最新初中数学三角形知识点总结
三角形知识点归纳总结初中
三角形知识点归纳总结初中一、三角形的概念。
1. 定义。
- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 表示方法。
- 三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
二、三角形的分类。
1. 按角分类。
- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
- 直角三角形：有一个角是直角的三角形。
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如Rt△ABC，表示∠C = 90°。
- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
2. 按边分类。
- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。
- 等腰三角形：有两边相等的三角形。
相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
- 等边三角形：三边都相等的三角形。
等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
三、三角形的三边关系。
1. 定理。
- 三角形两边之和大于第三边。
- 三角形两边之差小于第三边。
2. 应用。
- 判断三条线段能否组成三角形。
例如，三条线段a、b、c（a≤b≤c），若a + b>c，则这三条线段能组成三角形。
四、三角形的高、中线与角平分线。
1. 高。
- 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
- 性质：- 三角形的三条高所在直线相交于一点。
- 锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条直角边互为高，斜边上的高在三角形内部；钝角三角形的高，钝角所对的边上的高在三角形外部，另两条高在三角形内部。
2. 中线。
- 定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
- 性质：- 三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心。
- 三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形。
因为等底同高的三角形面积相等。
3. 角平分线。
- 定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。
在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2.5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90°+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
初中数学全等三角形知识点
初中数学全等三角形知识点
嘿，同学们！今天咱来聊聊初中数学里超重要的全等三角形知识点呀！
啥是全等三角形呢？你看哈，就好比有两个三角形，它们的形状和大小完全一样，那就叫全等咯！比如说，有两个一模一样的三角板，它们不就是全等的嘛！
全等三角形有啥特点呢？首先呀，它们的对应边是相等的哟！就像双胞胎穿一样的衣服一样。
比如一个三角形的三条边分别是 3 厘米、4 厘米、5 厘米，那和它全等的三角形对应边也得是 3 厘米、4 厘米、5 厘米呀！再来，它们的对应角也是相等的呢！好比两个一样的糖果，味道肯定相同嘛！
怎么证明两个三角形全等呢？这可有好多方法嘞！有“边边边”，就是三条边都相等；“边角边”，两边和它们的夹角相等；“角边角”，两角和它们的夹边相等；还有“角角边”呢！哎呀，是不是有点晕乎啦？别担心呀，咱举个例子就清楚啦！比如说，有两个三角形，已知它们三条边都一样长，那这不就能确定它们全等了嘛！
同学们，全等三角形的知识点是不是很有意思呀？搞懂了它，咱做题可就轻松多啦！
我的观点结论就是：全等三角形知识点很关键，一定要好好掌握呀！。
初中数学全等三角形知识点
全等三角形 知识总结一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理（一）、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)轴对称知识梳理一、基本概念1.轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.2.线段的垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线3.轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.4.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.5.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.二、主要性质1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.2.线段垂直平分钱的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）.（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）.4.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。
最新初中数学三角形的知识点大全
初中数学三角形的知识点大全①直角三角形的两个锐角互为余角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；④直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形的判定：①有两个角互余的三角形是直角三角形；②如果三角形的三边长a、b 、c有下面关系a +b =c，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。
以上对数学直角三角形定理公式的内容讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初中数学等腰三角形的性质定理公式下面是对等腰三角形的性质定理公式的内容学习，希望同学们认真看看。
等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）上面对等腰三角形的性质定理公式的内容讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，希望同学们在考试中取得很好的成绩。
初中数学三角形定理公式对于三角形定理公式的学习，我们做下面的内容讲解学习哦。
三角形三角形的三边关系定理及推论：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度；三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的’和；三角形的外角和定理推理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形的三条角平分线交于一点（内心）；三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）；三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半；以上对三角形定理公式的内容讲解学习，希望同学们都能很好的掌握，并在考试中取得很好的成绩哦。
初中数学三角形知识点
第十二课时 三角形1、三角形的边①三角形及有关概念：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意：三条线段必须⑴不在一条直线上，⑵首尾顺次相接。
②三角形的构成：组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
③三角形的表示：三角形ABC 用符号表示为△ABC 。
三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示.④三角形三边的不等关系：三角形的任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边。
⑤三角形的分类：（1）按角分类：我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。
图示：三角形 直角三角形斜三角形 锐角三角形钝角三角形（2）按边分类：三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。
显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。
图示： 三角形 不等边三角形等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形 等边三角形例1、有三根木棒长分别为3cm 、6cm 和2cm ，用这木棒能否围成一个三角形? 例2、用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？例3、下面图形中一共有多少个三角形？锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？2、三角形的高、中线与角平分线①三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称三角形的高。
