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高数课后答案详解

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高等数学课后习题及解答

高等数学课后习题及解答

高等数学课后习题及解答1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v.解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c）=5a-11b+7c.2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM故MB .AB AM MB MC DM DC .即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形.3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量证如图8-2 ，根据题意知1 D1A,1D2A, D3A, D A.41D3 D4BD11a,5a, D1D2 a,5 51D2D3a,5故D1 A=- （AB BD1）=- a- c5D 2 A =- （ ABD A =- （ AB BD 2BD ）=-）=-2a- c5 3a- c3=- （ AB 3BD 4）=- 5 4a- c. 54. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 .解M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） .-2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）.5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 .a解 向量 a 的单位向量 为，故平行向量 a 的单位向量为aa 1=（ 6，7， -6）=6 ,7 , 6，a1111 11 11其 中 a 6272( 6)211.6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A （1，-2，3），B （ 2， 3，-4），C （2，-3，-4），D （-2，-3， 1）.解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 .7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：A （ 3， 4， 0），B （ 0， 4，3），C （ 3，0，0），D （ 0，D A4-1，0）.解在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零，比如xOy 面上的点的坐标为（x0，y0，0），xOz 面上的点的坐标为（x0，0，z0），y Oz 面上的点的坐标为（0，y0，z0）.在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如x 轴上的点的坐标为（x0，0，0），y 轴上的点的坐标为（0，y0，0），z 轴上的点的坐标为（0，0，z0）.A 点在xOy 面上，B 点在yOz 面上，C 点在x 轴上，D 点在y 轴上.8.求点（a，b，c）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标.解（1）点（a，b，c）关于xOy 面的对称点（a，b，-c），为关于yOz面的对称点为（-a，b，c），关于zOx面的对称点为（a，-b，c）.（2）点（a，b，c）关于x 轴的对称点为（a，-b，-c），关于y 轴的对称点为（-a，b，-c），关于z 轴的对称点为（-a，-b，c）.（3）点（a，b，c）关于坐标原点的对称点是（-a，-b，-c）. 9.自点P（0 x0，y0，z0）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.解设空间直角坐标系如图8-3，根据题意，P0F 为点P0 关于xOz 面的垂线，垂足 F 坐标为(x0，0，z0）；P0D 为点P0关于xOy 面的垂线，垂足 D 坐标为( x0，y0，0）；P0E 为点P0 关于yOz 面的垂线，垂足E坐标为(0，y0，z o ) .P0A 为点P0 关于x 轴的垂线，垂足 A 坐标为( x o，0,0）；P0B 为点P0关于y 轴的垂线，垂足B 坐标为(0, y0 ,0) ；P0C为点P0关于z 轴的垂线，垂足 C 坐标为(0,0, z0 ) .10.过点P（0 x0，y0，z0）分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解如图8-4，过P0 且平行于z 轴的直线l 上的点的坐标，其特点是，它们的横坐标均相同，纵坐标也均相同.而过点P0 且平行于xOy 面的平面上的点的坐标，其特点是，它们的竖坐标均相同.11. 一边长为a 的正方体放置在xOy 面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标.2解如图8-5，已知AB=a，故OA=OB= a ，于是各顶点的坐2标分别为A(2a，0，0) ，B（(0,22 2a，0）），C（- a，0，0），D2 2（0，-2a ，0），E（22a ，0，a ），F（0，22a ，a ），G（-22 a，20，a ），H（0，-2a ，a ）. 212. 求点M（4，-3，5）到各坐标轴的距离.解点M 到x 轴的距离为d1=( 3) 25234 ，点M 到y 轴的距离为d2= 42 5241 ，点M 到z 轴的距离为d3= 42( 3) 225 5.13.在yOz 面上，求与三点A（3，1，2），B（4，-2，-2），C（0，5，1）等距离的点.解所求点在yOz 面上，不妨设为P（0，y，z），点P 与三点A，B，C等距离，PA32 ( y1)2(z 2)2 ,PB 42( y 2)2(z 2)2 ,PC ( y 5)2( z 1)2 .由 PAPBPC 知，32( y 1)2( z 2)242( y 2) 2( z 2)2( y 5) 2 ( z 1) 2 ，即解上述方程组，得 y=1， z =-2.故所求点坐标为（ 0，1， -2）.14.试证明以三点 A （4， 1， 9）， B （10，-1，6），C （ 2， 4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形 .证 由AB(104)2( 1 1)2(6 9)27,AC(2BC(2 4)2 10)2(4 1) 2 (4 1)2(3 9)27,(3 6)298 7 2知 AB2AC 及 BC2AB AC 2.故△ ABC 为等腰直角三角形.15. 设已知两点为 M 1（4， 2 ，1），M 2（3，0，2），计算向量的模、方向余弦和方向角 .M 1M 2解 向量M 1M 2=（3-4， 0-2 ， 2-1） =（-1，- 2 ， -1），其模M 1M 2（ -1）2（ - 2）2124 2 .其方向余弦分9 ( y 1) 2 ( z 2) 2 16 ( y 2) 2 ( z 2)2, 9 ( y 1) 2( z 2) 2( y 5) 2( z 1)2.别为 cos =- 1 ， c os =-22 1，cos = .22方向角分别为2 ,3 , .3 4316. 设向量的方向余弦分别满足（ 1）cos =0；（2）cos =1；（ 3）cos =cos=0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解 （1）由 cos =0 得知 ，故向量与 x 轴垂直，平行于2yOz 面.（2） 由 cos =1 得知=0，故向量与 y 轴同向，垂直于 xOz 面.（3） 由 cos =cos =0 知，故向量垂直于 x 轴和 y 轴，2即与 z 轴平行，垂直于 xOy 面.17. 设向量 r 的模是 4，它与 u 轴的夹角为，求 r 在 u 轴上的投影 .31解 已知|r |=4 ，则 Prj u r=| r |cos=4?cos 3=4× 2=2.18. 一向量的终点在点 B （2，-1，7），它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影依次为 4， -4 和 7，求这向量的起点 A 的坐标.解 设 A 点坐标为（ x ，y ， z ），则AB =（ 2-x ，-1-y ，7-z ），由题意知2-x=4，-1-y=-4，7-z=7，故 x=-2，y=3，z=0，因此 A 点坐标为（ -2， -3， 0）.19. 设 m =3i +4j +8k ，n =2i -4j -7k 和 p =5i +j -4k . 求向量 a =4m +3n -p 在 x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解a=4m+3n-p=4（3i+5j+8k）+3（2i-4j-7k）-（5i+j-4k）=13i+7j+15k，a 在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分向量为7j.21. 设a3i j 2k,b i 2 j k ，求（1） a 余弦.b 及a b ；（2）（ - 2a ）3b 及a 2b ；（3） a ,b 的夹角的解 （ 1） ab （3，- 1，- 2）（1,2，- 1）3ij k1 （ - 1）2 （ - 2）（ - 1） 3，a b 31 122 =（5,1,7） . 1（2） (2a) 3b 6(a b) 6 3 18a 2b 2(a b) 2(5,1,7) a b (10,2,14)3（3 cos(a,b)a b3 32( 31)2( 2)21222( 1)214 62 212. 设 a, b ,c 为单位向量，满足a b c 0,求a b b c c a.解 已知 ab c 1, a b c 0,故（ ab c ）（ a b c ） 0 .2 2即 abc2a b 2b c 2c a0.因此a b b c c a1 22 （ a b 22 3 c ） - 23.已知 M 1（ 1，-1，2），M 2（ 3,3,1）M 3（ 3,1,3）.求与同时垂直的单位向量 .M 1M 2 , M 2 M 3解M 1M 2 =（ 3-1,3-（-1）,1-2） =（2，4， -1）M 2 M 3=（3-3,1-3,3-1）=（0，-2，2）由于M 1M 2取为M2M3与M 1M 2, M 2M 3 同时垂直，故所求向量可a （M 1M 2M 2M 3），M 1M 2M 2M 3由M 1M 2iM 2M 3= 2j k4 1 =（6，-4，-4），2 2M1M 2知a M 2 M 3 61(6, 4, 4)( 4)2 ((3,4)22,682).2 172 17 17 17 174.设质量为100kg 的物体从点M1（3,1,8）沿直线移动到点M2（1,4,2），计算重力所作的功（坐标系长度单位为m，重力方向为z 轴负方向）.解M 1M 2 =（1-3,4-1,2-8）=（-2，3，-6）F=（0,0，-100×9.8）=（0,0，-980）W=F?M 1M 2 =（0,0，-980）?（-2,3 ，-6 ）=588（0 J）.5.在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1 的点P1 处，有一与OP1成角1的力F1 作用着；在O的另一侧与点O的距离为x2 的点P2 处，有一与OP2成角 2 的力F2 作用着（图8-6 ），问 1 ，2 ，x1，x2，F1 , F2符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解如图8-6 ，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为2F1即F1x1sin 1x1sin 1F2 x2F2 x2sinsin20 ，2.6.求向量a（4，- 3,4）在向量b （2,2,1）上的投影.a b ( 4, 3,4) (2,2,1) 6 解Pr j b ab 2 .22 22 12 37.设a(3,5, 2),b (2,1,4) ，问与有怎样的关系，能使a b与z 轴垂直？解 a b = （3,5 ，-2 ）+ （2,1,4 ）=（3 2 ,5 , 2 4 ）.要 a b与z 轴垂直，即要（ a b ）（0,0,1 ），即（ a b）?（0，0,1 ）=0，亦即（3 2 ,5 , 2 4 ）?（0,0,1 ）=0，故（ 2 4 ）=0，因此 2 时能使 a b与z 轴垂直. 8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角.证如图8-7 ，设AB是圆O的直径，C点在圆周上，要证∠ACB= ，2 只要证明AC BC 0 即可. 由AC BC =( AO OC) ( BO OC)= AOBO AO OC 2OC BO OC2=AO AO OC AO OC 2OC0 .故 ACBC , ∠ACB 为直角.9.已知向量 a 2i 3 j k, b ij 3k 和c i 2 j ，计算：（1） (ab)c (a c)b （2）(a b) (b c)（3）(ab) c解 （1）(a b)c (a c)b 8(1, 2,0) 8(1, 1,3) (0, 8, 24)8i 24k .（2） ab =（2，-3,1 ）+（1，-1,3 ）=（3，-4,4 ），b c =（ 1， -1,3 ） +（ 1， -2,0 ） =（ 2， -3,3 ），ij k(a b) (b c) 34 4 (0, 1, 1) j k .23 3ab (2, 3,1) (1, 1,3) 8，a c (2, 3,1) (1, 2,0) 8，（3）(a b) c 211312132.10. 已知OA i 3k,OB j 3k ，求△OAB的面积.解由向量积的几何意义知S△OAB=12OA OB ，OA OB ( 3) 2( 3)2 1 19 S △OAB 19 211. 已知a( a x , a y , a z ), b(b x ,b y , b z ), c(c x , c y ,c z ) ，试利用行列式的性质证明：(a b) c (b c) a (c a) b证因为(a b) c a xb xc xa yb yc ya zb z , (bc zc) ab xc xa xb yc ya yb zc za z(c a) b c xa xb xc ya yb yc za z ，b zi j kOA OB 1 0 3 ( 3, 3,1) ，0 1 3而由行列式的性质知aabb2 2 a x a y a z b x b y b z c x c yc zb x b yc xc ya x a yb zc x c z = a x a z b xc yc z a y a z ， 故b yb z(a b) c (b c) a (c a) b .12. 试用向量证明不等式：2 2 2 2 123123a 1b 1 a 2b2a 3b 3 ，其中 a 1, a 2 ,a 3 , b 1, b 2 ,b 3 为任意实数 . 并指出等号成立的条件.证 设向量 a （ a 1 , a 2 , a 3 ）， b （ b 1, b 2 ,b 3 ）. 由ab a b cos(a,b) a b ，从而a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 22a 1a 2a 1 222 a 3b 1b 2a 2 a 32b 3 ，当 a 1, a 2 , a 3与 b 1, b 2 ,b 3 成比例，即b 1b 2时，上述等式成立.b 3ab1. 求过点（ 3,0，-1）且与平面 3x 7 y 程.解所求平面与已知平面3x 7 y 5z 125z 12 0 平行的平面方0 平行.因此所求平面的法向量可取为 n=（3，-7，5），设所求平面为3x 7 y 5z D 0.将点（ 3，0， -1）代入上式得 D=-4.故所求平面方程为3x 7 y 5z 4 0 .2. 求过点 M 0（ 2，9， -6）且与连接坐标原点及点 M 0 的线段 OM 0 垂直的平面方程 .解OM 0(2,9, 6）.所求平面与 OM 0 垂直，可取 n= OM 0 ，设所求平面方程为2x 9 y6z D 0.将点 M 0（ 2，9， -6）代入上式得 D=-121.故所求平面方程为2x 9 y 6z 121 0.3. 求过（ 1，1， -1），（-2， -2， 2）和（ 1，-1，2）三点的平面方程 .x 1y 1 z 10 ，得 x 3 y 2z 0 ，即为所求平面方程 .注 设 M （ x ,y,z ）为平面上任意一点， M i( x i , y i , z i )(i1,2,3) 为平面上已知点 .由M 1M(M 1M 2 M 1M 3) 0, 即解 由2 1 2 1 2 11 11 12 1x x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 y y 1 y 2 y 1 y 3 y 1 z z 1z 2 z 1 0, z 3 z 1它就表示过已知三点 M i （ i =1,2,3）的平面方程 . 4. 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面： （1）x=0; （2） 3y-1=0; （3）2x-3y-6=0; （4） x -3y=0;（5）y+z=1; （ 6）x-2z=0;（7）6x+5y-z=0.解 （ 1）—（ 7）的平面分别如图 8— 8（a ）—（ g ） . （1）x=0 表示 yOz 坐标面.（2）3y-1=0 表示过点（ 0, 1,0）且与 y 轴垂直的平面 .3（3）2x-3y-6=0 表示与 z 轴平行的平面 . （4）x-3y=0 表示过 z 轴的平面 .（5）y+z=1表示平行于 x 轴的平面 . （6）x-2z=0 表示过 y 轴的平面 . （7）6x+5y-z=0表示过原点的平面 .5. 求平面2x 2y z 5 0与各坐标面的夹角的余弦.解平面的法向量为n=（2，-2，1），设平面与三个坐标面xOy，yOz，zOx的夹角分别为1, 2 , 3 .则根据平面的方向余弦知cos cos n k (2, 2,1) (0,0,1) 1 ,n k 22( 2)212 1 3cos 2cos n i ( 2,n i2,1)3(1,0,0) 2,1 3cos 3cos n j ( 2,n j2,1)3( 0,1,0) 2.1 36. 一平面过点（1，0，-1）且平行于向量a试求这个平面方程.(2,1,1) 和b (1, 1,0) ，解所求平面平行于向量 a 和b，可取平面的法向量i j kn a b 2 1 1 (1,1, 3) .1 1 01故所求平面为1 ( x 1) 1 ( y 0) 3( z 1) 0，即x y 3z 4 0 .7. 求三平面x 3y交点.z 1,2x y z 0, x 2 y 2z 3的解联立三平面方程x 3y 2x y x 2y z 1,z 0,2z 3.解此方程组得x 1, y 1, z 3.故所求交点为（1，-1，3）. 8. 分别按下列条件求平面方程：（1）平行于xOz面且经过点（2，-5，3）；（2）通过z 轴和点（-3，1，-2）；（3）平行于x 轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）.解（1 ）所求平面平行于xOz 面，故设所求平面方程为By D 0.将点（2，-5，3）代入，得5B D 0，即D 5B.因此所求平面方程为By 5B 0，即y 5 0.（2）所求平面过z 轴，故设所求平面为Ax By 0 .将点（-3，1，-2）代入，得3A B 0，即B 3A.因此所求平面方程为Ax 3Ay 0 ，即x 3y 0.（3）所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为By Cz D 0. 将点（4，0，-2）及（5，1，7）分别代入方程得2C D 0 及C D, B2B 7CD 0.9D .2因此，所求平面方程为9 Dy 2 Dz D 0 ，2即9 y z 2 0.9. 求点（1,2,1）到平面x 2 y 2z 10 0 的距离.解利用点的距离公式M 0 ( x0 , y o , z o ) 到平面Ax By Cz D 0dAx0By0Cz0 DA2 B 2 C 21 2 2 2 1 10 3 1.12 22 22 3x 3 y1. 求过点（4，-1，3）且平行于直线2 1 z 1的直线方程. 5解所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量s (2,1,5)，直线方程即为x 4 y 1 z 3.2 1 52. 求过两点M 1(3, 2,1) 和M 2 ( 1,0,2) 的直线方程.解取所求直线的方向向量s M 1M 2( 1 3,0 ( 2),2 1) ( 4,2,1) ，因此所求直线方程为x 3 y 2 z 1.4 2 13. 用对称式方程及参数方程表示直线x y 2 x y z 1, z 4.解根据题意可知已知直线的方向向量i j ks 1 1 1 ( 2,1,3).2 1 1取x=0，代入直线方程得y z 1,y z 4.3 5解得y3, z25.这2样就得到直线经过的一点（0, ,2 ）.因此直线的对称式方程为2参数方程为3 5 x 0 y 2 z 22 1 3x 2t ,y3t ,2z 53t.2注由于所取的直线上的点可以不同，因此所得到的直线对称式方程或参数方程得表达式也可以是不同的.4. 求过点（2，0，-3）且与直线x 2 y 3x 5 y 4z 7 0, 2z 1 0垂直的平面方程.解根据题意，所求平面的法向量可取已知直线的方向向量，即i j n s 1 23 5 k4 ( 16,14,11), 2故所求平面方程为16( x16x 2)14y 14( y 0)11z 6511(z 3)0.0.即5 x 5. 求直线3x 3y 3z 92 y z 10, 2 x 2 y与直线0 3x 8 yz 23 0,z 18 0的夹角的余弦..解 两已知直线的方向向量分别为i s 15 3j k3 3 (3,4, 2 11), s 2 i j k 2 2 1 3 81(10,5,10),因此，两直线的夹角的余弦cos(cos s 1 , s 2 )s 1 s 2 s 1 s 23 1045 1 100.32x 2 y 42( 1) 2 102( z 7, 3x 5)21026 y 3z 8, 6. 证明直线2x y 与直线z 7平2x y z 0行.证 已知直线的方向向量分别是i j s 11 22 1ki 1 (3,1,5), s 2 3 12j k 6 3 ( 119, 3,15),由 s 23s 1知两直线互相平行 .7. 求过点（0,2,4）且与两平面 x 方程.2 z 1和 y 3z 2平行的直线解 所求直线与已知的两个平面平行， 因此所求直线的方向向量可取i j ks n1n2 1 0 2 ( 2,3,1),0 1 3故所求直线方程为x 0 2 y 2 z 4.3 1注本题也可以这样解：由于所求直线与已知的两个平面平行，则可视所求直线是分别与已知平面平行的两平面的交线，不妨设所求直线为x 2z a,y 3z b.将点（0，2，4）代入上式，得 a 8, b10.故所求直线为x 2z 8,y 3z8. 求过点（3，1，-2）且通过直线解利用平面束方程，过直线的平面方程. 的平面束方程为x 4 y 3 5 2 (y 3z) 0, 2将点（3，1，-2）代入上式得11 .因此所求平面方程为20x 4 y 3 5 2 11(y 3z) 0, 20 210.x 4 y 3 z5x 4 y231z5 2 1即9. 求直线8x 9yx y 3z22z 59 0.0,与平面x y z 1 0的夹角. x y z 0i解已知直线的方向向量s 11 j k1 3 ( 2,4,1 12), 平面的法向量n(1, 1, 1).设直线与平面的夹角为, 则sin cos(n, s) s n 2 1 4 ( 1) ( 2) ( 1)0,即0.s n 2242 ( 2)2 12( 1)2 ( 1)2 10. 试确定下列各组中的直线和平面间的关系；x 3 y 4 （1）2 7x y z z和4x 2 y32z 3 ；（2）3和3x 2y2 77z 8；（3）x 23 y 2 z13和x4y z 3.解设直线的方向向量为s，平面的法向量为n ，直线与平面的夹角为, 且sin cos(n, s) s n. s n（1）s ( 2, 7,3), n(4, 2, 2),sin(( 2) 22) 4 ( 7)( 7)2 32( 2)423 ( 2)( 2)2 (0,2)2则0.故直线平行于平面或在平面上，现将直线上的点A（-3，-4，0）代入平面方程，方程不成立.故点A 不在平面上，因此直线不在平面上，直线与平面平行.（2）s(3, 2,7), n(3, 2,7), 由于s n 或sin332 (3 ( 2)2)2 72( 2)327 71,( 2)2 72知，故直线与平面垂直.2（3）s(3,1, 4), n (1,1,1), 由于s n 0或sin 3 1 1 1 ( 4) 1 0,32 12 ( 4)212 12 12知0, 将直线上的点A（2，-2，3）代入平面方程，方程成立，即点A 在平面上.故直线在平面上.11.求过点（1,2,1）而与两直线x 2 y x yz 1 0,和z 1 02 x yx yz 0,z 0平行的平面的方程.解两直线的方向向量为i s1 11 j k2 1 (1,1 1i2, 3), s2 21j k1 1 (0, 1,1 11),i 取n s1s2 1 j k2 3 (1,1, 1),0 1 1则过点（1,2,1），以n 为法向量的平面方程为1 ( x 即1) 1 ( y 2)x y z 0.1 ( z 1) 0,12.求点（-1,2,0）在平面x 2y z 1 0上的投影.解作过已知点且与已知平面垂直的直线.该直线与平面的交点即为所求.根据题意，过点（-1,2,0）与平面x 2y z 1 0垂直的直线为x 1 y 2 1 2 z 0,1将它化为参数方程x 1t , y 22t, z t ,代入平面方程得1 t 2(2 2t )( t ) 1 0,2整理得t .从而所求点（-1,2,0）在平面x 2y3z 1 0 上的投影为（5,2,2）.3 3 3x y z 1 0,13.求点P（3，-1，2）到直线2x y z 4 0的距离.i 解直线的方向向量s 12 j k1 1 (0, 3,1 13).在直线上取点（1，-2，0），这样，直线的方程可表示成参数方程形式x 1, y 2 3t ,z3t. （1）又，过点P（3，-1，2），以s (0, 3, 3) 为法向量的平面方程为3( y 1) 3( z 2) 0,即y z 1 0. （2）1将式（1）代入式（2）得t ，于是直线与平面的交点为（1,2 1,3），2 2故所求距离为d (3 1)2( 1 1)22(23)223 2.214. 设M0 是直线L 外一点，M 是直线L 上任意一点，且直线的方向向量为s，试证：点M0到直线L 的距离M 0M sd .s证如图8-9，点M0 到直线L 的距离为 d.由向量积的几何意义知M 0M s 表示以M 0M ，s为邻边的平行四边形的面积.而M 0Ms s表示以s 为边长的该平面四边形的高，即为点M 0 到直线L的距离.于是M 0M sd .s15. 求直线2 x 4 y z3x y 2z0,在平面4x9 0y z 1上的投影直线的方程.解作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平面与已知平面的交线即为所求.设过直线2x 4 y z3x y 2z0,的平面束方程为9 02x 4y z (3x y 2z 9) 0,经整理得(2由(2 313 3 )x ( 4) 4 ( 4) y (1 2 ) z 9 0.) ( 1) (1 2 ) 1 0,得.代入平面束方程，得1117x 因此所求投影直线的方程为17x 31y31y37z37z117 0.117 0,4x y z 1.16. 画出下列各平面所围成的立体的图形.（1）x 0, y 0, z 0, x 2, y 1,3x 4 y 2z 12 0;（2）x0, z 0, x 1, y 2, z y .4解（1）如图8-10（a）；（2）如图8-10（b）.221.一球面过原点及 A （ 4，0， 0）， B （ 1，3， 0）和 C （0，0， -4）三点，求球面的方程及球心的坐标和半径 .解 设所求球面的方程为( x a) 2 ( y b) 2 ( z c) 2R ，将已知点的坐标代入上式，得a2b2 c2R 2 ,（1）(a 4)2( a 1) 2b2c2(b 3) 2R 2 , c 2R 2 ,（2）（3）（3）a2b2( 4 c) 2R ，（4）联立（ 1）（ 2）得a2, 联立（ 1）（4）得 c 2, 将a 2代入（2）（ 3）并联立得 b=1，故 R=3.因此所求球面方程为( x 2)2 ( y 1) 2 ( z 2) 29,其中球心坐标为(2,1, 2), 半径为 3.2. 建立以点（ 1，3， -2）为球心，且通过坐标原点的球面方程 .解 设以点（ 1，3， -2）为球心， R 为半径的球面方程为( x 球面经过原点，故R2从而所求球面方程为1) 2(0 ( x ( y 3) 2 ( z 2) 2 R 2,3. 方 程x2y2z22 x 4 y 2 z 0表示什么曲面？解 将已知方程整理成( x 1)2 ( y 2)2 ( z 1) 2 ( 6) 2,1)2 ( 0 3) 2 (0 2) 214, 1) 2 ( y 3) 2 ( z 2) 2 14.所以此方程表示以（1，-2，-1）为球心，以 6 为半径的球面. 4. 求与坐标原点O 及点（2,3,4）的距离之比为1:2 的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？解设动点坐标为（x, y, z），根据题意有1,2( x 2)2 ( y 32 4 1)2( z4)232(229)2 .3它表示以（, 1,3）为球心，以29为半径的球面.3 325. 将xOz坐标面上的抛物线转曲面的方程.z 5x绕x 轴旋转一周，求所生成的旋解以y2 z2 代替抛物线方程z25x中的z，得( y2z2 ) 2 5x，即y2z25x.注xOz 面上的曲线F ( x, z) 0 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为F ( x, y2 z2 ) 0.6. 将xOz坐标面上的圆转曲面的方程.x2 z2 9 绕z 轴旋转一周，求所生成的旋解以x2 y2 代替圆方程x2 z2 9 中的x ，得( 即x2 x2y2 )2z29, y2 z2 9.( x 0)2( y 0)2( z 0)2化简整理得( x 2)2( y 3)2( z 4)2x z 7. 将 xOy 坐标面上的双曲线4x29 y236分别绕 x 轴及 y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程 .解 以y2z2代替双曲线方程4x 29 y 236中的 y ，得该双曲线绕 x 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为4 x 2即4 x2229(9( y2y2z 2 z 2 )2)236.236, 以x z 代替双曲线方程 4x9 y36 中的 x ，得该双曲线绕 y 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为4(即4( x2x2z 2 ) z 2 )29 y29 y 236. 36,8. 画出下列各方程所表示的曲面：（1） ( x a ) 2 y 2 ( a ) 2;（2）x 2y 21;（3） 2 2 21; 2（4）y2 z 0;49（ 5） z2 x 2 .9 4解 （1）如图 8-11（a ）； （2）如图 8-11（ b ）； （ 3）如图 8-11（c ）；（4）如图 8-11（d ）； （ 5）如图 8-11（ e ）.22229. 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形： （1） x2;（ 2） yx 1;（3） x2y24;（ 4） x y1.解 （ 1） x2 在平面解析几何中表示平行于y 轴的一条直线，在空间解析几何中表示与 yOz 面平行的平面 .（2） yx 1在平面解析几何中表示斜率为1， y 轴截距也为 1 的一条直线，在空间解析几何中表示平行于 z 轴的平面 .（3） x2y24在平面解析几何中表示圆心在原点，半径为2 的圆，在空间解析几何中表示母线平行于 z 轴，准线为的圆柱面.x 2 y 2 4, z 0（4） xy1在平面解析几何中表示以 x 轴为实轴， y 轴为虚轴的双曲线，在空间解析几何中表示母线平行于z 轴，准线为y 12y z 2x2y2z 01,的双曲柱面 .10. 说明下列旋转曲面是怎样形成的：（1）x4221; 99（ 2） 2x2z21;4（3） x2y2z 2 1; （ 4） ( z a) 2x 2 y 2.x 2y 2z 2x 2y2解（ 1）1表示 xOy 面上的椭圆 1绕 x499 49x 2z2轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示 xOz 面的椭圆绕 49x 轴旋转一周而生成的旋转曲面 .（2） x2yz241表示 xOy 面上的双曲线 2y2x4y 21绕 y 轴 旋转一周而生成的旋转曲面， 或表示 yOz 面的双曲线绕 y 轴旋转一周而生成的旋转曲面 .z214（3） xy2z21表示 xOy 面上的双曲线 x2y 21绕 x 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示 xOz 面的双曲线x 轴旋转一周而生成的旋转曲面 .x2z21绕（4） ( za) 2x 2y 表示 xOz 面上的直线 z x a 或zx a 绕 z 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示 yOz 面的直线zy a 或 zy a 绕 z 轴旋转一周而生成的旋转曲面.11. 画出下列方程所表示的曲面：222（1） 4x2y2z24;（2） x 2y 2 4 z 24;z x2y2（3）.34 9解 （1）如图 8-12（a ）； （2）如图 8-12（ b ）； （ 3）如图 8-12（c ）；12. 画出下列各曲面所围立体的图形：（1） z卦限内）； 0, z 3, x y 0, x 3y 0, x2y21（在第一（2）x 限内） .0, y 0, z 0, x 2 y 2R 2, y 2 z 2R （在第一卦解 （ 1）如图 8-13 所示；（ 2）如图 8-14 所示.2 1. 画出下列曲线在第一卦限内的图形；（1）x 1, y 2;z（2）x 4 x 2 y 0;y 2,x 2 （ 3）x2y 2a 2, z2a 2.解 （ 1）如图 8-15（ a ）；（ 2）如图 8-15（ b ）；（ 3）如图 8-15（ c ） .2. 指出下列方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形：y5x 1,x2y21,（1）y 2 x 3;y 5x 1, （ 2）4 9 y 3.解 （ 1）y 2 x 3在平面解析几何中表示两直线的交点 .在空间解析几何中表示两平面的交线，即空间直线.x2（2） 4y 1,9在平面解析几何中表示椭圆x2y2与 y 34 9其切线y 3 的交点，即切点.在空间解析几何中表示椭圆柱面x2y21与其切平面 y 3的交线，即空间直线.4 913. 分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线的柱面方程. 2x2x2y2 z2z2 y216,2x2解在x2y2 z2z2 y216,中消去x，得3 y2z216,即为母线平行于x 轴且通过已知曲线的柱面方程.2x2在x2y 2 z2z2 y216,中消去y，得3x2 2 z216,即为母线平行于y 轴且通过已知曲线多的柱面方程.4. 求球面x2y2 z2 9 与平面x z1的交线在xOy 面上的投影的方程.解在x2 y2 z2x z 1 9,中消去z，得x2 y2 (1 x) 29, 即2 x2x y28,它表示母线平行于z 轴的柱面，故交线在xOy 面上的投影的方程. 2x22x y2z 08,表示已知5. 将下列曲线的一般方程化为参数方程：x2 y2 （1）y x; z2 9,（2）( xz1) 20.y2( z 1)24,2解（1）将y x代入x2y2 z2 9, 得2x2z29,3取x cos t, 则z23sint,从而可得该曲线的参数方程x 3cost , 2y 3cost, （02t 2 ）z 3sin t（2）将z=0 代入( x1) 2y2( z 1) 24,得( x 1)2y23,取x 1 3 c ost, 则y 3 s in t, 从而可得该曲线的参数方程x 1 3cost,y 3 sint,z 0（0 t 2 ）6. 求螺旋线方程. x acosy asinz b,, 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标解由x acos , y asin 得x2 y2a2, 故该螺旋线在xOy 面上的投影曲线的直角坐标方程为x2 y2z 0a2,由y asin , z b 得y asin z，故该螺旋线在yOz面上b的投影曲线的直角坐标方程为y a sinz,b x 0由x acos , z b 得x a cos z,故故该螺旋线在yOz 面b上的投影曲线的直角坐标方程为x acosz,b y 0.7. 求上半球0 z a2 x2 y2与圆柱体x2y2ax(a >0 )的公共部分在xOy 面和xOz面上的投影.解如图8-16.所求立体在xOy 面上的投影即为x2y2ax ，而由z a2 x2x2 y2 axy2 ,得z a2 ax. 故所求立体在xOz 面上的投影为由x 轴，z 轴及曲线z a2ax 所围成的区域.8. 求旋转抛物面z x2y2( 0 z 4) 在三坐标面上的投影22 2解联立面上的投影为z x2z 4x2 y2y，得x24,y2 4.故旋转抛物面在xOy如图8-17.z 0.联立z xx 0 y2,得z y2 , 故旋转抛物面在yOz 面上的投影为z y 及z4所围成的区域.z x2同理，联立y 0 y2 ,得z x2, 故旋转抛物面在xOz面上的投影为z x 及z4所围成的区域.2。

高数课后题答案及详解 高数课后习题答案解析

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高数课后题答案及详解一、求下列极限1、sin ()lim x x x →−−22111；解一：()()12sin 1cos 1lim 02x x x x→−−==原式解二：()()11sin 1sin 1lim lim11x x x x x x →→−−==−+原式2、lim sin x x x →2203解一：00021311lim lim lim 6sin3cos39sin3cos39x x x x x x x x x →→→==⋅=原式解二：sin 3~30021limlim 6sin 3cos 39cos 39x xx x x x x xx x →→===原式3、20tan 2lim 3sin x x xx →解：()2tan 2~2,sin3~3222lim93x x x xx xx →=原式=4、0lim ln(1)x x x →+解一：()001lim lim 1111x x x x→→==+=+原式解二：()1011lim1ln ln 1x xex →===+原式5、2lim xx x x →∞−⎛⎞⎜⎟⎝⎠解一：()2222lim 1xx ex −⋅−−→∞⎛⎞=−=⎜⎟⎝⎠原式解二：()1211ln 2ln 22limlim ln2lim22lim x x x x xx x x x xx xx x x eeeee−−→∞→∞→∞−−−−−−→∞−−−=====原式6、()111lim 32x x x −→−解一：()()112220lim 12t x tt t e=−−−−→=−=令原式解二：1(2)221122221lim[1(22)]{lim[1(22)]}xx x x x x e−−→−−−→=+−=+−=i 原式7、30sin lim x x x x →−解：2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→−===原式8、111lim ln 1x x x →⎛⎞−⎜⎟−⎝⎠解：111111ln 11lim lim lim 1(1)ln ln 1ln 11lim ln 112x x x x x x x x x x x x x x x xx →→→→−−+−===−−+−+−==−++原式9、12lim 22n n n n →∞+++⎛⎞−⎜⎟+⎝⎠⋯解：()()221122lim lim22221lim 422n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎞+⎜⎟+−−=−=⎜⎟++⎜⎟⎝⎠−==−+原式10、329sin limx x t dtx →∫解：26686003sin 1sin 1lim lim 933x x x x x x x →→===原式11、arctan limx x tdt →+∞。

高等数学基础教材课后答案详解

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高等数学基础教材课后答案详解一、函数与极限1. 第一章函数与极限的概念在高等数学教材中，第一章讲述了函数与极限的概念及性质。

