二次函数经典解题技巧
二次函数动点问题的解题技巧
二次函数动点问题的解题技巧
以下是 8 条关于二次函数动点问题的解题技巧：
1. 大胆设未知数呀！比如在一个直角坐标系里，有个二次函数图像上有个动点 P，那咱就大大方方设它的坐标为(x,y)，这样不就能更好地分析啦！就像给这个动点取了个名字，好指挥它呀！
2. 把条件都用上呀！可别漏了，像找到某个线段长度与动点坐标的关系，哎呀呀，这可是关键呢！比如已知一个线段的长度是 5，和动点 P 的横坐标有关，那可不能放过这个线索，得好好挖掘挖掘！
3. 找等量关系呀！这就好比寻宝，到处去找那些能关联起来的等量哦。
比如说一个三角形面积和另一个图形面积相等，这不就找到宝贝线索啦！
4. 注意特殊位置呀！嘿，动点有时候会跑到一些特殊的点呢，那可有意思啦。
比如它跑到对称轴上时，那说不定会有惊喜发现呢！像突然发现一些对称关系，多神奇呀！
5. 画画图呀！通过图形能更直观地看到动点的运动呀，这就像给你一双眼睛看着它怎么跑。
看看它跑到不同地方时整个图形发生的变化，多好玩呀！
6. 多试试分类讨论呀！有时候动点的情况不唯一呢，那咱就别怕麻烦，一种一种来。
难道还能被它难住不成？像动点在不同区间时可能有不同的结果，咱就一个个算清楚嘛！
7. 利用函数解析式呀！这可是个好宝贝，通过它能知道很多信息呢。
比如知道了二次函数的解析式，那动点在上面的一些性质不就清楚啦？
8. 要敢想敢做呀！别犹豫，大胆去尝试各种方法。
不试试看怎么知道行不行呢？就像冒险一样，多刺激呀！
总之，面对二次函数动点问题，别怕！勇敢地去探索，一定能找到答案的！。
解二次函数的方法
解二次函数的方法解二次函数的方法有以下几种：1. 因式分解法：对于形如y = ax^2 + bx + c的二次函数，当a≠0时，可以尝试以因式分解的方式将其拆解成两个一次函数的乘积形式。
具体步骤如下：- 将二次项ax^2分解成两个一次函数的乘积形式，即找到两个数m和n，使得：m*n = a 且m + n = b；- 根据上述分解结果，将二次函数y = ax^2 + bx + c写成因式乘积形式，即y = (mx + p)(nx + q)；- 求解得到m、n、p、q的值，得到最终的因式分解结果。
2. 完全平方公式法：通过完全平方公式，可以将二次函数表示成一个平方项加上一个常数的形式。
具体步骤如下：- 将二次函数y = ax^2 + bx + c变形成y = a(x-h)^2 + k的形式；- 根据变形后的形式可得，h = -b/(2a)，k = c - b^2/(4a)；- 根据上述求得的h和k的值，将二次函数写成完全平方的形式。
3. 配方法：对于一般形如y = ax^2 + bx + c的二次函数，当a≠0时，可以通过配方法来解。
具体步骤如下：- 首先将二次函数的二次项系数a提取出来，并将方程变形为y = a(x^2 + (b/a)x) + c；- 进一步变形为y = a(x^2 + (b/a)x + b^2/(4a^2)) + c - b^2/(4a)；- 再次变形为y = a(x + b/(2a))^2 + (4ac - b^2)/(4a)；- 根据上述变形，可以将二次函数表示为(x + b/(2a))^2的形式，并求出平移向量及其他信息。
4. 求根公式法：对于一般形如y = ax^2 + bx + c的二次函数，可以通过求根公式来解。
求根公式是利用一元二次方程的求根公式，得到二次函数的根的表达式。
一元二次方程的求根公式为：x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a) ；根据上述公式，可以求得二次函数的根的值。
初中数学二次函数题型答题技巧和方法
初中数学二次函数题型答题技巧和方法一、理论基础1. 二次函数的定义二次函数是指形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数，其中a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项。
2. 二次函数的图像特征二次函数的图像是抛物线，开口朝上还是朝下取决于a的正负性；顶点的横坐标为-x=b/2a；若a>0,则二次函数的图像开口朝上，最小值为y轴的对称轴；若a<0,则二次函数的图像开口朝下，最大值为y 轴的对称轴。
3. 二次函数的零点和值域二次函数的零点即其图像与x轴的交点，可通过解二次方程求得；值域是二次函数在定义域内所有纵坐标的集合。
二、基本题型及解题技巧1. 求二次函数的图像特征首先计算顶点的坐标，并根据a的正负性判断开口方向；然后通过y=ax^2的形式，可知函数的对称轴为x=0，即y轴；进而可以根据a 的值判断最值是最大值还是最小值。
2. 求二次函数的零点通过解二次方程的方法，将二次函数与x轴相交的点作为函数的零点。
3. 求二次函数的值域首先求得函数的最值，然后根据a的正负性来确定值域的范围。
三、提高解题能力的方法1. 多练习经典题目通过练习一些经典的二次函数题目，可以加深对二次函数的理解，掌握基本的解题技巧。
2. 多思考图像特征在解题过程中，要多思考二次函数的图像特征，如顶点坐标、开口方向、对称轴等，这样可以帮助更快地理解题目并找到解题方法。
3. 注意解题方法和步骤解二次函数题目时，要注意分类讨论，分步解题，并注意逻辑推理的合理性。
四、常见错误与纠正1. 混淆二次函数的图像特征有些学生容易混淆二次函数图像的开口方向和对称轴位置，应该在理论学习和练习中多加注意，加深对二次函数图像特征的印象。
2. 解题步骤混乱有些学生在解题时，步骤混乱，缺乏逻辑性，应该在解题过程中多加练习，养成条理清晰的解题习惯。
五、案例分析及解决方案1. 案例：已知二次函数f(x)=2x^2-4x+3，求解以下问题：（1）求f(x)的顶点坐标；（2）求f(x)的零点；（3）求f(x)的值域范围。
二次函数解题思路十大技巧
二次函数解题思路十大技巧
1、先求出二次函数的顶点：
设二次函数为y=ax2+bx+c，那么顶点的横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
2、确定函数的性质：
判断a的正负，可以确定函数的单调性，从而确定函数的大致形状。
3、利用函数的性质，确定函数的根：
若函数为单调递增，则函数的根在顶点左边；若函数为单调递减，则函数的根在顶点右边。
4、利用绝对值函数的性质，确定函数的根：
若函数为绝对值函数，则函数的根在顶点两边，且根的绝对值相等。
5、利用函数的性质，确定函数的最大值和最小值：
若函数为单调递增，则函数的最大值在顶点右边；若函数为单调递减，则函数的最小值在顶点左边。
6、利用函数的性质，确定函数的极值：
若函数为单调递增，则函数的极大值在顶点右边；若函数为单调递减，则函数的极小值在顶点左边。
7、利用函数的性质，确定函数的极值点：
若函数为单调递增，则函数的极大值点在顶点右边；若函数为单调递减，则函数的极小值点在顶点左边。
8、利用函数的性质，确定函数的增量和减量：
