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九年级数学提高练习：二次函数应用题：求最值

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二次函数最值练习题

二次函数最值练习题

二次函数最值练习题二次函数是数学中常见的一种函数形式，其图像呈现出拱形，并且具有最值点。

本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用二次函数的最值问题。

1. 题目一：已知函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 5，求该二次函数的最值及对应的 x 值。

解析：首先，我们可以观察到这是一个开口朝上的二次函数，即二次项的系数为正。

根据二次函数的特点，最值点在函数图像的对称轴上，对称轴的 x 坐标可由公式 x = -b / (2a) 求得。

代入 a = 2, b = -3，可以得到对称轴的 x 坐标为 x = -(-3) / (2*2) = 3/4。

接下来，我们可以计算出对称轴上的 y 值，即函数的最值。

将 x =3/4 代入函数 f(x) 中，可以得到最值点的纵坐标 y = 2(3/4)^2 - 3(3/4) + 5 = 7.3125。

因此，该二次函数的最小值为 7.3125，对应的 x 值为 3/4。

2. 题目二：已知函数 g(x) = -x^2 + 4x - 1，求该二次函数的最值及对应的 x 值。

解析：观察到这是一个开口朝下的二次函数，即二次项的系数为负。

根据对称轴公式 x = -b / (2a)，我们可以计算出对称轴的 x 坐标。

代入 a = -1, b = 4，可得 x = -4 / (2*(-1)) = 2。

将 x = 2 代入函数 g(x) 中，即可计算出对应的 y 值。

即最值点的纵坐标为 y = -(2)^2 + 4(2) - 1 = 3。

因此，该二次函数的最大值为 3，对应的 x 值为 2。

通过解析以上两个题目，我们可以看出，确定二次函数的最值需要找到对称轴的 x 值，并将其代入函数中计算对应的纵坐标，从而得到最值。

无论二次函数开口朝上或朝下，我们都可以用这一方法来求解。

而当二次函数无最值时，即开口朝上的二次函数没有最小值，开口朝下的二次函数没有最大值。

这种情况通常发生在函数图像没有和 x轴有交点的情况下。

二次函数综合应用题(有答案)中考23题必练经典

二次函数综合应用题(有答案)中考23题必练经典

函数综合应用题题目分析及题目对学生的要求1.求解析式：要求学生能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。

需要注意的是：(1) 不能忘记写自变量的取值范围(2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。

2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求学生能够熟练地对二次三项式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。

最值的求法：(1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。

(2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。

3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起来。

推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出x的取值范围。

备选思路一：先将不等号看做等号，求出x的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后x的取值范围；备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。

这一问里需要注意的是在注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。

1/ 182 / 18一、求利润的最值（2010·武汉）23. (本题满分10分) 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。

当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。

宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。

根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。

设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。

(1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解：(1) y=50-101x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)。

(2) W=(50-101x)(180+x -20)= -101x 2+34x +8000； (3) W= -101x 2+34x +8000= -101(x -170)2+10890，当x<170时，W 随x 增大而增大，但0≤x ≤160，∴当x=160时，W 最大=10880，当x=160时，y=50-101x=34。

二次函数求几何最值

二次函数求几何最值

二次函数求几何最值类型1：勾股定理【例题1】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，CB ＝5，点D 是CB 边上的一个动点，将线段AD 绕着点D 顺时针旋转90°，得到线段DE ，连接BE ，则线段BE 的最小值为____________．．（提示：一线三垂直全等＋线段最值，，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，则DF ＝AC ＝3，EF ＝CD ，设CD ＝EF ＝x ，则FB ＝5－3－x ＝2－x ，在Rt △EFB 中，BE 2＝x 2＋(2－x )2＝2(x －1)2＋2≥2） 【例题2】如图，C 是线段AB 上一动点，△ACD 、△CBE 都是等边三角形，M 、N 分别是CD 、BE 的中点，若AB ＝4，则线段MN 的最小值为___________．（提示：连接CN ，则∠ECN ＝30°，∴∠MCN ＝90°，设AC ＝2x ，则BC ＝4－2x ，∴CM＝x ，CN－x )，∴MN 2＝x 2＋3(2－x )2＝4(x －32)2＋3≥3）类型2：全等三角形【例题3】如图，D 为等边△ABC 边BC 上的一动点，AB ＝2，以AD 为边在AD 的右侧作等边△ADE ，则△CDE 的面积最大值为___________．．（提示：手拉手全等，法1，二次函数求最值，过点D 作DG ⊥CE 的延长线于点G ，易证△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝CE ，设BD ＝x ，则CE ＝x ，CD ＝2－x ，∴DG(2－x )，∴S △CDE ＝12·x(2－x )(x －1)2；法2ABD ≌△ACE （SAS ），∴S 四边形ADCEE ＝S △ADC AD ⊥BC 时，△ADECDE ）【例题4】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝，D 为边AB 上一动点（B 除外），以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则△BDE 面积的最大值为___________．ABCDEFED CBAABCD EM NNMED CBAFEDCBA【答案】8．（提示：弦图＋12345模型，AH，∴tan∠ABH＝12，∴CN＝4，BN＝8，设BD＝x，则DN＝8－x，∴EN＝8－x，∴S△BDE＝12x(8－x)＝－12(x－4)2＋8≤8）【例题5】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，点E为边AB上的一点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、BF．若AB＝6，BC＝8，则当△BEF的面积最大时，BF的长为___________．．（提示：一线三垂直全等，AG＝GB＝3，GD＝HF＝4，设AE＝x，则EG＝DH＝3－x，EB＝6－x，∴GH＝x＋1，∴S△BEF＝12(6－x)(x＋1)＝－12(x－52)2＋498≤498，当x＝52时，BI＝GH＝7 2，∵IF＝4－3＝1，∴BF）类型3：相似三角形【例题6】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝6，∠ABC＝60°，E、F分别是AD、CD上的动点，且∠BEF＝120°，则DF的最大值为____________．【答案】32．（提示：一线三等角相似，设AE＝x，DF＝y，则ED＝6－x，∵△ABE∽△DEF，∴66x＝xy，化简得y＝－16(x－3)2＋32≤32）AB CDEFNMHEBDAFCAB CDEFIHGFEDCBAFE DCBA【例题7】如图，在边长为6的菱形ABCD 中，AC 为其对角线，∠ABC ＝60°，点M 、N 分别是边BC 、CD 上的动点，且MB ＝NC ，连接AM 、AN 、MN ，MN 交AC 于点P ，则点P 到直线CD 的距离的最大值为___________．．（提示：一线三等角相似，问题转化为求CP 的最小值，设BM ＝x ，则MC ＝6－x ，∵△ABM ∽△MCP ，∴66x -＝x CP ，∴CP ＝16x (6－x )＝－16(x －3)2＋32≤32）【例题8】如图，正方形ABCD 的边长是4，P 为BC 上的动点，连接P A ，过点P 作PQ ⊥P A 交CD 于点Q ，连接AQ ，则AQ 的最小值为____________．【答案】5．（提示：一线三直角相似，设BP ＝x ，则PC ＝4－x ，∴QC ＝(4)4x x -，∴DQ ＝4－(4)4x x-＝14(x －2)2＋3≥3，∴当BP ＝2时，DQ 有最小值3，此时AQ 有最小值5）【例题9】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，AC ＝4，点D 是边AC 上一动点，连接BD ，以BD 为斜边作Rt △BDE ，使∠BDE ＝30°，∠BED ＝90°，连接CE ，则△CDE 面积的最大值为__________．．（提示：手拉手相似，△BAD ∽△BCE ，∴∠BCE ＝∠A ＝30°，过点E 作EM ⊥AC ，交AC 的延长线于点M ，设CM ＝x ，则CE ＝2x ，EM，CD ＝4－4x ，）NMPDCB A A BCDPQ ABCE【例题10】如图，在△ABC 中，D 为AC 边上的动点，过点D 分别作DE ∥BC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交BC 于点F ，已知△ABC 的面积为1，则四边形BEDF 面积的最大值为____________．【答案】12．（提示：设数法＋A 字相似，设AG ＝1，BC ＝2，则BF ＝x ，则ED ＝x ，FC ＝2－x ，∵ED ∥BC ，∴AH ＝12x ，∴HG ＝1－12x ，∴S 梯形BEDF ＝12(x ＋x )(1－12x )＝－12(x －1)2＋12≤12）类型4：转化问题【例题11】如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为AD 边上一动点，连接BE 、CE ，以CE 为边向右侧作正方形CEFG ．（1）若BE，则正方形CEFG 的面积为___________； （2）连接DF 、DG ，则△DFG 面积的最小值为___________．【答案】（1）5；（2）1.5．（提示：转化法，（1）当BE时，AE ＝ED ＝1，∴CE；（2）设ED ＝x ，则CE 2＝x 2＋22，∴S △DFG ＝12S □ECGF －S △EDC ＝12(x 2＋22)－12×2x ＝12(x －1)2＋32≥32）ABC DEFHGF EDCBAABCDEFG。

2023年中考九年级数学 高频考点专题训练--二次函数的最值

2023年中考九年级数学 高频考点专题训练--二次函数的最值

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--二次函数的最值一、单选题1．已知二次函数y=x2−4x+2，当自变量x取值在−2≤x≤5范围内时，下列说法正确的是（）A．有最大值14，最小值－2B．有最大值14，最小值7C．有最大值7，最小值－2D．有最大值14，最小值22．已知关于x的二次函数y=（x﹣h）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为（）A．32B．32或2C．32或6D．2、32或63．二次函数y=x2﹣2x﹣3，当m﹣2≤x≤m时的最大值为5，则m的值可能为（）A．0或6B．4或﹣2C．0或4D．6或﹣24．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①abc<0 ②当x=1时，函数有最大值。

③当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0. ④4a+2b+c<0，其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．45．已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（）A．6B．3C．﹣3D．06．一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离y （单位：m）和滑行时间t1（单位：s）满足二次函数关系，并测得相关数据：滑行时间t1/s01234滑行距离y1/s0 4.51428.548滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2（单位：m）和在缓冲带上滑行时间t2（单位：s）满足：y2＝52t2﹣2t22，滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了23s，则滑坡AB的长度（）米A．270B．280C．375D．4507．如图，抛物线y1＝a（x+1）2﹣5与抛物线y2＝﹣a（x﹣1）2+5（a≠0）交于点A（2，4），B（m，﹣4），若无论x取任何值，y总取y1，y2中的最小值，则y的最大值是（）A．4B．5C．2D．18．抛物线y=3（x﹣4）2+5的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（4，5）9．抛物线y=(x+1)2−4(−2≤x≤2)，如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是（）A．−3和5B．−4和5C．−4和−3D．−1和510．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣74B．√3或−√3C．2或−√3D．2或√3或−7411．二次函数y=(x-5)2+7的最小值是()A．5B．-7C．-5D．712．已知y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的其中一个交点为（1，0），该函数在1≤x≤4的取值范围，下列说法正确的是（）．A．有最小值0，有最大值3B．有最小值-1，有最大值3C．有最小值-3，有最大值4D．有最小值-1，有最大值4二、填空题13．二次函数y=2x2-4x+5,当﹣3≤x≤4时，y的最大值是，最小值是.14．当x=时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值．15．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的图象过点A(3,0)，对称轴为直线x=1，给出以下结论：①abc<0；②3a+c=0；③ax2+bx≤a+ b；④若M(−0.5,y1)、N(3.5,y2)为函数图象上的两点，则y1<y2.其中正确的有.（填写序号即可）16．已知函数y=-3（x-2）2+4，当x=时，函数取得最大值为.17．已知函数y＝mx2+2mx+1在﹣3≤x≤2上有最大值4，则常数m的值为．18．二次函数y=x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为三、综合题19．某农作物的生长率p与温度t( C∘)有如下关系：如图，当10≤ t≤25 时可近似用函数p=150t−15刻画；当25≤ t≤37 时可近似用函数p=−1160(t−ℎ)2+0.4刻画．（1）求ℎ的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数m(天)与生长率p满足函数关系，部分数据如下：生长率p0.20.250.30.35提前上市的天数m（天）051015求：①求m关于p的函数表达式；②请用含t的代数式表示m③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在大棚恒温20℃时每天的成本为100元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25时的成本为200元/天，但若加温到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天，问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由。

九年级数学二次函数最值问题

九年级数学二次函数最值问题

九年级数学二次函数最值问题
我们要解决一个关于二次函数的最值问题。

首先，我们需要理解二次函数的基本性质，特别是它的开口方向和顶点。

假设我们的二次函数是 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。

二次函数的开口方向由 a 决定：
1. 如果 a > 0，则函数开口向上。

2. 如果 a < 0，则函数开口向下。

二次函数的顶点坐标是 (-b/2a, c - b^2/4a)。

对于开口向上的二次函数，其最小值就是顶点的 y 坐标。

对于开口向下的二次函数，其最大值就是顶点的 y 坐标。

现在，我们要求出给定函数的最值。

给定的二次函数是 f(x) = -x^2 + 2x。

首先，我们确定函数的开口方向。

由于 a = -1 < 0，函数开口向下。

接下来，我们找到函数的顶点。

顶点的 x 坐标是 -b/2a = -2/(-2) = 1，y 坐标是 c - b^2/4a = 0 - 2^2/(-4) = 1。

因此，函数的顶点是 (1, 1)。

由于函数开口向下，所以函数的最小值是 1。

九年级二次函数应用题

九年级二次函数应用题
（3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润．
解：（1）y是x的一次函数，设y=kx+b，
图象过点（10，300），（12，240），
，
解得 ，
∴y=-30x+600，
当x=14时，y=180；当x=16时，y=120，
即点（14，180），（16，120）均在函数y=-30x+600图象上．
设t=a%，整理得：10t2+17t-13=0，
解得：t= ，
∵ ≈28.4，
∴t1≈0.57，t2≈-2.27（舍去），
∴a≈57，
答：a的值是57．
点评：此题主要考查了二次函数的应用和根据实际问题列反比例函数关系式和二次函数关系式、求二次函数最值等知识．此题阅读量较大，得出正确关于a%的等式方程是解题关键．
分析：（1）利用表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出即可，再根据点的分布得出y与x的函数关系式，求出即可；
（2）根据利润=销售总价-成本总价，由（1）中函数关系式得出W=（x-10）（-10x+700），，进而利用二次函数最值求法得出即可；
（3）利用二次函数的增减性，结合对称轴即可得出答案．
（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；
（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a-30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．

二次函数的最值问题(典型例题)

二次函数的最值问题(典型例题)

二次函数的最值问题【例题精讲】题面：当-1≤x ≤2时,函数y =2x 2-4ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值.【拓展练习】如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数2y bx c =++的图象与x 轴交于A (-1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C .(1)求此二次函数解析式；(2)点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：y =+BD 于点E ，过点B 作直线BK //AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.练习一【例题精讲】若函数y=4x2-4ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3，求a的值．【拓展练习】题面：已知：y关于x的函数y=(k-1)x2-2kx+k+2的图象与x轴有交点．(1)求k的取值范围；(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k-1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．练习二金题精讲题面：已知函数y=x2+2ax+a2-1在0≤x≤3范围内有最大值24，最小值3，求实数a的值．【拓展练习】题面：当k分别取-1，1，2时，函数y=(k-1)x2 -4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．讲义参考答案【例题精讲】答案：3--0或2或4【拓展练习】答案：(1) 2y=-;(2) (2);(3)8练习一答案【例题精讲】答案：a =【拓展练习】答案：(1) k≤2；(2)①k值为-1；②y的最大值为32，最小值为-3.详解：(1)当k=1时，函数为一次函数y= -2x+3，其图象与x轴有一个交点. 当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y=0得(k-1)x2-2kx+k+2=0．△=(-2k)2-4(k-1)(k+2)≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1.综上所述，k的取值范围是k≤2.(2)①∵x1≠x2，由(1)知k＜2且k≠1.由题意得(k-1)x12+(k+2)=2kx1(*)，将(*)代入(k-1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k(x1+x2)=4x1x2.又∵x1+x2=2kk1-，x1x2=k+2k1-，∴2k•2kk1-=4•k+2k1-，解得：k1= -1，k2=2(不合题意，舍去).∴所求k值为-1.②如图，∵k1= -1，y= -2x2+2x+1= -2(x-12)2+32，且-1≤x≤1，由图象知：当x= -1时，y最小= -3；当x=12时，y最大=32.∴y的最大值为32，最小值为-3.练习二答案课后练习详解【例题精讲】答案：2或-5．详解：配方y=(x+a)2-1，函数的对称轴为直线x= -a，顶点坐标为(-a，-1)．①当0≤-a≤3即-3≤a≤0时，函数最小值为-1，不合题意；②当-a＜0即a＞0时，∵当x=3时，y有最大值；当x=0时，y有最小值，∴9+6a+a2 −1＝24，a2 −1＝3，解得a=2；③当-a＞3即a＜-3时，∵当x=3时，y有最小值；当x=0时，y有最大值，∴a2 −1＝24，9+6a+a2 −1＝3，解得a= -5．∴实数a的值为2或-5．【拓展练习】答案：有最大值，为8.详解：∵当开口向下时函数y=(k-1)x2 -4x+5-k取最大值∴k-1＜0，解得k＜1.∴当k= -1时函数y=(k-1)x2 -4x+5-k有最大值，当k=1，2时函数没有最大值. ∴当k= -1时，函数y= -2x2-4x+6= -2(x+1)2+8.∴最大值为8.。

