2020年湖南永州高三二模数学试卷(文科)
湖南省永州市码市中学2020年高二数学文模拟试题含解析
湖南省永州市码市中学2020年高二数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为（）A. 40B.0.2C. 32D.0.25参考答案：C略2. 从4个甲种产品和5个乙种产品中，任取3个产品进行抽样检测，要求所取的3个产品中甲乙两种产品都有的取法共有（）种A．70 B．72 C．80 D．84参考答案：A3. (原创)设a＜0，b＜0，则下列不等式一定成立的是( )A. B. C.D.参考答案：D略4. 若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（）A.2<k<5B.k>5 ；C.k<2或k>5；D.以上答案均不对参考答案：C5. 下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：AC、D中函数周期为2，所以错误当时，，函数为减函数而函数为增函数，所以选A6. 已知命题p：?x0∈R，使sin x0－cos x0＝，命题q：集合{x|x2－2x＋1＝0，x∈R}有2个子集．下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(非q)”是假命题；③命题“(非p)∨(非q)”是真命题．其中正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C略7. 已知，，，不共线，其中共线的是（）A. B.C. D. 两两不共线参考答案：B8. 若不等式的解集是，那么的值是A. 1B. 2C.3 D. 4参考答案：C略9. 设函数则a等于（）A.-1B.1C.-2 D.2参考答案：C略10. 已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（）A． B． C． D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是命题．（在“真”或“假”中选一个填空）参考答案：假【考点】四种命题．【专题】计算题；简易逻辑．【分析】写出命题的逆命题，再判断其真假即可．【解答】解：命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是如果ab=0，那么a=0，是假命题．故答案为：假．【点评】本题主要考查了逆命题的定义以及真假命题的判定，要求学生对基础知识牢固掌握．12. 设函数f（x）=x3+（+2）x2﹣2x，（x＞0），若对于任意的t∈[1，2]，函数f（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，则m的取值范围是为．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】通过求导结合函数的单调性得出不等式组，从而确定m的取值范围．【解答】解：f（x）=x3+（+2）x2﹣2x，∴f′（x）=3x2+（m+4）x﹣2，∵f（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且f′（0）=﹣2，∴，由题意得：对于任意的t∈[1，2]，f′（t）＜0恒成立，∴，∴﹣＜m＜﹣9，故答案为：．13. 已知函数，若当时，，那么下列正确地结论是▲．（填写正确结论前的序号）①②③④参考答案：①④略14. 一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为．参考答案：【考点】棱锥的结构特征．【分析】设圆锥的底面半径为r，结合圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，求出圆锥和母线，进而根据勾股定理可得圆锥的高．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，∵它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，∴圆锥的母线长为3r，又∵圆锥的表面积为π，∴πr（r+3r）=π，解得：r=，l=，故圆锥的高h==，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征是解答的关键．15. 已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）= ．参考答案：0.16【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴μ=2，根据正态曲线的特点，即可得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），∴μ=2，∵P（ξ≤4）=0.84，∴P（ξ≥4）=1﹣0.84=0.16，∴P（ξ≤0）=P（ξ≥4）=1﹣P（ξ≤4）=0.16，故答案为：0.16．16. 如图，已知点,点在曲线上，若阴影部分面积与△面积相等时，则．参考答案：17. 不等式的解为 _______．参考答案：C略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年湖南省永州市高峰中学高三数学文联考试卷含解析
2020年湖南省永州市高峰中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点．若点A,B的坐标分别为和，则的值为(A) (B) (C)0 (D)参考答案：A2. 已知函数在处取最大值，以下各式正确的序号为①②③④⑤A.①④B.②④C.②⑤D.③⑤参考答案：B3. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2－3x，则函数g（x）=f（x）－x+3的零点的集合为A．{1，3} B．{-3，-1，1，3}C．{2，1，3} D．{－2，1，3}参考答案：D4. 下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的为（）A. B. C. D. 参考答案：B5. 已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知条件，利用余弦定理求出|AF|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形，由此能求出离心率e．【解答】解：如图所示，在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF=100+64﹣2×10×8×=36，∴|AF|=6，∠BFA=90°，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．∴|BF′|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．∴e==．故选B．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理、椭圆的对称性等知识点的合理运用．6. 函数=的图像与函数=的图像交点个数为A．4 B．3 C．2D．参考答案：B7. 命题“”的否命题是（）A． B．若，则C． D．参考答案：C8. 如果复数 (其中)的实部与虚部互为相反数，则＝( )A．B．C．D． 1参考答案：B略9. 函数的最小正周期等于（）A、 B、2 C、D、参考答案：A10. 已知复数为虚数单位，则的共轭复数是A. B. C.D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 二项式的展开式中的系数为_____；系数最大的项为_____．参考答案：﹣160【分析】根据二项展开式的通项公式，求得展开式中x2的系数，再根据二项式系数的性质，求出系数最大的项．【详解】解：二项式的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的系数为．第项的系数为，要使该项的系数最大，应为偶数，经过检验，时，该项的系数最大，为240，故系数最大的项为，故答案为：﹣160；．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12. 如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A处，测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为，向山顶前进100米到达B点，再次测量得其斜度为，假设建筑物高50米，设山坡对于地平面的斜度为，则.参考答案：13.计算定积分___________.参考答案：7/3-ln2略14. 抛物线+12y=0的准线方程是参考答案：y=3略15. 已知函数，如果，则的取值范围是。
湖南省永州市道县、东安、江华、蓝山、宁远2020届高三12月联考数学文科参考答案
高三文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.12 14.2- 15.75- 16.1010三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.【答案】（1）3A =π；（2）【解析】（1）∵2sin()cos cos 2c A a B b A 5π+=+， ∴2cos cos cos c A a B b A =+，…………2分由正弦定理得，()2sin cos sin cos sin cos sin sin C A A B B A A B C =+=+=， ∴2sin cos sin C A C =，…………4分 又0C <<π，∴sin 0C ≠，∴1cos 2A =，…………5分 又0A <<π，∴3A =π.…………6分（2）设ABC △外接圆的半径为R ，则1R =，2sin a R A ==，…………8分由余弦定理得()22222cos33a b c bc b c bc π=+-=+-，…………9分 即3273bc =-，8bc ∴=，……………10分ABC ∴∆的面积11sin 8222S bc A ==⨯⨯=。
…………12分 18.【答案】（1）12n n a -=；（2）()12326n n +-⋅+【解】（1）当1n =时，111211a S ==-=；…………1分当2n ≥时，()()11112121222nn n n n n n n a S S ----=-=---=-=.…………3分11a =也适合12n n a -=，因此，数列{}n a 的通项公式为12n n a -=；…………5分（2）21282n n n n b b a ++-==Q ，在等式两边同时除以12n +得11222n n n n b b ++-=，且112b =.所以，数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，…………6分 ()121212nnb n n ∴=+-=-，…………7分 ()212n n b n ∴=-⋅.…………8分()123123252212n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++-⋅L ，()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，…………9分上式-下式得()12312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⋅L ()()()31112122212322612n n n n n -++-=+--⋅=-⋅--，…………11分因此，()12326n n T n +⋅=-+。
2020届湖南省永州市高三上学期第二次模拟考试数学(文)试题(解析版)
2020届湖南省永州市高三毕业班上学期第二次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．设复数z 满足(2)34z i i +=-，则|z |＝（ ）A ．2BC ．3D ．【答案】B【解析】化简得到34211255i z i i -==-+，再计算复数的模得到答案. 【详解】(2)34z i i +=-，则()()()()34234211211222555i i i i z i i i i ----====-++-，故z ==故选：B . 【点睛】本题考查了复数的化简，复数的模，意在考查学生的计算能力. 2．已知集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}，B ＝{x |2x ≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．(－2，1) B ．(－2，0)C ．(－2，0]D ．(－2，－1]【答案】C【解析】计算得到{}21A x x =-<<，{}0B x x =≤，再计算A B 得到答案.【详解】{}{|(1)(2)0}21A x x x x x =-+<=-<<，{}{|21}0x B x x x =≤=≤，故{}20A B x x ⋂=-<≤. 故选：C . 【点睛】本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.3．若{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，a n >0，a 2a 4＝4，S 3＝14，则其公比q 等于（ ） A ．16B ．12C ．2D ．3【答案】B【解析】直接利用等比数列公式计算得到答案.【详解】241244a a a q ==，2311114S a a q a q =++=，且0q >，解得12q =. 故选：B . 【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，意在考查学生的计算能力.4．为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（ ）A ．他们健身后，体重在区间[90kg ，100kg ）内的人数不变B ．他们健身后，体重在区间[100kg ，110kg ）内的人数减少了4人C ．他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg ，100kg ）D ．他们健身后，原来体重在[110kg ，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg 【答案】D【解析】根据饼图逐个选项计算分析即可. 【详解】对A,易得们健身后,体重在区间[90kg ,100kg ）内的人数占比均为0040,故A 正确. 对B,体重在区间[100kg,110kg ）内的人数减少了000000503020-=,即0020204⨯=人. 故B 正确.对C,因为健身后[80kg ,90kg ）内的人数占0030,[90kg ,100kg ）内的人数占0040,故中位数位于[90kg ,100kg ）.故C 正确.对D,易举出反例若原体重在[110kg,120kg]内的肥胖者重量为110kg ,减肥后为109kg 依然满足.故D 错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查了对饼图的理解,属于基础题型.5．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别是A ，B ，左右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等差数列，则该椭圆的离心率为（ ） A ．14B ．12C ．23D ．2【答案】B【解析】计算1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+，根据等差数列得到2a c =，得到答案. 【详解】1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+，成等差数列，故4c a c a c =++-，2a c =.故12e =. 故选：B . 【点睛】本题考查了椭圆的离心率，根据等差数列得到2a c =是解题的关键. 6．若等边△ABC 的边长为1，点M 满足12CM CB CA =+，则MA MB ⋅＝（ ）A B ．2C ．D ．0【答案】D【解析】化简得到21142MA MB CA CA CB ⋅=-+⋅，计算得到答案.【详解】()()211112242MA MB CA CM CB CM CA CB CA CA CA CB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111cos 0423π=-+⨯⨯=.故选：D . 【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AC 1与平面B 1BCC 1所成角的正切值为（ ）A ．1B ．2C D 【答案】B【解析】如图所示：连接1BC ，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，故AB ⊥平面11BCC B ，即1AC B ∠为直线AC 1与平面B 1BCC 1所成角，计算得到答案.