陕西省西安中学2021届高三年级上学期期中考试数学(文)试题(解析版)

合集下载

陕西省西安中学2021届高三上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含解析

西安中学高2021届高三第二次月考数学(文)试题一､选择题1. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()2,1，则cos 2θ=（） A. 45-B.35C.35D.45【答案】C 【解析】【分析】利用三角函数定义即可求得：cos 5θ=，sin 5θ=，再利用余弦的二倍角公式得解. 【详解】因为角θ的终边过点()2,1，所以1tan 2y x θ== 点()2,1到原点的距离22215r =+=所以cos 5x r θ==，sin 5y r θ== 所以22413cos2cos sin 555θθθ=-=-= 故选C【点睛】本题主要考查了三角函数定义及余弦的二倍角公式，考查计算能力，属于较易题． 2. 向量()()11a m b n ==，，，，则m n =是//a b 的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】m n =时，(,1)a b m ==，显然有//a b ，充分性得证，当//a b 时，则存在实数λ使得a b λ=，∴1m nλλ=⎧⎨=⎩，∴m n =，必要性得证，∴m n =是//a b 的充分必要条件．故选：C ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握掌握充分必要条件的定义是解题关键． 3. 下面有四个命题：1:p x R ∃∈，sin cos 2x x +≥ 2:p x R ∀∈，sin tan cos xx x=； 3:p x R ∃∈，210x x ++≤； 4:0p x ∀>，12x x+≥. 其中假命题的是（） A. 1p ，4p B. 2p ，4pC. 1p ，3pD. 2p ，3p【答案】D 【解析】【分析】对于命题1p ，举4x π=，肯定特称命题1p 正确；对于命题2p ，举反例说明命题2p 不正确；配方法证明2314x x ++≥，则命题3p 不正确；利用基本不等式证明命题4p 正确. 【详解】对于命题1p ，当4x π=时，sin cos 2x x +≥1p 为真命题；对于命题2p ，当,2x k k Z ππ=+∈时，等式不成立，所以命题2p 为假命题；对于命题3p ，因为221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭恒成立，所以命题3p 为假命题；对于命题4p ，由基本不等式易得对0x ∀>，12x x+≥恒成立，所以命题4p 为真命题. 故选：D【点睛】本题主要考查了全称命题与特称命题真假的判断，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.4. “辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图．当输入2020m =，303n =时，则输出的m 是（）A. 2B. 6C. 101D. 202【答案】C 【解析】【分析】直接按照程序框图运行，即可得解.【详解】输入2020m =，303n =，又1r =． ①10r =>，202r =，303m =，202n =； ②2020r =>，3032021101÷=，101r =，202m =，101n ；③1010r =>，0r =，101m =，0n =； ④0r =，则0r >否，输出101m =. 故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图和计算程序框图的输出值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5. i 为虚数单位，若)22i z i =，则z =（）A. 1 23 D. 2【答案】A【解析】【分析】由复数的除法运算求得z ，再由模的定义计算．【详解】由已知222(2)22212212233332(2)(2)i i i i i z i i i i ---+-=====-++-， ∴22122133z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A ．【点睛】本题考查复数的除法运算、考查求复数的模，解题方法是利用复数的运算求出z 的代数形式，再由模的定义求解．6. 如图，在ABC 中，D 是边BC 延长线上一点，23BC BD =，则（）A. 3122AD AB AC =- B. 1322AD AB AC =-+C. 4133AD AB AC =- D. 1433AD AB AC =-+ 【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量的三角形加法和减法法则即得解. 【详解】由题得1113()2222AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+. 故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的三角形加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7. 关于函数()()32cos cos sin f x x x x =--，有以下4个结论： ①()f x 的最小正周期是π；②()f x 的图象关于点08π⎛⎫-⎪⎝⎭，中心对称； ③()f x 的最小值为22-④()f x 在区间5612ππ⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递增其中所有正确结论的序号是（） A. ①②③ B. ①③C. ②④D. ②③④【答案】B 【解析】【分析】根据正余弦倍角公式及辅助角公式可得()2)24f x x π=-+，结合正弦函数的图象与性质可知其最小正周期、对称中心、最值、增减区间，即可得答案. 【详解】()()232cos cos sin 32cos 2cos sin 2sin 2cos 22)24f x x x x x x x x x x π=--=-+=+-=-+，由2ω=，知：最小正周期2||T ππω==，故①正确；由正弦函数性质，知：()f x 中24x k ππ-=，k Z ∈，则对称中心为(,2)28k ππ+，故②错误；由()f x 的化简函数式知：min ()22f x =，故③正确因为24y x π=-在定义域上为增函数，结合复合函数单调性知：()f x 在222242k x k πππππ-≤-≤+上递增，可得388k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，有一个单调增区间为3[,]88ππ-，故5,612ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故④错误，故选：B.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，根据正余弦倍角公式及辅助角公式化简函数式，结合三角函数的图象与性质确定最小正周期、对称中心、最值、增减区间判断选项正误，属于中档题.8. 已知在河岸A 处看到河对岸两个帐篷,C D 分别在北偏东045和北偏东030方向，若向东走30米到达B 处后再次观察帐篷,C D ，此时二者分别在北偏西015和北偏西060方向，则帐篷,C D 之间的距离为（）A. 1015B. 106C. 515D. 56【答案】C 【解析】【分析】本题可先在ABD 中解出BD 的值，再在ABD 中解出BD 的值，最后在BCD 中利用余弦定理解得CD 的值．【详解】由题意可得0000DAB 60CAB 45CBA 75DBA 30，，，，∠∠∠∠==== 在ABD 中有：因为00DAB 60DBA 30∠∠==，，所以00ADB 90sin DAB sin 60BDBA，，∠∠===解得153BD =，在ABC 中有：00sin 60sin 45AB BC，=解得106BC =，在BCD 中有：222CBD CBA DBA 45cos 452BC BD CD BC BD∠∠∠+-=-==，，222106153222106153CD +-=⨯⨯，解得515CD =故选C ．【点睛】本题主要考察对解三角形的灵活运用，解三角形有正弦公式：sin sin a bA B=；余弦公式：222cos 2a b c C a b+-=． 9. 甲､乙两人连续两天在同一个水果店购买了同一品种的砂糖橘，两天的价格不同，两人购买的方式不同，每人每天购买1次，甲每次总是买5斤，乙每次总是买20元的，设甲两次购买的平均价格为x 元/斤，乙两次购买的平均价格为y 元/斤，则下列关系式一定成立的是（）A. 221111x y >++ B. 2y xy > C. sin sin x y > D. ))33ln1ln1x y >【答案】D 【解析】【分析】由题意求出,x y 得到,x y 的大小关系，然后由不等式的性质，对数函数，正弦函数的性质判断．【详解】设砂糖橘第一天的价格是a 元/斤，第二天价格是b 元/斤，ab ，0,0a b >>，则55102a b a b x ++==，4022020aby a b a b==++，∵222()4()022()2()a b ab a b ab a b a b a b a b ++---==>+++，∴22a b ab a b +>+，即0x y >>， ∴22110x y +>+>，221111x y <++，A 错；2y xy <；B 错；在(0,)+∞上sin y x =不单调函数，C 错；33110x y >>，∴))33ln1ln1x y >，D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查不等式的性质，考查对数函数，正弦函数的性质，掌握作差法比较两实数的大小是解题基础．10. 若方程ln x m =有两个不等的实根1x 和2x ，则2212x x +的取值范围是（）A. ()1,+∞B.)2,+∞C. ()2,+∞D. ()0,1【答案】C 【解析】【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围. 【详解】因为ln x m =两个不等的实根是1x 和2x 不妨令()()120,1,1,x x ∈∈+∞12,Inx m Inx m =-=故可得()120In x x =，解得211x x =则2212x x +=22112211112x x x x +>⋅= 故选：C【点睛】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题. 11. 若4sin cos 363x x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A.59 B.19C. 19-D. 59-【答案】C 【解析】【分析】用诱导公式结合已知条件求出cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，再用余弦的二倍角公式求得cos 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭，最后再由诱导公式求得结论．【详解】4sin cos sin cos cos cos 36266636x x x x x x πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=-++-=-+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,3c s 26o x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，229c 221126o 21s 3cos 3x x ππ⎛⎫⎛⎫--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎝⎭-=⎪⎭⎝，∴1sin 2sin 2cos 263239x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：C ．【点睛】本题考查诱导公式，余弦的二倍角公式，解题关键是确定已知角和未知角之间的关系，先用恰当的公式计算．12. 已知函数()221200x x x x f x e x ⎧--+-≤<=⎨≥⎩，，，若函数()()2g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为（） A. 314e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B. ][314e ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，C. 2114e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D. ][214e ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，【答案】B 【解析】【分析】求出过点(2,0)的函数x y e =图象的切线的斜率，再求出函数()f x 的端点P 与点(2,0)连线的斜率，由图象可得结论．【详解】函数()()2g x f x ax a =-+存在零点，即方程()20f x ax a =+=有解，()(2)f x a x =-有解，∴函数()y f x =的图象与直线(2)y a x =-有交点，作出函数()y f x =的图象，作出直线(2)y a x =-，直线过定点(2,0)A ，如图，(2,1)P -，11224PA k ==---，设直线(2)y a x =-与x y e =相切的切点为00(,)x y ，∵e x y '=，即0x k e =，由000022x x y e e x x ==--得03x =，即切线斜率为3k e =，由图象可知，函数()y f x =的图象与直线(2)y a x =-有交点时，14a -≤或3a e ≥．故选：B ．【点睛】本题考查函数的零点问题，解题方法是把函数有零点转化为方程有解，再转化为函数图象与直线有交点，通过数形结合思想求解．二､填空题13. 设函数()()225,3log 4,3x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()3f f =⎡⎤⎣⎦_____. 【答案】1e【解析】【分析】结合已知分段函数的解析式代入即可求解.【详解】∵()()225,3log 4,3x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，所以()53log 51f ==，则()()1131f f f e e -===⎡⎤⎣⎦.故答案为：1e. 【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.14. 曲线2ln y x x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为___________.【答案】7210-【解析】【分析】求导数，得切线斜率即tan α，由同角关系得sin ,cos αα，由二倍角公式得sin 2,cos 2αα，再由两角和的余弦公式计算．【详解】由已知212y x x '=+，∴tan 123α=+=，∴α是锐角，∴sin 10α=，cos 10α=∴3sin 22sin cos 251010ααα===， 224cos 2cos sin 5ααα=-=-．∴423272cos 2cos 2cos sin 2sin 444525210πππααα⎛⎫+=-=-⨯-⨯=- ⎪⎝⎭．故答案为：210-【点睛】本题考查导数的几何意义，考查同角间的三角函数关系，两角和的余弦公式二倍角公式，属于中档题．15. 若()cos sin f x x x =-在[]0，a 上是减函数，则a 的最大值是___________. 【答案】34π 【解析】【分析】求出导函数()'f x ，然后解不等式()0f x '≤确定a 的范围后可得最大值．【详解】由题意()sin cos '=--f x x x ，()sin cos 0'=--≤f x x x ，sin cos 0x x +≥，22022x x +≥，sin 04x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，22,4k x k k Z ππππ≤+≤+∈，322,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴3(0,]4a π∈，a 的最大值为34π．故答案为：34π【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查两角和与差的正弦公式，考查正弦函数的性质，根据导数与单调性的关系列不等式求解即可．16. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知2c =，若222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，则+a b 的取值范围是__________．【答案】(2,4] 【解析】因为222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，由正弦定理可得：222a b ab c +-=，由余弦定理可得2221cos ,(0,),22a b c c C ab π+-==∈所以3C π=．由正弦定理得43432(sin sin )(sin sin())4sin()3336a b A B A A A ππ+=+=+-=+ 251(0,),()(,),sin()(,1]366662A A A πππππ∈+∈+∈，所以(2,4]a b +∈．故答案：(2,4] 【点睛】在解三角形中，对于求边或角范围的题，一般利用正弦定理或余弦定理把边转化为角的三角函数，注意求出角的范围，再求三角函数值域．三､解答题17. 已知函数()22sin cos 3cos cos 6f x x x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的振幅、最小正周期和初相位；（2）将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的取值范围.【答案】（1）振幅为2，最小正周期为π，初相位为6π；（2）[]2,1-. 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而可求得函数()y f x =的振幅、最小正周期和初相位；（2）利用图象变换求得()2cos2g x x =-，由,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得2x 的取值范围，利用余弦函数的基本性质可求得()g x 的取值范围. 【详解】（1）()22sin cos 3cos cos 6f x x x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2312sin cos sin 3cos cos 22x x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭2223cos cos sin 32cos 22sin 26x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因此，函数()y f x =的振幅为2，最小正周期为22T ππ==，初相位为6π；（2）将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，则()2sin 22sin 22cos 23362g x f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2233x ππ-≤≤，1cos 212x -≤≤，所以，()21g x -≤≤，因此，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()g x 的取值范围是[]2,1-. 【点睛】本题考查正弦型函数的振幅、最小正周期和初相位的求解，同时也考查了余弦型函数值域的求解，以及利用图象变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题. 18. 已知()sin2f x x x =-，（1）求()y f x =在0x =处的切线方程；（2）求()y f x =在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最值.【答案】（1）0x y +=；（2）最小值为36π，最大值为2π. 【解析】【分析】（1）求出导函数()'f x ，计算(0)f '得切线斜率，写出切线方程；（2）求出()0f x '=的解，由()0f x '>确定增区间，(00f x '<确定减区间，计算出极值和端点处的函数值后可得最值．．【详解】()1y f x =（）的定义域为(),00R f = ()'12cos2f x x =- ()'01f =-所以切线方程为：yx =-，即0x y +=2（）令()'0f x =，得1cos 22x =，又02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，故6x π= 当06x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()'0f x f x <，单调递减当62x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，时，()()'0f x f x >，单调递增在6x π=处取得最小值，为366f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()()000222f f ff πππ⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，在2x π=处取得最大值，为22f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭ 综上得()y f x =在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值为36π，最大值为2π．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值，属于基础题．19.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积为23sin b B．（1）求sin sin A C ；（2）若1cos cos 6A C =，3b =，求a c +的值．【答案】（1）2sin sin 3A C =；（2）33a c +=.【解析】【分析】(1）由题意利用正弦定理求得sin sin A C 的值．(2）由题意利用两角差的余弦公式求得cos B 的值，可得B 的值，再利用正弦定理求得ac 的值，利用余弦定理求得a ＋c 的值.【详解】（1）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∵ABC 的面积为23sin b B，∴21sin 23sin b ac B B⋅=，即223sin sin b ac B B =⋅．再利用正弦定理可得22sin 3sin ?sin sin sin B A C B B =⋅，因为sin 0B >，∴2sin sin 3A C =．（2）1cos cos 6A C =，3b =，2sin sin 3A C =，∴1cos cos sin sin cos()cos 2A C A C A CB -=-=+=-，∴1cos 2B =，∴3B π=．由正弦定理，223sin sin sin a b cR A B C ==== ∴22sin sin 224123a c ac ac A C R R R =⋅===，8ac =，再根据余弦定理，222292cos ()3b a c ac B a c ac ==+-⋅=+-， ∴2()9333a c ac +=+=，∴33a c +=．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式，属于中档题. 20. 2019年12月以来，湖北武汉发生“新型冠状病毒肺炎”(简称新冠肺炎)疫情，全国人民凝心聚力，众志成城支援武汉.某省多家医院积极响应国家卫健委号召，组织病毒学专家､重症医学科医务人员､呼吸科医务人员､感染科医务人员等180名优秀医务人员奔赴武汉抗疫前线.有关数据见表1(单位：人).病毒学专家为了检测当地群众发烧是否更易受新冠肺炎疫情影响，在当地随机选取了1200名群众进行了检测，并将有关数据整理成22⨯列联表(表2).表1：病毒学专家重症医学科医务人员呼吸科医务人员感染科医务人员相关人员数 20604060表2：发烧不发烧合计患新冠肺炎 500 700 未患新冠肺炎 280 合计1200（1）补充完整表2，并判断是否有99.9%的把握认为疫情地区的群众发烧与患新冠肺炎有关；（2）若采用分层抽样的方法从病毒学专家，重症医学科医务人员和呼吸科医务人员中选6人参加新闻发布会，再从这6人中随机指定2人作为主讲人，求其中恰好有1人为重症医学科医务人员的概率.2K 临界值表：()20P K K ≥ 0.150.100.050.0250.01000050.0010K2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）填表答案见解析，有99.9%的把握认为疫情地区的群众发烧与患新冠肺炎有关；（2）35. 【解析】【分析】（1）由已知计算2K 的观测值，根据2K 临界值表可得结论.（2）根据分层抽样可得抽得病毒学专家1人(记为)a ，重症医学科医务人员3人(记为b ，c ，)d ，呼吸科医务人员2人(记为e ，)f ，列举从这6人中随机指定2人作为主讲人所包含所有基本事件，根据古典概率公式可得答案. 【详解】（1）发烧不发烧合计患新冠肺炎 500 200 700 未患新冠肺炎 220 280 500 合计72048012002K 的观测值()22120050028020022064010.828700*********7K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有99.9%的把握认为疫情地区的群众发烧与患新冠肺炎有关. （2）由已知抽样比为6112020=，则抽得病毒学专家1人(记为)a ，重症医学科医务人员3人(记为b ，c ，)d ，呼吸科医务人员2人(记为e ，)f ，则从这6人中随机指定2人作为主讲人，包含的基本事件有{}{}{}{}a b a c a d a e ，，，，，，，，{}{}{}{}{}a f b c b d b e b f ，，，，，，，，，，{}{}{}c d c e c f ，，，，，，{}{}{}d e d f e f ，，，，，，共15种.记事件S 为随机选2人作为主讲人，其中恰好有1人为重症医学科医务人员，则事件S 包含的基本事件为{}{}{}{}{}{}{}{}{}a b a c a d b e b f c e c f d e d f ，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种，故()93155P S ==. 【点睛】本题考查独立性检验，分层抽样方法，运用列举法求古典概率，属于中档题. 21. 已知函数()3214f x x x x =-+. （1）当[]24x ∈-，时，求证：()6x f x x -≤≤；（2）设()()()()F x f x x a a R =-+∈，记()F x 在区间[]2-，4上的最大值为().M a 当()M a 最小时，求a 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）3-. 【解析】【分析】1（）由已知将问题转化为()60f x x -≤-≤，令()()[]321244g x f x x x x x =-=-∈-，，，求导函数()'23382443g x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，分析其导函数取得正负的区间，从而得函数的单调性，可得证；2（）由（1）可得，()()()F x f x x a =-+()f x x a =--()g x a =-，分3a <-，3a >-，3a =-三种情况讨论得最值.【详解】1（）证明：欲证()6x f x x -≤≤，只需证()60f x x -≤-≤，令()()[]321244g x f x x x x x =-=-∈-，，，则()'23382443g x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，可知()'g x 在[)20-，为正，在803⎛⎫ ⎪⎝⎭，为负，在843⎛⎤ ⎥⎝⎦，为正， ()g x ∴在[)20-，上单调递增，在803⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在843⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递增，又()()()8642600640327g g g g ⎛⎫-=-==->-= ⎪⎝⎭，，，，()60g x ∴-≤≤，()6x f x x ∴-≤≤；2（）由（1）可得，()()()F x f x x a =-+()f x x a =--()g x a =-，在[]2-，4上，()60g x -≤≤，令()()t g x h t t a ==-，，则问题转化为当[]60t ∈-，时，()h t 的最大值()M a 的问题了，①当3a <-时，()()0M a h a a ===-，此时3a ->； ②当3a >-时，()()666M a h a a =-=--=+，63a +>； ③当3a=-时，()()()063M a h h ==-=，综上，当()M a 取最小值时a 的值为3-.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性和最值，关键在于合适的函数，分析其导函数取得正负的区间，得出所构造的函数的单调性和最值，属于较难题。