若函数为单调递增，则函数的增量在顶点右边；若函数为单调递减，则函数的减量在顶点左边。
二次函数经典解题技巧
龙文教导学科教员辅导讲义之袁州冬雪创作对于点P （x 0，y 0）到直线滴一般式方程 ax+by+c=0滴间隔有2200a b a c by x d +++=常常使用记牢2、如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点 B （0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得△ABP 的周长最小．请求出点P 的坐标．解：（1）根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧+⨯-⨯=-+-⨯--⨯=.0405,)1(4)1(022c a c a …2分解得 ⎩⎨⎧-==.5,1c a …………………………3分∴二次函数的表达式为542--=x x y ．……4分 （2）令y =0，得二次函数542--=x x y 的图象与x 轴 的另外一个交点坐标C （5, 0）.……………5分 由于P 是对称轴2=x 上一点，保持AB ，由于2622=+=OB OA AB ，要使△ABP 的周长最小，只要PB PA +最小.…………………………………6分由于点A 与点C 关于对称轴2=x 对称，保持BC 交对称轴于点P ，则PB PA += BP +PC =BC ，根据两点之间，线段最短，可得PB PA +的最小值为BC .因而BC 与对称轴2=x 的交点P 就是所求的点.……………………………………8分设直线BC 的解析式为b kx y +=，根据题意，可得⎩⎨⎧+=-=.50,5b k b 解得⎩⎨⎧-==.5,1b k所以直线BC 的解析式为5-=x y .…………………………………………………9分 因此直线BC 与对称轴2=x 的交点坐标是方程组⎩⎨⎧-==5,2x y x 的解，解得⎩⎨⎧-==.3,2y x所求的点P 的坐标为（2，-3）.……………………………10分压轴题中求最值此种题多分类讨论，求出函数关系式，再求各种情况的最值，最后求出最值. 典型例题：1如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，BC ＝6，AD ＝3，∠DCB ＝30°.点E 、F 同时从B 点出发，沿射线BC 向右匀速F 点移动速度是E 点移动速度的2倍，以EF 为一边在CB 的上方作等边△EFG ．设E 点移动间隔为x （x ＞0）. ⑴△EFG 的边长是____（用含有x 的代数式暗示），当x ＝2时，点G 的位置在_______； ⑵若△EFG 与梯形ABCD 重叠部分面积是y ，求 ①当0＜x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式； ②当2＜x ≤6时，y 与x 之间的函数关系式；⑶探求⑵中得到的函数y 在x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值.A DG解：⑴ x ，D 点⑵①当0＜x ≤2时，△EFG 在梯形ABCD 外部，所以y ＝43x 2； ②分两种情况：Ⅰ.当2＜x ＜3时，如图1，点E 、点F 在线段BC 上， △EFG 与梯形ABCD 重叠部分为四边形EFNM ，∵∠FNC ＝∠FCN ＝30°,∴FN ＝FC ＝6－2x.∴GN ＝3x －6. 由于在Rt △NMG 中，∠G ＝60°， 所以，此时 y ＝43x 2－83（3x －6）2＝2392398372-+-x x . Ⅱ.当3≤x ≤6时，如图2，点E 在线段BC 上，点F 在射线CH 上，△EFG 与梯形ABCD 重叠部分为△ECP ， ∵EC ＝6－x, ∴y ＝83（6－x ）2＝239233832+-x x . ⑶当0＜x ≤2时，∵y ＝43x 2在x ＞0时，y 随x 增大而增大， ∴x ＝2时，y 最大＝3；当2＜x ＜3时，∵y ＝2392398372-+-x x 在x ＝718时，y 最大＝739； 当3≤x ≤6时，∵y ＝239233832+-x x 在x ＜6时，y 随x 增大而减小， ∴x ＝3时，y 最大＝839.综上所述：当x ＝718时，y 最大＝739如图，直线643+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点；直线x y 45=△ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为S （平方单位），点E 的运动时间为t （秒）. （1）求点C 的坐标.（2）当0<t<5时，求S 与t 之间的函数关系式. （3）求（2）中S 的最大值. （4）当t>0时，直接写出点（4，29）在正方形PQMN 外部时t 的取值范围.【参考公式：二次函数y=ax 2+bx+c 图象的顶点坐标为（ab ac a b 44,22--）.】解：（1）由题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=.45,643x y x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.415,3y x∴C （3,415）.（2）根据题意，得AE=t ，OE=8-t. ∴点Q 的纵坐标为45(8-t)，点P 的纵坐标为43t ， ∴PQ=45 (8-t)-43t=10-2t.当MN 在AD 上时，10-2t=t ，∴t=310.B E F CA DGNM图1B EC F A DG P H图2。
二次函数典型题解题技巧
二次函数典型题解题技巧一有关角1、已知抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点点A 在点B 的左边,与y 轴交于点(0C ,3),过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ,抛物线的顶点为M ,直线5y x =+经过D 、M 两点.（1） 求此抛物线的解析式；2连接AM 、AC 、BC ,试比较MAB ∠和ACB ∠的大小,并说明你的理由.