小学奥数最短路线问题(有答案)
小学奥数习题版三年级三大原理最短路线学生版
知识要点快乐热身【例 1】 如下图所示，小虎家在A 地,姥姥家在B 地。
一天，他要去看望姥姥，但不知有几条路可走，走哪条路最短，热心的小朋友们快帮帮他吧？最短路线【例2】如下图所示，从甲地到乙地一共有两条路可走，请问哪条路长？哪条路短？【例3】观察下图，若黑猫与白猫奔跑速度相同，那么哪只猫先捉到老鼠？白猫黑猫鼠【例4】直线AB是一条公路，公路两侧有甲、乙两个村庄。
现在要在公路上建一个汽车站，让两个村子的人到汽车站的路线之和最短，问汽车站建在哪儿最好？乙甲BA走格子边【例5】一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但是不知走哪条路最近。
小朋友们你能给它找到几条这样的最短路线呢？BA【例6】如果A、B 两点变成下面两图这样的位置关系，那么从A到B的最短路线有几条呢？BA【例7】方格纸上取一点A作为起点，再在A的右上方任取一点B作为终点，画一条由A到B的最短路线，聪明的小朋友，你能画出来吗？总共能画出几条呢？【例8】小明和小强到少年宫参加2010上海世博会志愿者培训，少年宫和学校之间的地图如下。
如果他们从学校出发，共有多少种不同的最短路线？学校少年宫【例9】小虎和小羊是好朋友，它们居住的小区的平面图如下。
星期天，两人相约去博物馆看展览，现在小虎要先去小羊家和小羊会和，请问小虎去小羊家的最短路线有多少条？【例10】小聪明想从北村到南村上学，可是他不知道最短路线的走法共有几种？小朋友们，快帮帮忙呀！北村南村【例11】如图，从F点出发到G点，走最短的路程，有多少种不同的走法？GF【例12】“五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩。
聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？北京黄山【例13】下图是小明家和学校的示意图，亲爱的同学们，你们觉得小明从家到学校共有几条最短路线呢？学校小明家【例14】小海龟在小猪家玩，它们想去游乐场坐碰碰车，爱动脑筋的小朋友，请你想一想，从小猪家到游乐场共有几条最短路线呢？游乐场小猪家【例15】学校组织三年级的小朋友去帮助农民伯伯锄草，大家从学校乘车出发，去往的李家村（如图）。
小学奥数系列8-8-1最短路线及参考答案
小学奥数系列8-8-1最短路线一、小学奥数系列8-8-1最短路线1. 一只蚂蚁在长方形格纸上的点，它想去点玩，但是不知走哪条路最近．小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？2. 如图所示，从点沿线段走最短路线到点，每次走一步或两步，共有多少种不同走法？3. 从A到B的最短路线有几条呢？4. 有一只蜗牛从点出发，要沿长方形的边或对角线爬到点，中间不许爬回点，也不能走重复的路，那么，它有多少条不同的爬行路线？最短的是哪条呢？5. 阿呆和阿瓜到少年宫参加北京奥运会志愿者培训．如果他们从学校出发，共有多少种不同的最短路线？6. 方格纸上取一点作为起点，再在的右上方任取一点作为终点，画一条由到的最短路线，聪明的小朋友，你能画出来吗？总共能画出几条呢？7. 如图，从点出发到点，走最短的路程，有多少种不同的走法？8. 小聪明想从北村到南村上学，可是他不知道最短路线的走法共有几种？小朋友们，快帮帮忙呀！【分析】9. “五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩．聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？10. 从甲到乙的最短路线有几条？11. 古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．人一天一位将军向他请教一个问题：如下图，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使行走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？12. 学校组织三年级的小朋友去帮助农民伯伯锄草，大家从学校乘车出发，去往的李家村（如图）．爱动脑筋的嘟嘟就在想，从学校到李家村共有多少种不同的最短路线呢？13. 亲爱的小朋友们，你们觉得从到共有几条最短路线呢？14. 阿花和阿红到少年宫参加北京奥运会志愿者培训．他们从学校出发到少年宫最多有多少种不同的行走路线？15. 小海龟在小猪家玩，它们想去游乐场坐碰碰车，爱动脑筋的小朋友，请你想一想，从小猪家到游乐场共有几条最短路线呢？16. 阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；第二天他们先去公园看大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通行．咱们学而思的小朋友都很聪明，请你们帮阿强和牛牛想想这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？17. 大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶，可是市中心在修路（城市的街道如图所示），他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友，请你们快想想吧！18. 如图，从到最短路线总共有几种走法？19. 如图，从到沿网格线不经过线段和的最短路径的条数是多少条？20. 下图为某城市的街道示意图，处正在挖下水道，不能通车，从到处的最短路线共有多少条？21. 按图中箭头所指的方向行走，从到共有多少条不同的路线？22. 按图中箭头方向所指行走，从到有多少种不同的路线？23.（1）按下图左箭头方向所指，从到有多少种不同的路线？（2）如下图所示，这个问题有一个规则：只能沿着箭头指的方向走，你能否根据规则算出所有从入口到出口的路径共有多少条？24.（1）如下图，如果只允许向下移动，从点到点共有多少种不同的路线？（2）如下图，要从点到点，要求每一步都是向右，向上或者斜上方，问共有多少种不同的走法？25. 图中有10个编好号码的房间，你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间，从1号房间走到10号房间共有多少种不同走法？26. 一只密蜂从处出发，回到家里处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？27. 在图中，用水平或垂直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，正好拼出“ ”的路线共有多少条？28. 图中的“我爱希望杯”有多少种不同的读法．29. 如下图左所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“ ”，按图中箭头所示方向有多少种不同的方法拼出英文单词“ ”.注意图中的三个字母“ ”，左、右的两个字母“ ”只能由一个字母“ ”去到达．参考答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.。
20181125小学奥数练习卷(知识点：最短线路问题)含答案解析
小学奥数练习卷（知识点：最短线路问题）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共5小题）1．如图，一只蚂蚁从中心A点出发，连走5步后又回到A点，且中间没有回到过A点．有（）种不同的走法．（每一步只能从任意一点走到与它相邻的点，允许走重复路线．）A．144B．156C．168D．1802．如图，ABCD由6个边长为l的小正方形拼成，一甲虫沿图中的线段从A爬到C，所走的最短路线有（）条．A．8B．10C．12D．163．小红的家住在花园小区，在这个小区里一共有5个居民新村，它们分别坐落在小区的公路两旁，每两个相邻居民新村之间的距离都是500米，它们的位置和居民人数如下图所示，为了便于小区居民出行，决定在小区内选择一个居民新村设立公交车站．那么公交车站的站点应该设在（）A．花园一村B．花园二村C．花园三村D．花园四村4．如图，在长方形ABCD中，沿图中线段从A到C的最短路程的不同方法共有（）种A．2B．4C．6D．85．如图，在一张道路图中，每段路旁标注的数值表示走这段路所需的时间（单位：分钟），那么从A出发走到B最快需要（）分钟．A．14B．15C．16D．17第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共32小题）6．在一个2×2×2的金属框架上，一只蚂蚁沿着框架从A点爬到B点，已知蚂蚁沿着最短的路径爬到B点，那么它共有种不同的走法．7．如图是一个电子小虫的玩具盒．玩具盒是一个长方形，其长为50厘米，宽为40厘米．电子小虫的爬行速度是每秒3厘米．如果他只能沿着图中的直线爬行，那么它从起点到终点用时30秒的走法有种．8．在沙漠之国，律子小姐发现了一波爬上金字塔的小春香，爬上金字塔的路线如图，小春香能从一块砖爬到相邻的任何一块砖．律子小姐发现在攀登金字塔的过程中，爬上金字塔的最短路线（即经过的砖块数量最少的路线）都有小春香走过，而且任意两只小春香走的路线不同，这波小春香有只．9．如图所示，某城市的街道图，若从A走到B（只能由北向南，由西向东）则共有种不同的走法．10．图中的线段表示的是小明从家到学校所经过的所有街道．小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校而走冤枉路，那么他从家到学校可以有条不同的路线．11．如图，要把棋子从A 处移到B 处，要求只能向上、向右移动，共有种不同的移动路线．12．三（1 ）班的学生要从学校到老年公寓去慰问，如下图就是学校到老年公寓所走道路的分布图，标“⊗”处的路口行人不准通行，请问从学校到老年公寓有种最近的走法．13．邮递员从邮局出发，走遍下图（单位：千米）中所示的所有街道，最后回到邮局，全程最短有千米．14．如图是某经济技术开发区街道平面图．如果你带领客人游览完所有的街道，你至少要驱车行驶多少千米？（单位：千米）15．小军从学校到电影院看电影，所经过的道路分布如图，其中标的路口不能通过，那么他共有种最短线路的走法．16．如图中每个小正方形的边长都是100 米．小明沿线段从A 点出发，不许走重复路，他最少走米才能到达 B 点．17．如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有种不同的走法．18．下图是北京市地铁线路图（部分），魏老师某天要从海淀黄庄坐地铁去蒲黄榆教学点开家长会，从魏老师在海淀黄庄站上车算起，到在蒲黄榆站下车结束，最少需要坐站地铁．（不需要考虑换乘次数）19．如图所示，从A点走到B点，沿线段走最短路线，共有种不同走法．20．如图，小张驾车从T出发，经过A，B，C，D，E各一次后，最后回到T，不允许走重复路线．图中道路旁边的数值表示汽车经过这段公路所用的小时数．小张完成计划的行程至少要用小时．21．小明骑车到A、B、C三个景点去旅游，如果从A地出发经过B地到C地，共行10千米；如果从B地出发经过C地到A地，共行13千米；如果从C地出发经过A地到B地，共行11千米，则距离最短的两个景点间相距千米．22．