例：从△ABC 的顶点A 向它所对的边BC 所在的直线画垂线，垂足为D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高，表示为AD ⊥BC 于点D 。
∵AD 是△ ABC 的高∴∠ BDA = ∠ CDA =90°注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
初中数学相似三角形定理知识点总结精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版初中数学相似三角形定理知识点总结相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。
全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
下面是小编为大家带来的初中数学相似三角形定理知识点总结，欢迎阅读。
相似三角形定理1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号"∽"表示，读作"相似于"。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的`预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的"对应边相等"的条件改为"对应边成比例"就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 相似三角形的传递性如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2。
初中数学三角形知识点总结
初中数学知识点总结：三角形第一部分：点、线、角一、线1、直线2、射线3、线段二、角1、角的两种定义：一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角;另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形;2.角的平分线3、角的度量：度量角的大小,可用“度”作为度量单位;把一个圆周分成360等份,每一份叫做一度的角;1度=60分；1分=60秒;4. 角的分类：1锐角2直角3钝角4平角5周角5. 相关的角：1对顶角2互为补角3互为余角6、邻补角：有公共顶点,一条公共边,另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角;注意：互余、互补是指两个角的数量关系,与两个角的位置无关,而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系;7、角的性质(1)对顶角相等2同角或等角的余角相等3同角或等角的补角相等;三、相交线1、斜线2、两条直线互相垂直3、垂线,垂足4、垂线的性质l过一点有且只有一条直线与己知直线垂直;2垂线段最短;四、距离1、两点的距离2、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离;3、两条平行线的距离：两条直线平行,从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线,垂线段的长度,叫做两条平行线的距离;五、平行线1、定义：在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线;说明：也可以说两条射线或两条线段平行,这实际上是指它们所在的直线平行;2、平行线的判定：1 同位角相等,两直线平行;2 内错角相等,两直线平行;3 同旁内角互补,两直线平行;3、平行线的性质1两直线平行,同位角相等;2两直线平行,内错角相等;3两直线平行,同旁内角互补;说明：要证明两条直线平行,用判定公理或定理在已知条件中有两条直线平行时,则应用性质定理;4、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等.5、如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,那么这两个角互补.第二部分：三角形一、关于三角形的一些概念1、三角形的角平分线;三角形的角平分线是一条线段角平分线平分顶点三条角平分线交于一点交点在三角形内部,是三角形内切圆的圆心,称为内心2、三角形的中线三角形的中线也是一条线段顶点到对边中点间的距离三条中线线交于一点交点在三角形内部,是三角形的几何中心,称为中心3、三角形的高三角形的高线也是一条线段顶点到对边的距离注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内;如图2-l, AD、BE、CF都是么ABC的角平分线,它们都在△ABC内如图2-2,AD、BE、CF都是△ABC的中线,它们都在△ABC内而图2-3,说明高线不一定在△ABC内,图2-3-1 图2-3-2 图2-3-3图2-3-1,中三条高线都在△ ABC内,图2-3-2,中高线CD在△ABC内,而高线AC与BC是三角形的边;图2-3-3,中高线BE在△ABC内,而高线AD、CF在△ABC外;二、三角形三条边的关系三角形三边都不相等,叫不等边三角形；有两条边相等的叫等腰三角形；三边都相等的则叫等边三角形;等腰三角形中,相等的两条边叫腰,另一边叫底边,腰和底边的夹角叫底角,两腰的夹角叫项角;三角形按接边相等关系来分类：用集合表示,见图2-4推论：三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边;不符合定理的三条线段,不能组成三角形的三边;例如：三条线段长分别为5,6,1人因为5+6<12,所以这三条线段,不能作为三角形的三边;三、三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°由定理可以知道,三角形的三个内角中,只可能有一个内角是直角或钝角;推论1：直角三角形的两个锐角互余;三角形按角分类：三角形分类用集合表示,见图三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫三角形的外角;♦推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;♦推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;例如图2—6中∠1 >∠3; ∠1=∠3+∠4; ∠5>∠3+∠8; ∠5=∠3+∠7+∠8;∠2>∠8; ∠2=∠7+∠8; ∠4>∠9; ∠4=∠9+∠10等等;四、全等三角形定义：能够完全重合的两个图形叫全等形;两个全等三角形重合时,互相重合的顶点叫对应顶点,互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫对应角;全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等;❖五、全等三角形的判定1、边角边公理：“SAS”♦注意：一定要是两边夹角,而不能是边边角;2、角边角公理：ASA3、角角边：AAS4、边边边：SSS5、直角三角形全等的判定：“斜边,直角边”或“HL ”三角形的重要性质：三角形的稳定性;六、角的平分线定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等;定理2：一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上;可以证明三角形内存在一个点,它到三角形的三边的距离相等这个点就是三角形的三条角平分线的交点交于一点七、等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相,那这两个角所对的两条边也相等;简写成“等角对等动”;推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形八、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方,即：222a c b =+ 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有下面关系：222a c b =+,那么这个三角形是直角三角形直角三角形 222a c b =+三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半; 特别提示：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半②在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半;。
三角形的所有定理及概念
三角形的所有定理及概念
三角形是平面几何中的重要概念，它有许多定理和概念。
首先，我们来谈谈三角形的基本概念。
三角形是由三条边和三个角组成的
多边形，其中每个角的度数之和为180度。
根据边长和角度的不同，三角形又可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三
角形和锐角三角形等不同类型。
三角形的定理和概念包括但不限于以下几点：
1. 三角形的角平分线定理，三角形内任意角的角平分线相交于
对边上的一点，并且此点到两个角的顶点的距离相等。
2. 三角形的中位线定理，三角形内任意两边的中位线平行且等
于第三边的一半。
3. 三角形的高定理，三角形内任意一条高都将底边分成两段，
