第六章 非线性规划
非线性规划
非线性规划非线性规划是一种涉及非线性目标函数和/或非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划可能存在多个局部最优解，而不是全局最优解。
非线性规划在许多领域都有广泛的应用，如经济学、工程学和管理学等。
非线性规划的一般形式可以表示为：最小化或最大化 f(x)，其中 f(x) 是一个非线性函数，x 是决策变量向量。
满足一组约束条件g(x) ≤ 0 和 h(x) = 0，其中 g(x) 和 h(x) 是非线性函数。
为了求解非线性规划问题，可以使用不同的优化算法，如梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些算法的目标是找到目标函数的最小值或最大值，并满足约束条件。
非线性规划的难点在于寻找全局最优解。
由于非线性函数的复杂性，这些问题通常很难解析地求解。
因此，常常使用迭代算法来逼近最优解。
非线性规划的一个重要应用是在经济学中的生产计划问题。
生产活动通常受到多个因素的限制，如生产能力、原材料和劳动力等。
非线性规划可以帮助确定最佳的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
另一个应用是在工程学中的优化设计问题。
例如，优化某个结构的形状、尺寸和材料以满足一组要求。
非线性规划可以帮助找到最佳设计方案，以最大程度地提高性能。
在管理学中，非线性规划可以用于资源分配和风险管理问题。
例如，优化一个公司的广告预算，以最大程度地提高销售额。
非线性规划可以考虑多种因素，如广告投入和市场需求，以找到最佳的广告投放策略。
总之，非线性规划是一种重要的优化方法，用于解决涉及非线性目标函数和约束条件的问题。
它在经济学、工程学和管理学等领域有广泛的应用。
尽管非线性规划的求解难度较大，但通过合适的优化算法，可以找到最佳的解决方案。
第6章非线性规划
x1 + 2 x 2 ≤ 10 x1 , x 2 ≥ 0
能源 产量y 产量
生产资料1 生产资料 (x1) 1
生产资料2 生产资料 (x2) 2
能源 原理
一、非线性规划的数学模型： 非线性规划的数学模型：
目标函数或约束条件中有非线性函数的规划问题。 目标函数或约束条件中有非线性函数的规划问题。 一般形式： 一般形式：
2 例 : 判断函数凹凸性 : f ( X ) = 3 x 1 + 2 x 2 − 2 x 1 − x 2 + 10 2
∂2 f (X ) ∂x12 解∵ H = 2 ∂ f (X ) ∂ x ∂x 2 1
∂2 f (X ) ∂ x1 ∂ x 2 6 = ∂ 2 f ( X ) 0 2 ∂x 2
六、寻优方法概述： 寻优方法概述：
1、N.L.P.问题分类 无约束条件的NLP问题。 NLP问题 ① 无约束条件的NLP问题。 有约束条件的NLP问题。 NLP问题 ② 有约束条件的NLP问题。 2、寻优方法 间接法(解析法) 适应于目标函数有简单明确的数学表达式。 ① 间接法(解析法)：适应于目标函数有简单明确的数学表达式。 直接法(搜索法) 目标函数复杂或无明确的数学表达式。 ② 直接法(搜索法)：目标函数复杂或无明确的数学表达式。 消去法(对单变量函数有效) a.消去法(对单变量函数有效)： 不断消去部分搜索区间，逐步缩小极值点存在的范围。 不断消去部分搜索区间，逐步缩小极值点存在的范围。 爬山法(对多变量函数有效) b.爬山法(对多变量函数有效)： 根据已求得的目标值，判断前进方向，逐步改善目标值。 根据已求得的目标值，判断前进方向，逐步改善目标值。
非线性规划知识点讲解总结
非线性规划知识点讲解总结1. 非线性规划的基本概念非线性规划是指目标函数和/或约束条件包含非线性项的优化问题。
一般来说，非线性规划问题可以表示为如下形式：\[\min f(x)\]\[s.t. \ g_i(x) \leq 0, \ i=1,2,...,m\]\[h_j(x)=0, \ j=1,2,...,p\]其中，\(x \in R^n\)是优化变量，\(f(x)\)是目标函数，\(g_i(x)\)和\(h_j(x)\)分别表示不等式约束和等式约束。
目标是找到使目标函数取得最小值的\(x\)。
2. 非线性规划的解决方法非线性规划问题的求解是一个复杂的过程，通常需要使用数值优化方法来解决。
目前，常用的非线性规划求解方法主要包括梯度方法、牛顿方法和拟牛顿方法。
（1）梯度方法梯度方法是一种基于目标函数梯度信息的优化方法。
该方法的基本思想是在迭代过程中不断沿着梯度下降的方向更新优化变量，以期望找到最小值点。
