导数选择题之构造函数法解不等式的一类题

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导数之构造函数解函数值不等式问题教师版

导数之构造函数解函数值不等式问题教师版1．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()2f x f x '+>，()05f =，则不等式()3e 2xf x -->的解集为__________. 【答案】{}0x x >构造函数()()e 2e x xg x f x =-，则该函数的定义域为R ，且()()0023g f =-=，所以，()()()e 20x g x f x f x ''=+->⎡⎤⎣⎦，则函数()g x 在R 上为增函数，由()3e 2x f x -->可得()e 2e 3x xf x ->，即()()0g x g >，解得0x >.因此，不等式()3e 2x f x -->的解集为{}0x x >.2．已知()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≥时，()1f x '>，则不等式(2)(21)3f x f x x +--≥-的解集为___________．【答案】(],3-∞解：令()()g x f x x =-，因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()()()g x f x x f x x f x x g x -=---=-+=--=-⎡⎤⎣⎦，即函数()g x 为奇函数，因为当0x ≥时，()1f x '>，所以当0x ≥时，()()''10g x f x =->，即函数()()g x f x x =-在区间[)0,∞+上单调递增，因为函数()g x 为奇函数，所以函数()()g x f x x =-在R 上单调递增，所以(2)(21)3f x f x x +--≥-等价于()()(2)2(21)21f x x f x x +-+≥---，即()()221g x g x +≥-，所以221x x +≥-，解得3x ≤.3．已知函数2()ln f x a x x =+，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-，则实数a 的最小值为______．【答案】解：设12x x >，则对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-等价于()()()12122f x f x x x ->-，即()()112222f x x f x x ->-，令2()()2ln 2g x f x x x a x x =-=+-，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以()220ag x x x'=+-≥在(0,)+∞上恒成立，即222a x x ≥-+在(0,)+∞上恒成立，所以()2max22a x x≥-+，又()22max1112222222x x ⎛⎫-+=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭，所以12a ≥，所以实数a 的最小值为12.4．定义在(,0)-∞的可导函数()f x ，其导数为()'f x 且3()()0f x xf x '+<，则不等式3(2022)(2022)8(2)0x f x f +++-<的解集为__________．【答案】(2024,2022)--【解析】【分析】构造函数()()3g x x f x =，则所要求解的不等式可化为()()20222g x g +<-，利用题设条件判断()g x 的单调性即可求解【详解】构造函数 ()()3g x x f x =()()()()23g x x f x xf x +'='当0x <时,()()30f x xf x '+<,20x >()0g x '∴<()g x ∴在(),0∞-上单调递减；()()()()32022(2022)2022,282g x x f x g f +=++-=--∴由不等式()()3(2022)2022820x f x f +++-< 得()()3(2022)202282x f x f ++<--()()20222g x g ∴+<-20222x ∴+>-且20220x +< 20242022x ∴-<<-;∴ 原不等式的解集为 ()2024,2022--.5．已知()f x 是R 上的奇函数，()g x 是在R 上无零点的偶函数，()20f =，当0x >时，()()()()0f x g x f x g x ''-<，则使得()()lg 0lg f x g x <的解集是________ 【答案】11(100,)100⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭,【解析】【分析】构造函数()()()f x h x g x =，求出()h x 的单调性及奇偶性，由()()lg (lg )0lg f x h x g x =<得到不等式，解不等式即可.【详解】令()()()f x h x g x =，则()()()()[]2()()f x g x f x g x h x g x ''-'=，当0x >时，()0h x '<，故()h x 在()0,∞+上单调递减，又()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，故()h x 是奇函数，()h x 在(),0∞-上单调递减，又()20,(0)0f f ==，可得(2)0,(2)0,(0)0h h h =-==，故()h x 在()2,0,(2,)-+∞上小于0，由()()lg (lg )0lg f x h x g x =<，得2lg 0-<<x 或lg 2x >，解得11100<<x 或100x >.故答案为：11(100,)100⎛⎫⋃+∞⎪⎝⎭,. 6．已知定义在R 上的函数()f x ，()f x '为其导函数，满足①()()2f x f x x =--，①当0x ≥时，()210f x x '++≥.若不等式()()221331f x x x f x +++>+有实数解，则其解集为________.【答案】{|x 23x <-或0x >}【详解】设2()()g x f x x x =++，则()()210g x f x x ''=++≥，在0x ≥时成立，所以()g x 在[0,)+∞上是增函数，又由()()2f x f x x =--，得222()()()2()()g x f x x x f x x x x f x x x g x -=-+-=++-=++=， ()g x 偶函数， 22(21)(21)(21)(21)(21)462g x f x x x f x x x +=+++++=++++22(1)(1)(1)1(1)32g x f x x x f x x x +=+++++=++++，不等式()()221331f x x x f x +++>+变形为：22(21)462(1)32f x x x f x x x ++++>++++，即(21)(1)g x g x +>+，所以(21)(1)g x g x +>+，所以211x x +>+，22(21)(1)x x +>+，2320x x +>，23x <-或0x >．故答案为：{|x 23x <-或0x >}．7．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，且()22f =，则()e e 0x xf -≥的解集是______．【答案】(],ln 2∞-【详解】令()()f xg x x=，则()()()2f x x f x g x x -=''，因为定义在()0,∞+上的可导函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，所以()()2()0'-'=<f x x f x g x x 在()0,∞+上恒成立，所以函数()()=f x g x x 在()0,∞+上单调递减；又()22f =，所以()()2212f g ==，由()e e 0xxf -≥得()e 1e x xf ≥，所以()()e12xg g ≥=故e2x≤，则ln 2x ≤，所以()e e 0x xf -≥的解集是(],ln 2∞-8．函数()f x 的定义域为R ，()15f =，若对任意的x ∈R ，都有()23x f x '<成立，则不等式()34f x x <+的解集为___________.【答案】()1,+∞【详解】解：任意的x ∈R ，都有()23x f x '<，即()203f x x -<'要解()34f x x <+，()15f =∴设3()()4h x f x x =--，则2()()30h x f x x ''=-<，()h x ∴在R 上单调递减，又()()311140h f =--=而()()33()4014f x x f x x h ⇔--<=<+，即()()1h x h <1x ∴>，即原不等式的解集为()1,+∞；故答案为：()1,+∞．9．已知函数()f x 的定义域为R ，图象关于原点对称，其导函数为()f x '，若当0x >时()()ln 0x x f x f x +⋅'<，则不等式()()44xf x f x ⋅>的解集为______．【答案】()(),10,1-∞-⋃【解析】【分析】依据函数单调性和奇偶性把抽象不等式转化为整式不等式去求解即可. 【详解】当0x >时，()()()()()ln 0ln 0ln 0f x f x x x f x x f x x f x x'''+⋅<⇔+⋅<⇔⋅<⎡⎤⎣⎦，故函数()()ln g x x f x =⋅在()0,∞+上单调递减，易知()10g =，故当()0,1x ∈时，()0g x >，()0f x <，当()1,x ∈+∞时，()0g x <，()0f x <；而()()()44440x xf x f x f x ⎡⎤⋅>⇔⋅->⎣⎦，而()()44xh x f x ⎡⎤=⋅-⎣⎦为奇函数，则当0x >时，当()440x f x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为01x <<，故当x ∈R 时，()440xf x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为1x <-或01x <<，故不等式()()44x f x f x ⋅>的解集为()(),10,1-∞-⋃．故答案为：()(),10,1-∞-⋃10．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为fx ，若对任意实数x ，都有()()f x f x '>，且()02022f =，则不等式()2022e 0xf x -<的解集为______．【答案】{}0x x <【解析】【分析】构造()()ex f x g x =，利用导数及已知条件易证()g x 在R 上的递增，再由不等式等价于()(0)g x g <，根据单调性即得解集.【详解】由题设，令()()e x f x g x =，则()()()0exf x f xg x '-'=>，所以()g x 在定义域上递增，又()2022e 0xf x -<等价于0()(0)()(0)e ex f x f g x g =<=，所以，由单调性知不等式解集为{|0}x x <.故答案为：{|0}x x <.11．已知奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()'f x ，当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()2cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为________________ .【答案】,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】构造函数()()cos f x g x x =，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.证明出()g x 为奇函数且为减函数.吧()2cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭可化为()4cos cos 4f f x x ππ⎛⎫⎪⎝⎭<，即可解出.【详解】记函数()()cos f x g x x =，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. ()()cos()f x g x x --=-.因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()cos()cos f x f x g x g x x x--==-=--，所以()g x 为奇函数.则2()cos ()sin ()cos f x x f x xg x x'+'=.当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，所以()0g x '<，所以()g x 为减函数.又()g x 为奇函数，所以()g x 的图像关于原点对称，所以，在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上()g x 为减函数.关于x 的不等式()2cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭可化为()4cos cos 4f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()()4g x g π<，所以42x ππ<<.12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()0xf x f x '->，且()20f -=，则不等式()0f x x>的解集是___________.【答案】(2,0)(2,)-+∞设()()''2()()()f x xf x f x g x g x x x-=⇒=，因为当0x >时，()()0xf x f x '->，所以当0x >时，'()0,()g x g x >单调递增，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以当0x ≠时，()()()()f x f x g x g x x x--==-=--，所以函数()g x 是奇函数，故当0x <时，函数()g x 也是增函数，因为()20f -=，所以()20f =，所以()20g -=，()20g =，当0x >时，由()0(2)2g x g x >=⇒>，当0x <时，由()0(2)220g x g x x >=-⇒>-⇒-<<，故答案为：(2,0)(2,)-+∞。

导数选择压轴题之【构造函数】

导数小题——构造函数解不等式当有题目有下列表格左栏中的条件时，那么构造相应的右侧的函数，利用新函数的单调性、奇偶性来解决题目中的问题。

例1 已知定义在实数集R 上的函数f(x)满足f (1)=2，且f(x)的导数f′(x)在R 上恒有f ′(x )<1 (x ∈R)，则不等式f (x )<x +1的解集为（）A.(1,+∞)B.(−∞,−1)C.(−1,1)D.(−∞,−1)∪(1,+∞)例2 已知定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，且f (1)=0，当x <0时，f ′(x )+f (x )x>0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是例3 ()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0f x xf x '+<，且()40f −=，则不等式()0xf x >的解集为．例4 已知()f x 是定义在(),−∞+∞上的函数，导函数()f x '满足()()f x f x '<对于R x ∈恒成立，则（）A ．()()220f e f >，()()201420140f e f >B ．()()220f e f <，()()201420140f e f >C ．()()220f e f >，()()201420140f e f <D ．()()220f e f <，()()201420140f e f <例5 已知函数()y f x =对于任意,22x ππ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（）A ．34f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 34f ππ⎛⎫⎛⎫−<− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．()023f fπ⎛⎫< ⎪⎝⎭例6 α，,22ππβ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ−>，则下列结论正确的是（）A ．αβ>B ．22αβ>C ．αβ<D ．0αβ+>例7 设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()10f =，当0x <时，有()()0xf x f x '−>恒成立，则不等式()0f x >的解集为．例8 已知偶函数()f x （0x ≠）的导函数为()f x '，且满足()10f −=，当0x >时，()()2f x xf x '>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是．例9 设()f x 是定义在R 上的奇函数，在(),0−∞上有()()2220xf x f x '+<，且()20f −=，则不等式()20xf x <的解集为例10若定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x '−>，()01f =，则不等式()2x f x e >的解集为．例11已知函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，若()f x 满足：()()()10x f x f x '−−>⎡⎤⎣⎦，()()222xf x f x e−−=，则下列判断一定正确的是（）A ．()()10f f C ．()()330f e f >D ．()()440f e f < 答案：例1：A例2：(−1,0)∪(0,1)例3：(−∞,−4)∪(0,4) 例4：D 例5：A例6：A例7：(−∞,−1)∪(1,+∞) 例8：(−1,1) 例9：(−2,2)例10：(0,+∞)例11：C。

2024年高考数学一轮复习大题专练07导数构造函数证明不等式1

一轮大题专练7—导数（构造函数证明不等式1）1．已知函数()f x alnx x =+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明：()x xf x e <．解：（1）()f x alnx x =+，(0,)x ∈+∞． ()1af x x'=+， 0a 时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递增．0a <时，令()0f x '=，解得0x a =->，函数()f x 在(0,)x a ∈-上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增．（2）证明：当1a =时，要证明：()xxf x e <，即证明21xlnx e x x+<，令()1lnxg x x=+，21()lnx g x x -'=，令()0g x '>，解得0x e <<；令()0g x '<，解得e x <． ∴函数()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减．x e ∴=时，函数()g x 取得极大值即最大值，g （e ）11e=+．令2()xe h x x =，3(2)()xx e h x x -'=，令()0h x '<，解得02x <<；令()0h x '>，解得2x <． ∴函数()h x 在(0,)e 上单调递减，在(2,)+∞上单调递增．x e ∴=时，函数()h x 取得极小值即最小值，h （2）24e =．221251(1)1044 2.5e e ⋅-+>-->． ()()max min g x h x ∴<，即21xlnx e x x+<，也即()x xf x e <． 2．已知函数()f x x alnx =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若关于x 的方程0x alnx -=有两个不相等的实数根，记较小的实数根为0x ，求证：0(1)a x a ->．（Ⅰ）解：由()f x x alnx =-，可得()1a f x x'=-，则f '（1）1a =-，又f （1）1=，所以曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为1(1)(1)y a x -=--，即(1)y a x a =-+．（Ⅱ）解：()f x x alnx =-的定义域为(0,)+∞，()1a x af x x x-'=-=，当0a 时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '>，可得x a >，令()0f x '<，可得0x a <<，所以()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0a >时，()0f x x alnx =-=才有两个不相等的实根，且00x >，则要证0(1)a x a ->，即证011a a x ->，即证0111a x ->，而000x alnx -=，则000(1x a x lnx =≠，否则方程不成立），所以即证00011lnx x x ->，化简得0010x lnx -->，令000()1g x x lnx =--，则000011()1x g x x x -'=-=，当001x <<时，0()0g x '<，0()g x 单调递减，当01x >时，0()0g x '>，0()g x 单调递增，所以0()g x g （1）0=，而01x ≠，所以0()0g x >，所以0(1)a x a ->，得证．3．已知函数()f x alnx x =+，函数2()x g x e bx =+，（1）记2()()h x f x x =+，试讨论函数()h x 的单调性，并求出函数()h x 的极值点；（2）若已知曲线()y f x =和曲线()y g x =在1x =处的切线都过点(0,1)．求证：当0x >时，()()(1)1xf x g x e x +--．解：（1）2()h x alnx x x =++，22()(0)x x ah x x x++'=>，记2()2(0)x x x a x ϕ=++>，当0a 时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞单调递增，无极值点，当0a <时，△180a =->，()x ϕ有异号的两根10)x =<，20)x =>，x ∴∈，()0x ϕ<，()0h x '<，()h x 在单调递减，x ∈，)+∞，()0x ϕ>，()0h x '>，()h x 在，)+∞单调递减，()h x ∴有极小值点x =；（2）证明：()(0)x af x x x+'=>，()2x g x e bx '=+，f ∴'（1）1a =+，()f x 在1x =处的切线方程为1(1)(1)y a x -=+-，过点(0,1)得：1a =-，g '（1）2e b =+，()g x 在1x =处的切线方程为(2)(1)y e b e b x --=+-，过点(0,1)得：1b =-， ()f x lnx x ∴=-+，2()x g x e x =-，要证：()()(1)1xf x g x e x +--，即证：(1)10x e xlnx e x ----，即证：1(1)0x e lnx e x x---，构造函数1()(1)x e K x lnx e x x =---，则2(1)(1)()x x e K x x --'=，0x >时，10x e ->，(0,1)x ∴∈时，()0K x '<，()K x 在(0,1)单调递减， (1,)x ∴∈+∞时，()0K x '>，()K x 在(1,)+∞单调递增，()K x K ∴（1）0=，故原不等式成立．4．已知函数()()f x ax lnx a R =+∈在1x =处取得极值．（Ⅰ）若对(0,)x ∀∈+∞，()1f x bx -恒成立，求实数b 的取值范围；（Ⅱ）设()()(2)x g x f x x e =+-，记函数()y g x =在1[4，1]上的最大值为m ，证明：(4)(3)0m m ++<．（Ⅰ）解：()()f x ax lnx a R =+∈，则1()f x a x'=+，又()f x 在1x =处取得极值，则有f '（1）10a =+=，解得1a =-，此时1()1f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>，则()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，则()f x 单调递减，所以()f x 确实在1x =处取得极值，故1a =-，设()(1)1h x lnx b x =+--，则()1f x bx -在(0,)+∞上恒成立，即()0h x 在(0,)+∞上恒成立，因为1()1h x b x'=+-，当10b -，即1b 时，()0h x >在(0,)+∞上恒成立，不符合题意；当1b <时，令()0h x '=，解得11x b=-，当101x b<<-时，()0h x '>，则()h x 单调递增，当11x b>-时，()0h x '<，则()h x 单调递减，所以当11x b =-时，()h x 取得最大值111()1(1)2111b h ln ln b b b b-=+-=------，要使得()0h x 在(0,)+∞上恒成立，则有(1)20ln b ---，解得21b e --，综上所述，实数b 的取值范围为(-∞，21]e --；（Ⅱ）证明：要证(4)(3)0m m ++<，即证明43m -<<-即可，因为()()(2)(2)x x g x f x x e lnx x x e =+-=-+-，则111()1(2)(1)()(1)x x x x x g x e x e e x e x x x x-'=-++-=+-=--，因为1[4x ∈，1]时，10x -恒成立，设1()x M x e x=-，1[4x ∈，1]，则()M x 为单调递增函数，又113205112035()0,()0201153M e M e =-<=->，则存在0113(,)205x ∈，使得0()0M x =，即001x e x =，则当01[,)4x x ∈时，()0M x <，(1)0x -<，则()0g x '>，故()g x 单调递增，当0[x x ∈，1]时，()0M x ，(1)0x -且不同时为0，则()0g x '，故()g x 单调递减，所以()g x 在1[4，1]上的最大值为0000000000()(2)2x x x m g x lnx x x e lnx x x e e ==-+-=-+-，又001x e x =，则00021m lnx x x =-+-，0113(,)205x ∈，设2()1k x lnx x x =-+-，113(,)205x ∈，则212()10k x x x'=-+>对于113(,)205x ∈恒成立，故()k x 在113(,)205x ∈上单调递增故1111114011940()()1420202011202011k x k ln ln >=-+-=+->-， 333103()()1 2.933355535k x k ln ln <=-+-≈-<-，于是43m -<<-，故(4)(3)0m m ++<．5．已知函数()x f x e x a =--，对于x R ∀∈，()0f x 恒成立．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：当[0,]4x π∈时，cos tan x x x e +．解：（1）由0x e x a --恒成立，得x a e x -对x R ∀∈恒成立，令()x g x e x =-，()1x g x e '=-，当0x >，()0g x '>，()g x 单调递增，当0x <，()0g x '<，()g x 单调减，()(0)1min g x g ==，故所求实数a 的取值范围为(-∞，1]；（2）证明：由（1）得1x e x +．欲证cos tan x x x e +，只需证cos tan 1x x x ++即可，令()cos tan 1h x x x x =+--，222221sin (sin cos )sin (sin sin 1)()sin 1cos cos cos x x x x x x h x x x x x-+-'=-+-==，令2()sin sin 1F x x x =+-，则易知()F x 在[0,]4π单调递增，且(0)0F <，()04F π>，故存在0(0,)4x π∈，使得0()0F x =；当[0x ∈，0)x 时，()0F x <，()0h x '，()h x 单调递减，当0(,]4x x π∈时，()0F x >，()0h x '>，()h x 单调递增，又(0)0h =，()044h ππ<，()(0)0max h x h ==，故当[0,]4x π∈时，cos tan x x x e +．6．已知函数()x f x e =，()1g x ax =+．（Ⅰ）已知()()f x g x 恒成立，求a 的值；（Ⅱ）若(0,1)x ∈211x x+-<．解：（1）已知()()f x g x 恒成立，即()()0f x g x -恒成立，令()()()1x h x f x g x e ax =-=--，则有()x h x e a '=-，当0a 时，则恒有()0h x '>，此时函数()h x 单调递增，并且当x →-∞时，()h x →-∞，不满足题意；0a ∴>，此时令()0h x x lna '=⇒=；()0h x x lna '∴>⇒>；()0h x x lna '<⇒<，即函数()h x 在(,)lna -∞上单调递减，在(,)lna +∞上单调递增，()()1min h x h lna a alna ∴==--，若要满足题意，则需使10a alna --，恒成立，令F （a ）1(0)a alna a =-->，则有F '（a ）lna =，由此可得，当01a <<时，F '（a ）0<；当1a >时，F '（a ）0>．F ∴（a ）min F =（1）0=，即得F （a ）0， 1a ∴=．（2）令()1((0,1))x G x e x x =--∈，则有()10x G x e '=->恒成立，故可得()G x 在(0,1)上单调递增，即有()(0)0G x G >=恒成立，故有101x x e x e x -->⇔>+在(0,1)上恒成立；根据题意，要证2111()lnx x f x x-+-<，即证明1111lnx x x x -+-<+，即证2111x lnx x x x x+-++-<+，即证2110lnx x x-++>，令21()H x lnx x x x =-++，则有22111()2(1)2H x x x x x x x'=--=--，(0,1)x ∈，10x ∴-<，20x -<，()0H x '∴<在(0,1)上恒成立，即得函数()H x 在(0,1)上单调递减， ()H x H ∴>（1）10=>，由此得证当(0,1)x ∈时，原不等式成立．7．已知函数()(1)f x x lnx =-，()f x '的反函数为()h x （其中()f x '为()f x 的导函数，20.69)ln ≈．（1）判断函数2()()32g x f x x x '=+-+在(0,)+∞上零点的个数；（2）当(0,1)x ∈31x x >--．解：（1）由题意得22()()3232g x f x x x lnx x x ='+-+=+-+，则(21)(1)()x x g x x--'=，由()0g x '=得12x =或1x =，由()0g x '>，得102x <<或1x >，由()0g x '<，得112x <<，当x 在(0,)+∞上变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：根据上表知13()2024g x g ln ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭极大值，()g x g =极小值（1）0=，121()220416g ln =-<，根据零点的存在性定理，函数()g x 在1(0,)2上存在唯一零点，又因为g （1）0=，所以根据()g x 的单调性可知，函数2()()32g x f x x x ='+-+在(0,)+∞上零点的个数为2．（2）证明：因为()f x lnx '=，其反函数为()x h x e =，所以不等式为33(1)1(1)(1)x xx lnx x x x lnx x x e e->--⇔->--，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)上单调递减，所以()f x f >（1）1=-，设函数3()(1)x G x x x e =--，则32()(32)x G x x x x e '=+--，设函数32()32p x x x x =+--，则2()361p x x x '=+-，所以()p x '在(0,1)上单调递增，因为(0)p p '⋅'（1）80=-<，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0p x '=，所以函数()p x 在0(0,)x 上单调递减，在0(x ，1)上单调递增，当0(0,)x x ∈时，0()(0)2p x p <=-，当0(x x ∈，1)时，0()0p x <，p （1）0>，所以存在1(0,1)x ∈，使得1()0G x '=，所以当1(0,)x x ∈时，()0G x '<，当1(x x ∈，1)时，()0G x '>，所以函数()G x 在1(0,)x 上单调递减，在1(x ，1)上单调递增，因为(0)1G =-，G （1）e =-，所以当(0,1)x ∈时，()(0)1G x G <=-，所以3(1)(1)x x lnx x x e ->--，所以3()1()f x x xg x >--．。

