蝴蝶定理
初中数学微课课件：蝴蝶定理
图3
B A
N H M
D C
图4
二、问题解决
问题1： 如图5，若四边形 ABDC为等腰梯形，MN 过对角线AD ，
BC 的交点H ，且AB ∥CD ∥MN ,可以得到哪些结论？
B A
N H M
C
图5
解 （1）角： ∠HAB=∠HBA, ∠AHC=∠BHD, ∠CAD=∠DBC, ∠AMH=∠BNH,…
思考：蝴蝶除了对称性外，还有哪些特征？将
实际问题抽象为几何图形后，怎样研究图形所具有
的性质？
图2
二、问题解决
连结六个特殊点，得到三个等腰梯形，其中图2是两个等腰梯形， 图3中的四边形 ABDC是等腰梯形，并且AD ，BC 和EF 近似过同一点。 下面我们重点研究这个图形（图4）.
B
F
A N
H
M
E D
A
B
F
H
EM
N
K
L
O
C D
∴O，H，M，K四点共圆， O，H，N，L四点共圆,
图7
∴∠AKH=∠MOH, ∠BLH= ∠NOH,
∴∠MOH= ∠NOH.
∴△MOH≌△NOH.
∴MH= NH.
蝴蝶定理：过弦EF的中点H，任作两条弦AD，BC，弦AC和BD分别交EF于点M，N.则H为线段MN的中点.
四、反思悟学
B
A N
H
M
公用边
等高
面积比=底边比
解 ∵△ABH和△AHC是一组等高三角形
C
图7
D
又∵△AHC和△CDH是一组等高三角形
∴S02=S1•S2.
三、生长拓学
问题4： 在⊙O中，取弦EF的中点H，过点H 任意作两条弦AD，
几何中的蝴蝶定理
几何中的蝴蝶定理几何中的蝴蝶定理几何之蝴蝶定理一、基本知识点模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。
bS1US2 =aUb ；模型一的拓展：等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED占三角形ABC面积的211×= 346模型二：任意四边形中的比例关系（我们把它称作蝴蝶定理）As2BDs1S3CS4①S1US2=S4US3 或者S1×S3=S2×S4 ②AOUOC=（S1+S2）U（S4+S3）模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）几何中的蝴蝶定理as1s2S3bS4①S1US3=aUb22②S1*****S4= aUbUabUab ;2③S的对应份数为（a+b）模型四：相似三角形性质22bBhacCHahcBHAA①abch; ABCH22②S1US2=aUA二、例题分析例1、如图，AD DB，AE EF FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC的面积为1，如图，且AD 三角形DEF的面积.A111AB，BE BC，CF CA，求234D例3、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，BEFCE为几何中的蝴蝶定理AB上的一点，且BE=AB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC的面积. 3 例4、例1 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）例6、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？几何中的蝴蝶定理例7、（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD 分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？例8、如图：在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积。
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理一、蝴蝶定理的定义与公式蝴蝶定理是小学奥数几何篇中的一个重要模型，它描述了在等腰三角形中，一条平行于底边的线段将底边平分，并且这条线段与等腰三角形的两腰相交于同一点时，该线段的中点与等腰三角形的顶点、底边的中点以及两腰上的交点形成一个等腰三角形。
蝴蝶定理的公式如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，则AG=BG=CG。
二、蝴蝶定理的应用1. 在等腰三角形中求边长：通过蝴蝶定理，可以快速求出等腰三角形中未知边的长度。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC 的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求AG的长度。
解答：根据蝴蝶定理，AG=BG=CG，又因为AB=AC，所以AG=AB/2=a。
2. 在等腰三角形中求角度：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知角的度数。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求∠AGB的度数。
解答：由于AG=BG=CG，所以△AGB是等边三角形，∠AGB=60°。
3. 在等腰三角形中求面积：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知部分的面积。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求△AGB的面积。
解答：由于△AGB是等边三角形，所以△AGB的面积=（a^2 √3）/ 4。
蝴蝶定理的一些结论(根据李文杰老师手稿整理, 还没检查)
故
m
a2
a2
|BR| = a − , |BR| = + a, |M B| = m − a, |M A| = m + a,
m
m
从而
a2
|BR| |AR|
=
a− m a2
+a
=
m−a m+a
=
|M B| |M A|
=
kAC kBD
=
kAD . kBC
m
结论 9: (斜率等差模型)
kP A + kP B = 2kP R, kNA + kNB = 2kNR.
