高中数学必修4课后习题答案
高中数学必修4习题和复习参考题对应答案
高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案A 组1、在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： （1）－265°；（2）－1000°；（3）－843°10′；（4）3900°． 答案：（1）95°，第二象限； （2）80°，第一象限； （3）236°50′，第三象限； （4）300°，第四象限．说明：能在给定范围内找出与指定的角终边相同的角，并判定是第几象限角．2、写出终边在x 轴上的角的集合． 答案：S={α|α=k ·180°，k ∈Z }．说明：将终边相同的角用集合表示．3、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360°≤β＜360°的元素β写出来：（1）60°；（2）－75°；（3）－824°30′；（4）475°；（5）90°；（6）270°；（7）180°；（8）0°．答案：（1）{β|β=60°＋k ·360°，k ∈Z }，－300°，60°； （2）{β|β=－75°＋k ·360°，k ∈Z }，－75°，285°； （3）{β|β=－824°30′＋k ·360°，k ∈Z }，－104°30′，255°30′； （4）{β|β=475°＋k ·360°，k ∈Z }，－245°，115°； （5）{β|β=90°＋k ·360°，k ∈Z }，－270°，90°； （6）{β|β=270°＋k ·360°，k ∈Z }，－90°，270°； （7）{β|β=180°＋k ·360°，k ∈Z }，－180°，180°； （8）{β|β=k ·360°，k ∈Z }，－360°，0°． 说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．4、分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合． 答案： 象限 角度制弧度制一 {β|k ·360°＜β＜90°＋k ·360°，k ∈Z } {|22,}2k k k πβπβπ<<+∈Z二 {β|90°＋k ·360°＜β＜180°＋k ·360°，k ∈Z }{|22,}2k k k πβπβππ+<<+∈Z三 {β|180°＋k ·360°＜β＜270°＋k ·360°，k ∈Z }3{|22,}2k k k πβππβπ+<<+∈Z 四{β|270°＋k ·360°＜β＜360°＋k ·360°，k ∈Z }3{|222,}2k k k πβπβππ+<<+∈Z 说明：用角度制和弧度制写出各象限角的集合．5、选择题：（1）已知α是锐角，那么2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．小于180°的正角 D ．第一或第二象限角 （2）已知α是第一象限角，那么2α是（ ）、 A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角 答案：（1）C 说明：因为0°＜α＜90°，所以0°＜2α＜180°． （2）D说明：因为k ·360°＜α＜90°＋k ·360°，k ∈Z ，所以180451802k k α︒<<︒+︒，k ∈Z ．当k 为奇数时，2α是第三象限角；当k 为偶数时，2α是第一象限角．6、一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？答案：不等于1弧度．这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所对的弧比半径长．说明：了解弧度的概念．7、把下列各角度化成弧度： （1）36°；（2）－150°；（3）1095°；（4）1440°．答案：（1）5π；（2）56π；（3）7312π-；（4）8π．说明：能进行度与弧度的换算．8、把下列各弧度化成度： （1）76π-；（2）103π-；（3）1.4；（4）23． 答案：（1）－210°；（2）－600°；（3）80.21°；（4）38.2°．说明：能进行弧度与度的换算．9、要在半径OA=100cm 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB 的长为112cm ，求圆心角∠AOB 是多少度（可用计算器，精确到1°）．答案：64°说明：可以先运用弧度制下的弧长公式求出圆心角的弧度数，再将弧度换算为度，也可以直接运用角度制下的弧长公式．10、已知弧长50cm 的弧所对圆心角为200°，求这条弧所在的圆的半径（可用计算器，精确到1cm ）．答案：14cm ．说明：可以先将度换算为弧度，再运用弧度制下的弧长公式，也可以直接运用角度制下的弧长公式．B 组1、每人准备一把扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算器算出它的面积S 1．（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为S 2，求S 1与S 2的比值； （2）要使S 1与S 2的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到10°）？ 答案：（1）（略）（2）设扇子的圆心角为θ，由2122120.6181(2)2r S S r θπθ==-，可得θ=0.618（2π－θ），则θ=0.764π≈140°．说明：本题是一个数学实践活动．题目对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足：120.618S S =（黄金分割比）的道理．2、（1）时间经过4 h （时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次、你认为这种说法是否正确？请说明理由．（提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min 会与时针重合，一天内分针和时针会重合n 次，建立t 关于n 的函数关系式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．）答案：（1）时针转了－120°，等于23π-弧度；分针转了－1440°，等于－8π弧度 （2）设经过t min 分针就与时针重合，n 为两针重合的次数． 因为分针旋转的角速度为2(rad /min)6030ππ=， 时针旋转的角速度为2(rad/min)1260360ππ=⨯，所以()230360t n πππ-=，即72011t n =．用计算机或计算器作出函数72011t n =的图象（如下页图）或表格，从中可清楚地看到时针与分针每次重合所需的时间．n u1 15． 981.82 16． 1047.3 17． 1112.7 18． 1178.2 19． 1243.6 20． 1309.1 21． 1374.5 22．1440.因为时针旋转一天所需的时间为24×60=1440（min ），所以720144011n ≤，于是n ≤22．故时针与分针一天内只会重合22次．说明：通过时针与分针的旋转问题进一步地认识弧度的概念，并将问题引向深入，用函数思想进行分析．在研究时针与分针一天的重合次数时，可利用计算器或计算机，从模拟的图形、表格中的数据、函数的解析式或图象等角度，不难得到正确的结论．3、已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是__________度，即__________rad ．如果大轮的转速为180r/min （转/分），小轮的半径为10.5cm ，那么小轮周上一点每1s 转过的弧长是__________．答案：864°，245π，151.2π cm ． 说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式．当大齿轮转动一周时，小齿轮转动的角是4824360864rad.205π⨯︒=︒= 由于大齿轮的转速为3r/s ，所以小齿轮周上一点每1s 转过的弧长是483210.5151.2(cm)20ππ⨯⨯⨯=． P20习题1.2A 组1、用定义法、公式一以及计算器求下列角的三个三角函数值：（1）173π-；（2）214π；（3）236π-；（4）1500°． 答案：（1）31sin ,cos ,tan 322ααα===； （2）22sin ,cos ,tan 122ααα=-=-=； （3）133sin ,cos ,tan 223ααα===； （4）31sin ,cos ,tan 322ααα===． 说明：先利用公式一变形，再根据定义求值，非特殊角的三角函数值用计算器求．2、已知角α的终边上有一点的坐标是P （3a ，4a ），其中a ≠0，求sin α，cos α，tan α的三角函数值．答案：当a ＞0时，434s i n ,c o s,t a n 553ααα===；当a ＜0时，434s i n ,c o s ,t a n 553ααα=-=-=-． 说明：根据定义求三角函数值．3、计算：（1）6sin （－90°）＋3sin0°－8sin270°＋12cos180°； （2）10cos270°＋4sin0°＋9tan0°＋15cos360°；（3）22322costantan sin cos sin2446663ππππππ-+-++； （4）2423sin cos tan 323πππ+-．答案：（1）－10；（2）15；（3）32-；（4）94-．说明：求特殊角的三角函数值．4、化简：（1）asin0°＋bcos90°＋ctan180°；（2）－p 2cos180°＋q 2sin90°－2pqcos0°；（3）223cos 2sincos sin 22a b ab ab ππππ-+-； （4）13tan 0cos sin cos sin 222m n p q r ππππ+---．答案：（1）0；（2）（p －q ）2；（3）（a －b ）2；（4）0．说明：利用特殊角的三角函数值化简．5、根据下列条件求函数3()sin()2sin()4cos 23cos()444f x x x x x πππ=++--++的值．（1）4x π=；（2）34x π=． 答案：（1）－2；（2）2．说明：转化为特殊角的三角函数的求值问题．6、确定下列三角函数值的符号： （1）sin186°； （2）tan505°； （3）sin7.6π； （4）23tan()4π-； （5）cos940°；（6）59cos()17π-． 答案：（1）负；（2）负；（3）负；（4）正；（5）负；（6）负． 说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号．7、确定下列式子的符号： （1）tan125°·sin273°；（2）tan108cos305︒︒；（3）5411sin cos tan 456πππ；（4）511cos tan 662sin 3πππ． 答案：（1）正；（2）负；（3）负；（4）正．说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号．8、求下列三角函数值（可用计算器）：（1）67sin()12π-； （2）15tan()4π-；（3）cos398°13′； （4）tan766°15′． 答案：（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045．说明：可先运用公式一转化成锐角三角函数，然后再求出三角函数值．9、求证：（1）角θ为第二或第三象限角当且仅当sin θ·tan θ＜0； （2）角θ为第三或第四象限角当且仅当cos θ·tan θ＜0； （3）角θ为第一或第四象限角当且仅当sin 0tan θθ>；（4）角θ为第一或第三象限角当且仅当sinθ·cosθ＞0．答案：（1）先证如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．当角θ为第二象限角时，sinθ＞0，tanθ＜0，则sinθ·tanθ＜0；当角θ为第三象限角时，sinθ＜0，tanθ＞0，则sinθ·tanθ＜0，所以如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．再证如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．因为sinθ·tanθ＜0，即sinθ＞0且tanθ＜0，或sinθ＜0且tanθ＞0，当sinθ＞0且tanθ＜0时，角θ为第二象限角；当sinθ＜0且tanθ＞0时，角θ为第三象限角，所以如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．综上所述，原命题成立．（其他小题略）说明：以证明命题的形式，认识位于不同象限的角对应的三角函数值的符号．10、（1）已知3sin2α=-，且α为第四象限角，求cosα，tanα的值；（2）已知5cos13α=-，且α为第二象限角，求sinα，tanα的值；（3）已知3tan4α=-，求sinα，cosα的值；（4）已知cosα=0.68，求sinα，tanα的值（计算结果保留两个有效数字）．答案：（1）1,3 2-；（2）1212,135-；（3）当α为第二象限角时，34 sin,cos55αα==-，当α为第四象限角时，34 sin,cos55αα=-=；（4）当α为第一象限角时，sinα=0.73，tanα=1.1，当α为第四象限角时，sinα=－0.73，tanα=－1.1．说明：要注意角α是第几象限角．11、已知1sin3x=-，求cosx，tanx的值．答案：当x为第三象限角时，222 cos,tan34x x=-=；当x为第四象限角时，222 cos,tan34x x==-.说明：要分别对x是第三象限角和第四象限角进行讨论．12、已知3tan 3,2απαπ=<<，求cos α－sin α的值． 答案：1(31)2- 说明：角α是特殊角．13、求证： （1）2212sin cos 1tan 1tan cos sin x x xxx x--=+-；（2）tan 2α－sin 2α=tan 2α·sin 2α；（3）（cos β－1）2＋sin 2β=2－2cos β；（4）sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2xcos 2x ．答案：（1）2(cos sin )cos sin 1tan (cos sin )(cos sin )cos sin 1tan x x x x xx x x x x x x---===+-++左边； （2）222222222211cos sin sin (1)sin sin sin tan cos cos cos x x x xxx x xxx-=-===左边；（3）左边=1－2cos β＋cos 2β＋sin 2β=2－2cos β；（4）左边=（sin 2x ＋cos 2x ）2－2sin 2x ·cos 2x=1－2sin 2x ·cos 2x ．说明：还可以从右边变为左边，或对左右同时变形．可提倡一题多解，然后逐渐学会选择较为简单的方法．B 组1、化简（1＋tan 2α）cos 2α． 答案：1说明：根据同角三角函数的基本关系，将原三角函数式转化为正余弦函数式．2、化简1sin 1sin 1sin 1sin αααα+---+，其中α为第二象限角．答案：－2tan α说明：先变形，再根据同角三角函数的基本关系进行化简．3、已知tan α=2，求sin cos sin cos αααα+-的值．答案：3说明：先转化为正切函数式．4、从本节的例7可以看出，cos 1sin 1sin cos x x x x+=-就是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形．你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？答案：又如sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2x ·cos 2x 也是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形；2211tan cos x x=+是sin 2x ＋cos 2x=1和sin tan cos xx x=的变形；等等． 说明：本题要求学生至少能写出每个同角关系式的一个变形．P29习题1.3A 组1、将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上： （1）cos210°=__________； （2）sin263°42′=__________； （3）cos()6π-=__________；（4）5sin()3π-=__________；（5）11cos()9π-=__________；（6）cos （－104°26′）=__________； （7）tan632°24′=__________； （8）17tan6π=__________． 答案：（1）－cos30°； （2）－sin83°42′ （3）cos 6π； （4）sin3π；（5）2cos9π-； （6）－cos75°34′； （7）－tan87°36′； （8）tan6π-．说明：利用诱导公式转化为锐角三角函数．2、用诱导公式求下列三角函数值： （1）17cos()4π-； （2）sin （－1574°）； （3）sin （－2160°52′）； （4）cos （－1751°36′）； （5）cos1615°8′；（6）26sin()3π-．答案：（1）22；（2）－0.7193；（3）－0.0151；（4）0.6639；（5）－0.9964；（6）32 -说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．3、化简：（1）sin（－1071°）·sin99°＋sin（－171°）·sin（－261°）；（2）1＋sin（α－2π）·sin（π＋α）－2cos2（－α）．答案：（1）0；（2）－cos2α说明：先利用诱导公式转化为角α的三角函数，再进一步化简．4、求证：（1）sin（360°－α）=－sinα；（2）cos（360°－α）=cosα；（3）tan（360°－α）=－tanα．答案：（1）sin（360°－α）=sin（－α）=－sinα；（2）略；（3）略．说明：有的书也将这组恒等式列入诱导公式，但根据公式一可知，它和公式三等价，所以本教科书未将其列入诱导公式．B组1、计算：（1）sin420°·cos750°＋sin（－330°）·cos（－660°）；（2）tan675°＋tan765°－tan（－330°）＋tan（－690°）；（3）252525sin cos tan() 634πππ++-．答案：（1）1；（2）0；（3）0．说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．2、已知1sin()2πα+=-，计算：（1）sin（5π－α）；（2）sin()2πα+； （3）3cos()2πα-； （4）tan()2πα-．答案：（1）12； （2）3,,23,;2αα⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角（3）12-； （4）3,,3,αα⎧⎪⎨-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角.