单层感知器模型与学习算法
第2章 单层前向网络及LMS学习算法
xj
wi1 wi 2 wij
ui
bi
i
vi
f ()
yi
wiN
xN
单层感知器模型
感知器模型与MP模型的不同之处是假定神经元 的突触权值是可变的，这样就可以进行学习。
1，若 ( wij x j b) 0 y Sgn ( wij x j b) j1 j1 y m 1，若 ( w x b) 0 ij j j1
判决边界
类 l1
类 l1
类l2
类l2
x1 0
x2 0
x1 x2 Y=w1· x1＋w2· x2－b=0 0 Y=w1· 0＋w2· 0－b<0
条件 b>0
“与”
0
1 1
1
0 1
0
0 1
Y=w1· 0＋w2· 1－b<0
Y=w1· 1＋w2· 0－b<0 Y=w1· 1＋w2· 1 － b ≥0
b>w2 b>w1
单层感知器对权值向量的学习算法是基于迭代的思 想，通常是采用纠错学习规则的学习算法。 为方便起见，将偏差b作为神经元突触权值向量的第 一个分量加到权值向量中去，那么对应的输入向量 也应增加一项，可设输入向量的第一个分量固定为 +1，这样输入向量和权值向量可分别写成如下的形 式： T
X (n) 1, x1(n), x 2(n),, x m (n)
I X (n) X T (n) W (n) X (n)d (n)
LMS算法
第一步：设置变量和参量： X(n)= [1, x1(n), x2(n), …, xm(n)]为输入向量，或称 训练样本； W(n)= [b(n), w1(n), w2(n), …, wm(n)]为权值向量； b(n) 为偏差；y(n)为实际输出；d(n)为期望输出； η为学习速率；n为迭代次数。 第二步：初始化，赋给Wj(0)各一个较小的随机非零 值， n = 0；
单层感知器实现逻辑‘与’功能
单层感知器实现逻辑‘与’功能1.感知器实现逻辑‘与’功能的学习算法单层感知器，即只有一层处理单元的感知器。
感知器结构如下图所示：图1：感知器结构表1：与运算的真值表x 1 x 2 y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 111分界线的方程（w 1x 1+w 2x 2-T=0）可以为： 0.5x 1+0.5x 2-0.75=0输入为k x 1、k x 2，输出为yk 。
当k x 1和k x 2均为1时，yk 为1，否则yk 为0。
设阈值θ=0.05，训练速率系数η=0.02，初始设置加权为058.0)0(1=w ，065.0)0(2=w 。
由于只有一个输出，得加权修正公式为：k k i i x n w n w ηδ+=+)()1(k k k y T -=δ第一步：w(0)=(0.058, 0.065)，加入x1=(0, 0)，05.01221111-=-+=θxwxws，则y1=0。
由于T1=0，δ1= T1- y1=0，故w(1)=(0.058, 0.065)第二步：加入x2=(0, 1)，015.02222112=-+=θxwxws，则y2=1。
由于T 2=0，则δ2= T2- y2=-1，故w(2)=w(1)+0.02(-1)x2=(0.058, 0.045)第三步：加入x3=(1, 0)，008.03223113=-+=θxwxws，则y3=1。
由于T 3=0，则δ3= T3- y3=-1，故w(3)=w(2)+0.02(-1)x3=(0.038, 0.045)第四步：加入x4=(1, 1)，033.04224114=-+=θxwxws，则y4=1。
由于T 4=1，则δ4= T4- y4=0，故w(4)=w(3)=(0.038, 0.045)第五步：加入x1=(0, 0)，S1=-0.05，则y1=0。
由于T1=0，δ1=0，故w(5)=(0.038,0.045)第六步：加入x2=(0, 1)，S2=-0.005，则y2=0。
单层感知器算法及其训练过程探究
单层感知器算法及其训练过程探究随着人工智能和机器学习技术的发展，单层感知器算法因为其简单和易于理解的特点成为了很多人学习和掌握机器学习初步知识的入门之路。
本文将介绍单层感知器算法及其训练过程探究。
一、单层感知器算法单层感知器是一种线性分类模型，也是神经网络的一种。
它通过一些列数值计算和激活函数的运用，将输入的向量映射到某个输出的标签值，用于相应的分类任务中。
单层感知器算法的基本流程是：输入向量 x 经过线性函数运算 h(x) = w*x+b 之后，再经过激活函数 g(h(x)) ，得到分类的输出 y。
其中，w 是权重，b 是偏差量。
在训练过程中，单层感知器通过反向传播算法对权重和偏差量进行不断调整，从而不断提高分类准确率。
二、单层感知器的训练过程单层感知器的训练过程可以分为以下几步：1. 准备数据准备数据是机器学习的第一步，也是单层感知器训练的必要条件。
通常，我们需要用一些已经标记好标签的数据集，输入向量 x 和对应的标签 y，作为算法的训练数据集。
2. 初始化权重和偏差量在开始训练之前，需要初始化权重 w 和偏差量 b。
通常，我们可以使用随机的小数值来初始化它们。
3. 计算误差并更新参数单层感知器的权重和偏差量通过随机初始化后，就可以开始输入训练集数据，并对其进行分类。
