.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2·(－1)2＋…＋C r n (x ＋1)n －r(－1)r ＋…＋C n n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n .1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．1．(1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式；(2)化简：1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C n n .【解】 (1)法一：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3 ·1x＋C 24(3x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4 ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.法二：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.(2)原式＝1＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n.二项式系数与项的系数问题【例2】 (1)求二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数．【精彩点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．【解】 (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1 ＝C r 6(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 6·26－r ·x 3－32r，∴T 6＝－12·x －92.∴第6项的二项式系数为C 56＝6，第6项的系数为C 56·(－1)·2＝－12. (2)T r ＋1＝C r 9x 9－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r ， ∴9－2r ＝3，∴r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84.1．二项式系数都是组合数C r n (r ＝0,1,2，…，n )，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第r ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C r n .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280.2．(1＋2x )n 的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．【解】 T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26，∴n ＝8. ∴(1＋2x )n 的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4. 设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 82r ≥C r －182r －1，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，∴5≤r ≤6.∴r ＝5或r ＝6(∵r ＝0,1,2，…，8)． ∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.求展开式中的特定项[探究问题]1．如何求⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项？【提示】利用二项展开式的通项C r 4x 4－r ·1x r ＝C r 4x 4－2r求解，令4－2r ＝0，则r ＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项为C 24＝4×32＝6. 2．(a ＋b )(c ＋d )展开式中的每一项是如何得到的？【提示】 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到．3．如何求⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项？【提示】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x 分别与(2x ＋1)3展开式中常数项C 33＝1及x 2项C 1322x 2＝12x 2分别相乘再把积相加得x ·C 33＋1x ·C 13(2x )2＝x ＋12x ＝13x .即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项为13x .【例3】已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．【精彩点拨】写出通项T r ＋1→令r ＝5，x 的指数为零→(1)求出n 值→修正通项公式→(2)求x 2项的系数 →考查x 指数为整数→分析求出k 值 →(3)写出有理项【解】通项公式为：T r ＋1＝C r n xn －r3(－3)r x－r 3＝C r n (－3)rxn －2r3.(1)∵第6项为常数项，∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10. (2)令10－2r 3＝2，得r ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405.(3)由题意得，⎩⎨⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k .∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，k ＝2,0，－2，即r ＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236,295 245x－2.1．求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k 项，T r ＝C r －1n a n －r ＋1b r －1；(2)求含x r 的项(或x p y q 的项)； (3)求常数项； (4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．3．(1)在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是________． (2)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．【解析】 (1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3相乘的结果，∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.(2)⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6x 6－r ·(－a )r x －2r ＝C r 6x6－3r(－a )r ，令6－3r ＝0，得r ＝2，即当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知得C 26a ＝60，解得a ＝4. 【答案】 (1)207 (2)41．在(x －3)10的展开式中，含x 6的项的系数是( ) A ．－27C 610B ．27C 410C ．－9C 610D ．9C 410【解析】含x 6的项是T 5＝C 410x 6(－3)4＝9C 410x 6.【答案】 D2．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式中常数项是( ) A ．－28 B ．－7 C ．7D ．28【解析】 T r ＋1＝C r 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝(－1)r ·C r 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r·x 8－43r ，当8－43r ＝0，即r ＝6时，T 7＝(－1)6·C 68·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝7.【答案】 C3．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20D ．24【解析】展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12.【答案】 A4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式中，中间项是________．【解析】由n ＝6知中间一项是第4项，因T 4＝C 36(2x 2)3·⎝⎛⎭⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3.【答案】－160x 35．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25的展开式的第三项的系数和常数项．【解】T 3＝C 25(x 3)3⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第三项的系数为C 25·49＝409. 通项T r ＋1＝C r 5(x 3)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23r ·C r 5x 15－5r，令15－5r ＝0，得r ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 23＝8027.。

人教版B版高中数学选修2-3(B版)二项式定理

2．二项式系数的性质 (1)对称性：Cn0＝Cnn，C1n＝Cnn－1，Cn2＝Cnn－2，…，Crn＝ Cnn－r. (2)增减性与最大值：二项式系数 Cnk，当 k<n＋2 1时，二项式系数是递增的；当 k>n＋2 1时，二项式系数是递减的．当 n 是偶数时，中间的一项的系数最大．当 n 是奇数时，中间两项的系数相等且最大．
∴m 为关于 n 的减函数， ∴当 n＝1 时，m 取得最大值23，又∵n∈N*，∴m>12，故12<m≤23. [点评] 要注意区分二项式展开式中的项的系数和二项式系数．
二、填空题 4．若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.(用数字作答)
(3)C0n＋Cn1＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝2n. (4)C1n＋Cn3＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.
误区警示 1．通项公式 Tk＋1＝Cnkan－kbk 是第 k＋1 项，而不是第 k 项，注意其指数规律． 2．求二项式展开式中的特殊项(如：系数最大的项、二项式系数最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有理项…)时，要注意 n 与 k 的取值范围．
[答案] 31
[解析] 令 f(x)＝(x－2)5，则 f(1)＝－1＝a5＋a4＋a3 ＋a2＋a1＋a0，f(0)＝－32＝a0，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝f(1)－a0＝31.
展开式中 x 的系数为( )
A．－150
B．150
C．300
D．－300
解析：令 x＝1，得 M＝4n，又 N＝2n，故 4n－2n＝
240.解得
n＝4.展开式中的通项为

数学人教A版选修2-3教材梳理：1.3二项式定理含解析精品

庖丁巧解牛知识·巧学一、二项式定理1.公式(a+b)n =n n n k k n k n n n n n b C b a C b a C a C ++++-- 1110(n ∈N *).对二项式公式，令a=1,b=x ，则得一个比较常用的公式：(1+x)n =1+r r n n n x C x C x C +++ 221+…+x n .（1）(a+b)n 的二项展开式共有ｎ＋1项，其中各项的系数k n C （ｋ∈｛0,1，2,…，ｎ｝）叫做二项式系数；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数ｎ.方法归纳（1）字母ａ的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由ｎ逐次减1直到零，字母ｂ的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到ｎ;（2）由于二项式定理表示的是一个恒等式，在二项展开式中，有关系数的或组合数中一些和的问题，可对照二项展开式，对ａ、ｂ赋以特殊值，是解决这类问题的基本方法;(3)有关三项展开问题，可将三项中某两项看做一项，然后利用二项式定理处理.（4）二项式系数n nn n n C C C C 210,,只与第n 项有关，与a,b 的大小无关. 2.通项公式二项展开式中第ｋ＋1项k k n k n b a C -叫做二项展开式的通项，即T k+1=k nC a n-k b k . （1）通项公式表示的是二项展开式中的任意一项，只要ｎ与ｒ确定，该项也随之确定；对于一个具体的二项式，它的二项展开式中的项依赖于ｒ；（2）通项公式表示的是第ｋ＋1项，而非第ｋ项；（3）公式中的第一个量ａ与第二个量ｂ的位置不能颠倒.疑点突破利用通项公式可以解决以下问题：（1）求指定项；（2）求特征项；（3）求指定项、特征项的系数.在应用通项公式时要注意以下几点：（1）要能准确地写出通项，特别注意符号问题；（2）要将通项中的系数和字母分离开来，以便解决有关问题；（3）通项公式中含有a,b,n,k,T k+1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求第五个元素，在有关二项式定理的问题中，常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程或方程组，这里必须注意ｎ是正整数，ｒ是非负整数，且ｒ≤ｎ.二、二项式系数及其性质二项展开式中，各项系数r n C (r=0,1,2,…，n)叫做展开式的二项式系数.它们是一组仅与二项式的幂指数ｎ有关的ｎ＋1个组合数，与a,b 无关.其性质如下：（1）对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可以由m n nm n C C -=得到.（2）增减性与最大值：如果二项式的幂指数ｎ是偶数，那么其展开式中间一项，即12+n T 的二项式系数最大；如果ｎ是奇数，那么其展开式中间两项21+n T 与121++n T 的二项式系数相等且最大.（3）各二项式系数的和：n nn n n C C C C ++++ 210=2n ，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即531420nn n n n n C C C C C C ++=+++ +…=2n-1. 方法点拨对形如(ax+b)n ,(a 2+bx+c)m 的式子求其展开式的各项系数之和，只需令ｘ=1即可，对形如(ax+by)n 的式子求其展开式各项系数之和，只需令ｘ=ｙ=1即可.辨析比较二项式系数与项的系数是不同的概念.如(a-b)n 的二项展开式的通项公式只需把-ｂ看成ｂ代入原来的二项式定理可得：T r+1=(-1)r r n C a n-r b r ，则第ｒ＋1项的二项式系数为r nC ，而第ｒ＋1项的系数是(-1)r r n C . 知识拓展如求（a+bx ）n 展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A 1,A 2,…，A n+1，设第ｒ＋1项系数最大，应有⎩⎨⎧≥≥+++.,211r r r r A A A A 从而解出ｒ的值即可.问题·探究问题1什么叫做二项式系数？什么叫做二项式项的系数？它们本质相同吗？有什么区别？思路:(a+b)n 的二项展开式共有ｎ＋1项，其中各项的系数k n C (k ∈{0,1,2,…，n})叫做二项式系数.而二项式项的系数是在二项式系数的前面加相应符号.二者是有区别的，如(a+bx)n 的展开式中，第ｒ＋1项的二项式系数为r n C ，而第ｒ＋1项的系数为r n C a n-r b r探究:在有关二项展开式问题中，要注意二项式系数与总分项的系数的区别和联系，同时注意“取特殊值法”在求系数和中的作用.如在（1+2x ）7的展开式中，第四项是T 4=37C ·17-3·（2x ）3，其二项式系数是37C ，则第4项的系数是37C ·23=280，它们既有区别，又有联系.求二项式系数的和是2n ，求二项展开式各项的系数和一般用赋值法解决.问题2在数的整除问题中，我们经常会遇到这样的问题：今天是星期天，220天后是星期几？11827的末位数字是几？34n+2+5m+1能被14整除吗？等等.你能对此类问题提供一种较好的解决方法吗？试说明之. 并由此谈谈你对二项式定理的理解.思路:对类似的整除问题，可以借助于二项式定理来解决.把一个数的指数幂的底数分解为两个数的和或差，利用二项式定理展开，对展开项的数字特征进行分析.对二项式定理的理解应注意它是一个恒等式，左边是二项式幂的形式.表示简单，右边是二项式的展开式，表示虽然复杂，但很有规律，规律特点为：①它有ｎ＋1项，是和的形式；②各项的次数都等于二项式的幂的次数ｎ；③字母ａ按降幂排列，次数由ｎ减到0，字母ｂ按升幂排列，次数由0增到ｎ.④各项的二项式系数依次为：n nn n C C C ,,10 ，利用展开式解决问题时可以根据需要而选择.探究:上题中的“11827的末位数字是几”这一问题，可以利用二项式定理看做（10+1）827，由二项式展开，得82782682723282721827082711011011010∙∙+∙∙+∙∙+∙C C C C容易发现，其个位数字即为1.二项式定理中，ａ、ｂ是任意的，于是我们可以根据需要对其赋值，利用二项式定理来解决一些实际问题.如令ａ=1，ｂ=ｘ，则（1+x ）n =1+n n n r n n n xC xr C x C x C +++++ 2221这也为我们解决问题提供了“取特例”的思想方法.如上式中再令ｘ=-1，或令ａ、ｂ取一些特殊的值还可以得到许多有用的结果.典题·热题例1(2005全国高考)(2x-x 1)9的展开式中，常数项为______________.（用数字作答）.思路分析:二项展开式的通项为T r+1=r C 9(2x)9-r (-x 1)r =(-1)r 29-r r C 929rr x --. 令9-r-2r =0，得ｒ=6.故常数项为T 7=(-1)6×2369C =672. 答案:672方法归纳凡涉及到展开式的项及其系数等问题时，常是先写出其通项公式T r+1=r n C a n-r b r ，然后再根据题意进行求解，往往是结合方程思想加以解决.拓展延伸 (2005山东高考)如果(3x 321x -)n 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（） A.7 B.-7 C.21 D.-21思路分析:分清某一项的系数与它的二项式系数是否相同，常规解法是利用通项公式T r+1=r n C a n-r b r ，先确定ｒ，再求其系数.令ｘ=1，即(3-1)n =128，得ｎ=7.由通项公式，得T r+1=rC 7(3x)7-r (321x -)r =(-1)r ·37-r ·r C 7·357r x -，由7-35r =-3.解得r=6.故31x的系数是(-1)6·3·67C =21. 答案:C深化升华在求二项式中参数的值及特定项的系数等问题时，通常是利用展开式的通项与题目提供的信息及各量之间的制约关系，巧妙构造方程，利用方程的思想求解.例2（1+2x ）n 的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.思路分析:根据已知条件可求出ｎ，再根据ｎ的奇偶性，确定出二项式系数最大的项.解:T 6=5n C (2x)5,T 7=6n C (2x)6，依题意有5n C ·25=6n C ·26，解得n=8.所以(1+2x)n 的展开式中，二项式系数最大的项为T 5=48C ·（2x ）4=1 120x 4.设第ｒ＋1项系数最大，则有⎪⎩⎪⎨⎧∙≥∙∙≥∙++--,22,2211881188r r r r r r r r C C C C .解得5≤r≤6. 由于r ∈{0，1，2，…，8}，所以ｒ=5或ｒ=6.则系数最大的项为T 6=1 792x 5,T 7=1 792x 6.方法归纳二项式系数最大项的问题，可直接根据二项式系数的性质求解.ｎ为奇数时，中间两项的二项式系数最大;ｎ为偶数时，中间一项的二项式系数最大.误区警示求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，要根据各项系数的正、负变化情况，采用列不等式，解不等式的方法求.例3求(1+2x-3x 2)6展开式中含x 5的项.思路分析:幂函数6是个不大的数目，显然可以按多项式乘法法则把(1+2x-3x 2)6乘开为多项式，再从中取出含x 5的项，但是计算量较大.如果把1+2x-3x 2中的两项结合起来，则可看成二项式，从而可利用二项式定理，展开后，再把结合为一组的两项展开，就能得到含x 5的系数.解:原式=［1+(2x-3x 2)］6=1+16C (2x-3x 2)+26C (2x-3x 2)2+36C (2x-3x 2)3+…+66C (2x-3x 2)6.可以看出，继续将右端展开后，在36C (2x-3x 2)3,46C (x-3x 2)4,56C (2x-3x 2)5这三部分的展开式中都含有x 5的项，它们分别是：36C 23C ×2×(-3)2x 5,46C 14C ×23×(-3)x 5,56C 05C 25x 5.把这三项合并后，就得到(1+2x-3x 2)6展开式中含的项是-168x 5.方法归纳用结合的方法，把三项式做为二项式处理，这是一种较为普遍的转化方法.通过转化.可以把较生疏的问题转化为较熟悉的问题，把较困难的问题转化为较容易的问题. 例4求0.9986的近似值，使误差小于0.001.思路分析:因为直接对0.9986进行求值难度较大，而0.9986=(1-0.002)6，故可用二项式定理展开计算.解:0.9986=(1-0.002)6=1+6×（-0.002）1+15×(-0.002)2+…+（-0.002）6.因为T 3=26C ·（-0.002）2=15×(-0.002)2=0.000 06<0.001，且第三项以后的绝对值都小于0.001，所以从第三项起，以后的项可以忽略不计.则0.9986=(1-0.002)6≈1+6×(-0.002)=1-0.012=0.988.深化升华由(1+x)n =1+1n C x+2n C x 2+…+n n C x n ，当ｘ的绝对值与1相比很小且ｎ很大时，x 2,x 3,…，x n 等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此，可用近似计算公式：(1+x)n ≈1+nx.在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍.若精确度要求较高，则可使用较为精确的公式：(1+x)n ≈1+nx+2)1(-n n x 2. 例5求证：对任何非负整数ｎ，33n -26n-1可被676整除.思路分析:当ｎ=0或1时，所给式子为具体数，可以验证.当ｎ≥2时，由于注意到676等于262，而33n =27n =(26-1)n .可以用二项式展开，看各项中是否均能含有262.解:当ｎ=0时，原式等于0，可被676整除.当ｎ=1时，原式=0，也可被676整除.当ｎ≥2时，原式=27n -26n-1=(26+1)n -26n-1=(26n +1n C 26n-1+…+2-n n C 262+1-n n C 26+1)-26n-1=26n +1n C 26n-1+…+2-n n C 262.每一项都含有262这个因数，故可被262=676整除.综上所述，对一切非负整数ｎ，33n -26n-1可被676整除.方法归纳此类问题可以用二项式定理证明，证明此类问题的关键在于将被除式进行恰当的变形.使其能写成二项式的形式，展开后的每一项中都含有除式这个因式，就可证得整除.。