说明：先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角α的三角函数，然后再根据同角三角函数的基本关系得解． P46习题1.4A 组1、画出下列函数的简图：（1）y=1－sinx ，x ∈[0，2π]； （2）y=3cosx ＋1，x ∈[0，2π]． 答案：（1）（2）说明：可以直接用“五点法”作出两个函数的图象；也可以先用“五点法”作出正弦、余弦函数的图象，再通过变换得到这两个函数的图象．2、求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值是什么．（1）11cos ,23y x x π=-∈R ； （2）3sin(2),4y x x π=+∈R ；（3）31cos(),226y x x π=--∈R ； （4）11sin(),223y x x π=+∈R ．答案：（1）使y 取得最大值的集合是{x|x=6k ＋3，k ∈Z }，最大值是32； 使y 取得最小值的集合是{x|x=6k ，k ∈Z }，最大值是12； （2）使y 取得最大值的集合是{|,}8x x k k ππ=+∈Z ，最大值是3；使y 取得最小值的集合是3{|,}8x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是－3； （3）使y 取得最大值的集合是{|2(21),}3x x k k ππ=++∈Z ，最大值是32；使y 取得最小值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最小值是32-；（4）使y 取得最大值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最大值是12；使y 取得最小值的集合是5{|4,}3x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是12-． 说明：利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质，研究所给函数的最大值、最小值性质．3、求下列函数的周期：（1）2sin 3y x =，x ∈R ； （2）1cos 42y x =，x ∈R ． 答案：（1）3π；（2）2π说明：可直接由函数y=Asin （ωx ＋φ）和函数y=Acos （ωx ＋φ）的周期2T πω=得解．4、利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小： （1）sin103°15′与sin164°30′； （2）4744cos()cos()109ππ--与； （3）sin508°与sin144°；（4）cos760°与cos （－770°）． 答案：（1）sin103°15′＞sin164°130′； （2）4744cos()cos()109ππ->-； （3）sin508°＜sin144°；（4）cos760°＞cos （－770°）．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．5、求下列函数的单调区间： （1）y=1＋sinx ，x ∈R ； （2）y=－cosx ，x ∈R ． 答案：（1）当[2,2]22x k k ππππ∈-++，k ∈Z 时，y=1＋sinx 是增函数；当3[2,2]22x k k ππππ∈++，k ∈Z 时，y=1＋sinx 是减函数． （2）当x ∈[（2k －1）π，2k π]，k ∈Z 时，y=－cosx 是减函数； 当x ∈[2k π，（2k ＋1）π]，k ∈Z 时，y=－cosx 是增函数． 说明：利用正弦、余弦函数的单调性研究所给函数的单调性．6、求函数tan()26y x π=-++的定义域．答案：{|,}3x x k k ππ≠+∈Z ．说明：可用换元法．7、求函数5tan(2),()3122k y x x k πππ=-≠+∈Z 的周期．答案：2π． 说明：可直接由函数y=Atan （ωx ＋φ）的周期T πω=得解．8、利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小： （1）13tan()tan()57ππ--与； （2）tan1519°与tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ-与； （4）7tan tan 86ππ与．答案：（1）13tan()tan()57ππ->-；（2）tan1519°＞tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ>-；（4）7tan tan 86ππ<．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．9、根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的集合： （1）1＋tanx ≥0；（2）tan 30x -≥． 答案：（1）{|,}42x k x k k ππππ-+<+∈Z ≤；（2）{|,}32x k x k k ππππ+<+∈Z ≤．说明：只需根据正切曲线写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．10、设函数f （x ）（x ∈R ）是以 2为最小正周期的周期函数，且x ∈[0，2]时f （x ）=（x －1）2．求f （3），7()2f 的值．答案：由于f （x ）以2为最小正周期，所以对任意x ∈R ，有f （x ＋2）=f （x ）．于是：f （3）=f （1＋2）=f （1）=（1－1）2=0；273331()(2)()(1)22224f f f =+==-=． 说明：利用周期函数的性质，将其他区间上的求值问题转化到区间[0，2]上的求值问题．11、容易知道，正弦函数y=sinx 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？ 对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．答案：由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标为（k π，0），k ∈Z ．正弦曲线是轴对称图形，其对称轴的方程是,2x k k ππ=+∈Z ．由余弦函数和正切的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为(,0)2k ππ+，k ∈Z ，对称轴的方程是x=k π，k ∈Z ；正切曲线的对称中心坐标为(,0)2k π，k ∈Z ，正切曲线不是轴对称图形．说明：利用三角函数的图象和周期性研究其对称性．B 组1、根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值集合：（1）3sin ()2x x ∈R ≥； （2）22cos 0()x x +∈R ≥． 答案：（1）2{|22,}33x k x k k ππππ++∈Z ≤≤； （2）33{|22,}44x k x k k ππππ-++∈Z ≤≤． 说明：变形后直接根据正弦函数、余弦函数的图象写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．2、求函数3tan(2)4y x π=--的单调区间． 答案：单调递减区间5(,),2828k k k ππππ++∈Z ．说明：利用正切函数的单调区间求所给函数的单调区间．3、已知函数y=f （x ）的图象如图所示，试回答下列问题：（1）求函数的周期；（2）画出函数y=f （x ＋1）的图象；（3）你能写出函数y=f （x ）的解析式吗？答案：（1）2；（2）y=f （x ＋1）的图象如下；（3）y=|x －2k|，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ．说明：可直接由函数y=f （x ）的图象得到其周期．将函数y=f （x ）的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=f （x ＋1）的图象．求函数y=f （x ）的解析式难度较高，需要较强的抽象思维能力．可先求出定义域为一个周期的函数y=f （x ），x ∈[－1，1]的解析式为y=|x|，x ∈[－1，1]，再根据函数y=f （x ）的图象和周期性，得到函数y=f （x ）的解析式为y=|x －2k|，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ． P57习题1.5A 组1、选择题：（1）为了得到函数1cos()3y x =+，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点（ ）A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动13个单位长度D ．向右平行移动13个单位长度（2）为了得到函数cos 5xy =，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（ ）、A ．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的15倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的15倍，横坐标不变 （3）为了得到函数1cos 4y x =，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（ ）．A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变 答案：（1）C ；（2）A ；（3）D ．2、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（有条件的可用计算器或计算机作图检验）：（1）14sin 2y x =，x ∈R ； （2）1cos32y x =，x ∈R ； （3）3sin(2)6y x π=+，x ∈R ； （4）112cos()24y x π=-，x ∈R ．答案：（1）（2）（3）（4）说明：研究了参数A、ω、φ对函数图象的影响．3、不画图，直接写出下列函数的振幅、周期与初相，并说明这些函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得到（注意定义域）：（1）8sin()48x y π=-，x ∈[0,＋∞）； （2）1sin(3)37y x π=+，x ∈[0,＋∞）． 答案：（1）振幅是8，周期是8π，初相是8π-． 先把正弦曲线向右平行移动8π个单位长度，得到函数1sin()8y x π=-，x ∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数2sin()48x y π=-，x ∈R 的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的8倍（横坐标不变），得到函数38sin()48x y π=-，x ∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数8sin()48x y π=-，x ∈[0，＋∞）的图象．（2）振幅是13，周期是23π，初相是7π．先把正弦曲线向左平行移动7π个单位长度，得到函数1sin()7y x π=+，x ∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），得到函数2sin(3)7y x π=+，x ∈R 的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍（横坐标不变），得到函数31sin(3)37y x π=+，x ∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数1sin(3)37y x π=+，x ∈[0，＋∞）的图象．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并认识函数y=Asin （ωx ＋φ）的图象与正弦曲线的关系．4、图 1.5－1的电流i （单位：A ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是5sin(100),[0,)3i t t ππ=+∈+∞．（1）求电流i 变化的周期、频率、振幅及其初相； （2）当t=0，1171,,,(:s)60015060060单位时，求电流i ． 答案：（1）周期为150，频率为50，振幅为5，初相为3π．（2）t=0时，532i =；1600t =时，i=5；1150t =时，i=0；7600t =时，i=－5；160t =时，i=0．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并求函数值．5、一根长为l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球．小球摆动时，离开平衡位置的位移s （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系是3cos(),[0,)3g s t t l π=+∈+∞． （1）求小球摆动的周期；（2）已知g ≈980cm/s 2，要使小球摆动的周期是1s ，线的长度l 应当是多少？（精确到0.1cm ）答案：（1）2lgπ；（2）约24.8cm ． 说明：了解简谐振的周期．B 组1、弹簧振子的振动是简谐运动．下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间t 与位移s 之间的对应数据，根据这些数据求出这个振子的振动函数解析式．t 0 t 0 2t 0 3t 04t 05t 0 6t 0 7t 0 8t 0 9t 010t 0 11t 0 12t 0s－20.0－17.8－10.10.110.317.720.017.710.30.1 －10.1－17.8－20.0答案：根据已知数据作出散点图（如图）．由散点图可知，振子的振动函数解析式为020sin()62x y t ππ=-，x ∈[0，＋∞）．说明：作出已知数据的散点图，然后选择一个函数模型来描述，并根据已知数据求出该函数模型．2、弹簧挂着的小球作上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置的高度h 厘米由下列关系式确定：2sin()4h t π=+．以t 为横坐标，h 为纵坐标，作出这个函数在一个剧期的闭区间上的图象，并回答下列问题：（1）小球在开始振动时（即t=0）的位置在哪里？（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？ （3）经过多少时问小球往复运动一次？ （4）每秒钟小球能往复振动多少次？答案：函数2sin()4h t π=+在[0，2π]上的图象为（1）小球在开始振动时的位置在(0,2)； （2）最高点和最低点与平衡位置的距离都是2； （3）经过2π秒小球往复运动一次； （4）每秒钟小球能往复振动12π次． 说明：结合具体问题，了解解析式中各常数的实际意义．3、如图，点P 是半径为r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s 做圆周运动．求点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系，并求点P 的运动周期和频率．答案：点P的纵坐标关于时间t的函数关系式为y=rsin（ωt＋φ），t∈[0，＋∞）；点P的运动周期和频率分别为2πω和2ωπ．说明：应用函数模型y=rsin（ωt＋φ）解决实际问题．P65习题1.61、根据下列条件，求△ABC的内角A：（1）1sin2A=；（2）2cos2A=-；（3）tanA=1；（4）3 tan3A=-．答案：（1）30°或150°；（2）135°；（3）45°；（4）150°．说明：由角A是△ABC的内角，可知A∈（0°，180°）．2、根据下列条件，求（0，2π）内的角x：（1）3sin2x=-；（2）sinx=－1；（3）cosx=0；（4）tanx=1．答案：（1）4533ππ或；（2）32π；（3）322ππ或；（4）544ππ或．说明：可让学生再变换角x的取值范围求解．3、天上有些恒星的亮度是会变化的．其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化、下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图、此变星的亮度变化的周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？答案：5.5天；约3.7等星；约4.4等星．说明：每个周期的图象不一定完全相同，表示视星等的坐标是由大到小．4、夏天是用电的高峰时期，特别是在晚上．为保证居民空调制冷用电，电力部门不得不对企事业拉闸限电，而到了0时以后，又出现电力过剩的情况．因此每天的用电也出现周期性的变化．为保证居民用电，电力部门提出了“消峰平谷”的想法，即提高晚上高峰时期的电价，同时降低后半夜低峰时期的电价，鼓励各单位在低峰时用电．请你调查你们地区每天的用电情况，制定一项“消峰平谷”的电价方案．答案：先收集每天的用电数据，然后作出用电量随时间变化的图象，根据图象制定“消峰平谷”的电价方案．说明：建立周期变化的模型解决实际问题．B组1、北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗、请根据年鉴或其他的参考资料，统计过去一年不同时期的日出和日落时间．（1）在同一坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型；（2）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？答案：略．说明：建立周期变化的函数模型，根据模型解决实际问题．2、一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？收集其他有关的数据并提供理论证据支持你的结论．答案：略．说明：收集数据，建立周期变化的函数模型，根据模型提出个人意见．然后采取上网、查阅资料或走访专业人士的形式，获取这方面的信息，以此来说明自己的结论．P69复习参考题A 组1、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并且把S 中适合不等式－2π≤β≤4π的元素β写出来：（1）4π； （2）23π-；（3）125π；（4）0．答案：（1）79{|2,},,,4444k k ππππββπ=+∈-Z ； （2）22410{|2,},,,3333k k ββπππππ=-+∈-Z ；（3）128212{|2,},,,5555k k ββπππππ=+∈-Z ；（4）{β|β=2k π，k ∈Z }，－2π，0，2π． 说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．2、在半径为15cm 的圆中，一扇形的弧含有54°，求这个扇形的周长与面积（π取3.14，计算结果保留两个有效数字）．答案：周长约44cm ，面积约1.1×102cm 2．说明：可先将角度转化为弧度，再利用弧度制下的弧长和面积公式求解．