史上最全的难题排列组合大全
史上最全的难题排列组合大全(1)
史上最全的排列组合难题大总结.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有C l然后排首位共有C：最后排其它位置共有A由分步计数原理得C4C1A3=288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素•若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。
若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法• 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有A5A2A2 = 480种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题•即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列•练习题：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20三.不相邻问题插空策略例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？解：分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A5种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种Ae不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有A：A：种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目•如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为_^0_四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解：（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有不同排法种数是：A7∕A3（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A；种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有A；种方法。
(完整版)经典排列组合问题100题配超详细解析
1．n N ∈且55n <，则乘积(55)(56)(69)n n n ---等于A ．5569nn A --B ．1555n A -C ．1569n A -D ．1469n A -【答案】C【解析】根据排列数的定义可知，(55)(56)(69)n n n ---中最大的数为69-n,最小的数为55—n ，那么可知下标的值为69—n ，共有69—n-（55—n ）+1=15个数，因此选择C2．某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（ ) A. 24种 B. 36种 C 。
38种 D 。
108种 【答案】B【解析】因为平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，那么特殊元素优先考虑,分步来完成可知所有的分配方案有36种，选B3．n ∈N ＊，则（20-n ）(21—n ）……(100-n)等于（ )A ．80100n A - B ．nn A --20100 C ．81100n A -D ．8120n A -【答案】C【解析】因为根据排列数公式可知n ∈N ＊，则（20-n ）（21—n)……（100—n)等于81100n A -,选C4．从0,4,6中选两个数字，从3.5。
7中选两个数字,组成无重复数字的四位数。
其中偶数的个数为 ( ） A 。
56 B. 96 C. 36 D 。
360 【答案】B【解析】因为首先确定末尾数为偶数，那么要分为两种情况来解,第一种,末尾是0，那么其余的有A 35=60，第二种情况是末尾是4,或者6，首位从4个人选一个,其余的再选2个排列即可 433⨯⨯，共有96种5．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有 ( ）A. 280种B. 240种 C 。
史上最全的难题排列组合大全-
史上最全的排列组合难题大总结一. 特殊元素和特殊位置优先策略例1•由0. 1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解：由于末位和首位有特姝要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有C；然后排首位共有C：最后排其它位置共有崙由分步计数原理得=288位垃分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素•若以位置分析为主，需先满足特殊位豊的要求，再处理其它位宜。
若有多个约朿条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件练习题：7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二. 相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排，英中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有480种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题•即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列.练习题:某人射击8枪,命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为—20^三. 不相邻问题插空策略例3. 一个晚会的肖目有4个舞蹈,2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有4；种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法，由分步讣数原理，肖目的不同顺序共有种元素相离问题可先把没有位程要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两练习题：某班新年联欢会原左的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目•如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为3 0四. 定序问题倍缩空位插入策略例4・7人排队，•其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解：（倍缩法）对于某几个元素顺序一泄的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有不同排法种数是：Alj/A}（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有L种坐法，则共有种方法。
2020高考排列组合难题21种题型及方法_
并从此位置把圆形展成直线其余
7
人共有（8-1）！种排法即
7
！
C
D
B
E
A
F
H
G
ABCDEFGHA
一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆
形排列共有
1 n
A
m n
练习题：6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120
七.多排问题直排策略
例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
2020 高考数学排列组合难题 21 种方法
排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排 列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组 合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他
元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全
排列数,则共有不同排法种数是：
A
7 7
/
A
3 3
(空位法)设想有
7
把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
A
4 7
种方法，其
余的三个位置甲乙丙共有
1
种坐法，则共有
A
4 7
种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
能乘 1 人,他们任选 2 只船或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船, 这 3 人共 有多少乘船方法. （27） 本题还有如下分类标准： *以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四.构造模型策略 例 14. 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3
排列组合(经典有难度含答案)
（1）若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任，有多少种不同的分工方案?
（2）若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任，有多少种不同的分工方案?
14．已知 ，试求x，n的值
15．已知(1＋2x－x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14.
参考答案
1．A
【分析】
由排列数和组合数公式计算即可得到结果.
【详解】
， ，
整理可得： ，解得： 或 或 ，
， .
故选：A.
