组合数学(第四版)课后习题答案
组合数学的参考问题详解(卢开澄第四版)-修改版

1.1 题 从{1,2,……50}中找两个数{a ,b},使其满足 (1)|a-b|=5; (2)|a-b|≤5;解:(1):由|a-b|=5⇒a-b=5或者a-b=-5,由列举法得出,当a-b=5时,两数的序列为(6,1)(7,2)……(50,45),共有45对。
当a-b=-5时,两数的序列为(1,6),(2,7)……(45,50)也有45对。
所以这样的序列有90对。
(2):由题意知,|a-b|≤5⇒|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0; 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。
当|a-b|=1时两数的序列有(1,2),(3,4),(2,1)(1,2)…(49,50),(50,49)这样的序列有49*2=98对。
当此类推当|a-b|=2,序列有48*2=96对,当|a-b|=3时,序列有47*2=94对,当|a-b|=4时,序列有46*2=92对, 当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5201.2题 5个女生,7个男生进行排列,(a) 若女生在一起有多少种不同的排列?(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列?(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少?解:(a )可将5个女生看作一个单位,共八个单位进行全排列得到排列数为:8!×5!, (b )用x 表示男生,y 表示空缺,先将男生放置好,共有8个空缺, Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数: C (8,5)×7!×5! (c )先取两个男生和3个女生做排列,情况如下: 6. 若A ,B 之间存在0个男生, A ,B 之间共有3个人,所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1.若A ,B 之间存在1个男生, A ,B 之间共有4个人,所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2.若A ,B 之间存在2个男生,A ,B 之间共有5个人,所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 3.若A ,B 之间存在3个男生,A ,B 之间共有6个人,所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4.若A ,B 之间存在4个男生,A ,B 之间共有7个人,所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5.若A ,B 之间存在5个男生,A ,B 之间共有8个人,所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2所以总的排列数为上述6种情况之和。
组合数学的参考问题详解(卢开澄第四版)-修改版

1.1 题 从{1,2,……50}中找两个数{a ,b},使其满足 (1)|a-b|=5; (2)|a-b|≤5;解:(1):由|a-b|=5⇒a-b=5或者a-b=-5,由列举法得出,当a-b=5时,两数的序列为(6,1)(7,2)……(50,45),共有45对。
当a-b=-5时,两数的序列为(1,6),(2,7)……(45,50)也有45对。
所以这样的序列有90对。
(2):由题意知,|a-b|≤5⇒|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0; 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。
当|a-b|=1时两数的序列有(1,2),(3,4),(2,1)(1,2)…(49,50),(50,49)这样的序列有49*2=98对。
当此类推当|a-b|=2,序列有48*2=96对,当|a-b|=3时,序列有47*2=94对,当|a-b|=4时,序列有46*2=92对, 当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5201.2题 5个女生,7个男生进行排列,(a) 若女生在一起有多少种不同的排列?(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列?(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少?解:(a )可将5个女生看作一个单位,共八个单位进行全排列得到排列数为:8!×5!, (b )用x 表示男生,y 表示空缺,先将男生放置好,共有8个空缺, Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数: C (8,5)×7!×5! (c )先取两个男生和3个女生做排列,情况如下:6. 