3、确定下列三角函数值的符号：（1）sin4； （2）cos5； （3）tan8； （4）tan （－3）． 答案：（1）负；（2）正；（3）负；（4）正．说明：将角的弧度数转化为含π的形式或度，再进行判断．4、已知1cos 4ϕ=，求sin φ，tan φ． 答案：当φ为第一象限角时，15sin ,tan 154ϕϕ==； 当φ为第四象限角时，15sin ,tan 154ϕϕ=-=-． 说明：先求sin φ的值，再求tan φ的值．5、已知sinx=2cosx ，求角x 的三个三角函数值． 答案：当x 为第一象限角时，tanx=2，525cos ,sin 55x x ==；当x 为第三象限角时，tanx=2，525cos ,sin 55x x =-=-． 说明：先求tanx 的值，再求另外两个函数的值．6、用cos α表示sin 4α－sin 2α＋cos 2α．答案：cos 4α．说明：先将原式变形为sin 2α（sin 2α－1）＋cos 2α，再用同角三角函数的基本关系变形．7、求证：（1）2（1－sin α）（1＋cos α）=（1－sin α＋cos α）2；（2）sin 2α＋sin 2β－sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β=1． 答案：（1）左边=2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α=1＋sin 2α＋cos 2α－2sin α＋2cos α－2sin αcos α =右边． （2）左边=sin 2α（1－sin 2β）＋sin 2β＋cos 2αcos 2β=cos 2β（sin 2α＋cos 2α）＋sin 2β =1=右边．说明：第（1）题可先将左右两边展开，再用同角三角函数的基本关系变形．8、已知tan α=3，计算： （1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+；（2）sin αcos α；（3）（sin α＋cos α）2． 答案：（1）57；（2）310；（3）85． 说明：第（2）题可由222sin tan 9cos ααα==，得21c o s 10α=，所以23sin cos tan cos 10αααα==．或222s incs i n c10sin cos tan 131αααααααα====+++．9、先估计结果的符号，再进行计算． （1）252525sincos tan()634πππ++-； （2）sin2＋cos3＋tan4（可用计算器）．答案：（1）0；（2）1.0771．说明：先根据各个角的位置比较它们的三角函数值的大小，再估计结果的符号．10、已知1sin()2πα+=-，计算：（1）cos（2π－α）；（2）tan（α－7π）．答案：（1）当α为第一象限角时，3 cos(2)2πα-=，当α为第二象限角时，3 cos(2)2πα-=-；（2）当α为第一象限角时，3 tan(7)3απ-=，当α为第二象限角时，3 tan(7)3απ-=-．说明：先用诱导公式转化为α的三角函数，再用同角三角函数的基本关系计算．11、先比较大小，再用计算器求值：（1）sin378°21′，tan1111°，cos642.5°；（2）sin（－879°），313t a n(),c o s()810ππ--；（3）sin3，cos（sin2）．答案：（1）tan1111°=0.601，sin378°21′=0.315，cos642.5°=0.216；（2）sin（－879°）=－0.358，3313tan()0.414,cos()0.588 810ππ-=--=-；（3）sin3=0.141，cos（sin2）=0.614．说明：本题的要求是先估计各三角函数值的大小，再求值验证．12、设π＜x＜2π，填表：x 76π74πsinx －1cosx22-32tanx 3答案：x 76π54π43π32π74π116πsinx12-22-32-－122-12-cosx32-22-12- 02232tanx3313不存在－133-说明：熟悉各特殊角的三角函数值．13、下列各式能否成立，说明理由： （1）cos 2x=1.5；（2）3sin 4x π=-．答案：（1）因为cos 1.5x =，或cos 1.5x =-，而 1.51, 1.51>-<-，所以原式不能成立；（2）因为3sin 4x π=-，而3||14π-<，所以原式有可能成立．说明：利用正弦和余弦函数的最大值和最小值性质进行判断．14、求下列函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大、最小值的x 的集合： （1）sin 2xy π=+，x ∈R ；（2）y=3－2cosx ，x ∈R ． 答案：（1）最大值为12π+，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=+∈Z ；最小值为12π-，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=-+∈Z ；（2）最大值为5，此时x 的集合为{x|x=（2k ＋1）π，k ∈Z }； 最小值为1，此时x 的集合为{x|x=2k π，k ∈Z }．说明：利用正弦、余弦函数的最大值和最小值性质，研究所给函数的最大值和最小值性质．15、已知0≤x ≤2π，求适合下列条件的角x 的集合： （1）y=sinx 和y=cosx 都是增函数； （2）y=sinx 和y=cosx 都是减函数；（3）y=sinx 是增函数，而y=cosx 是减函数； （4）y=sinx 是减函数，而y=cosx 是增函数．答案：（1）3{|2}2x x ππ≤≤； （2）{|}2x x ππ≤≤；（3）{|0}2x x π≤≤；（4）3{|}2x x ππ≤≤． 说明：利用函数图象分析．16、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： （1）1sin(3),;23y x x π=-∈R （2）2sin(),;4y x x π=-+∈R （3）1sin(2),;5y x x π=--∈R（4）3sin(),.63xy x π=-∈R 答案：（1）（2）（3）（4）说明：可要求学生在作出图象后，用计算机或计算器验证．17、（1）用描点法画出函数y=sinx ，[0,]2x π∈的图象．（2）如何根据第（1）小题并运用正弦函数的性质，得出函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象？（3）如何根据第（2）小题并通过平行移动坐标轴，得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x ∈[0，2π]的图象？（其中φ，k 都是常数）答案：（1）x 0 18π9π 6π 29π 518π 3π 718π 49π 2π sinx0.17 0.34 0.50 0.64 0.77 0.87 0.94 0.981（2）由sin （π－x ）=sinx ，可知函数y=sinx ，x ∈[0，π]的图象关于直线2x π=对称，据此可得函数y=sinx ，[,]2x ππ∈的图象；又由sin （2π－x ）=－sinx ，可知函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象关于点（π，0）对称，据此可得出函数y=sinx ，x ∈[π，2π]的图象．（3）先把y 轴向右（当φ＞0时）或向左（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度，再把x 轴向下（当k ＞0时）或向上（当k ＜0时）平行移动|k|个单位长度，最后将图象向左或向右平行移动2π个单位长度，并擦去[0，2π]之外的部分，便得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x ∈[0，2π]的图象．说明：学会用不同的方法作函数图象．18、不通过画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得出它们的图象：（1）sin(5),;6y x x π=+∈R（2）12sin,.6y x x =∈R 答案：（1）振幅是1，周期是25π，初相是6π． 把正弦曲线向左平行移动6π个单位长度，可以得函数sin()6y x π=+，x ∈R 的图象；再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的15倍（纵坐标不变），就可得出函数sin(5)6y x π=+，x ∈R 的图象．（2）振幅是2，周期是2π，初相是0．把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数1sin6y x =，x ∈R 的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），就可得到函数12sin()6y x =，x ∈R 的图象．说明：会根据解析式求各物理量，并理解如何由正弦曲线通过变换得到正弦函数的图象．。
高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习题及答案
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有 原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式 辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式 描述： 两角差的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ． 两角和的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ． 两角和的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ． 两角差的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ． 两角和的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α − β) =
高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量223向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A 版必修4一、A 组1.已知非零向量 a, b 满足a +4b =0,则( )C a 与b 的方向相同D. a 与b 的方向相反解析：T a +4b =0,二 a =-4b, | a |= 4| b | ,且 a 与 b 的方向相反.答案：D1妙 4- BCA.1 -BA-BCB. Z:BA - BCC.--D.--I 1 IICD = -(CA + CB 解析：T 点D 是边AB 的中点，二).I~~TV 1I r^(CA + CB -BA + BC.•卫dg )=上.故选D .答案：D3.设a, b 不共线 J =a +k b, =n a +b(k ,m€ R),则A , B C 三点共线时有( )A.k=mB.km-仁0C km+1=0D.k+m=0i-1解析:若ABC 三点共线，则’共线,I I.存在唯一实数入,使二上=入“,.a +kb =X (m a +b),A. | a |+ 4| b |= 0B. a 与b 是相反向量2.如图所示1加=1*即 a +k b = Xm a + 入 b, •」几一/• km=1.即 km-1=0.答案:BA. △ ABC 的内部B. AC 边所在直线上C. AB 边所在直线上D. BC 边所在直线上4.如图,已知 lAB =a, AC =b,図/=3。
£,用a, b 表示眉D ,贝则4DA. a +Jb3 1B. 4a+4bC. ]a + ; b)5.已知P 是厶ABC 所在平面内的一点，池色=入卩月+PB ,其中入€ R 则点P —定在（上+解析：，兀入PP R, .UP R»PACB +•上P加••虽以共线.•••C P,A三点共线，故选B.答案:B6.化简:3（6a+»-^k 解析:原式=18a+3b-9a- 3b=9a.答案：9a7.如图，在平行四边形ABCD^ , E是CD的中点，且人月=a,4D=b,贝肖E = _____________________________________________________________________________I I I I I I解析:BE=BC^-CE = AD +答案—a+b &导学号08720054 在△ ABC中,点M为边AB的中点，若。
高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(2021年整理)
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【必修4】 第二章平面向量2.1 练习1、画有向线段,分别表示一个竖直向上,大小为18N 的力和一个水平向左、大小为28N 的力（1cm 长表示10N ）.2、非零向量AB 的长度怎样表示？非零向量BA 的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量相等吗？3、指出图中各向量的长度.4、(1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？（2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？2.2.1 练习1、如图，已知b a ，,用向量加法的三角形法则作出b a 。
2、如图，已知b a ，，用向量加法的平行四边形法则作出b a +.3、根据图示填空：（1）________;=+d a（2）.________=+b c4、根据图示填空:（1）________;=+b a（2）________;=+d c（3)________;=++d b a（4）.________=++e d c2.2.2 练习1、如图，已知b a ，，求作.b a -2、填空：________;=- ________;=- ________;=-BA BC ________;=-OA OD .________=-3、作图验证：b a b)(a --=+-2.2。
高中数学必修四各章节练习题(附带答案解析)
1．已知中学生一节课的上课时间一般是45分钟，那么，经过一节课，分针旋转形成的角是( )A ．120°B ．－120°C ．270°D ．－270°解析：分针旋转形成的角是负角，每60分钟转动一周，所以一节课45分钟分针旋转形成的角是－360°×4560＝－270°.答案：D2．下列叙述正确的是( )A ．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角B ．始边相同而终边不同的角一定不相等C ．第四象限角一定是负角D ．钝角比第三象限角小解析：－330°角是第一象限角，但不能作为三角形的内角，故A 错；280°角是第四象限角，它是正角，故C 错；－100°角是第三象限角，它比钝角小，故D 错．答案：B3．若α是第四象限角，则180°－α是第________象限角． 解析：∵角α与角－α的终边关于x 轴对称， 又∵角α的终边在第四象限，∴角－α终边在第一象限，又角－α与180°－α的终边关于原点对称，∴角180°－α的终边在第三象限． 答案：三4．在0°～360°范围内：与－1 000°角终边相同的最小正角是________，是第________象限角．解析：－1 000°＝－3×360°＋80°，∴与－1 000°角终边相同的最小正角是80°，为第一象限角． 答案：80° 一5．在角的集合{α|α＝k ·90°＋45°，k ∈Z }中， (1)有几种终边不相同的角？(2)若－360°<α<360°，则集合中的α共有多少个？解：(1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种，分别是与45°、135°、－135°、－45°终边相同的角．(2)令－360°<k ·90°＋45°<360°，得－92<k <72. 又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3， ∴满足条件的角共有8个．1．下列命题中，正确的是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角D ．1弧度是1度的弧与1度的角之和解析：利用弧度的概念可直接推得C 为正确选项． 答案：C2．2 100°化成弧度是( ) A.35π3 B ．10π C.28π3D.25π3解析：2 100°＝2 100×π180＝35π3. 答案：A3．若扇形的圆心角为60°，半径为6，则扇形的面积为________． 解析：扇形的面积S ＝12|α|r 2＝12×π3×62＝6π. 答案：6π4．若θ角的终边与8π5角的终边相同，在[0,2π)内与θ4角的终边相同的角是________．解析：由题设知θ＝2k π＋8π5，k ∈Z ，则θ4＝k π2＋2π5，k ∈Z . ∴当k ＝0时，θ4＝2π5； 当k ＝1时，θ4＝9π10； 当k ＝2时，θ4＝7π5； 当k ＝3时，θ4＝19π10. 答案：2π5，9π10，7π5，19π105．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α的终边在第几象限；(2)求 γ角，使γ与α角的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14π9， ∴α＝14π9＋(－3)×2π，α角与14π9的终边相同， ∴α是第四象限角．(2)∵与α角终边相同的角为2k π＋α，k ∈Z ，α与14π9终边相同， ∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又∵γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2， 当k ＝－1时，不等式成立， ∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.1．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y2， 其中不正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案：D2．若点P 的坐标是(sin2，cos2)，则点P 位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D3．sin420°＝________.答案：324．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第________象限角． 解析：要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．答案：一或二 5．求下列各式的值．(1)sin1 470°；(2)cos 9π4；(3)tan(－116π)． 解：(1)sin1 470°＝sin(4×360°＋30°)＝sin30°＝12. (2)cos 9π4＝cos(2π＋π4)＝cos π4＝22. (3)tan(－11π6)＝tan(－2π＋π6)＝tan π6＝33.1．