如果分类结果与真实标签不一致，则需要通过误差计算来调整权重和偏差。
通常，我们可以使用代价函数作为误差计算的准则，常见的代价函数有均方误差MSE 和交叉熵 CE. 通过代价函数计算出误差值，再通过反向传播算法对权重和偏差量进行更新，不断调整，直到误差值最小化。
4. 不断迭代在更新了权重和偏差量之后，需要再次用训练集测试，并根据误差值调整权重和偏差，直到误差值达到预设精度或者达到最大迭代次数停止。
三、总结单层感知器算法作为神经网络中的一种基本算法，其训练过程简单，易于理解，对于初学者来说是一种入门机器学习和神经网络的良好途径。
总之，单层感知器是机器学习和深度学习的起点，学习它可以让我们更好地理解更复杂的神经网络和机器学习算法，为未来更高级的研究打下坚实的基础。
感知器算法
y = f (∑ wi xi − θ )
i =1
d
而且f为一阶跃函数， 而且 为一阶跃函数，即： 为一阶跃函数
d 1, ∑ wi xi − θ ≥ 0 i =1 y = f ( x) = = sgn( w0T x − θ ) d −1, w x − θ < 0 ∑ i i i =1
四、感知器训练算法在多类问题中的应用 就第二章中的第三种情况为例说明） （就第二章中的第三种情况为例说明） 判决规则：对于c种类型 存在k个判决函 种类型， 判决规则：对于 种类型，存在 个判决函 数 d j ( x)( j = 1, 2,⋯, k ) ，若 di ( x) > d j ( x)( j = 1, 2,⋯ , k , j ≠ i) ， x ∈ ωi 则判： 则判： 假设k=c, 多类问题的感知器算法的步骤如下： 多类问题的感知器算法的步骤如下： 假设 (1) 赋给初值： 赋给初值： 赋初值，选择正常数c, 给 Wi 赋初值，选择正常数 把训练样本 变成增广型， 变成增广型，k=0; x (2) 输入训练样本 xk，k ∈{x1 , x2 ,⋯, xn }，假定 x ∈ ωi ；
训练样本
x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 1011 0111 1101 0101 1011 0111 1101 0101 1011 0111 1101 0101 1011 0111 1101 0101
W(K)Tx
+ + + 0 0 + 0 + + + -
(3) 计算 个判决函数值： 计算c个判决函数值 个判决函数值：
di ( xk ) = [Wi (k )]T xk , i = 1, 2,⋯ , c
感知模型算法
感知模型算法感知模型算法是机器学习领域中一种常用的算法，它主要用于模拟和复制人类的感知过程，从而实现对输入数据的理解和分析。
在这篇文章中，我将介绍感知模型算法的原理、应用和优缺点。
感知模型算法是一种二分类模型，它通过学习输入数据的特征和标签之间的关系，来预测新数据的标签。
算法的核心思想是将输入数据映射到一个多维空间中，并在该空间中寻找一个超平面，将不同类别的数据点完全分开。
在这个过程中，感知模型通过迭代计算权重和偏置，不断调整超平面的位置，使得误分类点的数量最小化。
感知模型算法的应用非常广泛，特别是在图像识别、自然语言处理和推荐系统等领域。
在图像识别中，感知模型可以识别不同类别的物体或图像，从而实现自动化的图像分类和标注。
在自然语言处理中，感知模型可以识别文本中的情感、主题或实体，从而为用户提供更加个性化和精准的服务。
在推荐系统中，感知模型可以根据用户的历史行为和偏好，预测用户可能喜欢的物品或内容。
然而，感知模型算法也有一些局限性。
首先，感知模型只能处理线性可分的数据集，对于非线性可分的数据集效果不佳。
其次，感知模型对数据的初始权重和偏置值非常敏感，可能会陷入局部最优解。
此外，感知模型算法对于噪声数据非常敏感，可能会导致误分类。
为了克服感知模型算法的局限性，研究者们提出了许多改进和扩展的算法。
比如，多层感知机（Multilayer Perceptron，简称MLP）通过引入隐藏层和非线性激活函数，可以处理复杂的非线性问题。
支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）通过引入核函数，可以处理非线性可分的数据集。
卷积神经网络（Convolutional Neural Network，简称CNN）通过引入卷积操作和池化操作，可以处理图像和语音等具有空间结构的数据。
总结来说，感知模型算法是机器学习领域中一种重要的算法，它可以模拟和复制人类的感知过程，实现对输入数据的理解和分析。
单层感知器实现逻辑‘与’功能
单层感知器实现逻辑‘与’功能1.感知器实现逻辑‘与’功能的学习算法单层感知器，即只有一层处理单元的感知器。
感知器结构如下图所示：图1：感知器结构表1：与运算的真值表x 1 x 2 y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 111分界线的方程（w 1x 1+w 2x 2-T=0）可以为： 0.5x 1+0.5x 2-0.75=0输入为k x 1、k x 2，输出为yk 。