求二次函数的最值 练习题

求二次函数的最值 练习题

求二次函数的最值练习题求二次函数的最值练习题二次函数是数学中的重要概念之一，它的图像呈现出一条开口向上或向下的抛物线。

而求解二次函数的最值，是我们在解决实际问题中经常遇到的一种情况。

本文将通过一些练习题，帮助读者更好地理解和掌握求解二次函数的最值的方法。

练习题一：已知二次函数 f(x) = 2x^2 - 4x + 1，求该函数的最小值。

解答：要求二次函数的最小值，我们可以通过找到抛物线的顶点来实现。

二次函数的顶点坐标可以通过公式 x = -b/2a 和 y = f(-b/2a) 来求得。

对于给定的函数 f(x) = 2x^2 - 4x + 1，我们可以通过计算得到 a = 2，b = -4，c = 1。

将这些值代入公式中，我们可以得到 x = -(-4)/(2*2) = 1，y = f(1) =2*1^2 - 4*1 + 1 = -1。

因此，该函数的最小值为 -1。

练习题二：已知二次函数 g(x) = -3x^2 + 6x - 2，求该函数的最大值。

解答：求解二次函数的最大值的方法与求解最小值的方法类似。

我们同样可以通过找到抛物线的顶点来实现。

对于给定的函数 g(x) = -3x^2 + 6x - 2，我们可以通过计算得到 a = -3，b = 6，c = -2。

将这些值代入公式中，我们可以得到 x = -6/(2*(-3)) = 1，y = g(1) = -3*1^2 + 6*1 - 2 = 1。

因此，该函数的最大值为 1。

练习题三：已知二次函数 h(x) = x^2 + 4x - 3，求该函数的最值所对应的 x 值和 y 值。

解答：对于给定的函数 h(x) = x^2 + 4x - 3，我们同样可以通过计算得到 a = 1，b = 4，c = -3。

将这些值代入公式中，我们可以得到 x = -4/(2*1) = -2，y = h(-2) = (-2)^2 + 4*(-2) - 3 = -7。

二次函数与最值问题练习题(含答案)

二次函数与最值问题练习题(含答案)

二次函数与最值 题集一、实际问题中的最值（1）（2）1.如图，某中学准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为米的篱笆围成，若墙长为米，设这个苗圃垂直于墙的一边长为米．苗圃园若苗圃园的面积为平方米，求的值．若平行于墙的一边长不小于米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值，如果没有，请说明理由．【答案】（1）（2）．有，当时，取得最大值，最大值为．当时，取得最小值，最小值为．【解析】（1）（2）由题意，得：平行于墙的一边长为，根据题意，得：，解得：或，∵，∴．∴．∵矩形的面积，且，即，∴当时，取得最大值，最大值为．当时，取得最小值，最小值为．【标注】【知识点】二次函数的几何问题2.（1）（2）某校在基地参加社会实践活动中，基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙的最大可用长度为米），另外三边用总长米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为米的出入口．如图所示，设米．若这个生物园地的面积为平方米，求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．当为多少米时，这个生物园地的面积最大，并求出这个最大面积．【答案】（1）（2）．为米时面积最大，最大为平方米．【解析】（1）（2）由题意可知∴∴．当时有最大值平方米．故当为米时，生物园地面积最大，最大面积为平方米．【标注】【知识点】二次函数的几何问题3.某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开（如图），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为，设两饲养室合计长，总占地面积为．（1）（2）求关于的函数表达式和自变量的取值范围． 若要使两间饲养室占地总面积达到，则各道墙的长度为多少？占地总面积有可能达到吗？【答案】（1）（2）总占地面积为，．占地总面积达到时，道墙长分别为米、米或米、米；占地面积不可能达到平方米．【解析】（1）（2）∵围墙的总长为米，间饲养室合计长米，∴饲养室的宽米，∴总占地面积为，．当两间饲养室占地总面积达到平方米时，则，解得：或．答：各道墙长分别为米、米或米、米．当占地面积达到平方米时，则，方程的，所以此方程无解，所以占地面积不可能达到平方米．【标注】【知识点】根据条件列二次函数关系式（1）（2）4.某果园有颗橙子树，平均每颗树结个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结个橙子，假设果园多种了棵橙子树．直接写出平均每棵树结的橙子个数（个）与之间的关系．果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【答案】（1）（2）（）．果园多种棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为个．【解析】（1）（2）平均每棵树结的橙子个数（个）与之间的关系为：（）．设果园多种棵橙子树时，可使橙子的总产量为，则，则果园多种棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为个．【标注】【知识点】二次函数的利润问题（1）（2）（3）5.已知某商品每件的成本为元，第天的售价和销量分别为元/件和件，设第天该商品的销售利润为元，请根据所给图象解决下列问题：求出与的函数关系式．问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少．该商品在销售过程中，共有多少天当天的销售利润不低于元．【答案】（1）（2）（3）当时，，当时，．该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元．共天每天销售利润不低于元．【解析】（1）当时，设与的函数关系式为，∵当时，，当，，∴，解得：∴，∴当时，；当时，．（2）（3），∴当时取得最大值元；∵；∴当时，随的增大而减小，当时，，综上所述，该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元．当时，，解得，因此利润不低于元的天数是，共天；当时，，解得，因此利润不低于元的天数是，共天，所以该商品在销售过程中，共天每天销售利润不低于元．【标注】【知识点】函数图象与实际问题最大（1）（2）（3）6.某商场将进价为元的冰箱以元售出，平均每天能售出台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低元，平均每天就能多售出台．假设每台冰箱降价元，商场每天销售这种冰箱的利润是元，请写出与之间的函数表达式．（不要求写自变量的取值范围）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？【答案】（1）（2）（3）．每台冰箱应降价元．每台冰箱的售价降价元时，商场的利润最大，最大利润是元．【解析】（1）（2）根据题意，得，即．由题意，得．整理，得．解这个方程，得，．（3）要使百姓得到实惠，取．所以，每台冰箱应降价元．对于，当时，．所以，每台冰箱的售价降价元时，商场的利润最大，最大利润是元．【标注】【知识点】二次函数的利润问题最大值（1）（2）7.在新型城镇化型过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在元到元之间较为合理，并且该产品的年销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为：（年获利年销售收入生产成本投资成本）当销售单价定为元时，该产品的年销售量为多少万件？求该公司第一年的年获利（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？【答案】（1）（2）投资第一年，公司亏损，最少亏损万【解析】（1）（2）把代入，得（万件）当销售单价定为元时，该产品的年销售量为万件．①当时，故当时，最大为，即公司最少亏万．②当时，故当时，最大为，即公司最少亏万．综上，投资第一年，公司亏损，最少亏损万．【标注】【知识点】二次函数的利润问题二、几何问题中的最值（1）（2）1.已知，如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，．xyOxyO备用图求抛物线的解析式；若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵∴∵∴∵过、∴解这个方程组，得∴抛物线的解析式为：．过点作轴分别交线段和轴于点、yOx在中，令得方程解这个方程，得，∴设直线的解析式为∴解这个方程组，得∴的解析式为：∵==设，当时，有最大值．此时四边形面积有最大值．【标注】【知识点】二次函数与面积四边形（1）（2）2.如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．xyO求二次函数表达式．若点是第一象限内的抛物线上的一个动点，且点的横坐标为，用含有的代数式表示的面积，并求出当为何值时，的面积最大，最大面积是多少？【答案】（1）（2）．当时，的面积最大，最大面积是．【解析】（1）∵二次函数的图象与轴交于点，，∴二次函数的解析式为．（2）如图，连接，易得的解析式为．设点的坐标为，则点的坐标为，∴，，，当时，的面积最大，最大面积是．yO【标注】【知识点】二次函数与面积（1）（2）3.如图，已知经过原点的抛物线与轴的另一交点为，现将它向右平移（）个单位，所得抛物线与轴交于、两点，与原抛物线交于点．求点的坐标，并判断存在时它的形状（不要求说理）．在轴上是否存在两条相等的线段？若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含的式子表示）；若不存在，请说明理由．（3）设的面积为，求关于的关系式．【答案】（1）（2）（3）点的坐标为，是等腰三角形．存在，，．．【解析】（1）（2）（3）令，得，．∴点的坐标为．是等腰三角形．存在．，．如图，当时，作轴于，设，∵，，∴．∴．∴．把代入，得．∵，∴．如图，当时，作轴于，设∵，，∴．∴．∴．把代入，得．∵，∴．综上可得：．【标注】【知识点】二次函数与面积（1）（2）4.已知抛物线与轴交于，两点，交轴于点，已知抛物线的对称轴为，点，点，为抛物线的顶点．求抛物线的解析式．在轴下方且在抛物线上有一动点，求四边形的面积最大值．【答案】（1）（2）．【解析】（1）由、关于对称轴对称，对称轴为，点，得．将、、点的坐标代入函数解析式，得，解得．（2）故抛物线的解析式为．如图，过作轴于点，交于点．设，点坐标为，．，当时，．【标注】【知识点】二次函数与面积四边形最大（1）（2）（3）5.如图，二次函数（为非负整数）与轴交于、两点，与轴交于点．求抛物线的解析式．在直线上找一点，使的周长最小，并求出点的坐标．点在抛物线上，且在第二象限内，设点的横坐标为，问为何值时，四边形的面积最大？并求出这个最大面积．【答案】（1）（2）（3）时，四边形的面积最大，这个最大面积是．【解析】（1）（2）（3）由题意得，，解得：，∵是非负整数，∴或，当时，二次函数的解析式为，当时，二次函数的解析式为，∵图象与轴交于点和点，点、分别在原点的左、右两边，∴当时，二次函数的解析式为不符合题意，∴二次函数的解析式为．如图，作点关于的对称点连接交对称轴于点，．由得点坐标为．当时，．解得，，∴，．设的解析式为，图象过点，，得，解得，∴的解析式为，当时，，点坐标为 时，的周长最小．如图，设点坐标为（），作轴于点，由图可知：四边形梯形．因此时，四边形的面积最大，这个最大面积是．【标注】【知识点】二次函数与面积（1）（2）6.如图，已知抛物线经过，两点．x24y–22O 求该抛物线的解析式．在直线上方的该抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）．存在，，面积的最大值为．【解析】（1）（2）把，代入抛物线的解析式得：，解得：，则抛物线解析式为．存在，理由如下：设的横坐标为，则点的纵坐标为，过作轴的平行线交于，连接，，如图所示，x24y–22O 由题意可求得直线的解析式为，∴点的坐标为，∴，∴的面积，当时，，∴此时，面积的最大值为．【标注】【知识点】二次函数与面积最大（1）（2）（3）7.已知二次函数的图象和轴交于点、，与轴交于点，直线上方的抛物线上一动点，抛物线的顶点是点．图求直线的解析式．求面积的最大值及点的坐标．当的面积最大时，在直线上有一动点，使得的周长最小，求周长最小时点的坐标．图【答案】（1）（2）（3）．，．．【解析】（1）（2）（3）过抛物线上动点作轴的垂线，垂足是，线段交线段于，设，，，∵，∴当时，，此时．关于直线的对称点连接，∵，，∴，∴联立，解得，最大∴．【标注】【知识点】二次函数与动点问题（1）（2）（3）8.如图，抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴交于点，顶点为，为线段的中点，的垂直平分线与轴、轴分别交于、．xyO 求抛物线的函数表达式，并写出顶点的坐标．在直线上是否存在一点，使周长最小，若存在，请求出最小周长和点的坐标；若不存在，请说明理由．若点在轴上方的抛物线上运动，当运动到什么位置时，面积最大？并求出最大面积．【答案】（1）（2）（3）抛物线的解析式为，顶点的坐标为．存在；的周长最小值为，．时，的面积最大，最大面积为．【解析】（1）（2）由题意，得，解得，，所以抛物线的解析式为，顶点的坐标为．设抛物线的对称轴与轴交于点，（3）∵垂直平分，∴关于直线的对称点为，连结交于于一点，xyO∴这一点为所求点，使最小，即最小为．而，∴的周长最小值为．设直线的解析式为，则，解得，，所以直线的解析式为．由于，，，得，所以，，．同理可求得直线的解析式为，联立直线与的方程，解得使的周长最小的点．设，．过作轴的垂线交于，xyO则，所以，即当时，的面积最大，最大面积为，此时．【标注】【知识点】二次函数的几何问题（1）（2）（3）9.如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴相交于点，其顶点为．求抛物线及直线的函数关系式．若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标．在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由．备用图【答案】（1）（2）；．；．（3）在对称轴上存在一点，使的周长最小，周长的最小值为．【解析】（1）（2）（3）将，代入，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为；设直线的函数关系式为，将，代入，得：，解得，∴直线的函数关系式为．过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点，如图所示．图设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，∴，，，∵点的坐标为，∴点的坐标为，∴，∴，∵，∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点的坐标为．当时，，∴点的坐标为，∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵点的坐标为，∴点，关于抛物线的对称轴对称，令直线与抛物线的对称轴的交点为点，如图所示．图∵点，关于抛物线的对称轴对称，∴，∴，∴此时周长取最小值，当时，，∴此时点的坐标为，∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，∴，，∴，∴在对称轴上存在一点，使的周长最小，周长的最小值为．10.如图，已知抛物线经过、两点，与轴交于点．（1）（2）（3）求抛物线的解析式．点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，直接写出点的坐标和周长最小值．点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．【答案】（1）（2）（3）．点为，周长的最小值为．点的坐标为或或．【解析】（1）（2）（3）根据题意，将、代入抛物线，可得：，解得：，所以，抛物线为：．点为，周长的最小值为．∵抛物线为：，∴抛物线的对称轴为直线，点、关于直线对称，当的周长最小时，则需要最小，根据利用轴对称且最小值的方法，可知点是与对称轴的交点，令，则，所以，点坐标为，设为直线，把，代入直线解析式，可得：，解得：，所以，直线为，将代入，可得：，∴点为，此时，，，∴周长的最小值为：．∵，，∴，∵，，∴点的纵坐标为或，令，解得：，，∴点的坐标为：或，令，解得：，∴点的坐标为：．综上所述：点的坐标为：或或．【标注】【知识点】二次函数与轴对称问题。

二次函数最值问题解答题专项练习60题(有答案)

二次函数最值问题解答题专项练习60题(有答案)

