高等数学课后习题答案

合集下载

高等数学课后习题答案--第一章

《高等数学》习题参考资料第一篇一元函数微积分第一章极限与连续§1 函数习题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。

1．【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。

3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。

4．【答案】设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。

高等数学第一章课后习题答案

高等数学（本）第一章函数与极限1. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21=224sin )4(==ππϕ ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0，问：⑴()2x f ； ⑵()x f sin ； ⑶()()0>+a a x f ； ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么？（1）][；，－的定义域为所以知－11)(,111022x f x x ≤≤≤≤[]ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f ax a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(－的定义域为所以知－由][φ时，定义域为当时，定义域为当从而得－知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a a x a ax a a x a x班级姓名学号3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ，()x e x g =，求()[]x g f 和()[]x f g ，并做出这两个函数的图形。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4. 设数列{}n x 有界, 又,0lim =∞→n n y 证明: .0lim =∞→n n n y x{}结论成立。

（WORD）-高等数学课后习题（完整版）及答案

高等数学课后习题(完整版)及答案高等数学课后答案习题1 11设A ( 5) (5 ) B [10 3)写出A BA B A\B及A\(A\B)的表达式解 A B ( 3) (5 )A B [105)A\B ( 10) (5 )A\(A\B) [105)2设A、B是任意两个集合证明对偶律 (A B)C AC BC 证明因为x (A B)C x A B x A或x B x AC或x BC x ACBC所以 (A B)C AC BC3设映射f X Y A X B X 证明(1)f(A B) f(A) f(B)(2)f(A B) f(A) f(B)证明因为y f(A B) x A B使f(x) y(因为x A或x B) y f(A)或y f(B)y f(A) f(B)所以 f(A B) f(A) f(B)(2)因为y f(A B) x A B使f(x) y (因为x A且x B) y f(A)且y f(B) y f(A) f(B)所以 f(A B) f(A) f(B)4设映射f X Y若存在一个映射g Y X使g f IXf g IY其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射即对于每一个x X有IX x x 对于每一个y Y有IY y y证明 f是双射且g是f的逆映射 g f 1证明因为对于任意的y Y有x g(y) X且f(x) f[g(y)] Iy y y即Y中任意元素都是X中某元素的像所以f为X到Y的满射又因为对于任意的x1 x2必有f(x1) f(x2)否则若f(x1) f(x2) g[ f(x1)] g[f(x2)] x1 x2因此f既是单射又是满射即f是双射对于映射g Y X因为对每个y Y有g(y) x X且满足f(x) f[g(y)] Iy y y按逆映射的定义 g是f的逆映射5设映射f X Y A X 证明(1)f 1(f(A)) A(2)当f是单射时有f 1(f(A)) A证明 (1)因为x A f(x) y f(A) f 1(y) x f 1(f(A))所以 f 1(f(A)) A(2)由(1)知f 1(f(A)) A另一方面对于任意的x f 1(f(A)) 存在y f(A)使f1(y) x f(x) y 因为y f(A)且f是单射所以x A这就证明了f 1(f(A)) A因此f 1(f(A)) A6求下列函数的自然定义域(1)y x233 解由3x2 0得x 2函数的定义域为[2, )(2)y 1 1x2解由1x2 0得x 1函数的定义域为( 1) (11) (1 )(3)y 1x x2解由x 0且1x2 0得函数的定义域D [1 0) (0 1](4)y 14x2解由4x2 0得 |x| 2函数的定义域为(2 2)(5)y sinx解由x 0得函数的定义D [0 )(6) y tan(x1)2 解由x1 (k 0 1 2 )得函数的定义域为x k 1 (k 0 1 2 2)(7) y arcsin(x3)解由|x3| 1得函数的定义域D [2 4](8)y x1 x解由3x 0且x 0得函数的定义域D ( 0) (0 3)(9) y ln(x1)解由x1 0得函数的定义域D (1 )(10)y ex解由x 0得函数的定义域D ( 0) (0 )7下列各题中函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x) lg x2 g(x) 2lg x(2) f(x) x g(x) x2(3)f(x) x4x3g(x) xx1(4)f(x) 1 g(x) sec2x tan2x解 (1)不同因为定义域不同(2)不同因为对应法则不同 x 0时 g(x) x(3)相同因为定义域、对应法则均相相同(4)不同因为定义域不同8 |sinx| |x|3设 (x) |x| 0 3 求 ( ) ( ) ( ) (2)并作出函数y (x)644的图形) |sin | 解 ( ) |sin | 1 (446622) |sin( )| (442 (2) 09试证下列函数在指定区间内的单调性(1)y x ( 1) 1x(2)y x ln x (0 )证明 (1)对于任意的x1 x2 ( 1)有1x1 0 1x2 0因为当x1 x2时y1y2 xxx x 0 1x11x2(1x1)(1x2) 所以函数y x在区间( 1)内是单调增加的 1x(2)对于任意的x1 x2 (0 )当x1 x2时有y1y2 (x1lnx1)(x2lnx2) (x1x2)lnx 0 x2所以函数y x ln x在区间(0 )内是单调增加的10设 f(x)为定义在(l l)内的奇函数若f(x)在(0 l)内单调增加证明f(x)在(l 0)内也单调增加证明对于x1 x2 (l 0)且x1 x2有x1x2 (0 l)且x1 x2因为f(x)在(0 l)内单调增加且为奇函数所以f(x2) f(x1)f(x2) f(x1) f(x2) f(x1)这就证明了对于x1 x2 (l 0)有f(x1) f(x2)所以f(x)在(l 0)内也单调增加11设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(l l)上的证明(1)两个偶函数的和是偶函数两个奇函数的和是奇函数(2)两个偶函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明 (1)设F(x) f(x)g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数则F(x) f(x)g(x) f(x)g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个偶函数的和是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数则F(x) f(x)g(x) f(x)g(x) F(x)所以F(x)为奇函数即两个奇函数的和是奇函数(2)设F(x) f(x) g(x)如果f(x)和g(x)都是偶函数则F(x) f(x) g(x) f(x) g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个偶函数的积是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数则F(x) f(x) g(x) [f(x)][g(x)] f(x) g(x) F(x)所以F(x)为偶函数即两个奇函数的积是偶函数如果f(x)是偶函数而g(x)是奇函数则F(x) f(x) g(x) f(x)[g(x)] f(x) g(x) F(x)所以F(x)为奇函数即偶函数与奇函数的积是奇函数12下列函数中哪些是偶函数哪些是奇函数哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y x2(1x2)(2)y 3x2x3(3)y 1x2 1x2(4)y x(x1)(x1)(5)y sin x cos x1(6)y ax a x2解 (1)因为f(x) (x)2[1(x)2] x2(1x2) f(x)所以f(x)是偶函数(2)由f(x) 3(x)2(x)3 3x2x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数(3)因为1(x)21x2f(x) f(x) 221x1x所以f(x)是偶函数(4)因为f(x) (x)(x1)(x1) x(x1)(x1) f(x)所以f(x)是奇函数(5)由f(x) sin(x)cos(x)1 sin x cos x1可见f(x)既非奇函数又非偶函数(6)因为(x)(x)xxa aa af(x) f(x) 22所以f(x)是偶函数13下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数指出其周期(1)y cos(x2)解是周期函数周期为l 2(2)y cos 4x解是周期函数周期为l 2(3)y 1sin x解是周期函数周期为l 2(4)y xcos x解不是周期函数(5)y sin2x解是周期函数周期为l14求下列函数的反函数(1)y x1解由y x1得x y31所以y x1的反函数为y x31(2)y 1x 1x解由y 1x得x 1y所以y 1x的反函数为y 1x1x1y1x1x(3)y ax b(ad bc 0) cx d解由y ax b得x dy b所以y ax b的反函数为y dx b cx dcy acx dcx a(4) y 2sin3xyarcsin所以y 2sin3x的反函数为y 1arcsinx解由y 2sin 3x 得x 13232(5) y 1ln(x2)x2(6)y 2 1 解由y 1ln(x2)得x ey12所以y 1ln(x2)的反函数为y ex122xx y 所以的反函数为y log2211x 解 y2xy x log由得21y2 115设函数f(x)在数集X上有定义试证函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界证明先证必要性设函数f(x)在X上有界则存在正数M使|f(x)| M即M f(x) M这就证明了f(x)在X上有下界M和上界M再证充分性设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2即K1 f(x) K2 取M max{|K1| |K2|}则M K1 f(x)K2 M即 |f(x)| M这就证明了f(x)在X上有界16在下列各题中求由所给函数复合而成的函数并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值(1) y u2 u sin x解 y sin2x x1 6x2 33y1 sin2 12 1y2 sin2 ()2 324624x1 x2 84 (2) y sin u u 2x解 y sin2x(3)y解 y1 sin(2 ) sin y2 sin(2 sin 1 842422u 1x x1 1 x2 2 y x2 y1 12 y2 22(4) y eu u x2 x1 0 x2 1解 y ex2 y1 e0 1 y2 e1 e 22(5) y u2 u ex x1 1 x2 1解 y e2x y1 e2 1 e2 y2 e2 (1) e217设f(x)的定义域D [0 1]求下列各函数的定义域(1) f(x2)解由0 x2 1得|x| 1所以函数f(x2)的定义域为[1 1](2) f(sinx)解由0 sin x 1得2n x (2n1) (n 0 1 2 )所以函数f(sin x)的定义域为[2n (2n1) ] (n 0 1 2 )(3) f(x a)(a>0)解由0 x a 1得a x 1a所以函数f(x a)的定义域为[a 1a](4) f(x a)f(x a)(a 0)22 解由0 x a 1且0 x a 1得当0 a 1时 a x 1a 当a 1时无解因此当0 a 1时函数的定义域为[a 1a]当a 1时函数无意义2218设的图形解 |x| 1 1 x f(x) 0 |x| 1 g(x) e |x| 1 1 求f[g(x)]和g[f(x)]并作出这两个函数 1 |ex| 1 f[g(x)] 0|ex| 11 |ex| 1 即 1 x 0 f[g(x)] 0 x 0 1 x 0e1 |x| 1 g[f(x)] ef(x) e0 |x| 1e 1 |x| 1 e |x| 1 |x| 1即g[f(x)] 11 |x| 1 e19已知水渠的横断面为等腰梯形斜角 40 (图137)当过水断面ABCD的面积为定值S0周L(L AB BC CD)与水的函数关系式并指明其图137解 AB DC hsin40 0cot40 h所以又从1h[BC(BC2cot40 h)] S0得BC Sh时求湿深h之间定义域 2S2cos40L h hsin40自变量h的取值范围应由不等式组h 0确定定义域为0 h 0cot40S0 cot40 h 0 h20收敛音机每台售价为90元成本为60元厂方为鼓励销售商大量采购决定凡是订购量超过100台以上的每多订购1台售价就降低1分但最低价为每台75元(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数(3)某一商行订购了1000台厂方可获利润多少？解 (1)当0 x 100时 p 90令001(x0100) 9075得x0 1600因此当x 1600时p 75当100 x 1600时p 90(x100) 001 910 01x综合上述结果得到0 x 100 90 p 910.01x 100 x 1600 75 x 1600 30x 0 x 1002100 x 1600 (2)P (p60)x 31x0.01x 15x x 1600(3) P 31 1000001 10002 21000(元)习题1 21观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势写出它们的极限 (1)xn 1 2n解当n 时(2)xn (1)n1 n1 0 0 xn 1limn 22 解当n 时(3)xn 2 12 nxn (1)n1 0 lim(1)n1 0 n nn解当n 时(4)xn n1 n1xn 21 2 lim(21) 2 n nn2解当n 时(5) xn n(1)n xn n1 12 0 limn1 1n n1n1n 1解当n 时 xn n(1)n没有极限2 cos设数列{xn}的一般项xn nx ? 求出N使当n N时 xn问nlim n与其极限之差的绝对值小于正数当 0001时求出数N解limx 0n n要使|x n0| 只要1 也就是n 1取n|cos|1 0 |xn0| nnN [1]则n N有|xn0|当 0001时 N [1] 10003根据数列极限的定义证明1 0 (1)nlim 2n分析要使|120| 12 只须n2 1即nnn1nn证明因为 0N [3n1 3 (2)nlim1]1 0当n N时有|120| 所以nlim 2分析2n12n13| 1 1要使|3 2n122(2n1)4n4只须证明因为 0N [1]当n N (3)nlim 分析 n2a2 1 n1 即n 14 4n3n1 3时有|3n13| 所以nlim 2n122n12只须2an222222a a naa要使|1| 22nnn a n)n2aN []证明因为 022n alim 1 n n当n N时有|n2a21|n所以(4)nlim0. 999 9 1n个分析要使|099 91|110n 1只须1 10即n 1lg1证明因为 0N [1lg1]当n N时有|099 91| 所以n n个lim0.999 9 1|u| |a|并举例说明如果数列{|xn|}有极限但数证明nlimn4limu an n列{xn}未必有极限u a所以 0N N当n N时有|un a| 从而证明因为nlim n||un||a|| |un a||un| |a|这就证明了nlim|(1)n| 1但lim(1)n 数列{|xn|}有极限但数列{xn}未必有极限例如nlimn不存在y 0证明 5设数列{xn}有界又nlim nn limxnyn 0证明因为数列{xn}有界所以存在M使n Z有|xn| Myn 0所以 0N N当n N时有|yn| 从而当n N时又nlim M有xy 0所以nlim nn|xnyn0| |xnyn| M|yn| M M6对于数列{xn}若x2k1 a(k ) x2k a(k )证明 xn a(n )证明因为x2k1 a(k ) x2k a(k )所以 0K1当2k1 2K11时有| x2k1a| K2当2k 2K2时有|x2k a| 取N max{2K11 2K2}只要n N就有|xn a| 因此xn a (n )习题1 31根据函数极限的定义证明(3x1) 8 (1)limx 3分析因为|(3x1)8| |3x9| 3|x3|所以要使|(3x1)8| 只须|x3| 1 3 证明因为 0 1 当0 |x3| 时有 3|(3x1)8|(3x1) 8所以limx 3(5x2) 12 (2)limx 2分析因为|(5x2)12| |5x10| 5|x2|所以要使|(5x2)12| 只须|x2| 1 5 证明因为 0 1 当0 |x2| 时有 5|(5x2)12|(5x2) 12所以limx 22x4 4(3)xlim 2x 2分析因为x24(4) x24x4 |x2| |x(2)| x2x 2所以要使x24(4) x2只须|x(2)| 证明因为 0 当0 |x(2)| 时有x24(4) x2x24 4lim所以x 2x2314x(4)lim 2 2x1x分析因为所以要使14x32 |12x2| 2|x(1)| 2x1214x32 2x1只须|x(1)| 1 2222 证明因为 0 1 当0 |x(1)| 时有 14x32 2x1 314x所以lim 2 2x1x 22根据函数极限的定义证明1x (1)xlim 1 22x3分析因为所以要使1x31 1x3x3 1 2x322x32|x|3 1x312x2只须1 2|x|即|x| 1证明因为 0X 1当|x| X时有 1x312x3231x 1所以xlim3 2x2sinx 0 (2)xlim x 分析因为所以要使证明sinx0 |sinx| 1 xxxsinx0 只须1 即x 12x x因为 0X 1当x X时有 2sinx0 xsinx 0所以xlim x 3当x 2时 y x2 4问等于多少使当|x2|< 时 |y4|<0001？解由于当x 2时 |x2| 0故可设|x2| 1即1 x 3要使|x24| |x2||x2| 5|x2| 0001只要|x2| 0.001 0.0002 5取 00002则当0 |x2| 时就有|x24| 0 0014当x 时解要使y x21 1 x32问X等于多少使当|x| X时|y1| 001? 只要|x| 43 0.01x211 4 0.01x23x23故X5证明函数f(x) |x|当x 0时极限为零证明因为|f(x)0| ||x|0| |x| |x0|所以要使|f(x)0| 只须|x|因为对 0 使当0 |x0| 时有|f(x)0| ||x|0||x| 0所以limx 06求f(x) x, x (x) |x|当xx 0时的左﹑右极限并说明它们在x 0时的极限是否存在证明因为lim f(x) lim x lim1 1x 0x 0xx 0lim f(x) lim x lim1 1 x 0x 0xx 0x 0limf(x) lim f(x) x 0f(x)存在所以极限limx 0因为|x| lim x 1 x 0x 0xx 0x|x|x 1lim (x) lim limx 0x 0xx 0xlim (x) limx 0 lim (x) lim (x) x 0(x)不存在所以极限limx 07证明若x 及x 时函数f(x)的极限都存在且都等于Af(x) A则xlimf(x) A证明因为xlim x limf(x) A所以 >0X1 0使当x X1时有|f(x)A|X2 0使当x X2时有|f(x)A|f(x) A取X max{X1 X2}则当|x| X时有|f(x)A| 即xlim8根据极限的定义证明函数f(x)当x x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等证明先证明必要性设f(x) A(x x0)则 >0 0使当0<|x x0|< 时有|f(x)A|<因此当x0 <x<x0和x0<x<x0 时都有|f(x)A|<这说明f(x)当x x0时左右极限都存在并且都等于A再证明充分性设f(x00) f(x00) A则 >01>0使当x0 1<x<x0时有| f(x)A<2>0使当x0<x<x0+ 2时有| f(x)A|<取 min{ 1 2}则当0<|x x0|< 时有x0 1<x<x0及x0<x<x0+ 2 从而有| f(x)A|<即f(x) A(x x0)9试给出x 时函数极限的局部有界性的定理并加以证明解 x 时函数极限的局部有界性的定理如果f(x)当x 时的极限存在则存在X 0及M 0使当|x| X时 |f(x)| M证明设f(x) A(x )则对于 1X 0当|x| X时有|f(x)A| 1所以|f(x)| |f(x)A A| |f(x)A||A| 1|A|这就是说存在X 0及M 0使当|x| X时 |f(x)| M其中M 1|A|习题1 41两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之解不一定(x)2 例如当x 0时 (x) 2x (x) 3x都是无穷小但limx 0(x)3 (x)不 (x)是无穷小2根据定义证明2x9(1)y x当x 3时为无穷小; 3(2)y xsin1当x 0时为无穷小x2x9 |x3|时|y| x 3 证明 (1)当x 3有因为 0当0 |x3| 时2|y| x9 |x3| x 32x9所以当x 3时y x为无穷小 3(2)当x 0时|y| |x||sin1| |x0|因为 0 x|y| |x||sin1| |x0| x所以当x 0时y xsin1为无穷小 x当0 |x0| 时有3根据定义证明函数y 12x为当x 0时的无穷大问x应满足什x么条件能使|y| 104？证明分析|y||x| 1 M212x 21 12 xx|x|2 M即要使|y| M只须|1x|证明因为M 0所以当取1使当0 |x0| 时有12x M xM2x 0时函数y 12x是无穷大 xM 104则 41当0 |x0| 41时|y| 104 10210 2 4求下列极限并说明理由2x1; (1)limx x21x(2)limx 01xxxxx1x2 1所以lim x 01x2x1 2解 (1)因为2x1 21而当x 时1是无穷小所以limx x (2)因为11x2 1x(x 1)而当x 0时x为无穷小5根据函数极限或无穷大定义填写下表解6函数y xcos x在( )内是否有界？这个函数是否为当x 时的无穷大？为什么？解函数y xcos x在( )内无界这是因为M 0在( )内总能找到这样的x使得|y(x)| M例如y(2k ) 2k cos2k 2k (k 0 1 2 )当k充分大时就有| y(2k )| M当x 时函数y xcos x不是无穷大这是因为M 0找不到这样一个时刻N使对一切大于N的x都有|y(x)| M例如y(2k (2k )cos(2k ) 0(k 0 1 2 ) 2222 对任何大的N当k充分大时总有x 2k N但|y(x)| 0 M7证明函数y 1sin1在区间(0 1]上无界但这函数不是当x 0+时xx的无穷大证明函数y 1sin1在区间(0 1]上无界这是因为 xx M 0在(0 1]中总可以找到点xk使y(xk) M例如当xk2k 1(k 0 1 2 )2时有y(xk) 2k2当k充分大时 y(xk) M当x 0+ 时函数y 1sin1不是无穷大这是因为 xxM 0对所有的 0总可以找到这样的点xk使0 xk但y(xk) M例如可取xk 12k(k 0 1 2 )当k充分大时 xk 但y(xk) 2k sin2k 0 M习题1 51计算下列极限2xlim5 (1)x 2x3x25 225 9lim解 x 2x3232x(2)3 x x 1解 2()23x3 0 2x x1() 12 x (3)limx 12x1 2x 1解2(x1)2x2x1x1 0 0lim lim limx 1x 1(x1)(x1)x 1x12x2 14x32x2xlim(4)x 02 3x2x3224x2x x4x2x1 1 lim解lim x 03x2xx 03x22 (x h)2x2lim(5)h 0h222(x h)2x2x2hx h xlim lim lim(2x h) 2x解h 0h 0h 0hh(6)xlim(211) xx21lim1 2解xlim(211 2lim x xx xxx2x1(7)xlim 2x2x 1 解 1 121 limlimx 1 2x 2x x1x 22xx2(8)xlim解或 x2x 42x3x12xx 0lim42(分子次数低于分母次数x x3x1112x lim23 0lim4x2 x x3x1x 1xx2极限为零) x6x8 (9)limx 4x5x 4解 2(x2)(x4)limx26x8 lim limx2 42 2x 4x5x4x 4(x1)(x4)x 4x1413(10)xlim(11)(21) 2xx1) lim(21 1 2 2解xlim(11)(21 lim(1 xx2x xx x2(11)nlim(111 1) 242n1(1)n 1lim(111 1) lim 2 n n 2421 2n 解 123 (n1) (12)nlim(n1)n123 (n1) 1limn1 1解nlim lim n 2n n2nn(n1)(n2)(n3)(13)nlim5n(n1)(n2)(n3)1 (分子与分母的次数相同解nlim 55n3极限为最高次项系数之比)或(n1)(n2)(n3)11)(1213 1 lim(1 3n n 5nnn55n(14)lim(1 33 x 11x1xlim解2131x x3 lim(1x)(x2)lim() limx 11x1x3x 1(1x)(x 1(1x)(1x x2)1x x2) limx 21 x 11x x2计算下列极限32x2x(1)x lim 2(x2)2解 (x2)20lim 0因为x 2x2x162x所以limx 22x2 (x2)23 x (2)xlim 2x 1解 2xlim x 2x1(因为分子次数高于分母次数)(2x3x1) (3)xlim解 x lim(2x3x1) (因为分子次数高于分母次数)3计算下列极限(1)limx2sin1 x 0x2解 limx2sin1 0(当x 0时 x是无穷小而sin1是有界变量)x 0xxarctanx (2)xlim xarctanx lim1 arctanx 0(当x 时 1是无穷小解xlim x xxx而arctan x是有界变量)4证明本节定理3中的(2)习题1 51计算下列极限2xlim5 (1)x 2x322x52lim 5 9解 x 2x32 3 2x(2)23 x x 1解 2()23x3 0 x x21()2 12 x (3)limx 12x1 2x 1解2(x1)2x2x1x1 0 0lim lim limx 1x 1(x1)(x1)x 1x12x 1 324x2x x(4)limx 03x22x4x32x2x lim4x22x1 1解 limx 03x22xx 03x22 (x h)2x2lim(5)h 0h222(x h)2x2x2hx h xlim lim lim(2x h) 2x解h 0h 0h 0hh(6)xlim(211) xx21lim1 2解xlim(211 2lim x xx x2xx2(7)xlim解x21 22x x1112x1lim2 lim 1x 2x x1x 222xx x2x x x43x212x x 0解xlim(分子次数低于分母次数 x3x1(8)lim极限为零)或112x lim 0lim4x2 x x3x1x 21124xx2 x6x8 (9)limx 42x5x 4解 2(x2)(x4)xlim26x8 lim limx2 42 2x 4x5x4x 4(x1)(x4)x 4x1413(10)xlim(11)(21) 2xx1) lim(21 1 2 2解xlim(11)(21 lim(1 xx2x xx x2(11)nlim(111 1) 242n1(1)n 1lim(111 1) lim 2 nn n 2421 2n 解 123 (n1) (12)nlim 2(n1)n123 (n1) 1limn1 1解nlim lim n 2n n2n2n2(n1)(n2)(n3)(13)nlim3 5n(n1)(n2)(n3)1 (分子与分母的次数相同解nlim 55n3极限为最高次项系数之比)或(n1)(n2)(n3)11)(1213 1 lim(1 n 5n nnn55n3(14)lim(1 33 x 11x1xlim解2131x x3 lim(1x)(x2)lim() limx 11x1xx 1(1x)(x 1(1x)(1x x)1x x) limx 22 1 x 11x x2计算下列极限 32x2xlim(1)x 2(x2)2解 (x2)20lim3 0因为x 2x2x21632x2x 所以limx 2(x2)2 x2lim(2)x 2x1 x2 解 xlim 2x1(因为分子次数高于分母次数)(2x3x1) (3)xlim解 x lim(2x3x1) (因为分子次数高于分母次数)3计算下列极限(1)limx2sin1 x 0x2解 limx2sin1 0(当x 0时 x是无穷小而sin1是有界变量)x 0xxarctan x (2)xlim xarctanx lim1 arctanx 0(当x 时1是无穷小解 xlim x xxx而arctan x是有界变量)4证明本节定理3中的(2)习题 171当x 0时 2x x2 与x2x3相比哪一个是高阶无穷小？解232x xx x lim 0因为limx 02x xx 02x所以当x 0时 x2x3是高阶无穷小即x2x3 o(2x x2)2当x 1时无穷小1x和(1)1x3 (2)1(1x2)是否同阶？是否等2价？解 3(1x)(1x x2)1x lim lim(1x x2) 3 (1)因为limx 11xx 1x 11x所以当x 1时 1x和1x3是同阶的无穷小但不是等价无穷小1(1x2) 1lim(1x) 1 (2)因为limx 11x2x 1所以当x 1时 1x和1(1x2)是同阶的无穷小而且是等价无穷小 23证明当x 0时有(1) arctan x~x2x(2)secx1~2arctanx lim 证明 (1)因为limx 0y 0xy 1(提示 tany令y arctan x则当x 0时y 0)所以当x 0时 arctanx~x2sin2x2sinxsecx1 2lim1cosx lim lim(2 1 (2)因为limx 02x 0x2cosxx 0x 0x2x2222xsecx1~ 2 所以当x 0时4利用等价无穷小的性质求下列极限tan3x (1)limx 02xsin(xn)(2)limx 0(sinx)m(n m为正整数)tanx sinx (3)limx 0sinx(4)limx 0sinx tanx 2(x1sinx1)tan3x lim3x 3解 (1)limx 0x 02x2x21 n mn sin(xn)x 0 n m lim(2)limx 0(sinx)mx 0xm n m1x2sinx(11)tanx sinx lim lim1cosx lim2 1(3)lim332x 0x 0x 0cosxsinxx 0xcosx2sinxsinx(4)因为sinx tanx tanx(cosx1) 2tanxsin2x~2x x)2 1x3(x 0) 222所以x21 x21x2(x 0) ~1x2)2x213sinx~sinx~x(x 0) sinx1sinx1 1x3sinx tanxlim lim 3x 0(x21sinx1)x 02x x35证明无穷小的等价关系具有下列性质(1) ~ (自反性)(2) 若 ~ 则 ~ (对称性)(3)若 ~ ~ 则 ~ (传递性)证明 (1)lim 1所以 ~1从而lim 1因此 ~ (2) 若 ~ 则lim(3) 若 ~ ~习题18 lim lim lim 1 因此 ~1研究下列函数的连续性并画出函数的图形(1) x2 0 x 1 f(x) 2x 1 x 2解已知多项式函数是连续函数所以函数f(x)在[0 1)和(1 2]内是连续的在x 1处因为f(1) 1并且x 12f(x) lim(2x) 1 limf(x) limx 1lim x 1x 1x 1f(x) 1从而函数f(x)在x 1处是连续的所以limx 1综上所述，函数f(x)在[0 2]上是连续函数x 1 x 1 (2)f(x) 1 |x| 1解只需考察函数在x 1和x 1处的连续性在x 1处因为f(1) 1并且x 1limf(x) lim1 1 f(1) x 1x 1 x 1limf(x) lim x 1 f(1)所以函数在x 1处间断但右连续在x 1处因为f(1) 1并且x 1limf(x) lim x 1 f(1) limf(x) lim1 1 f(1) x 1x 1x 1所以函数在x 1处连续综合上述讨论函数在( 1)和(1 )内连续在x 1处间断但右连续2下列函数在指出的点处间断说明这些间断点属于哪一类如果是可去间断点则补充或改变函数的定义使它连续2x(1)y 21 x 1 x 2 x3x 2解 2(x1)(x1)xy 21 x3x2(x2)(x1)因为函数在x 2和x 1处无定义所以x 2和x 1是函数的间断点2xlimy lim21 因为x 2x 2x3x2所以x 2是函数的第二类间断点(x1)y lim 2所以x 1是函数的第一类间断点并且是可去因为limx 1x 1(x2)间断点在x 1处令y 2则函数在x 1处成为连续的(2)y x x k x k tanx2(k 0 1 2 )2 解函数在点x k (k Z)和x k (k Z)处无定义因而这些点都是函数的间断点因xlim k x (k 0) tanxx 1 tanxlimx k 故x k (k 0)是第二类间断点2 因为limx 0x 0(k Z) tanx所以x 0和x k (k Z) 是第一2类间断点且是可去间断点令y|x 0 1则函数在x 0处成为连续的令x k 时 y 0则函数在x k 处成为连续的2(3)y cos21 x 0 x2xx 解因为函数y cos21在x 0处无定义所以x 0是函数y cos21的间断点又因为limcos21不存在所以x 0是函数的第二类间断点x 0xx 1 x 1 (4)y 3 x x 1 x 1解因为xlim1f(x) lim(x1) 0limf(x) lim(3x) 2x 1x 1x 1所以x 1是函数的第一类不可去间断点 3讨论函数解2n1xf(x) limx的连续性 n 1x2n若有间断点判别其类型x |x| 12n 1xf(x) limx 0 |x| 1 n 1x2nx |x| 1f(x) lim(x) 1 lim f(x) lim x 1x 1x 1x 1lim 在分段点x 1处因为x1所以x 1为函数的第一类不可去间断点在分段点x 1处因为xlim 1f(x) lim x 1 limf(x) lim(x) 1x 1x 1x 1所以x 1为函数的第一类不可去间断点4证明若函数f(x)在点x0连续且f(x0) 0则存在x0的某一邻域U(x0)当x U(x0)时 f(x) 0证明不妨设f(x0)>0因为f(x)在x0连续所以xlimx的局部保号性定理存在x0的某一去心邻域U(x0)f(x) f(x0) 0由极限f(x)>0使当x U(x0)时从而当x U(x0)时 f(x)>0这就是说则存在x0的某一邻域U(x0)当x U(x0)时 f(x) 05试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子 (1)x 0 12无穷间断点1 n 1 是2nf(x)的所有间断点且它们都是解函数f(x) csc( x)csc 在点x 0 1 2 x 1 n 1 处是间断2n的且这些点是函数的无穷间断点(2)f(x)在R上处处不连续但|f(x)|在R上处处连续1 x Q 解函数f(x) 1 x Q在R上处处不连续但|f(x)| 1在R上处处连续(3)f(x)在R上处处有定义但仅在一点连续x x Q 解函数f(x) 在R上处处有定义它只在x 0处连续x x Q习题191求函数f(x) xlimf(x) x 233x2x3的连续区间 2x x6f(x)并求极限limx 0x 3limf(x)及33x2x3 (x3)(x1)(x1)f(x) x(x3)(x2)x x 6 解函数在( )内除点x 2和x 3外是连续的所以函数f(x)的连续区间为( 3)、(3 2)、(2 )在函数的连续点x 0处 limf(x) f(0) 1 x 02在函数的间断点x 2和x 3处limf(x) limx 2(x1)(x1)(x3)(x1)(x1) 8limf(x) limx 3x 3x 2x25(x3)(x2) 2设函数f(x)与g(x)在点x0连续证明函数(x) max{f(x) g(x)} (x) min{f(x) g(x)} 在点x0也连续证明已知xlim x可以验证(x) 1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]因此2 (x) 1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]2 (x0) 1[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ]2 (x0) 1[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ] 20f(x) f(x0)limg(x) g(x0) x x0因为lim (x) lim1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]x x0x x02 1[limf(x)limg(x)|limf(x)limg(x)| ]x x0x x0x x02x x01[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ] (x0) 2所以 (x)在点x0也连续同理可证明 (x)在点x0也连续3求下列极限(1)limx 0x 4x22x5 (sin2x)3 (2)limln(2cos2x) (3)limx 6(4)limx 0x11 xx4x (5)limx 1x 1(6)xlimsinx sina ax a(7)xlim(x2x x2x)解 (1)因为函数f(x) x 0x22x5是初等函数f(x)在点x 0有定义所以 limx22x5 f(0) 22 054 (2)因为函数f(x) (sin 2x)3是初等函数 f(x)在点x 有定义所以lim(sin2x)3 f( (sin2 3 1 44x 46 (3)因为函数f(x) ln(2cos2x)是初等函数 f(x)在点x 有定义所以limln(2cos2x) f( ) ln(2cos2 0 66x(4)limx 0x11 lim(x11)(x11) limxx 0x 0x(x11xx(x11) )11 111112 limx 0(5)limx 1x4x lim(x4xx4x)x 1x1(x1x4x) lim444x4 lim 2x 1x4xx 1(x1x4x) 142cosx asinx alimsinx sina lim(6)x ax ax ax asinx a cosa a 1 cosalimcosx a limx a2x a2222(x2x x2x)(x2x x2x)(x x x x) lim(7)xlim 22 x (x x x x)lim2x2 lim 1 x (x2x x2x)x (11)xx4求下列极限(1)xlim(2)limlnsinx x 0x1ex(11)2 (3)xlim x2x(13tan2x)cotx (4)limx 0x13x( (5)xlim 6x(6)limx 0tanx sinxx sin2x xlime e1lim1x 解 (1) (2) (3) x e0 1 limlnsinx ln(limsinx) ln1 0x 0x 0xxx1lim(1 2x x limx 11x2(1)x e 12(4)lim(13tan2x)cotx limx 02x 0 1(13tan2x)3tan2x3 e3x13x 3 (5)(6x) (16x)36x2因为3(1)3 e lim3 x1 3 xlim x 6x26x23x2 e2所以xlim 6x(tanx sinx)(sin2x1)tanx sinx lim(6)lim22x 0x 0x sinx xx(sinx1)(tanx sinx)2xtanx 2sin(ta nx sinx sinx1) lim limx 0xsin2x(tanx sinx)x 0xsinx22x (x21 limx 02x应当如何选择数a使得f(x)成为在( 5设函数 ex x 0f(x) a x x 0)内的连续函数？解要使函数f(x)在( )内连续只须f(x)在x 0处连续即只须 x 0limf(x) limf(x) f(0) a x 0x 0 x 0f(x) limex 1因为xlim 0x 0limf(x) lim(a x) a所以只须取a 1习题1101证明方程x53x 1至少有一个根介于1和2之间证明设f(x) x53x1则f(x)是闭区间[1 2]上的连续函数因为f(1) 3 f(2) 25 f(1)f(2) 0所以由零点定理在(1 2)内至少有一点(1 2)使f( ) 0即x 是方程x53x 1的介于1和2之间的根因此方程x53x 1至少有一个根介于1和2之间2证明方程x asinx b其中a 0 b 0至少有一个正根并且它不超过a b证明设f(x) asin x b x则f(x)是[0 a b]上的连续函数f(0) b f(a b) a sin (a b)b(a b) a[sin(a b)1] 0若f(a b) 0则说明x a b就是方程x asinx b的一个不超过a b的根若f(a b) 0则f(0)f(a b) 0由零点定理至少存在一点(0 a b)使f( ) 0这说明x 也是方程x=asinx b的一个不超过a b的根总之方程x asinx b至少有一个正根并且它不超过a b 3设函数f(x)对于闭区间[a b]上的任意两点x、y恒有|f(x)f(y)| L|x y|其中L为正常数且f(a) f(b) 0证明至少有一点 (a b)使得f( ) 0证明设x0为(a b)内任意一点因为所以 0 lim|f(x)f(x0)| limL|x x0| 0 x x0x x0x x0 lim|f(x)f(x0)| 0即 x x0limf(x) f(x0)因此f(x)在(a b)内连续同理可证f(x)在点a处左连续在点b处右连续所以f(x)在[a b]上连续因为f(x)在[a b]上连续且f(a) f(b) 0由零点定理至少有一点 (a b)使得f( ) 04若f(x)在[a b]上连续 a x1 x2 xn b则在[x1 xn]上至少有一点使f( ) f(x1)f(x2) f(xn) n证明显然f(x)在[x1 xn]上也连续设M和m分别是f(x)在[x1 xn]上的最大值和最小值因为xi [x1 xn](1 i n)所以有m f(xi) M从而有n m f(x1)f(x2) f(xn) n M m f(x1)f(x2)f(xn) Mn由介值定理推论在[x1 xn]上至少有一点使f( ) f(x)f(x) f(x) nf(x)存在则f(x)必在( 5证明若f(x)在( )内连续且xlim)内有界f(x) A则对于给定的 0存在X 0只要|x| X就有证明令xlim|f(x)A| 即A f(x) A又由于f(x)在闭区间[X X]上连续根据有界性定理存在M 0使|f(x)| M x [X X]取N max{M |A | |A |}则|f(x)| N x ()即f(x)在( )内有界6在什么条件下 (a b)内的连续函数f(x)为一致连续？总习题一1在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内(1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是xlim xx x00f(x)存在的________条件 limf(x)存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的________条件0 (3) f(x)在x0的某一去心邻域内无界是xlim xx x0f(x) 的________条件 limf(x) 是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的________条件(4)f(x)当x x0时的右极限f(x0)及左极限f(x0)都存在且相等是x x0limf(x)存在的________条件解 (1) 必要充分(2) 必要充分(3) 必要充分(4) 充分必要2选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论设f(x) 2x3x2则当x 0时有( )(A)f(x)与x是等价无穷小 (B)f(x)与x同阶但非等价无穷小(C)f(x)是比x高阶的无穷小 (D)f(x)是比x低阶的无穷小解xxxxf(x)232213 lim lim lim 1 因为limx 0xx 0x 0xx 0xxxxt ln3limu ln2ln3 ln2lim(令21 t 31 u)t 0ln(1t)u 0ln(1u)所以f(x)与x同阶但非等价无穷小故应选B3设f(x)的定义域是[0 1]求下列函数的定义域(1) f(ex)(2) f(ln x)(3) f(arctan x)(4) f(cos x)解 (1)由0 ex 1得x 0即函数f(ex)的定义域为( 0](2) 由0 ln x 1得1 x e 即函数f(ln x)的定义域为[1 e](3) 由0 arctan x 1得0 x tan 1即函数f(arctan x)的定义域为[0 tan 1](4) 由0 cos x 1得2n x 2n (n 0 1 2) 22即函数f(cos x)的定义域为[2n , n ] (n 0 12 ) 224设x 0 0 0 x 0 f(x) g(x) 2x x 0x x 0求f[f(x)] g[g(x)] f[g(x)] g[f(x)]0 x 0 解因为f(x) 0所以f[f(x)] f(x) x x 0因为g(x) 0所以g[g(x)] 0因为g(x) 0所以f[g(x)] 00 x 0 因为f(x) 0所以g[f(x)] f 2(x) 2 x x 05利用y sin x的图形作出下列函数的图形(1)y |sin x|(2)y sin|x|(3)y 2sinx 26把半径为R的一圆形铁片自中心处剪去中心角为的一扇形后围成一无底圆锥试将这圆锥的体积表为的函数解设围成的圆锥的底半径为r高为h依题意有R(2 ) 2 r222r R(2 ) 22R2(2 )24 h R r R R2 4 2圆锥的体积为V 13 R2(2 )2 24 R2R324 2(2 )2 4 a2 (0 2 )7根据函数极限的定义证明limx2x 6x 3x3 5证明对于任意给定的 0要使|x2x 6x35| 只需|x3| 取当0 |x3| 时就有|x3| 即|x2x65| 所以limx2x 6x3x 3x3 58求下列极限(1)limx2x 1x 1(x1)2(2)xlim x(x21x)(3)3xlim (2x2x1x1(4)limtanx sinxx 0x3(5)limxxx 0(a b cx3)(a 0 b 0 c 0)(6)lim(sinx)tanx x 2解 (1)因为lim(x1)2所以limx2x 1x 1x2x1 0 x 1(x1)(2)xlim x(x21x) x(x21x)(x21x)xlim (x21 x) x1xlim x21x xlim 1112x2x322x1x1() lim(1 lim(1)22(3)xlim 2x1x x 2x12x 1222(1)(1 2 xlim 2x12x 122(1) lim(1) e xlim x 2x12x 1sinx(11)sinx(1cosx)tanx sinx lim lim(4)limx 0x 0x 0x3x3x3cosxsinx 2sin2x2x (x)2lim 1 limx 0x 02x3cosxx3(提示用等价无穷小换)(a (5)limx 0x b3x cx)x lim(1a b c。