【详解】如图所示：连接1BC ，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，故AB ⊥平面11BCC B ， 即1AC B ∠为直线AC 1与平面B 1BCC 1所成角， 设长方体边长为1，则112tan 22AB AC B BC ∠===. 故选：B .【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 8．某程序框图如图所示，若输出的S ＝41，则判断框内应填入（ ）A．k>5？B．k>6？C．k>7？D．k>8？【答案】A【解析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】根据程序框图：1,1k S==；2,5k S==；3,11k S==；4,19k S==；5,29k S==；6,41k S==，结束.故选：A.【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的理解能力和计算能力.9．已知下列命题：①“若x2＋x－2≠0，则x≠1”为真命题；②命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则⌝p：∃x0∈R，x02＋1≤0；③若2kπϕπ=+(k∈Z)，则函数y＝cos(2x＋φ)为奇函数；④若a b⋅>0，则a与b的夹角为锐角.其中，正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根据解不等式，全称命题的否定，函数的奇偶性，向量夹角依次判断每个选项【详解】①若x2＋x－2≠0，则x≠1且2x≠-，故①为真命题；②命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则⌝p：∃x0∈R，x02＋1≤0，故②正确；③若2kπϕπ=+(k∈Z)，则函数()sin2,cos2cos(2)2sin2,x ky x x kx kπϕπ⎧=+=++=⎨-⎩为奇数为偶数，均为奇函数，③正确；④若a b⋅>0，则a与b的夹角为锐角或零度，故④错误；故选：C.【点睛】本题考查了解不等式，全称命题的否定，函数的奇偶性，向量夹角，意在考查学生的综合应用能力.10．已知函数()2sin()(0,||)f x xωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，且(,1),(,1)2A Bππ-，则ϕ的值为（）A．56πB．6πC．56π-D．6π-【答案】C【解析】根据,A B两点的坐标列方程组，解方程组求得ϕ的值.【详解】由于函数()f x过,A B两点，故()()ππ2sin122π2sinπ1ffωϕωϕ⎧⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=+=-⎩，由于0,||ωϕπ><，所以方程组解得25π6ωϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩.故选C.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，考查数形结合的数学思想方法，11．已知双曲线22124y x -=的左右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线右支上存在一点M ，使得()220OM OF F M +⋅=，则12F MF M=（ ） A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】A【解析】根据()220OM OF F M +⋅=得到25OM OF ==，122F MF π∠=，故2221212MF MF F F +=，122MF MF -=，解得答案.【详解】22124y x -=，故125OF OF ==.()()()22222220OM OF F M OM OF OM OF OMOF +⋅==+⋅--=，故25OM OF ==，故122F MF π∠=，2221212MF MF F F +=，122MF MF -=.解得18MF =，26MF =，故1243F MF M =. 故选：A . 【点睛】本题考查了双曲线中长度的计算，确定25OM OF ==是解题的关键.12．已知函数211,0()22,0xx f x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+≥⎩，若f (x )－mx ≥0，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[0.2]B ．[－1，2]C ．[－ln 3，2]D ．[－ln 2，2]【答案】D【解析】如图所示，画出函数()f x 的图像，讨论0x ≥和0x <两种情况，分别计算原点处的切线斜率得到答案. 【详解】如图所示：画出函数()f x 的图像.当0x ≥时，()'22f x x =+，故()'02f =；当0x <时，()11'ln 22xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()'0ln 2f =-； 根据图像知：[]ln 2,2m ∈-. 故选：D .【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，转化为切线的斜率问题是解题的关键.二、填空题13．已知函数f (x )为奇函数，且当x <0时，f (x )＝x 3－21x ，则f （1）＝________. 【答案】2【解析】根据函数为奇函数，得到()()11f f =--，计算得到答案. 【详解】函数()f x 为奇函数，故()()()()32111121f f ⎡⎤=--=---=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求函数值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 14．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P (23，a )，则cos 2α＝________. 【答案】19-【解析】根据题意得到2cos 3α=，再利用二倍角公式计算得到答案. 【详解】角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P (23，a )，故2cos 3α=，21cos 22cos 19αα=-=-.故答案为：19-. 【点睛】本题考查了三角函数定义，二倍角公式，意在考查学生的计算能力.15．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的体积的最小值为__________(容器壁的厚度忽略不计).4141【解析】外接圆直径为长宽高分别为1,2,6的长方体的体对角线，即41R =，计算得到答案. 【详解】根据题意：外接圆直径为长宽高分别为1,2,6的长方体的体对角线，即412R =. 34414136V R π== .故答案为：41416. 【点睛】本题考查了多面体的外接球问题，将直径转化为长方体的体对角线是解题的关键.16．数列{a n }中，a 1＝3，且114n n n n n a a a a --=-+-(n ≥2)，令212(2)n n b a =-，则数列{b n }的前2020项和S 2020＝____________. 【答案】20202021【解析】化简得到()()22122n n a a n --=-+，故1112n n n b b --=，利用累加法得到21nn n b =+，故 21111n b n n n n ==-++，再利用裂项求和计算到答案. 【详解】114n n n n na a a a --=-+-，故221144n n n n a a n a a ---=+-，即()()22122n n a a n --=-+.212(2)n n b a =-，即1112n n n b b --=， ()211221111111111...221...42n n n n n n n n n b b b b b b b b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=+-+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故21111n b n n n n ==-++. 202011111120201...12232020202120212021S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：20202021. 【点睛】本题考查了累加法求通项公式，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.三、解答题17．在ABC ∆中，3ABC π∠=，点D 在边AB 上，2BD =．（1）若BCD ∆的面积为CD ；（2）若cos 5BCA ∠=，cos 10DCA ∠=CD ．【答案】（1）CD =（2【解析】(1)根据三角形面积公式与余弦定理求解即可.(2)根据BCD BCA DCA ∠=∠-∠,再利用三角函数的同角三角函数关系与差角公式求解即可. 【详解】 解：（1）1sin 2BCD S BD BC B ∆=⋅⋅ ∴4BC =在BCD ∆中,由余弦定理可得2222212cos 42242122CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯=∴CD =（2）BCD BCA DCA ∠=∠-∠∴sin sin cos cos sin BCD BCA DCA BCA DCA ∠=∠∠-∠∠cos5BCA ∠=,cos 10DCA ∠=∴sin BCA ∠==,sin DCA ∠==∴1010sin BCD ∠==在BCD ∆中,由正弦定理可得sin sin CD BDB BCD=∠,∴sin sin BD BCD BCD⋅==∠【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积的运用,属于中等题型.18．某单位共有职工2000人，其中男职工1200人，女职工800人为调查2019年“双十一”购物节的消费情况，按照性别采用分层抽样的方法抽取了该单位100人在“双十一”当天网络购物的消费金额(单位：百元)，其频率分布直方图如下：（1）已知抽取的样本中，有3名女职工的消费不低于1000元，现从消费不低于1000元的职工中抽取3名职工进行购物指导，求抽取的3名职工中至少有两名女职工的概率； （2）在“双十一”当天网络购物消费金额不低于600元者称为“购物狂”，低于600元者称为“理性购物者”.已知在抽取的样本中有18名女职工消费不低于600元，请完成上图中的列联表，并判断能否有99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关. 附：参考数据与公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 【答案】（1）710（2）列联表见解析；有99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关 【解析】（1）消费不低于1000元的共有5人，其中女职工3人设为,,A B C ，男职工2人，设为,a b ，列出所有情况，再统计满足条件的情况，得到概率. （2）完善列联表，计算27.143K ≈，对比临界值表得到答案. 【详解】（1）消费不低于1000元的共有0.0252100=5⨯⨯人， 其中女职工3人设为,,A B C ，男职工2人，设为,a b . 从5名职工中选取3名职工的可能情况如下：（,,A B C ），（,,A B a ），（,,A B b ），（,,A C a ），（,,A C b ），（,,B C a ），（,,B C b ）（,,A a b ），（,,B a b ），（,,C a b ）共10种情况. 其中至少有两名女职工包括7种情况.所以抽取的3名职工中至少有两名女职工的概率710P =. （2）应抽取男职工：1201000=60⨯人，抽取女职工：800100=402000⨯人，理性购物者购物狂合计男 48 12 60 女 22 18 40 合计 703010022(48182212)1007.14360407030K ⨯-⨯⨯=≈⨯⨯⨯，因为7.143 6.635>，所以有99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关. 【点睛】本题考查了概率的计算，独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力.19．如图所示的几何体B －ACDE 中，AB ⊥AC ，AB ＝4，AC ＝3，DC ⊥平面ABC ，EA ⊥平面ABC ，点M 在线段BC 上，且AM ＝125.（1）证明：AM ⊥平面BCD ；（2）若点F 为线段BE 的中点，且三棱锥F －BCD 的体积为1，求CD 的长度. 【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】（1）证明AM DC ⊥，根据余弦定理得到95CM =，再根据勾股定理得到AM BC ⊥，得到证明.（2））取AB 的中点N ，BM 的中点P ，连接FN ，PN ，证明//FN 平面BCD ，故点F 到平面BCD 的距离等于点N 到平面BCD 的距离，设CD a =，根据体积得到答案. 【详解】 （1）DC ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，∴AM DC ⊥.在ABC∆中，AB AC ⊥，4AB =，3AC =，∴5BC =.由2223cos 25AC CM AM ACM AC CM +-∠==⋅得221293565CM CM ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，∴95CM =. ∴AM CM AC 222+=，AM CM ∴⊥，即AM BC ⊥.BCDC C =，BC ⊂平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AM ⊥平面BCD .（2）取AB 的中点N ，BM 的中点P ，连接FN ，PN ，∴//PN AM ，1625PN AM ==，点F 为线段BE 中点，∴//FN EA .DC ⊥平面ABC ，EA ⊥平面ABC ，∴//DC EA ，DC BC ⊥，∴//FN DC . FN ⊄平面BCD ，DC ⊂平面BCD ，∴//FN 平面BCD ，∴点F 到平面BCD 的距离等于点N 到平面BCD 的距离，AM ⊥平面BCD ，∴PN平面BCD .设CD a =，则11651325F BCD V a -=⨯⨯⨯=三棱锥，∴1a =，即CD 长为1.【点睛】本题考查了线面垂直，根据体积求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 20．已知抛物线C ：x 2＝2y ，过点(0，2)作直线l 交抛物线于A 、B 两点. （1）证明：OA ⊥OB ；（2）若直线l 的斜率为1，过点A 、B 分别作抛物线的切线l 1，l 2，若直线l 1，l 2，相交于点P ，直线l 1，l 2交x 轴分别于点M ，N ，求△MNP 的外接圆的方程.【答案】（1）证明见解析（2）2213292416x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）设直线l ：2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立方程得到122x x k +=，124x x =-，故12120OA OB x x y y ⋅=+=，得到证明.（2）求导得到y x '=，得到切线方程21112y x x x =-和22212y x x x =-，计算点(1,2)P -，设MNP ∆的外接圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，计算得到1D =-，1F =-，32E =，得到答案. 【详解】（1）显然直线l 的斜率存在，设直线l ：2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y联立222y kx x y=+⎧⎨=⎩得2240x kx --=，∴24160k ∆=+>，122x x k +=，124x x =-，∴2121212121()04OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+=，∴OA OB ⊥.（2）1k =，∴122x x +=，124x x =-，y x '=∴切线1l ：111()y y x x x -=-即21112y x x x =-，同理可得切线2l ：22212y x x x =-.