《工程力学》教学第十一章弯曲内力课件培训讲学
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《工程力学》教学第十一章弯曲内力课件
Q(+)
左上右下为正 Q(–)
Q(+)
Q(–)
〔2〕弯矩M。使微段梁产生上弯趋势的为正弯矩；反之为负弯矩。
M(+)
M(+) M(–)
上弯为正
M(–)
例11-1 如下图简支外伸梁，受集中力偶M和均布荷载q的作 用。求梁的1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和弯矩。
A RA
M
1 2
x
C
12
a
a
4q 3
第三节 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
一、载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系
q(x)
y
对dx 段进展平衡分析，有
x Y0即为
x dx
Q (x)q(x)dxQ (x)dQ (x)0
q(x)dxdQ (x) q(x)
Q(x)+d Q(x) 剪力与分布载荷间的关系为
M(x)
A
Q(x) dx M(x)+d M(x)
Y0, QFYAF(lla) mC0, MFYAx
FYA
x
m
弯曲构件内力
剪力Q 弯矩M
Q A
C
弯矩M
FYA
Q
——构件受弯时，横截面上
MC
位于轴线所在平面内的内力偶。
矩心为横截面形心。
P B
FB
M F
FB
剪力Q ——构件受弯时，横截面上过截面形心且平行于截面的内力。
内力的正负规定:
〔1〕剪力Q。 绕争论对象顺时针转为正剪力；反之为负。
〔1〕计算内力时按支座反力的实际方向确定其正负号，与 坐标系相全都。
〔2〕计算弯曲内力时，选用截面左侧还是右侧计算应以计 算简便为原则。
工程力学第十一章弯曲应力课件
2.两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
3.推论 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。
纵向对称面 中性层
纵向纤维间无挤压、 只受轴向拉伸和压缩。
中性轴（横截面上只有正应力）
4、需要校核切应力的几种特殊情况：
梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核切应力。 铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相
应比值时，要校核切应力。 各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。
q=3.6kN/m
A
Q
qL
2+
L=3m
M
qL2/8
+
例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截
P1=9kN
A
C
P2=4kN
B
D
1m 1m 1m
2.5kNm M
x -4kNm
A1
A3
y1 G
y2
A2
A4
4
例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，
铸铁的[sL]=30MPa，[sy]=60 MPa，
其截面形心位于G点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？
假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。
由胡克定律知：
sx
sx
sx
E x
Ey
...... (2)
3、静力学关系：
①
Nx
AsdA
A
Ey
dA
E
A
ydA
工程力学精品课程梁的弯曲内力.ppt
A+ 15KN
AB B-
-25KN
段 横截面
AC
C+
A-
AB
A+
B- D（剪力为零的截面）
M
0
-20KNm
20KNm
0 31.5KNm(弯矩极值)
3） 画剪力图与弯矩图
15KN
2.5m
20KN
20KNm
31.25KN m
25KN
20KNm
由平衡方程确定剪力的大小及实际方向
FY RA q AC Q 0
Q 10－20 0.2 6(KN) （C截面上剪力的实际方向向下）
q
A
CM
ＲA Q
又由平衡条件 mC (F) 0
可知
C截面上一定存在另一个内力分量，即力偶,称为弯矩，以M表示。
由平衡方程确定弯矩的大小及实际方向：
mC
沿梁轴方向选取坐标x，以此表示各横截面的位置，建立梁内各横截面的剪力、 弯矩与x的函数关系，即