若A ,B 之间存在0个男生, A ,B 之间共有3个人,所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1.若A ,B 之间存在1个男生, A ,B 之间共有4个人,所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2.若A ,B 之间存在2个男生,A ,B 之间共有5个人,所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 3.若A ,B 之间存在3个男生,A ,B 之间共有6个人,所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4.若A ,B 之间存在4个男生,A ,B 之间共有7个人,所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5.若A ,B 之间存在5个男生,A ,B 之间共有8个人,所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2所以总的排列数为上述6种情况之和。
组合数学第四章习题解答

4.19 试说明S5群的不同格式及其个数, • 9.解:5的拆分共有:00005,00014,00023, 00113,00122,01112,11111共七种,根据讲义4.4 节定理1可得S5中: (1)5共轭类有5!/5!=1个置换; (1)1(4)1共轭类有5!/4=30个置换; (2)1(3)1共轭类有5!/(2· 3)=20个置换; (1)2(3)1共轭类有5!/(2!3)=20个置换; (1)1(2)2共轭类有5!/(2!2 )=15个置换; (1)3(2)1共轭类有5!/(3!2)=10个置换; (5)1共轭类有5!/5=24个置换; ∴共有不同格式7种,如上所示。
旋转 12345
12345 13524 14253 15432
5
2
翻转
12534 21345 32415 51423 41235
4
3
c ( a1 ) c(a2 ) 1 c ( ag ) l [m m ... m ] G
4.23 凸多面体中与一个顶点相关的各角之和与2 的差称为该顶点的欠角,证明凸多面体各顶点欠 角之和为4
证:设V,S,E分别为顶点集,面集,边(棱)集。 由欧拉定理 |V|+|S|-|E|=2. 设aij为与顶点vi, 面Sj为相关的面角,ej为Sj的的边数, 给定Sj则∑aij=(ej-2)π 欠角和为∑(2π-∑aij)=∑2π-∑ ∑aij =2|V|π-∑ ∑aij=2|V|π-∑(ej-2)π =2|V|π-∑ejπ+2|S|π =2|V|π+2|S|π-2|E|π=4π
用4.2和4.8的结论
4.10 若x和y在群G作用下属于同一等价类,则x所 属的等价类Ex,y所属的等价类Ey有|Ex|=|Ey|。 显然
组合数学(第四版)课后习题答案03

解:由定理3.4.4 6个没有区别的车放在 6 6 棋盘上,使没有两个车能够互相攻击的放置方法有6!种。 2个红车4个蓝车,那么放置方法是
(6!) 2 =6!×15种。 2!4!
1010 210 510
同ⅰ),由乘法原理, 1010 有11×11 = 121个因子,且互异 那么, 1010 有121个互异正因子 □
8、6男6女围坐一个圆桌。如果男女交替围坐,可有多少种围坐的方式?
—第1页—
SY0721129 刘佳
解:先把6个男人循环排队,有5!种方式
再把6个女人依次插入男人的循环队列中,要求每两个男人之间插一个女的,那么有6!种 方式 由乘法原理,共有5!×6!种方式 □
解:因为有1个A,2个D,1个R,2个E,个S
9! 个。 2!2!3! 8! 8! 8! 8! 8! 8-排列的个数是 种。 2!2!3! 2!3! 2!2!3! 2!3! 2!2!2!
所以,字母的排列共有
□
—第3页—
种。 □ ⅱ) 将8个车放在 12 12 棋盘上,使没有两个车能够互相攻击的放置方法有
12 12 8 8 8 8! 3 种。
□
21、单词ADDRESSES的字母有多少排列?这9个字母有多少8-排列?
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SY0721129 刘佳
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第3章 排列与组合 3.6 练习题
4、下列各数各有多少互异正因子? ⅰ) 3 5 7 11
4 2 6
ⅱ) 620 ⅲ) 10
组合数学课后习题答案

第一章答案1.(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 49→50 ) 2.(a) 5!8!(b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)!(c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2)6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。