高中数学第7章计数原理 7.4 二项式定理讲义(含解析)湘教版选修2-3-湘教版高二选修2-3数

第一课时二项式定理及应用[读教材·填要点]1．杨辉三角的特点是两条斜边上的数字都是1，其余的数都是它“肩上”的两个数的和．2．二项式定理对于正整数n ，(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n.3．二项展开式的通项公式我们称C r n an －r b r是二项展开式的第r ＋1项，其中C r n 称作第r ＋1项的二项式系数．把T r＋1＝C r n an －r b r(其中0≤r ≤n ，r ∈N ，n ∈N ＋)叫做二项展开式的通项公式．[小问题·大思维]1．二项展开式中的字母a ，b 能交换位置吗？提示：二项展开式中的字母a ，b 是不能交换的，即虽然(a ＋b )n 与(b ＋a )n结果相同，但(a ＋b )n 与(b ＋a )n的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的，二者不能混淆，如(a ＋b )3的展开式中第2项是3a 2b ，而(b ＋a )3的展开式中第2项是3ab 2，两者是不同的．2．二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？提示：二项式系数C r n 与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关．二项式定理的应用[例1] (1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋x 4的展开式；(2)化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．[解] (1)法一：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3·1x＋C 24(3x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝3x ＋14x 2＝1x 2[]C 043x4＋C 143x3＋C 243x2＋C 343x1＋C 443x＝1x2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55(x －1)0－1 ＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.(1)记准、记熟二项式(a ＋b )n的展开式，是解答好与二项式有关问题的前提条件，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷．(2)逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律及各项的系数．1．(1)求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x25的展开式； (2)化简：(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1. 解：(1)法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x25 ＝C 05(2x )5－C 15(2x )4·1x2＋C 25(2x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 22－C 35(2x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 23＋C 45(2x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 24－C 55·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25＝32x 5－80x 2＋80x －40x 4＋10x 7－1x10.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x22x 3－15＝－1x10(1－2x 3)5＝－1x10[1－C 15(2x 3)＋C 25(2x 3)2－C 35(2x 3)3＋C 45(2x 3)4－C 55(2x 3)5]＝－1x10＋10x 7－40x 4＋80x－80x2＋32x 5.(2)原式＝C 05(2x ＋1)5－C 15(2x ＋1)4＋C 25(2x ＋1)3－C 35(2x ＋1)2＋C 45(2x ＋1)－C 55(2x ＋1)0＝(2x ＋1－1)5＝(2x )5＝32x 5.二项式系数与项的系数问题[例2] (1)求二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数．[解] (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝26－r C r6·(－1)r·x3－3r 2，∴T 6＝－12·x －92.∴第6项的二项式系数为C 56＝6，第6项的系数为C 56·(－1)5·2＝－12. (2)设展开式中的第r ＋1项为含x 3的项，则T r ＋1＝C r 9x9－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r，令9－2r ＝3，得r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84.本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”．解：由通项T r ＋1＝(－1)r ·C r 6·26－r·x 3－32r ，知第四项的二项式系数为C 36＝20，第四项的系数为C 36·(－1)3·23＝－160.求某项的二项式系数或展开式中含x r的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别．2．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n 的值；(2)求展开式中x 2的系数．解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n ·(3x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r n x n －2r 3 .又第6项为常数项，所以当r ＝5时，n －2r3＝0，即n ＝2r ＝10.(2)由(1)，得T r ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 10x 10－2r3 ，令10－2r3＝2，得r ＝2，所以展开式中x 2的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－122C 210＝454.与展开式中的特定项有关的问题[例3] (1)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，常数项是( )A ．－54B.54C ．－1516D.1516(2)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12 C ．1D ．2[解析] (1)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6展开式的通项T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x12－3r，令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.(2)依题意，注意到⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当r ＝3时)、x 6(当r ＝2时)项的系数分别为C 310、C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2.[答案] (1)D (2)D求展开式中特定项的方法求展开式特定项的关键是抓住其通项公式，求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．3．已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n 的值；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．解：(1)通项为T r ＋1＝C r n x n －r 3 (－3)r x －r 3＝C r n (－3)r x n －2r3 .因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令n －2r3＝2，得r ＝12(n －6)＝2.所以所求的系数为C 210(－3)2＝405. (3)根据通项，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧10－2r 3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈N ，所以r 可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210(－3)2x 2，C 510(－3)5，C 810(－3)8x －2，即405x 2，－61 236,295 245x －2.解题高手妙解题30122330123[尝试][巧思] 因为展开式为x ＋2的多项式，因此可考虑将2x ＋3变形为2x ＋3＝2(x ＋2)－1，然后利用二项式定理展开即可．[妙解] 由(2x ＋3)3＝[2(x ＋2)－1]3＝C 03[2(x ＋2)]3(－1)0＋C 13[2(x ＋2)]2(－1)1＋C 23[2(x ＋2)]1(－1)2＋C 33[2(x ＋2)]0(－1)3＝8(x ＋2)3－12(x ＋2)2＋6(x ＋2)－1 ＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋a 3(x ＋2)3. 则a 0＝－1，a 1＝6，a 2＝－12，a 3＝8. 则a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝5.1．(2x －1)5的展开式中第3项的系数为( ) A ．－20 2 B ．20 C ．－20D ．20 2解析：选D ∵T r ＋1＝C r 5(2x )5－r(－1)r，∴T 2＋1＝C 25(2x )3(－1)2＝(2)3C 25x 3＝202x 3， ∴第3项的系数为20 2.2．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C nn ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．(－1)nD ．3n解析：选C 逆用公式，将1看作公式中的a ，－2看作公式中的b ，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.3.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 9展开式中的第四项是( ) A ．56x 3B ．84x 3C ．56x 4D ．84x 4解析：选B 由通项公式有T 4＝C 39x 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x3＝84x 3.4.⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 9的展开式中，常数项为________．解析：T r ＋1＝C r 9(2x )9－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r ·29－r ·C r9·x 9－32r ，令9－32r ＝0，得r ＝6.∴T 7＝C 69×23＝672. 答案：6725．若(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案) 解析：二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r10x 10－r a r，当10－r ＝7时，r ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3＝15，故a ＝12.答案：126．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n (n ∈N ＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，求展开式中含x 32的项．解：由题意知第五项的系数为C 4n ·(－2)4，第三项的系数为C 2n ·(－2)2，则C 4n ·－24C 2n ·－22＝101，解得n ＝8(n ＝－3舍去)．所以通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝C r 8(－2)r ·x 8－5r2 .令8－5r 2＝32，得r ＝1. ∴展开式中含x32的项为T 2＝－16x32.一、选择题1．(x －2)10展开式中x 6的系数是( ) A ．－8C 410 B ．8C 410 C ．－4C 410D ．4C 410解析：选D T r ＋1＝C r 10x 10－r(－2)r，令10－r ＝6，∴r ＝4，T 5＝(－2)4C 410x 6＝4C 410x 6，系数为4C 410.2．若(1－2x )5的展开式中，第2项小于第1项，且不小于第3项，则x 的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－110 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－110，0C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，110D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0解析：选B T 1＝C 05＝1，T 2＝C 15·(－2x )＝－10x ，T 3＝C 25·(－2x )2＝40x 2.根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧T 2<T 1，T 2≥T 3，即⎩⎪⎨⎪⎧－10x <1，－10x ≥40x 2，解得－110＜x ≤0.3.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中，常数项为15，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D 由通项公式T r ＋1＝C rn (x 2)n －r(－1)r x －r＝(－1)r C r n x2n －3r.令2n －3r ＝0，得(－1)r C rn ＝15，由r ＝23n ，r ∈N ＋，排除选项B 、C ，再将选项B 、D 代入验证n ＝6.4．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154B.154C ．－38D.38解析：选C 在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎪⎫x 26－r ⎝⎛⎭⎪⎫－2x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫126－r x 3－r (－2)r，当r ＝1时，为含x 2的项，其系数是C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫125(－2)＝－38.二、填空题5.⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数指数幂的一共有________项．解析：因为T r ＋1＝C r10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x r ＝C r 10⎝ ⎛⎭⎪⎫－13r x5－32r ，由5－32r ∈N ＋知r ＝0或r ＝2，所以展开式中含x 的正整数指数幂的一共有2项．答案：26．若(1＋2)4＝a ＋b 2，则a －b ＝________.解析：∵(1＋2)4＝C 04(2)0＋C 14(2)1＋C 24(2)2＋C 34(2)3＋C 44(2)4＝1＋42＋12＋82＋4＝17＋122，由已知，得17＋122＝a ＋b 2，∴a ＝17，b ＝12，故a －b ＝17－12＝5. 答案：57.⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋12x 5的展开式中x 8的系数是________________(用数字作答)．解析：∵T r ＋1＝C r 5·(x 3)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝C r 5·x 15－3r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·x －r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r 5·x30－7r2 (r ＝0,1,2,3,4,5)，由30－7r2＝8，得r ＝2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 25＝52.答案：528．(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________．解析：⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中，T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 6x 6－2r，令6－2r ＝0，得r ＝3，T 4＝C 36(－1)3＝－C 36，令6－2r ＝－1，得r ＝72(舍去)，令6－2r ＝－2，得r ＝4，T 5＝C 46(－1)4x －2，所以(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为1×(－C 36)＋C 46＝－20＋15＝－5.答案：－5 三、解答题9．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．解：T 5＝C 4n (x )n －424x －8＝16C 4n x n －202 ， T 3＝C 2n (x )n －222x －4＝4C 2n x n －102 由题意知，16C 4n 4C 2n ＝563，解得n ＝10.T r ＋1＝C r 10(x )10－r 2r x －2r ＝2r C r 10x 10－5r2 ，令5－5r2＝0，解得r ＝2，∴展开式中常数项为C 21022＝180.10．