Q Q(x)
剪力方程
M M (x) 弯矩方程
。
若以x为横坐标，以Q或M为纵坐标，将剪力、弯矩方程所对应的图线绘出来，即可得到 剪力图与弯矩图，这可使我们更直观地了解梁各横截面的内力变化规律。
例7—2．一悬臂梁AB（图7—9a），右端固定，左端受集中力P作用。作此梁的剪力图
并分别以Q1 、M1和Q2、M2代表它们各自的内力，可求得：
m/l
m Q1 RA l (0 x1 a)
ＲA
x1
A
M1
mb/l
M1
RA x1
m l
x1
(0 x1 a)
Q1
m
M2
x2
ＲB
《弯曲和弯曲内力》课件
受力贡献
考虑各部分的受力 贡献
分析方法
分解为简单几何形 状进行分析
总结
不同截面形式下的弯曲分析涉及多种结构截面，每种截面具 有特定的抗弯性能。工程实践中需要根据实际情况选择合适 的截面形式，确保结构的稳定性和安全性。
● 03
第3章 弯曲构件的稳定性分 析
弯曲构件的稳定 性问题
弯曲构件在受到外力作用时可能出现稳定性问题。稳定性 分析是保证构件安全可靠的重要步骤，其中需要考虑截面 形状、材料性质和支座条件等因素。
第2章 不同截面形式下的弯 曲分析
矩形截面的弯曲 分析
矩形截面是常见的结构截面形式之一。通过计算惯性矩和 截面模量，可以分析矩形截面的抗弯性能。矩形截面的强 度和刚度受截面尺寸的影响较大。
矩形截面的弯曲分析
惯性矩计算
用于评估截面抗弯 能力
影响因素
尺寸对弯曲性能的 影响
截面模量计算
反映了截面抗弯刚 度
《弯曲和弯曲内力》PPT课 件
制作人： 时间：2024年X月
目录
第1章 弯曲和弯曲内力的基本概念 第2章 不同截面形式下的弯曲分析 第3章 弯曲构件的稳定性分析 第4章 弯曲构件的工程应用 第5章 弯曲构件的实际案例分析
● 01
第1章 弯曲和弯曲内力的基 本概念
弯曲的定义和应 力分布
弯曲是指受力构件在承受外力作用下产生的挠曲变形。弯 曲应力分布呈三角形状，最大应力出现在截面最远离中性 轴的位置。材料内存在拉应力和压应力。
截面模量
受力情况计算得到的参数
几何形状影响
不同形状的截面具有不同的性 能参数
选择合适形式
需根据具体情况进行合理选择
总结
弯曲和弯曲内力是结构力学中重要的概念，了解其基本原理 和分析方法对于工程设计和力学研究具有重要意义。通过本 章内容的学习，可以更深入地理解弯曲构件的受力特点和内 力分布规律。
工程力学_第11章_弯曲应力-1
(
y)
FS
16 I z
b(h02 h2 ) 2 (h2 4 y2 )
max (0)
min
(
h) 2
7
3.弯曲正应力与弯曲切应力比较
max
4l
h
max
若是分布载荷q作用下，则：
max
2l
h
max
当 l >> h 时，max >> max
8
1.实心与非薄壁截面梁
a与c 点处－单向应力
b 点处－纯剪切
9
2.薄壁截面梁
d
a 点处－纯剪切 c 与d 点处－单向应力
b 点处－ 与 联合作用
10
1.梁的强度条件
弯曲正应力强度条件： max [ ] 材料单向应力许用应力
弯曲切应力强度条件： max [ ] 材料纯剪切许用应力
2. 强度条件的应用
细长非薄壁梁 ( max max ) max [ ]
1
（1） 中性轴位置：中性轴过截面形心
（2）中性层曲率：
1 M
EI z
（Iz －惯性矩） （EI z － 截面弯曲刚度）
（3）正应力公式： ( y) My
Iz
max
M Wz
（Wz －抗弯截面系数）
2
（1）矩形截面惯性矩： IZ bh3 1264
WZ bh2 6
2、注重弯曲强度，兼顾腹板的剪切强度与稳定性
避免剪切破坏 与局部失稳
12
M ( x) [ ]－弯曲等强条件
W(x)
h( x) 6Fx
b[ ]
3FS( x) [ ] －剪切等强条件 h(x) 3F
2bh( x)
2b[ ]
《工程力学》教学课件第十一章弯曲内力
引发裂缝扩展
弯曲内力还可能导致结构中的裂缝扩展，进一步降低结构强度。
优化措施降低弯曲内力影响
合理布置荷载
通过合理布置荷载，降低结构 受到的弯曲内力，提高结构稳 定性。
采用预应力技术
对结构施加预应力，使结构在受到荷 载作用前产生一定的反弯曲内力，从 而抵消部分外荷载产生的弯曲内力。
加强结构刚度
增加结构刚度，提高结构抵抗 弯曲内力的能力，保证结构整 体性能。
机械工程
分析机械零件在受力时的弯曲变形和应力分布，提高零件的强度和刚 度，延长使用寿命。
案例分析中问题探讨
载荷与边界条件的确定
在实际工程中，如何准确确定结构所受的载荷和边界条件是进行 内力分析的关键问题。