1
蝴蝶定理相关结论及证明
如图,
在椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1
(a > b > 0)
中,
A, B
分别为左右顶点,
C(x1, y1),
D(x2, y2)
为
椭圆上两点, 直线 AC, DB 交于 P , 直线 AD, CB 交于 N , 直线 P N 与 x 轴交于 M (m, 0), 设
P (m, p), N (m, n), 则
y
D
A
MQ
N
O
x
B C
kAB =
y1 − y2 x1 − x2
=
y1 − y2 y12 − y22
2p
=
.
y1 + y2
2p 2p
从而
2p
AB
:
y
−
y1
=
y1
(x − + y2
x1)
=⇒
(y1 + y2)y = 2px + y1y2.
蝴蝶定理
去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为"坎迪定理"，不为中点时满
足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,这对2，3均成立。
[1]
蝴蝶定理的证明
∴△ESL∽△CST
∴∠SLN=∠STM
∵S是AB的中点所以OS⊥AB
∴∠OSN=∠OLN=90°
∴O，S，N，L四点共圆，(一中同长)
同理，O，T，M，S四点共圆
∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON
∴∠SON=∠SOM
∵OS⊥AB
∴MS=NS
从X向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。
类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为
Y'和Y''。
证法2
证明方法二
(证明过程见图片)证法3:对称证法
(证明过程见图片)【此方法也可证明蝴蝶定理的一般形式:坎迪定理】证法4:面积法
证法5:帕斯卡定理证法∵M为AB 中点∴KM⊥AB∴∠GMK=∠HMK=90°
∴∠GKM=∠GFM，∠MKH=∠MDH 又∵∠GFM=∠MDH
∴∠GKM=∠MKH
又∵∠GMK=∠HMK=90°
∴△GMK≡△HMK(ASA)
∴GM=MH。
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)在小学奥数的几何部分，蝴蝶定理是一个非常有用的工具，它可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。
蝴蝶定理主要描述了在四边形中，当两条对角线互相垂直时，四边形被分成四个小三角形，而这四个小三角形的面积之间存在一定的关系。
蝴蝶定理的内容如下：设四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，交于点O。
设四个小三角形的面积分别为S1、S2、S3、S4。
那么，蝴蝶定理可以表述为：S1 + S2 = S3 + S4。
这个定理听起来可能有些抽象，但实际上它的应用非常广泛。
我们可以通过蝴蝶定理来解决一些看似复杂的问题。
下面，我将通过一些例子来展示蝴蝶定理的应用。
例1：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC =8cm，BD = 6cm。
如果三角形ABC的面积是24cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。
由于三角形ABC的面积是24cm²，所以S1 = 24cm²。
又因为AC = 8cm，BD = 6cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 8cm6cm = 24cm²。
因此，三角形ADC的面积也是24cm²。
例2：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC = 10cm，BD = 5cm。
如果三角形ABC的面积是20cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：同样地，根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。
由于三角形ABC的面积是20cm²，所以S1 = 20cm²。
又因为AC = 10cm，BD = 5cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 10cm 5cm = 25cm²。
因此，三角形ADC的面积是25cm²。
抛物线二级结论蝴蝶定理
抛物线二级结论蝴蝶定理是一种由数学家和天文学家在探索和研究抛物线的性质时，得出的重要性质。
它的基本原理是：“在一条抛物线上，每一个点的切线与其上的任意一条与之不平行的直线之间的夹角的正切值都相等”。