8. 41⨯319. 设 n=p 1n 1p 2n 2…p kn k , 则n 2的除数个数为 ( 2p 1+1) (2p 2+1) …(2p k+1).10.1)用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式;2)如果某n 可以表示成题中表达式的形式,则等式两端除以2取余数,可以确定a 1;再对等式两端的商除以3取余数,又可得a 2;对等式两端的商除以4取余数,又可得a 3;…;这说明表达式是唯一的。
11.易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。
组合意义:右:从n 个不同元素中任取r+1个出来,再从这r+1个中取一个的全体组合的个数;左:上述组合中,先从n 个不同元素中任取1个出来,每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。
12.考虑,)1(,)1(101-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kknx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk kn n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。
当第二组最大数为a k 时,第二组共有2k-1种不同的可能,第一组有2n-k -1种不同的可能。
故符合要求的不同分组共有12)2()12(21111+-=-----=∑n k n k n k n 种。
组合数学参考答案(卢开澄第四版)60页

组合数学参考答案(卢开澄第四版)60页1.1题从{1,2,……50}中找两个数{a,b},使其满足(1)|a-b|=5;(2)|a-b|?5;解决方案:(1):从| A-B |=5?A-B=5或A-B=5,由列举法得出,当a-b=5时,两数的序列为(6,1)(7,2)……(50,45),共有45对。
当a-b=-5时,两数的序列为(1,6),(2,7)……(45,50)也有45对。
所以这样的序列有90对。
(2):由题意知,|a-b|?5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0;由上题知当|a-b|=5时有90对序列。
当|a-b|=1时两数的序列有(1,2),(3,4),(2,1)(1,2)…(49,50),(50,49)这样的序列有49*2=98对。
当此类推当|a-b|=2,序列有48*2=96对,当|a-b|=3时,序列有47*2=94对,当|a-b|=4时,序列有46*2=92对,当|a-b|=0时有50对序列总数=94+96+5201.2题5个女生,7个男生进行排列,(a)若女生在一起有多少种不同的排列?(b)女生两两不相邻有多少种不同的排列?(c)两男生a和b之间正好有3个女生的排列是多少?解决方案:(a)五个女孩可以被视为一个单元,总共八个单元可以全部安排。
安排号码是:8!×5!,(b)男孩用X,空缺用y。
把男孩放在第一位。
总共有8个空缺在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数:c(8,5)×7!×5!(c)先取两个男生和3个女生做排列,情况如下:6.若a,b之间存在0个男生,a,b之间共有3个人,所有的排列应为p6=c(5,3)*3!*8!*21.若a,b之间存在1个男生,a,b之间共有4个人,所有的排列应为p1=c(5,1)*c(5,3)*4!*7!*22.若a,b之间存在2个男生,a,b之间共有5个人,所有的排列应为p2=c(5,2)*c(5,3)*5!*6!*23.若a,b之间存在3个男生,a,b之间共有6个人,所有的排列应为p3=c(5,3)*c(5,3)*6!*5!*24.若a,b之间存在4个男生,a,b之间共有7个人,所有的排列应为p4=c(5,4)*c(5,3)*7!*4!*25.若a,b之间存在5个男生,a,b之间共有8个人,所有的排列应为p5=c(5,5)*c(5,3)*8!*3!*2因此,排列的总数是上述六种情况的总和。
组合数学第四版卢开澄标准答案-第一章

第1章 排列与组合1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b},使其满足:()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解,得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5,a=1,2,…,45时,b =6,7,…,50。
满足a=b-5的点共50-5=45个点. a = b+5,a=5,6,…,50时,b =0,1,2,…,45。
满足a=b+5的点共45个点. 所以,共计2×45=90个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。
1.2 5个女生,7个男生进行排列,(a) 若女生在一起有多少种不同的排列? (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列?(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少?[解] (a) 女生在一起当作一个人,先排列,然后将女生重新排列。
