大工13秋《复变函数与积分变换》辅导资料八
复变函数与积分变换重修辅导讲义
复变函数与积分变换重修辅导讲义（一）内容提要：1．复数z x iy =+的实部Re()z ，虚部Im()z ；与复平面上点(,)x y 一一对应。
（画图） 2．复数的模，辐角，辐角主值。
3．复数的基本运算。
（特别是开方运算）4．复函数的概念；初等函数：指数函数，对数函数；欧拉公式。
5．复函数的导函数。
6．解析函数C-R 方程练习题：1．复数1z i =+的辐角主值为 ；答案: .4π2．复数1z i =-的辐角主值为 ；答案: .4π-3．复数1z =的辐角主值为 ； 答案:.3π4．复数1z =的辐角主值为 ；答案: .3π-5．设()z Ln i =,则Re()z 等于 ；Im()z 等于 ； 答案:0；2,k 0,1,.2k ππ=±+6．设()z Ln i =-,则Re()z 等于 ；Im()z 等于 ； 答案:0；k 0,122.,,k ππ=±-+7．设(1)z Ln i =-,则Re()z 等于 ；Im()z 等于 ；答案: ；k 0,124.,,k ππ=±-+8．设(1)z Ln =,则Re()z 等于 ；Im()z 等于 ；答案: ln 2；k 0,123.,,k ππ=±-+9．复函数()n f z z =的导函数为___________； 答案: 1.n nz -10．复函数()z f z e =的导函数为___________； 答案: .z e11．复函数2()z f z e =的导函数为___________； 答案: 22.z ze12．复函数()sin 2f z z =的导函数为___________； 答案: 2cos 2.z13. 求方程380z +=的所有根.解：388(cos sin )z i ππ=-=+,从而222(coscos) 33k k z i k ππππ++=+=0,1,2故方程的所有根为12,1z z z ==-= 14. 求方程410z -=的所有根.解：411(cos0sin0)z i ==+0202cos()sin() 0,1,2,344k k i k ππ++=+= 故方程的所有根 1,,1,.z i i =-- 15. 求13(1)i -的值.解：1)sin())44i i ππ-=-+-11332244(1)(cos()sin()) 0,1,233k k i i k ππππ-+-+-=+=137755 (1)sinsin sin )1212121244i i i i ππππππ∴-=-++16. .解：11(cos sin )i ππ-=+221(cos()sin()) 0,1,2,3,564,6k k i k ππππ+=+=+1111 , , ,, .2222i i i i i i ∴=-- 17．设3232()()f z my nx y i x lxy =+++为解析函数,试确定,,l m n 的值. 解：由C-R 方程知：32u my nx y =+，32v x lxy =+u v x y∂∂=∂∂ 且 u vy x ∂∂=-∂∂即22nxy lxy = 且 22323()my nx x ly +=-+故 3, 1.n l m ==-=复变函数与积分变换重修辅导讲义（二）内容提要：1．复函数的积分。
《复变函数与积分变换》PPT课件
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z
n
z n = zzLz = r n (cos nθ + i sin nθ)
复数的方根
设
iθ
z = re
为已知复数，n为正整数，则称满足方程
w =z
n
的所有w值为z的n次方根，并且记为
w= n z
浙江大学
设
w= ρeiϕ ,
则
ρ neinϕ = reiθ
w0 = r (cos + i sin ) n n 1 θ + 2π θ + 2π n w1 = r (cos ) + i sin n n 1 θ + 4π θ + 4π n w2 = r (cos + i sin ) n n
1 n
1 n
θ
θ
wn−1 = r (cos
θ + 2(n −1)π
n
+ i sin
Re z 2 = x2 − y2 ≤ 1
Im z 2 ≤ 1
浙江大学
例： 指出不等式 0 < arg 解：
z −i π < 中点z的轨迹所在范围。 z +i 4
z −i x2 + y2 −1 − 2x = 2 +i 2 2 z + i x + ( y +1) x + ( y +1)2
z −i π 因为 0 < arg < , 所以 z +i 4 +i x2 + y2 −1 − 2x > 2 >0 2 2 2 x + ( y +1) x + ( y +1)
复变函数与积分变换第八章
证明
令
二、延迟性质与位移性质
1. 延迟性质
性质 设当 t < 0 时
则对任一非负实数 有
注意 在延迟性质中专门强调了当 t < 0 时 因此，本性质也可以直接表述为：
这一约定。
可见，在利用本性质求逆变换时应为：
解 方法一 已知 根据延迟性质有
方法二
方法一 先充零再平移 方法二 先平移再充零
两种方法为什么会得到不同的结果？
一、Laplace 变换的引入
1. Fourier 变换的“局限性”？
广义 Fourier 变换的引入，扩大了古典 Fourier 变换的适 用范围，使得 “缓增” 函数也能进行 Fourier 变换，而且 将周期函数的 Fourier 级数与 Fourier 变换统一起来。
广义 Fourier 变换对以指数级增长的函数如
积分在
上处处发散.