梯度方法的优点是简单易实现，但缺点是可能陷入局部最优解，收敛速度慢。
（2）牛顿方法牛顿方法是一种基于目标函数的二阶导数信息的优化方法。
该方法通过构造目标函数的泰勒展开式，并利用二阶导数信息来迭代更新优化变量，以期望找到最小值点。
牛顿方法的优点是收敛速度快，但缺点是计算复杂度高，需要计算目标函数的二阶导数。
（3）拟牛顿方法拟牛顿方法是一种通过近似求解目标函数的Hessian矩阵来更新优化变量的优化方法。
该方法能够克服牛顿方法的计算复杂度高的问题，同时又能保持相对快速的收敛速度。
拟牛顿方法的典型代表包括DFP方法和BFGS方法。
3. 非线性规划的应用非线性规划方法在实际生活和工程问题中都有着广泛的应用。
以下将介绍非线性规划在生产优化、资源分配和风险管理等领域的应用。
（1）生产优化在制造业中，生产线的优化调度问题通常是一个非线性规划问题。
通过对生产线的机器设备、生产工艺和生产速度等因素进行建模，并设置相应的目标函数和约束条件，可以使用非线性规划方法来求解最优的生产调度方案，以最大程度地提高生产效率和减少成本。
第六章 非线性规划
第六章 非线性规划由前几章知道，线性规划的目标函数和约束条件都是其自变量的线性函数，如果目标函数或约束条件中包含有自变量的非线性函数，则这样的规划问题就属于非线性规划。
第一节 基本概念一、 非线性规划的数学模型非线性规划数学模型的一般形式是⎪⎩⎪⎨⎧=≥==),,2,1(0)(),,2,1(0)()(min l j x g m i x h x f ji （6.1）其中，X=（n χχχ,,,21 ）T 是n 维欧氏空间E n 中的点（向量），目标函数)(X f 和约束函数)()(X j X i g h 、为X 的实函数。
有时，也将非线性规划的数学模型写成 ⎩⎨⎧=≥),,2,1(0)()(min l j X g X f j (6.2)即约束条件中不出现等式，如果有某一约束条件为等式0)(=X g j ，则可用如下两个不等式约束替代它： ⎩⎨⎧≥-≥0)(0)(X g X g jj模型（6.2）也常表示成另一种形式：{}⎩⎨⎧=≥=⊂∈),,2,1(,0)(|),(min l j X g X R E R X X f j n (6.3)上式中R 为问题的可行域。
若某个约束条件氏“≤”不等式的形式，只需用“-1”乘这个约束的两端，即可将其变成“≥”的形式。
此外，由于[])(m in )(m ax x f X f --=，且这两种情况下求出的最优解相同（如有最优解存在），故当需使目标函数极大化时，只需求其负函数极小化即可。
二、二维问题的图解当只有两个自变量时，求解非线性规划也可像对线性规划那样借助于图解法。
考虑非线性规划问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥-+=-+-+-=000505)1()2()(min 212122212221x x x x x x x x x X f (6.4)如对线性规划所作的那样，在21Ox x 坐标平面画出目标函数的等值线，它是以点（2.1）为圆心的同心圆，再根据约束条件画出可行域，它是抛物线段ABCD （图6-1）。
第6讲 非线性规划
1 gi X
其中称r lng i X 或 r
i 1 i 1
m
m
1 为障碍项，r为障碍因子 gi X
X D
这样问题（）就转化为求一系列极 1 值问题： k min I X , rk 得 X （rk） 0
10
内点法的迭代步骤
(1) 给定允许误差 0 ，取r1 0,0
k1
5) 判断精度： j 1,, n ， 若 则点 X 为近似最优解；
k j
否则，令 k 1 k j 1,, n ，k=k+1，返回步骤(2)． j j
14 返回
1、二次规划
标准型为： Min Z= 1 XTHX+cTX
2
s.t. AX<=b
m k
m
返回(3） ．
11
近似规划法
近似规划法的基本思想：将问题(3)中的目标函数 f X
和约束条件 g i X 0 (i 1,..., m); h j X 0 ( j 1,, l )
近似为线性函数，并对变量的取值范围加以限制，从
而得到一个近似线性规划问题，再用单纯形法求解之，
i 1 j 1
(2)
将问题（ ）转化为无约束问题： minn T X , M 1
X E
(3)
其中T(X,M)称为罚函数，M称为罚因子，带M的项称为罚项，这 里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚：当 D 时，满 X 足各 i X 0, hi X 0 ，故罚项=0，不受惩罚．当 D 时， g X 必有 0或hi X 0 的约束条件，故罚项>0，要受惩罚． gi X