使得这两段边乘积等于高与底边的乘积。
4. 三角形的外角定理，三角形的一个外角等于它的两个不相邻
内角的和。
5. 三角形的内角和定理，三角形内角的度数之和为180度。
6. 三角形的相似定理，如果两个三角形的对应角相等，则它们
是相似三角形；如果两个三角形的对应边成比例，则它们是相似三
角形。
7. 三角形的勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于
斜边的平方。
除了上述定理和概念外，三角形还涉及到海伦公式、正弦定理、余弦定理、面积公式等等。
这些定理和概念在解决三角形相关的问
题时起着重要的作用，能够帮助我们理解三角形的性质和特点，解
决各种三角形的计算和证明问题。
通过深入理解三角形的定理和概念，我们可以更好地应用它们解决实际问题，同时也能够更好地理
解几何学的相关知识。
初中数学三角形的几何公理知识点总结
初中数学三角形的几何公理知识点总结初中数学三角形的几何公理知识点总结「篇一」相似三角形：初中数学知识点总结一、平行线分线段成比例定理及其推论：1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。
二、相似预备定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
三、相似三角形：1.定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
2.性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
说明：①等高三角形的面积比等于底之比，等底三角形的面积比等于高之比；②要注意两个图形元素的'对应。
3. 判定定理：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
四、三角形相似的证题思路：五、利用相似三角形证明线段成比例的一般步骤：一“定”：先确定四条线段在哪两个可能相似的三角形中；二“找”：再找出两个三角形相似所需的条件；三“证”：根据分析，写出证明过程。
如果这两个三角形不相似，只能采用其他方法，如找中间比或引平行线等。
六、相似与全等：全等三角形是相似比为1的相似三角形，即全等三角形是相似三角形的特例，它们之间的区别与联系：1.共同点它们的对应角相等，不同点是边长的大小，全等三角形的对应边相等，而相似三角形的对应的边成比例。
2.判定方法不同，相似三角形只求形状相同的，大小不一定相等，所以改“对应边相等”成“对应边成比例”。
初中数学全等三角形知识点总结及复习
全等三角形知识点总结及复习一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理 （一）、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
八年级数学上册直角三角形知识点总结
八年级数学上册直角三角形知识点总结
直角三角形是初中数学中的重要内容，下面是八年级数学上册直角三角形的知识点总结：
1. 三角函数
- 正弦函数：sin(A) = 对边/斜边
- 余弦函数：cos(A) = 邻边/斜边
- 正切函数：tan(A) = 对边/邻边
2. 特殊直角三角形
- 等腰直角三角形：两条直角边相等
- 30度-60度-90度特殊直角三角形：长边：短边：斜边 = 1：√3：2
- 45度-45度-90度特殊直角三角形：两条直角边相等，斜边等于直角边的√2倍
3. 定义和性质
- 直角三角形的定义：一个角为直角（90度）
- 直角三角形的性质：直角三角形的两条直角边平方和等于斜边平方（勾股定理）
4. 三角形的解题方法
- 已知两边求第三边：利用勾股定理求第三边的长度
- 已知一个角和一边求其他边：利用三角函数计算其他边的长度
- 解决实际问题：将实际问题转化为数学问题，利用三角函数解题
这些是八年级数学上册直角三角形的主要知识点总结，请认真研究，掌握这些内容，将有助于你在数学研究中的进一步理解和应用。
初中数学知识归纳平面几何中的直角三角形与斜三角形
初中数学知识归纳平面几何中的直角三角形与斜三角形初中数学知识归纳：平面几何中的直角三角形与斜三角形一、直角三角形的定义与性质直角三角形是指其中一个角为直角（即90度）的三角形。
直角三角形有一些重要的性质：1. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。
如在直角三角形ABC中，若AB为直角边，BC为直角边，AC为斜边，则有AB²+BC²=AC²。
2. 直角三角形的任一锐角的正弦、余弦和正切比值都是有理数。
例如，在直角三角形ABC中，若∠ABC为直角，则有sin∠ABC=a/c，cos∠ABC=b/c，tan∠ABC=a/b，其中a、b、c分别为三角形ABC的三边。
3. 直角三角形的垂线、中线和高线重合，并且都是斜边的一半。
例如，在直角三角形ABC中，若AD为BC的中线，则AD也是BC的高线和垂线，且AD=BC/2。
二、斜三角形的定义与性质斜三角形是指不含直角（即角度不为90度）的三角形。
斜三角形也有一些重要的性质：1. 斜三角形的内角和为180度。
在三角形ABC中，∠A+∠B+∠C=180度。
2. 斜三角形的两边之间的夹角对应的正弦、余弦和正切比值都是有理数。
例如，在三角形ABC中，若∠A为夹角，则sin∠A=a/c，cos∠A=b/c，tan∠A=a/b，其中a、b、c分别为三角形ABC的三边。
3. 斜三角形的重心、外心和内心都有重要意义。
其中，重心是三角形三条中线的交点，外心是三角形外接圆的圆心，内心是三角形内接圆的圆心。
三、直角三角形与斜三角形的联系与运用直角三角形和斜三角形在平面几何中经常运用到，它们之间存在一些重要的联系：1. 直角三角形可以作为斜三角形的特殊情况，直角三角形的性质也可以应用到斜三角形中。
例如，在斜三角形ABC中，若∠C=90度，则可以得到直角三角形A'C'B'，其中∠C'=∠C，∠A'=∠B，∠B'=∠A。
初中数学三角形知识点总结
初中数学三角形知识点总结一、三角形的有关概念1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。
三角形的特征：①不在同一直线上;②三条线段;③首尾顺次相接;④三角形具有稳定性。
2.三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高(1)角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
(2)中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
(3)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
说明：①三角形的角平分线、中线、高都是线段;②三角形的角平分线、中线都在三角形内部且都交于一点;三角形的高可能在三角形的内部(锐角三角形)、外部(钝角三角形)，也可能在边上(直角三角形)，它们(或延长线)相交于一点。
二、等腰三角形的性质和判定（1）性质1.等腰三角形的两个底角相等(简写成"等边对等角")。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合(简写成"等腰三角形的三线合一")。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
（2）判定在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)。
在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称：等角对等边)。
三、直角三角形和勾股定理有一个角是直角的三角形是直角三角形，在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半；30度所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形常用面积法求斜边上的高。
勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2。
初一下册数学《三角形》知识点复习总结
初一下册数学《三角形》知识点复习总结初一下册数学《三角形》知识点复习总结章一一、三角函数1.定义：在rt△abc中，∠c=rt∠，则sina= ;cosa= ;tga= ;ctga= .2. 特殊角的三角函数值：0° 30° 45° 60° 90°sinαcosαtgα /ctgα /3. 互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;…4. 三角函数值随角度变化的关系5.查三角函数表二、解直角三角形1. 定义：已知边和角(两个，其中必有一边)→所有未知的边和角。
2. 依据：①边的关系：②角的关系：a+b=90°③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。
三、对实际问题的处理1. 俯、仰角：2.方位角、象限角：3.坡度：4.在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
初一下册数学《三角形》知识点复习总结章二一、目标与要求1.认识三角形，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。
2.经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系。
3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法，并能运用它解决有关的问题。
