陕西省西安中学2021届高三年级上学期期中考试数学(文)试题(解析版)
陕西省西安中学2021届高三上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含解析
西安中学高2021届高三第二次月考数学(文)试题一､选择题1. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()2,1，则cos 2θ=（ ） A. 45-B.35C.35D.45【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数定义即可求得：cos 5θ=，sin 5θ=，再利用余弦的二倍角公式得解. 【详解】因为角θ的终边过点()2,1，所以1tan 2y x θ== 点()2,1到原点的距离22215r =+=所以cos 5x r θ==，sin 5y r θ== 所以22413cos2cos sin 555θθθ=-=-= 故选C【点睛】本题主要考查了三角函数定义及余弦的二倍角公式，考查计算能力，属于较易题． 2. 向量()()11a m b n ==，，，，则m n =是//a b 的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】m n =时，(,1)a b m ==，显然有//a b ，充分性得证， 当//a b 时，则存在实数λ使得a b λ=，∴1m nλλ=⎧⎨=⎩，∴m n =，必要性得证，∴m n =是//a b 的充分必要条件． 故选：C ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握掌握充分必要条件的定义是解题关键． 3. 下面有四个命题：1:p x R ∃∈，sin cos 2x x +≥ 2:p x R ∀∈，sin tan cos xx x=； 3:p x R ∃∈，210x x ++≤； 4:0p x ∀>，12x x+≥. 其中假命题的是（ ） A. 1p ，4p B. 2p ，4pC. 1p ，3pD. 2p ，3p【答案】D 【解析】 【分析】对于命题1p ，举4x π=，肯定特称命题1p 正确；对于命题2p ，举反例说明命题2p 不正确；配方法证明2314x x ++≥，则命题3p 不正确；利用基本不等式证明命题4p 正确. 【详解】对于命题1p ，当4x π=时，sin cos 2x x +≥1p 为真命题；对于命题2p ，当,2x k k Z ππ=+∈时，等式不成立，所以命题2p 为假命题；对于命题3p ，因为221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭恒成立，所以命题3p 为假命题； 对于命题4p ，由基本不等式易得对0x ∀>，12x x+≥恒成立，所以命题4p 为真命题. 故选：D【点睛】本题主要考查了全称命题与特称命题真假的判断，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.4. “辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图．当输入2020m =，303n =时，则输出的m 是（ ）A. 2B. 6C. 101D. 202【答案】C 【解析】 【分析】直接按照程序框图运行，即可得解.【详解】输入2020m =，303n =，又1r =． ①10r =>，202r =，303m =，202n =； ②2020r =>，3032021101÷=，101r =，202m =，101n ；③1010r =>，0r =，101m =，0n =； ④0r =，则0r >否，输出101m =. 故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图和计算程序框图的输出值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5. i 为虚数单位，若)22i z i =，则z =（ ）A. 1 23 D. 2【答案】A【解析】 【分析】由复数的除法运算求得z ，再由模的定义计算．【详解】由已知222(2)22212212233332(2)(2)i i i i i z i i i i ---+-=====-++-， ∴22122133z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：A ．【点睛】本题考查复数的除法运算、考查求复数的模，解题方法是利用复数的运算求出z 的代数形式，再由模的定义求解．6. 如图，在ABC 中，D 是边BC 延长线上一点，23BC BD =，则（ ）A. 3122AD AB AC =- B. 1322AD AB AC =-+C. 4133AD AB AC =- D. 1433AD AB AC =-+ 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的三角形加法和减法法则即得解. 【详解】由题得1113()2222AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+. 故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的三角形加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7. 关于函数()()32cos cos sin f x x x x =--，有以下4个结论： ①()f x 的最小正周期是π；②()f x 的图象关于点08π⎛⎫-⎪⎝⎭，中心对称； ③()f x 的最小值为22-④()f x 在区间5612ππ⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递增 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③C. ②④D. ②③④【答案】B 【解析】 【分析】根据正余弦倍角公式及辅助角公式可得()2)24f x x π=-+，结合正弦函数的图象与性质可知其最小正周期、对称中心、最值、增减区间，即可得答案. 【详解】()()232cos cos sin 32cos 2cos sin 2sin 2cos 22)24f x x x x x x x x x x π=--=-+=+-=-+，由2ω=，知：最小正周期2||T ππω==，故①正确； 由正弦函数性质，知：()f x 中24x k ππ-=，k Z ∈，则对称中心为(,2)28k ππ+，故②错误；由()f x 的化简函数式知：min ()22f x =，故③正确 因为24y x π=-在定义域上为增函数，结合复合函数单调性知：()f x 在222242k x k πππππ-≤-≤+上递增，可得388k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，有一个单调增区间为3[,]88ππ-， 故5,612ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故④错误， 故选：B.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，根据正余弦倍角公式及辅助角公式化简函数式，结合三角函数的图象与性质确定最小正周期、对称中心、最值、增减区间判断选项正误，属于中档题.8. 已知在河岸A 处看到河对岸两个帐篷,C D 分别在北偏东045和北偏东030方向，若向东走30米到达B 处后再次观察帐篷,C D ，此时二者分别在北偏西015和北偏西060方向，则帐篷,C D 之间的距离为（ ）A. 1015B. 106C. 515D. 56【答案】C 【解析】 【分析】 本题可先在ABD 中解出BD 的值，再在ABD 中解出BD 的值，最后在BCD 中利用余弦定理解得CD 的值．