这一定理在解决许多实际问题时具有重要的意义和价值。
蝴蝶定理，作为一种重要的二级结论，从名字上便不难看出它的形状，其形状类似于一只蝴蝶。
在正式介绍蝴蝶定理之前，我们需要了解什么是抛物线。
抛物线是一个二维平面上的曲线，它的定义是在一个平面上，到一个定点的距离与该点到一条定直线的距离的比值为一常数的点的轨迹。
这个定点被称为抛物线的焦点，而定直线则被称为抛物线的准线。
蝴蝶定理是一个由抛物线的切线和与其不平行的直线之间的夹角关系得到的定理。
具体而言，它包含以下两个结论：（1）如果在抛物线上任意一点处作一条与该点处的抛物线的切线不平行的直线，那么直线与抛物线的交点与切线和准线的交点之间的连线与抛物线的交点之间的距离相等。
（2）在抛物线上任意一点处作一条与该点处的抛物线的切线不平行的直线，并设这条直线与抛物线的交点为P1，过P1作抛物线的切线，交抛物线于点P2。
过P1作准线的平行线，交抛物线于点P3。
过P2作准线的平行线，交抛物线于点P4。
那么，线段P1P2、P2P3、P3P4的长度满足一定的比例关系，且这个比例关系与该抛物线的形状和位置无关。
这个比例关系被称为“蝴蝶定理”，即“P1P2：P2P3：P3P4=k：2k：k”。
其中，k是与该抛物线的形状和位置无关的常数。
这是由于，在以上的讨论中，我们始终作了一个关于“切线和直线之间的夹角”的假设，因此，我们可以通过计算切线和直线之间的夹角来求出这个比例关系。
此外，梯形蝴蝶定理是蝴蝶定理在梯形中的应用。
在梯形中，蝴蝶定理中的比例关系仍然成立，但需要注意的是，其比例关系不再是“P1P2：P2P3：P3P4=k：2k：k”，而是“P1P2：P2P3：P3P4=k：2k：2k”。
几何里的蝴蝶定理
几何里的蝴蝶定理一、蝴蝶定理的内容1. 定理表述- 设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。
设AD和BC各相交PQ 于点X和Y，则M是XY的中点。
2. 图形示例- 画出一个圆，圆内有弦PQ，M为PQ中点。
然后画出弦AB和CD，连接AD与PQ交于X点，连接BC与PQ交于Y点。
从图上直观地看，似乎XM = MY。
二、蝴蝶定理的证明方法（以初中几何知识为例）1. 利用相似三角形证明（一种常见方法）- 连接AC、BD。
- 因为∠AXM = ∠DYM（对顶角相等），∠AMX=∠DMY（对顶角相等），且由圆内接四边形的性质可知∠CAB = ∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠ACD = ∠ABD（同弧所对的圆周角相等）。
- 所以△AXM∽△DYM，△AMC∽△DMB。
- 根据相似三角形的性质，在△AXM和△DYM中，有(XM)/(YM)=(AM)/(DM)；在△AMC和△DMB中，有(AM)/(DM)=(CM)/(BM)。
- 又因为在圆中，由相交弦定理可得AM× BM = CM× DM，即(AM)/(DM)=(CM)/(BM)。
- 所以(XM)/(YM) = 1，即XM = YM，从而证明了蝴蝶定理。
2. 面积法证明（另一种思路）- 设∠ AXM=α，∠ DYM = β。
- 根据三角形面积公式S=(1)/(2)absin C。
- 对于 AXM和 DYM，frac{S_{ AXM}}{S_{ DYM}}=(frac{1)/(2)AX· XM·sin α}{(1)/(2)DY· YM·sinβ}。
- 因为α=β（对顶角相等），所以frac{S_{ AXM}}{S_{ DYM}}=(AX· XM)/(DY· YM)。
- 同理，通过连接其他线段，利用圆内的角关系和面积关系，经过一系列的等量代换，可以得出XM = YM的结论。
三、蝴蝶定理的拓展与应用1. 在椭圆中的推广- 在椭圆中也有类似蝴蝶定理的结论。
梯形蝴蝶定理的原理及应用
梯形蝴蝶定理的原理及应用一、梯形蝴蝶定理的原理梯形蝴蝶定理，也称为Trapezoidal Rule in Numerical Integration，是一种数值积分方法，用于近似计算曲线下面积。
它基于将曲线分割为多个小梯形，并计算每个小梯形的面积之和来近似曲线的面积。
梯形蝴蝶定理的原理可以用以下公式表示：∫(a to b) f(x) dx ≈ Δx/2 * (f(a) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(x(n-1)) + f(b))其中，a和b是积分的上下限，f(x)是被积函数，Δx是每个小梯形的宽度，n是小梯形的数量，x1、x2、…、x(n-1)是相邻小梯形的分割点。
简单来说，梯形蝴蝶定理通过将曲线分割为一系列小梯形，通过计算每个小梯形的面积之和来近似计算曲线下面积。
二、梯形蝴蝶定理的应用梯形蝴蝶定理在实际应用中具有广泛的用途。
下面列举了一些常见的应用场景：1. 曲线面积的计算梯形蝴蝶定理可以用来计算曲线下的面积，特别是当被积函数难以求解解析解时，可以使用梯形蝴蝶定理进行数值计算。