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边( ) A ．在x 轴上 B ．在y 轴上 C ．在直线y ＝x 上 D ．在直线y ＝－x 上答案：B2．已知11π6的正弦线为MP ，正切线为AT ，则有( ) A ．MP 与AT 的方向相同 B ．|MP |＝|AT | C ．MP >0，AT <0D ．MP <0，AT >0 解析：三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的．MP ＝sin 11π6<0，AT ＝tan 11π6<0.答案：A3．若角α的正弦线的长度为12，且方向与y 轴的正方向相反，则sin α的值为________．答案：－124．函数y ＝lg(sin x －cos x )的定义域为________．解析：利用三角函数线，如下图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sin x ≥cos x ，即MN ≥OM ，则π4≤x ≤54π，(在[0,2π]内)．∴定义域为{x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z }． 答案：{x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z }5．在单位圆中画出满足cos α＝12的角α的终边，并写出α组成的集合．解：如图所示，作直线x ＝12交单位圆于M ，N ，连接OM ，ON ，则OM ，ON 为α的终边．由于cos π3＝12，cos 5π3＝12，则M 在π3的终边上，N 在5π3的终边上，则α＝π3＋2k π或α＝5π3＋2k π，k ∈Z . 所以α组成的集合为S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π3＋2k π或α＝5π3＋2k π，k ∈Z .1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C.513D.213解析：因为α是第二象限角，所以cos α<0， 故cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213.答案：A2．已知cos α－sin α＝－12，则sin αcos α的值为( ) A.38 B ．±38 C.34D ．±34解析：由已知得(cos α－sin α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝14，解得sin αcos α＝38，故选A.答案：A3．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________.解析：由已知得θ是第三象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－(－45)2＝－35. 答案：－354．已知tan α＝3，则2sin 2α＋4sin αcos α－9cos 2α的值为________． 解析：原式＝2sin 2α＋4sin αcos α－9cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α＋4tan α－9tan 2α＋1 ＝2×32＋4×3－932＋1＝2110.答案：21105．若π2<α<π，化简cos α1－cos 2α＋sin α1－sin 2α1－cos 2α.解：因为π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α，sin α＝1－cos 2α，所以原式＝cos αsin α＋sin α(－cos α)1－cos 2α＝cos αsin α－sin αcos αsin 2α＝cos αsin α－cos αsin α＝0.1．cos(－20π3)等于( ) A.12 B.32 C ．－12D ．－32解析：cos(－20π3)＝cos 20π3 ＝cos(6π＋2π3)＝cos 2π3＝－12. 答案：C2．sin600°＋tan240°的值是( ) A ．－32 B.32 C ．－12＋ 3 D.12＋3 解析：sin600°＋tan240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°) ＝sin240°＋tan60°＝sin(180°＋60°)＋tan60° ＝－sin60°＋tan60°＝－32＋3＝32. 答案：B3．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(135°－α)＝________.解析：sin(135°－α)＝sin[180°－(45°＋α)] ＝sin(45°＋α)＝513. 答案：5134．已知α∈(0，π2)，tan(π－α)＝－34，则sin α＝________. 解析：由于tan(π－α)＝－tan α＝－34， 则tan α＝34，解方程组⎩⎨⎧sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝±35，又α∈(0，π2)，所以sin α>0. 所以sin α＝35. 答案：355．化简tan (2π－θ)sin (－2π－θ)cos (6π－θ)cos (θ－π)sin (5π＋θ).解：原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)(－sin θ)＝(－tan θ)(－sin θ)cos θcos θsin θ＝tan θ.1．已知sin40°＝a ，则cos130°等于( ) A ．a B ．－a C.1－a 2D ．－1－a 2解析：cos130°＝cos(90°＋40°)＝－sin40°＝－a .答案：B2．已知sin(α－π4)＝13，则cos(π4＋α)的值等于( ) A.223 B ．－232 C.13D ．－13解析：∵π4＋α－(α－π4)＝π2， ∴cos(π4＋α)＝cos[π2＋(α－π4)] ＝－sin(α－π4)＝－13. 答案：D3．已知sin(π6－θ)＝13，则cos(π3＋θ)等于________． 解析：cos(π3＋θ)＝cos[π2－(π6－θ)] ＝sin(π6－θ)＝13. 答案：134．已知cos α＝15，且α为第四象限角，那么cos(α＋π2)等于________． 解析：∵α为第四象限角且cos α＝15， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－25 6. ∴cos(α＋π2)＝－sin α＝25 6. 答案：2655．化简1＋2sin (π2－2)·cos (π2＋2).解：原式＝1＋2cos2·(－sin2)＝1－2sin2cos2＝(sin2－cos2)2＝|sin2－cos2|. 又∵sin2>cos2，∴原式＝sin2－cos2.1．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析：用特殊点来验证．x ＝0时，y ＝－sin0＝0，排除选项A ，C ；又x ＝－π2时，y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝1，排除选项B.答案：D2．方程x ＋sin x ＝0的根有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：设f (x )＝－x ，g (x )＝sin x ，在同一直角坐标系中画出 f (x )和g (x )的图象，如图所示．由图知f (x )和g (x )的图象仅有一个交点，则方程x ＋sin x ＝0仅有一个根．答案：B3．用“五点法”画y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]的图象时，五个关键点的坐标是________．答案：(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，2)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，1，(2π，0)4．函数y ＝2cos x －2的定义域是________． 解析：由2cos x －2≥0得cos x ≥22， 借助y ＝cos x 的图象可得cos x ≥22的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z 5．在[0,2π]内用五点法作出y ＝－sin x －1的简图． 解：(1)按五个关键点列表xπ2π3π22πy －1 －2 －1 0 －1(2)描点并用光滑曲线连接可得其图象，如图所示：1．函数y ＝2cos(π3－ωx )的最小正周期是4π，则ω等于( ) A ．2 B.12 C ．±2D ．±12解析：4π＝2π|ω|，∴ω＝±12. 答案：D2．定义在R 上的周期函数f (x )的一个周期为5，则f (2 011)＝( )A ．f (1)B ．f (2)C ．f (3)D ．f (4) 解析：f (2 011)＝f (402×5＋1)＝f (1)． 答案：A3．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的周期为π，则ω＝________. 解析：由于周期T ＝2πω，所以2πω＝π，解得ω＝2. 答案：24．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为6的奇函数，且f (1)＝1，则f (5)＝________.解析：由于函数f (x )是定义在R 上的周期为6的奇函数，则f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝－f (1)．又f (1)＝1，则f (5)＝－1. 答案：－15．若函数f (x )是以π2为周期的奇函数，且f (π3)＝1，求 f (－176π)的值．证明：∵f (x )的周期为π2，且为奇函数， ∴f (－17π6)＝f (－3π＋π6)＝f (－6×π2＋π6) ＝f (π6)．而f (π6)＝f (π2－π3)＝f (－π3)＝－f (π3)＝－1， ∴f (－17π6)＝－1.1．函数y ＝sin(2x ＋52π)的图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4 C ．x ＝π8D ．x ＝54π解析：y ＝sin(2x ＋52 π)＝cos2x ，令2x ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k2 π(k ∈Z )．当k ＝－1时，x ＝－π2.答案：A2．函数y ＝2sin(2x －π4)的一个单调递减区间是( ) A ．[3π8，7π8] B ．[－π8，3π8] C ．[3π4，5π4]D ．[－π4，π4]解析：令z ＝2x －π4，函数y ＝sin z 的单调递减区间是[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )．由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，3π8≤x ≤7π8. 答案：A3．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°<cos10°<sin168° B ．sin168°<sin11°<cos10° C ．sin11°<sin168°<cos10° D ．sin168°<cos10°<sin11°解析：∵sin168°＝sin(180°－168°)＝sin12°，cos10°＝sin80°， ∴sin11°<sin12°<sin80°. ∴sin11°<sin168°<cos10°. 答案：C4．设ω>0，若函数f (x )＝2sin ωx 在[－π3，π4]上单调递增，则ω的取值范围是________．解析：令－π2≤ωx ≤π2，－π2ω≤x ≤π2ω，则[－π2ω，π2ω]是函数的关于原点对称的递增区间中范围最大的，即[－π3，π4]⊆[－π2ω，π2ω]，则⎩⎪⎨⎪⎧π4≤π2ω，－π3≥－π2ω.⇒ω≤32.答案：[0，32]5．求函数y ＝1－2cos 2x ＋5sin x 的最大值和最小值． 解：y ＝1－2cos 2x ＋5sin x ＝2sin 2x ＋5sin x －1 ＝2(sin x ＋54)2－338.∵sin x ∈[－1,1]，而y 在[－1,1]上是增函数， ∴当sin x ＝－1时，函数取得最小值－4； 当sin x ＝1时，函数取得最大值6.1．y ＝tan(x ＋π)是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数答案：A2．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 解析：由3x －π4＝k π2，得x ＝k π6＋π12 令k ＝－2得x ＝－π4.故选C. 答案：C3．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的定义域是________．解析：由π3－x 2≠k π＋π2，得x ≠－2k π－π3，k ∈Z ，故函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫π3－x 2的定义域是：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π3－2k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π3－2k π，k ∈Z4．使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时为单调增的区间是________． 解析：由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象知，同时为单调增的区间为(2k π－π2，2k π)(k ∈Z )和(2k π＋π，2k π＋3π2)(k ∈Z )．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π(k ∈Z )和(2k π＋π，2k π＋3π2)(k ∈Z )5．求函数y ＝tan(π－x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π4，π3的值域．解：y ＝tan(π－x )＝－tan x ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π3上为减函数，所以值域为(－3，1)．1．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向左平移π8个单位长度，所得到的图象对应的函数是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8，向左平移π8个单位长度后为y ＝sin[2(x －π8＋π8)]＝sin2x ，为奇函数，故选A.答案：A2．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( )A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度 解析：由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6――→x →x ＋φy＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋φ)＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，即2x ＋2φ＋π6＝2x －π3，解得φ＝－π4，即向右平移π4个单位长度．答案：B3．用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)在一个周期内的简图时，五个关键点是(－π6，0)，(π12，2)，(π3，0)，(712 π，－2)，(5π6，0)，则ω＝________.解析：周期T ＝5π6－(－π6)＝π. ∴2πω＝π，ω＝2. 答案：24．把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象对应的一个解析式为________．解析：把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，得函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象，即y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －π4.答案：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －π45．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)用“五点法”画出函数的草图．(2)函数图象可由y ＝sin x 的图象怎样变换得到？ 解：(1)列表：2x ＋π4 0 π2 π 3π2 2π x －π8 π8 3π8 5π8 7π8 y1211描点、连线如图所示．将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，7π8上的图象向左(右)平移k π(k ∈Z )个单位，即可得到y ＝sin(2x ＋π4)＋1的整个图象．1．函数y ＝2sin(x 2＋π5)的周期、振幅依次是( ) A ．4π，－2 B ．4π，2 C ．π，2D ．π，－2解析：在y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中，T ＝2πω，A 叫振幅(A >0)，故y ＝2sin(x 2＋π5)的周期T ＝2π12＝4π，振幅为2，故选B.答案：B2．已知函数f (x )＝2 sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数 解析：∵函数f (x )的最小正周期为6π，∴2πω＝6π，得ω＝13，在x ＝π2时，函数f (x )取得最大值， ∴13×π2＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z . 又∵－π<φ≤π，∴φ＝π3. ∴f (x )＝2sin(13x ＋π3)．由2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得6k π－52π≤x ≤6k π＋12π(k ∈Z )．∴f (x )的增区间是[6k π－52π，6k π＋π2](k ∈Z )． 取k ＝0，得[－52π，π2]是f (x )的一个增区间． ∴函数f (x )在区间[－2π，0]上是增函数． 答案：A3．函数y ＝|5sin(2x ＋π3)|的最小正周期为________． 解析：∵y ＝5sin(2x ＋π3)的最小正周期为π， ∴函数y ＝|5sin(2x ＋π3)|的最小正周期为π2. 答案：π24．使函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称的θ为________． 