(7+1)!×5!=8!×5!=40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案,共有8个空隙,将5个女生插入,故需从8个空中选5个空隙,有58C 种选择。
将女生插入,有5!种方案。
故按乘法原理,有:7!×58C ×5!=33868800(种)方案。
(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ,B 之间,有35C 种方案,在让3个女生排列,有3!种排列,将这5个人看作一个人,再与其余7个人一块排列,有(7+1)! = 8!由于A ,B 可交换,如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理,有:2×35C ×3!×8!=4838400(种)1.3 m 个男生,n 个女生,排成一行,其中m ,n 都是正整数,若(a) 男生不相邻(m ≤n+1); (b) n 个女生形成一个整体; (c) 男生A 和女生B 排在一起; 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列,有n!种方法,共有n+1个空隙,选出m 个空隙,共有mn C 1+种方法,再插入男生,有m!种方法,按乘法原理,有:n!×mn C 1+×m!=n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。
组合数学课后答案

作业习题答案习题二2.1证明:在一个至少有2人的小组中,总存在两个人,他们在组内所认识的人数相同。
证明:假设没有人谁都不认识:那么每个人认识的人数都为[1,n-1],由鸽巢原理知,n个人认识的人数有n-1种,那么至少有2个人认识的人数相同。
假设有1人谁都不认识:那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2],由鸽巢原理知,n-1个人认识的人数有n-2种,那么至少有2个人认识的人数相同。
2.3证明:平面上任取5个坐标为整数的点,则其中至少有两个点,由它们所连线段的中点的坐标也是整数。
证明:方法一:有5个坐标,每个坐标只有4种可能的情况:(奇数,偶数);(奇数,奇数);(偶数,偶数);(偶数,奇数)。
由鸽巢原理知,至少有2个坐标的情况相同。
又要想使中点的坐标也是整数,则其两点连线的坐标之和为偶数。
因为奇数+奇数= 偶数;偶数+偶数=偶数。
因此只需找以上2个情况相同的点。
而已证明:存在至少2个坐标的情况相同。
证明成立。
方法二:对于平面上的任意整数坐标的点而言,其坐标值对2取模后的可能取值只有4种情况,即:(0,0) ,(0,1) ,(1,0), (1,1),根据鸽巢原理5个点中必有2个点的坐标对2取模后是相同类型的,那么这两点的连线中点也必为整数。
2.4一次选秀活动,每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”,至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果?证明:根据推论2.2.1,若将3*(100-1)+1=298个人得到3种结果,必有100人得到相同结果。
2.9将一个矩形分成(m+1)行112mm+⎛⎫+⎪⎝⎭列的网格每个格子涂1种颜色,有m种颜色可以选择,证明:无论怎么涂色,其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。
证明:(1)对每一列而言,有(m+1)行,m种颜色,有鸽巢原理,则必有两个单元格颜色相同。
(2)每列中两个单元格的不同位置组合有12m+⎛⎫⎪⎝⎭种,这样一列中两个同色单元格的位置组合共有12mm+⎛⎫⎪⎝⎭种情况(3)现在有112m m +⎛⎫+⎪⎝⎭列,根据鸽巢原理,必有两列相同。
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第2章 鸽巢原理
2.4 练习题
1、关于本节中的应用4,证明对于每一个=k 1,2,…,21存在连续若干天,在此期间国际象棋大师将恰好
下完k 局棋(情形=k 21是在应用4中处理的情况)。
能否判断:存在连续若干天,在此期间国际象棋大师将恰好下完22局棋?
证明:设i a 表示在前i 天下棋的总数
若正好有i a =k ,则命题得证。
若不然,如下:
∵共有11周,每天至少一盘棋,每周下棋不能超过12盘
∴有 771≤≤i ,且132
17721≤<<<≤a a a {}21,,2,1 ∈∀k 有k
k a k a k a k +≤+<<+<+≤+13217721 观察以下154个整数:
k
a k a k a a a a +++77217721,,,,,,, 每一个数是1到k +132之间的整数,其中153
132≤+k 由鸽巢原理,这154个数中至少存在两个相等的数
∵7721,,,a a a 都不相等,k a k a k a +++7721,,, 都不相等
∴j i ,∃,使i a =k
a j +即这位国际象棋大师在第1+j ,2+j ,…,i 天总共下了k 盘棋。
综上所述,对于每一个=k 1,2,…,21存在连续若干天,在此期间国际象棋大师将恰好下完k 局棋。
□
当k =22时,132+k =154,那么以下154个整数
22,,22,22,,,,77217721+++a a a a a a
在1到154之间。
ⅰ)若这154个数都不相同