高考数学导数专项练习之构造函数解不等式

专题9：构造函数解不等式1．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( ) A ．(-∞，1)(1--⋃，0) B ．(0，1)(1⋃，)+∞C ．(-∞，1)(0-⋃，1)D ．(1-，0)(1⋃，)+∞【解析】由题意设()()f x g x x =，则2()()()xf x f x g x x '-'= 当0x >时，有()()0xf x f x '->，∴当0x >时，()0g x '>，∴函数()()f x g x x=在(0,)+∞上为增函数，函数()f x 是奇函数，()()g x g x ∴-=，∴函数()g x 为定义域上的偶函数，()g x 在(,0)-∞上递减，由(1)0f -=得，(1)0g -=，不等式()0()0f x x g x >⇔>，∴0()(1)x g x g >⎧⎨>⎩或0()(1)x g x g <⎧⎨<-⎩，即有1x >或10x -<<，∴使得()0f x >成立的x 的取值范围是：(1-，0)(1⋃，)+∞，故选：D ．2．函数()f x 的定义域是R ，(0)2f =，对任意x R ∈，()()1f x f x '+<，则不等式()1x x e f x e >+的解集为( )A ．{|0}x x >B ．{|0}x x <C ．{|1x x <-，或1}x >D ．{|1x x <-，或01}x <<【解析】令()()1x x g x e f x e =--，则()()()[()()1]x x x x g x e f x e f x e e f x f x '=+'-=+'-，()()1f x f x +'<， ()()10f x f x ∴+'-<，()0g x ∴'<，即()g x 在R 上单调递减，又(0)2f =，00(0)(0)12110g e f e ∴=--=--=，故当0x <时，()(0)g x g >，即()10x x e f x e -->，整理得()1x x e f x e >+，()1x x e f x e ∴>+的解集为(,0)-∞．故选：B ．3．已知定义在R 上的函数()f x 满足f （2）1=，且()f x 的导函数()1f x x '>-，则不等式21()12f x x x <-+的解集为( )A ．{|22}x x -<C ．{|2}x x <D ．{|2x x <-或2}x >【解析】令21()()2g x f x x x =-+，对()g x 求导，得()()1g x f x x '='-+，()1f x x '>-，()0g x ∴'>，即()g x 在R 上为增函数．不等式21()12f x x x <-+可化为21()12f x x x -+<，即()g x g <（2），由()g x 单调递增得2x <，所以不等式的解集为{|2}x x <．故选：C ．4．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(2)f x +为偶函数，f （4）1=，则不等式()x f x e <的解集为( ) A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．4(,)e -∞D ．4(e ，)+∞【解析】设()()()()()()()2x xx e f x f x f x h x h x e e '-='=则，()()f x f x '<，()0h x ∴'<．所以函数()h x 是R 上的减函数，函数(2)f x +是偶函数，∴函数(2)(2)f x f x -+=+， ∴函数关于2x =对称，(0)f f∴=（4）1=，原不等式等价为()1h x <，∴不等式()x f x e <等价()1()(0)h x h x h <⇔<，()(0)1x f x f e e <=．()h x 在R 上单调递减， 0x ∴>．故选：B ．5．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数()f x '，满足()()f x f x '<，且(2)(2)f x f x +=-，f（4）1=，则不等式()x f x e <的解集为( )A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(4,)+∞D ．(2,)-+∞【解析】可设函数()()x f x g x e=， ()()()xf x f xg x e'-'=，由()()f x f x '<，可得()0g x '<，即有()g x 在R 上递减，(2)(2)f x f x +=-，f（4）1=，可得(0)f f =（4）1=，0(0)(0)1f g e ==，由()x f x e <即为()1xf x e <，可得()(0)g x g <，由()g x 在R 上递减，可得0x >．则所求不等式的解集为(0,)+∞．故选：A ．6．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x +'>，(0)4f =，则不等式3()1(xf x e e >+为自然对数的底数）的解集为( )A ．(0,)+∞B ．(-∞，0)(3⋃，)+∞C ．(-∞，0)(0⋃，)+∞D ．(3,)+∞【解析】不等式3()1xf x e >+可化为 ()30x x e f x e -->；令()()3x x F x e f x e =--，则()()()x x x F x e f x e f x e '=+'-(()()1)x e f x f x =+'-；()()1f x f x +'>， (()()1)0x e f x f x ∴+'->；故()()3x x F x e f x e =--在R 上是增函数，又(0)14130F =⨯--=；故当0x >时，()(0)0F x F >=；故()30x x e f x e -->的解集为(0,)+∞；即不等式3()1(xf x e e >+为自然对数的底数）的解集为(0,)+∞；故选：A ．7．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()(4)f x f x =-，且当2x ≠时其导函数()f x '满足()2()xf x f x '>'若24a <<则( ) A ．(2)a f f <（3）2(log )f a <B ．2(log )(3)(2)a f a f f f<<<（3）(2)a f <C ．f （3）2()(2)a f log a f <<D ．2(log )(2)a a f f f<<（3）【解析】函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()(4)f x f x =-，()f x ∴关于直线2x =对称；又当2x ≠时其导函数()f x '满足()2()()(2)0xf x f x f x x '>'⇔'->，∴当2x >时，()0f x '>，()f x 在(2,)+∞上的单调递增；同理可得，当2x <时，()f x 在(,2)-∞单调递减；24a <<，21log 2a ∴<<，224log 3a ∴<-<，又4216a <<，22(log )(4log )f a f a =-，()f x 在(2,)+∞上的单调递增；2(log )f a f∴<（3）(2)a f <．故选：B ．8．已知函数()y f x =对于任意的(,)22x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是( ) A()()34f ππ，()0g x ∴'>，即函数()g x 在(2x π∈-，)2π单调递增，则②()()34g g ππ-<-，即()()34cos()cos()34f f ππππ--<--，∴()()312f f ππ--<())()34f ππ-<-，故B 正确； ②(0)()4g g π<，即()(0)4cos0cos 4f f ππ<，(0)()4f π∴<，故②正确；②(0)()3g g π<，即()(0)3cos0cos 3f f ππ<， (0)2()3f f π∴<，故②正确；由排除法，故选：A ．9．已知函数()y f x =对于任意的(2x π∈-，)2π满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是( ) A ．2()(0)3f f π->B．(0)()4f π>C ．(1)f f ->（1）D ．f （1）(0)cos1f >【解析】函数()y f x =对于任意的(2x π∈-，)2π满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>∴令()()cos f x h x x=，则2()cos ()sin ()0(cos )f x x f x x h x x '+'=>，()h x ∴在(2π∈-，)2π上单调递增，h （1）(0)h >，即(1)(0)cos1cos0f f >，cos10∴> f∴（1）(0)cos1f >，故D 正确同理可检验A ，B ，C 三个选项是错误的故选：D ． 10．函数()f x 的导函数为()f x '，对x R ∀∈，都有2()()f x f x '>成立，若(4)2f ln =，则不等式2()x f x e >的解是( )A ．1x >B ．01x <<C ．4x ln >D ．04x ln <<【解析】x R ∀∈，都有2()()f x f x '>成立，1()()02f x f x ∴'->，于是有2()()0x f x e '>，令2()()x f x g x e=，则有()g x 在R 上单调递增，不等式2()x f x e >，()1g x ∴>， (4)2f ln =， (4)1g ln ∴=，4x ln ∴>，故选：C ．11．函数()f x 的导函数()f x '，对x R ∀∈，都有()()f x f x '>成立，若f （2）2e =，则不等式()x f x e >的解是() A ．(2,)+∞ B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(0,2)ln【解析】x R ∀∈，都有()()f x f x '>成立，()()0f x f x ∴'->，于是有(())0x f x e'>，令()()x f x g x e=，则有()g x 在R 上单调递增，不等式()x f x e >，()1g x ∴>， f（2）2e =，g ∴（2）2(2)1f e ==， 2x ∴>，故选：A ． 12．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且f（2）0=，当0x >时，有2()()0xf x f x x '-<恒成立，则不等式()0xf x >的解集是( )A ．(2-，0)(2⋃，)+∞B ．(2-，0)(0⋃，2)C ．(-∞，2)(0-⋃，2)D ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞【解析】()f x 是R 上的奇函数，则()f x x为偶函数；2()()()()f x xf x f x x x '-'=； 0x >时，2()()0xf x f x x '-<恒成立； 0x ∴>时，()()0f x x'<恒成立； ∴()f x x在(0,)+∞上单调递减，在(,0)-∞上单调递增；由()0xf x >得：()0f x x>； f（2）0=，(2)0f ∴-=；∴②0x >时，()(2)2f x f x >；02x ∴<<；②0x <时，()(2)2f x f x ->-； 20x ∴-<<；综上得，不等式()0xf x >的解集为(2-，0)(0⋃，2)．故选：B ．13．已知一函数满足0x >时，有2()()2g x g x x x'=>，则下列结论一定成立的是( ) A ．(2)2g g -（1）3B ．(2)2g g -（1）2 C ．(2)2g g-（1）4<D ．(2)2g g -（1）4【解析】0x >时，有2()()2g x g x x x'=>， 32()3g x x c ∴=+， 33223x x c ∴>+， 343c x ∴<， 0x >，0c ∴ g ∴（2）163c =+，g （1）23c =+， ∴16(2)832232cg c+==+， ∴(2)2g g -（1）62232c ==- 故选：B ．14．定义在区间(0,)+∞上的函数()f x 使不等式2()()3()f x xf x f x <'<恒成立，其中()f x '为()f x 的导数，则( ) A ．(2)816(1)f f << B ．(2)48(1)f f <<C ．(2)34(1)f f << D ．(2)23(1)f f << 【解析】令3()()f x g x x=，则3264()3()()3()()f x x x f x xf x f x g x x x '-'-'==，()3()xf x f x '<，即()3()0xf x f x '-<， ()0g x ∴'<在(0,)+∞恒成立，即有()g x 在(0,)+∞递减，可得 g （2）g <（1），即(2)(1)81f f <，由2()3()f x f x <，可得()0f x >，则(2)8(1)f f <；令2()()f x h x x =，243()2()()2()()f x x xf x xf x f x h x x x '-'-'==， ()2()xf x f x '>，即()2()0xf x f x '->， ()0h x ∴'>在(0,)+∞恒成立，即有()h x 在(0,)+∞递增，可得 h （2）h >（1），即(2)4f f >（1），则(2)4(1)f f >．即有(2)48(1)f f <<．故选：B ．15．已知函数()f x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，图象关于y 轴对称，且当0x <时，()()f x f x x '>恒成立，设1a >，则4(1)1af a a ++，，4(1)()1aa f a ++的大小关系为( )A ．4(1)4(1)()11af a a a f a a +>>+++ B ．4(1)4(1)()11af a a a f a a +<<+++ C ．4(1)4(1)()11af a aa f a a +>>+++D ．4(1)4(1)()11af a aa f a a +<<+++ 【解析】当0x <时，()()f x f x x'>恒成立， ()()xf x f x ∴'<，令()()f x g x x=， 2()()()xf x f x g x x'-∴'=， ()0g x ∴'<，()g x ∴在(,0)-∞上单调递减， ()()f x f x -=， ()()g x g x ∴-=-，()g x ∴为奇函数，在(0,)+∞上单调递减．比较4(1)1af a a ++，，4(1)()1aa f a ++的大小， ∴4(1)4(1)1af a ag a a +=++，4ag =，44(1)()4()11a a a f ag a a +=++， 1a >，211)0a ∴+-=>，1a ∴+>411aa a +>+，且41a a <+411aa a ∴+>+， 4(1)()1ag a g g a ∴+<<+， 44(1)44()1aag a ag ag a ∴+<<+，即4(1)4(1)()11af a aa f a a +<<+++．故选：B ．16．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若(0,)x ∀∈+∞，都有()2()xf x f x '<成立，则( ) A ．23f f >B ．2f （1）3f <C ．43f f<（2） D ．4f （1）f>（2）【解析】令2()()f x g x x =，则3()2()()xf x f x g x x'-'=，()2()xf x f x '<， (0,)x ∴∀∈+∞， ()0g x ∴'<恒成立()g x ∴是在(0,)+∞单调递减，g ∴（1）g >（2），即4f （1）f >（2）故选：D ．17．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()2()f x xf x f x x '<<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是( ) A ．(2)132f f +<（1）(2)2f <B ．(2)142f f +<（1）(2)2f <C ．3(2)8f f <（1）(2)132f <+ D ．(2)142f f +<（1）3(2)8f <【解析】设2()()f x x g x x -=，()()f x h x x=，(0,)x ∈+∞，则243[()1]2[()]()2()()f x x x f x x xf x f x xg x x x '---'-+'==， 2()()()xf x f x h x x '-'=，因为()()2()f x xf x f x x '<<-对(0,)x ∈+∞恒成立，所以()0g x '<，()0h x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，()h x 在(0,)+∞上单调递增，则g （1）g >（2），h （1）h <（2），即22(1)1(2)212f f -->，(1)(2)12f f <，即(2)142f f+<（1）(2)2f <，故选：B ．18．若146()7a -=，157()6b =，27log 8c =，定义在R 上的奇函数()f x 满足：对任意的1x ，2[0x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-，则f （a ），f （b ），f（c ）的大小顺序为( )A ．f （b ）f <（a ）f <（c ）B ．f （c ）f >（b ）f >（a ）C ．f （c ）f >（a ）f >（b ）D ．f （b ）f >（c ）f >（a ）【解析】根据题意，函数()f x 满足：对任意的1x ，2[0x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-，则()f x 在[0，)+∞上为减函数，又由()f x 为定义在R 上的奇函数，则函数()f x 在(-∞，0]上为减函数，则函数()f x 在R 上为减函数，27log 08c =<，14467()()76a -==，而157()6b =，则0a b >>，故f （c ）f >（b ）f >（a ）．故选：B ．19．设定义在R 上的奇函数()f x 满足，对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x ≠，都有2121()()1f x f x x x -<-，且f（3）3=，则不等式()1f x x>的解集为( )A ．(3-，0)(0⋃，3)B ．(-∞，3)(0-⋃，3)C ．(-∞，3)(3-⋃，)+∞D ．(3-，0)(3⋃，)+∞【解析】设21x x >，且1x ，2(0,)x ∈+∞，由题意2121()()1f x f x x x -<-，可得函数()()F x f x x =-在(0,)+∞单调性递减，f（3）3=，可得F （3）0=，那么不等式()1f x x>，即求()0F x x >的解集， ()f x 是R 上的奇函数，()()(())()F x f x x f x x F x ∴-=-+=--=-， (3)0F ∴-=，当30x -<<时，()0F x <，可得()0F x x>成立；当03x <<时，()0F x >，可得()0F x x>成立；综上可得不等式()1f x x>的解集为(3-，0)(0⋃，3)．故选：A ．20．设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有3()()0f x xf x +'>，则不等式3(2015)(2015)27(3)0x f x f +++->的解集是 (2018,2015)--．【解析】根据题意，令3()()g x x f x =，其导函数为232()3()()[3()()]g x x f x x f x x f x xf x '=+'=+'，(,0)x ∈-∞时，3()()0f x xf x +'>， ()0g x ∴>，()g x ∴在(,0)-∞上单调递增；又不等式3(2015)(2015)27(3)0x f x f +++->可化为33(2015)(2015)(3)(3)x f x f ++>--，即(2015)(3)g x g +>-，020153x ∴>+>-；解得20152018x ->>-，∴该不等式的解集是为(2018,2015)--．故答案为：(2018,2015)--．21．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ∀∈，有2()()f x f x x -+=，在(0,)+∞上()f x x'<，若(4)()84f m f m m ---，则实数m 的取值范围是 [2，)+∞ ．【解析】令21()()2g x f x x =-，2211()()()()022g x g x f x x f x x -+=--+-=，∴函数()g x 为奇函数．(0,)x ∈+∞时，()()0g x f x x '='-<，故函数()g x 在(0,)+∞上是减函数，故函数()g x 在(,0)-∞上也是减函数，由(0)0f =，可得()g x 在R 上是减函数，2211(4)()(4)(4)()(4)()848422f m f m g m m g m m g m g m m m ∴--=-+---=--+--，(4)()g m g m ∴-，4m m ∴-，解得：2m ，故答案为：[2，)+∞22．已知定义在R 上函数()f x 满足f （2）1=，且()f x 的导函数()2f x '<-，则不等式()52f lnx lnx >-的解集为 2(0,)e ．【解析】设t lnx =，则不等式()52f lnx lnx >-等价为()52f t t >-，设()()25g x f x x =+-，则()()2g x f x '='+，()f x 的导函数()2f x '<-，()()20g x f x ∴'='+<，此时函数单调递减， f（2）1=，g ∴（2）f=（2）45550+-=-=，则当02x <<时，()g x g >（2）0=，即()0g x >，则此时()()250g x f x x =+->，即不等式()25f x x >-+的解为2x <，即()52f t t >-的解为2t <，由2lnx <，解得20x e <<，即不等式()52f lnx lnx >-的解集为2(0,)e ，故答案为：2(0,)e ． 23．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+<，(0)4f =，则不等式[()1]3(x e f x e ->为自然对数的底数）的解集为 (,0)-∞ ．【解析】设()()x x g x e f x e =-，()x R ∈，则()()()[()()1]x x x x g x e f x e f x e e f x f x '=+'-=+'-，()()1f x f x +'<， ()()10f x f x ∴+'-<，()0g x ∴'<，()y g x ∴=在定义域上单调递减， ()3x x e f x e >+，()3g x ∴>，又00(0)(0)413g e f e ==-=-=，()(0)g x g ∴<，0x ∴<故答案为：(,0)-∞．24．定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x >-'，(0)0f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()1x x e f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为(0,)+∞．【解析】设()()x x g x e f x e =-，()x R ∈；则()()()[()()1]x x x x g x e f x e f x e e f x f x '=+'-=+'-；()1()f x f x '>-； ()()10f x f x ∴+'->； ()0g x ∴'>；()y g x ∴=在定义域上单调递增； ()1x x e f x e >-；()1g x ∴>-；又00(0)(0)1g e f e =-=-；()(0)g x g ∴>；0x ∴>；∴不等式的解集为(0,)+∞．故答案为：(0,)+∞．25．函数()f x ，()(()0)g x g x ≠分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()f x g x f x g x '<'，(3)0f -=，则不等式()0()f xg x <的解集为 (3-，0)(3⋃，)+∞．【解析】②令()()()f x F xg x =．当0x <时，()()()()f x g x f x g x '<'，∴2()()()()()0()f xg x f x g x F x g x '''-=<，∴函数()F x 在0x <时单调递减；(3)0f -=，(3)0F ∴-=． ()0F x ∴<的解集为(3,0)-．②()f x ，()(()0)g x g x ≠分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，()()()()()()f x f x F x F xg x g x -∴-==-=--， ()F x ∴是R 上的奇函数，∴当0x >时，()0F x <的解集为(3,)+∞．综上可得：不等式()0()f xg x <的解集为(3-，0)(3⋃，)+∞．故答案为：(3-，0)(3⋃，)+∞． 26．设()f x 是定义在R上的奇函数，且(1)0f -=，若不等式112212()()0x f x x f x x x -<-对区间(,0)-∞内任意两个不相等的实数1x ，2x 都成立，则不等式(2)0xf x <解集是 1(2-，0)(0⋃，1)2．【解析】112212()()0x f x x f x x x -<-对区间(,0)-∞内任意两个不相等的实数1x ，2x 都成立，∴函数()()g x xf x =在(,0)-∞上单调递减，又()f x 为奇函数，()()g x xf x ∴=为偶函数，()g x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)g g -=（1）0=，作出()g x 的草图如图所示：(2)0xf x <即2(2)0xf x <，(2)0g x <，由图象得，120x -<<或021x <<，解得102x -<<或102x <<，∴不等式(2)0xf x <解集是1(2-，0)(0⋃，1)2，故答案为：1(2-，0)(0⋃，1)2．。