令0y =，则11(,0)2M x ，21(,0)2N x ，联立2112221212y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得点(1,2)P -，设MNP ∆的外接圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，令0y =，则20x Dx F ++=.∴由韦达定理可得1211+22x x D =-，1214x x F =， ∴1D =-，1F =-且520D E F +-+=，∴32E =， 则圆的方程为：223102x y x y +-+-=，即2213292416x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了抛物线中的垂直关系的证明，切线问题，外接圆方程，意在考查学生的综合应用能力.21．已知函数2()ln a f x x x x x=-+. （1）若函数f (x )在定义域内是增函数，求实数a 的取值范围；（2）当a ∈[1，e )时，求方程()2af x ax =-的根的个数. 【答案】（1）14a ≥（2）有且只有一个根 【解析】（1）211()1+=0ax x f x ax x x-+'=-≥，即2max 1x a x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，求函数21x y x -=的最大值得到答案.（2）求导(1)(1)()ax x g x x--'=，讨论1a =，(1,)a e ∈两种情况，根据单调性得到()g x 的极大值为11()ln 122a g a a a=---，设1()ln 122a h a a a =---，求导得到函数单调递增，再根据零点存在定理得到答案. 【详解】（1）定义域：(0,)+∞，211()1+=0ax x f x ax x x-+'=-≥在(0,)x ∈+∞时恒成立，即210ax x -+≥在(0,)x ∈+∞时恒成立，所以(0,)x ∈+∞时，2max1x a x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，由于2221111111()244x y x x x x -==-=--+≤，所以14a ≥. （2）设()()2a g x f x ax =-+=2+ln 22a ax ax x x --+21(1)1(1)(1)()1ax a x ax x g x ax a x x x-++--'=--+==， ①当1a =时，()0g x '≥，()g x 在()0,∞+是单调递增，()110g =-<，()14ln 402g =+>， 所以存在唯一的()01,4x ∈使()00g x =，即方程()2af x ax =-只有一个根. ②当(1,)a e ∈时，则101a <<，令()0g x '=，有1x a=或1x =. 所以()g x 在1(0,)a上是增函数，在1(1)a，上是减函数，在(1+)∞，上是增函数， ()g x 的极大值为1111()1ln ln 12222a a g a a a a a a=---+=---.设1()ln 122a h a a a =---，其中(1,)a e ∈，则222111(1)()+0222a h a a a a-'=-=>. 所以()h a 在(1,)a e ∈上是增函数，所以1()()2022e h a h e e <=--<，即1()0g a<， 所以()g x 在()0,1上无零点.又(1)=1<0g -，991(4)=4ln 44+ln 4ln 40222a g -+>-=+>，所以(1)(4)0g g ⋅<，又()y g x =在(1,+)∞单调递增，所以存在唯一的()01,4x ∈使()00g x =. 即方程()2af x ax =-只有一个根. 综上所述，当[1,)a e ∈时，方程()2af x ax =-有且只有一个根. 【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，函数的零点个数问题，意在考查学生的计算能力和和综合应用能力.22．在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2sin ρθ．（1）写出直线1C 的极坐标方程；（2）设动直线:(0)l y kx k =>与1C ，2C 分别交于点M 、N ，求ONOM的最大值．【答案】（1）sin()4πρθ+=2）2【解析】(1)消去参数t 求1C 的直角坐标方程,再根据cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程化简即可.(2) 设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,再根据极坐标的几何意义求解即可.【详解】解：（1）直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=, 将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程得sin cos 2ρθρθ+=,即sin()4πρθ+=（2）设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,设12(,),(,)M N ραρα,则212sin sin()1=)242ON OM πααρπαρ+=-+,由02πα<<,有32444πππα-<-<,当sin(2)=14πα-时,ON OM 的最大值为2． 【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标的互化以及直角坐标化极坐标的方法.同时也考查了极坐标的几何意义,属于中等题型. 23．已知函数()2f x x =-． （1）求不等式()25f x x ≤+的解集；（2）记函数()(1)(5)g x f x f x =+--+，且()g x 的最大值为M ，若0a >，求证：213Ma a+≥． 【答案】（1）[)1,-+∞（2）见解析【解析】(1)根据绝对值不等式的方法求解即可.(2)利用绝对值的三角不等式可得2M =,再利用三元基本不等式求证即可. 【详解】解：（1）由()25f x x ≤+得25025225x x x x +≥⎧⎨--≤-≤+⎩,解得1x ≥-∴不等式()25f x x ≤+的解集为[)1,-+∞．（2）()(1)(5)13132g x f x f x x x x x =+--+=---+≤--+=当且仅当3x ≥时等号成立,∴2M =,∴22211123Ma a a a a a a +=+=++≥=． 当且仅当21a a=,即1a =时等号成立． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及绝对值三角不等式和三元的基本不等式的方法,属于中等题型.。
湖南省永州市数学高考文数二模试卷
湖南省永州市数学高考文数二模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，则集合{2，7，8}是（）A . M∪NB . M∩NC . ∁IM∪∁IND . ∁IM∩∁IN2. （1分） (2017高二下·故城期末) 是的共轭复数，若，(为虚数单位)，则（）A .B .C .D .3. （1分）在ABC中，若，则ABC必是（）A . 等边三角形B . 直角三角形C . 锐角三角形D . 钝角三角形4. （1分）设，则“”是“”（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （1分）(2017·齐河模拟) 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径，若该几何体的表面积是17π，则它的体积是（）A . 8πB .C .D .6. （1分）已知函数的两个极值点分别为，且，，点表示的平面区域为，若函数的图像上存在区域内的点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .7. （1分）(2020·内江模拟) 函数在处的切线如图所示，则（）A . 0B .C .D .8. （1分）(2017高一下·吉林期末) 已知正项数列中，，记数列的前项和为，则的值是（）A .B .C .D . 119. （1分） (2016高二下·沈阳开学考) 某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A . 2B . 3C . 4D . 510. （1分）在区间上任意取两个实数a，b，则函数在区间上有且仅有一个零点的概率为（）A .B .C .D .11. （1分）双曲线的渐近线方程是（）A .B .C .D .12. （1分）若方程x2-ax+4=0在[1，4]上有实数解，则实数a的取值范围是（）A . [4，5]B . [3，5]C . [3，4]D . [4，6]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·银川模拟) 已知（4，﹣1），（2，t2﹣1），若 5，则t＝________.14. （1分） (2019高三上·承德月考) 已知Sn表示等比数列{an}的前n项和，，则________．15. （1分）(2017·金山模拟) 函数的最小正周期T=________．16. （1分）建造一个容积为8m3 ，深为2m的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，如果水池的总造价为1 760元，则长方体底面一边长为________米．三、解答题 (共7题；共14分)17. （2分）已知函数f（x）=4sinxcos（x﹣）﹣（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的对称中心及单调增区间．18. （2分）(2017·新课标Ⅱ卷理) 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（Ⅰ）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法新养殖法（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：P（K2≥k）0.0500.010 0.001K 3.841 6.635 10.828 K2= ．19. （2分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，PA=PD，O为AD边的中点，点M 在线段PC上．（1）证明：平面POB⊥平面PAD；（2）若，PA∥平面MOB，求二面角M﹣OB﹣C的余弦值．20. （2分）(2020·榆林模拟) 如图，设椭圆的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且 0，若过 A，Q，F2三点的圆恰好与直线相切，过定点 M（0，2）的直线与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线的斜率，在x轴上是否存在点P（，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）若实数满足，求的取值范围．21. （3分） (2016高三上·新津期中) 已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g （x）=f（x）+ x2﹣bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥ ，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．22. （2分）设直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=．将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；23. （1分） (2016高一上·宁波期中) 已知函数f（x）=x|x﹣a|（1）若函数y=f（x）+x在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图像恒在y=1图像的下方，求实数a的取值范围；（3）设a≥2时，求f（x）在区间[2，4]内的值域．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共14分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、23-2、23-3、。
2020年高考文科数学全国卷2含答案(A4打印版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷文科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}3A x x x =<∈，Z ，{}1B x x x =>∈，Z ，则A B =( )A .∅B .{}3223--，，， C .{}202-，， D .{}22-，2.41i =-（）( )A .4-B .4C .4i -D .4i3.如图，将钢琴上的12个键依设次记为1a ，2a ，…，12a .112i j k ≤＜＜≤.若3k j -=且4j i -=，则称i a ，若j a ，k a 为原位大三和弦；4k j -=且3j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为( )A .5B .8C .10D .154.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )A .10名B .18名C .24名D .32名5.已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( )A .2+a bB .2+a bC .2-a bD .2-a b6.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若5312a a -=，6424a a -=，则nnS a = ( ) A .21n-B .122n--C .122n --D .121n--7.执行右面的程序框图，若输入的0k =，0a =，则输出的k 为( )A .2B .3C .4D .58.若过点21（，）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为( ) A .5 B .25C .35D .459.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C ：2222x 1y a b-=（00a b >>，）的两条渐近线分别交于D ，E 两点.若ODE △的面积为8，则C 的焦距的最小值为( ) A .4 B .8 C .16 D .32 10.设函数331()f x x x=-，则()f x( )A .是奇函数，且在()0+∞，单调递增 B .是奇函数，且在()0+∞，单调递减 C .是偶函数，且在()0+∞，单调递增 D .是偶函数，且在()0+∞，单调递减 11.已知ABC △是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为 ( )A .3B .32 C .1 D .3 12.若2233x y x y ----＜，则( )A .()ln 10y x -+＞B .()ln 10y x -+＜C .ln 0x y -＞D .ln 0x y -＜二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin 3x =-，则cos2x =________. 14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =-，262a a +=，则10S =________.15.若x ，y 满足约束条件1121x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-⎩≥，≥，≤，则2z x y =+的最大值是________.16.设有下列四个命题：1P ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. 2P ：过空间中任意三点有且仅有一个平面. 3P ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.4p ：若l α⊂直线平面，m α⊥直线平面，则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨⌝三、解答题：共70分。
高考数学二模试卷 (6)
高三(下)2月月考数 学 (文史类)本试卷分选择题和非选择题两部分。
第I 卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）。
