郑州大学高等数学下课后习题答案解析

习题7.73.指出下列方程所表示的曲线.（1）⎩⎨⎧==++;3,25222x z y x （2）⎩⎨⎧==++;1,3694222y z y x（3）⎩⎨⎧-==+-;3,254222x z y x （4）⎩⎨⎧==+-+.4,08422y x z y【解】（1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ；（2）表示平面1=y 上的椭圆19323222=+zx ；（3）表示平面3-=x 上的双曲线141622=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z .4.求()()⎪⎩⎪⎨⎧=++=++Γ2,21,:2222222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 22243R y x =+ 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为⎪⎩⎪⎨⎧==+.0,43222z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得R z 21=所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧==（三）（1）、（2）联立消去x 得R z 21=所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为.23.0,21R y x R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧==6.求由球面224y x z --= ①和锥面()223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域.【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧==+.0,122z y x所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D .习题7.82.设空间曲线C 的向量函数为(){}t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与20=t 相应的点处的单位切向量.【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为(){}2,4,42='r .C 相应20=t 的点处的单位切向量为(){}.31,32,322,4,4612⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=±=' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为()()(){}|1,,='''=t t z t y t x {}{}3,2,13,2,1|12===t t t .所以，Γ在0M 点处的切线方程为 312111-=-=-z y x . 法平面为()()()01.31.21.1=-+-+-z y x ，即 0632=-++z y x .4.在曲线32,,:t z t y t x ===Γ上求一点，使在该点处的切线平行于平面y x 2:+π4=+z .【解】平面y x 2+4=+z 的法向量为{}1,2,1=n .在Γ上任取一点()0000,,z y x M ，并设0M 对应参数0t t =.Γ在0M 点处的切线方向为()()(){}000,,t z t y t x '''={}{}20023,2,13,2,1|0t t t t tt ===. 由题意，欲使0M 点处的切线与平面π平行，只须与垂直，为此令200341.0t t n s ++==，即0341200=++t t .解之得， 10-=t 或 310-=t .所以，所求点为()1,1,10---M 或⎪⎭⎫⎝⎛-271,91,310M .5.求曲线⎰=tu udu e x C 0cos :，t t y cos sin 2+=，t e z 31+=在0=t 处的切线方程和法平面方程.【解】参数0=t 对应曲线C 上的点()2,1,00M .C 在0M 点处的切线方向为()()(){}|,,='''=t t z t y t x s {}{}3,2,13,s i n c o s 2,c o s |3=-==t tt e t t t e .所以，Γ在0M 点处的切线方程为322110-=-=-z y x . 法平面为()()()02.31.20.1=-+-+-z y x ，即 0832=-++z y x .习题8.11.求下列函数的的定义域，并画出定义域的图形. （3）221yx z w --=；（4）19222222-++---=z y x z y x u .【解】（3）要使函数表达式有意义，必须满足 0122>--y x 即 122<+y x 故所求函数的定义域为(){}1|,22<+=y x y x D . （4）要使函数表达式有意义，必须满足⎪⎩⎪⎨⎧>-++≥---.01,09222222z y x z y x 即 ⎪⎩⎪⎨⎧>++≤++.1,9222222z y x z y x 故所求函数的定义域为(){}91|,,222≤++<=z y x z y x D .3.求下列各极限. （1）()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→z y x z y x 111lim3,2,1,,； （2）()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x y y x y x 1sin 1sin lim 0,0,； （3）()()()xyy x xy tan 10,0,1lim+→； （4）()()()22220,0,lim y x y x xy y x +-→；（5）()()y x y x y x +-++→11lim220,0,； （6）()()2220,0,lim yx yx y x +→. 【解】（1）因为函数()zy x z y x f 111,,++=是三元初等函数，其定义域为(){}0,0,0|,,≠≠≠=z y x z y x D ，且()D ∈3,2,1，所以三元函数()zy x z y x f 111,,++=在()3,2,1处连续，从而有 ()()611312111111lim3,2,1,,=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→z y x z y x . （2）()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→x y y x y x 1sin 1sin lim 0,0, ()()y x y x 1sinlim0,0,→=()()0001sin lim 0,0,=+=+→xy y x . 【其中()()y x y x 1sinlim 0,0,→()()01sin lim 0,0,==→xy y x 均是利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】. （3）()()()xyy x xy tan 10,0,1lim+→()()()e e xy xyxyxyy x ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→1tan 10,0,1lim.（4）()()()22220,0,lim y x y x xy y x +-→()()()0.lim 22220,0,=+-=→xy y x y x y x .