2．B
【分析】
先将5名同学用甲，乙，丙， 代表，再根据丙是否与甲相邻进行分类，即可求解.
【详解】
解：5名同学分别设为甲，乙，丙， ，
第一类：丙与甲，乙都不相邻，
则先将甲乙捆绑看成一个元素 ，
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
3．C
【分析】
相邻问题用捆绑法，特殊元素优先考虑；
【详解】
解：依题意，①将乙和丙看成一个整体，有 种排法；
②甲不在首位，共有3种排法；
③剩下3个位置全排列，有 种排法；
综上按照分步乘法计数原理可得 种排法；
A．甲从 到达 处的方法有 种
B．甲从 必须经过 到达 处的方法有 种
C．甲、乙两人在 处相遇的概率为
D．甲、乙两人相遇的概率为
二、填空题
9．某部队在一次军演中要先后执行 六项不同的任务，要求是：任务 必须排在前三项执行，且执行任务 之后需立即执行任务 ，任务 不能相邻，则不同的执行方案共有_____种．（用数字作答）
高二数学难点《排列组合》题型大全
高二数学难点《排列组合》题型大全1.排队问题1.你帅，你帅，你天下最帅，头顶一窝白菜，身披一条麻袋，腰缠一根海带，你以为你是东方不败，其实你是傻瓜二代。
2你的一笑，狼都上吊，你的一叫，鸡飞狗跳，你的一站，臭味弥漫，你一出汗，虱子灾难，你不打扮，比鬼难看，你一打扮，鬼吓瘫痪7人站成一排拍照，共有______种排法.答案：(1)甲必须站在中间的排法_______种. 答案：(2)甲、乙两人必须站在两端的排法_______种. 答案：(3)甲、乙两人必须相邻的排法_______种. 答案：(4)甲、乙不能相邻的排法_______种. 答案：(5)若甲、乙、丙三人必须相邻的排法______种. 答案：(6)其中3人站在前排，4人站在后排的排法_______种. 答案：(7)其中甲、乙、丙站前排，其余4人站后排的排法_______种. 答案：(8)甲、乙不能站两端的排法_______种. 答案：(9)甲、乙均不与丙相邻的排法_______种. 答案：，即分丙站两端和丙不站两端计算(10)最高者站中间，其余6人按从中间到两端依次降低站在两边的排法_______种. 答案：(11)若甲、乙、丙顺序一定，则共有_______种排法. 答案：3377A A (12)若7人站成一圈，有_______种站法. 答案：（固定起点）或777A 2.几何问题 直线、线段、有向线段、射线、弦问题、平面个数、交线条数、交点个数、对角线条数、四面体个数(1)从-11,-7,0,1,2,3,5这七个数中每次选三个作为直线的系数，，C ，且斜率小于0的直线有_______条.答案：70(2)平面内有10个点，可确定_______条线段，_______条有向线段. 答案：(3)空间八个点最多确定_______个平面，_______个四面体. 答案：(4)平面内n 条线段最多有_______个交点. 答案：(5)空间n 个平面最多有_______条交线. 答案：(6)以正方体的八个顶点为顶点的三棱锥有_______个. 答案：(7)以正方形的四个顶点、四边中点、中心共九个点中的三个点可作_______个三角形. 答案：76，即(8)四面体的一个顶点为A ，从其它顶点与各棱中点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同取法有_______个. 答案：33，即(9)正方体有_______对异面的棱;棱与对角线异面的有_______对；_______对异面的面对角线；面对角线与体对角线异面的有_______对. 答案：24；24；30；24（10）如果∠AOB 的两边上分别有3个点和4个点，则过这八个点(含点)可作_______个三角形. 答案：42，即，先算不含的，再算含的，（11）从正方体的六个面中选三个面，其中有两个面不相邻的选法_______个. 答案：12（12）过圆周上的2n 个等分点可作_______个直角三角形. 答案：（13）从正四面体的四个顶点及各棱中点共10个点中，任取4个不共面的点的取法有_______种. 答案：141，即3.概率问题（去序法）（1）5名运动员参加100米跑，如每人到达终点的顺序各不同，则甲比乙先到达终点的可有 ________种. 答案：60，即255A （2） A 、B 、C 、D 、E 五人站在一排，若A 必须站在B 的左边（A 、B 可以不相邻），那么不同的排法有_______种. 答案：60，即255A （3）用1、2、3、4、5可以组成_______个无重复数字的三位数，偶数有_______个. 答案：60；24，即4.人民币币值:（通法1：按最大币值考虑;通法2：按每种币值的的拿法考虑）（1）现有壹元、贰元、伍元、拾元人民币各一张，可组成_______种币值. 答案：15，即（2）有1角硬币3枚，贰元币6张，百元币6张，共组成_______种币值. 答案：195，（3）有壹元、贰元、拾元人民币数张，现要支付20元，有_______种支付方法. 