陕西省西安中学2021届高三数学上学期第一次月考试题文(含解析)

A. {1,2}
B. {1,4}
C. {1,2,3,4} 【答案】D
D. {1,4,16,64}
【解析】
【分析】
mf x2 nf x 3,4.若有 4 个不同解，则可根据二
次函数的图像的对称性知道 4 个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可
3
e2
3 2
0
，排除
A．
故选：B
【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过确定函数的奇偶性、单调性等
性质，特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势等由排除法得出正确选项．
7. 已知 x，y 为正实数，则（）
A. 2lgx+lgy=2lgx+2lgy
B. 2lg（x+y）=2lgx•2lgy
2，1
C.
2，0
D.
【答案】D
【解析】【分析】
先求出当 x 0 时, k 2 ；当 x 0 时， k R ；当 x 0 时，利用数形结合求出 k 0 即得
解.
【详解】当 x 0 时,因为 x2 2x 0 ，所以 x2 2x kx ，即 k x 2k 2 ; 当 x 0 时 0 0 ，即 k R ; 当 x 0 时， ln(x 1) kx ，由图可知 k 0 ;
综上 k 的取值范围是2，0，
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数的图象及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.
12. 函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于直线 x＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数 a，b，c，m，n，p，关于 x 的方程 m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0 的解集都不可能是( )

2021-2022学年西安中学高三上学期期中数学复习卷(文科)(含解析)

2021-2022学年西安中学高三上学期期中数学复习卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知全集U ={0,1，2，3，4}，设集合A ={0,1，2}，B ={1,2，3}，则A ∩∁U B =( )A. {3}B. ⌀C. {1,2}D. {0}2.2−i 1+2i=( )A. 1B. −1C. iD. −i3.下列命题中是假命题的是( )A. 若a ⃗ ⋅b ⃗ =0(a ⃗ ≠0⃗ ,b ⃗ ≠0⃗ )，则a ⃗ ⊥b ⃗B. 若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则a ⃗ =b ⃗C. 若ac 2>bc 2，则a >bD. 5>34.若f (x )= x 2−2 x −4ln x ，则f ′(x )>0的解集为…( )A. (0,+∞)B. (−1,0)∪(2,+∞)C. (2,+∞)D. (−1,0)5.数列{a n }满足a 1=1，且2a n−1−2a n =a n a n−1(n ≥2)，则a n =( )A. 2n+1B. 2n+2C. (23)nD. (23)n−16.函数f(x)=3x −的零点存在区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)7.函数的最小正周期是( )A.B. C.D.8.在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AB =1，AC =2，点P 为△ABC 内(包含边界)的点，且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中x ，y 为正实数)，则当xy 最大时，yx的值是( ) A. 12 B. 1C. 2D. 与∠A 的大小有关9.如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是B 1B ，B 1C 1，CD 的中点，则MN 与D 1P 所成角的余弦值为( )A. −√105B. √105C. √55D. 2√5510. 下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =√xB. y =(x −1)2C. y =(12)xD. y =log 0.5x11. 函数f(x)={e cosπx ,x ≤1ln(x −1x),x >1的图象大致是( ) A.B.C.D.12. 设定义在(1,e )上函数若曲线上存在点(x 0,y 0)使得f(f(y 0))=y 0，则实数a 的取值范围是( )A.B.C. [−1,e 2−e +1)D. (0,e 2−e +1)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线f(x)=x 2的一条切线与直线y =2x −3平行，则该切线的方程为______． 14. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−3,m)，若b ⃗ =λa ⃗ ，λ∈R ，则m =______． 15. 下面有四个命题：①函数的最小正周期是； ②函数的最大值是；③把函数的图象向右平移得的图象；④函数在上是减函数．其中真命题的序号是．16. 图中的三个直角三角形是一个体积为20cm 3的几何体的三视图，则ℎ= ______ cm ，该几何体的外接球半径为______ cm ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在数列{a n }中，a 1=1，a n =2a n−1+n+2n(n+1)(n ≥2,n ∈N ∗). (1)若数列{b n }满足b n =a n +1n+1(n ∈N ∗)，求证：数列{b n }是等比数列； (2)设c n =2n(n+1)a n+1，记 S n =c 1⋅c 2+c 2⋅c 3+⋯+c n ⋅c n+1，求使S n >79的最小正整数n 的值．18. 如图，已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，DC 是∠ACB 的平分线交AE 于点F ，交AB 于D 点．(1)求∠ADF 的度数； (2)AB =AC ，求AC ∶BC ．19. 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高x 和体重y 数据如表所示．求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为174cm 的女大学生的体重．(结果精确到0.01，且每一步用上一步的近似值进行计算)参考公式：对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其回归直线y ̂=b ̂x +a ̂的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ̂=∑x i n i=1y i −nxy−∑x i 2n i=1−nx−2=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．20. 已知椭圆C 的离心率为√32，长轴长为4，焦点在x 轴上，斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程 (2)求|AB|的最大值．21. 已知函数f(x)=lnx −12ax 2+ax ，a ∈R ． (1)当a <0时，讨论函数f(x)的极值点的个数；(2)若关于x 的不等式f(x)≤2ax −x −1恒成立，求整数a 的最小值； (3)对于函数f(x)图象上任意给定的两点A(x 1,f(x 1))、B(x 2,f(x 2))，试判断f′(x 1+x 22)与f(x 1)−f(x 2)x 2−x 1的大小关系(其中f′(x )是函数f(x)的导函数)，并给出证明．22. 直线l ：ρcos(θ−π6)=2，圆C ：ρ=2sinθ.以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ．(1)求直线l 的直角坐标方程和圆C 的参数方程；(2)已知点P 在圆C 上，点P 到直线l 和x 轴的距离分别为d 1，d 2，求d 1+d 2的最大值．23. 设函数f(x)=|x −a|，a ∈R ．(1)若不等式f(x)<1的解集为{x|0<x <2}，求a 的值； (2)若存在x 0∈R ，使f(x 0)+x 0<3，求a 的取值范围．。

