六年级上册数学试题数学竞赛计算部分高斯求和
高斯求和公式,分组计算
整数巧算问题2-高斯求和与分组求和授课时间：年月日一、知识要点（一）高斯求和公式当一个算式中每两个相邻数之间的差值一定时我们可以使用高斯求和公式达到简便运算的目的。
和=（首项+尾项）项数项数=（尾项-首项）公差+1其中项数就是整个算式的数字个数，在运用高斯公式时，难点就是找准算式的项数。
（二）分组求和在数学计算特别是繁杂的计算中往往在题目之后隐藏着一些规律，我们可以按照规律对算式中的数字先进行分组，再计算，可以极大的节省我们的计算时间。
二、精讲精练（一）高斯求和公式【例题1】计算1+2+3+……+99练习1：1、1+2+3+……+198+1992、2+3+4+……+199+2003、2+3+4+……+997+998【例题2】现在有一组数字为2,4,6……98,100请问这组数一共有多少个数字？1、现在有一组数字为3,4,5……98,917请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为98,100,102……1234,1236请问这组数一共有多少个数字？3、现在有一组数字为3,6,9……99,102请问这组数一共有多少个数字？【例题3】计算2+4+6+……+998+1000练习3：1、1+3+5+……+97+992、3+6+9+……+198+2013、7+14+21+……+994+1001【例题4】有一组数为1，3,5……97,99,这组数中的第30项是多少？1、有一组数为2，4,6……98,100,在这组数中的第40项是多少？2、有一组数为1，3,5……97,99,在这组数中的第20项和第30项的差是多少？3、有一组数为1，3,5……97,99……999,1001,在这组数中的第400项和第100项的差是多少？【例题5】1+2-3-4+5+6-7-8+……+97+98-99-100+101练习5：1、1+2-3-4+5+6-7-8+9+102、1+2-3-4+5+6-7-8+……+197+198-199-200+2013、1+3－5－7＋9＋11－13－15＋……-1999+2001【例题6】已知一组数为2,3,4,6,6,9,8,12,10……100,150,这组数的和是多少？练习5：1、1+3+4+6+7+9+10+12+13+15+162、1+3+4+6+7+9+10+12+13+……+66+67+693、1+3+6+6+11+9+16+12+21+……+201+120三、课后巩固1、现在有一组数字为3,6,9……99,189请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为1,6,11……1001,1006请问这组数一共有多少个数字？3、有一组数为2，4,6……98,100,请问这组数中的第25项是多少？4、现在有一组数字为1,6,11……1001,1006请问这组数中的第48项是多少？5、1+8+15+……+2101+210186、2+4+6+……+20007、1+4+7+……+1008、10+11+12+……+20099、1+10+20+30+……+200+21010、（1-9）-（2-10）-（3-11）-（4-12）-……-（9-17）-（10-18）11、1+2+6+4+11+6+16+8+21+……+251+100。
第一讲 高斯求和 学
戴氏-高斯求和引入故事：德国著名数学家高斯上小学的时候，一天老师在黑板上写下了一个算式:1+2+3+4+5+6+···+99+100=？“这么多怎么算啊？”，孩子们都傻眼了。
不一会儿，小高斯拿着写有答案的石板走上讲台。
老师一看，顿时惊讶的说不出话来——小高斯的答案完全正确。
走进来：高斯是怎样求出这个和的呢？这就是我们要研究的这种求和的方法。
事实上，像1+2+3+4+5+6+···+99+100这样除第一个数外，每一个数与它前面那个数的差始终相等的一列数叫做等差数列。
这个不变的差叫公差，每一个数都叫做等差数列的项，其中第一个数叫做首项，最后一个数叫做末项。
利用高斯的巧算方法可以得到以下公式：总和=（首项+末项）×项数÷2项数=（末项-首项）÷公差+1末项=首项+（项数-1）×公差有了这些公式，很多问题解答起来就很方便了。
一起做：【例题1】1+2+3+4+5+···+50=？★即学即练1：计算：2+4+6+8+···+30计算：5+10+15+20+25+30+35+40+45+50+55+60+65+70【例题2】建筑工地上堆着一些钢管，这些钢管一共有多少根？★即学即练2：下面是一堆电线杆的侧面示意图，试计算下面有多少根电线杆？【例题3】求首项为5，末项为155，公差是3的等差数列的和。
★即学即练3：有一个等差数列首项为5，末项为97，公差为4，则这个等差数列的和是多少？【例题4】下面一列数是按一定规律排列的：3、12、21、30、39、48、57、66···。
（1）第12个数是多少？（2）912是第几个数？★即学即练4：下面是一列数按照一定规律排列的：3、7、11、15···、95、99。
高斯小学奥数六年级上册含答案第17讲 整数型计算综合提高
第十七讲 整数型计算综合提高一、多位数计算1． 凑整、凑9的思想；2． 数字和问题：与一个小于它的数相乘，积的数字和是9×n ．二、等差数列1． 等差数列的“配对”思想； 2． 求和公式：（1） ； （2） ． 3． 项数公式：．4． 第n 项：．三、等比数列：等比数列“错位相减”法求和，基本步骤是： （1）设等比数列的和为S ；（2）等式两边同时乘以公比（或者公比的倒数）； （3）两式对应的项相减，消去同样的项，求出结果；四、基本公式1． 平方差公式．2． 平方求和．3． 立方求和．五、整数裂项1． ；2． ．()()()()()123123234345124n n n n n n n ⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=L()()()1212233413n n n n n ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+=L()2333312312n n ++++=+++L L ()()22221211236n n n n ⨯+⨯+++++=L ()()22a b a b a b -=-+()1n +-⨯首项公差()1÷+末项-首项公差 ⨯中间项项数 ()2+⨯÷首项末项项数 99999n 个L 14243一、整数数列基本计算 1． 公式型计算； 2． 平方差公式的应用； 3． 整数裂项：（1）基本裂项：例如1×2、1×2×3等； （2） 高等裂项：与阶乘或其它数列相关的裂项． 二、计算技巧 1． 换元思想； 2． 分组思想； 3． 裂项思想；4． 数论思想在计算中的应用；例1． （1）228888888811111111-的计算结果是多少？（2）30830388883333⨯个个L L 1424314243的计算结果的数字和是多少？「分析」（1）还记得平方差公式吗？（2）可以用凑整的思想计算出这个算式的结果，再算数字和．练习1、999999999999999999⨯的计算结果的数字和是多少？例2． 某书的页码是连续的自然数1、2、3、…、9、10、…；小须把这些页码相加时，将其中连续2个页码漏掉了，结果得到2013，那么这本书共有多少页？漏掉的2页是多少？「分析」首先可以估算一下这本书的大概页数是多少？确定页码总数的范围后再计算就变得简单一些了．练习2、把从1开始的所有奇数进行分组，其中每一组的第一个数都等于这一段中所有数的个数，例如：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17，19，21，23，25），（27，29，L L ，79），（81，83，L L ），那么第8组中所有数的和是多少？经典题型例3．对自然数a 和n ，规定1-+=∇n n a a n a ，例如1233232=+=∇，那么： （1）计算：1222302∇+∇++∇L ； （2）计算：2122210∇+∇++∇L ．「分析」首先理解题目定义的新运算规则，然后再计算，注意三角符号前后数字顺序．练习3、对自然数a 和n ，规定1n n a n a a -∇=+，例如32333336∇=+=，那么：算式：1323303∇+∇++∇L 的结果是多少？例4．计算：12+(1+2)4+(1+2+3)6+(1+2+3+4)8++(1+2++20)40⨯⨯⨯⨯⨯L L ． 「分析」试着计算几项，寻找一下规律．练习4、计算：3333333333112123123100112123123100++++++++++++++++++L L L ．例5．计算：12345699100⨯+⨯+⨯++⨯L ． 「分析」这是一道整数裂项的题目，分析一下如何进行拆分．例6．计算：1!32!43!54!62009!20112010!20122011!20132012!⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-L 「分析」关于阶乘的计算一定牢记：()()!11!n n n ⨯+=+，本题是否有类似计算．数学史上的一代王者——欧拉莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月5日～1783年9月18日）是瑞士数学家和物理学家．他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）．欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人．他是把微积分应用于物理学的先驱者之一．欧拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育．他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过．欧拉是一位数学神童．他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡，柏林科学院的创始人之一．欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计75卷．他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创人．欧拉在固体力学方面的著述也很多，诸如弹性压杆失稳后的形状，上端悬挂重链的振动问题，等等．欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时的新发明微积分，他推导出了很多结果．在他生命的最后7年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作．