【上述结论中用到12222≤+-y x y x 及()()0lim 0,0,=→xy y x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】. （5）()()y x y x y x +-++→11lim220,0,()()()()11lim 22220,0,+++++=→y x y x y x y x()()().lim 220,0,y x y x y x ++=→()().0210111lim220,0,=⨯=+++→y x y x 【上述结论中用到()y x yx y x y x y x +=++≤++≤2220，()()()0lim 0,0,=+→y x y x 及夹逼准则】.（6）()()2220,0,lim y x y x y x +→()()0.lim 2220,0,=+=→y y x x y x .【上述结论中用到1222≤+yx x 及()()0lim 0,0,=→y y x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】.4.证明极限()()4220,0,lim y x xy y x +→不存在.【证】（一）让动点()y x P ,沿直线0=y 趋于点()0,0O 时，()4220lim y x xy y x +=→000.lim 4220=+=→x x x . （二）让动点()y x P ,沿抛物线x y =2趋于点()0,0O 时，()42202lim y x xy xy x +=→21.l i m 220=+=→x x x x x .习题8.21.证明：函数()444,y x y x f +=在原点()0,0处连续，但不存在偏导数()0,0x f '，()0,0y f '.【证明】 （一）因为()()()()0,00,lim0,0,f y x f y x ==→，所以，()y x f ,在()0,0处连续.（二）因为()()x f x f x ∆-∆+→∆0,00,0lim 0()xx x ∆-+∆=→∆00lim4440 xx x ∆∆=→∆0l i m不存在，所以不存在偏导数()0,0x f '；由轮换对称性知，也不存在偏导数()0,0y f '. 2.求下列函数对各自变量的一阶偏导数.（1）x y y x z 33-=； （2）xy z ln =；（3）xy e z x sin =； （4）xyz arctan =；（5）()yxy z +=1； （6）2yxe z y=.【解】（1）323y y x xz-=∂∂；x y x y z 233-=∂∂ . （2）因y x z ln ln +=，故x x z 1=∂∂；yy z 1=∂∂. （3）xy ye xy e xzx x cos sin +=∂∂； xy xe y z x cos =∂∂ （4）x x y x y xz '⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂211222222y x y x y y x x +-=⎪⎭⎫⎝⎛-+=； yx y x y xz'⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂211222221y x x x y x x +=⎪⎭⎫⎝⎛+=. （5）()()xy y ye xy z +=+=1ln 1；()()[]x xy y xy y e x z '+=∂∂+1ln 1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y xy y e xy y .111ln ()1211-++=y xy xy y ；()()[]y xy y xy y e y z '+=∂∂+1ln 1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+x xy y xy e xy y .11)1ln(1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=xy xy xy xy y 1)1ln(1()()[]xy xy xy xy y ++++=-)1ln(111. （6）2y e x z y =∂∂；422.y y e y e x y z y y -=∂∂()422y y y xe y -=()32yy xe y -=. 3.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ,4,4:22y y x z 在点()5,4,20M 处的切线方程及切线对于x 轴的倾角的度数. 【解】（一）Γ的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===Γ416,4,:2x z y x x （x 为参数）.点0M 对应参数2=x ，故切向量为{}1,0,12,0,1|2=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x x s 切. 所以，点()5,4,20M 处的切线方程为150412-=--=-z y x . （二）因为()()1244,2||4,2)4,2(22=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='xy x f x x ，所以切线对于x 轴的倾角的度数为41arctan πα==. 4.求下列函数的所有二阶偏导数.（1）()y x z 32sin +=； （2）42244y y x x z +-=； （3）xy z 2=； （4）yxy x y x z arctan arctan 22-=. 【解】 （1）()y x xz32cos 2+=∂∂； ()y x y z 32cos 3+=∂∂；()y x x z 32sin 422+-=∂∂；()y x y x z 32sin 62+-=∂∂∂；()y x yz32sin 922+-=∂∂. （2）2384xy x xz-=∂∂； 3248y y x y z +-=∂∂； 2222812y x x z -=∂∂；xy y x z 162-=∂∂∂；2222128y x yz +-=∂∂. （3）()x xy xy x z '=∂∂2.2121()x yy xy 212.2121==；()y xy xy y z '=∂∂2.2121()yx x xy 212.2121==. xyx y x y x y x z 42.12121222-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂；xyx x y y x z 421.121212=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂∂； xyy xy x y x y z 42.12121222-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂. （4）yx y x y x z arctan arctan22-=. x x y xy x y x x z '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂arctan arctan 22 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=y y x y x y x y x x y x 1.11.11a r c t a n 222222 223222a r c t a n 2yx y y x y x x y x +-+-= ()2222a r c t a n 2y x yy x x y x ++-=y x y x -=a r c t a n 2； y y y x y x y x y z '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂arctan arctan 22 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22222.11a r c t a n 21.11y x y x y y x y x x y x 222223a r c t a n 2yx xy y x y y x x ++-+= ()y xy yx x y xa r c t a n 22222-++=y x y x a r c t a n 2-=.⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂2222.112arctan 2arctan 2x y x y x x y y x y x x z x 222a r c t a n 2yx xyx y +-=. 11.112a r c t a n 222-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂∂x x y x y x y x y x z y 12222-+=y x x 2222yx y x +-=； y y x y x y z '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂arctan 222 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=22.112a r c t a n 20y x y x y y x 222a r c t a n 2yx xyy x ++-=. 5.验证下列等式.（1）设xy xe z =，证明： z yz y x z x=∂∂+∂∂； （2）证明函数r u 1=，222z y x r ++=满足0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ；（3）证明()bx e t x T tab sin ,2-=满足热传导方程22xTa t T ∂∂=∂∂，其中a 为正常数，b 为任意常数.【证】（1）因⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∂∂x y e x y e x e x z x y x y x y 12；x yx y e x e x y z =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂1.所以，z xe ye x y e x y z y x z x x y x y x y ==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+∂∂1.（2）()x z y x z y x x r '++++=∂∂22222221()r xx z y x =++=221222；①x r dr du x u ∂∂=∂∂.【因为①】32.1rx r x r -=-=. 623322.3..1rx r r x r r x x x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂【因为①】 5226233.3..1rx r r r x r x r --=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=； ② 同理可得522223ry r y u --=∂∂； ③ 522223r z r z u --=∂∂ ④所以，222222zuy u x u ∂∂+∂∂+∂∂【因为②，③，④】()5222233r z y x r ++--=033522=--=rr r . （3）由()bx e t x T t ab sin ,2-=，得()[]bx e ab bx ab e tTt ab t ab sin sin 2222---=-=∂∂. ① []bx be b bx e xTt ab t ab cos .cos 22--==∂∂.[]b bx be x T tab .sin 222-=∂∂-bx e b t ab sin 22--=. ② 所以有22xTa t T ∂∂=∂∂bx e ab t ab sin 22--=.6.设()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=,0,0,0,1cos ,22222222y x y x y x y x y x f 求()0,0x f '，()0,0y f '.【解】因为()()xf x f x ∆-∆+→∆0,00,0lim 0 ()[]()xx x x ∆-+∆+∆=→∆001cos0lim222201coslim 0=∆∆=→∆x x x 【上述结论中用到11cos ≤∆x及0lim 0=∆→∆x x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】，所以，()00,0='x f . 同理，()00,0=''y f .习题8.31.求下列函数的全微分.（1）yxy x z +=24；（2）32y x ez +=；（3）xyz u =；（4）z xy u =.【解】 （1）因为y xy x z 18+=∂∂，224yx x y z -=∂∂，所以 dy y zdx x z dz ∂∂+∂∂=dy y x x dx y xy ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22418. （2）因为()xyx y x e xz'+=∂∂+2222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x y x eyx 2.2122222222y x xe y x +=+； 由轮换对称性知，2222yx ye y z yx +=∂∂+.所以dy y zdx x z dz ∂∂+∂∂=()ydy xdx yx e y x ++=+2222. （3）因为yz x u =∂∂，xz y u =∂∂，xy zu=∂∂，所以，x y d z x z d y y z d x dz zu dy y u dx x u du ++=∂∂+∂∂+∂∂=. （4）z xy u =. 因为z y x u =∂∂，1-=∂∂z xzy y u ，y xy zuz ln =∂∂，所以， ydz xy dy xzy dx y dz zu dy y u dx x u du z z z ln 1++=∂∂+∂∂+∂∂=-. 2.求下列函数在指定点的全微分.（2）zy x u 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，()1,1,1|du .【解】（2）zy x u 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，()1,1,1|du .