非线性规划
1. 非线性规划我们讨论过线性规划,其目标函数和约束条件都是自变量的线性函数。
如果目标函数是非线性函数或至少有一个约束条件是非线性等式(不等式),则这一类数学规划就称为非线性规划。
在科学管理和其他领域中，很多实际问题可以归结为线性规划，但还有另一些问题属于非线性规划。
由于非线性规划含有深刻的背景和丰富的内容，已发展为运筹学的重要分支，并且在最优设计,管理科学,风险管理,系统控制,求解均衡模型,以及数据拟合等领域得到越来越广泛的应用。
非线性规划的研究始于三十年代末,是由W.卡鲁什首次进行的，40年代后期进入系统研究，1951年.库恩和.塔克提出带约束条件非线性规划最优化的判别条件,从而奠定了非线性规划的理论基础,后来在理论研究和实用算法方面都有很大的发展。
非线性规划求解方法可分为无约束问题和带约束问题来讨论，前者实际上就是多元函数的极值问题，是后一问题的基础。
无约束问题的求解方法有最陡下降法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔直接法等。
关于带约束非线性规划的情况比较复杂，因为在迭代过程中除了要使目标函数下降外，还要考虑近似解的可行性。
总的原则是设法将约束问题化为无约束问题；把非线性问题化为线性问题从而使复杂问题简单化。
求解方法有可行方向法、约束集法、制约函数法、简约梯度法、约束变尺度法、二次规划法等。
虽然这些方法都有较好的效果，但是尚未找到可以用于解决所有非线性规划的统一算法。
非线性规划举例 [库存管理问题] 考虑首都名酒专卖商店关于啤酒库存的年管理策略。
假设该商店啤酒的年销售量为A 箱,每箱啤酒的平均库存成本为H 元,每次订货成本都为F 元。
如果补货方式是可以在瞬间完成的,那么为了降低年库存管理费用,商店必须决定每年需要定多少次货,以及每次订货量。
我们以Q 表示每次定货数量,那么年定货次数可以为QA,年订货成本为Q A F ⨯。
由于平均库存量为2Q,所以,年持有成本为2Q H ⨯,年库存成本可以表示为:Q HQ A F Q C ⨯+⨯=2)( 将它表示为数学规划问题:min Q H Q A F Q C ⋅+⋅=2)( ..t s 0≥Q其中Q 为决策变量,因为目标函数是非线性的,约束条件是非负约束,所以这是带约束条件的非线性规划问题。
非线性规划的基本概念及问题概述
牛顿法在凸优化问题上表现较好，但在非凸问题 上可能陷入局部最优解。
拟牛顿法
01
拟牛顿法是一种改进的牛顿法，通过构造海森矩阵 的近似来降低计算成本。
02
拟牛顿法在每一步迭代中更新搜索方向，并逐渐逼 近最优解。
03
拟牛顿法在处理大规模非线性规划问题时表现较好 ，但仍然需要计算目标函数的二阶导数。
共轭梯度法
共轭梯度法结合了梯度法和牛 顿法的思想，通过迭代更新搜 索方向来寻找最优解。
共轭梯度法的迭代方向是梯度 方向和上一次迭代方向的线性 组合，可以加快收敛速度。
共轭梯度法适用于大规模优化 问题，尤其在约束条件较多或 非凸函数情况下表现较好。
05
非线性规划的挑战与解决方 案
局部最优解问题
局部最优解问题
案例二：生产计划优化问题
总结词
生产计划优化问题旨在通过合理安排生 产计划，降低生产成本并满足市场需求 。
VS
详细描述
生产计划优化问题需要考虑生产过程中的 各种因素，如原材料需求、设备能力、劳 动力成本等。目标函数通常是非线性的， 因为生产成本和产量之间的关系是非线性 的。约束条件可能包括资源限制、交货期 限制等。
例子
最小化成本函数，其中成本是生产量 的函数，生产量受到资源、生产能力 等约束。
最大化问题
最大化目标函数
在给定的约束条件下，找到一组变量 ，使得目标函数达到最大值。
例子
最大化收益函数，其中收益是销售量 的函数，销售量受到市场需求、价格 等约束。
约束条件下的优化问题
01
在满足一系列约束条件下，寻找最优解，使得目标函数达到最 优值。
梯度法适用于目标函数和约束条件比较简单的情况，但对于非凸函数或约束条件复 杂的情况可能不收敛或收敛到局部最优解。
chapter 6 非线性规划
– 3. 函数的凸性的判别 – 定理6.1（一阶条件） 设R是n维欧式空间上的开凸
集，f(X)在R上具有一阶连续偏导数，则f(X)为R上 的凸函数的充分必要条件是，对于任意两个不同点 X(1)∈R和X(2)∈R，恒有
– 此外，若将上述关于凸函数定义中两个不等式中 的不等号改为“≥”和“>”，则分别称f(X)为凸集R 上的凹函数和严格凹函数。
– 2. 凸函数的性质
（1）若f(X)为凸函数，则－f(X)必为凹函数，反之亦 然；
（2）若f(X)为凸集R上的凸函数，则对于任意非负实 数α，函数αf(X)亦为凸集R上的凸函数；