内力与变形的计算精度
由于实际结构的复杂性和计算方法的局限性，如何保证内力和变形 计算的精度是另一个需要探讨的问题。
优化截面形状和尺寸
通过优化截面形状和尺寸，使 得截面在受力时能够更好地抵 抗弯曲内力，提高结构强度。
06 实验验证与工程应用案例
实验验证方法介绍
1 2
载荷实验
通过对实际结构或模型施加静态或动态载荷，观 察和分析结构的变形和内力分布情况。
应变测量
利用应变片、应变计等测量工具，定量测量结构 在载荷作用下的应变值，进而推算出内力大小。
性能。
弯曲内力与材料性质关系
弹性模量
材料的弹性模量越大，梁 的抗弯刚度越大，承受弯
曲内力的能力越强。
屈服强度
材料的屈服强度越高， 梁在承受弯曲内力时越 不容易发生塑性变形。
韧性
材料的韧性越好，梁在 承受弯曲内力时越不容
易发生脆性断裂。
疲劳强度
对于承受交变弯曲内力的 梁，材料的疲劳强度也是 一个重要的考虑因素。
弯曲内力还可能导致结构中的裂缝扩展，进一步降低结构强度。
优化措施降低弯曲内力影响
合理布置荷载
通过合理布置荷载，降低结构 受到的弯曲内力，提高结构稳 定性。
采用预应力技术
对结构施加预应力，使结构在受到荷 载作用前产生一定的反弯曲内力，从 而抵消部分外荷载产生的弯曲内力。
加强结构刚度
增加结构刚度，提高结构抵抗 弯曲内力的能力，保证结构整 体性能。
机械工程
分析机械零件在受力时的弯曲变形和应力分布，提高零件的强度和刚 度，延长使用寿命。
案例分析中问题探讨
载荷与边界条件的确定
在实际工程中，如何准确确定结构所受的载荷和边界条件是进行 内力分析的关键问题。
内力与变形的计算精度
由于实际结构的复杂性和计算方法的局限性，如何保证内力和变形 计算的精度是另一个需要探讨的问题。
优化截面形状和尺寸
通过优化截面形状和尺寸，使 得截面在受力时能够更好地抵 抗弯曲内力，提高结构强度。
06 实验验证与工程应用案例
实验验证方法介绍
1 2
载荷实验
通过对实际结构或模型施加静态或动态载荷，观 察和分析结构的变形和内力分布情况。
应变测量
利用应变片、应变计等测量工具，定量测量结构 在载荷作用下的应变值，进而推算出内力大小。
性能。
弯曲内力与材料性质关系
弹性模量
材料的弹性模量越大，梁 的抗弯刚度越大，承受弯
曲内力的能力越强。
屈服强度
材料的屈服强度越高， 梁在承受弯曲内力时越 不容易发生塑性变形。
韧性
材料的韧性越好，梁在 承受弯曲内力时越不容
易发生脆性断裂。
疲劳强度
对于承受交变弯曲内力的 梁，材料的疲劳强度也是 一个重要的考虑因素。
弯曲内力PPT课件专题培训
FAy＝M / l FBy＝ -M / l
2．写出剪力和弯矩方程
AC FS x1 ＝M / l 0 x1 a
M x1 ＝Mx1 / l 0 x1 a
Mb / l
CB FS x2 ＝M / l 0 x2 b
M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
3. 依方程画出剪力图和弯矩图。
目录
24
载荷集度、剪力和弯矩关系：
d
2M (x) dx2
dFs (x) dx
q(x)
1. q＝0，Fs=常数， 剪力图为直线； 2. M(x) 为 x 旳一次函数，弯矩图为斜直线。
2.q＝常数，Fs(x) 为 x 旳一次函数，剪力图为斜直线； M(x) 为 x 旳二次函数，弯矩图为抛物线。
分布载荷向上（q > 0），抛物线呈凹形；
b
b
a dFS
qdx
a
dM dx FS
dM FSdx
b
b
dM a
a FSdx
FS
b
FS
a
Aq
b a
M
b
M
a
AFS
b a
从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下） 突变，突变幅度为集中力旳大小。弯矩图在该处为尖点。
从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上
（下）突变，突变幅度为集中力偶旳大小。剪力图在该点没
q
A
FAy
9qa/4
B
4a
a
FBy
Fs （+）
9a / 4
（-） qa
7qa/4
81qa2/32 qa2
（+） M
4．求出剪力为零旳点 D 到A旳距离。 qa 5．从A截面左侧开始画弯
工程力学第十一章弯曲应力
Q
+
– x
qL 2
Qmax 1.5 5400 t max 1.5 A 0.12 0.18 0.375MPa 0.9MPa [t ]
应力之比
+ M
qL2 8
s max M max 2 A L 16.7 46 t max Wz 3Q h
例题5
F
