大学物理 习 题 5答案

P习 题 55-2．如习题5-2图所示的直角三角形ABC 的A 点上有电荷q 1=1.8×10-9 C ，B点上有电荷q 2=-4.8×10-9 C ，试求C 点的电场强度（设BC=0.04m ，AC=0.03m ）。

解：设CB 为x 轴，AC 为y 轴，则C N E x/107.204.04108.44209⨯=⨯⨯=-πε，C N E /108.103.04108.14209y ⨯=⨯⨯=-πε，C N E E E y x /102.3422⨯=+=，电场方向和CB 的夹角为︒==7.33arctanxy E E ϕ5-3．用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R ，其上均匀地带有正电荷Q ，试求圆心处的电场强度。

[解] 将半圆环分成无穷多小段，取一小段dl ，带电量l RQ q d d π=dq 在O 点的电场强度20204d 4d d R lR Q R q E πεππε== 从对称性分析，y 方向的电场强度相互抵消，只存在x l R Q E E d sin 4sin d d 302x ⋅=⋅=θεπθ θd d R l =θεπθd 4sin d 202x RQ E =2020202x x 2d 4sin d R QR Q E E E επθεπθπ====⎰⎰ 方向沿x 轴正方向5-4．如习题5-4图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电量为q ，试求在直杆延长线上到杆的一端距离为d 的点P 的电场强度。

[解] 建立如图所示坐标系ox ，在带电直导线上距O 点为x 处取电荷元x Lqq d d =，它在P 点产生的电电场强度度为 ()x x d L Lq x d L qE d 41d 41d 2020-+=-+=πεπε则整个带电直导线在P 点产生的电电场强度度为()d L d qx x d L Lq E L+=-+=⎰002041d 41πεπε故()iE d L d q+=04πε5-5．一厚度为d 的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为ρ。

求板内外的电场分布，并画出电场强度随坐标x 变化的图线（设原点在带电平板的中央平面上，Ox 轴垂直于平板）。

解：做底面平行带电平板、侧面垂直于带电平板的圆柱状高斯面，高斯面的中心位于带电平板的中央平面上。

设圆柱状高斯面的高度为2x ， 根据高斯定理，有：习题5-2图ABC0022222ερερxS ES d x dS ES d x =<=>时，时，，得⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<=2/2/2/-d/2x )d/(2x/)d/(2-000d x d x d E ερερερ5-6．一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为ρ=Ar (r ≤R )，ρ=0 (r >R )，A 为常量。

试求球内、外的场强分布。

[解] 在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。

应用高斯定理有024επqrE =⋅q 为高斯球面内所包围的电量。

设距球心r 处厚度为d r 的薄球壳所带电量为d qr Ar r r q d 4d 4d 32ππρ=⋅=r ≤R 时 403d 4Ar r Ar q rππ==⎰解得 024εAr E = (r ≤R ) (或24Ar ε=r E e ) r >R 时高斯面内包围的是带电体的总电量Q4030d 4d AR r Ar q Q RR ππ===⎰⎰应用高斯定理024επQrE =⋅2044r AR E ε= (r >R ) (或r E 2044r AR ε=) 当A >0时，电场强度方向均径向向外；当A <0时，电场强度方向均指向球心。

5-7. 如习题5-7图所示，一半径为R 的无限长圆柱面形薄筒，均匀带电，单位长度上的带电量为λ，试求圆柱面内外的电场分布。

解：由条件知电场分布具有轴对称性，做半径为r 的同轴圆柱高斯面，由高斯定理，0202ελl πrl ,E R r πrl ,E R r =⋅>=⋅<时时，得⎪⎩⎪⎨⎧><=R r rR r E ,2,00πελ5-8．如习题5-8图所示，A 、B 为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度为E 0，两平面外侧电场强度大小都是E 0/3，方向如图。

求两平面A 、B 上的面电荷密度σA 和σB 。

[解] 无限大平面产生的电场强度为02εσ=E则A A 2εσ=EB B 2εσ=E 习题5-8图000习题5-7图⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-322220A 0B 0A0B E E εσεσεσεσ 解得 00A 32E εσ-= 00B 34E εσ=5-9．如习题5-9图所示为一真空中半径为R 的均匀带电球面，总电量为q (q <0)。

