2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.
易拉罐形状和尺寸的最优设计
易拉罐形状和尺寸的最优设计（06全国一等奖）摘要任何企业都希望能投入最少的成本以获得最大的利润，我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的，这并非偶然，应该是某种意义下的最优设计.本文以饮料量为355毫升的易拉罐为例来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题，解决了以下五个问题.对于问题一，我们测得易拉罐顶盖直径为5.9cm，顶盖到底面的高为12cm，侧面的高为12.3cm，中间胖的部分的直径为6.6cm、周长为20.8cm，并在网上查得侧面与顶盖、底面厚度之比为1:2.对于问题二，本文以易拉罐所耗材料的费用达到最小来考虑，由于易拉罐各部分单位面积的价格难以确定，本文通过各部分单位面积的价格与相应厚度的关系，将目标函数由求所耗材料的最小费用转化为求所耗材料的最小体积，罐的容积是一定的（355毫升），即为目标函数的约束条件，所以我们建立了一个非线性优化模型.根据拉格朗日乘数法并用Matlab软件编程，求得此时易拉罐的最优设计为半径和高之比是1:4，其结果可以合理地说明我们所测量的易拉罐的形状和尺寸.对于问题三，本文运用问题二的方法建立了一个非线性优化模型，根据拉格朗日乘数法并用Matlab 软件编程，求得此时易拉罐的最优设计为——上面部分为圆锥体（下底半径为3.45cm，高为3.09cm）、下面部分为圆柱体（高为8.45cm），其结果与本文所测量的易拉罐的形状和尺寸并不符合.然后本文通过合理性和可行性分析，发现本文求得的是耗用材料最省的最优设计，但从美感、物理、力学、工程或材料方面考虑，与实际的设计相比实用性稍差.对于问题四，本文从耗材上的节省，以及外形的美观和可行性等方面设计了自己的关于易拉罐形状的最优设计——正椭圆柱体的易拉罐.运用问题二的方法建立了一个非线性规划模型，并通过Matlab 软件编程求得了比较合理的尺寸，求得：椭圆柱体上下底面的半径为 1.8h cm=，中间=，高为11.6r cm最胖部分的半径为3.6cm.另外，本文从不同的角度分析了这一设计的优缺点.对于问题五，我们根据做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇短文，阐述了什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点等.最后，本文对问题二、问题三、问题四的模型及结果进行了分析和评价.此外，对于问题四，我们求出了易拉罐为正椭圆柱体时的最优设计.用同样的方法，我们可以解决易拉罐为其它形状时的最优设计,如易拉罐的中心纵断面为双曲线的旋转体.另外,从消费者购买欲望的角度分析，最优设计还要考虑消费群体不同需求的偏好，不同的消费群体对产品的偏好是不同的.关键词：易拉罐非线性优化模型拉格朗日乘数法正椭圆柱问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的.看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计.当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了.以饮料量为355毫升的易拉罐为例来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题，现需解决五个问题，具体如下：问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是自己测量得到的，必须注明出处.问题二：⑴易拉罐是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？⑵其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等.问题三：⑴易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体.什么是它的最优设计？⑵其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸.问题四：通过对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计.问题五用做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点.问题分析任何企业都希望能投入最少的成本以获得最大的利润，要使易拉罐的设计达到最优即所耗材料费用应最省，因此我们可以将所耗材料费用看成是我们所要求的目标函数.材料费用通常是以单位面积来衡量的，从制造工艺的角度来看，侧面和顶盖、底面的造价是不同的，通常底面造价比侧面造价要高，这主要取决于底面比侧面厚度要大，因为如果底面和侧面一样薄，就很难将易拉罐拉开；如果侧面和底面一样厚，则浪费材料. 易拉罐总的费用应为顶盖、底面和侧面的面积乘以各自相应单位面积的造价，而底面和侧面的造价与其相应的厚度有关，厚度越大造价越高，反之，厚度越小造价越低.又表面积乘以厚度为体积，从而我们可以将目标函数由求所耗材料的最小费用转化为求所耗材料的最小体积.我们在全文数据库中查得：铝制易拉罐的罐体采用的生产工艺是一次成型的，它并不要从一块大的铝片上裁下材料[1].所以，我们不用考虑余料的问题，只需考虑现在所耗的材料.罐的容积是一定的（355毫升），即为目标函数的约束条件.综合以上分析，对于问题二、问题三、问题四，我们可以建立一个以易拉罐所耗材料体积为目标函数，罐的容积为约束条件建立一个非线性优化模型.模型建立与求解1、对于问题一易拉罐的中心纵断面如下图所示，记为图①：图① 易拉罐的中心纵断面我们利用直尺、一条窄的无伸缩的薄纸条和游标卡尺测得：易拉罐侧面的高h 为12.3cm ，顶盖到底面的高1h 为12cm ，中间胖的部分的高2h 为10.2cm ，顶盖直径1d 为5.9cm ，中间胖的部分的直径2d 为6.6cm 、周长为20.8cm .在网上查得资料，侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2[2].⑴ 模型建立当易拉罐是一个正圆柱体时，图形可用下图表示，记为图②（说明：侧面厚度和底面厚度应该是很薄的，为了方便图形的标识，就将其实际厚度扩大了很多倍）.底面厚度半径r图② 易拉罐的中心纵断面设易拉罐的侧面厚度为d ，底面外侧圆半径为r ，罐高为h ，罐的容积为V ，侧面所用材料的体积为V 侧，顶盖和底面所用材料的体积之和为V 底，所用材料体积为V 材.其中，d 和V 是固定参数，r 和h 是自变量，V 材为因变量.由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2”，得底面厚度为2d ； 侧面所用材料的体积为：22[()]V r r d h ππ=--侧；顶盖和底面所用材料的体积为：22()2V r d d π=⨯-⨯底；222[()]2()2V V V r r d h r d dπππ ∴=+ =--+-⨯侧材底且2()(22)V r d h d π=-⨯-⨯综上，我们可以建立以下的数学模型：222min (,)[()]2()2(,)355..0,0V r h r r d h r d dV r h s t r h πππ =--+-⨯=⎧ ⎨>>⎩材 ┈┈┈┈┈┈┈模型①⑵ 模型求解根据我们所建立的模型，即要在罐的容积一定的情况下求使所用材料体积最小的半径和高之比.由模型可以看出，这是一个多元函数条件极值问题，可以由拉格朗日乘数法[3]来求解.