因为x zy x y x z x u '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂-111⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-y y x z z1111； yz y x y x z y u '⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂-111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2111y x y x z z ； ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂211.ln z y x y x z u z⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-2111ln 1z y x y x z z.所以dz zu dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-dx y y x z z1111dy y x y x z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2111dz z y x y x z z⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2111ln 1.从而 ()dy dx du -=1,1,1|.4.求曲面22:y x z S +=在点()2,1,10M 处的切平面方程和法线方程.【解】令()z y x z y x F -+=22,,. 则曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 ()()(){}000,,M F M F M F z y x '''= {}(){}1,2,21,2,2|2,1,1-=-=y x .所以S 在点0M 处的切平面方程为()()()02.1121.2=---+-z y x . 化简得0222=--+z y x . 法线方程为122121--=-=-z y x . 6.利用全微分求近似值. （1）()()3397.102.1+；【解】（1）令(),,33y x y x f z +==则()()332133223,,23,yx y y x f yxyx x y x f y y x +='+='-.取03.0,02.0,2,100-=∆=∆==y x y x ，则有()()()()()03.02,102.02,12,103.02,02.01-⨯'+⨯'+≈-+y x f f f f ，即：()()().95.203.0202.021397.102.133=-⨯+⨯+≈+8.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,1sin ,222222y x y x y x xy y x f证明： （1）()y x f ,在点()0,0处连续且偏导数存在； （2）()y x f ,在点()0,0处可微. 【证】（1）因为()y x f y x ,lim 0→→01sinlim 220=+=→→yx xy y x 【无穷小乘以有界量还是无穷小量】()0,0f =，所以()y x f ,在点()0,0处连续. 又因为()()xf x f x ∆-∆+→∆0,00,0lim000lim 0=∆-=→∆x x ，所以()00,0='x f ；同理()00,0='y f ，所以()y x f ,在点()0,0处偏导数存在.（2）()y x f ,在点()0,0处的全增量为()()()()()220,01s i n0,00,0|y x y x f y x f z ∆+∆∆∆=-∆+∆+=∆.因为 ()()[]()()22000,00,0limy x yf x f z y x y x ∆+∆∆'+∆'-∆→∆→∆()()()()01sinlim22220=∆+∆∆+∆∆∆=→∆→∆y x y x yx y x ，所以，()y x f ,在点()0,0处可微. 【上述结论用到了()()()()22221sin0y x y x yx ∆+∆∆+∆∆∆≤()()()()22221s i n.y x y x y x ∆+∆∆+∆∆∆=()()[]()()()[]()()()0,0,02121222222→∆∆→∆+∆=∆+∆∆+∆≤y x y x y x y x及夹逼准则 . 】习题8.41.求下列复合函数的偏导数或全导数. （1）设uv e z =，而2,sin x v x u ==，求dxdz ； （2）设()xyx z ln =，求xz∂∂，y z ∂∂； （3）设()xy y x yf x z ,222+=，求xz∂∂，y z ∂∂. 【解】（1）因为uv ve u z =∂∂，uv ue v z =∂∂；x dx du cos =，x dxdv2=.所以由全导数公式，有 ()x x x x e x ue x ve dxdvv z dx du u z dx dz x x uv uv cos sin 22.cos ..2sin 2+=+=∂∂+∂∂=. 【另解：因为x x e z sin 2=，故 ()'=x x e dx dz x x sin 2sin 2()x x x x e x x c o s s i n 22s i n2+=.】 （2）()[]x x xy e x z '=∂∂ln ln ()[]x x xy x xy e '=ln(ln ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x xy x y e x xy 1.ln 1)ln(ln ln()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x y x y x xy ln )ln(ln ln ()()()x x y x y xy xy ln ln ln ln 1+=-； ()()()y xy xy x x yz '=∂∂ln ln .ln ()()x x x xy ln ln .ln =. （3）()()()[]x x xy y x f y x xy y x f y x xz'+++'=∂∂,.,.222222 ()[]y f x f y x xy y x f xy .2..,.221222'+'++=；()()()[]y y xy y x f y x xy y x f y x yz'+++'=∂∂,.,.222222 ()[]x f y f y x xy y x f x .2..,.212222'+'++=.2.设⎪⎭⎫⎝⎛+=x y x xy z ϕ，其中()u ϕ是可微函数，证明： +∂∂x z x xy z y z y +=∂∂. 5.设()221,,z yx e z y x f u ++==，而y x z sin 2=，求xu∂∂，y u ∂∂. 6.求下列函数的22xz ∂∂，y x z ∂∂∂2和22y z∂∂.（1）()y xy f z ,=；（2）()y x e y x f z +=,cos ,sin . 【解】（1）由()y xy f z ,=得1f y xz'=∂∂，21f f x y z '+'=∂∂； []()11211122f y f y y f y xz x ''=''=''=∂∂；[]()1211112111112f y f xy f f f x y f f y f yx z y ''+''+'=''+''+'=''+'=∂∂∂； [][]()()22121122221121121222f f x f x f f x f f x x f f x y z y y ''+''+''=''+''+''+''=''+''=∂∂. 【注意：书中有关22yz∂∂的答案有误】.