chapter 6 非线性规划
chapter 6 非线性规划
概述
一、问题提出
– 生产管理中很多问题的运行过程都是以非线性形式运 行的，如生产成本往往是生产量的非线性函数，产品 的需求量是其价格的非线性函数等等。这样，我们在 建立一个决策问题的数学模型时，目标函数或者约束 条件常常会出现非线性形式。
f ( X (2) ) f ( X (1) ) f ( X (1) )T ( X (2) X (1) )
定理6.2（二阶条件） 设R是n维欧式空间上的某一 开凸集，f(X)在R上具有二阶连续偏导数，则f(X)为 R上的凸函数的充分必要条件是：f(X)的海森矩阵 H(X)在R上处处半正定。
– 6. 全局最优解——对于非线性规划min f = f(X)，gi(X) ≥ 0 （i = 1,2,…,l;），设X0∈R，对于任何X∈R均有f(X0) ≤ f(X)， 则称X0为非线性规划问题在R上的一个全局最优解。若
X0≠X时，f(X0) < f(X)严格成立，称X0为严格全局最优解。
第六章 非线性规划基本概念与基本原理
(6-1)
式 中 x ( x1 , x2 ,L , xn )T Rn ， 是 n 维 向 量 ，
f , hi (i 1,2,, m), g j ( j 1,2,,l) 都 是 Rn R 的 映 射 （ 即 自 变 量 是
n 维向量，因变量是实数的函数关系）．
6.1.3 基本概念
设 （ x1, x2） 表 示 供 应 中 心 的 待 定 位 置 （ 坐 标 ）， 而 （ ai， bi） 是 第 i 个用户的所在位置，则问题的目标函数是
min{max[ ai x1 bi x2 ]}
x1 , x2
1im
这个式子意昧着，首先对（x1, x2）的每个可能值求出指标 I，使方括 号中的矩形距离最大；其次在依赖于（x1, x2）的所有最大距离中求出 最小的．如果每一位置（x1, x2）都可以接受，那么问题是无约束的； 如果还有其他限制，例如供应中心到某几个用户的距离必须在某个范
特征值都大于零的 实对称矩阵 特征值都不小于零 的实对称矩阵
所有各阶顺序主子式都大于零，即
det Ai 0(i 1,2,, n) det A 0 且det Ai 0(i 1,2,, n 1)
负定矩阵
半负定矩 阵
特征值都小于零的 实对称矩阵 特征值都不大于零 的实对称矩阵 特征值既有大于零
det
Ai
0(i为奇数) 0(i为偶数)(i
1,2,,
n)
det
A
0
且
det
Ai
0(i为奇数) 0(i为偶数)(i
1,2,,
n
1)
有两个奇数阶顺序主子式，其中一个为正，另
非线性规划
非线性规划什么是非线性规划？非线性规划（Nonlinear Programming，简称NLP）是一种数学优化方法，用于求解包含非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划中的目标函数和约束条件都可以是非线性的。
非线性规划的数学表达式一般来说，非线性规划可以表示为以下数学模型：minimize f(x)subject to g_i(x) <= 0, i = 1, 2, ..., mh_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., px ∈ R^n其中，f(x)是目标函数，g_i(x)和h_j(x)分别是m个不等式约束和p个等式约束，x是优化变量，属于n维实数空间。
非线性规划的解法由于非线性规划问题比线性规划问题更为复杂，因此解决非线性规划问题的方法也更多样。
以下列举了几种常用的非线性规划求解方法：1. 数值方法数值方法是最常用的非线性规划求解方法之一。
它基于迭代的思想，通过不断优化目标函数的近似解来逼近问题的最优解。
常见的数值方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
2. 优化软件优化软件是一类针对非线性规划问题开发的专用软件，它集成了各种求解算法和优化工具，可以方便地求解各种类型的非线性规划问题。
常见的优化软件有MATLAB、GAMS、AMPL等。
3. 线性化方法线性化方法是一种将非线性规划问题转化为等价的线性规划问题的求解方法。
它通过线性化目标函数和约束条件，将非线性规划问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划的求解方法求解得到最优解。
4. 分类方法分类方法是一种将非线性规划问题分解为若干个子问题求解的方法。
它将原始的非线性规划问题分解为多个子问题，然后将每个子问题分别求解，并逐步逼近原始问题的最优解。
