第九讲MATLAB在信号处理中的应用二

收敛域：

| x(n)zn | M
n
即只要满足绝对可和的条件该级数收敛。
本章我们只讲右边序列即无限长序列左边为0.

X (z) x(n)zn
n0
滤波器：所谓的滤波器是指对输入信号起滤波的作用 的装置。为了处理信号，必须设计和实现称之为滤波
器（在某些领域或称为频谱分析仪）的各种系统。滤
w5(n) a1w3(n) a2w4(n) a1y(n 1) a2 y(n 2)
w1(n) b0x(n) w5(n) b0x(n) a1y(n 1) a2 y(n 2)
y(n) b0 x(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2)
9.2无限长单位冲激响应滤波器
特点： 1）由于这种结构所需的系数比直接型多，所需乘法运算也 比直接型多，很少用。 2）由于这种结构的每一节控制一对零点，因而在需要控制 传输零点时用。
有限长单位冲激响应滤波器的主要实现结构有直接型 、级联型、线性相位型等。
FIR的系统函数及差分方程
设FIR滤波器的单位冲激响应h(n)为一个N点序列，
0<=n<=N-1，则滤波器的系统函数为：
N 1
H (z) h(n)zn
n0
即它有N-1阶极点在z=0处，有N-1个零点位于有限z平面
y(n) 1 y(n 1) 1 y(n 2) x(n) x(n 1) x(n 2)
3
4
试构造它的直接型I型和直接II型方框图，并观测它们
的单位冲激响应。
x(n)
y(n)
H(Z)
直接I型仿真模型对应的信号流图
转置定理
如果将线性时（移）不变网络中所有支路方向 倒转，并将输入x(n)和输出y(n)相互交换，则 其系统函数H(z)不改变。
波器设计受到它的类型（IIR或FIR）和实现结构等因
素的影响。所以有必要了解滤波器是如何实现的。当
输入、输出是离散信号，滤波器的冲激响应是单位抽
样响应 h（n）时，这样的滤波器称作数字滤波器（
Digital Filter，DF ）。DF是由差分方程来描述的一 种特殊的离散时间系统。
x(n) h(n)
0k 1k z1 1 1k z1 2k z2
A0
其实现结构为：
A1
x(n)
a1 AN1
z-1
...
a11 a21
a1N2 a2N2
aN1
z-1
β01 z-1
z-1 β11 β0N2
z-1 z-1 β1N2
y(n)
例9-3用并联型结构实现以下用系统函数表示为IIR滤
波器。
第九讲 MATLAB在信号处理中的
应用（二）
1
主要内容
9.1 数字滤波器结构的表示方法 9.2 无限长单位冲激响应（IIR）滤波器 9.3 有限长单位冲激响应（FIR）滤波器
2
Z变换
信号与系统的变换域分析
连续时间信号与系统：拉普拉斯变换和傅里叶 变换
离散时间信号与系统：z变换和离散时间傅里 叶变换
b M+1 z-1 bM z-1
直接II型
直接II型仿真模型对应的信号流图
MATLAB提供了专门求离散系统单位响应，并绘 制其时域波形的函数impz()（数字滤波器冲激响应
），该函数有以下几种调用格式： impz(b,a) %以默认格式绘制向量a和b定义的离
散系统的单位响应 impz(b,a,n) %绘制0~n时间范围内的单位响应波形 impz(b,a,n1:n2) %绘制n1~n2时间范围内的单位
(1 0.7078z1 0.2505z2)(1 0.7078z1 0.2505z2)
x(n)
111y来自n)z-1 2.8257 z-1 3.9921
z-1 -2.825
z-1 -0.7078
…...
z-1 3.9921 z-1 0.2505
FIR 级联型仿真模型
x(n)
y(n)
z 1 z 1