函数是数学中的基本概念，它描述了变量之间的关系。

而极限则关注函数在某一点处的变化趋势。

在考察函数与极限时，我们需要掌握函数的定义域、值域以及各种基本函数的性质。

同时，极限的概念也需要熟悉，特别是极限的存在性和唯一性。

2. 第一节函数的极限函数的极限是分析函数行为的重要工具。

在计算函数极限时，可以利用极限的基本运算法则，通过代数运算、函数性质和极限的定义进行求解。

需要注意的是，有些极限需要通过泰勒级数展开或者利用夹逼定理进行求解。

3. 第二节极限的性质与极限存在准则极限的性质包括保号性、四则运算性质以及复合函数的极限性质等。

这些性质是进行极限计算的基本工具。

极限存在准则包括单调有界准则、夹逼准则和柯西收敛准则等，它们在判断极限存在性时非常有用。

4. 第三节无穷小与无穷大无穷小与无穷大是描述极限性质的重要概念。

通过无穷小的定义和性质，我们可以更好地理解函数的极限行为。

无穷大则是对于无穷远处函数值的描述，它在研究函数的渐近线时非常有用。

二、微分学1. 第二章导数与微分导数是函数变化率的一种度量，它描述了函数在给定点附近的局部变化情况。

在微分学中，我们首先需要熟悉导数的定义和基本性质，然后可以利用导数进行函数的求导运算。

求导的常见方法包括基本函数的求导法则、常用公式以及高阶导数的计算。

2. 第一节导数的定义和几何意义导数的定义是基于函数的局部线性逼近，它可以解释为切线斜率的极限。

几何意义上，导数描述了函数图像上的切线斜率，具有重要的几何意义。

3. 第二节导数的计算方法导数的计算方法是微分学的核心内容之一。

通过利用导数的定义，可以求解各种类型函数的导数。

在计算导数时，常用的方法包括基本函数的求导法则、乘法法则、链式法则，以及隐函数求导等。

4. 第三节微分的概念和性质微分是导数概念的延伸，它由导数和自变量的微小增量构成。

高数（第三版）课后习题七详细答案

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习题七1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点，z=0;在yOz面上的点，x=0;在zOx面上的点，y=0.3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;y轴上的点，x=z=0;z轴上的点，x=y=0.4. 求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.解：（1）s=(2) s==(3) s==(4) s==5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.故2s=xs==ys==5zs==.6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则222222(4)1(7)35(2)z z-++-=++--解得149z=153154即所求点为M （0，0，149）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图7-1图7-19. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解：232(2)3(3)2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，试以AB = c ，BC = a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A .解：1115D A BA BD =-=-- c a2225D A BA BD =-=-- c a3335D A BA BD =-=-- c a444.5D A BA BD =-=-- c a11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.解：设M 的投影为M '，则1Pr j cos 604 2.2u OM OM =︒=⨯=12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标.解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----155解得x =-2, y =3, z =0故A 的坐标为A (-2, 3, 0).13. 一向量的起点是P 1（4，0，5），终点是P 2（7，1，3），试求：（1） 12PP 在各坐标轴上的投影； （2） 12PP 的模； （3） 12PP 的方向余弦； （4） 12PP 方向的单位向量. 解：（1）12Pr j 3,x x a PP == 12Pr j 1,y y a PP ==12Pr j 2.z z a PP ==-(2) 12PP ==(3) 12cos x aPP α==12cos y a PP β==12cos zaPP γ==.(4) 12012PP PP ===+e j . 14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R 的大小和方向余弦.解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）||==Rcos cos cos αβγ=== 15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -3j +5k 和c =-2i -j +2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a , b , c .解：||==a||==b||3==c156, , 3. a b c ==a b c e16. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k 在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j .17.解：设{,,}x y z a a a a =则有c o s (1,1)3x a ia a i a iπ⋅====⋅ 求得12x a =. 设a 在xoy 面上的投影向量为b 则有{,,0}x y b a a =则22cos 42a b a b π⋅=⇒=⋅ 则214y a =求得12y a =±又1,a = 则2221x y z a a a ++=从而求得11{,,}222a =± 或11{,,}222-±18. 已知两点M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，5），点M 在线段M 1M 2上，且123M M MM =，求向径OM的坐标.解：设向径OM={x , y , z }12{2,5,3}{3,2,5}M M x y z MM x y z =--+=----因为，123M M MM =所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩157故OM ={111,,344-}.19. 已知点P 到点A （0，0，12）的距离是7，OP 的方向余弦是236,,777，求点P 的坐标.解：设P 的坐标为（x , y , z ）, 2222||(12)49PA x y z =++-=得2229524x y z z ++=-+126570cos 6, 749z z γ==⇒==又122190cos 2, 749x x α==⇒==123285cos 3, 749y y β==⇒==故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （190285570,,494949）. 20. 已知a , b 的夹角2π3ϕ=，且3,4==b a ，计算： (1) a ·b ; (2) (3a -2b )·(a + 2b ). 解：（1）a ·b =2π1cos ||||cos3434632ϕ⋅⋅=⨯⨯=-⨯⨯=-a b (2) (32)(2)3624-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b b a b b2223||44||334(6)41661.=+⋅-=⨯+⨯--⨯=-a a b b21. 已知a =(4,-2, 4), b =(6,-3, 2),计算：（1）a ·b ; (2) (2a -3b )·(a + b )； （3）2||-a b 解：（1）46(2)(3)4238⋅=⨯+-⨯-+⨯=a b (2) (23)()2233-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b a b b b222222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113=-⋅-=⨯+-+--+-+=⨯--⨯=-a a b b (3) 222||()()2||2||-=-⋅-=⋅-⋅+⋅=-⋅+a b a b a b a a a b b b a a b b36238499=-⨯+=15822. 已知四点A （1，-2，3），B （4，-4，-3），C （2，4，3），D （8，6，6），求向量AB在向量CD上的投影.解：AB={3，-2，-6}，CD ={6，2，3}Pr j CD AB CD AB CD ⋅=4.7==- 23. 若向量a +3b 垂直于向量7a -5b ,向量a -4b 垂直于向量7a -2b ,求a 和b 的夹角. 解: (a +3b )·(7a -5b ) =227||1615||0+⋅-=a a b b ① (a -4b )·(7a -2b ) = 227||308||0-⋅+=a a b b ②由①及②可得：222221()1||||2||||4⋅⋅⋅==⇒=a b a b a b a b a b 又21||02⋅=>a b b ，所以1cos ||||2θ⋅==a b a b , 故1πarccos23θ==. 24. 设a =(-2,7,6),b =(4, -3, -8),证明：以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直. 证明：以a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a +b ,a －b ,且 a +b ={2,4, -2}a -b ={-6,10,14}又(a +b )·(a -b )= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0 故(a +b )⊥(a -b ).25. 已知a =3i +2j -k , b =i -j +2k ,求： (1) a ×b ; (2) 2a ×7b ; (3) 7b ×2a ; (4) a ×a . 解：（1） 211332375122111--⨯=++=----a b i j k i j k(2) 2714()429870⨯=⨯=--a b a b i j k(3) 7214()14()429870⨯=⨯=-⨯=-++b a b a a b i j k (4) 0⨯=a a .26. 已知向量a 和b 互相垂直，且||3, ||4==a b .计算： (1) |(a ＋b )×(a －b )|；(2) |(3a ＋b )×(a －2b )|.（1）|()()|||2()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯a b a b a a a b b a b b a b159π2||||sin242=⋅⋅=a b (2) |(3)(2)||362||7()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=⨯a b a b a a a b b a b b b aπ734sin842=⨯⨯⨯= 27. 求垂直于向量3i -4j -k 和2i -j +k 的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦. 解：411334555111221----⨯=++=--+--a b i j k i j k与⨯a b平行的单位向量)||3⨯==±--+⨯a b e i j k a b||sin ||||θ⨯===⨯a b a b . 28. 一平行四边形以向量a =(2,1,－1)和b =(1,－2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦.解：两对角线向量为13=+=-l a b i j ，232=-=+-l a b i j k因为12|||2610|⨯=++l l i j k12||||==l l 所以1212||sin 1||||θ⨯===l l l l .即为所求对角线间夹角的正弦.29. 已知三点A (2,-1,5), B (0,3,-2), C (-2,3,1)，点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，CA 的中点，证明：1()4MN MP AC BC ⨯=⨯ .证明：中点M ，N ，P 的坐标分别为31(1,1,), (1,3,), (0,1,3)22M N P --{2,2,2}MN =--3{1,0,}2MP =-{4,4,4}AC =--{2,0,3}BC =-16022222235233100122MN MP ----⨯=++=++--i j k i j k 44444412208033220AC BC ---⨯=++=++--i j k i j k故 1()4MN MP AC BC ⨯=⨯.30.（1）解: x y zx y zi j ka b a a a b b b ⨯==-+-+-y z z y z x x z x y y xa b a b i a b a b j a b a b k（）（）（） 则 C=-C +-+-y z z y x z x x z y x y y x y a b a b a b a b a b C a b a b C ⨯⋅（）（）（）（）xy z xy z xyza a ab b b C C C = 若 ,,C a b共面，则有 a b ⨯ 后与 C 是垂直的. 从而C 0a b ⨯⋅=（） 反之亦成立. （2） C xy z xy z xy za a a ab b b b C C C ⨯⋅=（） a xy z xy z xy z bb b b C C C C a a a ⨯⋅= （） b xy z xy z xy zCC C C a a a a b b b ⨯⋅= （） 由行列式性质可得:xy z x y z x y z xy z x y z x y zxyzxyzxyza a ab b b C C C b b b C C C a a a C C C a a a b b b ==故 C a a b b C C a ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅ （）（）（）16131. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积. 解：设四顶点依次取为A , B , C , D .{0,1,2}, {2,2,1}AB AD ==-则由A ，B ，D 三点所确定三角形的面积为111|||542|22S AB AD =⨯=+-=i j k .同理可求其他三个三角形的面积依次为12故四面体的表面积12S =32.解：设四面体的底为BCD ∆，从A 点到底面BCD ∆的高为h ，则13B C D V S h =⋅⋅ ， 而11948222BCD S BC BD i j k =⨯=--+=又BCD ∆所在的平面方程为:48150x y z +-+=则43h ==故1942323V =⋅⋅= 33. 已知三点A (2,4,1), B (3,7,5), C (4,10,9)，证：此三点共线.证明：{1,3,4}AB = ,{2,6,8}AC =显然2AC AB =则22()0AB AC AB AB AB AB ⨯=⨯=⨯=故A ，B ，C 三点共线.34. 一动点与M 0(1,1,1)连成的向量与向量n =(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程. 解：设动点为M (x , y , z )0{1,1,1}M M x y z =---因0M M n ⊥ ,故00M M n ⋅=.即2(x -1)+3(y -1)-4(z -1)=0整理得：2x +3y -4z -1=0即为动点M 的轨迹方程. 35. 求通过下列两已知点的直线方程： （1） （1，-2，1）， （3，1，-1）； （2） （3，-1，0），（1，0，-3）.162解：（1）两点所确立的一个向量为 s ={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2} 故直线的标准方程为：121232x y z -+-==- 或 311232x y z --+==- （2）直线方向向量可取为s ={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3} 故直线的标准方程为：31213x y z -+==-- 或 13213x y z -+==-- 36. 求直线234035210x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的标准式方程和参数方程.解：所给直线的方向向量为 12311223719522335--=⨯=++=----s n n i j k i j k另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:7171719x y z --==-- 且直线的参数方程为：771719x t y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩37. 求过点(4,1,-2)且与平面3x -2y +6z =11平行的平面方程. 解：所求平面与平面3x -2y +6z =11平行 故n ={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0即3x -2y +6z +2=0.38. 求过点M 0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M 0的线段OM 0垂直的平面方程.解：所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n故平面方程为：x -1+7(y -7)-3(z +3)=0 即x +7y -3z -59=039. 设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为122x y z b b b++= 又(1,2,-1)在平面上，则有121122b b b-++=163得b =2.故所求平面方程为1424x y z ++= 40. 求过(1,1,-1), (-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程. 解：由平面的三点式方程知1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 代入三已知点，有1112121210111121x y z --+----+=---+化简得x -3y -2z =0即为所求平面方程.41. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形： (1) y =0; (2) 3x -1=0; (3) 2x -3y -6=0; (4) x – y =0; (5) 2x -3y +4z =0.解：(1) y =0表示xOz 坐标面（如图7-2） (2) 3x -1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图7-3)图7-2 图7-3(3) 2x -3y -6=0表示平行于z 轴且在x 轴及y 轴上的截距分别为x =3和y =-2的平面.(如图7-4) (4) x –y =0表示过z 轴的平面（如图7-5） (5) 2x -3y +4z =0表示过原点的平面（如图7-6）.图7-4 图7-5 图7-6 42. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x +y -z =0的平面. 解：设平面方程为Ax +By +Cz +D =0 则其法向量为n ={A ,B ,C }已知平面法向量为n 1={1,1,-1} 过已知两点的向量l ={1,1,1}由题知n·n1=0, n·l=0即0,.A B CC A B A B C+-=⎧⇒==-⎨++=⎩所求平面方程变为Ax-Ay+D=0又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0故平面方程为x-y=0.43. 决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件：（1）经过点（5，-4，6）；（2）与平面2x-3y+z=0成π4的角.解：（1）因平面过点（5，-4，6）故有5-4k-2×6=9得k=-4.（2）两平面的法向量分别为n1={1,k,-2} n2={2,-3,1}且1212πcos cos||||42θ⋅====n nn n解得k=44. 确定下列方程中的l和m:(1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行;(2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.解：（1）n1={2,l,3}, n2={m,-6,-1}12232,18613lm lm⇒==⇒=-=--n n(2) n1={3, -5, l }, n2={1,3,2}12315320 6.l l⊥⇒⨯-⨯+⨯=⇒=n n45. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0其法向量n={A,B,C}n1={1,-1,1}, n2={2,1,1}12203203A CA B CA B C CB⎧=-⎪⊥⇒-+=⎪⇒⎨⊥⇒++=⎪=⎪⎩n nn n又（1，－1，1）在所求平面上，故A－B+C+D=0，得D=0故所求平面方程为233CCx y Cz-++=即2x-y-3z=016416546. 求平行于平面3x -y +7z =5,且垂直于向量i -j +2k 的单位向量. 解：n 1={3,-1,7}, n 2={1,-1,2}.12,⊥⊥n n n n故1217733152122111--=⨯=++=+---n n n i j k i j k则2).n =+-e i j k 47. 求下列直线与平面的交点：(1)11126x y z-+==-, 2x +3y +z -1=0; (2) 213232x y z +--==, x +2y -2z +6=0. 解：（1）直线参数方程为1126x ty t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩代入平面方程得t =1 故交点为（2，-3，6）.（2） 直线参数方程为221332x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入平面方程解得t =0. 故交点为（-2，1，3）. 48. 求下列直线的夹角： （1）533903210x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩ 和2223038180x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩； （2）2314123x y z ---==- 和 38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩ 解：（1）两直线的方向向量分别为：s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=533321ij k--={3,4, -1}s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=221381i j k-={10, -5,10}166由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2 从而两直线垂直，夹角为π2. (2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩的方程可变为22010y z x -+=⎧⎨-=⎩,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是1212cos 0.2064785θθ⋅==≈⋅'≈︒s s s s 49. 求满足下列各组条件的直线方程： （1）经过点（2，-3，4），且与平面3x -y +2z -4=0垂直； （2）过点（0，2，4），且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行； （3）过点（-1，2，1），且与直线31213x y z --==-平行. 解：（1）可取直线的方向向量为 s ={3，-1，2} 故过点（2，-3，4）的直线方程为234312x y z -+-==- （2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n 1与n 2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量12102{2,3,1}013=⨯==--i j ks n n故过点（0，2，4）的直线方程为24231x y z --==- （3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s ={2，-1，3}故过点（-1，2，1）的直线方程为121213x y z +--==-. 50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：（1）34273x y z++==--和4x -2y -2z =3; （2）327x y z==-和3x -2y +7z =8;167（3）223314x y z -+-==-和x +y +z =3. 解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s ={-2，-7，3}平面的法向量n ={4，-2，-2}，所以(2)4(7)(2)3(2)0⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n于是直线与平面平行.又因为直线上的点M 0（-3，-4，0）代入平面方程有4(3)2(4)2043⨯--⨯--⨯=-≠.故直线不在平面上.(2) 因直线方向向量s 等于平面的法向量，故直线垂直于平面.(3) 直线在平面上，因为3111(4)10⨯+⨯+-⨯=,而直线上的点（2，-2，3）在平面上. 51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线23030x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩ 的平面方程.解：直线的方向向量为12123111-=++-ij ki j k , 取平面法向量为{1，2，3}，故所求平面方程为1(1)2(2)3(1)0x y z ⨯-+++-=即x +2y +3z =0.52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x -3y +z =3, x +3y +2z +1=0的交线的平面方程. 解：设过两平面的交线的平面束方程为233(321)0x y z x y z λ-+-++++= 其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3） 故213(2)33(13(2)231)0λ⨯-⨯-+-++⨯-+⨯+= 解得λ=-4.故所求平面方程为2x +15y +7z +7=053. 求点（-1，2，0）在平面x +2y -z +1=0上的投影.解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即s =n ={1，2，-1}所以垂线的参数方程为122x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩将其代入平面方程可得(-1+t )+2(2+2t )-(-t )+1=0168得23t =-于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点522(,,)333-54. 求点（3，-1，2）到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离.解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量即11133211==-=---ij kn s j k故过已知点的平面方程为y +z =1.联立方程组102401x y z x y z y z +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+=⎩解得131,,.22x y z ==-= 即13(1,,)22-为平面与直线的垂足于是点到直线的距离为2d ==55. 求点（1，2，1）到平面x +2y +2z -10=0距离.解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s =n ={1，2，2}所以垂线的参数方程为12212x ty t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩将其代入平面方程得13t =. 故垂足为485(,,)333，且与点（1，2，1）的距离为1d == 即为点到平面的距离.56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.解：球的半径为R ==设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14 即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程.57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.169解：设该动点为M (x ,y ,z )3.=化简得：8x 2+8y 2+8z 2-68x +108y -114z +779=0 即为动点的轨迹方程.58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：（1）22()()22a a x y -+=; （2）22149x y -+=;（3）22194x z +=; （4）20y z -=;（5）220x y -=; （6）220x y +=. 解：（1）母线平行于z 轴的抛物柱面，如图7-7. （2）母线平行于z 轴的双曲柱面,如图7-8.图7-7 图7-8 （3）母线平行于y 轴的椭圆柱面，如图7-9. （4）母线平行于x 轴的抛物柱面，如图7-10.图7-9 图7-10（5）母线平行于z 轴的两平面，如图7-11. （6）z 轴，如图7-12.图7-11 图7-1217059. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：（1）222149y z x ++=; （2）22369436x y z +-=;（3）222149y z x --=; （4）2221149y z x +-=;（5）22209z x y +-=.解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图7-13. (2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图7-14.图7-13 图7-14(3) 以x 轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15. (4) 单叶双曲面，如图7-16.图7-15 图7-16(5) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z 轴，如图7-17.图7-1760. 作出下列曲面所围成的立体的图形： (1) x 2+y 2+z 2=a 2与z =0,z =2a(a >0); (2) x +y +z =4,x =0,x =1,y =0,y =2及z =0; (3) z =4-x 2, x =0, y =0, z =0及2x +y =4; (4) z =6-(x 2+y 2),x =0, y =0, z =0及x +y =1.171解：（1）（2）（3）（4）分别如图7-18，7-19，7-20，7-21所示.图7-18 图7-19图7-20 图7-2161. 求下列曲面和直线的交点：(1) 222181369x y z ++=与342364x y z --+==-; (2) 22211694x y z +-=与2434x y z +==-.解：（1）直线的参数方程为334624x ty t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程解得t =0,t =1.得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）. (2) 直线的参数方程为4324x t y tz t =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程可解得t =1,得交点坐标为（4，-3，2）.62. 设有一圆，它的中心在z 轴上，半径为3，且位于距离xOy 平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.172解：设（x ，y ，z ）为圆上任一点，依题意有2295x y z ⎧+=⎨=±⎩即为所求圆的方程.63. 试考察曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程.(1) 平面x =2; (2) 平面y =0; (3) 平面y =5; (4) 平面z =2.解：（1）截线方程为2212x ⎧+=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ 其形状为x =2平面上的双曲线.（2）截线方程为221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为xOz 面上的一个椭圆.(3)截线方程为2215y ==⎩为平面y =5上的一个椭圆.(4) 截线方程为2209252x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩为平面z =2上的两条直线.64. 求曲线x 2+y 2+z 2=a 2, x 2+y 2=z 2在xOy 面上的投影曲线. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为2222a x y +=故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为22220a x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩65. 建立曲线x 2+y 2=z , z =x +1在xOy 平面上的投影方程. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为x 2+y 2=x +1即2215()24x y -+=.故曲线在xOy平面上的投影方程为2215()24x yz⎧-+=⎪⎨⎪=⎩173。

同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)1

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习题8-31. 求下列函数的全微分: (1)yx xy z +=;解 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy y x x dx y y )()1(2-++=.(2)xy e z =;解 xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=∂∂+∂∂=.(3) 22y x yz +=;解 因为2/3222322)()(21y x xy y x y x z +-=+-=∂∂-, 2/3222222222)(y x x y x y x yy y x y z +=++⋅-+=∂∂, 所以 dy y x x dx y x xy dz 2/32222/322)()(+++-=)()(2/322xdy ydx y x x -+-=.(4)u =x yz . 解 因为1-⋅=∂∂yz x yz x u , x zx yu yz ln =∂∂, x yx z u yz ln =∂∂,所以 xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=-.2. 求函数z =ln(1+x 2+y 2)当x =1, y =2时的全微分. 解 因为2212y x x x z ++=∂∂, 2212y x y y z ++=∂∂, 3121=∂∂==y x xz, 3221=∂∂==y x y z , 所以 dy dx dz y x 323121⋅+===.3. 求函数xyz =当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时的全增量和全微分.解 因为xy x x y y z -∆+∆+=∆, y x x x ydz ∆+∆-=12, 所以, 当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时,119.0211.02)2.0(1-=-+-+=∆z , 125.0)2.0(211.041-=-⨯+⨯-=dz .4. 求函数z =e xy 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时的全微分. 解 因为y xe x ye y yz x x z dz xy xy ∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=所以, 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时, e e e dz 25.01.015.0=⋅+⋅=.*5. 计算33)97.1()102(+的近似值. 解 设33y x z +=, 由于y yz x x z y x y y x x ∆∂∂+∆∂∂++≈∆++∆+3333)()(332233233yx y y x x y x +∆+∆++=,所以取x =1, y =2, ∆x =0.02, ∆y =-0.03可得95.2212)03.0(2302.0321)97.1()02.1(32333=+-⋅⋅+⋅++≈+. *6. 计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693). 解 设z =x y , 由于y yz x x z x x x y y y ∆∂∂+∆∂∂+≈∆+∆+)(y x x x yx x y y y ∆+∆+=-ln 1,所以取x =2, y =1, ∆x =-0.03, ∆y =0.05可得(1.97)1.05≈2-0.03+2ln2⋅0.05+1.97+0.0693 ≈2.093.*7( 已知边长为x(6m 与y(8m 的矩形( 如果x 边增加5cm 而y 边减少10cm(问这个矩形的对角线的近似变化怎样？ 解 矩形的对角线为22y x z +=,)(122y y x x yx y dy dz x dx dz dz z ∆+∆+=∆+∆=≈∆,当x =6, y =8, ∆x =0.05, ∆y =-0.1时,05.0)1.0805.06(86122-=⋅-⋅+≈∆z .这个矩形的对角线大约减少5cm .*8. 设有一无盖圆柱形容器, 容器的壁与底的厚度均为0.1cm , 内高为20cm ,内半径为4厘米, 求容器外壳体积的近似值. 解 圆柱体的体积公式为V =πR 2h , ∆V ≈dV =2πRh ∆R +πR 2∆h , 当R =4, h =20, ∆R =∆h =0.1时,∆V ≈2⨯3.14⨯4⨯20⨯0.1+3.14⨯42⨯0.1≈55.3(cm 3), 这个容器外壳的体积大约是55.3cm 3.*9. 设有直角三角形, 测得其两腰的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm , 试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差. 解 设两直角边的长度分别为x 和y , 则斜边的长度为22y x z +=.||||||||||||y y z x x z dz z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤≈∆|)|||(122y y x x yx ∆+∆+=.令x =7, y =24, |∆x |≤0.1, |∆y |≤0.1, 则得斜边长度z 的绝对误差约为124.0)1.0241.07(247122=⋅+⋅+=z δcm .*10. 测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m 和78±0.1m ,这两边的夹角为60︒±1︒, 试求三角形面积的近似值, 并求其绝对误差和相对误差.解 设三角形的两边长为x 和y , 它们的夹角z , 为则三角形面积为z xy s sin 21=.zdz xy zdy x zdx y dS cos 21sin 21sin 21++=||cos 21||sin 21||sin 21||||dz z xy dy z x dx z y dS S ++≤≈∆.令x =63, y =78, 3π=z , |dx |=0.1, |dy |=0.1, 180π=dz , 则55.2718021278631.0232631.023278=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≈πδs ,82.21273sin 786321=⋅⋅⋅=πS ,%29.182.212755.27==S s δ,所以三角形面积的近似值为2127.82m 2, 绝对误差为27.55m 2, 相对误差为1.29%.*11. 利用全微分证明: 两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和.证明 设u =x +y , 则||||||||||||y x y x y yu x x u du u ∆+∆≤∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=≈∆.所以两数之和的绝对误差|∆u |等于它们各自的绝对误差|∆x |与|∆y |的和.*12. 利用全微分证明: 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和. 证明 设u =xy , y x v =, 则∆u ≈du =ydx +xdy ,2yxdyydx dv v -=≈∆, 由此可得相对误差;||||||||y dy x dx xy xdy ydx u du u u +=+=≈∆||||||||yyx x y dy x dx ∆+∆=+≤;||||||||2y dy x dx yx y xdy ydx v dv v v -=⋅-==∆||||||||y yx x y dy x dx ∆+∆=+≤.习题8-41. 设z =u 2-v 2, 而u =x +y , v =x -y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅1=2(u +v )=4x ,y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅(-1)=2(u -v )=4y .2. 设z =u 2ln v , 而y x u =, v =3x -2y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂31ln 22⋅+⋅=v u y v u 222)23(3)23ln(2y y x x y x y x -+-=, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)2()(ln 222-+-⋅=v u y x v u 2232)23(2)23ln(2yy x x y x y x ----=. 3. 设z =e x -2y , 而x =sin t , y =t 3, 求dtdz .解 dtdyy z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅-⋅+=--)6(cos )6(cos 22sin 223t t e t t e t t y x -=-=--.4. 设z =arcsin(x - y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dtdz .解 dt dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=22212)(113)(11t y x y x ⋅---+⋅--= 232)43(1)41(3t t t ---=. 5. 设z =arctan(xy ), 而y =e x , 求dxdz .解 dx dy y z x z dx dz ⋅∂∂+∂∂=xxxe x x e e y x x y x y 2222221)1(11++=⋅+++=.6. 设1)(2+-=a z y e u ax , 而y =a sin x , z =cos x , 求dxdu .解 dxdz dz u dx dyy u x u dx du ⋅∂+⋅∂∂+∂∂=)sin (1cos 11)(222x a e x a a e a z y ae ax ax ax -⋅+-⋅+++-= )sin cos cos sin (122x x a x a x a a e ax ++-+=x e ax sin =. 7. 设yx z arctan =, 而x =u +v , y =u -v , 验证22v u v uv z u z +-=∂∂+∂∂. 证明 )()(v yy z v x x z u y y z u x x z v z u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂+∂∂)()(111)(11222y x yx y y x -⋅++⋅+=)1()()(111)(11222-⋅-⋅++⋅++y x yx y y x22222v u v u y x y +-=+=. 8. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数): (1) u =f (x 2-y 2, e xy );解 将两个中间变量按顺序编为1, 2号, 2122212)()(f ye f x xe f x y x f x u xy xy '+'=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂, 212)2212)((f xe f y ye f y y x f y u xy xy '+'-=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂. (2)) ,(zyy x f u =;解 1211)()(f y z yx f y x x f x u '=∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂,)()(21z yy f y x y f y u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂2121f z f y x '+'-=,)()(21z y z f z x z f z u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂22f z y '⋅-=. (3) u =f (x , xy , xyz ).解 yz f y f f xu ⋅'+⋅'+⋅'=∂∂3211321f yz f y f '+'+'=,3232f xz f x xz f x f y u '+'=⋅'+⋅'=∂∂,33f xy xy f zu '=⋅'=∂∂.9. 设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z yz y x z x +=∂∂+∂∂⋅. 证明 y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([y u u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .10. 设)(22y x f yz -=, 其中f (u )为可导函数, 验证 211y z y z y x z x =∂∂+∂∂.证明 ()()u f f xy u f x f y x z 2222'-=⋅'⋅-=∂∂, ()()u f f y u f u f y f y u f y z 2222)(1)2()('-+=-⋅'⋅-=∂∂, 所以 )(11221122u f y u f f y u f f y y z y x z x ⋅+'+'-=∂∂⋅+∂∂⋅211yz zy y =⋅.11. 设z =f (x 2+y 2), 其中f 具有二阶导数, 求22x z ∂∂, y x z ∂∂∂2, 22y z ∂∂.解 令u =x 2+y 2, 则z =f (u ), f x xu u f x z '=∂∂'=∂∂2)(,f y yu u f y z '=∂∂'=∂∂2)(,f x f x u f x f x z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂2224222,f xy yu f x y x z ''=∂∂⋅''=∂∂∂422,f y f yu f y f y z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂422222. 12. 求下列函数的22x z ∂∂,y x z ∂∂∂2,22yz ∂∂(其中f 具有二阶连续偏导数): (1) z =f (xy , y );解 令u =xy , v =y , 则z =f (u , v ).ufy v f y u f x v v f x u u f x z ∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂0,vfu f x v f x u f y v v f y u u f y z ∂∂+∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂1.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )()()(22uf x y u f y x x z x x z ∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂222222222)0()(u f y v u f y u f y x v v u f x u u f y ∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=,)(1)()(2uf y y u f u f y y x z y y x z ∂∂∂∂+∂∂⋅=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ )(222yvv u f y u u f y u f ∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂= v u fy u f xy u f v u f x u f y u f ∂∂∂+∂∂+∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂+∂∂=222222)1(,)()()()(22vf y u f y x v f u f x y y z y y z∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ y vv f y u u v f y v v u f y u u f x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=222222)( 1)1(222222⋅∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂=vfx u v f v u f x u f x2222222vfv u f x u f x ∂∂+∂∂∂+∂∂=. (2)) ,(yx x f z =;解 令u =x ,yx v =, 则z =f (u , v ).v fy u f x v v f dx du u f x z ∂∂⋅+∂∂=∂∂⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂1,vfy x dy dv v f y z ∂∂⋅-=⋅∂∂=∂∂2.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )(1)()1()(22v f x y u f x v f y u f x x z x x z ∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(1)(222222xvv f dx du u v f y x v v u f dx du u f ∂∂⋅∂∂+⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+⋅∂∂=22222212vfy v u f y u f ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂=,)1()(2vf y u f y x z y y x z ∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂)(1)1()(v f y y v f y dy d u f y ∂∂∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂∂∂= y vv f y v f y y v v u f ∂∂⋅∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂⋅∂∂∂=22211 2232221vf y x v f y v u f y x ∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂∂⋅-= )()()(2222vf y y x v f y x y y z y y z∂∂∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂22423222322v f y x v f y x y v v f y x v f y x ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂⋅-∂∂⋅=. (3) z =f (xy 2, x 2y );解 z x =f 1'⋅y 2+f 2'⋅2xy =y 2f 1'+2xyf 2', z y =f 1'⋅2xy +f 2'⋅x 2=2xyf 1'+x 2f 2';z xx =y 2[f 11''⋅y 2+f 12''⋅2xy ]+2yf 2''+2xy [f 21''⋅y 2+f 22''⋅2xy ] =y 4f 11''+2xy 3f 12''+2yf 2''+2xy 3f 21''+4x 2y 2 f 22'' =y 4f 11''+4xy 3f 12''+2yf 2''+4x 2y 2 f 22'',z xy =2y f 1'+y 2[f 11''⋅2xy +f 12''⋅x 2]+2xf 2'+2xy [f 21''⋅2xy +f 22''⋅x 2] =2y f 1'+2xy 3f 11''+x 2y 2 f 12''+2xf 2'+4x 2y 2f 21''+2x 3yf 22'' =2y f 1'+2xy 3f 11''+5x 2y 2 f 12''+2xf 2'+2x 3yf 22'', z yy =2xf 1'+2xy [f 11''⋅2xy +f 12''⋅x 2]+x 2[f 21''⋅2xy +f 22''⋅x 2] =2xf 1'+4x 2y 2f 11''+2x 3y f 12''+2x 3yf 21''+x 4f 22'' =2xf 1'+4x 2y 2f 11''+4x 3y f 12''+x 4f 22''. (4) z =f (sin x , cos y , e x +y ).解 z x =f 1'⋅cos x + f 3'⋅e x +y =cos x f 1'+e x +y f 3', z y =f 2'⋅(-sin y )+ f 3'⋅e x +y =-sin y f 2'+e x +y f 3', z xx =-sin x f 1'+cos x ⋅(f 11''⋅cos x + f 13''⋅e x +y ) +e x +y f 3'+e x +y (f 31''⋅cos x + f 33''⋅e x +y ) =-sin x f 1'+cos 2x f 11''+e x +y cos x f 13''+e x +y f 3' +e x +y cos x f 31''+e 2(x +y ) f 33''=-sin x f 1'+cos 2x f 11''+2e x +y cos x f 13''+e x +y f 3'+e 2(x +y ) f 33'', z xy =cos x [f 12''⋅(-sin y )+ f 13''⋅e x +y ] +e x +y f 3'+e x +y [f 32''⋅(-sin y )+ f 33''⋅e x +y ] =-sin y cos x f 12''+e x +y cos x f 13' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32'+e 2(x +y )f 33' =-sin y cos x f 12''+e x +y cos x f 13'' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32''+e 2(x +y )f 33'',z yy =-cos y f 2'-sin y [f 22''⋅(-sin y )+ f 23''⋅e x +y ] +e x +y f 3'+e x +y [f 32''⋅(-sin y )+ f 33''⋅e x +y ] =-cos y f 2'+sin 2y f 22''-e x +y sin y f 23'' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32''+ f 33''⋅e 2(x +y )=-cos y f 2'+sin 2y f 22''-2e x +y sin y f 23''+e x +y f 3'+f 33''⋅e 2(x +y ). 13. 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 而23t s x -=,23t s y +=, 证明2222)()()()(t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂及22222222t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.证明 因为y u x u s yy u s x x u s u ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2321yu x u t yy u t x x u t u ∂∂⋅+∂∂⋅-=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2123所以2222)2123()2321()()(y u x u y u x u t u s u ∂∂+∂∂-+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂22)()(y u x u ∂∂+∂∂=. 又因为)2321()(22yu x u s s u s s u∂∂⋅+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(23)(21222222s y y u s x x y u s y y x u s x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂= )2321(23)2321(21222222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅= 22222432341yu y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅=,)2123()(22yu x u t t u t t u∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(21)(23222222t y y u t x x y u t y y x u t x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂-= )2123(21)2123(23222222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-+∂∂∂⋅+∂∂⋅--= 22222412343y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-∂∂⋅=, 所以 22222222yu x u t u s u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.习题8-51. 设sin y +e x -xy 2=0, 求dxdy . 解 令F (x , y )=sin y +e x -xy 2, 则F x =e x -y 2, F y =cos y -2xy ,xyy e y xy y y e F F dx dy xy x 2cos 2cos 222--=---=-=. 2. 设x y y x arctan ln 22=+, 求dxdy .解 令xyy x y x F arctan ln ),(22-+=, 则22222222)()(11221y x y x x y xy y x x y x F x ++=-⋅+-+⋅+=,22222221)(11221y x x y x xy y x y y x F y +-=⋅+-+⋅+=, yx y x F F dx dyy x -+=-=. 3. 设022=-++xyz z y x , 求x z ∂∂及y z ∂∂.解 令xyz z y x z y x F 22),,(-++=, 则 xyz yz F x -=1, xyzxz F y -=2, xyz xyF z -=1, xy xyz xyz yz F F x z z x --=-=∂∂, xy xyz xyz xz F F y z z y --=-=∂∂2. 4. 设y z z x ln =, 求x z ∂∂及y z ∂∂,解 令yz z x z y x F ln ),,(-=, 则 z F x 1=, y y z y z F y 1)(12=-⋅-=, 2211z z x y yz z x F z +-=⋅--=, 所以 z x z F F x z z x +=-=∂∂, )(2z x y z F F yz z y +=-=∂∂.5. 设2sin(x +2y -3z )=x +2y -3z , 证明1=∂∂+∂∂y z x z证明 设F (x , y , z )=2sin(x +2y -3z )-x -2y +3z , 则 F x =2cos(x +2y -3z )-1, F y =2cos(x +2y -3z )⋅2-2=2F x , F z =2cos(x +2y -3z )⋅(-3)+3=-3F x ,313=--=-=∂∂x x z x F F F F x z ,3232=--=-=∂∂x x z y F F F F yz , 于是13231=+=--=∂∂+∂∂z z z x F F F F y z x z . 6. 设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y )都是由方程F (x , y , z )=0所确定的具有连续偏导数的函数, 证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂x z z yy x .解 因为x y F F y x -=∂∂, y z F F z y -=∂∂, zx F F x z -=∂∂, 所以 1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x . 7. 设ϕ(u , v )具有连续偏导数, 证明由方程ϕ(cx -az , cy -bz )=0 所确定的函数z =f (x , y )满足 c y z b x z a =∂∂+∂∂.证明 因为vu uv u u b a c b a c x z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂, vu v v u v b a c b a c y z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂, 所以 c b a c b b a c a y z b x z a vu vv u u =+++⋅=∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ.8. 设e z-xyz =0, 求22xz∂∂.解 设F (x , y , z )=e z -xyz , 则F x =-yz , F z =e z -xy , xye yzF F x z z z x -=-=∂∂,222)()()()(xy e y x z e yz xy e x z y x z x x z z z z --∂∂--∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222)()(xy e xye yzyze xy ye z y zz z z ----+=32232)(22xy e e z y z xy ze y z zz ---=. 9. 设z 3-3xyz =a 3, 求yx z ∂∂∂2. 解 令F (x , y , z )=z 3-3xyz -a 3, 则 xyz yzxy z yz F F x z z x -=---=-=∂∂22333,xyz xzxy z xz F F y z z y -=---=-=∂∂22333, )()(22xyz yz y x z y y x z -∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ 222)()2())((xy z x yz z yz xy z y z y z --∂∂--∂∂+= 22222)()2()()(xy z x xyz xz z yz xy z xy z xz yz -----⋅-+=322224)()2(xy z y x xyz z z ---=. 10. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: (1)设⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z , 求dx dy , dx dz ;解 视y =y (x ), z =z (x ), 方程两边对x 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=064222dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-xdx dzz dxdy y x dx dz dx dy y 3222.解方程组得 )13(2)16(++-=∂∂z y z x x y , 13+=z x dx dz.(2)设⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x , 求dz dx ,dz dy ; 解 视x =x (z ), y =y (z ), 方程两边对z 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++022201z dz dy y dz dx x dz dy dz dx , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+zdz dy y dzdxx dz dy dz dx 2221.解方程组得y x z y z x --=∂∂, yx xz z y --=∂∂. (3)设⎩⎨⎧-=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u , 其中f , g 具有一阶连续偏导数, 求x u ∂∂,xv ∂∂; 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边对x 求偏导得 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅'+-∂∂⋅'=∂∂∂∂⋅'+∂∂+⋅'=∂∂x v yv g xu g x v x vf x u x u f x u 21212)1()( ,即 ⎪⎩⎪⎨⎧'=∂∂⋅⋅-'+∂∂'''-=∂∂⋅'+∂∂-'121121)12()1(g x v g yv xu g f u x v f x u f x .解之得1221221)12)(1()12(g f g yv f x g f g yv f u x u ''--'-'''--''-=∂∂,1221111)12)(1()1(g f g yv f x f u f x g x v ''--'-'-'+''=∂∂.(4)设⎩⎨⎧-=+=vu e y v u e x uu cos sin , 求x u ∂∂, y u ∂∂, x v ∂∂, y v ∂∂. 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边微分得 ⎩⎨⎧+-=++=vdv u vdu du e dy vdv u vdu du e dx uu sin cos cos sin , 即 ⎩⎨⎧=+-=++dy vdv u du v e dx vdv u du v e u u sin )cos (cos )sin (, 从中解出du , dv 得 dy v v e v dx v v e v du uu 1)cos (sin cos 1)cos (sin sin +--++-=, dy v v e u e v dx v v e u e v dv u uuu ]1)cos (sin [sin ]1)cos (sin [cos +-+++--=, 从而1)cos (sin sin +-=∂∂v v e v x u u , 1)cos (sin cos +--=∂∂v v e v y u u, ]1)cos (sin [cos +--=∂∂v v e u e v x v u u , ]1)cos (sin [sin +-+=∂∂v v e u e v y v u u. 11. 设y =f (x , t ), 而t 是由方程F (x , y , t )=0所确定的x , y 的函数, 其中f , F 都具有一阶连续偏导数, 试证明:tF y F t f x F t f t F x f dx dy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=.证明 由方程组⎩⎨⎧==0),,(),(t y x F t x f y 可确定两个一元隐函数⎩⎨⎧==)()(x t t x y y , 方程两边对x 求导可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=0dx dt t F dx dy y F x F dxdtt f x f dx dy ,移项得 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂-=∂∂+⋅∂∂∂∂=⋅∂∂-x F dx dt t F dx dy y F x f dx dt t f dx dy , 在01≠∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂-=y F t f t F tF y F t fD 的条件下 yFt f t F xFt f t F x f t F x F t f x f D dx dy ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂-∂∂-∂∂⋅=1. 习题8-61. 求曲线x =t -sin t , y =1-cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12 (-π处的切线及法平面方程.解 x '(t )=1-cos t , y '(t )=sin t , 2cos 2)(t t z ='. 因为点)22 ,1 ,12 (-π所对应的参数为2π=t , 故在点)22 ,1 ,12(-π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T . 因此在点)22 ,1 ,12 (-π处, 切线方程为22211121-=-=-+z y x π, 法平面方程为0)22(2)1(1)12(1=-+-⋅++-⋅z y x π, 即422+=++πz y x .2. 求曲线t t x +=1, t t y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程. 解 2)1(1)(t t x +=', 21)(t t y -=', z '(t )=2t .在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,41(-=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,21(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为 21124121-=--=-z y x , 即8142121-=--=-z y x ; 法平面方程为0)1(2)2()21(41=-+---z y x , 即2x -8y +16z -1=0.3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m -x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程.解 设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m -x的两边对x 求导, 得m dx dy y 22=, 12-=dxdz z , 所以y m dx dy =, z dxdz 21-=. 曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(00z y m -=T , 所求的切线方程为0000211z z z y m y y x x --=-=-, 法平面方程为0)(21)()(00000=---+-z z z y y y m x x . 4. 求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程.解 设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-++053203222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+2533222dxdz dx dy x dx dz z dx dy y . 解此方程组得z y z x dx dy 61015410----=, zy y x dx dz 610946---+=. 因为169)1,1,1(=dx dy , 161)1,1,1(-=dx dz , 所以)161 ,169 ,1(=T . 所求切线方程为1611169111--=-=-z y x , 即1191161--=-=-z y x ; 法平面方程为0)1(161)1(169)1(=---+-z y x , 即16x +9y -z -24=0. 5. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4.解 已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).因为x '=1, y '=2t , z '=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以T ⋅n =0, 即1+4t +3t 2=0,解得t =-1, 31-=t . 于是所求点的坐标为(-1, 1, -1)和)271 ,91 ,31(--. 6. 求曲面e z -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程. 解 令F (x , y , z )=e z -z +xy -3, 则n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z -1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),点(2,1, 0)处的切平面方程为1⋅(x -2)+2(y -1)+0⋅(z -0)=0, 即x +2y -4=0,法线方程为02112-=-=-z y x . 7. 求曲面ax 2+by 2+cz 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的切平面及法线方程. 解 令F (x , y , z )=ax 2+by 2+cz 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2ax , 2by , 2cz )=(ax , by , cz ).在点(x 0, y 0, z 0)处, 法向量为(ax 0, by 0, cz 0), 故切平面方程为ax 0(x -x 0)+by 0(y -y 0)+cz 0(z -z 0)=0,即 202020000cz by ax z cz y by x ax ++=++, 法线方程为00000cz z z by y y ax x x -=-=-.8. 求椭球面x 2+2y 2+z 2=1上平行于平面x -y +2z =0的切平面方程.解 设F (x , y , z )=x 2+2y 2+z 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2x , 4y , 2z )=2(x , 2y , z ).已知切平面的法向量为(1, -1, 2). 因为已知平面与所求切平面平行, 所以2121z y x =-=, 即z x 21=, z y 41-=, 代入椭球面方程得1)4(2)2(222=+-+z z z ,解得1122±=z , 则1122±=x , 11221 =y . 所以切点坐标为)1122,11221,112(±± . 所求切平面方程为0)1122(2)11221()112(=±+-±z y x , 即 2112±=+-z y x . 9. 求旋转椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 x O y 面的法向为n 1=(0, 0, 1).令F (x , y , z )=3x 2+y 2 +z 2-16, 则点(-1, -2, 3)处的法向量为 n 2=(F x , F y , F z )|(-1, -2, 3)=(6x , 2y , 2z )|(-1, -2, 3)=(-6, -4, 6). 点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦为22364616||||cos 2222121=++⋅=⋅⋅=n n n n θ.10. 试证曲面a z y x =++(a >0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证明 设a z y x z y x F -++=),,(, 则)21,21,21(zy x =n . 在曲面上任取一点M (x 0, y 0, z 0), 则在点M 处的切平面方程为 0)(1)(1)(1000000=-+-+-z z z y y y x x x ,即 a z y x z z y y x x =++=++000000. 化为截距式, 得1000=++az z ay y ax x , 所以截距之和为a z y x a az ay ax =++=++)(000000.习题8-71. 求函数z =x 2+y 2在点(1, 2)处沿从点(1, 2)到点)32 ,2(+的方向的方向导数.解 因为从点(1, 2)到点)32 ,2(+的向量为)3 ,1(=l , 故 )cos ,(cos )23 ,21(||βα===l l e l . 又因为22)2,1()2,1(==∂∂x x z , 42)2,1()2,1(==∂∂y y z , 故所求方向导数为321234212cos cos +=⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 2. 求函数z =ln(x +y )在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 沿这抛物线在该点处偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解 方程y 2=4x 两边对x 求导得2yy '=4, 解得yy 2='. 在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 切线的斜率为y '(1)=1, 切向量为l =(1, 1), 单位切向量为)cos ,(cos )21 ,21(βα==l e . 又因为31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x x z , 31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x y z , 故所求方向导数为3221312131cos cos =⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 3. 求函数)(12222b y a x z +-=在点)2,2(b a 处沿曲线12222=+b y a x 在这点的内法线方向的方向导数.解 令1),(2222-+=by a x y x F , 则22a x F x =, 22b y F y =. 从而点(x , y )处的法向量为)2 ,2() ,(22by a x F F y x ±=±=n . 在)2,2(b a 处的内法向量为 )2 ,2()2 ,2()2,2(22ba b y a x ba-=-=n , 单位内法向量为)cos ,(cos ) ,(2222βα=+-+-=b a a b a b n e . 又因为aa x x zbab a 22)2,2(2)2,2(-=-=∂∂, b b y y zb a b a 22)2,2(2)2,2(-=-=∂∂, 所以 βαcos cos yz x z n z ∂∂+∂∂=∂∂222222b a a b b a b a +⋅++⋅=222b a ab+=.4. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点(1, 1, 2)处沿方向角为3 πα=, 4 πβ=, 3πγ=的方向的方向导数. 解 因为方向向量为)21 ,22 ,21()cos ,cos ,(cos ==γβαl , 又因为1)()2,1,1(2)2,1,1(-=-=∂∂yz y x u , 0)2()2,1,1()2,1,1(=-=∂∂xz xy y u , 11)3()2,1,1(2)2,1,1(=-=∂∂xy z z u , 所以 γβαcos cos cos zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 5211122021)1(=⋅+⋅+⋅-=. 5. 求函数u =xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5, 1, 2)到点(9, 4, 14)的方向的方向导数.解 因为l =(9-5, 4-1, 14-2)=(4, 3, 12),)1312 ,133 ,134(||==l l e l , 并且 2)2,1,5()2,1,5(==∂∂yz xu ,10)2,1,5()2,1,5(==∂∂xz y u , 5)2,1,5()2,1,5(==∂∂xy z u , 所以 γβαcos cos cos zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 139813125133101342=⋅+⋅+⋅=. 6. 求函数u =x 2+y 2+z 2在曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)处, 沿曲线在该点的切线正方向(对应于t 增大的方向)的方向导. 解 曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)对应的参数为t =1, 在点(1, 1,1)的切线正向为)3 ,2 ,1()3 ,2 ,1(12===t t t l ,)143,142,141(||==l l e l , 又 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂x x u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂y y u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂z z u , 所以 γβαcos cos cos )1,1,1(zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 1412143214221412=⋅+⋅+⋅=. 7. 求函数u =x +y +z 在球面x 2+y 2+z 2=1上点(x 0, y 0, z 0)处, 沿球面在该点的外法线方向的方向导数.解 令F (x , y , z )=x 2+y 2+z 2-1, 则球面x 2+y 2+z 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的外法向量为)2 ,2 ,2() , ,(000),,(000z y x F F F z y x z y x ==n , )cos ,cos ,(cos ) , ,(||000γβα===z y x n n n e , 又 1=∂∂=∂∂=∂∂zu y u x u , 所以 γβαcos cos cos zu y u x u n u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 000000111z y x z y x ++=⋅+⋅+⋅=.8. 设f (x , y , z )=x 2+2y 2+3z 2+xy +3x -2y -6z , 求grad f (0, 0, 0)及grad f (1, 1, 1).解 32++=∂∂y x x f , 24-+=∂∂x y yf , 66-=∂∂z z f . 因为 3)0,0,0(=∂∂x f, 2)0,0,0(-=∂∂yf, 6)0,0,0(-=∂∂z f , 6)1,1,0(=∂∂x f , 3)1,1,0(=∂∂y f, 0)1,1,0(=∂∂z f,所以 grad f (0, 0, 0)=3i -2j -6k ,grad f (1, 1, 1)=6i +3j .9. 设u , v 都是 x , y , z 的函数, u , v 的各偏导数都存在且连续, 证明(1) grad (u +v )=grad u + grad v ;解 k j i zv u y v u x v u v u ∂+∂+∂+∂+∂+∂=+)()()()(grad k j i )()()(zv z u y v y u x v x u ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)()(k j i k j i zv y v x v z u y u x u ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= v u grad grad +=.(2) grad (uv )=v grad u +u grad v ;解 k j i zuv y uv x uv uv ∂∂+∂∂+∂∂=)()()()(grad k j i )()()(z v u z u v y v u y u v x v u x u v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= )()(k j i k j i zv y v x v u z u y u x u v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= =v grad u +u grad v .(3) grad (u 2)=2u grad u .解 k j i z u y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=2222)(grad k j i zu u y u u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=222 u u zu y u x u u grad 2)(2=∂∂+∂∂+∂∂=k j i .10. 问函数u =xy 2z 在点p (1, -1, 2)处沿什么方向的方向导数最大? 并求此方向导数的最大值.解 k j i k j i 222 xy xyz z y zu y u x u u ++=∂∂+∂∂+∂∂=grad , k j i k j i +-=++=--42)2()2 ,1 ,1( )2,1,1(22xy xyz z y u grad .grad u (1, -1, 2)为方向导数最大的方向, 最大方向导数为 211)4(2|)2 ,1 ,1( 222=+-+=-u grad |.习题8-81. 求函数f (x , y )=4(x -y )-x 2-y 2的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=--==-=024),(024),(y y x f x y x f yx , 求得驻点为(2,-2). f xx =-2, f xy =0, f yy =-2,在驻点(2,-2)处, 因为f xx f yy -f xy 2=(-2)(-2)-0=4>0, f xx =-2<0,所以在点(2, -2)处, 函数取得极大值, 极大值为f (2, -2)=8.2. 求函数f (x , y )=(6x -x 2)(4y -y 2)的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=--==--=0)24)(6(),(0)4)(26(),(22y x x y x f y y x y x f yx , 得驻点(0, 0), (0, 4), (3, 2), (6, 0), (6,4).函数的二阶偏导数为f xx (x , y )=-2(4y -y 2), f xy (x , y )=4(3-x )(2-y ), f yy (x , y )=-2(6x -x 2). 在点(0, 0)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-242=-242<0,所以f (0, 0)不是极值;在点(0, 4)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-(-24)2=-242<0,所以f (0, 4)不是极值.在点(3, 2)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=(-8)⨯(-18)-02=8⨯18>0, f xx =-8<0,所以f (3, 2)=36是函数的极大值.在点(6, 0)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-(-24)2=-242>0,所以f (6, 0)不是极值.在点(6, 4)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-242=-242>0,所以f (6, 4)不是极值.综上所述, 函数只有一个极值, 这个极值是极大值f (3, 2)=36. 3. 求函数f (x , y )=e 2x (x +y 2+2y )的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=+==+++=0)22(),(0)1422(),(222y e y x f y y x e y x f x yx x , 得驻点)1 ,21(-. f xx (x , y )=4e 2x (x +y 2+2y +1), f xy (x , y )=4e 2x (y +1), f yy (x , y )=2e 2x . 在驻点)1 ,21(-处, 因为 f xx ⋅f yy -f xy 2=2e ⋅2e -02=4e 2>0, f xx =2e >0, 所以2)1 ,21(e f -=-是函数的极小值. 4. 求函数z =xy 在适合附加条件x +y =1下的极大值.解 由x +y =1得y =1-x , 代入z =xy , 则问题化为求z =x (1-x )的无条件极值.x dxdz 21-=, 222-=dx z d . 令,0=dx dz 得驻点21=x . 因为022122<-==x dx zd , 所以21=x 为极大值点, 极大值为41)211(21=-=z . 5. 从斜边之长为l 的一切直角三角形中, 求有最大周界的直角三角形.解 设直角三角形的两直角边之长分别为x , y , 则周长 S =x +y +l (0<x <l , 0<y <l ).因此, 本题是在x 2+y 2=l 2下的条件极值问题, 作函数 F (x , y )=x +y +l +λ(x 2+y 2-l 2).解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=222021021ly x y F x F y x λλ, 得唯一可能的极值点2l y x ==. 根据问题性质可知这种最大周界的直角三角形一定存在, 所以斜边之长为l 的一切直角三角形中, 周界最大的是等腰直角三角形.6. 要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池, 应如何选择水池的尺寸方可使表面积最小.解 设水池的长为x , 宽为y , 高为z , 则水池的表面积为 S =xy +2xz +2yz (x >0, y >0, z >0).本题是在条件xyz =k 下, 求S 的最大值.作函数F (x , y , z )=xy +2xz +2yz +λ(xyz -k ).解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++==++==++=k xyz xy y x F xz z x F yz z y F z y x 0220202λλλ, 得唯一可能的极值点)221 ,2 ,2(333k k k . 由问题本身可知S 一定有最小值, 所以表面积最小的水池的长和宽都应为.23k 高为3221k . 7. 在平面xOy 上求一点, 使它到x =0, y =0及x +2y -16=0三直线距离平方之和为最小.解 设所求点为(x , y ), 则此点到x =0的距离为|y |, 到y =0的距离为|x |, 到x +2y -16=0的距离为221|162|+-+y x , 而距离平方之和为 222)162(51-+++=y x y x z . 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=∂∂=-++=∂∂0)162(5420)162(522y x y y z y x x x z , 即{03292083=-+=-+y x y x . 得唯一的驻点)516 ,58(, 根据问题的性质可知, 到三直线的距离平方之和最小的点一定存在, 故)516 ,58(即为所求. 8( 将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体( 问矩形的边长各为多少时( 才可使圆柱体的体积为最大？解 设矩形的一边为x , 则另一边为(p -x ), 假设矩形绕p -x 旋转, 则旋转所成圆柱体的体积为V =πx 2(p -x ).由0)32()(22=-=--=x p x x x p x dx dV πππ, 求得唯一驻点p x 32=. 由于驻点唯一, 由题意又可知这种圆柱体一定有最大值, 所以当矩形的边长为32p 和3p 时, 绕短边旋转所得圆柱体体积最大. 9. 求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体.解 设球面方程为x 2+y 2+z 2=a 2, (x , y , z )是它的各面平行于坐标面的内接长方体在第一卦限内的一个顶点, 则此长方体的长宽高分别为2x , 2y , 2z , 体积为V =2x ⋅2y ⋅2z =8xyz .令 F (x , y , z )=8xyz +λ(x 2+y 2+z 2-a 2) .解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+==+==+=2222028028028a z y x z xy F y xz F x yz F z y x λλλ, 即⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+=+2222040404a z y x z xy y xz x yz λλλ, 得唯一驻点)3,3,3(a a a . 由题意可知这种长方体必有最大体积, 所以当长方体的长、宽、高都为32a 时其体积最大. 10. 抛物面z =x 2+y 2被平面x +y +z =1截成一椭圆, 求原点到这椭圆的最长与最短距离.解 设椭圆上点的坐标(x , y , z ), 则原点到椭圆上这一点的距离平方为d 2=x 2+y 2+z 2, 其中x , y , z 要同时满足z =x 2+y 2和x +y +z =1. 令 F (x , y , z )=x 2+y 2+z 2+λ1(z -x 2-y 2)+λ2(x +y +z -1).解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++==+-==+-=02022022212121λλλλλλz F y y F x x F z y x , 得驻点231±-==y x , 32 =z . 它们是可能的两个极值点, 由题意这种距离的最大值和最小值一定存在, 所以距离的最大值和最小值在两点处取得, 因为在驻点处359)32()231(2222222 =+±-=++=z y x d , 所以3591+=d 为最长距离;3592-=d 为最短距离.总习题八1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)f (x , y )在(x , y )可微分是f (x , y )在该点连续的______条件, f (x , y )在点连续是f (x , y )在该点可微分的______条件.解 充分; 必要.(2)z =f (x , y )在点(x , y )的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在是f (x , y )在该点可微分的______条件, z = f (x , y )在点(x , y )可微分是函数在该点的偏导数x z ∂∂及y z ∂∂存在的______条件. 解 必要; 充分.(3)z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂在(x , y )存在且连续是f (x , y )在该点可微分的______条件. 解 充分. (4)函数z =f (x , y )的两个二阶偏导数y x z ∂∂∂2及xy z ∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的______条件.解 充分.2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设函数f (x , y )在点(0, 0)的某邻域内有定义, 且f x (0, 0)=3, f y (0, 0)=-1, 则有______.(A )dz |(0, 0)=3dx -dy .(B )曲面z =f (x , y )在点(0, 0, f (0, 0))的一个法向量为(3, -1, 1).(C )曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点(0, 0, f (0, 0))的一个切向量为(1, 0, 3). (D )曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点(0, 0, f (0, 0))的一个切向量为(3, 0, 1). 解 (C ).3. 求函数)1ln(4),(222y x y x y x f ---=的定义域, 并求),(lim )0,21(),(y x f y x →. 解 函数的定义域为{(x , y )| 0<x 2+y 2<1, y 2≤4x }因为D ∈)0 ,21(, 故由初等函数在定义域内的连续性有 43ln 2)1ln(4)1ln(4lim ),(lim )0,21(222222)0,21(),()0,21(),(=---=---=→→y x y x y x y x y x f y x y x .。