陕西省西安中学高三(上)期中数学试卷含答案

∵ 퐴퐷 + 퐴퐸 = 푥퐴퐵 +푦퐴퐶，则푥 + 푦 = 2，
∵ 点 D，E 是线段 BC 上两个动点， ∴ 푥 > 0，푦 > 0．
∴
1 푥
+
4 푦
=
11 2(푥
+
4 푦)(푥
+ 푦)
=
12(5
+
푦 푥
+
4푦푥)
≥
12(5
∴ 푏4 = 푎3 + 푎5 = 2푎4 = 23，푎4 = 4，
又푏5 = 푎4 +2푎6 = 24，∴ 푎6 = 6 ，
∴ 푎6 = 푎4 +2푑，得푑 = 1，
第 8 页，共 19 页
푎6 = 푎1 +5푑 푎 = 1
，得
，
∴ 푎푛 = 푛．
1
∴ 푎2019 + 푏9 = 2019 + 28 = 2275，
푛
}的通项公式以及数列{푎푛}的通项公式即可计算出푎2019 + 푏9的值．
【解答】
解： ∵ 푏1 = 1，푏3 = 푏2 +2，{푏 }
∴ 푏1푞2 = 푏 1푞
+ 2，푞2 = 푞
是正项等比数列， + 2，푛 解得푞 = −1(舍)或푞
= 2，
∴ 푏푛 = 2푛−1，
∵ 数列{푎푛}是等差数列，푏4 = 푎3 + 푎5，푏5 = 푎4 +2푎6，
减函数，故正确．故选 D．
4.【答案】D
【解析】解：푎−2 = 0，即푎 = 2时，−4 < 0，恒成立；
{ 푎−2
≠ 0时，
푎−2 < 0 4(푎−2)2 + 16(푎−2) < 0，解得−2 < 푎

陕西省西安中学高三(上)期中数学试卷(文科)

A．1：1： 3
B．2：2： 3
C．1：1：2
D．1：1：4
7．（5 分）下列函数中，最小正周期为 π 的奇函数是（）
휋 A．y＝sin（2x + 2）
휋 B．y＝cos（2x + 2）
C．y＝sin2x+cos2x
D．y＝sinx+cosx
1 8．（5 分）若 tanθ = 3，则 cos2θ＝（）
→
→
→→
4．（5 分）（2014•北京）已知向量a = （2，4），b = （﹣1，1），则 2a ‒ b = （）
A．（5，7）
B．（5，9）
C．（3，7）
D．（3，9）
【考点】9J：平面向量的坐标运算．【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．
→
→
【解答】解：由a = （2，4），b = （﹣1，1），得：
휋
1
9．（5 分）（2016•新课标Ⅰ）将函数 y＝2sin（2x + 6）的图象向右平移4个周期后，所得图象对应的函数
5
2021-2021 学年陕西省西安中学高三（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）（2007•全国卷Ⅱ）cos330°＝（
1 A．2
1 B． - 2
） 3
C． 2
→→
→→
【解答】解：①若|a|＝|b|，但两向量方向不一定相同，则a = b不一定成立，故错误；
→→
②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则AB = DC⇔AB＝DC 且 AB∥DC⇔四边形 ABCD 为平行四边形，

2020届陕西省西安中学高三上学期期中考试数学(文)试题

第一卷(选择题共60分)一、选择题：〔本大题共12小题，每题5分，共60分. 请将正确答案填写在答题纸相应位置.〕1．集合{}=13M x x ，{}2N x x =>，那么集合()R M N =〔〕A ．{}12x xB ．{}1x xC ．{}12x x <D ．{}23x x <2．复数21i(1i)z -=+，那么z 在复平面内对应的点位于〔〕 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．以下四个结论：①假设p q ∧是真命题，那么p ⌝可能是真命题；②命题“000,sin cos 1x R x x ∃∈+<〞的否认是“,sin cos 1x R x x ∀∈+≥〞； ③“5a >且5b >-〞是“0a b +>〞的充要条件； ④当0α<时，幂函数y x α=在区间()0,+∞上单调递减. 其中正确的选项是〔〕 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④4．对于任意实数x ，不等式()()222240a x a x ----<恒成立，那么实数a 的取值范围是〔〕 A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．(]2,2-D ．()2,2-5．{}n a 是等差数列，{}n b 是正项等比数列，且11=b ，223+=b b ，534a a b +=，西安中学高2021届高三期中考试数学(文科)试题6452a a b +=，那么20199a b +=〔〕A ．2027B ．2028C ．2275D ．25316．函数2,(),x x af x x x a ⎧≥=⎨-<⎩，假设函数()f x 存在零点，那么实数a 的取值范围是〔〕A ．(,0)-∞B ．()0,+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞7．函数21()sin 3sin cos 2f x x x x =++，那么以下结论正确的选项是〔〕 A ．()f x 的最大值为1B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()y f x =的图像关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()y f x =的图像关于直线3x π=对称 8．如图，在△ABC 中，点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE + x AB y AC =+，那么14x y+的最小值为〔〕A ．32B ．2C ．92D ．99．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC AA ==，那么直线1A B 与1AC 所成角的大小为〔〕 A ．30° B ．60°C ． 90°D ． 120°10．函数)(x f 对定义域内任意x 都满足()(6)f x f x =- ，且)(x f 在[3,)+∞上单调递减，那么 1.1(0.3)a f =，0.5(3)b f =，(0)c f =的大小关系是〔〕 A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>11．函数x ax x f +=2)(〔〕的图像不可能．．．是〔〕A ．B ．C ．D ．12．)(x f '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当(,0]x ∈-∞时，1)(>'x f ，那么不等式(21)(2)3f x f x x --+≥-的解集为〔〕 A ．(3,)+∞B ．[3,)+∞C ．(,3]-∞D ．(,3)-∞第二卷(非选择题共90分)二、填空题：〔本大题共4小题，每题5分，共20分。

陕西省黄陵中学2021届高三(本部)上学期期中考试数学文(教师word版)

2021学年度第一学期本部期中试题及答案高三（文）数学一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( C )A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}[解析] 本题考查集合的运算．∵A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1}，B ＝{0,1,2}， ∴A ∩B ＝{1,2}，故选C.2.命题“∀x ∈R ，x 3－3x ≤0”的否定为( C )A ．“∀x ∈R ，x 3－3x >0”B ．“∀x ∈R ，x 3－3x ≥0”C ．“∃x 0∈R ，x 30－3x 0>0”D ．“∃x 0∈R ，x 30－3x 0<0”[解析] 因为全称命题的否定是特称命题，所以“∀x ∈R ，x 3－3x ≤0”的否定为“∃x 0∈R ，x 30－3x 0>0”．故选C.3.命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( D )A ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0B ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0C ．若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0[解析] 命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”，故选D.4.设a ，b ∈R ，则“2a －b <1”是“ln a <ln b ”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由2a －b <1得a <b ，由ln a <ln b 得0<a <b ，∴“2a －b <1”是“ln a <ln b ”的必要不充分条件，故选B.5.若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3.则f (12)＝( C )A ．3B ．－3C ．13D ．－13[解析] 设f (x )＝x α，则f (4)f (2)＝4α2α＝4α2α＝2α＝3，所以f (12)＝(12)α＝12α＝13.故选C.6.(2020·河南南阳一中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤1，log 2(x －1)，x >1，则f [f (52)]＝( A )A ．－12B ．－1C ．－5D ．12[解析] 由题意知f (52)＝log 232，∴f [f (52)]＝2log 232－2＝－12.故选A ．7.已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ A ） A.a c b << B.a b c << C.b c a << D.c a b << 解析由题意，可知5log 21a =<，115122221log 0.2log log 5log 5log 425b --====>=． 0.20.51c =<，所以b 最大，a ，c 都小于1．因为5log 2a ==150.210.52⎛⎫==== ⎪⎝⎭225log 42>=>12⎛< ⎝c <，所以a c b <<．故选A ． 8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010．则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg 3≈0．48）A ．3310B ．5310C ．7310D ．9310[解析]设36180310M x N ==，两边取对数得，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-≈，所以93.2810x =，即M N最接近9310，选D ．9.已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）． A. (1,1)- B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2xy =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >. 所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D. 10.若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( A )A ．6425B ．4825C ．1D ．1625[解析] cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝4tan α＋1tan 2α＋1＝6425，故选A.11.已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x，则f (1)＝( B )A ．－eB ．2C ．－2D ．e[解析] 由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x，令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2.12.函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，+π]的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误.故选：A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 13．函数2()log 1f x x =-的定义域为．[2,)+∞【解析】要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，即2x ≥，则函数 ()f x 的定义域是[2,)+∞14.曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．解析：因为23e x y x x =+（），所以2'3e 31xy x x =++（），所以当0x =时，'3y =，所以23e x y x x =+（）在点00（，）处的切线斜率3k =，又()00y =所以切线方程为()030y x -=-，即3y x =．15.若函数f (x )＝－x 2＋4ax 在[1,3]内不单调，则实数a 的取值范围是），（2321 [解析] 由题意得：1<2a <3，得12<a <32.16.函数f (x )＝x sin x ＋cos x 在[π6，π]上的最大值为 π2.[解析] 因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当x ∈[π6，π2]时，f ′(x )≥0，函数f (x )递增，当x∈(π2，π]时，f ′(x )<0，函数f (x )递减，所以f (x )max ＝f (π2)＝π2.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分10分)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P (－35，－45)．(1)求sin (α＋π)的值；(2)若角β满足sin (α＋β)＝513，求cos β的值．[解析] 本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力． (1)由角α的终边过点P (－35，－45)得sin α＝－45，所以sin (α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P (－35，－45)得cos α＝－35，由sin (α＋β)＝513得cos (α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.18.(本小题满分12分).已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]，(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． [解析] (1)a ＝－1，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，因为x ∈[－5,5]，所以x ＝1时，f (x )取最小值1， x ＝－5时，f (x )取最大值37.(2)f (x )的对称轴为x ＝－a ；因为f (x )在[－5,5]上是单调函数，所以－a ≤－5，或－a ≥5，所以实数a 的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)． 19.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2x －3.(1)试判断f (x )在[1,2]上的单调性； (2)求函数f (x )在[1,2]上的最值．[解析] (1)解法一：任取x 1，x 2∈[1,2]，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 22x 2－3－x 21x 1－3＝x 22(x 1－3)－x 21(x 2－3)(x 2－3)(x 1－3)＝(x 2－x 1)[x 1x 2－3(x 1＋x 2)](x 2－3)(x 1－3)，＝(x 2－x 1)[(x 1－3)(x 2－3)－9](x 2－3)(x 1－3)∵x 1，x 2∈[1,2]，∴－2≤x 2－3≤－1，－2≤x 1－3≤－1， ∴1≤(x 2－3)(x 1－3)≤4，∴(x 1－3)(x 2－3)－9<0. 又x 2－x 1>0，(x 2－3)(x 1－3)>0，∴(x 2－x 1)[(x 1－3)(x 2－3)－9](x 2－3)(x 1－3)<0，即f (x 2)<f (x 1)．∴f (x )在[1,2]上为减函数．解法二：∵f (x )＝x 2x －3，∴f ′(x )＝2x (x －3)－x 2(x －3)2＝x (x －6)(x －3)2，∵1≤x ≤2，∴f ′(x )<0，∴f (x )在[1,2]上为减函数． (2)由(1)知f (x )在[1,2]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝42－3＝－4，f (x )max ＝f (1)＝11－3＝－12.20.(本小题满分12分)已知0<α<π2<β<π，且sin (α＋β)＝513，tan α2＝12.(1)求cos α的值； (2）求sin β[解析] (1)因为tan α2＝12，所以tan α＝2tanα21－tan 2α2＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43sin 2α＋cos 2α＝1，α∈(0，π2)，解得cos α＝35.另解：cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－(12)21＋(12)2＝35.(2)由已知得π2<α＋β<3π2，又sin (α＋β)＝513，所以cos (α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1213，又sin α＝1－cos 2α＝45，sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α ＝513× 35－(－1215)×45＝636521.(本小题满分12分)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨(0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．[解析] (1)设t 小时后蓄水池中的存水量为y 吨，则y ＝400＋60t －1206t ，令6t ＝x ，则x 2＝6t ，即t ＝x 26，所以y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40，(构建二次函数) 所以当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池中的存水量最少，最少存水量是40吨． (2)由(1)及题意得400＋10x 2－120x <80，即x 2－12x ＋32<0，解得4<x <8，即4<6t <8，83<t <323.因为323－83＝8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象．22.(本小题满分12分）设函数()a xf x xebx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（I ）求a ，b 的值；（II ）求()f x 的单调区间. 【解析】（I ）()e a x f x x bx -=+，∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=-即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+ ①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ②由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e xf x x -'=-+令2()(1)exg x x -=-，∴222()e(1)e (2)e xx x g x x x ---'=---=-∴()g x 的最小值是22(2)(12)e 1g -=-=- ∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=->．即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立．∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间．。