例如，在物理学中，可以使用梯形蝴蝶定理计算物体的运动轨迹下的面积，从而求解物体的位移、速度等物理量。
2. 积分方程的求解梯形蝴蝶定理可以用于解决一些积分方程。
通过对积分方程进行离散化处理，将其转化为一个数值积分问题，然后使用梯形蝴蝶定理进行数值求解。
这在工程领域中特别常见，例如在电路分析中，可以使用梯形蝴蝶定理对电路的电压、电流等进行求解。
3. 数值积分方法的比较梯形蝴蝶定理是数值积分方法中最简单的一种，但并不一定是最准确的。
在一些情况下，可以将梯形蝴蝶定理与其他数值积分方法进行比较，以选择最适合问题的方法。
例如，可以将梯形蝴蝶定理与辛普森规则进行比较，以求得更精确的数值计算结果。
4. 数学建模与仿真梯形蝴蝶定理可以应用于数学建模和仿真中。
在建立系统模型时，有时难以得到解析解，此时可以通过梯形蝴蝶定理进行数值近似计算，从而得到系统的数值解。
蝴蝶定理文档
蝴蝶定理1. 引言「蝴蝶效应」是一种混沌理论中的概念，也被称为「蝴蝶定理」。
它源自于对气象系统中微小变化所能造成的巨大影响的描述。
由于这种效应的存在，我们无法精确预测天气等复杂系统的行为。
2. 蝴蝶定理概述蝴蝶定理是混沌理论的核心概念之一。
它表明在某些复杂系统中，微小的起始条件变化可以引起系统的非线性反应，从而导致系统的完全不同的演变结果。
蝴蝶定理的名字源于混沌理论的创始人之一爱德华·洛伦兹的一个例子。
在他的计算机模拟中，他发现当微小的起始条件变化时，计算结果也随之产生了不同的结果。
他将这种变化类比为「蝴蝶扇动翅膀在巴西可以引起一系列气流变化，进而可能导致美国德克萨斯州的一次龙卷风」。
蝴蝶定理说明了当系统达到某个临界点时，微小的扰动将带来系统演变的巨大不确定性。
这是由于混沌系统的敏感依赖于初始条件。
即使两个起始条件仅相差微小，演化结果也可能完全不同。
3. 混沌理论与蝴蝶定理混沌理论是由洛伦兹等科学家在20世纪60年代初提出的。
混沌系统主要特点是显示出极其复杂的、表现出不可预测性的演化行为。
混沌理论的发展为科学家在模拟和理解具有非线性特征的现象和系统行为提供了一个重要的工具。
蝴蝶定理是混沌理论的核心概念之一。
它强调了在某些复杂系统中微小的初始条件变化可能会引起巨大的触发效应。
这个触发效应可能在不可预测的演化中导致完全不同的结果。
4. 应用与影响蝴蝶定理的概念在许多领域都有重要的应用和影响。
以下是一些应用示例：4.1 天气预测蝴蝶定理在气象学中有着重要的应用。
由于气候系统的复杂性，气象学家无法在大气初始状态中包含所有微小的变化。
然而，这些微小的变化可能会在气候系统中引起非线性反应，导致天气的剧烈变化。
因此，借助蝴蝶定理的思想，天气预测变得更加困难。
4.2 经济学蝴蝶定理也在经济学中得到了广泛的应用。
经济系统是一种具有复杂非线性关系的系统。
微小的经济变化，如市场需求的微小波动，可能会引起整个经济系统的波动。
蝴蝶定理
1 探究蝴蝶定理在不同几何图形中的应用1、序言1.1蝴蝶定理简介蝴蝶定理是初等几何中一棵常青的生命之树，它最早现于西欧杂志《男士日记》（Gentleman's Diary ）39-40页上，因其在圆中形如一只舞动的蝴蝶而得名，“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号。
定理内容：如上图，圆O 中的弦AB 的中点G ，过点G 任作两弦CD 、EF ，弦ED 与CF 分别交AB 于P 、Q ，则PG=QG 。
这个命题出现后的四年一直都无人解答，直到1819年7月一位自学成才的英国数学教师霍纳用较繁琐的方法首先给出了蝴蝶定理的证明，其后一个半世纪，斯特温利用三角形面积构造的恒等式及面积公式S=½bcsinA 简捷地证明了它，而1985年杜锡录的《平面几何中的名题及其妙解》使蝴蝶定理在中国传开。
至今，关于蝴蝶定理的证法多得不胜枚举，其在初等几何中的应用也越来越广泛。
1.2研究的意义与价值现在几何图形的学习让学生感受到的只是纷繁复杂，几何就像是一把双刃剑，一方面帮助一部分学生在数学学习的道路上披荆斩棘，另一方面却让一部分学生厌恶几何，丧失对数学学习的兴趣。
蝴蝶定理的存在形象地展现了几何图形的数学美它把平面图形中最完美的图形——圆和大自然生命中的精灵——蝴蝶和谐地统一在一起，如果能改变传统的课堂讲授方式，如果把蝴蝶定理作为一个由学生自主探索、查阅资料、合作交流、动手实践、阅读自学完成的研究性课题，从而激发学生的几何学习兴趣，培养他们的创新精神和实践能力，可以说具有很高的教育价值。
1.3应用启示椭圆上的蝴蝶翩翩飞舞，飞落到了北京数学高考试题的百花园。
2003年北京高考数学卷第18（III ）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明：如下图，椭圆的长轴A 1A 2与x 轴平行，短轴B 1B 2在y 轴上，中心为M （0，r ）（b ＞r ＞0）。