二次函数最值专项练习60题1．画出抛物线y=4（x﹣3）2+2的大致图象，写出它的最值和增减性．2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（2，3）两点，求出此二次函数的解析式；并通过配方法求出此抛物线的对称轴和二次函数的最大值．3．已知二次函数y=x2﹣x﹣2及实数a＞﹣2，求（1）函数在一2＜x≤a的最小值；（2）函数在a≤x≤a+2的最小值．4．已知函数y=x2+2ax+a2﹣1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3，求实数a的值．5．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理：∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2．试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．6．如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B=30°，若边长AB=x（cm）．（1）写出▱ABCD的面积y（cm2）与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．（2）当x取什么值时，y的值最大？并求最大值．7．求函数y=2x2﹣ax+1当0≤x≤1时的最小值．8．已知m，n是关于x的方程x2﹣2ax+a+6=0的两实根，求y=（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值．9．当﹣1≤x≤2时，求函数y=f（x）=2x2﹣4ax+a2+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a的所有可能的值．10．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值为1，求m的值．11．已知函数是关于x的二次函数．（1）求m的值；（2）当m取什么值时，此函数图象的顶点为最低点？（3）当m取什么值时，此函数图象的顶点为最高点？12．两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到多少？利用图象描述乘积与因数之间的关系．13．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形．这两个正方形面积之和有最值吗？如有，求出最值；如没有请说明理由．14．关于自变量x的二次函数y=x2﹣4ax+5a2﹣3a的最小值为m，且a满足不等式0≤a2﹣4a﹣2≤10，则m的最大值是多少？15．求函数的最小值．16．当﹣1≤x≤1时，函数y=﹣x2﹣ax+b+1（a＞0）的最小值是﹣4，最大值是0，求a、b的值．17．已知a2+b2=1，，求a+b+ab的取值范围．18．如图，在矩形ABCD中，B（16，12），E、F分别是OC、BC上的动点，EC+CF=8．当F运动到什么位置时，△AEF的面积最小，最小为多少？19．如图；AC，BD是四边形ABCD的对角线，AC⊥BD于点O；（1）求证：S四边形ABCD=AC•BD；（2）若AC+BD=10，当AC，BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？20．先画出函数图象，然后结合图象回答下列问题：（1）函数y=3x2的最小值是多少？（2）函数y=﹣3x2的最大值是多少？（3）怎样判断函数y=ax2有最大值或最小值？与同伴交流．21．将长为156cm的铁线剪成两段，每段都围成一个边长为整数（cm）的正方形，求这两个正方形面积和的最小值．22．已知函数y=（a+2）x2﹣2（a2﹣1）x+1，其中自变量x为正整数，a也是正整数，求x何值时，函数值最小．23．设实数a，b满足：3a2﹣10ab+8b2+5a﹣10b=0，求u=9a2+72b+2的最小值．24．若函数y=4x2﹣4ax+a2+1（0≤x≤2）的最小值为3，求a的值．25．说明：不论x取何值，代数式x2﹣5x+7的值总大于0．并尝试求出当x取何值时，代数式x2﹣5x+7的值最小？最小值是多少？26．求经过点A（0，2）、B（2，0）、C（﹣1，2）的抛物线的解析式，并求出其最大或最小值．27．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C．（1）点Q的速度是点P速度的多少倍？（2）设AP=x，△APQ的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围，（3）求出y的最大值．28．已知二次函数y=x2与一次函数y=2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，求在移动过程中CD的最大值．29．代数式x2﹣3x﹣1有最大值或最小值吗？若有，请求出：当x取何值时，最大（小）值是多少？30．已知二次函数y=2x2﹣4ax+a2+2a+2（1）通过配方，求当x取何值时，y有最大或最小值，最大或最小值是多少？（2）当﹣1≤x≤2时，函数有最小值2．求a所有可能取的值．31．设函数y=|x2﹣x|+|x+1|，求﹣2≤x≤2时，y的最大值和最小值．32．求函数y=（k﹣1）x2﹣2（k﹣1）x﹣k的最值，其中k为常数且k≠1．33．已知函数y=﹣9x2﹣6ax+2a﹣a2，当时，y的最大值为﹣3，求a．34．求函数y=x2+5x+8的最小值．35．已知二次函数y=（3﹣k）x2+2，求：（1）当k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？（2）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？36．求关于x的二次函数y=x2﹣2tx+1在﹣1≤x≤1上的最大值（t为常数）．37．已知二次函数y=﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a有最大值﹣3，求实数a的值．38．（1）求函数y=|x2﹣4|﹣3x在区间﹣2≤x≤5中的最大值和最小值．（2）已知：|y|≤1，且2x+y=1，求2x2+16x+3y2的最小值．39．已知y=x2﹣2ax﹣3，﹣2≤x≤2．（1）求y的最小值；（2）求y的最大值．40．当|x+1|≤6时，求函数y=x|x|﹣2x+1的最大值？41．用长14m的篱笆围成如图所示的鸡舍，门MN宽2m，怎样设计才能使鸡舍的面积最大？42．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB=2，P是边AB的中点，∠PDC=90°，问梯形ABCD面积的最小值是多少？43．有两条抛物线y=x2﹣3x，y=﹣x2+9，通过点P（t，0）且平行于y轴的直线，分别交这两条抛物线于点A和B，当t在0到3的范围内变化时，求线段AB的最大值．44．如图，半径为1的半圆内接等腰梯形，其下底是半圆的直径，试求：（1）它的周长y与腰长x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．（2）当腰长为何值时，周长有最大值？这个最大值为多少？45．已知点P，Q，R分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面积的最大值．46．已知：0≤x≤1，函数的最小值为m，试求m的最大值．47．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y=x2﹣6x+7的最大值．他画图研究后发现，x=1和x=5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数y=x2﹣6x+7的对称轴为直线x=3，∴由对称性可知，x=1和x=5时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则x=1时，y的最大值为2；若m≥5，则x=m时，y的最大值为m2﹣6m+7．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当﹣2≤x≤4时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为_________；（2）若p≤x≤2，求二次函数y=2x2+4x+1的最大值；（3）若t≤x≤t+2时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为_________．48．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动．（1）设运动开始后第t秒钟后，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．（2）t为何值时，S最小？最小值是多少？49．已知二次函数y=x2与一次函数y=2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，求在移动过程中CD的最大值．50．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C．（1）点Q的速度是点P速度的多少倍？（2）设AP=x，△APQ的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围，（3）求出y的最大值．51．一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，BC=6．用这块废料剪出一个平行四边形AGEF，其中，点G，E，F分别在AB，BC，AC上．设CE=x（1）求x=2时，平行四边形AGEF的面积．（2）当x为何值时，平行四边形AGEF的面积最大？最大面积是多少？52．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D在BC上运动（不运动至B，C），DE∥AC，交AB 于E，设BD=x，△ADE的面积为y．（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）x为何值时，△ADE的面积最大？最大面积是多少？53．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉放置．（1）求证：重叠部分的图形是菱形；（2）求重叠部分图形的周长的最大值和最小值．（要求画图﹑推理﹑计算）54．如图，设点P是边长为a的正三角形ABC的边BC上一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，延长QP交AC的延长线于点R．当点P在何处时，△BPQ与△CPR的面积之和取最大（小）值？并求出最大（小）值．55．（2012•）当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．56．（2003•）二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），若△ABC的面积为9，求此二次函数的最小值．57．（2013•南岗区一模）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，且AO=8，BO=6，P是线段AB上一个动点，PE⊥A0于E，PF⊥B0于F．设PE=x，矩形PFOE的面积为S（1）求出S与x的函数关系式；（2）当x为何值时，矩形PFOE的面积S最大？最大面积是多少？58．（2013•资阳）在关于x，y的二元一次方程组中．（1）若a=3．求方程组的解；（2）若S=a（3x+y），当a为何值时，S有最值．59．（2010•）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm．动点P、Q分别从A、C两点同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C移动；点Q以cm/s的速度沿CB向终点B移动．过P作PE∥CB交AD于点E，设动点的运动时间为x秒．（1）用含x的代数式表示EP；（2）当Q在线段CD上运动几秒时，四边形PEDQ是平行四边形；（3）当Q在线段BD（不包括点B、点D）上运动时，求四边形EPDQ面积的最大值．60.（2010•）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，∠A=45°．AB=30，BC=x，其中15＜x＜30．作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G．（1）用含有x的代数式表示BF的长．（2）设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式．（3）当x为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．二次函数最值解答题60题参考答案：1．解：因为顶点坐标为（3，2），对称轴为x=3，与y轴交点为（0，38），因为△=144﹣4×2×19=144﹣152=﹣8＜0，所以与x轴无交点．作图得：最值2．增减性：当x≥3时，y随x的增大而增大；当x≤3时，y随x的增大而减小2．解：由函数图象可得二次函数图象过点C（0，3），将A，B，两点代入函数解析式得解得：a=﹣1，b=2，c=3，可得二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；配方得：y=﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴x=1，最大值为43．解：二次函数y=x2﹣x﹣2=﹣的图象如图：顶点坐标为（，），（1）当﹣2＜a＜时，函数为减函数，最小值为当x=a时，y=a2﹣a﹣2．当a≥时，y min=﹣，（2）当a＞﹣2，且a+2＜，即：﹣2＜a＜﹣时，函数为减函数，最小值为：y x=a+2=（a+2）2﹣（a+2）﹣2，当a＜≤a+2，即﹣≤a＜时，函数的最小值为y=﹣4．解：配方y=（x+a）2﹣1，函数的对称轴为直线x=﹣a，顶点坐标为（﹣a，﹣1）．①当0≤﹣a≤3即﹣3≤a≤0时，函数最小值为﹣1，不合题意；②当﹣a＜0即a＞0时，∵当x=3时，y有最大值；当x=0时，y有最小值，∴，解得a=2；③当﹣a＞3即a＜﹣3时，∵当x=3时，y有最小值；当x=0时，y有最大值，∴，解得a=﹣5．∴实数a的值为2或﹣55．解：原式=3（y﹣1）2+8，∵（y﹣1）2≥0，∴3（y﹣1）2+8≥8，∴有最小值，最小值为86．解：（1）过A作AE⊥BC于E，如图，∵∠B=30°，AB=x，∴AE=x，又∵平行四边形ABCD的周长为8cm，∴BC=4﹣x，∴y=AE•BC=x（4﹣x）=﹣x2+2x（0＜x＜4）；（2）y=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2，∵a=﹣，∴当x=2时，y有最大值，其最大值为27．解：对称轴x=﹣=﹣=，①≤0，即a≤0时，0≤x≤1范围内，y随x的增大而增大，当x=0时，y最小，最小值y=2×02﹣a×0+1=1，②0＜＜1，即0＜a＜4时，当x=时有最小值，最小值y=2×（）2﹣a×+1=1﹣，③≥1，即a≥4时，0≤x≤1范围内，y随x的增大而减小，当x=1时，y最小，最小值y=2×12﹣a×1+1=3﹣a，综上所述，a≤0时，最小值为1，0＜a＜4时，最小值为1﹣，a≥4时，最小值为3﹣a8．解：依题意△=4a2﹣4（a+6）≥0，即a2﹣a﹣6≥0，∴a≤﹣2或a≥3，（3分）由m+n=2a，mn=a+6，y=m2+n2﹣2（m+n）+2=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2=4a2﹣6a﹣10，=4（a﹣）2﹣，∴a=3时，y的最小值为8．（12分）故y的最小值为89．解：对称轴x=﹣=﹣=a，①a≤﹣1时，﹣1≤x≤2范围内，y随x的增大而增大，当x=﹣1时，y最小，最小值y=2×（﹣1）2﹣4a×（﹣1）+a2+2a+2=a2+6a+4，②﹣1＜a＜2时，当x=a时，有最小值，最小值y=2×a2﹣4a×a+a2+2a+2=﹣a2+2a+2，③a≥2时，﹣1≤x≤2范围内，y随x的增大而减小，当x=2时，y最小，最小值y=2×22﹣4a×2+a2+2a+2=a2﹣6a+10，综上所述，a≤﹣1时，最小值为a2+6a+4，﹣1＜a＜2时，最小值为﹣a2+2a+2，a≥2时，最小值为a2﹣6a+10；∵最小值为﹣1，∴a2+6a+4=﹣1，整理得a2+6a+5=0，解得a1=﹣1，a2=﹣5，﹣a2+2a+2=﹣1，整理得，a2﹣2a﹣3=0，解得a3=﹣1，a4=3（舍去），a2﹣6a+10=﹣1，整理得，a2﹣6a+11=0，△=（﹣6）2﹣4×1×11=﹣8＜0，方程无解，综上所述，a的所有可能值为﹣1、﹣510．解：根据抛物线顶点坐标公式得：=1，解得：m=1011．解：（1）根据二次函数的定义可知：m2+2m﹣6=2，m+2≠0，解得：m=2或﹣4．（2）当m=2时，抛物线的开口向上，有最小值，此函数图象的顶点为最低点；（3）当m=﹣4时，抛物线的开口向下，有最大值，此函数图象的顶点为最高点12．解：设两数为x、y，两数的积为s，根据题意列方程组得，，整理得，s=x（6﹣x）=﹣x2+6x，配方得，s=﹣（x﹣3）2+9，可见，s的最大值为9．如图：由于函数为抛物线，其与x轴的交点坐标为：（0，0），（6，0），顶点为（3，9），对称轴为直线x=3，画出函数图象13．解：设一段铁丝的长度为x，另一段为（20﹣x），则S=x2+（20﹣x）（20﹣x）=（x﹣10）2+12.5，∴由函数当x=10cm时，S最小，为12.5cm214．解：由0≤a2﹣4a﹣2≤0，解得：﹣2≤a≤2﹣或2+≤a≤6．由y=x2﹣4ax+5a2﹣3a可得y=（x﹣2a）2+a2﹣3a，则最小值m=a2﹣3a=（a﹣）2﹣，它的图象的对称轴为a=．在上述a的取值范围内的a值中6与的距离最大．∴a=6时，原函数的最小值m有最大值m=62﹣3×6=1815．解：根据x2﹣x﹣6≥0且x2﹣x﹣6≠6时，函数才有意义，解得：x≤﹣2且x≠﹣3或x≥3且x≠4，此时函数y=x2﹣4x﹣9，图象如图：在x≤﹣2且x≠﹣3或x≥3且x≠4的范围内可知，当x=3时，这个函数的最小值为﹣1216．解：由题意：对称轴为x=﹣．其次这是一个定区间（﹣1≤x≤1）动对称轴（x=﹣）的函数，所以需要对对称轴所在位置进行分类讨论．第一种情况：0＜﹣≤1，不可能．因对称轴在区间内故函数最大值在x=﹣时取到，因对称轴在区间左半段故函数最小值在x=1时取到．联立x=﹣时y=﹣4与x=﹣1时y=0两个方程解得a=2±2，均不符合条件，故舍去．第二种情况，﹣＜﹣1，即对称轴在区间外，此时a＞2，在区间内函数单调递减，故x=﹣1时y=0，x=1时y=﹣4，解得a=2，b=﹣2，满足a＞0的条件．解得：a=2，b=﹣217．解：∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab，a2+b2=1，∴ab=，设a+b=t，则﹣≤t≤，∴y=a+b+ab=+a+b=（t2﹣1）+t=t2+t﹣=（t+1）2﹣1，∴t=﹣1时，y有最小值为﹣1，t=时，y有最大值，此时y=（+1）2﹣1=，∴﹣1≤y≤，即a+b+ab的取值范围为﹣1≤a+b+ab≤18．解：在矩形ABCD中，B（16，12），EC+CF=8；则AB=OC=16，BC=OA=12；设CF=x，则EC=8﹣x；S△AEF=S□ABCO﹣S△AOE﹣S△ABF﹣S△ECF=OA×OC﹣×OE×OA﹣×AB×BF﹣×CE×CF=12×16﹣×[16﹣（8﹣x）]×12﹣×16×（12﹣x）﹣×x×（8﹣x）=x2﹣2x+48=（x﹣2）2+46；因此，当x=2时，S△AEF取得最小值46．故当F运动到CF为2时，△AEF的面积最小，最小为4619．（1）证明：∵AC⊥BD，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，=AC•OB+AC•OD，=AC（OB+OD）=AC•BD；（2）解：设AC=x，∵AC+BD=10，∴BD=10﹣x，∴四边形ABCD的面积=x（10﹣x）=﹣（x2﹣10x）=﹣（x﹣5）2+，∵﹣＜0，∴当x=5时，四边形ABCD的面积有最大值，此时AC=5，BD=520．解：（1）根据图象得：它的最小值是0；（2）根据图象得：它的最大值是0；（3）当a＞0时，y=ax2有最小值，当a＜0时，y=ax2有最大值21．解：设其中一段铁丝的长度为xcm，另一段为（156﹣x）cm，则两个正方形面积和S=x2+（156﹣x）2=（x﹣78）2+761，∴由函数当x=78cm时，S最小，为761cm2．答：这两个正方形面积之和的最小值是761cm222．解：∵y=（a+2）x2﹣2（a2﹣1）x+1，∴y=（a+2）+1﹣，其对称轴为，因为a为正整数，故因，，因此，函数的最小值只能在x取a﹣2，a﹣1，时达到，（1）当a﹣1=时，a=1，此时，x=0使函数取得最小值，由于x是正整数，故应舍去；（2）a﹣2＜＜a﹣1时，即a＞1时，由于x是正整数，而为小数，故x=不能达到最小值，当x=a﹣2时，y1=（a+2）（a﹣2）2﹣2（a2﹣1）（a﹣2）+1，当x=a﹣1时，y2=（a+2）（a﹣1）2﹣2（a2﹣1）（a﹣1）+1，又y1﹣y2=4﹣a，①当4﹣a＞0时，即1＜a＜4且a为整数时，x取a﹣1，使y2为最小值；②当4﹣a=0时，即a=4时，有y1=y2，此时x取2或3；③当4﹣a＜0时，即a＞4且为整数时，x取a﹣2，使y1为最小值；综上，（其中a为整数）23．解：由3a2﹣10ab+8b2+5a﹣10b=0可得（a﹣2b）（3a﹣4b+5）=0，（6分）所以a﹣2b=0，或3a﹣4b+5=0．（8分）①当a﹣2b=0，即a=2b时，u=9a2+72b+2=36b2+72b+2=36（b+1）2﹣34，于是b=﹣1时，u的最小值为﹣34，此时a=﹣2，b=﹣1．（13分）②当3a﹣4b+5=0时，u=9a2+72b+2=16b2+32b+27=16（b+1）2+11，于是b=﹣1时，u的最小值为11，此时a=﹣3，b=﹣1．（18分）综上可知，u的最小值为﹣3424．解：∵y=4x2﹣4ax+a2+1（0≤x≤2），∴y=4+1，（1）当0≤≤2，即0≤a≤4时，最小值为1，不符合题意，舍去；（2）当＜0即a＜0时，令f（0）=3得：a2+1=3，解得：a=±，故a=﹣；（3）当＞2即a＞4时，令f（2）=3，即a2﹣8a+14=0，解得；a=4±，故a=4+；综上有；a=﹣或4+25．解：原式=（x）2+．∵（x）2≥0．∴原式＞0恒成立；当x=时，原式有最小值为26．解：由题意设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c，把A（0，2）、B（2，0）、C（﹣1，2）分别代入二次函数解析式，得：解得所以函数解析式为：y=﹣x2﹣x+2，配方得：y=﹣（x﹣）2+，所以二次函数有最大值且最大值为：27．解：（1）∵在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，∴BC=2，AC=，而两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C ∴Q的速度是P的速度的（2+1）÷=倍；（2）∵设AP=x，△APQ的面积是y，①当Q在AB上，即时，，②当Q在BC上，即时，，即：；（3）对于（）当时，对于（≤x≤）当时，，∵，∴当时，．28．解：设C（m，2m+1），D（m，m2），则CD=2m+1﹣m2=﹣m2+2m+1=﹣（m﹣1）2+2，当m=1时，CD有最大值229．解：原式=（x﹣）2﹣，∴当x=时，原式有最小值为﹣30．解：（1）y=2x2﹣4ax+a2+2a+2，y=2（x﹣a）2﹣a2+2a+2，当x=a时，y有最小值为3﹣（a﹣1）2；（2）当﹣1≤x≤2时，3﹣（a﹣1）2=2，解得a=0或a=2，当x＜﹣1时，则当x=﹣1时y=2，解得，当x＞2时，则当x=2时y=2，解得a=4，所以：a=0或a=2或或a=431．解：（1）当1≤x≤2时，y=x2﹣x+x+1=x2+1，当x=1时取最小值为2，x=2时取最大值为5；（2）当﹣2≤x≤﹣1时，y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，当x=﹣1时，y取得最小值为2，当x=﹣2时，y取得最大值为7；（3）当﹣1≤x≤0时，y=x2﹣x+x+1=x2+1，当x=﹣1时，y取最大值为2，当x=0时，y取最小值为1；（4）当0≤x≤1时，y=x﹣x2+x+1=﹣（x﹣1）2+2，当x=1时y取最大值为2，当x=0时y取最小值为1；综上所述：y的最大值为7，最小值为132．解：∵y=（k﹣1）x2﹣2（k﹣1）x﹣k，=（k﹣1）（x﹣1）2﹣2k+1，∴当k＞1时，函数有最小值为﹣2k+1，当k＜1时，函数有最大值为﹣2k+133．解：（1）若，即﹣1≤a≤1，抛物线开口向下，当时，y最大值=2a，∵二次函数最大值﹣3，即与﹣1≤a≤1矛盾，舍去．（2）若当时，y随x增大而减小，当时，y最大值=﹣a2+4a﹣1，由又a＞1，∴（3）若当时，y随x增大而增大，当时，y最大值=﹣a2﹣1，由又a＜﹣1，∴综上所述，或34．最小值===．35．解：（1）3﹣k＜0，即k＞3时，函数有最大值2；（2）3﹣k＞0，即k＜3时，函数有最大小236．解：二次函数的对称轴为直线x=﹣=t，①﹣1≤t≤1时，x=t时，函数有最大值y=t2﹣2t•t+1=﹣t2+1，②t＜﹣1时，x=1时，函数有最大值y=12﹣2t•1+1=﹣2t+2，③t＞1时，x=﹣1时，函数有最大值y=（﹣1）2﹣2t•（﹣1）+1=2t+237．解：（1）若，即﹣1≤a≤1，抛物线开口向下，当时，y最大值=2a，∵二次函数最大值﹣3，即与﹣1≤a≤1矛盾，舍去．（2）若当时，y随x增大而减小，当时，y最大值=﹣a2+4a﹣1，由又a＞1，∴（3）若当时，y随x增大而增大，当时，y最大值=﹣a2﹣1，由又a＜﹣1，∴综上所述，或38．解：（1）若x2﹣4≥0，即|x|≥2，则y=x2﹣3x﹣4∴，若x2﹣4≤0，即|x|≤2，则y=﹣x2﹣3x+4∴，∴（2≤x≤5），当x=5时，y最大值=6；当x=2时，y最小值=﹣6，对（﹣2≤x≤2），当时，；x=2时，y最小值=﹣6，综上所述，x=2时，y最小值=﹣6；当时，；（2）由2x+y=1得，y=1﹣2x，由|y|≤1得﹣1≤x≤1故0≤x≤1，∴z为开口向上，对称轴为的抛物线，虽然有最小值，但不在0≤x≤1的范围内，因此不是所求的最值．又x=0时，z=3；x=1时，z=21．∴所求的最小值为339．解：对称轴为直线x=﹣=a，①a＜﹣2时，x=﹣2时，y有最小值，最小值=（﹣2）2﹣2a×（﹣2）﹣3=4+4a﹣3=4a+1，x=2时，y有最大值，最大值=22﹣2a×2﹣3=4﹣4a﹣3=﹣4a+1；②﹣2≤a≤0时，x=a时y有最小值，最小值=a2﹣2a•a﹣3=﹣a2﹣3，x=2时，y有最大值，最大值=22﹣2a×2﹣3=4﹣4a﹣3=﹣4a+1；③0＜a≤2时，x=a时y有最小值，最小值=a2﹣2a•a﹣3=﹣a2﹣3，x=﹣2时，y有最大值，最大值=（﹣2）2﹣2a×（﹣2）﹣3=4+4a﹣3=4a+1；④a＞2时，x=2时，y有最小值，最小值=22﹣2a×2﹣3=4﹣4a﹣3=﹣4a+1，x=﹣2时，y有最大值，最大值=（﹣2）2﹣2a×（﹣2）﹣3=4+4a﹣3=4a+140．解：∵|x+1|≤6，解得：﹣7≤x≤5，∴当﹣7≤x＜0时，y=﹣x2﹣2x+1=﹣（x+1）2+2，当x=﹣1时，取得最大值为2；当0≤x≤5时，y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故当x=5时，y取得最大值为16．综合上述，原函数式最大值为1641．解：设鸡舍的长为x，则宽为（14﹣2x+2）=8﹣x，所以，鸡舍的面积=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，所以，当x=4，即长与宽都是4时，鸡舍的面积最大，最大值是16m2．答：鸡舍的长与宽都是4m时，鸡舍的面积最大42．解：设梯形上底为x，下底为y，∵AB=2，P是边AB的中点，∠PDC=90°，∴1+y2﹣（1+x2）=4+（y﹣x）2，解得：y=+x，梯形ABCD面积=×（x+y）×2=x+y=x+x+=2x+≥4=4，当x=时，即x=1，y=3时，梯形ABCD面积取得最小值为443．解：将直线x=t，代入y=x2﹣3x，y=﹣x2+9中，得A和B的纵坐标分别为t2﹣3t，﹣t2+9，∴AB=，∴当时，线段AB取得最大值44．解：（1）作OE⊥AD，DF⊥AO，垂足分别为E、F，由垂径定理可知AE=AD=x，易证Rt△ADF∽Rt△AOE，∴=，即=，解得AF=x2，∴CD=AB﹣2AF=2﹣x2，∴y=2x+2+2﹣x2=﹣x2+2x+4，∵OA=1，AF=x2，∴x2＜1∴0＜x＜；（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣1）2+5，∴x=1时，周长最大为545．解：由正弦定理得：BQ=2cosB，CQ=2cosC，由上可推出BC=2（cosB+cosC），AB=BC，AC=BC，∴S△ABC=×AB×AC×sinA，∵三边固定，当面积最大时，sinA=1，∠A=90°，又∠APR=∠ARP=∠QPR=∠QRP所以△APR相似于△QPR因为PR边公用，所以AP=AR=QP=QR=1AB=AC=2，∴S△ABC=×AB×AC×sinA=246．解：函数，∴y=+﹣，（1）当0≤≤1时，m=﹣，（2）当＜0时，m=，（3）当＞1时，m=1﹣a+，综上知：a=1时，m有最大值0.2547．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴当﹣2≤x≤4时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为：2×42+4×4+1=49；（2）∵二次函数y=2x2+4x+1的对称轴为直线x=﹣1，∴由对称性可知，当x=﹣4和x=2时函数值相等，∴若p≤﹣4，则当x=p时，y的最大值为2p2+4p+1，若﹣4＜p≤2，则当x=2时，y的最大值为17；（3）t＜﹣2时，最大值为：2t2+4t+1=31，整理得，t2+2t﹣15=0，解得t1=3（舍去），t2=﹣5，t≥﹣2时，最大值为：2（t+2）2+4（t+2）+1=31，整理得，（t+2）2+2（t+2）﹣15=0，解得t1=1，t2=﹣7（舍去），所以，t的值为1或﹣548．解：（1）第t秒钟时，AP=tcm，故PB=（6﹣t）cm，BQ=2tcm，故S△PBQ=•（6﹣t）•2t=﹣t2+6t∵S矩形ABCD=6×12=72．∴S=72﹣S△PBQ=t2﹣6t+72（0＜t＜6）；（2）∵S=t2﹣6t+72=（t﹣3）2+63，∴当t=3秒时，S有最小值63cm249．解：设C（m，2m+1），D（m，m2），则CD=2m+1﹣m2=﹣m2+2m+1=﹣（m﹣1）2+2，当m=1时，CD有最大值250．解：（1）∵在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，∴BC=2，AC=，而两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C ∴Q的速度是P的速度的（2+1）÷=倍；（2）∵设AP=x，△APQ的面积是y，①当Q在AB上，即时，，②当Q在BC上，即时，，即：；（3）对于（）当时，对于（≤x≤）当时，，∵，∴当时，51．解：设平行四边形AGEF的面积是S．∵四边形AGEF是平行四边形，∴EF∥AG；∵∠A=30°，∠C=90°，CE=x，BC=6，∴∠A=∠CFE=30°，∴CF=x，AC=6，∴AF=6﹣x；∴S=AF•CE=（6﹣x）x=﹣x2+6x，即S=﹣x2+6x；（1）当x=2时，S=﹣4+12=8，即S=8．答：平行四边形AGEF的面积为（平方单位）…4分（2）由S=﹣x2+6x，得，∴，∴当x=3时，平行四边形AGEF的面积最大，最大面积是（平方单位）…9分52．解：（1）在Rt△ABC中，AC==6，∴tanB=．∵DE∥AC，∴∠BDE=∠BCA=90°．∴DE=BD•tanB=x，CD=BC﹣BD=8﹣x．设△ADE中DE边上的高为h，∵DE∥AC，∴h=CD．∴y=DE•CD=•（8﹣x），即y=+3x．自变量x的取值范围是0＜x＜8；（2）x==4时，y最大==6．即当x=4时，△ADE的面积最大为653．（1）证明：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∵两条纸条宽度相同（对边平行），∴AB∥CD，AD∥BC，AE=AF，∴四边形ABCD是平行四边形，∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF，又∵AE=AF，∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm，由勾股定理：x2=（8﹣x）2+22，得：4x=17，即菱形的最大周长为17cm．当两张纸条如图所示放置时，即是正方形时取得最小值为：2×4=8．54．解：在Rt△BPQ中，设PB=x，由∠B=60°，得：BQ=，PQ=，从而有PC=CR=a﹣x，∴△BPQ与△CPR的面积之和为：S=x2+（a﹣x）2=（x﹣a）2+a2，∵0≤x≤a，∴当x=0时，S取最大值a2，当x=a时，S取最小值a255．解：k可取值﹣1，1，2（1）当k=1时，函数为y=﹣4x+4，是一次函数（直线），无最值；（2）当k=2时，函数为y=x2﹣4x+3，为二次函数．此函数开口向上，只有最小值而无最大值；（3）当k=﹣1时，函数为y=﹣2x2﹣4x+6，为二次函数．此函数开口向下，有最大值．因为y=﹣2x2﹣4x+6=﹣2（x+1）2+8，则当x=﹣1时，函数有最大值为856．解：设A（m，0），B（n，0），则m，n是方程x2+bx+c=0的两个根，∵y=x2+bx+c过点C（0，3），∴c=3，又∵S△ABC=|AB|•|OC|=|AB|•3=9，∴|AB|=6，∴|m﹣n|=6，即（m+n）2﹣4mn=36，而，∴b2﹣12=36，b=±4，∴y=x2±4x+3=（x±2）2﹣9，∴所求的最小值为﹣957．解：（1）在矩形PFOE中，OF=PE=x，∵AO=8，BO=6，∴tanB==，即=，解得PF=（6﹣x），∴矩形PFOE的面积为S=PE•PF=x•（6﹣x）=﹣x2+8x，即S=﹣x2+8x；（2）∵S=﹣x2+8x=﹣（x2﹣6x+9）+12=﹣（x﹣3）2+12，∴当x=3时，矩形PFOE的面积S最大，最大面积是1258．解：（1）当a=3时，方程组为，②×2得，4x﹣2y=2③，①+③得，5x=5，解得x=1，把x=1代入①得，1+2y=3，解得y=1，所以，方程组的解是；（2）方程组的两个方程相加得，3x+y=a+1，所以，S=a（3x+y）=a（a+1）=（a+）2﹣，所以，当a=﹣时，S有最小值﹣59．解：（1）∵PE∥CB，∴∠AEP=∠ADC，又∵∠EAP=∠DAC，∴△AEP∽△ADC，（2分）∴=，∴=，（3分）∴．（4分）（2）由四边形PEDQ1是平行四边形，可得EP=DQ1．（5分）即x=3﹣x，所以x=1.5．（6分）∵0＜x＜2.4（7分）∴当Q在线段CD上运动1.5秒时，四边形PEDQ是平行四边形．（8分）（3）S四边形EPDQ2=（x+x﹣3）•（4﹣x）（9分）=﹣x2+x﹣6=﹣（x﹣）2+，（10分）又∵2.4＜x＜4，（12分）∴当x=时，S取得最大值，最大值为60.解 ：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x ，AB=30， ∴BF=2x-30．（2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°， ∴∠BGF=∠F=45°．∴BG=BF=2x-30，∴S=S DEF △−S GBF △＝21DE ²−21BF ² =21 x ²−21(2x −30)² =−23 x ²+60x −450． （3）S=−23 x ²+60x −450＝−23 (x −20)²+150． ∵a ＝−23 ＜0，15＜20＜30， ∴当x=20时，S 有最大值，最大值为150。

