五年级同步奥数讲义(全册)

第一讲最不利原则

例1.盒子里有5支红笔，3支蓝笔，10支黑笔。现在随意抓一把笔要确保其中至少有1支红笔，则一把必须不少于几支？

分析：抓得巧，只要抓1支即可。然而并不能保证实现这种情况。最不利的情况是抓了13支，都是不想要的黑笔与蓝笔。不过，只要再多抓1支就必定包含红的了。

解：10＋3＋1＝14（支）

例2.一列2个小方格，每个方格中随意涂红黑两种颜色中的一种，当涂毕第几列时，至少有2列是相同的？（有一列与另一列重复）。

分析：不妨这样想：要实现两列所用颜色一样，涂的顺序也相同。然而，由于是任意选的，据最不利原则总是先考虑已涂各列没有重复的。如：

红红黑黑……

红黑黑红……

实际上各不相同的列数总共只有4列。到第5列就必定重复前面涂过的4种中的某一种。如果并非遇到最不利情况，那么在前5列中重复的列数就不止2列。这与“至少2列”并不矛盾。

解：4＋1＝5（列）

练习一

1.盒子里有3支红笔，6支蓝笔，10支黑笔。现在随意抓一把笔要确保其中至少有1支红笔，则一把必须不少于几支？

2.鱼池中有30条白鳞鱼，50条黑鳞鱼，50条金鳞鱼。至少在多少名钓鱼者中才可保证他们一次钓出的鱼中，必有金鳞鱼？

3.在一个口袋中有10个黑球、 6个白球、 4个红球。问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？

4.口袋中有三种颜色的筷子各10根，问：至少取多少根才能保证三种颜色都取到？

5.在三个口袋中各有10个黑球、10个白球、10个红球。问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？

第二讲抽屉原理

专题简析：

如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。

基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x＋k（k≥1）个元素放到x 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m＋1个或更多个元素。

例.某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？

分析与解：把一年中的天数看成是抽屉，把学生人数看成是元素。把367个元素放到366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2个元素，即至少有两个学生的生日是同一天。

平年一年有365天，闰年一年有366天。把天数看做抽屉，共366个抽屉。把367个人分别放入366个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一天。

练习二

1.某校有370名2002年出生的学生，其中至少有几个学生的生日是同一天？

2.某校有30名学生是2月份出生的，至少有几个学生生日是在同一天？

3.15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？

4.小明家有5口人，小明妈妈至少要买几个苹果分给大家，才能保证至少有一人能得两个苹果？

第三讲巧算24点

同学们，看过王小丫主持的“开心辞典”节目吗？我记得上台答题者有3道必做题，其中有一道有关数学的是：用四个数，通过加减乘除计算出24。“巧算24点”是一种数学游戏，正如象棋、围棋一样是人们喜闻乐见的娱乐活动。它对于培养我们快捷的心算能力和反应能力很有帮助。相信你会很快喜欢上它的！

假如，你手中就只有两张牌要算出24，你希望是哪两张？3和8，4和6，12和2，11和13。

1.利用3×8＝24、4×6＝24求解。

现在我们有四张牌，该怎么办呢？把牌面上的四个数想办法凑成3和8、4和6，再相乘求解。如3、3、6、10可组成（10－6÷3）＝24等。又如2、3、3、7可组成（7＋（3－2）×3＝24等。实践证明，这种方法是利用率最大、命中率最高的一种方法。

2.利用0、1的运算特性求解。

同数相减得0，0加任何数的原数。相同数相除的1，1乘任何数得原数等。如3、4、4、8可组成3×8＋4－4＝24等。又如4、5、J、K可组成11×（5－4）＋13＝24等。

练习三3，3，5，6

2，2，4，8

1，4，4，5

6，8，8，9

5，7，12，12

2，2，6，9

2，6，9，9

1，4，4，7

2，2，5，7

第四讲相遇问题

例1.甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。两车在距中点32千米处相遇，东、西两地相距多少千米?

分析与解答：从图中可以看出，两车相遇时，甲车比乙车多行了32×2＝64（千米）。两车同时出发，为什么甲车会比乙车多行64千米呢？因为甲车每小时比乙车多行56－48＝8（千米）。64里包含8个8，所以此时两车各行了8小时，东、西两地的路程只要用（56＋48）×8就能得出。

32×2÷（56－48）＝8（小时）

（56＋48）×8＝832（千米）

答：东、西两地相距832千米。

练习四

1.小玲每分钟行100米，小平每分钟行80米，两人同时从学校和少年宫出发，相向而行，并在离中点120米处相遇。学校到少年宫有多少米？

2.一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行65千米，当摩托车行到离两地中点处50千米时和汽车相遇。甲、乙两地相距多少千米？

3.甲、乙二人同时从东、西村相向出发，甲每分钟行120米，乙每分钟行100米，甲和乙在过中点200米处相遇。东村到西村的路程是多少米？

4.两车同时从甲乙两地相对开出，甲每小时行48千米，乙车每小时行54千米，相遇时两车离中点36千米，甲乙两地相距多少千米？