（2）由()y x e y x f z +=,cos ,sin 得31.c o s f e f x xzy x '+'=∂∂+；32.sin f e f y y z y x '+'-=∂∂+； [][]x y x x f e f x xz ''+''=∂∂+3122.c o s()[]13111cos cos .sin f e f x x f x y x ''+''+'-=+ ()[]33313.cos f e f x e f e y x y x y x ''+''+'++++[][]y y x y f e f x yx z ''+''=∂∂∂+312.c o s ()[]333231312sin sin cos f e f y e f e f e f y x y x y x y x y x ''+''-+'+''+''-=++++； 33223231312sin cos sin cos f e f ye f e f xe f y x y x y x y x y x ''+''-'+''+''-=++++； [][]y yx y f e f y y z ''+''-=∂∂+3222.s i n()[]23222sin sin .cos f e f y y f y y x ''+''-+'-=+ ()33323sin f e f y e f e y x y x y x ''+''-+'++++ 33223232222sin 2sin .cos f e f e f ye f y f y y x y x y x ''+'+'''-''+'-=+++. 【注意：书中有关22yz∂∂的答案有误】.8.设()[]z x f z ϕ+= ①，其中ϕ,f 可导，求dxdz . 【解】①式两端对x 求导并注意到z 是关于x 的函数，得 ()[]()[]x z x z x f dx dz '++'=ϕϕ()[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'++'=dx dz z z x f .1ϕϕ()[]()()[]dxdzz x f z z x f ..ϕϕϕ+''++'=. ② 由②式解得()[]()()[]z x f z z x f dx dz ϕϕϕ+'-+'=1.9.设()y x z z ,=由方程0ln 2=-+⎰-dt e z z xy t ①得到，求x z∂∂，yz ∂∂，y x z ∂∂∂2.【解】（一）①式两端对x 求导并注意到z 是关于y x ,的二元函数得012=-∂∂+∂∂-x e xzz x z ，即 211x e x zz -=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+ . ②由②式解得21x e zz x z -+=∂∂. ③ （二）①式两端对y 求导并注意到z 是关于y x ,的二元函数得012=+∂∂+∂∂-y e yzz y z ，即 211y e y z z --=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+ . ④ 由④ 式解得 21y e zz y z -+-=∂∂. ⑤ （三）由③式得212x y e z z y x z -'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∂∂∂()2.112x e y z z -⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+=【代入④】 ()22.1.112x y e e z z z --⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=()22.13y x e z z--+-=.10.设f 可微，试验证： （1）()22yx f y z -=① 满足方程211y zy z y x z x =∂∂+∂∂； 【证】()x y x f y x z '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∂∂221()()[]x y x f y x f y '⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=222221()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--'--=xy x y x f yx fy2222222.()()222222y x f yx fxy-'--=； ()yy x f y y z '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∂∂221.()()y y x f y y x f '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=222211 ()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--'--+-=y y x y x f y x f y y x f 222222222.11()()()2222222221y x f yx f y y x f -'---=. 所以yz y x z x ∂∂+∂∂11()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'--=2222221y x f y x f xy x ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'---+22222222211y x f y x f y y x f y ()221.1y x f y -=【由①式】..12y z y z y == （2）()y x f z ,=满足方程t z s z y z x z ∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂.22，其中t s y t s x -=+=,. 【证】y zx z s y y z s x x z s z ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂..； yz x z t y y z t x x z t z ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂... 故 t z s z ∂∂∂∂.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=y z x z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂y z x z .22⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=y z x z . 14.设函数()y x f ,具有二阶连续偏导数，且满足等式0512422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yuy x u x u . ①试确定b a ,的值，使等式在变换by x ay x +=+=ηξ,下化为02=∂∂∂ηξu. 【解】因为ηξηξηηξξ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂uu u u x u x u x u1.1...；ηξηξηηξξ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u b u a b u a u y u y u y u ..... 