快速傅里叶变换(FFT)课程设计

快速傅里叶变换(FFT)的DSP 实现

(马灿明 计算机学院 计算机应用技术 2110605410)

摘要:本文对快速傅里叶变换(FFT)原理进行简单介绍后，然后介绍FFT 在TMS320C55xx 定点DSP 上的实现，FFT 算法采用C 语言和汇编混合编程来实现，算法程序利用了CCS 对其结果进行了仿真。

关键字：FFT ，DSP ，比特反转

1.引言

傅里叶变换是将信号从时域变换到频域的一种变换形式，是信号处理领域中一种重要的分析工具。离散傅里叶变换（DFT ）是连续傅里叶变换在离散系统中的表现形式。由于DFT 的计算量很大，因此在很长一段时间内使其应用受到很大的限制。

20世纪60年代由Cooley 和Tukey 提出了快速傅里叶变换（FFT ）算法，它是快速计算DFT 的一种高效方法，可以明显地降低运算量，大大地提高DFT 的运算速度，从而使DFT 在实际中得到了广泛的应用，已成为数字信号处理最为重要的工具之一。

DSP 芯片的出现使FFT 的实现变得更加方便。由于多数的DSP 芯片都能在单指令周期内完成乘法—累加运算，而且还提供了专门的FFT 指令（如实现FFT 算法所必需的比特反转等），使得FFT 算法在DSP 芯片上实现的速度更快。本节首先简要介绍FFT 算法的基本原理，然后介绍FFT 算法的DSP 实现。

2.FFT 算法的简介

快速傅里叶变换（FFT ）是一种高效实现离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法，是数字信号处理中最为重要的工具之一，它在声学，语音，电信和信号处理等领域有着广泛的应用。

2.1离散傅里叶变换DFT

对于长度为N 的有限长序列x(n)，它的离散傅里叶变换（DFT ）为

1,1,0,

)()(10-==∑-=N k W n x k X n n nk N （1）

式中， N j N e W /2π-= ，称为旋转因子或蝶形因子。

从DFT 的定义可以看出，在x(n)为复数序列的情况下，对某个k 值，直接按（1）式计算X(k) 只需要N 次复数乘法和（N-1）次复数加法。因此，对所有N 个k 值，共需要N 2次复数乘法和N(N-1)次复数加法。对于一些相当大有N 值（如1024点）来说，直接计算它的DFT 所需要的计算量是很大的，因此DFT 运算的应用受到了很大的限制。

2.2快速傅里叶变换FFT

旋转因子W N 有如下的特性。

。对称性： 2/N k N k N W W +-=

。周期性：N k N

k N W W += 利用这些特性，既可以使DFT 中有些项合并，减少了乘法积项，又可以将长序列的DFT

分解成几个短序列的DFT 。FFT 就是利用了旋转因子的对称性和周期性来减少运算量的。

FFT 的算法是将长序列的DFT 分解成短序列的DFT 。例如：N 为偶数时，先将N 点的DFT 分解为两个N/2点的DFT ，使复数乘法减少一半：再将每个N/2点的DFT 分解成N/4点的DFT ，使复数乘又减少一半，继续进行分解可以大大减少计算量。最小变换的点数称为基数，对于基数为2的FFT 算法，它的最小变换是2点DFT 。

一般而言，FFT 算法分为按时间抽取的FFT （DIT ＦＦＴ）和按频率抽取的ＦＦＴ（DIF FFT ）两大类。ＤIF FFT 算法是在时域内将每一级输入序列依次按奇／偶分成２个短序列进行计算。而DIF FFT 算法是在频域内将每一级输入序列依次奇／偶分成２个短序列进行计算。两者的区别是旋转因子出现的位置不同，得算法是一样的。在DIF FFT 算法中，旋转因子k N W 出现在输入端，而在DIF FFT 算法中它出现在输入端。

假定序列x(n)的点数N 是2的幂，按照DIF FFT 算法可将其分为偶序列和奇序列。 偶序列：

12/,1,0),2(2),-(N (4),(2),(0),1-==N r r x x x x x x 即 奇序列：

12/,1,0),12(1),-(N (5),(3),(1),2-=+=N r r x x x x x x 即则x(n)的DFT 表示为

)

2()()()12()2()()()(1

2/02212/02112/0)12(12/02101

0∑∑∑∑∑∑-=-=-=+-=-=-=+=++=

+=N r rk N k N N r rk N N r k r N N r rk

N N n nk N N n nk N W r x W W r x W r x W r x n n W n x W

n x k X 为奇数为偶数

由于[][]2/)2//(22)/2(2N N j N j N W e

e

W ===--ππ ，则（3）式可表示为 )

3(12/,1,0)()()()()(2112/02/212/02/1

-=+=+=∑∑-=-=N k k X W k X W r x W W r x k X k N N r rk N k N N r rk

N

式中， )(1k X 和)(2k X 分别为)(1n x 和)(2n x 的N/2的DFT 。

由于对称性，

,2/K N N k N W W -=+则)()()2/(21k X W k X N k X k N -=+。因此，N 点)

(k X 可分为两部分：

前半部分：12/,1,0)

()()(21-=+=N k k X W k X k X k N （4） 后半部分：12/,1,0)()()2/(21-=-=+N k k X W k X N k X k N （5）

从式（4）和式（5）可以看出，只要求出0~N/2-1区间)(1k X 和)(2k X 的值，就可求出0~N-1区间)(k X 的N 点值。

以同样的方式进行抽取，可以求得N/4点的DFT ，重复抽取过程，就可以使N 点的DFT 用上组2点的 DFT 来计算，这样就可以大减少运算量。

基2 DIF FFT 的蝶形运算如图(a)所示。设蝶形输入为)(1p x m -和)(1q x m -，输出为)(p x m 和)(q x m ，则有

k N m m m W q x p x p x )()()(11--+= （6）

k N m m m W q x p x q x )()()(11---= （7）

在基数为2的FFT 中，设N=2M

，共有M 级运算，每级有N/2个2点FFT 蝶形运算，因此，N 点FFT 总共有N N 2log )2/(个蝶形运算。 )(1q x m - )(p x m

)(1q x m - )(q x m

-1

图(a) 基2 DIF FFT 的蝶形运算

例如：基数为2的FFT ，当N=8时，共需要3级，12个基2 DIT FFT 的蝶形运算。其信号流程如图(b)所示。