中考必练二次函数综合应用题(带答案)

中考必练二次函数综合应用题(带答案)

中考必练二次函数综合应用题(带答案)二次函数应用题1．某果农在销瓯柑时，经市场调査发现：瓯柑若售价为5元/千克，日销售量为34千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设瓯柑售价为x元/千克（x≥5且为正整数）．(1)若某日销售量为24千克，求该日瓯柑的单价；(2)若政府将销售价格定为不超过15元/千克．设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值；(3)市政府每日给果农补贴a元后（a为正整数），果农发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过350元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于340元，请直按写出所有符合题意的a的值．2．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是40元，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．x>），请你分别用x的代数式来表示销售(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（40量y件和销售该品牌玩具获得利润ω元．(2)在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？3．某地草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售后，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．(2)若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？4．某服装厂批发应季T恤衫，其单价y（元）与一次批发数量x（件）（x为正整数．．．．）之间的关系满足图中折线的函数关系．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若每件T 恤衫的成本价是60元，当100400x <≤时，求服装厂所获利润w （元）与x （件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？ 5．问题提出(1)如图①，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点F 是AB 的中点，点E 在BC 上，2BE EC =，连接FE 并延长交DC 的延长线于点G ，求CG 的长；问题解决(2)如图②，某生态农庄有一块形状为平行四边形ABCD 的土地，其中4km AB =，6km BC =，60B ∠=︒．管理者想规划出一个形状为EMP 的区域建成亲子采摘中心，根据设计要求，点E 是AD 的中点，点P 、M 分别在BC 、AB 上，PM AB ⊥．设BP 的长为(km)x ，EMP 的面积为y 2(km )．①求y 与x 之间的函数关系式；②为容纳更多的游客，要求EMP 的面积尽可能的大，请求出EMP 面积的最大值，并求出此时BP 的长．6．某公司分别在A ，B 两城生产同种产品，共100件．A 城生产产品的成本y （万元）与产品数量x （件)之间具有函数关系220100y x x =++，B 城生产产品的每件成本为60万元．(1)当A 城生产多少件产品时，A ，B 两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？(2)从A 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为1万元/件和3万元/件；从B 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C 地需要90件，D 地需要10件，在（1）的条件下，怎样调运可使A ，B 两城运费的和最小？7．安徽省在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y （万元）与年产量x （万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为W万元．（毛利润=销售额-生产费用）(1)请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）(2)求W与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）：并求年产量多少万件时，所获毛利润最大(3)由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润8．某商场销售一款服装，经市场调查发现，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如表格所示．同时，商场每出售1件服装，还要扣除各种费用150元．销售单价x（元/件）260240220销售量y（件）637791(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，商场每月能够获得最大利润？最大利润是多少？(3)4月底，商场还有本款服装库存580件．若按（2）中获得最大月利润的方式进行销售，到12月底商场能否销售完这批服装？请说明理由．9．某商店购进一批成本为每件30元的商品，销售单价为40元时，每天销售量为80件，经调查发现，销售单价每上涨1元，每天销售量减少2件．设该商品每天的销售量y （件）与销售单价x（元）．(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；(2)求当销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？(3)若商店按单价不低于成本价且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？(4)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，试利用函数图象确定销售单价最多为多少元？10．某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至70元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．为了实现每月获得最大的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？最大利润为多少元？【参考答案】二次函数应用题1．(1)10元/千克(2)2244w x x =-+（515x ≤≤，且x 为正整数）最大值是242元，最小值为170元(3)106 107 108【解析】【分析】（1）根据售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，且某日销售量为24千克，列方程可解答；（2）根据题意，利用销售额等于销售量乘以销售单价，列出函数关系式，根据二次函数的性质及配方法可求得答案；（3）由题意得：2340244350x x a ≤-++≤，由二次函数的对称性可知x 的取值为9，10，11，12，13，从而计算可得a 值．(1)解：根据题意得342524x --=（）， 解得10x =．答：该日瓯柑的单价是10元/千克；(2)解：根据题意得222342524422212112121124]2[w x x x x x x x =--=-+=--+-=--+（）（）（），由题意得515x ≤≤，且x 为正整数，∵20-＜ ，∴11x =时，w 有最大值是242元，∵11-5=6，15-11=4，抛物线开口向下，∴5x =时，w 有最小值是22511242170--+=（）元；则w 关于x 的函数表达式为：23425244[]w x x x x =--=-+（）（515x ≤≤，且x 为正整数）；(3)解：由题意得2340244350x x a ≤-++≤，∵只有5种不同的单价使日收入不少于340元，5为奇数，∴由二次函数的对称性可知，x 的取值为9，10，11，12，13当9x =或13时，2244234x x -+=；当10x =或12时，2244240x x -+=，当11x =时，2244242x x -+=．∵补贴后不超过350元，234+106=340，242+108=350，∴当106a =或107或108时符合题意．答：所有符合题意的a 值为：106，107，108．【点睛】本题主要考查二次函数的应用．得到每天可售出的千克数是解决本题的突破点；本题需注意x 的取值应为整数．解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、根据销售额的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质．2．(1)y=1000−10x ，w =−10x 2＋1300x −30000；(2)商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．【解析】【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，得y ＝600−（x −40）×10＝1000−10x ，利润w ＝（1000−10x ）（x −30）＝−10x 2＋1300x −30000；（2）首先求出x 的取值范围，然后把w ＝−10x 2＋1300x −30000转化成y ＝−10（x −65）2＋12250，结合x 的取值范围，求出最大利润．(1)解：由题意得：销售量y=600−（x −40）×10=1000−10x ，销售玩具获得利润w =（1000−10x ）（x −30）=−10x 2＋1300x −30000；(2)解：根据题意得10001054045x x -≥⎧⎨≥⎩， 解之得：45≤x ≤46，w ＝−10x 2＋1300x −30000＝−10（x −65）2＋12250，∵a ＝−10＜0，对称轴是直线x ＝65，∴当45≤x ≤46时，w 随x 增大而增大．∴当x ＝46时，w 最大值＝8640（元）．答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．3．(1)10300y x =-+，1030x ≤≤；(2)当该品种的草莓定价为20元时，每天销售获得的利润最大，为1000元．【解析】【分析】（1）由图象可知每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间是一次函数的关系，设y kx b =+，将(10,200)，(15,150)代入解析式求解即可；（2）设利润为w 元，求得w 与x 的关系式，然后利用二次函数的性质求解即可．(1)解：由图象可知每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间是一次函数的关系， 设y kx b =+，将(10,200)，(15,150)代入解析式，可得1020015150k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得10300k b =-⎧⎨=⎩ 即10300y x =-+，由题意可得，10x ≥，103000x -+≥，解得1030x ≤≤即10300y x =-+，1030x ≤≤，(2)解：设利润为w 元，则2(10)(10300)104003000w x x x x =--+=-+-，∵100-<，开口向下，对称轴为20x，1030x ≤≤ ∴当20x时，w 有最大值，为1000元，【点睛】此题考查了一次函数与二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质，理解题意，找到题中的等量关系，正确列出函数关系式．4．(1)100(0100)1110(100400)1070(400)y x y y x x y x =≤≤⎧⎪⎪==-+<≤⎨⎪=>⎪⎩ (2)一次批发250件时，获得的最大利润为6250元【解析】【分析】（1）利用待定系数法结合图象求出解析式；（2）根据件数乘以单件的利润列得函数关系式，根据二次根式的性质解答．(1)解：当0≤x ≤100时，y =100；当100<x ≤400时，设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，则10010040070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得110110k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴111010y x =-+； 当x >400时，y =70； 综上，100(0100)1110(100400)1070(400)y x y y x x y x =≤≤⎧⎪⎪==-+<≤⎨⎪=>⎪⎩ (2)11106010w x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭=215010x x -+=()21250625010x --+ 当x =250时，w 有最大值，即一次批发250件时，最大利润为6250元．【点睛】此题考查了求函数解析式，二次函数的最值问题，正确理解函数图象求出函数解析式是解题的关键．5．(1)1CG =(2)①2311388y x x =-+；②EMP 面积的最大值为21213km 32，此时BP 的长为11km 2 【解析】【分析】（1）证明FEB GEC △∽△，依据相似三角形的性质进行求解即可；（2）①分点P 在点H 左侧和右侧两种情况讨论求解即可；②由二次函数的性质可得解．(1)在矩形ABCD 中，90ABC BCD BCG ∠=∠=∠=︒，∵FEB GEC ∠=∠，∴FEB GEC △∽△，∴BF BE CG CE =， ∵4AB =，6BC =，点F 是AB 的中点，2BE EC =，∴2BF =，4BE =，2CE =，∴242CG =， ∴1CG =.(2)①过点E 作EH //AB 交BC 于点H ，交射线MP 于点G ，易得四边形ABHE 是平行四边形， ∴4EH AB ==.∵EH //AB ，PM AB ⊥，∴60PHG B ∠=∠=︒，EG PM ⊥，即EG 是PME △边MP 上的高.∵点E 是AD 的中点，∴3BH AE ==.如图1-1，当点P 在点H 左侧时，3PH x =-，∴1322x HG PH -==， ∴311422x x EG EH HG --=+=+=. 如图1-2，当点P 在点H 右侧时，3PH x =-，∴1322x HG PH -==， ∴311422x x EG EH HG --=-=-=， ∴PME △的边MP 上的高112x EG -=. 在Rt MBP 中，3sin 60x MP BP =⋅︒=∴2113113113222x x y MP EG x -=⋅==. ②)222311333111213112y x x x x ⎫==-=-⎪⎝⎭ ∴当112x =时，1213y =最大 ∴EMP 21213，此时BP 的长为11km 2. 【点睛】 本题是一道相似形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角函数值的运用．在解答时添加辅助线构建全等形和相似形是关键．6．(1)A 城生产20件，最小值是5700万元；(2)从A 城把该产品运往C 地的产品数量为20件，则从A 城把该产品运往D 地的产品数量为0件；从B 城把该产品运往C 地的产品数量为70件，则从B 城把该产品运往D 地的产品数量为10件时，可使A ，B 两城运费的和最小．【解析】【分析】（1）设A ，B 两城生产这批产品的总成本的和为W （万元），则W 等于A 城生产产品的总成本加上B 城生产产品的总成本，由此可列出W 关于x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；（2）设从A 城把该产品运往C 地的产品数量为n 件，分别用含n 的式子表示出从A 城把该产品运往D 地的产品数量、从B 城把该产品运往C 地的产品数量及从B 城把该产品运往D 地的产品数量，再列不等式组求得n 的取值范围，然后用含n 的式子表示出A ，B 两城总运费之和P ，根据一次函数的性质可得答案．(1)解：设A ，B 两城生产这批产品的总成本的和为W （万元），则22010060(100)W x x x =+++-2406100x x =-+2(20)5700x =-+，∴当20x时，W 取得最小值，最小值为5700万元， ∴城生产20件，A ，B 两城生产这批产品成本的和最小，最小值是5700万元；(2) 设从A 城把该产品运往C 地的产品数量为n 件，则从A 城把该产品运往D 地的产品数量为(20)n -件，从B 城把该产品运往C 地的产品数量为(90)n -件，则从B 城把该产品运往D 地的产品数量为(1020)n -+件，运费的和为P （万元），由题意得：20010200n n -⎧⎨-+⎩， 解得1020n ，3(20)(90)2(1020)P n n n n =+-+-+-+60390220n n n n =+-+-+-2130n n =-+130n =-+，根据一次函数的性质可得：P 随n 增大而减小，∴当20n =时，P 取得最小值，最小值为110，∴从A 城把该产品运往C 地的产品数量为20件，则从A 城把该产品运往D 地的产品数量为0件；从B 城把该产品运往C 地的产品数量为70件，则从B 城把该产品运往D 地的产品数量为10件时，可使A 、B 两城运费的和最小．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系并熟练掌握一次函数和二次函数的性质．7．(1)21(0100)10y x x =≤≤，130(0100)10z x x =-+≤≤； (2)21(75)1125(0100)5W x x =--+≤≤，年产量75万件时，所获毛利润最大； (3)今年最多可获得1080万元的毛利润【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出y 与x 以及z 与x 之间的函数关系式；（2）根据（1）的表达式及毛利润=销售额-生产费用，可得出w 与x 之间的函数关系式； （3）首先求出x 的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可．(1)解：设y 与x 之间的函数关系式为2y ax =，21000100a =⨯，得110a =， 即y 与x 之间的函数关系式为21(0100)10y x x =≤≤； 设z 与x 的函数关系式为z kx b =+，3010020b k b =⎧⎨+=⎩，得1,1030k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 即z 与x 的函数关系式为130(0100)10z x x =-+≤≤； (2)解：由题意可得， 2211130(75)112510105W zx y x x x x ⎛⎫=-=-+-=--+ ⎪⎝⎭， 即W 与x 之间的函数关系式为21(75)1125(0100)5W x x =--+≤≤， ∵21(75)11255W x =--+， ∴当75x =时，W 取得最大值，此时1125W =，即年产量75万件时，所获毛利润最大；(3)解：∵今年投入生产的费用不会超过360万元，∴360y ≤，令y =360，得2136010x =， 解得：x =±60（负值舍去），由图象可知，当0＜y ≤360时，0＜x ≤60， ∵21(75)11255W x =--+， ∴当60x =时，W 取得最大值，此时1080W =，即今年最多可获得1080万元的毛利润．【点睛】本题考查了二次函数的应用及一次函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，注意培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．8．(1)724510y x =-+ (2)当售价为250元时，商场每月所获利润最大，最大利润为7000元(3)不能，理由见解析【解析】【分析】（1）根据表格数据判断为一次函数，设y kx b =+，用待定系数法求出解析时； （2）利润=单件利润⨯销售数量，化简为二次函数的顶点式，根据函数性质判断； （3）计算按（2）中获得最大月利润的方式进行销售时的数量，与580比较．(1)解：由表格可知，此函数为一次函数，故设y kx b =+；则有24077{22091k b k b +=+=， 解得710245k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 724510y x ∴=-+； (2)设销售利润为w 元，由题意得：7(150)(245)10w x x =--+ 273503675010x x =-+- 27(250)700010x =--+ 7010a =-<， w ∴有最大值，∴当250x =时，w 取最大值，7000w =最大，答：当售价为250元时，商场每月所获利润最大，最大利润为7000元；(3)当250x =时，70y =（件），70(124)560580⨯-=<，∴12月底不能销售完这批服装．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，解题关键用待定系数法求出一次函数解析式，注意二次函数最值讨论时,一般整理成顶点式，再通过看a 值确定最大值或最小值． 9．(1)y ＝－2x ＋160(2)定价为55元时，每天的销售利润有最大值为1250(3)销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元(4)70元【解析】【分析】（1）根据题意可得y 与x 的关系式；（2）由题意得w =（x -30）（-2x +160）=-2（x -55）2+1250，即可求解；（3）根据二次函数的关系式和单价的取值范围可得最大利润；（4）由题意可得：（x -30）（-2x +160）=800，再根据函数的图象可得答案．(1)依题意得，y ＝80－2（x －40）＝－2x ＋160；(2)由题意得：2(30)(2160)2(55)1250w x x x =--+=--+，20-<，∴当55x =时，w 有最大值，此时，1250w =，(3)20-<，故当55x <时，w 随x 的增大而增大，而3050x ≤≤，∴当50x =时，w 有最大值，此时，1200w =，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；(4)由题意得：(30)(2160)800x x --+≥，解得：4070x ≤≤，∴销售单价最多为70元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用销量×每件的利润=w 得出函数关系式是解题关键．10．这种台灯的售价应定为65元时，最大利润为12250元．【解析】【分析】设这种台灯应涨价x 元，那么就少卖出10x 个，根据“总利润=每个台灯的利润×销售量”列出函数解析式，最后运用二次函数求最值即可．【详解】解：设售价为x 元，根据题意得：()()()2306001040106512250W x x x =---=--+⎡⎤⎣⎦，∴当x ＝65时，12250y =最大，答：这种台灯的售价应定为65元时，最大利润为12250元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据“总利润=每个台灯的利润×销售量”列出函数解析式是解答本题的关键．。

中考数学二次函数大题 二次函数最值问题

中考数学二次函数大题 二次函数最值问题

二次函数最值问题题型一竖直线段（或水平线段）最值问题典例剖析例1如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标及DF的最大值．跟踪训练1．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值．2．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，直线y＝x+3经过A、B两点．（1）求二次函数的表达式；（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AB 于点D，求线段PD的最大值．过关精练1．已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A（3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值．题型二斜线段最值问题典例剖析例1如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（4，0）、B（1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一点过点P作PH⊥AC于点H，求线段PH长度的最大值．例2 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B 的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）连结BD，求直线BD的表达式；（2）点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，当MN取得最大值时，求点N的坐标．1．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y 轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E 作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．当EF取最大值时，求点D的坐标．1．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．2. 在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，5）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；题型三 线段和差最值问题典例剖析例1 如图，抛物线L ：y ＝x 2﹣x ﹣3与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求直线AB 的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，PC 交AB 于点D ，求PD +BD 的最大值，并求出此时点P 的坐标．例2 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （-1，0），B （25，0），直线y=x+21与抛物线交于C ，D 两点，点P 是抛物线在第四象限内图象上的一个动点．过点P 作PG⊥CD，垂足为G ，PQ∥y 轴，交x 轴于点Q ．（1）求抛物线的函数表达式； （2）当2PG+PQ 取得最大值时，求点P 的坐标和2PG+PQ 的最大值1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A （1，0）、B 两点，与y 轴交于点C （0，4），且抛物线的对称轴为直线x=23-． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线BC 上方的抛物线上有一动点M ，过点M 作MN⊥x 轴，垂足为点N ，交直线BC 于点D ；是否存在点M ，使得MD+22DC 取得最大值，若存在请求出它的最大值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=23212--x x 交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 左侧）．一次函数y=21x+b 与抛物线交于A 、D 两点，交y 轴于点C ． （1）求点D 的坐标；（2）点E 是线段CD 上任意一点，过点E 作EF⊥y 轴于点F ，过点E 作EP⊥AD 交抛物线于点P ．点P 位于直线AD 下方，求EF PE 455+的最大值及相应的P 点坐标．1. 抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E，当PE+EC的值最大时，求出对应的点P的坐标．题型四 周长最值问题典例剖析例1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过(0,1)A -，(4,1)B ．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ，//PE x 轴，交AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当PDE ∆的周长取得最大值时，求点P 的坐标和PDE ∆周长的最大值．例2 如图，抛物线y=﹣x 2+2x+3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD 与y 轴交于点E ．（1）求直线AD 的解析式；（2）如图1，直线AD 上方的抛物线上有一点F ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H ，求△FGH 周长的最大值；跟踪训练1.在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q．（1）如图1，连接AC，BC，求直线BC的表达式；（2）若点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，作PF ⊥BC于点F．当△PEF的周长最大时，求△PEF的周长最大值及此时点P的坐标．2．如图1，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，连接AD、BD．（1）如图1，连接AC、BC，若点P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥BC 交AC于点E，作PQ∥y轴交AC于点Q，当△PQE周长最大时，求点P的坐标．过关精练1. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（2，0），B（-4，0），与y轴交于C（0，-3），连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作PE∥y轴交BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；题型五面积最值问题典例剖析例1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接P A，PD，求△P AD面积的最大值．例2 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（﹣，0），直线BC的解析式为y＝﹣x+2．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标．跟踪训练1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接P A，PB，求△P AB面积的最大值．2. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F 为y轴上一点，求△PBE的最大面积及点P的坐标．A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．求△PCE的最大面积及点P的坐标．过关精练1．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△P AB的面积最大？2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接AC，求△P AC面积的最大值及此时点P的坐标．在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．（1）试判断△ABC的形状；（1）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，求△PCD的最大面积及点P的坐标．4．如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M 的坐标．5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），直线BC的解析式为y＝x﹣2，过点A作AD∥BC交抛物线于点D，点E为直线BC下方抛物线上一点，连接CD，DB，BE，CE．（1）求抛物线的解析式；（2）求四边形DBEC面积的最大值，以及此时点E的坐标．题型六 其他最值问题典例剖析已知：抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （-1，0），B （3，0），C （0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 为直线BC 上方抛物线上任意一点，连PC 、PB 、PO ，PO 交直线BC 于点E ，设k OEPE ，求当k 取最大值时点P 的坐标，并求此时k 的值．跟踪训练1.已知抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A （-2，0）、B （6，0）两点，与y 轴交于点C （0，-3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在直线BC 下方的抛物线上，连接AP 交BC 于点M ，当AM PM 最大时，求点P 的坐标及AMPM 的最大值。