故有⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂x u x u x u x u u u x u xx ηηξξηηηξξξηξ (2222222)2 222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=uu u . ② ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂∂y u y u y u y u u u y x u yy ηηξξηηηξξξηξ....2222222 ()22222..ηηξξ∂∂+∂∂∂++∂∂=ub u b a u a . ③⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂y u y u b y u y u a u b u a y uyy ηηξξηηηξξξηξ (2222222)222222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=u b u ab u a . ④ 将②、③、④代入①式左边，得①左⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂=2222224ηηξξu u u ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂++∂∂+22222.12ηηξξu b u b a u a⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂+222222225ηηξξu b u ab u a ()()()2222222512410121285124ηηξξ∂∂+++∂∂∂++++∂∂++=u b b u ab b a u a a 因此方程①化为()()()05124101212851242222222=∂∂+++∂∂∂++++∂∂++ηηξξu b b u ab b a u a a . ⑤因此要使①在变换下化为02=∂∂∂ηξu，必须 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.05124,0512422b b a a 解之得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,52,2b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,2,52b a 习题8.51.验证下列方程在指定点的邻域存在以x 为自变量的隐函数，并求dxdy. （1）4422y x y x +=+，在点()1,1；【解】令()4422,y x y x y x F --+=，则()342,x x y x F x -='，()342,y y y x F y -='，()01,1=F ，()()021,11,1≠-='='y x F F ，由隐函数存在定理知，方程04422=--+y x y x在点()1,1的某邻域内能唯一确定一个单值可导且当1=x 时，1=y 的函数()x y y =.由公式()()()()223321124242,,y y x x y y x x y x F y x F dx dy y x --=---=''-=. （2）xyy x arctan ln 22=+①，在点()0,1.【解】令()x y y x y x F arctan ln ,22-+=()xyy x arctan ln 2122-+=，则()⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='2222.112.1.21,x y x y x y x y x F x 22y x y x ++=； ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='x x y y y x y x F y 1.112.1.21,22222y x x y +-=. ()00,1=F ，()()010,1,10,1≠-='='y x F F ，由隐函数存在定理知，方程0arctanln 22=-+xyy x 在点()0,1的某邻域内能唯一确定一个单值可导且当1=x 时，0=y 的函数()x y y =.由公式()()yx yx x y y x y x F y x F dx dy y x -+=-+-=''-=,,. 2.求下列方程所确定的隐函数()y x z z ,=的偏导数xz∂∂，y z ∂∂. （1）()0ln 22=+-xyz xyz xz ；【解】令()()xyz xyz xz z y x F ln 22,,+-=z y x xyz xz ln ln ln 22+++-=，则x yz z F x 122+-='；y xz F y 12+-='；zxy x F z 122+-='.所以zxy x x yz z F F x z zx 122122+-+--=''-=∂∂；z xy x y xz F F y z z y 12212+-+--=''-=∂∂. （2）()z y x f z +-=2.【解】令()()z z y x f z y x F -+-=2,,，则()z y x f F x +-'='2；()z y x f y F y +-'-='22；()12-+-'='z y x f F z .所以()()122-+-'+-'-=''-=∂∂z y x f z y x f F F x z z x ()()zy x f zy x f +-'-+-'=221； ()()1222-+-'+-'--=''-=∂∂z y x f z y x f y F F y z z y ()()1222-+-'+-'=z y x f zy x f y . 3.设()y x z z ,=满足方程03333=-++axyz z y x ，求22xz∂∂.【解】令()axyz z y x z y x F 3,,333-++=，则ayz x F x 332-='；axy z F z 332-='.所以a x y z a y z x F F x z z x 333322---=''-=∂∂a x y z x a y z --=22. ① 所以=∂∂22x z ()()()222222a x yz ay x z z x ayz axy z x x z ay -⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂---⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂【代入①】()()()2222222222.axyz ay axy z x ayz z x ayz axy z x axy z x ayz ay -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=()()[]()()()()[]()3222222222axy zaxy z ay x ayz z x ayz axy z axy zx x ayz ay ----------=()()323312a x yza z xy --=.4.设函数()z y x f u ,,=可微，其中()()x z z x y y ==,由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,xyxze z e y 确定，求dx du . 