某城市的交通系统由若干个路口（如图中线段的交点）和街道（右图中的线段）组成，每条街道都连接着两个路口．所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值（标在图中相应的线段处）．一名邮递员传送报纸和信件，要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局（每条街道可以经过不止一次）．他合理安排路线，可以使得自己走过最短的总长度是．23．国际象棋中“马”的走法如图1所示，位于○位置的“马”只能走到标有×的格中，类似于中国象棋中的“马走日”．如果“马”在8×8的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图2中标有△的位置），要走到第八行第五列（图2中标有★的位置），最短路线有条．24．如图，27个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有条．25．如图，8个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有条．26．如图是一个道路图，A处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，如果先后有60个孩子到过路口B，则先后共有个孩子到过路口C．27．如图中表示的是一些城镇之间的道路图，各城镇之间的距离如图所示，从A 到B的最短路程是．28．一位旅行者要从A城出发去B城，但途中他要让马儿去河边饮水，有三条线路供他走，如图所示，他应该将马牵到点去饮水，这样走的路程最短．29．用边长为1厘米的正方形瓷砖，黑白相间，铺成一个4×6的矩形（如图）．一只蚂蚁从左上角的A点的出发沿正方形的边爬到右下角的B点．如果蚂蚁在爬行中，它的左边必须始终是黑色的瓷砖，那么蚂蚁至少爬行了厘米．30．如图，C处由于施工不能通行，从A走到B的最短路线一共有条．31．在图中，要从A走到B，不能经过C、D两点，如果只能向右、向上或斜上方走，一共有种不同的走法．32．一个旅游团要从A城到B城去观光旅游，路线如图．他们要选择合适的路线，才能在最短的时间内到达B城．图中的数是表示走这段路程时必需的时间（单位：分钟）．那么，从A城到B城最短需要分钟．33．从学校到电影院的路线图：其中A点在建筑施工，不能通行．如果学校要组织学生看电影，那么有条最短路线．34．一个圆柱体的底面周长是8厘米，高是3厘米（如图所示），一只蚂蚁从A 点爬到B点的最短路线长厘米．35．图中相当于一个棋盘，警察先走，双方交替走棋，每次只能沿线走一步．请问警察最少需要步才能抓住小偷．36．有10个村庄，分别用A1，A2，…，A10表示，某人从A1出发按箭头方向绕一圈最后经由A10再回到A1，有种不同走法？注：每点（村）至多过一次，两村之间，可走直线，也可走圆周上弧线，但都必须按箭头方向走．37．在如图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线共有条．三．解答题（共13小题）38．一个城市交通道路如图，数字表示各段路的路程（单位：千米），求出图中从A到F的最短路程．39．如图所示，从A到B，步行走粗线道ADB需要32分钟，乘车细线道A→C→D→E→B需22.5分钟．已知D→E→B段的距离是D→B段距离的4倍，A→C→D段的距离是A→D段的距离的5倍，车速是步行速度的6倍，问先从A至D步行，再从D→E→B乘车所需要的总时间是多少分钟？40．一个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示各段街道的千米数．他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？41．小明要从学校出发去少年宫参加活动，如图是学校到少年宫的路线图，直线表示可通行的道路．如果小明要尽快到达少年宫，他一共有多少条不同的最短路线可以走？42．王大伯从家（A点处）去河边挑水，然后把水挑到积肥潭里（B点处）．请帮他找一条最短路线，在图中表示出来，并写出过程．43．如图，一个牧童从甲地出发，赶着羊群先到河边饮水，再将羊群赶到乙地吃草．已知从甲地到河边饮水点，以及从饮水点到乙地都是直线路程，请问应该怎么选择河边饮水点的位置，使羊群所走的路线为最短？请在图上表示出来并作文字说明．44．如图，A是邮局，B，C，D，E，F是五户人家．相邻两家的路程如图标所示，邮递员从邮局出发要给这5户人家送信（每家都有信），要求最后把信送到D 户．问：邮递员走的最短路程是多少米？45．方格网上有三个地点A，B，C，每个小方格的边长为100米．如果沿着网格线修路把三个地点连起来，问：修的总路长最短为多少米？46．如图是某地区的街道示意图，由图书馆到汽车站，要求走最短的路线，共有多少种不同的走法？47．某地风景区的旅游路线如图所示，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点间的路程（单位：千米）．一学生从A处出发，以每小时2千米的速度步行浏览，每个景点的逗留时间为0.5小时．（1）当他沿着路线A﹣D﹣C﹣E﹣A游览回到A处时，共用了3小时，求CE 的长．（2）若此学生打算从A处出发后，步行速度与在景点逗留的时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行时间最短的步行路线，并计算出这条路线步行的时间（不考虑其他因素）．48．这是一张台球桌面的示意图，图中所有的小方格都是正方形，现在点A处沿AB方向将小球击出，请问小球与桌沿碰撞几次后能达到点M处？请画出小球由点A至点M的运动路径．49．如图所示，AB、CD表示两条海岸线，O是小岛，若某只小船从O岛出发，先到AB海岸接人，再到CD海岸接人，最后回到O岛上，小船走什么路线最短，请画出示意图或用语言描述．50．如图为一变种蜘蛛的蜘蛛网，已知蜘蛛只会向上或向右爬行．若某只蜘蛛由A点爬行至B点，问它共有多少种可能路线？参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．如图，一只蚂蚁从中心A点出发，连走5步后又回到A点，且中间没有回到过A点．有（）种不同的走法．（每一步只能从任意一点走到与它相邻的点，允许走重复路线．）A．144B．156C．168D．180【分析】从A出发有两个方向．可以走B和C两大类．分类讨论，利用乘法原理可得结论．【解答】解：从A出发有两个方向．可以走B和C两大类．（1）如果走的是B，接下来也是三大类，C，D，E．这样已经走了两步，还剩三步．从C三步回A共8种，从D三步回A共5种，从E三步回A共6种．所以走的是B共8×2+5×2+6=32种．（2）如果走的是C，那么接下来是两大类，B，D．从B三步回A共9种．从D 三步回A共5种．所以走的是C共9×2+5×2=28种．共（28+32）×3=180种．故选：D．【点评】本题考查最短路线问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．2．如图，ABCD由6个边长为l的小正方形拼成，一甲虫沿图中的线段从A爬到C，所走的最短路线有（）条．A．8B．10C．12D．16【分析】利用标数法求出所走的最短路线的条数即可．【解答】解：如图，向上走由5条线路，向下走有5条线路，所以一共有10条线路．故选：B．【点评】此题考查利用标数法求最短线路问题，注意方向和线路的不同．3．小红的家住在花园小区，在这个小区里一共有5个居民新村，它们分别坐落在小区的公路两旁，每两个相邻居民新村之间的距离都是500米，它们的位置和居民人数如下图所示，为了便于小区居民出行，决定在小区内选择一个居民新村设立公交车站．那么公交车站的站点应该设在（）A．花园一村B．花园二村C．花园三村D．花园四村【分析】花园小区花园一村到花园三村之间的距离是2个500米，花园五村到花园三村的距离是2个500米所以公交车站的站点应该设在花园三村．【解答】解：因为花园一村到花园三村之间的距离是2×500=1000（米）花园五村到花园三村的距离是2×500=1000（米）花园一村和花园五村到花园三村的距离相等，所以公交车站的站点应该设在花园三村．故选：C．【点评】解答本题关键求出到最远两村距离相等的中间点，然后确定出位置．4．如图，在长方形ABCD中，沿图中线段从A到C的最短路程的不同方法共有（）种A．2B．4C．6D．8【分析】本题利用加法原理的“标数法”，在交叉点上标数解答比较简单．【解答】解：根据分析画图如下，答：在长方形ABCD中，沿图中线段从A到C的最短路程的不同方法共有6种故选：C．【点评】这种类型的最短路程问题，在标数的时候要按顺序标注，不要走“回头路”．5．如图，在一张道路图中，每段路旁标注的数值表示走这段路所需的时间（单位：分钟），那么从A出发走到B最快需要（）分钟．A．14B．15C．16D．17【分析】如图，，根据每段路旁标注的数值表示走这段路所需的时间，按照A→C→D→E→F→G→B的路线走时，从A出发走到B需要的时间最短，据此把走每段路用的时间求和，求出从A出发走到B最快需要多少分钟即可．【解答】解：3+2+（4+1+2）+3=5+7+3=15（分钟）答：从A出发走到B最快需要15分钟．故选：B．【点评】此题主要考查了最短线路问题，解答此题的关键是判断出：按照A→C→D→E→F→G→B的路线走时，从A出发走到B需要的时间最短．二．填空题（共32小题）6．在一个2×2×2的金属框架上，一只蚂蚁沿着框架从A点爬到B点，已知蚂蚁沿着最短的路径爬到B点，那么它共有90种不同的走法．【分析】蚂蚁沿着最短的路径爬到B点的方法共6步，两次上、两次右和两次前进，简单来说，就是“上上右右前前”的排列，从6步里选2步向上，再从剩下的4步选2步向右，利用组合知识可得结论．【解答】解：蚂蚁沿着最短的路径爬到B点的方法共6步，两次上、两次右和两次前进，简单来说，就是“上上右右前前”的排列，从6步里选2步向上，再从剩下的4步选2步向右．所以就是=90种．故答案为90．【点评】本题考查最短路线问题，考查组合知识的运用，确定蚂蚁沿着最短的路径爬到B点的方法共6步，两次上、两次右和两次前进是关键．7．如图是一个电子小虫的玩具盒．玩具盒是一个长方形，其长为50厘米，宽为40厘米．电子小虫的爬行速度是每秒3厘米．如果他只能沿着图中的直线爬行，那么它从起点到终点用时30秒的走法有12种．【分析】电子小虫的爬行速度是每秒3厘米，30秒到达所行路程是：30×3=90厘米，正好等于长方形的一条长与一条宽的和：50+40=90厘米，所以他只能沿着图中的直线向上爬行或向右爬行，不可向下和向左爬行就能按时到达终点，据此利用“标数法”标数即可得出答案．【解答】解：电子小虫按时到达所行路程是：30×3=90厘米，正好等于长方形的一条长与一条宽的和：50+40=90厘米，所以他只能沿着图中的直线向上爬行或向右爬行，不可向下和向左爬行就能按时到达终点．走法如下：由图可以看出一共有12种走法．故答案为：12．【点评】本题考查了最短线路问题，寻找最短路线，不能走“回头路”，要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，做到不重复，不遗漏．8．在沙漠之国，律子小姐发现了一波爬上金字塔的小春香，爬上金字塔的路线如图，小春香能从一块砖爬到相邻的任何一块砖．