排列与组合解题技巧

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高二数学（理）讲义

专题：排列与组合解题技巧

主要技巧：

一. 运用两个基本原理

例1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？

练习1：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）

（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种

二. 特殊元素（位置）优先

例2：从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？

练习2：8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？

三. 捆绑法

例3：8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？

练习3：记者要为5名志愿者和他们帮助的2为老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有

.A1440种.B960种.C720种.D480种

四. 插入法

例4：排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？

练习4：安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有种。

五. 排除法

例5：求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。

练习5：100件产品中有3件是次品，其余都是正品。现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法？

练习6：8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能站在一起，一共有多少种排法？

六. 机会均等法

例6：10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？

练习7：用1，4，5，四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，求。

七. 转化法

例7：一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？

练习8：动点从（0，0）沿水平或竖直方向运动到达（6，8），要使行驶的路程最小，有多少种走法？

八. 隔板法

例14：20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？

练习9：把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考

这些方法是否适合更一般的情况？

针对练习：

1、7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？

2、7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？

3、(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有个.

4、(1995年上海高考题)1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．

5、（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.

6、（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加

了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）

A．42 B．30 C．20 D．12

7、（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）

8、（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路

口4人，则不同的分配方案共有（）

A．种B．种

C．种

D．种

9、（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A．24种B．18种C．12种 D．6种

10、（2008年陕西卷）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．

11、（2008年天津卷）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（用数字作答）．

12、（2008年浙江卷）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答)。

参考答案：

一. 运用两个基本原理

加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。

例1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？

解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有种结果；1个人通过，有种结果，……；n个人通过，有种结果。所以一共有种可能的结果。

解法2：用分步记数的原理。第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。所以一共有种可能的结果。

例2：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）

（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种

解：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。

第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；

第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：

（1）乙取a，则接下来丙、丁的取法都是唯一的，

（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。

根据加法原理和乘法原理，一共有种分配方式。

二. 特殊元素（位置）优先

例3：从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？

解：个位选0，有个，个位不选0且万位不能选0，有个，所以一共可以得到个偶数。

注 0，2，4，6，8是特殊元素，元素0更为特殊，首位与末位是特殊的位置。

例4：8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？

解：先排甲，有种排法。再排乙，有种排法，再排其余的人，又有种排法，所以一共有种排法。

三. 捆绑法

例5：8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？

解：把甲、乙、丙先排好，有种排法，把这三个人“捆绑”在一起看成是一个，与其余5个人相当于6个人排成一排，有种排法，所以一共有=1440种排法。

四. 插入法

例6：排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？

解：先排5个不是小品的节目，有种排法，它们之间以及最后一个节目之后一共有6个空隙，将3个小品插入进去，有种排法，所以一共有=7200种排法。

注：捆绑法与插入法一般适用于有如上述限制条件的排列问题。

五. 排除法

例7；求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。