当k x 1和k x 2均为1时，yk 为1，否则yk 为0。
设阈值θ=0.05，训练速率系数η=0.02，初始设置加权为058.0)0(1=w ，065.0)0(2=w 。
由于只有一个输出，得加权修正公式为：k k i i x n w n w ηδ+=+)()1(k k k y T -=δ第一步：w(0)=(0.058, 0.065)，加入x1=(0, 0)，05.01221111-=-+=θxwxws，则y1=0。
由于T1=0，δ1= T1- y1=0，故w(1)=(0.058, 0.065)第二步：加入x2=(0, 1)，015.02222112=-+=θxwxws，则y2=1。
由于T 2=0，则δ2= T2- y2=-1，故w(2)=w(1)+0.02(-1)x2=(0.058, 0.045)第三步：加入x3=(1, 0)，008.03223113=-+=θxwxws，则y3=1。
由于T 3=0，则δ3= T3- y3=-1，故w(3)=w(2)+0.02(-1)x3=(0.038, 0.045)第四步：加入x4=(1, 1)，033.04224114=-+=θxwxws，则y4=1。
由于T 4=1，则δ4= T4- y4=0，故w(4)=w(3)=(0.038, 0.045)第五步：加入x1=(0, 0)，S1=-0.05，则y1=0。
由于T1=0，δ1=0，故w(5)=(0.038,0.045)第六步：加入x2=(0, 1)，S2=-0.005，则y2=0。
人工神经元模型介绍
从最简化的观点看，仍具有一定指导意义。
MP模型应用
• MP模型应用： 可用于实现分类、模式识别等，当前 已经有许多成功的基于M-P神经元模型的神 经网络得到应用，如BP算法，这种算法是 实现人脸识别的主要算法之一。
感知器（Perceptron）模型
1958年，美国心理学家Frank Rosenblatt提出一种具有单层计算单元的 神经网络，成为Perceptron,即为感知器。 感知器是一种前馈网络，同层内无互连， 不同层间无反馈，由下层向上层传递。其 输入、输出均为离散值，神经元对输入加 权求和后，由阈值函数决定其输出。 单层感知器的结构与功能都非常简单，但 却是要就其他网络的基础。
• 设定输入向量X=(x1,x2)T
• 输出： • 则由方程：w1jx1+w2jx2-Tj=0 可以确定平面上的一条直线
感知器模型
• 设定输入向量X=(x1,x2,x3)T
• 输出： • 则由方程：w1jx1+w2jx2+w3jx3-Tj=0 可以确定三维空间上的一个分界平面
感知器的功能
感知器在线性神经元中加入了阈值函数， 也称为线性阈值元。它可接受实数型信号 ，而输出二值离散量(0,1)。即：一个单计 算节点感知器具有分类功能。
M-P模型
是1943年心理学家McCulloch和数学家 W.Pitts在分析总结神经元基本特性的基础上 首先提出的M-P模型。指出了神经元的形式 化数学描述和网络结构方法，证明了单个 神经元能执行逻辑功能，从而开创了人工 神经网络研究的时代。
MP模型神经元特性函数可表示为
y f [Wi xEi T ]
1 y 0
E≥T， I=0 E≥T， I>0 E<T， I=0 E<T，I>0
单层感知器
i
y
f
... ...
xN
N
输入 x(n) 1, x1(n), x2(n),L , xN (n)T
权值 ω(n) b(n),1(n),2(n),L ,N (n)T
N
v(n) i xi ωT (n)x(n) i0
2.单层感知器的学习算法
（1）定义变量和参数。X为输入，y为实际输出，d为 期望输出，b为偏置，w为权值。
➢ 粗准焦螺旋 和细准焦螺旋的类比。——自适应 学习率。
3.感知器的局限性
单层感知器无法解决线性不可分问题， 只能做近似分类。 感知器的激活函数使用阈值函数，输出值只有 两种取值，限制了在分类种类上的扩展 。 如果输入样本存在奇异样本，网络需要花费很 长的时间。 感知器的学习算法只对单层有效 。
4.单层感知器相关函数详解
>> T=[0,0,0,0,0,1,1,1,1,1] % 训练输出，负数输出0，非负数输出1
>> net=train(net,P,T);
>> newP=-10:.2:10;
% 测试输入
>> newT=sim(net,newP);
>> plot(newP,newT,'LineWidth',3);
>> title('判断数字符号的感知器');
3, 0 x1
l2类 4, 1
向量 ω 2, 3
二维空间中的超平面是一条
直线。在直线下方的点，输
出-1；在直线上方的点，输
出1。分类面：
1x1 2 x2 b 0
2.单层感知器的学习算法
在实际应用中 ，通常采用纠错学习规则的学习算法。
感知器
1．具体应用背景的介绍感知器是由美国计算机科学家罗森布拉特（F.Roseblatt）于1957年提出的。
感知器可谓是最早的人工神经网络。
单层感知器是一个具有一层神经元、采用阈值激活函数的前向网络。
通过对网络权值的训练，可以使感知器对一组输人矢量的响应达到元素为0或1的目标输出，从而实现对输人矢量分类的目的。