【解】方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,xyxze z e y 两边关于x 求导【并注意到()()x z z x y y ==,】得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,,dx dy x y e dx dz dx dz x z e dx dy xy xz 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,,dx dy x y z dxdz dx dz x z y dx dy解得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=.11,1122yzx xz yz dx dz yz x xy yz dx dy所以，由全导数公式得 dx dz f dx dy f f dx du z y x ..'+'+'= ()()z y x f yzx xz yz f yz x xy yz f '-++'-++'=.11.1122. 5.求曲面4:=+zy zx e e S ①在点()1,2ln ,2ln 0M 处的切平面方程.【解】令()4,,-+=zy z xe e z y x F ，则z xx e z F 1='；z yy e z F 1='；z yz xz e zye z x F 22--='.曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 {}()||1,2ln ,2ln 22,1,1,,0⎭⎬⎫⎩⎨⎧--='''=z yz x z y z x M z y x e z ye z x e z e z F F F {}2ln 4,2,2-=.所以，曲面S 在点0M 处的切平面方程为()()().012ln 42ln 22ln 2=---+-z y x 即 ()02ln 422=-+z y x .8.求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++Γ,04532,03:222z y x x z y x ①在点()1,1,10M 处的切线方程与法平面方程.【解法一】方程组两边关于x 求导【并注意到()()x z z x y y ==,】得⎩⎨⎧='+'-=-'+'+.0532,03222z y z z y y x ②将点()1,1,10M 代入②式有()()()()⎩⎨⎧='+'-=-'+'.015132,011212z y z y ③由③式解得 ()()1611,1691-='='z y . 故Γ在点()1,1,10M 处的切向量为()(){}{}1,9,16||161,169,11,1,1-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=''=z y s 切. 所以，Γ在点()1,1,10M 处的切线方程L 为1191161--=-=-z y x . ()1,1,10M 处的法平面方程为()()()01191.16=---+-z y x ，即 024916=--+z y x . 【解法二】（一）先求03:222=-++x z y x S 在点()1,1,10M 处的切平面方程. 令()x z y x z y x F 3,,222-++=，则32-='x F x ；y F y 2='；z F z 2='. 曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 {}{}(){}2,2,12,2,32,,||1,1,10-=-='''=z y x F F F n M z y x .所以，曲面S 在点0M 处的切平面方程为 ()()()012121.1=-+-+--z y x ，即 0322=-++-z y x . （二） Γ在点()1,1,10M 处的切线方程为⎩⎨⎧=-+-=-++-,04532,0322:z y x z y x L若进一步化L 为点向式，则为 1191161--=-=-z y x . ()1,1,10M 处的法平面方程为()()()01191.16=---+-z y x ，即 024916=--+z y x . 【注意】解法二的一般思路叙述如下：欲求曲线()()⎩⎨⎧==Γ,0,,,0,,:z y x G z y x F 在其上某点()0000,,z y x M 处的切线方程.首先分别求出曲面()0,,:1=z y x F S 在点0M 处的切线平面01111=+++D z C y B x A . ①及曲面()0,,:2=z y x G S 在点0M 处的切线平面02222=+++D z C y B x A . ② 然后将方程①、②联立即为Γ在0M 处的切线方程.即⎩⎨⎧=+++=+++Γ.0,0:22221111D z C y B x A D z C y B x A请同学们思考此解法的理论依据是什么？10.设函数()y x z z ,=由方程0,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x z z y y x F ① 所确定，且F 为可微函数，求dz .【解】由①得0,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x z z y y x dF由微分形式的不变性，有0...321=⎪⎭⎫⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'x z d F z y d F y x d F 即01.1.1.232221=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'+⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'dz x dx x zd F dz z y dy z d F dy y x dx y F 于是有dy F z F y x dx F y F x z dz F z y F x .111212`132223'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'=⎪⎭⎫⎝⎛'-' 所以得223212`1321.11F zy F x dyF z F y x dx F y F x z dz '-''-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-'=. 习题8.62.求133223++-=xy y x x z 在点()1,31M 处从1M 到()5,62M 的方向的方向导数. 【解】{}4,321==M M，⎭⎬⎫⎩⎨⎧==54,530h .()12363||1,3221=+-=∂∂y xy x x z M ；()963||1,3221-=+-=∂∂xy x y z M . {}().0549531254,53.9,121=⨯-+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂M h3.求xyz u =在点()2,1,51M 处从1M 到()14,4,92M 的方向的方向导数. 【解】{}12,3,421==M M，⎭⎬⎫⎩⎨⎧==1312,133,1340h .()2||2,1,51==∂∂yz x u M ；()10||2,1,51==∂∂xz y u M ，()5||2,1,51==∂∂xy zuM . {}.1398131251331013421312,133,134.5,10,21=⨯+⨯+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=M4.求()()222321ln ,,z y x z y x f +++=在点()1,1,20M 处的梯度. 【解】()523212||1,1,22220=+++=∂∂z y x x x f M ； ()523214||1,1,22220=+++=∂∂z y x y y f M ； ()533216||1,1,22220=+++=∂∂z y x z z f M . 