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷一、选择题（每小题5分，共50分） 1、i 为虚数单位，则2)1(i -的虚部是（ ）A.i 2-B.i 2C.2-D.2 2.已知幂函数)(x f y =的图象过点)22,2(，则（ ） A .)2()1(f f > B . )2()1(f f < C .)2()1(f f = D .)1(f 与)2(f 大小无法判定3、△ABC 中，A B >是tan tan A B >的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不必要又不充分条件4、已知两条不同的直线,l m 和两个不同的平面,αβ，有如下命题：①若,,//,////l m l m ααββαβ⊂⊂，则； ②若,//,//l l m l m αβαβ⊂⋂=，则；③若,//l l αββα⊥⊥，则，其中正确命题的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．05、下列的算法流程图中，① ② ③其中能够实现求两个正整数的最大公约数的算法有( )个。
A ．1B ．2C ．3D ．06、如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12,2AB AD AA ===.设长方体的截面四边形11ABC D 的内切圆为O ，圆O 的正视图是椭圆O '，则椭圆O '的离心率等于（ ）A.33 B. 22 C. 23D.327、已知向量)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a ，若3πβα=-，则向量a 与向量b a +的夹角是（ ）（A ）3π （B ）6π （C ）65π （D ）32π8、若实数y x ,满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则2z x y =+的取值范围是（ ）（A ）[5,1]- （B ）[1,11] （C ）[5,11]- （D ）[1,11]-9、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>左右顶点为21,A A ，左右焦点为21,F F ，P 为双曲线C 上异于顶点的一动点，直线1PA 斜率为1k ，直线2PA 斜率为2k ，且121=k k ，又21F PF ∆内切圆与x 轴切于点)0,1(，则双曲线方程为（ ）．A ．221x y -= B ．2212y x -= C ．2213y x -= D ．2214y x -= 10、已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且满足ln ()()x f x xf x x '+=，1()f e e=，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 有极大值无极小值B ．()f x 有极小值无极大值C ．()f x 既有极大值又有极小值D ．()f x 无极大值也无极小值第Ⅱ卷二、填空题（每小题5分，共25分） 11、已知集合}013|{≥+-=x x x A ，}2log |{2<=x x B ，则=B A C )(R 。
湖南省高三下学期模拟考试(文科)数学试卷-附含答案解析
湖南省高三下学期模拟考试(文科)数学试卷-附含答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}1,0,1,|1A B x N x =-=∈<，则A B ⋃=（ ） A ．{}0B ．{}1,0-C ．{1,-0，1}D ．(),1-∞2．设m 、n 是两条不同的直线，α和β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n B ．m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n C ．m ⊥α，n ⊂β且m ⊥n ，则α⊥βD ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β3．已知角α的终边经过点()sin150,cos30A ，则tan α=（ ）A B ．C D ．4．在中国传统佳节元宵节中赏花灯是常见的活动.某单位拟举办庆祝元宵的活动，购买了A ，B ，C 三种类型的花灯，其中A 种花灯4个，B 种花灯5个，C 种花灯1个，现从中随机抽取4个花灯，则A ，B ，C 三种花灯各至少被抽取一个的情况种数为（ ） A ．30B ．70C ．40D ．845．已知函数()32233f x x ax x =-++是定义在R 上的奇函数，则函数()f x 的图像在点()()2,2f --处的切线的斜率为（ ） A ．27-B ．25-C ．23-D ．21-6．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.222:1(0)y C x b b-=>的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，若P 为C 右支上的一点，F 为C 的左焦点，则PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩（0a >且1a ≠）．若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于原点对称，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,1,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,11,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()()0,11,4⋃二、多选题9．某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单位：秒），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.由直方图推断，下列选项正确的是（ ） A ．直方图中a 的值为0.38B ．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒C ．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩不大于13秒的人数为54D ．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的中位数为13.7秒10．已知狄利克雷函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的值域为[]0,1B ．()f x 定义域为RC ．()()1f x f x +=D ．()f x 是奇函数11．已知拋物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 与圆22:(2)1M x y ++=上点的距离的最小值为2，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，以,A B 为切点的抛物线的两条切线的交点为P ，则下列结论正确的是（ ） A ．2p =B ．当l 与M 相切时，则l 的斜率是C ．点P 在定直线上D ．以AB 为直径的圆与直线1y =-相切12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,M N 分别为1,BB AB 的中点.下列说法正确的是（ ）A ．点M 到平面1ANDB ．正方体1111ABCD A BCD - C ．面1AND 截正方体1111ABCD A B C D -外接球所得圆的面积为34πD ．以顶点A三、填空题13．已知角α终边与单位圆相交于点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则化简()()()()sin 3sin sin 2cos 4παπααπαπ+---+--得___________. 14．若512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为________.15．若函数21()ln 22f x a x x bx =++在区间[1,2]上单调递增，则4a b +的最小值是__________． 16．定义x 是与实数x 的距离最近的整数（当x 为两相邻整数的算术平均值时，则x 取较大整数），如451,2,22,2.5333====‖‖‖‖，令函数()K x x =，数列{}n a 的通项公式为n a =其前n 项和为n S ，则4S =__________；2023S =__________.四、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin sin 1sin sin sin sin A b BB C b A c B+=++(1)求角C ；(2)CD 是ACB ∠的角平分线，若CD =，ABC的面积为c 的值. 18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,(1)n S a n n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭的公差为13的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：121112na a a ++⋅⋅⋅+< 19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD 是斜边PA的长为E ，F 分别是棱PA ，PC 的中点，M 是棱BC 上一点(1)求证：平面DFM ⊥平面PBC ；(2)若直线MF 与平面ABCD EDM 与平面DMF 夹角的余弦值． 20．国家发改委和住建部等六部门发布通知提到：2025年，农村生活垃圾无害化处理水平将明显提升.现阶段我国生活垃圾有填埋､焚烧､堆肥等三种处理方式，随着我国生态文明建设的不断深入，焚烧处理已逐渐成为主要方式.根据国家统计局公布的数据，对2013-2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y （单位：座）进行统计，得到如下表格：(1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y 与变量x 之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）；(2)求出y 关于x 的经验回归方程，并预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；(3)对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用（2）所求的经验回归方程预测吗？请简要说明理由.参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,nii i nii xx y y bay bx xx ==--==--∑∑ 参考数据：88882211112292,204,730348,12041i iii i i i i i y x y x y ========∑∑∑∑257385.84=≈ 21．已知函数()f x ax =(1)当1a =-时，则证明：当1x ≥x .(2)当0a =时，则对任意的1x ≥都有()22x m mf x x -≥-成立，求m 的取值范围.22．已知函数()()ln 1f x x ax =+-在12x =-处的切线的斜率为1．(1)求a 的值及()f x 的最大值． (2)证明：()1111ln 123n n++++>+()*N n ∈ (3)若()()e xg x b x =-，若()()f x g x ≤恒成立，求实数b 的取值范围．参考答案与解析1．C【分析】首先简化集合B ，然后根据并集的定义得结果. 【详解】B={x ∈N|x ＜1}={0}A ∪B={-1，0，1}∪{0}={-1，0，1}． 故选C ．【点睛】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． 2．B【分析】A. 利用空间直线的位置关系判断；B.利用线面垂直的性质定理判断；C.利用平面与平面的位置关系判断；D.利用平面与平面的位置关系判断.故选：B 3．C【分析】根据三角函数的定义直接求得答案.【详解】由题意可知12A ⎛ ⎝⎭则tan 2α=故选：C. 4．B【解析】由题可得,,A B C 三种花灯各至少被抽取一个的情况共有两种，列式计算即可. 【详解】由题意可知,,A B C 三种花灯各至少被抽取一个的情况共有两种：A 种花灯选2个，B 种花灯选1个，C 种花灯选1个； A 种花灯选1个，B 种花灯选2个，C 种花灯选1个.故不同的抽取方法有211121451451304070C C C C C C +=+=(种).故选：B. 5．D【分析】先由奇函数的性质求a ，再由导数的几何意义求切线的斜率.【详解】因为函数()32233f x x ax x =-++是定义在R 上的奇函数所以()()f x f x -=-，即()()()3232233233x a x x x ax x -+-+=----所以3232233233x ax x x ax x -+--= 所以0a =所以()323f x x x =-+，故()263f x x '=-+所以()221f '=-所以函数()f x 的图像在点()()2,2f --处的切线的斜率为21-. 故选：D. 6．C【分析】根据双曲线的离心率求得双曲线C 的方程，求得双曲线右焦点到渐近线的距离，结合双曲线的定义求得所求的最小值.【详解】由题意可知1,ca e c a====2224,2b c a b =-=∴= 双曲线方程为22:14y C x -=，一条渐近线方程为20x y -=焦点)2F 到渐近线20x y -=的距离为2==d 22PF a PF =+，2PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为2d =所以PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为224a +=. 故选：C 7．C【分析】根据三角函数的性质，利用整体思想，由单调区间与周期的关系，根据零点与对称轴之间的距离，表示所求参数，逐个检验取值，可得答案.【详解】由f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，即12618T ππ≥-，可得29T π≥，则ω≤9；∵4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴根据三角函数的图象可知零点与对称轴之间距离为：()1214T k ⨯-，k ∈N *．要求ω最大，则周期最小，∴()12142k T π-⨯=，则T 221k π=-；∴ω＝2k ﹣1；当9ω=时，则由2πϕ≤，则4πϕ=-，可得()cos 94f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭易知()f x 在5,1836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单减，在5,366ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，不合题意； 当7ω=时，则由2πϕ≤，则4πϕ=，可得()cos 74f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭易知()f x 在3,1828ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单减，在3,286ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，不合题意；当5ω=时，则由2πϕ≤，则4πϕ=-，可得()cos 54f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭易知()f x 在,186ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单减，符合题意；故选：C ． 8．