2．分类器设计方法概述及选择依据分析分类器设计方法概述感知器是由具有可调节的键结值以及阈值的单一个类神经元所组成，它是各种类神经网络中，最简单且最早发展出来的类神经网络模型，通常被用来作为分类器使用。
感知器的基本组成元件为一个具有线性组合功能的累加器，后接一个硬限制器而成，如下图所示：单层感知器是一个具有一层神经元、采用阈值激活函数的前向网络。
通过对网络权值的训练，可以使感知器对一组输入矢量的响应达到元素为0或1的目标输出，从而达到对输入矢量分类的目的。
分类的判断规则是：若感知器的输出为1，则将其归类于C1类；若感知器的输出为0，则将其归类于C2类。
判断规则所划分的只有两个判断区域，我们将作为分类依据的超平面定义如下：感知器分类是通过训练模式的迭代和学习算法，产生线性或非线性可分的模式判别函数。
它不需要对各类训练模式样本的统计性质作任何假设，所以是一种确定性的方法。
比如固定增量逐次调整算法、最小平方误差算法。
要使前向神经网络模型实现某种功能，必须对它进行训练，让他学会要做的事情，并把所学到的知识记忆在网络的权值中。
人工神经网络的权值的确定不是通过计算，而是通过网络自身的训练来完成的。
感知器的训练过程如下：在输入矢量X的作用下，计算网络的实际输出A 与相应的目标矢量T进行比较，检查A是否等于T，然后比较误差T-A，根据学习规则进行权值和偏差的调整；重新计算网络在新权值作用下的输入，重复权值调整过程，知道网络的输出A等于目标矢量T或训练次数达到事先设置的最大值时结束训练。
感知器设计训练的步骤如下：（1）对于所要解决的问题，确定输入矢量X，目标矢量T，并由此确定各矢量的维数以及确定网络结构大小的参数：r(表示输入矢量维数，神经元的权值向量维数)，s（表示一个输入矢量所对应的输出矢量的维数，或者表示神经元个数），p（表示输入矢量组数，）。
感知器模型及其学习算法
感知器模型及其学习算法1感知器模型感知器模型是美国学者罗森勃拉特（rosenblatt）为研究大脑的存储、学习和认知过程而提出的一类具有自学习能力的神经网络模型，它把神经网络的研究从纯理论探讨引向了从工程上的实现。
rosenblatt明确提出的感知器模型就是一个只有单层排序单元的前向神经网络，称作单层感知器。
2单层感知器模型的自学算法算法思想：首先把连接权和阈值初始化为较小的非零随机数，然后把有n个连接权值的输入送入网络，经加权运算处理，得到的输出如果与所期望的输出有较大的差别，就对连接权值参数按照某种算法进行自动调整，经过多次反复，直到所得到的输出与所期望的输出间的差别满足要求为止。
?为简单起见，仅考虑只有一个输出的简单情况。
设xi(t)是时刻t感知器的输入（i=1,2,......,n），ωi(t)是相应的连接权值，y(t)是实际的输出，d(t)是所期望的输出，且感知器的输出或者为1，或者为0。
3线性不可分问题单层感知器无法抒发的问题被称作线性不容分后问题。
1969年，明斯基证明了“异或”问题就是线性不容分后问题：“异或”（xor）运算的定义如下：由于单层感知器的输出为y(x1,x2)=f(ω1×x1+ω2×x2-θ)所以，用感知器实现简单逻辑运算的情况如下：（1）“与”运算（x1∧x2）令ω1=ω2=1，θ=2，则y=f(1×x1+1×x2-2)显然，当x1和x2均为1时，y的值1；而当x1和x2有一个为0时，y的值就为0。
（2）“或”运算（x1∨x2）令ω1=ω2=1,θ=0.5y=f(1×x1+1×x2-0.5)显然，只要x1和x2中有一个为1，则y的值就为1；只有当x1和x2都为0时，y的值才为0。
（3）“非”运算（～x1）令ω1=-1，ω2=o，θ=-0.5，则y=f((-1)×x1+1×x2+0.5))显然，无论x2为何值，x1为1时，y的值都为0；x1为o时，y的值为1。
神经网络感知器
--
神 经 网 络
输出：o j
1 1
w1 j x1 w2 j x2 Tj 0 w1 j x1 w2 j x2 Tj 0
单
层 感 知
则由方程
w1jx1+w2jx2-Tj=0
(3.3)
器 确定了二维平面上的一条分界线。
4
（1）输入是二维
w1j x1+w2j x2 – Tj = 0
w1j x1 = Tj - w2j x2 x1 = (Tj -w2j x2) / w1j
>>z = 10*sin(pi/3)* ... >>sin(pi/3);
46
2 MATLAB基本运算
MATLAB的查询命令 ➢键入help inv即可得知有关inv命令的用法
向量与矩阵的表示及运算 ➢向量的表示方法与运算 >>x = [1 3 5 2]; %表示一个行向量 >>y = 2*x+1 y= 3 7 11 5
30
3.1.4感知器的学习算法
解：第一步 输入X1，得
WT(0)X1=(0.5,1,-1,0)(-1,1,-2,0)T=2.5
前
馈 神
o1(0)=sgn(2.5)=1
经
网
--
络 单
W(1)= W(0)+η[d1- o1(0)] X1
层 感
=(0.5,1,-1,0)T+0.1(-1-1)(-1,1,-2,0)T
馈 神 经 网 络
隐
无隐层
层
数
的
感
—
多
知
单隐层
层
器
感
的
知
分
器
类
介绍建立感知机模型的思路,求解感知机模型的方法
介绍建立感知机模型的思路，求解感知机模型的方法