引入参数λ，函数(,)(,)355r h V r h ϕ=-，令(,,)(,)(,)L r h V r h r h λλϕ=+材要求L 的极值，即其对r h λ、、的一阶偏导数为零，则：00(,)0V L rr r V L hh h L r h ϕλϕλϕλ∂⎧∂∂=+=⎪∂∂∂⎪∂⎪∂∂=+=⎨∂∂∂⎪∂⎪==⎪∂⎩材材 通过在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序1），求得：223:1:43.0460.4313(3.046)0.8626(3.046)0.431312.18.r h r d h d d d d d ==+=⨯+-⨯++⨯+；；即易拉罐是正圆柱体时的最优设计为：半径和高之比是1:4.我们所测量的易拉罐的顶盖直径为：5.9cm ，从顶盖到底面的高为：12cm ，从而我们所测的易拉罐的半径和高之比为：(5.92):121:4.0678÷≈因此，我们根据模型所求得的易拉罐的半径与我们测量得到的半径相差不大，且易拉罐的半径与高之比和我们所测的易拉罐的半径与高之比也基本吻合.⑶ 验证:1:4r h =使V 材达到最小要验证:1:4r h =使V 材达到最小，我们只需验证r 使V 材达到最小.由2()(22)V r d h d π=-⨯-⨯,可得:24()V h d r d π=+- 2222[()]42()2()V V r r d d r d d r d ππππ∴=--⨯++-⨯-材 计算''V 材,通过在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序2），求得:2''75.3865d+24.7500d V =材，其中0d >，故''0V >材.又由于在前面我们已经求得 3.046r d =+，所以，这个 r 的确使V 材 达到局部最小, 因为临界点只有一个, 故也使V 材达到全局最小.3、对于问题三⑴ 模型建立当易拉罐的上面部分是圆台、下面部分是正圆柱体时，图形可用下图表示，记为图③.半径高度1h半径2r图③ 易拉罐的中心纵断面设圆台上底面半径为1r ，下底面半径为2r ，圆台的高为1h ，圆柱体的高为2h ，侧面（包括圆台侧面和圆柱体侧面）厚度为d ，罐的容积为V ，侧面（包括圆台侧面和圆柱体侧面）所用材料的体积为V 侧，顶盖和底面所用材料的体积之和为V 底，所用材料体积为V 材.其中，d 和V 是固定参数，1r 、2r 、1h 和2h 是自变量，V 材为因变量.由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2”，得底面厚度为2d ； 又由于圆台的表面积和体积可以表示如下：圆台的表面积22()S r rl Rl R π=+++圆台表，圆台的体积'2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台（其中，r R 、分别为圆台上底、下底半径，h 为圆台的高，l 为圆台的母线）可得：侧面所用材料的体积为：2212222[([()]V r r d r r d h πππ=+⨯+--侧；顶盖和底面所用材料的体积为：2212[()]2V r r d d ππ=+-⨯底；1212(,,,)V r r h h V V ∴=+侧材底 且22211212221(2)[()()]()(2)3V h d r r d r r d r d h d ππ=-+-+-+-⨯-综上，我们可以建立以下的数学模型：121212121212min (,,,)(,,,)355..0,0,0,0V r r h h V r r h h s t r r h h =⎧ ⎨>>>>⎩材┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈模型③ ⑵ 模型求解根据我们所建立的模型，即要在罐的容积一定的情况下求使所用材料体积最小的半径和高之比.由模型可以看出，这是一个多元函数条件极值问题，可以用拉格朗日乘数法来解决这一问题. 引入参数λ，函数12121212(,,,)(,,,)355r r h h V r r h h ϕ=-，令121212121212(,,,,)(,,,)[(,,,)355]L r r h h V r r h h V r r h h λλ=+-材要求L 的极值，即其对1212,,,,r r h h λ的一阶偏导数为零，则：12121112221112220000(,,,)0V L r r r V L r r r V L h h h V L h h h L r r h h ϕλϕλϕλϕλϕλ∂⎧∂∂=+=⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+=∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+=⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+=∂∂∂⎪⎪∂⎪==∂⎪⎩材材材材 通过在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序3），求得两组可行解，具体如下所示： 1 4.211820119.10820r r h h ====、、、 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈解①12120 3.4527 3.08848.4498r r h h ====、、、 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈解②根据解①可以知道易拉罐是一个倒立的圆锥，显然不符合实际情况，故舍去这组解，我们取解②. 我们对结果保留两位小数，即圆台上底面半径为0，圆台的高为3.09cm ，圆台下底面半径也即圆柱体底面半径为3.45cm ，圆柱体的高为8.45cm ，此时易拉罐上面部分是一个圆锥体.⑶ 模型结果分析① 与实际测量的数据进行比较我们所测的顶盖直径为5.9cm ，中间胖的部分的直径为6.6cm ，侧面的高为12.3cm .根据我们的模型算得的结果与实际测的结果并不符合.② 合理性分析从耗用材料方面来说，我们建立的模型是耗用材料最省的最优设计.我们所求得的结果是满足材料最省的，由我们的模型在Matlab 下编程求得易拉罐耗用的材料体积为308.46d （d 为侧面厚度），而根据我们实际测量的数据求得易拉罐耗用的材料体积为357.45d ，故我们求得的易拉罐的最优设计比实际中的易拉罐耗用材料要省.③ 可行性分析根据我们求得的结果，易拉罐上面部分不是圆台而是一个圆锥体，这明显不符合实际，因为易拉罐的上顶面要留有拉环的位置.为什么我们求得的最优设计不符合实际的情况？主要原因有以下几点：第一，从美学角度上来讲.任何产品的设计都要注意包装要给人以美感，设计时要考虑消费者的审美习惯，使消费者能从包装中获得美的享受，并产生购买欲望.[4]我们根据实际测量的数据，发现易拉罐胖的部分的直径与胖的部分的高的比为：6.60.647110.2≈，很接近黄金分割率0.618.黄金分割率可以衡量平面图形美与不美，易拉罐下面部分的圆柱体的轴截面是矩形，如果它的轴截面的宽长之比满足黄金分割率，看起来就比较美观，说明这种设计并不是巧合，而是从外观的美感上作了研究的.而根据我们模型计算的结果，易拉罐胖的部分的直径与胖的部分的高的比为：21222 3.45270.59853.08848.4498r h h ⨯=≈++，这也很接近黄金分割率，满足了我们设计上美感的要求，从这一点上也可以说明我们的模型是有一定合理性的.但我们求的拉罐上面部分是一个圆锥体，从严格意义的美感上来讲不符合实际的情况.第二，从物理、力学、工程或材料方面考虑.[5]底面是上拱的底面，顶盖实际上也不是平面的，略有上拱，从顶盖到胖的部分的斜率为 0.3, 这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合) 很牢固、耐压.所有这些都是物理、力学或材料方面的要求，必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定.