课题学习一猜想证明与拓广(二)_第1课时

课题学习猜想、证明与拓广课时安排2课时从容说课本课题学习中的课题背景是：是否存在一个矩形，其周长与面积是已知矩形周长与面积相同的若干倍.探索活动从学生熟悉的简单情形出发，引导学生逐步思考一个个看似简单但又具挑战性的问题，不断经历判断、选择及综合运用二次方程、方程组、不等式、函数等知识的过程，在做中学，体验以数学的方式来做数学.本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，主要意图不在于回答一些具体问题，而是提供一个思考、探究的平台，在活动中体现归纳、综合和拓展.感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动的经验.在内容设计上，教科书为学生自主探索留有较大空间：通过“做一做”积累经验，通过“想一想”诱导发现，“议一议”中提出的问题均有一定深度和相当大的弹性，不同的学生可以找到自己感兴趣的问题，在“读一读”中引出两种思路，对问题的解决有很大的启发性.教学时要为学生提供充分思考和交流的空间，鼓励学生在自主探索和猜测的基础上及时交流自己的想法和做法，可以采用小组合作的方法进行教学，注意问题的连贯性和前后内容的一致性，引导学生分类研究，由特殊到一般，启发学生发现更具一般性的结论，寻找一般性的解决方法，对不同学生有不同要求，分层教学，渗透处理问题的策略和方法.第一课时课题课题学习——猜想、证明与拓广(一)教学目标(一)教学知识点探索“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”的议题.(二)能力训练要求1.经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索的意识.2.在问题解决的过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识.3.在探究过程中，感受由特殊到一般、形数结合的思想方法，体会证明的必要性.4.在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，积极思考并与同学合作交流.2.获得成功的体验和克服困难的经历，增强运用数学的信心.教学重点探究“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”，从而获得解决问题的方法和途径.教学难点从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程、方程组、不等式等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法.教学方法自主探索——合作交流.教具准备多媒体演示教学过程Ⅰ.创设情境问题，搭建探究平台[问题1]任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍?你是怎样做的?你有哪些解决方法?你能提出新的问题吗?[问题2]任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?请大家结合自己学过的知识，认识思考问题1，并谈谈你自己的想法.[生1]若给定的正方形的边长是1，则它的周长是4，面积是1，另一个正方形周长变成它的2倍，即周长变为4×2＝8，面积则变成了(48)2＝4，即这个正方形的面积是原来正方形面积的4倍.若另一个正方形面积变成原正方形的2倍，即面积变为2.则这个正方形周长变为42.我认为不存在另一个正方形.它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍.[生2]生1举的只是一个特例，不见得就没有存在的情况.[师]到底存不存在，同学们可在小组内讨论交流，然后发表看法.[组1]我们组找了几个已知的正方形，都不存在另一个正方形，它的周长和面积是已知正方形周长和面积的2倍.[组2]我们组从一般情况下证明不存在，设已知给定的正方形的边长为a ，则其面积为a 2,周长为4a ，若周长倍增，即周长变为8a 正方形的边长变为2a.面积变为4a 2.不符合要求；若面积倍增，即面积变为2a 2，正方形的边长变为a 2，周长变为4a 2，不符合要求，即无论从哪个角度考虑，都说明不存在这样的正方形.[师]很好!我们举几个特例猜想这样的正方形不存在，又从一般情况验证了这样的正方形确实不存在.同学们已经历丁—一个数学问题的解决过程，但如果将问题1拓展，正方形不具有这样的特点，我们学过的其他图形如三角形、矩形、菱形等是否具有这样的特点呢?11.展示思维过程，构建探究空间[师]你是如何思考问题2的?[生]矩形的形状太多了，我们可以先来研究一个具体的.[师]很好，我们就来先看一个特殊的、具体的矩形.多媒体演示：做一做如果已知矩形的长和宽分别是2和1.结论会怎样呢?你是怎么做的?与同伴交流.[生]已知矩形的长和宽分别是2和1，则其周长和面积分别为6和2，则所求矩形的周长和面积分别为12和4.可以先固定所求矩形的周长：周长为12的矩形很多，它们的长和宽可以是5和1，4和2，3和3，也可以是和和21121……其中是否有面积为4的呢?我们可以去尝试着找一下. (教师一定要给学生时间和空间去探索、猜测)[生]这样找太费劲。

我找了半天，也没有找到.我们不妨电可以先固定所求矩形的面积：面积为4的矩形也有很多，它们的长和宽可以中1和1，2和2，21和8，…….其中是否有周长为12的?可以再试一下.[生]我还没有找到，是不是不存在?[生]我也没找到，但我觉得应该能找到，我刚才设面积为4的矩形的长和宽都是正有理数，长和宽是否会是正无理数时，才能使周长为12呢?[师]这位同学大胆的猜想倒给了我们一个启示：如果长和宽是无理数，那可就不好找了，有没有别的方法呢?请同学们认真思考.[生]我们不要一个一个去排查，这样做既耗时又费力，结果还难寻求，是否可以借助于我们以前学过的方程的知识来解决?如果先固定矩形的周长，周长为12.则矩形的长和宽的和为6.设长为x,宽为6-x.只要x 的取值使x 与6-x 的积是4.即x(6-x)=4这个方程有解且x>0，则这样的矩形就存在.[师]这个思路很好，我们一起解一下x(6-x)＝4，整理，得x 2-6x+4=0.解得x 1=3+5,x 2=3-5.