一次函数分段函数25段

分段函数

1、二段型分段函数

1、1正比例函数与一次函数构成的分段函数

解答这类分段函数问题的关键,就就是分别确定好正比例函数的解析式与一次函数的解析式。

例1某家庭装修房屋,由甲、乙两个装修公司合作完成,选由甲装修公司单独装修3天,剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成.工程进度满足如图1所示的函数关系,该家庭共支付工资8000元.

(1)完成此房屋装修共需多少天？

(2)若按完成工作量的多少支付工资,甲装修公司应得多少

元？

例2、一名考生步行前往考场, 10分钟走了总路程的1

4

,估计步行不能准时到达,于就

是她改乘出租车赶往考场,她的行程与时间关系如图2所示(假定总路程为1),则她到达考场所花的时间比一直步行提前了( )

A.20分钟Ｂ.22分钟Ｃ.24分钟 D.26分钟

例3、某公司专销产品A,第一批产品A上市40天内全部售完.该公司对第一批产品A 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查,调查结果如图所示,其中图(3)中的折线表示的就是市场日销售量与上市时间的关系;图(4)中的折线表示的就是每件产品A的销

售利润与上市时间的关系.

(1)试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式;

(2)第一批产品A上市后,哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润就是多少万元？

1、2一次函数与一次函数构成的分段函数

例4、为了鼓励小强做家务,小强每月的费用都就是根据上月她的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的.若设小强每月的家务劳动时间为x小时,该月可得(即下月她可获得)的总费用为y元,则y(元)与x(小时)

之间的函数图像如图5所示.

(1)根据图像,请您写出小强每月的基本生活费;父母就是如何奖

励小强家务劳动的？

(2)若小强5月份希望有250元费用,则小强4月份需做家务多少时

间？

1、3常数函数与一次函数构成的分段函数

例5、有甲、乙两家通迅公司,甲公司每月通话的收费标准如图6所示;乙公司每月通话收费标准如表1所示.

(1)观察图6,甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额就是元;甲公司用户通话100分钟以后,每分钟的通话费为元;

(2)李女士买了一部手机,如果她的月通话时间不超过100分钟,她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟,又将如何选择？

2、三段型分段函数

例6 如图7,矩形ABCD中,AB＝1,AD＝2,M就是CD的中点,点P在矩形的边上沿A→B →C→M运动,则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致就是下图中的( )

3、四段型分段函数

例7、星期天,小强骑自行车到郊外与同学一起游玩,从家出发2小时到达目的地,游玩3小时后按原路以原速返回,小强离家4小时40分钟后,妈妈驾车沿相同路线迎接小强,如图11,就是她们离家的路程y(千米)与时间x(时)的函数图像。已知小强骑车的速度为15千米/时,妈妈驾车的速度为60千米/时。

(1)小强家与游玩地的距离就是多少？

(2)妈妈出发多长时间与小强相遇？

4、五段型分段函数

例8、小明同学骑自行车去郊外春游,下图表示她离家的距离y(千米)与所用的时间x(小时)之间关系的函数图象、

(1)根据图象回答:小明到达离家最远的地方需几

小时？此时离家多远？

(2)求小明出发两个半小时离家多远？

(3)求小明出发多长时间距家12千米？

答案解析

例1:解析:设正比例函数的解析式为:y=k 1x, 因为图象经过点(3,

41),所以,41= k 1×3,所以k 1=121,所以y=121x,0＜x ＜3 设一次函数的解析式(合作部分)就是y=k 2x+b,(0k k b ≠，，就是常数) 因为图象经过点(3,

41),(5,2

1

),所以, 由待定系数法得:⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧

=+⨯=+⨯2

154

1

322b k b k ,解得:81,812-==b k . ∴一次函数的表达式为8

181-=

x y ,所以,当1y =时,11

188x -=,解得9x =

∴完成此房屋装修共需9天。

方法2

解:由正比例函数解析式可知:甲的效率就是

112,乙工作的效率:11181224

-= 甲、乙合作的天数:311641224⎛⎫

÷+= ⎪⎝⎭

(天)

∵甲先工作了3天,∴完成此房屋装修共需9天

(2)由正比例函数的解析式:y=

12

1x,可知:甲的工作效率就是112 ,

所以,甲9天完成的工作量就是:13

9124

⨯

=, ∴甲得到的工资就是:3

800060004

⨯=(元)

评析:在这里未知数的系数的意义就是表示她们的工作效率。 例2:解析:步行前往考场,就是满足正比例函数关系, 设正比例函数的解析式为:y=k 1x,

因为图象经过点(10,

41),所以,41= k 1×10,所以k 1=401,所以y=40

1x,0＜x ＜10 由正比例函数解析式可知:甲的效率就是401

,

所以,步行前往考场需要的时间就是:1÷40

1

=40(分钟),

乘出租车赶往考场,就是满足一次函数关系,

所以,设一次函数的解析式就是y=k 2x+b,(0k k b ≠，，就是常数), 因为图象经过点(10,

41),(12,2

1

),所以, 由待定系数法得:⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+⨯=+⨯2

1

1241

1022

b k b k ,解得:解得:1,812

-==b k ,

∴一次函数的表达式为:18

1-=

x y ,所以,乘出租车赶往考场用的时间就是:x=43÷

8

1

,解得:x=6分钟, 所以,先步行前往考场,后乘出租车赶往考场共用时间为:10+6=16分钟, 所以,她到达考场所花的时间比一直步行提前了:40-16=24(分钟), 故选C 。

评析:在这里未知数的系数的意义就是表示她们的行使速度。 例3:解析:

(1) 由图3可得,

当0≤t ≤30时,市场日销售量y 与上市时间t 的关系就是正比例函数, 所以设市场的日销售量:y=kt,

∵ 点(30,60)在图象上, ∴ 60=30k .

∴ k =2.即 y =2t,

当30≤t ≤40时,市场日销售量y 与上市时间t 的关系就是一次函数关系, 所以设市场的日销售量:y=k 1t+b, 因为点(30,60)与(40,0)在图象上,

所以 11

6030040k b k b =+⎧⎨=+⎩ ,

解得 k 1=－6,b =240.

∴ y =－6t +240. 综上可知,

当0≤t ≤30时,市场的日销售量:y =2t,

当30≤t ≤40时,市场的日销售量:y=-6t+240。 (2) 由图4可得,

当0≤t ≤20时,市场销售利润w 与上市时间t 的关系就是正比例函数, 所以设市场的日销售量:w=kt,