思路点拨：对于第1问,需要注意的是CD 和x 轴平行过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D对于第2问,比较角的大小a 、 如果是特殊角,也就是我们能分别计算出这两个角的大小,那么他们之间的大小关系就清楚了b 、 如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角,那么大小关系就确定了c 、 如果稍难一点,这两个角转化成某个三角形的两个内角,根据大边对大角来判断角的大小d 、 除了上述情况外,那只有可能两个角相等,那么证明角相等的方法我们学过什么呢,全等三角形、相似三角形和简单三角函数,从这个题来看,很明显没有全等三角形,剩下的就是相似三角形和简单三角函数了,其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的,都是对应边的比相等e 、 可能还有人会问,这么想我不习惯,太复杂了,那么我再说一个最简单的方法,如何快速的找出题目的结论问题,在本题中,需要用到的点只有M 、C 、A 、B 这四个点,而这四个点的坐标是很容易求出来的,那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来,再用量角器去量这两个角大大小,你就能得出结论了,得出结论以后你再看d 这一条解：1∵CD ∥x 轴且点C0,3,∴设点D 的坐标为x,3 ．∵直线y= x+5经过D 点,∴3= x+5．∴x=－2．即点D －2,3 ．根据抛物线的对称性,设顶点的坐标为M －1,y,又∵直线y= x+5经过M 点,∴y =－1+5,y =4．即M －1,4．∴设抛物线的解析式为2(1)4y a x =++． ∵点C0,3在抛物线上,∴a=－1．即抛物线的解析式为223y x x =--+．…………3分 2作BP ⊥AC 于点P,MN ⊥AB 于点N ．由1中抛物线223y x x =--+可得 点A －3,0,B1,0,∴AB=4,AO=CO=3,AC=32． ∴∠PAB ＝45°．∵∠ABP=45°,∴PA=PB=22．∴PC=AC －PA=2．在Rt △BPC 中,tan ∠BCP=PBPC =2．在Rt △ANM 中,∵M-1,4,∴MN=4．∴AN=2．tan ∠NAM=MN AN =2．∴∠BCP ＝∠NAM ．即∠ACB ＝∠MAB ．后记：对于几何题来说,因为组成平面图形的最基本的元素就是线段和角圆分开再说,所以几何的证明无非就是线段之间的关系,角之间的关系,在二次函数综合题里,我主张首先要想到的是利用角之间的关系来解题,其次才是利用线段之间的关系来解题,除非你很快就能看出利用线段之间的关系来解题很简单,因为在直角坐标系里要求两点之间的距离是很麻烦的,尤其是不知道某个点的确切坐标时,那么这个题给了我们一个如果判断角之间关系的基本思路2、如图,抛物线两点轴交于与B A x bx ax y ,32-+=,与y 轴交于点C ,且OA OC OB 3==．I 求抛物线的解析式；II 探究坐标轴上是否存在点P ,使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形若存在,求出P 点坐标,若不存在,请说明理由；III 直线131+-=x y 交y 轴于D 点,E 为抛物线顶点．若α=∠DBC ,βαβ-=∠求,CBE 的值．思路点拨：II 问题的关键是直角,已知的是AC 边,那么AC 边可能为直角边,可能为斜边,当AC 为斜边的时,可知P 点是已AC 为直径的圆与坐标轴的交点,且不能与A 、C 重合,明显只有O 点；当AC 为直角边时,又有两种情况,即A 、C 分别为直角顶点,这时候我们要知道无论是A 或者C 为直角顶点,总有一个锐角等于∠OCA 或Rt △PAC 和Rt △OAC 相似,利用这点就可以求出OP 的长度了III 从题目的已知条件看,除了∠ABC=45°外没有知道其他角的度数,那么这两个角要么全是特殊角30°,45°,60°,90°,在这种情况下,他们的差才有可能不是特殊的角,很明显,这两个角不是特殊角,那只有一种可能在没有学反三角函数的前提下,就是他们的差是特殊角,再联系到∠ABC=45°,可知,这两个角的差就是45°,那么我们需要证明的就是∠ABD=∠CBE,再想想上一题所说的,就明白是利用相似三角形来证明了,即证明△BCE 是一个直角三角形且与△BAD 相似解：I ()3,032--+=点轴交与抛物线C y bx ax y ,且OA OC OB 3==．())0,3(,0,1B A -∴．代入32-+=bx ax y ,得 {{12030339=-==--=-+∴a b b a b a322--=∴x x yII ①当190,PAC ∠=︒时可证AO P 1∆∽ACO ∆ 31tan tan 11=∠=∠∆∴ACO AO P AO P Rt 中，．)31,0(1P ∴②同理: 如图当)0,9(9022P CA P 时，︒=∠③当)0,0(9033P A CP 时，︒=∠综上,坐标轴上存在三个点P ,使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形,分别是)31,0(1P )0,9(2P ,)0,0(3P ． III ()1,0,131D x y 得由+-=．()4,1322---=E x x y ，得顶点由． ∴52,2,23===BE CE BC ．为直角三角形BCE BE ∆∴=+,CE BC 222．31tan ==∴CB CE β． 又31tan ==∠∆∴OB OD DBO DOB Rt 中．β∠=∠∴DBO ． ︒=∠=∠-∠=∠-∠45OBC DBO αβα．二线段最值问题引子：初中阶段学过的有关线段最小值的有两点之间线段最短和垂线段最短,无论是两点之间选段最短还是垂线段最短,它们的本质就是要线段首尾相接,或者说线段要有公共端点,如果我们公共端点,我们要想办法把它们构造成有公共端点来解决；有关线段最大值的问题,学过的有三角形三边之间的关系,两边之差小于第三边,我们可以利用这个来求第三边的最大值,还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值3、抛物线()20y ax bx c a =++≠交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点C,已知抛物线的对称轴为直线x = -1,B1,0,C0,-3.⑴ 求二次函数()20y ax bx c a =++≠的解析式；⑵ 在抛物线对称轴上是否存在一点P,使点P 到A 、C 两点距离之差最大 若存在,求出点P 坐标；若不存在,请说明理由.思路点拨：点P 到A 、C 两点距离之差最大,即求|PA －PC|的最大值,因P 点在对称轴上,有PA=PB,也就是求|PB －PC|,到了这儿,易知当P 点是BC 所在直线与对称轴的交点,易知最大值就是线段BC 的长;具体解题过程略4、研究发现,二次函数2ax y =0≠a 图象上任何一点到定点0,a 41和到定直线ay 41-=的距离相等.我们把定点0,a 41叫做抛物线2ax y =的焦点,定直线ay 41-=叫做抛物线2ax y =的准线.1写出函数241x y =图象的焦点坐标和准线方程； 2等边三角形OAB 的三个顶点都在二次函数241x y =图象上,O 为坐标原点, 求等边三角形的边长；3M 为抛物线241x y =上的一个动点,F 为抛物线241x y =的焦点,P1,3 为定点,求MP+MF 的最小值.