以上仅是非线性规划求解方法的一小部分，实际上还有很多其他的方法和技巧可供选择。
在实际应用中，选择合适的方法和工具是非常重要的。
非线性规划的应用非线性规划在实际生活和工程中有着广泛的应用。
第6章 非线性规划
97第六章* 非线性规划前面几章，我们论述了线性规划及其扩展问题，这些问题的约束条件和目标函数都是关于决策变量的一次函数。
虽然大量的实际问题可以简化为线性规划及其扩展问题来求解，但是还有相当多的问题很难用线性函数加以描述。
如果目标函数或约束条件中包含有非线性函数，就称这样的规划问题为非线性规划问题。
由于人们对实际问题解的精度要求越来越高，非线性规划自20世纪70年代以来得到了长足的发展；目前，已成为运筹学的一个重要分支，在管理科学、最优设计、系统控制等许多领域得到了广泛的应用。
一般来讲，非线性规划问题的求解要比线性规划问题的求解困难得多；而且也不象线性规划问题那样具有一种通用的求解方法（单纯形法）。
非线性规划没有能够适应所有问题的一般求解方法，各种方法都只能在其特定的范围内发挥作用。
本章在简要介绍非线性规划基本概念和一维搜索的基础上，重点介绍无约束极值问题和约束极值问题的求解方法。
§1非线性规划的数学模型1.1 非线性规划问题[例6-1] 某商店经销A 、B 两种产品，售价分别为20和380元。
据统计，售出一件A 产品的平均时间为0.5小时，而售出一件B 产品的平均时间与其销售的数量成正比，表达式为n 2.01+。
若该商店总的营业时间为1000小时，试确定使其营业额最大的营业计划。
解：设1x 和2x 分别代表商店经销A 、B 两种产品的件数，于是有如下数学模型：2138020)(m ax x x x f +=10002.05.02221≤++x x x0,021≥≥x x98 [例6-2] 在层次分析（Analytic Hierarchy Process , 简记为 AHP ）中，为了进行多属性的综合评价，需要确定每个属性的相对重要性，即它们各自的权重。
为此，将各属性进行两两比较可得如下判断矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a J 1111其中：ij a 是第i 个属性与第j 个属性的重要性之比。
《非线性规划》课件
非线性规划的约束条件
非线性规划的约束条件是指限制问题解的一组方程或不等式。这些约束条件可以包括物理限制、资源约 束和行为限制等。
非线性规划的求解方法
线性化方法
将非线性问题转化为等价的 线性问题，然后使用线性规 划方法求解。
牛顿法
使用牛顿迭代法逐步逼近最 优解。
拟牛顿法
使用近似Hessian矩阵的方法 优化牛顿法。
变尺度法、全局优化方法
1
变尺度法
通过改变尺度，将问题转化为更易求解的形式。
2
全局优化方法
使用启发式算法寻找全局最优解。
非线性规划的应用领域
生产计划问题
优化生产计划，提高效率和利润。
交通运输问题
优化交通网络和运输流程。
优化电力系统
使电力系统运行更加高效和可靠。
决策支持系统
为决策者提供优化建议和决策支持。
医资源分配和治疗方案。
非线性规划的挑战
复杂的问题结构和求解困难。
未来的研究方向
未来的研究方向包括改进算法性能、适用于大规模问题的方法和考虑不确定性的优化模型等。
《非线性规划》PPT课件
在这个《非线性规划》PPT课件中，我们将深入探讨非线性规划的各个方面， 并介绍其在不同领域的应用。让我们一起开启这个激动人心的学习之旅！
什么是非线性规划？
非线性规划是一种在优化问题中寻找最优解的数学方法。它处理的是有非线 性约束条件和目标函数的优化问题。
非线性规划的优化目标
大纲解读 第六章 非线性规划
（三）有约束极值问题 1、识记：（1）有约束极值问题，（2）起作用约 束，（3）可行下降方向，（4）K-T定理。 2、领会：（1）最优性条件，（2）二次规划， （3）罚函数法。 3、应用：（1）有约束问题的求解，（2）罚函数 法的应用。
大纲解读 第六章 非线性规划
一、考核知识点 （一）基本概念 （二）无约束极值问题 （三）有约束极值问题
（一）基本概念基本概念 1、识记：（1）非线性规划，（2）可行解与最优 解，（3）梯度，（4）海塞阵，（5）泰勒公式， （6）凸规划。 2、领会：（1）非线性规划问题，（2）极值条件， （3）凸函数与凹函数。 3、应用：非线性规划模型的建立。
西北农林科技大学运筹学课件第六章非线性规划
min f (X ) x1 x2 2x12 2x1x2 x22
f (X )
f
(X
)
x1 f (X
)
1 4x1 2x2 1 2x1 2x2
x2
X (1)：
f
(
X（1））
1 －1
H
(
