史上最全的难题排列组合大全

史上最全的排列组合难题大总结

一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 1C 先排末位共有31C然后排首位共有43A最后排其它位置共有4113CCA?288由分步计数原理得443需若以元素分析为主,位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 再处理其它位需先满足特殊位置的要求,再处理其它元素.若以位置分析为主,先安排特殊元素, 置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有种不同的花种在排成一列的花盆里,练习题:7 多少不同的种法？.相邻元素捆绑策略二共有多少种不同的排法. ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 例2. 7人站成一排解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元252480?AAA种不同的素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有252排法

要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.

练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20

三.不相邻问题插空策略

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？

5A第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素种，解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有5445AAA由分步计数原理,中间包含首尾两个空位共有种节目的不同顺序共有不同的方法,665种

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两

练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30

四.定序问题倍缩空位插入策略

例人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后37/AA则共有不同排法种数是：用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,374A种方法，其余的三个位置甲乙丙共有把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有设想有(空位法)77

4A种方法。种坐法，则共有 17思考:可以先让甲乙丙就坐吗?

方法四人依次插入共有4 再把其余种排法共有先排甲乙丙三个人（插入法 ),1,

定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插

,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人练习题5C10.重排问题求幂策略五 ,共有多少种不同的分法5.把6名实习生分配到7个

车间实习例7.把第二名实习生分配到车间也有完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法解:67种分依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素n m n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种的位置，一般地练习题：如果将这两个节目插某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.1．

入原节目单中，那么不同插法的种数为 42

87他们到各自的一层下电梯,2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人下电梯的方法,环排问题线排策略六. ?,共有多少种坐法6. 8例人围桌而坐4A并从此位置把圆解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人47！形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即

个元素作个不同元素中取出m如果从,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.n一般地1 m A圆形排列共有n n

颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120练习题：6 .多排问题直排策略七共有多少排法,每排4人,其中甲乙在前排丙在后排,例人排成前后两排,2A4再排后种可以把椅子排成一排.个特殊元素有,解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,451215AAA AA则共有种种,其余的5个位置上的特殊元素丙有人在5个位置上任意排列有,54454种

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研

练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346

八.排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.

2C种方法.再把4个元素(5个球中选出2个组成复合元共有包含一个复合元素)装解:第一步从5442ACA种方法，根据分步计数原理装球的方法共有入4个不同的盒内有445解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?

练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种

九.小集团问题先整体后局部策略

例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？

222AAA种排法，４当作一个小集团与３排队共有５解：把１,,２,再排小集团内部共有种排法，222222AAA .种排法由分步计数原理共有222

小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。

练习题：要求同一４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,,１.计划展出10幅不同的画其中1幅水彩画,452AAA品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为425 525AAA女生也相邻的排法有种,男生相邻,2. 5男生和５女生站成一排照像552

元素相同问题隔板策略十.例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６10 解：因为个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法6C共有种分法。9