l
悬臂梁由三块木板粘接 50 而成。跨度为1m。胶合面 z50 的许可剪应力为0.34MPa， 50 木材的〔σ〕= 10 MPa， 100 [τ]=1MPa，求许可载荷。
P1=9kN A C 1m 1m
P2=4kN B D 1m
Ｃ
y1
z
y2
例2 T 字形截面的铸铁梁受力如
图，其截面形心位于C点， y1=52mm， y2=88mm， 截面对形心轴的惯性矩 Iz=763cm4 ，试计算梁内的最大
解：画弯矩图并求危面内力
RA 2.5kN ; RB 10.5kN
L=3m
qL 2
Q
+
–
Qmax
M max
+ M
qL 3600 3 5400 N 2 2
qL2 3600 32 4050Nm 8 8
45
qL 8
2
q=3.6kN/m
A
求最大应力并校核强度
L=3m
qL 2
M max 6M max 6 4050 B s max 2 Wz bh 0.12 0.182 6.25MPa 7MPa [s ]
15
(2)两个概念
①中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤 维不受拉应力和压应力，此层称中性层。 ②中性轴：中性层与横截面的交线。
工程力学—第十一章弯曲应力PPT
D4
64
14
d D
型钢 可查型钢表或用组合法求
h h
b
z y d
z y
D d
z y
z
18
b
第二节 对称弯曲正应力
最大弯曲正应力
max
Mymax Iz
M I z y max
M)
Wz
Iz y max
矩形截面
Wz
Iz
h2
bh 3 12 h2
bh 2 6
实心圆截面
Wz
Iz d2
d 4
d
64 2
d 3 32
空心圆截面
Wz
D3
(14
32
)
d D
型钢
可查型钢表或用组合法求
h h
b
z y d
z y
D d
z y
z
19
b
第二节 对称弯曲正应力
[例1] 如图所示的悬臂梁，其横截面为直径等于200mm
的实心圆，试计算轴内横截面上最大正应力。
30 kN·m Ｄ
L
采用空心轴节省材料。
21
22
第十一章 弯曲应力 第三节 梁的强度条件
重点要求：
➢ 失效的分类及相关概念 ➢ 强度条件及其工程应用
23
一、失效与许用 应力相关概念
24
一、失效与许用应力相关概念
失效——
由于材料的力学行为而使构件 丧失正常功能的现象.
5
第二节 对称弯曲正应力
平面弯曲( Plane Bending)
P a
CA Q
C A P
M A
C
P a
BD P
B Dx
➢纯弯曲( Pure Bending) ： 弯矩为常量，剪力为零
工程力学第十一章
第十一章 弯曲内力
§11-1 弯曲的概念和实例 §11-2 受弯杆件的简化 §11-3 剪力和弯矩 §11-4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图 §11-5 剪力、弯矩和载荷集度间的关系
11-1 弯曲的概念和实例
一. 关于弯曲的概念
梁的概念——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
1.受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的 横向外力或外力偶作用。
若梁上某点作用一向 下（上）的集中力，则在 F 剪力图上该点的极左侧截 面到极右侧截面发生向下 （上）的突变，剪力突变 的大小等于该集中力的大 小。
例 11-5
作以下简支梁的剪力和弯矩图。
解：约束力
M FA FB l1 l2
FA 剪力FQ FB FA x1 弯矩FQ FB x2
化成集中力。（真正的集中力在工程中是不存在的）
dx 3．集中力矩 M――往往是梁上安装附属构件所引起的。
三. 静定梁的基本形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
11-3 剪力和弯矩
一.概念
仍采用截面法确定梁上某截面的内力分量 例 11-1 确定悬臂梁m-m处的内力
m A l1 m F
l
B
MA FAx
FAy
F 0 F 0 F F 0 F F F 0 M ( F ) 0 M Fl 0 M
FQ ( x) FQ 常数 FQ 0 FQ 0 FQ 0
M ( x)
dM ( x ) FQ ( x) dx
FQ 2 FQ1 q( x)dx
2 1
2 M 2 M1 1 FQ ( x)dx
讨论: 下面的剪 力弯矩图错在 什么地方？（时 间3分钟）