答案：18（4）有壹元硬币6枚，伍元币3张，拾元币3张，伍拾元币3张，可组成_______种不同的币值. 答案：201（5）现有壹元币一张、贰元币两张、伍元和拾元人民币各一张，可组成_______种币值. 答案：205.集合映射个数问题（1）集合有个元素，则集合的子集中含有3个元素的集合有_______个；集合共有_______个子集；_______个真子集. 答案：（2）集合，集合，则从→的映射有_______个，从→的映射有_______个. 答案：（3）若集合，，则从A →B 的映射有_______个. 答案：（4）若集合,，若中不同的元素在中有不同的象，则这样从A →B 的映射有_______个. 答案：60，即（5）集合，，则中的元素在中都有原象的映射有_______个. 答案：（6）,映射:→，则使的映射有_______个. 答案：7（7），，对中任意元素x ，使均为偶数，则从→映射有_______个. 答案：126.多面手问题(1)9名翻译中，6人懂英语，4人懂日语，既懂英语又懂日语的1人，从中选3名英语，2名日语，有多少种不同选法. 答案：90，即按多面手分类：；按英语翻译分类：(2)11名工人，5人只会排版，4人只会印刷，2人都会，选出4人排版，4人印刷，有多少种不同选法. 答案：185，即按排版工人情况：7.约数问题(1)12有______个约数，60有______个约数（含1和其本身）. 答案：6；12(2)一个正整数的最大约数为24，则它有______个约数. 答案：8(3)数2n ×3m ×有____________个约数. 答案：8.分组分配问题（平均分组、部分均匀分组、非均匀分组）6本不同的书分给3个人，按以下要求有多少种不同的分法？（1）平均分给甲、乙、丙三人；答案：（2）分成三份，每份两本；答案：33222426A C C C（3）分给甲一本，乙两本，丙三本；答案：（4）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本；答案：（5）分给三个人，一人一本，一人两本，一人三本；答案：（6）分给甲四本，乙、丙各一本；（7）分成三份，一份四本，其余两份各一本; 答案：22111246A C C C 或 （8）分给三个人，一人四本，其余两人各一本；答案：或或2233111246A A C C C （9）分给甲乙丙三人，每人至少一本. 答案：++9.空位连续问题(1)一人射击8枪，4枪命中，其中3枪连在一起的方法有______种. 答案：20，即(2)停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需停放，要求空位连在一起，则停车方法______.答案：9(3)马路上有8盏路灯，为省电，可熄灭其中的3盏，但不能连续熄灭两盏，两头的灯不能熄灭，则熄灭的方法有______种. 答案：4，即(4)在一块并排10垄的田地种，选择两垄分别种植2种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物之间的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有______种. 答案：1210.贺卡问题（1） 标号为1、2、3的卡片放入标号为1、2、3的三个盒子里，且每个盒子的标号与卡片标号均不同的放法有______种. 答案：2（2） 室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方法有______种. 答案：9，即（3） 数字为1、2、3、4、5填到标号为1、2、3、4、5的格子里，且所填数字与其格子的标号均不同的填法有______种. 答案：44，即递推式D （n ）=(n-1)[D(n-1)+D(n-2)](4)某团支部进行换届选举，从甲、乙、丙、丁中选出三人分别担任班长、书记和宣传委员，规定上届任职的甲、乙、丙不能连任原职，则不同的任职方案______种. 答案：1111.巧插“隔板”问题（特点：要分配的元素是没有差别的）(1)要从6个班选出10个人参加校篮球比赛，每班都要有人参加的选法有______种. 答案：(2)方程的正整数解的个数，自然数解的个数各多少？答案：（）(3)将10个相同的球放入9个不同的盒子，且每盒都不空的放法有_____种，放入6个不同盒子有_____种. 答案：(4)将10个相同的球放入3个不同的盒子，盒子的编号为1、2、3，要使放入的球输不小于编号数的放法有_____种. 答案：12.数字问题常识：最高次位不能为0；奇数、偶数取决于末位是否被2整除；若一个正整数每一位上的数字之和能被3整除，则此数能被3整除；末位数为0和5的整数可被5整除.