(完整版)高等数学课后习题答案

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习 题 答 案习题1.11.（1）⇒-≥⇒≥+34043x x 4[,)3-+∞（2）()()⇒≠≠⇒--=+-=121222322x x x x x x y 且(,1)(1,2)(2,)-∞+∞ （3）⇒≤⇒≥-101x x [1,1]- （4）⇒>-+011xx(1,1)- （5）⇒>+≥+0102x x 或(1,0)(0,)-+∞（6）⇒≤≤120x 1[0,]2（7）(,)-∞+∞；（8）,().4x k k Z ππ≠+∈2.（1）[1,1]-；（2）[,1]a a --；（3）[2,(21)],().k k k Z ππ+∈3.（1）不相同；（2）相同；（3）相同；（4）相同.4. 0;;;;.2342ππππ--5.（1）⇒+=-+-2)2()2)(2(x x x x (,2)(2,)-∞+∞；（2）(,).-∞+∞6. 2;6-；()1,112,1x x f x x x +<-⎧+=⎨+≥-⎩；()1,11.,1x x f x x x -<⎧-=⎨≥⎩7.()()2233.x x x x +∆+∆ 8. ()21.x x -9. 偶函数；奇函数；奇函数；非奇非偶函数.10.（1）2,31uy u x ==-；（2）2ln ,1y u u v x ===-；（3）2,cos ,31y u u v v x ===-；（4）21ln ,tan ,2x y u u v v +===；（5）32,arcsin,1y u u v x ===-；（6）1,cos ,2.y u v v w w x ==+==11. ()22,(0,).2aV a x x x =-∈12. 232,[0,].3R h V h H H π=∈习题1.21 ()0lim 1x f x -→=，()0lim 1x f x +→=，()0lim 1x f x →=； ()1lim 2x f x -→=，()1lim 1x f x +→=，()1lim x f x →不存在. 2 略 3=-+=-→12)(25lim x xx f x 14不存在==→x x f x )(lim 22422)(lim 3=-=→x x f x4 （1）21；（2）13-；（3）4；（4）23x ；（5）12；（6）0； （7）3；（8）1；（9）0；（10）32；（11）14；（12）1.2-5 （1）,1x x →∞→；（2）2,x x →±→∞； （3）1,x x →→+∞； （4）,();,().2x k k Z x k k Z πππ→+∈→∈6 （1）0；（2）0；（3）0；（4）0；（5）35；（6）∞；（7）0；（8）0. 7 （1）269x x ++是比3x +高价的无穷小；（2）等价.8 （1）23；（2）1；（3）2；（4）23；（5）1；（6）1；（7）1；（8；（9）2e ；（10）6e ；（11）2e -；（12）1ee ；（13）3e ；（14）.e习题1.31 在12x =处连续；在1x =处不连续；在2x =处连续. 2 （1）1x =-是第二类间断点，无穷间断点；（2）2x =是第二类间断点，无穷间断点；1x =是第一类间断点，可去间断点； （3）0x =是第一类间断点，跳跃间断点； （4）0x =是第一类间断点，可去间断点.3 （1）[2,7]；（2）(,1),(1,2),(2,)-∞+∞；（3）(,0),(0,5)-∞；（4）(,1),(1,).-∞+∞4 略.复习题11（1）偶函数; （2）偶函数; （3）奇函数.2 （1）43;（2）164-;（3）43;（4）4-;（5）1;（6）2a ;（7）12;（8）1e -;（9）ke -;（10）2;（11）1-;（12）0. 3 0,18.a b == 4 1, 2.a b ==-5 ()1lim 2;x f x +→=()1lim 2;x f x -→=-()1lim x f x →不存在. 6 1a =.7 ln 2c =. 8 略. 9 略习题2.11 （1）正确；（2）正确.2 （1）199200x ；（2（3）72x 3 (1,1).4 11(,)24,14y x =-. 习题2.21 （1）732481x x ++； （2）2cos x ； （3）cos sin x x x -； （4）23x x e +； （5）2ln 22x x +；（6）1xe x+； 2 （1）99200(21)x -； （2）22(41)xxx e ++； （3）3cos(3)x π+；（4）sin 2x -; （5）2(2sin cos )xe x x +； （6）221xx +； （7）22sec 2x ；（8）23csc 3x -. 3 （1）10； （2）9sin(31)x -+.习题2.31 22x e ,ln(1)x +,2ln 2x .2 1.00067.3 （1）(2cos )x x dx +； （2）2sec xdx ； （3）()xxe xe dx +； （4）99200(21)x dx -. 4 0.0033..习题2.41 略.2 （1）8；（2）3；（3）0；（4）2.习题2.51 (,)-∞+∞.2 (,0)-∞单增,(0,)+∞单减.3 e ,0.习题2.61 略.复习题 21 (1)x 4-; (2) 32x -; (3) 332x. 2 2ax b +，b ，a b +，0.3 27.4 096=--y x .5 0=x ，32=x . 6 不可导，因为)1()1(+-'≠'f f . 7 可导.8 (1) 16-x ; (2) 1)(-++b a xb a ; (3) 211x x +;(4) 34x x -; (5) xx x 2153+-; (6) x x 262-;(7) )11(21x x +-;(8) )13(21+x x;(9)b a a +;(10) )(2b a x +-; (11) ])([111-+--+++b a b a x b a x x ab .9 (1) 111232++x x ;（2)1ln +x ;(3))1ln (1+-x n x n ;(4)a x ln 21; (5) 2)1(2--x ;(6) 222)1(55x x +-;(7) 2)2(43x -- ; (8) 21)(n n cx b acnx +--; (9) 2)ln 1(2x x +- ; (10)22)1(42x x x+--.10 (1) x x cos ; (2) 2)cos 1(sin cos 1x x x x ---;(3) x x x tan sec )1(2--; (4) xcos 15+; (5)xxx x x x x x 22sin cos sin sin cos -+-; (6) x x x x x x sin ln cos ln sin ++. 11 0=-+πy x . 12 点)1,0(.13 (1) )541)(1(22x x x +++ ; (2) 34-x ;(3) )161120()45()53(42+++x x x ; (4)23511645x x x ++ ; (5)2)3()2)(4(+++x x x ; (6) 22ax x-; (7) 32)1(1x -; (8)a x x ln )1(22+ ;（9) 222a x x - ; (10) )ln 11(21x x +;(11) )1(1x x -; (12) nx n cos ; (13) x x n n cos sin 1-;(14) n n x nx cos 1-;(15) x n x n n )1cos(sin 1+-; (16) 2sin 2cos 232x x -;(17) 2tan 212x;(18)x x csc sin 1=; (19) x x x 1cos 1sin 2-;(20)x x ln 1; (21) 221ax -; (22) x x n n 1cos sin +;(23) 22)sin (cos x x x x +; (24) a x a x a x a x a cot csc tan (sec 222-. 14 (1)241x -; (2)211x +;(3) 212x +;(4) 2221)1(arccos 11x x xx x --+-- ; (5)242arcsin2x x-; (6) 212x - ; (7) 0.15 (1) x y x y --22 ; (2) ax y ay -; (3) 1-y y; (4) yy xe e -1.16 (1)x e 44; (2))1(ln +a e a x x ;(3) 22x xe --;(4) x e e e x---； (5) a a ax x a ln 1+-;(6) x e x121-;(7) )3sin 33(cos x x e x +--; (8) 2222cos )12(-+-++x x x x e e x ;(9) x e x x 1tan 221sec 1⋅-; (10) 2)(4x x e e -+;（11）)1(ln ln +x e xx ; （12）)3cos 33sin 23sin 2(2x x x x x xe x +--.17 (1) )111(112xx x x x --+-; (2) ])9(39112[)3(312322x x x x x x x x --+-+⋅+--; (3) 221)1(xn x x n +⋅++;(4) )()()()(22112121nn a n a a a x a a x a a x a a x a x a x n -++-+-⋅--- . 18 (1) )]21sin[ln(212x x ++-; (2) )ln 1ln (ln )(ln xx x x +; (3) xx e xx xx xe x x x e xex x ++++⋅+++)1(ln 2)1ln 2(221; (4) xxy -; (5) ])()([)()(x f x x x f e x f e e f e ⋅'+⋅';(6) )1(arcsin 112x f x x '--;(7) ))((1-++'e x e x ex e x e f ;(8) )](cos )(sin [2sin 22x f x f x '-'; (9) 2)1(1x +-. 19 略.20 略. 21 略.22 (1) a a n x ln ; (2) nn x n )1()!1()1(1+---; (3) )2cos(x n +π; (4) n m n x n m m m y -++--=)1)(1()1()( ，特别当m 为正整数时，若n m >时，结果与前相同；n m =，!)(m y n =；n m <，0)(=n y .23 (1) 222)1(22x x +- ;(2) x 1;(3)212arctan 2x x x ++;(4) )23(222x xe x +; (5) 32ya -.24 kt ake --；kt e ak -2；ak -；2ak . 25 略.26 (1)0, 1,- 1; (2)0.09,- 0.1,- 0.01;;(3)0.0099,- 0.01,- 0.0001.27 （1) xdx 6; (2) dx xx21--;(3) dx x 2;(4) dx x x 222)1(1-+; (5) dx x x e x)sin (cos +--; (6) dx xx 221-;(7) dx x a 22-;(8) dx y a xb 22- ;(9) dxx x )1(2332--;(10) dx e e x x )2(22--; (11) dx x 2sec 212; (12) dx ye y-2.28 (1) 99.0; (2) 0017.2 ;(3) 01.0;(4) 05.1;(5) 495.0;(6) 7954.0.29 (1)满足,41=ξ; (2) 满足 ,0=ξ; (3) 满足,2=ξ; (4) 满足,0=ξ.30 (1)满足, a 33=ξ;(2) 满足,2ln 1=ξ; (3)满足,3435-=ξ（或3435+=ξ舍去）. 31 略.32 略 . 33 略.34 (1) 2;(2) 1 ; (3) ∞ ; (4) 0 ;(5) ∞;(6) 0;（7）1 ;（8）0 ;（9）21;（10）e ;（11）1;（12）1.35 (1) )1,(--∞∈x ，y 单调递减；),1(∞+-∈x ，y 单调递增 ; (2) ),(∞+-∞∈x ，y 单调递增;(3) )1,0()1,(⋃--∞∈x ，y 单调递减；),1()0,1(∞+⋃-∈x ，y 单调递增； (4) )0,(-∞∈x ，y 单调递增； ),0(∞+∈x ，y 单调递减； (5) ),0()2,(∞+⋃--∞∈x ，y 单调递增；)0,1()1,2(-⋃--∈x ， y 单调递减；(6) )21,0(∈x ，y 单调递减；),21(∞+∈x ， y 单调递增.36 略. 37 略.38 (1) 极大值70==x y ,极小值32==x y;(2) 极大值11==x y ,极小值11-=-=x y ;(3) 极大值2321==x y ; (4) 极小值00==x y ,极大值224-==e y x ;(5)极小值051===-=x x yy ,极大值32118881==x y ;(6) 极大值32==x y ;(7) 极大值00==x y ,极小值35225453-==x y ; (8) 极小值4273==x y . 39 (1) 极大值01=-=x y,极小值323-==x y; (2) 极大值27437==x y ,极小值03==x y ; (3) 极小值2ln 421-==x y;(4) 极小值222ln 21=-=x y .40 (1) 最小值41=±=x y,最大值132=±=x y ;(2) 最小值00==x y ,最大值5ln 2==x y;(3) 最小值00==x y ,最大值21121===-=x x yy ; (4) 最小值00==x y,最大值64==x y.41 底边长6米,高3米. 42 长18米,宽12米. 43 底半径3150π米,高为底半径2倍.44 12次/日, 6只/次. 45 2小时. 46nx x x n+++ 21.（4）上凹，无拐点.48 (1)水平渐近线0=y ;(2)水平渐近线0=y ;(3) 铅垂渐近线0=x ; (4)水平渐近线1=y ，铅垂渐近线0=x ;(5) 铅垂渐近线1-=x ,水平渐近线0=y ; (6) 斜渐近线x y =; (7) 铅垂渐近线0=x ,斜渐近线x y =; 49 略 .习题3.11 略.2 略.3 略.习题3.21 (1) sin 20(1);42x e dx e πππ<<⎰ 1321(2)4(435)16.x x --<-+<⎰2 (1) 1120(1).xdx x >⎰⎰习题3.31(1) ();f x x '=(2) ()x ϕ'=(3)2()sin 2sin ,x x x x ϕ'=- (0)0.ϕ'= 23cos .ydy x dx e =-3 (1)2; (2)2习题3.42 (1)ln 3arcsin ;x x C -+ (2)522;5x x C ++ (3) 322ln ;3x x e x C ---++1(4)arctan ;x C x -++ (5)1(tan cot );4t t C -++ (6).1ln x x a e C a ++3 1).y =习题3.51 (1)81(23);16x C --++ (2)1cos();t a C ωω-++;C +210(4);2ln10x C + (5);C + (6)21ln 32.4x C --+ 211(7)(13);6x C --++ 21(8);4C -+ ()319;3e x C --+(10);C + ()322(11)ln ;3x C + (12)ln ln ;x C +(13)ln arcsin;2x C + (14)2cot ;C - (15)31sin sin ;3x x C -+(16);C + (17)arctan ;x e C + (18)31tan tan ;3x x C ++(19)(arcsin ;C + (20) 11ln.43xC x++-2 ()()()53222211111;53x x C ---+ ()(22ln 1;C ++()3ln ;C -+ ()14;2C a +()15;2C + ()16arccos ;C x + ())734;x e C ++ (8) ()8.C +;3π(2);16π (3)2;2π-(4)(5) )21; (6)27.144π 4 略5 ()1arccos ;x x C ()[]2ln ln(ln )1;x x C -+()()21322;x x x C e-+++ ()424;C +()5;x x C ++ ()[]65(cos 22sin 2);10xe x x C -++()27tan ln cos ;2x x x x C +-+ ()[]8sin(ln )cos(ln ).2xx x C -+6 (1) 11;22π⎛⎫- ⎪⎝⎭(2) ()12;5x e -(3) 121;e ⎛⎫- ⎪⎝⎭(4) 0;(5)35;128π (6) .2π 习题3.6(1);2π (2) 1; (3) ;π (4) 发散.习题3.7125.3 2 18. 3 1.3 4 12.5 45.86 1ln 2.2-7 128.3839 (1) 256; ()2 ()(318ln 2.+310.2π 11(1);2π (2)2.π12 8.5π(13ln 2.+14 22.a π复习题31 ()3311tan ;ln 33x x x C -++()45272333339912;573a x a x a x x C -+-+()()2231311;3x C -+ ()134ln ;52x C x -++()25ln 3;x x C -+()()6ln 1;x x e C -++()2317(31)(2);5x x C +++()218arctan ;21x x C x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭()9arcsin ;x C - (10) ()102sin 4cos ;22x xx C ++()211;x xe C --+ ()12tan lnsin .x x x C -+2 (1) 251ln 26;22-(2)0; (3) 42arctan 2;- (4) 2;2π- (5) ;π (6) 1;84π-()7;3π- (8) 125;e --(9) 62;e - (10) 22.e - 3 (1)1;2π-(2) 1.4 (1) 1; (2) 1.25 .e6最小值为0.7 690.8 2ln 2.y x x =-9 12.e e +-10 ()12.3π+11 15.2π习题 4.11（1）√;（2）×;（3）×;（4）√. 2（1）!;n （2）11(1);21n n ---（3）1;ln(1)n n +（4）2;1n n -+（5）31(1);!n n n --（6）2.2!n x n 3（1）收敛 1;2（2）发散;（3）收敛4;11（4）发散;（5）发散;（6）发散;（7）发散;（8）收敛35;（9）发散. 4 收敛 5.45 .m习题 4.21（1）收敛;（2）收敛;（3）收敛;（4）发散.2（1）收敛;（2）发散;（3）发散;（4）发散;（5）发散;（6）收敛;（7）收敛;（8）收敛;（9）收敛.3（1）绝对收敛;（2）绝对收敛;（3）条件收敛;（4）发散;（5）条件收敛;（6）绝对收敛;（7）发散;（8）绝对收敛;（9）绝对收敛.习题 4.3 1（1）(-1,1);（2）(-∞,+∞);（3）[-2,2);（4）[-1,1];（5）(-2,2);（6）(-∞,+∞);（7）{0};（8）[-1,1];（9）[-34,32). 2 (1)21,(1)x -()1,1;x ∈-(2)11ln ,21xx+- ()1,1;x ∈- (3)(1)ln(1),x x x --+[)1,1.x ∈- 习题 4.41201(1),!nn x n ∞=∑(),;x ∈-∞+∞()202(1),nnn x ∞=-∑()1,1;x ∈-()201(1)43,2(2)!n n nn x n ∞=-⋅∑(),;x ∈-∞+∞()21211(1)4,2(21)!n n n n x n ∞--=--∑(),;x ∈-∞+∞()11(1)5,2n n nn x n -∞=-∑(]2,2;x ∈-()06(1)(1),nnn n x ∞=-+∑()1,1;x ∈-()01(1)72,52n n nn n x ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑11,;22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()210(1)8,(21)(21)!nn n x n n ∞+=-++∑(),.x ∈-∞+∞ 2 ()110111(4),23nn n n x ∞++=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑()6,2;x ∈--（2）()20(1)(1)2(1).3n n n n n x ∞+=-+-∑ 3（1）0.156;（2）1.099;（3）3.003;（4）0.946.习题 4.5 1（1）相等;（2）0 , 0 , 2 , n n 2)1(1+-;（3）π , []1)1(22--nn π, 0. 2（1）14sin(21)(),21n An xf x n π∞=-=-∑(),,;x x k k Z π-∞<<+∞≠∈（2）132sin(21)(),221n n x f x n ππ∞=-=+-∑ (),,;x x k k Z π-∞<<+∞≠∈ （3）212cos(21)sin ()(1),4(21)n n n x nx f x n n ππ∞=⎡⎤-=-++-⎢⎥-⎣⎦∑ (),,;x x k k Z π-∞<<+∞≠∈（4）214cos(21)(),2(21)n n xf x n ππ∞=-=--∑ ();x -∞<<+∞ （5）214cos(21)(),2(21)n n xf x n ππ∞=-=+-∑ ();x -∞<<+∞ （6）1233()(1)sin ,n n f x nx n n ππ∞=+⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦∑ (),,;x x k k Z π-∞<<+∞≠∈ （7）21(1)()sin ,19n n nf x nx nπ∞=-=-∑ (),,;x x k k Z π-∞<<+∞≠∈ （8）18(1)()2sin(21),21n n f x n x n π∞=-=+--∑1,(),.2x x k k Z π⎛⎫-∞<<+∞≠+∈ ⎪⎝⎭习题 4.61（1）2214sin2(1)2()[]sin ,2n n n n xf x n n ππππ∞=-=-∑ (),2,;x x k k Z -∞<<+∞≠∈ （2）11(1)()8sin ,2n n nxf x n -∞=-=⋅∑ (),2,;x x k k Z π-∞<<+∞≠∈(3) 2211cos 2(21)sin 2()[(1)],4(21)n n n x n x f x n n ππππ∞=-=-+--∑ ⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠+∞<<∞-Z k k x x ,212,; （4）nx nn nx f n n2cos ]2sin)1([11613)(12∑∞=--+=πππ,⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠+∞<<∞-Z k k x x ,4)12(,π; 2 ∑∞=--+=1234cos 141232sin 2)(n t n n E t E Ex f ππππ, ()+∞<<∞-x ; 3 ∑∞=---=12sin )1(41)(n n x n n x f ππ, ()22<<-x ; 4 x n n x f n )12sin(121)(1--=∑∞= ()0,≠<<-x x ππ, （1）2π=x ,（2）3π=x ; 5 ∑∞=--+--=1332sin ])1(1)1(34[)(n n n x n n n x f πππ, )210(<<x ; ∑∞=+-+=12122cos )1(11211)(n n nx n x f π, )210(≤≤x . 习题 4.71 ()∑∞+≠-∞=+=024sin4)(n n x n i e nn ee xf πππ. 复习题41 （1）×;（2）√;（3）√;（4）√;（5）×.2 （1）A;（2）C;（3）B;（4）B;（5）C.3 （1）收敛;（2）收敛;（3）绝对收敛;（4）发散;（5）当10≤<a 时，发散；当1>a 时收敛;（6）收敛;（7）收敛;（8）收敛;（9）发散;（10）发散;（11）收敛;（12）发散.4 （1）x x x x -+-+arctan 2111ln 41 , ()1,1-∈x ;（2）3)1(2x -, ()1,1-∈x ; 5 （1）∑∞=0!)(ln n nn x n a , ()+∞∞-∈,x ;（2）∑∞=121n n n x n , [)2,2-∈x ;（3）∑∞=-+12)!2(4)1(1n nn n x n ,()+∞∞-∈,x ;（4）∑∞=+++-+111)1()1(n n n x n n x ,(]1,1-∈x ;（5）∑∞=-⋅⋅⋅+12!)21(23211n n x n n ()1,1-∈x ; （6）∑∞=+-+-01])1(31[41n nn n x ,()1,1-∈x .6 （1）∑∞=--0)2(2)1(21n nn n x , ()4,0∈x ;（2）∑∞=---11)1(2)1(n n nn x n , ()+∞∞-∈,x . 7 （1）1.3956;（2）0.9848;（3）1.9991;（4）0.4940.8 （1）∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=12sin )1()12()12cos(343)(n n n nx n x n x f ππ , ()Z k k x x ∈+≠+∞<<∞-,)12(,π;（2）nx n n x f n n sin 52)1(52)(1∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=ππ, ()Z k k x x ∈≠+∞<<∞-,,π; （3）∑∞=--+-=112)12(2sin 123)(n n x n x f π, ⎪⎭⎫⎝⎛∈≠+∞<<∞-Z k k x x ,2,;（4）∑∞=---=122)12(2)12(cos223)(n n x n x f ππ, ()+∞<<∞-x . 9 ∑∞=--=12sin 2)1(2)(n n nx n Ax f π, )2,0(ππ≠≤≤x x ; x n n A A x f n n )12cos(12)1(22)(11---+=∑∞=-π, )2,0(ππ≠≤<x x . 10 ()x n i x n n e n ix f )12(021)12()1(2)(--∞≠-∞=-∑---=π. 习 题 5.11（1）一阶；（2）二阶；（3）一阶；（4）二阶.2（1）是；（2）否；（3）否；（4）是. 4 2'y x =. 52dp pk dT T=，其中k 为比例常数. 习题 5.21（1）是；（2）否；（3）否；（4）是；（5）否. 2（1）arcsin arcsin y x C -=；（2）cos xy Ce -=；（3）ln x y e C =-+；（4）Cxy e =；（5）441y x =-；（6）2y x =；（7）21ln 11xy -+=； （8）22y x =;（9）sin ;yCx x= （10） 2yx y Ce =.3 6xy =.4 10102ln 25050t t es ⋅==⋅5 )39/()31000()(33t t t y +⋅= ,500)6(=y （尾）.习题5.31（1）2321x y Ce=-；（2）2211()22xy Ce x x =-++；（3）2121x y Ce =-；（4）()xy e x C -=+；（5）sin ()xy ex C -=+；（6）1(cos )y x C x=-+. 2（1）x a e e ab y x -+=；（2）3(21)y x x -=-；（3）.cos x y x=3 3(1).xy e x =--4 2.a x Cy y=±习题 5.41（1）412;12x y C x C =++ （2）21214x y e C x C =++；（3）212()2xx y x C e C =-+++；（4）12ln y C x C =+；（5）1121C xC y C e -=；（6）12arcsin().x y C C =±++2（1）y =；（2）4(1).2xy =+3 3 1.62x xy =++ 4 23.ty e =-+习题 5.51（2）（3）（6）线性相关,（1）（4）（5）（7）（8）线性无关.习题 5.61（1）312xxy C eC e--=+；（2）2212xxy C e C e =+；（3）212xy C C e =+；（4）212()x y C C x e =+；（5）12cos 2sin 2y C x C x =+；（6）512()xy C C x e -=+；（7）12()xy e C C -=+；（8）1212(cossin ).22x y e C x C x -=+ 2（1）342xxy e e =+；（2）/2(2)x y x e -=+；（3）4xx y ee -=-；（4）23sin 5.xy e x -=3 6sin 2.ts e t -=习题 5.71（1）221211()23xxxy C e C e x x e -=++-；（2）2212(cos sin )2x x x e y C e C e x x =+-+； （3）341215xx x y C eC e e -=++；（4）12cos sin 2(1)xy C x C x x e =++-； （5）12cos sin 2cos y C x C x x x =+-； （6）2212142(cos 2sin 2)()525125xxy e C x C x x x e =+++-； （7）2312(cos 25sin 2).52xxxe y C eC e x x -=+-+2 22cos 2sin 2cos 4.33s t t t =-- 提示：取平衡位置o 为原点，s 轴的正向向下，由牛顿第二定律，物体的运动满足微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+-===2,04cos 400200500022t t dt ds s t s dtsd 复习题 51（1）2y x C -=；（2）0ln 33=+x y ；（3）cos sin x y C =；（4）12()xy C C x e-=+；（5）21y x =+； （6）2().y x Ax Bx C =++2（1）A;（2）D;（3）A;（4）C;（5）C;（6）B;（7）A;（8）C;（9）B;（10）B;（11）A （12）C.3（1）21x y Ce =-；（2）6313xx y Cee =-；（3）12()x y e C C -=+； （4）3121(1)4x x x y C e C e x e -=+-+；（5）21268()cos sin .2525xy C C x e x x =++-4（1）24y x =；（2）cos x y x =；（3）(42)xy x e -=+；（4）45511.16416x y e x =-+5 1.xy ex -=+-6 2.4分.7 (1）0.1452017tH e-=+；（2）变为20℃；（3）当日7时36分.习题 6.11（1）133-s ; （2）21+s ; （3）1332+s s ; （4）222+s ; （5）1642+s ; （6）)2(2--s s .2（1）t t u t u sin )]()([π--, 11)]([2++=-s e t f L sπ.（2）)()2(2t u t u --, s e t f L s 12)]([2-=-.（3）)2()1(---t u t u , se e tf L ss 2)]([---=.（4）)()cos ()(cos π-⋅--⋅t u t t t u t , ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=-111)]([222s s s se s s tf L s ππ. 3 略4（1） +-+-+=)2()1()()(t u t u t u t f ;（2）[] +-+--⋅=)2()()()(T t u T t u E t u t TEt f ; （3）[] --+--=)2(2)(2)()(b t u b t u t u A t f ;（4） +--+--+=)2sin()2(2)sin()(2sin )()(ππππt t u t t u t t u t f .习题 6.21（1）s -11;（2）)1(31+s ; （3）9124-s ; （4）253382++-s s s ; （5）224s s+; （6）32269s s s +-; （7）1722+-s s; （8）3)7(2-s ; （9）22)9(6+-s s ; 2（1）)100(2002+s s ;（2）362+-s s ;（3）ss s s 223ππ+-;（4）33222+-⋅s s ; （5）443127223+-++-s s s e t;（6）222)4(82+-s s ;（7）9)2(22+--s s ;（8）)25)(1(153222+++s s s ; （9）323)4(242+-s s s ; （10）s s 1arctan 1或⎪⎭⎫ ⎝⎛-s s arctan 21π ;（11）22]9)2[(126+++s s ; （12）⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--s ss s e s s ππ222111. 3（1）23)(+=s t y ;（2）)1)(4(1)(2++=s s s t y ;（3）)()(222ωω+=s s t y ;（4）22)(ωω+=s t y .43+s s. 习题 6.31（1）te 2;（2）2321te -;（3）t 5cos 2;（4）t 23sin 31;（5）t t 4sin 454cos 3-;（6）4322416121t t t t -+-;（7）t t 3sin 33;（8）t e t cos 2-;（9）t t e e 2346---. 2（1）t t e e 352123---;（2）tt t e te e --+412141;（3）t e t 23cos 121-+; （4）()t e t t 2212283-++-;（5）t t 52sin 54110sin 1023-;（6）t t e t sin cos 22+-;（7）tte 21+;（8）t t e e 22121--+-; （9）)2cos 42sin 3()2sin 32cos 4(2t t e t t e tt-++-.习题 6.41（1）t e t t y 44343)(--+=;（2）t e t t y )1()(+=;（3）)cos sin 1(21)(t t t y --=; （4）tte e t y 2342)(-+=;（5）t t t t y 24cos 34sin )(++-=; （6）t t t e e e t y 237431)(-+=-. 2（1）⎪⎩⎪⎨⎧==t t e t y e t x )()(;（2）⎪⎩⎪⎨⎧==--te t y t e t x ttcos )(sin )(.3（1）)1(4)(5tet i --=;（2）)(5)(53t t e e t i ---=;（3）)5sin 5cos (25)(5t t e t i t+-=-. 4 )4(51)(221tt e e t y -+=.5 As s W ρ=)(.复习题61（1）√;（2）×;（3）×;（4）×;（5）√;（6）×.2（1）拉氏, 象, 拉氏逆 , 原象;（2）)(s sF ,)(2s F s ;（3）)(λ-s F , )(a t f -. 3（1）15962+++s s ;（2）13612++-s s s ;（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--s ss e s s ππ2222211121;（4）3)3(2-s s . 4（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+3221t t e t;（2）)cos (sin 21t t t +;（3）)3sin 23cos 3(t t e t +-; （4）te t t -+22sin 222cos ;（5）t t e e ---242（6）tt t te e e 2223-+-.5（1）)cos 1()(t e t y t-=-;（2）t t t y 2cos sin 2)(--=;（3）t t t y 3sin 61)(=; （4）t tte ee t y 3232)(+-=.6（1）⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=----tt tt ee t y e e t x 22242)(23)(;（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==tt y t t x 2sin 53)(2cos 51)(.7 RCte RE t i -=)(.8 RCsRCss W +=1)( , )()(T t u e e t u RC Tt RC t R --=--.习题7.11（1）平面平行z 轴； （2）平面过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,38,0且平行于xoz 平面； （3）平面过y 轴； （4）过坐标原点. 2 (0,6,0). 3 表示球心在⎪⎭⎫⎝⎛21,0,21，半径为1的球面. 4（1）012382648333222=++--++z y x z y x ；（2）0112622=++--z y x z .5. （1）14)2()3()1(222=++-+-z y x ;（2）0222=-++z y x .习题 7.21 1，),(2y x f t . 2 yyxy x f +-=11),(2. 3 （1）{}012),(2>+-=x y y x D ;（2）{}0,0),(>->+=y x y x y x D（3） ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=1),(2222b y a x y x D ; （4）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=1),(x y y x D . 4 （1）6π ； （2）41-； （3）0； （4）0. 5 略.6（1）{}02),(2=-=x y y x D ;（2）πk x =或πk y =（k 为整数）.习题7.31（1）;,12yxx y z y y x z -=∂∂+=∂∂ （2）;)(12,)(112222y x yy z y x x z -+-=∂∂-+=∂∂（3）;)cos()()sin(,)cos()()sin(y x y x y x yzy x y x y x x z-+--=∂∂-++-=∂∂（4） ;)ln(21,)ln(21xy y y z xy x x z =∂∂=∂∂ 2 1.3（1）;812,16,812222222222x y y z xy y x z y x x z -=∂∂-=∂∂∂-=∂∂ （2）.)1(,)ln 1(,ln 22212222---=∂∂+=∂∂∂=∂∂x x x y x x yz y x y y x z y y x z 习题7.41 （1）;sin cos ydy e ydx e dz xx-= （2） ;)11()1(2dy yx dx y y dz -++= （3）;)(1dy dx xye x dz x y--= （4）.)()(2322xdy ydx y x x dz -+-=2 .125.0,119.0-=-=∆dz z习题7.51).cos (sin )cos (sin 2sin ),sin (cos 2sin 2333332y y x y y y x yz y y y x x z +++-=∂∂-=∂∂ 2 .cot )sin ln(2,)sin ln(2223222y yx y x y x y z y x y x y x x z +-=∂∂+=∂∂ 3 ).6(cos 22sin 3t t e t t -- 4.)43(1)21(6232t t t t ---5 z y z x f f y z f f x z '+'=∂∂'+'=∂∂1,1 6 .2cos 2xyy e y x--习题7.61 极大值 (3,2)33f -=, 极小值 .3)0,1(-=f2 极大值 41)21,21(=z . 3 ),(y x 达最大时，总产量为10；max 64;80;(6,4)500.x y p L L =====、4 应做成棱长为3V 的正方体时用料最省.5 当矩形的边长为32p 及 3p时，绕短边旋转所得圆柱体的体积最大. 复习题71 （1）;22≤≤->x y x 且 （2）;51)(,)(,1)(,1)(d c b a 无定义 (3) ;1)(,0)(,0)(,0)(2kk d c b a +（4）;21（5）;12)(,3)(,2)(c b a （6）);(31dy dx + （7）;)3()3(222x x e x x x+-+（8）.0),(;0),(),()],([000000200<''<''''-''y x f y x f y x f y x f xx yy xx xy2 （1）不正确；（2）正确；（3）不正确；（4）正确;（5）不正确；（6）在一般情况下，不连续不行.3 ;)1(B ;)2(C ;)3(D ;)4(A ;)5(A ;)6(B ;)7(A .)8(C4 极小值为.1)1,1(-=z5 .52=d习题8.11 23))DDx y d x y d σσ+≤+⎰⎰⎰⎰（（.2 (1) 28I ≤≤；（2）36100I ππ≤≤；（3）02I ≤≤.习题8.21 (1)763；(2) 655；(3) 9；(4) 83；(5) 2e -；(6) 18.2 (1) 4(1)e π-；(2)2ln 214π-；(3) 2364π；(4) 439π-. 习题8.31 (1)163；(2) 83.2 (1) 196π；(2)321)3π. 复习题81 (1) 0; (2) 100π; (3)10(,)ydy f x y dx ⎰; (4) 211(,)yy dy f x y dx -⎰⎰;(5)223cos 04()d f r rdr πθπθ⎰⎰; (6) 0.2 (1) A ; (2) B ; (3) D ; (4) C ; (5) A .3 (1) 2- ; (2)458 ; (3) 11(1)2e-; (4) 94.4 (1) 34π; (2) 26π-; (3) 264π .592. 6 16.习题8.11 （1）4;（2）0；（3）18；（4）-40.2 （1）8;（2）136;3 （1）14;（2）0;（3）120;（4）1;（5）abcde; (6) 1.4 （1）1213x x =-⎧⎨=⎩; （2）123213x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩.5 略.习题8.21 1,2x y =-=-.2（1）304751--⎛⎫ ⎪---⎝⎭; （2）013411⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭. 3 （1）242436-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭; （2）3145⎛⎫ ⎪⎝⎭;（3）234355004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭039449198⎛⎫ ⎪-⎝⎭;（4）234355004⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. 4 三公司生产成本最少. 5 略.习题8.31（1）是; （2）不是; （3）不是; （4）是.2（1）100220105500111-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; （2）110000100001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;（3）1001010100100000⎛⎫ ⎪-⎪⎪ ⎪⎝⎭;（4）1010010000010000⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭. 3 略.习题8.41（1）3; （2）2 ; （3）3 ; （4）3. 2 有可能存在r 阶子式为零.习题8.51（1）2A =; （2）*111022113A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭; （3）1111222011113222A -⎛⎫-⎪ ⎪=- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. 2 （1）23112-⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭; （2）10010021003⎛⎫ ⎪⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭;（3）1210121002⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; （4）1324411122201⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭. 3（1）020.615 1.8110.4X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭; （2）50291911X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭.4 略.习题8.61（1）1211558855001001x c c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; （2）x O =（零解）.2（1）121133*********x c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; （2）523101x c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3 123,,P P P 分别组装2万只、1万只、3万只.4 略.复习题81 （1）()ab b c -; （2）51.2 413a -<<.3 （1）0;（2）3142531524a a a a a -;（3）()22na b -;（4）()()()1221n n i i b a b a b a b b a b =⎡⎤---+⎢⎥-⎣⎦∑.4 （1）220206372-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭;（2）157524348⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;（3）25105389710⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; （4）0710********⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.5 证明略.6 （1）26101333545--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭; （2）略. 7（1）d b ad bcad bc c a ad bcad bc -⎛⎫ ⎪--⎪- ⎪⎪--⎝⎭; （2）121012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;（3）3500120000230034-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（4）2262617175201310214153--⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪--- ⎪--⎝⎭. 8（1）1; （2）2; （3）3; （4）2.9 （1）121x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭; （2）511201x c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; （3）12221010102001x c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4）12311411010001x c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;（5）12374130100602100100001x c c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（6）212x⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭;（7）x O=（零解）; （8）128 1.50050.51001x c c--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.10（1）唯一解 ; （2）无解.11 生产过程中的消耗依次为：613元，2169元，974元，1450元.12 总收入分别为824万、853万、800万；总利润分别为193万、201万、188万.13 分别取30kg，20kg，50kg.14 价格因素首先考虑.。