高等数学教材课后习题答案

高等数学教材课后习题答案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1. a) 题目: 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的定义域。

解答: 由于这是一个二次函数，定义域为全体实数R。

1. b) 题目: 求函数f(x) = \sqrt{x + 2}的定义域。

解答: 根据平方根的定义，要使得函数有意义，必须有x + 2 >= 0，即x >= -2，所以定义域为[-2, +∞)。

1.2 一元函数的极限2. a) 题目: 计算极限lim(x->2) (x^2 - 4) / (x - 2)。

解答: 这是一个常见的极限形式，可以通过因式分解或利用(x - a)的性质进行简化，得到lim(x->2) (x + 2) = 4。

2. b) 题目: 判断极限lim(x->0) (3x^2 - 2x) / (5x^2 - 4x)是否存在。

解答: 分子和分母的最高次项都是x^2，可以利用最高次项的系数求极限的方法进行计算。

结果为lim(x->0) (3x^2 - 2x) / (5x^2 - 4x) = 3/5。

1.3 连续性与导数3. a) 题目: 判断函数y = |x - 2| + x在点x = 2处是否连续。

解答: 在x = 2的左右两侧函数取值不同，所以函数y = |x - 2| + x在点x = 2处不连续。

3. b) 题目: 求函数y = sin(2x)的导数。

解答: 根据常见的导数公式，导数为dy/dx = 2cos(2x)。

第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质1. a) 题目: 求函数y = x^3 - 2x^2 + x的导数。

解答: 根据幂函数的求导规则，导数为dy/dx = 3x^2 - 4x + 1。

1. b) 题目: 求函数y = e^x的导数。

解答: 根据指数函数的求导规则，导数为dy/dx = e^x。

2.2 高阶导数与隐函数求导法2. a) 题目: 求函数y = sin(x) + cos(x)的二阶导数。

高等数学高教版课后习题答案

4
5 x 2
ax
C4 e
4
ax
（a 0）；
（9） y (C1 C2 x) sin x (C3 C4 x) cos x ；（10） y C1 C2 x (C3 C4 x)e x 。 2．（1） y
1 7 5 （2） y e 3 x e 3 x ； sin 2 x ； 2 6 6
25．提示：微分方程的解为 y 其中 k 为常数。
1 x 26．函数 f 满足的微分方程 y 2 (2 xy x 2 y ) ，特解： y 。 3 1 x3
§ 3 二阶线性微分方程 1．（1） y C1e 3 x C2 e 2 x ；（2） y C1e 3 x C2 e 3 x ；（3） y C1 cos 2 x C2 sin 2 x ；（4） y (C1 C 2 x)e ；（5） y (C1 C2 x)e 3 x ；（6） y C1e 4 x C2 ；（7） y C1 C2 e 3 x C3 e 2 x ；（8） y C1 cos 4 a x C2 sin 4 a x C3 e
x 3 3 3 2 e ；（3） y （4） y 2e 2 x 4 xe 2 x ； cos x sin x 2 3 2
（5） y
29 x 6 6 x 1 1 e e ；（6） y e 2 x 。 7 7 2 2
3． y C1e x C2 x x 2 1 。 4． y C1e x C2 (1 2 x) 。 5． y x sin x cos x ln(cos x) C1 cos x C2 sin x 。
（3） y ( x C ) cos x ；（4） y e 2 x Ce x ；（5） y 1 Ce x ；（6） y