已知(x ＋3x )n(其中n <15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列．(1)求n 的值；(2)写出它展开式中的所有有理项．解：(1)(x ＋3x )n(其中n <15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C 8n ，C 9n ，C 10n .依题意得n ！8！n －8！＋n ！10！n －10！＝2·n ！9！n －9！，化简得90＋(n －9)(n －8)＝20(n －8)，即n 2－37n ＋322＝0，解得n ＝14或n ＝23，因为n <15，所以n ＝14. (2)展开式的通项T r ＋1＝C r 14x 14－r 2 ·x r 3 ＝C r 14·x 42－r6 ，展开式中的有理项当且仅当r 是6的倍数， 0≤r ≤14，所以展开式中的有理项共3项是：r ＝0，T 1＝C 014x 7＝x 7； r ＝6，T 7＝C 614x 6＝3 003x 6； r ＝12，T 13＝C 1214x 5＝91x 5.第二课时二项式系数的性质及应用[读教材·填要点]二项式系数的有关性质 (1)二项展开式一共有n ＋1项．(2)第一个字母a 按降幂排列，第二个字母b 按升幂排列． (3)a 的幂加b 的幂等于n .(4)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C m n ＝C n －mn . (5)二项式系数从两端向中间逐渐增大，且当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数C -12n n ，C +12n n 相等，且同时取得最大值．(6)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n，这可以在二项式定理中取a ＝1，b ＝1得到． (7)C 0n －C 1n ＋C 2n ＋…＋(－1)n C nn ＝0，这可以在二项式定理中取a ＝1，b ＝－1得到．[小问题·大思维]1．若(a ＋b )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 为何值？提示：由二项式系数的性质可知，第5项为二项展开式的中间项，即二项展开式共有9项，故n ＝8.2．(a ＋b )n的展开式的各个二项式系数的和与a ，b 的取值有关系吗？提示：(a ＋b )n的展开式的各个二项式系数的和与a ，b 的值无关，其和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝2n.求展开式的系数和[例1] 若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求 (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. [解] (1)令x ＝0，则a 0＝－1，令x ＝1，则a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128.① ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝129. (2)令x ＝－1，则－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，② 由①－②2得：a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝12[128－(－4)7]＝8 256. (3)由①＋②2得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝12[128＋(－4)7]＝－8 128.(4)法一：∵(3x －1)7展开式中a 0，a 2，a 4，a 6均小于零，a 1，a 3，a 5，a 7均大于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7－(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝8 256－(－8 128)＝16 384.法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|即为(1＋3x )7展开式中各项的系数和， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(1＋3)7＝47＝16 384.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n, (ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f 1＋f －12，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f 1－f －12.1．设f (x )＝(x 2＋x －1)9(2x ＋1)6，试求f (x )的展开式中： (1)所有项的系数和；(2)所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和．解：(1)所有项的系数和为f (1)＝36＝729. (2)所有偶次项的系数和为f 1＋f －12＝36＋－12＝364，所有奇次项的系数和为f 1－f －12＝36＋12＝365.求展开式中系数或二项式系数最大的项[例2] 在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 28的展开式中，(1)系数绝对值最大的项是第几项？ (2)求二项式系数最大的项； (3)求系数最大的项； (4)求系数最小的项． [解]T r ＋1＝C r8·(x )8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r＝(－1)r ·C r 8·2r·x4－5r 2.(1)设第r ＋1项系数的绝对值最大．则⎩⎪⎨⎪⎧C r8·2r≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1.∴⎩⎪⎨⎪⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r .⇒5≤r ≤6，又∵r ∈N ＋， ∴r ＝5或r ＝6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． (2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．∴T 5＝C 48·24·x4－202＝1 120x －6.(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，而7项的系数为正．则系数最大的项为T 7＝C 68·26·x－11＝1 792x －11. (4)系数最小的项为T 6＝－C 58·25x－172＝－1 792x－172.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第r ＋1项的系数最大，则与之相邻两项(第r 项，第r ＋2项)的系数均不大于第r ＋1项的系数，由此列不等式组可确定r 的X 围，再依据r ∈N *来确定r 的值，即可求出最大项．2．已知⎝⎛⎭⎫x 23＋3x 2n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．解：令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n. 又展开式中二项式系数和为2n， ∴22n2n ＝2n＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T 3＝C 25(x23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x23)2(3x 2)3＝270x223.(2)设展开式中第k ＋1项的系数最大，则由T k ＋1＝C k5(x23)5－k(3x 2)k ＝3k C k5x10＋4k3，得⎩⎪⎨⎪⎧3k C k5≥3k －1C k －15，3k C k 5≥3k ＋1C k ＋15，∴72≤k ≤92，∴k ＝4，即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(x23)(3x 2)4＝405x263.解题高手妙解题如果C 0n ＋12C 1n ＋13C 2n ＋…＋1n ＋1C n n ＝31n ＋1，求(1＋x )2n的展开式中系数最大的项．[尝试][巧思] 由于2n 是偶数，且(1＋x )2n展开式中各项的系数即为二项式系数，因此系数最大的项应为第n ＋1项，因此只需确定n 的值即可．等式可变形为(n ＋1)C 0n ＋12(n ＋1)·C 1n ＋13(n ＋1)C 2n ＋…＋1n (n ＋1)C n －1n ＋C n n ＝31，而(n ＋1)C 0n ＝C 1n ＋1，12(n ＋1)C 1n ＝C 2n ＋1，13(n ＋1)C 2n ＝C 3n ＋1，….故利用二项式系数的性质即可解决．[妙解] 由C 0n ＋12C 1n ＋13C 2n ＋…＋1n ＋1C n n ＝31n ＋1，得(n ＋1)C 0n ＋12(n ＋1)C 1n ＋13(n ＋1)C 2n ＋…＋1n (n ＋1)C n －1n ＋C nn ＝31，∴C 1n ＋1＋C 2n ＋1＋C 3n ＋1＋…＋C n n ＋1＋C n ＋1n ＋1＝31，即2n ＋1－1＝31，∴2n ＋1＝32，∴n ＋1＝5，即n ＝4.1．(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( )A ．n ，n ＋1B ．n －1，nC ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3解析：选C 该式展开共2n ＋2项，中间有两项；第n ＋1项与第n ＋2项，所以第n ＋1项与第n ＋2项为二项式系数最大的项．2．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120解析：选B 由2n＝64，得n ＝6， ∴T r ＋1＝C r 6x6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x 6－2r (0≤r ≤6，r ∈N ＋)．由6－2r ＝0，得r ＝3，∴T 4＝C 36＝20. 3．若(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x2 018(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C 令x ＝0，得a 0x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝－1.4．若(x ＋3y )n的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．解析：(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.答案：55．(2x －1)10展开式中x 的奇次幂项的系数之和为________．解析：设(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，再令x ＝－1，得 310＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10，两式相减，可得a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3102.答案：1－31026．已知(1＋3x )n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意知，C n n ＋C n －1n ＋C n －2n ＝121，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝121，∴1＋n ＋n n －12＝121，解之得n ＝15或n ＝－16(舍去)．∴(1＋3x )15的展开式中二项式系数的最大项为第8项和第9项，且T 8＝C 715(3x )7，T 9＝C 815(3x )8.一、选择题1．已知(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|等于( ) A．29B．49C．39D．1解析：选B x的奇数次方的系数都是负值，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9.∴已知条件中只需赋值x＝－1即可．2．关于(a－b)10的说法，错误的是( )A．展开式中的二项式系数之和为1 024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小解析：选C 根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．3．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A．29B．210C．211D．212解析：选A 由C3n＝C7n，得n＝10，故奇数项的二项式系数和为29.4．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于( )A．5 B．6C．7 D．8解析：选B 由二项式系数的性质知，二项式(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值有一项，即C m2m＝a，二项式(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数的最大值有两项，即C m2m＋1＝C m＋12m＋1＝b，因此13C m2m ＝7C m2m＋1，所以13·2m ！m ！m ！＝7·2m ＋1！m ！m ＋1！，所以m ＝6. 二、填空题5．(1＋2x )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7等于________．解析：令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝25，∴－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝25－1＝31. ∴a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝－31. 答案：－316．(1－x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为________．解析：二项式(1－x )20的展开式的通项是T r ＋1＝C r 20·120－r ·(－x )r ＝C r 20·(－1)r·x 12r .因此，(1－x )20的展开式中，x 的系数与x 9的系数之差等于C 220·(－1)2－C 1820·(－1)18＝C 220－C 220＝0.答案：07．若对任意的实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为________．解析：设x －2＝t ，则x ＝t ＋2，原等式可化为(t ＋2)3＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3，所以a 2＝C 13·2＝6.答案：68．在(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )6的展开式中，x 2项的系数是________．(用数字作答)解析：由题意知C 22＋C 23＋C 24＋C 25＋C 26＝C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋C 26 ＝C 34＋C 24＋C 25＋C 26 ＝C 35＋C 25＋C 26 ＝C 36＋C 26＝C 37 ＝7×6×53×2×1＝35.答案：35三、解答题9．设(2－3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：(1)a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.解：(1)令x＝0，则展开式为a0＝2100.(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)100，(*)∴a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)100－2100.(3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋3)100.与(*)式联立相减得a1＋a3＋…＋a99＝2－3100－2＋31002.(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－3)(2＋3)]100＝1100＝1.(5)∵T r＋1＝(－1)r C r1002100－r(3)r x r，∴a2r－1<0(r∈N＋)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋3)100.10．已知(3x2＋3x2)n展开式中各项系数和比二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解：令x＝1得展开式各项系数和为(1＋3)n＝4n. 又展开式二项式系数和为C0n＋C1n＋…＋C n n＝2n，由题意有4n－2n＝992.即(2n )2－2n －992＝0，(2n －32)(2n＋31)＝0， ∴2n ＝－31(舍去)或2n＝32. 所以n ＝5.(1)因为n ＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，它们是T 3＝C 25(3x 2)3·(3x 2)2＝90x 6.T 4＝C 35(3x 2)2(3x 2)3＝270x 223.(2)设展开式中第r ＋1项的系数最大，又T r ＋1＝C r 5(3x 2)5－r ·(3x 2)r ＝C r 53rx10＋4r3，得⎩⎪⎨⎪⎧C r 5·3r ≥C r －15·3r －1C r5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r 15－r ≥3r ＋1⇒72≤r ≤92. 又因为r ∈N ＋，所以r ＝4，所以展开式中第5项系数最大．T 5＝C 4534x 263＝405x 263.。

