函数的极值与导数导学案

§1.3.2函数的极值与导数

教学目标：

1.理解极大值、极小值的概念；

2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；

3.掌握求可导函数的极值的步骤；

教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程：

一．复习与思考

已知函数 3

2

()267f x x x =-+

(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;

(2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?

二．新课讲授

1、极值点与极值

(1)极小值点与极小值：

若函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝ ，而且在点x ＝a 附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数y ＝f (x )的极小值点， 叫做函数y ＝f (x )的极小值．

(2)极大值点与极大值：

若函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝ ，

而且在点x ＝b 附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数y ＝f (x )的极大值点， 叫做函数y ＝f (x )的极大值．

(3)极大值点、极小值点统称为 ；极大值、极小值统称为

2.关于极值概念的几点说明

(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况; (2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值

（3）函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值; (4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。

（5）函数y=f(x)在一点的导数为0是函数在这点取极值的 条件。 3.函数的极值与单调性有什么联系？

【提示】 极值点两侧单调性必须相反，欲研究函数的极值，需先研究函数的单调性． 函数极值的求法

解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：

(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值． (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值.

求下列函数的极值． （1）3

1()443

f x x x =-+

(2)f(x)＝(x2－1)3＋1；

(3)f(x)＝ln x x.

(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10. 则a＝________，b＝________.

(2)已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－

2

3时都取得极值．

①求a，b的值．②若f(－1)＝

3

2，求f(x)的单调区间和极值．

若本题(2)变为：已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－

2

3时都取得极值，且函数的极小值为－

1

2，求f(－1)的值，如何求解

(1)函数f(x)＝x3＋x2－5x＋2的图象与直线y＝k恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是________．

(2)函数f(x)＝ax3－6ax2＋3bx＋b，其图象在x＝2处的切线方程为3x＋y－11＝0.

①求函数f(x)的解析式；

②若函数y＝f(x)的图象与y＝

1

3f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．