X（1）)
4 2
2 2
X (1) (0,0)T 4 2
H(X ) 2 2
d(1 ) （ H (X (1 )) )1 f(X (1 )) 2 42 2 1 － 1 1
二、一维搜索
一维搜索方法的斐波那契法与黄金分割法的寻优途 径不是直接找出最优点，而是不断缩小最优点所处区域， 直到符合精度为止。这两种方法的主要特点为：①适于 单峰（谷）函数；②压缩峰（谷）点所处的区域
y
y
0 a a1 X′ b1 b
x
0 a a1 b1 X′ b
x
二、一维搜索
1．0.618法(黄金分割法)
F a )
tn1
a tn1
1 2(an2
bn20)
an2
(1 2
)
(bn2
an2)
k
k1
t1
k1 k1
n t'k11
b0
三、无约束极值问题
1．梯度法（最速下降法）
• 给定初始点X(1)，允许误差ε>0，k=1 • 确定有利得搜索方向d(k)为X(k)点的负梯度方向 d(k) f(x(k)) • 判断精度
一、基本概念
2．二维问题的图解
考虑非线性规划问题
min
f (x) (x1 2)2 (x2 1)2 x1 x22 5x2 0
x1 x2 5 0
非线性规划_基础理论_0505
ì ï min f ( x) ï ï ï ï í s.t . hi ( x) = 0 i = 1, 2, L p, p < n ï ï ï g j ( x) ? 0 j 1, 2, L m ï ï î hi (x) = 0, gj (x) 式中，x是n维欧氏空间Rn中的向量， f(展
自从1951年H. W. Kuhn及A. W. Tucker探讨了非线性规划解的最优性条件，为 非线性规划奠定了理论基础之后，非线性规划逐渐形成了一门十分重要且比较 活跃的新兴学科，出现了许多解非线性规划问题的有效的算法。由70年代开始， 该分支得到迅速发展：理论方面，非线性规划借鉴了数学理论中其他分支的成 果，逐步形成自身的学科特色；在应用方面，非线性规划为系统的优化和管理 提供了有力的工具。 随着电子计算机的应用，非线性规划在最优设计、管理科学、质量控制等许多 领域得到越来越深入的应用。非线性规划发展到今天，虽然已经提出许多求解 方法和策略，但是对于非线性规划的最优化问题目前还没有适于各种不同情况 的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。因而，这是需要人们更深入 的进行研究的一个领域。
非线性规划的理论基础
凸函数和凸规划
上述有关最优化问题的极值点的定义描述了优化问题中解的判断条件，一 般而言，我们的优化过程实际上就是找极值点或者最值点的过程，但是上面的定义 往往并不便于执行，我们需要引入其他的手段进行分析和判断，故我们首先介绍凸 集、凸函数和凸规划的概念，在这类特殊的问题之中，极值条件有着其特殊性。 对于一个非线性规划的目标函数，有局部极小值和全局极小值的概念，那 么我们提出凸集和凸函数的概念就是为了区分目标函数的极小值在什么情况下是局 部极小值，什么情况下是全局极小值。 凸集 x(1) , x(2) 翁T Rn x = l x(1) + (1都有 - l ) x(2) T [0,1 ] " l ，若对于 设 则称T为凸集 用形象一点的语言描述就是凸集的特征是集合中任两点连成的线段必 属于这个集合。下图是二维空间中具有典型特征的凸集和非凸集的例子。
运筹学―第六章非线性规划精品PPT课件
F1 1 Fn1 Fn2
, n 2,3,
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …
Fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
23 3
…
Fn1
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
Fn
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
… 233
hj (x) 0, j 1,...q
(NLP)
X
x
Rn
gi (x) hj (x)
0, i 1,..., p 0, j 1,..., q
约束集
如果(NLP)的约束集X是凸集，目标函数f是 X上的凸函数，则(NLP)叫做非线性凸规划， 或简称为凸规划。
凸规划的性质
定理 6.3 对于非线性规划(NLP)，若 gi ( x), i 1,..., p 皆为 Rn 上的凸函数， h j ( x), j 1,..., q 皆为线性函数， 并且 f 是 X 上的凸函数，则 NLP 是凸规划。
性质 6.2 设 S Rn 是非空凸集， f : Rn R 是凸函数， c R ，则集合