而我们的模型考虑的易拉罐的底面和顶部都是平面的，并且没有考虑坡度，实用性稍差.4、对于问题四⑴ 模型分析根据几何学原理，同体积的几何形状，以球体的表面积最小，也就是说容积一定时，做成球形时所耗用的材料最省.单以材料最省为目标的话，易拉罐的最优设计就是球形.但是考虑实际情况，球形不容易运输、不能静止放置等等有太多的缺点，故我们舍去这种想法.根据球形和放置方便等情况，再考虑对称美，我们想到把球体上下各切掉相等的一部分，这样可以解决放置问题，用图形表示如下所示，记为图④：图④ 易拉罐的中心纵断面根据图形，我们可以看出来它的形状是矮胖形，十分不美观，且很不方便握拿.由以上的分析，我们就尝试把易拉罐做如下图所示的形状，记为图⑤：图⑤ 易拉罐的中心纵断面也就是一个椭圆体上下部分各切掉相等的一部分.再考虑美观，我们引入黄金分割，即我们可以让易拉罐的宽（这里我们取易拉罐最胖部分的直径，即为椭圆柱体的中心纵断面的短轴长）跟易拉罐的高之比等于黄金分割率.⑵ 模型建立设侧面厚度为d ，底面外侧圆半径为r ，罐高为h ，罐的容积为V ，侧面积为S ，侧面的高为h ，侧面所用材料的体积为V 侧，顶盖和底面所用材料的体积之和为V 底，所用材料体积为V 材，椭圆柱体的中心纵断面的长半轴为a 、短半轴为b .其中，d 和V 是固定参数，r 、h 、a 、b 是自变量，V 材为因变量.由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2”，得底面厚度为2d ；我们又利用黄金分割的思想，令易拉罐的宽（这里我们取易拉罐中间最大值）与易拉罐的高之比等于黄金分割率，即：212b h =. 为了方便求椭圆柱的侧面积，我们以椭圆柱体的中心纵断面的长轴为x 轴、短轴为y 轴、以长轴和短轴的交点为原点建立直角坐标系，用下图表示,记为图⑥：a - x - 0 x a x 轴b -图⑥侧面积()xx S A x dx -=⎰ （其中，()A x 表示过点x 且垂直于x 轴的截面的周长）罐的容积()xx V B x dx -=⎰ （其中，()B x 表示过点x 且垂直于x 轴的截面面积）侧面所用材料的体积为V S d =⨯侧；顶盖和底面所用材料的体积为：22()2V r d d π=⨯-⨯底；(,,)V r a b V V ∴=+侧材底且355(V =毫升）综上，我们可以建立以下的数学模型：min (,,)(,)355..0,0,0V r a b V a b s t r a b =⎧ ⎨>>>⎩材 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈模型④ ⑶ 模型求解根据模型，在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序4），求得五组可行解，其中有两组解可以满足我们的情况，这两组解如下：6.2 3.7121234*()a cm b cm h cm r cm s d = ====、、、、立方厘米 ┈┈┈┈┈解③6.7 3.611.6 1.8271.5*()a cm b cm h cm r cm s d =====、、、、立方厘米 ┈┈┈解④⑷ 结果分析在五组解中我们选了两组能满足我们情况的解，即解③和解④.先分析解③.单从材料最省来考虑，那么解③是比较可行的，但是我们可以看到这种情况下半径只有1cm，考虑放置问题的可行性，这种情况是不利于放置的.再分析解④.虽然就用料方面比解③那种情况要多一些，但是它的底面半径有1.8cm，应该是比较有利于放置的.所以我们认为第二种情况更为可行，于是我们取第二种情况的数据.另外，根据我们所得到的五组实数解，不难发现长轴长与短轴长相差越远所用的材料越多；反之，它们相差越小时，所用的材料越少.那么当长轴与短轴长度相等时，所耗用的材料应该是最少的，这也就是当易拉罐是球形时,所用的材料是最小的，从而也验证了此结果的合理性.5、对于问题五对数学建模的体会及认识我们的日常生活中无时无处不存在数学建模问题，例如：如何有效控制病毒的传播、如何进行生产使获利最大、如何节约水资源等等都离不开数学建模.数学建模让我们切身感受到了科学知识提高生产效率、改善生活质量的伟大力量，提高了我们的科研能力和团队合作精神.通过实践数学建模，我们对什么是数学建模、它的关键步骤以及难点有了比较深刻的认识.一、什么是数学建模？数学建模是运用科学方法，通过观察和想象，对实际问题进行抽象、简化，反复探索、逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型.因此，数学建模不仅是一种定量解决实际问题的科学方法，而且还是一种从无到有的创新活动过程.二、数学建模的关键步骤数学建模的基本步骤可以用下图来表示，记为图⑦：否否图⑦数学建模的基本步骤图我们觉得在这7个基本步骤中关键的步骤有有以下3个：⑴模型假设模型假设是把那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来，简化掉那些非本质的因素，使之摆脱原型的具体复杂形态，形成对建模有用的信息资源和前提条件.⑵模型建立模型建立是在模型假设的基础上，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出刻划实际问题的数学模型.⑶模型应用模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型的最客观、最公正的检验.因此，一个成功的数学模型，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产科研中的特殊作用.三、数学建模的难点我们觉得数学建模的难点有3点，具体如下：⑴怎样针对实际的问题作出合理的假设.这是建模至关重要的一步，一个实际问题往往是复杂多变的，如不经过合理的简化假设将很难转化成数学模型，即便转化成功也可能是一个复杂且难于求解的模型.⑵怎样采用合适的方法求解模型.对于较为复杂的问题，模型即使建出来但可能解不出来，所以，我们要选择合适的算法来求解模型.⑶怎样检验模型是正确合理的.如果模型不合理就没有其实用价值，就又得重新建立一个合理的模型.另外，我们觉得建一个合理的模型只依靠数学知识是远远不够的，必须对所研究问题的背景有很深入的了解，就拿本题的第三问来说，我们设计的易拉罐的确是用料最省的，可是其形状并不符合实际，这主要是我们对背景知识的了解并不够透彻，第三问不仅仅是要满足用料最省，还要从美感、物理、力学、工程或材料等方面来考虑.评价与推广对于问题二，在计算过程中我们考虑了制成易拉罐的铝片的厚度，用拉格朗日乘数法进行求解得到最优值，其误差很小，而且我们最后得出的结论具有普遍性.对于问题三，如果考虑易拉罐的厚度，在用拉格朗日乘数法进行求解时，由于所求的方程组太复杂，计算机运行时间太长，无法得到结果.根据分析，我们发现易拉罐的厚度对结果的影响不大，因此，我们在计算时可以忽略易拉罐的厚度进行近似求解，这一近似的求解误差也是非常的小.对于问题四，由于相同体积下球的表面积是最小的，根据这一条件，我们从耗用量上料的节省、美观及可行性等方面设计了自己的关于易拉罐形状的最优设计——正椭圆柱的易拉罐.以椭圆柱为模型生产易拉罐，可以使厂家的生产成本减小，但是在装运方面与现在市场上的易拉罐形状比起来相对逊色很多,从而会增加装运成本.另外,我们求出了易拉罐为椭圆柱体时的最优设计.用同样的方法，我们可以解决易拉罐为其它形状时的最优设计,如易拉罐的中心纵断面为双曲线的旋转体.从消费者购买欲望的角度分析，最优设计还要考虑消费群体不同需求的偏好，不同的消费群体对产品的偏好是不同的. 经济学总是假设人们试图得到最偏好的结果，通常，我们可以模型化这个人试图最大化什么，例如欲望、货币、效用，这样我们就把人们的决策模型化为了最优化问题.。
易拉罐形状和尺寸的最优化模型研究论文1