C【分析】根据原点对称的性质，求出当40x -≤<时函数关于原点对称的函数，条件转化为函数()log a f x x =与|3|,(04)y x x =--+≤≤只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合的方法，再结合对数函数的性质进行求解即可【详解】当40x -≤<时，则函数|3|y x =+关于原点对称的函数为|3|y x -=-+，即|3|,(04)y x x =--+≤≤ 若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价于函数()log a f x x =与|3|,(04)y x x =--+≤≤只有一个交点，作出两个函数的图象如图：若1a >时，则()log a f x x =与函数|3|,(04)y x x =--+≤≤有唯一的交点，满足条件； 当4x =时，则|43|1y =--+=-若01a <<时，则要使()log a f x x =与函数|3|,(04)y x x =--+≤≤有唯一的交点则要满足(4)1f <-，即1log 41log a a a -<-=解得故114a <<； 综上a 的取值范围是()1,11,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭故选：C 9．BC【分析】A ：根据频率直方图中，所有小矩形的面积之和为1，进行求解判断即可； B ：根据众数的定义，结合频率直方图进行判断即可； C ：根据直方图，结合题意进行判断即可；D ：根据中位数的定义，结合结合频率直方图进行判断即可. 【详解】A ：因为频率直方图中，所有小矩形的面积之和为1所以(0.080.160.30.520.30.120.080.04)0.510.4a a ++++++++⨯=⇒= 因此本选项说法不正确；B ：分布在[)13.5,14小组的矩形面积最大，因此众数出现在这个小组内，因此估计众数为13.51413.752+=，因此本选项说法正确； C ：高三男生100米体能测试成绩不大于13秒的小组有：频率之和为：(0.080.160.3)0.50.27++⨯=因此估计估计本校高三男生100米体能测试成绩不大于13秒的人数为0.2720054⨯=，所以本选项说法正确；D ：设中位数为b ，因此有(0.080.160.30.4)0.50.52(13.5)0.513.56b b +++⨯+-=⇒≈ 所以本选项说法不正确 故选：BC 10．BC【分析】根据函数的解析式逐个判定即可. 【详解】对A, ()f x 的值域为{}0,1,故A 错误. 对B, ()f x 定义域为R .故B 正确.对C,当x 是有理数时1x +也为有理数,当x 是无理数时1x +也为无理数故()()1f x f x +=成立.故C 正确. 对D, 因为()01f =,故D 错误. 故选：BC【点睛】本题主要考查了新定义函数性质的判定,属于基础题. 11．ACD【分析】根据题意求出p 的值，判断A ；根据直线和圆相切求出直线的斜率，判断B ；设直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，求出以,A B 为切点的抛物线的两条切线的方程，结合根与系数的关系求得点P 坐标，判断C ；求出弦AB 的长以及弦AB 的中点到抛物线准线的距离，即可判断D.【详解】对于A ，由题意拋物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 与圆22:(2)1M x y ++=上点的距离的最小值为2 即F 与圆上的点(0,1)-的距离为2，则||1,2OF p =∴=，A 正确；对于B ，过点(0,1)F 的动直线l 与M 相切时，则斜率必存在，设l 的方程为1y kx =+1=，解得k =B 错误；对于C ，设1122,,(()A x y B x y ),，由24x y =可得12y x '=联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩ 消掉x 得2440x kx --= 216(1)0k ∆=+>所以12124,4x x k x x +==-设在点,A B 的切线斜率分别为12,k k ，则1212,22x x k k == 所以抛物线在点A 点的切线方程为111()2x y y x x -=-，即21124x x y x =-①同理可得在点B 的切线方程为 22224x x y x =-②由①②可得1222P x x x k +==，将122P x x x +=代入①得1214p x xy ==-所以P 点坐标为(21)k -，，即点P 在定直线1y =-上，C 正确；对于D ，由题意知12||42AB x x p k =++=+ AB 的中点的横坐标为124222x x kk +== 可得AB 的中点到抛物线准线1y =-的距离为121||2k AB +=则以线段AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，故D 正确 故选：ACD 12．BCD【分析】A 选项由等体积法11M AND D AMN V V --=求得点M 到平面1AND 的距离即可；B 选项由外接球的直径为体对角线即可判断；C 选项由面1AND 经过外接球球心求得其外接圆圆心，即可求解；D 选项将球面与正方体的表面相交所得的曲线分为两类，按照弧长公式计算即可.【详解】1111211112,2242228AND ANM AD S S =⨯⨯==⨯⨯=，设M 到平面1AND 的距离为d ，由11M AND D AMN V V --=，即1111133AND ANM d S D A S ⨯⨯=⨯⨯，解得4d =，故A 错误；正方体1111ABCD A B C D -=外接球的体积为343π⨯=⎝⎭故B 正确；易得面1AND 经过正方体1111ABCD A B C D -其圆的面积为34π，故C 正确； 如图球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B ､面ABCD 和面11AA D D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C ､面11CC D D 和面1111D C B A 上.在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上因为1A E ==，则16A AE π∠=，同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 的长为6π=，而这样的弧共有三条. 在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，则小圆的圆心为B ，半径为1BF A E ==所以弧FG 2π=，这样的弧也有三条.于是，所得的曲线长33=D 正确. 故选：BCD. 13．34-##0.75-【分析】根据任意角三角函数的概念，可得3tan 4α=-，再利用诱导公式对原式化简，可得原式等于tan α，由此即可求出结果.【详解】因为角α终边与单位圆相交于点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3tan 4α=-又()()()()()()()()sin 2sin sin 3sin sin 2cos 4sin 2cos 4ππαπαπαπααπαπαπαπ⎡⎤⎡⎤++-++--⎣⎦⎣⎦=-+---++()()sin sin sin sin tan sin cos sin cos πααααααααα+-===--所以()()()()sin 3sin 3sin 2cos 44παπααπαπ+--=--+--.故答案为：34-14．40【分析】由1()(2)n a x x x x +-的展开式中的各项系数的和为2，令x =1，求得1a =，写出51(2)x x-的展开式的通项，分别乘以x ，1x再令x 的指数为0求得r 值，则展开式中的常数项可求． 【详解】解：由1()(2)n a x x xx+-的展开式中的各项系数的和为2 令1x =，得5(1)12a +=，得1a =． ∴5111()(2)()(2)n a x x x x xxxx+-=+-51(2)x x-的通项55521551(2)()(1)2,0,1,2,3,4,5r r r r r r r r T C x C x x r ---+=-=-⋅⋅⋅=．∴511()(2)x x x x+-的展开式中的通项有5625(1)2r r r r C x ---⋅⋅⋅和5425(1)2r r r r C x ---⋅⋅⋅．令420r -=，得2r =，则展开式中的常数项为2325(1)280C -⋅⋅=； 令620r -=，得3r =，则展开式中的常数项为3235(1)240C -⋅⋅=- 所以该展开式的常数项为80-40=40. 故答案为：40． 15．-4【分析】对函数求导可得：22()x bx af x x++'=，函数()f x 在区间[1,2]上单调递增等价于()f x '在区间[1,2]上大于等于零恒成立，即220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立，利用二次函数的图像讨论出a ，b 的关系，再结合线性规划即可得到4a b +的最小值． 【详解】 函数21()ln 22f x a x x bx =++在区间[1,2]上单调递增 ∴22()20a x bx af x x b x x ++'=++=≥在区间[1,2]上恒成立，即220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立，令2()2h x x bx a =++，其对称轴：x b =-当1b -≤，即1b ≥-时，则220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立等价于：1(1)210b h a b ≥-⎧⎨=++≥⎩ 由线性规划可得：min (4)14(1)3a b +=+⨯-=-当2b -≥，即2b ≤-时，则220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立等价于：2(2)440b h a b ≤-⎧⎨=++≥⎩ 由线性规划可得：min (4)44(2)4a b +=+⨯-=-当12b <-<，即21b -<<-时，则220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立等价于：221()0b h b a b -<<-⎧⎨-=-≥⎩ 则244a b b b +≥+，由于24b b +在21b -<<-上的范围为(4,3)--，则443a b -<+<-综上所述4a b +的最小值是-4.【点睛】本题考查导数与函数单调性、线性规划、函数与不等式等知识，考查学生综合运用数学知识的能力，运算能力以及逻辑思维能力，属于难题． 16． 3400345【分析】根据数列新定义可知数列n a =()11111111111111,1,(,,,),(,,,,,),,(,,,)2222333333n nn，且满足第n 组有2n 个数，且每组中所有数之和为122n n⨯=，即可求解. 【详解】因为()()123411111,1,,,2122a a a a K K ======== 所以41111322S =+++=；根据()K x x =以此类推，将n a =()11111111111111,1,(,,,),(,,,,,),,(,,,)2222333333n nn第n 组有2n 个数，且每组中所有数之和为122n n⨯=设2023a =1n +组中则(22)20232n n+≤，可得(1)2023n n +≤解得44n ≤ 所以(20231140032444345452023S K=+=⨯+⨯=故答案为：3 40034517．(1)3C π=；(2)c =【分析】（1）先由正弦定理得21a b b c ba cb+=++，化简整理得222a b c ab +-=，再由余弦定理求得cos C ，即可求解；（2）先由面积求得8ab =，再由角平分线得AD b BD a=，结合平面向量得a bCD CA CB a b a b =+++，平方整理求得6a b +=，再由（1）中222a b c ab +-=即可求出c 的值.【详解】（1）由正弦定理得21a b b c ba cb+=++，即1a b b c a c +=++，整理得()()()()a a c b b c a c b c +++=++ 化简得222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，又()0,C π∈，则3C π=；（2）由面积公式得11sin 22ab C ab ==，解得8ab =，又CD 是ACB ∠的角平分线，则1sin261sin 26ACD BCDCA CD SCA AD SCB BD CB CD ππ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅ 即AD b BD a =，则()b b a b CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB a b a b a b a b=+=+=+-=+++++ 所以()()()2222222222a b a ab b CD CA CB CA CA CB CB a b a b a b a b a b ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪++⎝⎭+++，即()()()2222222162132a b ab a b ab a b a b a b =+⋅⋅++++ 整理得()2221633a b a b =+，又8ab =，解得6a b +=，则()222220a b a b ab +=+-= 由（1）知22220812c a b ab =+-=-=，则c =.18．(1)2n a n =；(2)证明见解析.【分析】（1）利用题意建立等式求出n S ，然后利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出通项即可；（2）先将2221111123n+++⋅⋅⋅+放大为11111223(1)n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯-，然后裂项求和即可. 【详解】（1）因为11a =，所以11122S =⨯ 又因为(1)n S n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是公差为13的等差数列，所以11(1)(1)23n S n n n =+-+ 所以1(1)(21)6n S n n n =++.当2n ≥时，则21,1n n n a S S n n -=-==时，则11a =也满足上式.所以{}n a 的通项公式是2n a n =；（2）当1n =时，则1112a =<，不等式成立； 当2n ≥时，则22212111111111111231223(1)n a a a n n n++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+⨯⨯- 11111111222231n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.19．(1)证明见解析【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得PD ⊥平面ABCD ，从而PD BC ⊥，又BC CD ⊥，由线面垂直的判定定理得BC ⊥平面PCD ，则BC DF ⊥，又DF ⊥PC ，得DF ⊥平面PBC ，根据面面垂直的判定定理即可证得结论；（2）取CD 的中点N ，则//NF PD ，112NF PD ==结合（1）得NF ⊥平面ABCD ，结合线面角的定义得FMN ∠是直线MF 与平面ABCD 所成角，求得MN ，MC ，建立空间直角坐标系，分别求出平面EDM 、DMF 的法向量，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）因为PAD 是斜边PA的长为PD DA ⊥ 2PD DA == 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD DA =，PD ⊂平面PAD ∴PD ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，∴PD BC ⊥又BC CD ⊥，PD CD D ⋂=和,PD CD ⊂平面PCD ，∴BC ⊥平面PCD 因为DF ⊂平面PCD ，∴BC DF ⊥∵PD DC =，F 是棱PC 的中点，∴DF ⊥PC又⋂=PC CB C ，,PC CB ⊂平面PBC ，∴DF ⊥平面PBC ． 又DF ⊂平面DFM ，∴平面DFM ⊥平面PBC ． （2）如图，取CD 的中点N ，连接MN ，NF则//NF PD 112NF PD == 由（1）知PD ⊥平面ABCD ，∴NF ⊥平面ABCD ∴FMN ∠是直线MF 与平面ABCD 所成角 ∴1tan FMN MN ∠==∴MN 23MC =以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系设平面EDM 的法向量为(),,m a b c =，平面DMF 的法向量为(),,n x y z = 则02023DE m a cDM m a b⎧=⋅=+⎪⎨=⋅=+⎪⎩，令3a =-，则()3,1,3m =- 有02023DF n y zDM n x y ⎧=⋅=+⎪⎨=⋅=+⎪⎩，令3x =-，则()3,1,1n =--∴cos 19m n m n m n⋅⋅===⋅∴平面EDM 与平面DMF ． 20．