第九讲MATLAB在信号处理中的应用二

收敛域：

| x(n)zn | M
n
即只要满足绝对可和的条件该级数收敛。
本章我们只讲右边序列即无限长序列左边为0.

X (z) x(n)zn
n0
滤波器：所谓的滤波器是指对输入信号起滤波的作用 的装置。为了处理信号，必须设计和实现称之为滤波
器（在某些领域或称为频谱分析仪）的各种系统。滤
信号流图
x(n) h(0)
y(n)
Z-1 h(1)
x(n)
Z-1 Z-1 Z-1 Z-1
Z-1 h(2) Z-1 h(N-1) Z-1 h(N)
转置定理 h(0) h(1)
h(N-1) h(N)
y(n)
FIR滤波器的直接型结构
FIR滤波器的直接型结构
举例
例9-5一FIR滤波器由下面的系统函数给出（要求画出 信号流图、方框图与仿真模型）： H (z) 116z4 z8
波器设计受到它的类型（IIR或FIR）和实现结构等因
素的影响。所以有必要了解滤波器是如何实现的。当
输入、输出是离散信号，滤波器的冲激响应是单位抽
样响应 h（n）时，这样的滤波器称作数字滤波器（
Digital Filter，DF ）。DF是由差分方程来描述的一 种特殊的离散时间系统。
x(n) h(n)
直接型 FIR滤波器 仿真模型
x(n)
y(n)
2.级联型结构
级联型结构是把系统函数H(z)分解为二阶因式，然后将各阶 因式以级联链接方式实现。
例如采用级联结构实现例3-10
将系统函数进行分解，分解成：
H(z) (1 2.8257z1 3.9921z2)(1 2.8257z1 3.9921z2)
z 1 z 1

2k 2k
z 2 z 2
一般用直接II型（典范型）表示
x(n)
y(n)
a1k
z-1 β1k
a2k
z-1 β2k
用多个二阶节级联表示滤波器系统
x(n) a11 z-1 β11 a21 z-1 β21
a12 z-1 β12 a22 z-1 β22
…...
y(n)
a1Mz-1 β1M a2Mz-1 β2M
1
2
5
3

方框图
信号流图
4
其中1,2,3,4,5称为网络节点，x(n)为输入节点（源节点），y(n)
处为输出节点（阱节点）节点之间用有向支路相连接，任一节点
的节点值等于它的所有输入支路的信号之和。而输入支路的信号
值等于这一支路起点处节点信号值乘以支路上的传输系数。如果
支路上不标注传输系数值，则认为其传输系数为1。
的任何位置。其中H(z)为：
M
bi zi
H (z)
i0 N
1 ai zi
i0
本章只考虑无反馈情况（没有输出到输入的反馈）即
ai=0。（若结构为频率抽样则包含反馈即有递归部分
）其差分方程为
N 1
y(n) h(n)x(n m)
m0
1.直接型（卷积型、横截型结构）
有限长单位冲激响应滤波器的主要实现结构有直接型 、级联型、线性相位型等。
FIR的系统函数及差分方程
设FIR滤波器的单位冲激响应h(n)为一个N点序列，
0<=n<=N-1，则滤波器的系统函数为：
N 1
H (z) h(n)zn
n0
即它有N-1阶极点在z=0处，有N-1个零点位于有限z平面
b M+1 z-1 bM z-1
直接II型
直接II型仿真模型对应的信号流图
MATLAB提供了专门求离散系统单位响应，并绘 制其时域波形的函数impz()（数字滤波器冲激响应
），该函数有以下几种调用格式： impz(b,a) %以默认格式绘制向量a和b定义的离
散系统的单位响应 impz(b,a,n) %绘制0~n时间范围内的单位响应波形 impz(b,a,n1:n2) %绘制n1~n2时间范围内的单位
y(n)
y(n) x(ny) (nh)(n)x(nY) (ehj(n)) X (e j) H (e j)
常系数线性差分方程与系统函数
假设常系数线性差分方程的一般形式为：
M
N
y(n) bk x(n k) ak y(n k)
k 0
k 1
若系统起始状态为零，直接两边取z变换，利用移位
1）将全部路径箭头方向颠倒过来。 2）将全部支路节点用加法器替换，将全部加
法器节点替换成支路节点。
3）将输入和输出节点交换。
所得的结构称为转置直接型结构，即直接II型
x(n) b0 z-1 b1 z-1 b2
y(n) x(n)
b0 y(n)
a1
z-1
a1
z-1 z-1 b1
a2 z-1 对调
0k 1k z1 1 1k z1 2k z2
A0
其实现结构为：
A1
x(n)
a1 AN1
z-1
...
a11 a21
a1N2 a2N2
aN1
z-1
β01 z-1
z-1 β11 β0N2
z-1 z-1 β1N2
y(n)
例9-3用并联型结构实现以下用系统函数表示为IIR滤
波器。
第九讲 MATLAB在信号处理中的
应用（二）
1
主要内容
9.1 数字滤波器结构的表示方法 9.2 无限长单位冲激响应（IIR）滤波器 9.3 有限长单位冲激响应（FIR）滤波器
2
Z变换
信号与系统的变换域分析
连续时间信号与系统：拉普拉斯变换和傅里叶 变换
离散时间信号与系统：z变换和离散时间傅里 叶变换
例9-2用级联型结构实现以下系统函数
H (z)