律子小姐发现在攀登金字塔的过程中，爬上金字塔的最短路线（即经过的砖块数量最少的路线）都有小春香走过，而且任意两只小春香走的路线不同，这波小春香有32只．【分析】因为任意两只小春香走的路线不同，所以有多少条不同的行走路线，就有多少只小春香，然后利用“标数法”标数解答即可．【解答】解：根据加法原理标数如下：由图可以看出一共有32条不同的最短行走路线，也就是这波小春香有32只．故答案为：32．【点评】本题考查了最短线路问题，寻找最短路线，不能走“回头路”，要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，做到不重复，不遗漏．注意本题不可以横走，只能向上走，这样才能保证经过的砖块数量最少．9．如图所示，某城市的街道图，若从A走到B（只能由北向南，由西向东）则共有12种不同的走法．【分析】只能由北向南，由西向东，就是最短的路线，运用标数法进行求解，标出A到B的路线，然后根标数进行求解．【解答】解：根据只能由北向南，由西向东的方法，把从A走到B的路线标数如下：7+5=12一共有12种不同的走法．故答案为：12．【点评】本题考查了根据加法原理，利用“标数法”求行走路线的条数，注意不能走“回头路”，要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，做到不重复数，也不遗漏．10．图中的线段表示的是小明从家到学校所经过的所有街道．小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校而走冤枉路，那么他从家到学校可以有13条不同的路线．【分析】不走冤枉路，就是走最短路线，根据标数法进行求解即可．【解答】解：根据题意标数如下：一共有13条不同的路线．故答案为：13．【点评】利用求最短路线的方法：“标数法”时，要注意纵向和横向边沿的走法．11．如图，要把棋子从A 处移到B 处，要求只能向上、向右移动，共有11种不同的移动路线．【分析】解法一：标上字母，找出所有的路线；解法二：运用标数法进行求解．【解答】解：解法一：为了叙述的方便，我们在各交叉点标上字母（见图）；我们从A点出发，先顺序往上推：①A﹣C﹣D﹣B；②A﹣C﹣F﹣O﹣B；③A﹣C﹣﹣F﹣J﹣B；④A﹣C﹣H﹣K﹣B；⑤A﹣C﹣O﹣B；再从A点向右推：①A﹣E﹣F﹣J﹣B；②A﹣E﹣F﹣H﹣K﹣B；③A﹣L﹣G﹣H﹣K ﹣B；④A﹣L﹣G﹣O﹣B；⑤A﹣M﹣I﹣O﹣B；⑥A﹣N﹣B．因此共有：5+6=11（种）．解法二：或见右图，与B点相邻的两个点，经过它们的路线分别有5条和6条，因此共有：5+6=11（条）．所以：要把棋子从 A 处移到B 处，要求只能向上、向右移动，共有11种不同的移动．故答案为：11．【点评】要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，做到不重复，也不遗漏．12．三（1 ）班的学生要从学校到老年公寓去慰问，如下图就是学校到老年公寓所走道路的分布图，标“⊗”处的路口行人不准通行，请问从学校到老年公寓有11种最近的走法．【分析】要使路线最短，那么就只能朝着一个方向走，运用标数法，标出所有的路线即可求解．【解答】解：标数如下：一共有：7+4=11（种）；答：从学校到老年公寓有11种最近的走法．故答案为：11．【点评】本题考查了根据加法原理，利用“标数法”求行走路线的条数，注意不能走“回头路”，要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，做到不重复数，也不遗漏．13．邮递员从邮局出发，走遍下图（单位：千米）中所示的所有街道，最后回到邮局，全程最短有44千米．【分析】图中共有6个奇点，必须在6个奇点间添加3条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画．在距离最近的两个奇点间添加一条连线，所示，共添加3条连线，这3条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程30千米．【解答】解：如图：红色线条是走两边的街道，其它是只走一边的街道：3+3+（3+3）×2+3+1+3×2+2×2+3+3+3+3=44（千米）；答：走完全程最少需要走44千米．故答案为：44．【点评】解决此题的关键是按一笔画问题，就是从偶点出发，回到偶点，且要考虑重复走的路程最短，总路程就最短．14．如图是某经济技术开发区街道平面图．如果你带领客人游览完所有的街道，你至少要驱车行驶多少千米？（单位：千米）【分析】要使驱车行驶的路程最少，首先需要减少重复走的路程，本题属于不能“一笔画”的图形，是“多笔画图形”；因为整个图的奇数点有4个，所以至少需要4÷2=2笔能画完，所以走的路程是内外两个正方形的周长加上两条对角线的长度，这是必须走的路程，由于是两笔画图形，所以至少还需要再重复走内部最短的一条3千米的街道，因此总路程是：（3+3）×6+4×4+3=55（千米）；据此解答．【解答】解：根据分析可得，（3+3）×6+4×4+3，=36+16+3，=55（千米）；答：至少要驱车行驶55千米．【点评】本题主要研究了利用奇偶点来判别一笔画，学习了利用一笔画来研究一些简单的实际问题．然而，实际生活中，许多问题的图并不能一笔画出，也就是说，一笔画理论往往不能直接用来解决这些问题，要转化为多笔画来解决实际问题；知识点：笔画数=奇点数÷2．15．小军从学校到电影院看电影，所经过的道路分布如图，其中标的路口不能通过，那么他共有30种最短线路的走法．【分析】要使行走的路线最短，只能横向向右行走或纵向向下行走，以此为依据，从A到P只有2种走法；然后利用求最短路线的方法：“标数法”就可一次标出每个交叉点的走法．【解答】解：标数如下：一共30种最短线路的走法．故答案为：30．【点评】利用求最短路线的方法：“标数法”时，要注意纵向和横向边沿的走法．16．如图中每个小正方形的边长都是100 米．小明沿线段从A 点出发，不许走重复路，他最少走600米才能到达 B 点．【分析】本题从A到B的路线比较多，不可能都列举出来，所以要转变思考的角度，通过观察可知：无论怎么走都一定要横向走3条小线段，同理，竖向也走3条小线段，因此他最少走6个100米才能到达B点．【解答】解：根据分析可得，100×（3+3），=600（米）；答：他最少走600米才能到达B点．故答案为：600．【点评】本题考查了最短线路问题，注意寻找最短路线，不能走“回头路”，要按照一定的逻辑次序来分析．17．如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有6种不同的走法．【分析】本题可以这样想：因为A点是相邻的三个正方形的面的交点，经过这三个面各有一条最短路线，这样有3种选择，接下来再从其中一个面到B个面又有相邻的两个面可供选择，所以根据乘法原理，可得共有：3×2=6种不同的走法；据此解答．【解答】解：根据分析可得，共有：3×2=6（种），答：蚂蚁有6种不同的走法．故答案为：6．【点评】本题结合立体图形中最短路线问题灵活地考查了乘法原理，是个好题，关键是理解：它不论怎么走总要走正方形的面上．18．下图是北京市地铁线路图（部分），魏老师某天要从海淀黄庄坐地铁去蒲黄榆教学点开家长会，从魏老师在海淀黄庄站上车算起，到在蒲黄榆站下车结束，最少需要坐15站地铁．（不需要考虑换乘次数）【分析】本题给出的路线较多，观察找出哪一条线路中两站之间的距离较大的线路，从而数出经过的站数进而求解．【解答】解：最短的路线是：海淀黄庄﹣﹣知春里﹣﹣知春路﹣﹣大钟寺﹣﹣西直门﹣﹣车公庄﹣﹣阜成门﹣﹣复兴门﹣﹣宣武门﹣﹣和平门﹣﹣前门﹣﹣崇文门﹣﹣瓷器口﹣﹣天坛东门﹣﹣蒲黄榆，一共坐了15站．故答案为：15．【点评】本题仔细看清楚所有的路线，数清楚经过的站数是本题的解题关键．19．如图所示，从A点走到B点，沿线段走最短路线，共有18种不同走法．【分析】利用标数法，数出所有的可能即可求解．【解答】解：标数如下：。
小学奥数知识点趣味学习——最短路线问题
小学奥数知识点趣味学习——最短路线问题
1.最短路线
假如直线AB是一条公路，公路两旁有甲乙两个村子，如下图1。
现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短。
问：车站应该建在什么地方？
解答：
【小结】如果只考虑甲村的人距离公路AB最近，只要由甲村向公路AB画一条垂直线，交AB于C 点，那么C点是甲村到公路AB最近的点，但是乙村到C点就较远了。
反过来，由乙村向公路AB画垂线，交AB于D点，那么D点是乙村到公路AB最近的点。
但是这时甲村到公路AB的D点又远了。
因为本题要求我们在公路AB上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的人到这个车站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验：两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这条直线与公路AB交点P，就是所求的公共汽车站的建站点了（图2）。
用直线把甲村、乙
村连起来。
因为甲村乙村在公路的两侧，所以这条连线必与公路AB有一个交点，设这个交点为P，那么在P点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。
2.简单图形面积计算
有一个正方形水池(图中阴影部分)，在它的周围修一个宽是8米的草地，草地的面积为480平方米，求水池的边长？
【分析】如图将图分割：这样就得到四个面积相等的长方形．可求得长方形的长：480÷4÷8=15 (米)．由此求得水池的边长：15-8=7 (米)．。
二年级奥数之线路问题含答案
线路问题【例题1】仔细观察下面的几条线段，哪一条最长？哪一条最短？①②③思路导航：从观察发现，第一条线段占4格多一点，第二条线段占5格多一点，第三条线段占4格，显然，第二条最长，第三条最短。
解：第二条最长，第三条最短。
练习11.在较长的线后画“√”。
（1）（2）2.哪条线段最长？哪条线段最短？①②③④【例题2】观察下面的方格图，想一想哪只猫先捉到老鼠？思路导航：黑猫竖的横的走了6段，斜的走了2段；白猫竖的横的走了与黑猫同样的6段，斜的走了3段，比黑猫多走一段。
白猫走的路长，黑猫走的路短，所以，黑猫先捉到老鼠。
解：黑猫先捉到老鼠。
练习21.小芳和小娟用同样的速度同时出发，谁先到公园？小娟小芳2.哪只猴子先听吃到桃子？小猴大猴3.张叔叔和王叔叔从不同的地点同时去县城开会，速度相同，谁先到？张叔叔【例题3】如图，下面A、B、C三条线，哪条最长？哪条最短？BAC思路导航：用尺子量一量，容易看出，C线段最长，B线段最短。
结论是夹在两条平行线间的线段，竖直的那条最短，越倾斜越长。
解：C最长，B最短。
练习31.如下图，比一比，哪条线最长？2.如图，用铁丝围出的两个图形，哪个用的铁丝比较长？3.如图，从甲地出发沿线到达乙地，途中不以穿过黑点，也不能重复走，该走哪条路最近？请你描出路线。
甲【例题4】 一张长方形纸，怎样折剩下3个角、4个角、5个角？我们可以拿一张纸亲自试验一下。
思路导航：过两个顶点对折，就剩下3个角，如图（1）；过一个顶点折一次，就剩下4个角，如图（2）；不过顶点，过长方形相邻两边折一次，就剩下5个角了，如图（3）。
（1）解：见图（1），图（2），图（3）。