2k 2k
z 2 z 2
一般用直接II型（典范型）表示
x(n)
y(n)
a1k
z-1 β1k
a2k
z-1 β2k
用多个二阶节级联表示滤波器系统
x(n) a11 z-1 β11 a21 z-1 β21
a12 z-1 β12 a22 z-1 β22
…...
y(n)
a1Mz-1 β1M a2Mz-1 β2M
波器。
H (z) 6z3 1.6z2 4.8z 1.3 (z 0.5)(z2 0.9z 0.8)
法二：解：自定义函数文件dir2par(b,a).m
>>b=[6 1.6 4.8 -1.3];a1=[1 -0.5];a2=[1 0.9 0.8]; a=conv(a1,a2)
>> [C,B,A]=dir2par(b,a)
1）将全部路径箭头方向颠倒过来。 2）将全部支路节点用加法器替换，将全部加
法器节点替换成支路节点。
3）将输入和输出节点交换。
所得的结构称为转置直接型结构，即直接II型
x(n) b0 z-1 b1 z-1 b2
y(n) x(n)
b0 y(n)
a1
z-1
a1
z-1 z-1 b1
a2 z-1 对调
Z变换的作用和数字滤波器的功能类似：将输 入信号通过一定的运算变化成输出序列，它把 描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方 程。
Z变换定义
若序列为x(n),则幂级数

X (z) x(n)zn
n
称为序列x(n)的z变换，其中z为变量,它表示z平面，用极
坐标表示为：z re j 。
直接型 FIR滤波器 仿真模型
x(n)
y(n)
2.级联型结构
级联型结构是把系统函数H(z)分解为二阶因式，然后将各阶 因式以级联链接方式实现。
例如采用级联结构实现例3-10
将系统函数进行分解，分解成：
H(z) (1 2.8257z1 3.9921z2)(1 2.8257z1 3.9921z2)
C = 3.2500 B = -0.2500
-2.5250
3 0.25 2.5250z1 H (z) 3.25 1 0.5z1 1 0.9z1 0.8z2

3.0000
0
A = 1.0000 0.9000 0.8000

1.0000 -0.5000
0
并联型结构仿真模型
例9-2用级联型结构实现以下系统函数
H (z)

4( z 1)( z 2 1.4 z 1) ( z 0.5)( z 2 0.9 z 0.8)
级联型结构的仿真建模
x(n)
y(n)
3.并联型结构
H (z)

A0

N1
Ak
k1 1 k z1

N2 k 1
的任何位置。其中H(z)为：
M
bi zi
H (z)
i0 N
1 ai zi
i0
本章只考虑无反馈情况（没有输出到输入的反馈）即
ai=0。（若结构为频率抽样则包含反馈即有递归部分
）其差分方程为
N 1
y(n) h(n)x(n m)
m0
1.直接型（卷积型、横截型结构）
y(n)
y(n) x(ny) (nh)(n)x(nY) (ehj(n)) X (e j) H (e j)
常系数线性差分方程与系统函数
假设常系数线性差分方程的一般形式为：
M
N
y(n) bk x(n k) ak y(n k)
k 0
k 1
若系统起始状态为零，直接两边取z变换，利用移位
特性 x[n n0 ] zn0 X (z) 得：
M
N
Y (z) bk zk X (z) ak zkY (z)
k 0
k 1
M
M
H (z)
Y (z) X (z)

bk zk
k 0
N
ak zk
bk z k
k0 N 1 ak zk
k 0
k 1
无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的特点： 1）系统的单位冲激响应h(n)无限长； 2）系统函数H(z)在有限z平面内有极点存在； 3）从输出到输入存在反馈环路（回路），即存
在递归型结构。 1.直接型 直接型结构是按照给出的系统差分方程或者系
统函数直接实现的。
例9-1二阶数字滤波器的系统差分方程为：
x(n)
y(n)
9.3有限长单位冲激响应（FIR）滤波 器的结构
特点：
1）系统的单位冲激响应h(n)在有限个n值时不为零； 2）系统函数H(z)在有限z平面中只有零点，全部的极
点都位于z=0处； 3）结构上不存在由输出到输入的反馈，仅在某些实
现结构（例如频率抽样型）中含有反馈的递归部分。
9.1 数字滤波器结构的表示方法
数字滤波器实现的方法： （1）利用计算机编程，即软件实现; （2）数字信号处理器（DSP）,即专用硬件实现。 数字滤波器的系统函数可以表示为：
M
bk z k
H (z)
k 0 N
1 ak z k

Y (z) X (z)
k 1
其中ak和bk都是常量，当ak不等于0时，有反馈环路是 递归型结构。若ak=0则没有反馈，称为非递归结构。
H
(z)

6z3 1.6z2 (z 0.5)(z2