专题06 构造函数法解决导数不等式问题(一)(原卷版)

专题06 构造函数法解决导数不等式问题(一)以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f (x )±g (x )，f (x )g (x )，f (x )g (x )”等特征式、旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题小题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．导数是函数单调性的延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个f ′(x )，则单调性就变的相当隐晦了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是f (x )本身的单调性，而是包含f (x )的一个新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，另外题目中若给出的是f ′(x )的形式，则我们要构造的则是一个包含f (x )的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现f ′(x )，因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数．构造函数是数学的一种重要思想方法，它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想．分析近些年的高考，发现构造函数的思想越来越重要，而且很多都用在压轴题(无论是主观题还是客观题)的解答上．构造函数的主要步骤：(1)分析：分析已知条件，联想函数模型；(2)构造：构造辅助函数，转化问题本质；(3)回归：解析所构函数，回归所求问题．考点一构造F (x )＝x n f (x )(n ∈Z ，且n ≠0)类型的辅助函数【方法总结】(1)若F (x )＝x n f (x )，则F ′(x )＝nx n －1f (x )＋x n f ′(x )＝x n －1[nf (x )＋xf ′(x )]；(2)若F (x )＝f (x )x n ，则F ′(x )＝f ′(x )x n －nx n －1f (x )x 2n ＝xf ′(x )－nf (x )x n ＋1．由此得到结论：(1)出现nf (x )＋xf ′(x )形式，构造函数F (x )＝x n f (x )；(2)出现xf ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )xn ．【例题选讲】[例1](1)已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )＜－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)的解集是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)(2)已知函数f (x )是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且满足xf ′(x )＋2f (x )＞0，则不等式(x ＋2 021)f (x ＋2 021)5＜5f (5)x ＋2 021的解集为( ) A ．{x |x ＞－2 016} B ．{x |x ＜－2 016} C ．{x |－2 016＜x ＜0} D ．{x |－2 021＜x ＜－2 016}(3)(2015·全国Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)(4)设f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，f (x )＋xf ′(x )＜0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )＞0的解集为________．(5)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )＜2f (x )恒成立，则( )A ．4f (1)＜f (2)B ．4f (1)＞f (2)C ．f (1)＜4f (2)D ．f (1)＞4f ′(2)(6)已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，若a ＝f (e )e ，b ＝f (ln 2)ln 2，c ＝f (－3)－3，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．a ＜c ＜b D ．c ＜a ＜b【对点训练】1．设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2 021)2f (x＋2 021)－4f (－2)>0的解集为( )A ．(－∞，－2 021)B ．(－∞，－2 023)C ．(－2 023，0)D ．(－2 021，0)2．设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－2)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＞0，则使得f (x )＞0成立的x的取值范围是________．3．已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (－1)＝0，当x ＞0时，2f (x )＞xf ′(x )，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________．4．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (1)＝0，当x ＜0时，有xf ′(x )－f (x )＞0恒成立，则不等式f (x )＞0的解集为________．5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是________________．6．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式f (x )x>0的解集为( )A ．(－2，0)∪(2，＋∞)B ．(－2，0)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)7．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )－f (x )＜0，对任意正数a ，b ，若a 2f (3)B ．3f (2)＝2f (3)C ．3f (2)<2f (3)D ．3f (2)与2f (3)大小不确定9．定义在区间(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，其中y ＝f ′(x )为y ＝f (x )的导函数，则( )A ．8<f (2)f (1)<16B ．4<f (2)f (1)<8C ．3<f (2)f (1)<4D ．2<f (2)f (1)<3 考点二构造F (x )＝e nx f (x )(n ∈Z ，且n ≠0)类型的辅助函数【方法总结】(1)若F (x )＝e nx f (x )，则F ′(x )＝n ·e nx f (x )＋e nx f ′(x )＝e nx [f ′(x )＋nf (x )]；(2)若F (x )＝f (x )e nx ，则F ′(x )＝f ′(x )e nx －n e nx f (x )e 2nx ＝f ′(x )－nf (x )e nx．由此得到结论：(1)出现f ′(x )＋nf (x )形式，构造函数F (x )＝e nx f (x )；(2)出现f ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )enx ．【例题选讲】[例1](1)若定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )＋2f (x )>0，且f (0)＝1，则不等式f (x )>1e 2x的解集为． (2)定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f (x )ex <1的解集为________．(3)若定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )－2f (x )＞0，f (0)＝1，则不等式f (x )＞e 2x 的解集为________．(4)设定义域为R 的函数f (x )满足f ′(x )>f (x )，则不等式e x －1f (x )<f (2x －1)的解集为________．(5)定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )>1－f ′(x )，f (0)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )>e x －1(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)(6)定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意x ，有f (x )>f ′(x )，且f (x )＋2 021为奇函数，则不等式f (x )＋2 021e x <0的解集是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫－∞，1eD ．⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ (7)已知定义在R 上的偶函数f (x )(函数f (x )的导函数为f ′(x ))满足f ⎝⎛⎭⎫x －12＋f (x ＋1)＝0，e 3f (2 021)＝1，若f (x )>f ′(－x )，则关于x 的不等式f (x ＋2)>1ex 的解集为( ) A ．(－∞，3) B ．(3，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞)(8)已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，f ′(x )为其导函数，若对于任意实数x ，有f (x )－f ′(x )＞0，则( )A ．e f (2 021)＞f (2 022)B ．e f (2 021)＜f (2 022)C ．e f (2 021)＝f (2 022)D ．e f (2 021)与f (2 022)大小不能确定(9)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 021)>e 2 021f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 021)>e 2 021f (0)C ．f (2)>e 2f (0)，f (2 021)<e 2 021f (0)D ．f (2)<e 2f (0)，f (2 021)<e 2 021f (0)(10)已知函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，若f (x )满足：(x －1)[f ′(x )－f (x )]＞0，f (2－x )＝f (x )·e 2－2x ，则下列判断一定正确的是( )A ．f (1)＜f (0)B ．f (2)＞e 2f (0)C ．f (3)＞e 3f (0)D ．f (4)＜e 4f (0)【对点训练】1．已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )<f (x )，且f (0)＝12，则不等式f (x )－12e x <0的解集为( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，12B ．(0，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，0) 2．已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e，对任意实数x ，都有f (x )－f ′(x )>0，则不等式f (x )<e x －2的解集为( )A ．(－∞，e)B ．(1，＋∞)C ．(1，e)D ．(e ，＋∞)3．已知f ′(x )是定义在R 上的连续函数f (x )的导函数，若f ′(x )－2f (x )＜0，且f (－1)＝0，则f (x )＞0的解集为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，1)C ．(－∞，0)D ．(－1，＋∞)4．已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )>f (x )，且f (x ＋3)为偶函数，f (6)＝1，则不等式f (x )>e x 的解集为( )A ．(－2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)5．已知函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集是( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．|x |x <－1，或x >1|D ．{x |x <－1，或0<x <1}6．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＋1<f ′(x )，f (0)＝2，则不等式f (x )＋1>3e x 的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)7．定义在R 上的可导函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )<0，则下列各式一定成立的是( )A ．e 2f (2021)<f (2019)B ．e 2f (2021)>f (2019)C ．f (2021)<f (2019)D ．f (2021)>f (2019)8．定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )>f (x )恒成立，若x 1<x 2，则1e x f (x 2)与2e xf (x 1)的大小关系为( )A ．1e x f (x 2)>2e x f (x 1)B ．1e x f (x 2)<2e x f (x 1)C ．1e x f (x 2)＝2e x f (x 1)D ．1e x f (x 2)与2e x f (x 1)的大小关系不确定9．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R 都有f (x )＞f ′(x )成立，则( )A ．3f (ln2)＜2f (ln3)B ．3f (ln2)＝2f (ln3)C ．3f (ln2)＞2f (ln3)D ．3f (ln2)与2f (ln3)的大小不确定10．已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，且对于∀x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，则有( )A ．e 2022f (－2022)<f (0)，f (2022)>e 2022f (0)B ．e 2022f (－2022)<f (0)，f (2022)<e 2022f (0)C ．e 2022f (－2022)>f (0)，f (2022)>e 2022f (0)D ．e 2022f (－2022)>f (0)，f (2022)<e 2022f (0)考点三构造F (x )＝f (x )sin x ，F (x )＝f (x )sin x ，F (x )＝f (x ) cos x ，F (x )＝f (x )cos x类型的辅助函数【方法总结】(1)若F (x )＝f (x )sin x ，则F ′(x )＝f ′(x )sin x ＋f (x )cos x ；(2)若F (x )＝f (x )sin x ，则F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x； (3)若F (x )＝f (x )cos x ，则F ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ；(4)若F (x )＝f (x )cos x ，则F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x．由此得到结论：(1)出现f ′(x )sin x ＋f (x )cos x 形式，构造函数F (x )＝f (x )sin x ；(2)出现f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x 形式，构造函数F (x )＝f (x )sin x； (3)出现f ′(x )cos x －f (x )sin x 形式，构造函数F (x )＝f (x )cos x ；(4)出现f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x 形式，构造函数F (x )＝f (x )cos x．【例题选讲】[例1](1)已知函数f (x )是定义在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的奇函数．当x ∈[0，π2)时，f (x )＋f ′(x )tan x >0，则不等式cos xf (x ＋π2)＋sin xf (－x )>0的解集为( ) A ．⎝⎛⎭⎫π4，π2 B ．⎝⎛⎭⎫－π4，π2 C ．⎝⎛⎭⎫－π4，0 D ．⎝⎛⎭⎫－π2，－π4 (2)对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，不等式f (x )tan x <f ′(x )恒成立，则下列不等式错误的是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫π3>2f ⎝⎛⎭⎫π4 B ．f ⎝⎛⎭⎫π3>2f (1)cos 1 C ．2f (1)cos1>2f ⎝⎛⎭⎫π4 D ．2f ⎝⎛⎭⎫π4<3f ⎝⎛⎭⎫π6 (3)定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )，函数f ′(x )是它的导函数，且恒有f (x )＜f ′(x )tan x 成立，则( ) A ．3f ⎝⎛⎭⎫π4＞2f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f (1)＜2f ⎝⎛⎭⎫π2sin 1 C ．2f ⎝⎛⎭⎫π6＞f ⎝⎛⎭⎫π4 D ．3f ⎝⎛⎭⎫π6＜f ⎝⎛⎭⎫π3 (4)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式不成立的是( )A ．2 f ⎝⎛⎭⎫π3<f ⎝⎛⎭⎫π4B ．2 f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫－π4C ．f (0)<2 f ⎝⎛⎭⎫π4D ．f (0)<2f ⎝⎛⎭⎫π3 (5)已知定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，且恒有cos xf ′(x )＋sin xf (x )<0成立，则( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫π6＞2f ⎝⎛⎭⎫π4 B ．3f ⎝⎛⎭⎫π6＞f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫π6＞3f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．2f ⎝⎛⎭⎫π6＞3f ⎝⎛⎭⎫π4(6)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2满足f ′(x )·cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( )A ．2f ⎝⎛⎭⎫π3＜f ⎝⎛⎭⎫π4B ．2f ⎝⎛⎭⎫π3＞f ⎝⎛⎭⎫π4C ．2f ⎝⎛⎭⎫π6＞3f ⎝⎛⎭⎫π4D ．2f ⎝⎛⎭⎫π3＞f ⎝⎛⎭⎫π6。

专题06 导数中的构造函数解不等式-2019年高考数学总复习之典型例题突破

专题06 导数中的构造函数解不等式导数中经常出现给出原函数与导函数的不等式，再去解一个不等式，初看起来难度很大，其中这只是一种中等题型，只需根据原函数与导函数的关系式或者题目选项所给的提示构造函数，使得可根据原函数与导函数的关系式判断所构造函数的单调性，再将不等式化为两个函数值的形式，根据单调性解不等式即可。

【题型示例】1、定义在上的函数满足:,,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为( )A. B. C. D.【答案】A2、设函数在上的导函数为，对有，在上，，若直线，则实数的取值范围是（）A..B.C.D.【答案】A【解析】令，则，所以函数为奇函数，当时，，所以函数在上是减函数，故函数在上也是减函数，由，可得在上是减函数，，解得，实数的取值范围是.3、已知定义在上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】令，则，因为，所以，即在上为增函数，不等式可化为，即，又单调递增得，所以不等式的解集为.4、定义在的函数的导函数为，对于任意的，恒有，，，则的大小关系是（?? ）A. B. C. D.无法确定【答案】B【解析】构造函数，因，故在上单调递增，则，即，所以，应选B.【专题练习】1、设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（? ?）A. B. C. D.【答案】D【解析】构造函数,因,故是单调递减函数，所以等价于,解之可得,应选D．2、设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（? ?）A. B. C. D.【答案】D3、定义在上的函数满足：恒成立，若，则与的大小关系为（? ）A. B.C. D.与的大小关系不确定【答案】A【解析】设，则，由题意，所以单调递增，当时，，即，所以.4、设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（? ）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得：?，令，则当时，，即在是减函数，，，由题意：又在是减函数，∴，即，故选C.5、已知是定义在上的偶函数，其导函数为，若，且，,则的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数是偶函数，∴，∴，即函数是周期为的周期函数，∵，∴，设，则函数的导数，故函数是上的减函数，则不等式等价为，即，解得，即不等式的解集为.6、已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意正实数满足，若，则不等式的解集是（? ?）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，由题意知，当时，，所以，所以在上单调递增，又为偶函数，则也是偶函数，所以，由得，所以，则.故选D.7、设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（? ? ）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为函数是定义在上的函数，所以有，所以不等式可变形为.构造函数，则，所以函数在上单调递增，由，可得．8、已知的定义域为,为的导函数,且满足,则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D9、已知是定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为即，所以，所以函数在上单调递增，从而即.10、若函数在上可导，且满足，则( ?)A. B. C. D.【答案】B【解析】由于，恒成立，因此在上时单调递减函数，∴，即，故答案为B。

导数选择题之构造函数法解不等式的一类题

导数选择题之构造函数法解不等式的一类题一、单选题，且，若对任意实数，有上的函数的导函数为1．定义在的解集为为奇函数，则不等式D．C．A．B．，则使时，的导函数，，当2．设函数是奇函数成立的的取值范围是（）得B．A．D．C．恒，都有3．定义在上的偶函数的导函数，若对任意的正实数）的取值范围为（成立的实数成立，则使．C．D．A． B ，，时恒有上的偶函数，当4．已知函数定义在数集) (，则不等式的解集为，且，，，，B．A．，，，，D．C．上的函数满足，则不等式，．定义在5的解集为（）DC ．．A．B．时，有都有6．设定义在上的函数，且满足任意、、的大小关系是（，则）B．．AD．C．，则，且满足的解集为7．已知偶函数或．B．A或．D ．C．是的导函数，则不等8．定义在R上的函数满足：（其中e为自然对数的底数）的解集为( )式A．B．C．D．，满足，则不，且上的函数的导函数为9．已知定义在的解集为（等式）DC．．．B．A的，则不等式满足上的函数10．定义在f(x)解集为．D．B．A．C是函数，其中的导函满足11．已知定义在上的函数数．若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．12．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，且对于?x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有（）2017201720172017f(0) f(0)，(2017)<e f(－2017)<，f(2017)>e ff(0) B．A．ee f(－2017)<f(0)2017201720172017f(0) ，f(2017)<e f(－2017)>ff(0) D．e(0)C．e，f(－2017)>f(0)f(2017)>e满足,则不等，其导函数13．已知可导函数的定义域为的解集为式A．B．C．D．14．函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足的解集为（，则不等式）．BA．D．．C成立，则( ，都有已知函数15．的导数是) ，若B．A．D．C．），则下列不等式正确的是（满足条件：当时，已知函数16．． B ．A．D ．C．则有成立.上的函数，是它的导函数，且恒有．定义在17）（B．A．D．．C满足且当18．已知函数是偶函数，，时其导函数），若，则（C．B．．AD．，则使得19．设函数是奇函数的导函数，当时，的取值范围是（）成立的．．A B ．C．D．参考答案1．B【解析】【分析】，则得的单调性，再根据为奇函数得，转化不等式构造函数为，最后根据单调性性质解不等式.【详解】，所以在上单独递减，，则构造函数因为为奇函数，所以.等价于，即，选B. 因此不等式【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构构造构造造辅助函数常根据导数法则进行：如，构造构造等，，A2．可判断分析：【解析】构造函数时，首先判断函数的奇偶性，利用函数的单调性，结合函数图象列不等式组可得结果.详解：，设，的导数为则，时，因为成立，即恒大于零，所以当时，时，函数当为增函数，，又为定义域上的偶函数，函数为减函数，当时，函数又的图象性质类似如图，函数，数形结合可得，不等式或，可得或，使得成立的的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题. 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.3．A【解析】【详解】，利用导数确定它的单调性，从而可得题中不等式的解．分析：构造新函数，，则详解：设由已知当时，，∴在上是减函数，又∵也是偶函数，是偶函数，∴，，即，即为不等式或，∴．∴，即故选A．点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式．解题关键是构造新函数．新函数的结构可结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造．如，，等等．，B4．，结合求导法则，以及题中的条件，可以断定函数在相应区间【解析】分析：设上的单调性，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可.，，所以详解：设因为当时，有恒成立，所以当时，所以在上递增，，所以是奇函数，，所以因为，，所以上递增，因为所以在），所以，，所以等价于当时，，所以，所以，等价于当时，所以原不等式的解集为，故选B.点睛：该题考查的是有关函数的问题，结合题中所给的条件，结合商函数求导法则构造新函数，结合函数的单调性与导数的符号的关系，得到相应的结果，在求时的情况的时候，可以直接根据函数是偶函数求得结果.5．B对其求导分析可得在区间【解析】分析：根据题意，设，，结合函数的单调的值可得的值，进而将原不等式转化为上递减，利用性、定义域，分析可得答案.详解：根据题意，设，，则，定义在上，且有又由函数上递减，，则在区间则，则，若，则，. 即不等式的解集为故选：B.点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性之间的关系，关键是构造函数，并分析其单调性.6．C【解析】，则有根据题意，函数满足任意都有，设的函数，则有是周期为，则，则时，，又由，则导数为上为减函数，则有在，则函数有，则有，即，又由，则有，故选C.，变形可得【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.7．C【解析】【分析】递增，结合奇在可得，由构造函数从而可得结果. 偶性转化原不等式为【详解】，得由，令，递增，时，时，又等价于不等式是偶函数，也是偶函数，，或可得C.或，故选的解集为所以【点睛】．本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 8．B【解析】【分析】的单调性，结合原函数的性质和函数值，构造函数，研究，即可求解【详解】，设，则在定义域内单调递增，则，，，，则不等式的解集为故选【点睛】本题主要考查了函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键。

利用导数构造函数解决不等式问题小专题训练(含详细解答)