高等数学(同济第七版下)课后习题及解答

1.设u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用a ，b ，c 表示2u -3v .解2u -3v =2（a -b +2c ）-3（-a +3b -c ）=5a -11b +7c .2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.证如图8-1，设四边形ABCD 中AC 与BD 交于M ，已知AM =MC ，MB DM =.故DC DM MC MB AM AB =+=+=.即DC AB //且|AB |=|DC |，因此四边形ABCD是平行四边形.3.把△ABC 的BC 边五等分，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与点A 连接.试以AB =c ,BC =a 表向量A D 1,A D 2,A D 3,A D4.证如图8-2，根据题意知511=BD a,5121=D D a,5132=D D a,5143=D D a,故A D 1=-（1BD AB +）=-51a -cA D 2=-（2BD AB +）=-52a -c A D 3=-（3BD AB +）=-53a -c A D 4=-（4BD AB +）=-54a -c.4.已知两点M 1（0，1，2）和M 2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量21M M 及-221M M .解21M M =（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）.-221M M =-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）.5.求平行于向量a =（6，7，-6）的单位向量.解向量a 的单位向量为a a ，故平行向量a 的单位向量为±a a =111±（6，7，-6）=⎪⎭⎫ ⎝⎛-±116,117,116，其中11)6(76222=-++=a .6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A （1，-2，3），B （2，3，-4），C （2，-3，-4），D （-2，-3，1）.解A 点在第四卦限，B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限.7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：A （3，4，0），B （0，4，3），C （3，0，0），D （0，-1，0）.解在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零，比如xOy 面上的点的坐标为（x 0，y 0，0），xOz 面上的点的坐标为（x 0，0，z 0），yOz 面上的点的坐标为（0，y 0，z 0）.在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如x 轴上的点的坐标为（x 0，0，0），y 轴上的点的坐标为（0，y 0，0），z 轴上的点的坐标为（0，0，z 0）.A 点在xOy 面上，B 点在yOz 面上，C 点在x 轴上，D 点在y 轴上.8.求点（a ，b ，c ）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标.解（1）点（a ，b ，c ）关于xOy 面的对称点（a ，b ，-c ），为关于yOz 面的对称点为（-a ，b ，c ），关于zOx 面的对称点为（a ，-b ，c ）.（2）点（a ，b ，c ）关于x 轴的对称点为（a ，-b ，-c ），关于y 轴的对称点为（-a ，b ，-c ），关于z 轴的对称点为（-a ，-b ，c ）.（3）点（a ，b ，c ）关于坐标原点的对称点是（-a ，-b ，-c ）.9.自点P 0），，（000z y x 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.解设空间直角坐标系如图8-3，根据题意，P 0F 为点P 0关于xOz面的垂线，垂足F 坐标为），，000(z x ；P 0D 为点P 0关于xOy 面的垂线，垂足D 坐标为），，0(00y x ；P 0E 为点P 0关于yOz 面的垂线，垂足E 坐标为)0(0o z y ，，.P 0A 为点P 0关于x 轴的垂线，垂足A 坐标为），0,0(o x ；P 0B 为点P 0关于y 轴的垂线，垂足B 坐标为)0,,0(0y ；P 0C 为点P 0关于z 轴的垂线，垂足C 坐标为),0,0(0z .10.过点P 0），，（000z y x 分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解如图8-4，过P 0且平行于z 轴的直线l 上的点的坐标，其特点是，它们的横坐标均相同，纵坐标也均相同.而过点P 0且平行于xOy 面的平面上的点的坐标，其特点是，它们的竖坐标均相同.11.一边长为a 的正方体放置在xOy 面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标.解如图8-5，已知AB=a ，故OA=OB=a 22，于是各顶点的坐标分别为A )0022(，，a ，B （），022,0(a ），C （-a 22，0，0），D （0，-a 22，0），E （a 22，0，a ），F （0，a 22，a ），G （-a 22，0，a ），H （0，-a 22，a ）.12.求点M （4，-3，5）到各坐标轴的距离.解点M 到x 轴的距离为d 1=345)3(22=+-，点M 到y 轴的距离为d 2=415422=+，点M 到z 轴的距离为d 3=525)3(422==-+.13.在yOz 面上，求与三点A （3，1，2），B （4，-2，-2），C （0，5，1）等距离的点.解所求点在yOz 面上，不妨设为P （0，y ，z ），点P 与三点A ，B ，C,)2()1(3222-+-+=z y,)2()2(4222++++=z y.)1()5(22-+-=z y==222222)2()2(4)2()1(3++++=-+-+z y z y 22)1()5(-+-=z y ，即.)1()5()2()1(9,)2()2(16)2()1(922222222-+-=-+-+++++=-+-+z y z y z y z y 解上述方程组，得y=1，z=-2.故所求点坐标为（0，1，-2）.14.试证明以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证由2798)63()14()102(,7)93()14()42(,7)96()11()410(222222222==-+++-==-+-+-==-+--+-=.+==故△ABC 为等腰直角三角形.15.设已知两点为M 1（4，2，1），M 2（3，0，2），计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角.解向量21M M =（3-4，0-2，2-1）=（-1，-2，-1），2412-1-222==++=）（）（.其方向余弦分别为cos α=-21，cos β=-22，cos γ=21.方向角分别为3,43,32πγπβπα===.16.设向量的方向余弦分别满足（1）cos α=0；（2）cos β=1；（3）cos α=cos β=0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解（1）由cos α=0得知2πα=，故向量与x 轴垂直，平行于yOz 面.（2）由cos β=1得知β=0，故向量与y 轴同向，垂直于xOz 面.（3）由cos α=cos β=0知2πβα==，故向量垂直于x 轴和y 轴，即与z 轴平行，垂直于xOy 面.17.设向量r 的模是4，它与u 轴的夹角为3π，求r 在u 轴上的投影.解已知|r |=4，则Prj u r=|r |cos θ=4∙cos 3π=4×21=2.18.一向量的终点在点B （2，-1，7），它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标.解设A 点坐标为（x ，y ，z ），则AB =（2-x ，-1-y ，7-z ），由题意知2-x=4，-1-y=-4，7-z=7，故x=-2，y=3，z=0，因此A 点坐标为（-2，-3，0）.19.设m =3i +4j +8k ，n =2i -4j -7k 和p =5i +j -4k .求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y轴上的分向量.解a=4m+3n-p=4（3i+5j+8k）+3（2i-4j-7k）-（5i+j-4k）=13i+7j+15k，a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为7j.1.设k j i b k j i a -+=--=2,23，求（1）b a b a ⨯⋅及；（2）b a 2b 3a 2-⨯⋅及）（；（3）b a ,的夹角的余弦.解（1）），（），，（1-2,12-1-3⋅=⋅b a ，）（）（）（31-2-21-13=⨯+⨯+⨯==⨯b a 121213---kj i =（5,1,7）.（2）1836)(63)2(-=⨯-=⋅-=⋅-b a b a )14,2,10()7,1,5(2)(22==⨯=⨯b a b a （3222222)1(21)2()1(33),cos(-++-+-+=⋅=b a b a b a 21236143==2.设c b a ,,为单位向量，满足.,0a c c b b a cb a ⋅+⋅+⋅=++求解已知,0,1=++===c b a c b a 故0=++⋅++）（）（c b a c b a .即0222222=⋅+⋅+⋅+++a c c b b a c b a .因此23-21222=++-=⋅+⋅+⋅）（c b a a c c b b a 3.已知M 1（1，-1，2），M 2（3,3,1）M 3（3,1,3）.求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.解21M M =（3-1,3-（-1）,1-2）=（2，4，-1）32M M =（3-3,1-3,3-1）=（0，-2，2）由于3221M M M M ⨯与3221,M M M M 同时垂直，故所求向量可取为M M M M a =）（由3221M M M M ⨯=220142--k j i=（6，-4，-4），17268)4()4(6222==-+-+=⨯知).172,172,173()4,4,6(1721--±=--±=a 4.设质量为100kg 的物体从点M1（3,1,8）沿直线移动到点M2（1,4,2），计算重力所作的功（坐标系长度单位为m ，重力方向为z 轴负方向）.解21M M =（1-3,4-1,2-8）=（-2，3，-6）F=（0,0，-100×9.8）=（0,0，-980）W=F ∙21M M =（0,0，-980）∙（-2,3，-6）=5880（J）.5.在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为x 1的点P 1处，有一与1OP 成角1θ的力F 1作用着；在O 的另一侧与点O 的距离为x 2的点P 2处，有一与2OP 成角2θ的力F 2作用着（图8-6），问1θ，2θ，x 1，x 2，21,F F 符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解如图8-6，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为0sin sin 222111=-θθx F x F ，即222111sin sin θθx F x F =.6.求向量），（4,3-4=a在向量）（1,2,2=b 上的投影.解236122)1,2,2()4,3,4(Pr 222==++⋅-=⋅=b b a a j b .7.设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a，问μλ与有怎样的关系，能使b a μλ+与z 轴垂直？解b a μλ+=λ（3,5，-2）+μ（2,1,4）=（μλμλμλ42,5,23+-++）.要b a μλ+与z 轴垂直，即要（b a μλ+）⊥（0,0,1），即（b a μλ+）∙（0，0,1）=0，亦即（μλμλμλ42,5,23+-++）∙（0,0,1）=0，故（μλ42+-）=0，因此μλ2=时能使b a μλ+与z 轴垂直.8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角.证如图8-7，设AB 是圆O 的直径，C 点在圆周上，要证∠ACB=2π，只要证明0=⋅BCAC 即可.由BC AC ⋅=)()(OC BO OC AO +⋅+=BO OC OC AO BO AO ⋅+⋅+⋅=0=+⋅-⋅+OC AO OC AO .故BC AC⊥,∠ACB为直角.9.已知向量j i c k j i b k j i a 23,32-=+-=+-=和，计算：（1）b c a c b a )()(⋅-⋅（2）)()(c b b a +⨯+（3）cb a ⋅⨯)(解（1）8)3,1,1()1,3,2(=-⋅-=⋅ba ，8)0,2,1()1,3,2(=-⋅-=⋅c a ，b c a c b a )()(⋅-⋅)24,8,0()3,1,1(8)0,2,1(8--=---=k i 248--=.（2）b a +=（2，-3,1）+（1，-1,3）=（3，-4,4），c b +=（1，-1,3）+（1，-2,0）=（2，-3,3），)()(c b b a +⨯+332443--=kj i k j --=--=)1,1,0(.（3）c b a ⋅⨯)(.2021311132=---=10.已知k j OBk i OA 3,3+=+=，求△OAB 的面积.解由向量积的几何意义知S △OAB⨯)1,3,3(310301--==⨯kj i OB OA，⨯191)3()3(22=+-+-=S △OAB219=11.已知),,(),,,(),,,(z y x z y x z y x c c c c b b b b a a a a ===，试利用行列式的性质证明：ba c a cbc b a ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯)()()(证因为,)(z yxz y xz y xc c c b b b a a a cb a =⋅⨯zyxz y x z y x a a a c c c b b b a c b =⋅⨯)(=⋅⨯b a c )(zyxz yxz y xb b b a a ac c c ，而由行列式的性质知z yxz y x z y x c c c b b b a a a z yx z y x z y x a a a c c c b b b ==zyxz y x z y x b b b a a a c c c ，故b ac a c b c b a ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯)()()(.12.试用向量证明不等式：332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++，其中321321,,,,,b b b a a a 为任意实数.并指出等号成立的条件.证设向量=a （321,,a a a ），=b （321,,b b b ）.由),cos(b a b a ba =⋅b a ≤，从而232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++≤++，当321,,a a a 与321,,b b b 成比例，即332211b a b a b a ==时，上述等式成立.1.求过点（3,0，-1）且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程.解所求平面与已知平面012573=-+-z y x 平行.因此所求平面的法向量可取为n=（3，-7，5），设所求平面为0573=++-D z y x .将点（3，0，-1）代入上式得D=-4.故所求平面方程为04573=-+-z y x .2.求过点M 0（2，9，-6）且与连接坐标原点及点M 0的线段OM 0垂直的平面方程.解.6,9,2(0）-=OM 所求平面与0OM 垂直，可取n=0OM ，设所求平面方程为0692=+-+D z y x .将点M 0（2，9，-6）代入上式得D=-121.故所求平面方程为0121692=--+z y x .3.求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程.解由0121111121212111=+---+----+--z y x ，得023=--z y x ，即为所求平面方程.注设M （x,y,z ）为平面上任意一点，)3,2,1)(,,(==i z y x M i i i i 为平面上已知点.由,0)(31211=⨯⋅M M M M MM 即,0131313121212111=---------z z y y x x z z y y x x z z y y x x 它就表示过已知三点M i （i=1,2,3）的平面方程.4.指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：（1）x=0;（2）3y-1=0;（3）2x-3y-6=0;（4）x-3y=0;（5）y+z=1;（6）x-2z=0;（7）6x+5y-z=0.解（1）—（7）的平面分别如图8—8（a ）—（g ）.（1）x=0表示yOz 坐标面.（2）3y-1=0表示过点（0,31,0）且与y 轴垂直的平面.（3）2x-3y-6=0表示与z 轴平行的平面.（4）x-3y=0表示过z 轴的平面.（5）y+z=1表示平行于x 轴的平面.（6）x-2z=0表示过y 轴的平面.（7）6x+5y-z=0表示过原点的平面.5.求平面0522=++-z y x 与各坐标面的夹角的余弦.解平面的法向量为n=（2，-2，1），设平面与三个坐标面xOy ，yOz ，zOx 的夹角分别为321,,θθθ.则根据平面的方向余弦知,3111)2(2)1,0,0()1,2,2(cos cos 2221=⋅+-+⋅-=⋅==k n k n γθ,3213)0,0,1()1,2,2(cos cos 2=⋅⋅-=⋅==i n i n αθ3213)0,1,0()1,2,2(cos cos 3-=⋅⋅-=⋅==j n j n βθ.6.一平面过点（1，0，-1）且平行于向量)1,1,2(=a 和)0,1,1(-=b ，试求这个平面方程.解所求平面平行于向量a 和b ，可取平面的法向量)3,1,1(011112-=-=⨯=kj i b a n .故所求平面为0)1(3)0(1)1(1=+--⋅+-⋅z y x ，即043=--+z y x .7.求三平面322,02,13=++-=--=++z y x z y x z y x 的交点.解联立三平面方程.322,02,13=++-=--=++z y x z y x z y x 解此方程组得.3,1,1=-==z y x故所求交点为（1，-1，3）.8.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于xOz 面且经过点（2，-5，3）；（2）通过z 轴和点（-3，1，-2）；（3）平行于x 轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）.解（1）所求平面平行于xOz 面，故设所求平面方程为0=+D By .将点（2，-5，3）代入，得05=+-D B ，即B D 5=.因此所求平面方程为05=+B By ，即05=+y .（2）所求平面过z 轴，故设所求平面为0=+By Ax .将点（-3，1，-2）代入，得03=+-B A ，即A B 3=.因此所求平面方程为03=+Ay Ax ，即03=+y x .（3）所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为0=++D Cz By .将点（4，0，-2）及（5，1，7）分别代入方程得2=+-D C 及07=++D C B .D B D C 29,2-==.因此，所求平面方程为0229=++-D z DDy ，即029=--z y .9.求点（1,2,1）到平面01022=-++zy x 的距离.解利用点),,(00o o z y x M 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离公式222000C B A DCz By Ax d +++++=.1332211012221222=-=++-⋅+⋅+=1.求过点（4，-1，3）且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程.解所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量)5,1,2(=s ，直线方程即为531124-=+=-z y x .2.求过两点)1,2,3(1-M 和)2,0,1(2-M 的直线方程.解取所求直线的方向向量)1,2,4()12),2(0,31(21-=-----==M M s ，因此所求直线方程为112243-=+=--z y x .3.用对称式方程及参数方程表示直线.42,1=++=+-z y x z y x 解根据题意可知已知直线的方向向量112111-=kj i s ).3,1,2(-=取x=0，代入直线方程得.4,1=+=+-z y z y 解得.25,23==z y 这样就得到直线经过的一点（25,23,0）.因此直线的对称式方程为.32512320-=-=--z y x 参数方程为.325,23,2t z t y t x +=+=-=注由于所取的直线上的点可以不同，因此所得到的直线对称式方程或参数方程得表达式也可以是不同的.4.求过点（2，0，-3）且与直线1253,0742=+-+=-+-z y x z y x 垂直的平面方程.解根据题意，所求平面的法向量可取已知直线的方向向量，即),11,14,16(253421-=--==kj i s n 故所求平面方程为.0)3(11)0(14)2(16=++-+--z y x 即.065111416=---z y x 5.求直线0123,09335=-+-=-+-z y x z y x 与直线01883,02322=-++=+-+z y x z y x 的夹角的余弦.解两已知直线的方向向量分别为),1,4,3(1233351-=--=k j i s ),10,5,10(1831222-=-=kj i s 因此，两直线的夹角的余弦212121),(cos cos s s s s s s ⋅== .010)5(10)1(4310154103222222=+-+-++⨯-⨯-⨯=6.证明直线72,72=++-=-+z y x z y x 与直线02,8363=--=-+z y x z y x 平行.证已知直线的方向向量分别是),15,3,9(112363),5,1,3(11212121---=---==--=kj i s k j i s 由123s s -=知两直线互相平行.7.求过点（0,2,4）且与两平面12=+zx 和23=-z y 平行的直线方程.解所求直线与已知的两个平面平行，因此所求直线的方向向量可取),1,3,2(31020121-=-=⨯=kj i n n s 故所求直线方程为.143220-=-=-z y x 注本题也可以这样解：由于所求直线与已知的两个平面平行，则可视所求直线是分别与已知平面平行的两平面的交线，不妨设所求直线为.3,2b z y a z x=-=+将点（0，2，4）代入上式，得.10,8-==b a 故所求直线为.103,82-=-=+z y z x 8.求过点（3，1，-2）且通过直线12354z y x =+=-的平面方程.解利用平面束方程，过直线12354z y x =+=-的平面束方程为,0)23(2354=-+=+=-z y y x λ将点（3，1，-2）代入上式得.2011=λ因此所求平面方程为,0)23(20112354=-+=+=-z y y x即.0592298=---z y x 9.求直线0,03=--=++z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.解已知直线的方向向量),2,4,2(111311-=--=k j is 平面的法向量).1,1,1(--=n 设直线与平面的夹角为,ϕ则,0)1()1(1)2(42)1()2()1(412),cos(sin 222222=-+-+-++-⋅-+-⋅+⋅=⋅==n s n s s n ϕ即.0=ϕ10.试确定下列各组中的直线和平面间的关系；（1）37423z y x =-+=-+和3224=--z y x ；（2）723z y x =-=和8723=+-z y x ；（3）431232--=+=-z y x 和.3=++z y x 解设直线的方向向量为s ，平面的法向量为n ，直线与平面的夹角为,ϕ且ns n s s n ⋅==),cos(sin ϕ.（1）),2,2,4(),3,7,2(--=--=ns,0)2()2(43)7()2()2(3)2()7(4)2(sin 222222=-+-+⋅+-+--⋅+-⋅-+⋅-=ϕ则.0=ϕ故直线平行于平面或在平面上，现将直线上的点A （-3，-4，0）代入平面方程，方程不成立.故点A 不在平面上，因此直线不在平面上，直线与平面平行.（2）),7,2,3(),7,2,3(-=-=n s 由于n s =或,17)2(37)2(377)2()2(33sin 222222=+-+⋅+-+⋅+-⋅-+⋅=ϕ知2πϕ=，故直线与平面垂直.（3）),1,1,1(),4,1,3(=-=n s 由于0=⋅n s 或,0111)4(131)4(1113sin 222222=++⋅-++⋅-+⋅+⋅=ϕ知,0=ϕ将直线上的点A （2，-2，3）代入平面方程，方程成立，即点A 在平面上.故直线在平面上.11.求过点（1,2,1）而与两直线1,012=-+-=+-+z y x z y x 和0,02=+-=+-z y x z y x 平行的平面的方程.解两直线的方向向量为),1,1,0(111112),3,2,1(11112121--=--=--=--=kj i s k j is取),1,1,1(11032121--=----=⨯=k j i s s n 则过点（1,2,1），以n 为法向量的平面方程为,0)1(1)2(1)1(1=-⋅--⋅+-⋅-z y x 即.0=+-z y x 12.求点（-1,2,0）在平面012=+-+z y x 上的投影.解作过已知点且与已知平面垂直的直线.该直线与平面的交点即为所求.根据题意，过点（-1,2,0）与平面012=+-+z y x 垂直的直线为,102211--=-=+z y x 将它化为参数方程,,22,1t z t y t x -=+=+-=代入平面方程得,01)()22(21=+--+++-t t t 整理得32-=t .从而所求点（-1,2,0）在平面012=+-+z y x 上的投影为（32,32,35-）.13.求点P （3，-1，2）到直线042,01=-+-=+-+z y x z y x 的距离.解直线的方向向量).3,3,0(112111--=--=kj i s 在直线上取点（1，-2，0），这样，直线的方程可表示成参数方程形式.3,32,1t z t y x -=--==（1）又，过点P （3，-1，2），以)3,3,0(--=s 为法向量的平面方程为,0)2(3)1(3=--+-z y 即.01=-+z y （2）将式（1）代入式（2）得21-=t ，于是直线与平面的交点为（23,21,1-），故所求距离为.223)232()211()13(222=-++-+-=d 14.设M 0是直线L 外一点，M 是直线L 上任意一点，且直线的方向向量为s ，试证：点M 0到直线L的距离d =.证如图8-9，点M 0到直线L 的距离为d.由向量积的几何意义知s ⨯表示以M M 0，s 为邻边的平行四边形的面积.而表示以s 为边长的该平面四边形的高，即为点M 0到直线L 的距离.于是d =15.求直线0923,042=---=+-z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线的方程.解作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平面与已知平面的交线即为所求.设过直线0923,042=---=+-z y x z y x 的平面束方程为,0)923(42=---++-z y x z y x λ经整理得.09)21()4()32(=--+--++λλλλz y x 由,01)21()1()4(4)32(=⋅-+-⋅--+⋅+λλλ得1113-=λ.代入平面束方程，得.0117373117=--+z y x 因此所求投影直线的方程为.14,0117373117=+-=--+z y x z y x 16.画出下列各平面所围成的立体的图形.（1）;012243,1,2,0,0,0=-++=====z y x y x z y x（2）.4,2,1,0,0yz y x z x =====解（1）如图8-10（a ）；（2）如图8-10（b ）.1.一球面过原点及A （4，0，0），B （1，3，0）和C （0，0，-4）三点，求球面的方程及球心的坐标和半径.解设所求球面的方程为2222)()()(R c z b y a x =-+-+-，将已知点的坐标代入上式，得,2222R c b a =++（1）,)4(2222R c b a =++-（2）,)3()1(2222R c b a =+-+-（3）2222)4(R c b a =+++，（4）联立（1）（2）得,2=a 联立（1）（4）得,2-=c 将2=a 代入（2）（3）并联立得b=1，故R=3.因此所求球面方程为,9)2()1()2(222=++-+-z y x 其中球心坐标为),2,1,2(-半径为3.2.建立以点（1，3，-2）为球心，且通过坐标原点的球面方程.解设以点（1，3，-2）为球心，R 为半径的球面方程为,)2()3()1(2222R z y x =++-+-球面经过原点，故,14)20()30()10(2222=++-+-=R 从而所求球面方程为.14)2()3()1(222=++-+-z y x 3.方程0242222=++-++z y x z y x 表示什么曲面？解将已知方程整理成,)6()1()2()1(2222=++++-z y x所以此方程表示以（1，-2，-1）为球心，以6为半径的球面.4.求与坐标原点O 及点（2,3,4）的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？解设动点坐标为（z y x ,,），根据题意有,21)4()3()2()0()0()0(222222=-+-+--+-+-z y x z y x 化简整理得.)2932()34()1()32(2222=+++++z y x 它表示以（34,1,32---）为球心，以2932为半径的球面.5.将xOz 坐标面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解以22z y +±代替抛物线方程x z 52=中的z ，得222)(z y +±x 5=，即x z y 522=+.注xOz 面上的曲线0),(=z x F 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为0),(22=+±z y x F .6.将xOz 坐标面上的圆922=+z x 绕z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解以22y x +±代替圆方程922=+z x 中的x ，得,9)(2222=++±z y x 即.9222=++z y x7.将xOy 坐标面上的双曲线369422=-y x分别绕x 轴及y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解以22zy +±代替双曲线方程369422=-y x中的y ，得该双曲线绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为,36)(942222=+±-z y x 即.36)(94222=+-z y x 以22zx +±代替双曲线方程369422=-y x中的x ，得该双曲线绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为,369)(42222=-+±y z x 即.369)(4222=-+y z x 8.画出下列各方程所表示的曲面：（1）;)2()2(222a y a x =+-（2）;19422=+-y x （3）;14922=+z x （4）;02=-z y （5）22x z-=.解（1）如图8-11（a ）；（2）如图8-11（b ）；（3）如图8-11（c ）；（4）如图8-11（d ）；（5）如图8-11（e ）.9.指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形：（1）;2=x （2）;1+=x y （3）;422=+y x（4）.122=-y x解（1）2=x 在平面解析几何中表示平行于y 轴的一条直线，在空间解析几何中表示与yOz 面平行的平面.（2）1+=x y在平面解析几何中表示斜率为1，y 轴截距也为1的一条直线，在空间解析几何中表示平行于z 轴的平面.（3）422=+y x在平面解析几何中表示圆心在原点，半径为2的圆，在空间解析几何中表示母线平行于z 轴，准线为0,422==+z y x 的圆柱面.（4）122=-y x在平面解析几何中表示以x 轴为实轴，y 轴为虚轴的双曲线，在空间解析几何中表示母线平行于z轴，准线为,122==-z y x 的双曲柱面.10.说明下列旋转曲面是怎样形成的：（1）;1994222=++z y x （2）;14222=+-z y x （3）;1222=--z y x （4）.)(222y x a z+=-解（1）1994222=++z y x 表示xOy 面上的椭圆19422=+y x 绕x轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示xOz 面的椭圆19422=+z x 绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面.（2）14222=+-z y x 表示xOy 面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示yOz 面的双曲线1422=+-z y 绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲面.（3）1222=--z y x表示xOy 面上的双曲线122=-y x 绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示xOz 面的双曲线122=-z x 绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面.（4）222)(y x a z+=-表示xOz 面上的直线a x z +=或a x z +-=绕z 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示yOz 面的直线a y z+=或a y z +-=绕z 轴旋转一周而生成的旋转曲面.11.画出下列方程所表示的曲面：（1）;44222=++z y x（2）;44222=--z y x（3）.94322y x z +=解（1）如图8-12（a ）；（2）如图8-12（b ）；（3）如图8-12（c ）；12.画出下列各曲面所围立体的图形：（1）1,03,0,3,022=+=-=-==y x y x y x z z（在第一卦限内）；（2）222222,,0,0,0R z y R y x z y x =+=+===（在第一卦限内）.解（1）如图8-13所示；（2）如图8-14所示.1.画出下列曲线在第一卦限内的图形；（1）;2,1==y x （2）;0,422=---=yxyx z（3）.,222222a z x a y x =+=+解（1）如图8-15（a ）；（2）如图8-15（b ）；（3）如图8-15（c ）.2.指出下列方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形：（1）;32,15-=+=x y x y （2）.3,19422==+y y x 解（1）32,15-=+=x y x y 在平面解析几何中表示两直线的交点.在空间解析几何中表示两平面的交线，即空间直线.（2）3,19422==+y y x 在平面解析几何中表示椭圆19422=+y x 与其切线3=y 的交点，即切点.在空间解析几何中表示椭圆柱面19422=+y x 与其切平面3=y 的交线，即空间直线.3.分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线0,162222222=-+=++y z x z y x 的柱面方程.解在,162222222=-+=++y z x z y x 中消去x ，得,16322=-z y 即为母线平行于x 轴且通过已知曲线的柱面方程.在,162222222=-+=++y z x z y x 中消去y ，得,162322=+z x 即为母线平行于y 轴且通过已知曲线多的柱面方程.4.求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影的方程.解在1,9222=+=++z x z y x 中消去z ，得,9)1(222=-++x y x 即,82222=+-y x x它表示母线平行于z轴的柱面，故0,82222==+-z y x x 表示已知交线在xOy 面上的投影的方程.5.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）;,9222x y z y x ==++（2）.0,4)1()1(222==+++-z z y x解（1）将x y=代入,9222=++z y x 得,9222=+z x 取,cos 23t x =则,sin 3t z =从而可得该曲线的参数方程tz t y t x sin 3,cos 23,cos 23===（t ≤0˂π2）（2）将z=0代入,4)1()1(222=+++-z y x 得,3)1(22=+-y x 取,cos 31t x =-则,sin 3t y =从而可得该曲线的参数方程0,sin 3,cos 31==+=z t y t x （t ≤0˂π2）6.求螺旋线θθθb z a y a x ===,sin ,cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解由θθsin ,cos a y a x==得,222a y x =+故该螺旋线在xOy 面上的投影曲线的直角坐标方程为,222==+z a y x 由θθb z a y ==,sin 得bza y sin =，故该螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标方程为0,sin ==x bza y 由θθb z a x ==,cos 得,cos b za x =故故该螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标方程为.0,cos ==y bza x 7.求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体a ax y x (22≤+>0)的公共部分在xOy 面和xOz 面上的投影.解如图8-16.所求立体在xOy 面上的投影即为ax y x ≤+22，而由axy x y x a z =+--=22222,得.2ax a z -=故所求立体在xOz 面上的投影为由x 轴，z 轴及曲线ax a z-=2所围成的区域.8.求旋转抛物面)40(22≤≤+=z y x z在三坐标面上的投影解联立422=+=z y x z ，得422=+y x.故旋转抛物面在xOy面上的投影为.0,422=≤+z y x 如图8-17.联立0,22=+=x y x z 得,2y z=故旋转抛物面在yOz 面上的投影为2y z=及4=z 所围成的区域.同理，联立0,22=+=y y x z 得,2x z =故旋转抛物面在xOz 面上的投影为2x z=及4=z 所围成的区域.。

高等数学第七版教材答案详解

高等数学第七版教材答案详解1. 课后习题答案1.1 第一章：函数与极限1.1.1 习题1解答1.1.2 习题2解答...1.2 第二章：导数与微分1.2.1 习题1解答1.2.2 习题2解答...1.3 第三章：微分中值定理与导数的应用1.3.1 习题1解答1.3.2 习题2解答...2. 课后思考题答案2.1 第一章：函数与极限2.1.1 思考题1解答2.1.2 思考题2解答...2.2 第二章：导数与微分2.2.1 思考题1解答2.2.2 思考题2解答...2.3 第三章：微分中值定理与导数的应用2.3.1 思考题1解答2.3.2 思考题2解答...3. 课后习题详解3.1 第一章：函数与极限3.1.1 习题1详解3.1.2 习题2详解...3.2 第二章：导数与微分3.2.1 习题1详解3.2.2 习题2详解...3.3 第三章：微分中值定理与导数的应用3.3.1 习题1详解3.3.2 习题2详解...在这篇文章中，我将给出《高等数学第七版》教材的习题答案和课后思考题答案的详细解析。

为了方便阅读，我将按章节划分答案，并提供习题和思考题的解答。

如果你在学习过程中遇到了困惑，希望这些答案能够帮助你更好地理解相关的数学概念和解题方法。

首先，我将给出每章节的课后习题答案。

在习题解答中，我将详细解释每个题目的解题思路和步骤，并给出最终答案。

你可以根据自己的需要，选择性地查看想要解答的习题。

接下来是课后思考题答案的解析。

这些思考题往往比较有挑战性，需要一定的思考和推导。

我将为每个思考题提供解答，希望能够帮助你在思考和解决问题时找到正确的方向。

最后，我将给出课后习题的详细解析。

在这一部分中，我将逐题逐题地分析解题思路，并给出详细的步骤和推导过程。

通过仔细研究这些解析，你可以更好地理解每个题目的解法，并且提高自己的解题能力。

总之，在这篇文章中，我将为你提供《高等数学第七版》教材的习题答案和课后思考题答案的详细解析。

高等数学(第六版)课后习题(完整版)及答案

高等数学课后答案习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞), A ⋂B =[-10, -5), A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明 (1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ); (2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ⇔ y ∈f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ), 所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明: (1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A . (2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A .6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x xy --=;解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xx y 1arctan 3+-=;解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)xe y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞). 7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)x x y -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0l n )()l n ()l n (2121221121<+-=+-+=-x xx x x x x x y y ,所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数. (2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;(3)2211x xy +-=;(4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x aa y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数. (5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数. (6)因为)(22)()()(x f a a a ax f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);解是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;解是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ; 解不是周期函数. (5)y =sin 2x .解是周期函数, 周期为l =π. 14. 求下列函数的反函数: (1)31+=x y ;解由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1. (2)xx y +-=11;解由x x y +-=11得y yx +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11.(3)dcx b ax y ++=(ad -bc ≠0);解由d cx b ax y ++=得a cy bdy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=.(4) y =2sin3x ;解由y =2sin 3x 得2arcsin 31yx =, 所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =.(5) y =1+ln(x +2);解由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.(6)122+=x xy .解由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为xx y -=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即-M ≤f (x )≤M . 这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; 解 y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy .(2) y =sin u , u =2x , 81π=x ,42π=x ;解 y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy . (3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y . (4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;解 2x e y =, 1201==e y , e e y ==212.(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1. 解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域: (1) f (x 2);解由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1]. (2) f (sin x );解由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为 [2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) . (3) f (x +a )(a >0);解由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ]. (4) f (x +a )+f (x -a )(a >0).解由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ], 当21>a 时函数无意义.18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||11||01||1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 001)]([x x x x g f .⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g . 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40︒(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域.图1-37解 40sin hDC AB ==, 又从)]40cot 2([21Sh BC BC h =⋅++ 得h hS BC ⋅-=40cot 0, 所以h h S L 40sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0,040cot 0>⋅-h hS确定, 定义域为40cot 00S h <<.20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数; (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0.01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75. 当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0.01=91-0. 01x . 综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.091100090x x x x p . (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 15160010001.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P . (3) P =31⨯1000-0.01⨯10002=21000(元).习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限: (1)nn x 21=; 解当n →∞时, nn x 21=→0, 021lim =∞→n n . (2)nx n n 1)1(-=;解当n →∞时, n x n n 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→nn n .(3)212nx n +=; 解当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→n n . (4)11+-=n n x n ;解当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n .(5) x n =n (-1)n .解当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限.2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N .解 0lim =∞→n n x .n n n x n 1|2c o s||0|≤=-π. ∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n -0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000.3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→n n ;分析要使ε<=-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim2=∞→n n .(2)231213lim =++∞→n n n ;分析要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n .证明因为∀ε>0, ∃]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n .(3)1lim 22=+∞→na n n ; 分析要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >. 证明因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<-+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→na n n .(4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 分析要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|ε<=-1101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|<ε , 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4. a u n n =∞→lim , 证明||||lim a u n n =∞→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞→n n y , 证明: 0lim =∞→n n n y x .证明因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6. 对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞),证明: x n →a (n →∞).证明因为x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k -1>2K 1-1时, 有| x 2k -1-a |<ε ; ∃K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k -a |<ε .取N =max{2K 1-1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞). 习题1-31. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ;分析因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|,所以要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε31|3|<-x .证明因为∀ε>0, ∃εδ31=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 所以要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x .证明因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x -2|<δ时, 有 |(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22-=+--→x x x ; 分析因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x ,所以要使ε<--+-)4(242x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim 22-=+--→x x x .(4)21241lim 321=+--→x x x . 分析因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x ,所以要使ε<-+-212413x x , 只须ε21|)21(|<--x . 证明因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 321=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x xx ; 分析因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x . 证明因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有 ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x xx . (2)0sin lim =+∞→xx x .分析因为x xx x x 1|s i n |0s i n≤=-.所以要使ε<-0sin xx , 只须ε<x1, 即21ε>x . 证明因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<-0s i n xx , 所以0sin lim =+∞→xx x .3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？解由于当x →2时, |x -2|→0, 故可设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x .取δ=0.0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001.4. 当x →∞时, 13122→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?解要使01.034131222<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X . 5. 证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零. 证明因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.因为对∀ε>0, ∃δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε, 所以0||lim 0=→x x .6. 求,)(x x x f = xx x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在.证明因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f , 11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ, )(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞→)(lim .证明因为A x f x =-∞→)(lim , A x f x =+∞→)(lim , 所以∀ε>0,∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ; ∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞→)(lim .8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有 |f (x )-A |<ε .因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有 |f (x )-A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有 | f (x )-A |<ε , 即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |. 习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim 0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+-=x xy 当x →3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+-=x xy 为无穷小.(2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数x x y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使|y |>104？证明分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+<M x .证明因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21,所以当x →0时, 函数xx y 21+=是无穷大.取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104. 4. 求下列极限并说明理由:(1)xx x 12lim +∞→;(2)xxx --→11lim 20.解 (1)因为xx x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x x x +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=--→x x x .5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:f (x )→Af (x )→∞f (x )→+∞f (x )→-∞x→x 0 ∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ时,有恒|f (x )-A |<ε.x →x 0+x →x 0-x →∞∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时,有恒|f (x )|>M .x →+∞x →-∞解 f (x )→A f (x )→∞ f (x )→+∞ f (x )→-∞ x →x 0∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ∀M >0, ∃δ>0, 使当∀M >0, ∃δ>0, 使当∀M >0, ∃δ>0, 使当时, 有恒|f (x )-A |<ε.0<|x -x 0|<δ时, 有恒|f (x )|>M .0<|x -x 0|<δ时, 有恒f (x )>M .0<|x -x 0|<δ时, 有恒f (x )<-M .x→x 0+ ∀ε>0, ∃δ>0,使当0<x -x 0<δ时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀M >0,∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒|f (x )|>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒f (x )>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒f (x )<-M .x →x 0- ∀ε>0, ∃δ>0,使当0<x 0-x <δ时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀M >0,∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒|f (x )|>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒f (x )>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒f (x )<-M .x →∞∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒f (x )<-M .x →+∞∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )<-M .x →-∞∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒f (x )<-M .6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明函数x x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M . 习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim22-+→x x x ;解 9325235lim222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx xx x x 2324lim 2230++-→;解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2x x x +-∞→;解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ;解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x . (8)13lim 242--+∞→x x xx x ;解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim nn +⋅⋅⋅+++∞→;解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n .(13)35)3)(2)(1(limnn n n n +++∞→; 解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31xx x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112l i m 21-=+++-=→x x x x .2. 计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x x x x ;解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x xx ;解 ∞=+∞→12lim2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim22-+→x x x ;解 9325235lim222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx xx x x 2324lim 2230++-→;解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2xx x +-∞→; 解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ;解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x . (8)13lim 242--+∞→x x xx x ;解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零).或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x .(9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→; 解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n .(12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n .(14))1311(lim 31xx x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112l i m 21-=+++-=→x x x x . 2. 计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2limx x x x .(2)12lim 2+∞→x x x ;解 ∞=+∞→12lim2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题 1-71. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解因为02lim 2lim202320=--=--→→xx x x x x x x x , 所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2).2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim212131=++=-++-=--→→→x x x x x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2xx -.证明 (1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0), 所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x , 所以当x →0时, 2~1s e c2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xx x 23tan lim 0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数);(3)x x x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x . 解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2s i n t a n 2)1(c o s t a n t a n s i n x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~s i n ~1s i n 1s i n 1s i n1++=-+(x →0),所以 33121l i m )1s i n 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→xx x x x x x x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim =αα, 所以α ~α ;(2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim =αβ. 因此β~α ;(3) 若α ~β, β~γ, 1lim lim lim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ.习题1-81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;解已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x . 所以1)(lim 1=→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f .解只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性. 在x =-1处, 因为f (-1)=-1, 并且)1(11l i m )(l i m 11-≠==---→-→f x f x x , )1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ,所以函数在x =-1处间断, 但右连续.在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1l i m )(l i m 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1), 所以函数在x =1处连续.综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x xy , x =1, x =2;解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x xy x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的.(2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点.因∞=→x x k x tan lim π(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim 0=→x x x ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=, x =0;解因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点. 又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点. (4)⎩⎨⎧>-≤-=1311x x x x y , x =1.解因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x , 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3. 讨论函数x x x x f nnn 2211lim)(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f nn n . 在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x , 所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x , 由极限的局部保号性定理, 存在x 0的某一去心邻域)(0x U , 使当x ∈)(0x U时f (x )>0, 从而当x ∈U (x 0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点; 解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n 1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;解函数⎩⎨⎧∉∈-=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续.解函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Q x x x x x f)(在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.习题1-91. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞).在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim)(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x . 2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续.证明已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim 20+-→x x x ;。