由此可知这样的矩形存在，且它的长和宽分别为3+5，3-5.你还有别的思路吗?[生]如果先固定矩形的面积，面积为4，则矩形的长和宽的积为4，设长为x ，宽就为x4，只要x 的取值使长和宽的和为6即x+x 4=6这个方程有解且x>0，则这样的矩形存在.解x+x 4＝6得x 1=3+5,x 2=3-5,所以这样的矩形存在，长为3+5，宽为3-5.[生]其实可以直接设所求矩形的长和宽分别为x 和y ， x+y=6, 则xy=4,由此可知x,y 是方程z 2-6z+4=0的解，方程的解为3+5，3-5.所以矩形的长和宽分别为3+5，3-5.[生]刚才几位同学采用的方法都是方程的方法.我们刚学习了反比例函数及一次函数，如果 x+y=6,把xy=4.的x,y 看成变量而不是未知数，则满足条件的x 、y 就成了一次函数y ＝6-x.与反比例函数y=x4两个图象的交点坐标. [师]这位同学的想法太棒了，你能把你的想法说得更具体吗?[生]好!如果固定所求矩形的面积，那么可以发现：满足要求的(x ，y)可以看作反比例函数y=x 4的图象在第一象限内点的坐标,这样的点有无数个.也就是说面积为4的矩形有无数个,如果固定所求矩形的周长，那么可以发现：满足要求的(x ，y)可以看作一次函数y ＝-x+6的图象在第一象限内点的坐标,这样的点也有无数多个，也就是说周长为12的矩形有无数个.而满足“加倍”要求的(x,y)就可以看作反比例函数y=x4的图象与一次函数y ＝-x+6的图象在第一象限内交点的坐标,从上图中可以看到，这样的交点存在，即满足要求的矩形是存在的.[师]我们通过“做一做”，知道了已知矩形的长和宽为2和1时，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.下面我们再对几种特殊情形进行验证. 多媒体演示：议一议当已知矩形的长和宽分别为3和1时，是否还有相同的结论?已知矩形的长和宽分别为4和1，5和1，…，n 和1呢?请同学们在小组内讨论.[生]当已知矩形的长和宽分别为3和1时，可以设所求矩形的长和宽分别为x 、y ，则 x+y=8 x=4+10, 解得xy=6 y=4-10.(其中x>y)所以当已知矩形的长和宽分别为3和1时，还有相同的结论，即存在一个矩形的周长和面积是原矩形的2倍.[生]我们组也验证出了当已知矩形的长和宽分别为4和1，5和1时，结论仍成立，所求矩形的长和宽分别为5+17和5-17，6+26和6-26.[师]当已知矩形的长为n(n 为任意正数)，宽还为1，结果如何呢?[生]同样道理，可以设所求矩形的长和宽为x ，y ，x+y=2(2n+1),则xy=2n,x=n+1+12+n .解得 (x ＞y),y=n+1-12+n即上述结果仍成立.[师]你能推广到更一般的情况吗?[生]更一般地，当已知矩形的长和宽分别为n 和m 时，结论仍成立.[师]如何验证呢?[生]同样可设所求矩形的长和宽分别为x 、y,则x+y=2(m+n),xy=mn,x=m+n+22n m +,解得 (x ＞y)，y=m+n-22n m +.即已知矩形的长和宽分别为n 和m 时 可以找到一个矩形，它的面积和周长都是已 知矩形的2倍，并且所求矩形的长和宽分别为m+n+22n m +和m+n-22n m +.[师]也就是说任意给定一个矩形，一引存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.Ⅲ．课时小结这节课我们经历了猜想与证明的过程，由特殊到一般结合方程、方程组、函数等知识得出了结论；任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍．在活动中，感悟处理问题的策略和方法，积累了一定的数学活动经验． Ⅳ．课后作业习题P 153第1、3题．Ⅴ．活动与探究阅读下列短文：如图(1)，△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°．现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD 和矩形AEFB(如图(2))．解答问题：(1)设图(2)中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为S 1、S 2，则S 1_______S 2(填“>”“＝”或“<”)．(2)如图(3)，△ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出_______个．利用图(3)把它画出来．(3)如图(4)，△ABC 是锐角三角形，且三边满足BC>AC>AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个.(4)在(3)所画的矩形中，哪一个周长最小?为什么?解析：(1)因为矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积都等于△ABC 面积的两倍，所以S 1＝S 2．(2)按短文要求操作，可以画出一个矩形，即矩形ADEB 〔如图(5)〕．(3)按短文要求操作，可以画出三个矩形，即矩形BCED 、矩形AQHC 和矩形ABGF ．〔如图(6)〕(4)通过观察、测量，得猜想：以AB 为边的矩形周长最小．证明：设矩形BCED 、矩形AQHC 和矩形ABGF 的周长分别为L 1，L 2和L 3，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，易知，这三个矩形的面积相等，令其面积为S ，则有L 1=a S 2+2a ，L 2＝b S 2+2b ，L 3＝c S 2 +2c.∵L 1-L 2=a S 2+2a-(b S 2+2b)＝2(a-b)·abS ab 而ab>S ，a>b ，∴L 1-L 2>0，即L 1>L 2，同理L 2>L 3．∴以AB 为边的矩形周长最小．板书设计课题学习——猜想、证明与拓广(一)[问题1]任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍?[问题2]任意给定一个矩形，是否存在一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍．策略：(1)先考查一些简单的、特殊的情形；(2)发现规律，再讨论一般情形；(3)最后得出结论．。