解析：∵函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称， ∴f (－x )＝f (x )恒成立，∴3sin(－2x ＋5θ)＝3sin(2x ＋5θ)． ∴sin(－2x ＋5θ)＝sin(2x ＋5θ)．∴－2x ＋5θ＝2x ＋5θ＋2k π(舍去)或－2x ＋5θ＋2x ＋5θ＝2k π＋π(k ∈Z )．即10θ＝2k π＋π，故θ＝k π5＋π10(k ∈Z )． 答案：θ＝k π5＋π10，k ∈Z5．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图，试求这个函数的解析式．解：方法一：易知A ＝22，T4＝6－2＝4. ∴T ＝16，∴2πω＝16，∴ω＝π8. 又∵图象过点(2,22)． ∴22sin(π8×2＋φ)＝2 2. 又∵|φ|<π2，∴φ＝π4. 于是y ＝22sin(π8x ＋π4)．方法二：易知A ＝22，由图可知，第二、第三两关键点的横坐标分别为2和6.∵⎩⎨⎧2ω＋φ＝π2，6ω＋φ＝π，∴⎩⎪⎨⎪⎧ω＝π8，φ＝π4.∴y ＝22sin(π8x ＋π4)．1．已知某人的血压满足函数解析式f (t )＝24sin(160πt )＋115.其中f (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90解析：由题意可得频率f ＝1T ＝160π2π＝80(次/分)，所以此人每分钟心跳的次数是80.答案：C2．如图表示电流I 与时间t 的关系I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( )A ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt ＋π3B ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt －π3C ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3D ．I ＝300sin(100πt －π3)解析：由图象得周期T ＝2(1150＋1300)＝150，最大值为300，图象经过点(1150，0)，则ω＝2πT ＝100π，A ＝300，∴I ＝300sin(100πt ＋φ)． ∴0＝300sin(100π×1150＋φ)． ∴sin(2π3＋φ)＝0.取φ＝π3， ∴I ＝300sin(100πt ＋π3)． 答案：C 3.如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s 往复一次．解析：由图象知周期T ＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s 往复一次．答案：0.84．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f (x )＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6.周期T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋6. 又当x ＝3时，y ＝8，∴8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1.由于|φ|<π2，∴φ＝－π4， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6.答案：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋65.如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的P 点的起始位置在最低点处．(1)试确定在时刻t min 时P 点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70 m? 解：(1)以中心O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，设t min 时P 距地面的高度为y ，依题意得y ＝40sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50.(2)令40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50>70，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2>12，∴2k π＋π6<2π3t －π2<2k π＋5π6(k ∈Z )，∴2k π＋2π3<2π3t <2k π＋4π3(k ∈Z )，∴3k ＋1<t <3k ＋2(k ∈Z )．令k ＝0得1<t <2. 因此，共有1 min P 点距地面超过70 m.单元综合测试一时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( ) A ．－4 3 B ．±43 C. 3D ．43解析：因为tan600°＝a－4＝tan(540°＋60°)＝tan60° ＝3，故a ＝－4 3. 答案：A2．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33 C ．－ 3D.3 解析：由cos(π2＋φ)＝32，得sin φ＝－32，又|φ|<π2，∴cos φ＝12，∴tan φ＝－ 3. 答案：C3．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π6) B ．y ＝sin(x 2＋π6) C ．y ＝sin(2x －π6)D ．y ＝sin(2x －π3)解析：∵最小正周期为π，∴ω＝2，又图象关于直线x ＝π3对称， ∴f (π3)＝±1，故只有C 符合． 答案：C4．若2k π＋π<θ<2k π＋5π4(k ∈Z )，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是( )A ．sin θ<cos θ<tan θB ．cos θ<tan θ<sin θC ．cos θ<sin θ<tan θD ．sin θ<tan θ<cos θ解析：设π<α<54π，则有sin θ＝sin α， cos θ＝cos α，tan θ＝tan α， ∵tan α>0，而sin α<0，cos α<0，∴B 、D 排除，又∵cos α<－22<sin α，即cos α<sin α，排除A.选C. 答案：C5．已知A 是三角形的内角，且sin A ＋cos A ＝52，则tan A 等于( )A ．4＋15B ．4－15C ．4±15D ．以上均不正确解析：因为sin A ＋cos A ＝52，所以2sin A cos A ＝14>0.所以A 为锐角．又(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1－14＝34，所以sin A －cos A ＝±32.从而可求出sin A ，cos A 的值，从而求出tan A ＝4±15.答案：C6．函数y ＝2sin(π6－2x )(x ∈[0，π])的单调递增区间是( ) A ．[0，π3] B ．[π12，7π12] C ．[π3，5π6]D ．[5π6，π]解析：由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π 可得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z )．∵x ∈[0，π]，∴单调递增区间为[π3，5π6]． 答案：C7．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度 C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度 解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6， ∴只需将y ＝sin x 的图象向左平移5π6个单位长度． 答案：C8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，－π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，17π12 解析：由图形可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2，又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫512π，2.∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×512π＋φ＝2， ∴φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )， 取k ＝1，即得选项D. 答案：D9．设a 为常数，且a >1,0≤x ≤2π，则函数f (x )＝cos 2x ＋2a sin x －1的最大值为( )A ．2a ＋1B ．2a －1C ．－2a －1D ．a 2解析：f (x )＝cos 2x ＋2a sin x －1 ＝1－sin 2x ＋2a sin x －1 ＝－(sin x －a )2＋a 2，∵0≤x ≤2π，∴－1≤sin x ≤1，又a >1，∴f (x )max ＝－(1－a )2＋a 2＝2a －1. 答案：B 10.函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A ，B 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝2π B ．x ＝π2 C ．x ＝1D ．x ＝2解析：函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最大值为1，最小值为－1，所以周期T ＝2(22)2－22＝4，所以ω＝π2，又函数为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)⇒φ＝π2，所以函数解析式为y ＝cos(π2x ＋π2)＝－sin π2x ，所以直线x ＝1为该函数图象的一条对称轴．答案：C11．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮进行5分钟后离地面的高度为( )A ．41米B ．43米C ．78米D ．118米解析：摩天轮转轴离地面高160－⎝ ⎛⎭⎪⎫1562＝82(米)，ω＝2πT ＝π15，摩天轮上某个点P 离地面的高度h 米与时间t 的函数关系是h ＝82－78cos π15t ，当摩天轮运行5分钟时，其离地面高度为h ＝82－78cos π15t ＝82－78×12＝43(米)．答案：B12．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3解析：方法一：函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后得到函数y ＝sin[ω(x －4π3)＋π3]＋2＝sin(ωx －4π3ω＋π3)＋2的图象．∵两图象重合，∴ωx ＋π3＝ωx －4π3ω＋π3＋2k π，k ∈Z ，解得ω＝32k ，k ∈Z .又ω>0，∴当k ＝1时，ω的最小值是32.方法二：由题意可知，4π3是函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2(ω>0)的最小正周期T 的正整数倍，即4π3＝kT ＝2k πω(k ∈N *)，ω＝32k ，ω的最小值为32. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．解析：圆心角α＝l r ＝128＝32， 扇形面积S ＝12lr ＝12×12×8＝48.答案：32 4814．方程sin x ＝lg x 的解的个数为________．解析：画出函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象(图略)，结合图象易知这两个函数的图象有3个交点．答案：315．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β为非零常数．若f (2 013)＝－1，则f (2 014)＝________.解析：f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β) ＝－1，f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β) ＝a sin[π＋(2 013π＋α)]＋b cos[π＋(2 013π＋β)] ＝－[a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)]＝1. 答案：116．关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1有以下结论：①函数f (x )的值域是[0,2]；②点⎝⎛⎭⎪⎫－512π，0是函数f (x )的图象的一个对称中心；③直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴；④将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，与所得图象对应的函数是偶函数．其中，所有正确结论的序号是________．解析：①∵－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴0≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1≤2；②∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π3＋1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋1＝1≠0，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π，0不是函数f (x )图象的一个对称中心；③∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＋1＝cosπ＋1＝0，函数取得最小值，∴直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴；④将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，与所得图象对应的函数解析式为g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＋1＝cos2x ＋1，此函数是偶函数．综上所述，①③④正确．答案：①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知sin θ＝45，π2<θ<π， (1)求tan θ；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．解：(1)∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝1－sin 2θ＝925.又π2<θ<π，∴cos θ＝－35. ∴tan θ＝sin θcos θ＝－43.(2)sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857.18．(12分)(1)已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值；(2)已知π<θ<2π，cos(θ－9π)＝－35，求tan(10π－θ)的值． 解：(1)cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin[180°－(75°＋α)] ＝－sin(75°＋α)． ∵α为第三象限角，∴75°＋α为第三或第四象限角，又cos(75°＋α)＝13>0， ∴75°＋α为第四象限角，∴sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α) ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223， ∴cos(105°－α)＋sin(α－105°) ＝－13＋223＝22－13. (2)由已知得cos(θ－9π)＝－35， ∴cos(π－θ)＝－35，∴cos θ＝35， ∵π<θ<2π，∴3π2<θ<2π，∴sin θ＝－45， ∴tan θ＝－43，∴tan(10π－θ)＝tan(－θ)＝－tan θ＝43.19．(12分)已知函数f (x )＝2cos(2x －π4)，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．(2)求函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．解：(1)因为f (x )＝2cos(2x －π4)，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为[－3π8＋k π，π8＋k π](k ∈Z )．(2)因为f (x )＝2cos(2x －π4)在区间[－π8，π8]上为增函数，在区间[π8，π2]上为减函数，又f (－π8)＝0，f (π8)＝2，f (π2)＝2cos(π－π4)＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.20．(12分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)把f 1(x )的图象向右平移π4个单位长度得到f 2(x )的图象，求f 2(x )取得最大值时x 的取值．解：(1)由图知，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2.将y ＝A sin2x 的图象向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图象，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin(2x ＋π6)，得A ＝2.故f 1(x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)依题意，f 2(x )＝2sin[2(x －π4)＋π6] ＝－2cos(2x ＋π6)，当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时， y max ＝2.此时x 的取值为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． 21．(12分)已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)－1.(1)若点P (1，－3)在角α的终边上，求f (α2－π12)的值； (2)若x ∈[－π6，π3]，求f (x )的值域．