4.三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理。
5.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题。
二、重点三角形内角和定理;对三角形有关概念的了解，能用符号语言表示三条形。
三、难点三角形内角和定理的推理的过程;在具体的图形中不重复，且不遗漏地识别所有三角形;用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形。
四、知识框架五、知识点、概念总结1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形的分类3.三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
4.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
初中三角形知识点
中考数学必备知识点——图形与几何知识点一：三角形1、三角形的定义：是由三条线段首尾顺次相接所组成的平面图形叫做三角形.2、组成三角形的元素：三条边和三个角3、三角形的分类⑴三角形按边的关系分类如下：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形（一般等腰三角形）等腰三角形底边和腰相等的等腰三角形（等边三角形或正三角形）⑵三角形按角的关系分类如下：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形（有一个角是直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角是钝角的三角形）把边和角联系在一起,我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形,它是两条直角边相等的直角三角形. 4、三角形的性质⑴三角形三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边且任意两边之差小于第三边.⑵三角形的内角和定理：三角形的三个内角和等于︒180. ⑶三角形的外角和定理：三角形的三个外角和等于︒360.⑷三角形的内外角定理：①互补关系：三角形的一个外角与它相邻的内角互补；②相等关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和.③不等关系：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑸三角形的边角关系：在同一个三角形中：大边对大角,等边对等角,小边对小角；反之,大角对大边,等角对等边,小角对小边也成立. 5、三角形的面积：三角形的面积12=⨯底⨯高知识点二：等腰三角形1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2、等腰三角形的性质定理及推论：性质定理：等腰三角形的两个底角相等简称：等边对等角推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一.推论2：等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°. 3、三角形中的中位线⑴三角形中的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. ⑵三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半;⑶三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行；数量关系：可以证明线段的倍分关系；⑷常用结论：任一个三角形都有三条中位线,由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半; 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形;结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形; 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分;结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等;知识点三：直角三角形 1、直角三角形的两个锐角互余；2、在直角三角形中,30︒角所对的直角边等于斜边的一半；3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4、直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+5、常用关系式：由三角形面积公式可得：AC BC CD AB ⋅=⋅ ★★★6、直角三角形的射影定理从一定向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影,是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.点和线段的正射影简称为射影直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项.即22290CD AD BDACB AC AD ABCD AB BC BD AB︒⎧=⋅⎫∠=⎪⇒=⋅⎬⎨⊥⎭⎪=⋅⎩知识点四：全等三角形1、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；2、三角形全等的性质：全等三角形的对应边相等,对应角相等；3、全等三角形的判定定理：⑴边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可简写成“边角边”或“SAS ”⑵角角边定理：任意两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等可以简写成“角角边”或“AAS ”；⑶角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等可简写成“角边角”或“ASA ”⑷边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等可简写成“边边边”或“SSS ”； ★★★直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL 定理斜边、直角边定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可简写成“斜边、直角边”或“HL ”4、全等变换：只改变图形的位置,不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换； 全等变换包括一下三种：①平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换； ②对称变换：将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换；③旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换；知识点五：相似三角形1、比例线段的概念：对于四条线段a b c d 、、、,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即ac bd或:=a b c d :那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段．注意：⑴在求线段比时,线段单位要统一,单位不统一应先化成同一单位．⑵当两个比例式的每一项都对应相同,两个比例式才是同一比例式．⑶比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式为：ad c b =． 2、比例的性质基本性质：1bc ad d c b a =⇔=::；2b a c b c c a ⋅=⇔=2::． 反比性质把比的前项、后项交换：cd a b d c ba =⇒=． 合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=．发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c dc ba b a cc d a a b d c b a 等等．等比性质：如果)0(≠++++====n f d bm e c a ,那么am e c a =++++ ．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.三角形中位线定理的逆定理 推论2：经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰.梯形中位线定理的逆定理平行线等分线段成比例定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例． 推论：1平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得的对应线段成比例．2平行于三角形一边且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形第三边． 4、相似三角形⑴相似三角形的定义：对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相不同；4相似用“∽”表示,读作“相似于”； 5相似三角形的对应边之比叫做相似比．