高等数学同济第七版上册课后习题答案

习题1-11.求下列函数的自然定义域：(1)1(3)(5)sin (7)arcsin(3);(9)ln(1);y y x y y x y x ====-=+211(2);1(4);(6)tan(1);1(8)arctan ;(10).xe y xy y x y xy e =-==+=+=解：2(1)3203x x +≥⇒≥-，即定义域为2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭2(2)101,x x -≠⇒≠±即定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞(3)0x ≠且2100x x -≥⇒≠且1x ≤即定义域为[)(]1,00,1-⋃2(4)402x x ->⇒<即定义域为(2,2)-(5)0,x ≥即定义域为[)0,+∞(6)1(),2x k k Z ππ+≠+∈即定义域为1(1,2x x R x k k Z π⎧⎫∈≠+-∈⎨⎬⎩⎭且(7)3124,x x -≤⇒≤≤即定义域为[]2,4(8)30x -≥且0x ≠，即定义域为(](,0)0,3-∞⋃(9)101x x +>⇒>-即定义域为(1,)-+∞(10)0,x ≠即定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞2.下列各题中，函数()f x 和()g x是否相同？为什么？222(1)()lg ,()2lg (2)(),()(3)()()(4)()1,()sec tan f x x g x x f x x g x f x g x f x g x x x========-解：（1）不同，因为定义域不同（2）不同，因为对应法则不同，,0(),0x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩（3）相同，因为定义域，对应法则均相同（4）不同，因为定义域不同3.设sin ,3()0,3x x x x πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩求(),((),(2),644πππϕϕϕϕ--并指出函数()y x ϕ=的图形解：1()sin ,()sin 66244()sin(),(2)0,44ππππϕϕππϕϕ====-=-=-=()y x ϕ=的图形如图11-所示4.试证下列函数在指定区间内的单调性：(1);1(2)ln ,(0,)xy xy x x =-=++∞证明：1(1)()1,(,1)11x y f x x x===-+-∞--设121x x <<，因为212112()()0(1)(1)x x f x f x x x --=>--所以21()(),f x f x >即()f x 在(,1)-∞内单调增加(2)()ln ,(0,)y f x x x ==++∞设120x x <<，因为221211()()ln 0x f x f x x x x -=-+>所以21()()f x f x >即()f x 在(0,)+∞内单调增加5.设()f x 为定义在(,)l l -内的奇函数，若()f x 在(0,)l 内单调增加，证明()f x 在(,0)l -内也单调增加证明：设120l x x -<<<，则210x x l<-<-<由()f x 是奇函数，得2121()()()()f x f x f x f x -=-+-因为()f x 在(0,)l 内单调增加，所以12()()0f x f x --->即()f x 在(,0)l -内也单调增加6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(,)l l -上的。

同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)1

习题8-31. 求下列函数的全微分: (1)yx xy z +=;解 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy y x x dx y y )()1(2-++=.(2)xy e z =;解 xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=∂∂+∂∂=.(3) 22y x yz +=;解因为2/3222322)()(21y x xy y x y x z +-=+-=∂∂-, 2/3222222222)(y x x y x y x yy y x y z +=++⋅-+=∂∂, 所以 dy y x x dx y x xy dz 2/32222/322)()(+++-=)()(2/322xdy ydx y x x -+-=.(4)u =x yz . 解因为1-⋅=∂∂yz x yz x u , x zx yu yz ln =∂∂, x yx z u yz ln =∂∂,所以 xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=-.2. 求函数z =ln(1+x 2+y 2)当x =1, y =2时的全微分. 解因为2212y x x x z ++=∂∂, 2212y x y y z ++=∂∂, 3121=∂∂==y x xz, 3221=∂∂==y x y z , 所以 dy dx dz y x 323121⋅+===.3. 求函数xyz =当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时的全增量和全微分.解因为xy x x y y z -∆+∆+=∆, y x x x ydz ∆+∆-=12, 所以, 当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时,119.0211.02)2.0(1-=-+-+=∆z , 125.0)2.0(211.041-=-⨯+⨯-=dz .4. 求函数z =e xy 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时的全微分. 解因为y xe x ye y yz x x z dz xy xy ∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=所以, 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时, e e e dz 25.01.015.0=⋅+⋅=.*5. 计算33)97.1()102(+的近似值. 解设33y x z +=, 由于y yz x x z y x y y x x ∆∂∂+∆∂∂++≈∆++∆+3333)()(332233233yx y y x x y x +∆+∆++=,所以取x =1, y =2, ∆x =0.02, ∆y =-0.03可得95.2212)03.0(2302.0321)97.1()02.1(32333=+-⋅⋅+⋅++≈+. *6. 计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693). 解设z =x y , 由于y yz x x z x x x y y y ∆∂∂+∆∂∂+≈∆+∆+)(y x x x yx x y y y ∆+∆+=-ln 1,所以取x =2, y =1, ∆x =-0.03, ∆y =0.05可得(1.97)1.05≈2-0.03+2ln2⋅0.05+1.97+0.0693 ≈2.093.*7( 已知边长为x(6m 与y(8m 的矩形( 如果x 边增加5cm 而y 边减少10cm(问这个矩形的对角线的近似变化怎样？解矩形的对角线为22y x z +=,)(122y y x x yx y dy dz x dx dz dz z ∆+∆+=∆+∆=≈∆,当x =6, y =8, ∆x =0.05, ∆y =-0.1时,05.0)1.0805.06(86122-=⋅-⋅+≈∆z .这个矩形的对角线大约减少5cm .*8. 设有一无盖圆柱形容器, 容器的壁与底的厚度均为0.1cm , 内高为20cm ,内半径为4厘米, 求容器外壳体积的近似值. 解圆柱体的体积公式为V =πR 2h , ∆V ≈dV =2πRh ∆R +πR 2∆h , 当R =4, h =20, ∆R =∆h =0.1时,∆V ≈2⨯3.14⨯4⨯20⨯0.1+3.14⨯42⨯0.1≈55.3(cm 3), 这个容器外壳的体积大约是55.3cm 3.*9. 设有直角三角形, 测得其两腰的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm , 试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差. 解设两直角边的长度分别为x 和y , 则斜边的长度为22y x z +=.||||||||||||y y z x x z dz z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤≈∆|)|||(122y y x x yx ∆+∆+=.令x =7, y =24, |∆x |≤0.1, |∆y |≤0.1, 则得斜边长度z 的绝对误差约为124.0)1.0241.07(247122=⋅+⋅+=z δcm .*10. 测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m 和78±0.1m ,这两边的夹角为60︒±1︒, 试求三角形面积的近似值, 并求其绝对误差和相对误差.解设三角形的两边长为x 和y , 它们的夹角z , 为则三角形面积为z xy s sin 21=.zdz xy zdy x zdx y dS cos 21sin 21sin 21++=||cos 21||sin 21||sin 21||||dz z xy dy z x dx z y dS S ++≤≈∆.令x =63, y =78, 3π=z , |dx |=0.1, |dy |=0.1, 180π=dz , 则55.2718021278631.0232631.023278=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≈πδs ,82.21273sin 786321=⋅⋅⋅=πS ,%29.182.212755.27==S s δ,所以三角形面积的近似值为2127.82m 2, 绝对误差为27.55m 2, 相对误差为1.29%.*11. 利用全微分证明: 两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和.证明设u =x +y , 则||||||||||||y x y x y yu x x u du u ∆+∆≤∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=≈∆.所以两数之和的绝对误差|∆u |等于它们各自的绝对误差|∆x |与|∆y |的和.*12. 利用全微分证明: 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和. 证明设u =xy , y x v =, 则∆u ≈du =ydx +xdy ,2yxdyydx dv v -=≈∆, 由此可得相对误差;||||||||y dy x dx xy xdy ydx u du u u +=+=≈∆||||||||yyx x y dy x dx ∆+∆=+≤;||||||||2y dy x dx yx y xdy ydx v dv v v -=⋅-==∆||||||||y yx x y dy x dx ∆+∆=+≤.习题8-41. 设z =u 2-v 2, 而u =x +y , v =x -y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅1=2(u +v )=4x ,y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅(-1)=2(u -v )=4y .2. 设z =u 2ln v , 而y x u =, v =3x -2y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂31ln 22⋅+⋅=v u y v u 222)23(3)23ln(2y y x x y x y x -+-=, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)2()(ln 222-+-⋅=v u y x v u 2232)23(2)23ln(2yy x x y x y x ----=. 3. 设z =e x -2y , 而x =sin t , y =t 3, 求dtdz .解 dtdyy z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅-⋅+=--)6(cos )6(cos 22sin 223t t e t t e t t y x -=-=--.4. 设z =arcsin(x - y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dtdz .解 dt dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=22212)(113)(11t y x y x ⋅---+⋅--= 232)43(1)41(3t t t ---=. 5. 设z =arctan(xy ), 而y =e x , 求dxdz .解 dx dy y z x z dx dz ⋅∂∂+∂∂=xxxe x x e e y x x y x y 2222221)1(11++=⋅+++=.6. 设1)(2+-=a z y e u ax , 而y =a sin x , z =cos x , 求dxdu .解 dxdz dz u dx dyy u x u dx du ⋅∂+⋅∂∂+∂∂=)sin (1cos 11)(222x a e x a a e a z y ae ax ax ax -⋅+-⋅+++-= )sin cos cos sin (122x x a x a x a a e ax ++-+=x e ax sin =. 7. 设yx z arctan =, 而x =u +v , y =u -v , 验证22v u v uv z u z +-=∂∂+∂∂. 证明 )()(v yy z v x x z u y y z u x x z v z u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂+∂∂)()(111)(11222y x yx y y x -⋅++⋅+=)1()()(111)(11222-⋅-⋅++⋅++y x yx y y x22222v u v u y x y +-=+=. 8. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数): (1) u =f (x 2-y 2, e xy );解将两个中间变量按顺序编为1, 2号, 2122212)()(f ye f x xe f x y x f x u xy xy '+'=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂, 212)2212)((f xe f y ye f y y x f y u xy xy '+'-=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂. (2)) ,(zyy x f u =;解 1211)()(f y z yx f y x x f x u '=∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂,)()(21z yy f y x y f y u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂2121f z f y x '+'-=,)()(21z y z f z x z f z u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂22f z y '⋅-=. (3) u =f (x , xy , xyz ).解 yz f y f f xu ⋅'+⋅'+⋅'=∂∂3211321f yz f y f '+'+'=,3232f xz f x xz f x f y u '+'=⋅'+⋅'=∂∂,33f xy xy f zu '=⋅'=∂∂.9. 设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z yz y x z x +=∂∂+∂∂⋅. 证明 y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([y u u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .10. 设)(22y x f yz -=, 其中f (u )为可导函数, 验证 211y z y z y x z x =∂∂+∂∂.证明 ()()u f f xy u f x f y x z 2222'-=⋅'⋅-=∂∂, ()()u f f y u f u f y f y u f y z 2222)(1)2()('-+=-⋅'⋅-=∂∂, 所以 )(11221122u f y u f f y u f f y y z y x z x ⋅+'+'-=∂∂⋅+∂∂⋅211yz zy y =⋅.11. 设z =f (x 2+y 2), 其中f 具有二阶导数, 求22x z ∂∂, y x z ∂∂∂2, 22y z ∂∂.解令u =x 2+y 2, 则z =f (u ), f x xu u f x z '=∂∂'=∂∂2)(,f y yu u f y z '=∂∂'=∂∂2)(,f x f x u f x f x z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂2224222,f xy yu f x y x z ''=∂∂⋅''=∂∂∂422,f y f yu f y f y z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂422222. 12. 求下列函数的22x z ∂∂,y x z ∂∂∂2,22yz ∂∂(其中f 具有二阶连续偏导数): (1) z =f (xy , y );解令u =xy , v =y , 则z =f (u , v ).ufy v f y u f x v v f x u u f x z ∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂0,vfu f x v f x u f y v v f y u u f y z ∂∂+∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂1.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )()()(22uf x y u f y x x z x x z ∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂222222222)0()(u f y v u f y u f y x v v u f x u u f y ∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=,)(1)()(2uf y y u f u f y y x z y y x z ∂∂∂∂+∂∂⋅=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ )(222yvv u f y u u f y u f ∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂= v u fy u f xy u f v u f x u f y u f ∂∂∂+∂∂+∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂+∂∂=222222)1(,)()()()(22vf y u f y x v f u f x y y z y y z∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ y vv f y u u v f y v v u f y u u f x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=222222)( 1)1(222222⋅∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂=vfx u v f v u f x u f x2222222vfv u f x u f x ∂∂+∂∂∂+∂∂=. (2)) ,(yx x f z =;解令u =x ,yx v =, 则z =f (u , v ).v fy u f x v v f dx du u f x z ∂∂⋅+∂∂=∂∂⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂1,vfy x dy dv v f y z ∂∂⋅-=⋅∂∂=∂∂2.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )(1)()1()(22v f x y u f x v f y u f x x z x x z ∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(1)(222222xvv f dx du u v f y x v v u f dx du u f ∂∂⋅∂∂+⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+⋅∂∂=22222212vfy v u f y u f ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂=,)1()(2vf y u f y x z y y x z ∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂)(1)1()(v f y y v f y dy d u f y ∂∂∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂∂∂= y vv f y v f y y v v u f ∂∂⋅∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂⋅∂∂∂=22211 2232221vf y x v f y v u f y x ∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂∂⋅-= )()()(2222vf y y x v f y x y y z y y z∂∂∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂22423222322v f y x v f y x y v v f y x v f y x ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂⋅-∂∂⋅=. (3) z =f (xy 2, x 2y );解 z x =f 1'⋅y 2+f 2'⋅2xy =y 2f 1'+2xyf 2', z y =f 1'⋅2xy +f 2'⋅x 2=2xyf 1'+x 2f 2';z xx =y 2[f 11''⋅y 2+f 12''⋅2xy ]+2yf 2''+2xy [f 21''⋅y 2+f 22''⋅2xy ] =y 4f 11''+2xy 3f 12''+2yf 2''+2xy 3f 21''+4x 2y 2 f 22'' =y 4f 11''+4xy 3f 12''+2yf 2''+4x 2y 2 f 22'',z xy =2y f 1'+y 2[f 11''⋅2xy +f 12''⋅x 2]+2xf 2'+2xy [f 21''⋅2xy +f 22''⋅x 2] =2y f 1'+2xy 3f 11''+x 2y 2 f 12''+2xf 2'+4x 2y 2f 21''+2x 3yf 22'' =2y f 1'+2xy 3f 11''+5x 2y 2 f 12''+2xf 2'+2x 3yf 22'', z yy =2xf 1'+2xy [f 11''⋅2xy +f 12''⋅x 2]+x 2[f 21''⋅2xy +f 22''⋅x 2] =2xf 1'+4x 2y 2f 11''+2x 3y f 12''+2x 3yf 21''+x 4f 22'' =2xf 1'+4x 2y 2f 11''+4x 3y f 12''+x 4f 22''. (4) z =f (sin x , cos y , e x +y ).解 z x =f 1'⋅cos x + f 3'⋅e x +y =cos x f 1'+e x +y f 3', z y =f 2'⋅(-sin y )+ f 3'⋅e x +y =-sin y f 2'+e x +y f 3', z xx =-sin x f 1'+cos x ⋅(f 11''⋅cos x + f 13''⋅e x +y ) +e x +y f 3'+e x +y (f 31''⋅cos x + f 33''⋅e x +y ) =-sin x f 1'+cos 2x f 11''+e x +y cos x f 13''+e x +y f 3' +e x +y cos x f 31''+e 2(x +y ) f 33''=-sin x f 1'+cos 2x f 11''+2e x +y cos x f 13''+e x +y f 3'+e 2(x +y ) f 33'', z xy =cos x [f 12''⋅(-sin y )+ f 13''⋅e x +y ] +e x +y f 3'+e x +y [f 32''⋅(-sin y )+ f 33''⋅e x +y ] =-sin y cos x f 12''+e x +y cos x f 13' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32'+e 2(x +y )f 33' =-sin y cos x f 12''+e x +y cos x f 13'' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32''+e 2(x +y )f 33'',z yy =-cos y f 2'-sin y [f 22''⋅(-sin y )+ f 23''⋅e x +y ] +e x +y f 3'+e x +y [f 32''⋅(-sin y )+ f 33''⋅e x +y ] =-cos y f 2'+sin 2y f 22''-e x +y sin y f 23'' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32''+ f 33''⋅e 2(x +y )=-cos y f 2'+sin 2y f 22''-2e x +y sin y f 23''+e x +y f 3'+f 33''⋅e 2(x +y ). 13. 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 而23t s x -=,23t s y +=, 证明2222)()()()(t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂及22222222t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.证明因为y u x u s yy u s x x u s u ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2321yu x u t yy u t x x u t u ∂∂⋅+∂∂⋅-=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2123所以2222)2123()2321()()(y u x u y u x u t u s u ∂∂+∂∂-+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂22)()(y u x u ∂∂+∂∂=. 又因为)2321()(22yu x u s s u s s u∂∂⋅+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(23)(21222222s y y u s x x y u s y y x u s x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂= )2321(23)2321(21222222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅= 22222432341yu y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅=,)2123()(22yu x u t t u t t u∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(21)(23222222t y y u t x x y u t y y x u t x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂-= )2123(21)2123(23222222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-+∂∂∂⋅+∂∂⋅--= 22222412343y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-∂∂⋅=, 所以 22222222yu x u t u s u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.习题8-51. 设sin y +e x -xy 2=0, 求dxdy . 解令F (x , y )=sin y +e x -xy 2, 则F x =e x -y 2, F y =cos y -2xy ,xyy e y xy y y e F F dx dy xy x 2cos 2cos 222--=---=-=. 2. 设x y y x arctan ln 22=+, 求dxdy .解令xyy x y x F arctan ln ),(22-+=, 则22222222)()(11221y x y x x y xy y x x y x F x ++=-⋅+-+⋅+=,22222221)(11221y x x y x xy y x y y x F y +-=⋅+-+⋅+=, yx y x F F dx dyy x -+=-=. 3. 设022=-++xyz z y x , 求x z ∂∂及y z ∂∂.解令xyz z y x z y x F 22),,(-++=, 则 xyz yz F x -=1, xyzxz F y -=2, xyz xyF z -=1, xy xyz xyz yz F F x z z x --=-=∂∂, xy xyz xyz xz F F y z z y --=-=∂∂2. 4. 设y z z x ln =, 求x z ∂∂及y z ∂∂,解令yz z x z y x F ln ),,(-=, 则 z F x 1=, y y z y z F y 1)(12=-⋅-=, 2211z z x y yz z x F z +-=⋅--=, 所以 z x z F F x z z x +=-=∂∂, )(2z x y z F F yz z y +=-=∂∂.5. 设2sin(x +2y -3z )=x +2y -3z , 证明1=∂∂+∂∂y z x z证明设F (x , y , z )=2sin(x +2y -3z )-x -2y +3z , 则 F x =2cos(x +2y -3z )-1, F y =2cos(x +2y -3z )⋅2-2=2F x , F z =2cos(x +2y -3z )⋅(-3)+3=-3F x ,313=--=-=∂∂x x z x F F F F x z ,3232=--=-=∂∂x x z y F F F F yz , 于是13231=+=--=∂∂+∂∂z z z x F F F F y z x z . 6. 设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y )都是由方程F (x , y , z )=0所确定的具有连续偏导数的函数, 证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂x z z yy x .解因为x y F F y x -=∂∂, y z F F z y -=∂∂, zx F F x z -=∂∂, 所以 1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x . 7. 设ϕ(u , v )具有连续偏导数, 证明由方程ϕ(cx -az , cy -bz )=0 所确定的函数z =f (x , y )满足 c y z b x z a =∂∂+∂∂.证明因为vu uv u u b a c b a c x z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂, vu v v u v b a c b a c y z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂, 所以 c b a c b b a c a y z b x z a vu vv u u =+++⋅=∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ.8. 设e z-xyz =0, 求22xz∂∂.解设F (x , y , z )=e z -xyz , 则F x =-yz , F z =e z -xy , xye yzF F x z z z x -=-=∂∂,222)()()()(xy e y x z e yz xy e x z y x z x x z z z z --∂∂--∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222)()(xy e xye yzyze xy ye z y zz z z ----+=32232)(22xy e e z y z xy ze y z zz ---=. 9. 设z 3-3xyz =a 3, 求yx z ∂∂∂2. 解令F (x , y , z )=z 3-3xyz -a 3, 则 xyz yzxy z yz F F x z z x -=---=-=∂∂22333,xyz xzxy z xz F F y z z y -=---=-=∂∂22333, )()(22xyz yz y x z y y x z -∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ 222)()2())((xy z x yz z yz xy z y z y z --∂∂--∂∂+= 22222)()2()()(xy z x xyz xz z yz xy z xy z xz yz -----⋅-+=322224)()2(xy z y x xyz z z ---=. 10. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: (1)设⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z , 求dx dy , dx dz ;解视y =y (x ), z =z (x ), 方程两边对x 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=064222dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-xdx dzz dxdy y x dx dz dx dy y 3222.解方程组得 )13(2)16(++-=∂∂z y z x x y , 13+=z x dx dz.(2)设⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x , 求dz dx ,dz dy ; 解视x =x (z ), y =y (z ), 方程两边对z 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++022201z dz dy y dz dx x dz dy dz dx , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+zdz dy y dzdxx dz dy dz dx 2221.解方程组得y x z y z x --=∂∂, yx xz z y --=∂∂. (3)设⎩⎨⎧-=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u , 其中f , g 具有一阶连续偏导数, 求x u ∂∂,xv ∂∂; 解视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边对x 求偏导得 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅'+-∂∂⋅'=∂∂∂∂⋅'+∂∂+⋅'=∂∂x v yv g xu g x v x vf x u x u f x u 21212)1()( ,即 ⎪⎩⎪⎨⎧'=∂∂⋅⋅-'+∂∂'''-=∂∂⋅'+∂∂-'121121)12()1(g x v g yv xu g f u x v f x u f x .解之得1221221)12)(1()12(g f g yv f x g f g yv f u x u ''--'-'''--''-=∂∂,1221111)12)(1()1(g f g yv f x f u f x g x v ''--'-'-'+''=∂∂.(4)设⎩⎨⎧-=+=vu e y v u e x uu cos sin , 求x u ∂∂, y u ∂∂, x v ∂∂, y v ∂∂. 解视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边微分得 ⎩⎨⎧+-=++=vdv u vdu du e dy vdv u vdu du e dx uu sin cos cos sin , 即 ⎩⎨⎧=+-=++dy vdv u du v e dx vdv u du v e u u sin )cos (cos )sin (, 从中解出du , dv 得 dy v v e v dx v v e v du uu 1)cos (sin cos 1)cos (sin sin +--++-=, dy v v e u e v dx v v e u e v dv u uuu ]1)cos (sin [sin ]1)cos (sin [cos +-+++--=, 从而1)cos (sin sin +-=∂∂v v e v x u u , 1)cos (sin cos +--=∂∂v v e v y u u, ]1)cos (sin [cos +--=∂∂v v e u e v x v u u , ]1)cos (sin [sin +-+=∂∂v v e u e v y v u u. 11. 设y =f (x , t ), 而t 是由方程F (x , y , t )=0所确定的x , y 的函数, 其中f , F 都具有一阶连续偏导数, 试证明:tF y F t f x F t f t F x f dx dy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=.证明由方程组⎩⎨⎧==0),,(),(t y x F t x f y 可确定两个一元隐函数⎩⎨⎧==)()(x t t x y y , 方程两边对x 求导可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=0dx dt t F dx dy y F x F dxdtt f x f dx dy ,移项得 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂-=∂∂+⋅∂∂∂∂=⋅∂∂-x F dx dt t F dx dy y F x f dx dt t f dx dy , 在01≠∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂-=y F t f t F tF y F t fD 的条件下 yFt f t F xFt f t F x f t F x F t f x f D dx dy ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂-∂∂-∂∂⋅=1. 习题8-61. 求曲线x =t -sin t , y =1-cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12 (-π处的切线及法平面方程.解 x '(t )=1-cos t , y '(t )=sin t , 2cos 2)(t t z ='. 因为点)22 ,1 ,12 (-π所对应的参数为2π=t , 故在点)22 ,1 ,12(-π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T . 因此在点)22 ,1 ,12 (-π处, 切线方程为22211121-=-=-+z y x π, 法平面方程为0)22(2)1(1)12(1=-+-⋅++-⋅z y x π, 即422+=++πz y x .2. 求曲线t t x +=1, t t y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程. 解 2)1(1)(t t x +=', 21)(t t y -=', z '(t )=2t .在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,41(-=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,21(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为 21124121-=--=-z y x , 即8142121-=--=-z y x ; 法平面方程为0)1(2)2()21(41=-+---z y x , 即2x -8y +16z -1=0.3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m -x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程.解设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m -x的两边对x 求导, 得m dx dy y 22=, 12-=dxdz z , 所以y m dx dy =, z dxdz 21-=. 曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(00z y m -=T , 所求的切线方程为0000211z z z y m y y x x --=-=-, 法平面方程为0)(21)()(00000=---+-z z z y y y m x x . 4. 求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程.解设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-++053203222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+2533222dxdz dx dy x dx dz z dx dy y . 解此方程组得z y z x dx dy 61015410----=, zy y x dx dz 610946---+=. 因为169)1,1,1(=dx dy , 161)1,1,1(-=dx dz , 所以)161 ,169 ,1(=T . 所求切线方程为1611169111--=-=-z y x , 即1191161--=-=-z y x ; 法平面方程为0)1(161)1(169)1(=---+-z y x , 即16x +9y -z -24=0. 5. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4.解已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).因为x '=1, y '=2t , z '=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以T ⋅n =0, 即1+4t +3t 2=0,解得t =-1, 31-=t . 于是所求点的坐标为(-1, 1, -1)和)271 ,91 ,31(--. 6. 求曲面e z -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程. 解令F (x , y , z )=e z -z +xy -3, 则n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z -1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),点(2,1, 0)处的切平面方程为1⋅(x -2)+2(y -1)+0⋅(z -0)=0, 即x +2y -4=0,法线方程为02112-=-=-z y x . 7. 求曲面ax 2+by 2+cz 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的切平面及法线方程. 解令F (x , y , z )=ax 2+by 2+cz 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2ax , 2by , 2cz )=(ax , by , cz ).在点(x 0, y 0, z 0)处, 法向量为(ax 0, by 0, cz 0), 故切平面方程为ax 0(x -x 0)+by 0(y -y 0)+cz 0(z -z 0)=0,即 202020000cz by ax z cz y by x ax ++=++, 法线方程为00000cz z z by y y ax x x -=-=-.8. 求椭球面x 2+2y 2+z 2=1上平行于平面x -y +2z =0的切平面方程.解设F (x , y , z )=x 2+2y 2+z 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2x , 4y , 2z )=2(x , 2y , z ).已知切平面的法向量为(1, -1, 2). 因为已知平面与所求切平面平行, 所以2121z y x =-=, 即z x 21=, z y 41-=, 代入椭球面方程得1)4(2)2(222=+-+z z z ,解得1122±=z , 则1122±=x , 11221 =y . 所以切点坐标为)1122,11221,112(±± . 所求切平面方程为0)1122(2)11221()112(=±+-±z y x , 即 2112±=+-z y x . 9. 求旋转椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 x O y 面的法向为n 1=(0, 0, 1).令F (x , y , z )=3x 2+y 2 +z 2-16, 则点(-1, -2, 3)处的法向量为 n 2=(F x , F y , F z )|(-1, -2, 3)=(6x , 2y , 2z )|(-1, -2, 3)=(-6, -4, 6). 点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦为22364616||||cos 2222121=++⋅=⋅⋅=n n n n θ.10. 试证曲面a z y x =++(a >0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证明设a z y x z y x F -++=),,(, 则)21,21,21(zy x =n . 在曲面上任取一点M (x 0, y 0, z 0), 则在点M 处的切平面方程为 0)(1)(1)(1000000=-+-+-z z z y y y x x x ,即 a z y x z z y y x x =++=++000000. 化为截距式, 得1000=++az z ay y ax x , 所以截距之和为a z y x a az ay ax =++=++)(000000.习题8-71. 求函数z =x 2+y 2在点(1, 2)处沿从点(1, 2)到点)32 ,2(+的方向的方向导数.解因为从点(1, 2)到点)32 ,2(+的向量为)3 ,1(=l , 故 )cos ,(cos )23 ,21(||βα===l l e l . 又因为22)2,1()2,1(==∂∂x x z , 42)2,1()2,1(==∂∂y y z , 故所求方向导数为321234212cos cos +=⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 2. 求函数z =ln(x +y )在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 沿这抛物线在该点处偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解方程y 2=4x 两边对x 求导得2yy '=4, 解得yy 2='. 在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 切线的斜率为y '(1)=1, 切向量为l =(1, 1), 单位切向量为)cos ,(cos )21 ,21(βα==l e . 又因为31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x x z , 31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x y z , 故所求方向导数为3221312131cos cos =⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 3. 求函数)(12222b y a x z +-=在点)2,2(b a 处沿曲线12222=+b y a x 在这点的内法线方向的方向导数.解令1),(2222-+=by a x y x F , 则22a x F x =, 22b y F y =. 从而点(x , y )处的法向量为)2 ,2() ,(22by a x F F y x ±=±=n . 在)2,2(b a 处的内法向量为 )2 ,2()2 ,2()2,2(22ba b y a x ba-=-=n , 单位内法向量为)cos ,(cos ) ,(2222βα=+-+-=b a a b a b n e . 又因为aa x x zbab a 22)2,2(2)2,2(-=-=∂∂, b b y y zb a b a 22)2,2(2)2,2(-=-=∂∂, 所以 βαcos cos yz x z n z ∂∂+∂∂=∂∂222222b a a b b a b a +⋅++⋅=222b a ab+=.4. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点(1, 1, 2)处沿方向角为3 πα=, 4 πβ=, 3πγ=的方向的方向导数. 解因为方向向量为)21 ,22 ,21()cos ,cos ,(cos ==γβαl , 又因为1)()2,1,1(2)2,1,1(-=-=∂∂yz y x u , 0)2()2,1,1()2,1,1(=-=∂∂xz xy y u , 11)3()2,1,1(2)2,1,1(=-=∂∂xy z z u , 所以 γβαcos cos cos zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 5211122021)1(=⋅+⋅+⋅-=. 5. 求函数u =xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5, 1, 2)到点(9, 4, 14)的方向的方向导数.解因为l =(9-5, 4-1, 14-2)=(4, 3, 12),)1312 ,133 ,134(||==l l e l , 并且 2)2,1,5()2,1,5(==∂∂yz xu ,10)2,1,5()2,1,5(==∂∂xz y u , 5)2,1,5()2,1,5(==∂∂xy z u , 所以 γβαcos cos cos zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 139813125133101342=⋅+⋅+⋅=. 6. 求函数u =x 2+y 2+z 2在曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)处, 沿曲线在该点的切线正方向(对应于t 增大的方向)的方向导. 解曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)对应的参数为t =1, 在点(1, 1,1)的切线正向为)3 ,2 ,1()3 ,2 ,1(12===t t t l ,)143,142,141(||==l l e l , 又 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂x x u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂y y u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂z z u , 所以 γβαcos cos cos )1,1,1(zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 1412143214221412=⋅+⋅+⋅=. 7. 求函数u =x +y +z 在球面x 2+y 2+z 2=1上点(x 0, y 0, z 0)处, 沿球面在该点的外法线方向的方向导数.解令F (x , y , z )=x 2+y 2+z 2-1, 则球面x 2+y 2+z 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的外法向量为)2 ,2 ,2() , ,(000),,(000z y x F F F z y x z y x ==n , )cos ,cos ,(cos ) , ,(||000γβα===z y x n n n e , 又 1=∂∂=∂∂=∂∂zu y u x u , 所以 γβαcos cos cos zu y u x u n u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 000000111z y x z y x ++=⋅+⋅+⋅=.8. 设f (x , y , z )=x 2+2y 2+3z 2+xy +3x -2y -6z , 求grad f (0, 0, 0)及grad f (1, 1, 1).解 32++=∂∂y x x f , 24-+=∂∂x y yf , 66-=∂∂z z f . 因为 3)0,0,0(=∂∂x f, 2)0,0,0(-=∂∂yf, 6)0,0,0(-=∂∂z f , 6)1,1,0(=∂∂x f , 3)1,1,0(=∂∂y f, 0)1,1,0(=∂∂z f,所以 grad f (0, 0, 0)=3i -2j -6k ,grad f (1, 1, 1)=6i +3j .9. 设u , v 都是 x , y , z 的函数, u , v 的各偏导数都存在且连续, 证明(1) grad (u +v )=grad u + grad v ;解 k j i zv u y v u x v u v u ∂+∂+∂+∂+∂+∂=+)()()()(grad k j i )()()(zv z u y v y u x v x u ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)()(k j i k j i zv y v x v z u y u x u ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= v u grad grad +=.(2) grad (uv )=v grad u +u grad v ;解 k j i zuv y uv x uv uv ∂∂+∂∂+∂∂=)()()()(grad k j i )()()(z v u z u v y v u y u v x v u x u v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= )()(k j i k j i zv y v x v u z u y u x u v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= =v grad u +u grad v .(3) grad (u 2)=2u grad u .解 k j i z u y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=2222)(grad k j i zu u y u u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=222 u u zu y u x u u grad 2)(2=∂∂+∂∂+∂∂=k j i .10. 问函数u =xy 2z 在点p (1, -1, 2)处沿什么方向的方向导数最大? 并求此方向导数的最大值.解 k j i k j i 222 xy xyz z y zu y u x u u ++=∂∂+∂∂+∂∂=grad , k j i k j i +-=++=--42)2()2 ,1 ,1( )2,1,1(22xy xyz z y u grad .grad u (1, -1, 2)为方向导数最大的方向, 最大方向导数为 211)4(2|)2 ,1 ,1( 222=+-+=-u grad |.习题8-81. 求函数f (x , y )=4(x -y )-x 2-y 2的极值.解解方程组⎩⎨⎧=--==-=024),(024),(y y x f x y x f yx , 求得驻点为(2,-2). f xx =-2, f xy =0, f yy =-2,在驻点(2,-2)处, 因为f xx f yy -f xy 2=(-2)(-2)-0=4>0, f xx =-2<0,所以在点(2, -2)处, 函数取得极大值, 极大值为f (2, -2)=8.2. 求函数f (x , y )=(6x -x 2)(4y -y 2)的极值.解解方程组⎩⎨⎧=--==--=0)24)(6(),(0)4)(26(),(22y x x y x f y y x y x f yx , 得驻点(0, 0), (0, 4), (3, 2), (6, 0), (6,4).函数的二阶偏导数为f xx (x , y )=-2(4y -y 2), f xy (x , y )=4(3-x )(2-y ), f yy (x , y )=-2(6x -x 2). 在点(0, 0)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-242=-242<0,所以f (0, 0)不是极值;在点(0, 4)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-(-24)2=-242<0,所以f (0, 4)不是极值.在点(3, 2)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=(-8)⨯(-18)-02=8⨯18>0, f xx =-8<0,所以f (3, 2)=36是函数的极大值.在点(6, 0)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-(-24)2=-242>0,所以f (6, 0)不是极值.在点(6, 4)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-242=-242>0,所以f (6, 4)不是极值.综上所述, 函数只有一个极值, 这个极值是极大值f (3, 2)=36. 3. 求函数f (x , y )=e 2x (x +y 2+2y )的极值.解解方程组⎩⎨⎧=+==+++=0)22(),(0)1422(),(222y e y x f y y x e y x f x yx x , 得驻点)1 ,21(-. f xx (x , y )=4e 2x (x +y 2+2y +1), f xy (x , y )=4e 2x (y +1), f yy (x , y )=2e 2x . 在驻点)1 ,21(-处, 因为 f xx ⋅f yy -f xy 2=2e ⋅2e -02=4e 2>0, f xx =2e >0, 所以2)1 ,21(e f -=-是函数的极小值. 4. 求函数z =xy 在适合附加条件x +y =1下的极大值.解由x +y =1得y =1-x , 代入z =xy , 则问题化为求z =x (1-x )的无条件极值.x dxdz 21-=, 222-=dx z d . 令,0=dx dz 得驻点21=x . 因为022122<-==x dx zd , 所以21=x 为极大值点, 极大值为41)211(21=-=z . 5. 从斜边之长为l 的一切直角三角形中, 求有最大周界的直角三角形.解设直角三角形的两直角边之长分别为x , y , 则周长 S =x +y +l (0<x <l , 0<y <l ).因此, 本题是在x 2+y 2=l 2下的条件极值问题, 作函数 F (x , y )=x +y +l +λ(x 2+y 2-l 2).解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=222021021ly x y F x F y x λλ, 得唯一可能的极值点2l y x ==. 根据问题性质可知这种最大周界的直角三角形一定存在, 所以斜边之长为l 的一切直角三角形中, 周界最大的是等腰直角三角形.6. 要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池, 应如何选择水池的尺寸方可使表面积最小.解设水池的长为x , 宽为y , 高为z , 则水池的表面积为 S =xy +2xz +2yz (x >0, y >0, z >0).本题是在条件xyz =k 下, 求S 的最大值.作函数F (x , y , z )=xy +2xz +2yz +λ(xyz -k ).解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++==++==++=k xyz xy y x F xz z x F yz z y F z y x 0220202λλλ, 得唯一可能的极值点)221 ,2 ,2(333k k k . 由问题本身可知S 一定有最小值, 所以表面积最小的水池的长和宽都应为.23k 高为3221k . 7. 在平面xOy 上求一点, 使它到x =0, y =0及x +2y -16=0三直线距离平方之和为最小.解设所求点为(x , y ), 则此点到x =0的距离为|y |, 到y =0的距离为|x |, 到x +2y -16=0的距离为221|162|+-+y x , 而距离平方之和为 222)162(51-+++=y x y x z . 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=∂∂=-++=∂∂0)162(5420)162(522y x y y z y x x x z , 即{03292083=-+=-+y x y x . 得唯一的驻点)516 ,58(, 根据问题的性质可知, 到三直线的距离平方之和最小的点一定存在, 故)516 ,58(即为所求. 8( 将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体( 问矩形的边长各为多少时( 才可使圆柱体的体积为最大？解设矩形的一边为x , 则另一边为(p -x ), 假设矩形绕p -x 旋转, 则旋转所成圆柱体的体积为V =πx 2(p -x ).由0)32()(22=-=--=x p x x x p x dx dV πππ, 求得唯一驻点p x 32=. 由于驻点唯一, 由题意又可知这种圆柱体一定有最大值, 所以当矩形的边长为32p 和3p 时, 绕短边旋转所得圆柱体体积最大. 9. 求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体.解设球面方程为x 2+y 2+z 2=a 2, (x , y , z )是它的各面平行于坐标面的内接长方体在第一卦限内的一个顶点, 则此长方体的长宽高分别为2x , 2y , 2z , 体积为V =2x ⋅2y ⋅2z =8xyz .令 F (x , y , z )=8xyz +λ(x 2+y 2+z 2-a 2) .解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+==+==+=2222028028028a z y x z xy F y xz F x yz F z y x λλλ, 即⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+=+2222040404a z y x z xy y xz x yz λλλ, 得唯一驻点)3,3,3(a a a . 由题意可知这种长方体必有最大体积, 所以当长方体的长、宽、高都为32a 时其体积最大. 10. 抛物面z =x 2+y 2被平面x +y +z =1截成一椭圆, 求原点到这椭圆的最长与最短距离.解设椭圆上点的坐标(x , y , z ), 则原点到椭圆上这一点的距离平方为d 2=x 2+y 2+z 2, 其中x , y , z 要同时满足z =x 2+y 2和x +y +z =1. 令 F (x , y , z )=x 2+y 2+z 2+λ1(z -x 2-y 2)+λ2(x +y +z -1).解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++==+-==+-=02022022212121λλλλλλz F y y F x x F z y x , 得驻点231±-==y x , 32 =z . 它们是可能的两个极值点, 由题意这种距离的最大值和最小值一定存在, 所以距离的最大值和最小值在两点处取得, 因为在驻点处359)32()231(2222222 =+±-=++=z y x d , 所以3591+=d 为最长距离;3592-=d 为最短距离.总习题八1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)f (x , y )在(x , y )可微分是f (x , y )在该点连续的______条件, f (x , y )在点连续是f (x , y )在该点可微分的______条件.解充分; 必要.(2)z =f (x , y )在点(x , y )的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在是f (x , y )在该点可微分的______条件, z = f (x , y )在点(x , y )可微分是函数在该点的偏导数x z ∂∂及y z ∂∂存在的______条件. 解必要; 充分.(3)z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂在(x , y )存在且连续是f (x , y )在该点可微分的______条件. 解充分. (4)函数z =f (x , y )的两个二阶偏导数y x z ∂∂∂2及xy z ∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的______条件.解充分.2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设函数f (x , y )在点(0, 0)的某邻域内有定义, 且f x (0, 0)=3, f y (0, 0)=-1, 则有______.(A )dz |(0, 0)=3dx -dy .(B )曲面z =f (x , y )在点(0, 0, f (0, 0))的一个法向量为(3, -1, 1).(C )曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点(0, 0, f (0, 0))的一个切向量为(1, 0, 3). (D )曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点(0, 0, f (0, 0))的一个切向量为(3, 0, 1). 解 (C ).3. 求函数)1ln(4),(222y x y x y x f ---=的定义域, 并求),(lim )0,21(),(y x f y x →. 解函数的定义域为{(x , y )| 0<x 2+y 2<1, y 2≤4x }因为D ∈)0 ,21(, 故由初等函数在定义域内的连续性有 43ln 2)1ln(4)1ln(4lim ),(lim )0,21(222222)0,21(),()0,21(),(=---=---=→→y x y x y x y x y x f y x y x .。

