数学建模第6讲 非线性规划

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返回 2
非现性规划的基本概念
定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数, 则最优化问题就叫做非线性规划问题．
一般形式:
min f X
s.t.gi h j
X X
=
0 0
i = 1,2,..., m; j = 1,2,...,l.
（1）
其中 X = x1, x2,L, xn T Rn，f , gi , hj 是定义在 Rn 上的实值函

s.t.
2．输入命令：
H=[1 -1; -1 2];

1

1
1
2



x1 x2





2 2




0 0





x1 x2


c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2];
Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[];
r 为障碍因子.
这样问题（1）就转化为求一系列极值问题：
min I X , r 得 X（k r）.
k
k
0
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内点法的迭代步骤
(1) 给定允许误差 0，取r1 0,0 1；
(2) 求出约束集合 D 的一个内点 X 0 D0，令k = 1；
令k=k+1返回（2），否则，停止迭代．得最优解 X * X k ．
计算时也可将收敛性判别准则 gi X k 改为 M m min0, gi X 2 0 ． i =1 罚函数法的缺点：每个近似最优解Xk往往不是容许解，而 只能近似满足约束，在实际问题中这种结果可能不能使用；在
4．x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0);
5．x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0,options);
6．[x,fval]=quaprog(…);
7．[x,fval,exitflag]=quaprog(…);
8．[x20,20f/1v/23al,exitflag,outp数u学t建]模=quaprog(…);
2. 若约束条件中有非线性约束:G(X) 0 或Ceq(X)=0,
则建立M文件nonlcon.m定义函数G(X)与Ceq(X):
function [G,Ceq]=nonlcon(X)
G=…
Ceq=…
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3． 建立主程序.求解非线性规划的函数是fmincon,命令的基本 格式如下：
(3)
X R n
其中T(X,M)称为罚函数，M称为罚因子，带M的项称为罚项，
这里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚:当X D 时，满足
各 gi X 0,hi X = 0 ，故罚项为0，不受惩罚．当X D 时,必
有约束条件 gi X 0或hi X 0 ，故罚项大于0，要受惩罚．
1．二次规划
min Z= 1 XTHX+cTX
2
s.t. AX≤b
Aeq X = beq
VLB≤X≤VUB
用MATLAB软件求解,其输入格式如下:
1．x=quadprog(H,C,A,b);
2．x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq);
3．x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB);
性约束条件．因为线性近似通常只在展开点附近近似程度较
高，故需要对变量的取值范围加以限制，所增加的约束条件是：
xj

x
k j


k j
j = 1,L, n
求解该线性规划问题，得到最优解X k1 ；
(4) 检验 X k1对原约束是否可行.若 X k1对原约束可行，则转
步骤(5)；否则，缩小步长限制，令

k j
=


k j
j = 1,L, n，返
回步骤(3)，重解当前的线性规划问题；
5)
判断精度：若

k j

j =1,L,n，则点 X k1为近似最优解；
否则，令

k 1 j
=

k j
j =1,L,n，k=k+1，返回步骤(2)． 返回
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标准型为：
(5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,opti
ons)
输出极值点 M文件 迭代的初值 变量上下限 参数说明
(6) [x,fval]= fmincon(…) (7) [x,fval,exitflag]= fmincon(…) (8)[x,fval,exitflag,output]= fmincon(…)
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注意：
[1] fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法．默认 时: 若在fun函数中提供了梯度（options参数的GradObj设置 为’on’），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon 函数将选择大型算法．当既有等式约束又有梯度约束时，使用中 型算法．
每得到一个近似解，都从这点出发，重复以上步骤．
这样，通过求解一系列线性规划问题，产生一个 由线性规划最优解组成的序列，经验表明，这样的序 列往往收敛于非线性规划问题的解．
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近似规划法的算法步骤如下：
{ } (1) 给定初始可行点 X 1 =
x11, x12 ,L, x1n
(3)
以
X
k 1