【详解】由题意可得0000DAB 60CAB 45CBA 75DBA 30，，，，∠∠∠∠==== 在ABD 中有：因为00DAB 60DBA 30∠∠==，，所以00ADB 90sin DAB sin 60BDBA，，∠∠===解得153BD =， 在ABC 中有：00sin 60sin 45AB BC，=解得106BC =， 在BCD 中有：222CBD CBA DBA 45cos 452BC BD CD BC BD∠∠∠+-=-==，，222106153222106153CD +-=⨯⨯，解得515CD =故选C ． 【点睛】本题主要考察对解三角形的灵活运用，解三角形有正弦公式：sin sin a bA B=；余弦公式：222cos 2a b c C a b+-=． 9. 甲､乙两人连续两天在同一个水果店购买了同一品种的砂糖橘，两天的价格不同，两人购买的方式不同，每人每天购买1次，甲每次总是买5斤，乙每次总是买20元的，设甲两次购买的平均价格为x 元/斤，乙两次购买的平均价格为y 元/斤，则下列关系式一定成立的是（ ）A. 221111x y >++ B. 2y xy > C. sin sin x y > D. ))33ln1ln1x y >【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出,x y 得到,x y 的大小关系，然后由不等式的性质，对数函数，正弦函数的性质判断．【详解】设砂糖橘第一天的价格是a 元/斤，第二天价格是b 元/斤，ab ，0,0a b >>，则55102a b a b x ++==，4022020aby a b a b==++，∵222()4()022()2()a b ab a b ab a b a b a b a b ++---==>+++，∴22a b ab a b +>+，即0x y >>， ∴22110x y +>+>，221111x y <++，A 错；2y xy <；B 错； 在(0,)+∞上sin y x =不单调函数，C 错；33110x y >>，∴))33ln1ln1x y >，D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查不等式的性质，考查对数函数，正弦函数的性质，掌握作差法比较两实数的大小是解题基础．10. 若方程ln x m =有两个不等的实根1x 和2x ，则2212x x +的取值范围是（ ）A. ()1,+∞B.)2,+∞C. ()2,+∞D. ()0,1【答案】C 【解析】 【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围. 【详解】因为ln x m =两个不等的实根是1x 和2x 不妨令()()120,1,1,x x ∈∈+∞12,Inx m Inx m =-=故可得()120In x x =，解得211x x =则2212x x +=22112211112x x x x +>⋅= 故选：C【点睛】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题. 11. 若4sin cos 363x x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.59 B.19C. 19-D. 59-【答案】C 【解析】 【分析】用诱导公式结合已知条件求出cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，再用余弦的二倍角公式求得cos 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭，最后再由诱导公式求得结论． 【详解】4sin cos sin cos cos cos 36266636x x x x x x πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=-++-=-+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,3c s 26o x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，229c 221126o 21s 3cos 3x x ππ⎛⎫⎛⎫--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎝⎭-=⎪⎭⎝，∴1sin 2sin 2cos 263239x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故选：C ．【点睛】本题考查诱导公式，余弦的二倍角公式，解题关键是确定已知角和未知角之间的关系，先用恰当的公式计算．12. 已知函数()221200x x x x f x e x ⎧--+-≤<=⎨≥⎩，，，若函数()()2g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为（ ） A. 314e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B. ][314e ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，C. 2114e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D. ][214e ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，【答案】B 【解析】 【分析】求出过点(2,0)的函数x y e =图象的切线的斜率，再求出函数()f x 的端点P 与点(2,0)连线的斜率，由图象可得结论．【详解】函数()()2g x f x ax a =-+存在零点，即方程()20f x ax a =+=有解，()(2)f x a x =-有解，∴函数()y f x =的图象与直线(2)y a x =-有交点，作出函数()y f x =的图象，作出直线(2)y a x =-，直线过定点(2,0)A ，如图，(2,1)P -，11224PA k ==---，设直线(2)y a x =-与x y e =相切的切点为00(,)x y ，∵e x y '=，即0x k e =，由000022x x y e e x x ==--得03x =，即切线斜率为3k e =， 由图象可知，函数()y f x =的图象与直线(2)y a x =-有交点时，14a -≤或3a e ≥． 故选：B ．【点睛】本题考查函数的零点问题，解题方法是把函数有零点转化为方程有解，再转化为函数图象与直线有交点，通过数形结合思想求解．二､填空题13. 设函数()()225,3log 4,3x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()3f f =⎡⎤⎣⎦_____. 【答案】1e【解析】 【分析】结合已知分段函数的解析式代入即可求解.【详解】∵()()225,3log 4,3x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩， 所以()53log 51f ==，则()()1131f f f e e -===⎡⎤⎣⎦.故答案为：1e. 【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.14. 曲线2ln y x x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为___________.【答案】7210-【解析】 【分析】求导数，得切线斜率即tan α，由同角关系得sin ,cos αα，由二倍角公式得sin 2,cos 2αα，再由两角和的余弦公式计算． 【详解】由已知212y x x '=+，∴tan 123α=+=，∴α是锐角，∴sin 10α=，cos 10α=∴3sin 22sin cos 251010ααα===， 224cos 2cos sin 5ααα=-=-．∴423272cos 2cos 2cos sin 2sin 444525210πππααα⎛⎫+=-=-⨯-⨯=- ⎪⎝⎭． 