H S ( f , c) x S f ( x) c
是凸集。
凸函数的判 定
定理 6.1 设 S Rn 是非空开凸集， f : S R 可微，则
（1） f 是 S 上的凸函数的充要条件是
f ( x1 )T ( x 2 x1 ) f ( x 2 ) f ( x1 ) ， x1 , x 2 S
试获得 n 组 与 t 之间的实验数据 (ti , i ) ，
i=1，2，…,n。试确定参数 c1 ， c 2 ， c 3 ，
管理运筹学06非线性规划
对于大规模问题，梯度法可能会收敛到局部最优解而非全局 最优解。
牛顿法
优点
牛顿法具有二次收敛速度，即随着迭 代次数的增加，收敛速度会加快。
缺点
牛顿法需要计算目标函数的Hessian矩 阵，计算量大，且对于非凸问题，可 能陷入局部最优解。
拟牛顿法
优点
拟牛顿法具有类似于牛顿法的收敛速 度，但计算量较小。
解器。
SciPy的非线性规划求解器基于 优化算法，如梯度下降法和牛 顿法等，可以求解无约束和有
约束的非线性规划问题。
SciPy的接口简洁明了，易于使 用，适合Python程序员使用。
SciPy还提供了大量的示例和文 档，可以帮助用户更好地理解 和使用非线性规划求解器。
R语言
01 02 03 04
R语言是一种开源的统计计算语言，广泛应用于数据分析和统计建模 等领域。
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它通过迭代算法寻找使目标函数取得 极值的解，广泛应用于各种实际问题 的优化，如金融、物流、生产计划等 。
非线性规划的分类
约束优化问题
在给定的约束条件下最小化或最大化目标函数。
无约束优化问题
在无任何约束条件下最小化或最大化目标函数。
混合整数非线性规划问题
目标函数和约束条件中包含整数变量，且为非线性。
03
MATLAB的非线性规划求解器支持多种算法，包括内点法、梯度法、 牛顿法等，可以根据问题的规模和特性选择合适的算法。
04
MATLAB的用户界面友好，易于学习和使用，适合初学者和专家使用。
Python的SciPy库
SciPy是一个开源的Python数 学库，提供了大量的数学函数 和算法，包括非线性规划的求
线性规划及非线性规划
例 求解线性规划
m a xz 2 0 x 1 3 0 x 2 4 7 x 3 ,
s.t.x1 x3 60,
x2
50,
x1
2x2
3x3
120,
x1,x2,x3 0.
35
解 启动Lingo,
在主窗口中输入
主窗口
model :
m a x 2 0 * x 1 3 0 * x 2 4 7 * x 3 ; x1x360; x250; x 1 2 * x 2 3 * x 3 1 2 0 ;
此时
c
8 10
,
2
A
1
1
2
,
b
11
1
0
.
25
输入语句
结果为
不能省略!!
即原问题的最优解为
x
4 3
,
f
62.
26
例 求解线性规划
m ax f 2 x1 3 x2 5 x3
s
.t
.
2
x1 x1
x2 5x
x3 2x
3
7 1
0
xi 0, i 1, 2, 3
a
2
1
x
1
a22 x2
b2 ,
a
m
1
x
1
am 2 x2
运筹学课件第六章 非线性规划
或 x
k 1
x tk p , tk 0
k k
称p k 为 第k轮 搜 索 方 向 ， 为 第k轮 沿 搜 索 方 向 tk p k的 步 长 。
第11页
n n n 定义3 设f : R R, x R , p R , p 0， 0，使得 若
f ( x tp) f ( x ), t (0, )
2 1
令 0 得： f ( x1 )T ( x 2 x1 ) f ( x 2 ) f ( x1 )
f ( x 2 ) f ( x1 )
第23页
x1 , x 2 S f ( x ) ( x x ) f ( x ) f ( x )
1 T 2 1 2 1
1 T 2 1 2 1
证 (1) 必要性.设f是S上的凸函数，则对 (0,1), 有
f ( x 2 (1 ) x1 ) f ( x 2 ) (1 ) f ( x1 )
x1 , x 2 S
f ( x 1 ( x 2 x 1 )) f ( x1 )
第14页
全局优化算法概述
全局优化方法可分为随机性方法和确定性方法. 确定性方法充分利用了问题的解析性质, 如函数的 凸性、单调性、稠密性等, 产生一个确定性的有限 或无限点序列, 使得该点序列收敛于全局最优解. 包 括分枝定界算法、区间算法、填充函数法、割平面 法、顶点枚举法等,这类算法在理论上有较强的可行 性, 但对较为复杂的大型优化问题却难于应用.