练习41.一张正方形纸，剪去一个角，剩下1个角、2个角，你会剪吗？2.一张三角形纸，剪去一个角，剩下几个角？3.一块三角板，切去两个角，还会剩下3个、4个、5个角吗？【例题5】一根绳子对折，从中间剪一刀，绳子会分成几段？思路导航：这根绳子对折后，有一处相连，从中间剪上一刀时，可以分成的段数2×2＝4（段）中去掉了一处相连的1段，从而得到了3段，一根绳子对折，从中间剪一刀，分成3段。
小学三年级奥数 第22讲最短路线
最短路线
【例1】(☆☆)
【课前铺垫】
一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但是不知走哪条路最
近。
小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？
标数法：用来解决最短路线问题的方法，在给出的图形中的每一个结点标出
到达该点的
，。
【例2】(☆☆☆)【例3】(☆☆☆)
寒假到了，艾伦和爸爸决定去黄山玩。
聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；第二天他们先去公园看大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通行。
聪明的小朋友们，请你帮阿强和牛牛想想这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？
1
【例4】(☆☆☆☆)【例5】(☆☆☆☆☆)
图中的“我爱史老师”有多少种不同的读法。
一只密蜂从A处出发，A回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧
邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？
【例6】(☆☆☆☆☆)
城市街道如下图所示，有几处街区有积水不能通行，那么从A到B的最
短路线有几条？
【本讲总结】
最短路线
宗旨：不走冤枉路，就要朝着目标走
方法：标数法
标数法四步：
1．找目标、定方向
2．从起点标数，起点标1
3．按顺序每个点都要标到
4．某点数字＝指向该点箭头
尾巴上的数字相加
注意：
．坏点可以划去或看成
2．必须经过，分段标出
2。
六年级下册奥数试题——最短路线.(含答案)人教版
8-8 最短路线教学目标1.准确运用“标数法”解决题目2.培养学生的实际操作能力．知识精讲知识点说明从一个地方到另外一个地方，两地之间有许多条路，就有许多种走法，如果你能从中选择一条最近的路走，也就是指要选择一条最短的路线走，这样你就可以节省许多时间了，那么如何能选上最短的路线呢？亲爱的小朋友们，你要记住两点：⑴两点之间线段最短．⑵尽量不走回头路和重复路，这样的话，你就做到了省时省力．例题精讲例 1】一只蚂蚁在长方形格纸上的 A 点，它想去 B 点玩，但是不知走哪条路最近．小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？解析】（方法一）从A点走到B点，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD 的一个长与一个宽，因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD ；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB ．这样我们走的这条路线才是最短路线．为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，只能向右和向下走．所有最短路线：A C D GB 、AC F G B、 A E F G BA C F I B、 A E F I B、 A E H I B这种方法不能保证“不漏”．如果图形再复杂些，做到“不重”也是很困难的．（方法二）遵循“最短路线只能向右和向下走”，观察发现这种题有规律可循．①看C点：只有从A到C的这一条路线．同样道理：从A到D 、从 A 到 E 、从 A 到H 也都只有一条路线．我们把数字“ 1 ”分别标在C、D、E、 H 这四个点上．②看 F 点：从 A 点出发到 F ，可以是 A C F ，也可以是 A E F ，共有两种走法．那么我们在F点标上数字“ 2”（2=1 1）．③ 看G 点：从 A G 有三种走法，即： A C D G 、 A C F G 、 A E F G．在G点标上数字“ 3”（3=1 2）．④看I 点：共有三种走法，即：A C F I 、 A E F I 、 A E H I ，在I 点标上“ 3” （3=1 2）．⑤看B点：从上向下走是G B ，从左向右走是I B ，那么从出发点 A B有六种走法，即： A C D G B、 A C F G B、A E F G B、A C F I B、A E F I B、A E H I B，在B点标上“ 6”（ 6 33），观察发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这个和就是从出发点 A 到这点的所有最短路线的条数．此法能够保证“不重”也“不漏”，这种方法叫“对角线法”或“标号法”．巩固】如图所示，从A点沿线段走最短路线到 B 点，每次走一步或两步，共解析】 共有 9种，即： A A B O C 、B O DC 、A D OBC ,最短的路是: A OC 、 A O B C 、 A B CA D C 、 A D O C C ．解析】 这是一个较复杂的最短路线问题，我们退一步想想，先看看简单的情况．从 A 到 B 的各种不同走法中先选择一条路线来分析：如果按路线 A →C →D →E → F → B 来走，这条路线共有 5条线段，每次走 一步或两步，要求从 A 走到 B ，会有几种走法？这不是“上楼梯”问题吗．根 据“上楼梯”问题的解法可得在 A →C →D →E →F → B 这条路线中有 8 种符合条件的走法．而对于从 A 到 B 的其他每条最短路线而言，每一条路 线都有 5 条线段，所以每条路线都有 8 种走法．进一步：从 A 到B 共有多少条最短路线？这正是 “最短路线”问题！用“标 数法”来解决，有 10 条．综上所述，满足条件的走法有 8 10 80种．巩固】 从A 到 B 的最短路线有几条呢？解析】 图中从 A 到B 的最短路线都为 6 条．巩固】 有一只蜗牛从 A 点出发 ,要沿长方形的边或对角线爬到 C 点,中间不许 爬回 A 点,也不能走重复的路，那么，它有多少条不同的爬行路线？最短 的是哪条呢？有多少种不同走法？D DE EFBDEACFB AC CB例 2】 阿呆和阿瓜到少年宫参加 2008 北京奥运会志愿者培训．如果他们从学校出发，共有多少种不 同的最短路线？解析】 从学校到少年宫的最短路线， 只能向右或向下走． 我们可以先看 A点：从 学校到 A 点最短路线只有 1种走法，我们在 A 点标上 1．B 、E 、F 、G 点同 理．再看 J 点：最短路线可以是 A J 、E J 共2条，我们在 J 点标上 2．我 们发现 2 1 1正好是对角线 A 点和 E 点上的数字和．所有的最短路线都符 合这个规律，最终从学校到少年宫共有 10 种走法．巩固】 方格纸上取一点 A 作为起点，再在 A 的右上方任取一点 B 作为终点，画一条由 A 到B 的最短路线，聪明的小朋友， 你能画出来吗？总共能画出几条 呢？解析】 根据“标号法”可知共有 10 种，如图．学校学校1 1 12 3J136 1 4 I10BAAC D 少年宫巩固】如图，从 F 点出发到G 点，走最短的路程，有多少种不同的走法？G分析】 共 有 115种．小聪明想从北村到南村上学，可是他不知道最短路线的走法共有几种？小朋友们，快帮帮忙呀！北村“五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩．聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？采用对角线法（如图）这道题的图形与前几题的图形又有所区别，因此， 在解题时要格外注意是由哪两点的数之和来确定另一点的．从北京到黄 山最近的道路共有 10 条．2456 3 6 10 1521 4 10 20 3565 1535 7126 北村1 1 11 1 1 1巩固】 分析】 根 据“对角线法”知共有 126种，如图．南村北京1 1 12 1122 3241 3710黄山解析】北京巩固】从甲到乙的最短路线有几条？解析】有11条．例 4 】古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．人一天一位将军向他请教一个问题：如下图，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使行走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？甲地乙地河流解析】本题主要体现最值思想和对称的思想，教师应充分引导孩子观察行走路线的变化情况逐步引导学生通过对称来找到相应的点，进一步了解图形最值问题中应该如何解决问题．例 5 】学校组织三年级的小朋友去帮助农民伯伯锄草，大家从学校乘车出发，去往的李家村（如图）．爱动脑筋的嘟嘟就在想，从学校到李家村共有多少种不同的最短路线呢？解析】我们采用对角线法（如图），从学校到李家村共有81种不同的最短路线．学校2 310 103 64 105 15 25 356 21 46 81甲学校11拓展］ 亲爱的小朋友们，你们觉得从 A 到 B 共有几条最短路线呢？解析】 此 题与上题不同，但方法相同．我们采用对角线法（如图）可知：可以选择的最短路线共有 41 条．例 6】 阿花和阿红到少年宫参加 2008 北京奥运会志愿者培训．他们从学校出发 到少年宫最多有多少种不同的行走路线？少年宫 少年宫解析】 采用对角线法（如图） ．可得从学校到少年宫共有 90 种走法．铺垫］ 小海龟在小猪家玩，它们想去游乐场坐碰碰车，爱动脑筋的小朋友，请你想一想，从小猪家到游乐场共有几条最短路线呢？解析】 “对角线”法（如图） ，共 14 条．例 7 】 阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；游乐场游乐场14 59 5243 211 1 1 小猪家第二天他们先去公园看大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通行．咱们学而思的小朋友都很聪明，请你们帮阿强和牛牛想想这三天从 学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？仍 然用对角线法求解．第一天（无限制条件）共有 16条；第二天（必须 经过公园）共有 8条；第三天（必须不经过公园）共有 8 条．大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶， 可是市中心在修路 （城市的街道 如图所示 ）,他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友， 请你们快想想吧！方法二）可以直接求，即把含有市中心的田字格挖去，共有 66 条．解析】巩固】市中心学校解析】 （方法一）用“对角线法”求出：从学校到养老院共 心的 60 条，所以可行的路有： 126 60 66（条）． 126条．