解：(1)因为点P (1，－3)在角α的终边上， 所以sin α＝－32，cos α＝12，所以f (α2－π12)＝2sin[2×(α2－π12)＋π6]－1 ＝2sin α－1＝2×(－32)－1＝－3－1. (2)令t ＝2x ＋π6，因为x ∈[－π6，π3]，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6，而y ＝sin t 在[－π6，π2]上单调递增， 在[π2，5π6]上单调递减， 且sin(－π6)＝－12，sin 5π6＝12，所以函数y ＝sin t 在[－π6，5π6]上的最大值为1， 最小值为－12，即－12≤sin(2x ＋π6)≤1， 所以f (x )的值域是[－2,1]．22．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的一系列对应值如下表：(1)(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的最小正周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围． 解：(1)设f (x )的最小正周期为T ， 得T ＝11π6－(－π6)＝2π， 由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧ B ＋A ＝3，B －A ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1.令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3， ∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的最小正周期为2π3， 又k >0，∴k ＝3，令t ＝3x －π3， ∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]，若sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解， 则s ∈[32，1)，∴方程f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1,3)，即实数m的取值范围是[3＋1,3)．1.如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．共线向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量解析：由题知OB →，OC →，AO →对应的有向线段都是圆的半径，因此它们的模相等．答案：C2．下列说法中正确的是( ) A ．若|a |>|b |，则a >b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量解析：向量不能比较大小，所以A 不正确；a ＝b 需满足两个条件：a ，b 同向且|a |＝|b |，所以B 不正确，C 正确；a 与b 是共线向量只需方向相同或相反，所以D 不正确．答案：C3．设O 是正方形ABCD 的中心，则OA →，BO →，AC →，BD →中，模相等的向量是________．解析：∵四边形ABCD 为正方形，O 为正方形的中心， ∴OA ＝BO ，即|OA →|＝|BO →|，|AC →|＝|BD →|. 答案：OA →与BO →，AC →与BD →4.如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形． (1)与向量ED →相等的向量为______；(2)若|AB →|＝3，则向量EC →的模等于________． 解析：(1)在平行四边形ABCD 和ABDE 中， ∵AB →＝ED →，AB →＝DC →，∴ED →＝DC →. (2)由(1)知ED →＝DC →，∴E 、D 、C 三点共线，|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝6. 答案：(1)AB →、DC →(2)65．一个人从点A 出发沿东北方向走了100 m 到达点B ，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m 到达点C .(1)画出AB →，BC →，CA →. (2)求|CA →|. 解：(1)如图所示． (2)|AB →|＝100 m ， |BC →|＝100 m ，∠ABC ＝45°＋15°＝60°， 则△ABC 为正三角形． 故|CA →|＝100 m.1．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．ABCD 一定是矩形 B ．ABCD 一定是菱形 C ．ABCD 一定是正方形D ．ABCD 一定是平行四边形解析：由AC →＝AB →＋AD →知由A ，B ，C ，D 构成的四边形一定是平行四边形．答案：D2．下列等式不成立的是( ) A ．0＋a ＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →＝2BA →D.AB →＋BC →＝AC →解析：对于C ，∵AB →与BA →是相反向量， ∴AB →＋BA →＝0. 答案：C3．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________.解析：原式＝(AB →＋BO → )＋(OM →＋MB → )＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.答案：AC →4．若a ＝“向北走8 km ”，b ＝“向东走8 km ”，则|a ＋b |＝________；a ＋b 的方向是________．解析：由向量加法的平行四边形法则，知|a ＋b |＝82，方向为东北方向．答案：8 2 km 东北方向5．在水流速度为4 3 km/h 的河中，要使船以12 km/h 的实际航速与河岸成直角行驶，求船在静水中的航行速度的大小和方向．解：设AB →表示水流的速度，AC →表示船的实际航行速度，如图，作出AB →，AC →，连接BC ，作AD 綊BC ，连接DC ，则AD →为所求船的静水航速，且AD →＋AB →＝AC →.∵|AB →|＝43，|AC →|＝12， tan ∠ACB ＝4312＝33. ∴∠ACB ＝30°＝∠CAD ， |AD →|＝|BC →|＝83，∠BAD ＝120°.∴船在静水中的航行速度的大小为8 3 km/h ，方向与水流速度成120°角．1．下列等式： ①0－a ＝－a ②－(－a )＝a ③a ＋(－a )＝0 ④a ＋0＝a ⑤a －b ＝a ＋(－b ) ⑥a ＋(－a )＝0正确的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：根据向量的加减运算易知①②③④⑤均正确． 答案：C2．设AB →，BC →，AC →是三个非零向量，且AB →＋BC →＝AC →，则( ) A ．线段AB ，BC ，AC 一定构成一个三角形 B ．线段AB ，BC 一定共线 C ．线段AB ，BC 一定平行D ．线段AB ，BC ，AC 构成三角形或共线解析：由于三角形法则对于共线时也成立，因此线段AB ，BC ，AC 可以构成三角形，也可以共线，但线段AB ，BC 不可能平行．答案：D3．若向量a 与b 共线，且|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝________. 解析：∵a 与b 共线， ∴两向量同向或反向． 又|a |＝|b |＝1，∴|a －b |＝0或2. 答案：0或24．化简：(1)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝________. (2)(PQ →－MO →)＋(QO →－QM →)＝________. 答案：(1)AD → (2)PQ →5.如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量BD →，BE →，CE →.解：∵四边形ACDE 为平行四边形， ∴CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a . ∴BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c ， BE →＝AE →－AB →＝c －a ， CE →＝AE →－AC →＝c －b .1．在四边形ABCD 中，若AB →＝－12CD →，则此四边形是( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．梯形D ．矩形解析：由AB →＝－12CD →可得，在四边形ABCD 中有AB ∥CD ，但|AB |≠|CD |，故为梯形．答案：C2．已知非零向量a ，b 满足a ＝λb ，b ＝λa (λ∈R )，则λ＝( ) A ．－1 B ．±1 C ．0D ．0解析：∵a ＝λb ，b ＝λa ，∴a ＝λ2a ，∴λ±1.答案：B3．化简：2(a －2b )＋3(13a ＋b )＝________. 答案：3a －b4．若|a |＝5，b 与a 的方向相反，且|b |＝7，则a ＝________b . 解析：∵b 与a 方向相反，∴设a ＝λb (λ<0) ∴|a |＝|λ||b |，∴5＝|λ|×7，∴|λ|＝57， ∴λ＝±57，又λ<0，∴λ＝－57. 答案：－57 5.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.解：在四边形ANMD 中，有 MN →＝MD →＋DA →＋AN → ＝－12DC →－AD →＋12AB → ＝－AD →－12(12AB →)＋12AB →＝－AD →＋14AB →＝14a －b . 在四边形ABCD 中，有BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB → ＝AD →－12AB →＝b －12a .1．已知e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )A ．e 1，e 1＋e 2B ．e 1－2e 2，e 2－2e 1C ．e 1－2e 2,4e 2－2e 1D ．e 1＋e 2，e 1－e 2解析：因为4e 2－2e 1＝－2(e 1－2e 2)，从而e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线．答案：C2．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，以b 与c 作为基底，则AD →＝( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c解析：∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)， ∴AD →－c ＝2(b －AD →)，∴AD →＝13c ＋23b . 答案：A。
高中数学人教A版必修4习题：第一章三角函数1.1.1
01第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角课时过关·能力提升基础巩固1-215°是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析:由于-215°=-360°+145°,而145°是第二象限角,则-215°也是第二象限角.答案:B2下列与150°角终边相同的角是()A.30°B.-150°C.390°D.-210°答案:D3与-457°角终边相同的角的集合是()A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z}B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z}D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}答案:C4已知α是第二象限角,则2α的终边在()A.第一、二象限B.第二象限C.第三、四象限D.以上都不对解析:∵α是第二象限角,∴k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z,∴2k·360°+180°<2α<2k·360°+360°,k∈Z,∴2α角的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.答案:D5若手表的时针走了2 h,则该时针转过的度数为()A.60°B.-60°C.30°D.-30°答案:B6在-360°~720°之间,与-367°角终边相同的角是.解析:与-367°角终边相同的角可表示为α=k·360°-367°,k∈Z.当k=1,2,3时,α=-7°,353°,713°,这三个角都是符合条件的角.答案:-7°,353°,713°7终边落在图中阴影部分(不包括边界)的角的集合为.解析:在0°~360°内,终边在阴影部分的角的范围是120°<α<225°,所以终边落在阴影部分的角的集合为{β|k·360°+120°<β<k·360°+225°,k∈Z}.答案:{β|k·360°+120°<β<k·360°+225°,k∈Z}8在坐标系中画出下列各角:(1)-180°;(2)1 070°.解在坐标系中画出各角如图.9在-720°~720°范围内,用列举法写出与60°角终边相同的角的集合S.解与60°角终边相同的角的集合为{α|α=60°+k·360°,k∈Z},令-720°≤60°+k·360°<720°(k∈Z),得k=-2,-1,0,1,相应的角为-660°,-300°,60°,420°,从而S={-660°,-300°,60°,420°}.10已知α=-1 910°.(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;(2)求角θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.解(1)∵-1910°=-6×360°+250°,∴β=250°,即α=250°-6×360°.又250°是第三象限角,∴α是第三象限角.(2)θ=250°+k·360°(k∈Z).∵-720°≤θ<0°,∴-720°≤250°+k·360°<0°,解得−9736≤k<−2536.又k∈Z,∴k=-1或k=-2.∴θ=250°-360°=-110°或θ=250°-2×360°=-470°.能力提升1下列说法中,正确的是()A.钝角必是第二象限角,第二象限角必是钝角B.第三象限的角必大于第二象限的角C.小于90°的角是锐角D.-95°20',984°40',264°40'是终边相同的角答案:D2若A={α|α=k·360°,k∈Z},B={α|α=k·180°,k∈Z},C={α|α=k·90°,k∈Z},则下列关系正确的是()A.A=B=CB.A=B∩CC.A∪B=CD.A⊆B⊆C答案:D3若角θ是第四象限角,则90°+θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析:如图,将θ的终边按逆时针方向旋转90°得90°+θ的终边,则90°+θ是第一象限角.答案:A是第象限角.4已知α为第三象限角,则α3<解析:∵α是第三象限角,∴k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z,∴k·120°+60°<α3k·120°+90°,k∈Z.∵k·120°+60°角的终边在第一象限、x轴非正半轴、第四象限,k·120°+90°角的终边在y轴是第一、三或四象限角.非负半轴、第三象限、第四象限,∴α3答案:一、三或四5已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界),则角α组成的集合为.解析:由图知,将x轴绕原点分别旋转30°与150°得边界,∴终边在阴影内的角的集合为{α|k·180°+30°<α<k·180°+150°,k∈Z}.答案:{α|k·180°+30°<α<k·180°+150°,k∈Z}★6角α满足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,则角α=.解析:∵5α与α的始边和终边分别相同,∴这两角的差应是360°的整数倍,即5α-α=4α=k·360°.∴α=k·90°.又180°<α<360°,令180°<k·90°<360°,则2<k<4,∴k=3,α=270°.答案:270°7已知角的顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,指出它们是第几象限角,并指出在0°~360°范围内与其终边相同的角.(1)780°;(2)-435°;(3)1 215°;(4)-870°.解(1)如图①,780°是第一象限角;在0°~360°范围内,60°角与其终边相同.(2)如图②,-435°是第四象限角;在0°~360°范围内,285°角与其终边相同.(3)如图③,1215°是第二象限角;在0°~360°范围内,135°角与其终边相同.(4)如图④,-870°是第三象限角;在0°~360°范围内,210°角与其终边相同.★8已知集合M={α|k·180°+30°<α<k·180°+120°,k∈Z},N={β|k·360°+90°<β<k·360°+270°,k∈Z},求M∩N.解∵M={α|k·180°+30°<α<k·180°+120°,k∈Z},∴当k=2n(n∈Z)时,M={α|n·360°+30°<α<n·360°+120°,n∈Z}.又N={β|k·360°+90°<β<k·360°+270°,k∈Z},∴M∩N={x|k·360°+90°<x<k·360°+120°,k∈Z}.当k=2n+1(n∈Z)时,M={α|n·360°+210°<α<n·360°+300°,n∈Z},又N={β|k·360°+90°<β<k·360°+270°,k∈Z},∴M∩N={x|k·360°+210°<x<k·360°+270°,k∈Z},∴M∩N={x|k·360°+90°<x<k·360°+120°或k·360°+210°<x<k·360°+270°,k∈Z}.。
高中数学数学必修(4)同步练习参考答案