用0、1、2、3、4、5这六个数，（1）可以组成多少个五位数；答案：（2）可以组成多少个无重复数字的五位数；答案：（3）可以组成多少个无重复数字的五位奇数；答案：（4）可以组成多少个无重复数字的五位偶数；答案： （5）可以组成多少个比32000大的无重复数字的五位数；答案： （6）可以组成多少个比32451大的无重复数字的五位数；答案： （7）可以组成多少个能被5整除的无重复数字的五位数；答案： （8）可以组成多少个能被25整除的无重复数字的五位数；答案： （9）可以组成多少个能被3整除的无重复数字的五位数；答案： （10）可以组成多少个能被6整除的无重复数字的五位数；答案： （11）可以组成多少个能被4整除的无重复数字的五位数；答案： （12）求组成的无重复数字的五位数的个位数字之和；答案： （13）求组成的无重复数字的五位数的和. 13. 鞋子成双、单只问题（技巧：先取“双”，再取“只”） 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任取4只，求满足下列要求的情况数 (1)4只没有成双；答案：，即 (2)4只恰成两双；答案：45，即 (3)4只鞋子2只成双，2只不成双；答案：1440， 14.球队比赛问题 双循环赛（排列）、单循环赛（组合）、淘汰赛、对抗赛 (1)4支队进行淘汰赛以决出冠军共举行______场比赛. 答案：3 (2)现有8支球队，平均分成2个小组，每组4支队分别举行双循环赛决出前两名，再由他们举行淘汰赛决出冠军，共举行______场比赛. 答案：27，即 15.涂色问题（技巧：先涂相邻区域多的，该分类时再分类）(1)将3种颜色涂在如图方格中，相邻不涂相同颜色。
排列组合难题二十一种方法(含答案详解)
排列组合难题二十一种方法(含答案详解)四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法. 510C 五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法练习题：1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 422.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87 六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！H FD A B C DE AB E GH G F练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈. 120 七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有24A 种,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A 种,则共有215445A A A 种前 排后 排练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法15243练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A 种十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。
高中数学排列组合难题21种方法
歌人员为标准进行研究
只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有 C32C32 种,只会唱的 5 人中只 有 1 人选上唱歌人员 C51C31C42 种,只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人 员有 C52C52 种，由分类计数原理共有 种。 C32C32 C51C31C42 C52C52
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做 到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他
元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全
排列数,则共有不同排法种数是：
A
7 7
/
A
3 3
(空位法)设想有
7
把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
A
4 7
种方法，其
余的三个位置甲乙丙共有
1
种坐法，则共有
A
4 7
种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
的两个班级且每班安
排
2
名，则不同的安排方案种数为______（
C42C22
A
2 6
/
A
2
2
90
）
十三. 合理分类与分步策略
例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演
出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目,有多少选派方法
解：10 演员中有 5 人只会唱歌，2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱
究.