根据定理8.2，存在实数s (或是)使得在
上, 积分
收敛, 而在
上，积分
处处发散. 在收敛区域内，
Laplace变换的像函数
虚轴
析函数.
是s的解
Os
实轴
四、几个常用函数的 Laplace 变换
(1) [1]= [ ] (2) [ ]
解 (2)
含脉冲函数的 拉氏变换问题
四、几个常用函数的 Laplace 变换
因此在进行Laplace变换时，常常略去存在域， 只有在非常必要时才特别注明。
(2) 在 Laplace 变换中的函数一般均约定在 t < 0 时为零， 即函数 等价于函数
比如
类似于幂级数中
，有下面定理.
定理8.2 如果
在
处收敛，则这个积分在 由这个积分确定的函数
复变函数与积分变换全教程绝对完整经典考试复习必备
复变函数与积分变换复数与复变函数PPT课件
将它们代入所给的直线方程ax+bx=c，有
化简得
记α=a+ib，β=2c，便得结论.
（3）方程|z-i|=|z+2i|表示到点i和-2i的距离相等的点z的轨迹，
即连接复数i和-2i的线段的垂直平分线.
(4) 方程
表示一个圆周.
第31页/共75页
1.1.5无穷远点与扩充复平面 取一个与 相切于坐标原点O的球面S. 过O作与复平面相垂直的直线，该直线 与球面S交于另一点N，O和N分别称为 球面的南极和北极（图1.7）.
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1.1.1复数域 形如
1.1复数
的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚
部，记作x=Re z，y=lm z；而i(也可记为 )称为纯虚数单位.
当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,Im z≠0时，z称
为纯虚数；特别地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0.
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1.1.2复平面、复数的模与辐角 由于一个复数z=x+iy可以由有序实数对(x,y)唯一确定，而有序实 数对(x,y)与平面直角坐标系xOy中的点一一对应，因此可以用坐标 为(x,y)的点P来表示复数z=x+iy (图1.1)，此时x轴上的点与实数 对应，称x轴为实轴，y轴上的点（除原点外）与纯虚数对应，称y轴 为虚轴.像这样表示复数的平面称为复平面，或按照表示复数的字母 是z,w,…,而称为z平面、w平面，等等.
图1.5
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例1.5设n为自然数，证明等式
证明令
，/共75页
1.1.4共轭复数 设复数z=x+iy，称复数x-iy为z的共轭复数，记为 于实轴对称的（图1.6）. 由定义，容易验证下列关系成立：
复变函数与积分变换
复变函数与积分变换
f (z) x3 3xy2 i(3x2 y y3 )
ez 1 3i
试判断函数
的可
微性和c解o析s性(1。 i)
解方程
求 w 3 z
w(2) 3 2
设
确定在从原点z=0起沿负实轴割破
了的z平面上，并且
（这是边界上岸
点对应的函数值），试求
的值。
设 f (z) x3 y3 2，x问2 y 2i 在何处可f导(z)
复变函数与积分变换
1.计算 ezdz c z2 5z 6
其中C为单位圆周|z|=1
2.求积分2a (2z2 8z 1)dz 0 u x2 xy y2 f (i) 1 i
f (z) u iv
3.已知： 1
dz
C (z 1)3(z 1)3
，
C 求解析函数
4.计算积分z 1
R 2 ,其中积分路径 为
|
1,
Im
z
0}
映射到
单
位
圆
内
部
的w共 形映 射z.