感知机是一种二分类模型，可以用来解决线性可分的问题。
其思路是从一系列的训练样本中学习一个权重向量和一个阈值，用来划分样本空间中的两个类别。
建立感知机模型的思路如下：
1. 定义问题：确定需要解决的问题是一个二分类问题，并假设问题是线性可分的，即存在一个超平面可以将两个类别完全分开。
2. 确定模型结构：感知机的模型结构由权重向量和阈值组成。
权重向量表示了不同特征的重要性，而阈值则用来调整分类的阈值。
3. 初始化参数：首先需要对权重向量和阈值进行初始化。
一般可以将权重向量初始化为0，阈值初始化为0或一个较小的正数。
4. 迭代更新参数：通过迭代的方式不断更新参数，使得模型能够更好地分类样本。
在每次迭代中，对于输入的每个训练样本，根据当前的参数计算输出，然后根据输出与实际标签的差异来更新参数。
5. 判断停止条件：可以设置一个停止条件，当满足条件时停止迭代，如达到最大迭代次数或参数变化较小时停止。
求解感知机模型的方法主要有两种：
1. 基于原始形式：通过最小化损失函数来求解权重向量和阈值。
常用的方法是梯度下降法或随机梯度下降法，通过不断调整参数来最小化损失函数。
2. 基于对偶形式：通过求解对偶问题来求解权重向量和阈值。
通过计算训练样本之间的内积，可以得到一个Gram矩阵，然
后通过解一个二次规划问题来求解权重向量和阈值。
以上就是建立感知机模型的思路和求解感知机模型的方法的介绍。
感知神经网络
第2章感知神经网络感知器是一种前馈神经网络，是神经网络中的一种典型结构。
感知器具有分层结构，信息从输入层进入网络，逐层向前传递至输出层。
根据感知器神经元变换函数、隐层数以及权值调整规则的不同，可以形成具有各种功能特点的神经网络。
2.1 单层感知器1958年，美国心理学家Frank Posenblatt提出一种具有单层计算单元的神经网络，称为Perceptron，即感知器。
感知器模拟人的视觉接受环境信息，并由神经冲动进行信息传递。
感知器研究中首次提出了自组织、自学习的思想，而且对所能解决的问题存在着收敛算法，并能从数学上严格证明，因而对神经网络的研究起了重要的推动作用。
单层感知器的结构与功能都非常简单，以至于目前在解决实际问题时很少被采用，但由于它在神经网络研究中具有重要的意义，是研究其他网络的基础，而且较易学习和理解，适合作为学习神经网络的起点。
2.1.1 感知器模型单层感知器是指只有一层处理单元的感知器，如果包括输入层在内，应为两层。
其拓扑结构如图2-1所示。
图中输入层也称为感知层，有n个神经元节点，这些节点只负责引入外部信息，自身无信息处理能力，每个节点接收一个输入信号，n个输入信号构成输入列向量X。
输出层也称为处理层，有m个神经元节点，每个节点均具有信息处理能力，m个节点向外部输出处理信息，构成输出列向量O。
两层之间的连接权值用权值列向量Wj表示，m个权向量构成单层感知器的权值矩阵W。
3种列向量分别表示为图2-1 单层感知器由第1章介绍的神经元数学模型知，对于处理层中任一节点，其净输入为来自输入层各节点的输入加权和。
（2-1）输出由节点的变换函数决定，离散型单计算层感知器的变换函数一般采用符号函数。
（2-2）2.1.2 感知器的功能为便于直观分析，考虑图2-2中单计算节点感知器的情况。
不难看出，单计算节点感知器实际上就是一个M-P神经元模型，由于采用了符号变换函数，又称为符号单元。
式（2-2）可进一步表达为下面分三种情况讨论单计算节点感知器的功能。
感知器算法原理
感知器算法原理感知器算法是一种二分类的分类算法，基于线性模型的思想。
其原理是通过输入的特征向量和权重向量的线性组合，经过阈值函数进行判别，实现对样本的分类。
具体来说，感知器算法的输入为一个包含n个特征的特征向量x=(x₁, x₂, ..., xn)，以及对应的权重向量w=(w₁, w₂, ..., wn)，其中wi表示特征xi对应的权重。
感知器算法的目标是找到一个超平面，将正负样本正确地分离开来。
如果超平面上方的点被判为正样本，超平面下方的点被判为负样本，则称超平面为正类超平面；反之，则称超平面为负类超平面。
感知器算法的具体步骤如下：1. 初始化权重向量w和阈值b。
2. 对于每个样本(xᵢ, yᵢ)，其中xᵢ为特征向量，yᵢ为样本的真实标签。
3. 计算样本的预测输出值y_pred=sign(w·x + b)，其中·表示向量内积操作，sign为符号函数，将预测值转化为+1或-1。
4. 如果预测输出值与真实标签不一致（y_pred ≠ yᵢ），则更新权重向量w和阈值b：- w:=w + η(yᵢ - y_pred)xᵢ- b:=b + η(yᵢ - y_pred)，其中η为学习率，用于控制权重的更新速度。
5. 重复步骤3和4，直到所有样本都被正确分类，或达到预定的迭代次数。
感知器算法的核心思想是不断地通过训练样本来优化权重向量和阈值，使得模型能够将正负样本准确地分开。
然而，感知器算法只对线性可分的问题有效，即存在一个超平面能够完全分开正负样本。
对于线性不可分问题，感知器算法无法收敛。
因此，通常需要通过特征工程或使用其他复杂的分类算法来解决线性不可分的情况。
BP 神经网络
二、BP神经网络的结构