西安中学202届高三数学上学期期中试题理含解析

则、所成角的正弦值为．
故选：
【点睛】本题考查了空间角的求法，面面平行的性质定理,属于基础题.
第Ⅱ卷(90分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。把答案填在答题卡上的相应位置.
15. 2020年2月为支援武汉市抗击新型冠状病毒的疫情，计划从北京大兴国际机场空运部分救援物资，该杋场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题，现有4辆载有救援物资的车辆可以停放在8个并排的泊车位上，要求停放的车辆相邻,箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有__________种．（用数字作答）
A. B. C。 3D. 6
【答案】B
【解析】
【详解】
分析】
由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示几何体是一个三棱锥，其直观图如下图：
其底面是底和高分别为5，的三角形,高为，则该三棱锥的体积为V＝。从而该不规则几何体的体积为。
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽。由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
12。平面过正方体的顶点，平面，平面 , 平面，则、所成角的正弦值为( ）
A. B. C。 D。

2021届陕西省西安中学高三上学期期中考试数学(文)试题Word版含解析

2021届陕西省西安中学高三上学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．0cos330=（）A.12 B. 12-【答案】C【解析】()()000cos330cos 36030cos -30cos30=-===选C2．设向量()2,4a =与向量(),6b x =共线，则实数x =（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】B【解析】由题向量()2,4a =与向量(),6b x =共线，则1240,3x x -=∴= 选B 3．21i=+（）A. D. 1 【答案】C【解析】()()()()2121211112i i i i i i --===-=++-请在此填写本题解析!选C4．已知向量()2,4a =， ()1,1b =-，则2a b -=（） A. ()5,7 B. ()5,9 C. ()3,7 D. ()3,9 【答案】A【解析】由题()()()222,41,15,7a b -=--= 选A5．给出下列四个命题： ①若a b =，则a b =；②若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a b =， b c =，则a c =； ④a b =的充要条件是a b =且//a b 其中正确命题的序号是（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④ 【答案】B【解析】a b =，则a b ，大小相等，但方向不一定相同，故两个向量不一定相等，故①错误；②若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB DC AB CD =⇔且AB CD =⇔四边形ABCD 为平行四边形，故②正确；③若a b =，则a b ，大小相等，方向相同，若b c =，则b c ，大小相等，方向相同，则a c ，大小相等，方向相同，则a c =，故③正确；④a b =的充要条件是a b =且a b ，同向，故④错误．故正确命题的序号是：②③，故选B6．已知ABC ∆中， ::1:1:4A B C =，则::a b c =（）A. 2:21:1:2 D. 1:1:4 【答案】A【解析】ABC ∆中，∵::1:1:4A B C =，故三个内角分别为30,30,120︒︒︒ ，则3030120a b c sin sin sin =︒︒︒=：：：：故选A ．7．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（） A. sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. sin2cos2y x x =+D. sin cos y x x =+ 【答案】B【解析】A. sin 2cos22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，为偶函数； B. cos 2sin2,2y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ 为奇函数，且22T ππ== C. sin2cos2y x x =+为非奇非偶函数D. sin cos y x x =+为非奇非偶函数故选B8．若tan θ=13，则cos2θ=（） A. 45- B. 15- C. 15 D. 45【答案】D【解析】∵ tan θ=13，则22222211149211519cos sin tan cos cos sin tan θθθθθθθ---====+++，故选D ．【点睛】本题考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系等知识，解决本题的关键是熟练掌握倍角公式，敏锐的观察角间的关系． 9．将函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（） A. 2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. 2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. 2sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D. 2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】D【解析】由于函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的周期为22ππ=，故14个周期即4π，故把函数函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移14个周期，即把函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，所得图象对应的函数的解析式为222222.46263y sin x sin x sin x πππππ⎡⎤=-+=-+=-⎢⎥⎣⎦（）（）（）故选D10．函数()sin f x x x =（[],0x π∈-）的单调递增区间是（） A. 5,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B. 5,66ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C. ,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. ,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】()sin 23f x x x sin x π==-（），因4,333x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，故由正弦函数的单调性可知1233x πππ-≤-≤-得,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即函数()sin f x x x =（[],0x π∈-）的单调递增区间是,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选C11．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2B A =， 1a =， b =c =（）A. 1或 D. 1 【答案】B【解析】21B A a b ===，， ∴由正弦定理a bsinA sinB=得：1sinA ===cosA ∴=由余弦定理得： 2222a b c bccosA =+-，即2133c c =+-，解得2c = 或1c =（经检验不合题意，舍去），则2c = ．故选B12．若函数()1sin2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（） A. []1,1- B. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D. 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】函数()1sin2sin 3f x x x a x =-+的导数为2'123f x cos x acosx =-+（），由题意可得'0f x ≥（）恒成立，即为21203cos x acosx -+≥，即有254033cos x acosx -+≥，设11t cosx t =-≤≤（），即有25430t at -+≥，由题意可得5430a -+≥ ，且5430a --≥，解得a 的范围是11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选D【点睛】本题考查利用导数求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，解题时注意运用参数分离和换元法是解题的关键，． 13．已知ABC ∆的三边长分别3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于__________．【答案】733【解析】设ABC 的三边分别为357a b c ===，，，由余弦定理可得， 22292549122352a b c cosC ab +-+-===-⨯⨯，可得213114sinC cos C =-=-= ，可得该三角形的外接圆半径为732332csinC==⨯．故答案为73二、填空题14．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ， AB AD AO λ+=，则λ=__________．【答案】2【解析】由题2,2AB AD AC AO λ+==∴= 即答案为215．已知a 为函数()312f x x x =-的极小值点，则a =__________．【答案】2【解析】求导2'312f x x =-（）；2x ∴-＜时， '022f x x -（）＞，＜＜时， '02f x x （）＜，＞时， '0f x （）＞；2x ∴=是f x （）的极小值点；又a 为f x （）的极小值点； 2a ∴=．即答案为216．已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边， 2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为__________．【解析】由题意()()()2sin sin sin b A B c b C +-=- 2222b a b c b c a b c bc ⇒+-=-⇒-=-（）（）（），又知2a = ，所以2222222212223b c a a b c bc b c a bc cosA A bc π+--=-⇒+-=⇒==⇒=，ABC ∴面积12S bcsinA ==，而2222222244b c a bc b c bc a b c bc bc +-=⇒+-=⇒+-=⇒≤所以12S bcsinA ==≤，当且仅当2b c ==时取等号即ABC【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用等知识，解题根据题意灵活应用基本不等式是解题的关键，特别注意应用基本不等式时一定要指出等号成立的条件．三、解答题17．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin 3b a C C =+. （1）求A ；（2）若a =6bc =，求ABC ∆的周长.【答案】(1) 3A π=;(2)【解析】试题分析：（1）由cos sin b a C C =，利用正弦定理可得sinB sinAcosC =+．又sinB sin A C =+（），代入化简即可得出．（2）22π3b c 2bccos 3=+-由余弦定理得，，可得到b c 3+=.则ABC ∆的周长可求试题解析：（1）b acosC =sinB sinAcosC ∴=+由正弦定理得，3sinAcosC cosAsinC sinAcosC sinAsinC ∴+=+tanA 3=即， ()A 0π∈又，， πA 3∴=（2）22π3b c 2bccos3=+-由余弦定理得，， ()2b c 3bc 3+-=即， bc 2=又， b c 3∴+=， ΔABC 3+7的周长为18．如图，在四棱锥P ABCD -中， PA ⊥面ABCD ， 4PA BC ==， 2AD =， 3AC AB ==， //AD BC ， N 是PC 的中点.（1）求证： //ND 平面PAB ；（2）求三棱锥N ACD -的体积. 【答案】(1)详见解析25【解析】试题分析：（1）取PB 中点M ，连结AM MN ，. ，推导出四边形AMND 是平行四边形，从而ND AM 由此能证明//ND 平面PAB ．（2）N 到面ABCD 的距离等于P 到面ABCD 的距离的一半，且4PA ABCD PA ⊥=面，，从而三棱锥N ACD -的高是2，由此能求出三棱锥N ACD -的体积．试题解析：(1)如图，取PB 中点M ，连结AM ，MN . ∵MN 是△BCP 的中位线,∴MN ∥12BC ，且MN =12BC . 依题意得,AD 1//2BC ,则有AD //MN ∴四边形AMND 是平行四边形,∴ND ∥AM ∵ND ⊄面PAB ，AM ⊂面PAB ， ∴ND ∥面PAB(2)∵N 是PC 的中点，∴N 到面ABCD 的距离等于P 到面ABCD 的距离的一半，且PA ⊥面ABCD ，PA =4， ∴三棱锥N −ACD 的高是2. 在等腰△ABC 中,AC =AB =3,BC =4,BC 223-2=5.BC ∥AD ,∴C 到AD 的距离为5，∴S △ADC =125=52⨯⨯. ∴三棱锥N −ACD 的体积是1252=533⨯⨯.19．某校从高一年级学生中随机抽取40中学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： [)40,50， [)50,60，…， []90,100所得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率. 【答案】(1)0.03;(2)544;(3)715. 【解析】试题分析: （1）由频率分布直方图的性质能求出a 的值．（2）先求出数学成绩不低于60分的概率，由此能求出数学成绩不低于60分的人数．（3）数学成绩在[4050，）的学生为2人，数学成绩在[]90100，的学生人数为4人，由此利用列举法能求出这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率．试题解析：(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1. 解得a=0.03.(2)根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为1−10×(0.005+0.01)=0.85由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人 .(3)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2人,分别记为A,B ，成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4人,分别记为C,D,E,F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有：(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共15种.如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M,则事件M 包含的基本事件有：(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共7种.所以所求概率为P(M)=715. 【点睛】本题考查频率直方图的应用，考查概率的求法.解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．20．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的离心率2e =，椭圆过点()（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，已知()2,1P ，求PAB ∆面积的最大值. 【答案】(1) 22182x y +=;(2)2.【解析】试题分析: （1）根据椭圆的离心率和椭圆过点()即可求出22a b ，，则椭圆C 的方程可求；（2）设直线l 方程12y x m =+，把其与椭圆的方程联立，求出弦长，即为PAB 的底，由点线距离公式求出PAB 的高，然后用基本不等式求最值．试题解析：（1）∵222222c a b 3e a a 4-===∴22a 4b =∵椭圆过点()∴22a 8,b 2==22x y 182∴+= （2）1l y x m 2=+设的方程为 22x 2mx 2m 40++-=代入椭圆方程中整理得21212x x 2m,x x 2m 4∴+=-=-()2224m 42m 40m 4=-->∴<AB 则P l d =点到直线的距离22PAB1m 4m S222+-∴==≤=2m =2m 2=当且仅当，即21．已知函数()()ln 1f x x a x =+- （1）讨论()f x 的单调性；（2）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围. 【答案】(1)详见解析;(2) ()0,1. 【解析】试题分析: （1）1',0f x a x x=-（）（＞）．对a 分类讨论即可得出单调性．（2）由（1）知，当0a ≤时， f x （）在（0，+∞）无最大值．当a ＞0时， f x （）在1x a= 取得最大值，最大值为11111f ln a lna a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此122f a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞等价于10lna a +-＜．令1g a lna a =+-（），利用其单调性即可得到a 的取值范围.．试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0+∞，， ()1f x a x'=-. 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在()0+∞，单调递增. 若0a >，则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f x '>；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()0f x '<.所以()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a ≤时， ()f x 在()0+∞，无最大值；当0a >时， ()f x 在1x a=取得最大值，最大值为1111ln 1f ln a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此122f a a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭等价于ln 10a a +-<. 令()ln 1g a a a =+-，则()g a 在()0+∞，单调递增， ()10g =.于是，当01a <<时， ()0g a <；当1a >时， ()0g a >.因此， a 的取值范围是()0,1.22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为()2212sin 3ρθ+=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为{ 6x t y t==+（t 为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程和直线l 的普通方程；（2）已知点P 是曲线C 上一点，求点P 到直线l 的最小距离.【答案】(1)详见解析;(2) min d =【解析】试题分析: (1)由极坐标与直角坐标互化公式可得曲线C 的直角坐标方程，再由{x acos y bsin θθ== （θ为参数）可得其参数方程；消去参数t 可得直线l 的普通方程；（2）设曲线C 上任意一点P为),sin αα。