(1)答案见解析(2)ˆ41.12101.46yx =+ 513 (3)答案见解析【分析】（1）根据相关系数的公式，即可代入求值，根据相关系数的大小即可作出判断 （2）利用最小二乘法即可计算求解（3）根据相关关系不是确定的函数关系，而受多因素影响，即可求解. 【详解】（1）1234567892292573,8282x y +++++++====相关系数()()88niii ix x y y x y x yr ---⋅==∑∑957312041817270.9820.585.84-⨯⨯=≈≈⨯因为y 与x 的相关系数0.98r =，接近1，所以y 与x 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.（2）()()()8118222118ˆ8n iii ii i niii i x x y y x y x ybx x xx====---⋅==--∑∑∑∑957312041817272241.12814220484-⨯⨯==≈-⨯ 5739ˆˆ41.12101.4622ay bx =-≈-⨯= 所以y 与x 的线性回归方程为ˆ41.12101.46yx =+ 又2022年对应的年份代码10x =，当10x =时，则41.1210101.46512.6513ˆ6y=⨯+=≈ 所以预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数为513.（3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，不能由（2）所求的线性回归方程预测，理由如下（说出一点即可）：①线性回归方程具有时效性，不能预测较远情况；②全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数有可能达到上限，一段时间内不再新建； ③受国家政策的影响，可能产生新的生活垃圾无害化处理方式. 21．(1)证明见解析. (2)[2,1]-【分析】（1）方法1：由分析法可证得结果. 方法2：换元法求()f x 的最大值即可证得结果.（2）设出不等号两边的函数，转化为对任意的1x ≥都有()()g x h x ≥成立，对参数分类讨论，分别研究两个函数的单调性、最值即可. 【详解】（1）方法1：∵1x ≥ ∴2(1)0x -≥ ∴原命题得证. 方法2：对称轴1t =，()h t 在[1,)+∞上单调递减 ∴max ()(1)0h t h ==∴()0h t ≤，即：当1x ≥时，则()0f x ≤恒成立即：当1x ≥x .（2）当0a =时，则()f x =即：对任意的1x ≥都有22x m x -≥成立令22()g x x m =-， ()h x x = 即：对任意的1x ≥都有()()g x h x ≥成立 当1x =时，则211m m -≥-，故21m -≤≤. ①当20m -≤≤时，则()g x 在[1,)+∞上单调递增∴2min ()(1)1g x g m ==-，∴2()1g x m ≥-()h x 在[1,)+∞上单调递减，∴max ()(1)1h x h m ==-，∴()1h x m ≤-此时2min max ()()20g x h x m m -=--≥∴min max ()()g x h x ≥即()()g x h x ≥，故20m -≤≤符合.②当01m <≤时，则由（1）知1x ∀≥x ≤恒成立∴1x ∀≥ mx x ≤∴1x ∀≥，0x ≤ 即：1x ∀≥ ()0≤h x又∵()g x 在[1,)+∞上单调递增，∴2min ()(1)1g x g m ==-，∴2()10g x m ≥-≥∴1x ∀≥ ()()g x h x ≥ ∴01m <≤符合. 综述：21m -≤≤【点睛】对于x D ∀∈，()()f x g x ≥恒成立求参数，可以先取特殊值确定参数的初步范围，再利用下面的两种方法.方法1：当x D ∈时，则min [()()]0f x g x -≥； 方法2：当x D ∈时，则min max ()()f x g x ≥. 求最值的方法：方法1：分离参数求最值；方法2：分类讨论研究函数的最值.22．(1)1a = max (0)f x =；(2)证明见解析；(3)[)0,∞+【分析】（1）由题意可得112f ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭，可求出a 的值，然后利用导数求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值；（2）由（1）得()ln 1x x +≤，令()1N x k k *=∈，则有11ln 1k k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，然后利用累加法可证得结论； （3）由于()()00,0f g b ==，所以()()f x g x ≤恒成立，则0b ≥，然后分0b =和0b >两种情况讨论即可.【详解】（1）函数的定义域为()()11,,1f x a x'-+∞=-+． 由已知得112f ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭，得11112a -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭，解得1a =． 此时()()()1ln 1,111x f x x x f x x x-'=+-=-=++． 当10x -<<时，则()0f x '>，当0x <时，则()0f x '<所以()f x 在(1,0)-上单调递增，()f x 在(0,)+∞单调递减所以()max ()00f x f ==；（2）由（1）得()ln 1x x +≤，当且仅当0x =时，则等号成立 令()1N x k k *=∈，则11ln 1k k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭ 所以()()1ln 1ln 1,2,3,,k k k n k >+-=将上述n 个不等式依次相加，得()1111ln 123n n++++>+； （3）因为()()00,0f g b ==，若()()f x g x ≤恒成立，则0b ≥①0b =时，则显然成立②0b >时，则由()()e x g x b x =-，得()()e 1x g x b '=-．当()1,0-时，则()()0,g x g x '<单减，当()0,x ∈+∞时，则()()0,g x g x '>单增所以()g x 在0x =处取得极小值，即最小值()()min ()00g x g b f x ==>≥，即()()f x g x ≤恒成立综合①②可知实数b 的取值范围为[)0,∞+.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数证明不等式，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是先由()()00,0f g b ==，从而可得0b ≥，然后分情况讨论即可得答案，考查数转化思想，属于较难题.。
2020年湖南省第二次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年湖南省第二次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合y x y x M ,|),{(=为实数,且}222=+y x ,y x y x N ,|),{(=为实数, 且}2=+y x ,则N M 的元素个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．若复数满足3(1)12i z i +=-,则z 等于（ ）A ．32 C ．2D ．123. 已知直线l 和平面,αβ，且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 函数1tan()23y x π=+的最小正周期为（ ） A.4π B. 2πC. πD. 2π5. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 966. 函数x x x x x f 22cos 3cos sin 2sin )(++=的最小正周期和最小值分别是（ ） A. π，0B. 2π，0C. π，22-D. 2π，22-7.如图所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）B.3D.838. 已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（ ）A. B.C. D.9. 若x 、y 满足约束条件，则z=3x-2y 的最小值为（ ）A. B. C. D. 510. 设，则的大小关系为（ ）A. B.C.D.11.直线是抛物线在点处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于( ) A.B.C.D.12. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是( ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年湖南省永州市冷水滩第二中学高三数学文模拟试卷含解析
2019-2020学年湖南省永州市冷水滩第二中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 的展开式中的常数项为（）A．20 B．－20 C．40 D．－40参考答案：C的二项展开的通项为：..由.可知要求的展开式中的常数项，只需找到的和的项即可.令，得，令，得，此时常数项为：.2. 已知向量均为单位向量，若它们的夹角为60°，则等于（）A. B. C. D. 4参考答案：A3. 已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，则下列四个命题中真命题的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若α∥β，α∩γ=m，β∩γ= n，则m∥nD．若mα，nβ，m∥n，则α∥β参考答案：C可以利用作图排除法得到C是正确的，因此选C.4. 函数的定义域为A. {x|x>1}B.{x|x<1}C. {x|－1<x<1}D. 参考答案：B略5. 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的( )A. 预报变量在轴上，解释变量在轴上B .解释变量在轴上，预报变量在轴上C .可以选择两个变量中任意一个变量在轴上D. 可以选择两个变量中任意一个变量在轴上参考答案：B略6. 函数y=e x+m（其中e是自然对数的底数）的图象上存在点（x，y）满足条件：则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2e﹣e2] B．[2﹣e2，﹣1] C．[2﹣e2，2e﹣e2] D．[2﹣e2，0]参考答案：D【考点】指数函数的图象变换．【专题】作图题；函数的性质及应用．【分析】根据的图象判断，结合指数函数的图象的变换求解．【解答】解：根据画图如下∵函数y=e x+m（其中e是自然对数的底数）的图象上存在点（x，y）满足条件，∴B（2，2），过B点时，2=e2+m，m=2﹣e2，∵y=e x+m，y′=e x，∴y′=e=，x0=1，y=ex，y=e∵y=e1+m，∴m=0，∴y=ex与e x+m相切时，m最大．2﹣e2≤m≤0，∴实数m的取值范围[2﹣e2，0]故选：D【点评】本题考察了指数函数的图象的变换，和线性规划问题，属于中档题．7. 设，则“”是“直线与直线平行”的A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B略8. 对任意两个非零的平面向量和，定义；若平面向量满足，与的夹角，且，都在集合中，则A．B．C．D．参考答案：B9. 曲线C：y = x2+ x 在x = 1 处的切线与直线ax－y+1= 0互相垂直，则实数a的值为（）A．B．－3 C．D．－参考答案：D略10. 已知集合，则M∩N=（）A. [0,1]B. [1,2)C. [1,2]D. [0,2)参考答案：B【分析】化简集合和集合，根据集合的交集计算即可.【详解】由得，所以，由得，所以，故，所以选B.【点睛】本题主要考查了集合的概念，集合的交集运算，涉及函数定义域的相关知识，属于中档题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 使成立的的取值范围是参考答案：答案：（-1，0）12. 已知α是第二象限角，且sinα=，则tan（α+）= ．参考答案：【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由同角三角函数基本关系可得tanα，代入两角和的正切公式可得．【解答】解：∵α是第二象限角sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣，∴tan（α+）==．故答案为：【点评】本题考查两角和的正切公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．13. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣3，a k+1=，S k=﹣12，则正整数k= ．参考答案：13【考点】等差数列的性质．【分析】由已知条件，利用等差数列的前n项和公式得到S k+1=（﹣3+）=﹣12+，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=﹣3，a k+1=，S k=﹣12，∴S k+1=（﹣3+）=﹣12+，解得k=13．故答案为：13．14. 如图所示，椭圆的左，右顶点分别为，线段是垂直于椭圆长轴的弦，连接相交于点，则点的轨迹方程为____________．参考答案：故填：.考点：1.轨迹方程；2.椭圆方程.【方法点睛】本题考查了交轨法求轨迹方程，属于中档题型，首先根据和两点的坐标，表示直线和,然后两个方程消参后就是交点的轨迹方程，消参多选择的方法多采用代入消参，或四则消参，比如两个式子相加，相减，或相除，相乘，再根据点在抛物线上，得到轨迹方程.15. 已知集合A={1，2，3，4}，B={m，4，7，8}，若A∩B={1，4}，则A∪B=．参考答案：{1，2，3，4，7，8}【考点】并集及其运算．【分析】先通过A∩B={1，4}得出m=1，再求得集合A，B，再取并集．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={m，4，7，8}，A∩B={1，4}，∴m=1，∴B={1，4，7，8}，∴A∪B={1，2，3，4，7，8}故答案为：{1，2，3，4，7，8}16. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和，该数列是一个非常美丽和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着数列线束的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割，人们称该数列为“斐波那契数列”，若把数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成先数列，在数列中第2014项的值是参考答案：317. 已知正数x、y满足，则的最小值为____________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020届湖南省永州市祁阳县高三上学期第二次模拟数学（文）试题