高等数学课后习题及参考答案(第一章)

高等数学课后习题及参考答案(第一章)

高等数学课后习题及参考答案（第一章）习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y ,所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211x x y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y ;解 由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1.(2)xx y +-=11; 解 由x x y +-=11得y y x +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11. (3)dcx b ax y ++=(ad -bc ≠0); 解 由d cx b ax y ++=得a cy b dy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=. (4) y =2sin3x ;解 由y =2sin 3x 得2arcsin 31y x =, 所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =. (5) y =1+ln(x +2);解 由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.(6)122+=x x y . 解 由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为x x y -=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明 先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即-M ≤f (x )≤M . 这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; 解 y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy . (2) y =sin u , u =2x , 81π=x ,42π=x ; 解 y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy .(3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y .(4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;解 2x e y =, 1201==e y , e e y ==212.(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1.解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域:(1) f (x 2);解 由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1].(2) f (sin x );解 由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为[2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) .(3) f (x +a )(a >0);解 由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ].(4) f (x +a )+f (x -a )(a >0).解 由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ], 当21>a 时函数无意义. 18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11||01|| 1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形.解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11||01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 00 1)]([x x x x g f . ⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1||e 1|| )]([101)(x e x x e e xfg x f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g .19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40︒(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域.图1-37解 40sin h DC AB ==, 又从0)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ 得h hS BC ⋅-= 40cot 0, 所以 h h S L40sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0, 040cot 0>⋅-h hS 确定, 定义域为40cot 00S h <<.20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数;(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数;(3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0.01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75.当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0.01=91-0. 01x .综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.0911000 90x x x x p . (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P .(3) P =31⨯1000-0.01⨯10002=21000(元).习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限:(1)nn x 21=; 解 当n →∞时, nn x 21=→0, 021lim =∞→n n . (2)nx n n 1)1(-=; 解 当n →∞时, n x n n 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→nn n . (3)212nx n +=; 解 当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→nn . (4)11+-=n n x n ; 解 当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n . (5) x n =n (-1)n .解 当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限.2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N .解 0lim =∞→n n x . n n n x n 1|2cos ||0|≤=-π. ∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n -0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000. 3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→n n ;分析 要使ε<=-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim 2=∞→n n . (2)231213lim =++∞→n n n ; 分析 要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n . (3)1lim 22=+∞→na n n ; 分析 要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >. 证明 因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<-+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→na n n . (4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 分析 要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|ε<=-1101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|<ε , 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4. a u n n =∞→lim , 证明||||lim a u n n =∞→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明 因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而 ||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞→n n y , 证明: 0lim =∞→n n n y x .证明 因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6. 对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 证明: x n →a (n →∞).证明 因为x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k -1>2K 1-1时, 有| x 2k -1-a |<ε ; ∃K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k -a |<ε .取N =max{2K 1-1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞).习题1-31. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ;分析 因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 所以要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε31|3|<-x .证明 因为∀ε>0, ∃εδ31=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析 因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 所以要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x .证明 因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x -2|<δ时, 有 |(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22-=+--→x x x ;分析 因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 所以要使ε<--+-)4(242x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim22-=+--→x x x .(4)21241lim 321=+--→x x x . 分析 因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 所以要使ε<-+-212413x x , 只须ε21|)21(|<--x .证明 因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 321=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x x x ; 分析 因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x . 证明 因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x . (2)0sin lim =+∞→xx x .分析 因为xx x x x 1|sin |0sin ≤=-. 所以要使ε<-0sin x x , 只须ε<x1, 即21ε>x .证明 因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<-0sin xx ,所以0sin lim =+∞→xx x .3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？ 解 由于当x →2时, |x -2|→0, 故可设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x .取δ=0.0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001.4. 当x →∞时, 13122→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?解 要使01.034131222<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X .5. 证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零.证明 因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.因为对∀ε>0, ∃δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε, 所以0||lim 0=→x x .6. 求,)(xx x f = x x x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在. 证明 因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f ,11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ,)(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞→)(lim .证明 因为A x f x =-∞→)(lim , A x f x =+∞→)(lim , 所以∀ε>0, ∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ;∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞→)(lim .8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明 先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有|f (x )-A |<ε .因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有 |f (x )-A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有 | f (x )-A |<ε ,即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明 设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |. 习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+-=x x y 当x →3时为无穷小; (2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+-=x x y 为无穷小. (2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数xx y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件,能使|y |>104？证明 分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+<M x .证明 因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21,所以当x →0时, 函数xx y 21+=是无穷大.取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104. 4. 求下列极限并说明理由: (1)xx x 12lim +∞→;(2)xx x --→11lim 20.解 (1)因为xx x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x xx +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=--→x x x .6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim 22-+→x x x ; 解 9325235lim 222-=-+=-+→x x x .(2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx x x x x 2324lim2230++-→; 解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2xx x +-∞→; 解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ; 解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x xx x . (8)13lim 242--+∞→x x x x x ; 解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→;解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321limnn n -+⋅⋅⋅+++∞→; 解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n . (13)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同, 极限为 最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31x x x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim21-=+++-=→x x x x . 2. 计算下列极限: (1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解 因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x x x ;解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数).(3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限: (1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量).4. 证明本节定理3中的(2).习题1-61. 计算下列极限: (1)xx x ωsin lim 0→;解 ωωωωω==→→x x xx x x sin lim sin lim 00.(2)xx x 3tan lim 0→;解 33cos 133sin lim 33tan lim 00=⋅=→→xx x x x x x .(3)xx x 5sin 2sin lim 0→;解 52525sin 522sin lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=→→x x x x x x x x .(4)x x x cot lim 0→;解 1cos lim sin lim cos sin lim cot lim 0000=⋅=⋅=→→→→x x x x x x x x x x x x .(5)xx x x sin 2cos 1lim 0-→;解 2)sin (lim 2sin 2lim 2cos 1lim sin 2cos 1lim 20220200===-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x . 或 2sin lim 2sin sin 2lim sin 2cos 1lim 0200===-→→→xx x x x x x x x x x . (6)n n n x 2sin 2lim ∞→(x 为不等于零的常数). 解 x x xx x nn n n nn =⋅=∞→∞→22sin lim2sin 2lim . 2. 计算下列极限:(1)x x x 1)1(lim -→; 解 11)(1)1()(101})](1[lim {)](1[lim )1(lim ---→--→→=-+=-+=-e x x x x x x x x x .(2)x x x 1)21(lim +→;解 2221221010])21(lim [)21(lim )21(lim e x x x x x x x x x =+=+=+→⋅→→.(3)x x xx 2)1(lim +∞→; 解 222])11(lim [)1(lim e xx x x x x x =+=+∞→∞→.(4)kx x x)11(lim -∞→(k 为正整数).解 k k x x kx x e xx ---∞→∞→=-+=-))(()11(lim )11(lim .3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I '. 证明 仅对x →x 0的情形加以证明.设ε为任一给定的正数, 由于A x g x x =→)(lim 0, 故由定义知, 对ε>0, 存在δ1>0, 使得当0<|x -x 0|<δ1时, 恒有|g (x )-A |<ε, 即A -ε<g (x )<A +ε.由于A x h x x =→)(lim 0, 故由定义知, 对ε>0, 存在δ2>0, 使得当0<|x -x 0|<δ2时, 恒有|h (x )-A |<ε, 即A -ε<h (x )<A +ε.取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ时, A -ε<g (x )<A +ε与A -ε<h (x )<A +ε 同时成立, 又因为g (x )≤f (x )≤h (x ), 所以 A -ε<f (x )<A +ε, 即 |f (x )-A |<ε, 因此A x f x x =→)(lim 0.证明 仅对x →x 0的情形加以证明. 因为A x g x x =→)(lim 0, A x h x x =→)(lim 0,所以对任一给定的ε>0, 存在δ>0, 使得当0<|x -x 0|<δ时, 恒有 |g (x )-A |<ε及|h (x )-A |<ε,即 A -ε<g (x )<A +ε及A -ε<h (x )<A +ε.又因为 g (x )≤f (x )≤h (x ), 所以 A -ε<f (x )<A +ε, 即 |f (x )-A |<ε, 因此A x f x x =→)(lim 0.4. 利用极限存在准则证明: (1)111lim =+∞→nn ;证明 因为n n 11111+<+<,而 11lim =∞→n 且1)11(lim =+∞→n n ,由极限存在准则I , 111lim =+∞→nn .(2)1)1 211(lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n ;证明 因为πππππ+<++⋅⋅⋅++++<+2222222)1 211(n n n n n n n n n n , 而 1lim 22=+∞→πn n n n , 1lim 22=+∞→πn n n , 所以 1)1 211(lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n .(3)数列2,22+, 222++, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限存在;证明 21=x , n n x x +=+21(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅). 先证明数列{x n }有界.当n =1时221<=x , 假定n =k 时x k <2, 则当n =k +1时, 22221=+<+=+k k x x , 所以x n <2(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 即数列{x n }有界.再证明数列单调增. 因为nn n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x +++--=++-+=-+=-+2)1)(2(22221, 而x n -2<0, x n +1>0, 所以x n +1-x n >0, 即数列{x n }单调增.因为数列{x n }单调增加有上界, 所以此数列是有极限的. (4)11lim 0=+→n x x ;证明 当|x |≤1时, 则有 1+x ≤1+|x |≤(1+|x |)n , 1+x ≥1-|x |≥(1-|x |)n , 从而有 ||11||1x x x n +≤+≤-. 因为 1|)|1(lim |)|1(lim 0=+=-→→x x x x ,根据夹逼准则, 有 11lim 0=+→n x x .(5)1]1[lim 0=+→xx x .证明 因为x x x 1]1[11≤<-, 所以1]1[1≤<-xx x .又因为11lim )1(lim 00==-++→→x x x , 根据夹逼准则, 有1]1[lim 0=+→xx x .习题 1-71. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解 因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x x x x x ,所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2).2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2x x -. 证明 (1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0),所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x , 所以当x →0时, 2~1sec 2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xx x 23tan lim 0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数);(3)x x x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x .解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x →0), 所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim =αα, 所以α ~α ;(2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim=αβ. 因此β~α ;(3) 若α ~β, β~γ, 1lim limlim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ. 习题1-81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;解 已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x .所以1)(lim 1=→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f .解 只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性. 在x =-1处, 因为f (-1)=-1, 并且)1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x ,)1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ,所以函数在x =-1处间断, 但右连续. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1),所以函数在x =1处连续.综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的. (2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解 函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点.因∞=→x x k x tan lim π(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xx x , 0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=, x =0;解 因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点.又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点.(4)⎩⎨⎧>-≤-=1 311x x x x y , x =1.解 因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x , 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3. 讨论函数x x x x f nnn 2211lim )(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1||1|| 01|| 11lim)(22x x x x x x x x x f nn n .在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x , 所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明 不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x , 由极限的局部保号性定理, 存在x 0的某一去心邻域)(0x U , 使当x ∈)(0x U时f (x )>0, 从而当x ∈U (x 0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0. 5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;解 函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;解 函数⎩⎨⎧∉∈-=QQx x x f 1 1)(在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续.解 函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Qx x x x x f )(在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.习题1-91. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x .在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x .2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续.证明 已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim 20+-→x x x ;(2)34)2(sin lim x x π→;(3))2cos 2ln(lim 6x x π→;(4)xx x 11lim 0-+→;(5)145lim 1---→x x x x ;(6)a x a x a x --→sin sin lim ;(7))(lim 22x x x x x --++∞→.解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数, f (x )在点x =0有定义, 所以 55020)0(52lim 220=+⋅-==+-→f x x x .(2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数, f (x )在点4π=x 有定义, 所以1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x .(3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数, f (x )在点6π=x 有定义, 所以0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x .(4))11(lim)11()11)(11(lim 11lim 000++=++++-+=-+→→→x x x x x x x x x x x x 211101111lim=++=++=→x x .(5))45)(1()45)(45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x x x +--+---=---→→)45)(1(44lim 1x x x x x +---=→214154454lim 1=+-⋅=+-=→x x x .。

高等数学课后答案 第七章 习题详细解答

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习题7-11.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并指出集合的边界.（1）{}(,)0,0x y x y ≠≠；（2）{}22(,)14x y x y <+≤；（3）{}2(,)x y y x >；（4）{}2222(,)(1)1(2)4x y x y x y +-≥+-≤且.解 （1）集合是开集，无界集；边界为{(,)0x y x =或0}y =. （2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；边界为2222{(,)1}{(,)4}x y x y x y x y +=+= .（3）集合是开集，区域，无界集；边界为2{(,)}x y y x =. （4）集合是闭集，有界集；边界为2222{(,)(1)1}{(,)(2)4}x y x y x y x y +-=+-=2.已知函数(,)v f u v u =，试求(,)f xy x y +. 解 ()()(,)x y f xy x y xy ++=.3.设(,)2f x y xy =，证明：2(,)(,)f tx ty t f x y =.解)222(,)222f tx ty t xy t t xy t xy ===2(,)t f x y =.4.设y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭(0)x >，求()f x . 解由于y f x ⎛⎫==⎪⎝⎭，则()f x =5.求下列各函数的定义域：（1）2222x y z x y+=-； （2）ln()arcsin y z y x x =-+；（3）ln()z xy =； （4）z =；（5）z =（6）u =.解 （1）定义域为{}(,)x y y x ≠±； （2）定义域为{}(,)x y x y x <≤-；（3）定义域为{}(,)0x y xy >，即第一、三象限（不含坐标轴）；（4）定义域为2222(,)1x y x y a b ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭； （5）定义域为{}2(,)0,0,x y x y x y ≥≥≥；（6）定义域为{}22222(,,)0,0x y z x y z x y +-≥+≠.6.求下列各极限：（1）22(,)(2,0)lim x y x xy y x y →+++； （2）(,)(0,0)lim x y →； （3）22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y xy →+； （4）(,)(2,0)sin()lim x y xy y→；（5）1(,)(0,1)lim (1)xx y xy →+； （6）22(,)(,)lim()x y x y x y e --→+∞+∞+.解：（1）22(,)(2,0)4lim (2,0)22x y x xy y f x y →++===+；（2）(,)(0,0)00112lim lim 2x y u u u u →→→===；（3）因为22(,)(0,0)lim ()0x y x y →+=，且1s i n1xy≤有界，故22(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y xy →+=； （4）(,)(2,0)(,)(2,0)sin()sin()limlim 212x y x y xy xy x y xy →→==⋅=；（5）111(,)(0,1)(,)(0,1)lim (1)lim (1)y xyxx y x y xy xy e e ⋅→→+=+==；（6）当0x N >>，0y N >>时，有222()()0x y x yx y x y e e ++++<<，而()22(,)(,)22limlim lim lim 0x yu u u x y u u u x y u u e e e e+→+∞+∞→+∞→+∞→+∞+==== 按夹逼定理得22(,)(,)lim()0.x y x y x y e --→+∞+∞+=7.证明下列极限不存在： （1）(,)(0,0)limx y x yx y →+-；（2）设2224222,0,(,)0,0,x yx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩(,)(0,0)lim (,)x y f x y →.证明 （1）当(,)x y 沿直线y kx =趋于(0,0)时极限(,)(0,0)01limlim 1x y x y kxx y x kx kx y x kx k →→=+++==--- 与k 有关，上述极限不存在.（2）当(,)x y 沿直线y x =和曲线2y x =趋于(0,0)有2242422(,)(0,0)00lim lim lim 01x y x x y x y xx y x x x x y x x x →→→=====+++， 2222442444(,)(0,0)001lim lim lim 22x y x x y xy xx y x x x x y x x x →→→=====++， 故函数(,)f x y 在点(0,0)处二重极限不存在.8.指出下列函数在何处间断：（1）22ln()z x y =+； （2）212z y x=-. 解（1）函数在(0,0)处无定义，故该点为函数22ln()z x y =+的间断点； （2）函数在抛物线22y x =上无定义，故22y x =上的点均为函数212z y x=-的间断点.9.用二重极限定义证明：(,)lim0x y →=.证22102ρ=≤=(,)P x y ，其中||OP ρ==，于是，0ε∀>，20δε∃=>；当0ρδ<<时，0ε-<成立，由二重极限定义知(,)lim0x y →=.10.设(,)sin f x y x =，证明(,)f x y 是2R 上的连续函数.证 设2000(,)P x y ∈R .0ε∀>，由于sin x 在0x 处连续，故0δ∃>，当0||x x δ-<时，有0|sin sin |x x ε-<.以上述δ作0P 的δ邻域0(,)U P δ，则当0(,)(,)P x y U P δ∈时，显然 00||(,)x x P P ρδ-<<，从而000|(,)(,)||sin sin |f x y f x y x x ε-=-<，即(,)sin f x y x =在点000(,)P x y 连续.由0P 的任意性知，sin x 作为x 、y 的二元函数在2R 上连续.习题7－21.设(,)z f x y =在00(,)x y 处的偏导数分别为00(,)x f x y A =，00(,)y f x y B =，问下列极限是什么？（1）00000(,)(,)limh f x h y f x y h →+-； （2）00000(,)(,)lim h f x y f x y h h→--；（3）00000(,2)(,)lim h f x y h f x y h →+-； （4）00000(,)(,)lim h f x h y f x h y h→+--.解 （1）0000000(,)(,)lim(,)x h f x h y f x y z x y A h→+-==； （2）000000000000(,)(,)(,)(,)limlim (,)y h h f x y f x y h f x y h f x y z x y B h h→→----===-； （3）0000000000(,2)(,)(,2)(,)limlim 222h h f x y h f x y f x y h f x y B h h→→+-+-=⋅=；（4）00000(,)(,)limh f x h y f x h y h→+--[][]0000000000000000000000000000(,)(,)(,)(,)lim(,)(,)(,)(,)lim (,)(,)(,)(,)lim lim 2.h h h h f x h y f x y f x y f x h y hf x h y f x y f x h y f x y h f x h y f x y f x h y f x y h h A A A →→→→+-+--=+----=+---=+-=+= 2.求下列函数的一阶偏导数： （1）x z xy y=+； （2）ln tan x z y =；（3）e xyz =； （4）22x y z xy+=；（5）222ln()z x x y =+； （6）z = （7）sec()z xy =； （8）(1)y z xy =+；（9）arctan()z u x y =- （10）zx u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.解（1）1z y x y ∂=+∂，2z x x y y∂=-∂； （2）12211tan sec cot sec z x x x x x y y y y y y -⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 12222tan sec cot sec z x x x x x x y y y y y y y-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）xy xy z e y ye x ∂=⋅=∂，xy xy ze x xe y∂=⋅=∂； （4）()2222222222()2()1z x xy x y y x y x y y y x x y y x xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂， ()2222222222()2()1z y xy x y x xy x y x x y x y x y xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂；（5）232222222222ln()22ln()z x x x x y x x x y x x y x y ∂=++⋅=++∂++， 22222222z x x yy y x y x y∂=⋅=∂++； （6）1z y x xy ∂=⋅=∂1z x y xy ∂=⋅=∂ （7）tan()sec()tan()sec()zxy xy y y xy xy x∂=⋅=∂， tan()sec()tan()sec()zxy xy x x xy xy y∂=⋅=∂； （8）121(1)(1)y y zy xy y y xy x--∂=+⋅=+∂， ln(1)(1)ln(1)1y xy z xy e y xy xy y y xy +⎡⎤∂∂⎡⎤==+⋅++⎢⎥⎣⎦∂∂+⎣⎦； （9）11221()()1()1()z z z zu z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+-， 11221()()(1)1()1()z z z zu z x y z x y y x y x y --∂-=⋅-⋅-=-∂+-+-， 221()ln()()ln()1()1()z zz zu x y x y x y x y z x y x y ∂--=⋅-⋅-=∂+-+-； （10）111z z ux z x z x y y y y --⎛⎫⎛⎫∂=⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭，12z zux x z x z y y y y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ln z u x x y y y⎛⎫∂=⋅ ⎪∂⎝⎭. 3.设(,)ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求(1,0)x f ，(1,0)y f . 解法一 由于(,0)ln f x x =，所以1(,0)x f x x=，(1,0)1x f =； 由于(1,)ln 12y f y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以11(1,)212yf y y =⋅+，1(1,0)2y f =.解法二 21(,)122x y f x y y x x x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭+，11(,)22y f x y y x x x=⋅+， 10(1,0)110212x f ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭+，111(1,0)02212y f =⋅=+. 4.设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x . 解法一由于(,1)(11)arcsinf x x x =+-，(,1)()1x f x x '==. 解法二1(,)1x f x y y =，(,1)1x f x =. 5.设2(,)xt yf x y e dt -=⎰，求(,)x f x y ，(,)y f x y .解 2(,)x x f x y e -=，2(,)y f x y e -=-. 6.设yxz xy xe =+，证明z zxy xy z x y∂∂+=+∂∂. 解 由于21y y yx x x z y y y e xe y e x x x ⎛⎫∂⎛⎫=+-⋅=+-⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 1y y x x z x xe x e y x∂=+⋅=+∂， 所以1()yy y yx x x xz z y x y x y e y x e xy e x y xy ye x y x ⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫+=+-++=+-++ ⎪⎢⎥ ⎪∂∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭yxxy xe xy xy z =++=+.7.（1）22,44x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角是多少？ （2）1z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩在点(1,1处的切线与y 轴正向所成的倾角是多少？解 （1）按偏导数的几何意义，(2,4)x z 就是曲线在点(2,4,5)处的切线对于x 轴正向所成倾角的斜率，而21(2,4)12x x z x ===，即tan 1k α==，于是倾角4πα=. （2）按偏导数的几何意义，(1,1)y z就是曲线在点(1,1处的切线对于y 轴正向所成倾角的斜率，而11(1,1)3y z ===，即1tan 3k α==，于是倾角6πα=.8.求下列函数的二阶偏函数：（1）已知33sin sin z x y y x =+，求2z x y ∂∂∂； （2）已知ln xz y =，求2z x y∂∂∂；（3）已知ln(z x =+，求22z x ∂∂和2zx y∂∂∂；（4）arctan y z x =求22z x ∂∂、22z y ∂∂、2z x y ∂∂∂和2zy x∂∂∂.解（1）233sin cos z x y y x x ∂=+∂，2223cos 3cos z x y y x x y∂=+∂∂； （2）ln ln 1ln ln x x z y y y y x x x∂=⋅=∂， 2ln ln 1ln 1111ln ln (1ln ln )xx x z y y x y y x y x y x y x--⎛⎫∂=+⋅⋅=+ ⎪∂∂⎝⎭； （3）1z x ⎛⎫∂==∂==，()232222zxx xy∂-==∂+，()23222z yx y xy∂-==∂∂+；（4）222211z y y xx x y y x ∂⎛⎫=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222111z x y x x y y x ∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()222222z xy x x y ∂=∂+，()222222z xyy x y ∂-=∂+，()()2222222222222z x y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++，()()2222222222222z x y x y x y x x y x y ∂+--==∂∂++. 9.设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求(0,0,1xx f ，(1,0,2)xz f ，(0,1,0)yz f -及(2,0,1)zzx f .解 因为22x f y xz =+，2xx f z =，2xz f x =， 22y f xy z =+，2yz f z =，22z f yz x =+，2zz f y =，0zzx f =，所以(0,0,1)2xx f =，(1,0,2)2xz f =，(0,1,0)0yz f -=，(2,0,1)0zzx f =.10.验证： （1）2esin kn ty nx -=满足22y yk t x∂∂=∂∂；（2）r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂.证 （1）因为22e sin kn t y kn nx t -∂=-∂，2e cos kn t y n nx x -∂=∂，2222e sin kn ty n nx x-∂=-∂ 所以()2222e sin kn ty y k n nx k t x-∂∂=-=∂∂； （2）因为r x x r ∂==∂，2222231r x x x r x x x r r r r r ∂∂-⎛⎫==-⋅= ⎪∂∂⎝⎭， 由函数关于自变量的对称性，得22223r r y y r ∂-=∂，22223r r z z r ∂-=∂， 所以 2222222222223332r r r r x r y r z x y z r r r r∂∂∂---++=++=∂∂∂. 习题7－31.求下列函数的全微分：（1）2222s tu s t+=-； （2）2222()e x y xyz x y +=+；（3）arcsin(0)xz y y=>； （4）ey x x y z ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=；（5）222ln()u x y z =++； （6）yzu x =.解 （1）()()222222222222()2()4u s s t s s t st s s t s t ∂--+==-∂--， ()()222222222222()2()4u t s t t s t s tt s t s t ∂-++==∂--， ()()()22222222222444d d d (d d )st s tstu s t t s s t ststst=-+=-----；（2）22222222244222222()2()2x y x y x y xyxyxyzx y x y yx y xe x y eex xx y x y +++⎛⎫∂-+-=++=+ ⎪∂⎝⎭，由函数关于自变量的对称性可得224422x y xyzy x e y yxy +⎛⎫∂-=+ ⎪∂⎝⎭， 22444422d 2d 2d x y xyx y y x z ex x y y x y xy +⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦； （3）21d d arcsind d x x x z x y y yy y ⎛⎫⎫===- ⎪⎪⎝⎭⎭)d d y x x y =-；（4）d d d y x y x x y x y y x z e e x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥==-⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2211d d y x x y y x ex y y x x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（5）()2222222221d d ln()d u x y z x y zx y z ⎡⎤=++=++⎣⎦++2222222d 2d 2d 2(d d d )x x y y z z x x y y z z x y z x y z++==++++++； （6）()1d d d ln d ln d yz yz yz yzu x yzx x x z x y x y x z -==++()1d ln d ln d yz x yz x xz x y xy x z -=++.2.求下列函数的全微分：（1）22ln(1)z x y =++在1x =，2y =处的全微分； （2）2arctan 1xz y=+在1x =，1y =处的全微分. 解 （1）因为2222222211d d ln(1)d(1)(2d 2d )11z x y x y x x y y x y x y ⎡⎤=++=++=+⎣⎦++++ 所以12112d (2d 4d )d d 633x y z x y x y ===+=+； （2）因为22221d d arctand 1111x x z y y x y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪++⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪+⎝⎭()22222222211212d d d d 11111y xy xy x y x y y x y y x y y ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥=-=- ⎪⎢⎥++++++⎝⎭+⎣⎦ 所以()1222111121d d d d d 113x y x y xy z x y x y y x y ====⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭. 3. 求函数23z x y =当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全微分.解 因为()23322322d d 2d 3d 23z x y xy x x y y xy x x y y ==+=∆+∆所以当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时全微分为d 4120.080.120.2z x y =-∆+∆=--=-.4.求函数22xyz x y=-当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全微分和全增量，并求两者之差.解 因为()()222222222d()d()d d x y xy xy x y xy z x y x y ---⎛⎫== ⎪-⎝⎭- ()()()()()222332222222(d d )(2d 2d )d d x y y x+x y xy x x y y x y y x+x +xy y xyx y -----==-- 所以当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时全微分的值为()()()2332222(,)(2,1)0.01,0.030.25d 0.0277779x y x y x y y x+x +xy yz x y =∆=∆=--∆∆==≈-， 而当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全增量为()()()()2222(,)(2,1)0.010.030.028252x y x y x x y y xy z x y x x y y =∆=∆=⎡⎤+∆+∆∆=-≈⎢⎥-+∆-+∆⎢⎥⎣⎦， 全增量与全微分之差为d 0.0282520.0277770.000475z z ∆-≈-=.习题7－41.设2e x yu -=，sin x t =，3y t =，求d d u t. 解3222sin 22d d d cos 23(cos 6)d d d x y x y t t u u x u ye t e t e t t t x t y t---∂∂=+=-⋅=-∂∂. 2.设arccos()z u v =-，而34u x =，3v x =，求d d z x. 解2d d d 123d d d z z u z v x x u x v x ∂∂=+=+∂∂2314x -=3.设22z u v uv =-，cos u x y =，sin v x y =，求z x ∂∂，z y∂∂. 解()()222cos 2sin z z u z v uv v y u uv y x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-⋅∂∂∂∂∂ 23sin cos (cos sin )x y y y y =-，()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅-+-⋅∂∂∂∂∂ 33232(sin 2sin cos cos 2cos sin )x y y y y y y =-+-.4.设2ln z u v =，而32u x y =+，y v x =，求z x ∂∂，z y∂∂. 解 222ln 3z z u z v u y u v x u x v x v x ∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭216(32)ln(32)y x y x y x x=+-+， 22112ln 24(32)ln (32)z z u z v u y u v x y x y y u y v y v x x y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅=+++∂∂∂∂∂. 5. 设2(,,)ln(sin )z f u x y u y x ==+，ex yu +=，求z x ∂∂，zy∂∂. 解22112cos sin sin x y z z u f u e y x x u x x u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222cos sin x y x y e y xe y x+++=+， 22112sin sin sin x y z z u f u e x y u y y u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222sin sin x y x y e xe y x+++=+. 6.设222sin()u x y z =++，x r s t =++，y rs st tr =++，z rst =，求u r ∂∂，us∂∂，ut∂∂. 解[]22222()2cos()u u x u y u z x y s t zst x y z r x r y r z r∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr s t rs t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u zx y r t zrt x y z s x s y s z s∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r t r st r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u z x y s r zrs x y z t x t y t z t∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r s r s t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦.7.设arctanxz y=，x u v =+，y u v =-，求z u ∂∂，z v ∂∂，并验证：22z z u vu v u v∂∂-+=∂∂+.解222221111111z z x z y x y xu x u y uy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂-=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()222221111111z z x z yx y xv x v y vy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂+=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅-= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则222222222()()()z z y x y x u v u vu v x y x y u v u v u v ∂∂-+--+=+==∂∂++++-+. 8.设22(,,)z f x y t x y t ==-+，sin x t =，cos y t =，求d d z t. 解d d d 2cos 2(sin )12sin 21d d d z z x z y f x t y t t t x t y t t∂∂∂=⋅+⋅+=--+=+∂∂∂. 9.求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）： （1）22()z f x y =-； （2）,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭； （3）(,,)u f x xy xyz =； （4）22(,,ln )xy u f x y e x =-. 解（1）222()z xf x y x ∂'=-∂，222()zyf x y y∂'=--∂； （2）111f u f x y y '∂'=⋅=∂，12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂''''=⋅-+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭， 2222u y y f f z z z ∂⎛⎫''=⋅-=- ⎪∂⎝⎭； （3）123u f yf yzf x ∂'''=++∂，23uxf xzf y ∂''=+∂，3u xyf z ∂'=∂； （4）12312xy u xf ye f f x x ∂'''=++∂，122xy u yf xe f y∂''=-+∂. 10.设()z xy xF u =+，而yu x=，()F u 为可导函数，证明： z zxy z xy x y∂∂+=+∂∂.证 ()()()z z u u xy x y F u xF u y x xF u x y x y ⎡⎤∂∂∂∂⎡⎤''+=++++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦ []()()()yx y F u F u y x F u x ⎡⎤''=+-++⎢⎥⎣⎦()xy xF u xy z xy =++=+. 11.设[cos()]z y x y ϕ=-，试证：z z zx y y∂∂+=∂∂. 证sin()[cos()]sin()z z y x y x y y x y x yϕϕϕ∂∂''+=--+-+-∂∂ [cos()]z x y yϕ=-=. 12.设,kz y u x F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且函数,z y F x x ⎛⎫⎪⎝⎭具有一阶连续偏导数，试证： u u uxy z ku x y z∂∂∂++=∂∂∂. 证11222k k u z y kx F x F F x x x -∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫''=+-+- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1221k k ux F x F y x -∂''=⋅=∂， 1111k k u x F x F z x-∂''=⋅=∂， 11111111k k k k k u u u xy z kx F x zF x yF x yF x zF ku x y z----∂∂∂''''++=--++=∂∂∂. 13.设sin (sin sin )z y f x y =+-，试证：sec sec 1z zxy x y∂∂+=∂∂. 证cos z f x x ∂'=∂，cos (cos )zy y f y∂'=+-∂， sec sec sec cos sec cos sec (cos )1z zxy x xf y y y y f x y∂∂''+=++-=∂∂. 14.求下列函数的二阶偏导数22z x ∂∂，2z x y ∂∂∂，22zy ∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）：（1）(,)z f xy y =； （2）22()z f x y =+；（3）22(,)z f x y xy =； （4）(sin ,cos ,)x y z f x y e +=. 解 （1）令s xy =，t y =，则(,)z f xy y =，s 和t 是中间变量.11z s f yf x x ∂∂''=⋅=∂∂，1212d d z s tf f xf f y y y∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂. 因为(,)f s t 是s 和t 的函数，所以1f '和2f '也是s 和t 的函数，从而1f '和2f '是以s 和t 为中间变量的x 和y 的函数.故()22111112z z s yf yf y f x x x x x∂∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()211111211112d d z z s t yf f y f f f xyf yf x y y x y y y ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫'''''''''''===+⋅+⋅=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，()212111221222d d d d z z s t s t xf f x f f f f y y y y yy y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂''''''''''==+=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 21112222x f xf f ''''''=++. （2）令22s x y =+，则22()z f x y =+是以s 为中间变量的x 和y 的函数.2z s f xf x x ∂∂''=⋅=∂∂，2z sf yf y y∂∂''=⋅=∂∂. 因为()f s 是s 的函数，所以f '也是s 的函数，从而f '是以s 中间变量的x 和y 的函数.故()()222222224z z xf f xf x f x f x x x x∂∂∂∂⎛⎫'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭， ()()22224z z xf xf y xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()()222222224z z yf f yf y f y f y y y y⎛⎫∂∂∂∂'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭. （3）令2s xy =2t x y =，则212122z s t f f y f xyf x x x ∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂，212122z s tf f xyf x f y y y∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂. ()221222z z y f xyf x x x x∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭211122212222s t s t y f f yf xy f f x x x x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫'''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭()()2221112221222222y y f xyf yf xy y f xyf '''''''''=++++ 43222111222244yf y f xy f x y f '''''''=+++， ()22122z z y f xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ 21111222122222s t s t yf y f f xf xy f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()222111122212222222yf y xyf x f xf xy xyf x f ''''''''''=+++++ 32231211122222252yf xf xy f x y f x yf ''''''''=++++， ()221222z z xyf x f y y y y⎛⎫∂∂∂∂''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 211112212222s t s t xf xy f f x f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂'''''''''=+⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2221111221222222xf xy xyf x f x xyf x f '''''''''=++++ 22341111222244xf x y f x yf x f '''''''=+++. （4）令sin u x =，cos v y =，x yw e +=，则1313d cos d x y z u w f f xf e f x x x +∂∂''''=+=+∂∂，2323d sin d x y z v w f f yf e f y y y+∂∂''''=+=-+∂∂. ()2132cos x y z z xf e f x x x x+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 1111333133d d sin cos d d x y x y u w u w xf x f f e f e f f x x xx ++∂∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()1111333133sin cos cos cos x yx y x y x y xf x xf e f e f e xf e f ++++''''''''''=-+++++ ()2231111333sin cos 2cos x y x yx y ef xf xf e xf e f +++''''''''=-+++， ()213cos x y z z xf e f x y y x y+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭121333233d d cos d d x y x y v w v w x f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂'''''''''=++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()121333233cos sin sin x yx y x y x y x yf e f e f e yf e f ++++'''''''''=-+++-+ ()2312133233cos sin cos sin x y x yx y x y ef x yf e xf e yf e f ++++'''''''''=-+-+， ()2232sin x y z z yf e f y y y y+⎛⎫∂∂∂∂''==-+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 2222333233d d cos sin d d x y x y v w v w yf y f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂''''''''''=--++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2222333233cos sin sin sin x yx y x y x y yf y yf e f e f e yf e f ++++''''''''''=---+++-+ ()2232222333cos sin 2sin x y x yx y e f yf yf e yf e f +++''''''''=-+-+.习题7－51.设2cos e 0x y x y +-=，求d d yx. 解 设2(,)cos e x F x y y x y =+-，则22d e 2e 2d sin sin x x x y F y xy xyx F y x y x --=-=-=--+. 2.设ln ln 1xy y x ++=，求1d d x yx =. 解 设(,)ln ln 1F x y xy y x =++-，则221d 1d x y y F y xy y x x F x y x x y++=-=-=-++. 当1x =时，由ln ln 1xy y x ++=知1y =，所以1d 1d x yx ==-. 3.设arctany x =，求d d y x. 解设(,)ln arctan y F x y x=，则2222222222211d11d1xyyx x yyFy x yx y x yxy xx F x yx x y x yyx⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭=-=-=-=--⋅-++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.4.设222cos cos cos1x y z++=，求zx∂∂，zy∂∂.解设222(,,)cos cos cos1F x y z x y z=++-，则2cos sin sin22cos sin sin2xzFz x x xx F z z z∂-=-=-=-∂-，2cos sin sin22cos sin sin2yzFz y y yy F z z z∂-=-=-=-∂-.5.设方程(,)0F x y z xy yz zx++++=确定了函数(,)z z x y=，其中F存在偏导函数，求zx∂∂，zy∂∂.解1212()()xzF F y z Fzx F F y x F''++∂=-=-∂''++，1212()()yzF F x z Fzy F F y x F''++∂=-=-∂''++.6.设由方程(,,)0F x y z=分别可确定具有连续偏导数的函数(,)x x y z=，(,)y y x z=，(,)z z x y=，证明：1x y zy z x∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂.证因为yxFxy F∂=-∂，zyFyz F∂=-∂，xzFzx F∂=-∂，所以1y xzx y zF FFx y zy z x F F F⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⋅⋅=-⋅-⋅-=-⎪⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7.设(,)u vϕ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bzϕ--=所确定的函数(,)z f x y=满足z za b cx y∂∂+=∂∂.证令u cx az=-，v cy bz=-，则x u u u c x ϕϕϕ∂=⋅=∂，y v v vc yϕϕϕ∂=⋅=∂，z u v u v u v a b z z ϕϕϕϕϕ∂∂=⋅+⋅=--∂∂. x u z u v c z x a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+，y v z u vc zy a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+. 于是 u v u v u vc c z zab a bc x y a b a b ϕϕϕϕϕϕ∂∂+=⋅+⋅=∂∂++. 8.设0ze xyz -=，求22zx∂∂.解 设(,,)zF x y z e xyz =-，则x F yz =-，z z F e xy =-. 于是x zz F z yzx F e xy ∂=-=∂-， ()222()z z zz z ye xy yz e y z z x x x x x e xy ∂∂⎛⎫--- ⎪∂∂∂∂∂⎛⎫⎝⎭== ⎪∂∂∂⎝⎭-()22z z zyzy z yz e y e xy e xy ⎛⎫-⋅- ⎪-⎝⎭=-()2322322z zzy ze xy z y z e exy --=-.9.设(,)z z x y =是由方程2e 0zxz y --=所确定的隐函数，求2(0,1)zx y∂∂∂.解 设2(,,)e z F x y z xz y =--，则x F z =-，e z z F x =-，2y F y =-. 于是x z z F z z x F e x ∂=-=∂-，2y zz F z yy F e x∂=-=∂-， ()()22z z zz z e x z e z z y yx y y x ex ∂∂--⋅⋅∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭-()()222z zz zz y y e x ze e x e x e x ----=-()()322z zzy e x yze ex --=-.由20ze xz y --=，知(0,1)0z =，得2(0,1)2zx y∂=∂∂.10.求由方程xyz +=(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分d z .解设(,,)F x y z xyz =x z F zx F xy ∂=-==∂+，y z F zy F xy ∂=-==∂+，d d d z zz x y x y x y ∂∂=+=∂∂，(1,0,1)d d z x y -=.11.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1）设22222,2320,z x y x y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩求d d y x ，d d z x； （2）设0,1,xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy ∂∂； （3）设sin ,cos ,uux e u v y e u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy∂∂. 解 （1）分别在两个方程两端对x 求导，得d d 22,d d d d 2460.d d zy x y x xy z x y z x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩称项，得d d 22,d d d d 23.d d y z y x x xy z y z x xx ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩ 在 2162023y D yz y y z-==+≠的条件下，解方程组得213d 6(61)d 622(31)x x z yxz x x z x D yz y y z ------+===++. 222d 2d 6231y xy x z xy xx D yz y z --===++. （2）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =，将所给方程的两边对x 求导并移项，得,.uv x y u x xu v y x v xx ∂∂⎧-=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+=-⎪∂∂⎩ 在220x yJ x y y x-==+≠的条件下，22u y v x u xu yvx y x x y y x ---∂+==--∂+， 22x uy v v yu xvx y x x yy x--∂-==-∂+. 将所给方程的两边对y 求导，用同样方法在220J x y =+≠的条件下可得22u xv yu y x y∂-=∂+，22v xu yv y x y ∂+=-∂+. （3）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =是已知函数的反函数，令(,,,)sin u F x y u v x e u v =--，(,,,)cos u G x y u v y e u v =-+.则 1x F =，0y F =，sin u u F e v =--，cos v F u v =-， 0x G =，1y G =，cos u u G e v =-+，sin v G u v =-.在sin cos (,)(sin cos )0(,)cos sin u u u e v u v F G J ue v v u u v e v u v---∂===-+≠∂-+-的条件下，解方程组得1cos 1(,)1sin 0sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v x J x v J e v v -∂∂=-=-=-∂∂-+， 0cos 1(,)1cos 1sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v y J y v J e v v -∂∂-=-=-=-∂∂-+， sin 11(,)1cos (,)[(sin cos )1]cos 0u uu ue v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂-=-=-=∂∂-+-+， sin 01(,)1sin (,)[(sin cos )1]cos 1u uu u e v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂+=-=-=∂∂-+-+.习题7－61.求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程： （1）2x t =，1y t =-，3z t =在(1,0,1)处； （2）1t x t =+，1t y t+=，2z t =在1t =的对应点处；（3）sin x t t =-，1cos y t =-，4sin2t z =在点2π⎛- ⎝处； （4）2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩在点(1,1,3)处. 解 （1）因为2t x t '=，1t y '=-，23t z t '=，而点(1,0,1)所对应的参数1t =，所以(2,1,3)=-T .于是，切线方程为11213x y z --==-. 法平面方程为2(1)3(1)0x y z --+-=，即 2350x y z -+-=.（2）因为2211(1)(1)t t t x t t +-'==++，22(1)1t t t y t t -+'==-，2t z t '=，1t =对应着点1,2,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以 1,1,24⎛⎫=- ⎪⎝⎭T .于是，切线方程为 1212148x y z ---==-. 法平面方程为 281610x y z -+-=.（3）因为1cos t x t '=-，sin t y t '=，2cos 2t t z '=，点1,12π⎛- ⎝对应在的参数为2t π=，所以(=T .于是，切线方程为112x y π-+=-=. 法平面方程为402x y π++--=. （4）将2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩的两边对x 求导并移项，得 d 22,d d d 220,d d yy x xy z y z xx ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 由此得 2002d 420d 422x z y xz x y x yz y y z --===-，2220d 420d 422y x y z xy xy x yz z y z-===.(1,1,3)d 1d y x =-，(1,1,3)d 1d 3z x =.从而 1,1,3=- ⎪⎝⎭T . 故所求切线方程为113331x y z ---==-. 法平面方程为 3330x y z -+-=.2.在曲线x t =，2y t =，3z t =上求一点，使此点的切线平行于平面24x y z ++=.解 因为1t x '=，2t y t '=，23t z t '=，设所求点对应的参数为0t ，于是曲线在该点处的切向量可取为200(1,2,3)t t =T .已知平面的法向量为(1,2,1)=n ，由切线与平面平行，得0⋅=T n ，即2001430t t ++=，解得01t =-和13-.于是所求点为(1,1,1)--或111,,3927⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 3.求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程： （1）222327x y z +-=在点(3,1,1)处； （2）22ln(12)z x y =++在点(1,1,ln 4)处； （3）arctany z x =在点1,1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭处. 解（1）222(,,)327F x y z x y z =+--，(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==-n ，(3,1,1)(18,2,2)=-n .所以在点(3,1,1)处的切平面方程为9(3)(1)(1)0x y z -+---=，即 9270x y z +--=. 法线方程为311911x y z ---==-. （2）22(,,)ln(12)F x y z x y z =++-，222224(,,),,11212x y z x yF F F x y x y ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n ，(1,1,ln 4),1,12=- ⎪⎝⎭n .所以在点(1,1,ln 4)处的切平面方程为2234ln 20x y z +--+=.法线方程为 12ln 2122y z x ---==-. （3）(,,)arctanyF x y z z x=-， 2222(,,),,1x y z y xF F F x y x y ⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭n ， 1,1,411,,122π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭n . 所以在点1,1,4π⎛⎫⎪⎝⎭处的切平面方程为 202x y z π-+-=. 法线方程为 114112z x y π---==-. 4.求曲面2222321x y z ++=上平行于平面460x y z ++=的切平面方程.解 设222(,,)2321F x y z x y z =++-，则曲面在点(,,)x y z 处的一个法向量(,,)(2,4,6)x y z n F F F x y z ==.已知平面的法向量为(1,4,6)，由已知平面与所求切平面平行，得246146x y z ==，即12x z =，y z =. 代入曲面方程得 22223214z z z ++=. 解得 1z =±，则12x =±，1y =±. 所以切点为 1,1,12⎛⎫±±± ⎪⎝⎭. 所求切平面方程为 21462x y z ++=±5.证明：曲面(,)0F x az y bz --=上任意点处的切平面与直线x yz a b==平行（a ，b 为常数，函数(,)F u v 可微）.证 曲面(,)0F x az y bz --=的法向量为1212(,,)F F aF bF ''''=--n ，而直线的方向向量(,,1)a b =s ，由0⋅=n s 知⊥n s ，即曲面0F =上任意点的切平面与已知直线x yz a b==平行. 6.求旋转椭球面222316x y z ++=上点(1,2,3)--处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 令222(,,)316F x y z x y z =++-，曲面的法向量为(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==n ，曲面在点(1,2,3)--处的法向量为1(1,2,3)(6,4,6)--==--n n ，xOy 面的法向量2(0,0,1)=n ，记1n 与2n 的夹角为θ，则所求的余弦值为1212cos θ⋅===n n n n . 7.证明曲面3xyz a =（0a >，为常数）的任一切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为常数.证 设3(,,)F x y z xyz a =-，曲面上任一点(,,)x y z 的法向量为(,,)n yz xz xy =，该点的切平面方程为()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，即 33yzX xzY xyZ a ++=.这样，切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为33331333962a a a V a yz xz xy =⋅⋅⋅=.习题7－71.求函数22z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2的方向的方向导数.。