1733年，丹尼尔吃够了神圣俄罗斯的苦头回自由的瑞士去了，26岁的欧拉坐上了科学院的第一把数学交椅．他感到自己以后的生活要固定在圣彼得堡，便决定结婚，定居下来，并随遇而安．夫人凯瑟琳娜(Catharina)，是彼得大帝带回俄国的画家格塞尔的女儿．后来政治形势变得更糟了，欧拉曾经绝望得想逃走，但随着孩子一个接一个地很快出生，他又感到被拴得越来越牢了，使到不休止的工作中去寻求慰藉．某些传记作家把欧拉的无比多产追溯到他这第一次旅居俄国的时期；平常的谨慎迫使他去成了勤奋工作的牢不可破的习惯．欧拉是能在任何地方、任何条件下进行工作的几个伟大数学家之一．他很喜欢孩子（他自己曾有13个，但除了5个以外，都很年轻就死了）．他写论文时常常把一个婴儿抱在膝上，而较大的孩子都围着他玩．他写作最难的数学作品时也令人难以置信的轻松．许多关于他才思横溢的传说流传至今．有些无疑是夸张的，但据说欧拉确实常常在两次叫他吃晚饭的半小时左右的时间里赶出一篇数学论文．文章一写完，就放到给印刷者准备的不断增高的稿子堆儿上．当科学院的学报需要材料时，印刷者便从这堆儿顶上拿走一打．这样一来，这些文章的发表日期就常常与写作顺序颠倒．由于欧拉习惯于为了搞透或扩展他已经做过的东西而对一个课题反覆搞多次，这种恶果便显得更严重，以至有时关于某课题的一系列文章发表顺序完全相反．1730年小沙皇死去，安娜．伊凡诺芙娜(Annalvanovna，彼得的侄女)当了女皇．就科学院而言，受到了关心，工作活跃多了．而俄国，在安娜的宠臣欧内斯特的间接统治下，遭受了其历史上一段最血腥的恐怖统治．10年里，欧拉沉默地埋头工作．这中间，他遭受了第一次巨大的不幸．他为了赢得巴黎奖金而投身于一个天文学问题，那是几个有影响的大数学家搞了几个月时间的，欧拉在三天之后把它解决了．可是过分的劳累使他得了一场病，病中右眼失明了．欧拉的离世也很特别：在朋友的派对中他中途退场去工作，最后伏在书桌上安静的去了．欧拉的专著和论文多达800多种．小行星欧拉2002是为了纪念欧拉而命名的．作业1. 333333333333⨯的计算结果的数字和是多少？2. 甲、乙二人每天背单词，甲背单词的数量每天增加5个，乙背单词的数量每天增加1倍，已知第一天二人共背了33单词，第二天二人共背了40个单词，那么从第几天起乙每天背的单词要比甲多，从第几天起乙背过的单词数量要比甲多？3. 计算：（1）222221222340++++L ；（2）222224642++++L ；（3）222213523+++L ，的结果？4. 计算：139238337436391⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L ．5. 已知一个平方数加上143后还是一个平方数，请问两个平方数中较小的那个是多少？第十七讲 整数型计算综合提高例题：例7． 答案：7777777622222223；270详解：（1）根据平方差公式可得： ()()()2288888888111111118888888811111111888888881111111199999999777777777777777710000000017777777700000000777777777777777622222223-=+⨯-=⨯=⨯-=-=（2）凑整可得：30830330830310296309929697038888333388883333332962962969999296296295703703704⨯=÷⨯⨯=⨯=L L L L 14243142431424314243L L L L 1442443142431424314243个个个个个个个个数字和是270．例8． 答案：这本书共有64或63页；漏掉的两页是33、34或1、2详解：123642080++++=L ．所以共64页，差的两个页码的和是67，所以是33页和34页．123632016++++=L ．所以也可以数63页，差的两个页码的和是3，所以是1页和2页．例9．答案：（1）9920；（2）3069 详解：（1）根据题目定义的新运算可得：()()()()()2222212302112230301301309920∇++∇=++++++=+++++=L L L L ； （2）()()()10211092122210222222∇+∇++∇=++++++L L()()1210019111022222222213069=+++++++=-+-=L L ．例10． 答案：46970详解：()()()()()()2222222233322212+(1+2)4+(1+2+3)6+(1+2+3+4)8++(1+2++20)401223342021=2464022221223342021111221331202011220122046970⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯++⨯=⨯++⨯++⨯+++⨯+=+++++++=L L L L L L L例11． 答案：169150详解：()()()()()()22222221234569910022446610010024100241001717002550169150⨯+⨯+⨯++⨯=-+-+-++-=+++-+++=-=L L L L例12． 答案：1详解：()()()()()()()()()1!32!43!54!62009!20112010!20122011!20132012!1!122!133!142010!120112011!120122012!1!2!2!3!3!4!2010!2011!2011!2012!2012!1⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-=⨯+-⨯++⨯+--⨯++⨯+-=+-+++--+++-=L L L练习：练习1、答案：81 简答：11111111199111111111=1234567999999999912345678987654321=÷⨯⨯⨯=原式结果数字和为81．练习2、 答案：9563751简答：找规律，发现每个括号的第一个数恰好是3的次方，即1，3，9，27，81，L L ，从而第8组第1个数为2187，第9个组第1个数为6561，即求218721896559+++L L ，等差数列求和得()21876559218729563751+⨯÷=．练习3、答案：225680简答：3232323213233031122333030∇+∇++∇=++++++++L L222233331233012330225680+++++++++=L L ．练习4、 答案：171700简答：需要借助这样一个公式：()23333123123n n ++++=++++L L L L ，因此，原式1(12)(123)(123100)(122334100101)2=+++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯÷L L L()()22211210021210021001012012505021717006=+++÷++++÷=⨯⨯⨯÷+÷=L L ．作业6. 答案：54简答：333333333333111110888889⨯=，数字和是54．7. 答案：6；8简答：设第一天两人分别背了a 、b 个单词，所以甲第n 天背5(1)a n +-个单词，乙第n 天背12n b -个单词，由第一、二天分别背了的单词数可分别列出方程33a b +=和5240a b ++=，可求得a 和b 分别为31和2，可知答案为6；8．8. 答案：（1）19270；（2）13244；（3）23009. 答案：10660简答：2221(401)2(402)39(4039)40(1239)(1239)=⨯-+⨯-++⨯-=⨯+++-+++L L L 原式 10660=．10. 答案：1或5041简答：设已知关系式为22143a b +=，应用平方差公式有()()143b a b a +-=，然后讨论143的约数知两数和与差分别为143与1，或13与11，所以可得答案为1或5041．。
六年级数学竞赛上册奥数高思第1讲：计算综合二(20200403194556)
1
1+ 21 1
8 =
． 11
+ 1
4 x+
分析 第（ 1 ）题就是一个简单连分数的计算， 从下往上一层层算即可．但第（ 2 ）
题则是一个连分数方程，而且未
数在最底层，不可能把左侧的分数先算出来．
此时，为了将分数线减少，我
以采取方程左右两侧同时取倒数的想法，这
样一来，就容易求解了．
练习
5.（ 1 ）计算：
12 4. （ 1）计算：
；
7
9
+
3 84
+
5 1+
4
（2）已知
a ?b = a - b + 1 ，求：
5. 规定运算
a ×b
1
66 ，求 x ．
=
1
1
1 107
+
+
6
1
1
1
1
+
+
5
2
1
1
+ x+
4
3
（1） (2 ?1)?(4 ?3) ；
（2） (99?97 ) + (97 ?95 ) (95 ?93 ) + + (3 ?1) ；
b
++
531 579 753 579 753 135 357 975
531
357 975
++
-
+++
753 135 531 579 753 135 579
357 975 531
135 357 975
a
+
3
身体健康
高斯练习(6年级)