BP神经网络采用误差反向传播算法 （Back-Propagation Algorithm）进 行学习。在BP网络中，数据从输入 层经隐含层逐层向后传播，训练网络 权值时，则沿着减少误差的方向，从 输出层经过中间各层逐层向前修正网 络的连接权值。
达数万次迭代。根据网络的大小，训练过程可能需要主机时间几个到几十个小
时。 (2)需大量训练数据：人工神经网络在很大程度上取决于训练时关于问题的输
入-输出数据，若只有少量输入-输出数据，一般不考虑使用人工神经网络。
(3)不能保证最佳结果：反向传播是调整网络的一个富有创造性的方法，但它 并不能保证网络能恰当地工作。训练可能导致网络发生偏离，使之在一些操作 区域内结果准确，而在其他区域则不准确。此外，在训练过程中，有可能偶尔 陷入“局部最小”。
够在训练过程中自动调节步长。
当误差以减小的方式趋于目标时，说明正方向是正确的，可以增加学习率； 当误差增加超过一定范围时，说明前一步修正进行的不正确，应减小步长，并 撤销前一步修正过程。
六、BP神经网络的优化
3.数据的归一化处理 BP神经网络在训练前对数据进行归一化处理，隐含层的数量通常不宜过多， 虽然将数据映射到更小的数据区间，有效提高学习速度。
2 1 m （3）网络关于第p个样本的误差： Ep d pj Ypj 2 j 1
（4） 网络关于整个样本集的误差：
E Ep
p
三、BP神经网络的学习算法 2.误差传播分析：
Ⅰ 输出层权的调整 ANp wpq ∆wpq 第L-1层 wpq= wpq+∆wpq 反向传播时，把误差信号按照原来正向传播的通路反向传回，并对每个神 经元的权数进行修改，以望误差信号趋向最小。 权值调整量=学习率*局部梯度*上一层信号输出 第L层 ANq
感知器算法原理及应用
感知器算法原理及应用随着人工智能应用领域不断扩大，越来越多的算法被使用。
其中，感知器算法是一种经典的机器学习算法，广泛应用于图像、语音、自然语言处理等领域。
本文将介绍感知器算法的原理和应用。
一、感知器算法原理感知器算法是一种以 Rosenblatt 为代表的机器学习算法，最初用于二元分类。
它的基本工作原理是通过对输入数据进行加权和，并与一个阈值进行比较，来决定输出结果。
另外，感知器算法是一种基于梯度下降优化的算法，通过不断调整权值和阈值，以使分类的效果更好。
1.1 基本模型感知器模型通常用于二元分类任务，如将一个输入数据分为两类。
模型的输入是一个特征向量 x 和一个阈值θ，这两者加权后的结果通过一个激活函数 f(x) 来得到输出 y。
感知器模型可以表示为：其中，w 是权重向量，f(x) 是激活函数，可以是阶跃函数、线性函数或者 sigmoid 函数等等。
1.2 误差更新感知器算法的关键是误差更新问题。
在二元分类任务中，我们将预测值 y 限制在 0 和 1 之间。
对于一个正确的预测 y_hat 和一个错误的预测 y，我们定义误差为：error = y_hat - y误差可以用于更新权重向量 w 和阈值θ。
为了最小化误差，我们需要在每一轮训练中更新权重和阈值，以使误差最小化。
通俗的说，就是调整权重和阈值来训练模型。
在 Rosenblatt 的感知器算法中，权重和阈值的调整如下：w = w + α(error)x其中，α 是学习率，它控制着权重和阈值的更新速率，可以视作一种步长。
它的取值通常是一个较小的正数，如 0.01。
1.3 二元分类感知器算法最初用于二元分类任务，如将输入数据分为正类和负类。
实际运用中，只有两种不同的输出可能，1 和 -1，用 y ∈{-1, 1} 来表示分类结果。
分类器的训练过程可以是迭代的，每一次迭代会调整权重和偏差，以使分类效果更好。
二、感知器算法应用感知器算法是一种简单而有效的机器学习算法，可以广泛应用于图像、语音、自然语言处理等领域，以下是几个典型的应用场景。
一.单层感知器
⼀.单层感知器单层感知器属于单层前向⽹络，即除输⼊层和输出层之外，只拥有⼀层神经元节点。
特点：输⼊数据从输⼊层经过隐藏层向输出层逐层传播，相邻两层的神经元之间相互连接，同⼀层的神经元之间没有连接。
感知器（perception）是由美国学者F.Rosenblatt提出的。
与最早提出的MP模型不同，神经元突触权值可变，因此可以通过⼀定规则进⾏学习。
可以快速、可靠地解决线性可分的问题。
1.单层感知器的结构 单层感知器由⼀个线性组合器和⼀个⼆值阈值元件组成。
输⼊向量的各个分量先与权值相乘，然后在线性组合器中进⾏叠加，得到⼀个标量结果，其输出是线性组合结果经过⼀个⼆值阈值函数。
⼆值阈值元件通常是⼀个上升函数，典型功能是⾮负数映射为1，负数映射为0或负⼀。
输⼊是⼀个N维向量 x=[x1,x2,...,xn]，其中每⼀个分量对应⼀个权值wi，隐含层输出叠加为⼀个标量值：随后在⼆值阈值元件中对得到的v值进⾏判断，产⽣⼆值输出：可以将数据分为两类。
实际应⽤中，还加⼊偏置，值恒为1，权值为b。
这时，y输出为：把偏置值当作特殊权值： 单层感知器结构图： 单层感知器进⾏模式识别的超平⾯由下式决定：当维数N=2时，输⼊向量可以表⽰为平⾯直⾓坐标系中的⼀个点。
此时分类超平⾯是⼀条直线:这样就可以将点沿直线划分成两类。