二次函数的最值(4种题型)(解析版)--初中数学专题训练

二次函数的最值(4种题型)(解析版)--初中数学专题训练

二次函数的最值(4种题型)【题型细目表】题型一：利用二次函数的对称性求最短路径题型二：面积最值问题题型三：最大利润问题题型四：线段最值问题【考点剖析】题型一：利用二次函数的对称性求最短路径一、填空题1(浙江宁波·九年级宁波东海实验学校校考期中)如图，抛物线y =ax 2+bx +3过点A (1，0)，B (3，0)，与y 轴相交于点C ．若点P 为线段OC 上的动点，连结BP ，过点C 作CN 垂直于直线BP ，垂足为N ，当点P 从点O 运动到点C 时，点N 运动路径的长为【答案】324π【分析】先求出抛物线的解析式，连接BC ，可得点N 的路径是以BC 的中点M 为圆心，BC 长的一半为半径的OC ，，求出OC的长度即可．【详解】解：把点A (1，0)，B (3，0)，代入抛物线，则0=a +b +30=9a +3b +3 ，解得：a =1b =-4 ，∴y =x 2-4x +3；连接BC ，可得点N 的路径是以BC 的中点M 为圆心，BC 长的一半为半径的OC ，连接OM ，如图：∵OB =OC =3，∴OM ⊥BC ，∴∠OMC =90°，∵BC =OB 2+OC 2=32+32=32，∴OM =322，∴点N 运动路径的长为：90π180•322=324π；故答案为：324π．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、弧长公式，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．2(浙江杭州·九年级翠苑中学校联考期中)若抛物线y =-x 2+2x +m +1(m 为常数)交y 轴于点A ，与x 轴的一个交点在2和3之间，抛物线顶点为点B ．①抛物线y =-x 2+2x +m +1与直线y =m +2有且只有一个交点；②若点M (-2，y 1)、点N 12，y 2、点P (2，y 3)在该函数图象上，则y 1<y 2<y 3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y =-(x +1)2+m ；④点A 关于直线x =1的对称点为C ，点D 、E 分别在x 轴和y 轴上，当m =1时，四边形BCDE 周长的最小值为3+2+13．其中正确的是．(填序号)【答案】①③【分析】①联立抛物线y =-x 2+2x +m +1与直线y =m +2，然后根据韦达定理可进行判断；②根据二次函数的增减性可直接进行判断；③根据图象平移可直接进行求解；④由题意画出函数图象，进而作点B 关于y 轴的对称点B ，作点C 关于x 轴的对称点C ，连接B C 与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点，最后问题可求解．【详解】解：联立抛物线y =-x 2+2x +m +1与直线y =m +2可得：x 2-2x +1=0，其中Δ=4-4=0，∴此方程有两个相等的实数根，∴抛物线y =-x 2+2x +m +1与直线y =m +2有且只有一个交点，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x =-b 2a=1，且a =-1<0，开口向下，∴根据抛物线的性质可知离对称轴越近，所对应的函数值越大，∵点M (-2，y 1)、点N 12，y 2、点P (2，y 3)在该函数图象上，∴y 1<y 3<y 2，故②错误；由将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为：y =-x +2 2+2x +2 +m +1-2=-x +1 2+m ，故③正确；当m =1时，抛物线解析式为y =-x 2+2x +2，∴A 0,2 ,B 1,3 ,C 2,2 ，作点B 关于y 轴的对称点B ，作点C 关于x 轴的对称点C ，连接B C 与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点，如图所示：∴B -1,3,C 2,-2，∴BE+ED+CD+BC=B E+ED+C D+BC=B C +BC，根据两点之间线段最短，知B C 最短，而BC长度一定，∴此时四边形BCDE的周长为B C +BC最小，由两点距离公式可得：B C +BC=2+12+-2-32+2-12+2-32=34+2，故④错误；综上所述：正确的有①③；故答案为①③．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及轴对称，熟练掌握二次函数的图象与性质及轴对称是解题的关键．二、解答题3(浙江宁波·九年级统考期末)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过B(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点A．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线的对称轴直线x=-1上找一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；(3)如图2，点Q为直线AC上方抛物线上一点，若∠CBQ=45°，请求出点Q坐标.【答案】(1)y=-x2-2x+3；(2)当点M到点B的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为-1,2；(3)点Q-52 ,74.【分析】(1)根据对称轴方程可得-b2a=-1，把B、C坐标代入列方程组求出a、b、c的值即可得答案；(2)根据二次函数的对称性可得A点坐标，设直线AC与对称轴x=-1的交点为M，可得MB=MA，即可得出MB+MC=MC+MA=AC，为MB+MC的最小值，根据A、C坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，把x=-1代入求出y值，即可得点M的坐标.(3)设直线BQ交y轴于点H，过点H作HM⊥BC于点M，利用勾股定理可求出BC的长，根据∠CBQ=45°可得HM=BM，利用∠OCB的正切函数可得CM=3HM，即可求出CM、HM的长，利用勾股定理可求出CH的长，即可得H点坐标，利用待定系数法可得直线BH的解析式，联立直线BQ与抛物线的解析式求出交点坐标即可得点Q坐标.【详解】(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1，∴-b2a=-1，∵抛物线经过B(1，0)，C(0，3)两点，∴-b2a=-1a+b+c=0 c=3，解得：a=-1 b=-2 c=3，∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3.(2)设直线AC的解析式为y=mx+n，∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1，B(0，0)，∴点A坐标为(-3，0)，∵C(0，3)，∴-3m+n=0 n=3，解得：m=1 n=3，∴直线解析式为y=x+3，设直线AC与对称轴x=-1的交点为M，∵点A与点B关于对称轴x=-1对称，∴MA=MB，∴MB+MC=MA+MC=AC，∴此时MB+MC的值最小，当x=-1时，y=-1+3=2，∴当点M到点B的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为-1,2.(3)如图，设直线BQ交y轴于点H，过点H作HM⊥BC于点M，∵B(1，0)，C(0，3)，∴OB=1，OC=3，BC=OB2+OC2=10，∴tan∠OCB=OBCO =13，∵∠CBQ=45°，∴△BHM是等腰直角三角形，∴HM=BM，∵tan∠OCB=HMCM =13，∴CM =3HM ，∴BC =MB +CM =4HM =10，解得：HM =104，∴CM =3104，∴CH =CM 2+HM 2=52，∴OH =OC -CH =3-52=12，∴H 0,12，设直线BH 的解析式为：y =kx +b ，∴k +b =0b =12，解得：k =-12b =12 ，∴BH Q 的表达式为：y =-12x +12，联立直线BH 与抛物线解析式得y =-12x +12y =-x 2-2x +3，解得：x =1(舍去)或x =-52，当x =-52时，y =--52 2-2×-52 +3=74，∴点Q 坐标为-52，74.【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.4(浙江杭州·九年级期末)如图，抛物线y =x 2+bx -3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A (-1，0)．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)点M 是对称轴上的一个动点，当△ACM 的周长最小时，求点M 的坐标．【答案】(1)y =x 2-2x -3，(1，-4)；(2)M (1，-2)【分析】(1)把A的坐标代入函数的解析式，即可求得b的值，然后利用配方法即可求得顶点坐标；(2)直线BC与抛物线的对称轴的交点就是使CM+AM取得最小值的M的点，BC的长就是最小值．【详解】解：(1)∵点A(-1，0)在抛物线y=x2+bx-3上，∴b=-2，∴抛物线解析式y=x2-2x-3，∵抛物线y=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴顶点D的坐标(1，-4)；(2)对于y=x2-2x-3，当x=0时，y=-3，∴C(0，-3)，当y=0时，0=x2-2x-3，解得：x=3或-1，∴B(3，0)，由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，∴连接BC交函数的对称轴于点M，此时AM+CM=BC为最小值，而AC的长度是常数，故此时△ACM的周长最小，设直线BC的表达式为y=mx+n，则0=3m+n n=-3，解得：m=1 n=-3，故直线BC的表达式为y=x-3，当x=1时，y=-2，故点M(1，-2)．【点睛】本题考查了利用配方法确定二次函数的顶点坐标以及对称点的作法，正确确定直线BC与抛物线的对称轴的交点就是使CM+AM取得最小值的M的点，是本题解题的关键．5(浙江绍兴·九年级校联考期中)如图，二次函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交与点C，抛物线的顶点坐标是(2，9)，且经过D(3，8)．(1)求抛物线的函数关系式；(2)求△ABC的面积；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得BM+DM最短？若存在，求出M的坐标．若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-(x-2)2+9；(2)S△ABC=15；(3)M(2，6)【分析】(1)根据顶点坐标可设抛物线的顶点式，再将点D的坐标代入即可得；(2)求出A，B，C点坐标，利用三角形的面积公式即可求解；(3)先求出点D关于对称轴对称的点D'的坐标，从而可得BM+DM=BM+D'M，再根据两点之间线段最短可得当点B，D'，M在一条直线上时，BM+D'M最短，然后利用待定系数法求出直线BD'的函数解析式，最后将点M的横坐标代入即可得．【详解】(1)∵抛物线的顶点坐标为(2，9)，设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+9，∵抛物线经过点D(3，8)，∴(3-2)2•a+9=8，解得a=-1，∴抛物线的函数解析式为y=-(x-2)2+9；(2)令y=-(x-2)2+9=0，解得x1=5，x2=-1，∴A(-1，0)，B(5，0)，令x=0，则y=-(0-2)2+9=5∴C(0，5)∴S△ABC=12AB⋅h=12×6×5=15；(3)存在，求解过程如下：∵二次函数y=-(x-2)2+9的对称轴为直线x=2，∴A(-1，0)，B(5，0)，∵点D(3，8)关于对称轴x=2对称的点的坐标为D'(1，8)，由对称性得：DM=D'M，则BM+DM=BM+D'M，如图，由两点之间线段最短可知，当点B，D'，M在一条直线上时，BM+DM最短，设直线BD'的函数解析式为y=kx+b，把(5，0)，(1，8)代入y=kx+b，得：0=5k+b 8=k+b，解得k=-2b=10，∴y=-2x+10，取x =2，则-2×2+10=6，∴M (2，6)．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的对称性、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．6(2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中)如图，已知抛物线y =-x 2+mx +5与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(5，0)．(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标．(2)点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA +PC 的值最小时，求点P 的坐标．【答案】(1)m =4，顶点坐标为(2，9)(2)P (2，3)【分析】(1)将点(5，0)，代入y =-x 2+mx +5，得其解析式，从而求出m 的值及抛物线的顶点坐标；(2)利用“将军饮马”思路，点A 关于抛物线对称轴l 对称的点是点B ，进而解决问题．【详解】(1)将点(5，0)代入y =-x 2+mx +5得，0=-25+5m +5，m =4，∴抛物线解析式为y =-x 2+4x +5y =-x 2+4x +5=-(x -2)2+9，∴抛物线的顶点坐标为(2，9)；(2)如下图，点A 与点B 是关于直线l 成轴对称，根据其性质有，PA +PC =PC +PB ，当点C 、点P 、点B 共线时，PC +PB =BC 为最小值，即为PA +PC 的最小值，由抛物线解析式为y =-x 2+4x +5=-x -2 2+9，可得点C 坐标为(0，5)，点B 坐标为(5，0)，对称轴l 为x =2，设直线BC 的解释为y =kx +b ，将点C (0，5)，点B (5，0)，代入y =kx +b 得，0=5k +b 5=b ，解得k =-1b =5 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +5，联立方程，y =-x +5x =2 ，解得x =2y =3 ，∴当PA +PC 的值最小时，点P 的坐标为(2，3)．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质和最短路径问题，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．7(浙江宁波·校联考一模)如图，抛物线M 1：y =x 2-4与x 轴的负半轴相交于点A ，将抛物线M 1平移得到抛物线M 2：y =ax 2+bx +c ，M 1与M 2相交于点B ，直线AB 交M 2于点C (8，m )，且AB =BC ．(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)写出一种将抛物线M 1平移到抛物线M 2的方法；(3)在y 轴上找点P ，使得BP +CP 的值最小，求点P的坐标．【答案】(1)A (-2，0)，B (3，5)，C (8，10)；(2)由M 1平移得到抛物线M 2先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；(3)P 0，7011 .【分析】(1)y =0，即求A ；AB =BC ，得B 3，m 2，求出直线AB 的解析式与二次函数求交点，利用根与系数的关系求m 的值，从而确定B 与C 的坐标；(2)抛物线平移前后a 的值不变，由点B (3，5)，C (8，10)在抛物线y =x 2+bx +c 上，确定抛物线解析式，从而得到平移过程；(3)作点B 关于y 轴的对称点B '，连接CB '与y 轴的交点即为P ，求出直线B 'C 的直线解析式的解析式与y 轴交点即为P ；【详解】(1)M 1：y =x 2-4与x 轴的负半轴相交于点A ，∴A (-2，0)，∵AB =BC ，C (8，m )，∴B 3，m 2，设AB 直线解析式为y =kx +b ，∴0=-2k +b m 2=3k +b ，∴k =m 10b =m 5 ，∴y =m 10x +m 5，∵y =x 2-4与y =m 10x +m 5相交于点A 和B ，∴x 2-m 10x +m 5-4=0，∴x 1+x 2=m 10=1，∴m =10，∴B (3，5)，C (8，10)；(2)∵抛物线M 1平移得到抛物线M 2，∴a =1，∵B (3，5)，C (8，10)在抛物线y =x 2+bx +c 上，∴10=64+8b +c 5=9+3b +c，∴b =-10c =26 ，∴y =x 2-10+26=(x -5)2+1，由M 1平移得到抛物线M 2先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；(3)作点B 关于y 轴的对称点B '，连接CB '与y 轴的交点即为P ，∴B '(-3，5)，设直线B 'C 的直线解析式为y =mx +n ，∴5=-3k +b 10=8k +b，∴k =511b =7011 ，∴y =511x +7011，∴P 0，7011.【点睛】本题考查二次函数图象的平移，最短路径问题；掌握二次函数平移前后a 的值不变是解决平移后二次函数解析的关键，通过作对称点，将线段和的最小进行转化是解决最短路径的关键．8(2022秋·浙江金华·九年级校考阶段练习)已知抛物线y =x 2+bx +c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点的坐标为A (-1，0)，与y 轴的交点坐标为C (0，-3)．(1)求抛物线的解析式及与x 轴的另一个交点B 的坐标；(2)根据图象回答：当x 取何值时，y <0？(3)在抛物线的对称轴上有一动点P ，求PA +PB 的值最小时的点P 的坐标．【答案】(1)y =x 2-2x -3，B (3,0)(2)-1<x <3(3)P (1,0)【分析】(1)把A (-1，0)，C (0，-3)代入y =x 2+bx +c ，利用待定系数法求解b ，c ，再求解点B 的坐标即可得到答案；(2)由y <0，可得抛物线的图像在x 轴的下方，结合图象可得x 的取值范围，从而可得答案；(3)由A(-1，0)，B(3，0)关于抛物线的对称轴x=1对称，可得AB与对称轴的交点满足PA+PB 最小，从而可得答案．【详解】(1)把A(-1，0)，C(0，-3)代入y=x2+bx+c，∴1-b+c=0 c=-3，解得：b=-2 c=-3，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3，由x2-2x-3=0，∴(x-3)(x+1)=0，∴x1=3,x2=-1,∴B(3，0)；(2)∵抛物线与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)，y<0，∴抛物线的图象在x轴的下方，结合图象可得：-1<x<3；(3)∵A(-1，0)，B(3，0)，∴对称轴是直线x=1，如图，当A、B、P三点共线时，PA+PB的值最小，此时点P是对称轴与x轴的交点，即P(1，0)．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，利用抛物线的图象解一元二次不等式，掌握以上知识是解题的关键．题型二：面积最值问题一、解答题9(2022·浙江·九年级自主招生)中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦--秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a+b=10,c= 6，求这个三角形面积的最大值，并判断此时三角形的形状．【答案】12，等腰三角形【分析】根据已知条件a+b=10，再表示成b=10-a，代入公式，再利用二次函数的性质求出最值，最后根据三边长判断三角形的形状．【详解】解：∵三角形的边长满足c=6，a+b=10，∴p=12(a+b+c)=8，∴b=10-a，∴S=p(p-a)(p-b)(p-c)=8×(8-a)×(8-b)×(8-6)=8×2×(8-a)×(a-2)=-16a-52+144当a=5时，S有最大值为12，此时三角形三边分别为5，5，6，故为等腰三角形．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用新公式将三角形面积表示出来，并利用二次函数的性质求最值．10(2022秋·浙江宁波·九年级校考期中)如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD ≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若设AD 的长度为x 米，矩形菜园ABCD 面积为S 平方米．