六年级高斯数学分项练习一、组合数学1、甲、乙、丙、丁与小强这5位同学一起参加象棋比赛，单循环．请问小强要赛几场？2.A、B、C、D、E五支队伍参加足球单循环比赛，请问A队参与了多少场比赛？3.编号为1、2、3、4、5的五位同学进行围棋单循环比赛，请问编号1的同学能参加多少场比赛？4.甲、乙、丙、丁与小强这5位同学一起参加象棋比赛，每两人都要赛一盘．到目前为止，只知道甲赛了4盘，小强赛了1盘．问：小强跟谁赛过？A.甲B.乙C.丙D.丁5.A、B、C、D、E五支队伍参加足球单循环比赛．到目前为止，只知道A队已经进行了4场比赛，E队只进行了1场比赛．请问：E队参加过的比赛，对手是谁？A.AB.BC.CD.D6.编号为1、2、3、4、5的五位同学进行围棋单循环比赛．到目前为止，只知道1号选手已经进行了4场比赛，5号选手进行了1场比赛．请问5号选手跟那位选手比赛过？A.1B.2C.3D.47.甲、乙、丙、丁与小强这5位同学一起参加象棋比赛，每两人都要赛一盘．到目前为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丁赛了1盘．问：乙这三盘分别是跟哪3位选手比的？8.A、B、C、D、E五所小学，每所小学派出1支足球队，共5支足球队进行友谊比赛．不同学校间只比赛1场，比赛进行了若干天后，A校的队长发现另外4支球队B、C、D、E赛过的场数依次为4、3、2、1．问：C队这3场比赛分别是跟哪3个队赛的？9.编号为1，2，3，4，5，6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘．现在编号为1，2，3，4，5的同学已经赛过的盘数和他们的编号数相等．请问：编号为4的同学，这4场分别是跟哪位同学赛的？∙ A. 1号、2号、3号、5号∙ B. 1号、2号、3号、6号∙ C. 1号、2号、5号、6号∙ D. 1号、3号、5号、6号∙ E. 2号、3号、5号、6号10.甲、乙、丙、丁与小强这5位同学一起参加象棋比赛，每两人都要赛一盘．到目前为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘．问：小强已经赛了几盘？11.A、B、C、D、E五所小学，每所小学派出1支足球队，共5支足球队进行友谊比赛．不同学校间只比赛1场，比赛进行了若干天后，A校的队长发现另外4支球队B、C、D、E赛过的场数依次为4、3、2、1．问：这时候A校的足球队已经赛了多少场？12.编号为1，2，3，4，5，6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘．现在编号为1，2，3，4，5的同学已经赛过的盘数和他们的编号数相等．请问：编号为6的同学赛了几盘？13.甲、乙、丙、丁四名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场．请问一共有多少场比赛？14.甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行围棋比赛，每两人都比赛一场，请问一共有多少场比赛？15.6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场．请问：一共有多少场比赛？16.甲、乙、丙、丁四名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问四个人最后得分的总和是多少分？17.甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行围棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：5个人最后得分的总和是多少分？18.6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：6个人最后得分的总和是多少分？19.6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．请问各队总分之和最多是______分,最少是______ 分.20.8位同学进行围棋单循环对抗赛，即每两位同学之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．请问各位同学总分之和最多是______分,最少是______分.21. 某足球联赛20支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．请问各队总分之和最多是分,最少是分.22.6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．如果在比赛中出现了6场平局，那么所有人总分之和是多少分？23.8位同学进行围棋单循环对抗赛，即每两位同学之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．如果在比赛中出现了10场平局，那么各队总分之和是多少分？24. 某足球联赛20支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．如果在比赛中出现了42场平局，那么各队总分之和是多少分？25.四支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．已知比赛全部结束后，各队总积分的和为18分，并不知道各队具体的得分．那么关于四支球队各自的得分，下面五个选项之中有一个是绝对不可能的，请问是哪一个？∙ A. 四支球队分别得9分、6分、3分、0分．∙ B. 四支球队分别得9分、3分、3分、3分．∙ C. 四支球队分别得6分、5分、3分、4分．∙ D. 四支球队分别得6分、6分、6分、0分．∙ E. 四支球队分别得6分、6分、3分、3分．26.五支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．已知比赛全部结束后，各队总积分的和为30分，并不知道各队具体的得分．那么关于四支球队各自的得分，下面五个选项之中有一个是绝对不可能的，请问是哪一个？∙ A. 五支球队分别得12分、9分、6分、3分、0分．∙ B. 五支球队分别得12分、6分、6分、3分、3分．∙ C. 五支球队分别得9分、8分、6分、4分、3分．∙ D. 五支球队分别得9分、9分、6分、3分、3分．∙ E. 五支球队分别得9分、6分、6分、6分、3分．27.六支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．已知比赛全部结束后，各队总积分的和为45分，并不知道各队具体的得分．那么关于四支球队各自的得分，下面五个选项之中有一个是绝对不可能的，请问是哪一个？∙ A. 五支球队分别得12分、9分、6分、3分、0分．∙ B. 五支球队分别得12分、6分、6分、3分、3分．∙ C. 五支球队分别得9分、8分、6分、4分、3分．∙ D. 五支球队分别得9分、9分、6分、3分、3分．∙ E. 五支球队分别得9分、6分、6分、6分、3分．28.五支足球队进行单循环赛，即每两个队之间都要赛一场．每场比赛胜者得2分，输者得0分，平局两队各得1分．比赛结果各队得分互不相同．已知：①第一名的队没有平过；②第二名的队没有输过；问：是否可以确定各队的最终积分？∙ A. 只能确定第一名的得分．∙ B. 只能确定第一名和第二名的得分．∙ C. 能确定所有球队的得分．∙ D. 不能得到任何确定的结果．29.金、木、水、火、土五支足球队进行单循环赛，即每两个队之间都要赛一场．每场比赛胜者得2分，输者得0分，平局两队各得1分．比赛结果各队得分互不相同．已知：①金队得了第一名且没有平过；②木队得了第二名且没有输过；问：是否可以确定各队的最终积分？∙ A. 只能确定第一名的得分．∙ B. 只能确定第一名和第二名的得分．∙ C. 能确定所有球队的得分，但最后三名的球队并不知道排名的具体顺序．∙ D. 不能得到任何确定的结果．30.小朱、小东、小博、小杨、小山5位好朋友进行乒乓球单循环赛，即每两个人之间都要赛一场．每场比赛胜者得2分，输者得0分，平局两队各得1分．比赛结果各人得分互不相同．已知：①小朱得了第一名且没有平过；②小东得了第二名且没有输过；问：是否可以确定各人的最终积分？∙ A. 只能确定第一名的得分．∙ B. 只能确定第一名和第二名的得分．∙ C. 能确定所有人的得分，但最后三名并不知道排名的具体顺序．∙ D. 不能得到任何确定的结果．31.红、黄、蓝三支乒乓球队进行比赛，每队派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分，……，第九名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果没有并列名次．团体评比的情况是：团体第一的是黄队，总分16分．请问：第二名和第三名的团体总分分别是多少？ ,32.某小学三个班级进行乒乓球对抗赛，每班派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分，……，第九名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果没有并列名次．团体评比的情况是：团体第一的是一班，总分16分．请问：第二名和第三名的团体总分分别是多少？ ,33.某小学进行教师羽毛球对抗赛，数学组、语文组、英语组各派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分，……，第九名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果没有并列名次．团体评比的情况是：团体第一的是数学组，总分16分．请问：第二名和第三名的团体总分分别是多少？ ,34.红、黄、蓝三支乒乓球队进行比赛，每队派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分，……，第九名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果没有并列名次．其中个人评比的情况是：第一名是一位黄队队员，第二名是一位蓝队队员，相邻的名次的队员都不在同一个队．团体评比的情况是：团体第一的是黄队，总分16分；第二名是红队，第三名是蓝队．请问：红队队员分别得了多少分？（按从小到大的顺序填写） , ,35.某小学三个班级进行乒乓球对抗赛，每班派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分，……，第九名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果没有并列名次．其中个人评比的情况是：第一名来自一班，第二名来自三班，相邻的名次的队员都不在同一个班．团体评比的情况是：团体第一的是一班，总分16分；第二名是二班，第三名是三班．请问：二班队员分别得了多少分？（按从小到大的顺序填写．） , ,36.某小学进行教师羽毛球对抗赛，数学组、语文组、英语组各派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分，……，第九名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果没有并列名次．其中个人评比的情况是：第一名是一位数学老师，第二名是一位英语老师，相邻的名次的老师都不是同一个科目的．团体评比的情况是：团体第一的是数学组，总分16分；第二名是语文组，第三名是英语组．请问：语文组的老师分别得了多少分？（按从小到大的顺序填写．） , ,37.金、木、水、火、土5支球队进行单循环比赛，每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局则双方各得1分．比赛发现，金队和木队特别地强，这两队都取得很高的分数，排在前两名．那么请问，排在最后的水、火、土3队总共得到的分数，最少是多少？38.甲、乙、丙、丁、戊5支球队进行单循环比赛，每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局则双方各得1分．