高数课后题答案及详解 高数课后习题答案解析

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高数课后题答案及详解一、求下列极限1、sin ()lim x x x →−−22111；解一：()()12sin 1cos 1lim 02x x x x→−−==原式解二：()()11sin 1sin 1lim lim11x x x x x x →→−−==−+原式2、lim sin x x x →2203解一：00021311lim lim lim 6sin3cos39sin3cos39x x x x x x x x x →→→==⋅=原式解二：sin 3~30021limlim 6sin 3cos 39cos 39x xx x x x x xx x →→===原式3、20tan 2lim 3sin x x xx →解：()2tan 2~2,sin3~3222lim93x x x xx xx →=原式=4、0lim ln(1)x x x →+解一：()001lim lim 1111x x x x→→==+=+原式解二：()1011lim1ln ln 1x xex →===+原式5、2lim xx x x →∞−⎛⎞⎜⎟⎝⎠解一：()2222lim 1xx ex −⋅−−→∞⎛⎞=−=⎜⎟⎝⎠原式解二：()1211ln 2ln 22limlim ln2lim22lim x x x x xx x x x xx xx x x eeeee−−→∞→∞→∞−−−−−−→∞−−−=====原式6、()111lim 32x x x −→−解一：()()112220lim 12t x tt t e=−−−−→=−=令原式解二：1(2)221122221lim[1(22)]{lim[1(22)]}xx x x x x e−−→−−−→=+−=+−=i 原式7、30sin lim x x x x →−解：2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→−===原式8、111lim ln 1x x x →⎛⎞−⎜⎟−⎝⎠解：111111ln 11lim lim lim 1(1)ln ln 1ln 11lim ln 112x x x x x x x x x x x x x x x xx →→→→−−+−===−−+−+−==−++原式9、12lim 22n n n n →∞+++⎛⎞−⎜⎟+⎝⎠⋯解：()()221122lim lim22221lim 422n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎞+⎜⎟+−−=−=⎜⎟++⎜⎟⎝⎠−==−+原式10、329sin limx x t dtx →∫解：26686003sin 1sin 1lim lim 933x x x x x x x →→===原式11、arctan limx x tdt →+∞。

高数课后题答案及详解

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第一章 函数与极限习 题 1-11．求下列函数的自然定义域：（1）211y x =- 解：依题意有21020x x ⎧-≠⎨+≥⎩，则函数定义域{}()|2x 1D x x x =≥-≠±且．（2）21arccosx y -=解：依题意有2211360x x x ⎧-≤⎪⎨⎪-->⎩，则函数定义域()D x =∅． （3）2ln(32)y x x =-+-；解：依题意有2320x x -+->，则函数定义域{}()|12D x x x =<<． （4）312x x y -=；解：依题意有30x x -≠，则函数定义域{}()|x 0,1D x x x =-∞<<+∞≠±且．（5）1sin1,121;x y x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩, ， 解：依题意有定义域{}()|D x x x =-∞<<+∞． （6）1arctan y x=解：依题意有030x x ≠⎧⎨-≥⎩，则函数定义域{}()|3x 0D x x x =≤≠且． 2．已知()f x 定义域为[0,1]，求2(), (sin ), (), ()()f x f x f x a f x a f x a +++-(0a >)的定义域．解：因为()f x 定义域为[0,1]，所以当201x ≤≤时，得函数2()f x 的定义域为[1,1]-；当0sin 1x ≤≤时，得函数(sin )f x 定义域为[2π,(21)π]k k +； 当01x a ≤+≤时，得函数()f x a +定义域为[,1]a a --+；当0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩时，得函数()()f x a f x a ++-定义域为：（1）若12a <，[],1x a a ∈-；（2）若12a =，12x =；（3）若12a >，x ∈∅． 3．设21()1,f x x ⎛⎫=- ⎝其中0,a >求函数值(2),(1)f a f ．解：因为21()1f x x ⎛⎫=- ⎝，则 2211(2)142a f a a a a -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，20 ,>1,11(1)1 2 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩⎝⎭． 4．设1||1,()0||1,()21|| 1.xx f x x g x x <⎧⎪===⎨⎪->⎩，求(())f g x 与(())g f x ，并做出函数图形．解：121(())0211 21x x xf g x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，即10(())001 0x f g x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩，1012||1(())2||12||1x g f x x x -⎧<⎪==⎨⎪>⎩，即2||1(())1||11 ||12x g f x x x ⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪>⎩，函数图形略．5．设1,0,()1,0,x x f x x +<⎧=⎨≥⎩试证：2,1,[()]1, 1.x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩证明：1(),()0[()]1,()0f x f x f f x f x +<⎧=⎨≥⎩，即2,1,[()]1,1x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩，得证． 6．下列各组函数中，()f x 与()g x 是否是同一函数？为什么？ （1）))()ln ,()ln 3f x x g x ==- ；不是，因为定义域和对应法则都不相同． （2）()()f x g x ==； 是．（3）22()2,()sec tan f x g x x x ==-； 不是，因为对应法则不同． （4）2()2lg ,()lg f x x g x x ==； 不是，因为定义域不同．7．确定下列函数在给定区间内的单调性： （1）3ln y x x =+，(0,)x ∈+∞；解：当(0,)x ∈+∞时，函数13y x =单调递增，2ln y x =也是单调递增，则12y y y =+在(0,)+∞内也是递增的．（2）1xy x-=-，(,1)x ∈-∞． 解：(1)111111x x y x x x ---===+---，当(,1)x ∈-∞时，函数11y x =-单调递增，则21111y y x ==-是单调递减的，故原函数1x y x-=-是单调递减的．8. 判定下列函数的奇偶性．（1）lg(y x =+；解：因为1()lg(lg(lg(()f x x x x f x --=-+==-+=-， 所以lg(y x =+是奇函数．（2）0y =；解：因为()0()f x f x -==，所以0y =是偶函数． （3）22cos sin 1y x x x =++-；解：因为2()2cos sin 1f x x x x -=+--，()()()()f x f x f x f x -≠-≠-且，所以22cos sin 1y x x x =++-既非奇函数，又非偶函数．（4）2x xa a y -+=.解：因为()()2x x a a f x f x -+==，所以函数2x xa a y -+=是偶函数．9．设()f x 是定义在[,]l l -上的任意函数，证明：（1）()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数； （2）()f x 可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：（1）令()()(),()()()g x f x f x h x f x f x =+-=--，则()()()(),()()()()g x f x f x g x h x f x f x h x -=-+=-=--=-，所以()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数．（2）任意函数()()()()()22f x f x f x f x f x +---=+，由（1）可知()()2f x f x +-是偶函数，()()2f x f x --是奇函数，所以命题得证． 10．证明：函数在区间I 上有界的充分与必要条件是：函数在I 上既有上界又有下界.证明：（必要性）若函数()f x 在区间I 上有界，则存在正数M ，使得x I ∈，都有()f x M ≤成立，显然()M f x M -≤≤，即证得函数()f x 在区间I 上既有上界又有下界（充分性）设函数()f x 在区间I 上既有上界2M ，又有下界1M ，即有12()()f x M f x M ≥≤且，取12max{,}M M M =，则有()f x M ≤，即函数()f x 在区间I 上有界．11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期： （1）|sin |y x =；周期函数，周期为π． （2）1sin πy x =+；周期函数，周期为2． （3）tan y x x =； 不是周期函数． （4）2cos y x =.周期函数，周期为π．12．求下列函数的反函数：（1）331xx y =-；解：依题意，31x y y =-，则3log 1y x y =-，所以反函数为13()log ,(,0)(1,)1xf x x x -=∈-∞⋃+∞-．（2）()ax b y ad bc cx d+=≠+；解：依题意，b dy x cy a -=-，则反函数1()()b dx f x ad bc cx a--=≠-．（3）(lg y x =；解：依题意，1(1010)2y y x -=+，所以反函数11()(1010),2x x f x x R --=+∈．（4）ππ3cos 2,44y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．解：依题意，arccos32yx =，所以反函数1arccos 3(),[0,3]2x f x x -=∈． 13．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值1x 和2x 的函数值：（1）212e ,1,0,2u y u x x x ====＋；（2）2121,e 1,1,1,1v y u u v x x x =+=-=+==-． 解：（1）215()e ,(0),(2)x y f x f e f e +====（2）12()(e 1)1x y f x +==-+，42(0)22f e e =-+，(1)1f -=．14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r ，高为H ．当倒进溶液后液面的高度为h 时，溶液的体积为V ．试把h 表示为V 的函数，并指出其定义区间．解：依题意有2πV r h =，则22,[0,π]πVh V r H r=∈． 15．某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要的前提下，为了节约用水，制定了如下收费方法：每户居民每月用水量不超过4.5吨时，水费按0.64元／吨计算．超过部分每吨以5倍价格收费．试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系．并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的用水费用．解：依题意有0.64,0 4.5() 4.50.64( 4.5) 3.2, 4.5x x f x x x ≤≤⎧=⎨⨯+-⨯>⎩，所以(3.5) 2.24(4.5) 2.88(5.5) 6.08f f f ===元，元，元．习 题 1-21．设21(1,2,3,)31n n a n n +==+L ，（1） 求110100222||,||,||333a a a ---的值；（2） 求N ，使当n N >时，不等式42||103n a --<成立；（3） 求N ，使当n N >时，不等式2||3n a ε-<成立．解：(1) 12321||||,34312a -=-= 1022121||||,331393a -=-=100220121||||33013903a -=-=．（2） 要使 42||10,3n a --< 即 4113310<（n+1）， 则只要9997,9n >取N ＝99971110,9⎡⎤=⎢⎥⎣⎦故当n>1110时，不等式42||103n a --<成立． （3）要使2||3n a ε-<成立，13,9n εε-> 取139N εε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，那么当n N >时， 2||3n a ε-<成立.2．根据数列极限的定义证明：（1）1lim 0!n n →∞=； （2）1n →∞=． 解：（1）0ε∀>， 要使111|0|!!n n n ε-<<＝， 只要取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 所以，对任意0ε>，存在1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1|0|!n ε-<，则1lim 0!n n →∞=.(2) 0ε∀>,要使221|2nε=<<, 即n >,只要取N =,所以,对任意的ε>0,存在N =, 当n N >, 总有|1|ε<, 则1n →∞=. 3．若lim n n x a →∞=，证明lim ||||n n x a →∞=．并举例说明：如果数列}{||n x 有极限，但数列}{n x 未必有极限．证明: 因为lim n n x a →∞=, 所以0ε∀>, 1N ∃, 当1n N >时, 有||n x a ε-<.不妨假设a>0, 由收敛数列的保号性可知:2N ∃, 当2n N >时, 有0n x >, 取{}12max ,N N N =, 则对0ε∀>, N ∃, 当n N >时, 有||||||||n n x a x a ε-=-<.故lim ||||n n x a →∞=. 同理可证0a <时, lim ||||n n x a →∞=成立. 反之,如果数列{}||n x 有极限, 但数列{}||n x 未必有极限.如：数列()1nn x =-, ||1n x =， 显然lim ||1n n x →∞=, 但lim n n x →∞不存在．4．设数列{}n x 有界，又lim 0n n y →∞=．证明：lim 0n n n x y →∞=． 证明: 依题意,存在M>0, 对一切n 都有||n x M ≤， 又lim 0n n y →∞=, 对0ε∀>, 存在N ,当n N>时,|0|n y ε-<, 因为对上述N , 当n N>时,|0|||||n n n n n x y x y M y M ε-=≤<,由ε的任意性, 则lim 0n n n x y →∞=． 5．设数列{}n x 的一般项(3)π2n n x +=，求lim n n x →∞． 解: 因为0x =, (3)π|cos |12n +≤, 所以 (3)π02x n +=. 6．对于数列{}n x ，若21()k x A k -→→∞，2()k x A k →→∞，证明：()n x A n →→∞．证明: 由于21lim k k x A -→∞=, 所以, 0ε∀>, 10N ∃>, 当1>k N 时，有21||k x A ε--<, 同理, 0ε∀>,20N ∃>, 当2k N >时, 有2||k x A ε-<．取N =max {}12,N N , 0ε∀>, 当n N >时, ||n x A ε-<成立, 故()n x A n →→∞．习 题 1-31．当1x →时，234y x =+→．问δ等于多少，使当|1|x δ-<时，|4|0.01y -<？解：令 1|1|2x -<，则35|1|22x <+<，要使225|4||34||1||1||1||1|0.012y x x x x x -=+-=-=-+<-<， 只要|1|0.004x -<，所以取0.004δ=，使当 |1|x δ-< 时，|4|0.01y -<成立．2．当x →∞时，222123x y x +=→-．问X等于多少，使当||x X >时，|2|0.001y -<？解：要使222217|2||2|3|3|x y x x +-=-=--<0.001, 只要2|3|7000x ->, 即237000x ->. 因此,只要||x >,所以取X3．根据函数极限的定义证明：（1）3lim(21)5x x →-=； （2）35lim 31x x x →∞+=-； （3）224lim42x x x →--=-+；（4）lim 0x =. 证明:(1) 由于|(21)5|2|3|x x --=-, 任给0ε>,要使|(21)5|x ε--<,只要|3|2x ε-<．因此取2εδ=,则当0|3|x δ<-<时, 总有|(21)5|x ε--<,故3lim(21)5x x →-=．(2) 由于358|3|1|1|x x x +-=--,任给0ε>, 要使35|3|1x x ε+-<-,只要8|1|x ε<-,即81x ε>+或81x ε<-, 因为0ε>,所以88|1||1|εε+>-, 取8|1|M ε=+，则当||x M >时, 对0ε∀>,总有35|3|1x x ε+-<-,故有35lim 31x x x →∞+=-． (3)由于24|(4)||2|2x x x ---=++,任给0ε>,,要使24|(4)|2x x ε---<+,只要|2|x ε+<,因此取δε=,则当0|(2)|x δ<--<时,总有24|(4)|2x x ε---<+,故224lim 42x x x →--=-+. (4) 由于0|-=,任给0ε>,要使0|ε-<,只要ε<,即21x ε>,因此取21M ε=,则当x>M 时,总有0|ε-<,故lim 0x =. 4．用X ε-或εδ-语言，写出下列各函数极限的定义： （1）lim ()1x f x →-∞=； （2）lim ()x f x a →∞=； （3）lim ()x a f x b +→=； （4）3lim ()8x f x -→=-．解: (1) 0,ε∀> 0M ∃>, 当x<-M 时, 总有|()1|f x ε-<;(2) 0,ε∀> 0M ∃>, 当||x M >, 总有|()|f x a ε-<;(3) 0,ε∀> 0δ∃>, 当a x a δ<<+时, 总有|()|f x b ε-<; (4) 0,ε∀> 0δ∃> 当33x δ-<<时, 总有|()8|f x ε+<． 5．证明:0lim ||0x x →=. 证明: 由于00lim ||lim 0x x x x ++→→==, 00lim ||lim()0x x x x --→→=-=,所以0lim ||0x x →=. 6．证明：若x →+∞及x →-∞时，函数()f x 的极限都存在且都等于A ，则lim ()x f x A →∞=． 证明: 由于lim ()x f x A→+∞=,则对0ε∀>,10M ∃>,当1x M >时,有|()|f x A ε-<．又lim ()x f x A→-∞=,则20M ∃>,当2x M <-,有|()|f x A ε-<.取{}12max ,M M M =那么对0ε∀>,当||x M>时,总有|()|f x A ε-<,故有lim ()x f x A →∞=.习 题 1-41．根据定义证明：（1）211x y x -=+为当1x →时的无穷小；（2）1sin y x x=为当x →∞时的无穷小；（3）13xy x+=为当0x →时的无穷大．证明:(1) 0ε∀>,因为21|0||1|1x x x --=-+,取δε=,则当0|1|x δ<-<时, 总有0x ≠,故 211lim 01x x x →-=+．(2) 0ε∀>,因为111|sin 0||sin |||||x x xx x -=≤,取1M ε=, 则当||x M >时,总有1|sin |1|sin 0|||||x x x x x ε-=≤<, 故1lim sin 0x x x→∞=.(3) 0M ∀>, 13M δ∃=+,当0||x δ<<时,总有1311|||3|3||x M xx x +=+>->,所以013limx xx→+=∞. 2．函数sin y x x =在(0,)+∞内是否有界？该函数是否为x →+∞时的无穷大？解答: 取2πn x n =,则0n y =,因此当2πn x n =()n →∞时, ()0n n y x →→+∞故函数sin y x x = 当x →+∞时,不是无穷大量．下证该函数在()0,+∞内是无界的.M ∀>,π2π2n x n ∃=+且()n x n →+∞→∞,πππ2πsin 2π2π222n y n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取[]01N M =+, 00π2π(0,)2x N ∃=+∈+∞,有0π2π2n y N M =+≥，所以sin y x x =是无界的.3．证明：函数11cos y xx=在区间(0,1]上无界，但这函数不是0x +→时的无穷大．证明: 令1t x=,类似第2题可得．习 题 1-51．求下列极限：（1）23231lim 41n n n n n →∞+++-； （2）111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦L ； （3）22212lim n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭L ； （4）1132lim 32n nn n n ++→∞+-； （5）2211lim 54x x x x →--+； （6）3221lim 53x x x x →+-+； （7）lim x →+∞-；（8）2221lim 53x x x x →∞+++； （9）330()limh x h x h→+-；（10）2121lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭； （11）23lim 531x x xx x →∞+-+； （12）x → （13）3lim 21x x x →∞+； （14）3lim(236)x x x →∞-+．解:(1) 23231lim 41n n n n n →∞+++- = 233311lim 0411n n n n n n→∞++=+-． (2) 111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦L = 111111lim ()()()12231n n n →∞⎡⎤-+-++-⎢⎥+⎣⎦L = 1lim(1)11n n →∞-=+． (3) 22212lim n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭L =21(1)12lim 2n n n n →∞+=． (4) 1132lim 32n nn n n ++→∞+-=21()13lim 2332()3n n n →∞+=-⋅． (5) 2211lim 54x x x x →--+=1(1)(1)lim (1)(4)x x x x x →-+--=112lim 43x x x →+=--．(6) 3221lim 53x x x x →+-+=322132523+=--⨯+．(7) lim x →+∞=limx=lim x111lim 2x -=．(8) 2221lim53x x x x →∞+++=2212lim 2531x x x x→∞+=++． (9) 330()lim h x h x h →+-=322330(33)limh x x h xh h x h→+++-=3220lim(33)3h x xh h x →++=． (10) 2121lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭=212(1)lim 1x x x →-+⎛⎫⎪-⎝⎭=1(1)lim (1)(1)x x x x →--+ =111lim 12x x →=+． (11) 23lim 531x x x x x →∞+-+=22311lim 0315x x x x x→∞+=-+．(12) x →=x →=1x →．(13) 3lim 21x x x →∞+=2lim12x x x→∞=+∞+． (14) 3lim(236)x x x →∞-+=32336lim (2)x x x x→∞-+=∞． 2．设e ,0,()2,0.x x f x x a x ⎧<=⎨+≥⎩ 问当a 为何值时，极限0lim ()x f x →存在． 解：因为lim ()lim e 1,lim ()lim(2)x x x x x f x f x x a a --++→→→→===+=，所以，当00lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a =时，0lim ()x f x →存在．3．求当x 1→时，函数1211e 1x x x ---的极限．解：因为11211111lim e lim(1)e 0,1x x x x x x x ----→→-=+=- 11211111lim e lim(1)e ,1x x x x x x x ++--→→-=+=+∞- 所以12111lim e 1x x x x -→--不存在。

高数课后习题九详细答案

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第9章课后习题详解 重积分课后习题全解习题9-1★1.设有一平面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布着面密度为),(y x μμ=的电荷，且),(y x μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q .解：将D 任意分割成n 个小区域{}i σ∆，在第i 个小区域上任取一点),(i i ηξ，由于),(y x μ在D 上连续和i σ∆很小，所以用),(i i ηξμ作为i σ∆上各点函数值的近似值，则i σ∆上的电荷i i i i Q σηξμ∆≈∆),(从而该板上的全部电荷⎰⎰∑=∆==→Dni i i i d y x Q σμσηξμλ),(),(lim 1其中λ是各i σ∆中的最大直径。

★★2.利用二重积分定义证明：（1）σσ=⎰⎰Dd （σ为区域D 的面积）；（2）⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf σσ),(),(（其中k 为常数）；（3）⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),(),(),(D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ，其中21D D D=, 21,D D 为两个无公共内点的闭区域。

证明：（1）这里，被积函数1),(≡y x f ，由二重积分的定义，对任意分割和取点法，=∙⎰⎰Dd σ1∑∑=→=→∆∙=∆n i i ni iiif 111lim ),(lim σσηξλλ∑=→∆=ni i 1lim σλσσλ==→0lim ，∴σσ=⎰⎰Dd ，其中λ是各iσ∆中的最大直径。

（2）=⎰⎰Dd y x kf σ),(∑∑=→=→∆=∆ni i i i ni iiif k kf 101),(lim ),(lim σηξσηξλλ∑=→∆=ni i i i f k 1),(lim σηξλ⎰⎰=Dd y x f k σ),(（3）将1D 任意分割成1n 个小区域{}1i σ∆，1λ是其各小区域的最大直径，将2D 任意分割成2n 个小区域{}2i σ∆，2λ有类似的意义。

高数课后习题答案及其解析

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第一章习题 习题1.11.判断下列函数是否相同: ①定义域不同;②定义域对应法则相同同;2.解 25.125.01)5.0(,2)5.0(=+=-=f f5.解 ① 10,1,1222≤≤-±=-=y y x y x② +∞<<-∞+=+=-=-=y be b c x e c bx c bx e c bx e ay ay a y a y ,,,),ln(ln 6.解 ① x v v u u y sin ,3,ln 2=+== ② 52,arctan 3+==x u u y 习题1.24.解:① 无穷大 ② 无穷小 ③ 负无穷大 ④ 负无穷大 ⑤ 无穷小 ⑥ 无穷小5.求极限：⑴ 21lim 2lim 3)123(lim 13131=+-=+-→→→x x x x x x x⑵ 51)12(lim )3(lim 123lim 22222=+-=+-→→→x x x x x x x⑶ 0tan lim=∞→xxa x⑷-∞=∞--=------=----=+--→→→→32)1)(4(1lim )1)(4()1(2lim )1)(4(122lim 4532lim 11121x x x x x x x x x x x x x x x⑸ 4123lim )2)(2()2)(3(lim 465lim 22222-=+-=-+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x x ⑹ )11)(11()11(lim 11lim22220220x x x x x x x x +++-++=+-→→2)11(lim )11(lim 202220-=++-=-++=→→x xx x x x ⑺ 311311lim 131lim 22=++=+++∞→+∞→xx x x x x⑻2132543232lim 25342332lim =⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⋅+⋅⋅+⋅+∞→+∞→x xx x x x x x ⑼ 133)1)(1()2)(1(lim 12lim 1311lim 2132131-=-=+-+-+=+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-→-→-→x x x x x x x x x x x x x ⑽011lim )1()1)(1(lim)1(lim =++=++++-+=-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n n n⑾ 1lim 1231lim 22222==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→∞→n n n n n n x x ⑿221121211lim2121211lim 2=-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→n n n n 6.求极限 ⑴ 414tan lim0=→x x x⑵ 111sinlim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x⑶ 2sin 2lim sin sin 2lim sin 2cos 1lim0200===-→→→xxx x x x x x x x x ⑷ x x n nn =⋅∞→2sin 2lim⑸ 21sin lim 212arcsin lim00==→→y y x x y x ⑹111sinlim1sin lim 1sinlim 22222-=-=-=-∞→-∞→-∞→x x x x x x x x x ⑺ k k xx k xx xkx e x x x x ----→---→-→=--=-=-])1()1[(lim )1(lim )1(lim2)(12)(120⑻ 22211lim 1lim e x x x x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅∞→∞→⑼ 313tan 311cot 0])tan 31()tan 31[(lim )tan 31(lim e x x x xx x x =++=+→+→⑽ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→32321lim x x x 343)34(23])321()321[(lim ---∞→=-⋅-e xx xx ⑾ []1)31(lim )31(lim )31(lim 03133311==+=+=+⋅-+∞→⋅⋅-+∞→-+∞→--e xx x x x x x x x x xxx⑿ 1333111lim 1111lim 1lim -+∞→+∞→+∞→==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+e ex x x x x x x x x x习题1.31、⑴ 因为函数在x=1点处无定义，)2)(1()1)(1()(--+-=x x x x x f ，但是2)(lim 1-=→x f x ，x=1点是函数的第一类间断点（可去）。

