数学建模第6讲 非线性规划

数，简记: f : Rn R1, gi : Rn R1, h j : Rn R1
其它情况: 求目标函数的最大值，或约束条件小于等于零 两种情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式．
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定义1 把满足问题（1）中条件的解 X ( Rn )称为可行解（或可行
点），所有可行点的集合称为可行集（或可行域）．记为D．即
性约束条件．因为线性近似通常只在展开点附近近似程度较
高，故需要对变量的取值范围加以限制，所增加的约束条件是：
xj

x
k j


k j
j = 1,L, n
求解该线性规划问题，得到最优解X k1 ；
(4) 检验 X k1对原约束是否可行.若 X k1对原约束可行，则转
步骤(5)；否则，缩小步长限制，令

k j
=


k j
j = 1,L, n，返
回步骤(3)，重解当前的线性规划问题；
5)
判断精度：若

k j

j =1,L,n，则点 X k1为近似最优解；
否则，令

k 1 j
=

k j
j =1,L,n，k=k+1，返回步骤(2)． 返回
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标准型为：
gi hj

X X

=
0 0
i = 1,2,...,m; j = 1, 2,...,l.
(1)
m
l
可设：TX , M = f X M min0, gi X 2 M hj X 2 (2)
i=1
j =1
将问题（1）转化为无约束问题： minT X , M
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例1 min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22
s.t. x1+x2≤2
-x1+2x2≤2
x1≥0, x2≥0
1．写成标准形式：
1
min
z
=
(
x1,
x2
)

1
-1
2


x1 x2



2 6
T

x1 x2
(3)
X R n
其中T(X,M)称为罚函数，M称为罚因子，带M的项称为罚项，
这里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚:当X D 时，满足
各 gi X 0,hi X = 0 ，故罚项为0，不受惩罚．当X D 时,必
有约束条件 gi X 0或hi X 0 ，故罚项大于0，要受惩罚．
返回(3）．
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近似规划法
近似规划法的基本思想：将问题(3)中的目标函数 f X 和约束条件 gi X 0 (i =1,...,m); hj X = 0 (j =1, ,l)
近似为线性函数，并对变量的取值范围加以限制，从 而得到一个近似线性规划问题，再用单纯形法求解之， 把其符合原始条件的最优解作为(3)的解的近似．
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返回 2
非现性规划的基本概念
定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数, 则最优化问题就叫做非线性规划问题．
一般形式:
min f X
s.t.gi h j
X X
=
0 0
i = 1,2,..., m; j = 1,2,...,l.
（1）
其中 X = x1, x2,L, xn T Rn，f , gi , hj 是定义在 Rn 上的实值函
X X* 时，若 f X * f X ,则称X*是f(X)在D上的严格全局极小值
点（严格全局最优解）．
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返回 4
非线性规划的基本解法
1． 罚函数法
SUTM外点法 SUTM内点法（障碍罚函数法）
2． 近似规划法
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返回 5
罚函数法
(3)
以
X
k 1

D0为初始点，求解min X D 0
I

X
,
rk
，其中
X

D0的
最优解设为 X k = X rk D0；
(4)
检验是否满足

r
m
ln
i=1
gi
Xk


或
rk
m
i=1gi
1
X
Байду номын сангаас


，若满
足，停止迭代，令 X * X k ；否则取rk1 = rk ，令k = k 1，
Ceq(X)=0 VLB X VUB
其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成
的向量，其他变量的含义与线性规划、二次规划中相同．用 MATLAB求解上述问题，基本步骤分三步：
1． 首先建立M文件fun.m,用来定义目标函数F（X）:
function f=fun(X);
f=F(X);
r 为障碍因子.
这样问题（1）就转化为求一系列极值问题：
min I X , r 得 X（k r）.
k
k
0
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内点法的迭代步骤
(1) 给定允许误差 0，取r1 0,0 1；
(2) 求出约束集合 D 的一个内点 X 0 D0，令k = 1；
1．二次规划
min Z= 1 XTHX+cTX
2
s.t. AX≤b
Aeq X = beq
VLB≤X≤VUB
用MATLAB软件求解,其输入格式如下:
1．x=quadprog(H,C,A,b);
2．x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq);
3．x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB);

s.t.
2．输入命令：
H=[1 -1; -1 2];

1

1
1
2



x1 x2





2 2




0 0





x1 x2


c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2];
Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[];
[x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
3．运算结果为： x 2020/1/23 =0．6667 1．数学3建3模33
MATLAB（youh1）
z = -8．222125
标准型为：
2．一般非线性规划
min F(X)
s.t． AX b
Aeq X = beq G(X) 0
4．x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0);
5．x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0,options);
6．[x,fval]=quaprog(…);
7．[x,fval,exitflag]=quaprog(…);
8．[x20,20f/1v/23al,exitflag,outp数u学t建]模=quaprog(…);
每得到一个近似解，都从这点出发，重复以上步骤．
这样，通过求解一系列线性规划问题，产生一个 由线性规划最优解组成的序列，经验表明，这样的序 列往往收敛于非线性规划问题的解．
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近似规划法的算法步骤如下：
{ } (1) 给定初始可行点 X 1 =
x11, x12 ,L, x1n
2. 若约束条件中有非线性约束:G(X) 0 或Ceq(X)=0,
则建立M文件nonlcon.m定义函数G(X)与Ceq(X):
function [G,Ceq]=nonlcon(X)
G=…
Ceq=…
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3． 建立主程序.求解非线性规划的函数是fmincon,命令的基本 格式如下：
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注意：
[1] fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法．默认 时: 若在fun函数中提供了梯度（options参数的GradObj设置 为’on’），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon 函数将选择大型算法．当既有等式约束又有梯度约束时，使用中 型算法．
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SUTM外点法(罚函数法)的迭代步骤
1．任意给定初始点 X0，取M1>1，给定允许误差 0，令k=1；
2．求无约束极值问题 min
minT
X R n
X,M
=
T
(
X
k
,
X Rn
Mk )
T
；
X
,
M

的最优解，设Xk=X(Mk)，即
3．若存在 i 1 i m ，使 gi X k ,则取Mk>M(Mk1 = M, = 10),
(1) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b) (2) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq) (3) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB) (4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)