§11-1 弯曲的概念和实例 §11-2 受弯杆件的简化 §11-3 剪力和弯矩 §11-4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图 §11-5 剪力、弯矩和载荷集度间的关系
11-1 弯曲的概念和实例
一. 关于弯曲的概念
梁的概念——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
1.受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的 横向外力或外力偶作用。
若梁上某点作用一向 下（上）的集中力，则在 F 剪力图上该点的极左侧截 面到极右侧截面发生向下 （上）的突变，剪力突变 的大小等于该集中力的大 小。
例 11-5
作以下简支梁的剪力和弯矩图。
解：约束力
M FA FB l1 l2
FA 剪力FQ FB FA x1 弯矩FQ FB x2
化成集中力。（真正的集中力在工程中是不存在的）
dx 3．集中力矩 M――往往是梁上安装附属构件所引起的。
三. 静定梁的基本形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
11-3 剪力和弯矩
一.概念
仍采用截面法确定梁上某截面的内力分量 例 11-1 确定悬臂梁m-m处的内力
m A l1 m F
l
B
MA FAx
FAy
F 0 F 0 F F 0 F F F 0 M ( F ) 0 M Fl 0 M
FQ ( x) FQ 常数 FQ 0 FQ 0 FQ 0
M ( x)
dM ( x ) FQ ( x) dx
FQ 2 FQ1 q( x)dx
2 1
2 M 2 M1 1 FQ ( x)dx
讨论: 下面的剪 力弯矩图错在 什么地方？（时 间3分钟）
工程力学课第11章 弯曲变形
可得 (a) 内力 FS称为截面的剪力。另外，由于 FA与 FS 构成一力偶，因而，可 断定m—m上一定存在一个与其平衡的内力偶，其力偶矩为M，对 m—m截面的形心取矩，建立平衡方程 MC 0 ，M FA x 0 可得 M FA x (b) 内力偶矩M，称为截面的弯矩。由此可以确定，梁弯曲时截面内力 有两项——剪力和弯矩。 根据作用与反作用原理，如取右段为研究对象，用相同的方法也可 以求得m—m截面上的内力。但要注意，其数值与式(a)、(b)相 等，方向和转向却与其相反(如图11.4(c)所示)。
l
CB段：
M ( x) FA x M e
Me (l x) l
(a x ≤ l )
(c)
由式(a)可知，整个梁的剪力图是一条平行于x轴的直线。由(b)、 (c)两式可知，左、右两梁段的弯矩图各为一条斜直线。根据各方 程的适用范围，就可分别绘出梁的剪力图和弯矩图(如图11.11(b) 和图11.11(c)所示)。由图可见，在集中力偶作用处左、右两侧 截面上的弯矩值有突变。若 b a ，则最大弯矩发生在集中力偶作 Mb 用处的右侧横截面上，M max e (负值)。
图11.5 梁的内力符号
3. 求指定截面内力的简便方法 由截面法算得的某一截面内力，实际上可以由截面一侧的梁段上外 力(包括已知外力或外力偶及支反力)确定。因此可以得到如下求指 定截面内力的简便方法。 任一截面的剪力等于该截面一侧所有竖向外力的代数和，即 n FS Fi (c) i 1 任一截面的弯矩等于该截面一侧所有外力或力偶对该截面形心之矩 n M Mi 的代数和，即： (d) i 1 需要指出：代数和中竖向外力或力矩(力偶矩)的正负号与剪力和弯 矩的正负号规定一致。 简便方法求内力的优点是无需切开截面、取脱离体、进行受力分析 以及列出平衡方程，而可以根据截面一侧梁段上的外力直接写出截 面的剪力和弯矩。这种方法大大简化了求内力的计算步骤，但要特 别注意代数和中竖向外力或力(力偶)矩的正负号。下面通过例题来 熟悉简便方法。
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《工程力学》教学第十一章弯曲 内力课件
教学重点
❖ 截面法求剪力和弯矩； ❖ 剪力方程和弯矩方程； ❖ 剪力图和弯矩图； ❖ 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。
教学难点
❖ 剪力和弯矩的方向判定； ❖ 剪力方程和弯矩方程的列法； ❖ 三种作剪力图和弯矩图的方法； ❖ 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。
第一节 平面弯曲的概念及梁的计算简图
a
4q 3
D
B
3
B
4
RB
a