2017-2018学年高中数学选修2-3文档：第1章 1-5-1 二

1.5二项式定理1.5.1二项式定理1．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题．(重点)2．利用二项展开式求特定项或项的系数．(难点)3．二项式系数与项的系数的区别与联系．(易混点)[基础·初探]教材整理二项式定理阅读教材P30～P31“例1”以上部分，完成下列问题．1．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)．这个公式叫做二项式定理．2．二项展开式的通项和二项式系数(1)(a＋b)n展开式共有n＋1项，其中C r n a n－r b r叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用T r＋1表示，即T r＋1＝C r n a n－r b r.(2)C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．()(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．()(3)C k n a n－k b k是(a＋b)n展开式中的第k项．()(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．() 【解析】(1)×因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．(2)× 因为二项式的第k ＋1项C k n a n －k b k和(b ＋a )n 的展开式的第k ＋1项 C k n bn －k a k 是不同的，其中的a ，b 是不能随便交换的． (3)× 因为C k n an －k b k是(a ＋b )n 展开式中的第k ＋1项． (4)√ 因为(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数都是C r n . 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√2．(1＋2x )5的展开式的第3项的系数为________，第3项的二项式系数为________. 【导学号：29440022】【解析】 (1＋2x )5的展开式的第3项的系数为C 2522＝40，第3项的二项式系数为C 25＝10.【答案】 40 10[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)用二项式定理展开⎝ ⎭⎪⎫2x －32x 25；(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C n n .【精彩点拨】 (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x ＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．【自主解答】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋…＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 25＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x 10.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k ＋…＋C n n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n .1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．[再练一题]1．(1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式； (2)化简：1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C n n .【解】 (1)法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3 ·1x ＋C 24(3x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4 ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. (2)原式＝1＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n.(1)求二项式⎝ ⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数．【精彩点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．【自主解答】 (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1 ＝C r 6(2x )6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 6·26－r ·x 3－32r， ∴T 6＝－12·x －92.∴第6项的二项式系数为C 56＝6，第6项的系数为C 56·(－1)·2＝－12. (2)T r ＋1＝C r 9x 9－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r， ∴9－2r ＝3，∴r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84.1．二项式系数都是组合数C k n (k ∈{0,1,2，…，n })，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第k ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C k n .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280.[再练一题]2．(1＋2x )n 的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．【解】 T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8. ∴(1＋2x )n 的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4. 设第k ＋1项系数最大，则有⎩⎨⎧C k 82k ≥C k －182k －1，C k 82k ≥C k ＋182k ＋1， ∴5≤k ≤6.∴k ＝5或k ＝6(∵k ∈{0,1,2，…，8})． ∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.[探究共研型]探究1 如何求⎝ ⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项．【提示】利用二项展开式的通项C r 4x 4－r ·1xr ＝C r 4x 4－2r求解，令4－2r ＝0，则r ＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项为C 24＝4×32＝6. 探究2 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的每一项是如何得到的？【提示】 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到．探究3 如何求⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项？【提示】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x 分别与(2x＋1)3展开式中常数项C 33＝1及x 2项C 1322x 2＝12x 2分别相乘再把积相加得x ·C 33＋1x ·C 13(2x )2＝x ＋12x ＝13x .即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项为13x .已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．【精彩点拨】写出通项T r ＋1→令r ＝5，x 的指数为零 →(1)求出n 值→修正通项公式→(2)求x 2项的系数 →考察x 指数为整数→分析求出k 值 →(3)写出有理项【自主解答】通项公式为：T r ＋1＝C r n x n －r 3(－3)r x －r 3＝C r n (－3)r x n －2r 3. (1)∵第6项为常数项，∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10. (2)令10－2r 3＝2，得r ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405.(3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k . ∵r ∈Z ，∴k 应为偶数， k ＝2,0，－2即r ＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236, 295 245x －2.1．求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k 项，T k ＝C k －1n an －k ＋1b k －1； (2)求含x k 的项(或x p y q 的项)； (3)求常数项； (4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．[再练一题]3．(1)在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是________． (2)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________.【导学号：29440023】【解析】 (1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3相乘的结果，∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 26的展开式的通项是T k ＋1＝C k 6x 6－k ·(－a )k x －2k ＝C k 6x 6－3k (－a )k ，令6－3k ＝0，得k ＝2，即当k ＝2时，T k ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知得C 26a ＝60，解得a ＝4. 【答案】 (1)207 (2)4[构建·体系]1．(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．【解析】 x 2y 7＝x ·(xy 7)，其系数为C 78， x 2y 7＝y ·(x 2y 6)，其系数为－C 68，∴x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.【答案】－202．(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)＋1＝________. 【解析】由二项式展开式得，原式＝[(x －1)＋1]5＝x 5. 【答案】 x 53．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式中，中间项是________．【解析】由n ＝6知中间一项是第4项，因T 4＝C 36(2x 2)3·⎝⎛⎭⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3.【答案】－160x 34．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________. 【导学号：29440024】【解析】T k ＋1＝C k 9·(x 2)9－k ·⎝⎛⎭⎪⎫－12x k ＝⎝⎛⎭⎪⎫－12k ·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123·C 39·x 9＝－212x 9，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－212.【答案】 84 －2125．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25的展开式的第三项的系数和常数项．【解】 T 3＝C 25(x 3)3⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第三项的系数为C 25·49＝409. 通项T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·C k 5x 15－5k，令15－5k ＝0，得k ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 23＝8027.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。

高中数学选修2-3二项式定理相关精选题目(附答案)

二项式定理相关精选题目（附答案）(1)二项式定理公式(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n an －k b k ＋…＋C n n b n(n ∈N *)叫做二项式定理．(2)相关概念①公式右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式； ②各项的系数C k n (k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数；③展开式中的C k n an －k b k 叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1，它表示展开式的第k ＋1项；④在二项式定理中，如果设a ＝1，b ＝x ，则得到公式(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C k n x k ＋…＋C n n x n .一、二项式定理1．(1)已知(1＋2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＝________.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 5的展开式为_____________________． (3)若(1＋3)4＝a ＋b 3(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝________.解析 (1)∵T r ＋1＝2r C r 4x r ，∴a 1＝21×C 14＝8，a 2＝22×C 24＝24，a 3＝23×C 34＝32，a 4＝24×C 44＝16，∴a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＝－8.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 5＝C 05(x 2)5＋C 15(x 2)4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋C 25(x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋C 35(x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＋C 45x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 4＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝x 10－5x 7＋10x 4－10x ＋5x 2－1x 5. (3)∵(1＋3)4＝1＋C 14×(3)1＋C 24×(3)2＋C 34×(3)3＋C 44×(3)4＝1＋43＋18＋123＋9＝28＋163，∴a ＝28，b ＝16，∴a ＋b ＝28＋16＝44.答案：(1)－8 (2)x 10－5x 7＋10x 4－10x ＋5x 2－1x 5 (3)44 注：(1)(a ＋b )n 的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是： ①各项的次数都等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .(2)逆用二项式定理，可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的特点靠拢。

高中数学选修2-3(人教B版)第一章计数原理1.3知识点总结含同步练习题及答案

a1 + a2 + ⋯ + a100 = 1 − 2 100 .
（3）令 x = −1 可得 a0 − a1 + a2 − a3 + ⋯ + a100 = 3 100 ⋯ ②，与 ① 式联立相减得
a1 + a3 + ⋯ + a99 =
1 − 3 100 . 2
3.二项式定理的应用描述：二项式定理一般应用在以下几个方面： ①进行近似计算．当 a 的绝对值与 1 相比很小且 n 不大时，常用近似公式 (1 + a)n ≈ 1 + na，因为这时展开式的后面 3 3 n n 很小，可以忽略不计；类似地，有 2 部分 C2 (1 − a)n ≈ 1 − na． n a + Cn a + ⋯ + Cn a ②证明某些整除性问题或求余数；
求证：对一切 n ∈ N ∗ ，都有 2 ⩽ (1 + 解：因为
1 n ) < 3． n
(1 +
1 n 1 1 2 1 3 1 n 1 3 n + C2 ) = C0 n + Cn ⋅ n ⋅ ( ) + Cn ⋅ ( ) + ⋯ + Cn ⋅ ( ) n n n n n 1 n−1 1 n−1 n−2 1 n−1 n−2 1 = 1+1+ ⋅ + ⋅ +⋯+ ⋅ ⋅ ⋯ . n n n n n n 2! 3! n!
= 120
（1）展开式的第 4 项的二项式系数为 C3 10 = 120． 3 （2）展开式的第 4 项的系数为 C10 ⋅ (−2)3 = −960 ． 3 4 4 （3）展开式的第 4 项为：T4 = C3 10 ⋅ (−2) ⋅ x = −960x ．二项式 (x − y)11 的展开式中二项式系数最大的项为（） A．第 3 项 B．第 6 项 C．第 6 、7 项 D．第 5 、7 项解：C 展开式共有 12 项，故中间两项即第 6 、 7 项的二项式系数相等，且最大．

数学人教A版选修2-3知识导航：1.3二项式定理含解析精品

1.3 二项式定理知识梳理1.二项式定理（1）(a+b)n =___________（n ∈N *）.（2）(a+b)n 的展开式中共有___________项，其中各项的系数r n C (r=0,1,2, …,n)叫做___________.式中的r n C a n-r b r 叫做二项展开式的___________.它是展开式中的第_________项.（3）(a-b)n =___________;(1+x)n =___________.2.“杨辉三角”与二项式系数的性质（1）对称性：在(a+b)n 的展开式中，___________的两项的二项式系数相等.（2）增减性与最大值：当r ＜21+n 时,二项式系数是逐渐___________的，由对称性可知它的后半部分是逐渐___________的,且在中间取到最大值.当n 是偶数时,中间一项的二项式系数___________取得最大值;当n 是奇数时,中间两项的二项式系数___________相等,且同时取到最大值.3.各二项式系数的和n nn n n C C C C +++210=_________________. +++=+++531420n n n n n n C C C C C C …=________________.知识导学学习二项式定理首先要记住二项式(a+b)n 的展开式，应该了解展开式各项的如下两个特征：①每一项次数之和为n,②a 按降幂排列，从n 到0次;b 按升幂排列，从0次到n 次.其次要掌握二项式展开式的应用要理解二项式的展开式的通项.在二项式定理中，对a 、b 赋予不同的值，就得不同形式的组合恒等式，在多项展开式中，系数的和也常用赋值法来求.同时要注意逆向思维的培养，掌握二项式定理的逆用. 疑难突破1.如何正确区分二项展开式中某一项的二项式系数与系数的概念？剖析：两者是不同的概念.r n C (r=0,1,2, …,n)叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中除字母外的部分.如（1+2x ）7的二项展开式的第4项的二项式系数为37C =35.而其第4项的系数为37C ·23=280.2.如何用组合的知识理解二项式定理？剖析：由于(a+b)n =个n b a b a b a )())((+++,将(a+b)看作是含有红（a ）、白（b ）两球的盒子，则(a+b)n 的展开式的每一项可以理解为从n 个盒子中每一个盒子取出一个球的可能结果，而其前面的系数则是这种结果的方法数，如a n-r b r 是从这n 个盒子中取出r 个（b ）白球、(n-r)个红球的情况，其方法数为r n C ，因此有(a+b)n =n n n r r n r n n n n n b C b a C b a C a C +++++-- 110.3.如何理解赋值法在证明二项式系数的三条性质中的运用？剖析：事实上，二项式定理给出的是一个恒等式，对于a 、b 的一切值都成立，因此对一些特定的值也成立.对a 、b 赋予一些特定的值是解决二项式问题的一种重要思想方法.赋值法是从函数的角度来应用二项式定理，即函数f(a,b)=(a+b)n =n n n r r n r n n n n n b C b a C b a C a C +++++-- 110,对a 、b 赋于一定的值，就能得到一个等式.。

人教版高二数学选修2-3第一章第三节《二项式定理》教案学案含答案

§1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。

【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。

【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。

如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。

问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。

人教版高数选修2-3第3讲：二项式定理(教师版)

