数列不等式的证明方法

数列不等式证明的几种方法

数列和不等式都是高中数学重要内容，这两个重点知识的联袂、交汇融合，更能考查学生对知识的综合理解与运用的能力。这类交汇题充分体现了“以能力立意” 的高考命题指导思想和“在知识网络交汇处”设计试题的命题原则。下面就介绍数列不等式证明的几种方法，供复习参考。

、巧妙构造，利用数列的单调性

例1•对任意自然数n,求证:

%■（1十00 + -）-（14 —「刚也-「加卄‘一

证明：构造数列

2ti + 2 2ti + 2

加4 - 1二2北十2

所以＞细，即鼠｝为单调递增数列

所以，即

点评：某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题，均可构造数列，通过数列的单调性解决。

、放缩自然，顺理成章

例2.已知函数£（只）=3 5

討+x J，数列％｝爲九）的首项引"，以后每项按如下方

式取定：曲线"住）在点:仗M珑

j））

处的切线与经过（0 , 0 ）和：1 |：:'两点

的直线平行。

求证：当时:

(1)

(2)0

7

证明：（1）因为，所以曲线’二--—处的切线斜率为0

又因为过点（0, 0）和两点的斜率为

k = * +吕，所以结论成立。

（2）因为函数

h（H）- z3 + X, > Q时单调递壇则有叮+s a = +轴*1 w

斗％J +

刼曲

=(%+1严+

(:

孤*1 二1

所以％£也1，即砥2，因此

7

又因为M 1 f Ji ' - ・ _ ・”1 ' ' - ' r I

令，且" 0

f(x) = In 设 所以

点评：本题是数列、函数、不等式、解析几何、导数等多知识点的综合题，在证 明过程中多次运用放缩，放缩自然，推理逻辑严密，顺理成章，巧妙灵活。

三、导数引入，更显神威

丄丄丄…詁皿“+丄丄丄—丄 E

例 3.求证：2 3 4 11 3 3 4 n+1

] =丄

证明：令5一门"红—口，且当心2|时，恥厂血讥f （口1，所以

C n = SL - S R _i = ln(n4 1) - In n = In n +

“。要证明原不等式，只须证

1 /十1

1

n +1 n n -1

丸鑑十1

尸

h(t)-lnt-—,11'®- ^->0

设 1 t a

所以■' ' 1上为增函数

所以h(t)nh(lXD,即

t- 1

h©-lnt-l—

所—

t

in注丄

所以: :-

In t

< —

同理可证X X

丄讪TL丄艮卩丄也四』

。对上式中的n分别取1, 2, 3 ,…,所以■ -1 : _ 1 1

丄丄丄…4丄

但-1 ,得2 3 4 n 2 3 4 n + 1

点评：导数进入中学数学新教材，为解决数列与不等式的交汇问题展示了新的思路和广阔的空间，其解题方法新颖独特，尤其是对数、指数次幕形式出现的一类问题，更显导数在解题中的工具性和独特的神威。

四、裂项求和，简捷明了

（1 ）求数列伍』的首项幻，及通项％;

（2）设绻，证明占

解：（1）首项引=2州=护-孙血=1朋…）（过程略）

乐-扌得-巧-扣叫卜| （丹-则-1）

3

=2 v2n-1

2n+l- 1

所咱走

--( ----------- 1—)--(1-

2^-1 严1-1’2、

点评：本题通过对乳的变形，利用裂项求和法化为“连续相差”形式，从而达到证题目的，整个证题过程简捷明了五、独辟蹊径，灵活变通

例4.设‘是数列的前n项和，且

(2)证明：将

1 1■)

」1 1片

—

z^-r 2

独辟蹊径指处事有独创的新方法，对问题不局限于一种思路和方法，而是善于灵活变通，独自开辟新思路、新方法。

例5.已知函数"灯忑D。设数列&｝满足衍・匕也・伽)，数列｛%｝满足叫T%-0尽=屮屮…

(2)求证:

"I烬"2,得学=侖

证明: 证法1:由

b ＜〔無—炉

(1)求证: p r~l

令C汀宀+1)7，则只须证5"；易知6・2，只须证C切"赏

由分析法：c祸qmd 1严％叙电* + 血

因为“汚十吕佩。，冷

所以-21Q|%+1冲，得证。

-据.5L +2

-弋再.上迥色L 二色

%+1 a h + l

赳時1 + J5 三——-+ J5

纭+ 1 _ （1 十 £）fen +

苗） a h 十1

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玉 _ "后 1 -血 t —l _ H （1 _ 晶 f _ J? _____ （

1-書尸T 円_加 所以 '

b 九制m 九■朽匸一嘈"_ 17 由上可求得 °十耐®

忑 1

因此只需证（1十右尸71-历尸 z ,

即证：：• ■ f ：' ■l '：1'

又（1斗Q-〔l-孙

=2（C n W3十C ： W 十戌（击y 十…）

=2爲（c\ +氓34⑴于+…）

= 73［（C ： + C>C ； + - -+C ：）+2（Ct2 + C<8+ »）］

=厉0十2（C ］・2十C ：芒十…）］》严 厉,得证。

证法2 :由于让：' =注认自的两个不动点为±① S-n 亠了 a n+l = n.）= ------------- -

又

，所