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：辽宁科技大学参赛队员(打印并签名) ：1. 李楠2. 孙浩3. 曹杰指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：李华日期： 2006 年 9 月 17 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：易拉罐形状和尺寸的最优化模型研究摘要本文根据最优化理论与方法、解析几何知识，计算机编程、测量方法以及焊缝长度等基本理论知识解决了题目中所要求的问题。
论文主要建立了三个双目标优化模型，在一定的约束条件下，一个目标是表面积最小，达到原材料最省的目的。
另外一个目标是焊缝长度最短，达到易拉罐强度最大，寿命最长的目的。
传统的易拉罐是“三片式”，即由罐底、罐身、罐盖三部分组成，有3条焊缝，罐盖一条，罐底一条，罐身一条。
首先运用游标卡尺测量了355ml易拉罐的具体数据，并列表给出。
对于圆柱体形状的易拉罐，建立了两个变量的双目标优化模型，为模型I。
两个变量分别是圆柱体的半径和高。
目标函数分别是表面积函数和焊缝长度函数，表面积为圆柱体的侧面积+圆柱体的两个底面积；焊缝长度为圆柱体的高加上两个底面的周长。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
淮海工学院毕业论文题目：易拉罐形状和尺寸的最优设计作者：吴杰学号：********** 系(院)：数理科学系专业班级：信息与计算科学032指导者：谭飞（高等数学教研室主任）评阅者：2007年5月连云港毕业论文中文摘要毕业论文文摘要目录1 引言 (1)1．1易拉罐的发展和前景 (1)1．2 实际调研 (2)1.3基本设计方案 (2)2可口可乐易拉罐的优化设计 (3)2．1模型的假设 (4)2．2数据测量 (4)2.3符号说明 (5)2．4 模型的建立与求解 (5)2．4．1 模型一的建立与求解 (5)2．4．2 模型二的建立与求解 (7)2．4．3 模型三的建立与求解 (9)2．5 模型的评价与推广 (11)结论 (13)致谢 (14)参考文献 (15)图1 罐体主要尺寸图 (4)图2 圆柱罐体剖面图 (5)图3 柱台罐体剖面图 (7)图 4 罐体受压性能图 (10)表 1 罐体主要尺寸 (4)表 2 罐体物理性能 (10)1 引言1．1易拉罐的发展和前景铝质易拉罐具有许多优点，如重量轻、密闭性好、不易破碎等，被大量用作啤酒、碳酸类饮料、果汁等食品的包装材料。
1963 年，易拉罐在美国得以发明，它继承了以往罐形的造型设计特点，在顶部设计了易拉环。
这是一次开启方式的革命，给人们带来了极大的方便和享受，因而很快得到普遍应用。
到了1980年，欧美市场基本上全都采用了这种铝罐作为啤酒和碳酸饮料的包装形式。
经过30多年来的发展已在全球形成庞大的生产规模，供求关系已出现严重的失衡。
即使是易拉罐技术发展最快，消费水平最高的美国，近年来罐厂生产能力的提高比消费需求增长快，生产能力年增2%，而需求量年增1%，同样出现年生产能力超过需求10亿只的局面。
随着设计和生产技术的进步，铝罐趋向轻量化，从最初的60克降到了1970年的21～15克左右。
国内的易拉罐业始于80年代，当时年产仅24亿只，随着原罐厂进行重大技术改造的完成以及国外罐业投资者的资本输入，到目前全国易拉罐年生产能力超过100亿只。
2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.
2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。
结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。
在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。
针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比:1:2R H=（H为圆柱的高，R为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高:1:6R H=时，表面积最小。
一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b倍时，最优设计方案为:2=。
R H b 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得出当24+==(h为H h R r圆台的高，r为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出 4.5r→时H h R+≈，0材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。
原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。
在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。
通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。
进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。
为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。
此时，材料最省。
但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。
因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。
易拉罐形状尺寸的最优设计
＋ｔ２）＋／ｒｒ２ｋＩ＋万‘２ｋ。
（２）
约束条件为：Ｖ＝石ｒ２＾＇＋三砒（，２＋Ｈ＋ｒ，ｚ） ３
（３）假设易拉罐的形状是椭球切去两个相
同的顶部所剩的部分，其中心纵断面如图３所示。
以椭球的中心为坐标原点，上下底面的中心连线
为ｚ轴，过原点作两条垂直于ｚ轴、并相互垂直的
射线为ｘ、Ｙ轴，建立空间直角坐标系。则内捕球
咖２（ｂ州岍蝴）毛玳０２＋堑等筐）（４）
壶肋２堋ｚ一等，＝ｙ
约束务件为
薯一喾ｈ ２：。‘
口２
矿
１．２ａ＝‘
这种假设下的达到最优化设计的易拉罐的形状类似于花瓶，虽
参考文献
【１】叶其孝．可口可乐罐头为什么是这种样子，２晰，９，１６【２ｎｎ６—
１０—２５１．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｔｚｖｔｃ．ｃｏｍ／ｊｏｂ／ｕｐｌｏａｄ／ｎｅｗｓ＿２００５１１２４１８２１５１．Ｄｏｃ 【２】２ 刘来福。曾文艺．数学模型与数学建模【Ｍ】．北京：北京师范
易拉罐形状尺寸的最优设计
项海飞
（温州职业技术学院）
摘要本文结合２００６年大学生数学建模竞赛ｃ题，在容积一定的前提条件下，以制造易拉罐所消耗的材料的体积最小为目 标建立优化模型。给出了各种易拉罐形状假设下尺寸的最优设计。
关键词易拉罐形状尺寸最优设计
目前，销量很大的饮料罐的形状和尺寸几乎都是一样的。看 来，这并非偶然。这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单 个的易拉曝来说，这种最优设计可以节省的钱是很有限的，但是如 果生产几亿．甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观 了。本文以制作易拉罐所消耗的材料最省为目标■建立模型来研 究易拉罐的形状尺寸的最优设计。
＝面彳丽ｉ Ｉｔ州ｈ＋２ｋｔ）旧（２ｂ＋ｔｍ＋强。）＂－＋２ａｂ２（１２（６＋ｔ）２＋（ｈ＋２ｋＩ）２）＋
c题易拉罐形状和尺寸的最优设计
min SV (r, h) s.t. r 0, h 0, g(r.h) 0
模型的求解
从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数 的无条件极值问题
g(r, h) r 2h V 0 h V ( r 2 )
使原问题化为:求 r : h 使 S 最小,即,求r 使下式最小.