比赛发现，甲队和乙队特别地强，这两队都取得很高的分数，排在前两名．那么请问，排在最后的丙、丁、戊3队总共得到的分数，最少是多少？39.A、B、C、D、E 5支球队进行单循环比赛，每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局则双方各得1分．比赛发现，A队和B队特别地强，这两队都取得很高的分数，排在前两名．那么请问，排在最后的C、D、E 3队总共得到的分数，最少是多少？40.6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：得分最高的3名同学的分数之和最多是多少？41.7支足球队进行单循环赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：得分最高的3支球队的分数之和最多是多少？42.6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：得分最高的2名同学的分数之和最多是多少？43.金、木、水、火、土5支球队进行单循环比赛，每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局则双方各得1分．比赛发现，金队和木队特别地强，这两队都取得很高的分数．现在有报道如下：“金队与木队所向披靡,两队总得分是水、火、土3队总得分的3倍“，你说这报道真实吗？∙ A. 真实.∙ B. 不真实.44.A、B、C、D、E、F 6支球队进行单循环比赛，每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局则双方各得1分．比赛发现，A队和B队特别地强，这两队都取得很高的分数．现在有报道如下：“A队与B队所向披靡,两队总得分是C、D、E、F 4队总得分的3倍“，你说这报道真实吗？∙ A. 真实.∙ B. 不真实.45.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚7支球队进行单循环比赛，每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局则双方各得1分．比赛发现，甲队和乙队特别地强，这两队都取得很高的分数．现在有报道如下：“甲队与乙队所向披靡,两队总得分是丙、丁、戊、己、庚5队总得分的3倍“，你说这报道真实吗？∙ A. 真实.∙ B. 不真实.46.10名选手参加象棋比赛，每两名选手间都要比赛一次．已知胜一场得2分，平一场得1分，负一场不得分．比赛结果：选手们所得分数各不相同，前两名选手都没输过，前两名的总分比第三名多20分，第四名得分与后四名所得总分相等．问：前两名的分数各为多少？,47.10名选手参加围棋比赛，每两名选手间都要比赛一次．已知胜一场得2分，平一场得1分，负一场不得分．比赛结果：选手们所得分数各不相同，小张和小王实力超群，他们分别获得了第一名和第二名，并且都没输过，他们俩的总分比第三名多20分，第四名得分与后四名所得总分相等．问：小张和小王的分数各为多少？ ,48.10支球队进行单循环赛，每两支队伍间都要比赛一次．已知胜一场得2分，平一场得1分，负一场不得分．比赛结果：队伍之间所得分数各不相同，A队和B队实力超群，他们分别获得了第一名和第二名，并且都没输过，前两名的总分比第三名多20分，第四名得分与后四名所得总分相等．问：A队和B队的积分各为多少？ ,49.A、B、C、D四支球队进行足球比赛，每两队都要比赛一场．已知A、B、C三队的成绩分别是：A队2胜1负，B队2胜1平，C队1胜2负．那么D队的成绩是胜平负．50.甲、乙、丙、丁四支球队进行足球比赛，每两队都要比赛一场．已知甲、乙、丙三队的成绩分别是：甲队2胜1负，乙队2胜1平，丙队1胜2负．那么丁队的成绩是胜平负．51.甲、乙、丙、丁四支球队进行足球比赛，每两队都要比赛一场．已知甲、乙、丙三队的成绩分别是：甲队2胜1负，乙队1胜1平1负，丙队2胜1负．那么丁队的成绩是胜平负．52.5支球队进行单循环赛，每两队之间比赛一场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，打平则双方各得1分．比赛全部结束后，其中有一支球队得了7分，请问这支球队的胜平负场次各为多少？胜平负．53.5支球队进行单循环赛，每两队之间比赛一场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，打平则双方各得1分．比赛全部结束后，其中有一支球队得了8分，请问这支球队的胜平负场次各为多少？胜平负．54.6支球队进行单循环赛，每两队之间比赛一场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，打平则双方各得1分．比赛全部结束后，其中有一支球队得了10分，请问这支球队的胜平负场次各为多少？胜平负．55.四支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少？56.4位同学进行围棋对抗赛，每两位同学之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后，各人的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第二名的同学的总分是多少？57.4位好朋友进行乒乓球单循环比赛，每两人之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后，各人的总得分恰好是4个连续的自然数．问：赢了第二名的人的总分是多少？58.5支球队进行单循环赛，每两队之间比赛一场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，打平则双方各得1分．最后5支球队的积分各不相同，第三名得了7分，并且和第一名打平．请问：这5支球队的得分，从高到低依次是多少？、、、、．59.甲、乙、丙、丁、戊5个人进行象棋单循环赛，每两人之间比赛一场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，打平则双方各得1分．最后5人的积分各不相同，第三名得了7分，并且和第一名打平．请问：这5人的得分，从高到低依次是多少？、、、、．60.某小学5个班级进行足球单循环赛，每两班之间比赛一场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，打平则双方各得1分．最后5个班级的积分各不相同，第三名得了7分，并且和第一名打平．请问：这5个班级的得分，从高到低依次是多少？、、、、．61.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，已知A队在所有比赛中总共进了6个球，B 队在所有比赛中总共进了5个球，A与C的比分为2:3，B与C的比分为3:4，请问A与B 的这场比赛结果是 :62.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，已知A队在所有比赛中总共失了6个球，B 队在所有比赛中总共失了5个球，A与C的比分为2:3，B与C的比分为3:4，请问A与B 的这场比赛结果是 :63.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，已知所有球队总共进了14个球，A与C的比分为2:3，B与C的比分为3:4，A与B是平局，请问A与B的这一场平局具体比分是:64.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，比赛结果为：A：两胜，共失2球；B：进4球，失5球；C：有一场踢平，进2球，失8球．将已知条件填入下面这样的表格．请问4个选项中哪一个是正确的？∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.65.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，比赛结果为：A：两胜，共失2球；B：进5球，失6球；C：有一场踢平，进3球，失9球．将已知条件填入下面这样的表格．请问4个选项中哪一个是正确的？∙ A.∙ B.∙ C.66.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，比赛结果为：A：两胜，共失2球；B：进6球，失7球；C：有一场踢平，进4球，失10球．将已知条件填入下面这样的表格．请问4个选项中哪一个是正确的？∙ A.∙ B.∙ D.67.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，已知的比赛结果已被填入这样一个表格：请问①和②处该填入什么数字？①②68.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，已知的比赛结果已被填入这样一个表格：请问①和②处该填入什么数字？①②69.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，已知的比赛结果已被填入这样一个表格：请问①和②处该填入什么数字？①②70.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，比赛结果为：A：两胜，共失2球；B：进4球，失5球；C：有一场踢平，进2球，失8球．则A与B两队间的比分是 :71.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，比赛结果为：A：两胜，共失2球；B：进5球，失6球；C：有一场踢平，进3球，失9球．则A与B两队间的比分是 :72.有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，比赛结果为：A：两胜，共失2球；B：进6球，失7球；C：有一场踢平，进4球，失10球．则A与B两队间的比分是 :。
六年级上册数学试题数学竞赛计算部分高斯求和