则它们能取到1到154的所有整数,必然有一个数是22
∵2222>+i a ,77
1≤≤i ∴等于22的数必然是某个i a ,77
1≤≤i
则在前i 天,这位国际象棋大师总共下了22盘棋。
ⅱ)若这154个数中存在相同的两个数
∵7721,,,a a a 都不相等,k a k a k a +++7721,,, 都不相等
∴j i ,∃,使i a =k
a j +即这位国际象棋大师在第1+j ,2+j ,…,i 天总共下了k 盘棋。
综上所述,存在连续若干天,在此期间国际象棋大师将恰好下完22局棋。
□
5、证明,如果从{
}n 3,,2,1 中选择1+n 个整数,那么总存在两个整数,它们之间最多差2。
证明:把{
}n 3,,2,1 按顺序三个数字分为一组,共有n 组,它们是{}3,2,1,{}6,5,4,…,{}
n n n 3,13,23--由鸽巢原理,从n 组整数中,选择1+n 个整数,至少有两个整数属于同一组
且根据以上分组方式,这两个数之间最多相差2
即总存在两个整数,它们之间最多差2。
□
*7、证明,对任意给定的52个整数,存在其中的两个整数,要么两者的和能被100整除,要么两者的差能被1
00整除。
证明:任何一个整数的后两位,都是00,01,02,03,…,99之一
现在对所有整数按照后两位数的不同分组如下:
{}00,{}99,01,{}98,02,…,{}51,49,{}50,共有51个组。
由鸽巢原理,对于任意给定的52个整数,至少存在两个整数属于同一组。
属于同一组的两个数,要么后两位数相同,要么后两位数相加等于100
若这两个数后两位相同,那么这两者的差能被100整除;若这两个数后两位相加等于100,那么两者的和能被100整除。
□
11、一个学生有37天用来准备考试。
根据过去的经验,她知道她需要不超过60小时的学习时间。
她还希望每
天至少学习1个小时。
证明,无论她如何安排她的学习时间(不过,每天都是整数个小时),都存在连续的若干天,在此期间她恰好学习了13个小时。
证明:设i a 表示在前i 天学习的小时数。
∵有37天准备考试,每天至少学习1小时,总学习时间不超过60小时
∴有 371≤≤i ,且60
13721≤<<<≤a a a 我们还有:73
131313143721≤+<<+<+≤a a a 观察以下74个整数:
13
,,13,13,,,,37213721+++a a a a a a 每一个数是1到73之间的整数。
由鸽巢原理,这74个数中至少存在两个相等的数
∵3721,,,a a a 都不相等,13,,13,133721+++a a a 都不相等
∴j i ,∃,使i a =13
+j a 即这个学生在第1+j ,2+j ,…,i 天恰好总共学习了13个小时。
□
14、一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。
如果我每分钟从袋子里取出1种水果,那
么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果?
答:45分钟。
下面证明此结论:
最坏的情况是,拿了若干次之后,还是不能拿到1打相同的水果。
但是这个次数的极限是每种水果拿了11个,也就是总共拿了44次。
因为若拿到第45次时,必定有一种水果拿到了12个(1打)。
也就是说拿45次,肯定至少已拿出了1打相同种类的水果。
□
15、证明,对任意1+n 个整数1a ,2a ,…,1+n a 存在两个整数i a 和j a ,j i ≠,使得i a -j a 能够被n 整
除。
证明:任何一个整数被n 除的余数是以下n 个数之一
0,1,2,…, 1
-n
由鸽巢原理,对于任意1+n 个整数1a ,2a ,…,1+n a ,它们除以n 的余数至少有两个相同
不妨设这两个数为i a 和j a (j i ≠),i a -j a 能够被n 整除。
□
19、ⅰ)证明,在边长为1的等边三角形内任意选择5个点,存在2个点,其间距离之多为1/2。
证明:把边长为1的等边三角形按照右图方式分割为4部分
每一部分都是边长为1/2的等边三角形
在同一个小三角形中相距最远的2个点距离为1/2
由鸽巢原理,任意选择5个点,至少有2个点属于同一个小三角形
即:在边长为1的等边三角形内任意选择5个点,存在2个点,其间距离之多为1/2。
□ⅱ)证明,在边长为1的等边三角形内任意选择10个点,存在2个点,其间距离之多为1/3。
证明:把边长为1的等边三角形按照右图方式分割为9部分
每一部分都是边长为1/3的等边三角形
在同一个小三角形中相距最远的2个点距离为1/3
由鸽巢原理,任意选择10个点,至少有2个点属于同一个小三角形
即:在边长为1的等边三角形内任意选择10个点,
存在2个点,其间距离之多为1/2。
□
ⅲ)确定一个整数n m ,使得如果在边长为1的等边三角形内任意选择n m 个点,则存在2个点,其间距离之多
为1/n 。
证明:由等边三角形分割成小等边三角形的变化规律:
1,4,9,16,25,…,2
n 可知:边长为1的等边三角形,可以分割为2n 个边长为1/n 的等边三角形。
边长为1/n 的等边三角形内部,相距最远的2个点距离为1/n
由鸽巢原理,任意选择12+=n m n 个点,至少有2个点属于同一个小三角形即:在边长为1的等边三角形内任意选择12+=n m n 个点,存在2个点,其间距离之多
为1/n 。
□。