3
定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同
排法的种数是 346
排列组合难题二十一种
第1章随机事件及其概率（1）排列组合公式)!(!nmmP nm-=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
)!(!!nmnmC nm-=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。
一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。
Ω为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA⊂如果同时有BA⊂，AB⊃，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。
排列组合难题21种题型及方法
超全的排列组合解法[文档副标题][日期]湖南省涟源市第一中学[公司地址]高考数学排列组合难题21种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A = 443练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合难题二十一种方法学生版
排列组合分类大全一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法练习题：1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有种九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间这样的五位数有多少个？１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？十一.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（）2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法（）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______十三. 合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人歌2人伴舞的节目,有多少选派方法十四.构造模型策略例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（）十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ ( )十六. 分解与合成策略例16. 30030能被多少个不同的偶数整除练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线十七.化归策略例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？十八.数字排序问题查字典策略例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？:练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是十九.树图策略例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅（51,,,,i ）的不324同坐法有多少种？二十.复杂分类问题表格策略例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只, 要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法二十一：住店法策略例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .。
排列组合难题21种题型及方法
（ ） C153C84C44
/
A
2 2
2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一
组,有多少种不同的
分组方法 （1540）
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入 4 名学生，要安排到该年级
的两个班级且每班安
排
2
名，则不同的安排方案种数为______（
解: 分三步取书得 C62C42C22 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6
本书为 ABCDEF，若第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF 该分法记
为
(AB,CD,EF),
则
C62C42C22
中
还
有
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)
C42C22
A
2 6
/
A
2 2
90
）十Biblioteka . 合理分类与分步策略例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演
出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目,有多少选派方法
解：10 演员中有 5 人只会唱歌，2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱
歌人员为标准进行研究
只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有 C32C32 种,只会唱的 5 人中只
空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对
应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有 C96 种分法。
一
二
三
四
五
六
七
班
班
班
班
班
班
班
2020高考排列组合难题21种题型及方法_
4
个不同的盒内有
A
4 4
种方法，根据分步计数
原理装球的方法共有
C52
A
4 4
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?
练习题：一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不
同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同
个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。 由分步计数原理可得共有 A55 A22 A22 480 种不同的排法
甲乙 丙丁
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.
练习题:某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不 同种数为 20
2020 高考数学排列组合难题 21 种方法
排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排 列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组 合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类
置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
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练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不 种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略 例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一
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史上最全的排列组合难题大总结一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 1C 先排末位共有31C然后排首位共有43A最后排其它位置共有4113CCA?288由分步计数原理得443需若以元素分析为主,位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 再处理其它位需先满足特殊位置的要求,再处理其它元素.若以位置分析为主,先安排特殊元素, 置。
若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有种不同的花种在排成一列的花盆里,练习题:7 多少不同的种法？.相邻元素捆绑策略二共有多少种不同的排法. ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 例2. 7人站成一排解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元252480?AAA种不同的素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有252排法要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？5A第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素种，解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有5445AAA由分步计数原理,中间包含首尾两个空位共有种节目的不同顺序共有不同的方法,665种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后37/AA则共有不同排法种数是：用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,374A种方法，其余的三个位置甲乙丙共有把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有设想有(空位法)774A种方法。