必经过市中515 35 70 126 410 203556 3610 市中心152123456学校养老院111学校 养老院养老院养老院5 15 25 40 661 4 10 10 15 2651 3 6111 2 3 4 5 6学校 1 1 1例 8】如图，从X 到Y 最短路线总共有几种走法？分析】如图，共有716种．例 9】如图，从A到B沿网格线不经过线段CD和EF 的最短路径的条数是多少条？解析】由于不能经过线段CD和EF ，所以我们必须先在网络图中拆除然后再在拆除了CD和EF以后的网络图中进行标数（如下图所示）．运用标数法可求出满足条件的最短路径有78 条．Y18 3685170 342 71617 28 49 85 172 37416 21 2 36 87 2021 5 15 15 51 115151 4 10 36 6413 6 10 15 21 281 2 3 4 5 6 7X 1 1 1 1 11CD和EF ，巩固】下图为某城市的街道示意图，C处正在挖下水道，不能通车，从A到B 处的最短路线共有多少条？解析】从A到B的最短路线有431条.解析】本题中的运动方向已经由箭头标示出来，所以关键要分析每一点的入口情况．B431B174110 5564 55 55 30 129C25 18 12 7 398 7 6 5 4 3 2 111 1 1 1 1 1 1例 10 】按图中箭头所指的方向行走，从A到I 共有多少条不同的路线？1742571910A通过标数法我们可以得出从 A 到I 共有 29条不同的路径．例 11】 按图中箭头方向所指行走，从 A 到G 有多少种不同的路线？解析】 运 用标数法原理进行标数，整个标数流程如下图从 A 到 G 共有 21 条不同的路线．巩固】 ⑴按下图左箭头方向所指，从 X 到Y 有多少种不同的路线？ ⑵如下图右所示，这个问题有一个规则：只能沿着箭头指的方向走，你 能否根据规则算出所有从入口到出口的路径共有多少条？C EBAEB2 1AC GG分析］ ⑴利用标数法求得 X 到Y 有34种不同的路线，如下图左所示． ⑵由题将路线图转化为下图右所示，根据标数法求得从入口到出口的路 径共有 10 条．例 12】 ⑴如下图左，如果只允许向下移动，从 A 点到 B 点共有多少种不同的路线？⑵如下图右，要从 A 点到 B 点，要求每一步都是向右，向上或者斜上方， 问共有多少种不同的走法？34Y入口出口5 8 31X13AB解析】⑴按题目要求，只能向下移动，利用标数法求得A到B共有路线68种，如下图左所示．⑵按题目要求，只能走下图右的3个方向，利用标数法求得共有22 种不同的走法，如下图右．巩固】 图中有 10个编好号码的房间， 你可以从小号码房间走到相邻的大号码房 间，但不能从大号码房间走到小号码房间， 从 1号房间走到 10 号房间共 有多少种不同走法？分析】 图 中并没有标出行走的方向，但题中“你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间”这句话实际上就规 定了行走的方向．如下图所示，我们可以把原图转化成常见的城市网络 图，然后再根据标数法的思想标数：从图中可以看出，从 1 号走到 10号 房间共有 22 种不同的走法．A68 BB 22 16 61例 13】一只密蜂从A处出发，A回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？解析】 蜜 蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行 ”这意味着它只能从小号码的蜂房爬进相邻的大号码的蜂房．明确了行走路径的方向，就可运用标准法进行计算．如图所示，小蜜蜂从 A 出发到 B 处共有 89种不同的回家方法 ．例 14 】 在图中，用水平或垂直的线段连接相邻的字母， 当沿着这些线段行走时，正好拼出“ APPLE ”的路线共有多少条？PP LPP P L E L P分析］ 要想拼出英语“ APPLE ”的单词，必须按照“ A P P L E ”的次序拼写．在图中的每一种拼写方式都对应着一条最短路径．如下图所示，运 用标数法原理标数不难得出共有 31 种不同的路径．P P L P P A P L E L P P A1311 2 7 2 11 2 4 15 4 2 1 2 4 8 31 8 4 2 1铺垫］图中的“我爱希望杯”有多少种不同的读法．我 1 爱 1 希 望 1 杯1 1 1 1爱 1 希 2 望 3 杯 41234希 望 杯 希1望1望 3杯4杯6 望 1杯1 4分析］ 从我（ 1个）、爱（ 2个）、希（ 3个）、望（ 4个）、杯（ 5个）中组成“我 爱希望杯”即相同的字只能选一个而且不能重复选，所以共有1 4 6 4116（种）．拓展］ 如 下图左所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“ Einstein ”，按图中箭头所示方向有多少种不同的方法拼出英文单词“ Einstein ” .1i E1 1 i2 i 1 1s n3 n 3 n 1 t4 s t 6 s t 4 s 10 t 10 t ee 1i 0 2i 0i 10 3n 0 i 3n 0 i分析］ 因为“ Einstein ”的拼读顺序为“ E i n s t e i n ”，每一种拼法都 对应着网络图中的一条最短路径，所以可以运用标数法来解决． 如上图右所示，从E 点到n 点的最短路径有 30条，所以共有 30 30 60（种） 不同拼法 . 注意图中的三个字母 “i ”， 左、右的两个字 母“i ”只能由一 个字母。
小学奥数习题版三年级三大原理最短路线教师版
知识要点快乐热身【例 1】 如下图所示，小虎家在A 地,姥姥家在B 地。
一天，他要去看望姥姥，但不知有几条路可走，走哪条路最短，热心的小朋友们快帮帮他吧？【分析】可走的路有5条，即：AFB 、AB 、AEB 、ADB 、ACB ，其中最短的路是AB 。
【例 2】 如下图所示，从甲地到乙地一共有两条路可走，请问哪条路长？哪条路短？最短路线【分析】一样长。
【例 3】 观察下图，若黑猫与白猫奔跑速度相同，那么哪只猫先捉到老鼠？白猫黑猫鼠【分析】白猫比黑猫走的多，黑猫先抓到老鼠。
【例 4】 直线AB 是一条公路，公路两侧有甲、乙两个村庄。
现在要在公路上建一个汽车站，让两个村子的人到汽车站的路线之和最短，问汽车站建在哪儿最好？乙甲B AB【分析】 根据“两点之间，线段最短”这个道理，甲、乙两村的连线与AB 有一个交点C ，这个交点就是所选定的汽车站（如图）。
走格子边【例 5】 一只蚂蚁在长方形格纸上的A 点，它想去B 点玩，但是不知走哪条路最近。
小朋友们 你能给它找到几条这样的最短路线呢？B A63131211BA【分析】如右上图所示，根据标数法可得最短路线有6条。
【例 6】 如果A 、B 两点变成下面两图这样的位置关系，那么从A 到B 的最短路线有几条呢？BA BA【分析】根据上题原理，图中从A 到B 的最短路线都为6条。
【例 7】 方格纸上取一点A 作为起点，再在A 的右上方任取一点B 作为终点，画一条由A 到B 的最短路线，聪明的小朋友，你能画出来吗？总共能画出几条呢？【分析】如右上图所示，根据“标数法”可知共有10条最短路线，其中一条如右上图中粗线所示。
【例 8】 小明和小强到少年宫参加2010上海世博会志愿者培训，少年宫和学校之间的地图如下。
如果他们从学校出发，共有多少种不同的最短路线？少年宫学校104163131211少年宫学校【分析】如右上图所示，根据标数法可知最短路线一共有10条。
【例 9】 小虎和小羊是好朋友，它们居住的小区的平面图如下。
小学二年级奥数第28讲 线路问题(含答案)
第28讲线路问题【专题简析】比较几条线段的长短或一根绳子如何一刀剪成四段等等，这类题目非常有趣，我们在做题的时候要仔细观察，认真思考。
比较线段的长短，可借助方格图数一数，每条线段占几格，横的、竖的、斜的分别比一比，很快就可以比出哪条线段长些。
将绳子对折剪开时，别忘了对折一次，有一处相连，再对折一次，又有两处相连，所以剪开后的段数中必须去掉相连的几处。
【例题1】仔细观察下面的几条线段，哪一条最长？哪一条最短？①②③思路导航：从观察发现，第一条线段占4格多一点，第二条线段占5格多一点，第三条线段占4格，显然，第二条最长，第三条最短。
解：第二条最长，第三条最短。
练习11.在较长的线后画“√”。
（1）（2）2.哪条线段最长？哪条线段最短？①②③④白猫黑猫【例题2】观察下面的方格图，想一想哪只猫先捉到老鼠？思路导航： 黑猫竖的横的走了6段，斜的走了2段；白猫竖的横的走了与黑猫同样的6段，斜的走了3段，比黑猫多走一段。
白猫走的路长，黑猫走的路短，所以，黑猫先捉到老鼠。
解：黑猫先捉到老鼠。
练习21.小芳和小娟用同样的速度同时出发，谁先到公园？小娟小芳2.哪只猴子先听吃到桃子？小猴大猴3.张叔叔和王叔叔从不同的地点同时去县城开会，速度相同，谁先到？张叔叔【例题3】如图，下面A、B、C三条线，哪条最长？哪条最短？ABC思路导航：用尺子量一量，容易看出，C线段最长，B线段最短。
结论是夹在两条平行线间的线段，竖直的那条最短，越倾斜越长。
解：C最长，B最短。
练习31.如下图，比一比，哪条线最长？2.如图，用铁丝围出的两个图形，哪个用的铁丝比较长？3.如图，从甲地出发沿线到达乙地，途中不以穿过黑点，也不能重复走，该走哪条路最近？请你描出路线。
甲【例题4】 一张长方形纸，怎样折剩下3个角、4个角、5个角？我们可以拿一张纸亲自试验一下。
思路导航：过两个顶点对折，就剩下3个角，如图（1）；过一个顶点折一次，就剩下4个角，如图（2）；不过顶点，过长方形相邻两边折一次，就剩下5个角了，如图（3）。
六年级下册奥数试题——最短路线.(含答案)人教版
1. 准确运用“标数法”解决题目.2. 培养学生的实际操作能力．知识点说明从一个地方到另外一个地方，两地之间有许多条路，就有许多种走法，如果你能从中选择一条最近的路走，也就是指要选择一条最短的路线走，这样你就可以节省许多时间了，那么如何能选上最短的路线呢？亲爱的小朋友们，你要记住两点：⑴两点之间线段最短．⑵尽量不走回头路和重复路，这样的话，你就做到了省时省力．【例 1】一只蚂蚁在长方形格纸上的A 点，它想去B 点玩，但是不知走哪条路最近．小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？BA11613321BA IHG F E DC【解析】 （方法一）从A 点走到B 点，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD 的一个长与一个宽，因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD ；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB ．这样我们走的这条路线才是例题精讲知识精讲教学目标8-8最短路线最短路线．为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，只能向右和向下走．所有最短路线：→→→→→→→→、A E F G B→→→→、A C F G BA C D G B→→→→→→→→、A E H I BA C F I B→→→→、A E F I B这种方法不能保证“不漏”．如果图形再复杂些，做到“不重”也是很困难的．（方法二）遵循“最短路线只能向右和向下走”，观察发现这种题有规律可循．