2019小学数学六年级（全国通用）-数学竞赛计算部分-高斯求和（含答案）一、单选题1.用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且盒盒不空，那么至少要用（）杯子．A.100B.500C.1000D.505 02.你一定知道“少年高斯”速算的故事吧！那么1+2+3+4+…+999的结果是（）A.100000B.499000C.499500D.5000003.小猫咪咪第一天逮了1只老鼠，以后每天逮的老鼠都比前一天多1只，咪咪10天一共逮了（）只老鼠．A.45B.50C.55D.60二、填空题4.一本书的页码是连续的自然数，1，2，3，…，当将这些页码加起来的时候，某个页码被加了两次，得到不正确的结果2019，则这个被加了两次的页码是________．5.把自然数1，2，3，…99分成三组，如果每一组的平均数恰好都相等，那么这三个平均数的乘积是________．6.1+2+3+4+5…+2019+2019的和是________（奇数或偶数）．7.1﹣64的自然数中去掉其中两个数，剩下62个数的和是2019，去掉的那两个数共有________种可能．8.100以内的偶数和是________．9.用100个盒子装杯子，每个盒子装的个数都不相同，并且盒子不空，那么至少有________个杯子．10.已知2+4+6+8+…+100=2550，那么1+3+5+7+9+…+101=________．11.1+3+5+7+…+97+99=________=________2．12.9个连续自然数的和是2019，其中最小的自然数是________．13.1+3+5+…+99=________．14.27个连续自然数的和是2019，其中最小的自然数是________．15.自然数1、2、3…14、15的和是120，这15个自然数的平均数是________．16.已知：则：1+2+3+…+99+100+99+98+…+3+2+1=________．17.有40块糖，把它分成4份，且后一份比前一份依次多2块，那么最少一份有________块．18.雅雅家住平安街，礼礼向她打听：“雅雅，你家门牌是几号？”“我住的那条街的各家门牌号从1开始，除我家外，其余各家门牌号加起来恰好等于10000．”雅雅回答说．那么雅雅家住________号．19.计算：9+17+25+…+177=________．三、计算题20.计算：×××…×．21.计算：5+7+9+11+…+97+99=答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】高斯求和【解析】【解答】解：根据题干分析可得：每个盒子里的杯子数分别为1、2、3、4、5、6...100，所以需要的杯子数为：1+2+3+4+5+ (100)=（1+100）×（100÷2），=101×50，=5050（个），故选：D．【分析】用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且盒盒不空，所以又100种不同的装法，要求至少需要多少个杯子，那么可以从最少的个数装起：即每个盒子里的杯子数分别为1、2、3、4、5、6...100，由此可得出所需要的杯子数为：1+2+3+4+5+ (100)利用高斯求和的方法即可解决问题．2.【答案】C【考点】高斯求和【解析】【解答】解：1+2+3+4+…+999=（1+999）×999÷2，=1000×999÷2，=499500．故选：C．【分析】算式1+2+3+4+…+999中的加数构成一个公差为“1”的等差数列，首项为1，末项为999，项数为999．因此本题根据高斯求和公式进行计算即可：等差数列和=（首项+末项）×项数÷2．3.【答案】C【考点】高斯求和【解析】【解答】解：咪咪十天的捕鼠量是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）+（2+9）+（3+8）+（4+7）+（5+6）=11×5=55；答：咪咪前后十天一共逮了55只老鼠．故选：C．【分析】本题其实是一个计算从1加到10的求和问题，小猫咪咪十天中的捕鼠量是一个等差数列：1、2、3…10．将它们相加就是：1+2+…+5+6+…+9+10．从中不难看出一个规律：1+10=2+9=3+8=4+7=5+6=11，5对得数是11的加数相加，加法就转换为乘法问题，即11×5的问题．从而1到10相加的和可以速算为：11×5=55．由此得解，咪咪前后十天一共逮了55只老鼠．二、填空题4.【答案】44【考点】高斯求和【解析】【解答】解：设共n页，被加了两次的页码是x则n（n+1）÷2≤2019，且x≤n用特殊值法求得n=62，则被加了两次的页码是：2019﹣62×（62+1）÷2=xx=2019﹣63×31x=2019﹣1953x=44；故答案为：44．【分析】本题中我们可设共有n页，被加了两次的页码为x，由题意可知页码总和一定小于等于2019，x小于等于总页数n．那么用特殊值法求得n=62．则被加了两次的页码x就等于错误结果2019减掉正确结果n（n+1）÷2的差．5.【答案】125000【考点】高斯求和【解析】【解答】解：设每一组的平均数为x，则由题意得33x+33x+33x=1+2+3+ (99)即99x=（1+99）×99÷299x=99×50，x=50．故三个平均数之积为503=125000．故填125000．【分析】本题中，设每一组的平均数为x，则每一组的总和为33X．那么33X+33X+33X=1+2+3+…+99．解之得X=50，那么这三个平均数的乘积是503=125000．6.【答案】偶数【考点】高斯求和【解析】【解答】解：2019÷2=1004，1+2+3+4+5…+2019+2019=1004个偶数+1004个奇数=偶数+偶数=偶数．即它们的和为偶数．故答案为：偶数．【分析】2019÷2=1004，即1～2019中共有1004个偶数，1004个奇数．根据数的奇性可知，任意偶数相加的和为偶数，偶数个奇数相加的和为偶数，所以1+2+3+4+5…+2019+2019=1004个偶数+1004个奇数=偶数+偶数=偶数．即它们的和为偶数．7.【答案】30【考点】高斯求和【解析】【解答】解：1+2+3+…+64=（1+64）×64÷2，=2080；2080﹣2019=6868是去掉的两个自然数的和．即有：4+64=5+63=6+62=…=33+35共有33﹣4+1=30（种）故答案为：30．【分析】先据高斯求和公式求出1﹣64的自然数和是多少，然后用这个和减2019所得的差即为去掉的两个自然数的和，根据这个差来分析去掉的这两个自然数共有多种可能性即可．8.【答案】2550【考点】高斯求和【解析】【解答】解：100以内的偶数有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30、32、34、36、38、40、42、44、46、48、50、52、54、56、58、60、62、64、66、68、70、72、74、76、78、80、82、84、86、88、90、92、94、96、98、100共50个，2+4+6+8+…+92+94+96+98+100=（2+100）×50÷2=102×50÷2=2550答：100以内的偶数和是2550．故答案为：2550．【分析】找出100以内的偶数相加即可．9.【答案】5050【考点】高斯求和【解析】【解答】解：因为每个盒子装的个数都不相同，并且盒子不空，要想让被子数量最少，那么只能是第一个盒子放一个被子，第二个放2个，第三个放3个，以此类推，第100个盒子放100个，1+2+3+4+…+100=（1+100）×100÷2=101×50=5050（个）答：那么至少有5050个被子．故答案为：5050．【分析】因为每个盒子装的个数都不相同，并且盒子不空，那么求至少有多少个，所以第一个盒子放一个被子，第二个放2个，第三个放三个，以此类推，那么被子总数就是1+2+3+4+…+100即可．改算式的算法是：因为第一个数1加上最后一个数100，等于第二个数2加上倒数第二个数99，等于第三个数3加上倒数第三个数98，即为收尾对称着加，其和都相等，从1到100共100个数，一个和是由两个数构成，所以和的个数是100÷2，据此解答即可．10.【答案】2601【考点】高斯求和【解析】【解答】解：数列2+4+6+8+…+100共有50项，数列1+3+5+7+9+…+101共有51项，即多个101，通过观察可知，数列2+4+6+8+…+100中的第一项都比数列1+3+5+7+9+…+101的前50项多1，即多50，所以数列1+3+5+7+9+…+101=2550﹣50+101=2601．故答案为：2601【分析】本题可据这两个等差数列的项数及两个数列中数据的特点由2+4+6+8+…+100=2550推出1+3+5+7+9+…+101的和是多少．11.【答案】2500；50【考点】高斯求和【解析】【解答】解：1+3+5+7+…+97+99=（1+99）×50÷2=100÷2×50=502=2500故答案为：2500，50．【分析】算式1+3+5+7+…+97+99中的加数构成一个公差为“2”的等差数列，首项为1，末项为99，项数为50．因此本题根据高斯求和公式进行计算即可：等差数列和=（首项+末项）×项数÷2．12.【答案】219【考点】高斯求和【解析】【解答】解：根据题意可得：中间的数是：2019÷9=223，即第5个数是223，因为第5个数比最小的数大5﹣1=4，所以最小数自然数是：223﹣4=219．答：最小的自然数是219．故答案为：219．【分析】根据题意，把把这些数从小往大排，2019÷9=223是最中间的数，也就是第5个数是223，因为是连续的自然数，所以第5个数比最小的数大5﹣1=4，用223减去4就是要求的数．13.【答案】2500【考点】高斯求和【解析】【解答】解：1+3+5+…+99=（1+99）×[（99﹣1）÷2+1]÷2，=100×(49+1)÷2，=100×50÷2，=2500．故答案为：2500．【分析】通过分析式中数据可以发现，式中的加数为一个公差为2的等差数列，即此算式是求一个等差数列和的运算．因此根据高斯求和公式计算即可：项数=（末项﹣首项）÷公差+1，等差数列和=（首项+尾项）×项数÷2．14.【答案】61【考点】高斯求和【解析】【解答】解：根据题意可得：中间的数是：2019÷27=74，即第十四个数是74，因为第十四个数比最小的数大14﹣1=13，所以最小数自然数是：74﹣13=61．故答案为：61．【分析】根据题意，把把这些数从小往大排，2019÷27=74是最中间的数，也就是第十四个数是74，因为是连续的自然数，所以第十四个数比最小的数大14﹣1=13，用74减去13就是要求的数．15.【答案】8【考点】高斯求和【解析】【解答】解：1+2+3+…+14+15，=（1+15）×，=16×，=120，120÷15=8，答：这15个自然数的和是120，它们的平均数是8．故答案为：120，8．【分析】根据高斯求和的方法：1+2+3+4+…+n=（n+1）×，代入数据即可求出这15个连续自然数的和，再除以15，就是它们的平均数．16.【答案】10000【考点】高斯求和【解析】【解答】解：方法一：1+2+3+…+99+100+99+98+…+3+2+1，=1002，=10000；方法二：（1+100）×100÷2×2﹣100，=101×100﹣100，=10100﹣100，=10000；故答案为：10000．