2.单层感知器的学习算法(1)定义变量和参数，这⾥的n是迭代次数。
N是N维输⼊，将其中的偏置也作为输⼊，不过其值恒为1,。
x(n)=N+1维输⼊向量=[+1,x1(n),x2(n),...,xN(n)]T w(n)=N+1维权值向量=[b(n),w1(n),w2(n),...,wN(n)]T b(n)=偏置 y(n)=实际输出 d(n)=期望输出 η(n)=学习率参数，是⼀个⽐1⼩的正常数所以线性组合器的输出为：v(n)=w T(n)x(n)(2)初始化。
n=0,将权值向量w设置为随机值或全零值。
(3)激活。
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小结
单层感知器模型及工作原理 单层感知器的学习算法 单层感知器的MATLAB实现 单层感知器的应用示例 多层感知器概述
sim()
mae() plotpv()
神经网络仿真函数
平均绝对误差性能函数 在坐标图上绘出样本点
plotpc()
2014-9-10
在已绘制的图上加分类线
2.3.3 单层感知器的MATLAB实现
newp() 功能：创建一个感知器神经网络的函数 格式：net = newp(PR，S，TF，LF) 说明：net为生成的感知机神经网络； PR为一个R2的矩阵，由R组输入向量中 的最大值和最小值组成；S表示神经元 的个数；TF表示感知器的激活函数，缺 省值为硬限幅激活函数hardlim；LF表 示网络的学习函数，缺省值为learnp
说明 Y为网络的输出；Pf表示最终的输入延时状态； Af表示最终的层延时状态；E为实际输出与目标矢量之间 的误差；perf为网络的性能值；NET为要测试的网络对象； P为网络的输入向量矩阵；Pi为初始的输入延时状态（可 省略）；Ai为初始的层延时状态（可省略）；T为目标矢 量（可省略）。式(1)、(2)用于没有输入的网络，其中Q 为批处理数据的个数，TS为网络仿真的时间步数。
2014-9-10
2.3.3 单层感知器的MATLAB实现
mae() 功能 平均绝对误差性能函数 格式 perf=mae(E，w，pp)
说明 perf表示平均绝对误差和， E 为误差矩阵或向量(网络的目标向量与输 出向量之差)， w为所有权值和偏值向量 (可忽略)， pp为性能参数(可忽略)。
2.3感知器神经网络模型 与学习算法
2.3.1单层感知器
概述
由美国学者Rosenblatt在1957年首次提出 学习算法是Rosenblatt在1958年提出的 包含一个突触权值可调的神经元 属于前向神经网络类型 只能区分线性可分的模式 IEEE设立以其名字命名的奖项
2014-9-10
2014-9-10
2.3.3 单层感知器的MATLAB实现
[net，tr，Y，E，Pf，Af] = train(NET，P，T， Pi，Ai，VV，TV) 说明2 P为网络的输入向量矩阵；T表示网络的目 标矩阵，缺省值为0；Pi表示初始输入延时，缺省 值为0；Ai表示初始的层延时，缺省值为0； VV为 验证矢量（可省略）；TV为测试矢量（可省略）。 网络训练函数是一种通用的学习函数，训练函数重 复地把一组输入向量应用到一个网络上，每次都更 新网络，直到达到了某种准则，停止准则可能是达 到最大的学习步数、最小的误差梯度或误差目标等。
2014-9-10
2.3.3 单层感知器的MATLAB实现
例2-1运行后在命令行窗口中得到的结果如下： >> TRAINC, Epoch 0/20 %使用TRAINC作为神经网络的训练函数，第0次训练，最 %大训练次数为20 TRAINC, Epoch 3/20 %达到目标误差要求，结束训练 TRAINC, Performance goal met. Y = 1 1 0 E1 = 0 Y1 = 0 0 1
BP算法
2014-9-10
2.3.4 多层感知机
多层感知器的特点 定理1 如隐层节点（单元）可任意设置， 则用三层阀值节点的网络可以实现任意的 二值逻辑函数。 定理2 若隐层节点（单元）可任意设置， 则用三层S型非线性特性节点的网络，可 以一致逼近紧急上的连续函数或按L2范数 逼近紧集上的平方可积函数
2014-9-10
2.3.3 单层感知器的MATLAB实现
train()
功能 神经网，Af] = train(NET，P，T， Pi，Ai，VV，TV)
说明 1、net为训练后的网络；tr为训练记录； Y为网络输出矢量；E为误差矢量；Pf为训练终 止时的输入延迟状态；Af为训练终止时的层延 迟状态； NET为训练前的网络；
2.3.1单层感知器
单层感知器模型
2014-9-10
2.3.1单层感知器
单层感知器工作原理
单层感知器可将外部输入分为两类和。当
感知器的输出为+1时，输入属于 l 类，当感知 1 器的输出为-1时，输入属于 l 2类，从而实现两 类目标的识别。在m 维空间，单层感知器进行
模式识别的判决超平面由下式决定： m
1 2
,xm n ，
第四步,计算实际输出:
第五步,求出期望输出和实际输出求出差
e d (n) y (n)
根据误差判断目前输出是否满足条件，一般为对所有样本误差为零或 者均小于预设的值，则算法结束，否则将值增加1，并用下式调整权值：