思路点拨：2因△OAB 是等边三角形,易知AB 平行于X 轴,且∠AOB=60°,知OA 、OB 于y 轴的夹角等于30°,利用这点容易求出三角形的边长3由题目可知MF 的长度等于M 点到直线y=－1的距离,那么MP+MF 就是P 点到达抛物线上某一点再到y=－1上某一点的距离和,易知最小值就是过P 点做y=－1的垂线段的长 解：1焦点坐标为0,1, 准线方程是1-=y ；2设等边ΔOAB 的边长为x,则AD=x 21,OD=x 23. 故A 点的坐标为x 21,x 23. 把A 点坐标代入函数241x y =,得 2)21(4123x x ⋅=, 解得0=x 舍去,或38=x .∴ 等边三角形的边长为38.3如图,过M 作准线1-=y 的垂线,垂足为N,则MN=MF.过P 作准线1-=y 的垂线PQ,垂足为Q,当M 运动到PQ 与抛物线交点位置时,MP+MF 最小,最小值为PQ=4. 5、思路点拨：2要求AE 和AM 的长,对于求线段的长度我们学过的是勾股定理,相似三角形和简单三角函数,从题目可知OA 和OE 的长以及E 点到x 轴的距离,我们作EG ⊥x 轴,垂足为G,那么容易求出OG 的长,从而求出AE 的长；要求AM 的长,先做OK ⊥AE,垂足为K,要求AM 的长,首先我们利用已知的OA 的长和∠EAO 的函数值来求出AK 和OK 的长,利用OK 的长和三角形OMN 是等边三角形求出MK 和NK 的长,AM 的长也就知道了3这个是著名的费马点的问题,第2问给了我们提示,我们可以猜想当P 点在什么位置时,PA+PB+PO 才能取最小值,P 点应该在线段AE 上,至于具体的位置我们还不知道,我们就在线段AE 上任取一点P,把PA 、PB 、PO 连起来,要取最小值,那么这三条线段应该首尾相接,我们应该能想到它们首尾相接后的位置就是AE 所在直线,这时P 点应该和在△OAB 内的M 点重合,PA 的长就是AM 的长,m 的最小值就是AE 的长答案详见前段时间发过的从近近几年北京中考模拟及中考压轴题谈起额外讲解一个与二次函数无关的有关线段最值的问题6、2009年中考第25题如图,在平面直角坐标系xOy 中,△ABC 三个顶点的坐标分别为A －6,0,B 6,0,C 0,43,延长AC 到点D ,使AC CD 21=,过D 点作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ． 1求D 点的坐标；2作C 点关于直线DE 的对称点F ,分别连结DF 、EF ,若过B 点的直线y ＝kx ＋b 将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式；3设G 为y 轴上一点,点P 从直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点出发,先沿y 轴到达G 点,再沿GA 到达A 点．若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍,试确定G 点的位置,使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短． 要求：简述确定G 点位置的方法,但不要求证明思路点拨：3首先要把速度转化成路程,也就是线段的长度,直线与y 轴的交点假设为M,则OM=63,设P 点在y 轴上的速度为2v,那么在GA 上的速度为v,P 点到达A 点所用的时间为,要使时间最短,也就是求AG+GM/2的最小值,那么我们要把它转化成我们熟悉的两条线段的和,因为∠BMO=30°,GM/2也就是G 点到BM 的距离,我们作GK ⊥BM,垂足为K,问题转化成求GA+GM 的最小值,易知,A 、G 、M 必须共线且垂直BM,所以G 点就是过A 点作BM 的垂线与y 轴的交点解：1∵A －6,0,C 0,43,∴OA ＝6,OC ＝43．设DE 与y 轴交于点M ．由DE ∥AB 可得△DMC ∽△AOC ．又AC CD 21=,21===∴CA CD CO CM OA MD ． ∴CM ＝23,MD ＝3．同理可得EM ＝3．∴OM ＝63．∴D 点的坐标为3,63．2由1可得点M 的坐标为0,63．由DE∥AB,EM＝MD,可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线．∴点C关于直线DE的对称点F在y轴上．∴ED与CF互相垂直平分．∴CD＝DF＝FE＝EC．∴四边形CDFE为菱形,且点M为其对称中心．作直线BM．设BM与CD、EF分别交于点S、点T．可证△FTM≌△CSM．∴FT＝CS．∵FE＝CD,∴TE＝SD．∵EC＝DF,∴TE＋EC＋CS＋ST＝SD＋DF＋FT＋TS．∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形．由点B6,0,点M0,63在直线y＝kx＋b上,可得直线BM的解析式为y＝－3x＋63．第25题答图3确定G点位置的方法：过A点作AH⊥BM于点H,则AH与y轴的交点为所求的G点．由OB＝6,OM＝63,可得∠OBM＝60°．∴∠BAH＝30°．在Rt△OAG中,OG＝AO·tan∠BAH＝23．∴G点的坐标为0,23．或G点的位置为线段OC的中点三平移对称旋转问题引子：平移问题以前讲过了,现在重点将对称旋转问题我们知道a,b关于x轴对称的点的坐标为a,－b,关于y轴对称的点的坐标为－a,b,关于原点对称的点的坐标为－a,－b,关于直线x=m的对称点为2m－a,b,关于直线y=n的对称点为a,2n－b,关于点m,n的对称点为2m－a,2n－b任意两点x1,y1和x2,y2的中点为对于抛物线关于x轴、y轴、x=a、y=b的对称抛物线,应该都会了吧,现在重点讲解抛物线关于某点m,n的对称抛物线解析式其他平移、关于直线对称都可以用这个方法解决,为了方便,选取抛物线的顶点式来证明例：对于一个抛物线y=ax－h2+ka≠0来说,坐标为x,y的所有点都在他的图像上,关于m,n的对称点为2m－x,2n－y,那么坐标为2m－x,2n－y都在抛物线关于m,n对称的抛物线上,我们把2m－x,2n－y代入y=ax－h2+ka≠0就可以得到它关于m,n对称的抛物线的解析式为2n－y=a2m－x－h2+k,变形为y=－ax－2m+h2+2n－k现在利用待定系数法来验证这个方法是否正确首先y=ax－h2+ka≠0和它关于点m,n的对称的抛物线的开口大小是一样的,所以二次项系数的绝对值是相同的,由于关于点对称,开口方向是相反的,故二次项系数互为相反数；其次原抛物线与对称抛物线的顶点是关于m,n对称的,原抛物线的顶点为h,k,它关于m,n的对称点的坐标为2m－h,2n－k,那么对称抛物线的解析式可以写成y=－ax－2m+h2+2n－k,和利用上述方法所得结果一致7、已知抛物线C1：y=ax2－2amx+am2+2m+1a>0,m>1的顶点为A,抛物线C2的对称轴是y轴,顶点为B,且抛物线C1和C2关于P1,3成中心对称（1）用含m的代数式表示抛物线C1的顶点坐标（2）求m的值和抛物线C2的解析式（3）设抛物线C2与x正半轴的交点是C,当△ABC为等腰三角形时,求a的值思路点拨：1很多人一看到求抛物线的顶点,习惯使用顶点的坐标公式来求,如果你熟悉因式分解和抛物线的顶点公式是如何得到的,那么这个题明显利用配方更容易得到顶点坐标,y=ax －m2+2m+1,故顶点坐标为m,2m+1（2）C1和C2关于点对称,利用上述方法容易求出C2的解析式和顶点坐标,易知m=2详解过程略。