高等数学(工本)课后习题答案

5．求顶点为 A（2,5,0），B（11,3,8），C（5,1,11）的三角形各边的长度．
AB = AC =
(2 − 11) 2 + (5 − 3) 2 + (0 − 8) 2 = (2 − 5) 2 + (5 − 1) 2 + (0 − 11) 2 =
149 ； BC= 146 ．
(11 − 5) 2 + (3 − 1) 2 + (8 − 11) 2= 7 ；
（3） (m − n)(a + b) − (m + n)(a − b) ．
(m − n)(a + b) − (m + n)(a − b)
= (m − n)a + (m − n)b − (m + n)a + (m + n)b = 2(mb − na )
2．设向量 u = i − j + 2k ， v =− i + 3 j − k ，计算 2u − 3v ．
量和坐标轴的关系如何？（1）由 cos α = 0 可知该向量垂直于 x 轴；（2）由 cos β = 1 可知该向量与 y 轴同向；（3）由 cos α = 0 及 cos β = 0 可知该向量垂直于 x 轴与 y 轴，即该向量与 z 轴平行． 7．求向量 a = {1, 2,1} 的单位化向量 a ，并求 a 与各个坐标轴的夹角．
（1） a （2） a ， b ；（2） a 与 b 的夹角 θ ． b；
= （1） a （2） a b= {1,1, −4} {2, −2,1} = −4 ；

2 12 + 12 + (−4)= 3 2， b =

高等数学下(同济大学第五版)课后习题答案1(精品文档)

第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。

习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xyxy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x xy x y →→→→→→==⋅=++ 解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可. 2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂=+=∂z y ∂==∂ (4))ln(222z y x u ++=解：222222222222,,u x u y u z x x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++ (5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z u u u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)z x y x y x y x∂=-++=-+∂4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂ (3)⎰+=22 y x xtdt e z ，求22x z ∂∂， yx z∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f yf y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=，求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y-+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=，证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r∂-∂-==∂∂ 222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论 1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则（1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。

高等数学第1章课后习题答案(科学出版社)

第一章函数、极限、连续习题1-11．求下列函数的自然定义域：(1)321x y x=+-(2) 1arctany x=+(3) 1arccosx y -=；(4) 313 , 1x y x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩. 解：(1)解不等式组23010x x +≥⎧⎨-≠⎩得函数定义域为[3,1)(1,1)(1,)---+∞U U ; (2)解不等式组230x x ⎧-≥⎨≠⎩得函数定义域为[U ;(3)解不等式组2111560x x x -⎧-≤≤⎪⎨⎪-->⎩得函数定义域为[4,2)(3,6]--U ; (4)函数定义域为(,1]-∞.2．已知函数()f x 定义域为[0,1]，求(cos ),()() (0)f f x f x c f x c c ++->的定义域．解：函数f要有意义，必须01≤≤，因此f 的定义域为[0,1]；同理得函数(cos )f x 定义域为[2π-,2π]22k k ππ+；函数()()f x c f x c ++-要有意义，必须0101x c x c ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，因此，（1）若12c <，定义域为：[],1c c -；（2）若12c =，定义域为：1{}2；（3）若12c >，定义域为：∅． 3．设21()1,||x a f x x x a ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭0,a >求函数值(2),(1)f a f ．解：因为21()1||x a f x x x a ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，所以 21(2)104a f a a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，22 ,>1,11(1)10 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩⎝⎭． 4. 证明下列不等式:(1) 对任何x R ∈有 |1||2|1x x -+-≥; (2) 对任何n Z +∈有 111(1)(1)1n n n n++>++;(3) 对任何n Z +∈及实数1a >有 111na a n--≤.证明：（1）由三角不等式得|1||2||1(2)|1x x x x -+-≥---= （2）要证111(1)(1)1n n n n++>++，即要证111n +>+= 111(1)(1)(1)11111n n n n n +++++++<=+++L 得证。

高等数学第六版(同济大学)[上册]课后习题答案解析

高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明 (1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ⇔ y ∈f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2. 因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射. 5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明: (1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x x y --=;解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2,⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xx y 1arctan 3+-=;解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3). (9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)xe y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ.9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有 0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;(3)2211x x y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1); (5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);解是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;解是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ; 解不是周期函数. (5)y =sin 2x .解是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。

高等数学(同济第七版下)课后习题及解答

高等数学(同济第七版下)课后习题及解答高等数学(同济第七版下)课后习题及解答一、函数与极限1. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x - 2, 求以下极限：(1) lim(x→2) f(x)(2) lim(x→-1) f(x)解答：(1) 当x → 2 时，f(x) = x^2 + 3x - 2 = 2^2 + 3(2) - 2 = 12所以，lim(x→2) f(x) = 12(2) 当x → -1 时，f(x) = (-1)^2 + 3(-1) - 2 = -2所以，lim(x→-1) f(x) = -22. 求以下极限：(1) lim(x→0) (sin3x)/(sin4x)(2) lim(x→∞) (x^2 - 2x)/(x - 1)解答：(1) 利用极限的性质，lim(x→0) (sin3x)/(sin4x)= lim(x→0) (3x)/(4x) = 3/4(2) 利用极限的性质，lim(x→∞) (x^2 - 2x)/(x - 1)= lim(x→∞) x(x - 2)/(x - 1) = ∞二、导数与微分1. 求以下函数的导数：(1) y = x^3 + 2x^2 - 3x + 1(2) y = sin(2x) + cos(3x)(3) y = e^x/(1 + e^x)解答：(1) y' = 3x^2 + 4x - 3(2) y' = 2cos(2x) - 3sin(3x)(3) 利用商链规则和指数函数的导数性质，y' = e^x/(1 + e^x) - e^x*e^x/(1 + e^x)^2= e^x/(1 + e^x) - (e^x)^2/(1 + e^x)^2= e^x(1 - e^x)/(1 + e^x)^22. 求以下函数的微分：(1) y = 3x^2 + 4x - 2(2) y = sin(3x) + cos(2x)(3) y = ln(x) + e^x解答：(1) dy = (6x + 4)dx(2) dy = 3cos(3x)dx - 2sin(2x)dx(3) 利用对数函数和指数函数的微分性质，dy = (1/x)dx + e^xdx三、定积分与不定积分1. 求以下定积分：(1) ∫[0,1] (x^2 + 2x)dx(2) ∫[π/4,π/2] sinx dx解答：(1) ∫[0,1] (x^2 + 2x)dx = (1/3)x^3 + x^2 |[0,1]= (1/3)(1)^3 + (1)^2 - (1/3)(0)^3 - (0)^2= 4/3(2) 利用不定积分的基本公式，∫ sinx dx = -cosx∫[π/4,π/2] sinx dx = [-cosx] |[π/4,π/2] = -cos(π/2) - (-cos(π/4)) = -1 + √2/2 = √2/2 - 12. 求以下不定积分：(1) ∫(x^2 + 2x)dx(2) ∫sinx dx解答：(1) ∫(x^2 + 2x)dx = (1/3)x^3 + x^2 + C(2) ∫sinx dx = -cosx + C四、级数1. 判断以下级数的敛散性：(1) ∑(n=1,∞) (1/n)(2) ∑(n=1,∞) (1/2)^n解答：(1) 这是调和级数，已知调和级数∑(n=1,∞) (1/n) 发散。