[高考]【试卷解析】陕西省西安市西交大附中2021届高三上学期期中数学试卷文科

陕西省西安市西交大附中2021 届高三上学期期中数学试卷〔文科〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔5分〕设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={2，4}，那么〔〕A．U=A∪B B．U=〔∁U A〕∪B C．U=A∪〔∁U B〕D．U=〔∁U A〕∪〔∁U B〕2．〔5分〕x，y∈R，i为虚数单位，且xi﹣y=﹣1+i，那么〔1+i〕x+y的值为〔〕A．2B．﹣2i C．﹣4 D．2i3．〔5分〕函数y=〔sinx+cosx〕〔sinx﹣cosx〕是〔〕A．奇函数且在上单调递增B．奇函数且在上单调递增C．偶函数且在上单调递增D．偶函数且在上单调递增4．〔5分〕以下有关命题说法正确的选项是〔〕A．命题p：“∃x∈R，sinx+cosx=〞，那么¬p是真命题B．“x=﹣1〞是“x2﹣5x﹣6=0〞的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0“的否认是：“∀x∈R，x2+x+1＜0〞D．“a＞l〞是“y=log a x〔a＞0且a≠1〕在〔0，+∞〕上为增函数〞的充要条件5．〔5分〕函数f〔x〕=是奇函数，那么g〔﹣4〕的值等于〔〕A．﹣4 B．﹣2 C．2D．46．〔5分〕执行如下图的程序，假设输出的结果是4，那么判断框内实数m的值可以是〔〕A．1B．2C．3D．47．〔5分〕曲线的一条切线的斜率为，那么切点的横坐标为〔〕A．3B．2C．1D．8．〔5分〕a＞b＞0，二次函数f〔x〕=ax2+2x+b有且仅有一个零点，那么的最小值为〔〕A．1B．C．2D．29．〔5分〕正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为l，动点P在正方体外表上且满足|PA|=|PC1|，那么动点P的轨迹长度为〔〕A．3B．3C．3D．610．〔5分〕过点M〔﹣2，0〕作斜率为k1〔k1≠0〕的直线与双曲线x2﹣=1交于A、B两点，线段AB的中点为P，O为坐标原点，OP的斜率为k2，那么k1k2等于〔〕A．B．3C．﹣D．﹣3二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共25分．将答案填在答题卡的相应位置．11．〔5分〕〔文〕假设实数x，y满足那么s=x+y的最大值为．12．〔5分〕向量=〔2，4〕，=〔1，1〕，假设向量⊥〔+λ〕，那么实数λ的值是．13．〔5分〕某校2021 届高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如下图，现要按如下图的4个分数段进展分层抽样，抽取50人理解情况，那么在80～90分数段应抽取人数为．14．〔5分〕直线ax+by=1〔a≠0，b≠0〕与圆x2+y2=1相切，假设，，那么|AB|的最小值为．二、选考题〔请考生在A、B、C三题中任选一题作答，假如全选，那么按A题结果计分〕15．〔5分〕函数f〔x〕=|x﹣3|﹣2，g〔x〕=﹣|x+1|+4．假设不等式f〔x〕﹣g〔x〕≥m+1的解集为R，那么m的取值范围是．16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin〔θ+〕+1=0，曲线C2的参数方程为〔φ为参数，0≤φ≤π〕，那么C1与C2有个不同公共点．17．C点在⊙O直径BE的延长线上，CA切⊙O于A点，假设AB=AC，那么=．22．〔15分〕二次函数f〔x〕=x2+ax+m+1，关于x的不等式f〔x〕＜〔2m﹣1〕x+1﹣m2的解集为〔m，m+1〕，〔m≠0〕，设g〔x〕=．〔Ⅰ〕求a的值；〔Ⅱ〕假设函数g〔x〕的一个极值点是x=0，求y=g〔x〕的值域；〔Ⅲ〕假设函数ϕ〔x〕=xg〔x〕存在三个极值点，求m的取值范围．23．〔12分〕椭圆C1的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1〔﹣2，0〕，F2〔2，0〕，点A〔2，3〕在椭圆C1上，过点A的直线L与抛物线C2：x2=4y交于B，C两点，抛物线C2在点B，C处的切线分别为l1，l2，且l1与l2交于点P．〔Ⅰ〕求椭圆C1的方程；〔Ⅱ〕是否存在满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P？假设存在，指出这样的点P有几个〔不必求出点P的坐标〕；假设不存在，说明理由．三、解答题：本大题共4小题，共75分．写出详细的解答或证明过程18．〔12分〕函数f〔x〕=Asin〔ωx+〕〔其中x∈R，A＞0，ω＞0〕的最大值为2，最小正周期为8．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的解析式及函数的增区间；〔Ⅱ〕假设函数f〔x〕图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，O为坐标原点，求△POQ 的面积．19．〔12分〕随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高〔单位：cm〕，获得身高数据的茎叶图如图．〔1〕根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；〔2〕计算甲班的样本方差；〔3〕现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．20．〔12分〕数列{a n}的前n项和S n=kc n﹣k〔其中c，k为常数〕，且a2=4，a6=8a3．〔1〕求a n；〔2〕求数列{na n}的前n项和T n．21．〔12分〕如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，D，E分别是CC1，AB的中点．〔Ⅰ〕求证：CE∥平面A1BD；〔Ⅱ〕假设E到A1B的间隔为，求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．陕西省西安市西交大附中2021 届高三上学期期中数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔5分〕设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={2，4}，那么〔〕A．U=A∪B B．U=〔∁U A〕∪B C．U=A∪〔∁U B〕D．U=〔∁U A〕∪〔∁U B〕考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：首先求出集合A，B在全集中的补集，利用并集概念即可得到结论．解答：解：因为U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，4}，所以C U A={2，4，6}，C U B={1，3，5，6}．所以〔C U A〕∪〔C U B〕={2，4，6}∪{1，3，5，6}={1，2，3，4，5，6}．所以U=〔C U A〕∪〔C U B〕．应选D．点评：此题考察了交、并、补集的混合运算，是根底的概念题，也是会考题型．2．〔5分〕x，y∈R，i为虚数单位，且xi﹣y=﹣1+i，那么〔1+i〕x+y的值为〔〕A．2B．﹣2i C．﹣4 D．2i考点：复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：由复数相等的条件求出x，y，然后直接代入求值．解答：解：由xi﹣y=﹣1+i，得：，所以，x=1，y=1，所以x+y=1+1=2，所以〔1+i〕x+y=〔1+i〕2=2i．应选D．点评：此题考察了复数相等的充要条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，此题是根底题．3．〔5分〕函数y=〔sinx+cosx〕〔sinx﹣cosx〕是〔〕A．奇函数且在上单调递增B．奇函数且在上单调递增C．偶函数且在上单调递增D．偶函数且在上单调递增考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角公式化简函数的解析式为﹣cos2x，可得函数为偶函数，再求出函数的单调区间，从而得出结论．解答：解：由于函数y=〔sinx+cosx〕〔sinx﹣cosx〕=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x，故函数为偶函数，故排除A、B．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ，k∈z，故函数的减区间为[kπ﹣，kπ]，k∈z．令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，求得kπ≤x≤kπ+，k∈z，故函数的增区间为[kπ，kπ+]，k∈z，应选C．点评：此题主要考察二倍角公式的应用，余弦函数的奇偶性以及单调性，属于中档题．4．〔5分〕以下有关命题说法正确的选项是〔〕A．命题p：“∃x∈R，sinx+cosx=〞，那么¬p是真命题B．“x=﹣1〞是“x2﹣5x﹣6=0〞的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0“的否认是：“∀x∈R，x2+x+1＜0〞D．“a＞l〞是“y=log a x〔a＞0且a≠1〕在〔0，+∞〕上为增函数〞的充要条件考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型．分析：A、判断出命题p的真假，即可得到￢p的真假；B、假设P Q，那么P是Q的充分不必要条件；C、特称命题的否认是全称命题；D、假设，那么p是q的充要条件．解答：解：A、由于sinx+cosx=sin〔x+〕，当x=时，sinx+cosx=，那么命题p：“∃x∈R，sinx+cosx=〞为真命题，那么￢p是假命题；B、由于x2﹣5x﹣6=0的解为：x=﹣1或x=6，故“x=﹣1〞是“x2﹣5x﹣6=0〞的充分不必要条件；C、由于命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0〞那么命题的否认是：“∀x∈R，x2+x+1≥0〞；D、假设y=log a x〔a＞0且a≠1〕在〔0，+∞〕上为增函数，那么必有a＞l，反之也成立故“a＞l〞是“y=log a x〔a＞0且a≠1〕在〔0，+∞〕上为增函数〞的充要条件故答案为D．点评：此题考察的知识点是，判断命题真假，我们需对四个结论逐一进展判断，方可得到正确的结论5．〔5分〕函数f〔x〕=是奇函数，那么g〔﹣4〕的值等于〔〕A．﹣4 B．﹣2 C．2D．4考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的性质，直接将g〔﹣4〕转化为x=4时的f〔x〕的函数值即可．解答：解：由题意知g〔﹣4〕=f〔﹣4〕，又因为函数f〔x〕是奇函数，所以f〔﹣4〕=﹣f〔4〕=﹣=﹣2．即g〔﹣4〕=﹣2．应选B点评：此题考察了函数的奇偶性在求函数值时的应用，要注意转化思想在解题中的应用．6．〔5分〕执行如下图的程序，假设输出的结果是4，那么判断框内实数m的值可以是〔〕A．1B．2C．3D．4考点：程序框图．专题：计算题；图表型．分析：框图首先给变量x赋值﹣1，然后判断﹣1与m的大小关系，﹣1≥m时执行x=x+1，不成立时执行x=x2，跳出循环，输出x的值．由输出的x的值是4进展循环次数的判断，从而得到判断框中m的值．解答：解：框图首先给变量x赋值﹣1，判断﹣1≥m不成立，执行x=﹣1+1=0；判断0≥m不成立，执行x=0+1=1；判断1≥m不成立，执行x=1+1=2；判断2≥m成立，执行x=22=4．输出x的值等于4．由此判断m的值等于2．应选B．点评：此题考察了程序框图，考察了循环构造，是直到型循环，即不满足条件执行循环，满足条件跳出循环，算法完毕，是根底题．7．〔5分〕曲线的一条切线的斜率为，那么切点的横坐标为〔〕A．3B．2C．1D．考点：导数的几何意义．分析：根据斜率，对函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．解答：解：设切点的横坐标为〔x0，y0〕∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′=﹣=，解得x0=3或x0=﹣2〔舍去，不符合题意〕，即切点的横坐标为3应选A．点评：考察导数的几何意义，属于根底题，对于一个给定的函数来说，要考虑它的定义域．比方，该题的定义域为{x＞0}．8．〔5分〕a＞b＞0，二次函数f〔x〕=ax2+2x+b有且仅有一个零点，那么的最小值为〔〕A．1B．C．2D．2考点：函数零点的断定定理；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意得出∴△=4﹣4ab=0，即ab=1，a＞b＞0，a﹣b＞0，变形为根本不等式的条件==〔a﹣b〕，即可得出答案．解答：解；∵a＞b＞0，二次函数f〔x〕=ax2+2x+b有且仅有一个零点，∴△=4﹣4ab=0，即ab=1，a＞b＞0，a﹣b＞0∵==〔a﹣b〕∴的最小值为2，应选；D．点评：此题考察了二次函数的性质，根本不等式，难度不大，简单知识的综合，属于中档题．9．〔5分〕正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为l，动点P在正方体外表上且满足|PA|=|PC1|，那么动点P的轨迹长度为〔〕A．3B．3C．3D．6考点：棱柱的构造特征；轨迹方程．专题：立体几何．分析：首先以边D1A1，D1C1，D1D所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，得到A〔1，0，1〕，C1〔0，1，0〕，由于动点P在正方体的外表上，所以可讨论P点在正方体各面上的情况．这时候，可先来看一下P点在平面ABCD上的情况，这样设P〔x0，y0，1〕，根据条件|PA|=|PC1|得到，所以这时可建立平面直角坐标系，从而找出直线和正方体边的交点，从而找到P点在该平面上的轨迹为一条线段，并可求出该线段长度为，而同理P点在其它平面上时求法一样，且都为，这样便可求P点轨迹的长度．解答：解：如图，分别以边D1A1，D1C1，D1D所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系；可以以下两点坐标：A〔1，0，1〕，C1〔0，1，0〕；假设P点在正方形ABCD内，设P〔x0，y0，1〕；∴由|PA|=|PC1|得：；∴；分别以边DA，DC为x′轴，y′轴建立平面直角坐标系；直线就是直线EF，所以在该平面上的P点的轨迹是线段EF，且|EF|=；同理可求P点在其它平面上时P点的轨迹也是线段，且长度都为；∴动点P的轨迹长度为．应选B．点评：考察建立空间直角坐标系，平面直角坐标系解决问题的方法，会确定空间点的坐标，空间两点之间的间隔公式，以及平面直角坐标系中的直线方程．10．〔5分〕过点M〔﹣2，0〕作斜率为k1〔k1≠0〕的直线与双曲线x2﹣=1交于A、B两点，线段AB的中点为P，O为坐标原点，OP的斜率为k2，那么k1k2等于〔〕A．B．3C．﹣D．﹣3考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：设直线l的方程为y=k1〔x+2〕，代入x2﹣=1，得〔1+2k12〕x2+8k12x+8k12﹣2=0，然后由根与系数的关系求解可以得到k1k2的值．解答：解：设直线l的方程为y=k1〔x+2〕，代入x2﹣=1，得〔3﹣k12〕x2﹣4k12x﹣4k12﹣3=0，所以x1+x2=，那么•k1=，即线段AB的中点为P的横坐标为，那么纵坐标为y=k1〔x+2〕=k1•〔+2〕=，所以OP的斜率k2==，所以k1k2=3，应选B．点评：此题主要考察直线和双曲线的位置关系，利用直线和双曲线联立转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决此题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共25分．将答案填在答题卡的相应位置．11．〔5分〕〔文〕假设实数x，y满足那么s=x+y的最大值为9．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：此题主要考察线性规划的根本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目的函数的解析式，分析后易得目的函数Z=x+3y 的最小值．解答：解：满足约束条件的可行域，如图中阴影所示，由图易得：当x=4，y=5时，s=x+y=4+5=9为最大值．故答案为：9．