种坐法，则共有 17思考:可以先让甲乙丙就坐吗?方法四人依次插入共有4 再把其余种排法共有先排甲乙丙三个人（插入法 ),1,定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人练习题5C10.重排问题求幂策略五 ,共有多少种不同的分法5.把6名实习生分配到7个车间实习例7.把第二名实习生分配到车间也有完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法解:67种分依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素n m n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种的位置，一般地练习题：如果将这两个节目插某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.1．入原节目单中，那么不同插法的种数为 4287他们到各自的一层下电梯,2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人下电梯的方法,环排问题线排策略六. ?,共有多少种坐法6. 8例人围桌而坐4A并从此位置把圆解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人47！形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即个元素作个不同元素中取出m如果从,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.n一般地1 m A圆形排列共有n n颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120练习题：6 .多排问题直排策略七共有多少排法,每排4人,其中甲乙在前排丙在后排,例人排成前后两排,2A4再排后种可以把椅子排成一排.个特殊元素有,解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,451215AAA AA则共有种种,其余的5个位置上的特殊元素丙有人在5个位置上任意排列有,54454种一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.2C种方法.再把4个元素(5个球中选出2个组成复合元共有包含一个复合元素)装解:第一步从5442ACA种方法，根据分步计数原理装球的方法共有入4个不同的盒内有445解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？222AAA种排法，４当作一个小集团与３排队共有５解：把１,,２,再排小集团内部共有种排法，222222AAA .种排法由分步计数原理共有222小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
练习题：要求同一４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,,１.计划展出10幅不同的画其中1幅水彩画,452AAA品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为425 525AAA女生也相邻的排法有种,男生相邻,2. 5男生和５女生站成一排照像552元素相同问题隔板策略十.例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？个名额没有差别，把它们排成一排。
相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６10 解：因为个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法6C共有种分法。
9块隔板，m-1为正整数）,每份至少一个元素,可以用将n个相同的元素分成m份（n，m1?m C插入n个空隙中，所有分法数为个元素排成一排的n-11?n练习题：4C个盒中,每盒至少一有多少装法？1．10个相同的球装593100?z?w?x?y C 2 .求这个方程组的自然数解的组数103十一.正难则反总体淘汰策略 10的偶数,不同的例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于取法有多少种？5可用总体淘汰法。
个偶数这十个数字中有5解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,321CCC和为偶数的取所取的三个数含有3个偶数的取法有,,只含有1个偶数的取法有个奇数,555 3231129C?CC?CCC?种，符合条件的取法共有的偶数共法共有9。
再淘汰和小于10555555可以先求,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷有些排列组合问题, .出它的反面,再从整体中淘汰正、副班长、团支部书记至少有一人在内的5人,练习题：我们班里有43位同学,从中任抽抽法有多少种?十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？222CCC，若第一ABCDEF,不妨记解: 分三步取书得6本书为种方法,但这里出现重复计数的现象264222CCC有法分记为(AB,CD,EF),则中还CD,步取AB,第二步取第三步取EF该246 3A种取法共有 ,而这些分法仅(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)32223CCC/A种分法。
(AB,CD,EF)一种分法 ,故共有是3624n n A为均分(,都是一种情况,所以分组后要一定要除以平均分成的组,不管它们的顺序如何n的组数)避免重复计数。
练习题：5442CCC/A） 45组,一组个队,其它两组个队, 有多少分法？（3131 将个球队分成28413有多少种不同的,人但正副班长不能分在同一组3另两组, 人4其中一组,组3名学生分成．）（1540分组方法名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安入43.某校高二年级共有六个班级，现从外地转222290CA?CA/（）2名，则不同的安排方案种数为______排2462 . 合理分类与分步策略十三人伴舞人唱歌2,现要演出一个2例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞有多少选派方法的节目, 人为全能演员。
选上唱歌人员为标准进行研究2人只会跳舞3解：10演员中有5人只会唱歌，22CC人选上唱歌人员1只会唱的只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有5人中只有种,3321122CCC CC种，由分类计数原理共有种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有453552122221C?CCC?CCC种。
5335354做可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，解含有约束条件的排列组合问题，到标准明确。
分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
练习题：则不人中必须既有男生又有女生，谈会，若这41.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 34 同的选法共有只船2人,他们任选2号船最多乘2人,3号船只能乘1人2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3,）. （27,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法只船或3 本题还有如下分类标准：以*3个全能演员是否选上唱歌人员为标准以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准* 以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准* 都可经得到正确结果十四.构造模型策略2盏,但不能关掉相邻的1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3例14. 马路上有编号为 ,求满足条件的关灯方法有多少种？盏,也不能关掉两端的2盏盏或33C 5个空隙中插入3个不亮的灯有种解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5装盒排队模型，一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，模型等，可使问题直观解决每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（人就坐，120）练习题：某排共有10个座位，若4十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法2C种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如解：从5个球中取出2个与盒子对号有5果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号22C种 ,由分步计数原理有号球有也只有球装5号盒时,4,51种装法53号盒 4号盒 5号盒对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果练习题：1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)种 72则不同的着色方法有,种可选颜色4现有,域不同色要求相邻区,给图中区域涂色2.. 分解与合成策略十六 16. 30030能被多少个不同的偶数整除例×13 7 ×1130030=2×3×5 ×分析：先把30030分解成质因数的乘积形式 5个因数中任取若干个组成乘积，依题意可知偶因数必先取2,再从其余54123C?C?CC?C?所有的偶因数为：55555个顶点可连成多少对异面直线:正方体的8练习458?C?12每个四面体有4个顶点构成四体共有体共,个顶点中任取解：我们先从88174?3?58对异面直线正方体中的8个顶点可连成3对异面直线, 把一个复杂问题分解成几个小问题分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略, 从而得到用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,,逐一解决然后依据问题分解后的结构, ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略问题的答案化归策略十七. 不同的选法有多少种？人不在同一行也不在同一列,3人,要求317. 25人排成5×5方阵,现从中选例,人不在同一行也不在同一列要求3现从中选3人,解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,把这人所在的行列都划掉，如,1人后.这样每行必有1人从其中的一行中选取有多少选法111CCC种。