高等数学(第六版)课后习题(完整版)及答案

习题2-41. 求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy : (1) y 2-2x y +9=0; (2) x 3+y 3-3axy =0; (3) xy =e x +y ; (4) y =1-xe y .解 (1)方程两边求导数得 2y y '-2y -2x y ' =0 , 于是 (y -x )y '=y ,xy y y -='.(2)方程两边求导数得 3x 2+3y 2y '-2ay -3axy '=0, 于是 (y 2-ax )y '=ay -x 2 ,axy x ay y --='22.(3)方程两边求导数得 y +xy '=e x +y (1+y '), 于是 (x -e x +y )y '=e x +y -y ,yx y x e x y e y ++--='.(4)方程两边求导数得y '=-e y -xe y y ', 于是 (1+xe y )y '=-e y ,yy xe e y +-='1.2. 求曲线323232a y x =+在点)42 ,42(a a 处的切线方程和法线方程.解方程两边求导数得032323131='+--y y x ,于是 3131---='y x y , 在点)42 ,42(a a 处y '=-1.所求切线方程为 )42(42a x a y --=-,即a y x 22=+.所求法线方程为)42(42a x a y -=-, 即x -y =0.3. 求由下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22dxyd :(1) x 2-y 2=1;(2) b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2; (3) y =tan(x +y ); (4) y =1+xe y .解 (1)方程两边求导数得 2x -2yy '=0, y '=yx ,3322221)(yy x y y y xx y y y x y y x y -=-=-='-='=''.(2)方程两边求导数得 2b 2x +2a 2yy '=0,yx a b y ⋅-='22,22222222)(y y x a b x y a b y y x y a b y ⋅--⋅-='-⋅-=''32432222222ya b y a x b y a a b -=+⋅-=.(3)方程两边求导数得 y '=sec 2(x +y )⋅(1+y '),1)(cos 1)(sec 1)(sec 222-+=+-+='y x y x y x y 222211)(sin )(cos )(sin y y x y x y x --=+-+++=,52233)1(2)11(22y y y y y y y +-=--='=''.(4)方程两边求导数得 y '=e y +xe y y ',ye y e xe e y y y y y -=--=-='2)1(11,3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=-'-=-'---'=''.4. 用对数求导法求下列函数的导数:(1) x xx y )1(+=;(2)55225+-=x x y ;(3)54)1()3(2+-+=x x x y ;(4)x e x x y -=1sin . 解 (1)两边取对数得ln y =x ln|x |-x ln|1+x |，两边求导得x x x x x x y y +⋅-+-⋅+='11)1ln(1ln 1, 于是]111[ln )1(xx x x x y x ++++='.(2)两边取对数得)2ln(251|5|ln 51ln 2+--=x x y ,两边求导得22251515112+⋅--⋅='x xx y y ,于是]225151[25512552+⋅--=+-='x x x x x y .(3)两边取对数得)1ln(5)3ln(4)2ln(21ln +--++=x x x y ,两边求导得1534)2(211+---+='x x x y y , 于是]1534)2(21[)1()3(254+--+++-+='x x x x x x y(4)两边取对数得)1ln(41sin ln 21ln 21ln x e x x y -++=,两边求导得 )1(4cot 21211x xe e x x y y--+=',于是 ])1(4cot 2121[1sin x xx e e x x e x x y --+-=']1cot 22[1sin 41-++-=x xx e e x x e x x .5. 求下列参数方程所确定的函数的导数dx dy : (1) ⎩⎨⎧==22bty at x ;(2)⎩⎨⎧=-=θθθθcos )sin 1(y x . 解 (1)t a bat bt x y dx dy t t 23232==''=. (2)θθθθθθθθcos sin 1sin cos ---=''=x y dx dy . 6. 已知⎩⎨⎧==.cos ,sin t e y t e x t t 求当3π=t 时dx dy的值.解 tt tt t e t e t e t e x y dx dy t tt t t t cos sin sin cos cos sin sin cos +-=+-=''=,当3π=t 时,23313123212321-=+-=+-=dx dy .7. 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程: (1) ⎩⎨⎧==t y t x 2cos sin , 在4π=t 处; (2) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2221313t at y t at x , 在t =2处.解 (1)tt x y dx dy t t cos 2sin 2-=''=.当4π=t 时,222224cos )42sin(2-=-=⋅-=ππdx dy , 220=x ,00=y ,所求切线方程为 )22(22--=x y , 即0222=-+y x ; 所求法线方程为)22(221---=x y , 即0142=--y x .(2)222222)1(6)1(23)1(6t at t t at t at y t +=+⋅-+=', 222222)1(33)1(23)1(3t at a t t at t a x t +-=+⋅-+=', 2212336tt at a at x y dx dy t t -=-=''=.当t =2时, 3421222-=-⋅=dx dy, a x 560=, a y 5120=,所求切线方程为)56(34512a x a y --=-, 即4x +3y -12a =0;所求法线方程为)56(43512a x a y -=-, 即3x -4y +6a =0.8. 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dxyd :(1) ⎪⎩⎪⎨⎧-==.122t y tx ;(2) ⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos ;(3) ⎩⎨⎧==-tte y e x 23; (4)⎩⎨⎧-==)()()(t f t tf y t f x tt , 设f ''(t )存在且不为零.解 (1) t x y dx dy t t 1-=''=, 322211)(t t t x y dx y d t t x =='''=.(2) t ab t a t b x y dx dy t t cot sin cos -=-=''=,t a b t a ta b x y dx y d t t x 32222sin sin csc )(-=-='''=.(3) t t tt t e e e x y dx dy 23232-=-=''=-,t t t t t x e e e x y dx y d 3222943232)(=-⋅-='''=-.(4) t t f t f t f t t f x y dx dy t t ='''-''+'=''=)()()()(,)(1)(22t f x y dxy d t t x ''='''=.9. 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数33dxyd :(1)⎩⎨⎧-=-=321t t y t x ; (2)⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2.解(1)tt t t t dx dy 231)1()(223--='-'-=,)31(412)231(3222t t t t t dx y d +-=-'--=, )1(832)31(4125333t tt t t dx yd +-=-'+-=.(2)t t t t t t t dx dy 2112111])1[ln()arctan (222=++-='+'-=,t t t t t dx y d 4112)21(2222+=+'=,3422338112)41(tt tt t t dx y d -=+'+=.10. 落在平静水面上的石头, 产生同心波纹, 若最外一圈波半径的增大率总是6m/s , 问在2秒末扰动水面面积的增大率为多少？解设波的半径为r , 对应圆面积为S , 则S =πr 2, 两边同时对t 求导得 S t '=2πrr '.当t =2时, r =6⋅2=12, r 't =6, 故S t '|t =2=2⋅12⋅6π=144π (米2/秒).11. 注水入深8m 上顶直径8m 的正圆锥形容器中, 其速率为4m 2/min . 当水深为5m 时, 其表面上升的速度为多少？解水深为h 时, 水面半径为h r 21=, 水面面积为π241h S =,水的体积为3212413131h h h hS V ππ=⋅==,dt dh h dt dV ⋅⋅=2312π, dtdV h dt dh ⋅=24π.已知h =5(m)，4=dtdV (m 3/min), 因此 πππ2516425442=⋅=⋅=dt dV h dt dh (m/min).12. 溶液自深18cm 直径12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形筒中, 开始时漏斗中盛满了溶液, 已知当溶液在漏斗中深为12cm 时, 其表面下降的速率为1cm/min . 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解设在t 时刻漏斗在的水深为y , 圆柱形筒中水深为h . 于是有 h y r 22253118631=-⋅⋅ππ.由186y r =, 得3y r =, 代入上式得hy y 2225)3(3118631=-⋅⋅ππ,即h y 233253118631=-⋅⋅π. 两边对t 求导得h y y t '='-222531.当y =12时, y 't =-1代入上式得 64.025165)1(1231222≈=-⋅⋅-='t h (cm/min)..2-71. 已知y =x 3-x , 计算在x =2处当∆x 分别等于1, 0.1, 0.01时的∆y 及dy .解 ∆y |x =2, ∆x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ∆x =1=(3x 2-1)∆x |x =2, ∆x =1=11;∆y |x =2, ∆x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161,dy |x =2, ∆x =0.1=(3x 2-1)∆x |x =2, ∆x =0.1=1.1;∆y |x =2, ∆x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ∆x =0.01=(3x 2-1)∆x |x =2, ∆x =0.01=0.11.2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、∆y 及∆y -d y 并说明其正负. 解 (a )∆y >0, dy >0, ∆y -dy >0. (b )∆y >0, dy >0, ∆y -dy <0. (c )∆y <0, dy <0, ∆y -dy <0. (d )∆y <0, dy <0, ∆y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x xy 21+=;(2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ;(4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ; (6) y =e -x cos(3-x ); (7)21arcsinx y -=;(8) y =tan 2(1+2x 2);(9)2211arctanx xy +-=;(10) s =A sin(ωt +ϕ) (A , ω, ϕ是常数) . 解 (1)因为xxy 112+-=', 所以dxxx dy )11(2+-=.(2)因为y '=sin2x +2x cos2x , 所以dy =(sin2x +2x cos2x )dx .(3)因为1)1(111122222++=++⋅-+='x x x x x x y , 所以dx x x dy 1)1(122++=.(4)dxx x dx x x dx x dx y dy )1ln(12])1(1)1ln(2[])1([ln 2--=--⋅-='-='=. (5)dy =y 'dx =(x 2e 2x )'dx =(2xe 2x +2x 2e 2x )dx =2x (1+x )e 2x . (6) dy =y 'dx =[e -x cos(3-x )]dx =[-e -x cos(3-x )+e -x sin(3-x )]dx =e -x [sin(3-x )-cos(3-x )]dx . (7)dx xx x dx x x dx x dx y dy 22221||)12()1(11)1(arcsin--=--⋅--='-='=. (8) dy =d tan 2(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)d tan(1+2x 2) =2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)d (1+2x 2) =2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)⋅4xdx=8x ⋅tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)dx . (9))11()11(1111arctan 2222222x x d x x x x d dy +-+-+=+-=dx x x dx x x x x x x x 4222222214)1()1(2)1(2)11(11+-=+--+-⋅+-+=. (10) dy =d [A sin(ω t +ϕ)]=A cos(ω t +ϕ)d (ωt +ϕ)=A ω cos(ωt +ϕ)dx .4. 将适当的函数填入下列括号内, 使等式成立: (1) d ( )=2dx ; (2) d ( )=3xdx ; (3) d ( )=cos tdt ; (4) d ( )=sin ωxdx ; (5) d ( )dx x 11+=;(6) d ( )=e -2x dx ; (7) d ( )dxx1=;(8) d ( )=sec 23xdx . 解 (1) d ( 2x +C )=2dx . (2) d (C x +223)=3xdx .(3) d ( sin t +C )=cos tdt . (4) d (C x +-ωωcos 1)=sin ωxdx .(5) d ( ln(1+x )+C )dx x 11+=.(6) d (C e x +--221)=e -2x dx . (7) d (C x +2)dxx1=.(8) d (C x +3tan 31)=sec 23xdx . 5.如图所示的电缆B O A的长为s , 跨度为2l , 电缆的最低点O 与杆顶连线AB 的距离为f , 则电缆长可按下面公式计算:)321(222lf l s +=,当f 变化了∆f 时, 电缆长的变化约为多少？解ff l df lf l dS S ∆='+=≈∆38)321(222.6. 设扇形的圆心角α=60︒, 半径R =100cm(如图), 如果R 不变, α 减少30', 问扇形面积大约改变了多少？又如果α 不变, R 增加1cm , 问扇形面积大约改变了多少？解 (1)扇形面积221R S α=,αααα∆='=≈∆2221)21(R d R dS S .将α=60︒3π=, R =100, 36003πα-='-=∆ 代入上式得63.43)360(100212-≈-⋅⋅≈∆πS (cm 2).(2)R R dR R dS S R ∆='=≈∆αα)21(2.将α=60︒3π=, R =100, ∆R =1代入上式得72.10411003≈⋅⋅≈∆πS (cm2).7. 计算下列三角函数值的近似值: (1) cos29︒; (2) tan136︒.解 (1)已知f (x +∆x )≈f (x )+f '(x )∆x , 当f (x )=cos x 时, 有cos(x +∆x )≈cos x -sin x ⋅∆x , 所以cos29︒=87467.01802123)180(6sin 6cos )1806cos(≈⋅+=-⋅-≈-ππππππ.(2)已知f (x +∆x )≈f (x )+f '(x )∆x , 当f (x )=tan x 时, 有tan(x +∆x )≈tan x +sec 2x ⋅∆x , 所以 tan136︒=96509.01802118043sec 43tan )18043tan(2-≈⋅+-=⋅+≈+ππππππ.8. 计算下列反三角函数值的近似值 (1) arcsin0.5002; (2) arccos 0.4995.解 (1)已知f (x +∆x )≈f (x )+f '(x )∆x , 当f (x )=arcsin x 时, 有 x x x x x ∆⋅-+≈∆+211arcsin )arcsin(,所以0002.05.0115.0arcsin )0002.05.0arcsin(5002.0arcsin 2⋅-+≈+= 0002.0326⋅+=π≈30︒47''.(2)已知f (x +∆x )≈f (x )+f '(x )∆x , 当f (x )=arccos x 时, 有 x x x x x ∆⋅--≈∆+211arccos )arccos(, 所以)0005.0(5.0115.0arccos )0005.05.0arccos(4995.0arccos 2-⋅--≈-= 0005.0323⋅+=π≈60︒2'.9. 当x 较小时, 证明下列近似公式: (1) tan x ≈x (x 是角的弧度值); (2) ln(1+x )≈x ; (3)x x-≈+111, 并计算tan45' 和ln1.002的近似值.(1)已知当|∆x |较小时, f (x 0+∆x )≈f (x 0)+f '(x 0)∆x , 取f (x )=tan x , x 0=0, ∆x =x ,则有tan x =tan(0+x )≈tan 0+sec 20⋅x =sec 20⋅x =x .(2)已知当|∆x |较小时, f (x 0+∆x )≈f (x 0)+f '(x 0)∆x , 取f (x )=ln x , x 0=1, ∆x =x ,则有ln(1+x )≈ln1+(ln x )'|x =1⋅x =x .(3)已知当|∆x |较小时, f (x 0+∆x )≈f (x 0)+f '(x 0)∆x , 取xx f 1)(=, x 0=1, ∆x =x ,则有x x x x x -=⋅'+≈+=1|)1(1111.tan45'≈45'≈0.01309; ln(1.002)=ln(1+0.002) ≈0.002. 10. 计算下列各根式的的近似值:(1)3996; (2)665.解 (1)设n x x f =)(, 则当|x |较小时, 有x nx f f x f 11)1()1()1(+='+≈+,987.9)10004311(101000411041000996333≈⋅⋅-≈-⋅=-=.(2)设n x x f =)(, 则当|x |较小时, 有x nx f f x f 11)1()1()1(+='+≈+, 于是0052.2)641611(26411216465666≈⋅+≈+⋅=+=.11. 计算球体体积时, 要求精确度在2%以内, 问这时测量直径D 的相对误差不能超过多少？解球的体积为361D V π=,D D dV ∆⋅=221π,因为计算球体体积时, 要求精度在2%以内, 所以其相对误差不超过2%, 即要求 %23612132≤∆⋅=∆⋅=DD D DD V dV ππ,所以%32≤∆D D ,也就是测量直径的相对误差不能超过%32.12. 某厂生产如图所示的扇形板, 半径R =200mm , 要求中心角α为55︒. 产品检验时, 一般用测量弦长l 的办法来间接测量中心角α, 如果测量弦长l 时的误差δ1=0.1mm , 问此而引起的中心角测量误差δx 是多少？解由2sin 2αR l =得400arcsin 22arcsin2l R l ==α,当α=55︒时,2sin 2αR l ==400sin27.5︒≈184.7,δ 'α=|α'l |⋅δl l l δ⋅⋅-⋅=4001)400(1122. 当l =184.7, δ l =0.1时,00056.01.04001)4007.184(1122≈⋅⋅-⋅=αδ(弧度).总习题二1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)f (x )在点x 0可导是f (x )在点x 0连续的____________条件. f (x )在点x 0连续是f (x )在点x 0可导的____________条件.(2) f (x )在点x 0的左导数f -'(x 0)及右导数f +'(x 0)都存在且相等是f (x )在点x 0可导的_______条件.(3) f (x )在点x 0可导是f (x )在点x 0可微的____________条件. 解 (1)充分, 必要. (2) 充分必要. (3) 充分必要.2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设f (x )在x =a 的某个邻域内有定义, 则f (x )在x =a 处可导的一个充分条件是( ).(A ))]()1([lim a f ha f h h -++∞→存在; (B )hh a f h a f h )()2(lim0+-+→存在;(C )hh a f h a f h 2)()(lim 0--+→存在; (D )hh a f a f h )()(lim 0--→存在. 解正确结论是D . 提示:xa f x a f h a f h a f h h a f a f x h h ∆-∆+=---=--→∆→→)()(lim )()(lim )()(lim000(∆x =-h ). 3. 设有一根细棒, 取棒的一端作为原点, 棒上任一点的做标x 为, 于是分布在区间[0, x ]上细棒的质量m 是x 的函数m =m (x ),应怎样确定细棒在点x 0处的线密度(对于均匀细棒来说, 单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度)？解 ∆m =m (x 0+∆x )-m (x 0).在区间[x 0, x 0+∆x ]上的平均线密度为xx m x x m xm ∆-∆+=∆∆=)()(00ρ.于是, 在点x 0处的线密度为)()()(lim lim 0000x m xx m x x m xm x x '=∆-∆+=∆∆=→∆→∆ρ.4. 根据导数的定义, 求x x f 1)(=的导数. 解20001)(1lim)(lim 11lim x x x x x x x x x x x x x y x x x -=∆+-=∆+∆∆-=∆-∆+='→∆→∆→∆.5. 求下列函数f (x )的f -'(0)及f +'(0),又f '(0)是否存在?(1)⎩⎨⎧≥+<=0)1ln(0sin )(x x x x x f ;(2)⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 00 1)(1x x e x x f x.解 (1)因为10sin lim 0)0()(lim )0(00=-=--='--→→-xx x f x f f x x ,1ln )1ln(lim 0)1ln(lim 0)0()(lim )0(1000==+=-+=--='+++→→→+e x xx x f x f f x x x x ,而且f -'(0) = f +'(0), 所以f '(0)存在, 且f '(0)=1. (2)因为111lim 01lim 0)0()(lim )0(10100=+=--+=--='---→→→-xx xx x e x e x x f x f f ,011lim 001lim 0)0()(lim )0(10100=+=--+=--='+++→→→+xx xx x e x e x x f x f f ,而f -'(0)≠ f +'(0), 所以f '(0)不存在.6. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(x x xx x f 在x =0处的连续性与可导性. 解因为f (0)=0, )0(01sin lim )(lim 00f xx x f x x ===→→, 所以f (x )在x =0处连续;因为极限xx x x x f x f x x x 1sin lim 01sin lim )0()(lim000→→→=-=-不存在, 所以f (x )在x =0处不可导.7. 求下列函数的导数:(1) y =arcsin(sin x ); (2)xx y -+=11arctan ;(3)x x x y tan ln cos 2tan ln ⋅-=;(4))1ln(2x x e e y ++=;(5)x x y =(x >0) . 解(1)|cos |cos cos sin 11)(sin sin 1122x x x xx x y =⋅-='⋅-='.(2)222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x xx x x x x y +=-++-⋅-++='-+⋅-++='.(3))(tan tan 1cos tan ln sin )2(tan 2tan 1'⋅⋅-⋅+'⋅='x x x x x x x yx x x x x x x x x tan ln sin sec tan 1cos tan ln sin 212sec 2tan 122⋅=⋅⋅-⋅+⋅⋅.(4)xxx x x x x x x x x e e e e e e e e e e e y 2222221)122(11)1(11+=++⋅++='++⋅++='. (5)x xy ln 1ln =, x x x x y y 11ln 112⋅+-=', )ln 1()1ln 1(222x x x x x x x y xx -=+-='.8. 求下列函数的二阶导数: (1)y =cos 2x ⋅ln x ; (2)21x xy -=.解 (1)xx x x xx x x x y 1cos ln 2sin 1cos ln sin cos 222⋅+⋅-=⋅+⋅-=',221cos 1sin cos 212sin ln 2cos 2x x x x x x x x x y ⋅-⋅-⋅-⋅-='' 22cos2sin 2ln 2cos 2xx x x x x --⋅-=.(2)232222)1(111--=---⋅--='x xx xx x y 52252)1(3)2()1(23x x x x y -=-⋅--=''-.9. 求下列函数的n 阶导数: (1)m x y +=1; (2)xx y +-=11.解 (1)m mx x y 1)1(1+=+=,11)1(1-+='m x m y , 21)1)(11(1-+-=''m x m m y , 31)1)(21)(11(1-+--='''m x mm m y , ⋅ ⋅ ⋅,n m n x n mm m m y-++-⋅⋅⋅--=1)()1)(11( )21)(11(1.(2)1)1(2111-++-=+-=x xx y ,y '=2(-1)(1+x )-2, y ''=2(-1)(-2)(1+x )-3, y '''=2(-1)(-2)(-3)(1+x )-4, ⋅ ⋅ ⋅, 1)1()()1(!)1(2)1)(( )3)(2)(1(2++-+-=+-⋅⋅⋅---=n n n n x n x n y.10. 设函数y =y (x )由方程e y +xy =e 所确定, 求y ''(0).解方程两边求导得e y y '+y +xy '=0, —— (1) 于是 ye x y y +-=';2)()1()()(y y y y e x y e y e x y e x y y +'+-+'-='+-=''. ——(2)当x =0时, 由原方程得y (0)=1, 由(1)式得ey 1)0(-=', 由(2)式得21)0(ey =''. 11. 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数dxdy及二阶导数22dxyd :(1)⎩⎨⎧==θθ33sin cos a y a x ;(2)⎩⎨⎧=+=ty t x arctan 1ln 2.解(1)θθθθθθθtan )sin (cos 3cos sin 3)cos ()sin (2233-=-=''=a a a a dx dy ,θθθθθθθcsc sec 31sin cos 3sec )cos ()tan (422322⋅=--=''-=aa a dx y d .(2)tt t t t t dx dy 1111]1[ln )(arctan 222=++='+'=,3222222111]1[ln )1(t t t t t t t dx y d +-=+-='+'=.12.求曲线⎩⎨⎧==-ttey e x 2在t =0相的点处的切线方程及法线方程.解t t tt t ee e e e dx dy 2212)2()(-=-=''=--.当t =0时,21-=dx dy, x =2, y =1. 所求切线的方程为)2(211--=-x y , 即x +2y -4=0;所求法线的方程为y -1=2(x -2).13. 甲船以6km/h 的速率向东行驶, 乙船以8km/h 的速率向南行驶, 在中午十二点正, 乙船位于甲船之北16km 处. 问下午一点正两船相离的速率为多少?解设从中午十二点开始, 经过t 小时, 两船之间的距离为S , 则有 S 2=(16-8t )2+(6t )2, t t dtdS S 72)816(162+--=,St t dt dS 272)816(16+--=. 当t =1时, S =10,8.220721281-=+-==t dtdS (km/h),即下午一点正两船相离的速度为-2.8km/h .14. 利用函数的微分代替函数的增量求302.1的近似值. 解设3)(x x f =, 则有x x f f x f ∆=∆'≈-∆+31)1()1()1(, 或x x f ∆+≈∆+311)1(于是007.102.031102.0102.133=⋅+=+=.15. 已知单摆的振动周期gl T π2=, 其中g =980 cm/s 2, l 为摆长(单位为cm). 设原摆长为20cm , 为使周期T 增大0.05s , 摆长约需加长多少？解因为L gLdT T ∆⋅=≈∆π,所以23.205.020=≈∆=L gLL π(cm),即摆长约需加长2.23cm .习题3-11. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cotξ=0.由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈.因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.2. 验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性.解因为y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点ξ∈(0, 1), 使001)0()1()(=--='y y y ξ. 由y '(x )=12x 2-10x +1=0得)1 ,0(12135∈±=x .因此确有)1 ,0(12135∈±=ξ, 使01)0()1()(--='y y y ξ. 3. 对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2,0[π上验证柯西中值定理的正确性.解因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2,0[π上连续, 在)2,0(π可导, 且F '(x )=1-sin x 在)2,0(π内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点)2,0(πξ∈,使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--.令)0()2()0()2()()(F F f f x F x f --=''ππ, 即22sin 1cos -=-πx x .化简得14)2(8sin 2-+-=πx . 易证114)2(802<-+-<π, 所以14)2(8sin 2-+-=πx 在)2,0(π内有解, 即确实存在)2,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--.4. 试证明对函数y =px 2+qx +r 应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间.证明因为函数y =px 2+qx +r 在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 至少存在一点ξ∈(a , b ), 使得y (b )-y (a )=y '(ξ)(b -a ), 即(pb 2+qb +r )-(pa 2+qa +r )=(2p ξ+q )(b -a ). 化间上式得p (b -a )(b +a )=2p ξ (b -a ), 故2b a +=ξ.5. 不用求出函数f (x )=(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)的导数，说明方程f '(x )=0有几个实根, 并指出它们所在的区间.解由于f (x )在[1, 2]上连续, 在(1, 2)内可导, 且f (1)=f (2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在ξ1∈(1, 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在ξ2∈(2, 3), 使f '(ξ2)=0; 存在ξ3∈(3, 4), 使f '(ξ3)=0. 显然ξ1、ξ2、ξ 3都是方程f '(x )=0的根. 注意到方程f '(x )=0是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它的三个实根, 故它们也就是方程f '(x )=0的全部根. 6. 证明恒等式:2arccos arcsin π=+x x (-1≤x ≤1).证明设f (x )= arcsin x +arccos x . 因为01111)(22≡---='x x x f ,所以f (x )≡C , 其中C 是一常数.因此2arccos arcsin )0()(π=+==x x f x f , 即2arccos arcsin π=+x x .7. 若方程a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x =0有一个正根x 0, 证明方程 a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.证明设F (x )=a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x , 由于F (x )在[0, x 0]上连续, 在(0,x 0)内可导, 且F (0)=F (x 0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ∈(0, x 0), 使F '(ξ)=0, 即方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.8. 若函数f (x )在(a , b )内具有二阶导数, 且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3), 其中a <x 1<x 2<x 3<b , 证明:在(x 1, x 3)内至少有一点ξ, 使得f ''(ξ)=0.证明由于f (x )在[x 1, x 2]上连续, 在(x 1, x 2)内可导, 且f (x 1)=f (x 2), 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ1∈(x 1, x 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在一点ξ2∈(x 2, x 3), 使f '(ξ2)=0.又由于f '(x )在[ξ1, ξ2]上连续, 在(ξ1, ξ2)内可导, 且f '(ξ1)=f '(ξ2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ ∈(ξ1, ξ2)⊂(x 1, x 3), 使f ''(ξ )=0. 9. 设a >b >0, n >1, 证明: nb n -1(a -b )<a n -b n <na n -1(a -b ) .证明设f (x )=x n , 则f (x )在[b , a ]上连续, 在(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ), 即a n -b n =n ξ n -1(a -b ). 因为 nb n -1(a -b )<n ξ n -1(a -b )< na n -1(a -b ), 所以 nb n -1(a -b )<a n -b n < na n -1(a -b ) . 10. 设a >b >0, 证明:bb a b a a b a -<<-ln .证明设f (x )=ln x , 则f (x )在区间[b , a ]上连续, 在区间(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ), 即)(1ln ln b a b a -=-ξ.因为b <ξ<a , 所以)(1ln ln )(1b a bb a b a a -<-<-,即bb a ba ab a -<<-ln .11. 证明下列不等式: (1)|arctan a -arctan b |≤|a -b |; (2)当x >1时, e x >e ⋅x .证明 (1)设f (x )=arctan x , 则f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(a , b ), 使 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ), 即)(11arctan arctan 2a b a b -+=-ξ,所以||||11|arctan arctan |2a b a b a b -≤-+=-ξ, 即|arctan a -arctan b |≤|a -b |.(2)设f (x )=e x , 则f (x )在区间[1, x ]上连续, 在区间(1, x )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(1, x ), 使f (x )-f (1)=f '(ξ)(x -1), 即 e x -e =e ξ (x -1). 因为ξ >1, 所以e x -e =e ξ (x -1)>e (x -1), 即e x >e ⋅x . 12. 证明方程x 5+x -1=0只有一个正根.证明设f (x )=x 5+x -1, 则f (x )是[0, +∞)内的连续函数.因为f (0)=-1, f (1)=1, f (0)f (1)<0, 所以函数在(0, 1)内至少有一个零点, 即x 5+x -1=0至少有一个正根.假如方程至少有两个正根, 则由罗尔定理, f '(x )存在零点, 但f '(x )=5x 4+1≠0, 矛盾. 这说明方程只能有一个正根.13. 设f (x )、g (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 证明在(a , b )内有一点ξ, 使)()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=.解设)()()()()(x g a gx f a f x =ϕ, 则ϕ(x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(a , b ), 使 ϕ(b )-ϕ(a )=ϕ'(ξ)(b -a ), 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+''-=-)()()()()(])([)(])([)()()()()()()()()(ξξξξg a g f a f g a g f a f a b a g a g a f a f b g a g b f a f .因此)()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=.14. 证明: 若函数.f (x )在(-∞, +∞)内满足关系式f '(x )=f (x ), 且f (0)=1则f (x )=e x .证明令x ex f x )()(=ϕ, 则在(-∞, +∞)内有0)()()()()(2222≡-=-'='xx x x e e x f e x f e e x f e x f x ϕ,所以在(-∞, +∞)内ϕ(x )为常数. 因此ϕ(x )=ϕ(0)=1, 从而f (x )=e x .15. 设函数y =f (x )在x =0的某邻域内具有n 阶导数, 且f (0)=f '(0)= ⋅ ⋅ ⋅ =f (n -1)(0)=0, 试用柯西中值定理证明:!)()()(n x f x x f n nθ= (0<θ<1).证明根据柯西中值定理 111)(0)0()()(-'=--=n n n f x f x f x x f ξξ(ξ1介于0与x 之间),2221111111)1()(0)0()()(-----''=⋅-'-'='n n n n n n f n n f f n f ξξξξξξ(ξ2介于0与ξ1之间),3332222222)2)(1()(0)1()1()0()()1()(------'''=⋅---''-''=-''n n n n n n n f n n n n f f n n f ξξξξξξ(ξ3介于0与ξ2之间),依次下去可得 !)(02 )1(2 )1()0()(2 )1()()(1)1(1)1(11)1(n f n n n n f f n n f n n n n n n n n n ξξξξξ=⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅--=⋅⋅⋅⋅--------(ξn 介于0与ξn -1之间), 所以!)()()(n f x x f n n nξ=.由于ξn 可以表示为ξn =θ x (0<θ<1), 所以!)()()(n x f x x f n nθ= (0<θ<1).习题3-21. 用洛必达法则求下列极限:(1)xx x )1ln(lim 0+→; (2)x ee x x x sin lim 0-→-; (3)a x a x a x --→sin sin lim ;(4)xx x 5tan 3sin lim π→; (5)22)2(sin ln limx x x -→ππ;(6)n n mma xax a x --→lim ;(7)xx x 2tan ln 7tan ln lim0+→; (8)xx x 3tan tan lim2π→; (9)xarc x x cot )11ln(lim++∞→;(10)xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→;(11)x x x 2cot lim 0→; (12)2120lim x x e x →;(13))1112(lim 21---→x x x ;(14)x x xa )1(lim +∞→; (15)x x x sin 0lim+→; (16)x x xtan 0)1(lim +→. 解 (1)111lim 111lim )1ln(lim000=+=+=+→→→x x xx x x x .(2)2cos lim sin lim00=+=--→-→x e e x e e x x x x x x . (3)a x ax a x a x a x cos 1cos lim sin sin lim ==--→→.(4)535sec 53cos3lim 5tan 3sin lim 2-==→→x x x x x x ππ. (5)812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x x x x x πππππ.(6)n m n m n m a x n n m m a xa n m namx nx mx a x a x -----→→===--1111lim lim .(7)22sec 2tan 177sec 7tan 1lim 2tan ln 7tan ln lim 2200⋅⋅⋅⋅=+→+→x xx x x x x x 177sec 22sec lim 277tan 2tan lim 272200=⋅⋅==+→+→x x x x x x .(8)xx x x x x x x x 2222222cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim πππ→→→=⋅=)sin (cos 23)3sin (3cos 2lim 312x x x x x -⋅-=→πxx x cos 3cos lim 2π→-=3sin 3sin 3lim 2=---=→xx x π.(9)22221lim 11)1(111lim cot arc )11ln(lim xx x xx x x x x x x ++=+--⋅+=++∞→+∞→+∞→122lim 212lim ==+=+∞→+∞→x x x x . (10)x x x x x x x x x x x 22022020cos 1lim cos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim -=-+=-+→→→1sin lim )sin (cos 22lim00==--=→→xx x x x x x . (注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2) (11)2122sec 1lim 2tan lim2cot lim 2000=⋅==→→→x x x x x x x x .(12)+∞====+∞→+∞→→→1lim lim 1lim lim 21012022t t t t x x x x e t e x e e x (注: 当x →0时, +∞→=21xt . (13)2121lim 11lim 1112lim 12121-=-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→x x x x x x x x .(14)因为)1ln(lim )1(limx ax x x x e xa +∞→∞→=+,而221)(11lim 1)1ln(lim )1(ln(lim xx a x ax x a x a x x x x --⋅+=+=+∞→∞→∞→ a a a x ax x x ==+=∞→∞→1lim lim , 所以ax a x x x x e e xa ==++∞→∞→)1ln (l i m )1(l i m ..(15)因为x x x x x e x ln sin 0sin 0lim lim +→+→=, 而 xx x x x x x x x x cot csc 1lim csc ln lim ln sin lim 000⋅-==+→+→+→ 0cos sin lim 20=-=+→xx x x ,所以1lim lim 0ln sin 0sin 0===+→+→e e x x x x x x .(16)因为x x x x e xln tan tan 0)1(lim -+→=, 而 xx x x x x x x x 2000csc 1limcot ln lim ln tan lim -==+→+→+→ 0sin lim 20=-=+→xx x , 所以 1l i m )1(l i m 0ln tan 0tan 0===-+→+→e e x x x x x x .2. 验证极限xx x x sin lim+∞→存在, 但不能用洛必达法则得出. 解1)s i n 1(l i m s i n l i m =+=+∞→∞→x x x x x x x , 极限x x x x sin lim +∞→是存在的. 但)cos 1(lim 1cos 1lim )()sin (limx x x x x x x x +=+=''+∞→∞→∞→不存在, 不能用洛必达法则.3.验证极限xx x x sin 1sin lim20→存在, 但不能用洛必达法则得出.解0011sin sin lim sin 1sin lim020=⋅=⋅=→→xx x x x x x x x , 极限xx x x sin 1sin lim20→是存在的.但xx x x x x x x x cos 1cos 1sin 2lim )(sin )1sin (lim020-=''→→不存在, 不能用洛必达法则.4. 讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>+=-0])1([)(2111x e x e x x f x x 在点x =0处的连续性.解 21)0(-=e f ,)0(lim)(lim 2121f e e x f x x ===---→-→,因为 ]1)1l n (1[101100lim])1([lim )(lim -+-→-→+→=+=x xx x x x x x e ex x f ,而 200)1ln(lim]1)1ln(1[1lim x xx x x x x x -+=-++→+→ 21)1(21lim 2111lim00-=+-=-+=+→+→x x x x x , 所以]1)1l n (1[101100lim])1([lim )(lim -+-→-→+→=+=x xx x x x x x e ex x f)0(21f e ==-.因此f (x )在点x =0处连续. 习题3-31. 按(x -4)的幂展开多项式x 4-5x 3+x 2-3x +4. 解设f (x )=x 4-5x 3+x 2-3x +4. 因为 f (4)=-56,f '(4)=(4x 3-15x 2+2x -3)|x =4=21, f ''(4)=(12x 2-30x +2)|x =4=74, f '''(4)=(24x -30)|x =4=66, f (4)(4)=24, 所以4)4(32)4(!4)4()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4()(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x f=-56+21(x -4)+37(x -4)2+11(x -4)3+(x -4)4. 2. 应用麦克劳林公式, 按x 幂展开函数f (x )=(x 2-3x +1)3. 解因为f '(x )=3(x 2-3x +1)2(2x -3),f ''(x )=6(x 2-3x +1)(2x -3)2+6(x 2-3x +1)2=30(x 2-3x +1)(x 2-3x +2), f'''(x )=30(2x -3)(x 2-3x +2)+30(x 2-3x +1)(2x -3)=30(2x -3)(2x 2-6x +3), f (4)(x )=60(2x 2-6x +3)+30(2x -3)(4x -6)=360(x 2-3x +2), f (5)(x )=360(2x -3), f (6)(x )=720;f (0)=1, f '(0)=-9, f ''(0)=60, f '''(0)=-270, f (4)(0)=720, f (5)(0)=-1080, f (6)(0)=720, 所以6)6(5)5(4)4(32!6)0(!5)0(!4)0(!3)0(!2)0()0()0()(x f x f x f x f x f x f f x f +++'''+''+'+= =1-9x +30x 3-45x 3+30x 4-9x 5+x 6. 3. 求函数x x f =)(按(x -4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式. 解因为 24)4(==f ,4121)4(421=='=-x x f , 32141)4(423-=-=''=-x x f ,328383)4(425⋅=='''=-x x f , 27)4(1615)(--=x x f , 所以4)4(32)4(!4)()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x ξ4732)4()]4(4[1615!41)4(5121)4(641)4(412--+⋅--+---+=x x x x x θ(0<θ<1).4. 求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解因为f '(x )=x -1, f ''(x )=(-1)x -2, f '''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , nn nn xn x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--;kk k k f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n +1),。