点评：在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法〞，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目的函数⇒④验证，求出最优解．12．〔5分〕向量=〔2，4〕，=〔1，1〕，假设向量⊥〔+λ〕，那么实数λ的值是﹣3．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量数乘的运算及其几何意义．专题：计算题．分析：由向量=〔2，4〕，=〔1，1〕，我们易求出向量假设向量+λ的坐标，再根据⊥〔+λ〕，那么•〔+λ〕=0，结合向量数量积的坐标运算公式，可以得到一个关于λ的方程，解方程即可得到答案．解答：解：+λ=〔2，4〕+λ〔1，1〕=〔2+λ，4+λ〕．∵⊥〔+λ〕，∴•〔+λ〕=0，即〔1，1〕•〔2+λ，4+λ〕=2+λ+4+λ=6+2λ=0，∴λ=﹣3．故答案：﹣3点评：此题考察的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，及向量数乘的运算，解答的关键是求出各向量的坐标，再根据两个向量垂直，对应相乘和为零，构造方程．13．〔5分〕某校2021 届高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如下图，现要按如下图的4个分数段进展分层抽样，抽取50人理解情况，那么在80～90分数段应抽取人数为20．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样知在各层抽取的比例是：，把条件代入，再由抽取人数，求出在80～90分数段应抽取人数．解答：解：根据题意和分层抽样的定义知，在80～90分数段应抽取人数为×50=20．故答案为：20．点评：此题考察了频率分布直方图，分层抽样方法的应用，即根根据题意求出抽取比例和在各层抽取的个体数．14．〔5分〕直线ax+by=1〔a≠0，b≠0〕与圆x2+y2=1相切，假设，，那么|AB|的最小值为3．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：直线ax+by=1〔a≠0，b≠0〕与圆x2+y2=1相切，可得a2+b2=1，求出|AB|，利用根本不等式求出最小值．解答：解：∵直线ax+by=1〔a≠0，b≠0〕与圆x2+y2=1相切，∴，∴a2+b2=1，∵，，∴|AB|===≥3∴|AB|的最小值为3，故答案为：3．点评：此题考察直线与圆的位置关系，考察根本不等式的运用，考察学生分析解决问题的才能，属于中档题．二、选考题〔请考生在A、B、C三题中任选一题作答，假如全选，那么按A题结果计分〕15．〔5分〕函数f〔x〕=|x﹣3|﹣2，g〔x〕=﹣|x+1|+4．假设不等式f〔x〕﹣g〔x〕≥m+1的解集为R，那么m的取值范围是〔﹣∞，﹣3]．考点：绝对值不等式的解法；其他不等式的解法．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由题意得，不等式|x﹣3|+|x+1|﹣6≥m+1恒成立，故左边的最小值大于或等于m+1，问题化为求左边的最小值，利用绝对值不等式的性质可得左边的最小值．解答：解：由题意得，不等式f〔x〕﹣g〔x〕≥m+1恒成立，即|x﹣3|+|x+1|﹣6≥m+1 恒成立．∵|x﹣3|+|x+1|﹣6≥|〔x﹣3〕﹣〔x+1〕|﹣6=﹣2，∴﹣2≥m+1，∴m≤﹣3，故m的取值范围〔﹣∞，﹣3]．故答案为：〔﹣∞，﹣3]．点评：此题考察绝对值不等式的性质的应用，表达了转化的数学思想，属于中档题．16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin〔θ+〕+1=0，曲线C2的参数方程为〔φ为参数，0≤φ≤π〕，那么C1与C2有1 个不同公共点．考点：参数方程化成普通方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：曲线C1的极坐标方程为ρsin〔θ+〕+1=0，可化为，由曲线C2的参数方程为，消去参数可得〔x+1〕2+〔y+1〕2=1〔﹣1≤y≤0〕，求出圆心到直线的间隔，即可得出结论．解答：解：曲线C1的极坐标方程为ρsin〔θ+〕+1=0，可化为由曲线C2的参数方程为，消去参数可得〔x+1〕2+〔y+1〕2=1〔﹣1≤y≤0〕圆心到直线的间隔d==1那么曲线C1与曲线C2的交点个数只有1个．故答案为：1．点评：此题考察了把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的交点个数，属于根底题．17．C点在⊙O直径BE的延长线上，CA切⊙O于A点，假设AB=AC，那么=．考点：与圆有关的比例线段．专题：推理和证明．分析：由得C=∠B=∠CAE，从而∠AEB=2∠B=60°，设圆半径为r，那么AE=CE=r，BC=3r，AC=AB=r，由此能求出的值．解答：解：∵C点在⊙O直径BE的延长线上，CA切⊙O于点A，AB=AC，∴∠C=∠B=∠CAE，∴∠AEB=2∠B=60°，设圆半径为r，那么AE=CE=r，BC=3r，AC=AB=r，∴=．故答案为：．点评：此题考察与圆相关的两数比值的求法，是中档题，解题时要注意弦切角定理、圆的简单性质的合理运用．22．〔15分〕二次函数f〔x〕=x2+ax+m+1，关于x的不等式f〔x〕＜〔2m﹣1〕x+1﹣m2的解集为〔m，m+1〕，〔m≠0〕，设g〔x〕=．〔Ⅰ〕求a的值；〔Ⅱ〕假设函数g〔x〕的一个极值点是x=0，求y=g〔x〕的值域；〔Ⅲ〕假设函数ϕ〔x〕=xg〔x〕存在三个极值点，求m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；二次函数的性质．专题：导数的综合应用．分析：〔Ⅰ〕关于x的不等式f〔x〕＜〔2m﹣1〕x+1﹣m2的解集为〔m，m+1〕，〔m≠0〕，等价于x2+〔a+1﹣2m〕x+m2+m＜0的解集为〔m，m+1〕，利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得g〔x〕==〔x﹣1〕+．由g′〔0〕=0，可得m=1，利用根本不等式的性质即可得出值域．〔Ⅲ〕由φ〔x〕=xg〔x〕，可得φ′〔x〕=g〔x〕+xg′〔x〕=〔x≠1〕，由题意，函数φ〔x〕存在三个极值点等价于函数φ′〔x〕有三个不等的零点，利用导数研究其图象即可得出．解答：解：〔Ⅰ〕∵关于x的不等式f〔x〕＜〔2m﹣1〕x+1﹣m2的解集为〔m，m+1〕，〔m≠0〕，等价于x2+〔a+1﹣2m〕x+m2+m＜0的解集为〔m，m+1〕，∴a+1﹣2m=﹣〔﹣2m+1〕．∴a=﹣2．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得g〔x〕===〔x﹣1〕+．由g′〔0〕=0，可得m=1，利用根本不等式的性质可得：函数g〔x〕的值域为〔﹣∞，﹣2]∪[2，+∞〕，〔Ⅲ〕由φ〔x〕=xg〔x〕，可得φ′〔x〕=g〔x〕+xg′〔x〕=〔x≠1〕，由题意，函数φ〔x〕存在三个极值点等价于函数φ′〔x〕有三个不等的零点，由φ′〔x〕=0，可得m=〔2x﹣1〕〔x﹣1〕2，设h〔x〕=〔2x﹣1〕〔x﹣1〕2，h′〔x〕=2〔x﹣1〕2+2〔2x﹣1〕〔x﹣1〕=6〔x﹣1〕，令h′〔x〕＞0，解得x＞1或，此时函数h〔x〕单调递增；令h′〔x〕＜0，解得，此时函数h〔x〕单调递减．可知：当x=时，函数h〔x〕获得极大值=；当x=1时，函数h〔x〕获得极小值h〔1〕=0．∵h〔x〕=m有三个不同零点，∴，∴时，φ〔x〕存在三个极值点．点评：此题考察了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解转化为函数的交点个数、一元二次不等式的解集，考察了数形结合思想方法、等价转化方法、推理才能与计算才能，属于难题．23．〔12分〕椭圆C1的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1〔﹣2，0〕，F2〔2，0〕，点A〔2，3〕在椭圆C1上，过点A的直线L与抛物线C2：x2=4y交于B，C两点，抛物线C2在点B，C处的切线分别为l1，l2，且l1与l2交于点P．〔Ⅰ〕求椭圆C1的方程；〔Ⅱ〕是否存在满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P？假设存在，指出这样的点P有几个〔不必求出点P的坐标〕；假设不存在，说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔Ⅰ〕设椭圆C1的方程为=1〔a＞b＞0〕，由c=2，=1，a2=b2+c2，联立解得即可得出．〔II〕设B〔x1，y1〕，C〔x2，y2〕，P〔x0，y0〕．设直线AB的方程为：y﹣3=k〔x﹣2〕，与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+8k﹣12=0．由抛物线C2：x2=4y，可得．可得C2在点B处的切线l1的方程为：．C2在点C处的切线l2的方程为：．联立P〔2k，2k﹣3〕．由于|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|，可得点P在椭圆C1：上．代入可得7k2﹣12k﹣3=0．由△1＞0，可得方程有两个不等的实数根．解答：解：〔Ⅰ〕设椭圆C1的方程为=1〔a＞b＞0〕，由c=2，=1，a2=b2+c2，联立解得a2=16，b2=12．∴椭圆C1的方程为．〔Ⅱ〕设B〔x1，y1〕，C〔x2，y2〕，P〔x0，y0〕．设直线AB的方程为：y﹣3=k〔x﹣2〕，联立，化为x2﹣4kx+8k﹣12=0．△=16k2﹣4〔8k﹣12〕＞0．∴x1+x2=4k，x1x2=8k﹣12．由抛物线C2：x2=4y，可得．∴C2在点B处的切线l1的方程为：．．同理C2在点C处的切线l2的方程为：．联立，解得，∴P〔2k，2k﹣3〕．∵|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|，∴点P在椭圆C1：上．∴．化简得7k2﹣12k﹣3=0．〔*〕由△1=122+4×21＞0，可得方程〔*〕有两个不等的实数根．∴满足条件的点P有两个．点评：此题考察了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、直线与抛物线相切切线问题、导数的几何意义，考察了推理才能与计算才能，属于难题三、解答题：本大题共4小题，共75分．写出详细的解答或证明过程18．〔12分〕函数f〔x〕=Asin〔ωx+〕〔其中x∈R，A＞0，ω＞0〕的最大值为2，最小正周期为8．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的解析式及函数的增区间；〔Ⅱ〕假设函数f〔x〕图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，O为坐标原点，求△POQ 的面积．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：〔Ⅰ〕由得A=2．由周期公式可求得ω，即可确定解析式，由2k≤x+≤2k，k∈Z即可解得函数的增区间．〔Ⅱ〕先由可求得：P，Q坐标，即可求得|OP|，|OQ|，|PQ|的值，由余弦定理可得cos∠POQ，可得sin∠POQ=，从而由面积公式即可求值．解答：解：〔Ⅰ〕由得A=2．由周期公式可求得：．∴f〔x〕=2sin〔x+〕．∴由2k≤x+≤2k，k∈Z即可解得：x∈[8k﹣3，8k+1]，k∈Z，∴函数的增区间是[8k﹣3，8k+1]．，k∈Z，〔Ⅱ〕∵函数f〔x〕图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，∴可求得：P〔2，〕，Q〔4，﹣〕．∴可求得：|OP|=，|OQ|=3，|PQ|=2∴由余弦定理可得：cos∠POQ==，sin∠POQ=，∴△POQ 的面积为s=×OP×OQ×sin∠POQ=3．点评：此题主要考察了正弦函数的图象和性质，余弦定理的应用，两点间隔公式的应用，属于中档题．19．〔12分〕随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高〔单位：cm〕，获得身高数据的茎叶图如图．〔1〕根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；〔2〕计算甲班的样本方差；〔3〕现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．考点：茎叶图；极差、方差与标准差；等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：此题中“茎是百位和十位〞，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答．解答：解：〔1〕由茎叶图可知：甲班身高集中于160～169之间，而乙班身高集中于170～180之间．因此乙班平均身高高于甲班〔2〕，甲班的样本方差为+〔170﹣170〕2+〔171﹣170〕2+〔179﹣170〕2+〔179﹣170〕2+〔182﹣170〕2]=57．〔3〕设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：〔181，173〕〔181，176〕〔181，178〕〔181，179〕〔179，173〕〔179，176〕〔179，178〕〔178，173〕〔178，176〕〔176，173〕共10个根本领件，而事件A含有4个根本领件．∴．〔12分〕点评：茎叶图的茎是高位，叶是低位，所以此题中“茎是百位和十位〞，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答．从茎叶图中提取数据是利用茎叶图解决问题的关键．20．〔12分〕数列{a n}的前n项和S n=kc n﹣k〔其中c，k为常数〕，且a2=4，a6=8a3．〔1〕求a n；〔2〕求数列{na n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：〔1〕先根据前n项和求出数列的通项表达式；再结合a2=4，a6=8a3求出c，k，即可求出数列的通项；〔2〕直接利用错位相减法求和即可．解答：解：〔1〕由S n=kc n﹣k，得a n=s n﹣s n﹣1=kc n﹣kc n﹣1；〔n≥2〕，由a2=4，a6=8a3．得kc〔c﹣1〕=4，kc5〔c﹣1〕=8kc2〔c﹣1〕，解得；所以a1=s1=2；a n=s n﹣s n﹣1=kc n﹣kc n﹣1=2n，〔n≥2〕，于是a n=2n．〔2〕：∵na n=n•2n；∴T n=2+2•22+3•23+…+n•2n；2T n=22+2•23+3•24+…+〔n﹣1〕•2n+n•2n+1；∴﹣T n=2+22+23…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=﹣2+2n+1﹣n•2n+1；即：T n=〔n﹣1〕•2n+1+2．点评：此题主要考察数列求和的错位相减法．数列求和的错位相减法适用于一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列．数列求和的错位相减法也是这几年2021 届高考的常考点．21．〔12分〕如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，D，E分别是CC1，AB的中点．〔Ⅰ〕求证：CE∥平面A1BD；〔Ⅱ〕假设E到A1B的间隔为，求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的断定．专题：空间位置关系与间隔．分析：〔Ⅰ〕如下图，连接AB1交A1B于点F，那么点F是A1B的中点．利用三角形的中位线定理可得，利用平行四边形的断定定理可得CE∥DF，再利用线面平行的断定定理即可证明CE∥平面A1BD；〔II〕E到A1B的间隔为，EB=1，可得sin∠EBA1=．tan∠EBA1=2．可得AA1，S△ABC=，即可得出．解答：〔Ⅰ〕证明：如下图，连接AB1交A1B于点F，那么点F是A1B的中点．连接EF，DF．又点E是AB的中点，∴EF，又，∴，∴四边形CDFE是平行四边形，∴CE∥DF，又EC⊄FD，FD⊂平面BDA1，∴CE∥平面A1BD；〔Ⅱ〕解：∵E到A1B的间隔为，EB=1，∴sin∠EBA1==．∴tan∠EBA1=2．∴AA1=ABtan∠EBA1=2×2=4．∵S△ABC==．∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=．点评：此题考察了三角形的中位线定理、平行四边形的断定定理、线面平行的断定定理、正三棱柱的性质与体积计算公式、直角三角形的边角关系，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．。