⑵相似三角形的判定方法预备定理：平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 定理的基本图形语言：数学符号语言：BC DE // ∴ADE ∆∽ABC ∆．判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等,两三角形相似.判定定理2：如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 判定定理3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例,两个三角形相似.判定定理4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似．三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型 斜三角形直角三角形全等三角形的判定SAS SSS AASASA HL相似三角形的判定 两边对应成比例夹角相等三边对应成比例 两角对应相等 一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理,这就是我们数学中的用类比的方法,在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法. ⑶相似三角形的性质定理：1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； 2相似三角形的周长比等于相似比；3相似三角形的面积比等于相似比的平方；4相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.⑷相似三角形的等价关系1反身性：对于任一ABC∆∽ABC∆．∆有ABC2对称性：若ABC∆．BA∆∽ABCBA∆,则'''C∆∽'''C3传递性：若ABC∆,则ABCA''''''∆∽CA''''''B∆．BA'B∆∽C∆''∽CA'∆'',且CB★★★相似直角三角形引理：如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的线段成比例,那么这两条直线平行于三角形的第三边.与三角形的中位线定理类似定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么这两个直角三角形相似.定理：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 定理：如果两个直角三角形的斜边和一直边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.经过归纳和总结,相似三角形有以下几种基本类型知识点六：锐角三角函数的概念建立在直角三角形的基础之上1、如图,在△ABC 中,∠C=90° ①sin A a A c ∠==的对边斜边；②cos A bA c ∠==的邻边斜边 ③tan A a A A b ∠==∠的对边的邻边；④cot A bA A a∠==∠的邻边的对边2、一些特殊角的三角函数值 三角函数0︒30°45°60°90° sin α2122 23 1cos α123 22 21 0tan α33 1 3不存在cot α不存在3133 03、各锐角三角函数之间的关系1互余关系：sinA=cos90°—A,cosA=sin90°—A,tanA=cot90°—A,cotA=tan90°—A2平方关系：1cos sin 22=+A A 3倒数关系：tanA •tan90°—A=1 4弦切关系：tanA=AAcos sin。
新人教版初中数学——三角形及其全等-知识点归纳及例题解析
新人教版初中数学——三角形及其全等知识点归纳及例题解析一、三角形的基础知识1．三角形的概念由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2．三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3．三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4．三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．二、全等三角形1．三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．考向一三角形的三边关系在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来判断．典例1 小芳有两根长度为6 cm和9 cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为__________的木条．A．2 cm B．3 cmC．12 cm D．15 cm【答案】C【解析】设木条的长度为x cm，则9–6<x<9+6，即3<x<15，故她应该选择长度为12 cm的木条．故选C．1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是A．2 cm，5 cm，8 cm B．3 cm，3 cm，6 cmC．3 cm，4 cm，5 cm D．1 cm，2 cm，3 cm考向二三角形的内角和外角在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．典例2 小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中90E ∠=︒，90C ∠=︒，45°A ∠=，30D ∠=︒，则12∠+∠等于A ．150︒B ．180︒C ．210︒D ．270︒【答案】C【解析】如图，∵1D DOA ∠=∠+∠，2E EPB ∠=∠+∠， ∵DOA COP ∠=∠，EPB CPO ∠=∠， ∴12D E COP CPO ∠+∠=∠+∠+∠+∠ =180D E C ∠+∠︒+-∠ =309018090210︒︒︒︒++-=︒， 故选C ．2．如图，CE 是△ABC 的外角ACD ∠的平分线，若3560，B ACE ∠=︒∠=︒，则A ∠=__________．3．如图，在△ABC 中，∠ACB =68°，若P 为△ABC 内一点，且∠1=∠2，则∠BPC =__________．考向三三角形中的重要线段三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．另外，要注意区分三角形的中线和中位线．中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.典例3 在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D，E，F分别为AB，BC，AC中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是A．5 B．7 C．9 D．11【答案】B【解析】∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，∴DF=12BC=2，DF∥BC，EF=12AB=32，EF∥AB，∴四边形DBEF为平行四边形，∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+32）=7，故选B．【名师点睛】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．典例4 在△ABC中，∠BAC=115°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为A．50°B．40°C．30°D．25°【答案】A【解析】∵∠BAC=115°，∴∠B+∠C=65°，∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，∴EA=EB，GA=GC，∴∠EAB=∠B，∠GAC=∠C，∴∠EAG=∠BAC–（∠EAB+∠GAC）=∠BAC–（∠B+∠C）=50°，故选A．4．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于D点，AB=4，BD=5，点P是线段BC上的一动点，则PD 的最小值是__________．考向四全等三角形1．从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：（1）已知两边SASHLSSS ⎧⎪⎨⎪⎩找夹角→找直角→找第三边→（2）已知一边、一角AASSASASAAAS⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩一边为角的对边→找另一角→找夹角的另一边→一边为角的邻边找夹角的另一角→找边的对角→（3）已知两角ASAAAS ⎧⎨⎩找夹边→找其中一角的对边→2．若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目．典例5 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB∥DE，∠A=∠D，BF=EC．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A=120°，∠B=20°，求∠DFC的度数．【解析】（1）∵AB∥DE，∴∠B=∠E，∵BF=EC∴BF+FC=EC+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，A DB E BC EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△DEF．