(1)写出S 与x 的关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)若a =20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长；(3)求矩形菜园ABCD 面积的最大值．【答案】(1)S =12x (100-x )(2)10m(3)当0<a <50时，矩形菜园ABCD 面积的最大值为-12a 2+50a 平方米，当a ≥50时，最大值为1250平方米．【分析】(1)根据题意得出BC =100-x 2m ，然后求面积即可；(2)利用(1)中结论，直接代入求解即可；(3)将(1)中结果化为顶点式，然后分两种情况分析即可．【详解】(1)解：设AD =xm ．则BC =100-x 2m ，∴S =12x (100-x )；(2)由(1)得S =12x (100-x )，则450=12x (100-x )解得x 1=10，x 2=90(舍去)，∴AD 的长为10m ；(3)①当a ≥50时，由(1)得S =12x (100-x )=-12(x -50)2+1250，∵a ≥50，∴x =50时，S 的最大值为1250．②当0<a <50时，则0<x ≤a ，S 随a 的增大而增大，当x =a 时，S 的最大值为-12a 2+50a ；综上所述，当0<a <50时，矩形菜园ABCD 面积的最大值为-12a 2+50a 平方米，当a ≥50时，最大值为1250平方米．【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式进行分类讨论是解题关键．11(2023秋·浙江台州·九年级统考期末)某校科技兴趣小组制作了一个机器人，该机器人能根据指令要求进行旋转和行走．机器人从起点出发，连续执行如下指令：机器人先向前直行b n (表示第n 次行走的路程)，再逆时针旋转α0°<α≤90°，直到第一次回到起点后停止．记机器人共行走的路程为l，所走路径形成的封闭图形的面积为S．例如：如图1，当每次直行路程均为1(即b n=1)，α=60°时，机器人的运动路径为A→B→C→D→E→F→A，机器人共走的路程l=6，由图1图2易得所走路径形成的封闭图形的面积为S=332．(1)若b n=1，请完成下表．α30°45°72°l(2)如图3，若α=60°，机器人执行六次指令后回到起点处停止．①若b1=2，b2=4，b3=1.5，b4=3，则b5=，b5+b6=．②若b1=2，b2=4，l=20，请直接写出b3与b4之间的数量关系，并求出当S最大时b4的值．【答案】(1)12，8，5(2)①3，5.5；②2b3+b4=10；b4=3【分析】(1)根据每次逆时针旋转α，旋转360°α次，可回到起点，即可进行解答；(2)①构造如图所示三角形，则△ABC,△AIH,△DBE,△GFC为等边三角形，根据等边三角形三边相等，即可依次推出各边长度；②构造如图所示三角形，根据题意可得GI=b3+b4+4，b6=b3+b4-2，b5 =6-b4，进而得出2b3+b4=10，根据等边三角形的面积公式，即可求出S的表达式，即可求解．【详解】(1)解：当α=30°时，l=1×36030=12，当α=45°时，l=1×36045=8，当α=72°时，l=1×36072=5，故答案为：12，8，5．(2)①构造如图所示的三角形，∵α=60°，∴△ABC,△AIH,△DBE,△GFC为等边三角形，∴CG=b2=4,AH=b4=3，∴AC=AH+b3+CG=4+1.5+3=8.5，则AB=AC=BC=8.5，∵b1=2，b2=4，∴EF=2，CF=4，∴b6=BE=BC-EF-CF=8.5-2-4=2.5，∴b5=DI=AB-AI-BD=8.5-3-2.5=3，∴b5+b6=2.5+3=5.5，故答案为：3，5.5．3，5．5②如图，构造等边△GHI∴GI=b3+b4+4，b6=b3+b4-2，b5=6-b4，∵l=20，∴2+4+b3+b4+6-b4+b3+b4-2=20，∴2b3+b4=10，如图：等边三角形边长为a，高为h，h=a sin60°=32a，∴等边三角形面积=12ah=12a⋅32a=34a2∴S=34b3+b4+42-34b3+b4-22-34b4-3442∴S=34-b42+6b42+56=-34b-32+6534，∴当S最大时，b4=3．【点睛】本题主要考查了多边形的外角，解题的关键是掌握多边形的外角和为360°，根据题意构造等边三角形，根据等边三角形的性质求解．12(2022秋·浙江杭州·九年级校考期中)如图，有一个铝合金窗框，所使用的铝合金材料长度为24m．设AB长为xm，窗户的总面积为Sm2．(1)求S关于x的函数表达式；(2)若AB的长不能低于2m，且AB<BC，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．【答案】(1)S=-32x2+12x(2)窗户总面积S的最大值24m2，最小值是18m2【分析】(1)根据题意和图形可以求得S与x的函数表达式；(2)根据题意可以得到关于x的不等式，从而求出x的范围，然后根据(1)中的函数解析式和二次函数的性质即可解答．【详解】(1)解：根据题意，得S=x⋅24-3x2=-32x2+12x．即S与x的函数表达式是S=-32x2+12x．(2)解：根据题意，得2≤x<24-3x2．解得：2≤x<4.8．S=-32x2+12x=-32x-42+24，∵-32<0，∴S有最大值，∵2≤x<4.8，抛物线的对称轴为直线x=4．∴当x=4时，S有最大值，此时S=24，当x=2时，S有最小值，此时S=-322-42+24=18，答：窗户总面积S的最大值24m2，最小值是18m2．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．13(2023·浙江宁波·统考一模)有一块形状如图1的四边形余料ABCD，AB=6，AD=2，∠A=90°，∠D=135°，tan∠B=2，要在这块余料上截取一块矩形材料，其中一条边在AB上．(1)如图2，若所截矩形材料的另一条边AE 在AD 上，设AE =x ，矩形AEFG 的面积为y ，①求y 关于x 的函数表达式．②求矩形面积y 的最大值．(2)能否截出比(1)中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．【答案】(1)①y =-x 22+6x ；②当x =2时，y 取到最大值10(2)能截出面积更大的矩形材料，这些矩形材料的最大面积为323【分析】(1)①由锐角三角函数可求GB 的长，由矩形的面积公式可求解；②由二次函数的性质可求解；(2)用NH 分别表示BH ，AF 的长，由面积公式和二次函数的性质可求解．【详解】(1)解：①如图2，∵四边形AEFG 是矩形，∴AE =FG ，∠A =∠FGB =90°，∵tan ∠B =FG GB =2，∴GB =12x ，∴AG =AB -GB =6-12x ，∴S =AE ⋅AG =x 6-12x =-12x 2+6x ；②∵点E 在线段AE 上，∴0<x ≤2，∵y =-12x 2+6x =-12(x -6)2+18，∴当x =2时，y 的最大值为10；(2)能，如图1，当点E 在线段CD 上时，过点D 作DM ⊥EF 于M ，∵四边形EFHN 是矩形，∴EF =NH ，EN =FH ，∵tan ∠B =NH HB =2，∴HB =12NH ，∵∠A =90°=∠AFE ，DM ⊥EF ，∴四边形ADMF 是矩形，∴DM =AF ，AD =MF =2，∵∠ADC =135°，∴∠EDM =45°，∴DM =EM =NH -2，∴AF =NH -2，∴FH =AB -AF -BH =8-32NH ，∴S =FH ⋅NH =NH 8-32NH =-32NH -83 2+323，∴当NH =83时，S 有最大值为323，∵323>10，∴能截出比(1)中更大面积的矩形材料，这些矩形材料面积的最大值为323．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，锐角三角函数，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．14(2023·浙江嘉兴·统考一模)“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P (a ，b )，Q (c ，d )是平面直角坐标系内的两点，我们将a -c +b -d 称作P ，Q 间的“L 型距离”，记作L (P ，Q )，即L P ,Q =a -c +b -d ．已知二次函数y 1的图像经过平面直角坐标系内的A ，B ，C 三点，其中A ，B 两点的坐标为A (-1，0)，B (0，3)，点C 在直线x =2上运动，且满足L B ,C ≤BC ．(1)求L (A ，B )；(2)求抛物线y 1的表达式；(3)已知y 2=2tx +1是该坐标系内的一个一次函数．①若D ，E 是y 2=2tx +1图像上的两个动点，且DE =5，求△CDE 面积的最大值；②当t ≤x ≤t +3时，若函数y =y 1+y 2的最大值与最小值之和为8，求实数t 的值．【答案】(1)4；(2)y 1=-x 2+2x +3；(3)①△CDE 面积最大值为52；②t =-1±2．【分析】(1)根据题干中对于“L 型距离”的定义，即可求解；(2)根据二次函数y 1经过点A 、B 、C 三点，所以只要求出C 点坐标即可：根据点C 在直线x =2上运动，所以可设点C 2,m ，根据L B ,C ≤BC 列方程求解出m 的值，利用待定系数法列方程组即可求出抛物线y 1的表达式；(3)①根据△CDE 的一边DE 长度固定等于5，所以只要求出顶点C 到DE 的最大距离即可：由DE 所在的直线y 2=2tx +1过固定点N 0,1 ,故直线y 2的图像是绕点N 0,1 旋转的直线，当CN ⊥直线y 2时，点C 到DE 的距离最大，此时就是△CDE 的最大面积，根据三角形面积公式求解即可；②根据y =y 1+y 2，可得函数y 的解析式：y =-x 2+2t +1 x +4，可知函数y 的图像是一个开口向下，对称轴是x =t +1的抛物线，由此可知函数y 在对称轴上取得最大值，根据t ≤x ≤t +3可知当x =t +3时y 有最小值，最后根据函数y 的最大值与最小值之和是8，从而列出方程即可求出t 的值．【详解】(1)解：由题意得：∵A -1，0 ，B 0，3 ，∴L A ,B =-1-0 +0-3 =1+3=4；(2)∵点C 在直线x =2上运动，∴设点C 2,m ，且B 0,3由平面上两点间距离，利用勾股定理得：∴BC 2=2-0 2+3-m 2=4+3-m 2∵L B ,C =0-2 +3-m =2+3-m∴L 2B ,C =2+3-m 2=22+43-m +3-m 2∵0≤L B ,C ≤BC∴L 2B ,C ≤BC 2即22+43-m +3-m 2≤4+3-m 2∴43-m ≤0，又∵3-m ≥0∴3-m =0∴m =3∴C 2,3∵二次函数y 1的图像经过A -1,0 ，B 0,3 ，C 2,3 ，∴设y 1=a 1x 2+b 1x +c 1∴代入解析式得：a 1-b 1+c 1=0c 1=34a 1+2b 1+c 1=3解方程组得：a 1=-1b 1=2c 1=3∴抛物线y 1的表达式为y 1=-x 2+2x +3；(3)①∵y 2=2tx +1令x =0时，y 2=1∴直线y 2恒过定点N 0,1∴直线y 2的图像是绕点N 0,1 旋转的直线，∴当CN ⊥直线y 2时，点C 到DE 的距离最大，△CDE 面积也最大，过点C 作CM ⊥DE 交直线y 2于点M由点到直线的距离，垂线段最短知：CM≤CN∴S△CDE=12DE×CM≤12DE×CN=52CN∵C2,3，N0,1∴CN=2-02+3-12=4+4=22∴5 2CN=52×22=52∴△CDE面积的最大值为52②∵y=y1+y2=-x2+2x+3+2tx+1=-x2+2t+1x+4二次函数y的对称轴为x=-2t+12×-1=t+1∵a=-1<0∴二次函数y的图像开口向下，当x=t+1时，函数值y取得最大值y=-t+12+2t+1t+1+ 4又∵t+3-t+1>t+1-t∴当x=t+3时，函数值y取得最小值y=-t+32+2t+1t+3+4∵函数y=y1+y2的最大值与最小值之和为8∴-t+12+2t+12+4-t+32+2t+1t+3+4=8整理得：t2+2t-1=0解得：t=-1±2∴实数t的值为-1±2．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了对于题干中“L型距离”的理解能力、以及根据“L型距离”以及用待定系数法求抛物线的表达式、根据垂线段最短求三角形最大面积、根据二次函数图像的性质求函数最值等，对知识的综合性很强．根据题意灵活运用所学知识以及扎实的计算基础是解此题的关键．题型三：最大利润问题一、解答题15(2023秋·浙江温州·九年级期末)某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元，调查发现，销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具的售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元，(x为整数)月销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？(3)如果商店想要每月获得的利润不低于2520元，那么每月用于购进这种玩具的成本需要多少元？(4)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【答案】(1)y=-10x2+130x+2300，x的取值范围为0≤x≤10(x为整数)(2)32元(3)每月用于购进这种玩具的成本需要4200元、4000元、3800元、3600元、3400元、3200元、3000元、2800元、2600元(4)每件玩具的售价定为36或37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2720元【分析】(1)每件玩具的销售单价上涨x元时，单件利润为30-20+x件，根元，销量为230-10x据总利润等于单件利润乘以销量列式即可；(2)令y=2520，解一元二次方程，根据实际情况对求出的解进行取舍即可；(3)结合(2)中结论可知，当销售单价上涨2、3、4、5、6、7、8、9、10元时，每月获得的利润不低于2520元；(4)将y=-10x2+130x+2300化为顶点式，结合x的取值范围即可求出y的最大值．【详解】(1)解：依题意得：y=30-20+x=-10x2+130x+2300，230-10x∵每件首饰售价不能高于40元，∴x+30≤40，∴0≤x≤10(x为整数)．因此y与x的函数关系式为y=-10x2+130x+2300，x的取值范围为0≤x≤10，且x为整数；(2)解：当y=2520时，-10x2+130x+2300=2520，整理得x2-13x+22=0，解得x1=2，x2=11，∵0≤x≤10，∴x=2，当x=2时，30+2=32．即每件首饰的售价定为32元时月销售利润恰好为2520元；(3)解：如图，由题可知：当每件玩具的销售单价上涨了2、3、4、5、6、7、8、9、10元，每月获得的利润不低于2520元，对应的销售量为210、200、190、180、170、160、150、140、130，每月用于购进这种玩具的成本需要4200元、4000元、3800元、3600元、3400元、3200元、3000元、2800元、2600元．(4)解：∵y=-10x2+130x+2300，∴y=-10x-6.52+2722.5．∵a=-10<0，0≤x≤10，且x取正整数，∴当x =6或7时，y 取最大值，y 最大值=-10×7-6.5 2+2722.5=2720，∴每件玩具的售价定为：30+6=36(元)或30+7=37(元)．即每件玩具的售价定为36或37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2720元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，根据“总利润=单件利润×销量”列出y 与x 的函数关系式．16(2023秋·浙江温州·九年级期末)某服装厂生产A 品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x 件时，批发单价为y 元，y 与x 之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x 为10的正整数倍．(1)当100≤x ≤300时，y 与x 的函数关系式为．(2)某零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装200件，需要支付多少元？(3)零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x 100≤x ≤400 件，服装厂的利润为w 元，问：x 为何值时，w 最大？最大值是多少？【答案】(1)y =-110x +110(2)18000元(3)x 为190或200时，w 最大，最大值是3800元【分析】(1)设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，根据图象利用待定系数法求解析式即可；(2)根据(1)求出此时的批发单价，再乘以批发数量即可；(3)分类讨论①当100≤x ≤300时和②当300<x ≤400时，结合利润=销售量×(售价-成本)列出w 与x 的函数关系即可得出答案．【详解】(1)当100≤x ≤300时，设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，根据题意得出：100k +b =100300k +b =80 ，解得：k =-110b =110 ，∴y 与x 的函数关系式为：y =-110x +110，故答案为：y =-110x +110；(2)当x =200时，y =-20+110=90，∴90×200=18000(元)，答：某零售商一次性批发A 品牌服装200件，需要支付18000元；(3)分两种情况：①当100≤x ≤300时，w =-110x +110-71 x =-110x 2+39x =-110x -195 2+3802.5，∵批发件数x为10的正整数倍，∴当x=190或200时，w有最大值是：-110200-1952+3802.5=3800；②当300<x≤400时，w=80-71x=9x，当x=400时，w有最大值是：9×400=3600，∴一次性批发A品牌服装x(100≤x≤400)件时，x为190或200时，w最大，最大值是3800元．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用．掌握利用待定系数法求解析式以及理解题意利润=销售量×(售价-成本)列出w与x的函数关系式是解答本题的关键．17(2023秋·浙江温州·九年级期末)某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱．设每箱水果降价x元．(1)当x=10时，求销售该水果的总利润；(2)设每天销售该水果的总利润为w元．①求w与x之间的函数解析式：②试判断w能否达到8200元，如果能达到，求出此时x的值；如果不能达到，求出w的最大值．【答案】(1)8000元(2)①w=-4x2+120x+7200 ②不能达到，最大值是8100元【分析】(1)利用每箱利润=60-每箱降低的价格及平均每天的销售量=120+20×每箱降低的价格5，即可求出结论；(2)①设每箱应降价x元，则每箱利润为60-x元，平均每天可售出4x+120箱，利用平均每天销售该种水果获得的总利润=每箱的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的函数解析式，②利用二次函数的性质即可得出结论．【详解】(1)解：根据题意，可知：当每箱水果降价10元时，每箱利润为60-10=50(元)，平均每天可售出120+20×105=160(箱)总利润为：50×160=8000(元)．(2)①设每箱应降价x元，则每箱利润为60-x元，平均每天可售出120+20×x5=4x+120箱，依题意得：w与x之间的函数解析式为w=60-x120+x5×20=-4x2+120x+7200；②w不能达到8200元；w=-4x2+120x+7200=-4x-152+8100.∵-4<0，∴当x=15时，w取到最大值，w最大值=8100<8200，∴w不能达到8200元，w的最大值是8100元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用的应用，找准等量关系，正确列出二次函数关系式是解题的关键．18(2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中)在新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研，某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1。