【分析】方法一：通过已经给出的两个式子可以找出规律：几个对称排列的连续自然数的和等于中间数的平方，所以在算式1+2+3+…+99+100+99+98+…+3+2+1中，中间的数是100，因此1+2+3+…+99+100+99+98+…+3+2+1=1002=10000，据此解答；方法二：在算式1+2+3+…+99+100中，首项是1，末项是100，项数是100，根据高斯求和公式可得：（1+100）×100÷2×2﹣100=10000，据此解答．17.【答案】7【考点】高斯求和【解析】【解答】解：设最少的一份为X，由题意得方程：X+（X+2）+（X+2+2）+（X+2+2+2）=40，4X+2×6=40，4X+12=40，4X=28，X=7；答：最少一份有7块；故答案为：7．【分析】设最少的一份为X，则其他三份依次为X+2；X+2+2；X+2+2+2；根据题意列出方程解答即可．18.【答案】11【考点】高斯求和【解析】【解答】解：140家门牌号码之和为：1+2+3+…+140=（1+140）×140÷2=9870，这个数小于10000，不符合题意；141家门牌号数之和为10011，雅雅家门牌号数是10011﹣10000=11（号）；142家的门牌号之和为10153，雅雅家的门牌号是10153﹣10000=153（号），这里我们设定是142家，而由题意可知：142家不会有一家的门牌号是153，即这是不可能的；当设定有142家以上时，也会出现这种矛盾，所以平安街只能有141家，雅雅家门牌号一定是11号．答：雅雅家门牌号是11号．故答案为：11．【分析】根据题意，雅雅家所在的平安街所有各家门牌号之和应大于10000，找出连续自然数相加大于10000的最小和，再减去10000即可解答．19.【答案】2046【考点】高斯求和【解析】【解答】解：9+17+25+…+177=（9+177）×[（177﹣9）÷8+1]÷2=186×22÷2=186×11=2046；故答案为：2046．【分析】观察算式可知，此题是一个公差为8的等差数列，首项是9，末项是177，项数是（177﹣9）÷8+1=22，运用高斯求和公式计算即可．宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
高斯小学奥数六年级上册含答案第17讲 整数型计算综合提高
第十七讲 整数型计算综合提高一、多位数计算1． 凑整、凑9的思想；2． 数字和问题：与一个小于它的数相乘，积的数字和是9×n ．二、等差数列1． 等差数列的“配对”思想； 2． 求和公式：（1） ； （2） ． 3． 项数公式：．4． 第n 项：．三、等比数列：等比数列“错位相减”法求和，基本步骤是： （1）设等比数列的和为S ；（2）等式两边同时乘以公比（或者公比的倒数）； （3）两式对应的项相减，消去同样的项，求出结果；四、基本公式1． 平方差公式．2． 平方求和．3． 立方求和．五、整数裂项1． ；2． ．()()()()()123123234345124n n n n n n n ⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=L()()()1212233413n n n n n ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+=L()2333312312n n ++++=+++L L ()()22221211236n n n n ⨯+⨯+++++=L ()()22a b a b a b -=-+()1n +-⨯首项公差()1÷+末项-首项公差 ⨯中间项项数 ()2+⨯÷首项末项项数 99999n 个L 14243一、整数数列基本计算 1． 公式型计算； 2． 平方差公式的应用； 3． 整数裂项：（1）基本裂项：例如1×2、1×2×3等； （2） 高等裂项：与阶乘或其它数列相关的裂项． 二、计算技巧 1． 换元思想； 2． 分组思想； 3． 裂项思想；4． 数论思想在计算中的应用；例1． （1）228888888811111111-的计算结果是多少？（2）30830388883333⨯个个L L 1424314243的计算结果的数字和是多少？「分析」（1）还记得平方差公式吗？（2）可以用凑整的思想计算出这个算式的结果，再算数字和．练习1、999999999999999999⨯的计算结果的数字和是多少？例2． 某书的页码是连续的自然数1、2、3、…、9、10、…；小须把这些页码相加时，将其中连续2个页码漏掉了，结果得到2013，那么这本书共有多少页？漏掉的2页是多少？「分析」首先可以估算一下这本书的大概页数是多少？确定页码总数的范围后再计算就变得简单一些了．练习2、把从1开始的所有奇数进行分组，其中每一组的第一个数都等于这一段中所有数的个数，例如：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17，19，21，23，25），（27，29，L L ，79），（81，83，L L ），那么第8组中所有数的和是多少？经典题型例3．对自然数a 和n ，规定1-+=∇n n a a n a ，例如1233232=+=∇，那么： （1）计算：1222302∇+∇++∇L ； （2）计算：2122210∇+∇++∇L ．「分析」首先理解题目定义的新运算规则，然后再计算，注意三角符号前后数字顺序．练习3、对自然数a 和n ，规定1n n a n a a -∇=+，例如32333336∇=+=，那么：算式：1323303∇+∇++∇L 的结果是多少？例4．计算：12+(1+2)4+(1+2+3)6+(1+2+3+4)8++(1+2++20)40⨯⨯⨯⨯⨯L L ． 「分析」试着计算几项，寻找一下规律．练习4、计算：3333333333112123123100112123123100++++++++++++++++++L L L ．例5．计算：12345699100⨯+⨯+⨯++⨯L ． 「分析」这是一道整数裂项的题目，分析一下如何进行拆分．例6．计算：1!32!43!54!62009!20112010!20122011!20132012!⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-L 「分析」关于阶乘的计算一定牢记：()()!11!n n n ⨯+=+，本题是否有类似计算．数学史上的一代王者——欧拉莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月5日～1783年9月18日）是瑞士数学家和物理学家．他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）．欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人．他是把微积分应用于物理学的先驱者之一．欧拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育．他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过．欧拉是一位数学神童．他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡，柏林科学院的创始人之一．欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计75卷．他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创人．欧拉在固体力学方面的著述也很多，诸如弹性压杆失稳后的形状，上端悬挂重链的振动问题，等等．欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时的新发明微积分，他推导出了很多结果．在他生命的最后7年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作．1733年，丹尼尔吃够了神圣俄罗斯的苦头回自由的瑞士去了，26岁的欧拉坐上了科学院的第一把数学交椅．他感到自己以后的生活要固定在圣彼得堡，便决定结婚，定居下来，并随遇而安．夫人凯瑟琳娜(Catharina)，是彼得大帝带回俄国的画家格塞尔的女儿．后来政治形势变得更糟了，欧拉曾经绝望得想逃走，但随着孩子一个接一个地很快出生，他又感到被拴得越来越牢了，使到不休止的工作中去寻求慰藉．某些传记作家把欧拉的无比多产追溯到他这第一次旅居俄国的时期；平常的谨慎迫使他去成了勤奋工作的牢不可破的习惯．欧拉是能在任何地方、任何条件下进行工作的几个伟大数学家之一．他很喜欢孩子（他自己曾有13个，但除了5个以外，都很年轻就死了）．他写论文时常常把一个婴儿抱在膝上，而较大的孩子都围着他玩．他写作最难的数学作品时也令人难以置信的轻松．许多关于他才思横溢的传说流传至今．有些无疑是夸张的，但据说欧拉确实常常在两次叫他吃晚饭的半小时左右的时间里赶出一篇数学论文．文章一写完，就放到给印刷者准备的不断增高的稿子堆儿上．当科学院的学报需要材料时，印刷者便从这堆儿顶上拿走一打．这样一来，这些文章的发表日期就常常与写作顺序颠倒．由于欧拉习惯于为了搞透或扩展他已经做过的东西而对一个课题反覆搞多次，这种恶果便显得更严重，以至有时关于某课题的一系列文章发表顺序完全相反．1730年小沙皇死去，安娜．伊凡诺芙娜(Annalvanovna，彼得的侄女)当了女皇．就科学院而言，受到了关心，工作活跃多了．而俄国，在安娜的宠臣欧内斯特的间接统治下，遭受了其历史上一段最血腥的恐怖统治．10年里，欧拉沉默地埋头工作．这中间，他遭受了第一次巨大的不幸．他为了赢得巴黎奖金而投身于一个天文学问题，那是几个有影响的大数学家搞了几个月时间的，欧拉在三天之后把它解决了．可是过分的劳累使他得了一场病，病中右眼失明了．欧拉的离世也很特别：在朋友的派对中他中途退场去工作，最后伏在书桌上安静的去了．欧拉的专著和论文多达800多种．小行星欧拉2002是为了纪念欧拉而命名的．作业1. 333333333333⨯的计算结果的数字和是多少？2. 甲、乙二人每天背单词，甲背单词的数量每天增加5个，乙背单词的数量每天增加1倍，已知第一天二人共背了33单词，第二天二人共背了40个单词，那么从第几天起乙每天背的单词要比甲多，从第几天起乙背过的单词数量要比甲多？3. 计算：（1）222221222340++++L ；（2）222224642++++L ；（3）222213523+++L ，的结果？4. 计算：139238337436391⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L ．