二项式定理__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.熟练掌握二项式定理的有关概念.2.利用二项式定理解决三项以上的展开式问题.3.理解二项式系数与展开式系数的区别.4.利用二项式定理证明不等式.1.二项式定理的概念:011*();n n r n r rn nn n n n C a C a b C a b C b n --+++++∈N 这个公式就叫做二项式定理,右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式；它一共有n +1项，其中r n rr n C ab -叫做二项展开式的通项.注意:(1)展开式共有n+1项.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n.(3)字母a 的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到为0，字母b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.2.展开式中二项式系数的性质:(1)m n mn n C C -= (2)11m m mn n n C C C -++=(3)当12n r -<时，1;r r n n C C +<当12n r ->时，1r rn n C C +< (4)01nn n n C C C +++2n =类型一.二项式定理的有关概念例1：有二项式102)3x. (1)求展开式第4项的二项式系数； (2)求展开式第4项的系数； (3)求第4项.[解析] 102)3x 的展开式的通项是10110r r r T C -+=⋅2()(0,1,,10).3r r x-=(1)展开式的第4项的二项式系数为(2)310120.C =(2)展开式的第4项的系数为3731023()3C ⋅⋅-=77760.-(3)展开式的第4项为：731()x-⋅=-练习1：在24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A.3项 B.4项C.5项D.6项[答案] C[解析] 72524612424.rr rr rr T C C x --+=⋅⋅=⋅所以7256r -为正整数,而r ∈[0，24]，所以r=0，6，12，18，24共5项，类型二.二项式系数的特点及性质例2：已知1(2)2n a +的展开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项.[解析] 因为4652,n n n C C C +=所以!!4!(4)!6!(6)!n n n n +--2!.5!(5)!n n =-即221980,n n -+=解得n =14或7.当n =14时，第8项的二项式系数最大，778141().2T C =⋅77(2)3432.a a =当n =7时，第4项与第5项的二项式系数最大.343343447571351()(2),()(2)222T C a a T C a =⋅⋅==⋅⋅470.a =练习1：282()x x+的展开式中x 4的系数是( )A .16B .70C .560D .1120[答案] D[解析] 设含x 4的为第281821,()()rrr r r T C x x-++==416382,1634,r r C x r --=所以r=4,故系数为4482C =1120.类型三.二项式定理的基本应用例3：求二项式210(x 展开式中的常数项.[解析]210(x 的第r +1项为52020211101()()(0,2rr rr rr r T C x C xr --+=⋅=⋅=1,令5200,2r -=得r =8.所以88910145().2256T C =⋅=所以第9项为常数项，为45.256 练习1：在二项式251()x x-的展开式中,含x 4的项的系数是( )A .-10B .10C .-5D .5[答案] B[解析] 对于25151()()(1)rrr r r T C x x-+=-=-⨯1035r r C x -,对于10-3r=4,r=2,则x 4的项的系数是225(1)10.C -=类型四.二项式定理的综合应用例4：利用二项式定理证明对一切*,n ∈N 都有12(1) 3.nn≤+<[解析] 因为01223111(1)()n n n n n C C C C n n n +=+⋅+⋅+⋅2111()()112!nn n C nn ++⋅=++⋅11()3!n n -+⋅121121()()()()().!n n n n n n n n n n----+⋅ 所以111112(1)222!3!!12n n n ≤+<++++<++⋅．．．1112(1)23(1)2n n ++=+-+⋅-11()23-++111()33,1n n n-=-<- 仅当n=1时，1(1)2;nn+=当n ≥2时，12(1)nn<+ 3.<练习1：(12)nx +的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.[解析] 556667(2),(2)n n T C x T C x ==，依题意，有556622,n n C C =解得n =8.所以8(12)x +的展开式中，二项式系数最大的项为5T 4448(2)1120.C x x =⋅=设第r +1项系数最大，因为各项系数大于零，所以有1188118822,22,r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩解得5≤r ≤6.所以r =5或r =6(因为r ∈{0，1，2，…，8}).所以系数最大的项为6T =5671792,1792.x T x =1.在()nx y +展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )A.第6项B.第5项C.第5、6项D.第6、7项[答案] Ａ2.11(1)x -展开式中偶数项的系数和为( ) A.102 B.102-C.112D.1121-[答案] Ｂ３.若n的展开式中存在常数项，则n 的值可以是( ) A.8B.9C.10D.12[答案] Ｃ４.234(1)x x x +++的展开式中奇次项系数的和是( )A.64B.120C.128D.256[答案] Ｃ５.6(2)x +的展开式中x 3的系数是( ) A .20B .40C . 80D .160[答案] Ｄ６.921()x x -的展开式中的常数项是( ) A.39C B.39C -C.29CD.29C -[答案] Ｂ7.10()x y -的展开式中,73x y 的系数与37x y 系数之和等于______. [答案] －2408.在323(1)(1(1x ++++的展开式中,x 的系数为______.(用数字作答)[答案] 7__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________基础巩固1.若4(1a =+(a ,b 为有理数),则a +b =( )A .53B .29C .23D .19[答案] Ｂ 2.3821()2a b -的展开式中所有项系数总和是( ) A .28B.812 C .0 D .1[答案] Ｂ3.21()n x x-的展开式中,常数项为15,则n =( ). A .3B .4C .5D .6[答案] Ｄ4.若31(2)n a a+的展开式的常数项是第7项,则正整数n 的值为( ) A .7B .8C .9D .10[答案] Ｂ5.若32(4)na b +的展开式中有一项是128.ma b 则m ，n 的值分别为________.[答案] 17920,86.(2015北京)在()52x +的展开式中，3x 的系数为_______．（用数字作答）[答案] 407.(2015福建)()52x +的展开式中，2x 的系数等于_______．（用数字作答） [答案] 808.已知n 的展开式中偶数项的二项式系数的和比2()na b +的展开式中奇数项的二项式系数的和小120，求第一个展开式中的第三项.[答案] 2()n a b +的展开式中奇数项的二项式系数的和为212,n -n的展开式中偶数项的二项式系数的和为12.n -依题意，有12122120,n n --=-即2(2)22400.n n --=解得216n =或215n=-(舍去).所以n =4.于是，第一个展开式中的第三项为22234T C =6=能力提升１.(2015高考新标)25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )A ．10 B.20 C.30 D.60[答案] C２.(2015安徽)371()x x+的展开式中5x 的系数是__________.（用数字填写答案） [答案] 353.若(31)nx +的展开式中各项系数的和是256，则展开式中2x 的系数为________. [答案] 544.若32(1)1,n nx x ax bx nx +=+++++且a ：b =3：1，那么n =________.[答案] 11５.(2015陕西)二项式(1)()nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】 C6.若22012(1)n x x a a x a x ++=++++220242,n n n a x a a a a ++++则等于（）A .2nB.312n -C.12n +D.312n +[答案] Ｄ7.29928(3281)(572)x x x x +--+的展开式的常数项是( ).A .0B .2C .-2D .-28[答案] Ｄ8.(1)求7(12)x +展开式中系数最大的项;(2)求(1-2x )7展开式中系数最大的项.[答案] 利用展开式的通项公式,得到系数的表达式,进而求出其最大值, (1)设第r +1项系数最大,则有1177117722,22,r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩①②即117!7!22,!(7)!(1)!(71)!7!7!22,!(7)!(1)!(71)!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅≥⋅⎪---+⎪⎨⎪⋅≥⋅⎪-+--⎩即21,812,71r r r r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩解得16,313.3r r ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩又07,,5r r N r ≤≤∈∴=.∴系数最大的项为555565172672.T T C x x +==⋅⋅=(2)展开式共有8项,系数最大项必为正项,即在第1,3,5,7这4项中取得,又因(1-2x )7括号内的两项中,后项系数绝对值大于前项系数绝对值,故系数最大项必在中间或偏右,故只须比较T 5和T 7两项系数的大小即可.∵443577661777(2)1,(2)4T C C T C C ⋅-==>⋅-⨯系数系数 ∴系数最大的项是第五项,44457(2)560.T x x C =-=课程顾问签字：教学主管签字：。

高中数学全套讲义选修2-3 二项式定理提高学生版

目录考点一：二项式定理 (2)题型一：求展开式及展开式系数 (4)课后巩固练习 (5)考点一：二项式定理二项式定理内容：()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理．二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=．二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ．几点需注意的问题：①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rnC b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r rr n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr rn nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,nn n n nC C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ．当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n mn nC C -=得到． ②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．，()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1kn n n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1nn C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2nn C ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r nn n n n n n C C C C C ++++++=．④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．题型一：求展开式及展开式系数1．（2018春•福建期中）已知函数23*123()(n n f x a x a x a x a x n N =+++⋯+∈，)x R ∈，且对一切正整数n 都有f （1）2n =成立，则12231111(n n a a a a a a +++⋯+= ) A ．21nn +B ．221n n +C ．221n n + D ．1(21)n n +2．（2018春•靖远县期末）38(2)(1x -+的展开式中不含4x 项的各项系数之和为( ) A ．26- B ．230 C ．254 D ．282 3．（2018春•香洲区校级月考）已知02012(1)(2)(2)(2)(2)(2n n n i b i b i b i b i n -+=-++-++-++⋯+-+，i 为虚数单位，又数列{}n a 满足：当1n =时，12a =-；当2n ，n a 为22(2)b i -+的虚部．若数列2{}na -的前n 项和为n S ，则2018(S = )A ．20172018B ．20182017C ．40352018D ．403320174．（2018秋•浉河区校级月考）已知不等式201x ax +<+的解集为(2,1)--，则二项式621()ax x-展开式的常数项是( ) A ．15-B ．15C ．5-D ．55．（2018春•和平区校级月考）若等式2018220180122018(21)x a a x a x a x -=+++⋯+对于一切实数x 都成立，则0122018111(232019a a a a +++⋯+= )A ．14038B ．12019C ．22019D ．06．（2018•金山区二模）若对任意1(,1)2x ∈-，都有2012212n n xa a x a x a x x x =+++⋯++⋯+-，则23a a +的值等于( ) A ．3B ．2C ．1D ．1-7．（2018春•海安县校级月考）设无穷等差数列{}n a 的首项为4，公差为*()d d N ∈．m 为数列{}n a 的项．（1）求证：当3d =时，(m x的展开式中不含常数项；（2）求d 的值的集合，使得对于一切m ，(m x的展开式中均不含常数项．课后巩固练习1．（2019春•大武口区校级期中）在54(4)x x+-的展开式中3x 的系数是．（用具体数作答）2．（2019•三明模拟）25(21)x x +-的展开式中，3x 的系数为．3．（2019•闵行区校级模拟）二项式82)x 的展开式中的常数项为．4．（2019春•淮安期末）61()2x x-的二项展开式中的常数项是（用数字作答）． 5．（2019春•江阴市期中）3321-除以9以后的余数为．6．（2018•上城区校级模拟）设1021001210)x a a x a x a x +=+++⋯+，则2a = ，22024101359()()a a a a a a a a +++⋯+-+++⋯+的值为．7．（2018•宝山区校级模拟）二项展开式7(23)x +中，在所有的项的系数、所有的二项式系数中随机选取一个，恰好为奇数的概率为．8．（2018春•新吴区校级期中）已知数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，则012617273777a C a C a C a C -+-⋯-的值为（用数字作答）．。

人教版A版高中数学选修2-3：二项式定理_课件21

【例2】若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6. 【自主解答】所求结果与各项系数有关，可以考虑用“特殊值”法，整体解决．
(1)令x＝0，则a0＝－1；令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.① ∴a1＋a2＋…＋a7＝129.
(3)由题意知100≤－3r≤2r∈ 10Z
.
r∈Z
令10－3 2r＝k(k∈Z)，则 10－2r＝3k，
即 r＝5－32k，∵r∈Z，∴k 应为偶数， ∴k＝2,0，－2，即 r＝2,5,8. ∴第 3 项，第 6 项，第 9 项为有理项，它们分别为 405x2，－61 236,295 245x－2.
二项式定理
1.能用计数原理证明二项式定理. 考纲解读
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
主干知识整合
要点梳理
一、二项式定理 (a＋b)n＝ C0nan +C1nan1b Crnanrbr Cnnbn (n
∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项
式叫(a＋b)n 的二项展开式．
2．应用二项式定理的两种思路二项式定理是一个恒等式，使用时有两种思路：一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数分别相等)；二是赋值．二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解．
3．二项式系数的最值问题对于二项式系数的最大值、最小值问题，有时应对n的奇偶性进行讨论才有定论．
【典例】(2012·长春模拟)(1＋x3)x＋x126 展开式中的常数项为________．
【审题指导】 (1)从考点上：本题考查的是二项式定理的通项公式．