数学必修（4）同步练习参考答案§1.1任意角和弧度制一、CDDCBA二、7.{x |x =k ·3600+1800, k ∈Z }, {x |x =k ·1800+450,k ∈Z } ; 8.-345°; 9.31; 10.第二或第四象限, 第一或第二象限或终边在y 轴的正半轴上 三、11.{ α|α=k ·3600+1200或α=k ·3600+3000, k ∈Z } -60° 120°12.由7θ=θ+k ·360°，得θ=k ·60°（k ∈Z ）∈θ=60°，120°，180°，240°，300°13.∈l =20－2r ,∈S =21lr =21(20-2r )·r =－r 2+10r =-(r -5)2+25 ∈当半径r =5 cm 时，扇形的面积最大为25 cm 2,此时，α=rl =55220⨯-=2(rad) 14.A 点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜23π,14分钟后回到原位，∈14θ=2k π,θ=72πk ，且2π<θ<43π，∈ θ=74π或75π §1.2.1 任意角的三角函数一、CCDBCD二、7.一、三； 8. 0 ； 9.4π或54π； 10.二、四 三、11.[2kπ, 2kπ,+2)3π( k ∈Z)12.13.∵sin θ= -55，∈角θ终边与单位圆的交点（cos θ，sin θ）=（,-55） 又∵P (-2, y )是角θ终边上一点, ∈cos θ<0,∈cos θ= -525.14.略.§1.2.2同角三角函数的基本关系式一、BCDBBA 二、7.1611; 8.0; 9.αsin 2- ; 10.322三、11.512-12.原式=x x x cos sin sin 2-－x x x x x 222cos sin cos )cos (sin -+=xx xx x x x x 2222cos sin cos )cos (sin )cos (sin sin -⋅+-+=sin x +cos x13.左边=tan 2θ－sin 2θ=θθ22cos sin －sin 2θ=sin 2θ·θθ22cos cos 1-=sin 2θ·θθ22cos sin =sin 2θ·tan 2θ=右边14.(1)当m =0时, α=kπ, k ∈Z ,cos α=±1, tan α=0 (2)当|m |=1时, α=kπ+2π, k ∈Z ,cos α=0, tan α=0不存在 (3)当0<|m |<1时,若α在第一或第四象限,则cos αtan;若α在第二或第三象限,则cos αtan α=§1.3 三角函数的诱导公式一、BBCCBC 二、7.23; 8.1 ; 9.1 ; 10. 1516三、11. 112. f (θ)=3222cos 1cos cos 322cos cos θθθθθ+-+-++ = 22(cos 1)(2cos cos 2)2cos cos 2θθθθθ-++++=cos θ-1∴f (3π)=cos 3π-1=-1213.∵cos(α+β)=1, ∴α+β=2kπ, k ∈Z. ∴cos(2α+β)= cos(α+α+β)= cos(π+α)=- cos α= -13. 14. 由已知条件得：sin αβ①, αβ②，两式推出sin α=，因为α∈(-2π,2π)，所以α=4π或-4π；回代②，注意到β∈(0,π)，均解出β=6π，于是存在α=4π，β=6π或α=-4π，β=6π，使两等式同时成立。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系课后习题 新人教A版必修4-新人教A版
1.2.2 同角三角函数的基本关系一、A组1.化简sin2β+cos4β+sin2βcos2β的结果是()A. B. C.1 D.解析:原式=sin2β+cos2β(sin2β+cos2β)=sin2β+cos2β=1.答案:C2.(2016·某某某某实验中学检测)已知tan α=2,则sin2α-sin αcos α的值是()A. B.- C.-2 D.2解析:sin2α-sin αcos α==.答案:A3.(2016·某某某某十一中高一期中)(1+tan215°)cos215°的值等于()A. B.1 C.- D.解析:(1+tan215°)cos215°=cos215°=cos215°+sin215°=1.答案:B4.已知α是第四象限角,tan α=-,则sin α=()A. B.- C. D.-解析:∵α是第四象限角,∴sin α<0.由tan α=-,得=-,∴cos α=-sin α.由sin2α+cos2α=1,得sin2α+=1,∴sin2α=1,sin α=±.∵sin α<0,∴sin α=-.答案:D5.若角α的终边落在直线x+y=0上,则的值为()A.2B.-2C.0D.2或-2解析:由题知,α为第二或第四象限角,原式=.当α为第二象限角时,原式=-=0.当α为第四象限角时,原式==0.综上,原式=0.答案:C6.在△ABC中,cos A=,则tan A=.解析:在△ABC中,可得0<A<π.∵cos A=,∴sin A=.∴tan A==2.答案:27.已知sin α=2m,cos α=m+1,则m=.解析:∵sin2α+cos2α=1,∴(2m)2+(m+1)2=4m2+m2+2m+1=1,∴m=0或m=-.答案:0或-8.(2016·某某某某溧水中学月考)若tan2x-sin2x=,则tan2x sin2x=.解析:tan2x sin2x=tan2x(1-cos2x)=tan2x-tan2x cos2x=tan2x-sin2x=.答案:9.若<α<2π,化简:.解:∵<α<2π,∴sin α<0.∴原式====-=-.10.求证:(1)sin4α-cos4α=2sin2α-1;(2)sin θ(1+tan θ)+cos θ.证明:(1)左边=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1=右边,∴原式成立.(2)左边=sin θ+cos θ=sin θ++cos θ+===右边.∴原式成立.二、B组1.锐角α满足sin αcos α=,则tan α的值为()A.2-B.C.2±D.2+解析:将sin αcos α看作分母是1的分式,则sin αcos α=,分子、分母同时除以cos2α(cos α≠0),得,化成整式方程为tan2α-4tan α+1=0,解得tan α=2±,符合要求,故选C.答案:C2.化简的结果为()A.-cos 160°B.cos 160°C. D.解析:原式===|cos 160°|=-cos 160°,故选A.答案:A3.已知sin θ=,cos θ=,其中θ∈,则tan θ的值为()A.-B.C.-或-D.与m的值有关解析:∵sin2θ+cos2θ=1,∴=1,解得m=0或m=8.∵θ∈,∴sin θ≥0,cos θ≤0.当m=0时,sin θ=-,cos θ=,不符合题意;当m=8时,sin θ=,cos θ=-,tan θ=-,故选A.答案:A4.已知cos,0<α<,则sin=.解析:∵sin2+cos2=1,∴sin2=1-.∵0<α<,∴<α+.∴sin.答案:5.导学号08720014若0<α<,则的化简结果是. 解析:由0<α<,得0<,所以0<sin<cos.故原式==cos-sin+sin+cos=2cos.答案:2cos6.(2016·某某某某溧水中学月考)若α∈(π,2π),且sin α+cos α=.(1)求cos2α-cos4α的值;(2)求sin α-cos α的值.解:(1)因为sin α+cos α=,所以(sin α+cos α)2=,即1+2sin αcos α=,所以sin αcos α=-.所以cos2α-cos4α=cos2α(1-cos2α)=cos2αsin2α=(sin αcos α)2=.(2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-2×,由(1)知sin αcos α=-<0,又α∈(π,2π),所以α∈.所以sin α<0,cos α>0,所以sin α-cos α<0,所以sin α-cos α=-.7.导学号08720015已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根为sin θ和cos θ.求:(1)的值;(2)m的值.解:因为已知方程有两根,所以(1)==sin θ+cos θ=.(2)对①式两边平方,得1+2sin θcos θ=, 所以sin θcos θ=.由②,得,即m=.由③,得m≤,所以m=.。
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示习题(4)
2.3.4平面向量共线的坐标表示课后篇巩固探究1.已知向量a=(-1,m),b=(-m,2m+3),且a∥b,则m等于()A.-1B.-2C.-1或3D.0或-2解析由已知得-(2m+3)+m2=0,∴m=-1或m=3.答案C2.若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是()A.a-c与b共线B.b+c与a共线C.a与b-c共线D.a+b与c共线解析∵b=(5,7),c=(2,4),∴b-c=(3,3).∴b-c=a.∴a与b-c共线.答案C3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b与非零向量m a+n b共线,则等于()A.-2B.2C.-D.解析因为向量a=(2,3),b=(-1,2),所以a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),m a+n b=(2m-n,3m+2n).因为a-2b与非零向量m a+n b共线,所以,解得14m=-7n,=-.答案C4.已知a=(-2,1-cos θ),b=,且a∥b,则锐角θ等于()A.45°B.30°C.60°D.30°或60°解析由a∥b,得-2×=1-cos2θ=sin2θ,∵θ为锐角,∴sin θ=.∴θ=45°.答案A5.已知点A(,1),B(0,0),C(,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于点E,设=λ,则λ等于()A.2B.C.-3D.-解析如图,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,|AC|=1,∴|EC|=.∵=λ,λ<0,∴|λ|==3.∴λ=-3.答案C6.(2018全国Ⅲ高考)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=. 解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=.答案7.已知平面向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,则3a+2b=.解析因为向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,所以1·m-2×2=0,解得m=4.所以b=(4,2).故3a+2b=(6,3)+(8,4)=(14,7).答案(14,7)8.导学号68254080已知=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n=.解析=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),=(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2).因为A,B,C共线,所以共线,所以-2(n+2)=(1-m)(5-n).①又m=2n, ②解①②组成的方程组得所以m+n=9或m+n=.答案9或9.已知点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).(1)求实数x的值,使向量共线;(2)当向量共线时,点A,B,C,D是否在一条直线上? 解(1)=(x,1),=(4,x).∵,∴x2=4,x=±2.(2)由已知得=(2-2x,x-1),当x=2时,=(-2,1),=(2,1),∴不平行,此时A,B,C,D不在一条直线上.当x=-2时,=(6,-3),=(-2,1),∴,此时A,B,C三点共线.又,∴A,B,C,D四点在一条直线上.综上,当x=-2时,A,B,C,D四点在一条直线上.10.导学号68254081如图,已知△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.解因为(0,5)=,所以C.因为(4,3)=,所以D.设M(x,y),则=(x,y-5),-(0,5)=.因为,所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.①因为,所以x-4=0,即7x-16y=-20.②联立①②,解得x=,y=2,故点M的坐标为.11.如图,已知四边形ABCD是正方形,,||=||,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证:AF=AE.证明建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,则A(-1,1),B(0,1),设点E的坐标为(x,y)(x>0),则=(x,y-1),=(1,-1).∵,∴x×(-1)-1×(y-1)=0.①又||=||,∴x2+y2=2.②由①②联立,解得点E的坐标为.设点F的坐标为(x',1),由=(x',1)和共线,得x'-=0,∴x'=-(2+),∴点F的坐标为(-2-,1).∴=(-1-,0),, ∴||=1+=||,即AF=AE.。
人教版高中数学必修四2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2-2.3.3含答案
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算 课时目标 1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．1．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝____________，则________________叫作向量a 的坐标，________________叫作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝________，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________________.2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( ) A ．(－2，－2) B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,24．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为( ) A ．(－8,1) B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎫－1，－32 D ．(8，－1) 5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)6．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为( )A ．(－7,0)B ．(7,6)C ．(6,7)D ．(7，－6)题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________． 8．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.9．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.10．函数y ＝x 2＋2x ＋2按向量a 平移所得图象的解析式为y ＝x 2，则向量a 的坐标是________．三、解答题11．已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .12．已知平面上三个点坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．能力提升13．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(－1,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1)}14．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2的图象F 按向量a 平移到F ′，F ′的函数解析式为y ＝f (x )，当y ＝f (x )为奇函数时，向量a 可以等于( )A.⎝⎛⎭⎫－π6，－2B.⎝⎛⎭⎫－π6，2 C.⎝⎛⎭⎫π6，－2 D.⎝⎛⎭⎫π6，21．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3 平面向量的坐标运算答案知识梳理1．(1)互相垂直 (2)单位向量 x i ＋y j 有序数对(x ，y ) a ＝(x ，y ) (3)(x ，y ) (x 2－x 1，y 2－y 1)2．(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)(λx ，λy )作业设计1．D 2.D3．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.] 4．C [设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12×(－8,1)， ∴x ＝－1，y ＝－32.] 5．B [∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．]6．D [设D (x ，y )，由AD →＝BC →，∴(x －5，y ＋1)＝(2，－5)．∴x ＝7，y ＝－6.]7．(－3,6)8.112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112. 9．－1解析 ∵A (1,2)，B (3,2)，∴AB →＝(2,0)．又∵a ＝AB →，它们的坐标一定相等．∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0， ∴x ＝－1.10．(1，－1)解析 函数y ＝x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1的顶点坐标为(－1,1)，函数y ＝x 2的顶点坐标为(0,0)，则a ＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)．11．解 设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1)＝(－2x ＋3y,3x ＋y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ， 解得x ＝－2，y ＝2，∴c ＝－2a ＋2b .12．解 (1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →，设点D 的坐标为(x ，y )．∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1. ∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时，仿(1)可得D (2，－3)；(3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)．综上可知点D 可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．13．A [设a ＝(x ，y )，则P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝m ， ∴集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{(x ，y )|x ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x ＋y －2＝0}．∴P ∩Q ＝{(1,1)}．故选A.]14．B [函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2按向量a ＝(m ，n )平移后得到y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2m ＋π6＋n －2.若平移后的函数为奇函数，则n ＝2，π6－2m ＝k π＋π2(k ∈Z )，故m ＝－π6时适合．]附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