故答案为：210-【点睛】本题考查导数的几何意义，考查同角间的三角函数关系，两角和的余弦公式二倍角公式，属于中档题．15. 若()cos sin f x x x =-在[]0，a 上是减函数，则a 的最大值是___________. 【答案】34π 【解析】 【分析】求出导函数()'f x ，然后解不等式()0f x '≤确定a 的范围后可得最大值．【详解】由题意()sin cos '=--f x x x ，()sin cos 0'=--≤f x x x ，sin cos 0x x +≥，22022x x +≥，sin 04x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，22,4k x k k Z ππππ≤+≤+∈，322,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴3(0,]4a π∈，a 的最大值为34π． 故答案为：34π【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查两角和与差的正弦公式，考查正弦函数的性质，根据导数与单调性的关系列不等式求解即可．16. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知2c =，若222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，则+a b 的取值范围是__________．【答案】(2,4] 【解析】因为222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，由正弦定理可得：222a b ab c +-=，由余弦定理可得2221cos ,(0,),22a b c c C ab π+-==∈所以3C π=．由正弦定理得43432(sin sin )(sin sin())4sin()3336a b A B A A A ππ+=+=+-=+ 251(0,),()(,),sin()(,1]366662A A A πππππ∈+∈+∈，所以(2,4]a b +∈．故答案：(2,4] 【点睛】在解三角形中，对于求边或角范围的题，一般利用正弦定理或余弦定理把边转化为角的三角函数，注意求出角的范围，再求三角函数值域．三､解答题17. 已知函数()22sin cos 3cos cos 6f x x x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的振幅、最小正周期和初相位； （2）将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的取值范围.【答案】（1）振幅为2，最小正周期为π，初相位为6π；（2）[]2,1-. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而可求得函数()y f x =的振幅、最小正周期和初相位； （2）利用图象变换求得()2cos2g x x =-，由,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得2x 的取值范围，利用余弦函数的基本性质可求得()g x 的取值范围. 【详解】（1）()22sin cos 3cos cos 6f x x x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2312sin cos sin 3cos cos 22x x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭2223cos cos sin 32cos 22sin 26x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因此，函数()y f x =的振幅为2，最小正周期为22T ππ==，初相位为6π；（2）将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象， 则()2sin 22sin 22cos 23362g x f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2233x ππ-≤≤，1cos 212x -≤≤，所以，()21g x -≤≤，因此，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()g x 的取值范围是[]2,1-. 【点睛】本题考查正弦型函数的振幅、最小正周期和初相位的求解，同时也考查了余弦型函数值域的求解，以及利用图象变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题. 18. 已知()sin2f x x x =-，（1）求()y f x =在0x =处的切线方程；（2）求()y f x =在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最值.【答案】（1）0x y +=；（2）最小值为36π，最大值为2π. 【解析】 【分析】（1）求出导函数()'f x ，计算(0)f '得切线斜率，写出切线方程；（2）求出()0f x '=的解，由()0f x '>确定增区间，(00f x '<确定减区间，计算出极值和端点处的函数值后可得最值．．【详解】()1y f x =（）的定义域为(),00R f = ()'12cos2f x x =- ()'01f =-所以切线方程为：yx =-，即0x y +=2（）令()'0f x =，得1cos 22x =，又02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，故6x π= 当06x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()'0f x f x <，单调递减当62x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，时，()()'0f x f x >，单调递增 在6x π=处取得最小值，为366f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()()000222f f ff πππ⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 在2x π=处取得最大值，为22f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭ 综上得()y f x =在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值为36π，最大值为2π．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值，属于基础题．19.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积为23sin b B．（1）求sin sin A C ；（2）若1cos cos 6A C =，3b =，求a c +的值． 【答案】（1）2sin sin 3A C =；（2）33a c +=.【解析】 【分析】(1）由题意利用正弦定理求得sin sin A C 的值．(2）由题意利用两角差的余弦公式求得cos B 的值，可得B 的值，再利用正弦定理求得ac 的值，利用余弦定理求得a ＋c 的值.【详解】（1）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∵ABC 的面积为23sin b B，∴21sin 23sin b ac B B⋅=，即223sin sin b ac B B =⋅． 