（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（Ⅱ）直线y=k 1x 交椭圆于两点C （x 1,y 1），D(x 2，y 2)（y 2＞0）；直线y=k 2x 交椭圆于两点G （x 3，y 3），H （x 4，y 4）（y 4＞0）。
蝴蝶定理定理
蝴蝶定理定理
蝴蝶定理是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一。
这个命题最早出现在1815年，由W。
G。
霍纳提出证明。
而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形像一只蝴蝶。
这个定理的证法不胜枚举，至
今仍然被数学爱好者研究，在考试中时有各种变形。
蝴蝶定理：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。
设AD 和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
蝴蝶定理的证明
该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广（详见定理推广）：
1.M作为圆内弦的交点是不必要的，可以移到圆外。
2.圆可以改为任意圆锥曲线。
3.将圆变为一个筝形，M为对角线交点。
4.去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”，不为中点时满足。
小学蝴蝶定理公式
小学蝴蝶定理公式蝴蝶定理公式是数学运算中相当重要的一条公式，尤其是在小学数学课堂教学当中，它经常被老师们用来让学生来推导和运算，这条公式又称为勾股定理，如果你想更好地理解它，那么你有必要先了解它背后的原理以及运用它所推导出的其他结论。
蝴蝶定理公式也叫做勾股定理，它是希腊数学家勾股在公元前三世纪创立的，它的形式如下：a +b = c这里的a、b、c分别表示三条直线的长度，它们构成一个三角形和一个直角三角形，并且这三条直线也都是直角三角形的边。
这条公式显示了在直角三角形内，任意直角三角形的两个直角边的平方之和，等于它们直角角的那条斜边的平方。
由蝴蝶定理公式，可以得出以下几个重要的结论：（1）直角三角形面积公式：S = 1/2 a b在一个直角三角形中，a 为直角边，b 为斜边，则其面积 S 为 a b乘积的一半。
（2）关于直角三角形的等值定理：如果在一个直角三角形中，其中任意一条直角边的平方与其他两条边的乘积相等，则这三条边是等值边。
（3）角度定理：在一个直角三角形中，a 为直角边，b 为斜边，则直角角的弧度为 arctan（b/a）。
从上述可以得出，蝴蝶定理公式的应用非常广泛，它不仅能够用于直角三角形的计算，还可以用于圆的面积计算，还可以用于其他三角形，正多边形的计算。
此外，蝴蝶定理公式还可以用于几何学中的其他计算，比如说求点到直线的距离、求曲线的长度等。
蝴蝶定理公式对小学数学课堂教学非常重要，它有助于学生学习数学和理解数学原理，并且可以更好地理解更深层次的数学问题。
上述每条蝴蝶定理公式都有其独特的特性，能够更好地帮助学生了解其中所有的数学概念和原理，从而实现知识与实践的结合。
在小学课堂教学当中，老师们可以通过蝴蝶定理公式的运用，让学生从实际的例子出发，学习数学的推理能力，让学生更好地理解其中的数学原理，并让他们掌握蝴蝶定理公式的应用，以便他们能够在今后的数学学习中更好地运用。
蝴蝶定理——精选推荐
蝴蝶定理(Butterfly Theorem)蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧式平面几何的最精彩的结果之一。
这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶。
定理简介蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧式平面几何的最精彩的结果之一。
这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶。
这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。
这个命题最早作为一个征解问题出现在公元1815年英国的一本杂志《男士日记》（Gentleman's Diary）39-40页上。
登出的当年,英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳（他发明了多项式方程近似根的霍纳法）给出了第一个证明，完全是初等的；另一个证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出。
另外一种早期的证明由M.布兰德（Miles Bland）在《几何问题》（1827年）一书中给出。