高等数学课后答案-第六章-习题详细解答

高等数学课后答案-第六章-习题详细解答

习 题 6—11、在平行四边形ABCD 中, 设−→−AB =a , −→−AD =b . 试用a 和b 表示向量−→−MA 、−→−MB 、−→−MC 、−→−MD , 其中M 是平行四边形对角线的交点.解： 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以a +b −→−−→−==AM AC 2, 即 -(a +b )−→−=MA 2, 于是 21-=−→−MA (a +b ).因为−→−−→−-=MA MC , 所以21=−→−MC (a +b ). 又因-a +b −→−−→−==MD BD 2, 所以21=−→−MD (b -a ). 由于−→−−→−-=MD MB , 所以21=−→−MB (a -b ).2、若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形.证： =,BM =，∴=+=+BM =与 平行且相等,结论得证.3、 求起点为)1,2,1(A ，终点为)1,18,19(--B 的向量→AB 与12AB −−→-的坐标表达式.解：→AB =j i k j i 2020)11()218()119(--=-+--+--={20,20,0}--, 12AB −−→-={10,10,0}4、 求平行于a ={1，1，1}的单位向量.解：与a 平行的单位向量为{}1,1,131±=±a a .5、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(1,1,1),A - (1,1,1),B -(1,1,1),C -- (1,1,1).D -- 解： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ.6、 求点),,(z y x M 与x 轴，xOy 平面及原点的对称点坐标.解：),,(z y x M 关于x 轴的对称点为),,(1z y x M --，关于xOy 平面的对称点为),,(2z y x M -，关于原点的对称点为),,(3z y x M ---.7、已知点A(a, b, c), 求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）. 解：分别为),0,0(),0,,0(),0,0,(),,0,(),,,0(),0,,(c b a c a c b b a .8、过点(,,)P a b c 分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？解：平行于z 轴的直线上面的点的坐标：x a,y b,z R ==∈；平行于xOy 面的平面上的点的坐标为 z c,x,y R =∈.9、求点P (2,-5,4)到原点、各坐标轴和各坐标面的距离.解：到原点的距离为x y 轴的距离为到z10、 求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：222212(74)(13)(21)14M M =-+-+-=,222223(57)(21)(32)6M M =-+-+-= 222213(45)(32)(13)6M M =-+-+-=，即1323M M M M =，因此结论成立.11、 在yoz 坐标面上，求与三个点A(3, 1, 2), B(4, -2, -2), C(0, 5, 1)等距离的点的坐标. 解：设yoz 坐标面所求点为),,0(z y M ，依题意有||||||MC MB MA ==，从而222)2()1()30(-+-+-z y 222)2()2()40(++++-=z y222)2()1()30(-+-+-z y联立解得2,1-==z y ，故所求点的坐标为)2,1,0(-.12、 z 轴上，求与点A(-4, 1, 7), 点B(3, 5,-2)等距离的点. 解：设所求z 轴上的点为),0,0(z ，依题意：222)7()10()40(-+-++z 222)2()50()30(++-+-=z ，两边平方得914=z ，故所求点为)914,0,0(.13、 求λ使向量}5,1,{λ=a 与向量}50,10,2{=b 平行. 解：由b a //得5051012==λ得51=λ.14、 求与y 轴反向，模为10的向量a 的坐标表达式. 解：a =j j 10)(10-=-⋅={0,10,0}-.15、求与向量a ={1，5，6}平行，模为10的向量b 的坐标表达式. 解：}6,5,1{6210==a a a ,故 {}6,5,16210100±=±=a b .16、 已知向量6410=-+a i j k ，349=+-b i j k ，试求： （1）2+a b ； （2）32-a b ．解：（1） 264102(349)1248i a b i j k i j k j k +=-+++-=+-; （2）323(6410)2(349)=122048a b =i j k i j k i j k --+-+--+.17、已知两点A 和(3,0,4)B ，求向量AB 的模、方向余弦和方向角．解： 因为(1,1)AB =-, 所以2AB =,11cos ,cos 22αβγ===-,从而π3α=,3π4β=,2π3γ=.18、设向量的方向角为α、β、γ．若已知其中的两个角为π3α=，2π3β=．求第三个角γ． 解： π3α=,2π3β=,由222cos cos cos 1αβγ++=得21cos 2γ=.故π4γ=或3π4.19、 已知三点(1,0,0)=A ，(3,1,1)B ，(2,0,1)C ，求：（1）BC 与CA 及其模；（2）BC 的方向余弦、方向角；（3）与BC 同向的单位向量.解：（1）由题意知{}{}23,01,111,1,0,BC =---=--{}{}12,00,011,0,1,CA =---=-- 故 2,2==BC CA .（2）因为{}1,1,0,=--BC 所以，由向量的方向余弦的坐标表示式得：cos 0αβγ===，方向角为：3,42ππαβγ===.（3）与BC 同向的单位向量为：oa =⎧⎫=⎨⎬⎩⎭BCBC .20、 设23,23,34,m i j k n i j k p i j k =++=+-=-+和23a m n p =+-求向量在x 轴上的投影和在y 轴上的分向量.解：2(23)3(23)(34)5114a i j k i j k i j k i j k =++++---+=+-.故向量a 在x 轴上的投影5=x a ，在y 轴上的投影分量为11y a j =.21、一向量的终点为点B(-2,1,-4),它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为3，-3和8，求这向量起点A 的坐标.解：设点A 为（x, y, z ）,依题意有：84,31,32=---=-=--z y x ， 故12,4,5-==-=z y x ，即所求的点A （-5， 4，-12）.22、 已知向量a 的两个方向余弦为cos α=72 ,cos β=73, 且a 与z 轴的方向角是钝角.求cos γ. 解：因222cos cos cos 1,αβγ++=22223366cos 1cos 77497γγ=-==±故（）—（），，又γ是钝角，所以76cos -=γ.23、设三力1232234F ,F ,F i j i j k j k =-=-+=+作用于同一质点，求合力的大小和方向角.解： 合力123(2)(234)()F F F F i k i j k j k =++=-+-+++323i j k =-+，因此，合力的大小为|F |=合力的方向余弦为,222cos ,cos 223cos -===βγα因此παγβ===-习 题 6—21、 {}0,0,1=a ，{}0,1,0=b ，)1,0,0(=c ，求⋅a b ，c a ⋅，c b ⋅，及a a ⨯，b a ⨯，c a ⨯，c b ⨯. 解：依题意，i a =，j b =，k c =，故0=⋅=⋅j i b a ，0=⋅=⋅k i c a ，0=⋅=⋅k j c b .0=⨯=⨯i i a a ，k j i b a =⨯=⨯，j k i c a -=⨯=⨯，i k j c b =⨯=⨯.2、 }}{{1,2,2,21,1==b a ,，求b a ⋅及b a ⨯ .a 与b的夹角余弦. 解：（1）121221⋅=⨯+⨯+⨯=a b 6, 112221⨯==i j ka b }{3,3,0-.(2)cos a b a b a b θ++==3、 已知 π5,2,,3∧⎛⎫=== ⎪⎝⎭a b a b ，求23a b -解：()()2232323-=-⋅-a b a b a b 22412976=-⋅+=a a b b ，∴ 23-=ab4、 证明下列问题：1）证明向量}{1,0,1=a 与向量}{1,1,1-=b 垂直. 2） 证明向量c 与向量()()a c b b c a ⋅-⋅垂直. 证：1）01110)1(1=⨯+⨯+-⨯=⋅b a ,^π(,)2a b ∴=，即a 与b 垂直. 2） [()()]⋅-⋅⋅a c b b c a c [()()]=⋅⋅-⋅⋅a c b c b c a c ()[]=⋅⋅-⋅c b a c a c 0=[()()]∴⋅-⋅⊥a c b b c a c .5、 求点)1,2,1(M 的向径OM 与坐标轴之间的夹角.解：设OM 与x 、y 、z 轴之间的夹角分别为γβα,,，则211)2(11cos 22=++==α,22cos ==β, 21cos ==γ. 3π=∴α, 4π=β, 3π=γ.6、 求与k j i a ++=平行且满足1=⋅x a 的向量x .解：因x a //, 故可设{}λλλλ,,==a x ，再由1=⋅x a 得1=++λλλ，即31=λ，从而⎭⎬⎫⎩⎨⎧=31,31,31x .7、求与向量324=-+a i j k ，2=+-b i j k 都垂直的单位向量.解：=⨯=xy z x y zij kc a b a a a b b b 324112=--i j k =105+j k，||10==c 0||∴=c c c=.⎫±+⎪⎭j8、 在顶点为)2,1,1(-A 、)2,6,5(-B 和)1,3,1(-C 的三角形中，求三角形ABC 的面积以及AC 边上的高BD .解：{0,4,3},{4,5,0}AC AB =-=-,三角形ABC 的面积为,22516121521||21222=++=⨯=AB C A S ||||21,5)3(4||22BD S ==-+= ||521225BD ⋅⋅= .5||=∴BD9、 已知向量≠0a ，≠0b ，证明2222||||||()⨯=-⋅a b a b a b .解 2222||||||sin ()∧⨯=⋅a b a b ab 222||||[1cos ()]∧=⋅-a b ab 22||||=⋅a b 222||||cos ()∧-⋅a b ab 22||||=⋅a b 2().-⋅a b10、 证明：如果++=0a b c ，那么⨯=⨯=⨯b c c a a b ，并说明它的几何意义.证： 由++=0a b c , 有()++⨯=⨯=00a b c c c , 但⨯=0c c ，于是⨯+⨯=0a c b c ,所以⨯=-⨯=⨯b c a c c a . 同理 由()++⨯=0a b c a , 有 ⨯=⨯c a a b ,从而 ⨯=⨯=⨯b c c a a b .其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.11、 已知向量23,3=-+=-+a i j k b i j k 和2=-c i j ，计算下列各式：（1）()()⋅-⋅a b c a c b （2）()()+⨯+a b b c （3）()⨯⋅a b c （4）⨯⨯a b c 解： （1）()()8(2)8(3)⋅-⋅=---+=a b c a c b i j i j k 824--j k .(2) 344,233+=-++=-+a b i j k b c i j k ，故()()+⨯+a b b c 344233=-=-i jk--j k . （3）231()231(2)(85)(2)11311312-⨯⋅=-⋅-=--+⋅-=-=--i jk a b c i j i j k i j 2. （4）由（3）知85,()851120⨯=--+⨯⨯=--=-i jka b i j k a b c 221++i j k .习 题 6—31、已知)3,2,1(A ，)4,1,2(-B ，求线段AB 的垂直平分面的方程. 解：设),,(z y x M 是所求平面上任一点，据题意有|,|||MB MA =()()()222321-+-+-z y x ()()(),412222-+++-=z y x化简得所求方程26270x y z -+-=.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.2、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 平面等距离，求该动点的轨迹方程.解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则(,,)M x y z C MA z ∈⇔= 亦即z z y x =++-222)4( 0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x .3、 求下列各球面的方程：（1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-；（3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(222=-+++-z y x （2）由已知，半径73)2(6222=+-+=R ，所以球面方程为49222=++z y x（3）由已知，球面的球心坐标1235,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ， 球的半径21)35()31()24(21222=++++-=R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x（4）设所求的球面方程为：0222222=++++++l kz hy gx z y x因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==2210k g h l∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x .4、将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程． 解：222x y z +=(旋转抛物面) .5、将zOx 坐标面上的双曲线12222=-c z a x 分别绕x 轴和z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．解： 绕x 轴旋转得122222=+-c z y a x 绕z 轴旋转得122222=-+cz a y x .6、指出下列曲面的名称，并作图：（1）22149x z +=；（2）22y z =；（3）221x z += ；（4）22220x y z x ++-=； （5）222y x z +=；（6）22441x y z -+=；（7）221916x y z ++=；（8）222149x y z -+=-；（9）1334222=++z y x ；（10）2223122z y x +=+.解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面.7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？ （1）1+=x y ；（2）422=+yx ；（3）122=-y x ；（4）22x y =.解：（1）1+=x y 在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面； （2）422=+y x 在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面； （3）122=-y x 在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；（4）y x22=在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.8、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？（1）1994222=++z y x ；（2）14222=+-z y x （3）1222=--z y x ；（4）222)(y x a z +=- 解：（1）xOy 平面上椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上椭圆22149+=x z 绕x 轴旋转而成（2）xOy 平面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转而成；或者 yOz 平面上的双曲线2214-=y z 绕y 轴旋转而成（3）xOy 平面上的双曲线122=-y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上的双曲线221x z -=绕x 轴旋转而成 （4）yOz 平面上的直线a y z +=绕z 轴旋转而成或者 xOz 平面上的直线z x a =+绕z 轴旋转而成.9、 画出下列各曲面所围立体的图形：（1）012243=-++z y x 与三个坐标平面所围成；（2）42,42=+-=y x x z 及三坐标平面所围成； （3）22=0,(0)=1z z =a a >,y =x,x +y 及0x =在第一卦限所围成；（4）2222,8z x y z x y =+=--所围. 解：（1）平面012243=-++z y x 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体； （2）抛物柱面24z x =-与平面24x y +=及三坐标平面所围成；（3）坐标面=0z 、0x =及平面(0)z =a a >、y=x 和圆柱面22=1x +y 在第一卦限所围成； （4）开口向上的旋转抛物面22z x y =+与开口向下的抛物面228z x y =--所围.作图略.习 题 6—41、画出下列曲线在第一卦限内的图形（1）⎩⎨⎧==21y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=---=0422y x y x z ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222222a z x ay x解：（1）是平面1x =与2y =相交所得的一条直线； （2）上半球面z 与平面0x y -=的交线为14圆弧； （3）圆柱面222x y a +=与222x z a +=的交线.图形略.2、分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程.解：消去x 坐标得16322=-z y ，为母线平行于x 轴的柱面；消去y 坐标得：162322=+z x ，为母线平行于y 轴的柱面.3、求在yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.解：⎩⎨⎧==+0122x z y ；⎩⎨⎧==++01222x z y x ； ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++1122222z y z y x .4、试求平面20x -=与椭球面222116124x y z ++=相交所得椭圆的半轴与顶点.解：将椭圆方程22211612420x y z x ⎧++=⎪⎨⎪-=⎩化简为：221932y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，可知其为平面2=x 上的椭圆，半轴分别为3,3，顶点分别为)3,0,2(),3,0,2(),0,3,2(),0,3,2(--.5 、将下面曲线的一般方程化为参数方程（1）2229x y z y x ⎧++=⎨=⎩； （2）⎩⎨⎧==+++-04)1()1(22z z y x解：（1）原曲线方程即：⎪⎩⎪⎨⎧=+=199222z x xy ，化为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≤==tz t t y t x sin 3)20(cos 23cos 23π；（2）)20(0sin 3cos 31πθθθ≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=z y x .6、求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：⎩⎨⎧==+0222z a y x ；⎪⎩⎪⎨⎧==0sin x b z a y ；⎪⎩⎪⎨⎧==0cosy b z a x .7、指出下列方程所表示的曲线（1）222253⎧++=⎨=⎩x y z x （2）⎩⎨⎧==++13094222z z y x ；（3）⎩⎨⎧-==+-3254222x z y x ； （4）⎩⎨⎧==+-+408422y x z y ； （5）⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0214922x z y . 解：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线.8、 求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xOy 面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线.解：原曲线即：⎩⎨⎧=-=3922z x y ，是位于平面3=z 上的抛物线，在xOy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧=-=0922z x y9、 求曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==++211222z z y x 在坐标面上的投影. 解：（1）消去变量z 后得,4322=+y x 在xOy 面上的投影为,04322⎪⎩⎪⎨⎧==+z y x 它是中心在原点，半径为23的圆周.（2）因为曲线在平面21=z 上，所以在xOz 面上的投影为线段.;23||,021≤⎪⎩⎪⎨⎧==x y z （3）同理在yOz 面上的投影也为线段..23||,21≤⎪⎩⎪⎨⎧==y x z10、 求抛物面x z y =+22与平面 02=-+z y x 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.解： 交线方程为⎩⎨⎧=-+=+0222z y x x z y ，（1）消去z 得投影,004522⎩⎨⎧==-++z x xy y x（2）消去y 得投影2252400x z xz x y ⎧+--=⎨=⎩，（3）消去x 得投影22200y z y z x ⎧++-=⎨=⎩.习 题 6—51、写出过点()3,2,10M 且以{}1,2,2=n 为法向量的平面方程. 解：平面的点法式方程为()()()032212=-+-+-z y x .2、求过三点()()()01,0,0,1,0,0,0,1C B A 的平面方程.解：设所求平面方程为0=+++d cz by ax ,将C B A ,,的坐标代入方程，可得d c b a -===，故所求平面方程为1=++z y x .3、求过点()1,0,0且与平面1243=++z y x 平行的平面方程. 解：依题意可取所求平面的法向量为}2,4,3{=n ,从而其方程为()()()0120403=-+-+-z y x 即 2243=++z y x .4、求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.解：平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为By +Cz =0.又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有-3B -C =0, 或C =-3B . 将其代入所设方程并除以B (B 0), 便得所求的平面方程为y -3z =0.5、求过点)1,1,1(，且垂直于平面7=+-z y x 和051223=+-+z y x 的平面方程.解：},1,1,1{1-=n }12,2,3{2-=n 取法向量},5,15,10{21=⨯=n n n所求平面方程为化简得:.0632=-++z y x6、设平面过原点及点)1,1,1(，且与平面8x y z -+=垂直，求此平面方程.解： 设所求平面为,0=+++D Cz By Ax 由平面过点)1,1,1(知平0,A B C D +++=由平面过原点知0D =，{1,1,1},n ⊥- 0A B C ∴-+=,0A C B ⇒=-=，所求平面方程为0.x z -=7、写出下列平面方程：（1）xOy 平面；（2）过z 轴的平面；（3）平行于zOx 的平面；（4）在x ，y ，z 轴上的截距相等的平面.解：（1）0=z ,（2）0=+by ax （b a ,为不等于零的常数）, （3）c y = (c 为常数), （4） a z y x =++ (0)a ≠.8、 求平行于0566=+++z y x 而与三个坐标面所围成的四面体体积为1的平面方程.解: 设平面为,1=++c z b y a x ,1=V 111,32abc ∴⋅=由所求平面与已知平面平行得,611161c b a ==化简得,61161c b a ==令tc t b t a t c b a 61,1,6161161===⇒===代入体积式 11111666t t t ∴=⋅⋅⋅ 1,6t ⇒=±,1,6,1===∴c b a 或1,6,1,a b c =-=-=-所求平面方程为666x y z ++=或666x y z ++=-.9、分别在下列条件下确定n m l ,,的值：（1）使08)3()1()3(=+-+++-z n y m x l 和016)3()9()3(=--+-++z l y n x m 表示同一平面； （2）使0532=-++z my x 与0266=+--z y lx 表示二平行平面； （3）使013=+-+z y lx 与027=-+z y x 表示二互相垂直的平面.解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：168339133-=--=-+=+-l n n m m l 即： ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=-+092072032n l m n l m ，解之得 97=l ，913=m ，937=n . （2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：6362-=-=m l ，所以4-=l ，3=m . （3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：7230l ++=所以： 57l=-.10、求平面011=-+y x 与083=+x 的夹角； 解：设011=-+y x 与083=+x 的夹角为θ，则cos θ ∴ 4πθ=.11、 求点(2,1,1)到平面2240x y z +-+=的距离. 解：利用点到平面的距离公式可得933d ===.习 题 6—61、求下列各直线的方程：（1）通过点)1,0,3(-A 和点)1,5,2(-B 的直线； （2） 过点()1,1,1且与直线433221-=-=-z y x 平行的直线. （3）通过点)3,51(-M 且与z y x ,,三轴分别成︒︒︒120,45,60的直线； （4）一直线过点(2,3,4)-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程. （5）通过点)2,0,1(-M 且与两直线11111-+==-z y x 和01111+=--=z y x 垂直的直线； （6）通过点)5,3,2(--M 且与平面02536=+--z y x 垂直的直线.解：（1）所求的直线方程为：015323-=-=++z y x 即：01553-=-=+z y x ，亦即01113-=-=+z y x . （2）依题意，可取L 的方向向量为{}4,3,2=s ，则直线L 的方程为413121-=-=-z y x . （3）所求直线的方向向量为：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=︒︒︒21,22,21120cos ,45cos ,60cos ，故直线方程为： 132511--=+=-z y x . （4）因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(-B 取{2,0,4},BA s −−→==所求直线方程.440322-=+=-z y x （5）所求直线的方向向量为：{}{}{}2,1,10,1,11,1,1---=-⨯-，所以，直线方程为：22111+==-z y x . （6）所求直线的方向向量为：{}5,3,6--，所以直线方程为： 235635x y z -++==--.2、求直线1,234x y z x y z ++=-⎧⎨-+=-⎩的点向式方程与参数方程.解 在直线上任取一点),,(000z y x ,取10=x ,063020000⎩⎨⎧=--=++⇒z y z y 解2,000-==z y .所求点的坐标为)2,0,1(-,取直线的方向向量{}{}3,1,21,1,1-⨯=s k j i kji34312111--=-=,所以直线的点向式方程为：,321041-+=--=-z y x 令102,413x y z t --+===--则所求参数方程: .3241⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=tz ty tx3、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦.（1）⎩⎨⎧=-+=+-0623022y x z y x 与⎩⎨⎧=-+=--+01420112z x z y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧--=+==212t z t y tx 与142475x y z --+==-. 解：（1）将所给的直线方程化为标准式为：4343223z y x =-=--43227-=--=-z y x 234234-==-- ∴二直线平行.又点)0,43,23(与点（7，2，0）在二直线上，∴向量⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--0,45,2110,432,237平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为：{}{}19,22,50,45,2114,3,2--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-，从而平面方程为：0)0(19)2(22)7(5=-+---z y x ，即0919225=++-z y x .（2）因为121475-≠≠-，所以两直线不平行，又因为0574121031=--=∆，所以两直线相交，二直线所决定的平面的法向量为{}{}{}1,1,35,7,412,1--=-⨯-，∴二直线所决定的平面的方程为：330x y z -++=.设两直线的夹角为ϕ，则cos ϕ==4、判别下列直线与平面的相关位置： （1）37423z y x =-+=--与3224=--z y x ；（2）723zy x =-=与8723=+-z y x ； （3）⎩⎨⎧=---=-+-01205235z y x z y x 与07734=-+-z y x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==4992t z t y t x 与010743=-+-z y x .解（1） 0)2(3)2()7(4)2(=-⨯+-⨯-+⨯-，而017302)4(234≠=-⨯--⨯-⨯，所以，直线与平面平行.（2） 0717)2(233≠⨯+-⨯-⨯,所以，直线与平面相交，且因为772233=--=，∴直线与平面垂直. （3）直线的方向向量为：{}{}{}1,9,51,1,22,3,5=--⨯-， 0179354=⨯+⨯-⨯，所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点)0,5,2(--M ，显然点在)0,5,2(--M 也在平面上（因为4(2)3(5)70⨯--⨯--=），所以，直线在平面上.（4）直线的方向向量为{}9,2,1-， 097)2(413≠⨯+-⨯-⨯∴直线与平面相交但不垂直.5、验证直线l ：21111-=-=-z y x 与平面π：032=--+z y x 相交，并求出它的交点和交角. 解： 032111)1(2≠-=⨯-⨯+-⨯∴直线与平面相交.又直线的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t z t y tx 211设交点处对应的参数为0t ，∴03)21()1()(2000=-+-++-⨯t t t ∴10-=t ，从而交点为（1，0，-1）. 又设直线l 与平面π的交角为θ，则：21662111)1(2sin =⨯⨯-⨯+-⨯=θ，∴6πθ=.6、确定m l ,的值，使： （1）直线13241zy x =+=-与平面0153=+-+z y lx 平行； （2）直线⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+=135422t z t y t x 与平面076=-++z my lx 垂直.解：（1）欲使所给直线与平面平行，则须：015334=⨯-⨯+l 即1l =-. （2）欲使所给直线与平面垂直，则须：3642=-=m l ，所以：8,4-==m l .7、求下列各平面的方程： （１）通过点)1,0,2(-p ，且又通过直线32121-=-=+z y x 的平面； （２）通过直线115312-+=-+=-z y x 且与直线⎩⎨⎧=--+=---052032z y x z y x 平行的平面； （３）通过直线223221-=-+=-z y x 且与平面0523=--+z y x 垂直的平面；（4）. 求过点(2,1,0)M 与直线2335x t y t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩垂直的平面方程.解：（１）因为所求的平面过点)1,0,2(-p 和)2,0,1(-'p ，且它平行于向量{}3,1,2-，所以要求的平面方程为：03331212=--+-z y x , 即015=-++z y x .（２）已知直线的方向向量为{}{}{}2,1,11,2,13,1,5--⨯-=，∴平面方程为：2311510315x y z -++--=,即3250x y z +--= （３）所求平面的法向量为{}{}{}13,8,11,2,32,3,2-=-⨯-，∴平面的方程为：0)2(13)2(8)1(=--+--z y x ，即09138=+--z y x .（4）.所求平面的法向量为{}2,3,1，则平面的方程为：2(2)3(1)(0)0x y z -+-+-=, 即 2370x y z ++-=.8、求点(4,1,2)M 在平面1x y z ++=上的投影.解： 过点(4,1,2)M 作已知平面的垂线，垂线的方向向量就是已知平面的法向量(1,1,1)，所以垂线方程为412111x y z ---==，此垂线与已知平面的交点即为所求投影.为了求投影，将垂线方程化为参数方程412x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，代入平面方程求得2t =-，故投影为(2,1,0)-. 9、求点)1,3,2(-p 到直线⎩⎨⎧=++-=++-0172230322z y x z y x 的距离.解：直线的标准方程为：2251211-+==-z y x 所以p 到直线的距离 1534532025)2(1212392292421243222222===-++-+--+-=d .10、设0M 是直线L 外一点，M 是直线L 上一点，且直线的方向向量为s ，试证：点0M 到直线L 的距离为d =.证：设0M M 与L 的夹角为θ，一方面由于0sin d M M θ=；另一方面，00sin M M s M M s θ⨯=，所以d =.11、求通过平面0134=-+-z y x 和025=+-+z y x 的交线且满足下列条件之一的平面： （1）通过原点； （2）与y 轴平行；（3）与平面0352=-+-z y x 垂直. 解： （1）设所求的平面为：0)25()134(=+-++-+-z y x z y x λ 欲使平面通过原点，则须：021=+-λ，即21=λ，故所求的平面方程为 0)25()134(2=+-++-+-z y x z y x 即：0539=++z y x .（2）同（1）中所设，可求出51=λ.故所求的平面方程为 0)25()134(5=+-++-+-z y x z y x 即：031421=-+z x .（3）如（1）所设，欲使所求平面与平面0352=-+-z y x 垂直，则须：0)3(5)51()4(2=-++--+λλλ从而3=λ，所以所求平面方程为05147=++y x .12、求直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 在平面0=++z y x 上的投影直线的方程．解：应用平面束的方法．设过直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 的平面束方程为0)1()1(=++-+--+z y x z y x λ即01)1()1()1(=-++-+-++λλλλz y x这平面与已知平面0=++z y x 垂直的条件是01)1(1)1(1)1(=⋅+-+⋅-+⋅+λλλ,解之得1-=λ代入平面束方程中得投影平面方程为10y z --=，所以投影直线为⎩⎨⎧=++=--001z y x z y .13、请用异于本章第五节例7的方法来推导点到平面的距离公式.证：设),,(0000z y x P 是平面π：0+++=Ax By Cz D 外的一点，下面我们来求点0P 到平面π的距离. 过0P 作平面π的垂线L ：000x x y y z z A B C---==，设L 与平面π的交点为(,,)P x y z ，则P 与0P 之间的距离即为所求.因为点(,,)P x y z 在L 上，所以000x x Aty y Bt z z Ct-=-=-=⎧⎪⎨⎪⎩，而(,,)P x y z 在平面π上，则000()()()0A x At B y Bt C z Ct D ++++++=000222Ax By Cz A B t DC ⇒=-+++++，故000222Ax By Cz Dd t A B C+++===++=.习 题 6—7飞机的速度：假设空气以每小时32公里的速度沿平行y 轴正向的方向流动，一架飞机在xoy 平面沿与x 轴正向成π6的方向飞行，若飞机相对于空气的速度是每小时840公里，问飞机相对于地面的速度是多少？解：如下图所示，设OA 为飞机相对于空气的速度，AB 为空气的流动速度，那么OB 就是飞机相对于地面的速度.840cos 840sin 4203420,3266OA i j i j AB j ππ=⋅+⋅=+=所以, 24203452,(420856.45OB i j OB =+=≈千米／小时.复习题A一 、判断正误:1、 若c b b a ⋅=⋅且≠0b ，则c a =； ( ⨯ )解析 c b b a ⋅-⋅=)(c a b -⋅=0时，不能判定=b 0或c a =．例如i a =，j b =，k c =，有⋅=⋅=0a b b c ，但c a ≠．2、 若c b b a ⨯=⨯且≠0b ，则c a =； ( ⨯ )解析 此结论不一定成立．例如i a =，j b =，)(j i c +-=，则k j i b a =⨯=⨯，k j i j c b =+-⨯=⨯)]([，c b b a ⨯=⨯，但c a ≠．3 、若0=⋅c a ，则=0a 或=0c ； ( ⨯ ) 解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零．4、 a b b a ⨯-=⨯． ( √ ) 解析 这是叉积运算规律中的反交换律．二、选择题:1 、 当a 与b 满足（ D ）时，有b a b a +=+；(A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)⋅=a b a b ．解析 只有当a 与b 方向相同时，才有a +b =a +b ．(A)中a ，b 夹角不为0，(B)，(C)中a ，b 方向可以相同，也可以相反．2、下列平面方程中，方程( C )过y 轴；图6-1 空所流动与飞机飞行速度的关系(A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ． 解析 平面方程0=+++D Cz By Ax 若过y 轴，则0==D B ，故选C ．3 、在空间直角坐标系中，方程2221y x z --=所表示的曲面是( B )；(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面．解析 对于曲面2221y x z --=，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x 轴或y 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面．4、空间曲线⎩⎨⎧=-+=5,222z y x z 在xOy 面上的投影方程为( C )；(A)722=+y x ； (B)⎩⎨⎧==+5722z y x ； (C) ⎩⎨⎧==+0722z y x ；(D)⎩⎨⎧=-+=0222z y x z解析 曲线⎩⎨⎧==+5722z y x 与xOy 平面平行，在xOy 面上的投影方程为⎩⎨⎧==+0722z y x ．5 、直线11121-+==-z y x 与平面1=+-z y x 的位置关系是( B )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为π4； (D) 夹角为π4-．解析 直线的方向向量s ={2，1，-1}，平面的法向量n ={1，-1，1}，n s ⋅=2-1-1=0，所以，s ⊥n ，直线与平面平行．三、填空题:1、若2=b a ，π()2=a,b ，则=⨯b a 2 ，=⋅b a 0 ； 解 =⨯b a b a sin()a,b π22=2，=⋅b a b a cos()a,b π22=0．2、与平面062=-+-z y x 垂直的单位向量为 }2,1,1{66-±； 解 平面的法向量 n ={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为0n =411++=6，所以，与平面垂直的单位向量为}2,1,1{66-±．3、过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于x 轴的平面方程为 057=-+z y ；解 已知平面平行于x 轴，则平面方程可设为 0=++D Cz By ，将点 (-3，1，-2)和(3，0，5)代入方程，有{20,50,B C D C D -+=+= ⇒ 7,51,5B D C D ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得 05157=+--D Dz Dy ，即 057=-+z y ．4、过原点且垂直于平面022=+-z y 的直线为z yx -==20； 解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 n ={0，2，-1}平行，取直线方向向量s =n ={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为z yx -==20 ．5、曲线⎩⎨⎧=+=1,222z y x z 在xOy 平面上的投影曲线方程为 ⎩⎨⎧==+.0,1222z y x解: 投影柱面为 1222=+y x ，故 ⎩⎨⎧==+0,1222z y x 为空间曲线在xOy 平面上的投影曲线方程．四、解答题:1、 已知}1,2,1{-=a ，}2,1,1{=b ，计算(a) b a ⨯； (b) ()()-⋅+2a b a b ； (c) 2b a -；解: (a) b a ⨯=211121-kj i 1,3}5,{--=. (b) {2,4,2}{1,1,2}{1,5,0}2a b -=--=-，1,3}{2,{1,1,2}2,1}{1,-=+-=+b a ， 所以()()-⋅+2a b a b 7}3,1,2{}0,5,1{=-⋅-=．(c) 1}3,{0,{1,1,2}2,1}{1,--=--=-b a ，所以2b a -10)19(2=+=．2、已知向量21P P 的始点为)5,2,2(1-P ，终点为)7,4,1(2-P ，试求：(1)向量21P P 的坐标表示； (2)向量21P P 的模；(3)向量21P P 的方向余弦； (4)与向量21P P 方向一致的单位向量．解: (1) }2,6,3{}57),2(4,21{21-=-----=P P ；74926)3(222==++-=；(3) 21P P 在z y x ,,三个坐标轴上的方向余弦分别为362cos ,cos ,cos 777αβγ=-==；(4)k j i k j i 7276737263)(21++-=++-==P P．3、设向量{}1,1,1=-a ，{}1,1,1=-b ，求与a 和b 都垂直的单位向量.解： 令{}1110,2,2111=⨯=-=-i j kc a b，01⎧==⎨⎩c c c ，故与a 、b都垂直的单位向量为0⎧±=±⎨⎩c .4、向量d垂直于向量]1,3,2[-=a和]3,2,1[-=b ，且与]1,1,2[-=c的数量积为6-，求向量d解： d垂直于a与b ，故d平行于b a⨯，存在数λ使()b a d⨯=λ⨯-=]1,3,2[λ]3,2,1[-]7,7,7[λλλ--=因6-=⋅c d，故6)7(1)7()1(72-=-⨯+-⨯-+⨯λλλ， 73-=λ]3,3,3[-=∴d.5、求满足下列条件的平面方程：(1)过三点)2,1,0(1P ，)1,2,1(2P 和)4,0,3(3P；(2)过x 轴且与平面025=++z y x 的夹角为π3． 解 (1)解1： 用三点式．所求平面的方程为0241003211201210=---------z y x ，即01345=+--z y x ． 解2：}1,1,1{-=}2,1,3{-=，由题设知，所求平面的法向量为k j i kj in 452131113121--=--=⨯=P P P P ， 又因为平面过点)2,1,0(1P ，所以所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z y x ，即01345=+--z y x ．解3： 用下面的方法求出所求平面的法向量},,{C B A =n ，再根据点法式公式写出平面方程也可． 因为3121,P P P P ⊥⊥n n ，所以{0,320,A B C A B C +-=-+=解得A C A B 4,5-=-=，于是所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z A y A x A ，即 01345=+--z y x ．（2）因所求平面过x 轴，故该平面的法向量},,{C B A =n 垂直于x 轴，n 在x 轴上的投影0=A ，又平面过原点，所以可设它的方程为0=+Cz By ，由题设可知0≠B （因为0=B 时，所求平面方程为0=Cz 又0≠C ，即0=z ．这样它与已知平面025=++z y x 所夹锐角的余弦为π1cos 32=≠=，所以0≠B ），令C B C'=，则有0='+z C y ，由题设得 22222212)5(10121503cos ++'++⨯'+⨯+⨯=πC C ， 解得3='C 或13C '=-，于是所求平面方程为03=+z y 或03=-z y ．6、 一平面过直线⎩⎨⎧=+-=++04,05z x z y x 且与平面01284=+--z y x 垂直，求该平面方程；解法1： 直线⎩⎨⎧=+-=++04,05z x z y x 在平面上，令x =0，得 54-=y ，z =4，则（0，-54，4）为平面上的点．设所求平面的法向量为n =},,{C B A ，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 1n ={1，5，1}，2n ={1，0，-1}，则直线的方向向量s =1n ⨯2n =101151-kj i ={-5，2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即⋅n s ={-5，2，-5}•},,{C B A =C B A 525-+-=0，因为所求平面与平面01284=+--z y x 垂直，则}8,4,1{},,{--⋅C B A =C B A 84--=0，解方程组{5250,480,A B C A B C -+=--= ⇒ 2,5,2A CBC =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所求平面方程为 0)4()54(25)0(2=-++---z C y C x C ，即012254=+-+z y x ．解法2： 用平面束（略）7、求既与两平面1:43x z π-=和2:251x y z π--=的交线平行，又过点(3,2,5)-的直线方程.解法1：{}11,0,4=-n ，{}22,1,5=--n ，{}124,3,1s =⨯=---n n ，从而根据点向式方程，所求直线方程为325431x y z +--==---，即325431x y z +--==. 解法2：设{},,s m n p =，因为1⊥s n ，所以40m p -=；又2⊥s n ，则250m n p --=，可解4,3m p n p ==，从而0p ≠．根据点向式方程，所求直线方程为32543x y z p p p +--==，即325431x y z +--==. 解法3：设平面3π过点(3,2,5)-，且平行于平面1π，则{}311,0,4==-n n 为3π的法向量，从而3π的方程为1(3)0(2)4(5)0x y z ⋅++⋅--⋅-=，即4230x z -+=．同理，过已知点且平行于平面2π的平面4π的方程为25330x y z --+=．故所求直线的方程为423025330x z x y z -+=⎧⎨--+=⎩．8、 一直线通过点)1,2,1(A ，且垂直于直线11231:+==-z y x L ，又和直线z y x ==相交，求该直线方程；解： 设所求直线的方向向量为{,,}m n p =s ，因垂直于L ，所以320m n p ++=；又因为直线过点)1,2,1(A ，则所求直线方程为 p z n y m x 121-=-=-，联立121,①,②320,③x y z m n p x y z m n p ---⎧==⎪⎨==⎪++=⎩由①，令λ=-=-=-p z n y m x 121，则有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=,1,2,1p z n y m x λλλ代入方程②有{12,11,m n m p λλλλ+=++=+ 可得p m =，代入③解得p n 2-=， 因此，所求直线方程为112211-=--=-z y x ．9、 指出下列方程表示的图形名称：(a) 14222=++z y x ；(b) z y x 222=+；(c) 22y x z +=；(d) 022=-y x ；(e) 122=-y x ； (f) ⎩⎨⎧=+=222z y x z ．解： (a) 绕y 轴旋转的旋转椭球面．(b) 绕z 轴旋转的旋转抛物面． (c) 绕z 轴旋转的锥面． (d) 母线平行于z 轴的两垂直平面：y x =，y x -=． (e) 母线平行于z 轴的双曲柱面． (f) 旋转抛物面被平行于XOY 面的平面所截得到的圆，半径为2，圆心在（0，0，2）处．10、求曲面22z x y =+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影并作其图形．解： 将所给曲面方程联立消去z ，就得到两曲面交线C 的投影柱面的方程122=+y x ，所以柱面与xOy 平面的交线⎩⎨⎧==+'01:22z y x C 所围成的区域221+≤x y 即为曲面22z x y =+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影(图略)．复习题B1、设4=a ，3=b ，()6π=a,b ，求以2+a b 和3-a b 为邻边的平行四边形的面积.解：(2)(3)326A =+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯a b a b a a a b b a b b325=-⨯-⨯=-⨯a b a b a b 15sin()543302=⋅=⨯⨯⨯=a b a,b .2、设(3)(75)+⊥-a b a b ，(4)(72)-⊥-a b a b ，求()a,b . 解： 由已知可得：(3)(75)0+⋅-=a b a b ，(4)(72)0-⋅-=a b a b 即 22715160-+⋅=a b a b ，2278300+-⋅=a b a b ．这可看成是含三个变量a 、b 及⋅a b 的方程组，可将a 、b 都用⋅a b 表示，即==a b 1cos()22⋅⋅===⋅a b a b a,b a b a b ，()3π=a,b .3、求与}3,2,1{-=a 共线，且28=⋅b a 的向量b ．解 由于b 与a 共线，所以可设}3,2,{λλλλ-==a b ，由28=⋅b a ，得28}3,2,{}3,2,1{=-⋅-λλλ， 即2894=++λλλ，所以2=λ，从而}6,4,2{-=b ．4、 已知}0,1,1{},2,0,1{=-=b a ，求c ，使b c a c ⊥⊥,且6=c ．解法1: 待定系数法．设},,{z y x =c ，则由题设知0,0=⋅=⋅b c a c 及6=c ，所以有①20②③6x z ⎧-=⎪=由①得2xz = ④，由②得x y -= ⑤，将④和⑤代入③得62)(222=⎪⎭⎫⎝⎛+-+x x x ，解得2,4,4±==±=z y x ，于是 }2,4,4{-=c 或}2,4,4{--=c ．解法2: 利用向量的垂直平行条件，因为b c a c ⊥⊥,，所以c ∥b a ⨯．设λ是不为零的常数，则k j i k j i b a c λλλλλ+-=-=⨯=22011201)(，因为6=c ，所以6]1)2(2[2222=+-+λ，解得2±=λ，所以}2,4,4{-=c 或{4,4,2}=--c ．解法3: 先求出与向量b a ⨯方向一致的单位向量，然后乘以6±．k j i kji b a +-=-=⨯22011201，31)2(2222=+-+=⨯b a ，故与b a ⨯方向一致的单位向量为}1,2,2{31-．于是}1,2,2{36-±=c ，即}2,4,4{-=c 或}2,4,4{--=c ．5、求曲线222x y R x y z ⎧+=⎨++=⎩的参数式方程.解： 曲线参数式方程是把曲线上任一点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 都用同一变量即参数表示出来，故可令cos ,sin x R t y R t ==，则(cos sin )z R t t =-+．6、求曲线22:2z L x y x⎧⎪=⎨+=⎪⎩xOy 面上及在zOx 面上的投影曲线的方程．解： 求L 在xOy 面上的投影的方程，即由L 的两个方程将z 消去，即得L 关于xOy 面的投影柱面的方程222x y x +=则L 在xOy 面上的投影曲线的方程为2220x y xz ⎧+=⎨=⎩． 同理求L 在zOx 面上的投影的方程，即由L 的两个方程消去y ，得L 关于zOx 面的投影柱面的方程z =L 在zOx面上的投影曲线方程为0z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩．7、已知平面π过点0(1,0,1)M -和直线1211:201x y z L ---==，求平面π的方程． 解法1： 设平面π的法向量为n ，直线1L 的方向向量1(2,0,1)=s ，由题意可知1⊥n s ，(2,1,1)M 是直线1L 上的一点,则0(1,1,2)M M =在π上，所以0MM ⊥n ,故可取10MM =⨯n s (1,3,2)=--．则所求平面的点法式方程为1(1)3(0)2(1)0x y z ⋅-+⋅--⋅+=，即3230x y z +--=为所求平面方程．解法2： 设平面π的一般方程为0Ax By Cz D +++=，由题意可知，π过点0(1,0,1)M -，故有0A C D -+=, （1）在直线1L 上任取两点12(2,1,1),(4,1,2)M M ，将其代入平面方程，得20A B C D +++=, （2）420A B C D +++=, （3）由式（1）、（2）、（3）解得3,2,3B A C A D A ==-=-,故平面π的方程为3230x y z +--=.解法3： 设(),,M x y z 为π上任一点．由题意知向量0M M 、01M M 和1s 共面，其中()12,1,1M 为直线1L 上的点，1(2,0,1)=s 为直线1L 的方向向量．因此0011()0M M M M ⨯⋅=s ，故平面π的方程为1012110110201x y z --+--+=，即3230x y z +--=为所求平面方程．8、求一过原点的平面π，使它与平面0:π4830x y z -+-=成4π角，且垂直于平面1:π730x z ++=． 解： 由题意可设π的方程为0Ax By Cz ++=，其法向量为(,,)A B C =n ，平面0π的法向量为0(1,4,8)=-n ，平面1π的法向量为1(7,0,1)=n ，由题意得00||cos 4||||π⋅=⋅n n n n ，即=（1） 由10⋅=n n ，得70A C +=，将7C A =-代入（12=,解得20,B A =或10049B A =-，则所求平面π的方程为2070x y z +-= 或 491003430x y z --=．9、求过直线1L ：0230x y z x y z ++=⎧⎨-+=⎩且平行于直线2L ：23x y z ==的平面π的方程．解法1： 直线1L 的方向向量为1=s 111(4,1,3)213==---i j k，直线2L 的对称式方程为632x y z==，方向向量为2(6,3,2)=s ，依题意所求平面π的法向量1⊥n s 且2⊥n s ，故可取12=⨯n s s ，则413(7,26,18)632=--=-i j kn ，又因为1L 过原点，且1L 在平面π上，从而π也过原点，故所求平面π的方程为726180x y z -+=．解法2： 设所求平面π为 (23)0x y z x y z λ+++-+=，即(12)(1)(13)0x y z λλλ++-++=， 其法向量为(12,1,13)λλλ=+-+n ，由题意知2⊥n s ，故26(12)3(1)2(13)0λλλ⋅=++-++=n s ，得1115λ=-，则所求平面π的方程为726180x y z -+=．另外，容易验证230x y z -+=不是所求的平面方程．10、求过直线L ：⎩⎨⎧=+-+=+-+0185017228z y x z y x 且与球面1222=++z y x 相切的平面方程解： 设所求平面为 ()018517228=+-+++-+z y x z y x λ，即 (15)(288)(2)170x y z λλλλ+++-+++=，由题意：球心)0,0,0(到它的距离为1，即1)2()828()51(17222=--+++++λλλλ解得：89250-=λ 或 2-=λ 所求平面为：42124164387=--z y x 或 543=-y x11、求直线L ：11111--==-z y x 在平面π：012=-+-z y x 上投影直线0L 的方程，并求直线0L 绕y 轴旋转一周而成的曲面方程.解： 将直线L ：11111--==-z y x 化为一般方程 ⎩⎨⎧=-+=--0101y z y x ，设过直线L 且与平面π垂直的平面方程为()011=-++--y z y x λ，则有02)1(1=+--λλ，即2λ=-，平面方程为0123=+--z y x ，这样直线0L 的方程⎩⎨⎧=-+-=+--0120123z y x z y x 把此方程化为：⎩⎨⎧--==)1(221y z yx ，因此直线0L 绕y 轴旋转一周而成的曲面方程为：22221(2)(1)2x z y y ⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭即 0124174222=-++-y z y x .12、求过点)1,0,3(-A 且平行于平面1π：3450x y z --+=，又与直线1:2x L =1111y z -+=-相交的直线L 的方程．解法1： 用点向式方程.因为直线L 平行于平面1π，故直线L 的方向向量},,{p n m =s 垂直于平面1π的法向量}1,4,3{--=n ，从而得043=--p n m ①，又直线1L 的方向向量为}1,1,2{-=s ，)1,1,0(-B 是直线1L 上一点，)1,0,3(-A 是直线L 上一点，根据题设：直线L 与直线1L 相交，所以1s,s 及AB 共面，因此1()2110312m n pAB ⨯⋅=-=-s s ，即0=-+-p n m ②，将①和②联立解得p n p m 4,5-=-=，由此得145p n m =-=-，于是所求直线方程为11453-=-=-+z y x ．。