5. 已知一个平方数加上143后还是一个平方数，请问两个平方数中较小的那个是多少？第十七讲 整数型计算综合提高例题：例7． 答案：7777777622222223；270详解：（1）根据平方差公式可得： ()()()2288888888111111118888888811111111888888881111111199999999777777777777777710000000017777777700000000777777777777777622222223-=+⨯-=⨯=⨯-=-=（2）凑整可得：30830330830310296309929697038888333388883333332962962969999296296295703703704⨯=÷⨯⨯=⨯=L L L L 14243142431424314243L L L L 1442443142431424314243个个个个个个个个数字和是270．例8． 答案：这本书共有64或63页；漏掉的两页是33、34或1、2详解：123642080++++=L ．所以共64页，差的两个页码的和是67，所以是33页和34页．123632016++++=L ．所以也可以数63页，差的两个页码的和是3，所以是1页和2页．例9．答案：（1）9920；（2）3069 详解：（1）根据题目定义的新运算可得：()()()()()2222212302112230301301309920∇++∇=++++++=+++++=L L L L ； （2）()()()10211092122210222222∇+∇++∇=++++++L L()()1210019111022222222213069=+++++++=-+-=L L ．例10． 答案：46970详解：()()()()()()2222222233322212+(1+2)4+(1+2+3)6+(1+2+3+4)8++(1+2++20)401223342021=2464022221223342021111221331202011220122046970⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯++⨯=⨯++⨯++⨯+++⨯+=+++++++=L L L L L L L例11． 答案：169150详解：()()()()()()22222221234569910022446610010024100241001717002550169150⨯+⨯+⨯++⨯=-+-+-++-=+++-+++=-=L L L L例12． 答案：1详解：()()()()()()()()()1!32!43!54!62009!20112010!20122011!20132012!1!122!133!142010!120112011!120122012!1!2!2!3!3!4!2010!2011!2011!2012!2012!1⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-=⨯+-⨯++⨯+--⨯++⨯+-=+-+++--+++-=L L L练习：练习1、答案：81 简答：11111111199111111111=1234567999999999912345678987654321=÷⨯⨯⨯=原式结果数字和为81．练习2、 答案：9563751简答：找规律，发现每个括号的第一个数恰好是3的次方，即1，3，9，27，81，L L ，从而第8组第1个数为2187，第9个组第1个数为6561，即求218721896559+++L L ，等差数列求和得()21876559218729563751+⨯÷=．练习3、答案：225680简答：3232323213233031122333030∇+∇++∇=++++++++L L222233331233012330225680+++++++++=L L ．练习4、 答案：171700简答：需要借助这样一个公式：()23333123123n n ++++=++++L L L L ，因此，原式1(12)(123)(123100)(122334100101)2=+++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯÷L L L()()22211210021210021001012012505021717006=+++÷++++÷=⨯⨯⨯÷+÷=L L ．作业6. 答案：54简答：333333333333111110888889⨯=，数字和是54．7. 答案：6；8简答：设第一天两人分别背了a 、b 个单词，所以甲第n 天背5(1)a n +-个单词，乙第n 天背12n b -个单词，由第一、二天分别背了的单词数可分别列出方程33a b +=和5240a b ++=，可求得a 和b 分别为31和2，可知答案为6；8．8. 答案：（1）19270；（2）13244；（3）23009. 答案：10660简答：2221(401)2(402)39(4039)40(1239)(1239)=⨯-+⨯-++⨯-=⨯+++-+++L L L 原式 10660=．10. 答案：1或5041简答：设已知关系式为22143a b +=，应用平方差公式有()()143b a b a +-=，然后讨论143的约数知两数和与差分别为143与1，或13与11，所以可得答案为1或5041．。
六年级高斯学校竞赛计数综合三含答案
第14讲计数综合三内容概述建立递推的思想，将问题的复杂情形与简单情形联系起来；学会观察和发现递推关系；利用树形固、列表等方法处理某些递推关系，另外，综合运用各种方法处理与数字相关的复杂计数问题．典型问题兴趣篇1．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？2．小悦买了10块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3块，直到吃完，共有多少种吃法？3．用l×2的小方格覆盖2×7的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？4．如果在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20条直线，最多可以分成几个部分？5．甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由甲发球，经过6次传球后球仍然回到了甲的手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？6．一个三位数，有相邻两个数字的和为16，那么这样的三位数共有多少个？7．由1、3、4组成的各位数字之和为9的多位数共有多少个？8．一个各位数字互不相等的五位数不含数字0，且数字和为18，这样的五位数共有多少个？9．一个十位数只含有数字l或2，且不含两个连续的数字1，一共有多少个这样的十位数？10．一个六位数由1、2、3、4、5组成，而且任意相邻两个数位的数字之差都是l，这样的六位数有多少个？拓展篇1．老师给冬冬布置了12篇作文，规定他每天至少写l篇，如果冬冬每天最多能写3篇，那么共有多少种写完作文的方法？2．用10个1×3的长方形纸片覆盖一个10×3的方格表，共有多少种覆盖方法？3．现有14块糖，如果阿奇每天吃奇数块糖，直到吃完，那么阿奇共有多少种吃法？4．如果在一个平面上画出8条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画8个圆，最多可以把平面分成几个部分？5．四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中。
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2019小学数学六年级（全国通用）-数学竞赛计算部分-高斯求和（含答案）一、单选题1.用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且盒盒不空，那么至少要用（）杯子．A.100B.500C.1000D.50502.你一定知道“少年高斯”速算的故事吧！那么1+2+3+4+…+999的结果是（）A.100000B.499000C.499500D.5000003.小猫咪咪第一天逮了1只老鼠，以后每天逮的老鼠都比前一天多1只，咪咪10天一共逮了（）只老鼠．A.45B.50C.55D.60二、填空题4.一本书的页码是连续的自然数，1，2，3，…，当将这些页码加起来的时候，某个页码被加了两次，得到不正确的结果2019，则这个被加了两次的页码是________．5.把自然数1，2，3，…99分成三组，如果每一组的平均数恰好都相等，那么这三个平均数的乘积是________．6.1+2+3+4+5…+2019+2019的和是________（奇数或偶数）．7.1﹣64的自然数中去掉其中两个数，剩下62个数的和是2019，去掉的那两个数共有________种可能．8.100以内的偶数和是________．9.用100个盒子装杯子，每个盒子装的个数都不相同，并且盒子不空，那么至少有________个杯子．10.已知2+4+6+8+…+100=2550，那么1+3+5+7+9+…+101=________．11.1+3+5+7+…+97+99=________=________2．12.9个连续自然数的和是2019，其中最小的自然数是________．13.1+3+5+…+99=________．14.27个连续自然数的和是2019，其中最小的自然数是________．15.自然数1、2、3…14、15的和是120，这15个自然数的平均数是________．16.已知：则：1+2+3+…+99+100+99+98+…+3+2+1=________．17.有40块糖，把它分成4份，且后一份比前一份依次多2块，那么最少一份有________块．18.雅雅家住平安街，礼礼向她打听：“雅雅，你家门牌是几号？”“我住的那条街的各家门牌号从1开始，除我家外，其余各家门牌号加起来恰好等于10000．”雅雅回答说．那么雅雅家住________号．19.计算：9+17+25+…+177=________．三、计算题20.计算：×××…×．21.计算：5+7+9+11+…+97+99=答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】高斯求和【解析】【解答】解：根据题干分析可得：每个盒子里的杯子数分别为1、2、3、4、5、6…100，所以需要的杯子数为：1+2+3+4+5+ (100)=（1+100）×（100÷2），=101×50，=5050（个），故选：D．