D0为初始点，求解min X D 0
I

X
,
rk
，其中
X

D0的
最优解设为 X k = X rk D0；
(4)
检验是否满足

r
m
ln
i=1
gi
Xk


或
rk
m
i=1gi
1
X



，若满
足，停止迭代，令 X * X k ；否则取rk1 = rk ，令k = k 1，
解一系列无约束问题中，计算量太大，特别是随着Mk的增大，
可能202导0/1/致23 错误．
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SUTM内点法（障碍函数法）
考虑问题：
min f X
s.t.
g X0 i
i = 1, 2,..., m
(1)
设集合D0 = {X | g X 0, i = 1, 2, , m} ，D0是 i
返回(3）．
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近似规划法
近似规划法的基本思想：将问题(3)中的目标函数 f X 和约束条件 gi X 0 (i =1,...,m); hj X = 0 (j =1, ,l)
近似为线性函数，并对变量的取值范围加以限制，从 而得到一个近似线性规划问题，再用单纯形法求解之， 把其符合原始条件的最优解作为(3)的解的近似．
局部极小值点（局部最优解）．特别地,当X X* 时，若
f X * f X ,则称X*是f(X)在D上的严格局部极小值点（严格局部最
优解）．
定义3 对于问题(1),设 X * D ,若对任意的 X D,都有f X* f X ,
则称X*是f(X)在D上的全局极小值点（全局最优解）．特别地,当
实验目的 实验内容
1． 直观了解非线性规划的基本内容． 2． 掌握用数学软件求解优化问题．
1．非线性规划的基本理论． 2． 用数学软件求解非线性规划． 3． 钢管订购及运输优化模型． 4．实验作业．
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非线性规划
非线性规划的基本概念 *非线性规划的基本解法
罚函数法基本思想是通过构造罚函数把 约束问题转化为一系列无约束最优化问题， 进而用无约束最优化方法去求解．这类方法 称为序列无约束最小化方法．简称为SUMT 法．
其一为SUMT外点法，其二为SUMT内点
法． 2020/1/23
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SUTM外点法
对一般的非线性规划： min f X
s.t.
[x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
3．运算结果为： x 2020/1/23 =0．6667 1．数学3建3模33
MATLAB（youh1）
z = -8．222125
标准型为：
2．一般非线性规划
min F(X)
s.t． AX b
Aeq X = beq G(X) 0
gi hj

X X

=
0 0
i = 1,2,...,m; j = 1, 2,...,l.
(1)
m
l
可设：TX , M = f X M min0, gi X 2 M hj X 2 (2)
i=1
j =1
将问题（1）转化为无约束问题： minT X , M
(1) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b) (2) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq) (3) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB) (4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)
数，简记: f : Rn R1, gi : Rn R1, h j : Rn R1
其它情况: 求目标函数的最大值，或约束条件小于等于零 两种情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式．
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定义1 把满足问题（1）中条件的解 X ( Rn )称为可行解（或可行
点），所有可行点的集合称为可行集（或可行域）．记为D．即
gi X gi X k gi X k T X X k 0 i = 1, , m
hj X hj X k hj X k T X X k = 0 j = 1, ,l ；
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(3)在上述近似线性规划问题的基础上增加一组限制步长的线
Ceq(X)=0 VLB X VUB
其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成
的向量，其他变量的含义与线性规划、二次规划中相同．用 MATLAB求解上述问题，基本步骤分三步：
1． 首先建立M文件fun.m,用来定义目标函数F（X）:
function f=fun(X);
f=F(X);
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SUTM外点法(罚函数法)的迭代步骤
1．任意给定初始点 X0，取M1>1，给定允许误差 0，令k=1；
2．求无约束极值问题 min
minT
X R n
X,M
=
T
(
X
k
,
X Rn
Mk )
T
；
X
,
M

的最优解，设Xk=X(Mk)，即
3．若存在 i 1 i m ，使 gi X k ,则取Mk>M(Mk1 = M, = 10),
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例1 min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22
s.t. x1+x2≤2
-x1+2x2≤2
x1≥0, x2≥0
1．写成标准形式：
1wk.baidu.com
min
z
=
(
x1,
x2
)

1
-1
2


x1 x2



2 6
T

x1 x2
可行域中所有严格内点的集合.
构造障碍函数
m
I X , r ：I X , r= f X r lngi X 或
i =1
I ( X , r) =
f
(X ) r
m i =1
1
gi X
其中称r m lngi X 或
i =1
m
r
i =1
g
i
1
X
为障碍项，
{ } D = X | gi X 0, hj X = 0, X Rn
问题(1)可简记为 min f X ． X D
定义2 对于问题(1),设 X * D ,若存在 0 ,使得对一切
X D ,且 X X * ,都有 f X * f X ,则称X*是f(X)在D上的
X X* 时，若 f X * f X ,则称X*是f(X)在D上的严格全局极小值
点（严格全局最优解）．
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非线性规划的基本解法
1． 罚函数法
SUTM外点法 SUTM内点法（障碍罚函数法）
2． 近似规划法
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罚函数法
，步长限制
1 j

j
=
1,L,
n，
步长缩小系数 0,1，允许误差 >0，令 k=1；
(2) 在点 X k 处，将 f X ，gi X ,hj X 按泰勒级数展开并取
一阶近似，得到近似线性规划问题：
min f X f X k f X k T X X k