高等数学课后习题及参考答案(第四章)

高等数学课后习题及参考答案（第四章）习题4-11. 求下列不定积分:(1)⎰dx x 21;解 C x C x dx x dx x +-=++-==+--⎰⎰112111222.(2)⎰dx x x ; 解 C x x C x dx x dx x x +=++==+⎰⎰212323521231. (3)⎰dx x1;解C x C x dx xdx x+=++-==+--⎰⎰21211112121. (4)⎰dx x x 32; 解 C x x C x dx x dx x x+=++==+⎰⎰3313737321031371. (5)⎰dx xx 21;解C x x C x dx xdx xx +⋅-=++-==+--⎰⎰12312511125252. (6)dx x m n ⎰; 解C x m n m C x mn dx x dx x mn m m nm nmn++=++==++⎰⎰111.(7)⎰dx x 35;解 C x dx x dx x +==⎰⎰4334555.(8)⎰+-dx x x )23(2;解 C x x x dx dx x dx x dx x x ++-=+-=+-⎰⎰⎰⎰2233123)23(2322.(9)⎰ghdh 2(g 是常数);解C ghC h gdh hgghdh +=+⋅==⎰⎰-22212122121. (10)⎰-dx x 2)2(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰423144)44()2(23222.(11)⎰+dx x 22)1(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x +++=++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰3524242232512)12()1(.(12)dx x x ⎰-+)1)(1(3;解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+-=-+dx dx x dx x dx x dx x x x dx x x 23212323)1()1)(1(C x x x x +-+-=25233523231.(13)⎰-dx xx 2)1(;解C x x x dx x x xdx xx x dx xx ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰-2523212321212252342)2(21)1(. (14)⎰+++dx x x x 1133224; 解C x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan )113(1133322224.(15)⎰+dx x x 221;解⎰⎰⎰+-=+-=+-+=+C x x dx xdx xx dx x x arctan )111(111122222.(16)⎰+dx xe x )32(;解 C x e dx xdx e dx x e x x x ++=+=+⎰⎰⎰||ln 32132)32(.(17)⎰--+dx xx )1213(22;解 ⎰⎰⎰+-=--+=--+C x x dx xdx x dx xx arcsin 2arctan 3112113)1213(2222.(18)dx xe e x x⎰--)1(;解 C x edx xe dx xe e xxx x+-=-=-⎰⎰--21212)()1(.(19)⎰dx e x x 3;解 C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰13ln 3)3ln()3()3(3.(20)⎰⋅-⋅dx xxx 32532; 解 C x C x dx dx x xx xxx+--=+-=-=⋅-⋅⎰⎰)32(3ln 2ln 5232ln )32(52])32(52[32532. (21)⎰-dx x x x )tan (sec sec ;解 ⎰⎰+-=-=-C x x dx x x x dx x x x sec tan )tan sec (sec )tan (sec sec 2.(22)⎰dx x2cos 2;解 C x x dx x dx x dx x ++=+=+=⎰⎰⎰)sin (21)cos 1(212cos 12cos 2.(23)⎰+dx x 2cos 11;解 ⎰⎰+==+C x dx xdx x tan 21cos 212cos 112.(24)⎰-dx xx xsin cos 2cos ;解 ⎰⎰⎰+-=+=--=-C x x dx x x dx xx xx dx x x x cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22.(25)⎰dx x x x22sin cos 2cos ;解 ⎰⎰⎰+--=-=-=C x x dx xx dx x x x x dx x x x tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222.(26)⎰-dx x x x)11(2;解 ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-dx x x x 211⎰++=-=--C x x dx x x 41474543474)(.2. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.解设该曲线的方程为y =f (x ), 则由题意得xx f y 1)(='=',所以 C x dx xy +==⎰||ln 1.又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有=3-2=1 3=f (e 2)=ln|e 2|C =2C ,C =3-2=1. 于是所求曲线的方程为 y =ln|x | 1.3. 一物体由静止开始运动, 经t 秒后的速度是3t 2(m/s ), 问 (1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ (2)物体走完360m 需要多少时间？解设位移函数为s =s (t ), 则s '=v =3 t 2, C t dt t s +==⎰323. 因为当t =0时, s =0, 所以C =0. 因此位移函数为s =t 3. (1)在3秒后物体离开出发点的距离是s =s (3)=33=27.(2)由t 3=360, 得物体走完360m 所需的时间11.73603≈=t s. 4. 证明函数x e 221, e x sh x 和e x ch x 都是x x e xsh ch -的原函数.证明 x x xx x x x x x e ee e e e e e x x e 222sh ch ==--+=----. 因为x x e e 22)21(=', 所以x e 221是x x e xsh ch -的原函数.因为(e x sh x )'=e x sh x e x ch x =e x (sh x ch x )x xx x x x e e e e e e 2)22(=++-=--, 所以e x sh x 是xx e xsh ch -的原函数.因为(e x ch x )'=e x ch x e x sh x =e x (ch x sh x )x xx x x x e e e e e e 2)22(=-++=--, 所以e xch x 是xx e x sh ch -的原函数.习题4-21. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: )74(41+=x d dx :(1) dx = d (ax );解dx = a 1d (ax ).(2) dx = d (7x -3);解dx = 71d (7x -3).(3) xdx = d (x 2); 解xdx = 21 d (x 2).(4) x d x = d (5x 2);解x d x = 101d (5x 2).(5))1( 2x d xdx -=;解 )1( 212x d xdx --=.(6)x 3dx = d (3x 4-2);解x 3dx = 121d (3x 4-2).(7)e 2x dx = d (e 2x ); 解e 2x dx = 21 d (e 2x ).(8))1( 22x x ed dxe --+=;解 )1( 2 22x xe d dx e --+-=.(9))23(cos 23sin x d xdx =;解 )23(cos 32 23sin x d xdx -=.(10)|)|ln 5( x d xdx=; 解 |)|ln 5( 51x d x dx =. (11)|)|ln 53( x d xdx-=; 解|)|ln 53( 51x d x dx --=. (12))3(arctan 912x d x dx=+; 解 )3(arctan 31912x d x dx =+. (13))arctan 1( 12x d xdx -=-;解)arctan 1( )1( 12x d xdx --=-.(14))1( 122x d x xdx -=-.解)1( )1( 122x d x xdx --=-.2. 求下列不定积分(其中a , b , ω, ϕ均为常数): (1)⎰dt e t 5; 解 C e x d e dt e xx t +==⎰⎰55551551. (2)⎰-dx x 3)23(; 解 C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰433)23(81)23()23(21)23(. (3)⎰-dx x 211; 解C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰|21|ln 21)21(21121211.(4)⎰-332xdx ;解C x C x x d x xdx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)32(21)32(2331)32()32(3132. (5)⎰-dx e ax bx)(sin ;解C be ax ab x d e b ax d ax a dx e ax b xb xbx+--=-=-⎰⎰⎰cos 1)()(sin 1)(sin .(6)⎰dt tt sin ;解⎰⎰+-==C t t d t dt tt cos 2sin 2sin .(7)⎰⋅xdx x 210sec tan ;解 ⎰⋅xdx x 210sec tan C x x xd +==⎰1110tan 111tan tan . (8)⎰xx x dxln ln ln ;解C x x d x x d x x x x x dx +===⎰⎰⎰|ln ln |ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln .(9)⎰+⋅+dx xx x 2211tan ;解 ⎰+⋅+dx x x x 2211tan 2222211cos 1sin 11tan x d x x x d x +++=++=⎰⎰C x x d x ++-=++-=⎰|1cos |ln 1cos 1cos 1222.(10)⎰xx dxcos sin ;解 C x x d xdx x x x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan 1tan sec cos sin 2. (11)⎰-+dx e e xx 1;解 ⎰-+dx e e xx 1C e de edx e e x x xx x +=+=+=⎰⎰arctan 11122.(12)⎰-dx xe x 2; 解 .21)(212222C e x d e dx xe x x x +-=--=---⎰⎰ (13)⎰⋅dx x x )cos(2;解 C x x d x dx x x +==⋅⎰⎰)sin(21)()cos(21)cos(2222. (14)⎰-dx xx 232;解C x C x x d x dx x x+--=+--=---=-⎰⎰-2212221223231)32(31)32()32(6132.(15)⎰-dx xx 4313; 解⎰⎰+--=---=-C x x d x dx x x |1|ln 43)1(11431344443.(16)⎰++dt t t ))sin((cos 2ϕωϕω; 解 C t t d t dt t t ++-=++-=++⎰⎰)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322ϕωωϕωϕωωϕωϕω. (17)⎰dx x x3cos sin ; 解 C x C x x xd dx xx +=+=-=--⎰⎰2233sec 21cos 21cos cos cos sin . (18)⎰-+dx x x xx 3cos sin cos sin ; 解 )sin cos (cos sin 1cos sin cos sin 33x x d x x dx x x x x +--=-+⎰⎰ C x x x x d x x +-=--=⎰-3231)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin .(19)⎰--dx xx 2491;解dx xx dx xdx xx ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21.(20)⎰+dx xx 239; 解 C x x x d xx d x x dx x x ++-=+-=+=+⎰⎰⎰)]9ln(9[21)()991(21)(9219222222223. (21)⎰-dx x 1212;解⎰⎰⎰+--=+-=-dx x x dx x x dx x )121121(21)12)(12(11212 ⎰⎰++---=)12(121221)12(121221x d x x d x C x x C x x ++-=++--=|1212|ln 221|12|ln 221|12|ln 221.(22)⎰-+dx x x )2)(1(1;解C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1.(23)⎰xdx 3cos ;解 C x x x d x x d x xdx +-=-==⎰⎰⎰3223sin 31sin sin )sin 1(sin cos cos .(24)⎰+dt t )(cos 2ϕω; 解 C t t dt t dt t +++=++=+⎰⎰)(2sin 4121)](2cos 1[21)(cos 2ϕωωϕωϕω. (25)⎰xdx x 3cos 2sin ; 解 ⎰xdx x 3cos 2sin C x x dx x x ++-=-=⎰cos 215cos 101)sin 5(sin 21. (26)⎰dx xx 2cos cos ;解 C x x dx x x dx x x ++=+=⎰⎰21sin 23sin 31)21cos 23(cos 212cos cos .(27)⎰xdx x 7sin 5sin ; 解 C x x dx x x xdx x ++-=--=⎰⎰2sin 4112sin 241)2cos 12(cos 217sin 5sin . (28)⎰xdx x sec tan 3;解 x d x xdx x x xdx x sec tan tan sec tan sec tan 223⎰⎰⎰=⋅=C x x x d x +-=-=⎰sec sec 31sec )1(sec 32.(29)⎰-dx xx2arccos 2110;解C x d x d dx xx xxx+-=-=-=-⎰⎰⎰10ln 210)arccos 2(1021arccos 10110arccos 2arccos 2arccos 22arccos 2.(30)⎰+dx x x x )1(arctan ;解C x x d x x d x xdx x x x +==+=+⎰⎰⎰2)(arctan arctan arctan 2)1(arctan 2)1(arctan .(31)⎰-221)(arcsin xx dx;解C xx d x x x dx+-==-⎰⎰arcsin 1arcsin )(arcsin 11)(arcsin 222.(32)⎰+dx x x x 2)ln (ln 1; 解C xx x x d x x dx x x x+-==+⎰⎰ln 1)ln ()ln (1)ln (ln 122. (33)⎰dx xx xsin cos tan ln ;解⎰⎰⎰=⋅=x d x x xdx x x dx x x x tan tan tan ln sec tan tan ln sin cos tan ln 2C x x d x +==⎰2)tan (ln 21tan ln tan ln .(34)⎰-dx x a x 222(a >0);解⎰⎰⎰⎰-===-dt t a dt t a tdt a t a t a t a x dx xa x 22cos 1sin cos cos sin sin 22222222令, C x a xa x a C t a t a +--=+-=222222arcsin 22sin 421. (35)⎰-12x x dx ;解C x C t dt tdt t t t tx x x dx +=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或C x x d x dx xx x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222.(36)⎰+32)1(x dx ;解C t tdt t d t tx x dx +==+=+⎰⎰⎰sin cos tan )1(tan 1tan )1(3232令C x x ++=12.(37)⎰-dx xx 92; 解⎰⎰⎰=-=-tdt t d tt t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令 C x x C t t dt t+--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.(38)⎰+xdx 21;解C x x C t t dt t tdt t t x xdx ++-=++-=+-=+=+⎰⎰⎰)21ln(2)1ln()111(11221令.(39)⎰-+211x dx ;解⎰⎰⎰⎰-=+-=+=-+dt tdt t tdt t tx x dx)2sec211()cos 111(cos cos 11sin 1122令 C xxx C t t t C t t +-+-=++-=+-=211arcsin cos 1sin 2tan . (40)⎰-+21x x dx .解⎰⎰⎰+-++=⋅+=-+dt tt tt t t tdt t t tx x x dx cos sin sin cos sin cos 21cos cos sin 1sin 12令C t t t t t d t t dt +++=+++=⎰⎰|cos sin |ln 2121)cos (sin cos sin 12121 C x x x ++-+=|1|ln 21arcsin 212.习题4-3求下列不定积分: 1. ⎰xdx x sin ; 解C x x x xdx x x x xd xdx x ++-=+-=-=⎰⎰⎰sin cos cos cos cos sin .2. ⎰xdx ln ;解 C x x x dx x x x xd x x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰ln ln ln ln ln . 3. ⎰xdx arcsin ;解 ⎰⎰-=x xd x x xdx arcsin arcsin arcsin ⎰--=dx xx x x 21arcsinC x x x +-+=21arcsin . 4. ⎰-dx xe x ;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dx e xe xde dx xe x x x x C x e C e xe x x x ++-=+--=---)1(. 5. ⎰xdx x ln 2; 解 ⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x ln 31ln 31ln 31ln 3332 C x x x dx x x x +-=-=⎰332391ln 3131ln 31.6. ⎰-xdx e x cos ; 解因为⎰⎰⎰⎰------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos ⎰⎰-----+-=-=x x x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin⎰-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin ,所以 C x x e C x e x e xdx e x x x x +-=+-=----⎰)cos (sin 21)cos sin (21cos .7. ⎰-dx xe x 2sin 2;解因为⎰⎰⎰-----==x x x x de xx e x d e dx x e 22222cos 22cos 22cos 22sin⎰⎰----+=+=2sin 82cos 22cos 42cos 22222xd e x e dx x e x e x x x x⎰----+=x x x de xx e x e 2222sin 82sin 82cos 2⎰---++=dx xe x e x e x x x 2sin 162sin 82cos 2222,所以 C xx e dx x e x x ++-=--⎰)2sin 42(cos 1722sin 22.8. ⎰dx xx 2cos ;解 C xx x dx x x x x xd dx x x ++=-==⎰⎰⎰2cos 42sin 22sin 22sin 22sin 22cos .9. ⎰xdx x arctan 2; 解 ⎰⎰⎰+⋅-==dx x x x x xdx xdx x 233321131arctan 31arctan 31arctan ⎰⎰+--=+-=2232223)111(61arctan 31161arctan 31dx xx x dx x x x x C x x x x +++-=)1ln(6161arctan 31223.10. ⎰xdx x 2tan解 ⎰⎰⎰⎰⎰+-=-=-=x xd x xdx xdx x dx x x xdx x tan 21sec )1(sec tan 2222C x x x x xdx x x x +++-=-+-=⎰|cos |ln tan 21tan tan 2122.11. ⎰xdx x cos 2;解 ⎰⎰⎰⎰+=⋅-==x xd x x xdx x x x x d x xdx x cos 2sin 2sin sin sin cos 2222C x x x x x xdx x x x x +-+=-+=⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin 22. 12. ⎰-dt te t 2;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dt e te tde dt te t t tt 2222212121 C t e C e te t t t ++-=+--=---)21(214121222.13. ⎰xdx 2ln ;解 ⎰⎰⎰-=⋅⋅-=xdx x x dx xx x x x xdx ln 2ln 1ln 2ln ln 222C x x x x x dx x x x x x x ++-=⋅+-=⎰2ln 2ln 12ln 2ln 22.14. ⎰xdx x x cos sin ; 解 ⎰⎰⎰⎰+-=-==xdx x x x xd xdx x xdx x x 2cos 412cos 412cos 412sin 21cos sin C x x x ++-=2sin 812cos 41.15. ⎰dx xx 2cos 22; 解 ⎰⎰⎰⎰-+=+=+=xdx x x x x x d x x dx x x dx x x sin sin 2161sin 2161)cos 1(212cos 2323222⎰⎰-++=++=xdx x x x x x x xd x x x cos cos sin 2161cos sin 21612323C x x x x x x +-++=sin cos sin 216123.16. ⎰-dx x x )1ln(; 解 ⎰⎰⎰-⋅--=-=-dx x x x x dx x dx x x 1121)1ln(21)1ln(21)1ln(222 ⎰-⋅++--=dx x x x x )111(21)1ln(212C x x x x x +-----=)1ln(212141)1ln(2122.17. ⎰-xdx x 2sin )1(2;解 ⎰⎰⎰⋅+--=--=-xdx x x x x d x xdx x 22cos 212cos )1(212cos )1(212sin )1(222 ⎰+--=x xd x x 2sin 212cos )1(212⎰-+--=xdx x x x x 2sin 212sin 212cos )1(212C x x x x x +++--=2cos 412sin 212cos )1(212.18. ⎰dx x x 23ln ;解⎰⎰⎰⎰+-=+-=-=xdx xx x x d x x x x xd dx x x22333323ln 13ln 1ln 1ln 11ln ln⎰⎰+--=--=x d xx x x x x xd x x 22323ln 13ln 3ln 11ln 3ln 1⎰⎰---=+--=x xd x x x x dx x x x x x x 1ln 6ln 3ln 1ln 16ln 3ln 123223⎰+---=dx xx x x x x x 22316ln 6ln 3ln 1C x x x x x x x +----=6ln 6ln 3ln 123.19. ⎰dx e x3;解 ⎰⎰⎰==t t xde t dt e t t x dx e223333令⎰⎰-=-=t t t t tde e t dt te e t 636322 ⎰+-=dt e te e t t t t 6632 C e te e t t t t ++-=6632 C x x ex ++-=)22(33323.20. ⎰xdx ln cos ; 解因为⎰⎰⋅⋅+=dx xx x x x xdx 1ln sin ln cos ln cosdx xx x x x x x xdx x x 1ln cos ln sin ln cos ln sin ln cos ⋅⋅-+=+=⎰⎰⎰-+=xdx x x x x ln cos ln sin ln cos , 所以 C x x xxdx ++=⎰)ln sin ln (cos 2ln cos .21. ⎰dx x 2)(arcsin ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=dx xx x x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰--+=dx x x x x 2arcsin 12)(arcsin 22 C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22. 22. ⎰xdx e x 2sin . 解 ⎰⎰⎰-=-=xdx e e dx x e xdx e xx x x 2cos 2121)2cos 1(21sin 2, 而 dx x e x e xde xdx e x x x x ⎰⎰⎰+==2sin 22cos 2cos 2cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e de x x e x x x x x 2cos 42sin 22cos 2sin 22cos ,C x x e xdx e x x ++=⎰)2sin 22(cos 512cos ,所以 C x x e e xdx e x x x ++-=⎰)2sin 22(cos 10121sin 2.习题4-4求下列不定积分:1. dx x x ⎰+33;解 dx x x x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰+-+-+=+-+=+327)93)(3(327273233 ⎰⎰+-+-=dx x dx x x 3127)93(2 C x x x x ++-+-=|3|ln 279233123.2. ⎰-++dx x x x 103322;解 C x x x x d x x dx x x x +-+=-+-+=-++⎰⎰|103|ln )103(1031103322222.3. ⎰--+dx xx x x 3458; 解 ⎰⎰⎰--++++=--+dx xx x x dx x x dx x x x x 3223458)1(8 ⎰⎰⎰--+-+++=dx x dx x dx x x x x 13148213123C x x x x x x +--+-+++=|1|ln 3|1|ln 4||ln 8213123.4. ⎰+dx x 133;解 ⎰⎰⎰+-⋅++--⋅-+=+-+-++=+dx x x x x x x dx x x x x dx x )11231122111()1211(132223⎰⎰-+-++-+--+=)21()23()21(123)1(1121|1|ln 2222x d x x x d x x xC x x x x +-++-+=312arctan31|1|ln2. 5. ⎰+++)3)(2)(1(x x x xdx;解dx x x x x x x xdx )331124(21)3)(2)(1(+-+-+=+++⎰⎰C x x x ++-+-+=|)1|ln |3|ln 3|2|(ln 21.6. ⎰-++dx x x x )1()1(122;解 ⎰⎰+--⋅++⋅=-++dx x x x dx x x x ])1(111211121[)1()1(1222 C x x x +++-+-=11|1|ln 21|1|ln 21C x x +++-=11|1|ln 212.7. dx x x )1(12+⎰; 解 C xx dx x x x dx x x ++-=+-=+⎰⎰)1ln(21||ln )11()1(1222.8. ⎰++))(1(22x x x dx;解⎰⎰+⋅-++⋅-=++dx x x x x x x x dx )112111211())(1(222⎰++-+-=dx x x x x 1121|1|ln 21||ln 2⎰⎰+-+-+-=dx x dx x x x x 11211241|1|ln 21||ln 22C x x x x +-+-+-=arctan 21)1ln(41|1|ln 21||ln 2.9. ⎰+++)1)(1(22x x x dx; 解dx x xx x x x x x dx )111()1)(1(2222⎰⎰+-+++=+++)1ln(21112111221222+-++++++=⎰⎰x dx x x x x x ⎰++++-++=dx x x x x x 1121)1ln(21|1|ln 21222C x x x x ++++-++=312arctan 33)1ln(21|1|ln 2122. 10. ⎰+dx x 114;解dx x x x x dx x ⎰⎰+-++=+)12)(12(111224⎰⎰+-+-++++=dx x x x dx x x x 12214212214222⎰⎰+----++++=dx x x x dx x x x 1222)22(21421222)22(214222 )1212(41]12)12(12)12([82222222⎰⎰⎰⎰+-+++++-+--++++=x x dxx x dx x x x x d x x x x d C x x x x x x +-++++-++=)12arctan(42)12arctan(42|1212|ln 8222. 11. ⎰++--dx x x x 222)1(2; 解 ⎰⎰⎰++-++-=++--dx x x dx x x x dx x x x 11)1(1)1(2222222 ⎰⎰⎰++-++-+++=dx x x dx x x dx x x x 11)1(123)1(122122222 ⎰⎰++-++-++⋅-=dx x x dx x x x x 11)1(12311212222, 因为)312arctan(32)312()312(11321122+=+++=++⎰⎰x x d x dx x x , 而⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1由递推公式 ⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dxn a x x n a a x dx ,得⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1312arctan 323211231)1121()23(212222+⋅++++⋅=++++++=⎰x x x x x x dx x x x , 所以 ⎰++--dx x x x 222)1(2C x x x x x x x ++-+-+++-++⋅-=312arctan 32312arctan 3211221112122C x x x x ++-+++-=312arctan34112.12. ⎰+x dx2sin 3;解⎰⎰⎰+=-=+x d x dx x x dx tan 3tan 41cos 41sin 3222C x x d x +=+=⎰3tan 2arctan321tan )23(tan 14122.13.⎰+dx x cos 31;解 ⎰⎰⎰+=+=+)2sec 1(2cos )2(2cos 121cos 31222x x x d x dx dx x ⎰+=+=C x x x d 22tanarctan 212tan 22tan 2. 或⎰⎰+⋅++=+du u u u xu dx x221212312tancos 31令 C xC u du u +=+=+=⎰22tan arctan212arctan21)2(122. 14.⎰+dx x sin 21;解 ⎰⎰⎰+=+=+)2cot 2(csc 2sin )2(2cos 2sin 22sin 2122x x x x d x x dx dx x⎰⎰+++-=++-=222)23()212(cot )212(cot 12cot 2cot )2(cot x x d x x x dC x ++-=312cot 2arctan 32. 或⎰⎰+⋅++=+du u u u xu dx x221212212tansin 21令 ⎰⎰++=++=du u du u u 222)23()21(111C xC u ++=++=312tan 2arctan 32312arctan 32. 15.⎰++x x dxcos sin 1;解 ⎰⎰⎰+=+=+=++C x x xd x x dx x x dx |2tan |ln 2tan1)2(tan )2tan 1(2cos 21cos sin 12. 或⎰⎰+⋅+-+++=++du u u u u ux u xx dx2222121112112tancos sin 1令C xC u du u ++=++=+=⎰|12tan |ln |1|ln 11. 16.⎰+-5cos sin 2x x dx; 解⎰⎰⎰++=+⋅++--+=+-du u u du u u u u ux u x x dx2231125111412tan5cos sin 222222令C xC u du u ++=++=++=⎰512tan 3arctan 51513arctan 51)35()31(13122. 或⎰⎰+⋅++--+=+-du uu uu u x u x x dx2222125111412tan5cos sin 2令⎰⎰++=++=du u du u u 222)35()31(1312231C xC u ++=++=512tan 3arctan 51513arctan 51. 17.⎰++dx x 3111;解⎰⎰⎰++-=⋅+=+=++du uu du uu ux dx x )111(33111111233令 C x x x C u u u +++++-+=+++-=)11ln(313)1(23|1|ln 332333322.18.⎰++dx x x 11)(3;解C x x x dx x x dx x x ++-=+-=++⎰⎰232233221]1)[(11)(.19.⎰++-+dx x x 1111;解⎰⎰⎰++-=⋅+-=+++-+du u u udu u u u x dx x x )122(221111111令 C u u u +++-=|)1|ln 2221(22C x x x +++++-+=)11ln(414)1(. 20.⎰+4xx dx ;解⎰⎰⋅+=+du uu u u x xx dx 324441令C u u u du uu +++-=++-=⎰|1|ln 442)111(42 C x x x +++-=)1ln(4244.21.⎰+-xdxx x 11;解令u x x=+-11, 则2211u u x +-=, du u u dx 22)1(4+-=,⎰⎰⎰++-=+-⋅-+⋅=+-du uu du u u u u u x dx x x )1111(2)1(41111222222 C u u u +++-=arctan 2|11|ln C xxxx x x ++-+++-+--=11arctan2|1111|ln . 22.⎰-+342)1()1(x x dx .解令u x x =-+311, 则1133-+=u u x , 232)1(6--=u udx , 代入得C x x C u du x x dx +-+-=+-=-=-+⎰⎰334211232323)1()1(.总习题四求下列不定积分(其中a , b 为常数):1. ⎰--x x e e dx;解 C e e de e dx e e e e dxx x xx x xxx ++-=---=-⎰⎰⎰-|11|ln 2111122.2. dx x x ⎰-3)1(; 解C x x dx x dx x dx x x+-⋅+-=----=-⎰⎰⎰2323)1(12111)1(1)1(1)1(. 3. ⎰-dx xa x 662(a >0);解 C ax a x a x d x a dx x a x +-+=-=-⎰⎰||ln 61)()()(1313333332323662.4. ⎰++dx x x xsin cos 1;解 C x x x x d x x dx x x x ++=++=++⎰⎰|sin |ln )sin (sin 1sin cos 1.5. ⎰dx xxln ln ; 解 C x x x dx x x x x x x xd dx x x +-⋅=⋅⋅-⋅==⎰⎰⎰ln ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln ln ln ln ln ln .6.⎰+dx x xx 4sin 1cos sin ; 解 C x x d x x d xx dx x x x +=+=+=+⎰⎰⎰222244sin arctan 21)(sin )(sin 1121sin sin 1sin sin 1cos sin . 7. ⎰xdx 4tan ; 解 xxd x x d xx xdx tan sin tan tan cos sin tan 22244⎰⎰⎰==⎰⎰++-=+=x d x x x d x x tan )1tan 11(tan tan 1tan tan 2224c x x x c x x x ++-=++-=tan tan 31tan arctan tan tan 3133.8. ⎰xdx x x 3sin 2sin sin ; 解 ⎰⎰--=xdx x x xdx x x 3sin )cos 3(cos 213sin 2sin sin ⎰⎰+-=xdx x xdx x 3sin cos 213sin 3cos 21 ⎰⎰++=dx x x x xd )2sin 4(sin 41)3(cos 3cos 61 C x x x +--=2cos 814cos 1613cos 1212. 9.⎰+)4(6x x dx;解 C x x dx x x x x x dx++-=+-=+⎰⎰)4ln(241||ln 41)41(41)4(6656.10.)0(>-+⎰a dx xa xa ; 解⎰⎰⎰⎰-+-=-+=-+dx xa xdx x a a du x a x a dx x a x a 2222221C x a a xa +--=22arcsin .11.⎰+)1(x x dx ;解C x x C x x x d x x x dx +++=+++=+=+⎰⎰)1ln(2))(1ln(2)(112)1(22.12. ⎰xdx x 2cos ; 解 ⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x x xdx x 2sin 4141)2cos (21cos 22 C x x x x xdx x x x +++=-+=⎰2cos 812sin 41412sin 412sin 414122.13. ⎰bxdx e ax cos ; 解因为dx bx e a b bx e a bxde a bxdx e ax axax ax ⎰⎰⎰+==sin cos 1cos 1cos dx bx e ab bx e a b bx e a de bx a b bx e a ax ax ax axax ⎰⎰-+=+=cos sin cos 1sin cos 12222,所以 C bx e ab bx e a b a a bxdx e axax ax+++=⎰)sin cos 1(cos 2222C bx b bx a e ba ax +++=)sin cos (122.14.⎰+xedx 1;解⎰⎰⎰⎰+--=-=-=++du u u du u u d u u e edx xx)1111(112)1ln(11122令.c e e c u u x x +++-+=++-=1111ln |11|ln .15.⎰-122x xdx ;解C t tdt tdt t t t tx x x dx+==⋅⋅=-⎰⎰⎰sin cos tan sec tan sec 1sec 1222令C xx +-=12.16.⎰-2/522)(x a dx;解⎰⎰⋅=-tdt a t a ta x x a dx cos )cos (1sin )(52/522令⎰⎰+==t d t adt ta tan )1(tan1cos 112444C t at a++=tan 1tan 31434C xa x ax a x a+-+-⋅=224322341)(31.17.⎰+241xxdx;解tdt t t tx x xdx 2424secsec tan 1tan 1⋅⋅=+⎰⎰令⎰⎰==t d t tdt t tsin sin cos sin cos 4243 C t tt d t t ++-=-=⎰sin 1sin 31sin )sin 1sin 1(324 C xx x x ++++-=233213)1(.18.⎰dx x x sin ;解⎰⎰⎰=⋅=tdt t tdt t t t x dx x x sin 22sin sin 2令⎰⎰⋅+-=-=tdt t t t t d t 2cos 2cos 2cos 222⎰⎰-+-=+-=tdt t t t t t td t t sin 4sin 4cos 2sin 4cos 222 C t t t t t +++-=cos 4sin 4cos 22C x x x x x +++-=cos 4sin 4cos 2. 19. ⎰+dx x )1ln(2;解 ⎰⎰+⋅-+=+dx xx x x x dx x 22212)1ln()1ln(⎰+--+=dx x x x )111(2)1ln(22C x x x x ++-+=arctan 22)1ln(2. 20.⎰dx x x32cos sin ;解 x d x xx x d x x dx x xtan )1tan tan (tan tan cos sin cos sin 2232⎰⎰⎰+-== C x x ++-=)1ln(tan 21tan 2122.21. ⎰dx x arctan ;解 x d xx x x dx x ⎰⎰+⋅-=11arctan arctan x d xx x ⎰+⋅--=)111(arctan C x x x x ++-=arctan arctan C x x x +-+=arctan )1(. 22.dx xx⎰+sin cos 1;解C x x x d x dx x x xdx x x +-===+⎰⎰⎰|2cot 2csc |ln 222csc 22cos2sin 22cos2sin cos 1. 23.⎰+dx x x 283)1(;解 C x x x dx x dx x x +++⋅=+=+⎰⎰]arctan 1[2141)1(141)1(484428283. 提示: 已知递推公式⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dxn a x x n a a x dx . 24. ⎰++dx x x x 234811; 解 ⎰⎰⎰++=++=++dt t t t t x dx x x x dx x x x 234123412322444884811令 ⎰⎰+++-=+++-=dt t t dt t t t )11241(41)23231(412 C t t t ++++-=|1|ln 41|2|ln 41C x x x ++++=21ln 414444.25.⎰-416x dx;解⎰⎰⎰++-=+-=-dx x x dx x x x dx)4141(81)4)(4(11622224C xx x ++-+=)2arctan 21|22|ln 41(81C x x x ++-+=2arctan 161|22|ln 321. 26.dx x x⎰+sin 1sin ;解 ⎰⎰⎰-=--=+dx xxx dx x x x dx x x 222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sinC x x x dx x x x++-=+-=⎰tan sec )cos 11cos sin (22.27. dx xxx ⎰++cos 1sin ;解⎰⎰⎰⎰+=+=++dx x xdx x x dx x x x dx x x x 2cossin 212cos 212cos 2sin cos 1sin 222 ⎰⎰+=dx xx xd 2tan 2tanC xx dx x dx x x x +=+-=⎰⎰2tan 2tan 2tan 2tan .28. ⎰-dx x x x x e x23sin cos sin cos ;解 ⎰⎰⎰⋅⋅-⋅⋅=-xdx x e xdx e x dx xx x x ex x xsec tan cos cos sin cos sin sin 23sin⎰⎰-=x d e x d xe x x sec sin sin sin ⎰⎰+⋅-=x x x xde e x xde sin sin sin sec sec⎰⎰⋅⋅+⋅--=xdx e x e x dx e xe x x x x cos sec sec sin sin sin sin C e x xe x x +⋅-=sin sin sec .29.⎰+dx x x x x)(33;解dt t t dt t t t t t t x dx x x x x)111(66)()(52362633+-=⋅+=+⎰⎰⎰令C x x C t t ++=++=66)1(ln 1ln6. 30.⎰+2)1(x e dx;解⎰⎰⎰---=-⋅=++dt t t t dt t tt e e dxx x )1111(1111)1(222令 C tt t ++--=1ln )1ln(C ee x xx ++++-=11)1ln(.31. ⎰+-+dx e e e e x x xx 1243;解)()(1111222243x xx x x x xx x x x x e ed e e dx e e e e dx e e e e ------+=+-+=+-+⎰⎰⎰C e e x x +-=-)arctan( C x +=)sh 2arctan(. 32.⎰+dx e xe xx 2)1(;解⎰⎰⎰+-=++=+11)1()1()1(22x x x x xe xd e d e x dx e xe⎰⎰+++-=+++-=x x x x x x de e e e x dx e e x )1(11111⎰+-++-=x xxxde e ee x )111(1 C e e e xx x x ++-++-=)1ln(ln 1C e e xe x x x++-+=)1ln(1.33. ⎰++dx x x )1(ln 22;解 dx x x x x x x dx x x ])1([ln )1(ln )1(ln 222222'++⋅-++=++⎰⎰ ⎰+⋅++-++=dx xx x x x x x 22221)1ln(2)1(ln⎰+++-++=22221)1ln(2)1(ln x d x x x x x⎰'++⋅+++++-++=dx x x x x x x x x x ])1[ln(12)1ln(12)1(ln 222222 ⎰++++-++=dx x x x x x x 2)1ln(12)1(ln 2222 C x x x x x x x +++++-++=2)1ln(12)1(ln 2222.34.⎰+dx x x2/32)1(ln ;解因为⎰⎰⎰++=+==⋅=+C xx C t tdt tdt t t x dx x 2232/321sin cos sec sec 1tan )1(1令,所以⎰⎰⎰⋅+-+=+=+dx x x xx x x x x xd dx x x111ln )1(ln )1(ln 2222/32 C x x x x x +++-+=)1ln(1ln 22.35. ⎰-xdx x arcsin 12;解⎰⎰⎰+=⋅=-dt t t t tdt t t x xdx x )2cos (21cos sin arcsin 122令⎰⎰-+=+=tdt t t t t t t 2sin 412sin 41412sin 414122C t t t t +++=2cos 812sin 41412122241arcsin 121)(arcsin 41C x x x x x +--+=.36.⎰-dx xx x 231arccos ;解⎰⎰⎰--=-⋅=-2222231arccos 1arccos 1arccos x xd x dx x x x x dx x x x⎰'⋅-+--=dx x x x x x x )arccos (1arccos 12222 ⎰-⋅-⋅-+--=dx xx x x x x x x )11arccos 2(1arccos 122222⎰⎰-⋅-+--=dx x xdx x x x x x 2222arccos 12arccos 1⎰-----=32322)1(arccos 3231arccos 1x xd x x x x⎰-------=dx x x x x x x x )1(32arccos )1(3231arccos 1232322。