①看C点：只有从A到C的这一条路线．同样道理：从A到D、从A到E、从A到H也都只有一条路线．我们把数字“1”分别标在C D E H、、、这四个点上．②看F点：从A点出发到F，可以是A C F→→，也可以是→→，共有两种走法．那么我们在F点标上数字“2”（2=11+）．③A E F看G点：从A G→→→、A C F G→→→、→有三种走法，即：A C D G→→→．在G点标上数字“3”（3=12+）．④看I点：共有三种走A E F G法，即：A C F I→→→，在I点标上“3”→→→、A E H I→→→、A E F I（3=12+）．⑤看B点：从上向下走是G B→，那么从→，从左向右走是I B 出发点A B→→→→、→→→→、A C F G B→有六种走法，即：A C D G B→→→→、A E H I B→→→→、A E F I B→→→→，→→→→、A C F I BA E F G B在B点标上“6”（633=+），观察发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这个和就是从出发点A到这点的所有最短路线的条数．此法能够保证“不重”也“不漏”，这种方法叫“对角线法”或“标号法”．【巩固】如图所示，从A点沿线段走最短路线到B点，每次走一步或两步，共有多少种不同走法？AB【解析】 这是一个较复杂的最短路线问题，我们退一步想想，先看看简单的情况．从A 到B 的各种不同走法中先选择一条路线来分析：如果按路线A →C →D →E →F →B 来走，这条路线共有5条线段，每次走一步或两步，要求从A 走到B ，会有几种走法？这不是“上楼梯”问题吗．根据“上楼梯”问题的解法可得在A →C →D →E →F →B 这条路线中有8种符合条件的走法．而对于从A 到B 的其他每条最短路线而言，每一条路线都有5条线段，所以每条路线都有8种走法． 进一步：从A 到B 共有多少条最短路线？这正是“最短路线”问题！用“标数法”来解决，有10条．综上所述，满足条件的走法有81080⨯=种．1032463111111B A BF ED CA BA【巩固】 从A 到B 的最短路线有几条呢？BA【解析】 图中从A 到B 的最短路线都为6条．【巩固】 有一只蜗牛从A 点出发,要沿长方形的边或对角线爬到C 点,中间不许爬回A 点,也不能走重复的路，那么，它有多少条不同的爬行路线？最短的是哪条呢？ODC BA【解析】 共有9种，即：A O C →→、 A O D C A O B C →→→→→→、 、 A B C →→A B O C →→→、 A B O D C →→→→、 A D C →→、 A D O C →→→ A D O B C →→→→,最短的路是:A O C →→．【例 2】阿呆和阿瓜到少年宫参加2008北京奥运会志愿者培训．如果他们从学校出发，共有多少种不 同的最短路线？少年宫学校J I HGF EDC B A 410633211111少年宫学校【解析】 从学校到少年宫的最短路线，只能向右或向下走．我们可以先看A 点：从学校到A 点最短路线只有1种走法，我们在A 点标上1．B 、E 、F 、G 点同理．再看J 点：最短路线可以是A J →、E J →共2条，我们在J 点标上2．我们发现211=+正好是对角线A 点和E 点上的数字和．所有的最短路线都符合这个规律，最终从学校到少年宫共有10种走法．【巩固】 方格纸上取一点A 作为起点，再在A 的右上方任取一点B 作为终点，画一条由A 到B 的最短路线，聪明的小朋友，你能画出来吗？总共能画出几条呢？BA【解析】 根据“标号法”可知共有10种，如图．【巩固】 如图，从F 点出发到G 点，走最短的路程，有多少种不同的走法？GF【分析】 共有115种．【巩固】 小聪明想从北村到南村上学，可是他不知道最短路线的走法共有几种？小朋友们，快帮帮忙呀！南村北村【分析】 根据“对角线法”知共有126种，如图．12656703535216152015105541111南村北村410633211111【例 3】“五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩．聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？黄山北京2黄山北京211410331111722【解析】 采用对角线法（如图）这道题的图形与前几题的图形又有所区别，因此，在解题时要格外注意是由哪两点的数之和来确定另一点的．从北京到黄山最近的道路共有10条．【巩固】 从甲到乙的最短路线有几条？乙甲【解析】 有11条．【例 4】古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．人一天一位将军向他请教一个问题：如下图，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使行走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？乙地甲地河流【解析】 本题主要体现最值思想和对称的思想，教师应充分引导孩子观察行走路线的变化情况甲地逐步引导学生通过对称来找到相应的点，进一步了解图形最值问题中应该如何解决问题．【例 5】学校组织三年级的小朋友去帮助农民伯伯锄草，大家从学校乘车出发，去往的李家村（如图）．爱动脑筋的嘟嘟就在想，从学校到李家村共有多少种不同的最短路线呢？李家村学校81461025李家村学校235216151051114106331111【解析】 我们采用对角线法（如图），从学校到李家村共有81种不同的最短路线．［拓展］ 亲爱的小朋友们，你们觉得从A 到B 共有几条最短路线呢？BA【解析】 此题与上题不同，但方法相同．我们采用对角线法（如图）可知：可以选择的最短路线共有41条．【例 6】阿花和阿红到少年宫参加2008北京奥运会志愿者培训．他们从学校出发到少年宫最多有多少种不同的行走路线？少年宫学校904214482814少年宫学校2651143111114952052【解析】 采用对角线法（如图）．可得从学校到少年宫共有90种走法．［铺垫］ 小海龟在小猪家玩，它们想去游乐场坐碰碰车，爱动脑筋的小朋友，请你想一想，从小猪家到游乐场共有几条最短路线呢？小猪家游乐场149小猪家游乐场2551114321【解析】 “对角线”法（如图），共14 条．【例 7】阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；第二天他们先去公园看大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通行．咱们学而思的小朋友都很聪明，请你们帮阿强和牛牛想想这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？【解析】仍然用对角线法求解．第一天（无限制条件）共有16条；第二天（必须经过公园）共有8条；第三天（必须不经过公园）共有8条．【巩固】大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶，可是市中心在修路(城市的街道如图所示),他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友，请你们快想想吧！【解析】（方法一）用“对角线法”求出：从学校到养老院共126条．必经过市中心的60 条，所以可行的路有：1266066-=（条）．养老院（方法二）可以直接求，即把含有市中心的田字格挖去，共有66条．664026111010养老院学校2526155111463311115155411【例 8】如图，从X 到Y 最短路线总共有几种走法？【分析】 如图，共有716种．71637434217017220285511536212815218364115878536492836211515101077666554432YX1111111111111【例 9】如图，从A 到B 沿网格线不经过线段CD 和EF 的最短路径的条数是多少条？A C DE FB【解析】 由于不能经过线段CD 和EF ，所以我们必须先在网络图中拆除CD 和EF ，然后再在拆除了CD 和EF 以后的网络图中进行标数(如下图所示)．运用标数法可求出满足条件的最短路径有78条．【巩固】 下图为某城市的街道示意图，C 处正在挖下水道，不能通车，从A 到B 处的最短路线共有多少条？【解析】 从A 到B 的最短路线有431条.CBA174551999558325743117411030552518121211C BA836410776543211111111【例 10】 按图中箭头所指的方向行走，从A 到I共有多少条不同的路线？CF H DIGE B A【解析】 本题中的运动方向已经由箭头标示出来，所以关键要分析每一点的入口情况．通过标数法我们可以得出从A 到I 共有29条不同的路径．【例 11】 按图中箭头方向所指行走，从A 到G 有多少种不同的路线？GF E DC B A【解析】 运用标数法原理进行标数，整个标数流程如下图2181AB CD EF G 2351313532GF ED CB A1881AB CDE F G2355332GF E D CB A11AB CDE F G22GF E DC B A11AB C DE F G从A 到G 共有21条不同的路线．【巩固】 ⑴按下图左箭头方向所指，从X到Y 有多少种不同的路线？⑵如下图右所示，这个问题有一个规则：只能沿着箭头指的方向走，你能否根据规则算出所有从入口到出口的路径共有多少条？［分析］⑴利用标数法求得X到Y有34种不同的路线，如下图左所示．⑵由题将路线图转化为下图右所示，根据标数法求得从入口到出口的路径共有10条．出口1【例 12】⑴如下图左，如果只允许向下移动，从A点到B点共有多少种不同的路线？⑵如下图右，要从A点到B点，要求每一步都是向右，向上或者斜上方，问共有多少种不同的走法？ABBA【解析】⑴按题目要求，只能向下移动，利用标数法求得A到B共有路线68种，如下图左所示．⑵按题目要求，只能走下图右的3个方向，利用标数法求得共有22种不同的走法，如下图右．2622166111201010644143468341444332111111A BB A 42622166111B A【巩固】 图中有10个编好号码的房间，你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间，从1号房间走到10号房间共有多少种不同走法？10987654321【分析】 图中并没有标出行走的方向，但题中“你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间”这句话实际上就规定了行走的方向．如下图所示，我们可以把原图转化成常见的城市网络图，然后再根据标数法的思想标数：从图中可以看出，从1号走到10号房间共有22种不同的走法．【例 13】 一只密蜂从A 处出发，A 回到家里B 处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？BA864297531【解析】 蜜蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行”这意味着它只能从小号码的蜂房爬进相邻的大号码的蜂房．明确了行走路径的方向，就可运用标准法进行计算．如图所示，小蜜蜂从A 出发到B 处共有89种不同的回家方法．