如果有 f ( x* ) f ( x), x D, x x* 则称 x * 是(P)的严格全局最优解或严格全局极小点， 称 f ( x * ) 是(P)的严格全局最优值或严格全局极小值。
第6章 python 整数规划与非线性规划
目前，没有一种方法可以有效求解一切整数规划。常见的整数规划求解 算法有：
（1）分枝定界法：可求纯或混合整数线性规划； （2）割平面法：可求纯或混合整数线性规划； （3）隐枚举法：用于求解0 1整数规划，有过滤隐枚举法和分枝隐枚 举法； （4）匈牙利法：解决指派问题（0 1整数规划特殊情形）； （5）蒙特卡罗法：求解各种类型规划。
i1
xij
0或1,
i, j 1,2,
, n,
第 13 页
（6.1）
第6章
6.1整数规划
第 14 页
这是一个纯0 1整数规划模型。 若将模型（6.1）中的cij组成一个n阶方阵C (cij )nn，则称C 为效率矩阵。 这样，标准指派问题中的工作效率就可以很方便地用矩阵C 来表示，并且效 率矩阵C 与标准指派问题一一对应。同样地，模型（6.1）的最优解也可以用 n阶方阵 X *的形式来表示，我们称之为指派问题的最优解方阵。由于标准指 派问题要求“每项工作需且仅需一个人去完成，每个人需完成且仅需完成一 项工作”，故最优解方阵一定是一个置换矩阵，即矩阵的每一行、每一列都 恰好有一个“1”，其余元素均为 0。
标准指派问题的一般提法是：拟分派n个人 A1, A2 , , An去完成n项工作 B1, B2 , , Bn，要求每项工作需且仅需一个人去完成，每个人需完成且仅需完 成一项工作。已知人 Ai 完成工作Bj的时间或费用等成本型指标值为cij，则应 如何指派才能使总的工作效率最高？
第6章
6.1整数规划
第6章
6.1整数规划
第 15 页
标准指派问题的数学模型表现为0 1整数规划的形式，当然可以通过整 数规划的分支定界法或0 1整数规划的隐枚举法来求得最优解。但标准指派 问题的数学模型具有独特的结构，因此，为提高求解的效率，1955 年美国 数学家 H. W. Kuhn 根据匈牙利数学家 D. König 关于矩阵中独立零元素定 理，提出了一个求解标准指派模型的有效算法—匈牙利算法。
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第六章非线性规划（一）非线性规划的理论模型
Min f(X)
s.t. h
i
(X)=0（i=1，2，…,m）
g
j
(X)≥0（j=1，2，…,m）
其中，目标函数和约束方程含有非线性表达式。
若D={X∈R n:h
i (X)=0,i=1,2,…,m,g
j
(X)≥0,j=1,2,…,l}为可行域
可简化为 min f(X)
X∈D
D中的点X为非线性规划模型的可行解
当D=R n时---无约束线性规划当D≠R n时---有约束线性规划
（二）非线性规划的解及相关概念
1）可行解：D中的点X为非线性规划模型的可行解
2）最优解：若有X*∈D，对于任意的X∈D，都存在f(X*)≤f（X）则X*为最优解。
（全局最优解）
注：非线性规划问题的最优解可以在可行域的任意点取得。
3）梯度：若函数f(X)在X
0的领域内有连续一阶偏导数，则称f(X)在X
处对n
个变量的偏导数组成的向量为f(X)在X
的梯度。
梯度的几何意义：○1等高线；
○2函数f(X)在X
0的梯度方向是函数在X
处增加最快的方
向；
○3函数f(X)在X
0的梯度是等高线在点X
切平面的法向量；
4）海赛阵：若函数f(X)在X
0的领域内有连续二阶偏导数，则称f(X)在X
处对n
个变量两两组合的二阶偏导数组成的矩阵为f(X)在X
的海赛阵。
5）凸规划：在非线性规划问题中，目标函数为凸函数，不等式约束为凹函数，等式约束为仿射函数，则称这样的非线性规划为凸规划。
注：○1如果f(X)为凸函数，则-f(X)为凹函数.
○2对于多元函数f(X)，海赛阵为半正定，则f(X)为凸函数；
海赛阵为半负定，则f(X)为凹函数。
6）凸规划的性质：凸规划的约束集为凸集，凸规划的最优解集是凸集，任何局部最优解也是全局最优解。
如果目标函数为严格凸函数，且
最优解存在，则其最优解是唯一的。
（三）无约束极值的解法
1）一维搜索：一维搜索是一种求解单变量实值函数的极值点的过程，也称线性搜索。
常用的搜索方法有斐波拉契法，0.618法等
2）梯度法：梯度法也叫最速下降法，是一种求解无约束极值问题的最简单，最基本的下降类算法，其指导思想是：选取P
K
，使函数f(x)下降最快，
或者说使f(X
K +入P
K
)-f(X
K
)<0,并且是上式左边的绝对值尽可能地大。
（四）罚函数法
罚函数法：罚函数法是求解一般有约束极值问题的一种比较简单实用的方法，其基本思想是：将约束条件与目标函数组合在一起，化成无约束极
值问题来进行求解。
可分为外点法和内点法。
外点法是从可行域的外部逐步逼近最优解，
内点法是从可行域的内部逐渐逼近最优解。