好全面九年级数学二次函数的实际应用---最值问题.doc

好全面九年级数学二次函数的实际应用---最值问题.doc

二次函数的实际应用一-最值问题再现及巩固h 4c — /? 2 二次函数的一般式j = ax 2 +bx + c (QH O )化成顶点式y = a(x + —)2 + ----2a 4a果口变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值).即当。

>0时，函数有最小值，并且当x = ~—2ab Acic ~b当GVO 时，函数有最大值，并且当x =-佥，y 最大值=爲 ・ 巩固练习 1. 求下列二次函数的最值： (1) 求函数y = x 2+2x-3的最值.(2) 求函数y = 〒+2x —3的最值.(0<^<3)2. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每 星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元, 如何定价才能使利润最大？ 附答案： 巩固练习：1. (1)解析：解：y = (x + l)2—4当兀=一1时，y 有最小值一4,无最大值.(2)解：y = (x + l)2 -40 < x < 3 ,对称轴为x = —1.•・当x = 0时y 有最小值- 3；当x = 30寸)有最大值12 .2. 解：设涨价(或降价)为每件兀元，利润为y 元，X 为涨价时的利润，儿为降价时的利润 则:卩=(60-40 4- x)(300 一 1 Ox)= -10(X 2-10X -600) = -10(X -5)2+6250当x = 5,即：定价为65元时，y max = 6250 (元)y? = (60-40-兀)(300 + 20无)= -20(x-20)(x + 15)= -20(x-2.5)2+6125当x = 2.5,即：定价为57. 5元时，儿^=6125 (元) 综合两种情况，应定价为65元时，利润最大.三、知识点梳理1. 二次函数在没有范围条件下的最值4ac-b 2""4a二次函数的一般式y = O? +加+ Q （a H 0）化成顶点式y = d （x +舟尸+4°；；戸， 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）.即当。

初三中考复习二次函数最值问题

初三中考复习二次函数最值问题

例1 例2
在 问题中自变量的取值范围，数形结合求最
如 何
值．
将 实
线段和或差（或三角形周长）最值问题：
际 此类问题一般是利用轴对称的性质和两
问 题
点之间线段最短确定最短距离，这个距离
转 化 为 数 学 问
一般用勾股定理或两点之间距离公式求 解．特殊地，也可以利用平移和轴对称的 知识求解固定线段长问题． 最短距离和找法：以动点所在的直线为对
解：（1）设 y=kx+b， 把 已 知 （ 45， 105），（ 50， 90） 代 入 得 ，
故平均每天销售量 y（箱）与销售价 x（元/箱）之间的函数关系式为：y=-3x+240； （2）∵水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，销售价 x 元/箱， ∴该批发商平均每天的销售利润 w（元）与销售价 x（元/箱）之间的函数关系式为： W=（ x-40）（ -3x+240） =-3x2+360x-9600． （ 3） W=-3x2+360x-9600=-3（ x-60） 2+1200， ∵a=-3＜ 0， ∴抛 物 线 开 口 向 下 ． 又∵对称轴为 x=60，∴当 x＜60，W 随 x 的增大而增大， 由于 50≤x≤55，∴当 x=55 时，W 的最大值为 1125 元．
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初三—二次函数
∴当每箱苹果的销售价为 55 元时，可以获得最大利润，为 1125 元．
2、我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地 销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入 x
万元，可获得利润 P 1 x 602 41 (万元) ．当地政府拟在“十 100
二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为： 在规划前后对该项目每年最多可投入 100 万元的销售投 资，在实施规划 5 年的前两年中，每年都从 100 万元中 拨出 50 万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特 产只能在当地销售；公路通车后的 3 年中，该特产既在 本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：

(完整版)二次函数(应用题求最值)(含答案)

(完整版)二次函数(应用题求最值)(含答案)

二次函数应用题1、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？2.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.x(第13题)3、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）．（2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．（参考公式：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠），当2bx a=-时，244ac b y a -=最大(小)值)4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y （元）与月份x 之间满足函数关系502600y x =-+，去年的月销售量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：月份 1月 5月 销售量 3.9万台 4.3万台（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了%m ，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m 的值（保留一位小数）． 34 5.83135 5.91637 6.08338 6.164）5、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =． （1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．6、某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练附详细答案