【分析】用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且盒盒不空，所以又100种不同的装法，要求至少需要多少个杯子，那么可以从最少的个数装起：即每个盒子里的杯子数分别为1、2、3、4、5、6…100，由此可得出所需要的杯子数为：1+2+3+4+5+…+100，利用高斯求和的方法即可解决问题．2.【答案】C【考点】高斯求和【解析】【解答】解：1+2+3+4+…+999=（1+999）×999÷2，=1000×999÷2，=499500．故选：C．【分析】算式1+2+3+4+…+999中的加数构成一个公差为“1”的等差数列，首项为1，末项为999，项数为999．因此本题根据高斯求和公式进行计算即可：等差数列和=（首项+末项）×项数÷2．3.【答案】C【考点】高斯求和【解析】【解答】解：咪咪十天的捕鼠量是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）+（2+9）+（3+8）+（4+7）+（5+6）=11×5=55；答：咪咪前后十天一共逮了55只老鼠．故选：C．【分析】本题其实是一个计算从1加到10的求和问题，小猫咪咪十天中的捕鼠量是一个等差数列：1、2、3…10．将它们相加就是：1+2+…+5+6+…+9+10．从中不难看出一个规律：1+10=2+9=3+8=4+7=5+6=11，5对得数是11的加数相加，加法就转换为乘法问题，即11×5的问题．从而1到10相加的和可以速算为：11×5=55．由此得解，咪咪前后十天一共逮了55只老鼠．二、填空题4.【答案】44【考点】高斯求和【解析】【解答】解：设共n页，被加了两次的页码是x则n（n+1）÷2≤2019，且x≤n用特殊值法求得n=62，则被加了两次的页码是：2019﹣62×（62+1）÷2=xx=2019﹣63×31x=2019﹣1953x=44；故答案为：44．【分析】本题中我们可设共有n页，被加了两次的页码为x，由题意可知页码总和一定小于等于2019，x小于等于总页数n．那么用特殊值法求得n=62．则被加了两次的页码x就等于错误结果2019减掉正确结果n（n+1）÷2的差．5.【答案】125000【考点】高斯求和【解析】【解答】解：设每一组的平均数为x，则由题意得33x+33x+33x=1+2+3+ (99)即99x=（1+99）×99÷299x=99×50，x=50．故三个平均数之积为503=125000．故填125000．【分析】本题中，设每一组的平均数为x，则每一组的总和为33X．那么33X+33X+33X=1+2+3+…+99．解之得X=50，那么这三个平均数的乘积是503=125000．6.【答案】偶数【考点】高斯求和【解析】【解答】解：2019÷2=1004，1+2+3+4+5…+2019+2019=1004个偶数+1004个奇数=偶数+偶数=偶数．即它们的和为偶数．故答案为：偶数．【分析】2019÷2=1004，即1～2019中共有1004个偶数，1004个奇数．根据数的奇性可知，任意偶数相加的和为偶数，偶数个奇数相加的和为偶数，所以1+2+3+4+5…+2019+2019=1004个偶数+1004个奇数=偶数+偶数=偶数．即它们的和为偶数．7.【答案】30【考点】高斯求和【解析】【解答】解：1+2+3+…+64=（1+64）×64÷2，=2080；2080﹣2019=6868是去掉的两个自然数的和．即有：4+64=5+63=6+62=…=33+35共有33﹣4+1=30（种）故答案为：30．【分析】先据高斯求和公式求出1﹣64的自然数和是多少，然后用这个和减2019所得的差即为去掉的两个自然数的和，根据这个差来分析去掉的这两个自然数共有多种可能性即可．8.【答案】2550【考点】高斯求和【解析】【解答】解：100以内的偶数有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30、32、34、36、38、40、42、44、46、48、50、52、54、56、58、60、62、64、66、68、70、72、74、76、78、80、82、84、86、88、90、92、94、96、98、100共50个，2+4+6+8+…+92+94+96+98+100=（2+100）×50÷2=102×50÷2=2550答：100以内的偶数和是2550．故答案为：2550．【分析】找出100以内的偶数相加即可．9.【答案】5050【考点】高斯求和【解析】【解答】解：因为每个盒子装的个数都不相同，并且盒子不空，要想让被子数量最少，那么只能是第一个盒子放一个被子，第二个放2个，第三个放3个，以此类推，第100个盒子放100个，1+2+3+4+…+100=（1+100）×100÷2=101×50=5050（个）答：那么至少有5050个被子．故答案为：5050．【分析】因为每个盒子装的个数都不相同，并且盒子不空，那么求至少有多少个，所以第一个盒子放一个被子，第二个放2个，第三个放三个，以此类推，那么被子总数就是1+2+3+4+…+100即可．改算式的算法是：因为第一个数1加上最后一个数100，等于第二个数2加上倒数第二个数99，等于第三个数3加上倒数第三个数98，即为收尾对称着加，其和都相等，从1到100共100个数，一个和是由两个数构成，所以和的个数是100÷2，据此解答即可．10.【答案】2601【考点】高斯求和【解析】【解答】解：数列2+4+6+8+…+100共有50项，数列1+3+5+7+9+…+101共有51项，即多个101，通过观察可知，数列2+4+6+8+…+100中的第一项都比数列1+3+5+7+9+…+101的前50项多1，即多50，所以数列1+3+5+7+9+…+101=2550﹣50+101=2601．故答案为：2601【分析】本题可据这两个等差数列的项数及两个数列中数据的特点由2+4+6+8+…+100=2550推出1+3+5+7+9+…+101的和是多少．11.【答案】2500；50【考点】高斯求和【解析】【解答】解：1+3+5+7+…+97+99=（1+99）×50÷2=100÷2×50=502=2500故答案为：2500，50．【分析】算式1+3+5+7+…+97+99中的加数构成一个公差为“2”的等差数列，首项为1，末项为99，项数为50．因此本题根据高斯求和公式进行计算即可：等差数列和=（首项+末项）×项数÷2．12.【答案】219【考点】高斯求和【解析】【解答】解：根据题意可得：中间的数是：2019÷9=223，即第5个数是223，因为第5个数比最小的数大5﹣1=4，所以最小数自然数是：223﹣4=219．答：最小的自然数是219．故答案为：219．【分析】根据题意，把把这些数从小往大排，2019÷9=223是最中间的数，也就是第5个数是223，因为是连续的自然数，所以第5个数比最小的数大5﹣1=4，用223减去4就是要求的数．13.【答案】2500【考点】高斯求和【解析】【解答】解：1+3+5+…+99=（1+99）×[（99﹣1）÷2+1]÷2，=100×(49+1)÷2，=100×50÷2，=2500．故答案为：2500．【分析】通过分析式中数据可以发现，式中的加数为一个公差为2的等差数列，即此算式是求一个等差数列和的运算．因此根据高斯求和公式计算即可：项数=（末项﹣首项）÷公差+1，等差数列和=（首项+尾项）×项数÷2．14.【答案】61【考点】高斯求和【解析】【解答】解：根据题意可得：中间的数是：2019÷27=74，即第十四个数是74，因为第十四个数比最小的数大14﹣1=13，所以最小数自然数是：74﹣13=61．故答案为：61．【分析】根据题意，把把这些数从小往大排，2019÷27=74是最中间的数，也就是第十四个数是74，因为是连续的自然数，所以第十四个数比最小的数大14﹣1=13，用74减去13就是要求的数．15.【答案】8【考点】高斯求和【解析】【解答】解：1+2+3+…+14+15，=（1+15）×，=16×，=120，120÷15=8，答：这15个自然数的和是120，它们的平均数是8．故答案为：120，8．【分析】根据高斯求和的方法：1+2+3+4+…+n=（n+1）×，代入数据即可求出这15个连续自然数的和，再除以15，就是它们的平均数．16.【答案】10000【考点】高斯求和【解析】【解答】解：方法一：1+2+3+…+99+100+99+98+…+3+2+1，=1002，=10000；方法二：（1+100）×100÷2×2﹣100，=101×100﹣100，=10100﹣100，=10000；故答案为：10000．【分析】方法一：通过已经给出的两个式子可以找出规律：几个对称排列的连续自然数的和等于中间数的平方，所以在算式1+2+3+…+99+100+99+98+…+3+2+1中，中间的数是100，因此1+2+3+…+99+100+99+98+…+3+2+1=1002=10000，据此解答；方法二：在算式1+2+3+…+99+100中，首项是1，末项是100，项数是100，根据高斯求和公式可得：（1+100）×100÷2×2﹣100=10000，据此解答．17.【答案】7【考点】高斯求和【解析】【解答】解：设最少的一份为X，由题意得方程：X+（X+2）+（X+2+2）+（X+2+2+2）=40，4X+2×6=40，4X+12=40，4X=28，X=7；答：最少一份有7块；故答案为：7．【分析】设最少的一份为X，则其他三份依次为X+2；X+2+2；X+2+2+2；根据题意列出方程解答即可．18.【答案】11【考点】高斯求和【解析】【解答】解：140家门牌号码之和为：1+2+3+…+140=（1+140）×140÷2=9870，这个数小于10000，不符合题意；141家门牌号数之和为10011，雅雅家门牌号数是10011﹣10000=11（号）；142家的门牌号之和为10153，雅雅家的门牌号是10153﹣10000=153（号），这里我们设定是142家，而由题意可知：142家不会有一家的门牌号是153，即这是不可能的；当设定有142家以上时，也会出现这种矛盾，所以平安街只能有141家，雅雅家门牌号一定是11号．答：雅雅家门牌号是11号．故答案为：11．【分析】根据题意，雅雅家所在的平安街所有各家门牌号之和应大于10000，找出连续自然数相加大于10000的最小和，再减去10000即可解答．19.【答案】2046【考点】高斯求和【解析】【解答】解：9+17+25+…+177=（9+177）×[（177﹣9）÷8+1]÷2=186×22÷2=186×11=2046；故答案为：2046．【分析】观察算式可知，此题是一个公差为8的等差数列，首项是9，末项是177，项数是（177﹣9）÷8+1=22，运用高斯求和公式计算即可．宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。