最为简洁的证法是射影几何的证法，由英国的J·开世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"（中译：近世几何学初编，李俨译，上海商务印书馆 1956 ）给出，只有一句话，用的是线束的交比。
1981年，Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）用解析几何的一种比较简单的方法（利用直线束，二次曲线束）。
该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。
圆可以改为任意圆锥曲线。
将圆变为一个完全四角形，M为对角线交点。
去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”，不为中点时满足: ,这对2，3均成立。
圆幂定理证蝴蝶定理
圆幂定理证蝴蝶定理
蝴蝶定理也被称为“幂幂定理”，是平面几何中的一个重要定理，其内容为：圆内任意两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
圆幂定理可以用来证明蝴蝶定理，下面是具体的证明过程：
设圆内弦PQ的中点为M，过点M作两条弦AB和CD，连AD、BC分别交PQ于点E、F。
证明：
- 过点F作AD的平行线交CD于点G，交AB的延长线于N，即NG∥AD。
- 由AE∥FN得：ME/MF=AE/NF。
由ED∥FG得：ME/MF=ED/GF。
两式相乘可得：ME²/MF²=AE.ED/NF.GF。
- 由相交弦定理得：AE.ED=PE.EQ=（PM-ME）×（PM+ME）=PM²-ME²。
- 易得：△BFN∽△GFC，又由相交弦定理，BF.FC=NF.FG=QF.FP=QM²-MF²。
- 根据以上可得：ME²/MF²=（PM²-ME²）/（QM²-MF²），整理得：ME².QM²=MF².PM²，所以ME=MF。
因此，点M为线段EF的中点，即圆幂定理证蝴蝶定理。
梯形中的蝴蝶定理
梯形中的蝴蝶定理
1蝴蝶定理
蝴蝶定理是一个重要的梯形定理，于17th世纪末形成。
它用于描述梯形中的四边形，特别是可以共线的四边形。
它有助于我们更好地理解梯形结构，并计算出该梯形的面积。
2蝴蝶定理的另一种说法
蝴蝶定理也可以这样说：如果四条直线L1，L2，L3和L4相交于一个点P，且在相交点P处延长，则P是梯形所围绕的四边形的中心，且它满足以下关系：
L1+L2=L3+L4
3如何使用蝴蝶定理
使用蝴蝶定理首先要确定一个梯形的结构，即确定它的四边形。
可以通过确定四条直线L1，L2，L3和L4的长度来确定四边形。
当确定边长时，可以计算梯形的面积。
例如，如果四条直线L1，L2，L3和L4交于一点P，且
L1=2m,L2=3m,L3=4m,L4=5m，则根据蝴蝶定理，可以计算出梯形的面积。
4结论
蝴蝶定理是一个重要的定理，它有助于我们更好地理解梯形结构，并可以用它计算出梯形的面积。
只有当梯形的四边形满足蝴蝶定理的等式时，才能够获得正确的面积。
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蝴蝶定理蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。
由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职815年所给出的证法。
至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。
1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
这里介绍一种较为简便的初等数学证法。
证明：过圆心O作AD与BC垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM。
SM。
MT。
∵△AMD∽△CMB，且SD=1/2AD, BT=1/2BC，∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB∴∠MSX=∠MTY；又∵O，S，X，M与O，T。
Y。
M均是四点共圆，∴∠XOM=∠YOM∵OM⊥PQ∴XM=YM二，如图1，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b ＞r＞0）。
（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）。
（Ⅱ）直线y=k求证：k1x1x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。
求证：| OP | = | OQ |。
（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）2．解答：北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下：（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。