解 （1）计算支座反力。
由 MB0得
FA
•
2a
M
1 2
qa2
0
FA
M 2a
1 4
qa
由 Y 0 得
FA FB qa 0
FB
M 2a
5qa 4
由 MA0 校核 M5q2a2 FB•2a0
可据此判断支座反力计算正确。
（2）计算剪力。 如图所示，设1-1截面上的剪力为Q1（按规定其图示
q
M
F
3.支座的分类 m
简支梁 悬臂梁 外伸梁
第二节 梁的内力计算
一、剪力和弯矩
已知如图所示，F、a、l。
求距A端x处截面上内力。 （1）求外力
a A
l
X 0 , FX A 0
mA 0 ,
FB
Fa l
F (l a)
Y 0 , FYA l
FXA A FYA
F B
F B
FB
（2）求内力，应用截面法
（3）绘制Q图和M图 。
（4）最大剪力和最大弯矩值。
Qmax
5qa 8
Mmax
9qa2 128
列剪力方程与弯矩方程和绘制剪力与弯矩方程时应注意：
❖ （1）任一截面上的剪力和弯矩始终假定为正向。这样由平 衡方程所得结果的正负号就与正负号规定相一致。
CB=a,AC=a/2。作剪力图和弯矩图，确定Qmax和Mmax。
解 （1）求支座约束反力。
Y0FCFBq23a0
MB 0FCaq23a23a
20
得
FC
9 qa 8
FB
3 qa 8
(2)列剪力方程和弯矩方程。
Q1x1q1x
x1(0,
a) 2
Q2x2q2xFC9q8aq2x
x2(a2,
3a) 2
得 FA=4P/3，FB=5P/3
（2）列剪力方程和弯矩方程。
Q1x1
FA
4 3
P
Q2x2
FA
P
1 3
P
x10, a x2 a, 2a
Q3x3
FA
P2P
5 3
P
x32a, 3a
（3）绘制Q图和M图。 显然在三段内中剪力皆为常值，在剪力图中是三条水平线 段，如图所示； 弯矩方程都是一次函数，在弯矩图中为 三条直线段，如图所示。 （4）最大剪力和最大弯矩值。
M
l
2
x
x (3)根据方程画内力图。
Q ql max
ql 2 2
RA
ql 2 8
RA
ql2 M
max 2
例11-3 已知图示简支梁，受力P、2P的作用,AC=CD=DB=a。 作剪力图和弯矩图，确定Qmax和Mmax。
解 （1）求支座约束反力。
Y0 FAFBP2P0
M B0 FA3aP2a2Pa0
❖ （1）计算内力时按支座反力的实际方向确定其正负号， 与坐标系相一致。
❖ （2）计算弯曲内力时，选用截面左侧还是右侧计算应以 计算简便为原则。
❖ （3）集中力作用处，左、右两侧的剪力不同，弯矩相同。 ❖ （4）集中力偶作用处，左、右两侧面上的剪力相同，但
弯矩不同。
二、剪力图和弯矩图
1.剪力方程和弯矩方程
为正向），可得
Y 0 FAQ10
y
1 M1
C
x
Q1 FA
A
a
Q1
同理可得 Q2 FA
FA
1
Q3 FA
Q4FAFB
(3)计算弯矩。 如图所示，设1-1截面上的弯矩为M1（按规定其图示为 正向），可得
MC 0 FA•aM10
同理可得
M1 FAa M2FA•aM
M3FA•2aM
M 4FA•2aM
由以上例题可以得出结论：
F1
q
F2
M
纵向对称面
二、梁的计算简图
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析 计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 杆件的简化 通常取梁的轴线来代替梁。轴线是杆件横截面形心的连线。 折杆或曲杆可用中心线代替。
2. 载荷的分类 作用于梁上的载荷（包括支座反力）有三种类型：
集中载荷、均布载荷和集中力偶。
Q m ax
5P 3
M m ax
5P a 3
当梁上有几项载荷同时作用时，由每一项载荷所引起的梁 的支座反力、剪力和弯矩都不受其他载荷的影响。这样， 就可以先分别计算出梁在各项载荷作用下某一截面上的剪 力和弯矩，再求出它们的代数和，即得到梁在这几项载荷 共同作用下该截面上的剪力和弯矩。此即叠加法。
例11-4 如图所示，外伸简支梁，已知梁受均布荷载q作用，
内力与横截面位置坐标x间的函数关系式为
Q Q(x) M M (x)
剪力方程； 弯矩方程。
2. 剪力图和弯矩图
剪力图
Q Q(x) 的图线表示；
弯矩图Leabharlann M M (x) 的图线表示。
一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不
同而变化
剪力图、弯矩图
❖ 剪力、弯矩方程法
Q Q(x) M M (x)
m
FXA A