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练附详细答案

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练附详细答案一、二次函数1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a，解得：a=14，∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x2-x+1．（2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，得：214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．∵点B （4，1），直线l 为y=-1，∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0），将A （1，14）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43， 当y=-1时，有-1312x+43=-1， 解得：x=2813， ∴点P 的坐标为（2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2，∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1．∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，∴n=14m2-m+1，∴m2-2x0m+x02-2y0（14m2-m+1）+y02=2（14m2-m+1）+1，整理得：（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．∵m为任意值，∴00220001110222220230yx yx y y⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩＝＝＝，∴021xy⎧⎨⎩＝＝，∴定点F的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．2．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=12DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）①P（﹣1，6），②存在，M（﹣1，11）或（﹣1，3﹣11）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）． 【解析】【分析】 （1）先根据已知求点A 的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）①先得AB 的解析式为：y=-2x+2，根据PD ⊥x 轴，设P （x ，-x 2-3x+4），则E （x ，-2x+2），根据PE=12DE ，列方程可得P 的坐标； ②先设点M 的坐标，根据两点距离公式可得AB ，AM ，BM 的长，分三种情况：△ABM 为直角三角形时，分别以A 、B 、M 为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M 的坐标．【详解】解：（1）∵B （1，0），∴OB=1，∵OC=2OB=2，∴C （﹣2，0），Rt △ABC 中，tan ∠ABC=2，∴AC 2BC =， ∴AC 23=， ∴AC=6， ∴A （﹣2，6）， 把A （﹣2，6）和B （1，0）代入y=﹣x 2+bx+c 得：42610b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得：34b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣3x+4；（2）①∵A （﹣2，6），B （1，0），∴AB 的解析式为：y=﹣2x+2，设P （x ，﹣x 2﹣3x+4），则E （x ，﹣2x+2），∵PE=12DE ， ∴﹣x 2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=12（﹣2x+2）， ∴x=-1或1（舍），∴P （﹣1，6）；②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），设M（﹣1，y），∵B（1，0），A（﹣2，6）∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2，AB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，解得：y=3，∴M（﹣1，）或（﹣1，3ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，∴y=﹣1，∴M（﹣1，﹣1），iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，∴y=132，∴M（﹣1，132）；综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）．【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．3．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16-x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为172m.（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16-x 2+2x+4，拱顶D 到地面OA 的距离为10 m ；(2)两排灯的水平距离最小是3．【解析】【详解】 试题分析：根据点B 和点C 在函数图象上，利用待定系数法求出b 和c 的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y 的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x 的值，然后进行做差得出最小值．试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,2B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线上 所以41719326c b c =⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得24b c =⎧⎨=⎩，所以21246y x x =-++ 所以，当62b x a =-=时，10t y =≦ 答：21246y x x =-++，拱顶D 到地面OA 的距离为10米 （2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）） 当x=2或x=10时，2263y =>，所以可以通过 （3）令8y =，即212486x x -++=，可得212240x x -+=，解得12623,623x x =+=-1243x x -=答：两排灯的水平距离最小是3考点：二次函数的实际应用．4．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2和y ＝a （x ﹣h ）2，抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2经过原点，与x 轴正半轴交于点A ，与其对称轴交于点B ；点P 是抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2上一动点，且点P 在x 轴下方，过点P 作x 轴的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ，过点D 作PD 的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ′（不与点D 重合），连接PD ′，设点P 的横坐标为m ：（1）①直接写出a 的值；②直接写出抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；（2）当抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点时，设△PDD ′与△OAB 重叠部分图形周长为L ： ①求PD DD '的值； ②直接写出L 与m 之间的函数关系式；（3）当h 为何值时，存在点P ，使以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形？直接写出h 的值．【答案】（1）①12；②y ＝212x ﹣2x ； （2）①1； ②L ＝2(22)(02)21(221)4(24)m m m π⎧+<⎪⎨+++<<⎪⎩…； （3）h ＝±3 【解析】【分析】（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝212x ﹣2x ； （2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝12，y ＝12x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解；（3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值．【详解】解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中，得：0＝a （0﹣2）2﹣2，解得：a ＝12； ②y ＝212x ﹣2x ；． （2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝12； ∴y ＝12x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4如图1，222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ①221122,222PD m m m m DD m '⎛⎫=--== ⎪⎝⎭PD 2m 1DD 2m'∴== ②如图1，当0＜m ≤2时，L ＝OE +EF +OF ＝2(22)m m m m ++=+，当2＜m ＜4时，如图2，设PD ′交x 轴于G ，交AB 于H ，PD 交x 轴于E ，交AB 于F ，则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2211(4)23422PF m m m m m ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭， 2222322m m 22,PG m 22m FH PH PF ===-+-=-+ ∵DD ′∥EG EG PE DD PD '∴=，即：EG •PD ＝PE •DD ′，得：EG •（2m ）＝（2m ﹣12m 2）•2m ∴EG ＝2m ﹣12m 2，EF ＝4﹣m ∴L ＝EG +EF +FH +GH ＝EG +EF +PG221224222m m m m m ⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭221m (221)m 42+=-+++ 2(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)2L ⎧+<⎪∴=⎨+-+++<<⎪⎩…； （3）如图3，∵OADD ′为菱形∴AD ＝AO ＝DD ′＝4，∴PD ＝2，23PA =23h ∴=±【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．5．已知，抛物线y=x 2+2mx(m 为常数且m≠0）．（1）判断该抛物线与x 轴的交点个数，并说明理由．（2）若点A （-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M 为抛物线的顶点，求△ABM 的面积．（3）若点（2，p)，（3，g ），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r ，求m 的取值范围．【答案】（1）抛物线与x 轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM 的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5【解析】【分析】（1）首先算出根的判别式b 2-4ac 的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x 轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；（2）根据抛物线的对称性及A,B 两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m 的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M 三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m 的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m 的取值范围，综上所述，求出m 的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m 的式子表示出p,g,r ，再代入 p<g<r 即可列出关于m 的不等式组，求解即可。

中考数学专题复习二次函数的应用题与最值问题

中考数学专题复习二次函数的应用题与最值问题

二次函数的应用题与最值问题二次函数最值问题（一）开口向上：1.当对称轴a b x 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最小值，在离对称轴较远端点处取得最大值；2.当对称轴ab x 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最大值，离对称轴较近端点处取得最小值．（二）开口向下：1．当对称轴a b x 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最大值，在离对称轴较远端点处取得最小值；2．当对称轴ab x 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最小值，离对称轴较近端点处取得最大值．1. 求解析式综合题型：例1．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，点A ，B 分别位于原点的左、右两侧，BO ＝3AO ＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C ，D ，BC ＝CD ．（1）求b ，c 的值；（2）求直线BD 的函数解析式；（3）点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA 上．当△ABD 与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标．2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x ，都有4x ﹣12≤ax 2+bx +c ≤2x 2﹣8x +6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x 轴的正半轴交点为A ，与y 轴交点为C ；点M 是（1）中二次函数图象上的动点．问在x 轴上是否存在点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2.二次函数的应用题例1．某商品现在的售价为每件25元，每天可售出50件，市场调查发现，售价每上涨1元，每天就少卖出2件，已知该商品的进价为每件20元，设该商品每天的销售量为y件，售价为每件x元（x为正整数）（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该商品的售价定为每件多少元时，每天的销售利润W（元）最大，最大利润是多少元？1．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？2．某商家在构进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第x天的成本y （元/件）与x（天）之间的关系如图所示，并连续60天均以80元/件的价格出售，第x 天该产品的销售量z（件）与x（天）满足关系式z = x + 15.（1）第25天，该商家的成本是元，获得的利润是元；（2）设第x天，该商家出售该产品的利润为w元.①求w与x之间的函数关系式；②求出第几天的利润最大，最大利润是多少？．3．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；如果每台设备提价5万元时，则年销售量就减少50台．设该设备的年销售量为y（单位：台），销售单价为x（单位：万元/台）．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，则应把这种设备的销售单价定为多少万元时，该公司所获得的年利润最大？最大的年利润是多少？4．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．例2．某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙（墙长为40m），饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设三间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）．（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．（2）x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？1．某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏50米．（1）不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少时，长方形的面积最大？（2）若墙体长度为20米，问长方形面积最大是多少？2．如图，用48米篱笆围成一个外形为矩形的花园，花园一面利用院墙，中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的长度为20米，平行于院墙的一边长为x米，花园的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式；（2）问花园面积可以达到180平方米吗？如果能，花园的长和宽各是多少？如果不能，请说明理由．3．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．为了想知道出口宽度的取值范围，小明同学根据出口宽度不小于14m，算出x≤18．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）求活动区的最大面积；（3）预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，若社区的此项建造投资费用不得超过72000元，求投资费用最少时活动区的出口宽度？例3．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．1．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．求这条抛物线的解析式．2．如图是一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m，在图中直角坐标系中该抛物线的解析式．3．如图，是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，若水面上升1m，则水面宽为（）A．m B．2m C．2m D．2m4．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s ＝60t ﹣1.5t 2，那么飞机着陆后滑行的最远距离为（ ）A ．600mB ．400mC ．300mD ．200m5．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为()341212+--=x y ，由此可知铅球达到的最大高度是 m ，推出的距离是 m .6．如图，若被击打的小球飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）直接具有的关系为h ＝24t ﹣4t 2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s ．7.廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为6米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是 米．例4．当22≤≤-x 时，求函数322--=x x y 的最大值和最小值．1．当21≤≤x 时，求函数12+--=x x y 的最大值和最小值．2．已知二次函数y ＝x 2+2bx +c（1）若b ＝c ，是否存在实数x ，使得相应的y 的值为1？请说明理由；（2）若b ＝c ﹣2，y 在﹣2≤x ≤2上的最小值是﹣3，求b 的值．3．当﹣1≤x ≤1时，函数y ＝﹣x 2﹣2mx +2n +1的最小值是﹣4，最大值是0，求m 、n 的值．4．如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y （m ）与水平距离x （m ）的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．羽毛球沿水平方向运动4m 时，达到羽毛球距离地面最大高度是m ．（1）求羽毛球经过的路线对应的函数关系式；（2）通过计算判断此球能否过网；（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m 的Q 处时，乙扣球成功求此时乙与球网的水平距离．。

九年级中考数学求二次函数的最值问题专题练习

九年级中考数学求二次函数的最值问题专题练习

求二次函数的最值问题二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2bx a=-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2bx a=-处取得最大值244ac b a -，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．二次函数求最值（一般范围类）例1． 当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．例2． 当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．例3． 当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．例4． 当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：二次函数求最值(经济类问题)例1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益Z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益w （元）最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少？并求出总收益w 的最大值．例2．凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去.y 1、y 2与x 之间的函数关系式.（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y （元），请写出y 与x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由.例3．某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价1y （元）与销售月份x （月）满足关系式1y ＝36x 83+-，而其每千克成本2y （元）与销售月份x （月）满足的函数关系如图所示．（1）试确定b c 、的值；（2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式；（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？例4.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？二次函数求最值(面积最值问题)例1.在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围． （3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？y 2例2.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？例3.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．例4.某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC 和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？参考答案例1.当22x-≤≤时，求函数223y x x=--的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值．解：作出函数的图象．当1x=时，min4y=-，当2x=-时，max5y=．例2．当12x≤≤时，求函数21y x x=--+的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当1x=时，min1y=-，当2x=时，max5y=-．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：x解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象． 可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值． 所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图．(1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时： 当1x t =+时，22min151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩分析：（1）政府未出台补贴措施前，商场销售彩电台数为800台，每台彩电的收益为200元；（2）利用两个图像中提供的点的坐标求各自的解析式；（3）商场销售彩电的总收益＝商场销售彩电台数×每台家电的收益，将（2）中的关系式代入得到二次函数，再求二次函数的最大值.解：（1）该商场销售家电的总收益为800200160000⨯=（元）；（2）依题意可设1800y k x =+，2200Z k x =+，∴有14008001200k +=，2200200160k +=，解得12115k k ==-，．所以800y x =+，12005Z x =-+．（3）1(800)2005W yZ x x ⎛⎫==+-+ ⎪⎝⎭21(100)1620005x =--+，政府应将每台补贴款额x 定为100元，总收益有最大值，其最大值为162000元．说明：本题中有两个函数图像，在解题时要结合起来思考，不可顾此失彼.分析：（1）提价后每间包房的收入＝原每间包房收包房费+每间包房收包房提高费，包房减少数＝每间包房收包房提高费数量的一半；（2）酒店老板每天晚餐包房总收入＝提价后每间包房的收入×每天包房租出的数量，得到二次函数后再求y 取得最大值时x 的值.解：（1）x y +=1001，x y 212=； （2）)21100()100(x x y -•+=y 11250)50(212+--=x ，因为提价前包房费总收入为100×100=10000，当x=50时，可获最大包房收入11250元，因为11250>10000又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元.说明：本题的答案有两个，但从“投资少而利润大”的角度来看，因尽量少租出包房，所以每间包房晚餐应提高60元应该更好.分析：（1）将点（3，25），（4，24）代入求b 、c 的值；（2）y ＝1y -2y ；（3）将（2）中的二次函数配方为顶点式，再利用二次函数的增减性，在满足“五·一”之前的前提下求最大值.解：（1）由题意：22125338124448b c b c ⎧=⨯++⎪⎪⎨⎪=⨯++⎪⎩，解得7181292b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）12y y y =-23115136298882x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭21316822x x =-++； （3）21316822y x x =-++ 2111(1236)46822x x =--+++21(6)118x =--+. ∵108a =-<，∴抛物线开口向下．在对称轴6x =左侧y 随x 的增大而增大．由题意5x <，所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大．最大利润211(46)111082=--+=（元）．式，利用二次函数的增减性来求解.解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元， 那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S tt t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -=x x 3442+-=4289)417(42+--=x∵104340≤-<x∴2176<≤x∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小，∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大． 则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4） 易知CN=4-x ，EM=4-y ． 过点B 作BH ⊥PN 于点H 则有△AFB ∽△BHP ∴PHBHBF AF =，即3412--=y x ， ∴521+-=x y ， x x xy S 5212+-==)42(≤≤x ，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5， ∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大， 对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的， 故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形． (2)设CE =x , 则BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元 那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x )×10])24.02.0(102+-=x x当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1．答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省．。

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第10讲 二次函数应用：求最值
1、某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50
元，每天都客满．装修后欲提高租金，经调查，一间客房的日租金每增加5元，则客房每天少租6间，不考虑
其他因素，每间客房的日租金提高到多少元时，客房的日租金的总收入最高？比装修前的日租金的总收入增加多少元？ 2、在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．
（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y (cm²)是多少？
（2）此时五边形APQCD 的面积是S (cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
（3）t 为何值时S 最小？最小值是多少？
3、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调
查．调查发现这种水产品的每千克售价1y （元）与销售
月份x （月）满足关系式368
3
1+-=x y ，而其每千克成本2y （元）与销售月份x （月）满足的函数关系如图所示．
（1）试确定b 、c 的值；
（2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月
份x （月）之间的函数关系式； （3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？
4、有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也
有一定数量的蟹死去．
假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养
一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．
（1）设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元，写出p 关于x 的函数关系式；
（2）如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式． （3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=Q －收购总额）？
5、科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，
图中点的横坐标x 表示科技馆从8:30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y 表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为
⎩⎨⎧≤≤+-≤≤=9030 )90(30
0 ，2
2x n x b x ax y ，
，10:00之后来的游客较少可忽略不计．
（
1）请写出图中曲线对应的函数解析式；
（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10:30开始到12:00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直
到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？
6、某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y （万个）与销售价格x （元/个）的变化如下表．同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元． 价格x （元/个） … 30 40 50 60 …
销售量y （万个） … 5 4 3 2 …
（1）观察并分析表中的y 与x 之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y （万个）与x （元/个）的函数解析式．
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z （万个）与销售价格x （元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x （元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？
7、星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米．
（1）若平行于墙的一边长为y 米，直接写出y 与x 的函数关系式及其自变量x 的取值范围；
（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x 的取值范围．
参考答案
1、设每间房的日租金提高x 个5元，日租金总收入为y ，则)6120)(550(x x y -+=，即6750)5(302+--=x y ，当x =5时，max y =6750，∴日租金总收入多750元．
2、（1）t t t t y 62)6(2
12+-=⋅-=
（2）726)6(12622+-=+--⨯=t t t t S （60<<t ）
（3）63)3(2+-=t S ，∴3=t 时，63min =S
3、（1）8
71-=b ，2129=c ，21
298718122+-=x x y
（2）2
1
62381221++-=-=x x y y y
（3）11)6(8
1
216238122+--=++-=x x x y ，由题意
5<x ，所以4月出售可得最大利润5.10max =y 元． 4、（1）x p +=30
（2）
30000
90010200)30)(101000(2++-=++-=x x Q x
x x Q
（3）6250)25(104003010002+--=-⨯-=x x Q W ，当25=x 时，6250max =W ．
5、（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≤≤+--≤≤=9030 700)90(91300 ，3122
x x x x y ， （2）由484700)90(9
12=+--x ，解得78=x ，从10：30到人数减到
624
人，需要时间为15
4)624684(=÷-分钟，故总等待时间为571530)7890(=++-分钟．
6、（1）8101+-
=x y ；（2）2001010
1
2-+-=x x z ，50=x 时，50max =z ；（3）当公司要求净得利润为40
万元时，即2001010
1
402-+-=x x ，解得：401=x ，
602=x ．要使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：6040≤≤x ．而y 与x 的函数关系式为：
810
1
+-=x y ，y 随x 的增大而减少，∴若还需考虑销
售量尽可能大，销售价格应定为40元/个。

7、（1）x y 230-=（156<≤x ）；（2）设矩形苗圃园的面积为S ，则x x xy S 3022+-==，配方得5.112)5.7(22+--=x S ，∴当x =7.5时，5.112max =S ，
（3）116≤≤x ．。

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