利用导数构造函数解决不等式问题1．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且对任意x ∈R 都有()2f x '>，(1)3f =，则不等式()210f x x -->的解集为（）A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(0,)+∞D ．(,0)-∞2．函数()f x 的定义域为R ，()22018f -=，对任意的x ∈R ，都有()2f x x '<成立，则不等式()22014f x x <+的解集为（）A ．()2,-+∞B ．()2,2-C ．(),2-∞D ．R3．设()f x 是定义在()0,∞+上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x +<'，对任意正数,a b ，若a b <，则必有( )A ．()()af b bf a 0，xf′(x)－f(x)<0，则对任意正数a ，b ，当a>b 时，下列不等式一定成立的是( )A ．af(b)<bf(a)B ．bf(a)<af(b)C ．af(a)<bf(b)D ．af(b)<af(a)5．已知()f x 为定义在R 上的可导函数，()f x '为其导函数，且(('))f x f x <恒成立，其中e 是自然对数的底，则（） A ．(2019) (2020)f e f 6．已知1201x x ，则（）A ．1221ln ln x x x x > B ．1221ln ln x x x x < C ．2112ln ln x x x x > D ．2112ln ln x x x x < 7．函数()f x 的导数为()'f x ，对任意的正数x 都有()()2'f x xf x >成立，则（） A ．()()9243f f > B ．()()9243f f <C ．()()9243f f =D ．()92f 与()43f 的大小不确定8．若ln22a =，ln33b =，ln66c =，则（） A ．a b c <x 时，有2()()0xf x f x x'-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集是（）A ．(2,0)-∪(2,)+∞B ．(,2)-∞-∪(0,2)C ．(,2)-∞-∪(2,)+∞D ．(2,0)-∪(0,2)参考答案1．B 【分析】先构造函数()()21g x f x x =--，求导得到()g x 在R 上单调递增，根据函数的单调性可求得不等式的解集. 【详解】构造函数()()21g x f x x =--， (1)3f =， (1)(1)210g f x ∴=--=.又任意x ∈R 都有()2f x '>.∴()()20g x f x '='->在R 上恒成立. ∴()g x 在R 上单调递增.∴当()(1)g x g >时，有1x >，即()210f x x -->的解集为{}|1x x >. 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性解不等式，根据题目条件构造一个新函数是解决本题的关键. 2．A 【解析】分析：根据题意，构造函数()()22014g x f x x =--，对其求导可得函数()g x 在R 上单调递减，由()22018f -=可得()()()222220140g f -=----=，进而可以将不等式变形为()()2g x g <-，结合函数的单调性分析可得答案. 详解：根据题意，构造函数()()22014g x f x x =--，则()()20g x f x x '-'=<，∴函数()g x 在R 上单调递减，又()22018f -=∴()()()222220140g f -=----=∴不等式()22014f x x <+可化为()()2g x g <-，∴2x >-，即不等式()22014f x x <+的解集为()2,-+∞.故选A.点睛：可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，其一般步骤是：构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论． 3．A 【分析】先构造函数,再由导数与原函数的单调性的关系解决. 【详解】()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数,且满足()()0xf x f x +<', ∴令()()g x xf x =,则()()()0g x xf x f x ''=+<,()g x ∴在(0,)+∞上单调递减或为常函数又0a b <<,且()f x 非负，于是有：()()0af a bf b >≥ ①22110a b>> ②②两式相乘得：()()()()0f a f b af b bf a ab>≥⇒<所以A 选项是正确的. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,着重考查构造函数的思想与观察分析问题的能力,属于中档题. 4．D 【分析】根据题意构造函数g (x )＝()f x x，求导可得到函数的单调性，进而得到g （a ）<g(b). 【详解】令g (x )＝()f x x ，∴g ′(x )＝()()()'20f x xf x f x x x ⎡⎤-⎥⎦'=<⎢⎣，∴函数g (x )在定义域内单调递减，∵a >b >0，∴g （a ）<g(b)，即()()f a f b ab<，进而可得bf(a)<af(b)．故答案为D. 【点睛】本题考查函数的单调性的应用，对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集． 5．B 【分析】构造新函数()()x x f F x e=，通过导数研究该函数的单调性，利用单调性比较大小，可得结果. 【详解】令()()x x f F x e =，则()()('')xf x F x ef x =- 由(('))f x f x <，所以()'0F x >故函数()F x 为R 上的单调递增，所以()()20202019F F > 故20202019(2020)(2019)f ef e > 即(2019)(2020)ef f < 故选：B 【点睛】本题主要考查利用函数单调性比较式子大小，难点在于构造函数()()x x f F x e=，属中档题. 6．D 【分析】构造函数()ln f x x x =，利用导数说明其单调性，即可判断AB ；设()ln xg x x=，利用导数研究其单调性，即可得解；【详解】解：设()ln f x x x =，则()'ln 1f x x =+，由()'0f x >，得1x e>，所以函数()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；由()'0f x <，得10x e <<，函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故函数()f x 在()0,1上不单调，所以()1f x 与()2f x 的大小无法确定，从而排除A ，B ；设()ln x g x x=，则()21ln 'xg x x -=，由()'0g x >，得0x e <<，即函数()f x 在()0,e 上单调递增，故函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()12g x g x <，即1212ln ln x x x x <，所以2112ln ln x x x x <.故选：D 【点睛】本题考查构造函数判断函数的单调性，利用函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题. 7．A 【分析】构造函数2()()f x g x x=，求出()0g x '<，得到()g x 在0,上单调递减，由(2)(3)g g >即可得到答案. 【详解】由()()2'f x xf x >，得()()'20xf x f x -<，设2()()f x g x x =，则()()243()2()2()x f x xf x xf x f x g x x x ''--'==，因为x 是正数，所以30x >，又()()'20xf x f x -<，所以()0g x '<，所以()g x 在0,上单调递减，所以(2)(3)g g >，即22(2)(3)23f f >，即9(2)4(3)f f >. 故选：A 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，并利用函数的单调性解不等式，注意构造函数的应用，考查学生的分析转化能力，属于中档题. 8．C 【分析】设ln ()xf x x=，则21ln ()x f x x -'=，所以()f x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，又有ln 4ln 242=，由此即可得到本题答案. 【详解】设ln ()xf x x=，则21ln ()x f x x -'=，所以()f x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减；即有(6)(4)(3)f f f <<，所以ln6ln4ln2ln36423<=<，故c a b <<. 故选：C 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性比较大小. 9．B 【解析】试题分析：因为当0>x 时，有2()()0xf x f x x '-<恒成立，所以'()0f x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭恒成立，所以()f x x在(0,)+∞内单调递减．因为0)2(=f ,所以在(0,2)内恒有()0f x >；在(2,)+∞内恒有()0f x <．又因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以在(,2)-∞-内恒有()0f x >；在(2,0)-内恒有()0f x <．又因为不等式2()0x f x >的解集，即不等式()0f x >的解集，由上分析可得，其解集为(,2)-∞-∪(0,2)，故应选B ．考点：1、函数的基本性质；2、导数在研究函数的单调性中的应用．【思路点睛】本题主要考查了函数的基本性质和导数在研究函数的单调性中的应用，属中档题．其解题的一般思路为：首先根据商函数求导法则可知2()()0xf x f x x'-<化为'()0f x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭；然后利用导数的正负性可判断函数()f x x 在(0,)+∞内的单调性；再由0)2(=f 可得函数)(x f 在(0,)+∞内的正负性；最后结合奇函数的图像特征可得，函数)(x f 在(,0)-∞内的正负性，即可得出所求的解集．。

2018届高三构造函数利用导数解不等式(原卷版)

专题一构造函数利用导数解不等式对于已知不等式中既有()f x 又有'()f x ，一般不能直接确定'()f x 的正负，即不能确定()f x 的单调性，这时要求我们构造一个新函数，以便利用已知不等式判断其导数的的正负，常见的构造新函数有1．对于()()x g x f ''>，构造()()()x g x f x h -=更一般地，遇到()()0'≠>a a x f ，即导函数大于某种非零常数(若a =0，则无需构造)，则可构()()axx f x h -=2．对于()()0''>+x g x f ，构造()()()x g x f x h +=3．对于()()0'>+x f x f ，构造()()x f e x h x=4．对于()()x f x f >'[或()()0'>-x f x f ]，构造()()x e x f x h =5．对于()()0'>+x f x xf ，构造()()x xf x h =6．对于()()0'>-x f x xf ，构造()()x x f x h =7．对于()()0'>x f x f ，分类讨论：(1)若()0>x f ，则构造()()x f x h ln =；(2)若()0<x f ，则构造()()[]x f x h -=ln ；例一设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时,.若，则实数的取值范围是()A. B. C. D.构造函数法，令2()()2F x f x x =-，则1()()402F x f x x ''=-<-<，函数()F x 在(,0)-∞上为减函数，因为2()()()()40F x F x f x f x x -+=-+-=，即()()F x F x -=-，故()F x 为奇函数，于是()F x 在(,)-∞+∞上为减函数，而不等式3(1)()32f m f m m +≤-++可化为(1)()F m F m +≤-，则1m m +≥-，即12m ≥-.选A.例二已知()f x 是定义在区间(0)+∞，上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()2()x f x f x '<恒成立，则（）A．4(1)(2)f f <B．4(1)(2)f f >C．(1)4(2)f f <D．(1)4(2)f f '<对点训练1．【2017广东惠州】定义在R 上的函数)(x f y =满足)()3(x f x f =-，0)(')23(<-x f x ，若21x x <，且321>+x x ，则有()（A ）)()(21x f x f >（B ）)()(21x f x f <（C ）)()(21x f x f =（D ）不确定2．【2017沧州】函数()f x 的定义域为R ，(0)2f =，对任意x R ∈，都有()'()1f x f x +>，则不等式()1x xe f x e >+ 的解集为（）A．{|0}x x >B．{|0}x x < C.{|1}x x <-或1x >D．{|1}x x <-或01}x <<3．【2017湖南郴州】已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，若对于任意实数x 有()'()f x f x >，且()1y f x =-为奇函数，则不等式()x f x e <的解集为（）A．(,0)-∞B．(0,)+∞ C.4(,)e -∞D．4(,)e +∞4.定义域为R 的可导函数()x f y =的导函数为()x f '，满足()()x f x f '>，且(),10=f 则不等式()1<x e x f 的解集为（)A.()0,∞-B.()+∞,0C.()2,∞-D.()+∞,25.已知偶函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时有，则不等式的解集为()A. B. C.D ．。

利用导数构造函数解不等式

构造函数解不等式1.(2015全国2理科)．设函数f’(x)是奇函数()()f x x R ∈的导函数，f （-1）=0，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（A ）（B ）（C ）（D ）2若定义在R 上的函数()f x 是奇函数, ()02=f ,当x ＞0时，()()2xx f x f x -'＜0,恒成立，则不等式()x f x 2＞0的解集A ()2,-∞-⋃()+∞,2B ()0,2- ⋃ ()+∞,2C ()2,-∞-⋃()2,0D ．()0,2-⋃()2,03定义在R 上的函数()f x 满足：()()1(0)4f x f x f '+>=，，则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（） A .()0,+∞ B . ()(),03,-∞+∞ C .()(),00,-∞+∞ D .()3,+∞4. 定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()5x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞C ．()(),01,-∞+∞D ．()3,+∞5.定义在R 上的函数()f x 满足则不等式（其中e 为自然对数的底数）的解集为6．定义域为R 的可导函数()x f y =的导函数为'()f x ，满足()()x f x f '>，且(),10=f 则不等式()1<x e x f 的解集为 A ．()0,∞- B ．()+∞,0 C ．()2,∞- D ．()+∞,27已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且则不等式的解集为( ) A ．()0,∞- B ．()+∞,0 C ．()2,∞- D ．()+∞,28．定义域为R 的函数满足()12=f ，且的导函数为＞x-1，则不等式()f x ＜1212+-x x 的解集是 A ()2,2- B ()+∞,2 C ()2,∞- D ()2,-∞- ⋃()+∞,29已知是定义域为()0,∞-的可导函数，其导函数为，且()()x f x x f '+3＞0，不等式()()()327201520153-+++f x f x ＞0的解集A ()2015,2018--B ()2015,2016--C ()2016,-∞-D ()2012,-∞-10已知定义域为R 的可导函数，其导函数为，满足，且()2+x f 是偶函数，()14=f ，不等式()f x ＜x e 的解集A ．()+∞,1B ．()+∞,0C ．()+∞,4D ．()+∞-,211已知函数对于任意的x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππ，满足()f x '()x x f x sin cos +＞0，则下列不等式不成立的是 A ⎪⎭⎫ ⎝⎛32πf ＜⎪⎭⎫ ⎝⎛4πf B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πf ＜⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πf C ()0f ＜⎪⎭⎫ ⎝⎛42πf D ()0f ＜⎪⎭⎫ ⎝⎛32πf 12已知()f x ，()()()0≠x g x g 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，，()x f '()x g ＜()()x g x f '， ()03=-f ，则()()x g x f ＜0的解集 A ()3,-∞-⋃()+∞,3 B ()0,3- ⋃()3,0 C ()0,3- ⋃()+∞,3 D ()3,-∞- ⋃()3,013已知可导函数，其导函数为，对任意,R x ∈都有()x f ＜()x f '2成立，若()24ln =f ，则不等式()x f ＞2xe 的解集A x ＞ ln 4B 0＜x ＜ln 4C x ＞1D 0＜x ＜114已知一函数满足x ＞0时有()22x x g ='＞()xx g ，则下列结论一定成立的是A . ()()31g 22≤-gB .()()21g 22≥-g C.()()41g 22≥-g D. ()()1g 22-g ＜4（15）已知定义在R 上的函数)(x f y =满足：函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<('()f x 是函数()f x 的导函数)成立, 若11(sin )(sin )22a f =，(2)(2)b ln f ln =，1212()4c f log =,则,,a b c 的大小关系是( ）A ． a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>17.（2015福建理科）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是A.11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭ B.111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C.1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D. 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭16.设()f x 是定义在R 上的增函数，对于任意的x 都有(1)(1)0f x f x -++=恒成立，若实数,m n 满足22(623)(8)03f m m f n n m ⎧-++-<⎨>⎩，则22m n +的取值范围是________.(13,49)7、已知对于任意实数x ，有()()f x f x -=-，()()g x g x -=且0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则0x <时（）A. ()0f x '>，()0g x '>B. ()0f x '>，()0g x '<C. ()0f x '<，()0g x '>D. ()0f x '<，()0g x '<10.设函数31,1,()2, 1.x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的a 的取值范围是 A. 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. []0,1 C. 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. [)1,+∞7、存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（）A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+C. 2(1)1f x x +=+D. 2(2)1f x x x +=+ 15．设函数22,2(),2x a x f x x a x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，若f （x ）的值域为R ，是实数a 的取值范围是______. 14、若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩ （0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实数a 的取值范围是 . （12）对函数()f x ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值叫做函数)(x f 的下确界．现已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足(1)(1)f x f x -=+，当]1,0[∈x 时，23)(2+-=x x f ，则)(x f 的下确界为（）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-１.（2015全国试卷１）函数()()a ax x e x f x+--=12，若a ＜１，若存在唯一整数0x ，使()0x f ＜０，则a 的取值范围是（）Ａ⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,23e Ｂ ⎪⎭⎫⎢⎣⎡-4,23e Ｃ ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,23e Ｄ ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23e 12．（2014全国试卷１）函数y=f （x ）的图象与函数y=g （x ）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f （x ）的反函数是（）A ． y=g （x ）B ． y=g （﹣x ）C ． y=﹣g （x ）D ． y=﹣g （﹣x ）12.已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则( ) A. 121()0,()2f x f x >>- B. 121()0,()2f x f x <<- C. 121()0,()2f x f x ><- D. 121()0,()2f x f x <>- 7.已知函数）x f y (=的导函数为)('x f ，且x f x x f sin )3(')(2+=π，则=)3('πf ( ) A ．π463- B ．π263- C ．π463+ D ．π263+9. 定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()5x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞C ．()(),01,-∞+∞D ．()3,+∞ 设g （x ）=e x f （x ）-e x ，（x ∈R ），则g ′（x ）=e x f （x ）+e x f ′（x ）-e x =e x [f （x ）+f ′（x ）-1]，∵f'（x ）＞1-f （x ），∴f （x ）+f ′（x ）-1＞0，∴g ′（x ）＞0，∴y=g （x ）在定义域上单调递增，∵e x f （x ）＞e x +5，∴g （x ）＞5，又∵g （0）=e 0f （0）-e 0=6-1=5，∴g （x ）＞g （0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故选：A．.。