高等数学课后习题及参考答案(第十二章)

高等数学课后习题及参考答案(第十二章)

高等数学课后习题及参考答案（第十二章）习题12-1 1试说出下列各微分方程的阶数(1)x (y ')2-2yy '+x =0 解 一阶 (2)x 2y '-xy '+y =0 解 一阶 (3)xy '''+2y '+x 2y =0解 三阶(4)(7x -6y )dx +(x +y )dy =0解 一阶(5)022=++C Qdt dQ RdtQ d L解 二阶(6)θρθρ2sin =+d d解 一阶 2 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解(1)xy '=2y y =5x 2解 y '=10x因为xy '=10x 2=2(5x 2)=2y 所以y =5x 2是所给微分方程的解(2)y '+y =0y =3sin x -4cos x解 y '=3cos x +4sin x因为y '+y =3cos x +4sin x +3sin x -4cos x =7sin x -cos x ≠0所以y =3sin x -4cos x 不是所给微分方程的解(3)y ''-2y '+y =0 y =x 2e x解 y '=2xe x +x 2e xy ''=2e x +2xe x +2xe x +x 2e x =2e x +4xe x +x 2e x因为y ''-2y '+y =2e x +4xe x +x 2e x -2(2xe x +x 2e x )+x 2e x =2e x ≠0所以y =x 2e x 不是所给微分方程的解(4)y ''-(1+2)y '+12y =0xx e C e C y 2121λλ+= 解 x x e C e C y 212211λλλλ+=' xx e C e C y 21222211λλλλ+=''因为y y y 2121)(λλλλ+'+-'')())((2121212121221121222211x x x x x x e C e C e C e C e C e C λλλλλλλλλλλλλλ++++-+= =0所以x x e C e C y 2121λλ+=是所给微分方程的解3 在下列各题中验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解(1)(x -2y )y '=2x -yx 2-xy +y 2=C解 将x 2-xy +y 2=C 的两边对x 求导得 2x -y -xy '+2y y '=0即 (x -2y )y '=2x -y所以由x 2-xy +y 2=C 所确定的函数是所给微分方程的解(2)(xy -x )y ''+xy '2+yy '-2y '=0 y =ln(xy )解 将y =ln(xy )的两边对x 求导得y y x y '+='11 即x xy yy -='再次求导得)(1)()()1()(2222y y y y y x x xy x xy y y y x x xy y x y y x xy y y '+'-'-⋅-=-+-'-=--'+--'=''注意到由y y x y '+='11可得1-'='y x y yx 所以)2(1])1([12y y y y x x xy y y y y y x x xy y '+'-'-⋅-='+'-'-'-⋅-=''从而 (xy -x )y ''+xy '2+yy '-2y '=0即由y =ln(xy )所确定的函数是所给微分方程的解4 在下列各题中确定函数关系式中所含的参数 使函数满足所给的初始条件 (1)x 2-y 2=Cy |x =0=5解 由y |x =0=0得02-52=C C =-25 故x 2-y 2=-25(2)y =(C 1+C 2x )e 2x y |x =0=0y '|x =0=1解 y '=C 2e 2x +2(C 1+C 2x )e 2x由y |x =0=0y '|x =0=1得⎩⎨⎧=+=1121C C C解之得C 1=0 C 2=1故y =xe 2x(3)y =C 1sin(x -C 2) y |x ==1 y '|x ==0解 y '=C 1cos(x -C 2) 由y |x ==1y '|x ==0得⎩⎨⎧=-=-0)cos(1)sin(2121C C C C ππ 即⎩⎨⎧=-=0cos 1sin 2121C C C C解之得C 1=1 22π=C 故)2sin(π-=x y 即y =-cos x5写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程(1)曲线在点(x y )处的切线的斜率等于该点横坐标的平方解 设曲线为y =y (x ) 则曲线上点(xy )处的切线斜率为y '由条件y '=x 2 这便是所求微分方程(2)曲线上点P (xy )处的法线与x 轴的交点为Q 且线段PQ 被y 轴平分解 设曲线为y =y (x ) 则曲线上点P (xy )处的法线斜率为y '-1 由条件第PQ 中点的横坐标为0 所以Q 点的坐标为(-x0) 从而有y x x y '-=+-10即yy '+2x =0 6用微分方程表示一物理命题某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比 所温度的平方成反比解 2T P k dT dP = 其中k 为比例系数习题12-21 求下列微分方程的通解 (1)xy '-y ln y =0 解 分离变量得dx xdy y y 1ln 1=两边积分得⎰⎰=dx xdy y y 1ln 1即 ln(ln y )=ln x +ln C , 故通解为y =e Cx .(2)3x 2+5x -5y '=0 解 分离变量得5dy =(3x 2+5x )dx 两边积分得⎰⎰+=dxx x dy )53(52即 123255C x x y ++=故通解为C x x y ++=232151 其中151C C =为任意常数(3)2211y y x -='-解 分离变量得2211x dx y dy-=-两边积分得⎰⎰-=-2211x dx y dy即 arcsin y =arcsin x +C故通解为y =sin(arcsin x +C ) (4)y '-xy '=a (y 2+y ')解 方程变形为(1-x -a )y '=ay 2分离变量得dx x a a dy y--=112两边积分得⎰⎰--=dx x a a dy y112即 1)1ln(1C x a a y----=-故通解为)1ln(1x a a C y --+= 其中C =aC 1为任意常数(5)sec 2x tan ydx +sec 2y tan xdy =0 解 分离变量得dx xx y y y tan sec tan sec 22-=两边积分得⎰⎰-=dx xx y y y tan sec tan sec 22 即 ln(tan y )=-ln(tan x )+ln C故通解为tan x tan y =C(6)y x dxdy+=10解 分离变量得10-y dy =10x dx 两边积分得⎰⎰=-dxdy x y 1010即 10ln 10ln 1010ln 10C x y +=-- 或 10-y =10x +C 故通解为y =-lg(C -10x )(7)(e x +y -e x )dx +(e x +y +e y )dy =0解 方程变形为e y (e x +1)dy =e x (1-e y )dx分离变量得dxe e dy e e xx y y +=-11两边积分得⎰⎰+=-dx e e dy e e xx y y 11 即 -ln(e y )=ln(e x +1)-ln C 故通解为(e x +1)(e y -1)=C(8)cos x sin ydx +sin x cos ydy =0 解 分离变量得dx xx dy y ysin cos sin cos -= 两边积分得⎰⎰-=dx xx dy y ysin cos sin cos 即 ln(sin y )=-ln(sin x )+ln C 故通解为sin x sin y =C(9)0)1(32=++x dxdyy解 分离变量得(y +1)2dy =-x 3dx 两边积分得⎰⎰-=+dxx dy y 32)1(即 14341)1(31C x y +-=+故通解为4(y +1)3+3x 4=C (C =12C 1) (10)ydx +(x 2-4x )dy =0 解 分离变量得dx xx dy y )411(4-+=两边积分得⎰⎰-+=dx xx dy y )411(4即 ln y 4=ln x -ln(4-x )+ln C 故通解为y 4(4-x )=Cx2 求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1)y '=e 2x -y y |x =0=0 解 分离变量得 e y dy =e 2x dx 两边积分得⎰⎰=dxe dy e x y 2即 C e e x y +=221或 )21ln(2C e y x +=由y |x =0=0得0)21ln(=+C 21=C所以特解)2121ln(2+=x e y(2)cos x sin ydy =cos y sin xdx 4|0π==x y解 分离变量得 tan y dy =tan x dx 两边积分得⎰⎰=xdxydy tan tan即 -ln(cos y )=-ln(cos x )-ln C 或 cos y =C cos x 由4|0π==x y 得CC ==0cos 4cos π 21=C所以特解为x y cos cos 2=(3)y 'sin x =y ln yey x ==2π解 分离变量得dx xdy y y sin 1ln 1=两边积分得⎰⎰=dx x dy y y sin 1ln 1即 Cx y ln )2ln(tan )ln(ln +=或2tan x C e y =由e y x ==2π得4tan πC e e = C =1所以特解为2tan x e y =(4)cos ydx +(1+e -x )sin ydy =0 4|0π==x y解 分离变量得dx e e dy y y xx +=-1cos sin两边积分得⎰⎰+=-dx e e dy y y xx 1cos sin即 ln|cos y |=ln(e x +1)+ln |C |或 cos y =C (e x +1)由4|0π==x y 得)1(4cos 4+=ππe C 42=C 所以特解为)1(42cos +=x e y(5)xdy +2ydx =0 y |x =2=1 解 分离变量得 dx xdy y 21-=两边积分得⎰⎰-=dx xdy y 21即 ln y =-2ln x +ln C 或 y =Cx -2由y |x =2=1得C ⋅2-2=1 C =4 所以特解为24xy =3. 有一盛满了水的圆锥形漏漏斗, 高为10cm , 顶角为60︒, 漏斗下面有面积为0. 5cm 2的孔, 求水面高度变化的规律及流完所需的时间.解 设t 时该已流出的水的体积为V , 高度为x 则由水力学有 x dtdV )9802(5.062.0⨯⨯⨯=, 即dt x dV )9802(5.062.0⨯⨯⨯=. 又因为330tan x x r =︒=,故 dx x dx r V 223ππ-=-=,从而 dx x dt x 23)9802(5.062.0π-=⨯⨯⨯,即 dx x dt 2398025.062.03⨯⨯⨯=π,因此 C x t +⨯⨯⨯-=2598025.062.032π.又因为当t =0时, x =10, 所以251098025.062.053⨯⨯⨯⨯=πC ,故水从小孔流出的规律为645.90305.0)10(98025.062.0532252525+-=-⨯⨯⨯⨯=x x t π.令x =0, 得水流完所需时间约为10s .4. 质量为1g (克)的质点受外力作用作直线运动, 这外力和时间成正比, 和质点运动的速度成反比. 在t =10s 时, 速度等于50cm/s , 外力为4g cm/s 2, 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？解 已知v t k F =, 并且法t =10s 时, v =50cm/s , F =4g cm/s 2, 故50104k =, 从而k =20, 因此vt F 20=.又由牛顿定律, F =ma , 即vt dt dv 201=⋅, 故v dv =20t d t . 这就是速度与时间应满足的微分方程. 解之得C t v +=221021, 即C t v 2202+=.由初始条件有C +⨯=⨯2210105021, C =250. 因此500202+=t v .当t =60s 时, cm/s 3.26950060202=+⨯=v .5. 镭的衰变有如下的规律: 镭的衰变速度与它的现存量R 成正比. 由经验材料得知, 镭经过1600年后, 只余原始量R 0的一半. 试求镭的量R 与时间t 的函数关系.解 由题设知,R dt dR λ-=, 即dt RdR λ-=,两边积分得ln R =-λt +C 1, 从而 )( 1C t e C Ce R ==-λ.因为当t =0时, R =R 0, 故R 0=Ce 0=C , 即R =R 0e -λt .又由于当t =1600时, 021R R =, 故λ16000021-=e R R , 从而16002ln =λ.因此t te R e R R 000433.0010002ln 0--==.6. 一曲线通过点(2, 3), 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分, 求这曲线方程.解 设切点为P (x , y ), 则切线在x 轴, y 轴的截距分别为2x , 2y , 切线斜率为x yx y -=--2002,故曲线满足微分方程:xy dx dy -=, 即dx x dy y 11-=,从而 ln y +ln x =ln C , xy =C .因为曲线经过点(2, 3), 所以C =2⨯3=6, 曲线方程为xy =6.7. 小船从河边点O 处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为a , 船行方向始终与河岸垂直, 又设河宽为h , 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k ). 求小船的航行路线.解 建立坐标系如图. 设t 时刻船的位置为(x , y ), 此时水速为)(y h ky dtdx v -==, 故dx =ky (h -y )dt . 又由已知, y =at , 代入上式得 dx =kat (h -at )dt , 积分得C t ka kaht x +-=3223121.由初始条件x |t =0=0, 得C =0, 故3223121t ka kaht x -=.因此船运动路线的函数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-=ayy t ka kaht x 3223121, 从而一般方程为)312(32y y h a k x -=.习题12-31 求下列齐次方程的通解 (1)022=---'x y y y x解 原方程变为1)(2--=xy x y dx dy令xyu =则原方程化为12-+=+u u dxdu x u 即dxx du u 1112=-两边积分得C x u u ln ln )1ln(2+=-+ 即Cx u u =-+12将xyu =代入上式得原方程的通解 Cx xyx y =-+1)(2 即222Cx x y y =-+(2)xy y dx dy xln =解 原方程变为xyx y dx dy ln =令xy u =则原方程化为u u dxdu x u ln =+ 即dx x du u u 1)1(ln 1=-两边积分得ln(ln u -1)=ln x +ln C 即u =e Cx +1将xyu =代入上式得原方程的通解y =xe Cx +1(3)(x 2+y 2)dx -xydy =0 解 这是齐次方程令xy u =即y =xu 则原方程化为(x 2+x 2u 2)dx -x 2u (udx +xdu )=0即dxxudu 1=两边积分得u 2=ln x 2+C将xyu =代入上式得原方程的通解y 2=x 2(ln x 2+C )(4)(x 3+y 3)dx -3xy 2dy =0解 这是齐次方程 令x yu = 即y =xu则原方程化为(x 3+x 3u 3)dx -3x 3u 2(udx +xdu )=0即dx x du u u 121332=-两边积分得C x u ln ln )21ln(213+=-- 即2312x Cu -= 将xyu =代入上式得原方程的通解x 3-2y 3=Cx(5)0ch 3)ch 3sh 2(=-+dy xyx dx x y y x y x解 原方程变为xyx y dx dy +=th 32令xyu = 则原方程化为u u dx du x u +=+th 32 即dx xdu u u 2sh ch 3=两边积分得3ln(sh u )=2ln x +ln C 即sh 3u =Cx 2将xyu =代入上式得原方程的通解22sh Cx xy=(6)0)1(2)21(=-++dy yx e dx e y xy x解 原方程变为yx y xe e yx dydx 21)1(2+-=令yx u = 则原方程化为uu e e u dy du y u 21)1(2+-=+ 即uue e u dy du y 212++-=分离变量得dyy du eu e u u1221-=++两边积分得ln(u +2e u )=-ln y +ln C 即y (u +2e u )=C将y x u =代入上式得原方程的通解Ce yx y y x=+)2(即C ye x yx=+22 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解 (1)(y 2-3x 2)dy +2xydx =0 y |x =0=1解 这是齐次方程 令xyu =, 即y =xu 则原方程化为(x 2u 2-3x 2)(udx +xdu )+2x 2udx =0即 dx x du u u u 1332=-- 或dx xdu u u u 1)11113(=-+++-两边积分得-3ln |u |+ln|u +1|+ln|u -1|=ln|x |+ln|C | 即u 2-1=Cxu 3将xyu =代入上式得原方程的通解y 2-x 2=Cy 3由y |x =0=1得C =1 故所求特解为y 2-x 2=y 3(2)xyy x y +=' y |x =1=2解 令xyu =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+1 即dx xudu 1=两边积分得C x u +=ln 212将xyu =代入上式得原方程的通解y 2=2x 2(ln x +C )由y |x =1=2得C =2 故所求特解为y 2=2x 2(ln x +2)(3)(x 2+2xy -y 2)dx +(y 2+2xy -x 2)dy =0 y |x =1=1解 这是齐次方程 令xyu =, 即y =xu 则原方程化为(x 2+2x 2u -x 2u 2)dx +(x 2u 2+2x 2u -x 2)(udx +xdu )=0即 dxx du u u u u u 1112232-=+++-+或 dx xdu u u u 1)1211(2=+-+ 两边积分得ln|u +1|-ln(u 2+1)=ln|x |+ln|C | 即u +1=Cx (u 2+1)将xyu =代入上式得原方程的通解x +y =C (x 2+y 2)由y |x =1=1得C =1 故所求特解为x +y =(x 2+y 2)3设有连结点O (00)和A (11)的一段向上凸的曲线弧A O对于A O上任一点P (xy ) 曲线弧P O与直线段OP 所围图形的面积为x 2 求曲线弧A O的方程解 设曲线弧A O的方程为y =y (x ) 由题意得20)(21)(x x xy dx x y x=-⎰两边求导得x x y x x y x y 2)(21)(21)(='--即 4-='x yy令xy u = 则有4-=+u dx du x u 即dx xdu u 41-=两边积分得u =-4ln x +C将xyu =代入上式得方程的通解y =-4x ln x +Cx 由于A (1 1)在曲线上 即y (1)=1 因而C =1 从则所求方程为y =-4x ln x +x习题12-41. 求下列微分方程的通解:(1)x e y dxdy-=+;解 )()()(C x e C dx e e e C dx e e e y x x x x dxx dx +=+⋅=+⎰⋅⎰=-----⎰⎰.(2)xy '+y =x 2+3x +2;解 原方程变为x x y x y 231++=+'.])23([11C dx e xx e y dx x dxx +⎰⋅++⎰=⎰- ])23([1])23([12C dx x x xC xdx x x x +++=+++=⎰⎰xC x x C x x x x +++=+++=22331)22331(1223.(3)y '+y cos x =e -sin x ;解 )(cos sin cos C dx e e e y xdxx dx +⎰⋅⎰=⎰--)()(sin sin sin sin C x e C dx e e e x x x x +=+⋅=---⎰.(4)y '+y tan x =sin 2x ;解 )2sin (tan tan C dx e x e y xdx xdx +⎰⋅⎰=⎰- )2sin (cos ln cos ln C dx e x e x x +⋅=⎰- ⎰+⋅=)cos 1cos sin 2(cos C dx xx x x=cos x (-2cos x +C )=C cos x -2cos 2x . (5)(x 2-1)y '+2xy -cos x =0;解 原方程变形为1cos 1222-=-+'x x y x x y .)1cos (1221222C dx e x x e y dx x xdx x x +⎰⋅-⎰=⎰--- )(sin 11])1(1cos[112222C x x C dx x x x x +-=+-⋅--=⎰. (6)23=+ρθρd d ;解 )2(33C d e e d d +⎰⋅⎰=⎰-θρθθ)2(33C d e e +=⎰-θθθ θθθ33332)32(--+=+=Ce C e e .(7)x xy dxdy42=+;解 )4(22C dx e x e y xdxxdx +⎰⋅⎰=⎰-)4(22C dx e x e x x +⋅=⎰- 2222)2(x x x Ce C e e --+=+=. (8)y ln ydx +(x -ln y )dy =0;解 原方程变形为y x y y dy dx 1ln 1=+.)1(ln 1ln 1C dy e ye x dy y y dyy y +⎰⋅⎰=⎰-)ln 1(ln 1C ydy yy +⋅=⎰yC y C y y ln ln 21)ln 21(ln 12+=+=.(9)3)2(2)2(-+=-x y dxdyx ; 解 原方程变形为2)2(221-=--x y x dx dy.])2(2[21221C dx e x e y dxx dx x +⎰⋅-⎰=⎰---⎰+-⋅--=]21)2(2)[2(2C dx x x x=(x -2)[(x -2)2+C ]=(x -2)3+C (x -2).(10)02)6(2=+-y dxdyx y .解 原方程变形为y x y dy dx 213-=-.])21([33C dy e y e x dy y dy y +⎰⋅-⎰=⎰- )121(33C dy yy y +⋅-=⎰32321)21(Cy y C y y +=+=.2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)x x y dx dysec tan =-, y |x =0=0;解 )sec (tan tan C dx e x e y xdxxdx+⎰⋅⎰=⎰-)(cos 1)cos sec (cos 1C x xC xdx x x +=+⋅=⎰. 由y |x =0=0, 得C =0, 故所求特解为y =x sec x .(2)x x x ydx dy sin =+, y |x =π=1;解)sin (11C dx e xx e y dx x dx x +⎰⋅⎰=⎰-)cos (1)sin (1C x xC xdx x x x +-=+⋅=⎰.由y |x =π=1, 得C =π-1, 故所求特解为)cos 1(1x x y --=π.(3)x e x y dx dycos 5cot =+, 4|2-==πx y ; 解 )5(cot cos cot C dx e e e y xdx x xdx +⎰⋅⎰=⎰-)5(sin 1)sin 5(sin 1cos cos C e xC xdx e x x x +-=+⋅=⎰. 由4|2-==πx y , 得C =1, 故所求特解为)15(sin 1cos +-=x e x y .(4)83=+y dxdy, y |x =0=2; 解 )8(33C dx e e y dxdx +⎰⋅⎰=⎰-x x x x x Ce C e e C dx e e 3333338)38()8(---+=+=+=⎰.由y |x =0=2, 得32-=C , 故所求特解为)4(323x e y --=.(5)13232=-+y x x dx dy , y |x =1=0. 解)1(32323232C dx e e y dxx x dx x x +⎰⋅⎰=⎰---)21()1(22221131313C e e x C dx e x e x x x x x +=+=--⎰. 由y |x =1=0, 得eC 21-=, 故所求特解为)1(211132--=x e x y .3. 求一曲线的方程, 这曲线通过原点, 并且它在点(x , y )处的切线斜率等于2x +y .解 由题意知y '=2x +y , 并且y |x =0=0. 由通解公式得)2()2(C dx xe e C dx xe e y x x dxdx +=+⎰⎰=⎰⎰--=e x (-2xe -x -2e -x +C )=Ce x -2x -2.由y |x =0=0, 得C =2, 故所求曲线的方程为y =2(e x -x -1).4. 设有一质量为m 的质点作直线运动, 从速度等于零的时刻起, 有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为k 1)的力作用于它, 此外还受一与速度成正比(比例系数为k 2)的阻力作用. 求质点运动的速度与时间的函数关系.解 由牛顿定律F =ma , 得v k t k dtdv m 21-=, 即t m kv m k dt dv 12=+.由通解公式得 )()(222211C dt e t m k e C dt e t m k ev t m kt m k dt mk dt m k +⋅=+⎰⋅⎰=⎰⎰--)(22222121C e k m k te k k et m kt mk tmk +-=-. 由题意, 当t =0时v =0, 于是得221k mk C =. 因此 )(22122121222k m k e k m k te k k ev t m k t m k t m k +-=-即 )1(222121t m ke k mk t k k v ---=.5. 设有一个由电阻R =10Ω、电感L =2h(亨)和电源电压E =20sin5t V (伏)串联组成的电路. 开关K 合上后, 电路中有电源通过. 求电流i 与时间t 的函数关系. 解 由回路电压定律知01025sin 20=--i dt di t , 即t i dtdi 5sin 105=+.由通解公式得t dtdt Ce t t C dt e t e i 5555cos 5sin )5sin 10(--+-=+⎰⋅⎰=⎰.因为当t =0时i =0, 所以C =1. 因此)45sin(25cos 5sin 55π-+=+-=--t e e t t i t t (A).6. 设曲dy x x xf dx x yf L])(2[)(2-+⎰在右半平面(x >0)内与路径无关, 其中f (x )可导, 且f (1)=1, 求f (x ).解 因为当x >0时, 所给积分与路径无关, 所以 ])(2[)]([2x x xf xx yf y -∂∂=∂∂,即 f (x )=2f (x )+2xf '(x )-2x , 或 1)(21)(=+'x f x x f .因此xC x C dx x x C dx e e x f dx x dxx +=+=+⎰⋅⎰=⎰⎰-32)(1)1()(2121. 由f (1)=1可得31=C , 故x x x f 3132)(+=.7. 求下列伯努利方程的通解:(1))sin (cos 2x x y y dxdy-=+;解 原方程可变形为x x ydx dy y sin cos 112-=+, 即x x y dx y d cos sin )(11-=---. ])cos sin ([1C dx e x x e y dxdx +⎰⋅-⎰=--⎰x Ce C dx e x x e x x x sin ])sin (cos [-=+-=⎰-, 原方程的通解为x Ce yx sin 1-=.(2)23xy xy dxdy=-; 解 原方程可变形为 x y x dxdy y =-1312, 即x xy dx y d -=+--113)(. ])([331C dx e x e y xdxxdx +⎰⋅-⎰=⎰--)(222323C dx xe e x x +-=⎰-31)31(222232323-=+-=--x x x Ce C e e , 原方程的通解为311223-=-x Ce y . (3)4)21(3131y x y dx dy -=+; 解 原方程可变形为 )21(31131134x y dx dy y -=+, 即12)(33-=---x y dx y d . ])12([3C dx e x e y dxdx +⎰⋅-⎰=--⎰x x x Ce x C dx e x e +--=+-=⎰-12])12([, 原方程的通解为1213--=x Ce yx .(4)5xy y dxdy=-; 解 原方程可变形为 x ydx dy y =-4511, 即x y dx y d 44)(44-=+--. ])4([444C dx e x e y dxdx +⎰⋅-⎰=⎰--)4(44C dx xe e x +-=⎰- x Ce x 441-++-=,原方程的通解为x Ce x y 44411-++-=.(5)xdy -[y +xy 3(1+ln x )]dx =0. 解 原方程可变形为)ln 1(11123x y x dx dy y +=⋅-⋅, 即)ln 1(22)(22x y x dx y d +-=+--.])ln 1(2[222C dx e x e ydx x dx x +⎰⋅+-⎰=⎰-- ])ln 1(2[122C dx x x x++-=⎰ x x x x C 94ln 322--=, 原方程的通解为x x x x C y 94ln 32122--=. 8. 验证形如yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的微分方程, 可经变量代换v =xy 化为可分离变量的方程, 并求其通解. 解 原方程可变形为)()(xy xg xy yf dx dy -=. 在代换v =xy 下原方程化为)()(22v g x v vf x v dx dv x -=-, 即dx xdu v f v g v v g 1)]()([)(=-, 积分得 C x du v f v g v v g +=-⎰ln )]()([)(, 对上式求出积分后, 将v =xy 代回, 即得通解.9. 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程, 然 后求出通解:(1)2)(y x dxdy+=;解 令u =x +y , 则原方程化为 21u dx du =-, 即21udu dx +=.两边积分得x =arctan u +C .将u =x +y 代入上式得原方程的通解x =arctan(x +y )+C , 即y =-x +tan(x -C ).(2)11+-=yx dx dy;解 令u =x -y , 则原方程化为111+=-udx du , 即dx =-udu .两边积分得1221C u x +-=.将u =x +y 代入上式得原方程的通解12)(21C y x x +--=, 即(x -y )2=-2x +C (C =2C 1).(3)xy '+y =y (ln x +ln y );解 令u =xy , 则原方程化为u x u x u x u dx du x x ln )1(2=+-, 即du uu dx x ln 11=.两边积分得ln x +ln C =lnln u , 即u =e Cx . 将u =xy 代入上式得原方程的通解 xy =e Cx , 即Cx e xy 1=.(4)y '=y 2+2(sin x -1)y +sin 2x -2sin x -cos x +1; 解 原方程变形为y '=(y +sin x -1)2-cos x . 令u =y +sin x -1, 则原方程化为 x u x dx du cos cos 2-=-, 即dx du u =21. 两边积分得C x u+=-1.将u =y +sin x -1代入上式得原方程的通解C x x y +=-+-1sin 1, 即Cx x y +--=1sin 1.(5)y (xy +1)dx +x (1+xy +x 2y 2)dy =0 . 解 原方程变形为)1()1(22y x xy x xy y dx dy +++-=. 令u =xy , 则原方程化为)1()1(1222u u x u u x u dx du x +++-=-, 即)1(1223u u x u dx du x ++=. 分离变量得du uu u dx x )111(123++=. 两边积分得u uu C x ln 121ln 21+--=+.将u =xy 代入上式得原方程的通解xy xy y x C x ln 121ln 221+--=+, 即 2x 2y 2ln y -2xy -1=Cx 2y 2(C =2C 1).习题12-5 1判别下列方程中哪些是全微分方程并求全微分方程的通解(1)(3x 2+6xy 2)dx +(6x 2y +4y 2)dy =0解 这里P =3x 2+6xy 2 Q =6x 2y +4y 2因为x Qxy y P ∂∂==∂∂12所以此方程是全微分方程 其通解为Cdy y y x dx x yx=++⎰⎰02202)46(3即 Cy y x x =++3223343(2)(a 2-2xy -y 2)dx -(x +y )2dy =0解 这里P =a 2-2xy -y 2Q =-(x +y )2 因为x Qy x y P ∂∂=--=∂∂22所以此方程是全微分方程 其通解为Cdy y x dx a yx=+-⎰⎰0202)(即 a 2x -x 2y -xy 2=C(3)e y dx +(xe y -2y )dy =0解 这里P =e y Q =xe y -2y因为x Qe y P y ∂∂==∂∂所以此方程是全微分方程 其通解为Cdy y xe dx e yy x =-+⎰⎰000)2(即 xe y -y 2=C(4)(x cos y +cos x )y '-y sin x +sin y =0解 原方程变形为(x cos y +cos x )dy -(y sin x +sin y )dx =0这里P =-(y sin x +sin y ) Q =x cos y +cos x因为x Qx y y P ∂∂=-=∂∂sin cos所以此方程是全微分方程 其通解为Cdy x y x dx yx=++⎰⎰00)cos cos (0即 x sin y +y cos x =C 解(5)(x 2-y )dx -xdy =0 解 这里P =x 2-yQ =-x 因为xQy P ∂∂=-=∂∂1所以此方程是全微分方程 其通解为Cxdy dx x yx=-⎰⎰002即 C xy x =-331(6)y (x -2y )dx -x 2dy =0解 这里P =y (x -2y ) Q =-x 2 因为yx y P 4-=∂∂ x x Q 2-=∂∂所以此方程不是全微分方程 (7)(1+e 2)d+2e 2d=0解 这里P =1+e 2 Q =2e 2因为x Qe y P ∂∂==∂∂θ22所以此方程是全微分方程 其通解为Cd e d =+⎰⎰θθρθρρ02022即(e 2+1)=C(8)(x 2+y 2)dx +xydy =0解 这里P =x 2+y 2 Q =xy 因为y y P 2=∂∂ y x Q=∂∂所以此方程不是全微分方程2利用观察法求出下列方程的积分因子并求其通解(1)(x +y )(dx -dy )=dx +dy解 方程两边同时乘以yx +1得yx dydx dy dx ++=- 即d (x -y )=d ln(x +y )所以y x +1为原方程的一个积分因子 并且原方程的通解为x -y =ln(x +y )+C(2)ydx -xdy +y 2xdx =0解 方程两边同时乘以21y 得02=+-xdx yxdyydx 即0)2()(2=+x d y x d所以21y为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为C x y x =+22(3)y 2(x -3y )dx +(1-3y 2x )dy =0解 原方程变形为xy 2dx -3y 3dx +dy -3x 2dy =0两边同时乘以21y并整理得)33(2=+-+xdy ydx ydyxdx 即0)(3)1()2(2=--xy d yd x d所以21y为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为C xy yx =--3122 (4)xdx +ydy =(x 2+y 2)dx解 方程两边同时乘以221y x +得 022=-++dx y x ydyxdx 即0)]ln(21[22=-+dx y x d所以221y x +为原方程的一个积分因子 并且原方程的通解为x 2+y 2=Ce 2x(5)(x -y 2)dx +2xydy =0 解 原方程变形为 xdx -y 2dx +2xydy =0两边同时乘以21x得0222=-+x dx y xydy x dx 即0)()(ln 2=+x y d x d 所以21x为原方程的一个积分因子 并且原方程的通解为C xy x =+2ln 即x ln x +y 2=Cx(6)2ydx -3xy 2dx -xdy =0 解 方程两边同时乘以x 得 2xydx -x 2dy -3x 2y 2dx =0 即yd (x 2)-x 2dy -3x 2y 2dx =0再除以y 2得03)(2222=--dx x ydyx x yd 即0)(32=-x y x d所以2yx 为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为032=-x yx3 验证)]()([1xy g xy f xy -是微分方程yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的积分因子并求下列方程的通解解 方程两边乘以)]()([1xy g xy f xy -得0])()([)]()([1=+-dy xy xg dx xy yf xy g xy f xy 这里)]()([)(xy g xy f x xy f P -= )]()([)(xy g xy f y xy g Q -=因为x Qxy g xy f xy g xy f xy g xy f y P ∂∂=-'-'=∂∂2)]()([)()()()( 所以)]()([1xy g xy f xy -是原方程的一个积分因子(1)y (x 2y 2+2)dx +x (2-2x 2y 2)dy =0解 这里f (xy )=x 2y 2+2 g (xy )=2-2x 2y 2所以3331)]()([1y x xy g xy f xy =- 是方程的一个积分因子方程两边同乘以3331y x 得全微分方程 032323222232=-++dy y x y x dx y x x其通解为Cdy y x y x dx x x y x=-++⎰⎰132221323232即 Cy x y x =-+-)11ln (ln 31222或2212yx e Cy x =(2)y (2xy +1)dx +x (1+2xy -x 3y 3)dy =0解 这里f (x y )=2x y +1 g (x y )=1+2x y -x 3 y 3 , 所以441)]()([1yx xy g xy f xy =- 是方程的一个积分因子 方程两边同乘以441yx 得全微分方程2112433334=-+++dy y x y x xy dx y x xy其通解为 C dy y x y x xy dx x x y x =-+++⎰⎰14333142112即 C y y x y x =++||ln 31133224用积分因子法解下列一阶线性方程(1)xy '+2y =4ln x解 原方程变为xxy x y ln 42=+' 其积分因子为22)(x e x dxx =⎰=μ在方程x x y x y ln 42=+'的两边乘以x 2得x 2y '+2xy =4x ln x 即(x 2y )'=4x ln x两边积分得C x x x xdx x y x +-==⎰222ln 2ln 4原方程的通解为21ln 2x Cx y +-=(2)y '-tan x ⋅y =x解 积分因子为x e x xdxcos )(tan =⎰=-μ在方程的两边乘以cos x 得 cos x ⋅y '-sin x ⋅y =x cos x 即(cos x ⋅y )'=x cos x两边积分得C x x x xdx x y x ++==⋅⎰cos sin cos cos方程的通解为xCx x y cos 1tan ++=习题12-61 求下列各微分方程的通解 (1)y ''=x +sin x解 12cos 21)sin (C x x dx x x y +-=+='⎰21312sin 61)cos 21(C x C x x dx C x x y ++-=+-=⎰原方程的通解为213sin 61C x C x x y ++-=(2)y '''=xe x解 12C e xe dx xe y x x x +-==''⎰21122)2(C x C e xe dx C e xe y x x x x ++-=+-='⎰3221213)22(C x C x C e xe dx C x C e xe y x x x x +++-=++-=⎰原方程的通解为32213C x C x C e xe y x x +++-=(3)211xy +=''解 12arctan 11C x dx xy +=+='⎰x C dx xx x x dx C x y 1211arctan )(arctan ++-=+=⎰⎰212)1ln(21arctan C x C x x x +++-=原方程的通解为2121ln arctan C x C x x x y +++-=(4)y ''=1+y '2解 令p =y ' 则原方程化为p '=1+p 2 即dx dp p=+211两边积分得arctan p =x +C 1 即y '=p =tan(x +C 1) 211|)cos(|ln )tan(C C x dx C x y ++-=+=⎰原方程的通解为21|)cos(|ln C C x y ++-=(5)y ''=y '+x解 令p =y ' 则原方程化为 p '-p =x由一阶线性非齐次方程的通解公式得1)()(111--=+=+⎰⋅⎰=⎰⎰--x e C C dx xe e C dx e x e p x x x dxdx即 y '=C 1e x -x -1于是 221121)1(C x x e C dx x e C y x x +--=--=⎰原方程的通解为22121C x x e C y x +--=(6)xy ''+y '=0解 令p =y ' 则原方程化为 x p '+p =0 即01=+'p xp由一阶线性齐次方程的通解公式得xC e C e C p xdxx 1ln 111==⎰=--即 x C y 1=' 于是 211ln C x C dx xCy +==⎰原方程的通解为 y =C 1ln x +C 2(7)yy ''+'=y '2 解 令p =y ' 则dydppdx dy dy dp y =⋅='' 原方程化为 21p dydpyp=+ 即dy y dp p p 112=-两边积分得||ln ||ln |1|ln 2112C y p +=- 即22121y C p ±-当|y '|=|p |>1时 方程变为 2211y C y +±=' 即dxdy y C ±=+21)(11两边积分得arcsh(C 1y )=±C 1x +C 2 即原方程的通解为)(sh 1121x C C C y ±=当|y '|=|p |<1时方程变为2211y C y -±=' 即dxdy y C ±=-21)(11两边积分得arcsin(C 1y )=±C 1x +C 2 即原方程的通解为)(sin 1121x C C C y ±=(8)y 3y ''-1=0 解 令p =y ' 则dydp py ='' 原方程化为013=-dydppy 即pdp =y -3dy两边积分得122212121C y p +-=- 即p 2=-y -2+C 1故 21--±='y C y 即dx dy yC ±=--211两边积分得)(12121C x C y C +±=-即原方程的通解为 C 1y 2=(C 1x +C 2)2(9)y y 1=''解 令p =y ' 则dydp py ='' 原方程化为y dy dp p1= 即dyypdp 1=两边积分得122221C y p += 即1244C y p += 故 12C y y +±=' 即dx dy C y ±=+11两边积分得原方程的通 211231]2)(32[C C y C C y x ++-+±=(10)y ''=y '3+y ' 解 令p =y '则dydppy ='' 原方程化为 p p dy dp p +=3 即0)]1([2=+-p dydpp由p =0得y =C 这是原方程的一个解由0)1(2=+-p dydp得arctan p =y -C 1 即y '=p =tan(y -C 1)从而 )sin(ln )tan(1112C y dy C y C x -=-=+⎰ 故原方程的通解为12arcsin C e y C x +=+2 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解(1)y 3 y ''+1=0 y |x =1=1 y '|x =1=0解 令p =y ', 则dy dpp y ='', 原方程化为013=+dy dppy , 即dy ypdp 31-=, 两边积分得1221C yp +=, 即y y C y 211+±='.由y |x =1=1, y '|x =1=0得C 1=-1, 从而y y y 21-±=',分离变量得 dx dy yy=-±21, 两边积分得221C x y +=-± 即22)(1C x y +-±=由y |x =1=1得C 2=-1, 2)1(1--=x y 从而原方程的通解为22x x y -=.(2)y ''-ay '2=0 y |x =0=0 y '|x =0=-1解 令p =y ', 则原方程化为02=-ap dxdp即adxdp p=21两边积分得11C ax p+=- 即11C ax y +-='由y '|x =0=-1得C 1=111+-='ax y 两边积分得2)1ln(1C ax a y ++-=由y |x =0=0得C 2=0故所求特解为)1ln(1+-=ax ay(3)y '''=e ax y |x =1=y '|x =1=y ''|x =1=0 解 11C e adx e y ax ax +==''⎰由y ''|x =1=0得a e aC 11-=2211)11(C x e a e a dx e a e a y a ax a ax +-=-='⎰由y '|x =1=0得a a e ae a C 2211-=dx e a e a x e a e a y a a a ax )1111(22⎰-+-= 322311211C x e a x e a x e a e a a a a ax +-+-= 由y |x =1=0得a a a a e a e a e a e a C 32312111-+-= 故所求特解为 322232)22()1(2a a a e a x a e a x e a e y a a a ax ----+-=(4)y ''=e 2y y |x =0=y '|x =0=0解 令p =y ', 则dydpp y ='', 原方程化为y e dydpp 2= 即pdp =e 2y dy积分得p 2=e 2y +C 1即12C e y y +±='由y |x =0=y '|x =0=0得C 1=-1 故12-±='y e y 从而dx dy e y±=-112 积分得-arcsin e -y =±x +C 2 由y |x =0=0得22π-=C 故x x e y cos )2sin(=-=-π从而所求特解为y =-lncos x (5)yy 3='' y |x =0=1y '|x =0=2解 令p =y ', 则dydppy ='', 原方程化为 y dydpp 3= 即dy y pdp 3=两边积分得12322221C y p += 即1232C y y +±=' 由y |x =0=1 y '|x =0=2得C 1=0432y y =' 从而dxdy y 243=-两边积分得24124C x y += 即42)4121(C x y +=由y |x =0=1得C 2=4故原方程的特解为4)121(+=x y(6)y ''+y '2=1 y |x =0=0 y '|x =0=0解 令p =y ', 则dy dpp y ='', 原方程化为12=+p dydpp 即2222=+p dydp于是 1)2(211222+=+⎰⋅⎰=--⎰y dydy e C C dy e e p即 121+±='-y e C y由y |x =0=0 y '|x =0=0得C 1=-1ye y 21--±='故dx dy ey ±=--211两边积分得22)1ln(C x e e y y +±=-+由y |x =0=0得C 2=0xe e y y ±=-+)1ln(2从而得原方程的特解y =lnch x3 试求y ''=x 的经过点M (01)且在此点与直线121+=x y 相切的积分曲线解 1221C x y +='21361C x C x y ++=由题意得y |x =0=121|0='=x y由21|0='=x y 得211=C 再由y |x =0=1得C 2=1 因此所求曲线为121613++=x x y4 设有一质量为m 的物体 在空中由静止开始下落 如果空气阻力为R =c 2v 2(其中c 为常数 v 为物体运动的速度) 试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系解 以t =0对应的物体位置为原点 垂直向下的直线为s 正轴 建立坐标系由题设得⎪⎩⎪⎨⎧==-===0| |0022t t v s v c mg dt dv m将方程分离变量得 dt vc mg mdv =-22两边积分得 1||ln C kt mgcv mgcv +=-+(其中m g c k 2=) 由v |t =0=0得C 1=0ktmgcv mg cv =-+||ln 即ktem gcv m g cv =-+。