再利用正弦定理可得22sin 3sin ?sin sin sin B A C B B =⋅， 因为sin 0B >，∴2sin sin 3A C =． （2）1cos cos 6A C =，3b =，2sin sin 3A C =，∴1cos cos sin sin cos()cos 2A C A C A CB -=-=+=-，∴1cos 2B =，∴3B π=．由正弦定理，223sin sin sin a b cR A B C ==== ∴22sin sin 224123a c ac ac A C R R R =⋅===，8ac =， 再根据余弦定理，222292cos ()3b a c ac B a c ac ==+-⋅=+-， ∴2()9333a c ac +=+=，∴33a c +=．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式，属于中档题. 20. 2019年12月以来，湖北武汉发生“新型冠状病毒肺炎”(简称新冠肺炎)疫情，全国人民凝心聚力，众志成城支援武汉.某省多家医院积极响应国家卫健委号召，组织病毒学专家､重症医学科医务人员､呼吸科医务人员､感染科医务人员等180名优秀医务人员奔赴武汉抗疫前线.有关数据见表1(单位：人).病毒学专家为了检测当地群众发烧是否更易受新冠肺炎疫情影响，在当地随机选取了1200名群众进行了检测，并将有关数据整理成22⨯列联表(表2).表1：病毒学专家重症医学科医务人员 呼吸科医务人员 感染科医务人员 相关人员数 20604060表2：发烧 不发烧 合计 患新冠肺炎 500 700 未患新冠肺炎 280 合计1200（1）补充完整表2，并判断是否有99.9%的把握认为疫情地区的群众发烧与患新冠肺炎有关； （2）若采用分层抽样的方法从病毒学专家，重症医学科医务人员和呼吸科医务人员中选6人参加新闻发布会，再从这6人中随机指定2人作为主讲人，求其中恰好有1人为重症医学科医务人员的概率.2K 临界值表：()20P K K ≥ 0.150.100.050.0250.01000050.0010K2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）填表答案见解析，有99.9%的把握认为疫情地区的群众发烧与患新冠肺炎有关；（2）35. 【解析】 【分析】（1）由已知计算2K 的观测值，根据2K 临界值表可得结论.（2）根据分层抽样可得抽得病毒学专家1人(记为)a ，重症医学科医务人员3人(记为b ，c ，)d ，呼吸科医务人员2人(记为e ，)f ，列举从这6人中随机指定2人作为主讲人所包含所有基本事件，根据古典概率公式可得答案. 【详解】（1）发烧 不发烧 合计 患新冠肺炎 500 200 700 未患新冠肺炎 220 280 500 合计72048012002K 的观测值()22120050028020022064010.828700*********7K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 故有99.9%的把握认为疫情地区的群众发烧与患新冠肺炎有关. （2）由已知抽样比为6112020=，则抽得病毒学专家1人(记为)a ，重症医学科医务人员3人(记为b ，c ，)d ，呼吸科医务人员2人(记为e ，)f ，则从这6人中随机指定2人作为主讲人，包含的基本事件有{}{}{}{}a b a c a d a e ，，，，，，，，{}{}{}{}{}a f b c b d b e b f ，，，，，，，，，，{}{}{}c d c e c f ，，，，，，{}{}{}d e d f e f ，，，，，，共15种.记事件S 为随机选2人作为主讲人，其中恰好有1人为重症医学科医务人员， 则事件S 包含的基本事件为{}{}{}{}{}{}{}{}{}a b a c a d b e b f c e c f d e d f ，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种，故()93155P S ==. 【点睛】本题考查独立性检验，分层抽样方法，运用列举法求古典概率，属于中档题. 21. 已知函数()3214f x x x x =-+. （1）当[]24x ∈-，时，求证：()6x f x x -≤≤； （2）设()()()()F x f x x a a R =-+∈，记()F x 在区间[]2-，4上的最大值为().M a 当()M a 最小时，求a 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）3-. 【解析】 【分析】1（）由已知将问题转化为()60f x x -≤-≤，令()()[]321244g x f x x x x x =-=-∈-，，，求导函数()'23382443g x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，分析其导函数取得正负的区间，从而得函数的单调性，可得证；2（）由（1）可得，()()()F x f x x a =-+()f x x a =--()g x a =-，分3a <-，3a >-，3a =-三种情况讨论得最值.【详解】1（）证明：欲证()6x f x x -≤≤，只需证()60f x x -≤-≤， 令()()[]321244g x f x x x x x =-=-∈-，，，则()'23382443g x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，可知()'g x 在[)20-，为正，在803⎛⎫ ⎪⎝⎭，为负，在843⎛⎤ ⎥⎝⎦，为正， ()g x ∴在[)20-，上单调递增，在803⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在843⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递增， 又()()()8642600640327g g g g ⎛⎫-=-==->-= ⎪⎝⎭，，，，()60g x ∴-≤≤，()6x f x x ∴-≤≤；2（）由（1）可得，()()()F x f x x a =-+()f x x a =--()g x a =-， 在[]2-，4上，()60g x -≤≤，令()()t g x h t t a ==-，，则问题转化为当[]60t ∈-，时，()h t 的最大值()M a 的问题了，①当3a <-时，()()0M a h a a ===-，此时3a ->； ②当3a >-时，()()666M a h a a =-=--=+，63a +>； ③当3a=-时，()()()063M a h h ==-=，综上，当()M a 取最小值时a 的值为3-.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性和最值，关键在于合适的函数，分析其导函数取得正负的区间，得出所构造的函数的单调性和最值，属于较难题。
陕西省西安中学2021届高三数学上学期第一次月考试题文(含解析)
A. {1,2}
B. {1,4}
C. {1,2,3,4} 【答案】D
D. {1,4,16,64}
【解析】
【分析】
mf x2 nf x 3,4.若有 4 个不同解，则可根据二
次函数的图像的对称性知道 4 个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可
3
e2
3 2
0
，排除
A．
故选：B
【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过确定函数的奇偶性、单调性等
性质，特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势等由排除法得出正确选项．
7. 已知 x，y 为正实数，则（ ）
A. 2lgx+lgy=2lgx+2lgy
B. 2lg（x+y）=2lgx•2lgy
2，1
C.
2，0
D.
【答案】D
【解析】 【分析】
先求出当 x 0 时, k 2 ；当 x 0 时， k R ；当 x 0 时，利用数形结合求出 k 0 即得
解.