一元函数的导数及其应用(利用导函数研究不等式问题)(选填压轴题)(解析版)高考数学高分必刷必过题

专题04一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式问题）（选填压轴题）构造函数法解决导数不等式问题①构造()()n F x x f x =或()()n f x F x x=(n Z ∈，且0n ≠)型②构造()()nx F x e f x =或()()nxf x F x e =(n Z ∈，且0n ≠)型③构造()()sin F x f x x =或()()sin f x F x x =型④构造()()cos F x f x x =或()()cos f x F x x=型⑤根据不等式（求解目标）构造具体函数①构造()()n F x x f x =或()()nf x F x x =(n Z ∈，且0n ≠)型1．（2022·安徽师范大学附属中学高二期中）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0xf x f x '+>，且(2)3f =，则()e e 6xxf >的解集为（）A ．(ln 2,)+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(0,1)【答案】A令()()F x xf x =，可得()()()0F x xf x f x ''=+>，所以()F x 在R 上是增函数，可得(e )e (e )x x x F f =，(2)3f =，(2)2(2)6F f ==，由(e )6ex x f >，可得(e )(2)xF F >，可得：e 2x >，所以ln 2x >，所以不等式的解集为：(ln 2,)+∞，故选：A ．2．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）已知定义在()(),00,∞-+∞U 上的偶函数()f x ，在0x >时满足：()()0xf x f x '+>，且()10f =，则()0f x >的解集为（）A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．()(),10,1-∞-⋃C ．()0,1D ．()1,+∞【答案】A 令()()F x xf x =，所以()()()()()F x x f x xf x F x -=--=-=-所以()F x 是奇函数，在0x >时，()()()0F x xf x f x ''+=>，则在0x >时，()F x 单调递增，由()10f =，可得(1)1(1)0F f =⨯=，(1)(1)0F F -=-=，所求()()0F x f x x =>，等价于()00F x x >⎧⎨>⎩或()00F x x <⎧⎨<⎩，解得1x >或1x <-，所以解集为：()(),11,-∞-⋃+∞．故选：A ．3．（2022·广东·佛山市顺德区东逸湾实验学校高二期中）已知()'f x 是偶函数()()R f x x ∈的导函数，(1)1f =．若0x >时，3()()0f x xf x '+>，则使得不等式3(2022)(2022)1x f x -->成立的x 的取值范围是（）A ．(2021,)+∞B ．(,2021)-∞C ．(2023,)+∞D ．(,2023)-∞【答案】C构造函数()()3g x x f x =，其中R x ∈，则()()()()()33g x x f x x f x g x -=--=-=-，所以，函数()g x 为R 上的奇函数，当0x >时，()()()()()232330g x x f x x f x x f x xf x '''=+=>⎡⎤⎣⎦+，所以，函数()g x 在()0,∞+上为增函数，因为()11f =，则()()111g f ==，由()()3202220221x f x -->得()()20221g x g ->，可得20221x ->，解得2023x >.故选：C4．（2022·河北·邢台市第二中学高二阶段练习）定义在()0,8上的函数()f x 的导函数为()f x ¢，且()()2xf x f x '<，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24f x x <的解集为（）A ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 设()()2f xg x x=，08x <<，则()()()320xf x f x g x x '-'=<，则()g x 在()0,8上单调递减，由()24f x x <，得：()24f x x<，而21124212f g ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()12g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则182x <<．故不等式()24f x x <的解集为1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：A5．（2022·福建省德化第一中学高二阶段练习）若()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0f x xf x '+<，且()30f -=，则不等式()0xf x >的解集为（）A ．()()3,00,3-B ．()(),33,-∞-+∞C ．()(),30,3-∞-⋃D ．()()3,03,-⋃+∞【答案】C设()()g x xf x =，则()g x 的定义域为R而()()()()g x xf x xf x g x -=--=-=-，故()g x 为R 上的奇函数，且()()()g x f x xf x ''=+，当0x <时，因为()()0f x xf x '+<，故()0g x ¢<，故()g x 在(),0-∞上为减函数，故()g x 为()0,+∞上的减函数，而()30f -=，故()30g -=，所以()30g =又()0xf x >即为()0g x >，故()00x g x <⎧⎪⎨>⎪⎩或()00x g x >⎧⎪⎨>⎪⎩，故()()03x g x g <⎧⎪⎨>-⎪⎩或()()03x g x g >⎧⎪⎨>⎪⎩，故3x <-或03x <<，故选：C.6．（2022·宁夏吴忠·高二期中（理））()f x 是定义在R 上的奇函数，且()20f =，当0x >时，有()()20xf x f x x '-<恒成立，则()0f x x>的解集为（）A ．()()2,02,-+∞B ．()(),22,-∞+∞C ．()()2,00,2-D ．()(),20,2-∞- 【答案】C 设函数()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x'-'=，由题知，当0x >时，()0g x ¢<，∴()()f x g x x=在()0,+∞上单调递减，∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-∴()()()()f x f x g x g x x x---===--，∴函数()g x 是定义在R 上的偶函数，∴()g x 的单调递增区间为(),0-∞，∵()20f =，∴()(2)202f g ==，()20g -=∴当2x <-或2x >时，()0g x <，当20x -<<或02x <<时，()0g x >，∴()()0f x g x x=>的解集为()()2,00,2- .故选：C.7．（2022·西藏·拉萨中学高三阶段练习（文））设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x <成立的x 的取值范围是（）A ．()(),10,1-∞-⋃B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),11,0-∞--UD ．()()0,11,+∞ 【答案】B 设()()f x F x x =，则()()()2xf x f x F x x '-'=，∵当0x >时，()()0xf x f x '-<，当0x >时，()0F x '<，即()F x 在()0,∞+上单调递减.由于()f x 是奇函数，所以()()()()f x f x F x F x x x--===-,()F x 是偶函数，所以()F x 在(),0∞-上单调递增.又()()110f f =-=，所以当1x <-或1x >时，()()0=<f x F x x；当10x -<<或01x <<时，()()0f x F x x=>.所以当10x -<<或1x >时，()0f x <.故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，图象关于y 轴对称，且当0x <时，()()f x f x x'>恒成立，设1a >，则()411af a a ++，(，()411a a f a ⎛⎫+⎪+⎝⎭的大小关系为（）A ．()(()414111af a a a f a a +⎛⎫>>+ ⎪++⎝⎭B ．()(()414111af a a a f a a +⎛⎫<<+ ⎪++⎝⎭C ．(()()414111af a a a f a a +⎛⎫>>+ ⎪++⎝⎭D ．(()()414111af a a a f a a +⎛⎫<<+ ⎪++⎝⎭【答案】B解：∵当0x <时，()()f x f x x'>恒成立，∴()()xf x f x '<，∴()()0xf x f x '-<，令()()f x g x x =，∴()()()2xf x f x g x x'-'=，∴()0g x '<，∴()g x 在(),0∞-上单调递减，∵()()f x f x -=，∴()()g x g x -=-，∴()g x 为奇函数，在()0,∞+上单调递减．∵比较()411af a a ++，(，()411a a f a ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的大小，∴()()41411af a ag a a +=++，((4ag =，()441411a a a f ag a a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∵1a >，∴)2110a +->，∴1a +>4411a aa a <++.∴411a a a +>>+，∴()(411a g a g g a ⎛⎫+<< ⎪+⎝⎭，∴()(441441a ag a ag ag a ⎛⎫+<< ⎪+⎝⎭，即()(()414111af a a a f a a +⎛⎫<<+ ⎪++⎝⎭．故选：B ．9．（2022·四川雅安·三模（理））定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()'f x ，且当0x >时，()2()0xf x f x '+<．则（）A ．2(e)(2)4ef f >B ．9(3)(1)>f f C ．4(2)9(3)-<-f f D ．2(e)(3)9e f f ->【答案】D令()()2g x x f x =，因为()f x 是偶函数，所以()g x 为偶函数，当0x >时，()()()()()2220g x xfx x f x x f x xf x '''=+=+<⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在()0,+∞单调递减，在(),0-∞单调递增，则()()e 2g g <，即()()22e e 22f f <，则2(e)(2)4ef f <，故A 错误；()()31g g <，即()()931f f <，故B 错误；()()23g g ->-，即4(2)9(3)f f ->-，故C 错误；()()()e 33g g g >=-，即()()2e e 93f f >-，则2(e)(3)9e f f ->，故D 正确.故选：D.②构造()()nx F x e f x =或()()nxf x F x e =(n Z ∈，且0n ≠)型1．（2022·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高二期中）设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，已知()()f x f x '<，且()12e f =，则满足不等式()2e af a <的实数a 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．(),0∞-C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】C设()()e x f x g x =，则2()e ()e ()()()(e )e x x x xf x f x f x f xg x ''--'==，因为()()f x f x '<，e 0x >，所以()0g x '<，()g x 是减函数，(1)2e (1)2e ef g ===，不等式()2e af a <化为()2e af a <，即()(1)g a g <，所以1a >．故选：C ．2．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x '->，则下列大小关系正确的是（）A ．()()2312e 1e 2f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．()()231e 12e 2f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭C ．()()231e 1e 22f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭D ．()()3212e e 12f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭【答案】A 构造函数()()2e x f x g x =，其中R x ∈，则()()()220e xf x f xg x '-'=>，所以，函数()g x 为R 上的增函数，所以，()()1122g g g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()()241122e e ef f f ⎛⎫⎪⎝⎭<<，因此，()()321e e 122ff f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.故选：A.3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（文））记定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，且()()0f x f x '->，()11f =，则不等式()1e xf x ->的解集为______．【答案】()1,+∞设()()xf xg x =e，()()()()()()20x xxx f x f x f x f x g x ''--'==>e e e e ，所以函数()g x 单调递增，且()()111e ef g ==，不等式()()()()11>e 1e e x x f x f x g x g -⇔>⇔>，所以1x >.故答案为：()1,+∞.4．（2022·甘肃·玉门油田第一中学高二期中（理））已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x ¢，满足()()f x f x '<，且()3f x +为偶函数，()61f =，则不等式()e xf x >的解集为______．【答案】(),0-∞设()()exf xg x =，则()()()exf x f xg x '-'=，又()()f x f x '<，所以()0g x ¢<，即()g x 在R 上是减函数，因为()3f x +为偶函数，所以()3f x +图象关于y 轴对称，而()3f x +向右平移3个单位可得()f x ，所以()f x 对称轴为3x =，则()()061f f ==，所以()()0001e f g ==，不等式()e xf x >等价于()()()10e xf xg x g =>=，故0x <，所以不等式()e xf x >的解集为(),0-∞.故答案为：(),0-∞5．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，()()3f x f x '+<，()03f =，则()3f x >的解集为___________.【答案】(),0∞-因为()()3f x f x '+<，所以()()3x xe f x f x e '+<⎡⎤⎣⎦，令()()3x F x e f x =-⎡⎤⎣⎦，则()()()3x x F x e f x e f x ''=-+⎡⎤⎣⎦，()()30x e f x f x '=+-<⎡⎤⎣⎦，所以()F x 是减函数，又()()00030F e f =-=⎡⎤⎣⎦，()3f x >即()30f x ->，()30x e f x ->⎡⎤⎣⎦，所以()()0F x F >，所以0x <，则()3f x >的解集为(),0∞-故答案为：(),0∞-6．（2022·全国·高三专题练习）若定义在R 上的函数()f x 满足()()30f x f x '->，13f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()3xf x e >的解集为________________．【答案】1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭构造()3()x f x F e x =，则()3363()3()()3()x x x xe f x e f x F f x f x e x e ''-=-='，函数()f x 满足()()30f x f x '->，则()0F x '>，故()F x 在R 上单调递增．又∵13f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则113F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式3()x f x e >⇔3()1x f x e >，即1()3F x F ⎛⎫> ⎪⎝⎭，根据()F x 在R 上单调递增，可知1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭．故答案为：1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭③构造()()sin F x f x x =或()()sin f x F x x=型1．（2022·山西·临汾第一中学校高二期末）若函数()f x 的导函数为()f x '，对任意()0,x π∈，()()sin cos f x x f x x '<恒成立，则（）A3546f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．3546f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C3546f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D．3546f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B因为任意()()()0,,sin cos x f x x f x x <'∈π恒成立，即任意()()()0,,sin cos 0x f x x f x x '∈-<π恒成立，所以()()()()2sin cos 0sin sin f x f x x f x xx x ''⎡⎤-=<⎢⎥⎣⎦，()0,x π∈所以()sin f x x在()0,π上单调递减，因为56π34>π，所以536453sin sin 64f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππ，即536412f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ππ5364f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ，故选：B2．（2022·江苏江苏·高二阶段练习）函数()f x 的定义域是()0,π，其导函数是()f x '，若()()sin cos f x x f x x <-'，则关于x()πsin 4x x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为______．【答案】π,π4⎛⎫⎪⎝⎭()()sin cos f x x f x x <-'变形为()()sin cos 0f x x f x x +<'，()πsin 4x x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭变形为()ππsin sin 44f x x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故可令g (x )＝f (x )sin x ，()0,πx ∈，则()()()sin cos 0g x f x x f x x =+''<，∴g (x )在()0,π单调递减，不等式()ππsin sin 44f x x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭即为g (x )＜g (π4)，则π,π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故答案为：π,π4⎛⎫⎪⎝⎭.3．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x 定义在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上，6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭其导函数是()f x '，且()()cos sinx f x x f x '⋅<⋅恒成立，则不等式()f x >的解集为_____________.【答案】,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭解：()()cos sin f x x f x x'< ()()sin cos 0f x x x f x '∴->，构造函数()()sin f x g x x=，则()()()2sin cos f x x f x xg x sin x'-'=，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，∴不等式()f x x >，即()61sin sin 26f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>==即()6x g g π⎛>⎫⎪⎝⎭，26x ππ∴<<故不等式的解集为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭.4．（2022·全国·高三专题练习）设奇函数()f x 定义在(,0)(0,)ππ- 上，其导函数为()'f x ，且()02f π=，当0πx <<时，()sin ()cos 0f x x f x x '-<,则关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为．【答案】(,0)(,)66πππ- 设()()sin f x g x x =，∴2()sin ()cos ()sin f x x f x x g x x'='-，∵()f x 是定义在(,0)(0,)ππ- 上的奇函数，∴()()()()sin()sin f x f x g x g x x x--===-，∴()g x 是定义在(,0)(0,)ππ- 上的偶函数，∵当0πx <<时，()sin ()cos 0f x x f x x '-<，∴()0g x '<，∴()g x 在(0,)π上单调递减，()g x 在(,0)π-上单调递增，∵()02f π=，∴(2(02sin 2f g πππ==，∵()2()sin 6f x f x π<，∴()()6g x g π<，(0,)x π∈，或，(,0)x π∈-，∴6x ππ<<或06x π-<<.∴关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为(,0)(,)66πππ- .④构造()()cos F x f x x =或()()cos f x F x x=型1．（2022·重庆·高二阶段练习）已知定义在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数()y f x =，对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（）A．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．63f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．43f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D64ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎝⎭⎝⎭【答案】B 构造函数()()cos f x g x x =，其中,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()()()()()cos cos f x f x g x g x x x --==-=--，所以，函数()()cos f x g x x=为奇函数，当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()()2cos sin 0cos f x x f x x g x x'+'=>，所以，函数()g x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，故该函数在,02π⎛⎤- ⎥⎝⎦上也为增函数，由题意可知，函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上连续，故函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数.对于A 选项，63g g ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6312f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭<，则63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 错；对于B 选项，63g g ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎝⎭⎝⎭6312f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭>，则63f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 对；对于C 选项，43g g ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43122f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭>，则43f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错；对于D 选项，64g g ππ⎫⎫⎛⎛< ⎪ ⎝⎝⎭⎭64f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪<64ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错.故选：B.2．（2022·福建龙岩·高二期中）设函数()f x '是定义在()0,π上的函数()f x 的导函数，有()()cos sin 0f x x f x x '->，若π6a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，1π23b f ⎛⎫=⎪⎝⎭，23π24c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b c a>>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】C因为()()cos sin 0f x x f x x '->，所以设()()cos F x f x x =⋅，则()()()cos sin 0F x f x x f x x ''=⋅->，所以()()cos F x f x x =⋅在()0,π上为增函数，又因为ππ266a f F ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，1ππ233b f F ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23π3π244c f F ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，ππ3π634<<，所以ππ3π634F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即a b c <<故选：C3．（2022·广东·广州市第四中学高二阶段练习）设函数()f x '是定义在()0π，上的函数()f x的导函数，有()cos ()sin 0f x x f x x '->，若1023a b f π⎛⎫==⎪⎝⎭，，34c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】C解：设()()cos g x f x x =，则()()cos ()sin g x f x x f x x ''=-，又因为()cos ()sin 0f x x f x x '->，所以()0g x '>，所以()g x 在(0,)π上单调递增，又0cos(22a f ππ==，1(cos (2333b f f πππ==，333()cos ()2444c f f πππ==，因为3324πππ<<，所以33cos()cos ()cos (332244f f f ππππππ<<，所以c a b >>.故选：C ．4．（2022·广西玉林·高二期中（文））函数()f x 定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，()f x '是它的导函数，且()()tan x f x f x '⋅>在定义域内恒成立，则（）A ．43f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()cos116f f π⎛⎫⋅> ⎪⎝⎭D 46ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎝⎭⎝⎭【答案】D因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0cos 0x x >>，，由()()tan x f x f x '⋅>可得()cos ()sin f x x f x x '<，即()cos ()sin 0f x x f x x '-<，令()cos (),0,2g x x f x x π⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭，则()()cos ()sin 0g x f x x f x x ''=-<，所以函数()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，则(1)643g g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则cos cos cos(1)(1)cos 664433f f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>> ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2cos(1)(1)643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D5．（2022·全国·高三专题练习）定义域为,22ππ⎛⎫- ⎝⎭的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，其导函数为()f x '，当02x π≤<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B∵()()0f x f x +-=且,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴()f x 是奇函数，设()()cos f x g x x =，则02x π≤<时，2()cos ()sin ()0cos f x x f x x g x x '+'=<，∴()g x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭是减函数．又()f x 是奇函数，∴()()cos f x g x x =也是奇函数，因此()g x 在(,0]2π-是递减，从而()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎝⎭上是减函数，不等式()cos 4f x f x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭为()4cos cos 4f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()4g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴42x ππ<<．故选：B ．6．（2022·全国·高三专题练习）已知奇函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，其图象是一段连续不断的曲线，当π02x -<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，则关于x 的不等式()π2cos 3f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．ππ23⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．ππ23⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．ππππ2332⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，D ．πππ0332⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【答案】A 设()()cos f x g x x=，则()()()2cos sin cos f x x f x xg x x'+'=当π02x -<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，此时()0g x '>所以()()cos f x g x x =在02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.又()f x 为奇函数，则()00f =，则()()cos f x g x x=为奇函数，又()00g =则()()cos f x g x x =在02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，所以()g x 在ππ,22⎛⎫- ⎝⎭上单调递增.当ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，恒有cos 0x >()π2cos 3f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()π3πcos cos 3f f x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()3g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，由()()cos f x g x x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以23x ππ-<<故选：A⑤根据不等式（求解目标）构造具体函数1．（2022·重庆·高二阶段练习）定义在R 上的函数()f x 满足()()260f x f x -'-<，且()21e 3=-f ，则满足不等式()2e 3>-x f x 的x 的取值有（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D 构造函数()()23e x f x F x +=，则()()()226e xf x f x F x '--'=，因为()()260f x f x -'-<，所以()0F x '<，所以()()23exf x F x +=单调递减，又()21e 3=-f ，所以()()21311e f F +==，不等式()2e 3>-xf x 变形为()231e xf x +>，即()()1F x F >，由函数单调性可得：1x >故选：D2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知()f x '是定义域为R 的函数()f x 的导函数.若对任意实数x 都有()()2f x f x '>-，且()13f =，则不等式()12e x f x -->的解集为（）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．(),e -∞D ．()e,+∞【答案】B解：不等式1()2e x f x -->，等价于不等式1()21e x f x -->，构造函数1()2()e x f x g x --=，则1()(()2)()e x f x f x g x -'--'=，若对任意实数x 都有()()2f x f x '>-，则()0g x '>，()g x 在R 上单调递增，又()0(1)211e f g -==，故1()21e x f x -->即()()1g x g >，故不等式的解集是(1,)+∞，故选：B ．3．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知定义在R 上的函数()f x 满足()2f x '>-，则不等式()()2122f x f x x -->--的解集为（）A ．(),1-∞-B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,-+∞【答案】D设()()2g x f x x =+，则()()2g x f x ''=+.因为定义在R 上的函数()f x 满足()2f x '>-，所以()()20g x f x ''=+>，所以函数()g x 在R 上单调递增.又不等式()()2122f x f x x -->--可化为()()()24121f x x f x x +>-+-，即()()21g x g x >-，所以21x x >-，解得1x >-.所以不等式()()2122f x f x x -->--的解集为()1,-+∞.故选：D.4．（2022·江苏·海门中学高二阶段练习）已知R 上的函数()f x 满足()13f =，且()2f x '<，则不等式()21f x x <+的解集为（）A ．(,1)-∞B ．()3,+∞C ．()1,+∞D ．(2,)+∞【答案】C解：令()()21F x f x x =--，则()()2F x f x ''=-，又()f x 的导数()'f x 在R 上恒有()2f x '<，()()20F x f x ''∴=-<恒成立，()()21F x f x x ∴=--是R 上的减函数，又()()11210F f =--= ，∴当1x >时，()()10F x F <=，即()210f x x --<，即不等式()21f x x <+的解集为(1,)+∞；故选：C ．5．（2022·陕西渭南·二模（理））设函数()f x 的定义域为()0,∞+，()'f x 是函数()f x 的导函数，()(ln )()0f x x x f x '+>，则下列不等关系正确的是（）A ．2(3)log 3(2)f f >B ．()ln 033f ππ<C ．(3)2(9)f f >D ．21(0e )f <【答案】A函数()f x 的定义域为()0,∞+，则1()(ln )()0()()ln 0f x x x f x f x f x x x''+>⇔+>，令()()ln g x f x x =，0x >，则1()()()ln 0g x f x f x x x'=+>，即()g x 在()0,∞+上单调递增，对于A ，(3)(2)g g >，即2(3)ln 3(2)ln 2(3)log 3(2)f f f f >⇔>，A 正确；对于B ，((1)3g g π>，即(3)ln (1)ln103f f π>=，B 不正确；对于C ，(3)(9)g g <，即(3)ln 3(9)ln 92(9)ln 3(3)2(9)f f f f f <=⇔<，C 不正确；对于D ，21()(1)e g g <，即2211()ln (1)ln10e e f f <=，有22112()0()0e e f f -<⇔>，D 不正确.故选：A6．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（文））已知函数()2224ln f x x x x ax =++-，若当0m n >>时，()()n f m f m n ->-，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,9B ．(],9-∞C ．(],8∞-D ．[)8,+∞【答案】B()()n f m f m n ->-，即()()f m m f n n ->-，令224l (n )()x x x ax g x f x x -+==+-，由题意得()g x 在(0,)+∞上单调递增，即4()410g x x a x '=++-≥，即441a x x≤++在(0,)+∞上恒成立由基本不等式得44119x x++≥+=，当且仅当44x x =即1x =时等号成立，则9a ≤故选：B7．（2022·安徽·高二阶段练习）已知()()21lg 20221lg 20222n n -+>，求满足条件的最小正整数n的值为___________.【答案】3解：由()()21lg 20221lg 20222n n -+>，两边取对数得()()()21ln 1lg 2022lg 2022lg 2n n -⋅+>⋅，因为n 是正整数，所以()()()ln lg 20221ln 211lg 202221n n +-+>-，令()()()ln 11x f x x x +=>，则()()()2ln 111xx x f x x x -++'=>，令()()ln 11x h x x x =-++，则()()201x h x x -'=<+，所以()h x 在()1,+∞上递减，则()()11ln 202h x h <=-=<，即()0f x '<，所以()f x 在()1,+∞上递减，所以lg 202221n <-，解得()11lg 20222n >+，因为3lg 20224<<，所以最小正整数n 的值为3.故答案为：38．（2022·浙江·高二期中）已知定义在R 上的可导函数()f x 是奇函数，其导函数为()'f x ，当0x <时，(1)()()0x f x xf x '-+>，则不等式()0f x <的解集为_______________．【答案】(0,)+∞()2e e(1)()()()()()e e e e x xx x x x x x x x f x xf x f x f x f x '--+⎡⎤=+'='⎢⎥⎣⎦，因为(1)()()0x f x xf x '-+>，所以()0e x xf x '⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即函数()e x x y f x =在(,0)-∞时单调递增的．因为()f x 的定义域是R ，且e x x在R 上都有意义，所以()e xx y f x =的定义域也是R ，所以在(,0)-∞时00()(0)0e ex x f x f <=，而e xx在(,0)-∞小于0恒成立，即在(,0)-∞时()0f x >．因为()f x 是奇函数，所以在(0,)+∞时()0f x <恒成立．所以()0f x <的解集为(0,)+∞．故答案为：(0,)+∞．9．（2022·四川·成都实外高二阶段练习（理））已知定义在R 上的可导函数()f x 为偶函数，且满足()21f =，若当0x ≥时，()f x x '>，则不等式()2112f x x <-的解集为___________.【答案】(2,2)-设21()()2g x f x x =-，则()()0g x f x x ''=->，0x ≥时，()g x 是增函数，又()f x 是偶函数，所以2211()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，()g x 是偶函数，21(2)(2)212g f =-⨯=-,不等式()2112f x x <-即为()(2)g x g <，由()g x 是偶函数，得()(2)g x g <，又0x ≥时，()g x 递增，所以2x <，22x -<<．故答案为：(2,2)-．10．（2022·四川·成都实外高二阶段练习（文））已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()21f =，且()f x 的导函数()f x '满足：()1f x x '>-，则不等式()2112f x x x <-+的解集为___________.【答案】(),2∞-因为()1f x x '>-，所以()10f x x '-+>构造()()212F x f x x x =-+，则()()10F x f x x ''=-+>，即()()212F x f x x x =-+在R 上单调递增，因为()21f =，所以()()22221F f =-+=()2112f x x x <-+变形为()2112f x x x -+<，即()()2F x F <，由()F x 的单调性可知：2x <.故答案为：(),2∞-。

利用导数证明不等式之构造函数法【有答案】

利用导数证明不等式之构造函数法题型一：移项作差构造函数1、解题思路第一步：判断所证明不等式是否符合移项作差构造函数的特点将证明不等式()()f xg x >(()()f xg x <( 的问题转化为证明()()0f xg x ->(()()0f x g x -< ，进而构造函数()()()h x f x g x =-。

第二步：符合后构造函数，利用导数研究函数的单调性；第三步：函数问题转化回不等式问题，得出结论。

[点拨]构造的函数前提是要可导，求导过程较容易，多是整式且最多利用二次求导研究其单调性问题。

比如：不等式11ln 2x x x -+<(证明时，直接移项作差构造的函数()11ln 2x x f x x -+=-(求导过于复杂且无法利用导数快速研究其单调性；2、经典例题例1：（2019春-苏州期末）已知函数()ln(1)f x x x =+-，求证：当1x >-时，恒有11ln(1)1x x x -≤+≤+.[思路分析]第一步：判断不等式特点，右边不等式移项作差直接可以利用已知函数证明，左边不等式移项作差构造函数1()ln(1)11g x x x =++-+(，可直接求导研究函数单调性，都符合移项作差构造函数特点；第二步：分别利用导数求解函数()y f x =和()y g x =的单调性和最值；第三步：转化回不等式问题，得出结论. [解析]证明：()1()1111xf x x x x '=-=->-++( ∴当10x -<<时，()0f x '>，即()f x 在(1,0)x ∈-上为增函数当0x >时，()0f x '<，即()f x 在(0,)x ∈+∞上为减函数，故函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间(0,)+∞，于是函数()f x 在(1,)-+∞上的最大值为max ()(0)0f x f ==，因此，当1x >-时，()(0)0f x f ≤=，即ln(1)0x x +-≤，∴ln(1)x x +≤（右边得证），现证左边，令1()ln(1)11g x x x =++-+，则2211()1(1)(1)xg x x x x '=-=+++ 当(1,0)x ∈-时，()0g x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在(1,0)x ∈-上为减函数，在(0,)x ∈+∞上为增函数，故函数()g x 在(1,)-+∞上的最小值为min ()(0)0g x g ==， ∴当1x >-时，()(0)0g x g ≥=，即1ln(1)101x x ++-≥+( ∴1ln(1)11x x +≥-+，综上可知，当1x >-时，有11ln(1)1x x x -≤+≤+。

构造函数法解不等式问题

可设e xf ＝ x ＋ m ，
当 x ＝0时，由 f 0 ＝0得 m ＝0，所以 f ＝ x e－ x ，
1
所以 e − 1 f ＜e－可化为 x e－ x
e
1
x
－
x
即 x e － x e ＜e－ .
e
2
e
2
−1
1
＜e－，
e
设 g ＝ x e x － x e－ x ，
因为 g − ＝－ x e－ x ＋ x e x ＝ g ，所以 g 为偶函数.
()
因为 g ( x )＝ 2 ，所以 g ( x )也是偶函数.