2020届湖南省永州市祁阳县高三上学期第二次模拟数学（文）试题一、单选题1．已知复数z 满足(2)5i z -=,则=z （ ） A ．2i + B ．2i -C ．2i --D ．2i -+【答案】A【解析】分析：由()2i 5z -=，得52iz =-，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z 即可.详解：由()2i 5z -=，得()()()52i 52i 2i 2i 2i z +===+--+，故选A. 点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．设集合(){}{}30,1A x x x B x x =-≥=<，则A B =（ ）A ．(][),03,-∞⋃+∞B ．()[),13,-∞+∞C ．(),1-∞D ．(],0-∞【答案】D【解析】集合(){}{|30|0A x x x x x =-≥=≤或}{}3,|1x B x x ≥=<，则(],0A B ⋂=-∞，故选D.3．在平面直角坐标系中，点22(cos ,sin )55P ππ是角α终边上的一点，若[0,)απ∈，则α=( ) A ．5π B ．25π C ．35πD ．310π 【答案】B【解析】首先根据25π的余弦值和正弦值的符号，判断出点P 所属的象限，再根据三角函数的定义确定出角的大小，得出结果.【详解】 因为22cos0,sin 055ππ>>，所以角α的终边落在第一象限， 并且根据角的三角函数值的定义，22(cos ,sin )55P ππ， 结合[0,)απ∈，得出25απ=， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关根据角的终边上一点的坐标确定角的大小的问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，属于简单题目.4．等比数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3123S a a =+，48a =，则1a =（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】A【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，31243,8S a a a =+=，2111113138a a q a q a a q a q ⎧++=+∴⎨=⎩，解得121q a =⎧⎨=⎩，故选A.5．已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A ．15BC．D【答案】B【解析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】2sin 2cos21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ． 【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．6．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞内单调递减，则（ ） A ．23(log 3)(log 2)(0)f f f -<< B ．32(log 2)(0)(log 3)f f f <<- C ．32(0)(log 2)(log 3)f f f <<- D ．32(log 2)(log 3)(0)f f f <-<【答案】A【解析】根据奇偶性可知()()22log 3log 3f f -=，通过对数函数单调性可知23log 3log 20>>，进而根据()f x 在[)0,+∞上单调递减得到大小关系.【详解】()f x 为定义在R 上的偶函数 ()()22log 3log 3f f ∴-=233log 31log 2log 10>>>=且()f x 在[)0,+∞上单调递减()()()23log 3log 20f f f ∴<<，即()()()23log 3log 20f f f -<<本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小关系，关键是能够利用奇偶性将自变量化到同一个单调区间内，进而根据单调性得到函数值的大小关系.7．设0.1323,log log a b c ===,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】C【解析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，即可得出,,a b c 的大小关系. 【详解】因为0.10331a =>=，331log log 2b =<=，221log log 2c =>=， 所以b c a <<，故选C. 【点睛】该题考查的是有关指数幂与对数值的比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数和对数函数的性质，应用中介值比较，属于简单题目.8．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，3BC EC =，F 为AE 的中点，则BF =（ ）A ．1233AB AD - B ．2133AB AD -+ C ．1233AB AD -+D ．2133AB AD -【答案】B【解析】利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得. 【详解】 由图可知：BF =12BA +12BE ，BE =23BC ，BC =AC ﹣AB ，AC =AD +DC ，DC =12AB ， ∴BF =﹣12AB +13（AD +12AB ﹣AB ）=﹣23AB +13AD ，故选B ．【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．函数()()ln xxf x e e x -=+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据题意，求出函数的定义域{}|0x x ≠，分析可得()f x 为偶函数，进而分析可得当1x >时，()0f x >，当01x <<时，()0f x <，当0x →时，()f x →-∞，分析选项，从而选出正确的结果. 【详解】根据题意，函数的定义域{}|0x x ≠，因为()()ln x xf x e e x -=+，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除B 项，当1x >时，()0f x >，当01x <<时，()0f x <，排除,A C 选项， 当0x →时，()f x →-∞，所以D 项是正确的， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关函数图象的选择问题，在选择的过程中，注意从函数的定义域，图象的对称性，函数值的符号，函数图象的变化趋势，属于简单题目.10．命题p ：“0πx 0,4⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，00sin2x cos2x a +>”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a 1< B ．a 2<C ．a 1≥D ．a 2≥【答案】D 【解析】“0000,,2cos 24x sin x x a π⎡⎤∃∈+>⎢⎥⎣⎦”是假命题，等价于0,,2cos 24x sin x x a π⎡⎤∀∈+≤⎢⎥⎣⎦是真命题，由2cos 224sin x x x a π⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭，得：24sin x π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：32,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故24sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值是11≥，解得a ≥ D.11．将函数()2cos2f x x x =+的图象向右平移6π，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 1+B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．函数()g x 的图像关于直线3x π=对称 【答案】C【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，然后利用三角函数的变换求解()g x ，再根据正弦函数的性质进行判断即可．【详解】化简得()cos22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，向右平移6π后可得2sin 22sin 2666x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标长度不变）得到函数()g x ， 所以()2sin 6g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由三角函数性质知：()g x 的最大值为2，故A 错； 最小正周期为2π，故B 错；对称轴为2623x k x k πππππ-=+∴=+，，k Z ∈，给k 赋值，x 取不到3π，故D 错；又-2π262k x πππ+≤-≤2k π+，则-3π223k x ππ+≤≤2k π+，k Z ∈，∴单调增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，当k=0时，单调增区间为222,,,336333ππππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，，故C 正确， 故选C. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，两角和与差的三角函数，三角函数的性质的应用，属于基础题．12．高斯函数()[]f x x =（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），若函数()2x x g x e e -=--的零点为0x ，则()0g f x =⎡⎤⎣⎦（ ）A ．12e e-- B ．2-C ．12e e-- D ．2212e e -- 【答案】B【解析】先判断()2xxg x e e-=--的单调性，再由零点存在定理，得到零点0x 所在范围，然后从内到外求函数值. 【详解】 因为()2x xg x e e-=--， 所以()0xxg x e e-+'>=，所以()g x 在R 上是增函数.而()()0110220,120-=--=-<=-->g e e g e e ，所以()00,1x ∈， 所以()00[]0==f x x ， 所以()()002g f x g ==-⎡⎤⎣⎦. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的零点及取整函数，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于___________. 【答案】45【解析】根据等差数列的性质有2852a a a +=，再结合条件28515a a a +=-，求得5a ，最后由()19595992922a a a S a +⨯===求解. 【详解】由等差数列的性质得：2852a a a +=， 又因为28515a a a +=-， 所以55152=-a a ， 解得55a =， 所以()1959599294522+⨯====a a a S a . 故答案为：45 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，还考查了转化问题和运算求解的能力，属于中档题. 14．在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A = ___________.【答案】5 【解析】【详解】()3,1AC AB AD =+=-，所以()()2,13,15AD AC ⋅=⋅-=，故填：5.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2n n a b n =-920n +-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为________．【答案】{5,6}【解析】利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到12n na ，进而得到nb ；利用10nnb b 可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】当1n =时，1111a S a λ==- 11λ∴-=，解得：2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-1122n n nn n a S S a a ，即：12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列12n na2920n n a b n n =-+- 219202n n n n b --+-∴=()()222111912092011280222n n n n nn n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n > ()()21128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<又n *∈N 5n ∴=或6∴满足条件的n 的取值集合为5,6本题正确结果：5,6 【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识；关键是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果.16．已知函数()()()23222,033,0x a x x f x x a x ax x ⎧-+-≤⎪=⎨-++>⎪⎩，若曲线()y f x =在点()(),i i i P x f x ，（1,2,3i =，其中123,,x x x 互不相等）处的切线互相平行，则a 的取值范围是__________. 【答案】()1,2- 【解析】【详解】函数()()()()()2232222,022,0,'361,033,0x a x x a x x f x f x x a x a x x a x ax x -+-≤⎧-+-≤⎧⎪=∴=⎨⎨-++>-++>⎪⎩⎩， 曲线()y f x =在点()(),(1,2,3i i i P x f x i =,其中123,,x x x 互不相等）处的切线互相平行，即()'y f x =在点()(),i i i P x f x 处的值相等， 画出导函数()'y f x =的图象，如图，当0x ≤时，()'22222f x x a a =-+-≥-，∴当0x >时，()'f x 必须满足，22,1210a a a a >-⎧∴-<<⎨+>⎩，故答案为()1,2-.三、解答题17．已知向量(3,2)a =，(1,2)b =-． （1）求+2a b 的值；（2）若(+)a mb b ⊥，求m 的值． 【答案】(1)237a b +=;(2)15m =-. 【解析】（1）首先求2a b +的坐标，然后根据模的计算公式求解；（2）首先求a mb +的坐标，然后根据向量数量积的坐标表示垂直关系，求解m 的值. 【详解】（1）由已知得()21,6a b +=，所以237a b +=． （2）依题意得()3,22a mb m m +=-+ ， 又()+a mb b ⊥，∴ ()+?0a mb b =，即()()132220m m --++=，解得15m =-． 【点睛】本题重点考查向量数量积的坐标表示，属于基础题型. 18．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且3cos 2sin()102A A π+-+=． (1)求角A 的大小；(2)若ABC ∆的面积S =3b =,求sin C 的值． 【答案】(1) 3A π=．(2) sin 13C =【解析】(1)利用倍角公式和诱导公式化简题设中的三角函数式，从而可得A 的值. (2)先求c ，再利用余弦定理求出a ，最后利用正弦定理求出sin C . 【详解】 (1)∵3cos 2sin()102A A π+-+=, ∴cos2cos 10A A -+=，可得22cos cos 0A A -=， 解得1cos 2A =，或cos 0A =. ∵ABC ∆为锐角三角形，∴1cos 2A =，∴3A π=． (2)∵113sin 3322ABC S bc A bc ∆===12bc =. 又3b =,可得4c =.在ABC ∆中，由余弦定理可知，22212cos 169243132a b c bc A=+-=+-⨯⨯⨯=，∴a =.在ABC ∆中，由正弦定理可知sin sin ac A C=,4sin sin c A C a ===. 【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理. 19．已知函数())1cos cos 2f x x x x =-+. （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）将函数()y f x =的图像向左平移6π后得到函数()y g x =，若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()2c g x c <<+恒成立，求实数c 的取值范围． 【答案】(1)13f π⎛⎫=⎪⎝⎭. (2) 11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将()f x 化简为sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭，代入3x π=即可求得结果；（2）根据三角函数左右平移原则可得()g x 解析式，利用x 的范围求出26x π+的范围，结合正弦函数的图象可得()g x 的值域；由不等式恒成立可得c 、2c +与()g x 最小值和最大值之间的关系，解不等式组求得结果. 【详解】（1）()211cos cos sin 2cos 2sin 22226f x x x x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭ 2sin sin 13362f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()sin 2sin 26366g x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 即()112g x -≤≤ 又()2c g x c <<+恒成立 1221c c ⎧<-⎪∴⎨⎪+>⎩，解得：112c -<<-∴实数c 的取值范围为：11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查三角函数值的求解、正弦型函数在区间内的值域的求解；涉及到利用二倍角和辅助角公式化简三角函数式、三角函数的平移变换等知识；解决本题中恒成立问题的关键是找到不等式上下限与三角函数最值之间的关系，从而构造不等式组求得结果.20．在等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，且满足42a =，232637225a a a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当312123n S S S S n+++⋯+取最大值时，求n 的值．【答案】（1）52nn a -=（2）n 的值为8或9【解析】（1）根据等比数列的性质化简2635a a a a =，2375a a a =，联立42a =即可解出答案（2）根据52nn a -=写出5n b n =-，求出292n n n S -=，写出92n S n n -=，再求出其前n 项的和，判断即可。