【详解】当 x 0 时,因为 x2 2x 0 ， 所以 x2 2x kx ，即 k x 2k 2 ; 当 x 0 时 0 0 ，即 k R ; 当 x 0 时， ln(x 1) kx ，由图可知 k 0 ;
综上 k 的取值范围是2，0，
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数的图象及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数 形结合分析推理能力.
12. 函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于直线 x＝－ 对称．据此可推测，对任意的非 零实数 a，b，c，m，n，p，关于 x 的方程 m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0 的解集都不可能是( )
2021-2022学年西安中学高三上学期期中数学复习卷(文科)(含解析)
2021-2022学年西安中学高三上学期期中数学复习卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知全集U ={0,1，2，3，4}，设集合A ={0,1，2}，B ={1,2，3}，则A ∩∁U B =( )A. {3}B. ⌀C. {1,2}D. {0}2.2−i 1+2i=( )A. 1B. −1C. iD. −i3.下列命题中是假命题的是( )A. 若a ⃗ ⋅b ⃗ =0(a ⃗ ≠0⃗ ,b ⃗ ≠0⃗ )，则a ⃗ ⊥b ⃗B. 若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则a ⃗ =b ⃗C. 若ac 2>bc 2，则a >bD. 5>34.若f (x )= x 2−2 x −4ln x ，则f ′(x )>0的解集为…( )A. (0,+∞)B. (−1,0)∪(2,+∞)C. (2,+∞)D. (−1,0)5.数列{a n }满足a 1=1，且2a n−1−2a n =a n a n−1(n ≥2)，则a n =( )A. 2n+1B. 2n+2C. (23)nD. (23)n−16.函数f(x)=3x −的零点存在区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)7.函数的最小正周期是( )A.B. C.D.8.在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AB =1，AC =2，点P 为△ABC 内(包含边界)的点，且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中x ，y 为正实数)，则当xy 最大时，yx的值是( ) A. 12 B. 1C. 2D. 与∠A 的大小有关9.如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是B 1B ，B 1C 1，CD 的中点，则MN 与D 1P 所成角的余弦值为( )A. −√105B. √105C. √55D. 2√5510. 下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =√xB. y =(x −1)2C. y =(12)xD. y =log 0.5x11. 函数f(x)={e cosπx ,x ≤1ln(x −1x),x >1的图象大致是( ) A.B.C.D.12. 设定义在(1,e )上函数若曲线上存在点(x 0,y 0)使得f(f(y 0))=y 0，则实数a 的取值范围是( )A.B.C. [−1,e 2−e +1)D. (0,e 2−e +1)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线f(x)=x 2的一条切线与直线y =2x −3平行，则该切线的方程为______． 14. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−3,m)，若b ⃗ =λa ⃗ ，λ∈R ，则m =______． 15. 下面有四个命题：①函数的最小正周期是； ②函数的最大值是；③把函数的图象向右平移得的图象；④函数在上是减函数．其中真命题的序号是 ．16. 图中的三个直角三角形是一个体积为20cm 3的几何体的三视图，则ℎ= ______ cm ，该几何体的外接球半径为______ cm ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在数列{a n }中，a 1=1，a n =2a n−1+n+2n(n+1)(n ≥2,n ∈N ∗). (1)若数列{b n }满足b n =a n +1n+1(n ∈N ∗)，求证：数列{b n }是等比数列； (2)设c n =2n(n+1)a n+1，记 S n =c 1⋅c 2+c 2⋅c 3+⋯+c n ⋅c n+1，求使S n >79的最小正整数n 的值．18. 如图，已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，DC 是∠ACB 的平分线交AE 于点F ，交AB 于D 点．(1)求∠ADF 的度数； (2)AB =AC ，求AC ∶BC ．19. 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高x 和体重y 数据如表所示．求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为174cm 的女大学生的体重．(结果精确到0.01，且每一步用上一步的近似值进行计算)参考公式：对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其回归直线y ̂=b ̂x +a ̂的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ̂=∑x i n i=1y i −nxy−∑x i 2n i=1−nx−2=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．20. 已知椭圆C 的离心率为√32，长轴长为4，焦点在x 轴上，斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程 (2)求|AB|的最大值．21. 已知函数f(x)=lnx −12ax 2+ax ，a ∈R ． (1)当a <0时，讨论函数f(x)的极值点的个数；(2)若关于x 的不等式f(x)≤2ax −x −1恒成立，求整数a 的最小值； (3)对于函数f(x)图象上任意给定的两点A(x 1,f(x 1))、B(x 2,f(x 2))，试判断f′(x 1+x 22)与f(x 1)−f(x 2)x 2−x 1的大小关系(其中f′(x )是函数f(x)的导函数)，并给出证明．22. 直线l ：ρcos(θ−π6)=2，圆C ：ρ=2sinθ.以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ．(1)求直线l 的直角坐标方程和圆C 的参数方程；(2)已知点P 在圆C 上，点P 到直线l 和x 轴的距离分别为d 1，d 2，求d 1+d 2的最大值．23. 设函数f(x)=|x −a|，a ∈R ．(1)若不等式f(x)<1的解集为{x|0<x <2}，求a 的值； (2)若存在x 0∈R ，使f(x 0)+x 0<3，求a 的取值范围．。
陕西省西安中学高三(上)期中数学试卷含答案
∵ 퐴퐷 + 퐴퐸 = 푥퐴퐵 +푦퐴퐶，则푥 + 푦 = 2，
∵ 点 D，E 是线段 BC 上两个动点， ∴ 푥 > 0，푦 > 0．
∴
1 푥
+
4 푦
=
11 2(푥
+
4 푦)(푥
+ 푦)
=
12(5
+
푦 푥
+
4푦푥)
≥
12(5
∴ 푏4 = 푎3 + 푎5 = 2푎4 = 23，푎4 = 4，
又푏5 = 푎4 +2푎6 = 24，∴ 푎6 = 6 ，
∴ 푎6 = 푎4 +2푑，得푑 = 1，
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푎6 = 푎1 +5푑 푎 = 1
，得
，
∴ 푎푛 = 푛．
1
∴ 푎2019 + 푏9 = 2019 + 28 = 2275，
푛