某种意义下的最优设计。当然， 果是否可以合理地说明你们
对于单个的易拉罐来说，这种 所测量的易拉罐的形状和尺
最优设计可以节省的钱可能是 寸，例如说，半径和高之比
很有限的，但是如果是生产几 等等。
亿，甚至几十亿个易拉罐的话， 可以节约的钱就很可观了。
➢
③考虑壁厚及顶盖厚和壁厚 不同的情况下求最优模型。
问题分析
S(r) 2 (2r V ( r 2 )) 2 (2r3 V ) 0
r2
r即圆3之柱2V比的为,直1径:1和高
h
V
r
2
V
3
4 2
V2
3
4 2V 3 3V 2
3
8V
2
2r d
b2rahd132d421 1
表一:自己测量得到的易拉罐所需数据表(单位:mm)
②饮料罐顶盖所用材料的体积为 b r2
③饮料罐底部所用材料的体积为 b r2
所用材料的体积 ：
,
SV (r, h) 2 rhb 2 r(1 )b2 h b2 (1 )b3 b r2 b r2
罐内体积 V(r, h)：
V (r, h) r 2h
实际上,饮料罐的形状是左平 面图形绕其中轴线旋转而成的 立体.
可以把饮料罐的体积看成两部 分,一是锥台,二是圆柱体.
易拉罐形状和尺寸的最优设计(1)
3 模型的假设与求解
3. 1 对问题 1 . 1 , 我们 实际测 量 355m l易拉 罐的各 种 数据如表 1 。
! [ 收稿时间 ] 2007- 03 - 16 [ 作者简介 ] 李以渝 ( 1956 - ), 男 , 四川工程职业技术学院教授 ; 研究方向 : 数学与数学教育、 系统科学与科学哲学研究。
Key word s : Can ; O pti m ized design; m athe m aticsm odeling
1 问题的提出
近年 , 我国每年 用易拉 罐 60# 70 亿只 , 如果 每个 易拉 罐在形状和尺寸作优化设计 , 节约一点用料 , 则总的节约就 很大了。为此提出下述问题 : 1. 1 取一 个饮料量为 355 毫升的易 拉罐 , 测量验证模 型所需要的数据 ; 1. 2 设易 拉罐是一个正圆柱体。确定它的最 优设计。 其结果 是 否 可 以 合 理 地 说 明 所 测 量 的易 拉 罐 的 形 状 和 尺寸。 1. 3 设易拉罐的上面部分是一个正圆台 , 下面部分是 一个正圆柱体。确定它的最优 设计。其 结果是否可以合理 地说明所测量的易拉 罐的形状和尺寸。 1. 4 利用对所测量的易拉罐的洞察和想象力 , 做出关 于易拉罐形状和尺寸 的最优设计。
模型求解 , 有 , r= 此时 , 易拉罐的直径
3
v 是 s( r) 的最小值点。 4
D = 2r= 2 易拉罐的高
v 4
3 r - v ] = 0, 用 M a tlab 可知 , 当 r=
69
工程技术研究与
3
应用
3
主持 : 李艳
李以渝、 傅骏、 余川祥 : 易拉罐形状和尺寸的最优设计
V= )2 = ( 1 + ) 1 3 h( r2 + rR + R2 ) 3V ( r2 + rR + R2 ) 9v2 2 + ( R- r ) ( r + rR + R2 )
高中数学建模论文-易拉罐形状和尺寸的最优设计方案
⾼中数学建模论⽂-易拉罐形状和尺⼨的最优设计⽅案易拉罐形状和尺⼨的最优设计⽅案摘要：本⽂讨论的是兼顾圆台状易拉罐的不同壁厚，建⽴以易拉罐材料体积为⽬标函数，容积⼀定为约束条件的⾮线性规划模型。
通过⾮线性规划与条件极值求得结果。
在此基础上，引⼊了黄⾦分割点，环保以及材料最省，设计了⼀种兼顾各种优点的新型易拉罐，具有较强的实⽤性和推⼴性。
关键词：⾮线性规划条件极值正⽂⽣活中稍加留意就会发现销量很⼤的饮料的饮料罐的形状和尺⼨⼏乎相同。
看来，这并⾮偶然，⽽应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是⽣产⼏亿，甚⾄⼏⼗亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
⼀、提出问题1、问题为什么不同⼯⼚的易拉罐采⽤统⼀规格？2、易拉罐的圆柱底⾯圆的直径与圆柱的⾼的⽐是多少才为最优？从数学的⾓度怎样给予合理的解释？3、和现实中的实际情况有什么差异，为什么？⼆、模型假设与符号约定2.1模型假设1、易拉罐的容积是⼀定的；2、易拉罐所有材料的密度都相同，材料的价格与其体积成正⽐；3、各种易拉罐的上⾯的拉环⽣产成本固定，不受易拉罐形状和尺⼨的影响；4、⽹上查的数据真实可靠2.2符号约定三、问题分析与模型建⽴对于问题1：可以借助物理仪器，如游标卡尺、螺旋测微仪测量易拉罐的⾼度、直径、顶⾯、底⾯、圆台侧⾯、圆柱侧⾯的厚度等相关数据.对于问题2：将易拉罐看成正圆柱体，考虑到易拉罐的侧壁、顶盖、底⾯的厚度均不相同且为常数，以圆柱体材料的体积作为⽬标函数，其容积等于定值作为约束条件，构建⾮线性规划模型并通过模型简化，得到解析的最优解，以此来探讨最优形状的设计。
此为模型1。
在此基础上，将易拉罐看成是圆台与圆柱的组合体。
此时⽬标函数——材料体积由圆柱体和圆台两部分体积构成，因此⽬标函数表达式变得⽐较复杂。
此时形状由圆柱的⾼和半径及圆台的⾼和上表⾯半径决定，以此作为决策变量对模型⼀稍作修改建⽴模型2。
2006 C易拉罐形状及尺寸的最优设计
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：837所属学校（请填写完整的全名）：深圳职业技术学院参赛队员(打印并签名) ：1. 赖竹山2. 刘南能3. 林惠聪指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：雷田礼日期： 2006 年 9 月 18 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本题在建立数学模型的基础上，用LINGO 实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。
结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。
在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。
针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比:1:2R H =（H 为圆柱的高，R 为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高:1:6R H =时，表面积最小。
一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b 倍时，最优设计方案为:2R H b =。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
易拉罐形状和尺寸的最优设计组员：邢登峰，张娜，刘梦云摘要研究易拉罐形状和尺寸的最优设计可以节约的资源是很可观的。
问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。
问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型2()2(2)vs r rd r rππ=+，由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：2min (,)(,)0.00s r h g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。
问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。
模型圆台面积2()(s r r R r ππ=++用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=45.07最小。
结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。
问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1：0.4更别致、美观。