二次函数解题思路十大技巧
二次函数解题思路十大技巧二次函数解题技巧：二次函数有点难，求点坐标是关键。
一求函数解析式，再求面积带线段。
动点问题难解决，坐标垂线走在前。
三角相似莫相忘，勾股方程解疑难。
二次函数解题思路技巧1.平移：二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a值不变。
顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式。
2.轴对称：此图形变换包括x轴对称和关于y轴对称两种方式。
二次函数图像关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数。
顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。
二次函数图像关于y轴对称的图像，其形状和开口方向都不变，因此a值不变。
但是顶点位置会改变，只要根据关于y轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。
熟悉几个特殊型二次函数的图象及性质1 、通过描点，观察 y=ax2 、 y=ax2 + k 、 y=a ( x + h ) 2 图象的形状及位置，熟悉各自图象的基本特征，反之根据抛物线的特征能迅速确定它是哪一种解析式。
.2 、理解图象的平移口诀“加上减下，加左减右”。
“y=ax2 → y=a ( x + h ) 2 + k ”“加上减下”是针对 k 而言的，“加左减右”是针对 h 而言的。
.总之，如果两个二次函数的“二次项系数”相同，则它们的抛物线形状相同，由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质上是顶点的平移，如果抛物线是一般“形式”，应先化为顶点式再平移。
3 、通过描点“画图”、图象平移，理解并明确解析式的特征与图象的特征是完全相对应的，我们在解题时要做到胸中有图，看到函数就能在头脑中反映出它的图象的基本特征；。
二次函数压轴题解题口诀
二次函数压轴题解题口诀第一步：观察观察题目给出的二次函数关系式，包括一般式和顶点式。
确定二次函数的参数a、b、c的取值范围。
1.若a>0，则二次函数开口向上，最低点为最小值；若a<0，则二次函数开口向下，最高点为最大值。
2.根据顶点式形式f(x)=a(x-h)²+k，h为顶点横坐标，k为顶点纵坐标。
3. 根据一般式形式f(x)=ax²+bx+c，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
第二步：画图根据观察结果，用适当的坐标系画出函数图像。
确定函数的顶点、对称轴、最值、切线等。
可以通过以下步骤进行画图：1.若已有顶点坐标，直接画出顶点。
2.若没有顶点坐标，可以用顶点坐标公式求得，即h=-b/2a，将h带入函数，求出k=f(h)。
3.根据顶点和对称性，确定对称轴。
对称轴方程为x=h。
4.将对称轴两边的点带入函数，得到其他点的坐标。
5.根据a的正负确定开口方向，画出函数图像。
6.根据图像确定函数的最值、相交点等。
第三步：转移对于部分二次函数题目，可能需要做坐标系的转移，以便于求解题目要求。
1.若需要移动坐标系，可通过平移或缩放来实现。
2.平移坐标系时，可以找到新坐标系原点与旧坐标系原点之间的关系，并移动坐标系。
3.缩放坐标系时，可以根据函数图像的特点来进行缩放。
第四步：求解根据题目要求，利用二次函数的相关特性进行求解。
常用的求解方法有以下几种：1.求零点：当函数值等于0时，求得函数的横坐标即为零点的横坐标。
2.求最值：如果二次函数开口向上，则最低点为最小值；如果二次函数开口向下，则最高点为最大值。
3.求交点：当两个函数相交时，求得两个函数对应的横坐标即为交点的横坐标。
通过以上四个步骤，可以有效地解决二次函数压轴题目。
在解题过程中，需要注重观察和画图，根据函数的特性来合理转移坐标系，最后通过计算求得答案。
高一二次函数解题技巧及方法
高一二次函数解题技巧一、掌握二次函数的概念：1、二次函数是指未知数是二次的函数，形式为y=ax²+bx+c，其中中a、b、c是常数，且a≠0。
2、在二次函数中，自变量x的取值范围通常为全体实数。
二、理解二次函数的表达式：1、二次函数的表达式通常由一元二次方程给出，这个方程可以用来描述二次函数的性质。
2、例如，二次函数的顶点式y=a(x-h)²+k可以表示出函数的顶点坐标(h,k)。
三、掌握二次函数的图形特征：1、二次函数的图形是一个抛物线，其顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h，开口方向由a的符号决定。
2、当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
四、掌握二次函数的对称轴及顶点：1、二次函数的对称轴是x=h，顶点坐标是(h,k)。
2、在解题时，可以根据对称轴和顶点坐标快速找到函数的最值或单调区间。
五、了解二次函数的增减性及最值：1、二次函数的增减性取决于a的符号。
2、当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。
3、当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小。
4、最值是指函数在某个区间内的最大值或最小值。
5、对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，当x=-b/2a时，取得最值(4ac-b²)/4a。
六、掌握二次函数的交点及与X轴的交点坐标：1、二次函数的交点是指与x轴交点的横坐标。
2、当函数与x轴相交时，交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根。
3、注意判别式b²-4ac的符号，当b²-4ac>0时，与x轴有两个交点；当b²-4ac=0时，与x轴有一个交点；当b²-4ac<0时，与x轴没有交点。
七、熟悉二次函数的平移规则：1、平移规则是指通过平移抛物线来改变其形状和位置。
初中数学二次函数做题技巧（1）
初中数学二次函数做题技巧I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4ax1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线 x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