}的通项公式以及数列{푎푛}的通项公式即可计算出푎2019 + 푏9的值．
【解答】
解： ∵ 푏1 = 1，푏3 = 푏2 +2，{푏 }
∴ 푏1푞2 = 푏 1푞
+ 2，푞2 = 푞
是正项等比数列， + 2，푛 解得푞 = −1(舍)或푞
= 2，
∴ 푏푛 = 2푛−1，
∵ 数列{푎푛}是等差数列，푏4 = 푎3 + 푎5，푏5 = 푎4 +2푎6，
减函数，故正确． 故选 D．
4.【答案】D
【解析】解：푎−2 = 0，即푎 = 2时，−4 < 0，恒成立；
{ 푎−2
≠ 0时，
푎−2 < 0 4(푎−2)2 + 16(푎−2) < 0，解得−2 < 푎
陕西省西安中学高三(上)期中数学试卷(文科)
A．1：1： 3
B．2：2： 3
C．1：1：2
D．1：1：4
7．（5 分）下列函数中，最小正周期为 π 的奇函数是（ ）
휋 A．y＝sin（2x + 2）
휋 B．y＝cos（2x + 2）
C．y＝sin2x+cos2x
D．y＝sinx+cosx
1 8．（5 分）若 tanθ = 3，则 cos2θ＝（ ）
→
→
→→
4．（5 分）（2014•北京）已知向量a = （2，4），b = （﹣1，1），则 2a ‒ b = （ ）
A．（5，7）
B．（5，9）
C．（3，7）
D．（3，9）
【考点】9J：平面向量的坐标运算． 【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．
→
→
【解答】解：由a = （2，4），b = （﹣1，1），得：
휋
1
9．（5 分）（2016•新课标Ⅰ）将函数 y＝2sin（2x + 6）的图象向右平移4个周期后，所得图象对应的函数
5
2021-2021 学年陕西省西安中学高三（上）期中数学试卷（文 科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1．（5 分）（2007•全国卷Ⅱ）cos330°＝（
1 A．2
1 B． - 2
） 3
C． 2
→→
→→
【解答】解：①若|a|＝|b|，但两向量方向不一定相同，则a = b不一定成立，故错误；
→→
②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则AB = DC⇔AB＝DC 且 AB∥DC⇔四边形 ABCD 为平行四边形，
2020届陕西省西安中学高三上学期期中考试数学(文)试题
第一卷(选择题 共60分)一、选择题：〔本大题共12小题，每题5分，共60分. 请将正确答案填写在答题纸相应位置.〕1．集合{}=13M x x ，{}2N x x =>，那么集合()R M N =〔 〕A ．{}12x xB ．{}1x xC ．{}12x x <D ．{}23x x <2．复数21i(1i)z -=+，那么z 在复平面内对应的点位于〔 〕 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．以下四个结论：①假设p q ∧是真命题，那么p ⌝可能是真命题；②命题“000,sin cos 1x R x x ∃∈+<〞的否认是“,sin cos 1x R x x ∀∈+≥〞； ③“5a >且5b >-〞是“0a b +>〞的充要条件； ④当0α<时，幂函数y x α=在区间()0,+∞上单调递减. 其中正确的选项是〔 〕 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④4．对于任意实数x ，不等式()()222240a x a x ----<恒成立，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．(]2,2-D ．()2,2-5．{}n a 是等差数列，{}n b 是正项等比数列，且11=b ，223+=b b ，534a a b +=，西安中学高2021届高三期中考试数学(文科)试题6452a a b +=，那么20199a b +=〔 〕A ．2027B ．2028C ．2275D ．25316．函数2,(),x x af x x x a ⎧≥=⎨-<⎩，假设函数()f x 存在零点，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．(,0)-∞B ．()0,+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞7．函数21()sin 3sin cos 2f x x x x =++，那么以下结论正确的选项是〔 〕 A ．()f x 的最大值为1B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()y f x =的图像关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()y f x =的图像关于直线3x π=对称 8．如图，在△ABC 中，点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE + x AB y AC =+，那么14x y+的最小值为〔 〕A ．32B ．2C ．92D ．99．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC AA ==，那么直线1A B 与1AC 所成角的大小为〔 〕 A ．30° B ．60°C ． 90°D ． 120°10．函数)(x f 对定义域内任意x 都满足()(6)f x f x =- ，且)(x f 在[3,)+∞上单调递减，那么 1.1(0.3)a f =，0.5(3)b f =，(0)c f =的大小关系是〔 〕 A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>11．函数x ax x f +=2)(〔〕的图像不可能．．．是〔 〕A ．B ．C ．D ．12．)(x f '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当(,0]x ∈-∞时，1)(>'x f ，那么不等式(21)(2)3f x f x x --+≥-的解集为〔 〕 A ．(3,)+∞B ．[3,)+∞C ．(,3]-∞D ．(,3)-∞第二卷(非选择题 共90分)二、填空题：〔本大题共4小题，每题5分，共20分。
陕西省黄陵中学2021届高三(本部)上学期期中考试数学文(教师word版)
2021学年度第一学期本部期中试题及答案高三（文）数学一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( C )A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}[解析] 本题考查集合的运算．∵A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1}，B ＝{0,1,2}， ∴A ∩B ＝{1,2}，故选C.2.命题“∀x ∈R ，x 3－3x ≤0”的否定为( C )A ．“∀x ∈R ，x 3－3x >0”B ．“∀x ∈R ，x 3－3x ≥0”C ．“∃x 0∈R ，x 30－3x 0>0”D ．“∃x 0∈R ，x 30－3x 0<0”[解析] 因为全称命题的否定是特称命题，所以“∀x ∈R ，x 3－3x ≤0”的否定为“∃x 0∈R ，x 30－3x 0>0”．故选C.3.命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( D )A ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0B ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0C ．若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0[解析] 命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”，故选D.4.设a ，b ∈R ，则“2a －b <1”是“ln a <ln b ”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由2a －b <1得a <b ，由ln a <ln b 得0<a <b ，∴“2a －b <1”是“ln a <ln b ”的必要不充分条件，故选B.5.