满分15分。
（Ⅰ）解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1x代入椭圆方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2， （Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k整理，得(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0根据韦达定理，得x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)，x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)，所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ①将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ②由①，②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4)所以结论成立。
（Ⅲ）证明：设点P（p，o），点Q（q，o）。
由C，P，H共线，得(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4解得P=(k1-k2)x2x4/(k1x1-k2x4)由D，Q，G共线，同理可得q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，变形得：x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)所以|p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。
3．简评本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。
试题入门容易，第（Ⅰ）问考查椭圆方程、待定系数法、坐标平移和椭圆性质：焦点坐标、离心率、看图说话即可解决问题，但考查的却都是重点内容。
第（Ⅱ）问是典型的直线与椭圆的位置关系问题。
待证式子中含有x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4这样的对称式，式子结构对称优美，和谐平衡，使人很容易联想起一元二次方程根与系数关系的韦达定理，启示了证明问题的思路。
这里用到了解析几何最根本的思想和最根本的方法。
解两个联立的二元二次方程组，用代入消元法得到一元二次方程，分离系数利用韦达定理给出关于x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4的表达式，再分别代入待证式两边运算即达到证明目的。
证明的过程中，由两个联立方程组结构的相似性运用了“同理可得”，整个证明过程也令人赏心悦目，感受到了逻辑证明与表达的顺畅、简约的美的魅力。
第（Ⅲ）问证明中用到了三点共线的充要条件，用到了过两点的直线的斜率公式，分别解出p，q以后，|OP|=|OQ|等价转化成了p= -q（或p+q=0。
）此时分析前提条件（Ⅱ）及待证结论p= -q，关键在于沟通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)与x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)的联系。
参考解答中的表述略去了一些变形的中间过程，使人不易看出沟通的线索，以及命题人变形的思路，因此读者理解起来感到困难。
如果将两式做如下变形，则思路就显然顺畅自然。
设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式，两边同取倒数，得1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为②式，两边同取倒数，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’将①’两边同乘以k1·k2，即得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4它与②’完全一样。
这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的，有分析、有综合，有思维，有运算。
思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。
综观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用代数方程但方法处理几何问题的作用与威力。