初中数学二次函数解题技巧必看
初中数学二次函数解题技巧必看每一门科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，数学作为最烧脑的科目之一，也是要记、要背、要讲技巧的。
下面是小编给大家整理的一些初中数学二次函数解题技巧的学习资料，希望对大家有所帮助。
二次函数解题方法1、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标(若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标)，任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线(显然最多有3条)，此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。
进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢?先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否?若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。
②若是否存在这样的动点构成棱形呢?先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否?若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。
③若是否存在这样的动点构成正方形呢?先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等?和两条对角线是否相等?若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。
2.“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：(此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉，后面的19实为本类型的特殊情形。
)先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示(如果图形是动图形就只能表示出其面积)或计算(如果图形是定图形就计算出它的具体面积)，然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程，解之即可。
(注意去掉不合题意的点)，如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐标后，再往下继续求解即可。
3.“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标(一母示)，视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线(没有与y轴平行的直线)垂直的斜率结论(两直线的斜率相乘等于-1)，得到一个方程，解之即可。
初中二次函数最值问题解题技巧
初中二次函数最值问题解题技巧
1. 嘿，你知道吗？配方法可是二次函数最值问题的一大绝招啊！就像给函数穿上合适的衣服，一下子就变得精神了。
比如说对于函数y=x²+2x-3，咱就可以配方成y=(x+1)²-4，这样最值不就一目了然啦！
2. 哇塞，还有公式法呢！这可是超级厉害的工具哟！就如同有了一把万能钥匙。
像求二次函数y=2x²-4x+1 的最值，直接代入公式，不就轻松搞定啦！
3. 嘿呀，判别式法也不能小瞧呀！它就像是一个侦探，能帮我们找出很多线索呢。
比如已知一个二次函数与某个条件的关系，用判别式说不定就能找到最值啦！
4. 哎呀呀，图像法可是直观得很呐！简直就是把二次函数展现在你眼前。
像看二次函数 y=-x²+2x+3 的图像，最高点不就是最大值嘛，多清楚呀！
5. 哇哦，构造法也很奇妙哟！就好似搭建一个独特的模型。
比如根据已知条件构造一个新的二次函数来求最值，是不是很有意思呀？
6. 嘿，别忘了还有变量替换法呢！这就像给函数变个小魔术，巧妙得很呐。
假设一个变量来替换某个式子，然后求最值，噫，真神奇！
7. 哈哈，对称性质法也是很有用的呀！相当于找到了函数的一个秘密通道。
知道二次函数的对称轴，那最值还远吗？
8. 哟呵，参数法也可以试试呀！就好像加入了一个特别的元素。
通过参数来求解最值，那感觉超棒的！
9. 总之呢，这么多的解题技巧，可得好好掌握呀！它们都是我们解决二次函数最值问题的有力武器，可别小瞧它们哦！用对了技巧，这些难题都不叫事儿！。
二次函数的极值问题解析与求解技巧
二次函数的极值问题解析与求解技巧二次函数是高中数学中一个重要的概念，具有许多实际应用。
在解析与求解二次函数的极值问题时，我们需要掌握一些基本的技巧和方法。
本文将对二次函数的极值问题进行分析，并介绍求解的具体步骤和技巧。
一、二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：f(x) = ax²+ bx + c，其中a、b和c为实数，且a≠0。
在解析与求解极值问题时，我们通常关注函数的顶点，即极值点。
二、二次函数的顶点二次函数的顶点可以通过求导数的方法来找到。
我们首先将二次函数的一般形式化为顶点形式：f(x) = a(x - h)²+ k，其中(h, k)为顶点的坐标。
求导数f'(x) = 2a(x - h)，令f'(x) = 0，解得x = h。
将x = h代入二次函数中，得到顶点的纵坐标k。
通过以上步骤，我们可以得到二次函数的顶点坐标。
三、极值问题的求解步骤1. 将二次函数化为顶点形式：f(x) = a(x - h)²+ k。
2. 求导数f'(x) = 2a(x - h)，令f'(x) = 0，解得x = h。
3. 将x = h代入二次函数中，得到顶点的纵坐标k。
4. 判断二次函数的开口方向：若a > 0，则开口向上；若a < 0，则开口向下。
5. 根据二次函数的开口方向，可以确定函数的极值：若开口向上，则顶点为最小值；若开口向下，则顶点为最大值。
四、解题技巧1. 注意二次函数的定义域和值域：对于一般的二次函数，定义域为全体实数；对于顶点形式的二次函数，定义域为全体实数，值域为k 及以上或k及以下的实数。
2. 对于较复杂的二次函数，可以通过配方法或因式分解的方式将其化简，进而求得顶点形式。
3. 如果需要求二次函数的最值，可以通过求导数的方法来找到极值点。
五、实例解析现假设有一个二次函数f(x) = 2x² - 3x + 1，我们来求解它的极值问题。
二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)