2021-2022学年陕西省西安中学高三上学期期中考试数学文

图1西安中学2021-2022学年度第一学期期中考试高三文科数学试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 请将正确答案填写在答题纸相应位置.）1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B ⋂=（） A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3- D ．{}1,0,1,3-2.在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限 3.已知2sin 3α=，则()cos 2πα-=（） A. 19-B.19C. 53-D.534. “优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该人再次抽检确认感染者某组人中恰有一人感染鼻咽拭子样本检验将会是阳性，若逐一检测可能需要次才能确认感染者现在先把这人均分为组，选其中一组人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组继续把认定的这组的人均分两组，选其中一组人的样本混合检查以此类推，最终从这人中认定那名感染者需要经过（）次检测． A. 3B. 4C. 5D. 65.已知命题2:,10p x R x x ∀∈-+>；命题:q a b >是11a b>的充要条件，则下列为真命题的是（） A. p q ∧B.p q ⌝∨C. p q ⌝∧D.p q ⌝⌝∧6.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递减的函数是（） A. 3y x = B. 1lny x= C. 2x y =D. cos y x =图 27.如图1，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（） A. 223π B. 403πC.343πD. 283π8.函数()22ln x xy x -=+的图像大致为（）A B C D9.在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC EM ⋅的取值范围是（）A. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. []0,110.执行如图2的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于（） A ．4122-B ．5122-C ．6122-D. 7122-11.在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-，记()12...1,2,...n n T a a a n ==，则数列{}n T （）A.有最大项，有最小项B.无最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.有最大项，无最小项12.实数,,a b c 分别满足125a -=，ln 1b b =，331c c +=，则,,a b c 的大小关系为（）A. b c a >>B. c b a >>C. b a c >>D. a b c >>二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