（2）∵∠A=120°，∠B=20°，∴∠ACB=40°，由（1）知△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠DFE，∴∠DFE=40°，∴∠DFC=40°．【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，①三边对应相等的两个三角形全等，简记为“SSS”；②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS”；③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简记为“ASA”；④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为“AAS”；⑤斜边及一直角边对应相等的两个三角形全等，根据这几种判定方法解答即可．5．如图，OA=OB，∠A=∠B，有下列3个结论：①△AOD≌△BOC，②△ACE≌△BDE，③点E在∠O的平分线上，其中正确的结论个数是A．0 B．1 C．2 D．36．如图，在△BCE中，AC⊥BE，AB=AC，点A、点F分别在BE、CE上，BF、AC相交于点D，BD=CE．求证：AD=AE．1．下列线段，能组成三角形的是A．2 cm，3 cm，5 cm B．5 cm，6 cm，10 cmC．1 cm，1 cm，3 cm D．3 cm，4 cm，8 cm2．下列图形不具有稳定性的是A．正方形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形3．直角三角形中两锐角之差为20°，则较大锐角为A．45°B．55°C．65°D．50°4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE=1，则BC=A3B．2 C．3 D3+25．如图所示，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需补充的条件是A．∠A=∠D B．∠E=∠CC．∠A=∠C D．∠1=∠26．如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH=AC，则∠ABC=__________．7．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3=__________度．8．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=8，CF=5，则BD=__________．9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AF⊥BD，F为垂足，过点C作AB的平行线交AF的延长线于点E．求证：（1）∠ABD=∠FAD；（2）AB=2CE．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，F分别在AB，AC上，CF=C B．连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥C D．求∠BDC的度数．11．如图，操场上有两根旗杆CA与BD之间相距12 m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3 m，小强同学行走的速度为0.5 m/s，则：（1）请你求出另一旗杆BD的高度；（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是 A ．2，2，4 B ．5，6，12 C ．5，7，2 D ．6，8，102．三角形的内角和等于 A ．90︒B ．180︒C ．270︒D ．360︒3．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则1∠的度数是A ．95︒B ．100︒C ．105︒D ．110︒4．如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A =60°，则∠BEC 是A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°5．如图，在ABC △中，ACB ∠为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．使2ADC B ∠=∠，则符合要求的作图痕迹是A ．B ．C ．D ．6．如图，在ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于A ．4B ．3C ．2D ．17．如图，DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且85AC BC ==，，则BEC △的周长是A ．12B ．13C ．14D ．158．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，FC AB ∥，若4AB =，3CF =，则BD 的长是A ．0.5B ．1C ．1.5D ．29．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D =90°，AD =4，BC =3．分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为A ．2B ．4C ．3D 1010．一副三角板如图摆放（直角顶点C 重合），边AB 与CE 交于点F ，DE BC ∥，则BFC ∠等于A ．105︒B ．100︒C ．75︒D ．60︒11．如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，垂足为F ．若∠ABC =35°，∠C =50°，则∠CDE 的度数为A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°12．如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．113．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________．14．如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得DE =50 m ，则AB 的长是__________m ．15．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE 的长为__________．16．如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．17．如图，AB CD ∥，AD 和BC 相交于点O ，OA OD =．求证：OB OC =．18．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE =FE ，FC ∥AB ，求证：ADE CFE △≌△．19．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ．△≌△；求证：（1）DBC ECB．（2）OB OC变式拓展1．【答案】C【解析】2cm+5cm<8cm，A不能组成三角形；3cm+3cm=6cm，B不能组成三角形；3cm+4cm＞5cm，C能组成三角形；1cm+2cm=3cm，D不能组成三角形；故选C．2．【答案】85°【解析】∵∠ACE=60°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACD=2∠ACE=120°，∵∠ACD=∠A+∠B，∠B=35°，∴∠A=∠ACD-∠B=85°，故答案为：85°．3．【答案】112°【解析】∵∠1+∠PCB=∠ACB=68°，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠PCB=68°，∵∠BPC+∠2+∠PCB=180°，∴∠BPC=180°-68°=112°，故答案为：112°．4．【答案】3【解析】由勾股定理知AD3=，BD平分∠ABC交AC于D点，所以PD=AD最小，PD=3，故答案为：3．5．【答案】D【解析】∵OA=OB，∠A=∠B，∠O=∠O，∴△AOD≌△BOC（ASA），故①正确；∴OD=CO，∴BD=AC，∴△ACE≌△BDE（AAS），故②正确；∴AE=BE，连接OE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AOE=∠BOE，∴点E在∠O的平分线上，故③正确，故选D．6．【解析】∵AC⊥BE，∴∠BAD=∠CAE=90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，BD CE AB AC=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），∴AD=AE．1．【答案】B【解析】A、3+2=5，故选项错误；B、5+6>10，故正确；C、1+1<3，故错误；D、4+3<8，故错误．故选B．2．【答案】A【解析】根据三角形具有稳定性可知，只有选项A不具有稳定性，故选A．3．【答案】B【解析】设两个锐角分别为x、y，由题意得，=90=20x yx y+︒-︒⎧⎨⎩，解得=55=35xy︒︒⎧⎨⎩，所以最大锐角为55°．故选B．4．【答案】C【解析】根据角平分线的性质可得CD=DE=1，根据Rt△ADE可得AD=2DE=2，根据题意可得△ADB为等腰三角形，则DE为AB的中垂线，则BD=AD=2，则BC=CD+BD=1+2=3．