′()−2()
当 x ∈(0，＋∞)时，g'( x )＝
＞0，
3

所以 g ( x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)单调递减，
若 g ( x )＜ g (1)，则｜ x ｜＜1( x ≠0)，解得0＜ x ＜1或－1＜ x ＜0，
cos
2
cos 2
′
′()cos＋()sin
＝
＞0，
cos 2
()
所以函数 g ( x )＝
在
cos
因为函数 f
()
( x )＝
在
cos
π
0，
2
上单调递增.
()
为偶函数，所以函数 g ( x )＝
也为偶函数，且函数 g
cos
π
0，
2
调递减. 因为 x ∈
()
当0＜ x ＜2时， g ( x )＜ g (2)＝0，此时 f ( x )＜0.
又 f ( x )是奇函数，所以－2＜ x ＜0时，

导数选择题之构造函数法解不等式的一类题

导数选择题之构造函数法解不等式的一类题一、单选题1．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为A．B．C．D．2．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．3．定义在上的偶函数的导函数，若对任意的正实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（）A．B．C．D．4．已知函数定义在数集，，上的偶函数，当时恒有，且，则不等式的解集为()A．，，B．，，C．，，D．，，5．定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．6．设定义在上的函数满足任意都有，且时，有，则、、的大小关系是（）A．B．C．D．7．已知偶函数满足，且，则的解集为A．或B．C．或D．8．定义在R上的函数满足：是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为( )A．B．C．D．9．已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．10．定义在上的函数f(x)满足，则不等式的解集为A．B．C．D．11．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数．若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．12．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，且对于∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有（）A．e2017f(－2017)<f(0)，f(2017)>e2017f(0) B．e2017f(－2017)<f(0)，f(2017)<e2017f(0)C．e2017f(－2017)>f(0)，f(2017)>e2017f(0) D．e2017f(－2017)>f(0)，f(2017)<e2017f(0)13．已知可导函数的定义域为，其导函数满足,则不等式的解集为A．B．C．D．14．函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（）A．B．C．D．15．已知函数的导数是，若∀ ，都有成立，则( )A．B．C．D．16．已知函数满足条件：当时，，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．17．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立.则有（）A．B．C．D．18．已知函数是偶函数，，且当时其导函数满足，若，则（）A．B．C．D．19．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案1．B【解析】【分析】构造函数，则得的单调性，再根据为奇函数得，转化不等式为，最后根据单调性性质解不等式.【详解】构造函数，则，所以在上单独递减，因为为奇函数，所以.因此不等式等价于，即，选B.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等2．A【解析】分析：构造函数，首先判断函数的奇偶性，利用可判断时函数的单调性，结合函数图象列不等式组可得结果.详解：设，则的导数为，因为时，，即成立，所以当时，恒大于零，当时，函数为增函数，又，函数为定义域上的偶函数，当时，函数为减函数，又函数的图象性质类似如图，数形结合可得，不等式，或，可得或，使得成立的的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题. 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.3．A【解析】【详解】分析：构造新函数，利用导数确定它的单调性，从而可得题中不等式的解．详解：设，则，由已知当时，，∴在上是减函数，又∵是偶函数，∴也是偶函数，，不等式即为，即，∴，∴，即或．故选A．点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式．解题关键是构造新函数．新函数的结构可结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造．如，，，等等．4．B【解析】分析：设，结合求导法则，以及题中的条件，可以断定函数在相应区间上的单调性，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可.详解：设，所以，因为当时，有恒成立，所以当时，所以在上递增，因为，所以，所以是奇函数，所以在上递增，因为，所以，当时，等价于，所以），所以，当时，等价于，所以，所以，所以原不等式的解集为，故选B.点睛：该题考查的是有关函数的问题，结合题中所给的条件，结合商函数求导法则构造新函数，结合函数的单调性与导数的符号的关系，得到相应的结果，在求时的情况的时候，可以直接根据函数是偶函数求得结果.5．B【解析】分析：根据题意，设，对其求导分析可得在区间上递减，利用的值可得的值，进而将原不等式转化为，结合函数的单调性、定义域，分析可得答案.详解：根据题意，设，则，又由函数定义在上，且有，则，则在区间上递减，若，则，，则，即不等式的解集为.故选：B.点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性之间的关系，关键是构造函数，并分析其单调性.6．C【解析】根据题意，函数满足任意都有，则有，则是周期为的函数，则有，设，则导数为，又由时，，则有，则有，则函数在上为减函数，则有，即，又由，则有，变形可得，故选C.【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.7．C【解析】【分析】构造函数，由可得在递增，结合奇偶性转化原不等式为从而可得结果.【详解】由得，令，，时，递增，又时，不等式等价于是偶函数，也是偶函数，可得或，所以的解集为或，故选C.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.8．B【解析】【分析】构造函数，，研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【详解】设，，则则，在定义域内单调递增，，，则不等式的解集为，故选【点睛】本题主要考查了函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键。

专题07 构造函数法解决导数不等式问题(二)(原卷版)

专题07 构造函数法解决导数不等式问题(二)考点四构造F (x )＝f (x )±g (x )，F (x )＝f (x )g (x )，F (x )＝f (x )g (x )类型的辅助函数【方法总结】(1)若F (x )＝f (x )＋ax n ＋b ，则F ′(x )＝f ′(x )＋nax n －1；(2)若F (x )＝f (x )±g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )±g ′(x )；(3)若F (x )＝f (x )g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(4)若F (x )＝f (x )g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2．由此得到结论：(1)出现f ′(x )＋nax n －1形式，构造函数F (x )＝f (x )＋ax n ＋b ；(2)出现f ′(x )±g ′(x )形式，构造函数F (x )＝f (x )±g (x )；(3)出现f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )形式，构造函数F (x )＝f (x )g (x )；(4)出现f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )形式，构造函数F (x )＝f (x )g (x )．【例题选讲】[例1](1)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝3，对任意x ∈R ，f ′(x )<3，则f (x )>3x ＋6的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x >－1}C ．{x |x <－1}D ．R(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且对∀x ∈R ，f ′(x )＜12，则不等式f (log 2x )＞log 2x ＋12的解集为________．(3)定义在R 上的可导函数f (x )满足f (1)＝1，且2f ′(x )>1，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2时，不等式f (2cos x )>32－2sin 2x 2的解集为( )A ．⎝⎛⎭⎫π3，4π3B ．⎝⎛⎭⎫－π3，4π3C ．⎝⎛⎭⎫0，π3D ．⎝⎛⎭⎫－π3，π3 (4)f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f ′(x )＞2x ．若f (a －2)－f (a )≥4－4a ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)(5)已知f ′(x )是函数f (x )的导数，且f (－x )＝f (x )，当x ≥0时，f ′(x )>3x ，则不等式f (x )－f (x －1)<3x －32的解集是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，0B ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 (6)设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导数，当x >0时，f (x )＋f ′(x )·x ln x <0，则不等式(x －1)f (x )>0的解集为________．(7)(多选)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且(x ＋1)f ′(x )－f (x )＜x 2＋2x 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立．下列结论正确的是( )A ．2f (2)－3f (1)＞5B ．若f (1)＝2，x ＞1，则f (x )＞x 2＋12x ＋12C ．f (3)－2f (1)＜7D ．若f (1)＝2，0＜x ＜1，则f (x )＞x 2＋12x ＋12(8)已知函数f (x )，对∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝x 2，在(0，＋∞)上，f ′(x )<x ，若f (4－m )－f (m )≥8－4m ，则实数m 的取值范围为( )A ．[－2，2]B ．[2，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)(9)已知函数y ＝f (x )是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f (x )x >0，则函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(10)函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，当x >0时，f (x )的极值状态是___________．【对点训练】1．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，且对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)2．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为． 3．已知定义域为R 的函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足f ′(x )<2x ，f (2)＝3，则不等式f (x )>x 2－1的解集是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)4．定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足x 2f ′(x )＋1＞0，f (1)＝4，则不等式f (x )＞1x＋3的解集为________． 5．设f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f ′(x )－cos x <0，则不等式f (x )<sin x 的解集为．6．设f (x )和g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，f ′(x )，g ′(x )分别为其导数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集是( )A ．(－3，0)∪(3，＋∞)B ．(－3，0)∪(0，3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0，3)7．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )＜0，则当a ＜x ＜b 时，有( )A ．f (x )g (x )＞f (b )g (b )B ．f (x )g (a )＞f (a )g (x )C ．f (x )g (b )＞f (b )g (x )D ．f (x )g (x )＞f (a )g (a )8．设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，对任意x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝x 2，在(0，＋∞)上f ′(x )<x ，若f (2－m )＋f (－m )－m 2＋2m －2≥0，则实数m 的取值范围为__________．9．已知f (x )是定义在R 上的减函数，其导函数f ′(x )满足f (x )f ′(x )＋x <1，则下列结论正确的是( ) A ．对于任意x ∈R ，f (x )<0 B ．对于任意x ∈R ，f (x )>0C ．当且仅当x ∈(－∞，1)，f (x )<0D ．当且仅当x ∈(1，＋∞)，f (x )>010．已知y ＝f (x )为R 上的可导函数，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x ＞0，若g (x )＝f (x )＋1x ，则函数g (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．0或2考点五构造具体函数关系式【方法总结】这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题．【例题选讲】[例1] (1) (2020·全国Ⅰ)若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ，则( )A ．a >2bB ．a <2bC ．a >b 2D ．a x 2＋ln x 1B ．x 1＋ln x 2<x 2＋ln x 1C ．12e x x >21e x xD ．12e x x <21e x x (4)已知函数f (x )＝e x x －ax ，x ∈(0，＋∞)，当x 2＞x 1时，不等式f (x 1)x 2－f (x 2)x 1<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，e ]B ．(－∞，e )C ．(－∞，e 2)D ．(－∞，e 2] A ．(a ＋1)a ＋2>(a ＋2)a ＋1 B ．log a (a ＋1)>log a ＋1(a ＋2)C ．log a (a ＋1)<a ＋1aD ．log a ＋1(a ＋2)<a ＋2a ＋1(6) (2021·全国乙)设a ＝2ln1.01，b ＝ln1.02，c ＝ 1.04－1，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．b <a <cD ．c <a <b (7)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，导函数为f ′(x )，若xf ′(x )－f (x )＝x ln x ，且f ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ，则( )A ．f ′⎝⎛⎭⎫1e ＝0B ．f (x )在x ＝1e处取得极大值 C ．0<f (1)<1 D ．f (x )在(0，＋∞)上单调递增【对点训练】1．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 66，则( ) A ．a 0，则“a >b ”是“a a >b b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知0<x 1<x 2<1，则( )A ．ln x 1x 2>ln x 2x 1B ．ln x 1x 2<ln x 2x 1C ．x 2ln x 1>x 1ln x 2D ．x 2ln x 1<x 1ln x 24．已知a >b >0，a b ＝b a ，有如下四个结论：(1)b <e ；(2)b >e ；(3)存在a ，b 满足a ·b <e 2；(4)存在a ，b 满足a ·b >e 2，则正确结论的序号是( )A ．(1)(3)B ．(2)(3)C ．(1)(4)D ．(2)(4)5．设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( )A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z6．已知a <5且a e 5＝5e a ，b <4且b e 4＝4e b ，c <3且c e 3＝3e c ，则( )A ．c πe ；③11；④3eln 2>42．其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 9．已知函数f (x )＝e x ＋m ln x (x ∈R )，若对任意正数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)＞x 1－x 2成立，则实数m 的取值范围是________．10．若实数a ，b 满足2a ＋3a ＝3b ＋2b ，则下列关系式中可能成立的是( )A ．0<a x 1时，不等式f (x 1)x 2<f (x 2)x 1恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，e] B ．(－∞，e) C ．⎝⎛⎭⎫－∞，e 2 D ．⎝⎛⎦⎤－∞，e 2 12．设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (e)＝1e，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )在(0，＋∞)单调递增 B ．f (x )在(0，＋∞)单调递减C ．f (x )在(0，＋∞)上有极大值D ．f (x )在(0，＋∞)上有极小值13．(多选)下列不等式中恒成立的有( )A ．ln(x ＋1)≥x x ＋1，x >－1 B ．ln x ≤12⎝⎛⎭⎫x －1x ，x >0 C ．e x ≥x ＋1 D ．cos x ≥1－12x 2。

导数与不等式-构造函数

导数与不等式构造函数1. 直接作差法例1. 已知函数()2f x x ax b =++，()()x g x e cx d =+.若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点()0,2P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+.(1) 求,,,a b c d 的值；(2) 若2x ≥-时，()()f x kg x ≤，求k 的取值范围.2. 变形作差法例2. 设函数()1x e f x x-=.证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式()1f x a -<成立.3. 分参法例3. 已知函数()()()212ln f x a x x =---，()1x g x xe -=，若不等式()0f x >对一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求a 的最小值.4. 局部化和法例4. 已知函数()3232f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点()0,2处的切线与x 轴交点的横坐标为2-.(1) 求a ；(2) 证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.5. 局部化积法例5. 已知函数()ln xx k f x e +=，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行. (1) 求k 的值； (2) 求()f x 单调区间；(3) 设()()()2'g x x x f x =+，证明：对任意0x >，()21g x e -<+.6. 换元法例6. 已知函数()x f x e =，设a b <，比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小.7. 主元法例7. 已知函数()()ln 1f x x x =+-，()ln g x x x =.设0a b <<，证明：()()()02ln 22a b g a g b g b a +⎛⎫<+-<- ⎪⎝⎭.8. 条件特征例8. 设函数()ln m f x x x=+，若对任意0b a >>，()()1f b f a b a -<-恒成立，求m 的取值范围.9. 结论特征例9. 已知函数()()21ln 1f x a x ax =+++.(1) 讨论函数的单调性；(2) 设2a ≤-，证明：对任意()12,0,x x ∈+∞，()()12124f x f x x x -≥-.10. 基本不等式放缩例10. ()()ln 1f x x ax b =++，曲线()y f x =与直线32y x =在原点相切. (1) 求,a b 的值；(2) 证明：当02x <<时，()96x f x x <+.11. 已证不等式放缩例11. 已知函数()()21x f x x e -=+，()312cos 2x g x ax x x =+++.当[]0,1x ∈时， (1) 证明：()111x f x x-≤≤+； (2) 若()()f x g x ≥恒成立，求参数a 的取值范围.。

(完整版)导数应用之构造函数法解不等式

导数应用之七构造函数利用单调性解不等式一．导数的常见构造1．对于()()x g x f ''>，构造()()()x g x f x h -=更一般地,遇到()()0'≠>a a x f ，即导函数大于某种非零常数(若a =0，则无需构造），则可构()()ax x f x h -= 2．对于()()0''>+x g x f ，构造()()()x g x f x h += 3．对于()()0'>+x f x f ，构造()()x f e x h x =4．对于()()x f x f >'［或()()0'>-x f x f ］，构造()()xe xf x h =5．对于()()0'>+x f x xf ,构造()()x xf x h = 6．对于()()0'>-x f x xf ，构造()()xx f x h =【母题原题】设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( )A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞变式1。

【天津一中2014---2015高三年级理科】函数()f x 的定义域是R ，()02f =，对任意()(),1x R f x f x '∈+>，则不等式()1x x e f x e ⋅>+的解集为( )A 。

{}|0x x >B .{}|0x x <C 。

{}|101x x x <-<<或D .{}|11x x x ><-或变式2.设函数f （x)是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为'(x)f ，且有'3(x)x (x)0f f +>,则不等式()32015(x 2015)27(3)0x f f +++->的解集是（）A.(2018,2015)--B.(,2016)-∞-C.(2016,2015)--D.(,2012)-∞-变式3。