Y0, QFYAF(lla) mC0, MFYAx
FYA
x
m
弯曲构件内力
剪力Q 弯矩M
Q A
C
弯矩M
FYA
Q
——构件受弯时，横截面上
MC
位于轴线所在平面内的内力偶。
矩心为横截面形心。
P B
FB
M F
FB
剪力Q ——构件受弯时，横截面上过截面形心且平行于截面的内力。
内力的正负规定:
（1）剪力Q。 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
Q(+)
左上右下为正 Q(–)
Q(+)
Q(–)
（2）弯矩M。使微段梁产生上弯趋势的为正弯矩；反之为负弯 矩。
M(+)
M(+) M(–)
上弯为正
M(–)
例11-1 如图所示简支外伸梁，受集中力偶M和均布荷载q的 作用。求梁的1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和弯矩。
A RA
M
1 2
x
C
12
a
剪力方程 弯矩方程
剪力图 弯矩图
例11-2 已知如图悬臂梁受均布荷载q的作用，梁的长度为 l。求作此梁的剪力图和弯矩图。
A
q
B
x LL
解（1）求支座反力。
Y 0
MA 0
FAql0
MA
ql2 2
0
FA ql
ql 2 MA 2
(2)写出内力方程。
QFAqx
Q
MMAq2x2 FA•x
(0xl)
FA （+）
一、平面弯曲的概念 工程实例
弯曲变形——杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作用时, 其轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲变形。
梁——以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。
常见梁的截面形状
平面弯曲——当所有的外力都作用在梁的纵向对称面内时，梁 变形后轴线所在的平面与外力所在的平面相重合，这种弯曲称 为平面弯曲。
教学重点
❖ 截面法求剪力和弯矩； ❖ 剪力方程和弯矩方程； ❖ 剪力图和弯矩图； ❖ 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。
教学难点
❖ 剪力和弯矩的方向判定； ❖ 剪力方程和弯矩方程的列法； ❖ 三种作剪力图和弯矩图的方法； ❖ 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。
第一节 平面弯曲的概念及梁的计算简图
a
4q 3
D
B
3
B
4
RB
a
解 （1）计算支座反力。
由 MB0得
FA
•
2a
M
1 2
qa2
0
FA
M 2a
1 4
qa
由 Y 0 得
FA FB qa 0
FB
M 2a
5qa 4
由 MA0 校核 M5q2a2 FB•2a0
可据此判断支座反力计算正确。
（2）计算剪力。 如图所示，设1-1截面上的剪力为Q1（按规定其图示
q
M
F
3.支座的分类 m
简支梁 悬臂梁 外伸梁
第二节 梁的内力计算
一、剪力和弯矩
已知如图所示，F、a、l。
求距A端x处截面上内力。 （1）求外力
a A
l
X 0 , FX A 0
mA 0 ,
FB
Fa l
F (l a)
Y 0 , FYA l
FXA A FYA
F B
F B
FB
（2）求内力，应用截面法
（3）绘制Q图和M图 。
（4）最大剪力和最大弯矩值。
Qmax
5qa 8
Mmax
9qa2 128
列剪力方程与弯矩方程和绘制剪力与弯矩方程时应注意：
❖ （1）任一截面上的剪力和弯矩始终假定为正向。这样由平 衡方程所得结果的正负号就与正负号规定相一致。
CB=a,AC=a/2。作剪力图和弯矩图，确定Qmax和Mmax。
解 （1）求支座约束反力。
Y0FCFBq23a0
MB 0FCaq23a23a
20
得
FC
9 qa 8
FB
3 qa 8
(2)列剪力方程和弯矩方程。
Q1x1q1x
x1(0,
a) 2
Q2x2q2xFC9q8aq2x
x2(a2,
3a) 2
得 FA=4P/3，FB=5P/3
（2）列剪力方程和弯矩方程。
Q1x1
FA
4 3
P
Q2x2
FA
P
1 3
P
x10, a x2 a, 2a
Q3x3
FA
P2P
5 3
P
x32a, 3a
（3）绘制Q图和M图。 显然在三段内中剪力皆为常值，在剪力图中是三条水平线 段，如图所示； 弯矩方程都是一次函数，在弯矩图中为 三条直线段，如图所示。 （4）最大剪力和最大弯矩值。
M
l
2
x
x (3)根据方程画内力图。
Q ql max