w n 1 w n d n y n x n
2.3.3 单层感知器的MATLAB实现
P= [-0.4 -0.5 0.6; 0.9 0 0.1]; %给定训练样本数据 T= [1 1 0]; %给定样本数据所对应的类别，用1和0来表示两种类别 %创建一个有两个输入、样本数据的取值范围都在[-1，1]之间，并且 %网络只有一个神经元的感知器神经网络 net=newp([-1 1;-1 1],1); net.trainParam.epochs = 20; %设置网络的最大训练次数为20次 net=train(net,P,T); %使用训练函数对创建的网络进行训练 Y=sim(net,P) %对训练后的网络进行仿真 E1=mae(Y-T) %计算网络的平均绝对误差，表示网络错误分类 Q=[0.6 0.9 -0.1; -0.1 -0.5 0.5]; %检测训练好的神经网络的性能 Y1=sim(net,Q) %对网络进行仿真，仿真输出即为分类的结果 figure; %创建一个新的绘图窗口 plotpv(Q,Y1); %在坐标图中绘制测试数据 plotpc(net.iw{1},net.b{1}) %在坐标图中绘制分类线
2014-9-10
2.3.3 单层感知器的MATLAB实现
plotpc()
功能 在存在的图上绘制出感知器的分类线函数 格式 (1) plotpc(W，B) (2) plotpc(W，B，H) 说明 硬特性神经元可将输入空间用一条直线(如果 神经元有两个输入)，或用一个平面(如果神经元有三 个输入)，或用一个超平面(如果神经元有三个以上输 入)分成两个区域。plotpc(w，b)对含权矩阵w和偏差 矢量b的硬特性神经元的两个或三个输入画一个分类 线。这一函数返回分类线的句柄以便以后调用。 plotpc(W，B，H)包含从前的一次调用中返回的句柄。 它在画新分类线之前，删除旧线。
2014-9-10
2.3.4 多层感知机
多层感知器的拓扑结构
2014-9-10
2.3.4 多层感知机
多层感知器的特点 含有一层或多层隐单元,从输入模式中 获得了更多有用的信息，使网络可以完 成更复杂的任务。 每个神经元的激活函数采用可微的函数
sigmoid函数
多个突触使得网络更具连通性 具有独特的学习算法
T
T
w n b n , w1 n , w2 n ,,wm n
别超平面。
2014-9-10
令上式等于零，可得到在维空间的单层感知器的判
2.3.2单层感知器的学习算法
单层感知器学习算法
第一步,设置变量和参量。
为网络实际输出， f() 为激活函数, y ( n ) d ( n ) 为期望
输出， 为学习速率， n 为迭代次数， e 为实际 输出与期望输出的误差。
第二步,初始化
给权值向量 W (0) 的各个分量赋一个较小的随机非 零值，置 n 0
2014-9-10
2.3.2单层感知器的学习算法
单层感知器学习算法
第三步,输入一组样本 X n 1, x n , x n , 并给出它的期望输出 d (n )。
i 1
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wi xi b 0
2.3.1单层感知器
单层感知器工作原理
对于只有两个输入的判别边界是直线（如下式 所示）,选择合适的学习算法可训练出满意的 w 和 ， 1 w2 当它用于两类模式的分类时，相当于在高维样本空 间中，用一个超平面将两类样本分开。
w1x1 w2 x2 b 0
m y (n ) f w i (n ) xi (n ) i 0
然后转到第三步，进入下一轮计算过程
2014-9-10
2.3.3 单层感知器的MATLAB实现
MATLAB中单层感知器常用工具函数名称 和基本功能
函数名 newp() hardlim() learnp() train() 生成一个感知器 硬限幅激活函数 感知器的学习函数 神经网络训练函数 功 能
2014-9-10
2.3.3 单层感知器的MATLAB实现
plotpv()
功能 绘制样本点的函数 格式 (1) plotpv(P，T) (2) plotpv(P，T，V) 说明 P定义了n个2或3维的样本，是一个2n维或3n维的 矩阵；T表示各样本点的类别，是一个n维的向量； V=[x_min x_max y_min y_max]，为一设置绘图坐标值范 围的向量。利用plotpv()函数可在坐标图中绘出给定的样 本点及其类别，不同的类别使用不同的符号。如果T只含 一元矢量，则目标为0的输入矢量在坐标图中用符号＂o＂ 表示： 目标为1的输入矢量在坐标图中用符号＂+＂表示。 如果T含二元矢量，则输入矢量在坐标图中所采用的符号 分别如下：[0 0]用＂o＂表示；[0 1]用＂+＂表示：[1 0] 用＂*＂表示；[1 1]用＂＂表示。
2014-9-10
2.3.3 单层感知器的MATLAB实现
sim()
功能 对网络进行仿真 格式
(1) [Y，Pf，Af，E，perf] = sim(NET，P，Pi，Ai，T) (2) [Y，Pf，Af，E，perf] = sim(NET，{Q TS}，Pi，Ai，T) (3) [Y，Pf，Af，E，perf] = sim(NET，Q，Pi，Ai，T)