2020年湖南省永州市新田县第二中学高三数学文模拟试题含解析
2020年湖南省永州市新田县第二中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为( ）A．B． C. D．参考答案：D2. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。
二进制即“逢二进一”，如表示二进制的数，将它转化成十进制的形式是，那么将二进制（共16位）转换成十进制数的形式是（）A． B. C D参考答案：C略3. 下列四个函数①,②,③,④的图像能等分圆的面积的是（）A．②③B．②④ C．②③④ D．①②③④参考答案：D4. 设α是第二象限角，cosα=﹣，则tanα=（）A．B．C．﹣D．﹣参考答案：D【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据题意，利用同角三角函数的基本关系算出sinα，可得tanα．【解答】解：∵α是第二象限角，cosα=﹣，∴sinα==，∴tanα==﹣．故选：D．5. 《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（）A．144种B．288种C．360种D．720种参考答案：A【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、用倍分法分析《将进酒》、《望岳》和另两首诗词的排法数目，②、用插空法分析《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》的排法数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、将《将进酒》、《望岳》和另两首诗词的4首诗词全排列，有A44=24种顺序，由于《将进酒》排在《望岳》前面，则这4首诗词的排法有=12种，②、这4首诗词排好后，不含最后，有4个空位，在4个空位中任选2个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有A43=12种安排方法，则后六场的排法有12×12=144种；故选：A．6. 复数为纯虚数的充要条件是（）A．或 B．或 C． D．参考答案：D略7. 已知的最大值为（）A．0 B． C．2 D．无最大值参考答案：B略8. 设m，n为两条不同的直线，为平面，则下列结论正确的是（）A．，B．，C. ，D．，参考答案：C对于A，若m⊥n，m∥α时，可能n?α或斜交，故错；对于B，m⊥n，m⊥α?n∥α或m?α，故错；对于C，m∥n，m⊥α?n⊥α，正确；对于D，m∥n，m∥α?n∥α或m?α，故错；故答案为：C9. 已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则可以是（）A．4 B．-3 C．D．-2参考答案：D试题分析：由已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则，即，所以或．故选D．考点：平面向量数量积的运算．10. 中，设，那么动点的轨迹必通过的（）A.垂心B.内心C.外心D.重心参考答案：C假设BC的中点是O.则,即，所以,所以动点在线段的中垂线上，所以动点的轨迹必通过的外心，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. .已知sinα-3cosα=0，则=______．参考答案：【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求.可得，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，可得：∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．12. 观察下列不等式：①；②；③；照此规律，第五个不等式为．参考答案：试题分析：左边分子是，右边是，故猜想．考点：合情推理与演绎推理．13. （不等式选讲）若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是_________．参考答案：214. 给出以下四个结论：①函数的对称中心是（﹣1，2）；②若关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是k≥2；③在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC为等边三角形”的充分不必要条件；④若的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后为奇函数，则φ最小值是．其中正确的结论是．参考答案：①【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据函数图象平移变换法则，可判断①；判断x∈（0，1）时，x的范围，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③；根据正弦型函数的对称性和奇偶性，可判断④．【解答】解：①函数=+2，其图象由反比例函数y=的图象向左平移两单位，再向上平移2个单位得到，故图象的对称中心是（﹣1，2），故①正确；②x∈（0，1）时，x∈（﹣∞，0），若关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是k≥0，故②错误；③在△ABC中，“bcosA=acosB”?“sinBcosA=sinAcosB”?“sin（A﹣B）=0”?“A=B”?“△ABC为等腰三角形”，“bcosA=acosB”是“△ABC为等边三角形”的必要不充分条件，故③错误；④若的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后为奇函数，﹣2φ﹣=kπ，k∈Z，当k=﹣1时，φ最小值是，故④错误；故答案为：①【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的对称性，方程的根，函数的值域，充要条件，正弦型函数的图象和性质，难度中档．15. 已知集合，，若集合有且只有一个元素，则实数的取值范围是参考答案：16. =_________．参考答案：817. 已知，则函数的零点的个数为_______个.参考答案：5三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年湖南永州高三二模数学试卷(文科)
平面
，点 在线段 上，且
．5Leabharlann （ 1 ） 证明：平面
．
（ 2 ） 若点 为线段 的中点，且三棱锥
的体积为 ，求 的长度．
20. 已知抛物线
，过点 作直线 交抛物线于 、 两点．
（ 1 ） 证明：
．
（ 2 ） 若直线 的斜率为 ，过点 、 分别作抛物线的切线 ， ，若直线 ， 相交于点 ，直线
， 交 轴分别于点 ， ，求
元的职工中抽取
（ 2 ） 在“双十一”当天网络购物消费金额不低于 元者称为“购物狂”，低于 元者称为“理性 购物者”．已知在抽取的样本中有 名女职工消费不低于 元，请完成上图中的列联表，并判断能否 有 的把握认为“是不是购物狂”与性别有关．
附：参考数据与公式
．
19. 如图所示的几何体
中，
，
，
，
平面
，
14.
解析: ∵角 的终边与单位圆
∴
，
∴
交于点
，
．
15.
11
解析: 由题意可知，该球形容器的半径的最小值为 故该球形容器的表面积的最小值为
， ．
16. 解析: ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 则
，
累加得：
又∵
，
∴
∴
则 的前 项和 ，
∴
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
， ，
，
．
17.（ 1 ） ．
（2） ．
解析:
（ 1 ）∵
（2）
．
解析:
（ 1 ）在
中，
，且
，
，
故
，
∴
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内的肥胖者体重都至少减轻了
（）
5. 椭圆
的左右顶点分别是 ， ，左右焦点分别是 ， ．若
，
，
成等差数列，则该椭圆的离心率为（ ）．
A.
1
B. C. D.
6. 若等边 A. B. C. D.
的边长为 ，点 满足
，则
（ ）．
7. 在正方体 A. B. C. D.
中，直线 与平面
所成角的正切值为（ ）．
）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（ ）所示．
，
，
，
，
，
，
（） 对比健身前后，关于这 名肥胖者，下面结论不正确的是（ ）．
A. 他们健身后，体重在区间
内的人数不变
B. 他们健身后，体重在区间
内的人数减少了 人
C. 他们健身后，这 位健身者体重的中位数位于
D. 他们健身后，原来体重在
时，原不等式即
当
时，原不等式即
∴不等式
的解集为
（ 2 ）∵
（当且仅当
∴
，
∴
时等号成立），
，解得 ，解得
．
，
当且仅当
，即
时等号成立．
， ，
，
17
（ 1 ） 写出直线 的极坐标方程．
（ 2 ） 设动直线 ：
与 ， 分别交于点 、 ，求
． 最大值．
23. 已知函数
．
（ 1 ） 求不等式
的解集．
（ 2 ） 已知
，记函数
．
，且 的最大值为 ，求证：
【答案】
6
1. B 解析: ∵复数 满足 ∴ ， ∴ 故选 ．
， ．
2. C 解析: ∵集合
∴ 故选 ．
从 名职工中选取 名职工的可能情况如下：
，
，
，
，
，
，
，
共 种情况，
其中至少有两名女职工包括 种情况，
所以抽取的 名职工中至少有两名女职工的概率
．
（ 2 ）应抽取男职工：
（人），抽取女职工：
理性购物者
购物狂
男
女
合计
，
因为
，
合计
，
，
（人）， 合计
13
所以有 的把握认为“是不是购物狂”与性别有关．
19.（ 1 ）证明见解析．
元的职工中抽取
（ 2 ） 在“双十一”当天网络购物消费金额不低于 元者称为“购物狂”，低于 元者称为“理性 购物者”．已知在抽取的样本中有 名女职工消费不低于 元，请完成上图中的列联表，并判断能否 有 的把握认为“是不是购物狂”与性别有关．
附：参考数据与公式
．
19. 如图所示的几何体
中，
，
，
，
平面
，
12. A
解析:
时，
时，
∵
，
恒成立， 即
，即
恒成立，
10
∴
，
∴
即可，
时，
，即
，令
，
∵
，
，
∴
时，
恒成立，符合题意；
时，
，
令
，则
，
即 ，使得
，
则
，
，则 单调递减；
，
，则 单调递增，
若
恒成立，
则
综上所述， 故选 ．
即可，显然不成立， ， 的取值范围是 ．
13.
解析:
∵ 为奇函数，
∴
，
又∵当
时，
，
∴
，
．
故答案为： ．
平面
，点 在线段 上，且
．
5
（ 1 ） 证明：
平面
．
（ 2 ） 若点 为线段 的中点，且三棱锥
的体积为 ，求 的长度．
20. 已知抛物线
，过点 作直线 交抛物线于 、 两点．
（ 1 ） 证明：
．
（ 2 ） 若直线 的斜率为 ，过点 、 分别作抛物线的切线 ， ，若直线 ， 相交于点 ，直线
， 交 轴分别于点 ， ，求
14.
解析: ∵角 的终边与单位圆
∴
，
∴
交于点
，
．
15.
11
解析: 由题意可知，该球形容器的半径的最小值为 故该球形容器的表面积的最小值为
， ．
16. 解析: ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 则
，
累加得：
又∵
，
∴
∴
则 的前 项和 ，
∴
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
， ，
，
．
17.（ 1 ） ．
（2） ．
解析:
（ 1 ）∵
， ，
．
3. B
解析:
在等比数列 中，记公比为 ，
，
又∵
，故
，
，
∴
，
解得：
或
故选 ．
（舍去），
4. B
解析:
由（ ）（ ）两个扇形图可知，
健身前：
：
人，
：
人，
：
人，
健身后：
：
人，
7
： ： ∴选项 、 、 正确． ∵健身后体重在区间 故 错误．
人， 人，
的人数增加了 人．
5. B 解析: 由题意可得
即为
即
，
故选 ．
，
，
，
，
．
，
，由
，
，
成等差数列，可得
6. D
解析:
∵
，
∴
，
，
∴
．
故选： ．
7. B 解析: 如图连接 ，
∵
平面
，
8
∴
即为 和平面
所成角，
不妨设
，则有
，
，
∴直线 和平面 故选 ．
所成角的正切值为 ．
8. A
解析:
，
，
，
，
，
则
，
，
∴判断框内应填入
．
故选 ．
； ； ； ； ；
9. C
解析:
的部分图像如右图所示，且
，
，
A. B. C. D.
11. 已知双曲线
A. B. C. D.
12.
的左右焦点分别是 ， ，若双曲线右支上存在一点 ，使得
，则
（ ）．
3
已知函数
A. B. C. D.
，若
，则实数 的取值范围是（ ）．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知函数 为奇函数，且当
10. C
9
解析:
设函数 的最小正周期为 ，由题意得，
，因为
，故
或
，因为
的单调性可知，
，
（舍去）．
故选 ．
，所以
，故
或
，故
或
11. A 解析: 取 的中点 ，连接 ．
，故 ，所以
．结合函数
∵
，
即
，
即
，
．
又双曲线
的实轴长为 ，
设
，则
，
在直角三角形
中，由勾股定理可知：
，解得
或
∴
，
∴
．
故选 ．
． （舍），
的外接圆的方程．
21. 已知函数 （ 1 ） 若函数 （2） 当
．
在定义域内是增函数，求实数 的取值范围．
，求方程
的根的个数．
四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）
22. 在直角坐标系
中，直线 的参数方程为
（其中 为参数）．以坐标原点 为极
点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
∴
，
在
中，由余弦定理可得
,
12
∴ （ 2 ）∵
∴ ∵ ∴ ∴ 在 ∴
． ，
， ， ，
中，由正弦定理可得 ．
， ， ，
,
18.（ 1 ） ．
（ 2 ）有 的把握认为“是不是购物狂”与性别有关．
理性购物者
购物狂
男 女
合计
解析:
（ 1 ）消费不低于 元的共有
（人），
其中女职工 人设为 ， ， ，男职工 人，设为 ， ；
（2）
．
解析:
（ 1 ）在
中，
，且
，
，
故
，
∴
，
在
中，由余弦定理可知，
，
解得
，
∴
，故
，
又∵
平面
，且
平面 ，
∴
，
又∵
，
∴
平面
．
（ 2 ）取 中点 ，连接 ，
由 为线段 的中点，则
，
又∵
平面
，
平面
，
∴
，故
，
由
平面
，
平面
，
∴
平面
，
∴
，
∴
，
又
平面
，则
，
∴
，
解得
．
14
20.（ 1 ）证明见解析．
（2）
．
解析:
对于①：因为当
时，即
，即
或
，
所以若
，则
且
，故①为真命题；
对于②：因为全称命题的否定为特称命题，所以命题
，
的否定为
，
，故②为真命题；
对于③：因为当
时，函数
，
当 为偶数时，
，为奇函数，