2
D { z : | z | 1, Im z 0}
作业题
复变函数与积分变换
第二篇积分变换 第一章傅里叶变换
重点理解掌握 1.掌握傅里叶积分公式、余弦傅里叶积分公式和
正弦傅里叶积分公式以及用它们来计算某些积分。 2.理解傅里叶变换、余弦傅里叶变换、正弦傅里
3记住几个主要的初等函数的泰勒展开式，能 熟练地把一些比较简单的初等函数展开成泰勒级数 或求得展开式的起首几项并确定其收敛半径。
4.理解罗朗级数的作用,并能把比较简单的函数 在不同环域内展开成罗朗级数；理解孤立奇点的概 念，孤立奇点的分类以及判别其类型的方法。
复变函数及积分变换第八章
1,
t t
;
的拉普拉斯变换.
解：阶跃函数u(t)的拉普拉斯变换为
L u(t)(s) 1
s 根据延迟性质，有
L u(t )(s) 1 es
s
例8.12 设 fT (t)(t 0)是周期为T的函数，其中T 0 ，即
是指f (t) 0，t 0 ，f (t T ) f (t)，t 0 .求 fT (t) 的拉普
例8.14 求函数 f (t) cost的拉普拉斯变换， 其中为常数. 解：由于 f (0) 1 f (0) 0 f (t) 2 cost
L 2 cost (s) L f (s) s2L f (s) sf (0) f '(0)
再由线性性质，有
拉斯变换. 解：定义函数
f
(t
)
0f,T
(t
),
0t T 其余地方，
fT (t) f (t) f (t T ) f (t 2T )
T
记 L f (s) F(s) fT (t)estdt
0
由延迟性质，有
L f (s) F(s) F(s)eTs F(s)e2Ts
F(s)
( 1) 1
由于F(s)和 ( 1)在半平面 Re(s) 0上均为解析函数，
1
而且在正实轴上相等，因此，由解析函数的唯一性
定理知道，在区域 Re(s) 0上处处相等，即是
L
t
(s)
( 1)
s 1
例8.6 求周期为2a的函数 的拉普拉斯变换.
0
tf (t)est
dt
复变函数与积分变换-拉普拉斯变换
Complex Analysis and Integral Transform
第8章 拉普拉斯变换
复习、引入 6.1 拉普拉斯变换的概念 6.2 拉普拉斯变换的基本性质 6.3 拉普拉斯逆变换 6.4 卷积 6.5 拉普拉斯变换的应用
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
二.求法举例
例1 求下列函数的拉普拉斯变换
(1)
u(t )
0, 1,
t0 t0
; (2) f (t) ekt ; (3) f (t) sin kt
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
解：(1)
L[u(t)] u(t)estdt estdt 1 est
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
F(s) 叫做 f (t) 的象函数. f (t) 叫做 F(s) 的拉氏逆变换或象原函数,记为
f (t) = ℒ 1 F(s)
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
Complex Analysis and Integral Transform
解：（1） L[ f (t)] (t) cost u(t) sin te-stdt 0
(t)coste-stdt u(t) sin te-stdt
0
0
(t)est dt
复变函数与积分变换复习资料 机电
复变函数与积分变换复习资料填空题：1. 设100)1(i z -=，则=z 。
2. 4)1(i -的值是。
3. 22+=-z i z 所表示的曲线的直角坐标方程是。
4. 12)3(i -的值是。
5. 设i z i e -=，则=z Re 。
6. 在复平面上，函数)2()(222y xy i x y x z f -+--=在上可导。
7. 当=a 时，xytgi y x a z f arg )ln()(22++=在区域0>x 内是解析函数。
8. 函数z z f arg )(=在上不连续。
9. 设21)(z ez f =，C 为正向圆周1=z ，则积分=⎰C z dz e21。
10. 设⎰=-=23sin)(ζζζζπd zz f ，其中z 不在2=ζ上，则=-')(i f 。
11. 设函数)(1)(i z z z f -=，则)(z f 在孤立奇点i z =的（最大的）去心邻域内可展开成罗朗级数。
12. 罗朗级数∑∞-∞=--n n nz )1(3的收敛域为。