(完整版)高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析

高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1—11. 设A=(-, —5)(5, +)，B=［-10， 3), 写出A B，A B, A\B及A\(A\B）的表达式。

解A B=（-, 3）（5, +)，A B=[-10，—5）,A\B=（—， -10)(5， +），A\（A\B）=[-10, -5）.2. 设A、B是任意两个集合，证明对偶律： (A B）C=A C B C。

证明因为x(A B）C x A B x A或x B x A C或x B C x A C B C，所以（A B)C=A C B C。

3. 设映射f : X Y, A X, B X。

证明（1)f(A B)=f(A）f（B）;（2）f（A B)f(A)f（B）.证明因为y f(A B）x A B, 使f（x）=y(因为x A或x B) y f（A）或y f（B)y f(A）f（B),所以f(A B）=f（A)f(B).(2）因为y f(A B）x A B, 使f(x）=y（因为x A且x B） y f(A)且y f（B)yf (A ）f (B ），所以 f (A B ）f （A )f (B )。

4。

设映射f ： XY , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = ， Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个xX , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y 。

证明：f 是双射，且g 是f 的逆映射： g =f —1.证明因为对于任意的yY ，有x =g （y )X , 且f （x ）=f [g （y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1x 2, 必有f (x 1)f (x 2), 否则若f (x 1）=f (x 2)g [ f （x 1)]=g [f (x 2）］x 1=x 2。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

6 (1) (2) (3) (4) (5) (6)
习题3.6
(1) (2) (3) (4) 发散.
习题3.7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 (1) 256; 11(1) (2) 12 14
复习题3
1 (10)
2 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (8) (9) (10)
3 (1) (2) 4 (1) (2) 5 6 最小值为最小值为 7 8 9 10 11
复习题 5
1（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
2（1）A;（2）D;（3）A;（4）C;（5）C;（6）B;（7）A;（8）C;（9） B;（10）B;（11）A （12）C. 3（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 4（1）；（2）；（3）；（4） 5 6 2.4分. 7 (1）；（2）变为20℃；（3）当日7时36分.
1 (1) 2 (1) 3
1(1) (2) (3) 2
3 (1)2; (2)
2 (1) (2) (3) (5) (6)
3
1 (1) (2) (3) (6)
习题3.2 习题3.3 习题3.4 习题3.5
(10) (12) (13) (14) (15) (16) (18) (19) (20) 2 (8) 3 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 4略 5
2 （1）；（2）；（3）.
3.
4 ,.
习题2.2
1 （1）；（2）；（3）；
（4）；
（5）；（6）；
2 （1）；（2）；
（3）；
（4）;
（5）；（6）；
（7）；（8）.
3 （1）；（2）.
习题2.3
1 ,,. 2. 3 （1）；（3）； 4 ..
（2）；（4）.
习题2.4
1 略. 2 （1）；（2）；（3）；（4）.
;
(10) .
10 (1) ; (2) ;(3) ; (4) ;
(5) ; (6) .ຫໍສະໝຸດ 11 .12 点.
13 (1) ; (2) ;(3) ;
(4) ; (5) ; (6) ; (7) ; (8) ;（9) ; (10) ;(11) ; (12) ; (13) ;(14) ; (15) ; (16) ;(17) ; (18) ; (19) ;(20) ; (21) ; (22) ;(23) ; (24) . 14 (1) ; (2) ;(3) ;(4) ; (5) ; (6) ; (7) . 15 (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 16 (1); (2);(3) ;(4) ； (5) ;
习题2.5
1. 2 单增,单减. 3 ,.
习题2.6
1 略.
复习题 2
1 (1); (2) ; (3) .
2 ，，，.
3.
4.
5 ，.
6 不可导，因为.
7 可导.
8 (1) ; (2) ; (3) ;(4) ; (5) ; (6) ;(7) ; (8) ;
(9);(10) ; (11) .
9 (1) ;（2);(3);(4); (5) ; (6) ;(7) ; (8) ; (9)
8 （1）；（2）1；（3）2；（4）；（5）1；（6）1；（7）1；（8）；
（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）
习题1.3
1 在处连续；在处不连续；在处连续.
2 （1）是第二类间断点，无穷间断点；
（2）是第二类间断点，无穷间断点；是第一类间断点，可去间断
点；
（3）是第一类间断点，跳跃间断点；
(6) ;(7) ; (8) ; (9) ; (10) ;（11）; （12）. 17 (1) ; (2) ;
(3) ; (4) . 18 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ;(6) ; (7) ;(8) ; (9) . 19 略. 20 略. 21 略. 22 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ，特别当为正整数时，若时，结果与前相同；，；，. 23 (1) ;(2) ;(3);(4) ; (5) . 24 ；；；. 25 略. 26 (1) (2) ;(3) 27 （1) ; (2) ;(3) ;(4) ; (5) ; (6) ;(7) ;(8) ;
1（1）平面平行轴；（2）平面过点且平行于平面；（3）平面过轴；（4）过坐标原点. 2 (0,6,0). 3 表示球心在，半径为1的球面. 4（1）；（2）. 5. （1）;（2）.
习题 7.2
1 1，. 2. 3 （1）;（2）
（3） ; （4）. 4 （1）；（2）；（3）0；（4）0. 5 略. 6（1）;（2）或（为整数）.
习题 4.3 1（1）(-1,1);（2）(-∞,+∞);（3）[-2,2);（4）[-1,1];（5）(-,); （6）(-∞,+∞);（7）{0};（8）[-1,1];（9）[-,). 2 (1)(2) (3)
习题 4.4 1 2 （2） 3（1）0.156;（2）1.099;（3）3.003;（4）0.946.
（4）是第一类间断点，可去间断点.
3 （1）；（2）；（3）；（4）
4 略.
复习题1
1（1）偶函数; （2）偶函数; （3）奇函数.
2 （1）;（2）;（3）;（4）;（5）;（6）;（7）;（8）;（9）;
（10）;（11）;（12）.
3
4
5 不存在.
6.
7.
8 略.
9略
习题2.1
1 （1）正确；（2）正确.
习题 4.1 1（1）√;（2）×;（3）×;（4）√. 2（1）（2）（3）（4）（5）（6） 3（1）收敛（2）发散;（3）收敛（4）发散;（5）发散;（6）发散; （7）发散;（8）收敛 ;（9）发散.
4 收敛 5
习题 4.2 1（1）收敛;（2）收敛;（3）收敛;（4）发散. 2（1）收敛;（2）发散;（3）发散;（4）发散;（5）发散;（6）收敛; （7）收敛;（8）收敛;（9）收敛. 3（1）绝对收敛;（2）绝对收敛;（3）条件收敛;（4）发散;（5）条件收敛;（6）绝对收敛;（7）发散;（8）绝对收敛;（9）绝对收敛.
习题 6.1 1（1）; （2）; （3）; （4）; （5）; （6）. 2（1）, . （2）, . （3）, . （4）, . 3略 4（1） ; （2）; （3）; （4）.
习题 6.2 1（1）;（2）; （3）; （4）; （5）; （6）; （7）; （8）; （9）; 2（1）;（2）;（3）;（4）; （5）;（6）;（7）;（8）; （9）; （10）或 ;（11）; （12）. 3（1）;（2）;（3）; （4）. 4.
(7) 极大值 ,极小值 ; (8) 极小值. 39 (1) 极大值 ,极小值 ;
(2) 极大值 ,极小值 ; (3) 极小值; (4) 极小值. 40 (1) 最小值 ,最大值 ; (2) 最小值 ,最大值;
(3) 最小值 ,最大值 ; (4) 最小值 ,最大值. 41 底边长米,高米. 42 长米,宽米. 43 底半径米,高为底半径倍. 44 次/日, 只/次. 45 小时. 46 . 47 (1)
习题7.3
1（1）
（2）
（3）
（4）
2 1.
3（1）
（2）
习题7.4
1 （1）（2）
（3）
（4）
2
习题7.5
1
2
3
4
5
6
习题7.6
1 极大值 , 极小值
2 极大值 .
3 达最大时，总产量为10；
复习题6 1（1）√;（2）×;（3）×;（4）×;（5）√;（6）×. 2（1）拉氏, 象, 拉氏逆 , 原象;（2）,;（3）, . 3（1）;（2）;（3）;（4）. 4（1）;（2）;（3）; （4）;（5）（6）. 5（1）;（2）;（3）; （4）. 6（1）;（2）. 7. 8,.
习题7.1
习题 6.3 1（1）;（2）;（3）;（4）;（5）; （6）;（7）;（8）;（9）. 2（1）;（2）;（3）; （4）;（5）;
（6）;（7）;（8）; （9）.
习题 6.4 1（1）;（2）;（3）; （4）;（5）; （6）. 2（1）;（2）. 3（1）;（2）;（3）. 4. 5.
(9) ;(10) ; (11) ; (12) .
28 (1) ; (2) ;(3) ;(4) ;(5) ; (6) .
29 (1)满足,; (2) 满足 ,; (3) 满足,; (4) 满足,. 30 (1)满足, ;(2) 满足,;
(3)满足,（或舍去）. 31 略. 32 略 . 33 略. 34 (1) ;(2) ; (3) ; (4) ;(5) ;(6) ;（7） ;（8） ; （9）;（10）;（11）;（12）. 35 (1) ，单调递减；，单调递增 ;
习题答案
习题1.1
1.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）；（8）
2.（1）；（2）；（3） 3.（1）不相同；（2）相同；（3）相同；（4）相同. 4. 5.（1）；（2） 6. ；； 7. 8. 9. 偶函数；奇函数；奇函数；非奇非偶函数. 10.（1）；（2）；
（3）；（4）；（5）；（6） 11. 12.
习题1.2
1 ，，；，，不存在.
2略 3
不存在 4 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）1；（9）0；（10）；（11）；（12） 5 （1）；（2）；（3）；
（4） 6 （1）0；（2）0；（3）0；（4）0；（5）；（6）；（7）0；（8） 0. 7 （1）是比高价的无穷小；（2）等价.