一、二次函数线段最值问题1、平行于x轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、平行于y轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和）5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可二、二次函数周长最值问题1、矩形周长最值问题1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长三、二次函数面积最值问题1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴）1）首先表示出所需的边长及高2）利用求面积公式表示出面积3）得到一个面积关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、不规则图形面积最值问题1）分割。
二次函数创新试题解题方法
二次函数创新试题解题方法一、与几何图形结合类。
题1。
已知二次函数y = x^2+bx + c的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0,-3)，对称轴是直线x = 1。
求二次函数的表达式；若点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，过点P作x轴的平行线交对称轴于点M，交y轴于点N，当四边形OPMN为平行四边形时，求点P的坐标。
解析。
对于二次函数y=ax^2+bx + c，对称轴公式为x =-(b)/(2a)。
已知对称轴x = 1，a = 1，则-(b)/(2×1)=1，解得b=- 2。
又因为函数图象过点C(0,-3)，把x = 0，y=-3代入y=x^2-2x + c得c=-3。
所以二次函数表达式为y=x^2-2x - 3。
设点P的横坐标为m(m>1)，则P(m,m^2-2m - 3)。
因为PN∥ x轴，对称轴为x = 1，所以M(1,m^2-2m - 3)，N(0,m^2-2m - 3)。
因为四边形OPMN为平行四边形，所以PN=OM。
PN=m，OM = 1，所以m = 1（舍去）或m=3。
当m = 3时，y=3^2-2×3-3=0，所以P(3,0)。
题2。
二次函数y=-x^2+bx + c的图象与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点。
求二次函数的表达式；设点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，求使ABP面积最大时的点P的坐标。
解析。
因为二次函数y=-x^2+bx + c的图象与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点。
将A、B两点代入函数可得-1 - b + c=0 -9 + 3b + c=0两式相减得：-9+3b + c-(-1 - b + c)=0-9 + 3b + c + 1 + b - c=04b-8 = 0，解得b = 2把b = 2代入-1 - b + c=0得-1-2 + c=0，解得c = 3所以二次函数表达式为y=-x^2+2x + 3。
十种二次函数解析式求解方法
十种二次函数解析式求解方法一、二次函数解析式的一般形式二次函数解析式一般形式为：f(x) = ax² + bx + c ，其中 a、b、c 是给定的实数，且a ≠ 0。
二、求解二次函数解析式的常见方法1.完全平方解法：将二次函数解析式表示为完全平方形式，进而求得其最简形式。
2.因式分解法：将二次函数解析式进行因式分解，得到对应的零点和轴对称线方程。
3.配凑法：变形后的二次函数解析式可以通过配凑使其变为一个完全平方式，然后用完全平方解法求解。
4.直接开方法：将二次函数解析式表示为开方形式，求出其零点和轴对称线方程另一种方法。
5.图像法：通过绘制函数图像的方法可以得到二次函数的对称轴、顶点和图像的开口方向。
6.列出方程法：通过已知条件列出关于二次函数解析式的方程，进而求解二次函数解析式。
7.求导法：通过对二次函数解析式进行求导，可以得到对应的切线方程，知道切线方程后可以求解出二次函数解析式。
8. 借助计算机软件：使用计算机软件如Mathematica、MATLAB等，在计算机中输入二次函数解析式，即可得到其解析式。
9.使用求根公式：二次函数解析式可以通过求根公式求解，即利用一元二次方程求根公式求解。
10.公式推导：根据二次函数的定义和性质，利用一些数学推导方法求解二次函数解析式。
三、各种方法的详细解释1.完全平方解法：通过完全平方公式将二次函数解析式写成完全平方的形式，然后根据完全平方公式的性质，求得其最简形式。
2.因式分解法：将二次函数解析式进行因式分解，得到对应的零点和轴对称线方程。
根据因式分解的结果可以知道解析式的特征。
3.配凑法：变形后的二次函数解析式可以通过配凑使其变为一个完全平方式，然后用完全平方解法求解。
配凑的目的是为了得到一个方便求解的二次函数形式。
4.直接开方法：将二次函数解析式表示为开方形式，通过解方程求出开方后的值，进而求得零点和轴对称线方程。
5.图像法：在坐标系中通过绘制函数图像的方法可以得到二次函数的对称轴、顶点和图像的开口方向。
解二次函数应用题的关键
二次函数应用题的解法技巧
解二次函数应用题的关键是理解问题中的条件和所求的变量之间的关系，并运用二次函数的相关知识进行建模和求解。
下面是解二次函数应用题的一般步骤和技巧：
1.理清问题：仔细阅读题目，理解问题的背景、条件和要求，明确需要求解的
未知量是什么。
2.建立数学模型：根据问题描述，设定合适的变量和参数，并根据已知条件建
立二次函数关系式。
3.解二次方程：将建立的二次函数关系式表示成标准的二次方程形式 ax^2 +
bx + c = 0，其中 a、b、c 为已知系数。
可以使用因式分解、配方法、求根公式或完成平方等方法求解得到方程的解。
4.检查解的合理性：将求得的解代入原问题中，验证是否满足题目的条件和要
求。
注意检查解的范围是否符合实际情况。
5.回答问题：根据问题的要求，给出最终的答案，并进行必要的单位换算和数
值精度处理。
6.注意问题中的关键词和限制条件，将其转化为数学表达式。
7.对于二次函数关系的建立，可根据题目中的几何意义、代数表达式或实际情
境进行思考。
8.使用已知条件求解方程时，注意合理利用方程性质和运算规则，简化计算过
程。
9.注意解的意义和约束条件，及时检查答案的合理性和符号是否符合问题的实
际要求。
总之，解二次函数应用题需要灵活运用数学建模和方程求解的技巧，结合具体问题进行思考和分析，最终得出正确的结果。
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龙文教育学科教师辅导讲义
解：（1）根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧+⨯-⨯=-+-⨯--⨯=.