选修2-3第02讲二项式定理

第2讲二项式定理A 组一、选择题1．在（x 10的展开式中，6x 的系数是（）A ．－27510CB ．27410C C ．－9510CD ．9410C 【答案】D 【解析】通项T r ＋1＝10r C x 10－r）rr10rC x10－r.令10－r ＝6，得r ＝4.∴x 6的系数为9410C2．在二项式1()n x x-的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是（ ).A ．－56B ．－35C ．35D ．56 【答案】A 【解析】第5项的二项式系数是4n C ，因为是只有，所以8n =，那么含2x 项的系数是3558156C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故选A.3．若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A ．90B ．45C ．120D ．180【答案】D 【解析】因为22n x ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，故10n =，1022x ⎫⎪⎭展开式的通项公式为5521102r r rr T C x-+=⋅⋅令5502r-=，得2r =，所以展开式中的常数项是22102180C ⋅=，故选D ．4．3nx ⎫+⎪⎭的展开式中，各项系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，且72A B +=，则展开式中常数项为（）A.6B.9C.12D.18 【答案】B 【解析】由二项展开式的性质，可得4,2n nA B ==，所以4272n n A B +=+=，所以3n =，因为3nx ⎫+⎪⎭展开式的通项为332133()3rrr r rr T C C x x --+==，令3302r -=可得1r =，常数项为12339T C =⨯=，故选B.5．已知221)a ex dx π-=⎰，若2016220160122016(1)()ax b b x b x b x x R -=++++∈，则20161222016222b b b +++的值为（）A ．0B ．-1C ．1 D ．e 【答案】B【解析】 ()222-211111)422a ex dx ex dx πππππ-==-=⋅⋅=⎰⎰⎰.即2016(12)x -.令0x =，得01b =，令12x =，得20161222016011222b b b +++=-=-. 6．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=,0,,0,)1()(6x x x x x x f 则当0>x 时，)]([x f f 表达式的展开式中常数项为（）A ．－20B ．20C ．－15D ．15【答案】A 【解析】因为0x >时，所以[()]f f x (6f ⎛== ⎝，)]([x f f 展开式的通项为()63161rr rr T C x --+=-，令30,3r r -==，)]([x f f 表达式的展开式中常数项为()6336120C --=-，故选A.二、填空题7．设()sin cos a x x dx π=+⎰，则二项式6的展开式中含2x 项的系数____________．【答案】1 【解析】因r r rr r r r r x a C x a xC T 652623661)1()1(---+-=-=,由题设可得2652=-r ,即0=r ,所以2x 项的系数为1)1(0061=-=+aC T r ,故应填1．8．若⎰=-mdx x 16)12(，则二项式m x 3)21(-的展开式各项系数的和为_______．【答案】1- 【解析】 ⎰=-mdx x 16)12(，⎰=---=-=-∴mmm m x x dx x 12126)11()()()12(，62=-∴m m ，又1m >，3m ∴=，令1=x ，则二项式m x 3)21(-的展开式各项系数的和为1)21(9-=-．9．已知(1)nx +的二项式展开式中第4项和第8项的二项式系数相等，则n = .【答案】10【解析】73n n C C =，所以10=n ，故填：10.10．()62112x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为____________．【答案】60【解析】()62112x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项就是6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项与1x -的项系数之和.可求得6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是60，6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的1x -的项系数是不存在的，故答案填60.11．()62112x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 的展开式的常数项为．【答案】60【解析】常数项为24462(1)60C -=12．已知7270127()x m a a x a x a x -=++++的展开式中4x 的系数是－35，则1237a a a a ++++＝ .【答案】1 【解析】∵7270127()x m a a x a x a x -=++++ ，∴()70a m =-．又展开式中4x 的系数是－35，可得()34735C m -=-，∴m=1．∴01a =．在7270127()x m a a x a x a x -=++++ ①，令x=1，m=1时，由①可得12701a a a =++++，当x=0，m=1时，01a =-，即1271a a a +++=13．二项式91()2x x+展开式中，3x 项的系数为．【答案】221【解析】99219911()()22r r r r r r r T C x C x x --+==，所以由9233r r -=⇒=得系数为339121()22C = 14．若2621201212(1)x x a a x a x a x ++=++++，则2412a a a +++=__________．【答案】364【解析】令0=x ，则10=a ；1=x ，则6122103=++++a a a a ；令1-=x ，则112210=+-+-a a a a ，两式相加，得13)(261220+=+++a a a ，所以2412a a a +++=364.15．若()()20152201520160122015201612x x a a x a x a x a x +-=+++++，则2420142016a a a a ++++等于_____________．【答案】201512-【解析】因为()()20152201520160122015201612x x a a x a x a x a x +-=+++++，所以当1x =-时，012201520160a a a a a =-++-+,当1x =时,012201520162a a a a a =+++++,两式相加可得024*********a a a a a +++++=，当x =时,20152015024201420162.12a a a a a =∴++++=-,故答案为201512-．三、解答题 16．已知(2nx+的展开式前两项的二项式系数之和为10．（1）求n 的值．（2）求出这个展开式中的常数项．【解析】（1）∴1010=+n n C C 即9=n（2） (2n x展开式的通项2312)1()2(rn rn r n r r n r n r x C x x C T ---+== ∴令023=-rn 且9=n 得6=r ∴(2nx+展开式中的常数项为第7项，即672269697=⋅=-C T 17．求291()2x x-展开式的：（1）第6项的二项式系数；（2）第3项的系数；【解析】（1）第6项的二项式系数为C 95126=；（2）T C x xx 39227212129=⋅⋅-=()()，故第3项的系数为9； 18．已知n x )221+（，（1）若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．【解析】（1）通项T r ＋1＝C r n 12⎛⎫⎪⎝⎭n －r ·（2x ）r ＝22r －n C r n x r，（此题可以用组合数表示结果）由题意知4C n ，5C n ，6C n 成等差数列， ∴52C n ＝46C C n n +，∴n＝14或7.当n ＝14时，第8项的二项式系数最大，该项的系数为22×7－14714C ＝3 432；当n ＝7时，第4、5项的二项式系数相等且最大，其系数分别为22×3－737C =352，22×4－747C =70. （2）由题意知012C C C n n n ++＝79，∴n＝12或n ＝－13（舍）． ∴T r ＋1＝22r －1212C rx r . 由2122(1)12112122122(1)12112122C 2C ,2C 2C ,r rr r r r r r -----+-+⎧≥⎪⎨≥⎪⎩得525475r r ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩∴r＝10.∴展开式中系数最大的项为T 11＝22×10－12·1012C x 10＝332（2x ）10. 19．若41nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（1）求n 的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？【解析】（1）由1322n nn C C C += ，3n ≥（）得：(1)(2)(1)262n n n n n n ---+=⨯；化简得：29140n n -+= ，解得：72n n ==，或（舍），因此，7n = （2）由321117422177()()r r rrrr T x x xCC ---+=⋅⋅=⋅ ，(,07)r N r ∈≤≤且当2111=02r -时，2111r N =∉ ，所以此展开式中不存在常数项．20．求nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-325225的展开式中的常数项，其中n 是017777-除以19的余数．【解析】将017777-变形为()7776110+-，借助以二项展开式可得到余数为10，从而得到nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-325225的展开式的通项公式，由x 的次数为0可得到常数项 ()9760117601777777-=-+=-m 除以19的余数是10，所以10=n ．设1+r T 是展开式中的常数项，则10351010321010152255225---+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=r r rr r rr r x C x x C T令01035=-r 得6=r ，所以51685225646107=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=C T ．所以展开式中的常数项为5168． 21．（1）若(1)nx +的展开式中，3x 的系数是x 的系数的7倍，求n ；（2）已知7(1)(0)ax a +≠的展开式中, 3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项,求a ；（3）已知lg 8(2)x x x +的展开式中,二项式系数最大的项的值等于1120,求x .【解析】（1）3x 的二项式系数是3n C ，x 的二项式系数是1n C .依题意有317,n n C C =(1)(2)7.3!n n n n --=即23400,n n --=整理，得8.( 5.)n n ==-解得舍去（2）依题意，得5234437772,C a C a C a +=即243213570,a a a +=0a ≠，251030.a a ∴-+=11a a =-=解得（3）依题意得44lg 48(2)()1120,x C x x =4(1lg )1,x x +=即即 2lg lg 0,x x += 解得lg 0x =，或lg 1,x =- 所以1110x x ==或. 22．已知nmx x x f )31()1()(+++= （*∈N n m 、）的展开式中x 的系数为11．（1）求2x 的系数的最小值；（2）当2x 的系数取得最小值时，求)(x f 展开式中x 的奇次幂项的系数之和．【解析】（1）由题意得：11311=+n m C C ，即：m+3n=11．x 2的系数为：19)2(9553692)1(92)310)(311(2)1(92)1(322222+-=+-=-+--=-+-=+n n n n n n n n n m m C C n m当n=2时，x 2的系数的最小值为19，此时m=5（2）由（1）可知：m=5，n=2，则f （x ）=（1+x ）5+（1+3x ）2设f （x ）的展开式为f （x ）=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 5x 5令x=1,则f （1）=a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5 令x=-1,则f （-1）=a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5 则a 1+a 3+a 5=2)1()1(--f f =22,所求系数之和为22B 组一、选择题1．设n N +∈,则12233555......5n nn n n n C C C C ++++除以7的余数为（）A ．0或5B ．1或3C ．4或6D ．