对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。
另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。
最后写出了我们对数学建模的体会文章。
关键词：易拉罐 最优设计 数学建模问题重述在生活中我们会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
06年数学建模大赛获奖论文讲解(完整版)
• 关键词：Lagrange 、 条件极值法
• 1、模型假设 • 2、问题分析 • 3、模型的建立与求解
• 3.1 问题一
3.2问题二
3.2.2模型求解
• 2、理想模型求解 • 1）条件极值法
3.3问题三
• Lagrange乘子法和Matlab求解
3.4问题四
• 综上所述，在易拉罐体积一定的条件下，以总用料最少为 目标最优化模型建立如下：
模型建立分析
目标函数的构成
2)满意度指标的标准化：指派方法
3）资源优化配置模型的建立
• 在标准化处理的基础上综合加权得到资源优化配置的最终 优化模型
模型求解和结果分析
三种人力资源约束条件下各分社的所得书号数 分社序号 人力资源硬约束 人力资源无约束 工作能力提高20% 1 63 55 63 2 43 29 43 3 120 177 144 4 91 60 67 5 56 56 56 6 47 47 47 7 18 18 18 8 32 29 32 9 30 30 30
• 摘要：本文对易拉罐的最优设计主要从用料最省的角度
进行研究。首先运用多次测量求平均值的方法确定出易拉 罐的实际尺寸，然后分别就易拉罐为圆柱体和组合体（圆 柱体及圆台）两种情况进行研究。当易拉罐为正圆柱体时， 以圆柱体高度与半径的比例关系确定易拉罐形状符合最有 设计。当易拉罐为组合体时，以不同设计要求逐步改进， 求得易拉罐实际尺寸求得最优设计，最后降易拉罐上端的 圆台改为球台作为自己的最优设计。求解过程中主要用到 Lagrange乘子法、重积分、条件极值及数学软件 （Matlab 、Lingo)等。
2006年全国大学生数学建模竞赛
A题：出版社的资源配置 B题：艾滋病疗法的评价及疗效的预测 C题：易拉罐形状和尺寸的最优设计 D题：煤矿瓦斯和煤尘的监测和控制
2006易拉罐形状和尺寸的最优设计
论文4易拉罐形状和尺寸的最优设计获奖等级：国家二等奖指导教师：黎克麟参赛队员：王坤1李杨平2陈秋霖1 (乙组)(1、物理系物教专041学生；2、机电系工设专041学生)摘要：本文验证了一个在物理、力学、工程，材料等方面综合的最优化设计模型。
我们先测量市场上流行的易拉罐的尺寸等数据，再通过建立极值的数学模型，运用微分法计算出的结果解释这样的尺寸是否合理，最后提出我们认为更好的易拉罐形状和尺寸优化设计。
我们用物理实验工具测得所需易拉罐的数据（见正文），紧接着我们运用同种方法分别建立了易拉罐为正圆柱体和正圆柱体加圆台的模型，根据最优设计涉及到诸多方面，当易拉罐为正圆柱体，我们考虑以易拉罐所用材料最省为目标函数，用微分法求解出了易拉罐的高与半径的比值为4时，且用料最省也满足人机工程，此时就是易拉罐的最优设计，我们的结果在半径与高的比值能合理说明我们所测量的易拉罐的形状和尺寸；当易拉罐为正圆柱体加圆台同理求解出了易拉罐的主要尺寸，我们得到在安全和美学方面是此模型的最优设计，我们所得到的结果还是能够合理地说明我们所测的易拉罐的形状和尺寸；最后，我们在综合考虑怎样设计最优，利用现在市场的需求方向为进一步满足消费者需要和发展趋势。
设想一个有盖模型，设计出了一个正圆柱加一个圆锥的易拉罐模型。
根据我们自身的体验写出了以前与现在对建模不同认识，在认识上升华了一步（见附录）。
一、问题的提出内容：我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
问题：1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。
06年数学建模有关易拉罐的尺寸最优设计问题
12.06 6.58 0.099 0.321 0.305 1.00 6.02 11.06 364.5
12.08 6.58 0.101 0.304 0.294 0.98 5.98 11.08 364.0
12.06 6.66 0.095 0.311 0.310 1.02 6.00 11.06 365.6
构造函数：
分别对r1,r2, θ ,h求偏导，并使之为零，与Vp(r1,r2,h, θ )-365=0 联立得到方程组:
2π + 2 k 3 bπr1 + 2πh + λπr12 tan θ + 2λπhr1 cosθ 2 k1bπr2 − 2 k 2bπr2 − λπr22 tan θ =0 cos θ λπ (r13 − r23 ) 2 2 sin θ k 2 bπ ( r1 − r2 ) cosθ + 3 cos 2 θ = 0 2bπr1 + λπr12 = 0 1π tan( r13 − r23 ) +πr12 h −365=0 3
问题四
1）球台部分的求解 运用重积分求得球台体积V1为
2πr33 (cos α − cos β ) π r23 r13 V1 = + − 3 3 tan α tan β
球台上表面的面积 SV = πr2 ，球台 弧形部分表面积Sv2,根据二重积分 用球面坐标对其表面积积分可求的 用球面坐标对其表面积几分渴求的 台球部分表面积为
测得数据如表1所示 测得数据如表 所示
表1
数据种类 实测数据 平均值 单位
罐高 罐桶直径 罐壁厚 顶盖厚 罐底厚 圆台高 顶盖直径 圆柱体高 罐内体积
12.06 6.62 0.112 0.295 0.303 1.00 6.02 11.04 364.9
高中数学建模论文_易拉罐形状和尺寸的最优设计方案
易拉罐形状和尺寸的最优设计方案摘要：本文讨论的是兼顾圆台状易拉罐的不同壁厚，建立以易拉罐材料体积为目标函数，容积一定为约束条件的非线性规划模型。
通过非线性规划与条件极值求得结果。
在此基础上，引入了黄金分割点，环保以及材料最省，设计了一种兼顾各种优点的新型易拉罐，具有较强的实用性和推广性。
关键词：非线性规划条件极值正文生活中稍加留意就会发现销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同。
看来，这并非偶然，而应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
一、提出问题1、问题为什么不同工厂的易拉罐采用统一规格？2、易拉罐的圆柱底面圆的直径与圆柱的高的比是多少才为最优？从数学的角度怎样给予合理的解释？3、和现实中的实际情况有什么差异，为什么？二、模型假设与符号约定2.1模型假设1、易拉罐的容积是一定的；2、易拉罐所有材料的密度都相同，材料的价格与其体积成正比；3、各种易拉罐的上面的拉环生产成本固定，不受易拉罐形状和尺寸的影响；4、网上查的数据真实可靠2.2符号约定2r圆台下表面的半径三、问题分析与模型建立对于问题1：可以借助物理仪器，如游标卡尺、螺旋测微仪测量易拉罐的高度、直径、顶面、底面、圆台侧面、圆柱侧面的厚度等相关数据.对于问题2：将易拉罐看成正圆柱体，考虑到易拉罐的侧壁、顶盖、底面的厚度均不相同且为常数，以圆柱体材料的体积作为目标函数，其容积等于定值作为约束条件，构建非线性规划模型并通过模型简化，得到解析的最优解，以此来探讨最优形状的设计。
此为模型1。
在此基础上，将易拉罐看成是圆台与圆柱的组合体。
此时目标函数——材料体积由圆柱体和圆台两部分体积构成，因此目标函数表达式变得比较复杂。
此时形状由圆柱的高和半径及圆台的高和上表面半径决定，以此作为决策变量对模型一稍作修改建立模型2。
对于问题3：在容积一定的条件下，球体是最节省材料的，然后同样考虑人们拿着易拉罐时的手感舒适度和放置时的稳定性。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
易拉罐形状和尺寸的最优设计摘 要本文研究的是易拉罐形状和尺寸的最优设计。