故选C．5．【答案】D【解析】根据全等“SAS”判定可知，要证△ABE≌△DBC还需补充条件AB，BE与BC，BD的夹角相等，即∠ABE=∠CBD或者∠1=∠2，故选D．6．【答案】45°【解析】∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠HBD+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠HBD=∠CAD，∵在△HBD和△CAD中，HBD CADHDB CDA BH AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△HBD≌△CAD，∴AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∵∠ADB=90°，∴∠ABD=45°，即∠ABC=45°故答案为：45°．7．【答案】135【解析】如图所示：由题意可知△ABC≌△EDC，∴∠3=∠BAC，又∵∠1+∠BAC=90°，∴∠1+∠3=90°，∵DF=DC，∴∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=135度，故答案为：135．8．【答案】3【解析】∵AB∥CF，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，又∵DE=FE，∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF=5，∵AB=8，∴BD=AB–AD=8–5=3，故答案为：3．9．【解析】(1)∵∠BAC=90°，∴∠FAD＋∠BAF=90°.∵AF⊥BD，∴在Rt△ABF中，∠ABD＋∠BAF=90°，∴∠ABD=∠FAD．(2)∵CE∥AB，∠BAC=90°，∴∠ACE=90°，在△BAD和△ACE中，∵∠ABD=∠CAE，AB=CA，∠BAC=∠ACE=90°，∴△BAD≌△ACE(ASA)，∴AD=CE.∵BD为△ABC中AC边上的中线．∴AC=2AD，∴AC=2CE.又∵AB=AC，∴AB=2CE.10．【解析】（1）∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°–∠ACD=∠FCE，在△BCD和△FCE中，CB=CF，∵BCD=∠FCE，CD=CE，CB=CF，∠BCD=∠FCE，∴△BCD≌△FCE．（2）由（1）可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，∵EF∥CD，∴∠E=180°–∠DCE=90°，∴∠BDC=90°．11．【解析】（1）如图，∵CM和DM的夹角为90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠DBA=90°，∴∠2+∠D=90°，∴∠1=∠D，在△CAM 和△MBD 中，1A B D CM MD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△CAM ≌△MBD （AAS ），∴AM =DB ，AC =MB ， ∵AC =3m ，∴MB =3m ，∵AB =12m ，∴AM =9m ，∴DB =9m ； （2）9÷0.5=18（s ）． 答：小强从M 点到达A 点还需要18秒．1．【答案】D【解析】∵224+=，∴2，2，4不能组成三角形，故选项A 错误， ∵5612+<，∴5，6，12不能组成三角形，故选项B 错误， ∵527+=，∴5，7，2不能组成三角形，故选项C 错误， ∵6810+>，∴6，8，10能组成三角形，故选项D 正确，故选D ． 2．【答案】B【解析】因为三角形的内角和等于180度，故选B ． 3．【答案】C 【解析】如图，直通中考由题意得，2454903060∠=︒∠=︒︒=︒，-，∴3245∠=∠=︒， 由三角形的外角性质可知，134105∠=∠+∠=︒，故选C ． 4．【答案】B【解析】∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠EBM =12∠ABC ， ∵CE 是外角∠ACM 的平分线，∴∠ECM =12∠ACM ， 则∠BEC =∠ECM –∠EBM =12×（∠ACM –∠ABC ）=12∠A =30°，故选B ．5．【答案】B【解析】∵2ADC B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠，∴B BCD ∠=∠，∴DB DC =， ∴点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点，故选B ． 6．【答案】C【解析】如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，∵8AC =，13DC AD =，∴18213CD =⨯=+， ∵90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，∴2DE CD ==，即点D 到AB 的距离为2，故选C ． 7．【答案】B【解析】∵DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，∴AE BE =，∵85AC BC ==，，∴BEC △的周长是：13BE EC BC AE EC BC AC BC ++=++=+=．故选B ． 8．【答案】B【解析】∵CF AB ∥，∴A FCE ∠=∠，ADE F ∠=∠，在ADE △和FCE △中，A FCEADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE CFE △≌△，∴3AD CF ==，∵4AB =，∴431DB AB AD =-=-=．故选B ． 9．【答案】A【解析】如图，连接FC ，则AF =FC ．∵AD ∥BC ，∴∠FAO =∠BCO ．在△FOA 与△BOC 中，FAO BCO OA OC AOF COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△FOA ≌△BOC （ASA ），∴AF =BC =3，∴FC =AF =3，FD =AD -AF =4-3=1．在△FDC 中，∵∠D =90°，∴CD 2+DF 2=FC 2，∴CD 2+12=32，∴CD 2A ． 10．【答案】A【解析】由题意知45E ∠=︒，30B ∠=︒，∵DE CB ∥，∴45BCF E ∠=∠=︒， 在CFB △中，1801803045BFC B BCF ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒105=︒，故选A ． 11．【答案】C【解析】∵BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，∴∠ABD =∠EBD =12∠ABC =352︒，∠AFB =∠EFB =90°，∴∠BAF =∠BEF =90°-17.5°，∴AB =BE ，∴AF =EF ，∴AD =ED ，∴∠DAF =∠DEF ， ∵∠BAC =180°-∠ABC -∠C =95°，∴∠BED =∠BAD =95°，∴∠CDE =95°-50°=45°，故选C ． 12．【答案】B【解析】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD △中，OA OBAOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD △≌△，∴OCA ODB AC BD ∠=∠=，，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠， ∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG △和ODH △中，OCA ODB OGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OCG ODH △≌△，∴OG OH =，∴MO 平分BMC ∠，④正确，正确的个数有3个，故选B ．13．【答案】70°【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∵∠A +∠B +∠C =180°，∴∠B =12（180°-40°）=70°．故答案为：70°． 14．【答案】100【解析】∵点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴AB =2DE =2×50=100 m ． 故答案为：100．15．【答案】9 【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△BAD 和△CAE 中，BAD CAE AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD ≌△CAE ，∴BD =CE =9，故答案为：9．16．【答案】70【解析】∵∠ABC =90°，AB =AC ，∴∠CBF =180°–∠ABC =90°，∠ACB =45°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CB AE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF =∠BAE =25°，∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =45°+25°=70°，故答案为：70．17．【解析】∵AB CD ∥，∴A D ∠=∠，B C ∠=∠，在AOB △和DOC △中，A D B C OA OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOB DOC △≌△，∴OB OC =．18．【解析】∵FC ∥AB ，∴∠A =∠FCE ，∠ADE =∠F ，所以在△ADE 与△CFE 中，A FCE ADE F DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CFE ．19．【解析】（1）∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △，∴∠DCB =∠EBC ，∴OB =OC ．。