今在球面上挖去非常小的一块面积△S （连同电荷），且假设不影响原来的电荷分布，求挖去△S 后球心处电场强度的大小和方向。

解：原来球心处电场强度为零，挖去△S 后球心处电场强度等于△S 处电荷产生的电场强度的负值，即等于4022*******R S q R S q R επππε∆=∆，方向由△S 指向球心。

5-10．习题5-10图为两个半径均为R 的非导体球壳，表面上均匀带电，带电量分别为+Q 和-Q ，两球心距离为d (d>>2R )，求两球心间的电势差。

[解] 设带正电的球壳中心的电势为1U ，带负电的为2U 。

根据电势叠加原理有d QR Q U 00144πεπε-= dQR Q U 00244πεπε+-= 两球心间的电势差⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=d R Q dQ RQ U U U 112220002112πεπεπε5-11. 如习题5-11图所示为一均匀带电的球壳，其电荷体密度为ρ，球壳内表面半径为R 1，球壳外表面半径为R 2。

设无穷远处电势为零，求空腔内任一点的电势。

解：利用电势叠加法，将球壳分成无穷多个半径为r ，厚度为d r 的薄球壳，有)(2444dQ dU U 21220R R R R 020R R 212121R R r dr r r-====⎰⎰⎰ερπεπρπε5-12．电量q 均匀分布在长为2l 的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a 的点P 的电势(以无穷远为电势零点)。

[解] 取如图所示的电荷元d q ，x lqq d 2d =，它在P 点产生的电势为 ()()x a l xl q x a l q u -+=-+=2d 82d 41d 00πεπε 则整个带电直线在P 点产生的电势为()aal l q x a l x lq x a l xl qU l+=-+=-+=⎰⎰2ln82d 82d 802000πεπεπε 5-13．如习题5-13图所示，把一块原来不带电的金属板B 移近一块已带有正电荷Q 的金属板A ，平行放置。

设两板面积都是S ，板间距为d ，S d <<，忽略边缘效应，求B 板两个表面的感应电荷面密度和A 、B 两板间的电势差。

[解] (1)两带电平板导体相向面上电量大小相等符号相反，而相背面上电量大小相等符号相同，因此当板B 不接地，电荷分布为习题5-9图习题5-10图习题5-13图+QP dqOB 板靠近A 一侧S2Q -=σ，远离A 一侧S2Q =σ 因而板间电场强度为SQ E 02ε=电势差为SQdEd U 0AB 2ε== 5-14．如习题5-14图所示，一厚度为d 的无限大均匀带电导体板，单位面积上两表面带电量之和为σ。

试求离左表面的距离为a 的点与离右表面的距离为b 的点之间的电势差。

[解] 导体板内场强0=内E ，由高斯定理可得板外场强为2εσ=E故A 、B 两点间电势差为()a b x x x U bd a da d a a aBA -=++-=⋅=⎰⎰⎰⎰++++0000AB 2d 2d 0d 2d εσεσεσl E 5-15．半径都是R 的两根无限长均匀带电直导线，其电荷线密度分别为和，两直导线平行放置，相距为d (d >>R )。

试求该导体组单位长度的电容。

[解] 由高斯定理可求出，两导线之间任一点的电电场强度度为()r d r E -+=0022πελπελ 两导线间的电势差为()RRd rr d r r U R d R Rd RRd R-=-+=⋅=⎰⎰⎰---ln d 2d 2d 000πελπελπελ∆r E该导体组单位长度的电容Rd RRd Uln lnC 0πεπελ=-=∆=5-16．一电容为C 的空气平行板电容器，接端电压为U 的电源充电后随即断开。

试求把两个极板间距增大至n 倍时外力所做的功。

[解] 断开电源后Q 不变，电容由原来的dSC0ε=，变为ndSC 0ε='外力所做的功即相当于系统静电能的改变量221CU W =221U C W ''='λ+λ--λR E -λxdP rd-rOE λR +λBA-Q/2Q/2Q/2Q/2ⅠⅢⅡ abdσ由于Q 不变，C n C '=，所以nU U =' 因此2221U n C W '=' ()()12121222-=-'=-'=∆n CU C n C U W W W即外力做功()1212-=n CU A。