0或2 【答案】A 【解析】12233555......5n n n n n nC C C C ++++=0122330555......5n n n n n n n nC C C C C C +++++-(15)1n =+-(71)1n =--7(1)1,n M M z =+--∈，当n 为奇数时，余数为5，当n 为偶数时，余数为0,选A.2．51()(21)ax x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（） A ．-20 B ．-10 C ．10 D ．20【答案】C 【解析】令1x =，可得各项系数和为5(1)(21)12a a +-=+=，所以1a =．所以555111()(21)()(21)()(12)ax x x x x x x x x+-=+-=-+-，5(12)x -的展开式的通项公式为155(2)(2)k k k k k k T C x x C +=-=-，当1k =时，125(2)10T C x x =-=-；所以展开式的常数项为1(10)10x x-⨯-=． 3．已知5511ax bx a b ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中含2x 与3x 的项的系绝对值之比为1:6，则22a b +的最小值为（）A ．6B ．9C ．12D ．18【答案】C 【解析】5511()()ax bx a b+-+的展开式中含2x 项的系数为232232551110()()()b a C a C b a b ab--=，含3x 的项的系数为3233235511()()10()C a C b a b a b -=-，则由题意，得10()110()6b a ab a b -=-，即6ab =，则2222212a b a b ab +=+≥=，故选C.4．若（2x ＋3）4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则（a 0＋a 2＋a 4）2－（a 1＋a 3）2的值为【答案】1 【解析】令1x =得(4012342a a a a a ++++=+，令1x =-得(4012342a a a a a -+-+=-，所以所求式子转化为()()((440123401234221a a a a a a a a a a -+-+++++=+-+=5．已知2n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（）A ．3B ．4C ．6D ．7 【答案】A 【解析】由题意得，二项展开式中，令1x =，则223(1)41n n +=，即各项系数的和为24n，二项展开式中，二项式系数的和为22n，即224642nn =，解得3n =，故选A ．6．在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为（） A ．10 B ．-10 C ．40 D ．-40【答案】D 【解析】251(2)x x -展开式通项公式为()()5251031551221rr r r r rr r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令10313r r -=∴=，系数为()335352140C --=-7．42()(1x x +的展开式中x 的系数是A ．1B ．2C ．3D ．12 【答案】C 【解析】根据题意，式子的展开式中含x 的项有4(1-展开式中的常数项乘以2x x+中的x以及4(1展开式中的含2x 的项乘以2x x +中的2x两部分，所以其系数为2113⋅+=，故选C ．8．已知()23012331nn n x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+（n *∈N ），设()31nx -展开式的二项式系数和为n S ，123n n a a a a T =+++⋅⋅⋅+（n *∈N ），n S 与n T 的大小关系是（）A ．n n S >TB ．n n S <TC ．n 为奇数时，n n S <T ，n 为偶数时，n n S >TD ．n n S =T 【答案】C【解析】令1x =得0122n n n S a a a a =++++=，令0x =得0(1)n a =-，所以1230(1)n n n n n T a a a a S a S =+++⋅⋅⋅+=-=--，所以当n 为偶数时，1n n n T S S =-<，当n 为奇数时，1n n n T S S =+>，故选C.二、填空题9．若20202210482)12()13(x a x a x a a x x x ++++=-⋅+- ，则a 2= ．【答案】476 【解析】 28(31)xx -+的通项公式为2818(3),6rr r T C x x r -+=-=时，7,)1()3(226822687=-=-=r x x C x x C T 时，.),3(889788C T x x C T =-=由于.)1()1()2()1()2()1()2()2()12(4443134222413144044-+-⋅+-⋅+-⋅+=-C x C x C x C x C x 所以原式的二次项为.476)1()2()1()2()3(92222433478278268x x C x C x C x C x C =-⋅+-⋅⋅⋅-+⋅+⋅⋅故.4762=a10．6x⎛- ⎝ 的二项展开式中的常数项为______.【答案】15【解析】展开式的通项公式为()362161r rr r T C x-+=-，令36042r r -=∴=，常数项为()446115C -= 11．()1021x x -+展开式中3x 项的系数为______．【答案】210- 【解析】 ()1021x x -+102)](1[x x -+=的展开式的通项公式为r rm x x C T )(2101-=+，对于rx x )(2-通项公式为m m r mr m x x C T )(221-=-+，令322=+m r 得3,31,1====m r m r 或．()1021x x -+的展开式3x 系数为210)1()1(33310321102-=-⋅+-⋅C C C C ．12．在)3n的展开式中，x 的整数次幂的各项系数之和为．【答案】422n n+【解析】rn r r nr x C T -+⨯=3)(211，x 的整数次幂的各项系数之和为2242)31()31(nn n n +=+-++.13．已知55104)1()1()1)(2(++⋅⋅⋅+++=-+x a x a a x x ，则=++531a a a ______.【答案】1 【解析】由题意得，令0x =，得0123452a a a a a a +++++=，令2x =-，得0123450a a a a a a -+-+-=，两式相减，得1352()2a a a ++=，所以1351a a a ++=.14．若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为________．【答案】2 【解析】26()bax x +展开后第k 项为kk k k k k k xb a C xb ax C 315171-61721-6)()(-----=，其中3x 项为4=k ，即第4项，系数为3320b a ，即1202033=⇒=ab b a ，2222=≥+ab b a ，当且仅当1==b a 时22a b +取得最小值2. 15．在62()2x x-的二项展开式中，2x 的系数为___________．【答案】38-【解析】因为62631662()()(1)22rr r rr r rr x T C C x x ---+=-=-，所以由32r -=得1r =，因此2x的系数为1463(1)28C --=-16．的展开式中23x y 的系数是____________．【答案】20-【解析】由二项式定理可知：()511252r rr r T C x y -+⎛⎫ ⎪⎝-⎭=，要求解的展开式中23x y的系数，所以3r =，所求系数为：()233222051C ⎛⎫ ⎪⎝⎭-=-．17．设n a （2n ≥，*n N ∈）是(3n x -的展开式中x 的一次项系数，则23182318333a a a +++= ．【答案】17 【解析】∵n a （2n ≥，*n N ∈）是(3)n x -的展开式中x 的一次项系数，∴223n n na C -=， ∴23182318333a a a +++=231816232323(1)3(1)3(1)n n n n n n ⨯⨯⨯+++---18181821321718=+++⨯⨯⨯111118(1)1722318=-+--=，故答案为：1718．61(2)x x-的展开式中常数项是___________. 【答案】-160 【解析】常数项为333461(2)()160T C x x=-=-.三、解答题19．已知()727012712x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，求：（1）127a a a ++⋅⋅⋅+；（2）()()2202461357a a a a a a a a +++-+++．【解析】（1）当1x =时，()()7712121x -=-=-，展开式变为01271a a a a +++⋅⋅⋅+=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a ++⋅⋅⋅+=--=-，（2）由展开式知：1a ，3a ，5a ，7a 均为负，0a ，2a ，4a ，6a 均为正，令1x =，01271a a a a +++⋅⋅⋅+=- ①令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②∴()()2202461357a a a a a a a a +++-+++()()0123456701234567a a a a a a a a a a a a a a a a =+++++++-+-+-+-77133=-⨯=-20．已知n二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3（1）求n 的值；（2）求展开式中3x 项的系数（3）计算式子01231010101010102481024C C C C C -+-++的值．【解析】（1）由第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3，可得3283n n C C =，化简可得2833n -=，求得10n =．（2）由于n 二项展开式的通项公式为5110(2)r r rr T C x -+=-，令53r -=，求得2r =，可得展开式中3x 项的系数为2210(2)180C -=．（3）由二项式定理可得105100(2)n r r rr C x -==-∑，所以令x=1得01231010101010102481024C C C C C -+-++10(12)1=-=. 二项式定理的应用；二项式系数的性质．3131n C ii nmn C =∴=+∑． 32015132015201512016C ii mC=∴=+=∑．21．在20122212122(1)n r rn n n nnn n n n n x x D D x D x D x D x D x --++=+++++++的展开式中，把0122nn n n n D D D D ，，，，叫做三项式系数．（1）当2=n 时，写出三项式系数0123422222D D D D D ，，，，的值；（2）类比二项式系数性质11C C C m m m n nn -+=+(1,)m n m N n N ∈∈≤≤，，给出一个关于三项式系数11(121,,)m n D m n m N n N ++-∈∈≤≤的相似性质，并予以证明；（3）求0011222014201420152015201520152015201520152015201520152015201520152015C C C C C C (1)-+-+++--kkk D D D D D D 的值．【解析】（1）因为22(1)x x ++1232234++++=x x x x ，所以123214232221202=====D D D D D ，，，，．（2）类比二项式系数性质11C C C m m mn nn -+=+(1,)m n m N n N ≤≤∈∈，，三项式系数有如下性质：1111,(121).m m m m n nn n D D D D m n +-++=++≤≤- 因为2122(1)(1)(1)n n x x x x x x +++=++⋅++，所以()121+++n x x ()21x x ++=()nn n n n n n n n x D x D x D x D D 2212122210+++++⋅-- ．上式左边1m x +的系数为11m n D ++,而上式右边1m x+的系数为11m m m n n n D D D +-++,由2122(1)(1)(1)n n x x x x x x +++=++⋅++为恒等式,得1111,(121).m m m m n nn n D D D D m n +-++=++≤≤- 220152015(1)(1)x x x ++⋅-()⨯+++++=x D x D x D x D D 403020154029402920152220151201502015 ()2015201520142015201232015201322015201412015201502015C x C x C x C x C x C-+-+-其中2015x 系数为001122332014201420152015201520152015201520152015201520152015201520152015C C C C C C D D D D D D -+-++-，又22015201532015(1)(1)(1),x x x x ++⋅-=- 而二项式32015(1)x -的通项3201512015C ()rr r T x -+=，因为2015不是3的倍数,所以32015(1)x -的展开式中没有2015x 项，由代数式恒成立，得001122332014201420152015201520152015201520152015201520152015201520152015C C C C C C D D D D D D -+-++-0=．。