陕西省西安中学2021届高三上学期期中考试数学(文)试题

西安中学2020-2021学年度第一学期期中考试高三数学（文）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.请将正确答案填写在答题纸相应位置.）1. 设31i z i =+（i 为虚数单位），则z =（）A. 2B.C. 12D. 2【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【详解】解：设3(1)11111(1)(1)222i i i i i z i i i i i +-+=====-++--+，||z ∴=，故选：A ．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题． 2. 已知集合2{|28}M x x x =∈-<Z ，{1,3}P =，{0,7}Q =，则()M QP = A. {0,1,7} B. {1,0,7}- C. {0,1,3,7} D. {1,0,2,7}-【答案】D【解析】【分析】求得不等式228x x -<的解集，得到集合{}1,0,1,2,3M =-，求得{}1,0,2M P =-，再根据集合的并集运算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，不等式228x x -<，解得24x -<<，所以{}1,0,1,2,3M =-，所以{}1,0,2M P =-，所以(){}{}{}0,71,0,21,0,2,7M Q P ⋃=⋃-=-．故选D ．【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合M ，再根据集合的运算，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3. 已知向量(),1a t =，()1,2b =.若a b ⊥，则实数t 的值为（）A. －2B. 2C. 12-D. 12【答案】A【解析】【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出t 的值. 【详解】解：∵向量()1a t =，，()1,2b =，若a b ⊥，则20a b t ⋅=+=， ∴实数2t =-，故选：A.【点睛】本题考查向量垂直的求参，重在计算，属基础题.4. 已知4log 0.9a =，0.14b =，40.1c =，则（）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b a c <<【答案】B【解析】【分析】根据a ，b ，c 的正负和与1的关系比较.【详解】因为4log 0.90=<a ，0.114=>b ，400.11<=<c ，所以a c b <<，故选：B【点睛】本题主要考查数的比较大小，属于基础题.5. 相关变量,x y 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11y b x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归直线方程：22y b x a =+，相关系数为2r .则（）A. 1201r r <<<B. 2101r r <<<C. 1210r r -<<<D. 2110r r -<<<【答案】D【解析】【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断.【详解】由散点图得负相关，所以12,0r r <，因为剔除点()10,21后，剩下点数据更具有线性相关性，r 更接近1，所以2110r r -<<<.选D.【点睛】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.属基础题.6. 已知α满足123cos πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2α＝（） A. 79 B. 718 C. 79- D. 718- 【答案】A【解析】【分析】由已知结合诱导公式先进行化简，然后结合二倍角余弦公式即可求解.【详解】因为﹣sin α123cos πα⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，所以sin 13α=，则cos 2α＝1﹣2sin2α＝1﹣21799⨯=.故选：A.【点睛】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题.7. 执行如图程序框图，则输出结果为（）A. 5B. 4C. 3D. 2 【答案】B【解析】【分析】按照程序框图运行程序，直到满足T S≤时输出即可得到结果.【详解】按照程序框图运行程序，输入1n=，1S=，20T=，则10T=，112S=+=，2n=，不满足T S≤，循环；5T=，224S=+=，3n=，不满足T S≤，循环；52T=，437S=+=，4n=，满足T S≤，输出4n=.故选：B.【点睛】本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.8. 函数ln||cosxy x xx的部分图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性，以及函数图像上的特殊点，对选项进行分析和排除，由此得出正确选项.【详解】()ln cos x f x x x x =+，定义域为{}|0x x ≠，()()ln cos x f x x x f x x ⎡⎤-=-+=-⎢⎥⎣⎦，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除,B C 两个选项.()ln πππ0πf =-+<，排除D 选项，故选A. 【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查函数的奇偶性，属于基础题.9. 已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x =f +x -，若(1)2f =，则(1)(2)f +f (3)(2020)f f +++=（） A. 50B. 2C. 0D. 50-【答案】C【解析】【分析】利用()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数可得：()()f x f x -=-且()00f =，结合(1)(1)f x =f +x -可得：函数()f x 的周期为4；再利用赋值法可求得：()20f =，()32f =-，()40f =，问题得解.【详解】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，所以()()f x f x -=-且()00f =又(1)(1)f x =f +x -所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=-=-⎣⎦⎣⎦所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦所以函数()f x 的周期为4，在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=-在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-=所以(1)(2)f +f ()()()()2020(3)(2020)12344f f f f f f ⎡⎤+++=⨯+++⎣⎦ 50500=⨯=故选C【点睛】本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中档题．10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则此数列的前55项和为( )A. 4072B. 2026C. 4096D. 2048【答案】A【解析】【分析】利用n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n +1行，然后令x ＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【详解】解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n 项和为S n 1212n-==-2n ﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n ()12n n +=，可得当n ＝10，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12项的和为S 12＝212﹣1，则此数列前55项的和为S 12﹣23＝4072，【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．11. 设点P 是函数()()()201xf x e f x f ''=-+图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（） A. 30,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 30,,24πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C. 3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B【解析】【分析】在()f x '中令0x =后可求()01f '=，再根据导数的取值范围可得tan α的范围，从而可得α的取值范围.【详解】()()()2e 01x f x f x f ''=-+，()()2e 0x f x f ''∴=-，()()020f f ''∴=-，()01f '=，()()2e 1x f x x f '∴=-+，()2e 11x f x '∴=->-. 点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，tan 1α∴>-.[)0,απ∈，30,,24ππαπ⎡⎫⎛⎫∴∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查导数的运算以及导数的几何意义，还考查了直线的斜率与倾斜角的关系，本题属于基础题.12. 已知{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈.定义集合{}12121122(,)(,),(,),A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕的元素个数n 满足（）A. 77n =B. 49n ≤C. 64n =D. 81n ≥【解析】【分析】先理解题意，然后分①当11x =±,10y =时,②当10x =,11y =±时, ③当10x =,10y =时,三种情况讨论即可.【详解】解:由{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈, ①当11x =±,10y =时, 124,3,2,1,0,1,2,3,4x x +=----, 123,2,1,0,1,2,3y y +=---,此时A B ⊕的元素个数为9763⨯=个,②当10x =,11y =±时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,124,3,2,1,0,1,2,3,4y y +=----,这种情况和第①种情况除124,4y y +=-外均相同,故新增7214⨯=个,③当10x =,10y =时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,123,2,1,0,1,2,3y y +=---,这种情况与前面重复,新增0个,综合①②③可得:A B ⊕的元素个数为6314077++=个,故选:A.【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，重点考查了计数原理的应用，属中档题.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确答案填写在答题纸相应位置.）13. 曲线()2x f x e x x =-+在点()()00f ，处的切线方程是______. 【答案】210x y -+=【解析】【分析】根据()2x f x e x x =-+，求导为()21xf x e x '=-+，然后求得()()0,0f f '，由点斜式写【详解】因为()2x f x e x x =-+，所以()21xf x e x '=-+，所以()()002012,01f e f '=-⨯+==，所以函数()f x 在点()()00f ，处的切线方程是12y x -=，即210x y -+=，故答案为：210x y -+=【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题. 14. 若x ，y 满足约束条件1020220x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪--≤⎩，则3z x y =+的最大值是______.【答案】8【解析】【分析】在平面直角坐标系内，画出约束条件所表示的可行解域，在可行解域内平移直线13y x =-，找到一点使得直线13y x z =-+在纵轴上的截距最大，把点的坐标代入目标函数中即可. 【详解】约束条件所示可行解域如下图所示：在可行解域内平移直线13y x =-，当直线13y x z =-+经过A 点时，直线在纵轴上的截距最大，A 点的坐标是方程组222y y x =⎧⎨=-⎩的解，解得22y x =⎧⎨=⎩，所以3z x y =+的最大值是 2328+⨯=.故答案为：8【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想和数学运算能力.15. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列，若11a =，则10S =____【答案】1023【解析】【分析】先根据题意得2q ，再根据等比数列前n 项和公式计算即可得答案.【详解】解：设等比数列的公比为q ，由14a ，22a ，3a 成等差数列，所以21344a a a =+，即211144a q a a q =+，所以2440q q -+=，解得2q. 由于11a =，所以12n n a ，所以1010101221102312S -==-=-.故答案为：1023.【点睛】本题考查等比数列的计算，等比数列前n 项和公式，考查运算能力，是基础题. 16. 关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增； ③()f x 在[],ππ-有4个零点；④()f x 的最大值为2；其中所有正确结论的编号是_________. 【答案】①④ 【解析】【分析】结合题意，得出函数的奇偶性，根据奇偶性研究函数在0x >时的性质对结论逐一判断即可．【详解】解：∵()sin |||sin |f x x x =+，定义域为R ， ∴()()sin |||sin |f x x x -=-+-sin sin ()x x f x =+=， ∴函数()f x 是偶函数，故①对；当[]0,x π∈时，()sin |||sin |f x x x =+sin sin 2sin x x x =+=， ∴由正弦函数的单调性可知，函数()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故②错；当[]0,x π∈时，由()2sin 0f x x ==得0x =，x π=，根据偶函数的图象和性质可得，()f x 在[),0π-上有1个零点x π=- ， ∴()f x 在[],ππ-有3个零点，故③错；当0x ≥时，()sin |||sin |f x x x =+sin sin x x =+2sin ,sin 00,sin 0x x x ≥⎧=⎨<⎩，根据奇偶性可得函数()f x 的图象如图，∴当sin 1x =时，函数()f x 有最大值()max 2f x =，故④对；故答案为：①④．【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．三、解答题：(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.) （一）必考题：共60分.17. “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小明的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：0～2000 2001～5000 5001～8000 8001～1000010000>男 1 2 3 6 8 女21062（1）若采用样本估计总体方式，试估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；（2）已知某人一天的走路步数超过8000步时被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”.根据小明的统计完成下面的22⨯列联表，并据此判断是否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？积极型懈怠型总计附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++【答案】(1) 78(2) 没有95%以上的把握认为二者有关【解析】分析：（1）根据古典概型的计算公式得到40人中该日走路步数超过5000步的有35人，频率为78；（2）根据公式得到.()224014126840 3.8412218202011K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，进而得到结论. 详解：（1）由题知，40人中该日走路步数超过5000步的有35人，频率为78，所以估计他的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为78；（2）()2240141268403.8412218202011K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，所以没有95%以上的把握认为二者有关.点睛：点睛:本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，古典概型一般是事件个数之比，即满足条件的事件个数除以总的事件个数即古典概型的概率.18. 已知在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足1cos 2a c Bb =+．（1）求角C 的大小；（2）若7a b +=，ABC 的面积等于c 边长．【答案】（1）3π（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理可化边为角，利用三角恒等变换即可；（2）由面积公式可求得ab ，联立7a b +=求出,a b ，利用余弦定理即可求出c . 【详解】（1）由正弦定理可知，1sin sin cos sin 2A CB B =⋅+，1sin()sin cos sin 2B C C B B ∴+=⋅+，即1sin cos sin 2B C B =sin 0B ≠1cos 2C ∴=， 0C π<<，3C π∴=（2）1sin 24ABCSab C ab ===， 12ab ∴=7a b +=2222cos c a b ab C ∴=+- 2()3493613a b ab =+-=-=c ∴=【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.19. 已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+.【答案】（1）n a n =，21n b n =+；（2）见解析【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ，的方程组求解则n a n =可求，进而得21n b n =+（2）利用()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭分组求和即可证明【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩. 整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+. （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭，所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题20. 为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于25”的概率；（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？(参考公式：1221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-) 【答案】（1）310；（2）532y x =-；（3）（2）中所得到的线性回归方程是可靠的．【解析】【分析】（1）根据列举法，分别写出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数之比即为所求概率；（2）根据题意求出x ，y ，再由最小二乘法求出ˆb，ˆa ，即可得出结果；（3）根据（2）的结果，由题意，进行检验，即可得出结论.【详解】（1）从这5天中任选2天所包含的基本事件为()23,25，()23,30，()23,26，()23,16，()25,30，()25,26，()25,16，()30,26，()30,16，()26,16，共10个．设事件“m ，n 均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为()25,30，()25,26，()30,26，共3个，故由古典概型概率公式得()310P A =；（2）由题中数据得，另3天的平均数111312123x ++==，253026273y ++==，所以()2222112513301226312275ˆ2111312312b ⨯+⨯+⨯-⨯⨯==++-⨯，因此5ˆˆ271232ay bx =-=-⨯=-，所以y 关于x 的线性回归方程为5ˆ32y x =-；（3）依题意得，当10x =时，ˆ25322y=-=，22232-<；当8x =时，ˆ20317y=-=，17162-<；所以（2）中所得到的线性回归方程是可靠的．【点睛】本题主要考查求古典概型的概念，以及最小二乘法求线性回归方程，属于常考题型. 21. 已知函数()ln f x a x =.（1）讨论函数()()1g x x f x =--的单调性与极值；（2）证明：当1a =且[)1,x ∈+∞时，不等式()()()121x f x x +≥-恒成立. 【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析. 【解析】【分析】(1)由题知()1ln g x x a x =--,对()g x 求导后,根据a 的正负,分别讨论()g x 的单调性与极值即可;(2)设()()1ln 22(1)h x x x x x =+-+≥,对()h x 求导,根据()h x '的正负研究()h x 的单调性,从而得出其最值,证明出min ()0h x ≥,即可证明题设不等式.【详解】(1)()ln f x a x =,()()11ln g x x f x x a x =--=--, 则()1a x a g x x x-'=-=, ①当0a ≤时,()0g x '>,故()g x 在(0,)+∞上单调递增,无极值;②当0a >时,令()0g x x a >⇒>,令()00g x x a <⇒<<, 故()g x 在(,)a +∞上单调递增,在(0,)a 上单调递减, 因此()g x 有极小值()1ln g a a a a =--,无极大值. (2)当1a =时,设()()()()121(1)h x x f x x x =+--≥, 则()()1ln 22(1)h x x x x x =+-+≥,1()ln 1h x x x '=+-, 设1()ln 1(1)H x x x x=+-≥,则22111()0x H x x x x -'=-=≥,因此()H x 在[)1,+∞上单调递增,即()h x '在[)1,+∞上单调递增,所以()(1)0h x h ''≥=,所以()h x 在[)1,+∞上单调递增, 所以()(1)0h x h ≥=,即1a =且[)1,x ∈+∞时不等式()()()121x f x x +≥-恒成立.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值,考查了不等式恒成立问题的证明,属于中档题.解决含参函数单调性问题时,常用分类讨论法;遇见恒成立问题时,常将问题转化为函数最值问题求解.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，直线l 的参数方程为1x ty t =⎧⎨=-+⎩，(t 为参数)，直线l 和圆C 交于A 、B 两点，P 是圆C 上异于A 、B 的任意一点. （1）求圆C 的参数方程；（2）求PAB 面积的最大值.【答案】（1）11x y θθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（θ为参数）；（2. 【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转化．（2）利用点到直线的距离公式的应用及三角形的面积公式求出结果．【详解】解：（1）圆C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以cos cossin sin44ππρθθ⎫=-⎪⎭所以2cos 2sin ρθθ=- 所以22cos 2sin ρρθρθ=- 所以2222x y x y +=-所以直角坐标方程为：22(1)(1)2x y -++=，可得参数方程为：()11x y θθθ⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数.（2）直线l 的参数方程为1x ty t=⎧⎨=-+⎩，(t 为参数)，易知直线l 为10x y --=.圆心到直线的距离2d ==，由于：r =所以：AB == 由几何图形可知P 到直线AB+=. 所以：PAB △面积的最大值为12=. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，弦长公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】23. 已知函数()1144f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集．（1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，a b -．【答案】（1）[]1,1M =-；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据绝对值定义化简函数，再解三个不等式组，最后求并集得结果；（2）利用分析法证明不等式【详解】（1）()12,,411111,,4424412,4x x f x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩()12422x f x x ⎧≤-⎪≤∴⎨⎪-≤⎩或1144122x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或1422x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩114x ∴-≤≤-或1144x -<<或114x ≤≤所以不等式的解集为[]1,1M =-．（2）要证a b -，只需证a b ≥-，即证()241ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b --+≥，即2242a ab b ++≥，即证()24a b ≥+，只需证2a b ≥+ 因为a ，b M ∈，所以2a b +≤，所以所证不等式成立．【点睛】本题考查含绝对值不等式解法、分析法证明不等式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.- 21 -知识改变格局格局决定命运！。