13. tgz z f =)(在0=z 处的泰勒展开式的收敛半径为。
14. 设)1(1)(z z z f -=，则)(z f 在10<<z 内的罗朗展开式是。
15. 设C 为正向圆周1=z ，则积分=⎰dz eC z 21。
16. 设函数)1(sin )(-=z z zz f ，则[]=0),(Re z f s 。
17. =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++i z z ze s iz,)4)(1(Re 222。
18. 设C 为正向圆周1=z ，则积分=-⎰C zdz ze 2cos 1。
19. 3+2i 关于圆周21=-z 的对称点是。
20. 设z z z w Im Re -=，则='w 。
21. 映射iz iz w +-=在i z =处的旋转角为。
22. 函数z e w =缩小了Z 平面上的。
23. 将点101、、-=z 分别映射为点11-=、、i w 的分式线性映射为=w 。
复变函数和积分变换重要知识点归纳
.WORD.格式.复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数及积分变换重要知识点归纳
复变函数复习要点(一)复数的观点 1.复数的观点：z x iy ， x, y 是实数 , x Re z , yIm z .i 21.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小 .2.复数的表示 1）模： zx 2 y 2 ；2）幅角 ：在 z 0 时，矢量与 x 轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值 arg z 是位于 ( , ] 中的幅角。
3） arg z 当 x与 arctan y之间的关系以下：xy0, arg z arctan；y 0,arg z arctany当 x 0, x ；yy 0,arg zarctanx4）三角表示 ： z z cosi sin，此中arg z ；注：中间必定是“ + ”号。
5）指数表示 ： z z e i ，此中arg z 。
(二) 复数的运算1.加减法 ：若 z 1 x 1 iy 1, z 2 x 2 iy 2 ，则 z 1 z 2x 1 x 2 i y 1 y 22.乘除法 ：1）若 z 1x 1 iy 1, z 2 x 2 iy 2 ，则z 1z 2 x 1 x 2 y 1 y 2 i x 2 y 1 x 1 y 2 ；z 1x 1 iy 1x 1iy 1 x 2 iy 2x 1x 2 y 1 y 2 y 1 x 2y 2x 1 。
z 2 x 2 iy 2 x 2 iy 2 x 2 iy 2x 22 y 22iy 22x 22）若 z 1 z 1 e i 1 , z 2 z 2 e i 2 , 则2i12； z 1 z 1i 12z 1z 2 z 1 z 2 ez 2z 2 e3.乘幂与方根1） 若 zz (cos i sin )z e i ，则 z n ni sin n )nz (cosnz e in 。
2） 若 zz (cosi sin )z e i，则n12k2k（有 n 个相异的值）nz zcosni sinn( k 0,1,2n 1)（三）复变函数1．复变函数： w f z ，在几何上能够看作把 z 平面上的一个点集 D 变到 w 平面上的一个点集 G 的映照 .2．复初等函数1）指数函数 ： e ze x cos y isin y ，在 z 平面到处可导，到处分析；且 e ze z 。
复变函数与积分变换PPT课件
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
复变函数与积分变换第八章(2)教案
周次
课题
课时
课型
教具
2
4.2.单位冲激函数
2
新授
教材
教学目的
1、理解单位冲激函数的概念
2、掌握 的博氏变换
教学重点
的博氏变换
教学方法
例证法、启发诱导法、讲授法
教学过程
一、引入
傅里叶级数与傅里叶变换以不同的形式反映了周期函数与非周期函数的频谱特征，是否可以借助某种手段将它们统一起来呢？在工程实际问题中，有许多物理现象具有一种脉冲特征，它们仅在某一瞬间或者莫一点出现，如瞬间冲击力，脉冲电流，质点的质量等等，这些物理量都不能用通常的函数形式去描
3、问题：
4、解决措施：
通过引入单位脉冲函数，可以扩大傅里叶变换的使用范围，且能将傅里叶变换与傅里叶级数统一起来，具体说，就是借助单位脉冲函数，使得一些非绝对可积的函数包括周期函数等）也能进行傅里叶变换.