【例 14】 在图中，用水平或垂直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，正好拼出“APPLE ”的路线共有多少条？AAPPLELPPA A P L P P P A A P P P A A P A［分析］ 要想拼出英语“APPLE ”的单词，必须按照“A P P L E →→→→”的次序拼写．在图中的每一种拼写方式都对应着一条最短路径．如下图所示，运用标数法原理标数不难得出共有31种不同的路径．131127211224154112283184411AAPPLELPPA A P L P P P A A P P P A A P A［铺垫］ 图中的“我爱希望杯”有多少种不同的读法．望杯望杯希杯爱望希杯杯望希爱我 杯杯杯杯杯望望望希希希爱爱我644332111111111［分析］ 从我（1个）、爱（2个）、希（3个）、望（4个）、杯（5个）中组成“我爱希望杯”即相同的字只能选一个而且不能重复选，所以共有1464116++++=(种)．［拓展］ 如下图左所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein ”，按图中箭头所示方向有多少种不同的方法拼出英文单词“Einstein ”.i111111i［分析］ 因为“Einstein ”的拼读顺序为“E i n s t e i n →→→→→→→”，每一种拼法都对应着网络图中的一条最短路径，所以可以运用标数法来解决． 如上图右所示，从E 点到n 点的最短路径有30条，所以共有303060+=(种)不同拼法.注意图中的三个字母“i ”，左、右的两个字母“i ”只能由一个字母“e ”去到达．。
小学三年级奥数最短路线问题【三篇】
【导语】海阔凭你跃，天⾼任你飞。
愿你信⼼满满，尽展聪明才智;妙笔⽣花，谱下锦绣第⼏篇。
学习的敌⼈是⾃⼰的知⾜，要使⾃⼰学⼀点东西，必需从不⾃满开始。
以下是为⼤家整理的《⼩学三年级奥数最短路线问题【三篇】》供您查阅。
【第⼀篇】
练习题：
图4-18是某城市的主要公路⽰意图，今在C、D、E、F、G、H路⼝修建⽴交桥，车辆不能通⾏，那么从A到B的最近路线共有⼏条？
答案解析：
【第⼆篇】
练习题：
如图4-17所⽰是⼀个街道的平⾯图，在不⾛回头路、不⾛重复路的条件下，可以有多少种不同的⾛法？
答案解析：
【第三篇】
练习题：
图4-16为某城市的街道⽰意图，C处正在挖下⽔道，不能通车，从A到B处的最短路线共有多少条？
答案解析：。
小学初级奥数第21讲-加法原理之最短路线
B
C
A
例三
下图是某地街道平面图，标有 处的道路是不准通行的。 问消防车从消防队到着火点有多少条最短通路？
着火点
消防队
练一练
如图，某城市的街道由五条东西向马路和七条南北向马路 组成，现在要从西南角的A处沿最短的路线走到东北角B出， 由于修路，十字路口C不能通过，那么共有多少种不同走法？
B
C
A
<作业1> 从A处到B处共有多少条最短路线？
B A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课后作业
<作业2> 小刚到书店去买书，从他家到书店最多有几种最近的走法？
小刚家
课后作业
书店
课后作业
<作业3> 左下图是某街区的道路图，C点和D点正在修路不能通过， 那么从A点到B点的最短路线有多少条？
B D C
A
例一 如图所示，从A到B的最短线路有多少条？ B
A
练一练 小伟从家到爷爷家经过的所有路线如下图所示， 那么，小伟从家到爷爷家有几条最短路线？
小伟家
爷爷家
例二
如图所示，小明家在A地，小学在B地，电影院在C地。 小明从家去小学，走最短的线路，有多少种走法？ 小明从家去电影院，走最短的线路，有多少种走法？
三年级奥数三大原理最短路线教师版
知识要点快乐热身【例 1】 如下图所示，小虎家在A 地,姥姥家在B 地。
一天，他要去看望姥姥，但不知有几条路可走，走哪条路最短，热心的小朋友们快帮帮他吧？FEDCBA【分析】可走的路有5条，即：AFB 、AB 、AEB 、ADB 、ACB ，其中最短的路是AB 。
本讲主要学习数最短路线的总条数，通过本节课的学习： 1．掌握“解决最短路线条数问题”的两注意：不重、不漏。
2．准确运用“标数法”解决问题。
3．培养学生的实际操作能力。
1.两点之间，线段最短。
2.标数法计算最短路线的总条数。
最短路线【例 2】 如下图所示，从甲地到乙地一共有两条路可走，请问哪条路长？哪条路短？乙甲【分析】一样长。
【例 3】 观察下图，若黑猫与白猫奔跑速度相同，那么哪只猫先捉到老鼠？白猫黑猫鼠横 竖 斜 黑 1 5 2 白243【例 4】 直线AB 是一条公路，公路两侧有甲、乙两个村庄。
现在要在公路上建一个汽车站，让两个村子的人到汽车站的路线之和最短，问汽车站建在哪儿最好？乙甲B AC乙甲BA【分析】 根据“两点之间，线段最短”这个道理，甲、乙两村的连线与AB 有一个交点C ，这个交点就是所选定的汽车站（如图）。
走格子边【例 5】 一只蚂蚁在长方形格纸上的A 点，它想去B 点玩，但是不知走哪条路最近。
小朋友们 你能给它找到几条这样的最短路线呢？A31211A【分析】如右上图所示，根据标数法可得最短路线有6条。
【例 6】 如果A 、B 两点变成下面两图这样的位置关系，那么从A 到B 的最短路线有几条呢？BA BA【分析】根据上题原理，图中从A 到B 的最短路线都为6条。
【例 7】 方格纸上取一点A 作为起点，再在A 的右上方任取一点B 作为终点，画一条由A 到B 的最短路线，聪明的小朋友，你能画出来吗？总共能画出几条呢？【分析】如右上图所示，根据“标数法”可知共有10条最短路线，其中一条如右上图中粗线所示。
【例 8】 小明和小强到少年宫参加2010上海世博会志愿者培训，少年宫和学校之间的地图如下。
三年级奥数详解答案-第十九讲-最短路线问题
三年级奥数详解答案-第十九讲-最短路线问题第十九讲最短路线问题在日常工作、生活和娱乐中，经常会遇到有关行程路线的问题.在这一讲里，我们主要解决的问题是如何确定从某处到另一处最短路线的条数。
例1 下图4—1中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从A走到B处共有多少条最短路线？分析为了叙述方便，我们在各交叉点都标上字母.如图4—2.在这里，首先我们应该明确从A到B的最短路线到底有多长？从A点走到B 点，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD的一个长与一个宽，即AD＋DB.因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB.这样我们走的这条路线才是最短路线.为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，即在水平方向上不能向左走，在竖直方向上不能向上走.因此只能向右和向下走。
有些同学很快找出了从A到B的所有最短路线，即：A→C→D→G→B A→C→F→G→BA→C→F→I→B A→E→F→G→BA→E→F→I→B A→E→H→I→B通过验证，我们确信这六条路线都是从A到B的最短路线.如果按照上述方法找，它的缺点是不能保证找出所有的最短路线，即不能保证“不漏”.当然如果图形更复杂些，做到“不重”也是很困难的。
现在观察这种题是否有规律可循。
1.看C点：由A、由F和由D都可以到达C，而由F→C是由下向上走，由D→C是由右向左走，这两条路线不管以后怎样走都不可能是最短路线.因此，从A到C只有一条路线。
同样道理：从A到D、从A到E、从A到H也都只有一条路线。
我们把数字“1”分别标在C、D、E、H这四个点上，如图4—2。
2.看F点：从上向下走是C→F，从左向右走是E→F，那么从A点出发到F，可以是A→C→F，也可以是A→E→F，共有两种走法.我们在图4—2中的F点标上数字“2”.2=1＋1.第一个“1”是从A→C的一种走法；第二个“1”是从A→E的一种走法。
3.看G点：从上向下走是D→G，从左向右走是F→G，那么从A→G我们在G点标上数字“3”.3＝2+1，“2”是从A→F的两种走法，“1”是从A→D的一种走法。
小学奥数最短路线问题(有答案)
小学六年级奥数教案—运筹学初步本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。
这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。
当然，限于现有的知识水平，我们仅仅是初步探索一下。
1.统筹安排问题例1星期天妈妈要做好多事情。
擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。
妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？分析与解：如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要95分钟。
要想节约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。
最合理的安排是：先洗脏衣服的领子和袖口，接着打开全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的40分钟内擦玻璃和收拾厨房，最后晾衣服，共需60分钟（见下图）。
例1告诉我们，当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情。
2.排队问题例2理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟。
怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？分析与解：一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理。
甲先给需10分钟的人理发，然后15分钟的，最后24分钟的；乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的。
甲给需10分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为（10×3）分；然后，甲给需 15分钟的人理发，有 1人等待，占用两人的时间和为（15×2）分；最后，甲给需 24分钟的人理发，无人等待。
甲理发的三个人，共用（10×3＋15×2＋24）分，乙理发的两个人，共用（12×2＋20）分。
总的占用时间为（10×3＋15×2＋24）＋（12×2＋20）=128（分）。
小学奥数全国推荐三年级奥数通用学案附带练习题解析答案24最短路线(二)
年级三年级学科奥数版本通用版课程标题最短路线（二）上一讲我们已经学习了标号法，但是有些类型的最短路线问题更为复杂，比如有些需要我们分步计算，有些需要舍去一些点再考虑，等等。
本讲我们就继续学习一些更复杂的最短路线问题。
复杂的最短路线问题的分类：1. 中间必须经过某些点2. 中间不能经过某些点3. 图形变化问题4. 求最短折线的问题例1下图是某街区的道路图。
从A点沿最短路线到B点，其中经过C点和D点的不同路线共有多少条？分析与解：方法一：题中要求的最短路线是必须经过A、C、D、B，只能是向上或向右，还是利用对角线法标数，如图，满足题意的不同路线共有72条。