若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3.则f (12)＝( C )A ．3B ．－3C ．13D ．－13[解析] 设f (x )＝x α，则f (4)f (2)＝4α2α＝4α2α＝2α＝3，所以f (12)＝(12)α＝12α＝13.故选C.6.(2020·河南南阳一中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤1，log 2(x －1)，x >1，则f [f (52)]＝( A )A ．－12B ．－1C ．－5D ．12[解析] 由题意知f (52)＝log 232，∴f [f (52)]＝2log 232－2＝－12.故选A ．7.已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ A ） A.a c b << B.a b c << C.b c a << D.c a b << 解析 由题意，可知5log 21a =<，115122221log 0.2log log 5log 5log 425b --====>=． 0.20.51c =<，所以b 最大，a ，c 都小于1．因为5log 2a ==150.210.52⎛⎫==== ⎪⎝⎭225log 42>=>12⎛< ⎝c <，所以a c b <<．故选A ． 8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010．则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg 3≈0．48）A ．3310B ．5310C ．7310D ．9310[解析]设36180310M x N ==，两边取对数得，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-≈，所以93.2810x =，即M N最接近9310，选D ．9.已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A. (1,1)- B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2xy =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >. 所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D. 10.若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( A )A ．6425B ．4825C ．1D ．1625[解析] cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝4tan α＋1tan 2α＋1＝6425，故选A.11.已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x，则f (1)＝( B )A ．－eB ．2C ．－2D ．e[解析] 由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x，令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2.12.函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，+π]的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误； 且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误.故选：A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 13．函数2()log 1f x x =-的定义域为 ．[2,)+∞【解析】要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，即2x ≥，则函数 ()f x 的定义域是[2,)+∞14.曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．解析：因为23e x y x x =+（），所以2'3e 31xy x x =++（），所以当0x =时，'3y =，所以23e x y x x =+（）在点00（，）处的切线斜率3k =，又()00y =所以切线方程为()030y x -=-，即3y x =．15.若函数f (x )＝－x 2＋4ax 在[1,3]内不单调，则实数a 的取值范围是 ），（2321 [解析] 由题意得：1<2a <3，得12<a <32.16.函数f (x )＝x sin x ＋cos x 在[π6，π]上的最大值为 π2.[解析] 因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当x ∈[π6，π2]时，f ′(x )≥0，函数f (x )递增，当x∈(π2，π]时，f ′(x )<0，函数f (x )递减，所以f (x )max ＝f (π2)＝π2.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分10分)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P (－35，－45)．(1)求sin (α＋π)的值；(2)若角β满足sin (α＋β)＝513，求cos β的值．[解析] 本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力． (1)由角α的终边过点P (－35，－45)得sin α＝－45，所以sin (α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P (－35，－45)得cos α＝－35，由sin (α＋β)＝513得cos (α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.18.(本小题满分12分).已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]，(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． [解析] (1)a ＝－1，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， 因为x ∈[－5,5]，所以x ＝1时，f (x )取最小值1， x ＝－5时，f (x )取最大值37.(2)f (x )的对称轴为x ＝－a ；因为f (x )在[－5,5]上是单调函数，所以－a ≤－5，或－a ≥5，所以实数a 的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)． 19.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2x －3.(1)试判断f (x )在[1,2]上的单调性； (2)求函数f (x )在[1,2]上的最值．[解析] (1)解法一：任取x 1，x 2∈[1,2]，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 22x 2－3－x 21x 1－3＝x 22(x 1－3)－x 21(x 2－3)(x 2－3)(x 1－3)＝(x 2－x 1)[x 1x 2－3(x 1＋x 2)](x 2－3)(x 1－3)，＝(x 2－x 1)[(x 1－3)(x 2－3)－9](x 2－3)(x 1－3)∵x 1，x 2∈[1,2]，∴－2≤x 2－3≤－1，－2≤x 1－3≤－1， ∴1≤(x 2－3)(x 1－3)≤4，∴(x 1－3)(x 2－3)－9<0. 又x 2－x 1>0，(x 2－3)(x 1－3)>0，∴(x 2－x 1)[(x 1－3)(x 2－3)－9](x 2－3)(x 1－3)<0，即f (x 2)<f (x 1)．∴f (x )在[1,2]上为减函数． 