0405,
)1(4)1(02
2c a c a …2分
解得 ⎩
⎨
⎧-==.5,
1c a …………………………3分
∴二次函数的表达式为542
--=x x y ．……4分
（2）令y =0，得二次函数542
--=x x y 的图象与x 轴
的另一个交点坐标C （5, 0）.……………5分 由于P 是对称轴2=x 上一点，
连结AB ，由于262
2=
+=OB OA AB ，
要使△ABP 的周长最小，只要PB PA +最小.…………………………………6分
由于点A 与点C 关于对称轴2=x 对称，连结BC 交对称轴于点P ，则PB PA += BP +PC =BC ，根据两点之间，线段最短，可得
PB PA +的最小值为BC .
因而BC 与对称轴2=x 的交点P 就是所求的点.……………………………………8分 设直线BC 的解析式为b kx y +=，根据题意，可得⎩
⎨
⎧+=-=.50,5b k b 解得⎩⎨⎧-==.5,
1b k
所以直线BC 的解析式为5-=x y .…………………………………………………9分 因此直线BC 与对称轴2=x 的交点坐标是方程组⎩
⎨
⎧-==5,2x y x 的解，解得⎩⎨⎧-==.3,
2y x
所求的点P 的坐标为（2，-3）.……………………………10分 压轴题中求最值
此种题多分类讨论，求出函数关系式，再求各种情况的最值，最后求出最值。
典型例题：
1如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，BC ＝6，AD ＝3，∠DCB ＝30°.点E 、F 同时从B 点出发，沿射线BC 向右匀速移动.已知F 点移动速度是E 点移动速度的2倍，以EF 为一边在CB 的上方作等边△EFG ．设E 点移动距离为x （x ＞0）. ⑴△EFG 的边长是____（用含有x 的代数式表示），当x ＝2时，点G 的位置在_______； ⑵若△EFG 与梯形ABCD 重叠部分面积是y ，求 ①当0＜x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式； ②当2＜x ≤6时，y 与x 之间的函数关系式；
⑶探求⑵中得到的函数y 在x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值.
解：⑴ x ，D 点
⑵ ①当0＜x ≤2时，△EFG 在梯形ABCD 部，所以y ＝4
3x 2； ②分两种情况：
Ⅰ.当2＜x ＜3时，如图1，点E 、点F 在线段BC 上， △EFG 与梯形ABCD 重叠部分为四边形EFNM ， ∵∠FNC ＝∠FCN ＝30°,∴FN ＝FC ＝6－2x.∴GN ＝3x －6. 由于在Rt △NMG 中，∠G ＝60°， 所以，此时 y ＝
4
3x 2－
8
3（3x －6）2＝2392398372-
+-x x . Ⅱ.当3≤x ≤6时，如图2，点E 在线段BC 上，点F 在射线CH 上， △EFG 与梯形ABCD 重叠部分为△ECP ， ∵EC ＝6－x, ∴y ＝
8
3（6－x ）2＝239233832+
-x x . ⑶当0＜x ≤2时，∵y ＝4
3x 2
在x ＞0时，y 随x 增大而增大， ∴x ＝2时，y 最大＝
3；
当2＜x ＜3时，∵y ＝2
3
92398372-
+-x x 在x ＝718时，y 最大＝739； 当3≤x ≤6时，∵y ＝2
3
9233832+-x x 在x ＜6时，y 随x 增大而减小， ∴x ＝3时，y 最大＝8
3
9.
综上所述：当x ＝718时，y 最大＝73
9
如图，直线
64
3+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点；直线x y 45
=与AB 交于点C ，与过点A 且平行于y 轴的直线交于点
D.点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴向左运动.过点E 作x 轴的垂线，分别交直线AB 、OD 于P 、Q 两点，以PQ 为边向右作正方形PQMN.设正方形PQMN 与△ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为S （平方单位），点E 的运动时间为t （秒）. （1）求点C 的坐标.
（2）当0<t<5时，求S 与t 之间的函数关系式. （3）求（2）中S 的最大值. （4）当t>0时，直接写出点（4，
2
9
）在正方形PQMN 部时t 的取值围. 【参考公式：二次函数y=ax 2+bx+c 图象的顶点坐标为（a
b a
c a b 44,22
--）.】
B E → F → C
A D
G
B E F C
A D
G
N
M
图1
B E
C F A
D G
P H
图2。