导数选择题之构造函数法解不等式的一类题

导数选择题之构造函数法解不等式的一类题一、单选题1．定义在R上的函数R(R)的导函数为R′(R)，若对任意实数R，有R(R)>R′(R)，且R(R)+2018为奇函数，则不等式R(R)+2018R R<0的解集为A．(−∞,0)B．(0,+∞)C．(−∞,1R )D．(1R,+∞)2．设函数R′(R)是奇函数R(R)(R∈R)的导函数，R(−1)=0，当R<0时，R′(R)<R(R)R，则使得R(R)>0成立的R的取值X围是（）A．(−∞,−1)∪(0,1)B．(−∞,−1)∪(−1,0)C．(0,1)∪(1,+∞)D．(−1,0)∪(0,+∞)3．定义在R上的偶函数R(R)的导函数R′(R)，若对任意的正实数R，都有2R(R)+RR′(R)<2恒成立，则使R2R(R)−R(1)<R2−1成立的实数R的取值X围为（）A．(−∞,−1)∪(1,+∞)B．(−1,1)C．(−1,0)∪(0,1)D．{R|R≠±1}4．已知函数R(R)定义在数集(−∞，0)∪(0，+∞)上的偶函数，当R>0时恒有RR/(R)>−R(R)，且R(2)=0，则不等式R(R)>0的解集为()A．(−2，0)∪(0，2)B．(−∞，−2)∪(2，+∞)C．(−∞，−2)∪(0，2)D．(−2，0)∪(2，+∞)5．定义在(−1,+∞)上的函数R(R)满足R′(R)<1+cos R，R(0)=1，则不等式R(R)>sin R+R+1的解集为（）A．(−∞,0)B．(−1,0)C．(0,+∞)D．(−1,1)6．设定义在R上的函数R=R(R)满足任意R∈R都有R(R+2)=−R(R)，且R∈(0,4]时，有R′(R)<R(R)R，则R(2016)、4R(2017)、2R(2018)的大小关系是（）A．2R(2018)<R(2016)<4R(2017)B．2R(2018)>R(2016)>4R(2017)C．4R(2017)>2R(2018)>R(2016)D．4R(2017)<2R(2018)<R(2016)7．已知偶函数R(R)满足2R(R)+RR′(R)>6,，且R(1)=2，则R(R)>3−1R2的解集为A．{R|R<−2或R>2}B．{R|−1<R<1}C．{R|R<−1或R>1}D．{R|−2<R<2}8．定义在R上的函数R(R)满足：R(R)>1−R′(R),R(0)=0,R′(R)是R(R)的导函数，则不等式R R R(R)>R R−1（其中e为自然对数的底数）的解集为( )A ．(−∞,−1)∪(0,+∞)B ．(0,+∞)C ．(−∞,0)∪(1,+∞)D ．(1,+∞)9．已知定义在R 上的函数R =R (R )的导函数为R ′(R )，满足R (R )>R ′(R )，且R (0)=2，则不等式R (R )>2R R 的解集为（）A ．(−∞,0)B ．(0,+∞)C ．(−∞,2)D ．(2,+∞)10．定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足RR ′(R )+1>0,R (2)=−ln 2，则不等式R (R R )+R >0的解集为A ．(0,2ln 2)B ．(0,ln 2)C ．(ln 2,+∞)D ．(ln 2,1)11．已知定义在(0,+∞)上的函数R (R )满足RR ′(R )−R (R )<0，其中R ′(R )是函数R (R )的导函数．若2R (R −2018)>(R −2018)R (2)，则实数R 的取值X 围为（）A ．(0,2018)B ．(2018,+∞)C ．(2020,+∞)D ．(2018,2020)12．已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，且对于∀x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，则有（）A ．e2017f (－2017)<f (0)，f (2017)>e 2017f (0) B ．e 2017f (－2017)<f (0)，f (2017)<e 2017f (0) C ．e 2017f (－2017)>f (0)，f (2017)>e 2017f (0) D ．e 2017f (－2017)>f (0)，f (2017)<e 2017f (0)13．已知可导函数R (R )的定义域为(−∞,0)，其导函数R ′(R )满足RR ′(R )−2R (R )>0,则不等式R (2017+R )−(R +2017)2R (−1)<0的解集为A ．(−∞,−2018)B ．(−2018,−2017)C ．(−2018,0)D ．(−2017,0)14．函数R (R )是定义在区间(0,+∞)上的可导函数，其导函数为R′(R )，且满足RR′(R )+2R (R )>0，则不等式(R +2018)2R (R +2018)<16R (4)的解集为（）A ．{R |R >−2017}B ．{R |R <−2017}C ．{R |−2018<R <−2014}D ．{R |−2018<R <0}15．已知函数R =R (R )的导数是R =R′(R )，若∀R ∈(0,+∞)，都有RR′(R )<2R (R )成立，则( )A ．2R (√3)>3R (√2)B ．2R (1)<R (√2)C ．4R (√3)<3R (2)D ．4R (1)>R (2)16．已知函数R (R )满足条件：当R >0时，R (R )+12RR ′(R )>1，则下列不等式正确的是（）A ．R (1)+3>4R (2)B ．R (2)+3>4R (4)C ．R (1)+8<9R (3)D ．R (2)+4<3R (4)17．定义在(0,R 2)上的函数R (R )，R ′(R )是它的导函数，且恒有R′(R )>R (R )·tan R 成立.则有（）A ．√2R (R 4)>R (R 3)B ．√3R (R 6)>2cos 1⋅R (1)C ．2R (R 4)<√6R (R 6)D ．√3R (R 6)<R (R 3)18．已知函数R (R )是偶函数，R (R )=R (R −2)，且当R ≠2时其导函数R′(R )满足(R −2)R′(R )>0，若1<R<3，则（）A．R(4R)<R(3)<R(log3R)B．R(3)<R(log3R)<R(4R)C．R(log3R)<R(3)< R)<R(4R)<R(3)R(4R)D．R(log3R(R)，则使得19．设函数R′(R)是奇函数R(R)(R∈R)的导函数，当R>0时，ln R⋅R′(R)<−1R(R2−4)R(R)>0成立的R的取值X围是（）A．(−2,0)∪(0,2)B．(−∞,−2)∪(2,+∞)C．(−2,0)∪(2,+∞)D．(−∞,−2)∪(0,2)参考答案1．B【解析】【分析】构造函数R (R )=R (R )R R，则得R (R )的单调性，再根据R (R )+2018为奇函数得R (0)，转化不等式为R (R )<R (0)，最后根据单调性性质解不等式.【详解】构造函数R (R )=R (R )R R ，则R ′(R )=R ′(R )−R (R )R R <0，所以R (R )在R 上单独递减，因为R (R )+2018为奇函数，所以R (0)+2018=0∴R (0)=−2018,R (0)=−2018.因此不等式R (R )+2018R R <0等价于R (R )<R (0)，即R >0，选B.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如R ′(R )<R (R )构造R (R )=R (R )R R ，R ′(R )+R (R )<0构造R (R )=R R R (R )，RR ′(R )<R (R )构造R (R )=R (R )R ，RR ′(R )+R (R )<0构造R (R )=RR (R )等 2．A【解析】分析：构造函数R (R )=R (R )R ，首先判断函数的奇偶性，利用R′(R )<R (R )R 可判断R <0时函数的单调性，结合函数图象列不等式组可得结果.详解：设R (R )=R (R )R，则R (R )的导数为R′(R )=RR′(R )−R (R )R 2，因为R <0时，R′(R )<R (R )R，即RR′(R )>R (R )成立，所以当R <0时，R′(R )恒大于零，∴当R <0时，函数R (R )=R (R )R为增函数，又∵R(−R)=R(−R)−R =R(R)R=R(R)，∴函数R(R)为定义域上的偶函数，当R>0时，函数R(R)=R(R)R为减函数，又∵R(−1)=R(−1)−1=0∴函数R(R)的图象性质类似如图，数形结合可得，不等式R(R)>0⇔R⋅R(R)>0，⇔{R>0R(R)>0或{R<0R(R)<0，可得0<R<1或R<−1，使得R(R)>0成立的R的取值X围是(−∞,−1)∪(0,1)，故选A.点睛：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题. 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.3．A【解析】【详解】分析：构造新函数R(R)=R2R(R)−R2，利用导数确定它的单调性，从而可得题中不等式的解．详解：设R(R)=R2R(R)−R2，则R′(R)=2RR(R)+R2R′(R)−2R=R(2R(R)+RR′(R)−2)，由已知当R>0时，R′(R)=R(2R(R)+RR′(R)−2<0，∴R(R)在(0,+∞)上是减函数，又∵R(R)是偶函数，∴R(R)=R2R(R)−R2也是偶函数，R(0)=0，不等式R2R(R)−R(1)<R2−1即为R2R(R)−R2<R(1)−1，即R(R)<R(1)，∴R(|R|)<R(1)，∴|R|>1，即R<−1或R>1．故选A．点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式．解题关键是构造新函数．新函数的结构可结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造．如R(R)=RR(R)，R(R)=R(R)R，R(R)=R R R(R)，R(R)=R(R)R R等等．【解析】分析：设R (R )=R (R )R，结合求导法则，以及题中的条件，可以断定函数在相应区间上的单调性，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可.详解：设R (R )=R (R )R ，所以R′(R )=RR′(R )−R (R )R 2，因为当R >0时，有RR′(R )−R (R )>0恒成立，所以当R >0时R′(R )>0，所以R (R )在(0,+∞)上递增，因为R (−R )=R (R )，所以R (−R )=R (−R )−R =−R (R )，所以R (R )是奇函数，所以R (R )在(−∞,0)上递增，因为R (2)=0，所以R (2)=R (2)2=0，当R >0时，R (R )>0等价于R (R )R >0，所以R (R )>0=R (2），所以R >2，当R <0时，R (R )>0等价于R (R )R <0，所以R (R )<0=R (−2)，所以R <−2，所以原不等式的解集为(−∞,−2)∪(2,+∞)，故选B.点睛：该题考查的是有关函数的问题，结合题中所给的条件，结合商函数求导法则构造新函数，结合函数的单调性与导数的符号的关系，得到相应的结果，在求R <0时的情况的时候，可以直接根据函数R (R )是偶函数求得结果.5．B【解析】分析：根据题意，设R (R )=R (R )−sin R −R ，对其求导分析可得R (R )在区间(−1,+∞)上递减，利用R (0)的值可得R (0)的值，进而将原不等式转化为R (R )>R (0)，结合函数的单调性、定义域，分析可得答案.详解：根据题意，设R (R )=R (R )−sin R −R ，则R′(R )=R ′(R )−cos R −1，又由函数R (R )定义在(−1,+∞)上，且有R ′(R )<1+cos R ，则R ′(R )=R ′(R )−cos R −1<0，则R (R )在区间(−1,+∞)上递减，若R (0)=1，则R (0)=R (0)−sin 0−0=1，R (R )>sin R +R +1⇒R (R )−sin R −R >1⇒R (R )>R (0)，则−1<R <0，即不等式的解集为(−1,0).故选：B.点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性之间的关系，关键是构造函数R (R )=R (R )−sin R −R ，并分析其单调性.【解析】根据题意，函数R =R (R )满足任意R ∈R 都有R (R +2)=−R (R )，则有R (R +4)=−R (R +2)=R (R )，则R (R )是周期为4的函数，则有R (2016)=R (4),R (2017)=R (1),R (2018)=R (2)，设R (R )=R (R )R ，则导数为R′(R )=R (R )⋅R −R (R )⋅(R )′R 2=RR′(R )−R (R )R 2，又由R ∈(0,4]时，R′(R )<R (R )R，则有RR′(R )−R (R )<0，则有R′(R )=RR′(R )−R (R )R 2<0，则函数R (R )在(0,4]上为减函数，则有R (1)>R (2)>R (4)，即R (1)>R (2)2>R (4)4，又由(2016)=R (4),R (2017)=R (1),R (2018)=R (2)，则有R (2017)>R (2018)2>R (2016)4，变形可得4R (2017)>2R (2018)>R (2016)，故选C.【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.7．C【解析】【分析】构造函数R (R )=R 2R (R )−3R 2+1，由2R (R )+RR ′(R )>6可得R (R )在(0,+∞)递增，结合奇偶性转化原不等式为|R |>1,从而可得结果.【详解】由R (R )>3−1R 2得R 2R (R )−3R 2+1≥0，令R (R )=R 2R (R )−3R 2+1， R′(R )=2RR (R )+R 2R′(R )−6R=R [2RR (R )+RR′(R )−6]，∴R >0时，R′(R )>0,R (R )递增，又∵R (1)=R (1)−2=0,时，不等式R (R )>3−1R 2等价于 R (R )>R (1)∵R (R )是偶函数，∴R (R )也是偶函数，|R |>1,可得R >1或R <−1，所以R (R )>3−1R 2的解集为{R | R >1或R <−1}，故选C.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.8．B【解析】【分析】构造函数R (R )=R R R (R )−R R ，(R ∈R )，研究R (R )的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【详解】设R (R )=R R R (R )−R R ，(R ∈R )，则R ′(R )=R R R (R )+R R R ′(R )−R R =R R [R (R )+R ′(R )−1]∵R ′(R )>1−R (R )∴R (R )+R ′(R )−1>0则R ′(R )>0，R =R (R )在定义域内单调递增∵R R R (R )>R R −1，∴R (R )>−1， R (0)=R 0R (0)−R 0=−1∴R (R )>R (0)，R >0则不等式的解集为(0，+∞)故选R【点睛】本题主要考查了函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键。