ql 2 2
RA
ql 2 8
RA
ql2 M
max 2
例11-3 已知图示简支梁，受力P、2P的作用,AC=CD=DB=a。 作剪力图和弯矩图，确定Qmax和Mmax。
解 （1）求支座约束反力。
Y0 FAFBP2P0
M B0 FA3aP2a2Pa0
❖ （1）计算内力时按支座反力的实际方向确定其正负号， 与坐标系相一致。
❖ （2）计算弯曲内力时，选用截面左侧还是右侧计算应以 计算简便为原则。
❖ （3）集中力作用处，左、右两侧的剪力不同，弯矩相同。 ❖ （4）集中力偶作用处，左、右两侧面上的剪力相同，但
弯矩不同。
二、剪力图和弯矩图
1.剪力方程和弯矩方程
为正向），可得
Y 0 FAQ10
y
1 M1
C
x
Q1 FA
A
a
Q1
同理可得 Q2 FA
FA
1
Q3 FA
Q4FAFB
(3)计算弯矩。 如图所示，设1-1截面上的弯矩为M1（按规定其图示为 正向），可得
MC 0 FA•aM10
同理可得
M1 FAa M2FA•aM
M3FA•2aM
M 4FA•2aM
由以上例题可以得出结论：
F1
q
F2
M
纵向对称面
二、梁的计算简图
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析 计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 杆件的简化 通常取梁的轴线来代替梁。轴线是杆件横截面形心的连线。 折杆或曲杆可用中心线代替。
2. 载荷的分类 作用于梁上的载荷（包括支座反力）有三种类型：
集中载荷、均布载荷和集中力偶。
Q m ax
5P 3
M m ax
5P a 3
当梁上有几项载荷同时作用时，由每一项载荷所引起的梁 的支座反力、剪力和弯矩都不受其他载荷的影响。这样， 就可以先分别计算出梁在各项载荷作用下某一截面上的剪 力和弯矩，再求出它们的代数和，即得到梁在这几项载荷 共同作用下该截面上的剪力和弯矩。此即叠加法。
例11-4 如图所示，外伸简支梁，已知梁受均布荷载q作用，
内力与横截面位置坐标x间的函数关系式为
Q Q(x) M M (x)
剪力方程； 弯矩方程。
2. 剪力图和弯矩图
剪力图
Q Q(x) 的图线表示；
弯矩图Leabharlann M M (x) 的图线表示。
一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不
同而变化
剪力图、弯矩图
❖ 剪力、弯矩方程法
Q Q(x) M M (x)
m
FXA A
Y0, QFYAF(lla) mC0, MFYAx
FYA
x
m
弯曲构件内力
剪力Q 弯矩M
Q A
C
弯矩M
FYA
Q
——构件受弯时，横截面上
MC
位于轴线所在平面内的内力偶。
矩心为横截面形心。
P B
FB
M F
FB
剪力Q ——构件受弯时，横截面上过截面形心且平行于截面的内力。
内力的正负规定:
（1）剪力Q。 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
Q(+)
左上右下为正 Q(–)
Q(+)
Q(–)
（2）弯矩M。使微段梁产生上弯趋势的为正弯矩；反之为负弯 矩。
M(+)
M(+) M(–)
上弯为正
M(–)
例11-1 如图所示简支外伸梁，受集中力偶M和均布荷载q的 作用。求梁的1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和弯矩。
A RA
M
1 2
x
C
12
a
剪力方程 弯矩方程
剪力图 弯矩图
例11-2 已知如图悬臂梁受均布荷载q的作用，梁的长度为 l。求作此梁的剪力图和弯矩图。
A
q
B
x LL
解（1）求支座反力。
Y 0
MA 0
FAql0
MA
ql2 2
0
FA ql
ql 2 MA 2
(2)写出内力方程。
QFAqx
Q
MMAq2x2 FA•x
(0xl)
FA （+）
一、平面弯曲的概念 工程实例
弯曲变形——杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作用时, 其轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲变形。
梁——以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。
常见梁的截面形状
平面弯曲——当所有的外力都作用在梁的纵向对称面内时，梁 变形后轴线所在的平面与外力所在的平面相重合，这种弯曲称 为平面弯曲。