4．赏析：上面我们看到，试题的结构及其解答都令人感到赏心悦目，至此，我们不禁要追问一句：试题是怎么命制出来的？它的背景是什么？它对我们的数学学习与教学、高三复习与备考有什么启示？关于圆，有一个有趣的定理：蝴蝶定理设AB是圆O的弦，M是AB的中点。
过M作圆O的两弦CD、EF，CF、DE 分别交AB于H、G。
则MH=MG。
这个定理画出来的几何图，很像一只翩翩飞舞的蝴蝶，所以叫做蝴蝶定理（图2）。
盯着试题的图1仔细看，它像不像椭圆上翩翩飞舞的蝴蝶？像，而且像极了。
试题的证明过程及结果告诉我们，椭圆中蝴蝶定理依然成立，而且是用解析方法证明的。
如果令椭圆的长轴，短轴相等，即a=b，则椭圆就变成了圆，椭圆中的蝴蝶定理就变成了圆上的蝴蝶定理，上面的证明一样适用。
由于椭圆也可以看作将一个圆经“压缩变换”而得，故圆上的蝴蝶定理经“压缩变换”也可以变成椭圆上的蝴蝶定理。
“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花。
”读者诸君欣赏至此，是否体会到了数学命题几何专家命制高考试题的“高招”及良苦用心？[关于“椭圆上的蝴蝶”，张景中院士在其献给中学生的礼物一书《数学家的眼光》“巧思妙解”一节中有着精妙的论述，有兴趣的读者请参阅该书P54-59]。
5．启示椭圆上的蝴蝶翩翩飞舞，飞落到了北京数学高考试题的百花（草）园，令人欣喜异常。
它虽然有着竞赛数学、仿射变换、数学名题的背景，然而这里证明它，却只用到了教科书里反复提到的三点共线问题和斜率公式，用到了解析几何最基本的方法。
高级中学课本《平面解析几何》全一册（必修）数处提到三点共线问题，如P13习题一第14题：已知三点A（1，-1）、B（3，3）、C（4，5）。
求证：三点在一条直线上：P17练习4：证明：已知三点A、B、C，如果直线AB、AC的斜率相等，那么这三点在同一条直线上；P27习题二第9题：证明三点A（1，3）、B（5，7）、C（10，12）在同一条直线上；P47复习参考题一第3题：用两种方法证明：三点A（-2，12）、B（1，3）、C（4，-6）在同一条直线上。
你看，课本上的练习、习题、复习参考题，反复提到了三点共线的证明，并且强调用不同的方法来证明。
为什么？你（老师、学生）关注到了它吗？实际上，三点共线的不同证明，可以把解析几何第一章的重点基础知识充分调动起来，组织起来。
你可以用基本公式——平面上两点间的距离公式证明｜AC｜=｜AB∣+∣BC∣；你也可以应用定比分点公式x=（x1+λx2）/（1+λ）,y=（y1+λy2）/（1+λ）去证λ=（x1-x）/（x-x2）=（y1-y）/（y-y2）；你可以用过两点的直线的斜率公式Kp1p2=（y2-y1）/（x2-x1），去证KAB=KAC；你还可以先建立直线AB的方程f(x,y)=0，然后验证点C的坐标适合直线AB的方程即f(x,y)=0；你也可以在建立直线AB的方程之后，利用点到直线的距离公式证明dc-AB=0；你还可以计算△ABC的面积，去证S△ABC=0。
你看，有五、六种方法可以解决同一个问题，当然难度有高有低。
一题多解中选择方法、优化方法也是能力（洞察、观察）的体现，从比较中才可以鉴别方法的优劣。
据说考试下来，有一些重点中学的尖子生对自己没能解答出第（Ⅲ）问很懊悔，一些老师也说这个题目“运算量太大难以完成”！不知读者诸君欣赏至此，能不能发现上述问题的症结究竟发生在哪里？北京市有许多重点中学的师生，对高中数学课本的习题不屑一顾，很少去钻研教材中的例题、习题，去寻求与发现知识之间的内在联系，去总结解题的原则、思路与规律。
各种各样的复习资料，几十套几十套的各地模拟试卷，使高三学生跳进题海做得昏天黑地而难以自拔，这哪里还谈得上素质教育与培养能力？我们应当从欣赏“翩翩飞舞的椭圆蝴蝶”中去用心体会“精选题目充分利用题目的“营养”价值”在数学教学与复习中的重要作用，从而解放思想，勇敢大胆地摒弃“题海战术”。
而要使学生跳出题海，老师就必须首先跳入题海，“题海探珠”，感悟数学教育改革的真谛。
——注重基础、注重理解、注重联系、注重能力。
三，蝴蝶定理自从学习几何画板以来，我一直在思索着这样一个问题：怎么才能把“蝴蝶定理”推广一下。
我想，能不能把“蝴蝶定理”中的圆由一个变为两个，相应的，还保持一种美妙的性质呢？如图I，是“蝴蝶定理”，有结论EP=PF；如图II，是“蝴蝶定理”的演变，点P，Q，R，S是否也存在某种关系呢？我在课下做了一个比较精确的图，并进行了测量，进而提出了猜测：QM*PM = MS*MR，或者QM+PM = MS+MR。
我又做了几个图进行检验，结果误差都比较小。
上机时，利用几何画板做了一个动画，发现误差变化范围很大。
我就开始怀疑这个结论。
但是我并不死心。
我又进行了测算，终于发现等式：成立，其误差在千分位之后。
而后给出了一个数学上的证明。
这件事使我感觉到几何画板有以下几个妙处：比手工做图方便、精确、直观、连续。