2‘
二、讲授新课
1、单位冲激函数
例1设有长度为 的均匀细杆放在x轴的 上，其质量为m，用 表示它的密度，则有
如果有一个质量为m地质点放置在坐标原点，则可以认为它相当于上面的 的结果， 式，则质点的密度函数 为
这种常规的函数表述方式，并不能反映出质点本身的质量，必须附加一个条件 。因此我们需要引入一个新的函数，即所谓的单位冲激函数，又称狄拉克函数或者 。
定义：单位冲激函数 是满足下面两个条件的函数
按照此定义，则例1中质点的密度函数为 。
现实生活中不存在 函数，他是数学抽象的结果，有时候人们将 函数直观的理解为 ，其中 是宽度为 ，高度为 的矩形冲激函数。（图1）
性质：
（1）设 是定义在实数域上的有界函数，且在 处
连续，则有
复变函数和积分变换 84页PPT文档
（2）第二次数学危机 前面说过牛顿在确定 x3的导数时，前面部 分假设 0 是非零的，而在论证的后一部分， 又被取为零，偷换假设的错误是明显的。1734 年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析 学家，或致一个不信正教数学家的进言》，矛 头指向微积分的基础——无穷小的问题，提 出了所谓“贝克莱悖论”。
中国古藉《易．系辞》中说： 「上古结绳而治，后世圣人易之以书契。」 这些都是匹配计数法的反映。
（２）整数 正整数，零与负整数构成整数系。
•零不仅表示「无」，更是表示空位的符号。 •中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹， 虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。 •印度－阿拉伯命数法中的零（zero）来自印度的（sunya ） 字，其原意也是「空」或「空白」。
2、数学的内容
大致说来，数学分为初等数学与高等 数学两大部分。
初等数学中主要包含两部分：几何学 与代数学。几何学是研究空间形式的学科， 而代数学则是研究数量关系的学科。
初等数学基本上是常量的数学。
高等数学含有非常丰富的内容，以大学本科所学为 限，它主要包含： • 解析几何：用代数方法研究几何，其中平面解析几 何部分内容已放到中学。 • 线性代数：研究如何解线性方程组及有关的问题。 • 高等代数：研究方程式的求根问题。 • 微积分：研究变速运动及曲边形的求积问题。作为 微积分的延伸，物理类各系还要讲授常微分方程与 偏微分方程。 • 概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行 推理。等等
分数的使用导源于除法运算的需要。 除法运算可看作求解方程px=q（p≠0 ），如果p， q是整数，则所给方程未必有整数解。 为了使它恒有解，就有必要把整数系扩大成为有 理数系。
（４）无理数
（５）实数
复变函数及积分变换第八章
f
(u
(1 eas )2
1
(1 eas )2
s2 (1 eas )(1 eas )
1 s2
1 1
eas eas
1 as
tanh
s2
2
单位脉冲函数(t)的拉普拉斯变换
L (s) (t)estdt 0
例8.7 求单位脉冲函数(t)的拉普拉斯变换.
tn
e st
n
t e n1 stdt
n
t e n1 stdt
0
s
s0
s0
所以有 L[tn]= L[tn-1].