所以，()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=53,52,521,1,2gradf .5.求22z xy u -=在()1,1,2-M 处方向导数的最大值. 【解】()22||1,1,2-==∂∂-y x u M ；()42||1,1,2==∂∂-x y u M ，()22||1,1,2-=-=∂∂-z z uM， 故 (){}2,4,21,1,2--=-g r a du ，所以方向导数的最大值为 ()()().622421,1,2222=-++-=-g r a d u6.求222z y x u ++=沿曲线()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ,sin 6,,2:3t z t y t x ππ在点()0,1,2M 处的切线方向的方向导数.【解】()0,1,2M 点对应参数1=t .Γ在点()0,1,2M 处的切向量为()()(){}(){}{}6,3,2c o s6,3,2,,||121-=='''===t t t t t z t y t x h π.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==76,73,720h .()42||0,1,2==∂∂x x u M ；()22||0,1,2==∂∂y y u M ，()02||0,1,2==∂∂z xuM . 所以有{}.276073272476,73,72.0,2,4=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+⨯+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂Mh9.设l 是曲面632:222=++z y x S 在点()1,1,1A 处指向外侧的法向量，求zy x u 2286+=在A 点沿l 方向的方向导数. 【解】令()632,,222-++=z y x z y x F ，则x F x 4='；y F y 6='；z F z 2='.曲面S 在点()1,1,1A 处指向外侧的法向量为 {}{}(){}{}1,3,2||2,6,42,6,4,,||1,1,1=='''=z y x F F F Az y x ；⎭⎬⎫⎩⎨⎧==141,143,1420l . ()146866||1,1,122=+=∂∂y x z x x u A ；()148868||1,1,122=+=∂∂y x z y y u A ；()1486||1,1,1222-=+-=∂∂z y x z uA .所以，().14,148,1461,1,1⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂l ⎭⎬⎫⎩⎨⎧141,143,142()71114114143148142146=⨯-+⨯+⨯=. 习题8.71.求下列的极值：（1）()223333,y x y x y x f z --+==； 【解】（一）解方程组()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-='=-='.063,,063,22y y y x f x x y x f y x ⎩⎨⎧==2,0,2,0y x 得四个驻点：()()()().2,2,0,2,2,0,0,04321P P P P（二）()()().66,,0,,66,-=''==''=-=''=y y x f C y x f B x y x f A yy xy xx.因为该函数不存在不可微点，故()00,0=f 为函数的极大值；()82,2-=f 为 函数的极小值.（2）x xy y x z 82322+-+=； 【解】（一）解方程组()()⇒⎩⎨⎧=-='=+-='.026,,0822,x y y x f y x y x f yx ⎩⎨⎧-=-=26y x 故得唯一驻点：()2,60--P ；无不可微点.（二）()2,=''y x f xx，()2,-=''y x f xy ；()6,=''y x f yy .在()2,60--P 处，因为 ()022,6>=--''=xxf A ；()22,6-=--''=xy f B ；()62,6=--''=yy f C ， ()0826222>=--⨯=-=∆B AC ，故()242,6-=--f 为函数的极小值.（3）()()y y y x y x f ln 2,22++=； 【解】（一）解方程组()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++='=+='.0ln 12,,022,22y y x y x f y x y x f y x ⎩⎨⎧==-.,01e y x 故得唯一驻点：()10,0-e P ；无不可微点.（二）()224,y y x f xx+=''，()xy y x f xy 4,=''；()yx y x f yy 12,2+=''.在()10,0-e P 处， 因为()024,021>+=''=--e e f A xx；()0,01=''=-e f B xy ；()e ef C yy =''=-1,0， ()0024222>-⨯+=-=∆-e e B AC ，故()ee f 1,01-=-为函数的极小值.（4）()y y x e z x 222++=. 【解】（一）解方程组()()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+='=+++='.022,,01422,222y e y x f y y x e y x f xyx x ⎪⎩⎪⎨⎧-==.1,21y x 故得唯一驻点：⎪⎭⎫⎝⎛-1,210P ；无不可微点.（二）()()124,22+++=''y y x e y x f x xx，()()44,2+=''y e y x f x xy ；()x yy e y x f 22,=''. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,210P 处，因为021,21>=⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=e f A xx；01,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=xy f B ；⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=1,21yy f C e 2=，002222>-⨯=-=∆e e B AC ，故21,21e f -=⎪⎭⎫⎝⎛-为函数的极小值.2.求下列的极值：（1）()22222,y x y x y x f -+=在区域(){}0,4|,22≥≤+=y y x y x D ； 【解】（一）内部 解方程组()()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-='=-='.022,,012,22x y y x f y x y x f yx ⎩⎨⎧==.0,0y x ；⎩⎨⎧-=-=.1,2y x （舍）；⎩⎨⎧=-=.1,2y x ；⎩⎨⎧-==.1,2y x （舍）； ⎩⎨⎧==.1,2y x .因此得区域D 内三驻点：()0,01P 、()1,22-P 、()1,23P .计算得()00,0=f ，()21,2=±f . （二）边界1.在区域D 的边界[]()2,0422∈=+y y x 上，由于。