初中数学知识总结大全 第七章 三角形(编辑：靳军强)(编辑：靳军强)
D CB A 第七章 三角形7.1 三角形7.1.1三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. 三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点，7.1.2 三角形的特性与表示三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“∆”表示，顶点是A 、B 、C 的三角形记作“∆ABC ”，读作“三角形ABC ”。
三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示.注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义． 7.1.3 三边关系三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边． 7.1.4 三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点．_C _B _A21DC B AD C BA7.1.5 三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
即在三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线.2.BD=DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形． 7.1.6三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
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初中数学知识点总结：三角形
第一部分：点、线、角
一、线
1、直线
2、射线
3、线段
二、角
1、角的两种定义：一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。
另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
2.角的平分线
3、角的度量：度量角的大小，可用“度”作为度量单位。
把一个圆周分成360等份，
每一份叫做一度的角。
1度=60分；1分=60秒。
4. 角的分类：(1)锐角(2)直角(3)钝角(4)平角(5)周角
5. 相关的角：
(1)对顶角(2)互为补角(3)互为余角
6、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。
注意：互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。
7、角的性质
(1)对顶角相等(2)同角或等角的余角相等(3)同角或等角的补角相等。
三、相交线
1、斜线
2、两条直线互相垂直
3、垂线，垂足
4、垂线的性质
(l)过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。
(2)垂线段最短。
四、距离
1、两点的距离
2、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。
3、两条平行线的距离：两条直线平行，从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线，垂线段的长度，叫做两条平行线的距离。
五、平行线
1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。
2、平行线的判定：
(1) 同位角相等，两直线平行。
(2) 内错角相等，两直线平行。
(3) 同旁内角互补，两直线平行。
3、平行线的性质
(1)两直线平行，同位角相等。
(2)两直线平行，内错角相等。
(3)两直线平行，同旁内角互补。
说明：要证明两条直线平行，用判定公理(或定理)在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。
4、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等.
5、如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角互补.
第二部分：三角形
一、关于三角形的一些概念
1、三角形的角平分线。
三角形的角平分线是一条线段(角平分线平分顶点)
三条角平分线交于一点(交点在三角形内部，是三角形内切圆的圆心，称为内心)
2、三角形的中线
三角形的中线也是一条线段(顶点到对边中点间的距离)
三条中线线交于一点(交点在三角形内部，是三角形的几何中心，称为中心)
3、三角形的高
三角形的高线也是一条线段(顶点到对边的距离)
注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内。
如图2-l，AD、BE、CF都是么ABC的角平分线，它们都在△ABC内
如图2-2，AD、BE、CF都是△ABC的中线，它们都在△ABC内而图2-3，说明高线不一定在△ABC内，
图2-3-(1)图2-3-(2)图2-3-(3)
图2-3-(1)，中三条高线都在△ ABC内，
图2-3-(2)，中高线CD在△ABC内，而高线AC与BC是三角形的边;
图2-3-(3)，中高线BE在△ABC内，而高线AD、CF在△ABC外。
二、三角形三条边的关系
三角形三边都不相等，叫不等边三角形；有两条边相等的叫等腰三角形；三边都相等的则叫等边三角形。
等腰三角形中，相等的两条边叫腰，另一边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫项角。
三角形按接边相等关系来分类：
用集合表示，见图2-4
推论：三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边。
不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边。
例如：三条线段长分别为5，6，1人因为5+6<12，所以这三条线段，不能作为三角形的三边。
三、三角形的内角和
定理：三角形三个内角的和等于180°
由定理可以知道，三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角。
推论1：直角三角形的两个锐角互余。
三角形按角分类：
三角形分类用集合表示，见图
三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。
♦推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
♦推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
例如图2—6中
△1 >△3; △1=△3+△4; △5>△3+△8; △5=△3+△7+△8;
△2>△8; △2=△7+△8; △4>△9; △4=△9+△10等等。
四、全等三角形
定义：能够完全重合的两个图形叫全等形。
两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等。
❖五、全等三角形的判定
1、边角边公理：“SAS” ♦注意：一定要是两边夹角，而不能是边边角。
2、角边角公理：ASA
3、角角边：AAS
4、边边边：SSS
5、直角三角形全等的判定：“斜边，直角边”或“HL ”
三角形的重要性质：三角形的稳定性。
六、角的平分线
定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
可以证明三角形内存在一个点，它到三角形的三边的距离相等这个点就是三角形的三条角平分线的交点(交于一点)
七、等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相，那这两个角所对的两条边也相等。
(简写成“等角对等动”)。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
八、勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：222a c b =+
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有下面关系：2
22a c b =+，那么这个三角形是直角三角形
直角三角形 2
22a c b =+
三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
特别提示：
①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。