当n=1时 L[t](s)=
1 s2
当n=2时，有
L[t2](s)=
2 s3
L[tn](s)= n! s n 1
定理8.1若函数f(t)满足下列条件： 1) 在t0的任意有限区间上分段连续； 2) 存在常数M>0与00，使得
0
tf (t)est
dt M te( 0 )tdt M tetdt
0
0
M
2
积分与微分的次序可以交换，于是有
d
F(s)
d
f (t)estdt
d
( f (t)est )dt
(t) f (t)estdt
ds
ds 0
0 ds
0
由拉普拉斯变换的定义，得
F(s) L[(t) f (t)](s)
1
(1 eas )2
0
0
0
s2
2a
所以， L f (s) e2kas f (u)esudu
k 0
0
2a
f (u)esudu e2kas
0
k 0
复变函数与积分变换复习
2．复数的运算： 复数的加、减、乘、除、方幂、方根运算时，注意用不同的复数表示形式，并注意：
z1 = r1 (cos θ1 + sin θ1 ), r1 = z1 , θ1 = Argz1 z2 = r2 (cos θ 2 + sin θ 2 ), r2 = z2 ,θ 2 = Argz2 z1 z2 = r1r2 [ cos(θ1 + θ 2 ) + sin(θ1 + θ 2 ) ] z1 z2 = r1 r2 [ cos(θ1 − θ 2 ) + sin(θ1 − θ 2 ) ]
= 5e− arctan4 3− 2 kπ [ cos(ln 5 + arctan 4 3) + i sin(ln 5 + arctan 4 3)]
1 1 ⑤反三角函数 Arc sin z = Ln(iz + 1 − z 2 ) ， Arc cos z = Ln( z + 1 − z 2 ) i i
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《复变函数与积分变换》课程复习教案
张谋
这部分的题主要是 C. − R. 条件的应用，求函数的值等。 例 设 f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) 在区域 D 解析，且 u = v 2 。证明 f ( z ) 在 D 是常数。
例
设z =−
1− i ，求 z100 + z 50 + 1 的值。 2 1 − i 2 25 ) ] = (−i ) 25 = −i ，故 z100 + z 50 + 1 = (−i ) 2 − i + 1 = −i 2
解： z 50 = [(−
可用复数的三角式或指数式。 例 已知 f ( z ) = x(1 +
大工13秋《复变函数与积分变换》辅导资料八
复变函数与积分变换辅导资料八主 题：第三章 复变函数的积分4—6节学习时间：2013年11月18日－11月24日内 容：在复变函数中，积分法与微分法一样是研究复合函数性质十分重要的方法和解决实际问题的有力工具。
本周在得到复合闭路定理的基础上建立柯西积分公式，并讲述调和函数与解析函数的关系。
其学习要求及需要掌握的重点内容如下：1、了解原函数与不定积分的关系2、掌握柯西积分公式3、深刻理解调和函数与解析函数的关系基本概念：复变函数的不定积分、调和函数、共轭调和函数知识点：柯西积分公式，调和函数与解析函数的关系第四节、原函数与不定积分（要求达到“简单应用”层次）定义：设在单连通区域D 内，函数)(z F 的导数等于)(z f ，即)()(z f z F ='，则称)(z F 是)(z f 在区域D 内的一个原函数。
同高等数学一样，我们定义：)(z f 的原函数的一般表达式C z F +)((其中C 为任意复常数)为)(z f 的不定积分，记作C z F dz z f +=⎰)()(。
定理1：设D 为单连通区域，G z z ∈10,，若)(z f 在G 内解析，)(z F 为)(z f 在D 内的一个原函数，则)()()(0110z F z F dz z f z z -=⎰，称上式为牛顿-莱布尼茨公式。
典型例题：例、计算积分dz z i ⎰12 解：2)()(22121=-===⎰i z z i z z dz z 此外，还可得到复变函数的分部积分公式定理2：设)(),(z g z f 在单连通区域D 内解析，10,z z 为区域D 内两点，则有第五节、柯西积分公式（要求达到“简单应用”层次）定理：设)(z f 在区域G 内解析，C 为G 内的任意一条正向简单闭曲线，C 的内部完全含于D ，0z 为C 内的任意一点（如下图）上式称为积分基本公式或柯西积分公式。
典型例题：例1、积分i iz z z z z ππ22114|1|==-==-⎰例2、积分i z i dz z z z z ππ2cos 2cos 02||====⎰推论1（平均值公式）：设)(z f 在R z z C <-||0：内解析，在R z z C =-||0：上推论2：设)(z f 在由简单闭曲线21,C C 所围成的闭区域D 上解析，0z 为D 内第六节、解析函数与调和函数的关系（要求达到“领会”层次）定义1：如果二元实函数),(y x u 在区域D 内具有二阶连续的偏导数，并且满足拉普拉斯方程02222=∂∂+∂∂yu x u ，则称),(y x u 为区域D 内的调和函数。
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复变函数与积分变换辅导资料八
主 题：第三章 复变函数的积分4—6节