高中数学人教A版必修4习题：第一章三角函数1.1.1含解析
01第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角课时过关·能力提升基础巩固1-215°是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析:由于-215°=-360°+145°,而145°是第二象限角,则-215°也是第二象限角.答案:B2下列与150°角终边相同的角是()A.30°B.-150°C.390°D.-210°答案:D3与-457°角终边相同的角的集合是()A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z}B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z}D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}答案:C4已知α是第二象限角,则2α的终边在()A.第一、二象限B.第二象限C.第三、四象限D.以上都不对解析:∵α是第二象限角,∴k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z,∴2k·360°+180°<2α<2k·360°+360°,k∈Z,∴2α角的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.答案:D5若手表的时针走了2 h,则该时针转过的度数为()A.60°B.-60°C.30°D.-30°答案:B6在-360°~720°之间,与-367°角终边相同的角是.解析:与-367°角终边相同的角可表示为α=k·360°-367°,k∈Z.当k=1,2,3时,α=-7°,353°,713°,这三个角都是符合条件的角.答案:-7°,353°,713°7终边落在图中阴影部分(不包括边界)的角的集合为.解析:在0°~360°内,终边在阴影部分的角的范围是120°<α<225°,所以终边落在阴影部分的角的集合为{β|k·360°+120°<β<k·360°+225°,k∈Z}.答案:{β|k·360°+120°<β<k·360°+225°,k∈Z}8在坐标系中画出下列各角:(1)-180°;(2)1 070°.解在坐标系中画出各角如图.9在-720°~720°范围内,用列举法写出与60°角终边相同的角的集合S.解与60°角终边相同的角的集合为{α|α=60°+k·360°,k∈Z},令-720°≤60°+k·360°<720°(k∈Z),得k=-2,-1,0,1,相应的角为-660°,-300°,60°,420°,从而S={-660°,-300°,60°,420°}.10已知α=-1 910°.(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;(2)求角θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.解(1)∵-1910°=-6×360°+250°,∴β=250°,即α=250°-6×360°.又250°是第三象限角,∴α是第三象限角.(2)θ=250°+k·360°(k∈Z).∵-720°≤θ<0°,∴-720°≤250°+k·360°<0°,解得−9736≤k<−2536.又k∈Z,∴k=-1或k=-2.∴θ=250°-360°=-110°或θ=250°-2×360°=-470°.能力提升1下列说法中,正确的是()A.钝角必是第二象限角,第二象限角必是钝角B.第三象限的角必大于第二象限的角C.小于90°的角是锐角D.-95°20',984°40',264°40'是终边相同的角答案:D2若A={α|α=k·360°,k∈Z},B={α|α=k·180°,k∈Z},C={α|α=k·90°,k∈Z},则下列关系正确的是() A.A=B=C B.A=B∩CC.A∪B=CD.A⊆B⊆C答案:D3若角θ是第四象限角,则90°+θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析:如图,将θ的终边按逆时针方向旋转90°得90°+θ的终边,则90°+θ是第一象限角.答案:A4已知α为第三象限角,则α3是第象限角.解析:∵α是第三象限角,∴k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z,∴k·120°+60°<α3<k·120°+90°,k∈Z.∵k·120°+60°角的终边在第一象限、x轴非正半轴、第四象限,k·120°+90°角的终边在y轴非负半轴、第三象限、第四象限,∴α3是第一、三或四象限角.答案:一、三或四5已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界),则角α组成的集合为.解析:由图知,将x轴绕原点分别旋转30°与150°得边界,∴终边在阴影内的角的集合为{α|k·180°+30°<α<k·180°+150°,k∈Z}.答案:{α|k·180°+30°<α<k·180°+150°,k∈Z}★6角α满足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,则角α=.解析:∵5α与α的始边和终边分别相同,∴这两角的差应是360°的整数倍,即5α-α=4α=k·360°.∴α=k·90°.又180°<α<360°,令180°<k·90°<360°,则2<k<4,∴k=3,α=270°.答案:270°7已知角的顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,指出它们是第几象限角,并指出在0°~360°范围内与其终边相同的角.(1)780°;(2)-435°;(3)1 215°;(4)-870°.解(1)如图①,780°是第一象限角;在0°~360°范围内,60°角与其终边相同.(2)如图②,-435°是第四象限角;在0°~360°范围内,285°角与其终边相同.(3)如图③,1215°是第二象限角;在0°~360°范围内,135°角与其终边相同.(4)如图④,-870°是第三象限角;在0°~360°范围内,210°角与其终边相同.★8已知集合M={α|k·180°+30°<α<k·180°+120°,k∈Z},N={β|k·360°+90°<β<k·360°+270°,k∈Z},求M∩N.解∵M={α|k·180°+30°<α<k·180°+120°,k∈Z},∴当k=2n(n∈Z)时,M={α|n·360°+30°<α<n·360°+120°,n∈Z}.又N={β|k·360°+90°<β<k·360°+270°,k∈Z},∴M∩N={x|k·360°+90°<x<k·360°+120°,k∈Z}.当k=2n+1(n∈Z)时,M={α|n·360°+210°<α<n·360°+300°,n∈Z},又N={β|k·360°+90°<β<k·360°+270°,k∈Z},∴M∩N={x|k·360°+210°<x<k·360°+270°,k∈Z},∴M∩N={x|k·360°+90°<x<k·360°+120°或k·360°+210°<x<k·360°+270°,k∈Z}.。
2018秋新版高中数学北师大版必修4习题：第二章平面向量 2.4 含解析
§4 平面向量的坐标课时过关·能力提升1.已知平面向量a =(1,1),b =(1,-1),则向量12a −32b 等于( )A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2) 解析:12a −32b =12(1,1)−32(1,−1)=(−1,2),故选D .答案:D2.在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线.若AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3),则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.(-2,-4)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(2,4)解析:因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1)=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−5). 答案:B3.设i ,j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量,O 为坐标原点.若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4i +2j ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3i +4j ,则下列坐标表示的向量中与2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行的是( )A.(1,-2)B.(7,6)C.(15,5)D.(22,16)答案:D4.如果向量a =(k ,1)与b =(6,k+1)共线,且方向相反,那么k 的值为( )A.-3B.2C.−17D.17 解析:设a =t b (t<0),则(k ,1)=t (6,k+1),即得{k =6t ,(k +1)t =1,且t<0,解得t=−12,k =−3. 答案:A5.已知M={a |a =(1,2)+λ(3,4),λ∈R },N={a |a =(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R },则M ∩N 等于( )A .{(1,1)}B .{(1,1),(-2,-2)}C .{(-2,-2)}D .⌀解析:设a =(x ,y ),对于M ,(x ,y )=(1,2)+λ(3,4),(x-1,y-2)=λ(3,4),{x -1=3λ,y -2=4λ,∴x -13=y -24①;对于N ,(x ,y )=(-2,-2)+λ(4,5),(x+2,y+2)=λ(4,5),{x +2=4λ,y +2=5λ,∴x+24=y+25②.联立①②,解得x=-2,y=-2.答案:C6.如图,已知|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,AB 的中点是C,则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是 . 解析:由题意,得A (2cos 30°,2sin 30°),即A (√3,1),B(cos 120°,sin 120°),即B (-12,√32).则C (√32-14,12+√34). 故OC⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(√32-14,12+√34). 答案:(√32-14,12+√34)7.若向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等,其中A(1,2),B(3,2),则x = . 解析:易得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),则{x+3=2,x 2-3x -4=0,解得x=-1. 答案:-18.已知向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m +1,m −2).若A,B,C 三点能构成三角形,则m 满足的条件是 .解析:若A ,B ,C 三点能构成三角形,则三点不共线,即向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都不是平行向量. ∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m +1,m −2), ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,m +1). 假设A ,B ,C 三点不能构成三角形,则这三点共线,故AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴1×(m+1)-2m=0,∴m=1.∴当m ≠1时,A ,B ,C 三点能构成三角形.答案:m ≠1★9.已知向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),c =(x 3,y 3),定义运算“*”为a *b =(x 1y 2,x 2y 1),有下列命题:①若a =(1,2),b =(3,4),则a *b =(6,4);②a *b =b *a ;③(a *b )*c =a *(b *c );④(a +b )*c =(a *c )+(b *c ),其中正确的是 .(只填序号)解析:对于①,已知a *b =(x 1y 2,x 2y 1),若a =(1,2),b =(3,4),则a *b =(1×4,2×3)=(4,6),故①不正确;对于②,a *b =(x 1y 2,x 2y 1),b *a =(x 2y 1,x 1y 2),而(x 1y 2,x 2y 1)与(x 2y 1,x 1y 2)不一定相等,故②不正确;对于③,可举反例说明,若a =(1,2),b =(3,4),c =(2,5),则(a *b )*c =(4,6)*(2,5)=(20,12),a *(b *c )=(1,2)*(15,8)=(8,30),故③不正确;对于④,设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),c =(x 3,y 3),则(a +b )*c =(x 1+x 2,y 1+y 2)*(x 3,y 3)=((x 1+x 2)y 3,(y 1+y 2)x 3)=(x 1y 3+x 2y 3,y 1x 3+y 2x 3).而(a *c )+(b *c )=(x 1y 3,x 3y 1)+(x 2y 3,x 3y 2)=(x 1y 3+x 2y 3,y 1x 3+y 2x 3),∴(a +b )*c =(a *c )+(b *c ),故④正确.答案:④10.已知平面内三个向量a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1),回答下列问题:(1)求满足a =m b +n c 的实数m ,n 的值;(2)若(a +k c )∥(2b -a ),求实数k 的值.解(1)由a =m b +n c ,得(3,2)=m (-1,2)+n (4,1)=(-m+4n ,2m+n ).所以{-m +4n =3,2m +n =2,解得{m =59,n =89.(2)a +k c =(3+4k ,2+k ),2b -a =(-5,2).由(a +k c )∥(2b -a ),得2(3+4k )-(-5)×(2+k )=0,所以k=−1613.11.已知四边形OABC 为菱形,菱形的中心为点E (5,2),点A 的坐标为(3,7),求菱形的其余顶点B ,C 的坐标.解设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),如图.∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−5),EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x2−5,y2−2), ∴{x 2-5=2,y 2-2=-5.∴{x 2=7,y 2=-3. 又OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,2),EB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x1−5,y1−2),∴{x 1-5=5,y 1-2=2.∴{x 1=10,y 1=4. ∴点B 坐标为(10,4),点C 坐标为(7,-3).★12.如图,已知点A (4,0),B (4,4),C (2,6),求AC 与OB 的交点P 的坐标. 解(方法一)∵O ,P ,B 三点共线,∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,又OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 均为非零向量,∴存在唯一一个实数λ,使得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ .∵B (4,4),∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4),∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(4,4)=(4λ,4λ).∵A(4,0),∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0),∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4λ,4λ)−(4,0)=(4λ−4,4λ).∵C (2,6),∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,6),∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,6)−(4,0)=(−2,6).由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=34,∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,3),∴点P 的坐标为(3,3).(方法二)设P (x ,y ),则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y).∵B(4,4),∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4). 由已知,得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,∴4x-4y=0,即x=y.① ∵A (4,0),C (2,6),∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,6),∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −4,y),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,6)−(4,0)=(−2,6).由已知,得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,∴(x-4)×6-y ×(-2)=0.② 由①②联立,得x=y=3,∴点P 的坐标为(3,3).。