专题05 构造函数证明不等式(学生版) -2025年高考数学压轴大题必杀技系列导数

专题5 构造函数证明不等式函数与导数一直是高考中的热点与难点, 利用导数证明不等式在近几年高考中出现的频率比较高．求解此类问题关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数,然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域),从而达到证明不等式的目的．(一) 把证明()f x k >转化为证明()min f x k>此类问题一般简单的题目可以直接求出()f x 的最小值,复杂一点的题目是()f x 有最小值,但无法具体确定,这种情况下一般是先把()f x 的最小值转化为关于极值点的一个函数,再根据极值点所在范围,确定最小值所在范围【例1】（2024届黑龙江省哈尔滨市三中学校高三下学期第五次模拟）已知函数()()21ln f x a x x x =+--（a ÎR ）.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当102a <£时,求证：()1212f x a a³-+.【解析】（1）由题意可知,函数2()(1)ln f x a x x x =+--的定义域为(0,)+¥,导数1(1)(21)()2(1)1x ax f x a x x x+-¢=+--=,当0a £时,,()0x Î+¥,()0f x ¢<；当0a >时,1(0,)2x a Î,()0f x ¢<；1(,),()02x f x a¢Î+¥>；综上,当0a £时,函数()f x 在区间(0,)+¥上单调递减；当0a >时,函数()f x 在区间1(0,2a 上单调递减,在区间1(,)2a+¥上单调递增.（2）由（1）可知,当102a <£时,函数()f x 在区间1(0,)2a 上单调递减,在区间1(,)2a+¥上单调递增.所以函数211111()()(1)ln()1ln(2)22224f x f a a a a a a a a³=+--=+-+,要证1()212f x a a ³-+,需证111ln(2)2142a a a a a+-+³-+,即需证11ln(2)0,(0,]42a a a a +-³Î恒成立.令1()ln(2)4g a a a a =+-,则()2222111()1044a g a a aa -=--+=-£¢,所以函数()g a 在区间1(0,2单调递减,故111()()00222g a g ³=+-=,所以11ln(2)0,(0,]42a a a a +-³Î恒成立,所以当102a <£时,1()212f x a a³-+.【例2】（2024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数()()sin ln 1f x x x =-+.(1)求证：当π1,2x æöÎ-ç÷èø时,()0f x ³；(2)求证：()()111111ln 1sin sin sin sinln ln 2224622n n n n *+<++++<+ÎN L .【解析】（1）证明：因为()()sin ln 1f x x x =-+,则()0sin 0ln10f =-=,()1cos 1f x x x =-+¢,当(]1,0x Î-时,cos 1x £,111x ³+,()0f x ¢£,函数()f x 单调递减,则()()00f x f ³=成立；当π0,2x æöÎç÷èø时,令()1cos 1p x x x =-+,则()()21sin 1p x x x ¢=-+,因为函数()211y x =+、sin y x =-在π0,2æöç÷èø上均为减函数,所以,函数()p x ¢在π0,2æöç÷èø上为减函数,因为()010p ¢=>,2π1102π12p æö¢=-<ç÷èøæö+ç÷èø,所以存在π0,2x æöÎç÷èø,使得()00p x ¢=,且当00x x <<时,()0p x ¢>,此时函数()f x ¢单调递增,当0π2x x <<时,()0p x ¢<,此时函数()f x ¢单调递减,而()00f ¢=,所以()00f x ¢>,又因为π02f æö¢<ç÷èø,所以存在10π,2x x æöÎç÷èø,使得()10f x ¢=,当10x x <<时,()0f x ¢>,此时函数()f x 单调递增,当1π2x x <<时,()0f x ¢<,此时函数()f x 单调递减,因为π1e 2+<,所以,ππ1ln 11ln e 022f æöæö=-+>-=ç÷ç÷èøèø,所以,对任意的π0,2x æöÎç÷èø时,()0f x >成立,综上,()0f x ³对任意的π1,2x æöÎ-ç÷èø恒成立.（2）证明：由（1）,对任意的n *ÎN ,11022n <£,则111sin ln 10222f n n n æöæö=-+>ç÷ç÷èøèø,即1121sinln 1ln 222n n n n +æö>+=ç÷èø,对任意的n *ÎN ,()()()()22122221221022*******n n n n n n n n n n n +-+++-==>+++,所以,2122221n n n n ++>+,则2122ln ln 221n n n n ++>+,所以111135721sin sin sin sinln ln ln ln 24622462n n n +++++>+++L ,从而可得111146822sin sin sin sinln ln ln ln 246235721n n n +++++>++++L ,上述两个不等式相加可得11112sin sin sin sin 2462n æö++++ç÷èøL ()3456782122ln ln ln ln ln ln ln ln ln 1234567221n n n n n ++>++++++++=++L ,所以,()11111sin sin sin sinln 124622n n ++++>+L ,又由（1）,因为1102n -<-<,则111121sin ln 1sin ln022222n f n n n n n -æöæöæö-=---=-->ç÷ç÷ç÷èøèøèø,可得1212sinln ln 2221n nn n n -<-=-,当2n ³且n *ÎN 时,()()()()()()22222122110212221222122n n n n n n n n n n n -----==-<------,所以,2212122n n n n -<--,即221ln ln 2122n n n n -<--,所以,当2n ³时,1111462sin sin sin sinln 2ln ln ln 24623521nn n ++++<++++-L L ,从而有11113521sin sin sin sinln 2ln ln ln 24622422n n n -++++<++++-L L ,上述两个不等式相加得：11112sin sin sin sin 2462n æö++++ç÷èøL 3456782122ln 2ln ln ln ln ln ln ln ln 2ln 2ln 2345672221n nn n n -<+++++++++=+--L ,所以,11111sin sin sin sinln 2ln 24622n n ++++<+L ,当1n =时,1111sin ln ln 2sin 02222f æöæö-=--=->ç÷ç÷èøèø,即1sin ln 22<,所以,对任意的n *ÎN ,11111sin sin sin sinln ln 224622n n ++++<+L ,因此,()()111111ln 1sin sin sin sinln ln 2224622n n n n *+<++++<+ÎN L . (二) 把证明()()f x g x > 转化为证明()()0f xg x ->此类问题是证明不等式中最基本的一类问题,把两个函数通过作差转化为一个函数,再利用导数研究该函数的性质,通过函数性质证明该不等式.【例3】（2024届西省榆林市第十中学高三下学期一模）已知函数()()e 11xf x a x =+--,其中a ÎR ．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当2a =时,证明：()ln cos f x x x x >-．【解析】（1）()()e 11x f x a x =+--Q ,()e 1x f x a \=¢+-,当1a ³时,()e 10xf x a =+->¢,函数()f x 在R 上单调递增；当1a <时,由()e 10xf x a =+->¢,得()ln 1x a >-,函数()f x 在区间()()ln 1,a ¥-+上单调递增,由()e 10xf x a =+-<¢,得()ln 1x a <-,函数()f x 在区间()(),ln 1a -¥-上单调递减．综上,当1a ³时,()f x 在R 上单调递增,无减区间.当1a <时,()f x 在()()ln 1,a ¥-+上单调递增,在()(),ln 1a -¥-上单调递减.（2）Q 当2a =时,()e 1xf x x =+-,\要证()ln cos f x x x x >-,即证()e cos 1ln 0,0,x x x x x x ++-->Î+¥,①当01x <£时,e cos 10x x x ++->Q ,ln 0x x £,e cos 1ln 0x x x x x \++-->；②当1x >时,令()e cos 1ln xg x x x x x =++--,则()e sin ln x g x x x =--¢,设()()h x g x ¢=,则()1e cos xh x x x=¢--,1x >Q ,e e 2x \>>,110x-<-<,1cos 1x -£-£,()0h x ¢\>,()h x \在()1,+¥上单调递增,()()1e sin100h x h \>=-->,即()0g x ¢>,()g x \在()1,+¥上单调递增,()()1e cos10g x g \>=+>,即e cos 1ln 0x x x x x ++-->．综上,当2a =时,()ln cos f x x x x >-． (三) 把证明()()f x g x > 转化为证明()()min maxf xg x >有时候把证明()()f x g x > 转化为证明()()0f x g x ->后,可能会出现()()f x g x -的导函数很复杂,很难根据导函数研究()()f x g x -的最值,而()f x 的最小值及()g x 的最大值都比较容易求,可考虑利用证明()()min max f x g x >的方法证明原不等式,但要注意这种方法有局限性,因为()()f x g x >未必有()()min max f x g x >.【例4】（2024届广东省部分学校高三上学期第二次联考）已知函数()()e 0xf x ax a =¹.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当24e a ³时,证明：()()1ln 01f x x x x -+>+.【解析】（1）由题意可得()()1e xf x a x +¢=.则0a >时,由()0f x ¢>,得1x >-,由()0f x ¢<,得1x <-,则()f x 在(),1-¥-上单调递减,在()1,-+¥上单调递增；当a<0时,由()0f x ¢<,得1x >-,由()0f x ¢>,得1x <-,则()f x 在(),1-¥-上单调递增,在()1,-+¥上单调递减.（2）因为0x >,所以e 01x x x >+.因为24e a ³,所以()()2e 4e 1ln 1ln 11xx ax x x x x x x x --+³-+++.要证()()1ln 01f x x x x -+>+,即证()24e 1ln 01x x x x x --+>+,即证()224e ln 1x x x x ->+.设()()224e 1x g x x -=+,则()()()234e 11x x g x x --¢=+.当()0,1x Î时,()0g x ¢<,当()1,x Î+¥时,()0g x ¢>,则()g x 在()0,1上单调递减,在()1,+¥上单调递增.故()()min 11eg x g ==.设()ln x h x x =,则()21ln xh x x-¢=.当()0,e x Î时,()0h x ¢>,当()e,x Î+¥时,()0h x ¢<,则()h x 在()0,e 上单调递增,在()e,+¥上单调递减.故()()max 1e eh x h ==.因为()()min max g x h x =,且两个最值的取等条件不同,所以()224e ln 1x x x x ->+,即当24e a ³时,()()1ln 01f x x x x -+>+.(四) 把证明()()f xg x >转化为证明()()()(),f xh x h x g x >>若直接证明()()f x g x >比较困难,有时可利用导数中的常见不等式如ln 1,e +1x x x x £-³构造一个中间函数()h x ,或利用不等式的性质通过放缩构造一个中间函数()h x ,再通过证明()()()(),f x h x h x g x >>来证明原不等式.【例5】已知函数()sin 2cos xf x x=+在区间()0,a 上单调．(1)求a 的最大值；(2)证明：当0x >时,()31e xf x +<．【解析】 (1)由已知得,22cos (2cos )sin sin 2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +++¢==++,要使函数()f x 在区间(0,)a 上单调,可知在区间(0,)a 上单调递增,令()0f x ¢>,得2cos 10x +>,即1cos 2x >-,解得22(2,2)33x k k p pp p Î-++,（k Z Î）,当0k =时满足题意,此时,在区间2(0,3p 上是单调递增的,故a 的最在值为23p.(2)当0x >时,要证明()31e xf x +<,即证明e 1()3x f x -<,而1xe x ->,故需要证明e 1()33x xf x -<<.先证：e 133x x -<,（0x >）记()e 1x F x x =--,()e 1x F x ¢=-Q ,,()0x Î+¥时,()0F x ¢>,所以()F x 在(0,)+¥上递增,\()e 1xF x x =--(0)0F >=,故1xe x ->,即e133xx -<.再证：()3x f x <,（0x >）令1()()3G x f x x =-,则sin 1(),2cos 3x G x x x =-+则()()()()222cos 12cos 1132cos 32cos x x G x x x ¢--+=-=++,故对于0x ">,都有()0¢<G x ,因而()G x 在(0,)¥+上递减,对于0x ">,都有()(0)0G x G <=,因此对于0x ">,都有()3xf x <.所以e 1()33x x f x -<<成立,即e 1()3x f x -<成立,故原不等式成立.(五) 改变不等式结构,重新构造函数证明不等式此类问题要先对待证不等式进行重组整合,适当变形,找到其等价的不等式,观察其结构,根据结构构造函数.常见的变形方法有：①去分母,把分数不等式转化为整式不等式；②两边取对数,把指数型不等式转化为对数型不等式；③不等式为()()()()f x h x g x h x >类型,且()()0h x >或<0的解集比较容易确定,可考虑两边同时除以()h x ；④不等式中含有,有时为了一次求导后不再含有对数符号,可考虑不等式两边同时除以x ；⑤通过换元把复杂的不等式转化为简单不等式.【例6】（2024届河南省创新发展联盟5月月考）已知函数1e 1()ln x af x x x x-=--.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当52a ³时,证明：()11()ln e 1ln x f x x x x x -++->-.【解析】（1）函数1e 1()ln x af x x x x -=--的定义域为(0,)+¥,求导得11222e (1)11(1)(e 1)()x x a x x a f x x x x x -----=-+=¢,若0a £,则1e 10x a --<,且当()0,1x Î时,()0f x ¢>,当()1,x ¥Î+时,()0f x ¢<,即函数()f x 在(0,1)上递增,在(1,)+¥上递减；若0a >,令1e 10x a --=,解得1ln x a =-,若1ln 0a -£,即e a ³,则1e 10x a --³恒成立,当()0,1x Î时,()0f x ¢<,当()1,x ¥Î+时,()0f x ¢>,即函数()f x 在(0,1)上递减,在(1,)+¥上递增；若01ln 1a <-<,即1e a <<,则当()()0,1ln 1,x a ¥Î-È+时,()0f x ¢>,当()1ln ,1x a Î-时,()0f x ¢<,即函数()f x 在(0,1ln ),(1,)a -+¥上递增,在(1ln ,1)a -上递减；ln x x若1ln 1a -=,即1a =,则()0f x ¢³在()0,¥+上恒成立,函数()f x 在(0,)+¥上递增；若1ln 1a ->,即01a <<,则当()()0,11ln ,x a ¥ÎÈ-+时,()0f x ¢>,当(1,1ln )x a Î-时,()0f x ¢<,即函数()f x 在(0,1),(1ln ,)a -+¥上递增,在(1,1ln )a -上递减,所以当0a £时,()f x 的递增区间为()0,1,递减区间为()1,¥+；当01a <<时,()f x 的递增区间为()0,1和()1ln ,a ¥-+,递减区间为()1,1ln a -；当1a =时,()f x 的递增区间为()0,¥+,无递减区间；当1e a <<时,()f x 的递增区间为()0,1ln a -和()1,¥+,递减区间为()1ln ,1a -；当e a ³时,()f x 的递增区间为()1,¥+,递减区间为()0,1.（2）要证()()11ln e 1ln x f x x x x x -++->-,需证()11e e ln 10x x a x x x --+-->,而15e ,02x a x -³>,即有()()1111e 5e e ln 1e ln 12x x x x a x x x x x x----+--³+--,则只需证明()115e e ln 102x x x x x --+-->,即证15e ln 12x x x x -æö+->ç÷èø,即证()215ln 12e x x x x -+->,令()()5ln 12h x x x =+-,则()ln h x x ¢=,当()0,1x Î时,()0h x ¢<,当()1,x ¥Î+时,()0h x ¢>,即函数()h x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+¥上单调递增,则()min 3()12h x h ==,令()21(0)e x x x x j -=>,则()()12ex x x x j --¢=,当()0,2x Î时,()0x j ¢>,当()2,x ¥Î+时,()0x j ¢<,函数()j x 在(0,2)上单调递增,在(2,)+¥上单调递减,则()max min 43()2()e 2x h x j j ==<=,从而()215ln 12e x x x x -+->,即()11()ln e 1ln x f x x x x x -++->-成立.(六) 通过减元法构造函数证明不等式对于多变量不等式 ,一般处理策略为消元或是把一个看作变量其他看作常量；当都不能处理的时候,通过变形,再换元产生一个新变量,从而构造新变量的函数.【例7】（2024届江西省南昌市高三三模）定义：若变量,0x y >,且满足：1mmx y a b æöæö+=ç÷ç÷èøèø,其中,0,Z a b m >Î,称y 是关于的“m 型函数”.(1)当2,1a b ==时,求y 关于x 的“2型函数”在点æççè处的切线方程；(2)若y 是关于x 的“1-型函数”,（i ）求x y +的最小值：（ii ）求证：()1111n n n nn n n n nx ya b+++æö+³+ç÷èø,()N n *Î.【解析】（1）解：当2,1a b ==时,可得12214x y æö=-ç÷èø,则122111242x y x -æöæö=-×-ç÷¢ç÷èøèø,所以1x y =¢=,所求切线方程为1)y x =-,即40x +-=.（2）解：由y 是关于x 的“1-型函数”,可得111x y a b --æöæö+=ç÷ç÷èøèø,即1a b x y +=,（i）因为2()()a b ay bx x y x y a b a b x y x y æö+=++=+++³++=ç÷èø,当且仅当2ay x x y ì=ïíï+î即x a y b ì=ïí=ïî时取得最小值.（ii ）由111x y a b --æöæö+=ç÷ç÷èøèø,即1a b x y +=,则()()x a y b ab --=,且x a >,y b >,可设x a at -=,by b t-=,其中(0,)t Î+¥,于是11[(1)]1(1)1nnnnnn n n x y a t b a t b t t éùæöæö+=+++=+++ç÷ç÷êúèøèøëû,记1()(1)1nnnnh t a t b t æö=+++ç÷èø,可得()()()11112111111n n n nn nn n n na t b h t na t nb t t t t a ---++éù+æöæöæö=+++-=-êúç÷ç÷ç÷èøèøèøêëû¢ú,由()0h t ¢=,得1n n b t a +æö=ç÷èø,记10n n b t a +æö=ç÷èø,当00t t <<时()0h t ¢<,当0t t >时,()0h t ¢>,则()()11min0001()1111nnn nnn n n n n n n b a h t h t a t b a b t a b ++éùéùæöæöæöêúêú==+++=+++ç÷ç÷ç÷êúêúèøèøèøëûëû111111111111n n n nn n n n n n n nn n n n n n n n n n a b a b a b a a b b b a ++++++++++æöæöæöæö=+×++×=+++ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø111n n n nn n a b+++æö=+ç÷èø,所以()1111n n n nn n n n nx ya b+++æö+³+ç÷èø.(七) 与极值点或零点有关的多变量不等式的证明此类问题通常是给出函数的零点或极值点12,x x 或123,,x x x ,与证明与12,x x 或123,,x x x 有关的不等式,求解时要有意识的利用方程思想代入消元（若i x 是()f x 的零点,则()0i f x =,若i x 是()f x 的极值点,则()0i f x ¢=,）,减少变量个数.【例8】（2024届湖南娄底市高三下学期高考考前仿真联考）已知函数()2e 2ln x af x a x x x =--.(1)当1a =时,讨论函数()f x 的单调性；(2)若22e a >,（i ）证明：函数()f x 有三个不同的极值点；（ii ）记函数()f x 三个极值点分别为123,,x x x ,且123x x x <<,证明：()()()23131e a f x f x a x x æö-<--ç÷èø.【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+¥,当1a =时,()2e 2ln xf x x x x=--,则()422323e e 21e 2(2)(e 2(2))x xx x x x x x x f x x x x x x x x -----¢=+-=+=,令e (0)x y x x =->,则e 10(0)x y x ¢=->>,所以e x y x =-在(0,)+¥上递增,所以0e e 01x y x =->-=,所以当2x >时,()0f x ¢>,当02x <<时,()0f x ¢<,所以()f x 在(0,2)上递减,在(2,)+¥上递增；（2）（i ）因为,()0x Î+¥,且()233(2e 2(2)(e ))x xa a x f x x x x a x x x -¢=+--=-,(2)0f ¢=,由e 0xax -=,得e xa x=（,()0x Î+¥）,令()(0)x e g x x x =>,则2(e 1)()(0)x x g x x x-¢=>,当01x <<时,()0g x ¢<,当1x >时,()0g x ¢>,所以()g x 在(0,1)上递减,在(1,)+¥上递增,所以min ()(1)e g x g ==,当2e (2)e 2a g >=>时,e xa x=在(0,1)和(2,)+¥上各有一个实数根,分别记为13,x x ,则1301,2x x <<>,设22x =,当10x x <<或23x x x <<时,()0f x ¢<,当12x x x <<或3x x >时,()0f x ¢>,所以()f x 在()10,x 和()23,x x 上递减,在()12,x x 和3(,)x +¥上递增,所以函数()f x 在(0,)+¥上有三个不同的极值点,（ii ）由（i ）1301,2x x <<>,所以13,x x 是方程e x ax =的两个不相等的实数根,即11e x ax =,33e xax =,所以11111211111e 221()ln ln ln x a a af x a x a x a x x x x x x æö=--=--=-+ç÷èø,同理3331()ln f x a x x æö=-+ç÷èø,所以()()313131313111ln ln a x a x f x f x x x x x x x æöæö-+++ç÷ç÷-èøèø=--31313111ln ln a x x x x x x æö-+--ç÷èø=-13331131ln x x x a x x x x x æö--+ç÷èø=-,由11e x ax =,33e x ax =,得3331113311e e ln ln ln ln e e e x x x x x x x a x x x a-====-,所以()()1331331313113131313131ln 11x x x x x a a x x f x f x x x x x x a x x x x x x x x æöæö---+-+-ç÷ç÷-æöèøèø===-ç÷---èø,因为2e ,2a æöÎ+¥ç÷èø,所以要证()()()23131e a f x f x a x x æö-<--ç÷èø,只要证()()23131e f x f x a a x x -<--,即证23111e a a a x x æö-<-ç÷èø,即证31111e a x x -<-,即证311e a x x <,只需证13e ax x <,即31e e xx <×,即311ex x -<,由（i ）可得1301,2x x <<>,所以3110e e 1x --<<<,根据（i ）中结论可知函数e ()=xg x x在(0,1)上递减,所以要证311ex x -<,即证311()(e )x g x g -<,因为3113e e x x a x x ==,所以13()()g x g x =,所以只要证313()(e )x g x g -<,即1333e 13e e e xx x x --<,得13e 3e e x x -<,即3131e ln x x --<,得313e 01ln xx ---<,令1()1ln e(2)xh x x x -=-->,则111e 1()e (2)x x x h x x x x---¢=-+=>,令1()e 1(2)x u x x x -=->,则1()(1)e 0(2)x u x x x -¢=-<>,所以()u x 在(2,)+¥上递减,所以2()(2)10eu x u <=-<,所以()0h x ¢<,所以()h x 在(2,)+¥上递减,所以1()(2)1ln 20e h x h <=--<,所以得证.(八) 与数列前n 项和有关的不等式的证明此类问题一般先由已知条件及导数得出一个不等式,再把该不等式中的自变量依次用1,2,3,L ,n 代换,然后用叠加法证明.【例9】（2024届重庆市九龙坡区高三下学期5月质量抽测）已知函数()213ln 22f x x x ax =+-+,()0a >.(1)当[)1,x ¥Î+时,函数()0f x ³恒成立,求实数a 的最大值；(2)当2a =时,若()()120f x f x +=,且12x x ¹,求证：122x x +>；(3)求证：对任意*N n Î,都有()2112ln 1ni i n n i =-æö++>ç÷èøå.【解析】（1）当1x ³时,()213ln 022f x x x ax =+-+³恒成立,即ln 1322x a x x x £++恒成立,只需min ln 1322x a x xx æö£++ç÷èø即可,令()ln 1322x g x x x x =++,1x ³,则()22221ln 132ln 1222x x x g x x x x ---=-¢+=,令()22ln 1h x x x =--,1x ³,则()22222x h x x x x=¢-=-,当1x ³时,()0h x ¢³恒成立,()h x 在[)1,x ¥Î+单调递增,所以()()10h x h ³=,所以()0g x ¢³在[)1,x ¥Î+恒成立,()g x 在[)1,x ¥Î+单调递增,所以()()min 12g x g ==,所以2a £,即实数a 的最大值为2.（2）当2a =时,()213ln 222f x x x x =+-+,0x >,所以()()21120x f x x x x-=+=¢-³,()f x 在()0,x ¥Î+上单调递增,又()10f =,()()120f x f x +=且12x x ¹,不妨设1201x x <<<,要证122x x +>,即证明212x x >-,因为()f x 在()0,x ¥Î+上单调递增,即证()()212f x f x >-,因为()()120f x f x +=,即证()()1120f x f x +-<,设()()()()()()2213132ln 2ln 22222222F x f x f x x x x x x x =+-=+-++-+---+()()()2ln 221ln 221x x x x x x x x éùéù=-+-+=---+ëûëû,01x <<,令()2t x x =-,则01t <<,则()ln 1t t t j =-+,()111tt t t j -=-=¢,由01t <<可得()0t j ¢>,()t j 在()0,1单调递增,所以()()10t j j <=,即()()()20F x f x f x =+-<,所以()()1120f x f x +-<成立,所以122x x +>.（3）由（2）可知当2a =时,()f x 在()1,¥+单调递增,且()()10f x f >=,由213ln 2022x x x +-+>得22ln 430x x x +-+>,即()22ln 21x x +->,令1n x n +=,则2112ln 21n n n n ++æö+->ç÷èø,即2112ln 1n n n n +-æö+>ç÷èø,所以22112ln 111-æö+>ç÷èø,23122ln 122-æö+>ç÷èø,24132ln 133-æö+>ç÷èø,…,2112ln 1n n n n +-æö+>ç÷èø,相加得()2112ln 1ni i n n i =-æö++>ç÷èøå.（九）通过同构函数把复杂不等式化为简单不等式此类问题通常是构造一个函数()f x ,把所证不等式转化为()()()()f g x f h x >,再根据()f x 的单调性转化为证明一个较简单的不等式.【例10】（2024届广东省广州市高中毕业班冲刺训练二）已知函数()e axf x x =（0a >）.(1)求()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值；(2)当1a ³时,求证：()ln 1f x x x ³++.【解析】（1）解：()()e 1axf x ax =+¢（0x >）（0a >）,令()0f x ¢=,则1x a =-,当01a <£时,11a-£-,所以()0f x ¢³在区间[]1,1-上恒成立,()f x 在区间[]1,1-上单调递增,所以()()min 1e a f x f -=-=-,()()max 1e af x f ==.当1a >时,111a -<-<,则当11,x a éöÎ--÷êëø时,()0f x ¢<,()f x 在区间11,a éö--÷êëø上单调递减；当1,1x a æùÎ-çúèû时,()0f x ¢>,()f x 在区间1,1a æù-çúèû上单调递增,所以()min 11e f x f a a æö=-=-ç÷èø,而()1e 0a f --=-<,()1e 0a f =>.所以()()max 1e af x f ==综上所述,当01a <£时,()min e a f x -=-,()max e af x =；当1a >时,所以()min 1ef x a =-,()max e af x =.（2）因为0x >,1a ³,所以e e ax x x x ³,欲证e ln 1ax x x x ³++,只需证明e ln 1x x x x ³++,只需证明ln ln e e e e ln 1x x x x x x x x x +==³++,因此构造函数()e 1x h x x =--（x ÎR ）,()e 1xh x ¢=-,当(),0x Î-¥时,()0h x ¢<,()h x 在(),0¥-上单调递减；当()0,x Î+¥时,()0h x ¢>,()h x 在()0,¥+上单调递增：所以()()00h x h ³=,所以e 1x x ³+,所以e ln 1x x x x ³++,因此()ln 1f x x x ³++.【例1】（2024届内蒙古呼和浩特市高三第二次质量监测）对于函数()f x ,若实数0x 满足()00f x x =,则0x 称为()f x 的不动点．已知函数()()e 2e 0x xf x x a x -=-+³．(1)当1a =-时,求证()0f x ³；(2)当0a =时,求函数()f x 的不动点的个数；(3)设*N n Î,()ln 1n +>+L ．【解析】（1）当1a =-时,有()()e 2e 0x xf x x x -=--³,所以()1e 2e x x f x =+-¢()0x ³,所以()1e 220e x x f x =+-³=¢当且仅当1e e xx=,e 1x=,即0x =时,等号成立,所以当[)0,x Î+¥时,()0f x ¢³,()f x 单调递增,所以()()()min 00f x f x f ³==,所以()0f x ³得证.（2）当0a =时,()()e 20xf x x x =-³,根据题意可知：方程e 2x x x -=()0x ³解的个数即为函数()f x 的不动点的个数,化e 2x x x -=()0x ³为e 30x x -=()0x ³,令()e 3xg x x =-()0x ³,所以函数()g x 的零点个数,即为函数()f x 的不动点的个数,()e 3x g x ¢=-()0x ³,令()0g x ¢=,即e 3x =,解得ln 3x =,x[)0,ln 3ln 3()ln 3,¥+()g x ¢-+()g x 单调递减33ln 3-单调递增因为()010g =>,()ln 333ln 30g =-<,所以()g x 在[)0,ln 3上有唯一一个零点,又()555e 15215170g =->-=>,所以()g x 在()ln 3,¥+上有唯一一个零点,综上所述,函数()f x 有两个不动点.（3）由（1）知,()e 2e 0,0,x xx x ¥--->Î+,令ln ,1x s s =>,则12ln 0s s s --->,即12ln ,1s s s s->>,设*N s n =Î,则满足1s >,>1ln 1n æö>+ç÷èø,()1ln ln 1ln n n n n +æö>=+-ç÷èø,()ln 2ln1ln 3ln 2ln(1)ln ln 1n n n >-+-+++-=+L L ,即()ln 1n >+L .【例2】（2024届四川省自贡市高三第三次诊断性考试）已知函数1()1ln (0)f x a x a x=++>(1)求函数()f x 的单调区间；(2)函数()f x 有唯一零点1x ,函数2()sin e ag x x x =--在R 上的零点为2x ．证明：12x x <．【解析】（1）函数1()1ln (0)f x a x a x=++>的定义域为()0,¥+,且2211()a ax f x x x x -¢=-+=,所以当10x a<<时()0f x ¢<,当1x a >时()0f x ¢>,所以()f x 的单调递减区间为10,a æöç÷èø,单调递增区间为1,a æö+¥ç÷èø；（2）法一：由（1）可知若函数()f x 有唯一零点1x ,则11x a=,即1ln 10f a a a a æö=-++=ç÷èø,令()ln 1x x x x j =-++,则()ln x x j ¢=-,当1x >时,()()0,x x j j ¢<单调递减,当01x <<时,()()0,x x j j ¢>单调递增,因为44e 2.753.144127>=>,55e 3243256<=<,所以()433ln 344ln 27ln e ln 270j =-+=-=->,()544ln 455ln 256ln e ln 2560j =-+=-=-<,当01x <<时()()1ln 10x x x j =-+>,当x ®+¥时()x j ®-¥,所以()x j 在()3,4上存在唯一零点,所以33a <<,即11143a <<,令()2e sin h x x x x -=+-,则()22e cos 10h x x x -=-+-<¢,所以()h x 在()0,¥+上单调递减,故22113113111sin sin sin 03e333333h h a æöæö>=+->+-=>ç÷ç÷èøèø,所以211e sin a a a->-,又()2222sin e 0g x x x a -=--=,所以2221111sin e sin sin x x a x x a a--=>-=-,令()sin F x x x =-,则()1cos 0F x x =-³¢,所以()F x 在()0,¥+上单调递增,又()()21>F x F x ,所以21x x >.法二：因为0a >,由（1）可知若函数()f x 有唯一零点1x ,则11x a=,即()()1111111111ln 1ln 10ln 10f x a x x x x x x x =++=++=Þ++=,设211()ln 1,0,0e e h x x x h h æöæö=++><ç÷ç÷èøèø,而()h x 在()0,¥+上单调递增,所以1211,e e x æöÎç÷èø,()1cos 0g x x ¢=-≥,所以()g x 在R 上单调递增,又12(0)0,0e ag x =-<\>,令22211()sin ,()1cos 0e e x x x x x x x j j ¢=--=-+>,所以()j x 在()0,¥+上单调递增,所以()111sin 0e e x j j æö\<=-<ç÷èø,而()222212211sin sin 0e e a g x x x x x x =--=--=,()()11122211221111sin sin e e g x x x g x x x x x x x \=--<=--\<.【例3】（2024届四川省成都市实验外国语学校教育集团高三下学期联考）已知函数()e xf x =,()lng x x =.(1)若函数()()111x h x ag x x +=---,a ÎR ,讨论函数()h x 的单调性；(2)证明：()()()()1212224x f x f x g x -->-.（参考数据：45e 2.23»,12e 1.65»）【解析】（1）由题意()()1ln 1,11x h x a x x x +=-->-,所以()()22,11ax a h x x x -+¢=>-,当0a =时,()0h x ¢>,所以()h x 在()1,+¥上为增函数；当0a ¹时,令()0h x ¢=得21x a=-,所以若0a >时,211a-<,所以()0h x ¢>,所以()h x 在()1,+¥上为增函数,若0<a 时,211a->,且211x a <<-时,()0h x ¢>,21x a >-时,()0h x ¢<,所以()h x 在21,1a æö-ç÷èø上为增函数,在21,a æö-+¥ç÷èø上为减函数,综上：当0a ³时,()h x 在()1,+¥上为增函数,当0<a 时,()h x 在21,1a æö-ç÷èø上为增函数,在21,a æö-+¥ç÷èø上为减函数；（2）()()()()1212224x f x f x g x -->-等价于()2121e e 2ln 204x x x x ---+>,设()()2121e e 2ln 24x x F x x x =---+,则()()()222e 2e 12e e 2e e x xx x xxx x x x F x x x x x-+--¢=--==,因为0x >,所以e 10x x +>,设()e 2x x x j =-,则()()10e xx x j ¢=+>,则()x j 在()0,¥+上单调递增,而()4544e 20,1e 2055j j æö=-<=->ç÷èø,所以存在04,15x æöÎç÷èø,使()00x j =,即00e 2xx =,所以00ln ln 2x x +=,即00ln ln 2x x =-,当00x x <<时,()0F x ¢<,则()F x 在()00,x 上单调递减,当0x x >时,()0F x ¢>,则()F x 在()0,x +¥上单调递增,所以()()00200min 121e e 2ln 24x x F x x x =---+()000220001421212ln 22222ln 224x x x x x x =---++=-+-+,设()21422ln 22,15m t t t t æö=-+-+<<ç÷èø,则()3220m t t ¢=+>,则()m t 在4,15æöç÷èø上单调递增,42581632ln 222ln 20516580m æö=-+-+=->ç÷èø,则()min 0F x >,则不等式()2121e e 2ln 204x x x x ---+>恒成立,即不等式()()()()1212224x f x f x g x -->-成立.【例4】（2024届天津市滨海新区高考模拟检测）已知函数()ln a xf x x+=,其中a 为实数．(1)当1a =时,①求函数()f x 的图象在e x =（e 为自然对数的底数）处的切线方程；②若对任意的x D Î,均有()()m x n x £,则称()m x 为()n x 在区间D 上的下界函数,()n x 为()m x 在区间D 上的上界函数．若()1kg x x =+,且()g x 为()f x 在[)1,+¥上的下界函数,求实数k 的取值范围．。