对于问题1我们利用游标卡尺对饮料量为355毫升的蓝带“纯爽”牌啤酒的建立了规划模型，目标函数关系式为：22123min 2S w R w RH w R πππ=+⋅+得到高与半径比为： 3.476H R =与我们所测量的尺寸（559.351.3328.119=）比较接近，其结果可以合理地说明我们所测量的易拉罐的尺寸，但不能说明其形状。
对于问题3在圆台上底面半径一定的情况下，形状为黄金分割比且用铝量最小是它的最优设计，建立目标函数关系式：()2223221min 2S R r l R Rh r πωπωπωπω=++++得到高与半径之比为： 12 3.417h h R +=其结果从形状和尺寸都能比较合理的说明我们所测量的数据。
对于问题4我们将开口设计成为旋合式瓶盖，并且得到一组新的尺寸，虽然成本可能偏高，但它比现有易拉罐更为方便和卫生。
最后我们通过做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验写下了自己的感受。
关键词：易拉罐 规划模型 黄金分割 Lingo一、问题的提出我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
对于易拉罐的形状和尺寸的最优设计我们提出了以下问题：1. 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。
2. 设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.
图1
二、问题分析
本文假设最优化条件为保证容积的情况下，使制作易拉罐所需材料最省（表面 积为最小）。由于易拉罐形状不是单纯的正圆柱体，所以本文建立模型时，先假设 易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体。然后，考虑易拉罐的厚度， 在厚度一致时，利用 lingo软件，计算出模型的最优解；通过本文观察发现易拉罐 顶盖的厚度是罐身的三倍，所以，假设另一种模型当易拉罐顶盖、底盖厚度为 a， 其余部分为 b，且 a:b=3：1，体积 V=355ml时，同样利用 lingo软件，计算出模型 的最优解。
2、确定变量和参数：设饮料内半径为 R，高为 H，体积为 V，易拉罐顶盖、 底盖厚度为 a,其它部分厚度为 b。其中 r 和 h 是自变量，所用材料的体积 S 是因变量，而 a,b,c和 V 是固定参数。则 S 和 V 分别为：
S 2 R a 2 3a R a 2 H R2H
6a R2 12a2 R 6a3 2 RaH a2H
V
R2H ， H
V R2
设V 3、模型建立：
x1 2 x2 g R, H
RH V 2
min S R, H R 0, H 0
g R, H 0
其中 S 是目标函数， g R, H 0 是约束条件，厚度比例与 V 是已知的，即要 在体积 V 一定的条件下求 r 和 h 的取值是多少时体积 S 最小
2006全国数学建模竞赛易拉罐形状和尺寸的最优设计模型全国一等奖
易拉罐形状和尺寸的最优设计模型(2006年获全国一等奖)摘 要：本文主要考虑当容积一定时，如何设计易拉罐的形状和尺寸，使得所用材料最省。
首先对易拉罐进行测量，对问题二、问题三、问题四建立数学模型，并利用LINGO 软件结合所测的数据进行计算，得出最优易拉罐模型的设计。
模型一，对正圆柱体形状的易拉罐，当容积一定时，以材料体积最小为目标，建立材料体积的函数关系式，并通过求二元函数条件极值得知，当圆柱高为直径两倍时，最经济，并用容积为360 ml 进行验算，算得mm H 63.122=，mm R 58.30=与市场上净含量为355ml 的测得的数据基本接近。
模型二，对上面部分为正圆台、下面部分为正圆柱的易拉罐同样在容积量一定时，考虑所用材料最省，建立优化模型，并通过LINGO 软件仍用容积为360 ml 进行验算，算得mm R 58.30=，mm r 33.291=，mm h 94.81=，mm h 8.1112=，高之和约为直径的两倍。
模型三，考虑到罐底承受的压力，根据力学上横梁支点的受力与拱桥设计的原理，设计底部支架（环形）与一定弧度的拱面，同时利用黄金分割，将直径与高之比设为0.618，建立容积量一定时材料最省的优化模型，再将有关数据代入计算，得到结论，现行易拉罐的设计从某种意义上不乏是最优设计。
关键词：优化模型 易拉罐 非线性规划 正圆柱 正圆台一、问题重述销量很大的饮料容器(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。
这应该是某种意义下的最优设计，而不是偶然。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
现针对以下问题，研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是测量得到的，那么必须注明出处。
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2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。
结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。
在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。
针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比:1:2R H=（H为圆柱的高，R为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高:1:6R H=时，表面积最小。
一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b倍时，最优设计方案为:2=。
R H b 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得出当24+==(h为H h R r圆台的高，r为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出 4.5r→时H h R+≈，0材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。
原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。
在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。
通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。
进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。
为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。
此时，材料最省。
但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。
因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。
此时，易拉罐形状和尺寸最优。
如果设计为旋转式拉环，====时，可以得到优于现实中易拉罐的设计方案。
r h R H2.2,0.75,3.93, 6.86最后，本文总结了此次数学建模中有益的经验--在数学建模过程必须灵活应用从简到繁、由易到难不断扩展的研究方法，并且要充分发挥数学软件在优化设计中无可比拟的优势；同时，通过此次数学建模比赛深刻体会到了数学工具在生产实践中的重要作用。
关键词：易拉罐最优设计材料体积 lingo软件文中符号注解R:圆柱半径r:圆台半径H:圆柱高h:圆台高S:易拉罐表面积V:易拉罐体积MIN:最小化为方便在LINGO软件中计算，定义：X1:在软件LINGO中的圆柱半径（R）X2:在软件LINGO中的圆柱高（H）X3:在软件LINGO中的圆台半径（r）X4:在软件LINGO中的圆台高(h)第一问：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们以为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明：如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。