学习时间：2013年11月18日－11月24日
内 容：
在复变函数中，积分法与微分法一样是研究复合函数性质十分重要的方法和解决实际问题的有力工具。
本周在得到复合闭路定理的基础上建立柯西积分公式，并讲述调和函数与解析函数的关系。
其学习要求及需要掌握的重点内容如下：
1、了解原函数与不定积分的关系
2、掌握柯西积分公式
3、深刻理解调和函数与解析函数的关系
基本概念：复变函数的不定积分、调和函数、共轭调和函数
知识点：柯西积分公式，调和函数与解析函数的关系
第四节、原函数与不定积分
（要求达到“简单应用”层次）
定义：设在单连通区域D 内，函数)(z F 的导数等于)(z f ，即)()(z f z F ='，则称)(z F 是)(z f 在区域D 内的一个原函数。
同高等数学一样，我们定义：)(z f 的原函数的一般表达式C z F +)((其中C 为任意复常数)为)(z f 的不定积分，记作C z F dz z f +=⎰)()(。
定理1：设D 为单连通区域，G z z ∈10,，若)(z f 在G 内解析，)(z F 为)(z f 在D 内的一个原函数，则)()()(011
0z F z F dz z f z z -=⎰，称上式为牛顿-莱布尼茨公式。
典型例题：
例、计算积分dz z i ⎰1
2 解：2)()(22121
=-===⎰i z z i z z dz z 此外，还可得到复变函数的分部积分公式
定理2：设)(),(z g z f 在单连通区域D 内解析，10,z z 为区域D 内两点，则有
第五节、柯西积分公式
（要求达到“简单应用”层次）
定理：设)(z f 在区域G 内解析，C 为G 内的任意一条正向简单闭曲线，C 的
内部完全含于D ，0z 为C 内的任意一点（如下图）上式称为积分基本公式或柯西积分公式。
典型例题：
例1、积分i iz z z z z ππ22114|1|==-==-⎰
例2、积分i z i dz z z z z ππ2cos 2cos 02||====⎰
推论1（平均值公式）：设)(z f 在R z z C <-||0：内解析，在R z z C =-||0：上
推论2：设)(z f 在由简单闭曲线21,C C 所围成的闭区域D 上解析，0z 为D 内
第六节、解析函数与调和函数的关系
（要求达到“领会”层次）
定义1：如果二元实函数),(y x u 在区域D 内具有二阶连续的偏导数，并且满足拉普拉斯方程02222=∂∂+∂∂y
u x u ，则称),(y x u 为区域D 内的调和函数。
典型例题：
例、22),(y x y x u -=
由于0)2(222=-+=∂+∂y
x 所以22),(y x y x u -=是调和函数
定理1：设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，则它的实部),(y x u 和虚部),(y x v 都是D 内的调和函数。
定义2：若函数),(),()(y x iv y x u z f +=是区域D 内的解析函数，则称),(y x v 为),(y x u 的共轭调和函数。
典型例题：
例、验证233),(xy x y x u -=是z 平面上的调和函数，并求以),(y x u 为实部的解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=，使i f =)0(
解法1（线积分法）：
x y x u x y x u xy y x u y x y x u yy xx y x 6),(,6),(,6),(,33),(22-==-=-= 有02222=∂∂+∂∂y
u x u ，故),(y x u 在z 平面上为调和函数 由柯西-黎曼方程，有x
v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, 故dy y x xydx y x dv )33(6),(22-+=
C dy y x xydx y x v y x +-+=⎰)33(6),()
,()0,0(22
C dy y x xydx dy y x xydx x x x +-++-+=⎰⎰)
0,()0,(22)0,()0,0(22])33(6)33(6[
C y y x +-=323
故iC z y y x i xy x y x iv y x u z f +=-+-=+=33223)3(3),(),()( 要合i f =)0(必C=1，故i z z f +=3)(
解法2（偏积分法）： 由xy y
u x v 6=∂∂-=∂∂，得)(36),(2y g y x dx xy y x v +==⎰
再由x
y ∂=∂得，22233)(3y x y g x -='+ 故C y y g y y g +-=-='32)(,3)(
从而C y y x y x v +-=323),(
因此iC z C y y x i xy x z f +=+-+-=33223)3(3)( 要合i f =)0(必C=1，故i z z f +=3)(
解法3（不定积分法）：
因为),(),()(y x iv y x u z f +=解析 所以22223)(3633)(z iy x xy i y x y
u i x u x v i x u z f =+=+-=∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=' 于是C z dz z z f +==⎰323)(
要合i f =)0(必i C =，故i z z f +=3)(。