高等数学(同济第七版)课后答案解析

高等数学(同济第七版)课后答案解析
解当0i时.s（t）二!F.
当I V，w2时，s（!）=I - y（2-/）2=一£f2+ 2/-1 ,
当/>2HhS（f） =1.
放
/>2.
Q 16.求联系华氏温度(用F表示)和扱氏温度(用C表示)的转换公式.并求
(1)90叩的等价摄氏温度和-5 °C的等价华氏温度：
(2)是否存在一个温度值.使华氏温度汁和摄氏温度汁的读数是样的？如果存在，那么该温度值是多少？
xi
所以/（存）>/（%）,即/（W在（0, + ao）内单调增加.
公5・设/U）为定义在（-/./）内的荷函数.若/（X）在（01）内单调増加，证明/（#）在（-L0）内也单凋増加.
证设-/<X, <X2<0,则0< “2 <-A,</,由/（、）是哉函数，從/g）V（X|）=-/（-知）+f（-旳）■因为/Xx）在（OJ）内单调増加.所以y（-X!）-/（-x2）>0.从而/（旳）>/（旳），即/（X〉在《・"0）内也単调增加.
解设尸.其中叽/，均为常数.
因为〃=32。相当于。=。。/ =212。相当于C= 100°.所以
7 "*=槌
故〃=1.80+32或C=扌（F-32）.
(1)F=90°. C =刑90-32)52.2。.
C=-5。，F= 1.Xx(-5)+32= 23°.
(2)设温度値，符合题意.则有
/ = 1.8/ +32,I =-40.
尸銘EC
> =
y=•<>«< w
y=cotZ；
y=arcfiin lx I C1；
G2.卜列各题中，函数/(x)和g(x)是否相同？为什么”⑴/U) =lg/,g⑴=21gx；

高数（第三版）课后习题九详细答案

高数（第三版）课后习题九详细答案

194习题九1. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程： (1)x =a sin 2t ,y =b sin t cos t ,z =c cos 2t ,点π4t =; (2)x 2+y 2+z 2=6,x +y +z =0,点M 0(1,-2,1); (3)y 2=2mx ,z 2=m -x ,点M 0(x 0,y 0,z 0).解：2sin cos ,cos 2,2cos sin x a t t y b t z c t t '''===- 曲线在点π4t =的切向量为 {}πππ,,,0,444T x y z a c ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''==-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭当π4t =时， ,,222a b c x y z ===切线方程为2220a b c x y z a c---==-. 法平面方程为0()0.222a b c a c x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即 22022a c ax cz --+=. （2）联立方程组22260x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩它确定了函数y =y (x ),z =z (x )，方程组两边对x 求导，得d d 2220d d d d 10d d y z x y z x xy z x x⎧+⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 解得d d ,,d d y z x z x yx y z x y z--==--195在点M 0（1，-2，1）处，00d d 0,1d d M M y zx x ==- 所以切向量为{1，0，-1}. 故切线方程为121101x y z -+-==- 法平面方程为1(x -1)+0(y +2)-1(z -1)=0即x -z =0.(3)将方程y 2=2mx ,z 2=m -x 两边分别对x 求导，得d d 22,21d d y z ym z x x==- 于是d d 1,d d 2y m z x y x z==- 曲线在点（x 0,y 0,z 0）处的切向量为0011,,2my z ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭,故切线方程为 00000,112x x y y z z m y z ---==-法平面方程为000001()()()02m x x y y z z y z -+---=. 2. t (0 < t < 2π)为何值时，曲线L ：x = t -sin t , y =1-cos t , z = 4sin2t在相应点的切线垂直于平面0x y +=，并求相应的切线和法平面方程。

高数课后题答案及详解

高数课后题答案及详解

高等数学课后习题及解答1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v.解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c）=5a-11b+7c.2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM故MB .AB AM MB MC DM DC .即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形.3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量证如图8-2 ，根据题意知1 D1 A,1D2 A, D3 A, D A.41D3 D4BD11a,5a, D1D2 a,5 51D2D3 a,5故D1 A=- （AB BD1）=- a- c5D 2 A =- （AB D A =- （ABBD 2BD）=- ）=-2 a- c 53 a- c 3=- （AB3BD 4）=-5 4a- c. 54. 已知两点M 1（0，1，2）和M 2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量M 1M 2 及-2 M 1M 2 .解M 1M 2=（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）.-2 M 1M 2 =-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）.5.求平行于向量a=（6，7，-6）的单位向量.a解向量 a 的单位向量为，故平行向量 a 的单位向量为aa 1=（6，7，-6）=6 ,7 , 6 ，a1111 11 11其中a6272( 6)211.6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A （1，-2，3），B （2，3，-4），C （2，-3，-4），D （-2，-3，1）.解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限. 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：A （3，4，0），B （0，4，3），C （3，0，0），D （0，D A 4-1，0）.解在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零，比如xOy 面上的点的坐标为（x0，y0，0），xOz 面上的点的坐标为（x0，0，z0），yOz 面上的点的坐标为（0，y0，z0）.在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如x 轴上的点的坐标为（x0，0，0），y 轴上的点的坐标为（0，y0，0），z 轴上的点的坐标为（0，0，z0）.A 点在xOy 面上，B 点在yOz 面上，C 点在x 轴上，D 点在y 轴上.8.求点（a，b，c）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标.解（1）点（a，b，c）关于xOy 面的对称点（a，b，-c），为关于yOz面的对称点为（-a，b，c），关于zOx面的对称点为（a，-b，c）.（2）点（a，b，c）关于x 轴的对称点为（a，-b，-c），关于y 轴的对称点为（-a，b，-c），关于z 轴的对称点为（-a，-b，c）.（3）点（a，b，c）关于坐标原点的对称点是（-a，-b，-c）. 9.自点P（0 x0，y0，z0）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.解设空间直角坐标系如图8-3，根据题意，P0F 为点P0 关于xOz 面的垂线，垂足 F 坐标为(x0，0，z0）；P0D 为点P0关于xOy 面的垂线，垂足 D 坐标为( x0，y0，0）；P0E 为点P0 关于yOz 面的垂线，垂足E坐标为(0，y0，z o ) .P0A 为点P0 关于x 轴的垂线，垂足 A 坐标为( x o，0,0）；P0B 为点P0关于y 轴的垂线，垂足B 坐标为(0, y0 ,0) ；P0C为点P0关于z 轴的垂线，垂足 C 坐标为(0,0, z0 ) .10.过点P（0 x0，y0，z0）分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解如图8-4，过P0 且平行于z 轴的直线l 上的点的坐标，其特点是，它们的横坐标均相同，纵坐标也均相同.而过点P0 且平行于xOy 面的平面上的点的坐标，其特点是，它们的竖坐标均相同.11. 一边长为 a 的正方体放置在xOy 面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标.2解如图8-5，已知AB=a，故OA=OB= a ，于是各顶点的坐2标分别为A(2a，0，0) ，B（(0,22 2a，0）），C（- a，0，0），D2 2（0，-2a ，0），E（22a ，0，a ），F（0，22a ，a ），G（-22a ，20，a ），H（0，-2a ，a ）. 212. 求点M（4，-3，5）到各坐标轴的距离.解点M 到x 轴的距离为d1=( 3) 25234 ，点M 到y 轴的距离为d2= 42 5241 ，点M 到z 轴的距离为d3= 42( 3) 225 5.13.在yOz 面上，求与三点A（3，1，2），B（4，-2，-2），C（0，5，1）等距离的点.解所求点在yOz 面上，不妨设为P（0，y，z），点P 与三点A，B，C等距离，PA32 ( y1)2(z 2)2 ,PB 42( y 2)2(z 2)2 ,PC ( y 5)2( z 1)2 .由PAPBPC 知，32( y 1)2( z 2)242( y 2)2( z 2)2( y 5)2( z 1)2，即解上述方程组，得y=1，z=-2.故所求点坐标为（0，1，-2）.14.试证明以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证由AB (10 4)2( 1 1)2(6 9)27, AC (2 BC(2 4)210)2(4 1)2(4 1)2(3 9)27,(3 6)298 7 2知AB2AC 及BC2ABAC 2.故△　ABC 为等腰直角三角形.15. 设已知两点为M 1（4，2 ，1），M 2（3，0，2），计算向量的模、方向余弦和方向角.M 1M 2解向量M 1M 2=（3-4，0-2 ，2-1）=（-1，- 2 ，-1），其模M 1M 2（-1）2（- 2）2124 2 .其方向余弦分9 ( y 1) 2( z 2) 216 ( y 2) 2( z 2)2,9 ( y 1)2( z 2)2( y 5)2( z 1)2.别为cos =- 1 ，cos =-22 1，cos = .22方向角分别为2 ,3 ,.34316. 设向量的方向余弦分别满足（1）cos=0；（2）cos=1；（3）cos =cos=0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解（1）由cos=0 得知，故向量与x 轴垂直，平行于2yOz 面.（2）由cos=1 得知=0，故向量与y 轴同向，垂直于xOz 面.（3）由cos =cos =0 知，故向量垂直于x 轴和y 轴，2即与z 轴平行，垂直于xOy 面.17. 设向量r 的模是4，它与u 轴的夹角为，求r 在u 轴上的投影.31解已知|r |=4 ，则Prj u r=| r |cos=4?cos3=4×2=2.18. 一向量的终点在点B （2，-1，7），它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，-4 和7，求这向量的起点A 的坐标.解设A 点坐标为（x ，y ，z ），则AB =（2-x ，-1-y ，7-z ），由题意知2-x=4，-1-y=-4，7-z=7，故x=-2，y=3，z=0，因此 A 点坐标为（-2，-3，0）.19. 设m=3i+4j+8k ，n=2i-4j-7k 和p=5i+j-4k. 求向量a=4m+3n-p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解a=4m+3n-p=4（3i+5j+8k）+3（2i-4j-7k）-（5i+j-4k）=13i+7j+15k，a 在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分向量为7j.21. 设a 3i j 2k,b i 2 j k ，求（1）a 余弦.b 及a b ；（2）（-2a ）3b 及a 2b ；（3）a,b 的夹角的解（1）ab （3，- 1，- 2）（1,2，- 1）3 i j k1 （- 1）2 （- 2）（- 1）3，a b3 1 122 =（5,1,7）.1（2）( 2a) 3b 6(a b) 6 3 18a 2b 2(a b)2(5,1,7) a b (10,2,14)3（3 cos(a,b)a b3 32( 31)2( 2)21222( 1)214 62 212. 设a, b,c 为单位向量，满足a b c0,求a b b c c a.解已知a b c 1, a b c 0,故（ab c ）（a bc ）0 .22即abc2a b 2b c 2c a 0.因此a b b c c a1 2 2 （a b 2 2 3c ）- 2 3.已知M 1（1，-1，2），M 2（3,3,1）M 3（3,1,3）.求与同时垂直的单位向量.M 1M 2 , M 2 M 3解M 1M 2 =（3-1,3-（-1）,1-2）=（2，4，-1）M 2 M 3=（3-3,1-3,3-1）=（0，-2，2）由于M 1M 2取为M 2 M 3与M 1M 2, M 2M 3 同时垂直，故所求向量可a （M 1M 2M 2M 3），M 1M 2M 2M 3由M 1M 2iM 2M 3= 2j k4 1 =（6，-4，-4），2 2M1M 2知a M 2 M 3 61(6, 4, 4)( 4)2 ((3,4)22,682).2 172 17 17 17 174.设质量为100kg 的物体从点M1（3,1,8）沿直线移动到点M2（1,4,2），计算重力所作的功（坐标系长度单位为m，重力方向为z 轴负方向）.解M 1M 2 =（1-3,4-1,2-8）=（-2，3，-6）F=（0,0，-100×9.8）=（0,0，-980）W=F?M 1M 2 =（0,0，-980）?（-2,3 ，-6 ）=588（0 J）.5.在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1 的点P1 处，有一与OP1成角1的力F1 作用着；在O的另一侧与点O的距离为x2 的点P2 处，有一与OP2成角 2 的力F2 作用着（图8-6 ），问 1 ， 2 ，x1，x2，F1 , F2符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解如图8-6 ，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为2F1即F1x1sin 1x1sin 1F2 x2F2 x2sinsin20 ，2.6.求向量a（4，- 3,4）在向量b （2,2,1）上的投影.a b ( 4, 3,4) (2,2,1) 6 解Pr j b ab 2 .22 22 12 37.设a(3,5, 2),b (2,1,4) ，问与有怎样的关系，能使a b与z 轴垂直？解 a b = （3,5 ，-2 ）+ （2,1,4 ）=（3 2 ,5 , 2 4 ）.要 a b与z 轴垂直，即要（ a b ）（0,0,1 ），即（ a b）?（0，0,1 ）=0，亦即（3 2 ,5 , 2 4 ）?（0,0,1 ）=0，故（ 2 4 ）=0，因此 2 时能使 a b与z 轴垂直. 8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角.证如图8-7 ，设AB是圆O的直径，C点在圆周上，要证∠ACB= ，2 只要证明AC BC 0 即可. 由AC BC =( AO OC) ( BO OC)= AO BOAO OC 2OC BO OC2=AO AO OCAO OC2OC0 .故AC BC , ∠ACB 为直角.9.已知向量a2i 3 j k, bij 3k 和c i 2 j ，计算：（1）(a b)c (a c)b（2）(ab) (b c)（3）(ab) c解（1）(a b)c (a c)b 8(1, 2,0) 8(1, 1,3) (0, 8, 24)8i 24k .（2）a b =（2，-3,1 ）+（1，-1,3 ）=（3，-4,4 ），b c =（1，-1,3）+（1，-2,0 ）=（2，-3,3 ），ij k(a b) (b c)3 4 4 (0, 1, 1) j k .23 3a b (2, 3,1) (1, 1,3) 8，a c (2, 3,1) (1, 2,0) 8，（3）(ab) c 2113 1 2 1 3 02.10. 已知OA i 3k,OB j 3k ，求△OAB 的面积.解由向量积的几何意义知S △OAB =1 2OA OB ，OA OB( 3)2( 3)21 19S△OAB 19211. 已知a( a x , a y , a z ), b (b x ,b y , b z ), c(c x , c y ,c z ) ，试利用行列式的性质证明：(a b) c (b c) a (c a) b证因为(ab ) ca xb xc xa yb yc ya zb z , (bc zc) a b x c x a xb yc y a yb zc z a z(c a) bc xa xb xc y a y b yc z a z ，b zijkOA OB 1 0 3 ( 3, 3,1) ，0 1 3而由行列式的性质知a ab b22 a x a y a z b x b y b z c xc yc zb x b yc x c y a xa yb zc x c z = a xa zb xc y c z a y a z ，故b yb z(a b) c (b c) a (c a) b .12. 试用向量证明不等式：2222123123a 1b 1a 2b2a 3b 3，其中a 1, a 2 ,a 3 ,b 1, b 2 ,b 3 为任意实数. 并指出等号成立的条件.证设向量a（a 1 , a 2 , a 3 ），b （b 1, b 2 ,b 3 ）.由a b a b cos(a,b)a b ，从而a 1b 1a 2b 2a 3b 322a 1a 2a 1 222a 3b 1b 2a 2 a 32b 3，当a 1, a 2 , a 3与b 1, b 2 ,b 3 成比例，即b 1b 2时，上述等式成立.b 3a b1. 求过点（3,0，-1）且与平面3x 7 y 程.解所求平面与已知平面3x 7 y 5z 12 5z 12 0 平行的平面方0 平行.因此所求平面的法向量可取为n=（3，-7，5），设所求平面为3x 7 y 5z D0.将点（3，0，-1）代入上式得D=-4.故所求平面方程为3x 7 y 5z 4 0 .2. 求过点M 0（2，9，-6）且与连接坐标原点及点M 0 的线段OM 0 垂直的平面方程.解OM 0(2,9, 6）.所求平面与OM 0垂直，可取n= OM 0 ，设所求平面方程为2x 9 y 6z D0.将点M 0（2，9，-6）代入上式得D=-121.故所求平面方程为2x 9 y 6z 121 0.3. 求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程.x 1y 1 z 10 ，得x 3 y 2z 0 ，即为所求平面方程.注设M （x,y,z ）为平面上任意一点，M i( x i , y i , z i )(i1,2,3) 为平面上已知点.由M 1M (M 1M 2M 1M 3)0, 即解由2 1 2 1 2 1 1 11 12 1x x 1x 2x 1x 3x 1y y 1y 2y 1y 3y 1z z 1z 2z 10,z 3z 1它就表示过已知三点M i （i=1,2,3）的平面方程.4. 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：（1）x=0; （2）3y-1=0; （3）2x-3y-6=0; （4）x-3y=0;（5）y+z=1; （6）x-2z=0;（7）6x+5y-z=0. 解（1）—（7）的平面分别如图8—8（a ）—（g ）.（1）x=0 表示yOz 坐标面. （2）3y-1=0 表示过点（0, 1,0）且与y 轴垂直的平面.3（3）2x-3y-6=0 表示与z 轴平行的平面.（4）x-3y=0 表示过z 轴的平面. （5）y+z=1表示平行于x 轴的平面.（6）x-2z=0 表示过y 轴的平面. （7）6x+5y-z=0表示过原点的平面.5. 求平面2x 2y z 5 0与各坐标面的夹角的余弦.解平面的法向量为n=（2，-2，1），设平面与三个坐标面xOy，yOz，zOx的夹角分别为1, 2 , 3 .则根据平面的方向余弦知cos cos n k (2, 2,1) (0,0,1) 1 ,n k 22( 2)212 1 3cos 2cos n i ( 2,n i2,1)3(1,0,0) 2,1 3cos 3cos n j ( 2,n j2,1)3( 0,1,0) 2.1 36. 一平面过点（1，0，-1）且平行于向量a试求这个平面方程.(2,1,1) 和b (1, 1,0) ，解所求平面平行于向量 a 和b，可取平面的法向量i j kn a b 2 1 1 (1,1, 3) .1 1 01故所求平面为 1 ( x 1) 1 ( y 0) 3( z 1) 0，即x y 3z 4 0 .7. 求三平面x 3y交点.z 1,2x y z 0, x 2 y 2z 3的解联立三平面方程x 3y 2x y x 2y z 1,z 0,2z 3.解此方程组得x 1, y 1, z 3.故所求交点为（1，-1，3）. 8. 分别按下列条件求平面方程：（1）平行于xOz面且经过点（2，-5，3）；（2）通过z 轴和点（-3，1，-2）；（3）平行于x 轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）.解（1 ）所求平面平行于xOz 面，故设所求平面方程为By D 0.将点（2，-5，3）代入，得5B D 0，即D 5B.因此所求平面方程为By 5B 0，即y 5 0.（2）所求平面过z 轴，故设所求平面为Ax By 0 .将点（-3，1，-2）代入，得3A B 0，即B 3A.因此所求平面方程为Ax 3Ay 0 ，即x 3y 0.（3）所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为By Cz D 0. 将点（4，0，-2）及（5，1，7）分别代入方程得2C D 0 及C D, B2B 7CD 0.9D .2因此，所求平面方程为9 Dy 2 Dz D 0 ，2即9 y z 2 0.9. 求点（1,2,1）到平面x 2 y 2z 10 0 的距离.解利用点的距离公式M 0 ( x0 , y o , z o ) 到平面Ax By Cz D 0dAx0By0Cz0 DA2 B 2 C 21 2 2 2 1 10 31.12 22 22 3x 3 y1. 求过点（4，-1，3）且平行于直线2 1 z 1的直线方程. 5解所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量s (2,1,5)，直线方程即为x 4 y 1 z 3.2 1 52. 求过两点M 1(3, 2,1) 和M 2 ( 1,0,2) 的直线方程.解取所求直线的方向向量s M 1M 2( 1 3,0 ( 2),2 1) ( 4,2,1) ，因此所求直线方程为x 3 y 2 z 1.4 2 13. 用对称式方程及参数方程表示直线x y 2 x y z 1, z 4.解根据题意可知已知直线的方向向量i j ks 1 1 1 ( 2,1,3).2 1 1取x=0，代入直线方程得y z 1,y z 4.3 5解得y3, z25.这2样就得到直线经过的一点（0, ,2 ）.因此直线的对称式方程为2参数方程为3 5 x 0 y 2 z 22 1 3x 2t ,y3t ,2z 53t.2注由于所取的直线上的点可以不同，因此所得到的直线对称式方程或参数方程得表达式也可以是不同的.4. 求过点（2，0，-3）且与直线x 2 y 3x 5 y 4z 7 0, 2z 1 0垂直的平面方程.解根据题意，所求平面的法向量可取已知直线的方向向量，即i j n s 1 23 5 k4 ( 16,14,11), 2故所求平面方程为16( x16x 2)14y 14( y 0)11z 6511(z 3)0.0.即5 x 5. 求直线3x 3y 3z 92 y z 10, 2 x 2 y与直线0 3x 8 yz 23 0,z 18 0的夹角的余弦..解两已知直线的方向向量分别为i s 15 3j k3 3 (3,4, 2 11), s 2i j k2 2 13 81(10, 5,10), 因此，两直线的夹角的余弦cos(cos s 1, s 2 )s 1s 2s 1 s 23 1045 1 10 0.32x 2 y 42( 1)2102( z 7, 3x 5)21026 y 3z 8, 6. 证明直线2xy 与直线z 7平2xy z 0行.证已知直线的方向向量分别是i j s 1122 1k i1 (3,1,5), s 23 12j k 6 3 ( 119, 3, 15),由s 23s 1知两直线互相平行.7. 求过点（0,2,4）且与两平面x 方程.2 z 1和y 3z 2平行的直线解所求直线与已知的两个平面平行，因此所求直线的方向向量可取i j ks n1n2 1 0 2 ( 2,3,1),0 1 3故所求直线方程为x 0 2 y 2 z 4.3 1注本题也可以这样解：由于所求直线与已知的两个平面平行，则可视所求直线是分别与已知平面平行的两平面的交线，不妨设所求直线为x 2z a,y 3z b.将点（0，2，4）代入上式，得 a 8, b10.故所求直线为x 2z 8,y 3z8. 求过点（3，1，-2）且通过直线解利用平面束方程，过直线的平面方程. 的平面束方程为x 4 y 3 5 2 (y 3z) 0, 2将点（3，1，-2）代入上式得11.因此所求平面方程为20x 4 y 3 5 2 11(y 3z) 0, 20 210.x 4 y 3 z5x 4 y231z5 2 1即9. 求直线8x 9yx y 3z22z 59 0.0,与平面x y z 1 0的夹角. x y z 0i解已知直线的方向向量s 11 j k1 3 ( 2,4,1 12), 平面的法向量n(1, 1, 1).设直线与平面的夹角为, 则sin cos(n, s) s n 2 1 4 ( 1) ( 2) ( 1)0,即0.s n 2242 ( 2)2 12( 1)2 ( 1)2 10. 试确定下列各组中的直线和平面间的关系；x 3 y 4 （1）2 7x y z z和4x 2 y32z 3 ；（2）3和3x 2y2 77z 8；（3）x 23 y 2 z13和x4y z 3.解设直线的方向向量为s，平面的法向量为n ，直线与平面的夹角为, 且sin cos(n, s) s n. s n（1）s ( 2, 7,3), n(4, 2, 2),sin(( 2) 22) 4 ( 7)( 7)2 32( 2)423 ( 2)( 2)2 (0,2)2则0.故直线平行于平面或在平面上，现将直线上的点A（-3，-4，0）代入平面方程，方程不成立.故点 A 不在平面上，因此直线不在平面上，直线与平面平行.（2）s(3, 2,7), n(3, 2,7), 由于s n 或sin332 (3 ( 2)2)2 72( 2)327 71,( 2)2 72知，故直线与平面垂直.2（3）s(3,1, 4), n (1,1,1), 由于s n 0或sin 3 1 1 1 ( 4) 1 0,32 12 ( 4)212 12 12知0, 将直线上的点A（2，-2，3）代入平面方程，方程成立，即点A 在平面上.故直线在平面上.11.求过点（1,2,1）而与两直线x 2 y x yz 1 0,和z 1 02 x yx yz 0,z 0平行的平面的方程.解两直线的方向向量为i s1 11 j k2 1 (1,1 1i2, 3), s2 21j k1 1 (0, 1,1 11),i 取n s1s2 1 j k2 3 (1,1, 1),0 1 1则过点（1,2,1），以n 为法向量的平面方程为1 ( x 即1) 1 ( y 2)x y z 0.1 ( z 1) 0,12.求点（-1,2,0）在平面x 2y z 1 0上的投影.解作过已知点且与已知平面垂直的直线.该直线与平面的交点即为所求.根据题意，过点（-1,2,0）与平面x 2y z 1 0垂直的直线为x 1 y 2 1 2 z 0,1将它化为参数方程x 1t , y 22t, z t ,代入平面方程得1 t 2(2 2t )( t ) 1 0,2整理得t .从而所求点（-1,2,0）在平面x 2y3z 1 0 上的投影为（5,2,2）.3 3 3x y z 1 0,13.求点P（3，-1，2）到直线2x y z 4 0的距离.i 解直线的方向向量s 12 j k1 1 (0, 3,1 13).在直线上取点（1，-2，0），这样，直线的方程可表示成参数方程形式x 1, y 2 3t ,z3t. （1）又，过点P（3，-1，2），以s (0, 3, 3) 为法向量的平面方程为3( y 1) 3( z 2) 0,即y z 1 0. （2）1将式（1）代入式（2）得t ，于是直线与平面的交点为（1,2 1,3），2 2故所求距离为d (3 1)2( 1 1)22(23)223 2.214. 设M0 是直线L 外一点，M 是直线L 上任意一点，且直线的方向向量为s，试证：点M0到直线L 的距离M 0M sd .s证如图8-9，点M0 到直线L 的距离为 d.由向量积的几何意义知M 0M s 表示以M 0M ，s为邻边的平行四边形的面积.而M 0Ms s表示以s 为边长的该平面四边形的高，即为点M 0 到直线L的距离.于是M 0M sd .s15. 求直线2 x 4 y z3x y 2z0,在平面4x9 0y z 1上的投影直线的方程.解作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平面与已知平面的交线即为所求.设过直线2x 4 y z3x y 2z0,的平面束方程为9 02x 4y z (3x y 2z 9) 0,经整理得(2由(2 313 3 )x ( 4) 4 ( 4) y (1 2 ) z 9 0.) ( 1) (1 2 ) 1 0,得.代入平面束方程，得1117x 因此所求投影直线的方程为17x 31y31y37z37z117 0.117 0,4x y z 1.16. 画出下列各平面所围成的立体的图形.（1）x 0, y 0, z 0, x 2, y 1,3x 4 y 2z 12 0;（2）x0, z 0, x 1, y 2, z y .4解（1）如图8-10（a）；（2）如图8-10（b）.221.一球面过原点及A （4，0，0），B （1，3，0）和C （0，0，-4）三点，求球面的方程及球心的坐标和半径.解设所求球面的方程为( x a)2( y b)2( z c)2R，将已知点的坐标代入上式，得a2b2 c2 R 2, （1）(a 4)2( a 1) 2b 2c2(b 3) 2R 2, c2 R 2,（2）（3）（3）a2b2( 4c)2R，（4）联立（1）（2）得a 2, 联立（1）（4）得c 2, 将a 2代入（2）（3）并联立得b=1，故R=3.因此所求球面方程为( x 2)2( y 1)2( z 2)29,其中球心坐标为(2,1, 2), 半径为3.2. 建立以点（1，3，-2）为球心，且通过坐标原点的球面方程.解设以点（1，3，-2）为球心，R 为半径的球面方程为( x 球面经过原点，故R2从而所求球面方程为1)2(0 ( x( y 3)2( z 2)2R 2,3. 方程x2y2z22 x4 y 2 z0表示什么曲面？解将已知方程整理成( x 1)2( y 2)2( z 1)2( 6) 2,1)2( 03) 2(0 2) 214, 1) 2( y3)2( z2)214.所以此方程表示以（1，-2，-1）为球心，以 6 为半径的球面.4. 求与坐标原点O 及点（2,3,4）的距离之比为1:2 的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？解设动点坐标为（x, y, z），根据题意有1,2( x 2)2 ( y 32 4 1)2( z4)232(229)2 .3它表示以（, 1,3）为球心，以29为半径的球面.3 325. 将xOz坐标面上的抛物线转曲面的方程.z 5x绕x 轴旋转一周，求所生成的旋解以y2 z2 代替抛物线方程z25x中的z，得( y2z2 ) 2 5x，即y2z25x.注xOz 面上的曲线 F ( x, z) 0 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 F ( x, y2 z2 ) 0.6. 将xOz坐标面上的圆转曲面的方程.x2 z2 9 绕z 轴旋转一周，求所生成的旋解以x2 y2 代替圆方程x2 z2 9 中的x ，得( 即x2 x2y2 )2z29, y2 z2 9.( x 0)2( y 0)2( z 0)2化简整理得( x 2)2( y 3)2( z 4)2xz7. 将xOy 坐标面上的双曲线4x29 y236分别绕x 轴及y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解以y2z2代替双曲线方程4x29 y236中的y ，得该双曲线绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为4 x2即4 x2229( 9( y2y2 z 2 z 2)2)236. 236,以x z 代替双曲线方程4x9 y36 中的x ，得该双曲线绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为4(即4( x2x2 z 2)z 2 )29 y29 y 236.36,8. 画出下列各方程所表示的曲面：（1）( xa) 2y2( a ) 2; （2）x2y21;（3）2221;2（4）y2z 0;49（5）z2 x2.94解（1）如图8-11（a ）；（2）如图8-11（b ）；（3）如图8-11（c ）；（4）如图8-11（d ）；（5）如图8-11（e ）.22229. 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形：（1）x 2;（2）yx 1;（3）x2y24;（4）x y1.解（1）x 2 在平面解析几何中表示平行于y 轴的一条直线，在空间解析几何中表示与yOz 面平行的平面.（2）y x 1在平面解析几何中表示斜率为1，y 轴截距也为 1 的一条直线，在空间解析几何中表示平行于z 轴的平面.（3）x2y24在平面解析几何中表示圆心在原点，半径为2 的圆，在空间解析几何中表示母线平行于z 轴，准线为的圆柱面. x2y24,z 0（4）x y1在平面解析几何中表示以x 轴为实轴，y 轴为虚轴的双曲线，在空间解析几何中表示母线平行于z 轴，准线为y12yz2x2y2z 01,的双曲柱面.10. 说明下列旋转曲面是怎样形成的：（1）x4221;99（2）2x2z21;4 （3）x2y2z21;（4）( za)2x2y 2.x 2 y2z2x 2y2解（1）1表示xOy 面上的椭圆1绕x4 9 94 9 x2z2轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示xOz 面的椭圆绕49x 轴旋转一周而生成的旋转曲面.（2）x2yz241表示xOy 面上的双曲线2y2x4y 2 1绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示yOz 面的双曲线绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲面.z214（3）xy2z21表示xOy 面上的双曲线x2y 21绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示xOz 面的双曲线x 轴旋转一周而生成的旋转曲面.x2z21绕（4）( z a)2x2y表示xOz 面上的直线zx a 或zx a 绕z 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示yOz 面的直线zy a 或z y a 绕z 轴旋转一周而生成的旋转曲面.11. 画出下列方程所表示的曲面：222（1）4x2y2z24;（2）x2y24 z24;zx2y2（3）.34 9解（1）如图8-12（a ）；（2）如图8-12（b ）；（3）如图8-12（c ）；12. 画出下列各曲面所围立体的图形：（1）z卦限内）；0, z 3, xy0, x 3y 0, x2y21（在第一（2）x 限内）.0, y 0, z 0, x2y2R 2, y2z2R （在第一卦解（1）如图8-13 所示；（2）如图8-14 所示.21. 画出下列曲线在第一卦限内的图形；（1）x 1, y2;z（2）x 4 x 2y0;y 2,x 2 （3）x2y 2a 2, z2a 2.解（1）如图8-15（a ）；（2）如图8-15（b ）；（3）如图8-15（c ）.2. 指出下列方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形：y 5x 1,x2y21,（1）y 2 x 3; y 5x 1,（2）4 9y 3.解（1）y 2 x3在平面解析几何中表示两直线的交点.在空间解析几何中表示两平面的交线，即空间直线.x2（2）4y1,9在平面解析几何中表示椭圆x2y2与y 34 9其切线y 3 的交点，即切点.在空间解析几何中表示椭圆柱面x2y21与其切平面y 3的交线，即空间直线.4 913. 分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线的柱面方程. 2x2x2y2 z2z2 y216,2x2解在x2y2 z2z2 y216,中消去x，得3 y2z216,即为母线平行于x 轴且通过已知曲线的柱面方程.2x2在x2y 2 z2z2 y216,中消去y，得3x2 2 z216,即为母线平行于y 轴且通过已知曲线多的柱面方程.4. 求球面x2y2 z2 9 与平面xz1的交线在xOy 面上的投影的方程.解在x2 y2 z2x z 1 9,中消去z，得x2 y2 (1 x) 29, 即2 x2x y28,它表示母线平行于z 轴的柱面，故交线在xOy 面上的投影的方程. 2x22x y2z 08,表示已知5. 将下列曲线的一般方程化为参数方程：x2 y2 （1）y x; z2 9,（2）( xz1) 20.y2( z 1)24,2解（1）将y x代入x2y2 z2 9, 得2x2z29,3取x cos t, 则z23sint,从而可得该曲线的参数方程x 3cost , 2y 3cost, （02t ?2 ）z 3sin t（2）将z=0 代入( x1) 2y2( z 1) 24,得( x 1)2y23,取x 1 3 cost, 则y 3 sin t, 从而可得该曲线的参数方程x 1 3cost,y 3 sint,z 0（0 t ?2 ）6. 求螺旋线方程. x acosy asinz b,, 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标解由x acos , y asin 得x2 y2a2, 故该螺旋线在xOy 面上的投影曲线的直角坐标方程为x2 y2z 0a2,由y asin , z b 得y asin z，故该螺旋线在yOz面上b的投影曲线的直角坐标方程为y a sinz,b x 0由x acos , z b 得x a cos z, 故故该螺旋线在yOz 面b上的投影曲线的直角坐标方程为x acosz,b y 0.7. 求上半球0 z a2 x2 y2与圆柱体x2y2ax(a >0 )的公共部分在xOy 面和xOz面上的投影.解如图8-16.所求立体在xOy 面上的投影即为x2y2ax ，而由z a2 x2x2 y2 axy2 ,得z a2 ax. 故所求立体在xOz 面上的投影为由x 轴，z 轴及曲线z a2ax 所围成的区域.8. 求旋转抛物面z x2y2( 0 z 4) 在三坐标面上的投影22 2解联立面上的投影为z x2z 4x2 y2y，得x24,y2 4.故旋转抛物面在xOy如图8-17.z 0.联立z xx 0 y2,得z y2 , 故旋转抛物面在yOz 面上的投影为z y 及z4所围成的区域.z x2同理，联立y 0 y2 ,得z x2, 故旋转抛物面在xOz面上的投影为z x 及z4所围成的区域.2。

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第四版，106张)/viewthread.php?tid=2647fromuid=164951新视野大学英语视听说教程第一册【篇二：高数练习题及答案】xt>一、填空题（每空3分，共15分）z?的定义域为y2yy2（1）函数（2）已知函数z?arctan20?zx，则?x?＝(x?y)ds?（3）交换积分次序，?dy?f(x,y)dx（4）已知l是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则?l（5）已知微分方程y???2y??3y?0，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）?x?3y?2z?1?0?（1）设直线l为?2x?y?10z?3?0，平面?为4x?2y?z?2?0，则（） a. l平行于? b. l在?上 c. l垂直于?d. l与?斜交（2（）xyz?确定，则在点(1,0,?1)处的dz??2a.dx?dyb.dx?22d.dx?2?2（3）已知?是由曲面4z?25(x?y)及平面z?5所围成的闭区域，将在柱面坐标系下化成三次积分为（） a.?0c.2????(x?y)dv5d??rdr?dz235?2?0d??rdr?dz2?22543?2?0d??20rdr?5dz2r35d. （）1?d??rdr?dz（4）已知幂级数a. 2b. 1c. 2d. （5）微分方程y???3y??2y?3x?2e的特解y的形式为y?（）a.xx??xxb.(ax?b)xec.(ax?b)?ced.(ax?b)?cxe三、计算题（每题8分，共48分）x?11、求过直线l1:12?y?20?z?3?1且平行于直线l2：x?22?y?11?z1的平面方程?z?z2、已知z?f(xy,xy)，求?x， ?y3、设d?{(x,y)x?y?4}22，利用极坐标求??dxdxdy24、求函数f(x,y)?e(x?y?2y)的极值?x?t?sint?(2xy?3sinx)dx?(x?e)dy?5、计算曲线积分l，其中l为摆线?y?1?cost从点2y2x2o(0,0)到a(?,2)的一段弧x?xy?y?xe6、求微分方程满足 yx?1?1的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算半球面z????2xzdydz?yzdzdx?z?dxdy，其中?由圆锥面z?与上(10? )?2、（1）判别级数?n?1(?1)n?1n3n?1的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6?）n?（2）在x?(?1,1)求幂级数n?1?nx的和函数（6?）高等数学（下）模拟试卷二一．填空题（每空3分，共15分）z?（1）函数ln(1?x?y)的定义域为；elnx0xy（2）已知函数z?e，则在(2,1)处的全微分dz?（3）交换积分次序，?1dx?f(x,y)dy2＝；（4）已知l是抛物线y?x上点o(0,0与点b(1,1之间的一段弧，则?l?；（5）已知微分方程y???2y??y?0，则其通解为 .二．选择题（每空3分，共15分）?x?y?3z?0?（1）设直线l为?x?y?z?0，平面?为x?y?z?1?0，则l与?的夹角为（）；???z?a. 0b. 2c. 3d. 4 （2）设z?f(x,y)是由方程z?3xyz?a确定，则?x yz2233?（）；xy2yz2x?xz2?a. xy?zb. z?xyc. xy?zd. z?xy （3）微分方程y???5y??6y?xe 的特解y的形式为y?（）；a.(ax?b)e2xb.(ax?b)xe222xc.(ax?b)?ce22xd.(ax?b)?cxe2x（4）已知?是由球面x?y?z?a所围成的闭区域, 将三次积分为（）； a?02?2???dv?在球面坐标系下化成a?20d??sin?d??rdra2b.?02??20d??d??rdr2?a20c.?02?d??d??rdr?ad.?02nd??sin?d??rdr??（5）已知幂级数n?1?2n?1xn，则其收敛半径（）.1a. 2b. 1c. 2三．计算题（每题8分，共48分）5、求过a(0,2,4)且与两平面?1:x?2z?1和?2:y?3z?2平行的直线方程 .?z?z6、已知z?f(sinxcosy,e22x?y)，求?x， ?y.7、设d?{(x,y)x?y?1,0?y?x}，利用极坐标计算22??arctandyxdxdy.8、求函数f(x,y)?x?5y?6x?10y?6的极值. 9、利用格林公式计算? 222l(esiny?2y)dx?(ecosy?2)dyxx，其中l为沿上半圆周(x?a)?y?a,y?0、从a(2a,0)到o(0,0)的弧段.x?16、求微分方程四．解答题（共22分）y??y3?(x?1)2的通解.?1、（1）（6?）判别级数敛；n?1(?1)n?12sinn?3的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收?n（2）（4?）在区间(?1,1)内求幂级数2、(12?)利用高斯公式计算 z?x?y(0?z?1)的下侧22?n?1?xnn的和函数 .??2xdydz?ydzdx?zdxdy，?为抛物面高等数学（下）模拟试卷三一．填空题（每空3分，共15分）1、函数y?arcsin(x?3)的定义域为 .2、n??3n?3n?2=.3、已知y?ln(1?x)，在x?1处的微分dy?.2lim(n?2)22?4、定积分1?1(x2006sinx?x)dx?2.dy5、求由方程y?2y?x?3x?0所确定的隐函数的导数dx57.二．选择题（每空3分，共15分）x?3x?2的间断点 1、x?2是函数（a）可去（b）跳跃（c）无穷（d）振荡y?x?1222、积分?10=.(a) ?(b)??(c) 0 (d) 13、函数y?e?x?1在(??,0]内的单调性是。

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