方法二：本题可将从A到B分为三段，先是从A到C，再从C到D，最后从D到B。
利用对角线法标数时，前一段的终点看成下一段的起点，再找到这段中需标1的点，依次标数。
如图所示，从A到C有3种走法，从C到D有4种走法，从D到B有6种走法。
因为从A到B是分段走的，从A到C的每种走法又对应从C到D的4种走法，依此类推，所以不同的路线共有3×4×6＝72（条）。
例2 大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶，可是市中心在修路（城市的街道如图所示），他们从学校到养老院的最短路线共有几条呢？聪明的同学们，请你们快想想吧！分析与解：学校到养老院（也就是说可以经过市中心、也可以不经过市中心）的路线由对角线法可得共有126条，再减去必经过市中心的60 条，即得不经过市中心从学校到养老院的最短路线共有126－60＝66（条）。
例3小新和爸爸决定去黄山玩，请你找找看，从北京到黄山的最短路线共有几条？分析与解：我们采用对角线法（如图）来解。
这道题的图形与前几题的图形又有所区别，在解题时要格外注意D、G、K、E、H、L这样的点共有几条最短路线，具体是怎么走的，即由哪两点的数之和来确定另一点（或和哪点的数相同），D点由A点确定，标1；E点由点B、D确定，标1＋1＝2；H点由E点确定，标2；G点由点A、F确定，标1＋1＝2；K 点由G点确定，标2；L点由点E、K确定，标2＋2＝4。
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小学六年级奥数教案—运筹学初步
本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。
这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。
当然，限于现有的知识水平，我们仅仅是初步探索一下。
1.统筹安排问题
例1星期天妈妈要做好多事情。
擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。
妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？
分析与解：如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要95分钟。
要想节约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。
最合理的安排是：先洗脏衣服的领子和袖口，接着打开全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的40分钟内擦玻璃和收拾厨房，最后晾衣服，共需60分钟（见下图）。
例1告诉我们，当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情。
2.排队问题
例2理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟。
怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？
分析与解：一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理。
甲先给需10分钟的人理发，然后15分钟的，最后24分钟的；乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的。
甲给需10分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为（10×3）分；然后，甲给需 15分钟的人理发，有 1人等待，占用两人的时间和为（15×2）分；最后，甲给需 24分钟的人理发，无人等待。
甲理发的三个人，共用（10×3＋15×2＋24）分，乙理发的两个人，共用（12×2＋20）分。
总的占用时间为
（10×3＋15×2＋24）＋（12×2＋20）=128（分）。
按照上面的安排，从第一人开始理发到五个人全部理完，用了 10＋15＋24＝49（分）。
如果题目中再要求从第一人开始理发到五人全部理完的时间最短，那么做个调整，甲依次给需10，12，20分钟的人理发，乙依次给需15，24分钟的人理发，总的占用时间仍是128分钟，而五人全部理完所用时间为
10＋12＋20＝42（分）。
例3车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。
现有两名工作效率相同的修理工，怎样安排才能使得修复的时间最短且经济损失最少？
分析与解：因为（18＋30＋17＋25＋20）÷2=55（分），经过组合，一人修需18，17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，修复时间最短，为55分钟。
上面只考虑修复时间，没考虑经济损失，要使经济损失少，就要使总停产时间尽量短，显然应先修理修复时间短的。
第一人按需17，18，20分钟的顺序修理，第2人按需25，30分钟的顺序修理，经济损失为
5×［（17×3＋18×2＋20）＋（25×2＋30）］=935（元）。
3.最短路线问题
例4 右图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间（单位：分）。
小明从A到B最快要几分钟？
分析与解：我们采用分析排除法，将道路图逐步简化。
从A到O有两条路，A→C→O用6分钟，A→F→O用7分钟，排除后者，可将FO抹去，但AF不能抹去，因为从A到B还有其它路线经过AF，简化为左下图。
从A到E还剩两条路，A→C→G→E用12分钟，A→C→O→E用10分钟，排除前者，可将CG，GE抹去，简化为右上图。
从A到D还剩两条路，A→C→O→D用12分钟，A→H→D用13分钟，排除后者，可将AH，HD抹去，简化为左下图。
从A到B还剩两条路，A→C→O→E→B用17分钟，A→C→O→D→B
用16分钟，排除前者，可将OE，EB抹去，简化为右上图。
小明按A→C→O→D→B走最快，用16分钟。
4.场地设置问题
例5 下图是A，B，C，D，E五个村之间的道路示意图，○中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距离（单位：千米）。
现在要在五村之中选一个村建立一所小学。
为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案。
分析与解：我们采用比较学校设在相邻两村的差别的方法。
例如比较A和 C，若设在 A村，则在 C村一侧将集结 20＋20＋35＋50=125（人），这些人都要走 AC这段路；若设在C村，则只有40人走AC这段路。
对这两种方案，走其余各段路的人数完全相同，所以设在C村比设在A村好。
从上面比较A和C的过程可以看出，场地设置问题不必考虑场地之间的距离，只需比较两个场地集结的人数多少，哪个场地集结的人数越多，就应设在哪。
同理，经比较得到C比B好，D比E好。
最后比较C和D。
若设在 C 村，则在 D村一侧将集结 35＋ 50= 85（人）；若设在 D村，则在C村一侧将集结 40＋20＋20=80（人）。
因为在D村集结的人数比C村多，所以设在D村比C村好。
经过上面的比较，最合理的方案是设在D村。
不难发现，本题的解法与第27讲例2的解法十分类似。
例6某天然气站要安装天然气管道通往位于一条环形线上的A～G七个居民区，每两个居民区间的距离如下图所示（单位：千米）。
管道有粗细两种规格，粗管可供所有7个居民区用气，每千米8000元，细管只能供1个居民区用气，每千米3000元。
粗、细管的转接处必须在居民区中。
问：应怎样搭配使用这两种管道，才能使费用最省？
分析与解：在长度相同的情况下，每根粗管的费用大于2根细管的费用，小于3根细管的费用，所以安装管道时，只要后面需要供气的居民区多于2个，这一段就应选用粗管。
从天然气站开始，分成顺时针与逆时针两条线路安装，因为每条线路的后面至多有两个居民区由细管通达，共有7个居民区，所以至少有3个居民区由粗管通达。
因为长度相同时，2根或1根细管的费用都低于1根粗管的费用，所以由粗管通达的几个居民区的距离越短越好，而顺时针与逆时针两条线路未衔接部份的距离越长越好。
经过计算比较，得到最佳方案：
（1）天然气站经G，F，E到D安装粗管，D到C安装2根细管，C
到B安装1根细管；
（2）天然气站到A安装1根细管。
此时总费用最少，为
8000×（3+12+8+6）+3000×2×5+3000×（9+10）=319000（元）。
练习29
1.早饭前妈妈要干好多的事：烧开水要15分钟，擦桌椅要8分钟，准备暖瓶要1分钟，灌开水要2分钟，买油条要10分钟，煮牛奶要7分钟。
如果灶具上只有一个火，那么全部做完这些工作最少需要多少时间？怎样安排？
2.甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的3个车床上加工七个零件，各零件加工所需时间分别为4，5，6，6，8，9，9分钟，三人同时开始工作。
问：加工完七个零件最少需多长时间？
3.车间里有5台车床同时出现故障。
已知第一台至第五台修复的时间依次为15，8，29，7，10分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。
问：（1）如果只有一名修理工，那么怎样安排修理顺序才能使经济损失最少？（2）如果有两名修理工，那么修复时间最少需多少分钟？
4.下页左上图是一张道路图，每条路上的数是小王走这段路所需的时间（单位：分）。
小王从A到B，最快需要几分钟？
5.东升乡有8个行政村。
分布如右上图所示，点表示村庄，线表示道路，数字表示道路的长（单位：千米）。
现在这个乡要建立有线广播网，沿道路架设电线。
问：电线至少要架多长？
6.有七个村庄A1，A2，…，A7分布在公路两侧（见下图），由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应设在哪里？
7.有一个水塔要供应某条公路旁的A～F六个居民点用水（见下图，单位：千米），要安装水管，有粗细两种水管，粗管足够供应6个居民点用水，细管只能供应1个居民点用水，粗管每千米要7000元，细管每千米要2000元，粗细管怎样互相搭配，才能使费用最省？费用应是多少？
答案与提示练习29
1.22分。
提示：先烧开水后煮牛奶共需22分，其它事情可以在这个期间做，顺序是买油条，准备暖瓶，擦桌椅（水开时暂停，煮上奶），灌开水，继续擦桌椅。
2.17分。
3.（1）780元；（2）36分。
提示：（1）按修复时间需7，8，10，15，29分的顺序修理；（2）一人修需7分和29分的，另一人修需8，10，15分的。
4.48分。
提示：A→E→O→G→B。
5.50千米。
提示：架设的线路如下图。
6.D。
提示：本题可简化为“B，C，D，E，F处分别站着1，1，2，2，1个人（见下页图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”。
7.从水塔到C点铺粗管，最后三个居民点铺细管，总费用为297000元。
提示：当长度相同时，四根细管的费用超过一根粗管，所以最后三个居民点用细管。