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二项式定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r所表示的规律叫做二项式定理．2、相关概念(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式．(2)各项的系数C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数．(3)展开式中的C r n a n－r b r叫做二项展开式的通项，记作：T r＋1，它表示展开式的第r＋1项．(4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝C0n＋C1n x＋C2n x2＋…＋C r n x r＋…＋C n n x n3、展开式具有以下特点(1)项数：共有n＋1项；(2)二项式系数：依次为C0n，C1n，C2n，…，C r n，…，C n n；(3)每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂、b的升幂排列展开；(4)通项是第r＋1项．[例1](1)用二项式定理展开(2x－32x2)5.(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)r C r n(x＋1)n－r＋…＋(－1)n C n n.[思路点拨](1)二项式的指数为5，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．[答案](1)(2x－32x2)5＝C05(2x)5＋C15(2x)4·(－32x2)＋…＋C55(－32x2)5＝32x5－120x2＋180x－135x4＋4058x7－24332x10.(2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C r n(x＋1)n－r(－1)r＋…＋C n n(－1)n＝[(x ＋1)＋(－1)]n＝x n.1．求(3x＋1x)4的展开式．解：法一：(3x＋1x)4＝C04(3x)4＋C14(3x)3·1x＋C24(3x)2·(1x)2＋C34(3x)(1x)3＋C44(1x)4＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.法二：(3x ＋1x)4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 2．求C 26＋9C 36＋92C 46＋93C 56＋94C 66的值．解：原式＝192(92C 26＋93C 36＋94C 46＋95C 56＋96C 66) ＝192(C 06＋91C 16＋92C 26＋93C 36＋94C 46＋95C 56＋96C 66)－192(C 06＋91C 16) ＝192(1＋9)6－192(1＋6×9)＝192(106－55)＝12 345. [例2] (1)(x ＋12 x)8的展开式中常数项为( ) A.3516 B.358 C.354D ．105(2)设二项式(x －a x)6(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________． [答案] (1)二项展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8(x )8－r (12 x)r ＝C r 8(12)r x 4－r. 当4－r ＝0时，r ＝4，所以展开式中的常数项为 C 48(12)4＝358.故选B. (2)由题意得T r ＋1＝C r 6x6－r (－a x)r ＝(－a )r C r 6x 36-2r， ∴A ＝(－a )2C 26，B ＝(－a )4C 46.又∵B ＝4A ，∴(－a )4C 46＝4(－a )2C 26，解之得a 2＝4.又∵a >0，∴a ＝2. 3．在(2x 2－1x )5的二项展开式中，x 的系数为( )4．A ．10B ．－10C ．40D ．－40解析：二项式(2x 2－1x )5的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r (－1x)r ＝C r 5·25－r ×(－1)r x 10－3r .当r ＝3时含有x ，其系数为C 35·22×(－1)3＝－40.4．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中，若x 5与x 6的系数相等，则n ＝ ( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：二项式(1＋3x )n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n 1n －r ·(3x )r ＝C r n ·3r ·x r.依题意得C 5n ·35＝C 6n·36，即n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4)5！＝3×n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4)(n －5)6！(n ≥6)，解得n ＝7.5．在(32x －12)20的展开式中，系数是有理数的项共有( )A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项解析：T r ＋1＝C r 20(32x )20－r (－12)r ＝(－22)r ·(32)20－r C r 20·x 20－r . ∵系数为有理数，∴(2)r与20r 32-均为有理数，∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除．故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20， ∴r ＝2,8,14,20.引入：nb)＋(a 的展开式的二次项系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：二项式系数的性质(1)每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和．即C 0n ＝C n n ＝1，C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n . (2)每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等，即C m n ＝C n －mn.(3)如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项12+n T 的二项式系数最大；如果n 是奇数，那么其展开式中间两项12121++++n n T T 的二项式系数相等且最大．(4)二项展开式的各二项式系数的和等于2n .即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .且C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.[例1] 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n 项和为Sn ，求S19的值．[思路点拨] 由图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第17项是C 210，第18项是C 110，第19项是C 211.[答案] S 19＝(C 22＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 210＋C 110)＋C 211＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋…＋C 210＋C 211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C 312＝(2＋10)×92＋220＝274.n 行的首尾两个数均为________．解析：由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an ＝2n －1.答案：2n －12．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3.解析：设第n 行从左至右第14与第15个数之比为2∶3，则3C 13n ＝2C 14n ，即3n ！13！(n －13)！＝2n ！14！(n －14)！.解得n ＝34. [例2] 设)(2x )－(12012201222102012R x x a x a x a a ∈++++=(1)求2012210a a a a ++++ 的值． (2)求2011531a a a a ++++ 的值． (3)求||||||||2012210a a a a ++++ 的值．[思路点拨] 先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解．[答案] (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 012＝(－1)2 012＝1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 2 012＝32 012.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 011)＝1－32 012， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011＝1－32 0122.(3)∵T r ＋1＝C r 2 012(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2 012·(2x )r，∴a 2k －1<0(k ∈N ＋)，a 2k >0(k ∈N)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 012| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 012 ＝32 012.[总结] 赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法．根据题目要求，灵活赋给字母不同值是解题的关键．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项的和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．3．()()()nx x x ++++++1112的展开式中各项系数的和为( )A ．12+n B ．12-n C ．121-+nD ．221-+n解析：令x ＝1，则222222132-=+++++n n答案：D4．已知14141313221072)21x a x a x a x a a x x +++++=-+ a14x14.(1)求1413210a a a a a +++++ (2)求13531a a a a +++ 解：(1)令x ＝1，则1413210a a a a a +++++ ＝72＝128. ①(2)令x ＝－1，则14133210a a a a a a +-+-+- ＝7)2(-＝－128.②①－②得2(13531a a a a ++++ )＝256，∴13531a a a a ++++ ＝128.[例3] (10分)已知(23x＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．[思路点拨] 根据已知条件求出n ，再根据n 为奇数或偶数确定二项式系数最大的项和系数最大的项．[答案] 令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n .(1分)又展开式中二项式系数和为2n ， ∴22n 2n ＝2n＝32，n ＝5. (2分)(1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项， (3分) ∴T 3＝C 25(23x)3(3x 2)2＝90x 6，(4分) T 4＝C 35(23x)2(3x 2)3＝270223x.(5分)(2)设展开式中第k ＋1项的系数最大，则由T k ＋1＝C k 5(23x)5－k (3x 2)k ＝3k C k51043k x+，(6分)得⎩⎪⎨⎪⎧3k C k 5≥3k －1C k －15，3k C k 5≥3k ＋1C k ＋15，，∴72≤k ≤92，∴k ＝4， (8分)即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(23x)(3x 2)4＝405263x.(10分)[总结] (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得．变式训练5．若(x 3＋1x 2)n 的展开式中第6项系数最大，则不含x 的项是( )A ．210B ．120C ．461D ．416解析：由题意知展开式中第6项二项式系数最大， n2＋1＝6，∴n ＝10， T r ＋1＝C r 10x3(10－r )(1x2)r ＝C r 10x 30－5r . ∴30－5r ＝0.∴r ＝6.常数项为C 610＝210. 答案：A 5．已知()nx 31+的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意知C n n ＋C n －1n ＋C n －2n ＝121，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝121，∴1＋n＋n(n－1)2＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15或－16(舍)．∴在(1＋3x)15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项，且T8＝C715(3x)7＝C71537x7，T9＝C815(3x)8＝C81538x8.1.二项式展开式中的常数项是（）A.180B.90C.45D.3602.二项式的展开式中x3 的系数是（）A.84B. -84C.126D. -1263.设，则=（）A.﹣2014B.2014C.﹣2015D.20154.的展开式中含有常数项为第( )项A.4B.5C.6D.75.若对于任意的实数x ，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，则a2的值为（）A.3B.6C.9D.126.在二项式的展开式中，含x4 的项的系数是（）A.﹣10B.10C.﹣5D.57.展开式中不含x4项的系数的和为( )A.－1B.0C.1D.28.812014 除以100的余数是()A.1B.79C.21D.819.除以9的余数为( )A.8B.7C.6D.510.二项式展开式中的常数项是()A.第7项B.第8项C.第9项D.第10项11.在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项式展开式中x-2项的系数为（）A.1B.4C.8D.1612.将二项式的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有（）个A.3B.4C.5D.613.已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（）A.4B.5C.6D.714.展开式中x3的系数为10，则实数a等于（）A. -1B.C.1D.215.在的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n= （）A.6B.7C.8D.9二、填空题16.设的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M-N=240 ，则n ＝________.17.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．18.(a+2x+3x2)(1+x)5的展开式中一次项的系数为-3 ,则x5的系数为________19.已知的展开式中的常数项为T ，f(x) 是以T 为周期的偶函数，且当时，f(x)=x ，若在区间[-1,3] 内，函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，则实数k 的取值范围是________20.对任意实数x ，有，则a3 的值为________.三、解答题21.求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.22.在二项式的展开式中:（1）求展开式中含x3项的系数；（2）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值.23.已知(＋3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中系数最大的项．24.已知，且．（1）求n的值；（2）求的值25.已知的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80.（1）求m和n的值；（2）求展开式中含x2项的系数.课堂运用答案解析一、选择题1.【答案】A【考点】二项式定理【解析】【解答】二项式展开式的通项为令得r=2所以二项式展开式中的常数项是.故选A．【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式通项计算即可.2.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由于二项式的通项公式为,令9-2r=3，解得r=3，∴展开式中x3的系数是（−1）3• ,故答案为B．【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可.3.【答案】D【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】由题意可得即为展开式第2015项的系数，再根据通项公式可得第2015项的系数为：，故选D．【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式定理的性质分析计算即可.4.【答案】B【考点】二项式定理【解析】【解答】由二项展开式公式：，当8-2r=0，即r=4时,T5为常数项,所以常数项为第5项.故选B【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式计算即可.5.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】因为，所以，故选择B.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式的性质计算即可.6.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项式定理知，二项式的展开式通项为：，令，得，则的项的系数为：.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式定理的性质计算即可.7.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项式定理知，展开式中最后一项含x4，其系数为1，令x=1得，此二项展开式的各项系数和为，故不含x4项的系数和为1-1=0，故选B.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式的特征计算即可.8.【答案】C【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】== 4，即除以100的余数为21.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式性质分析计算即可.9.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】依题意S＝＋＋…＋＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝×99－×98＋…＋×9－－1＝9( ×98－×97＋…＋)－2.∴ ×98－×97＋…＋是正整数，∴S被9除的余数为7.选B.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式展开性质计算即可.10.【答案】C【考点】二项式定理【解析】【解答】根据二项式定理可得的第项展开式为,要使得为常数项,要求,所以常数项为第9项.【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式定理的性质分析计算即可.11.【答案】A【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意可得，成等差数列，∴ ，解得n=8．故展开式的通项公式为，令，求得r=8，故该二项式展开式中项的系数为，故选：A．【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是二项式性质计算即可.12.【答案】A【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】展开式的通项为∴前三项的系数分别是，∴前三项系数成等差数列∴∴∴当时,∴，展开式中x 的指数是整数，故共有3个，答案为A.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据实际问题结合二项式系数的性质计算即可.13.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】展开式中各项系数和为x取时式子的值，所以各项系数和为，而二项式系数和为，因此，所以，答案选C.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质分析计算即可. 14.【答案】D【考点】二项式定理【解析】【解答】二项式的展开式的通项，当5-2r=3 时，r=1，系数，解得a=2，答案选D.【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式定理分析其通项计算即可.15.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】因为在的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以由此可得：，即所以即.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的单调性计算即可.二、填空题16.【答案】4【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题设知：，解得：，所以答案应填：4.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可.17.【答案】40【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意，，解得：,所以的展开式中常数项为：所以答案应填：40.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是二项式系数的性质计算即可.18.【答案】39【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意：,解得：，所以，展开式中的系数为，所以答案应填：39【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式性质计算即可.19.【答案】""【解析】【解答】∴ 的常数项为∴f（x）是以2为周期的偶函数∴区间[-1，3]是两个周期∴区间[-1，3]内，函数有4个零点可转化为f（x）与有四个交点当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意，当k≠0时，∴ ，两函数图象有四个交点，必有解得，故填：．【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式定理的性质结合函数性质计算即可.20.【答案】8【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】，所以.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是要配成指定形式，再展开三、解答题21.【答案】【解答】解：，所以二项式系数为，系数为.【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是利用二项式定理的通项公式写出，再求出二项式系数与系数.22.【答案】（1）【解答】解：展开式第r+1项:令，解得r=2，∴展开式中含x3项的系数为（2）【解答】解：∴第3k项的二项式系数为，第k+2项的二项式系数∴故3k-1=k+1或3k-1+k+1=12 解得k=1或k=3【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是（1）写出二项式的展开式的特征项，当x的指数是3时，把3代入整理出k 的值，就得到这一项的系数的值．（2）根据上一问写出的特征项和第3k项和第k+2项的二项式系数相等，表示出一个关于k的方程，解方程即可．23.【答案】（1）解：令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.又展开式中二项式系数和为2n，∴22n－2n＝992，n＝5∴n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，∴T3＝C52 ( )3(3x2)2＝90x6，T4＝C53 ( )2(3x2)3＝（2）解：设展开式中第r＋1项系数最大，则T r＋1＝C5r ( )5－r(3x2)r＝3r C5r，∴ ,则，∴r＝4，即展开式中第5项系数最大，T5＝C54 ( )(3x2)4＝405.【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是（1）利用赋值法求出各项系数和，与二项式系数和求出值，利用二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；（2）设出展开式中系数最大的项，利用进行求解即可.24.【答案】（1）【解答】解：由已知得：，由于, 所以（2）【解答】解：当x=1时，当x=0时，所以，【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质；二项式定理的应用，解决问题的关键是：（1）首先注意等式中n的取值应满足：且n为正整数，其次是公式和的准确使用，将已知等式转化为n的方程，解此方程即得；（2）应用赋值法：注意观察已知二项式及右边展开式，由于要求，所以首先令x=1,得；然后就只要求出a0的值来即可，因此需令x=0，得，从而得结果25.【答案】（1）【解答】解：由题意,，则n=5，由通项公式，则r=3，所以，所以m=2（2）【解答】解：=，所以展开式中含x2项的系数为．【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质；二项式定理的应用，解决问题的关键是（1）二项式系数之和为：，令易求得n，其次利用二项展开式的通项公式中令r=3，易求得m；（2）在前小题已求得的m,n的基础上，要求展开式中求特定项（含x2项）的系数，只需把两个二项式展开，对于展开式中的常数项与展开式中的x2项的系数乘，一次项系数与其一次项系数乘，二次项系数与其常数项乘，再把所得值相加即为所求.一、选择题1.二项式展开式中的系数为（）A.5B.16C.80D.2.在的展开式中，含的项的系数是（）A.60B.160C.180D.2403.展开式的各项系数之和大于8，小于32，则展开式中系数最大的项是（）A. B. C. D.或4.设，那么的值为（）A. B. C. D.5.的展开式中含项的系数为（）A. B. C. D.6.的展开式中，的系数为（）A.15B.C.60D.7.的展开式中常数项为（）A. B. C. D.8.的展开式中，各项系数之和为，各项的二项式系数之和为，且，则展开式中常数项为（）A.6B.9C.12D.18二、填空题9.若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是________.10.在的展开式中，项的系数为________．（结果用数值表示）11.二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式中有理项有________项．三、解答题12.已知在的展开式中，第6项为常数项．（1）求；（2）求含项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．13.已知二项式.（1）若它的二项式系数之和为.①求展开式中二项式系数最大的项；②求展开式中系数最大的项；（2）若，求二项式的值被除的余数.14.已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14∴1．（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求的值.课后作业答案解析1.【答案】C【考点】二项式定理，二项式系数的性质【解析】【解答】二项展开式的通项公式为，则当时，其展开式中的的系数为.故答案为：C．【分析】先求出二项的展开式的通项，然后令x的指数为1，求出r，从而可求出x的系数．2.【答案】D【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】展开式的通项为，令，则，则含的项的系数为.故答案为：D．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为7得含x7项的系数．3.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】令，可得各项系数的之和为，则，解得，中间一项的系数最大，则，故答案为：A.【分析】令x=1，可求出展开式中的各项系数之和，通过各项系数之和大于8，小于32由已知求出n，即可求解中间项系数最大．4.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】时，；时，，∴ ，，∴ ，故答案为：B.【分析】利用展开式，分别令x=1与-1，两式相加或相减可得结论．5.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】∴ ，故展开式中含项的系数为．故答案为：A.【分析】把（1+x）5 按照二项式定理展开，可得展开式中含x3项的系数．6.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】，系数为.故答案为：C．【分析】根据二项式展开式的通项公式，利用展开式中x4y2，即可求出对应的系数．7.【答案】B【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【解答】因为，常数项为，中常数项为，故展开式中常数项为，故答案为：B.【分析】把所给的三项式变为二项式，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中常数项．8.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项展开式的性质，可得，所以，所以.展开式的通项为，令可得，常数项为，故答案为：B.【分析】通过给x 赋值1得各项系数和，据二项式系数和公式求出B，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．9.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】的展开式中第三项的系数为，第五项的系数为，由题意有，解得. 的展开式的通项为，由得，所以展开式的常数项为.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中第三项与第五项的系数，列出方程求出n；利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项．10.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】，令，得，，的展开式的通项为，则项的系数为.【分析】先把三项式写成二项式，求得二项式展开式的通项公式，再求一次二项式的展开式的通项公式，令x的幂指数等于4，求得r、m的值，即可求得x4项的系数．11.【答案】3【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【解答】由题意可得成等差数列，即，化简可得，解得n=8，或n=1（舍去）．二项式的展开式的通项公式为，为整数，可得r=0，4，8，故此展开式中有理项的项数是3.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出前三项的系数，利用等差数列得到关于n的等式，求出n的值，将n的值代入通项，令x的指数为整数，得到r的值，得到展开式中有理项的项数．12.【答案】（1）解：的展开式的通项为= ，又第6项为常数项，则当r=5时，，即=0，可得n=10.（2）解：由（1）可得，，令，可得r=2，所以含x2项的系数为（3）解：由（1）可得，，若T r+1为有理项，则，且0≤r≤10，所以r=2，5，8，则展开式中的有理项分别为，，【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】（1）利用通项公式即可得出．（2）根据通项公式，由题意得x的指数是整数,通过取值即可得出．13.【答案】（1）解：，通项为.①二项式系数最大的项为第项，.② ，则展开式中系数最大的项为第项，（2）解：，转化为被除的余数，，即余数为【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】（1）根据二项式系数之和为2n=128 求得n的值，可得二项式系数最大的项为第四项和第五项，利用二项展开式的通项公式求出这2项．（2）假设第r+1项的系数最大，列出不等式组求得r的值，可得结论．14.【答案】（1）解：由题意得，解得．通项为，令，得，于是系数为（2）解：设第项系数的绝对值最大，则解得，于是只能为6，所以系数绝对值最大的项为（3）解：原式【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出展开式中第3项与第5项的系数列出方程求出n的值．（2）设出第r+1项为系数的绝对值最大的项，即可列出关于r的不等式，解得即可，（3）利用二项式定理求得结果．。