表1：数据测量结果（2）易拉罐整体厚度均相同1、 确定变量和参数：设易拉罐内半径为R ，高为H ，,厚度为a ，体积为V ，其中r 和h 是自变量，所用材料的面积S 是因变量，而V 是固定参数，则S 和V 分别为：()()2222S R a a R a H R H πππ=+⨯++⨯-22332422aR a R a HRa Ha πππππ=++++2V R H π=， 2VH R π=设()2,g R H R H V π=-2、 模型建立：()min ,0,0S r h R H >> (),0g R H =其中S 是目标函数，(),0g R H =是约束条件，V 是已知的，即要在体积一定的条件下求S 的最小值时，r 和h 的取值是多少4、模型求解因为按照实际测量数据可知ar ，所以带2a ，3a 的项可以忽略，且2VH Rπ=，则有 ()()22,2aVS R H R aR Rπ=+求()(),S r h r 的最小值，令其导数为零，即()(),0S R H R '=，解得临界点为R =，则222VH R π=== 因为()344aV S R a R π''=+，则120S a π''=>，所以当R:H=1:2时，是S 最优解5.模型结论在假设易拉罐是正圆柱体且厚度均相同的条件下，当体积为固定参数，而表面积最小时，通过对面积求导，得到高是半径的两倍，r:h=1:2，此时，模型最优。
（二） 易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同时的最优设计模型1、假设：（1）易拉罐是正圆柱体（2）易拉罐顶盖、底盖厚度为3a,其它部分厚度为a 2、确定变量和参数：设饮料内半径为R ，高为H ，体积为V ，易拉罐顶盖、 底盖厚度为a,其它部分厚度为b 。
其中r 和h 是自变量，所用材料的体积S 是因变量，而a,b,c 和V 是固定参数。
则S 和V 分别为：()()22223S R a a R a H R H πππ=+⨯++⨯-223261262a R a R a RaH a H πππππ=++++2V R H π=，2VH R π=设()()212V x x π=()2,g R H R H V π=-3、模型建立：()min ,0,0S R H R H >> (),0g R H =其中S 是目标函数，(),0g R H =是约束条件，厚度比例与V 是已知的，即要在体积V 一定的条件下求r 和h 的取值是多少时体积S 最小4、 模型求解因为按照实际测量数据可知aR ，所以带2a ，3a 的项可以忽略，且2VH Rπ=，则 226aVS a R Rπ=+求()(),S r h r 的最小值，令其导数为零，即()(),0S R H R '=，解得临界点为R =266VH R π=== 因为()3412aV S R a R π''=+，则480S a π''=>，因此当H=6R 时，S 为最优解观察模型（一）与模型（二），可见当厚度比例不同时，半径与高的比不同，似乎有一定的联系，因此我们假设顶与底盖厚度为ab ，壁的厚度为a ，其中b 为比例系数，则()()2222S R a ba R a H R H πππ=+⨯++⨯-22322422abR a bR a b HRa Ha πππππ=++++因为按照实际测量数据可知a R ，所以带2a ，3a 的项可以忽略，且2VH Rπ=，则有 222aVS ab R Rπ=+求()(),S r h r 的最小值，令其导数为零，即()(),0S R H R '=，解得临界点为R =222VH b bR π=== 因为()344aV S R ab R π''=+，则120S ab π''=>，因此当R:H=1:2b 时，S 为最优解5.模型结论在假设易拉罐是正圆柱体，且顶盖、底部的厚度是罐身的三倍的条件下，当体积为固定参数，而表面积最小时，通过对表面积求导，得到半径与高的比是一比六，R:H=1:6，此时，，观察模型（一）与模型（二），可见当厚度比例不同时，半径与高的比不同，似乎有一定的联系，因此本题假设顶与底盖厚度为ab ，壁的厚度为a ，其中b 为比例系数，则R:H=1:2b四、模型评价在不考虑厚度的情况下，考虑节约材料前提下得到，底半径r是高度h的一半时，圆柱的表面积最小。
考虑易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同的情况下，考虑了材料的厚度，因此，建立顶端是侧壁的三倍厚度（因为此比例有利于罐身受力，便于开盖），高度h是底半径r的6倍时，圆柱的表面积最小。
第一二种模型相较之下，第二种模型更费材料，第一种模型设计更优。
所以，在不受力的情况下，假设易拉罐是一个正圆柱体，当底半径r是高度h的一半时，模型最优。
不过，本文通过实际数据发现，厂商制作易拉罐时，不单单是考虑材料最省，可能还考虑到开盖时所受到的压力，外形美观等因素，由于能力有限暂时无法解释。
第三问：设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。
一、问题描述通常，在现实生活中，本文所见地易拉罐都不是单纯的正圆柱体，一般都是混合的三维图形。
由于实际生活中，易拉罐是受到外力的影响（如开盖时的拉力，堆放时的压力等等），因此，本文依照生活中的易拉罐，设易拉罐的中心纵断面如图1所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。
通过计算和测量，在理论的基础上，建立易拉罐最优设计的模型。
图1二、问题分析本文假设最优化条件为保证容积的情况下，使制作易拉罐所需材料最省（表面积为最小）。
由于易拉罐形状不是单纯的正圆柱体，所以本文建立模型时，先假设易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体。
然后，考虑易拉罐的厚度，在厚度一致时，利用lingo 软件，计算出模型的最优解；通过本文观察发现易拉罐顶盖的厚度是罐身的三倍，所以，假设另一种模型当易拉罐顶盖、底盖厚度为a ，其余部分为b ，且a:b=3：1，体积V=355ml 时，同样利用lingo 软件，计算出模型的最优解。
三 模型假设、建立与求解（一）第三种易拉罐形状和尺寸的最优设计模型1、假设：（1）易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体（2）易拉罐整体厚度均相同2、确定变量和参数：设易拉罐顶盖、底部半径为R ，正圆柱体高为H ，正圆台高为h,体积为V ，其中R,r,H,h 是自变量，所用材料的体积S 是因变量，而V 是固定参数，则S 和V 分别为：()(222S R r RH R r πππ=++++()22213V R H R Rr r h ππ=+++设()()2221,,,3g R r H h R H R Rr r h V ππ=+++-3、模型建立：()min ,,,0,0,0,0S R r H h R r H h >>>> (),,,0g R r H h =其中S 是目标函数，(),,,0g R r H h =是约束条件，V 是已知的，即要在体积一定的条件下求表面积最小值时，R ，r ，H ，h 的取值各是多少4、模型求解利用LINGO 求解，设R=x1,r=x3,H=x2,h=x4,则()()()()()()()(221321213S x x x x x x πππ=++++()()()()()()()()222112113343V x x x x x x x ππ=+++利用LINGO 计算结果（见附表一），得 H+h=2R=4r 时，S 为最优解5.模型结论在易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体，且厚度均相同的前提下，当体积为固体参数，表面积最小时，利用软件（LINGO ）计算，得到圆台的高与圆拄的高等于两倍圆拄的半径，同时也等于四倍的圆台的半径，H+h=2R=4r ，模型最优。