解法二：∵f (x )＝x 2x －3，∴f ′(x )＝2x (x －3)－x 2(x －3)2＝x (x －6)(x －3)2，∵1≤x ≤2，∴f ′(x )<0，∴f (x )在[1,2]上为减函数． (2)由(1)知f (x )在[1,2]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝42－3＝－4，f (x )max ＝f (1)＝11－3＝－12.20.(本小题满分12分)已知0<α<π2<β<π，且sin (α＋β)＝513，tan α2＝12.(1)求cos α的值； (2）求sin β[解析] (1)因为tan α2＝12，所以tan α＝2tanα21－tan 2α2＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43sin 2α＋cos 2α＝1，α∈(0，π2)，解得cos α＝35.另解：cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－(12)21＋(12)2＝35.(2)由已知得π2<α＋β<3π2，又sin (α＋β)＝513，所以cos (α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1213，又sin α＝1－cos 2α＝45，sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α ＝513× 35－(－1215)×45＝636521.(本小题满分12分)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨(0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．[解析] (1)设t 小时后蓄水池中的存水量为y 吨， 则y ＝400＋60t －1206t ， 令6t ＝x ，则x 2＝6t ，即t ＝x 26， 所以y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40，(构建二次函数) 所以当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池中的存水量最少，最少存水量是40吨． (2)由(1)及题意得400＋10x 2－120x <80，即x 2－12x ＋32<0， 解得4<x <8，即4<6t <8，83<t <323.因为323－83＝8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象．22.(本小题满分12分）设函数()a xf x xebx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（I ）求a ，b 的值； （II ）求()f x 的单调区间. 【解析】（I ）()e a x f x x bx -=+，∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=-即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+ ①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ②由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e xf x x -'=-+令2()(1)exg x x -=-，∴222()e(1)e (2)e xx x g x x x ---'=---=-∴()g x 的最小值是22(2)(12)e 1g -=-=- ∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=->． 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立．∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间．。
西安中学202届高三数学上学期期中试题理含解析
故选：
【点睛】本题考查了空间角的求法，面面平行的性质定理,属于基础题.
第Ⅱ卷(90分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。把答案填在答题卡上的相应位置.
15. 2020年2月为支援武汉市抗击新型冠状病毒的疫情，计划从北京大兴国际机场空运部分救援物资，该杋场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题，现有4辆载有救援物资的车辆可以停放在8个并排的泊车位上，要求停放的车辆相邻,箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有__________种．（用数字作答）
A. B. C。 3D. 6
【答案】B
【解析】
【详解】
分析】
由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示几何体是一个三棱锥，其直观图如下图：
其底面是底和高分别为5， 的三角形,高为 ，则该三棱锥的体积为V＝ 。从而该不规则几何体的体积为 。
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽。由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
12。 平面 过正方体 的顶点 ， 平面 ， 平面 , 平面 ，则 、 所成角的正弦值为( ）
A. B. C。 D。
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2021届高三年级上学期期中教学质量检测
数学(文)试题
(解析版)
2020年11月
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.请将正确答案填写在答题纸相应位置.）
1. 设31i z i =
+（i 为虚数单位），则z =（ ）
A. 2
B.
C. 12
D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案． 【详解】解：设3(1)11111(1)(1)222i i i i i z i i i i i +-+=
====-++--+，
||z ∴=， 故选：A ．
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,属于基础题． 2. 已知集合2{|28}M x x x =∈-<Z ,{1,3}P =,{0,7}Q =,则(
)M Q P = A. {0,1,7} B. {1,0,7}- C. {0,1,3,7} D. {1,0,2,7}-
【答案】D
【解析】
【分析】
求得不等式228x x -<的解集,得到集合{}1,0,1,2,3M =-,求得
{}1,0,2M P =-,再根据集合的并集运算,即可求解,得到答案．
【详解】由题意,不等式228x x -<,解得24x -<<,所以{}1,0,1,2,3M =-,所以{}1,0,2M P =-,所以(){}{}{}0,71,0,21,0,2,7M Q P ⋃=⋃-=-．故选D ．
【点睛】本题主要考查了集合的混合运算,其中解答中正确求解集合M ,再根据集合的运算,准确求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题． 3. 已知向量(),1a t =,()1,2b =.若a b ⊥,则实数t 的值为（ ）
A. －2
B. 2
C. 12-
D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意利用两个向量垂直的性质,两个向量的数量积公式,求出t 的值. 【详解】解：∵向量()1a t =，
,()1,2b =,若a b ⊥,则20a b t ⋅=+=, ∴实数2t =-,
故选：A.
【点睛】本题考查向量垂直的求参,重在计算,属基础题.
4. 已知4log 0.9a =,0.14b =,40.1c =,则（ ）
A. a b c <<
B. a c b <<
C. c a b <<
D. b a c <<
【答案】B
【解析】
【分析】
根据a ,b ,c 的正负和与1的关系比较.
【详解】因为4log 0.90=<a ,0.114=>b ,400.11<=<c ,
所以a c b <<,。