4( z 1)( z 2 1.4 z 1) ( z 0.5)( z 2 0.9 z 0.8)
级联型结构的仿真建模
x(n)
y(n)
3.并联型结构
H (z)

A0

N1
Ak
k1 1 k z1

N2 k 1
H
(z)

6z3 1.6z2 (z 0.5)(z2
4.8z 1.3 0.9z 0.8)
法一：分解为： 1 z1
1 1.4z1 z2
H (z) 4 1 0.5z1 1 0.9z1 0.8z2
并联型结构仿真模型
x(n)
y(n)
例9-4用并联型结构实现以下用系统函数表示为IIR滤
波器。
H (z) 6z3 1.6z2 4.8z 1.3 (z 0.5)(z2 0.9z 0.8)
法二：解：自定义函数文件dir2par(b,a).m
>>b=[6 1.6 4.8 -1.3];a1=[1 -0.5];a2=[1 0.9 0.8]; a=conv(a1,a2)
>> [C,B,A]=dir2par(b,a)
特性 x[n n0 ] zn0 X (z) 得：
M
N
Y (来自百度文库) bk zk X (z) ak zkY (z)
k 0
k 1
M
M
H (z)
Y (z) X (z)

bk zk
k 0
N
ak zk
bk z k
k0 N 1 ak zk
k 0
k 1
a2 z-1 z-1 b2
b M+1 z-1 bM
a N-1
aN
z-1
a N-1 aN
z-1 z-1
b M+1 bM
x(n)
a1 a2 a N-1
aN
z-1 z-1 z-1 z-1
z-1 z-1
b0 b1 b2
b M+1 bM
x(n)
合并
a1
a2
a N-1 aN
b0 y(n) z-1 b1 z-1 b2
分支节点：只有一个输入，一个输出或多个输出。如2,3,4。
相加器：有两个或两个以上的输入。如1,5。
1
2
5
3
4 y(n) w2 (n) w1(n)
w2(n) y(n) w3(n) w2(n 1) y(n 1)
y(n) w2 (n) w1(n)
w4(n) w3(n 1) y(n 2)
C = 3.2500 B = -0.2500
-2.5250
3 0.25 2.5250z1 H (z) 3.25 1 0.5z1 1 0.9z1 0.8z2

3.0000
0
A = 1.0000 0.9000 0.8000

1.0000 -0.5000
0
并联型结构仿真模型
特点： 1）由于这种结构所需的系数比直接型多，所需乘法运算也 比直接型多，很少用。 2）由于这种结构的每一节控制一对零点，因而在需要控制 传输零点时用。
y(n) 1 y(n 1) 1 y(n 2) x(n) x(n 1) x(n 2)
3
4
试构造它的直接型I型和直接II型方框图，并观测它们
的单位冲激响应。
x(n)
y(n)
H(Z)
直接I型仿真模型对应的信号流图
转置定理
如果将线性时（移）不变网络中所有支路方向 倒转，并将输入x(n)和输出y(n)相互交换，则 其系统函数H(z)不改变。
无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的特点： 1）系统的单位冲激响应h(n)无限长； 2）系统函数H(z)在有限z平面内有极点存在； 3）从输出到输入存在反馈环路（回路），即存
在递归型结构。 1.直接型 直接型结构是按照给出的系统差分方程或者系
统函数直接实现的。
例9-1二阶数字滤波器的系统差分方程为：
9.1 数字滤波器结构的表示方法
数字滤波器实现的方法： （1）利用计算机编程，即软件实现; （2）数字信号处理器（DSP）,即专用硬件实现。 数字滤波器的系统函数可以表示为：
M
bk z k
H (z)
k 0 N
1 ak z k

Y (z) X (z)
k 1
其中ak和bk都是常量，当ak不等于0时，有反馈环路是 递归型结构。若ak=0则没有反馈，称为非递归结构。
Z变换的作用和数字滤波器的功能类似：将输 入信号通过一定的运算变化成输出序列，它把 描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方 程。
Z变换定义
若序列为x(n),则幂级数

X (z) x(n)zn
n
称为序列x(n)的z变换，其中z为变量,它表示z平面，用极
坐标表示为：z re j 。
w5(n) a1w3(n) a2w4(n) a1y(n 1) a2 y(n 2)
w1(n) b0x(n) w5(n) b0x(n) a1y(n 1) a2 y(n 2)
y(n) b0 x(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2)
9.2无限长单位冲激响应滤波器
title('单位脉冲响应')
xlabel('Time(s)')
axis([0,10,-3,3])
2.级联型结构
级联型结构是把系统函数H（z）进行因式分解为较低 的二阶节，然后将系统函数表示成二阶节的乘积，其 中每个二阶节用直接II型结构实现。
H
(z)

1 1k 1 1k
响应波形 y=impz(b,a,[n1:n2]) %并不绘制波形，而是求出单
位响应的数值解
将差分方程化简为：
y(n) 1 y(n 1) 1 y(n 2) x(n) x(n 1) x(n 2)
3
4
a=[1 -1/3 -1/4];
b=[1 1 1];
impz(b,a,[0:10])
(1 0.7078z1 0.2505z2)(1 0.7078z1 0.2505z2)
x(n)
1
1
1
y(n)
z-1 2.8257 z-1 3.9921
z-1 -2.825
z-1 -0.7078
…...
z-1 3.9921 z-1 0.2505
FIR 级联型仿真模型
x(n)
y(n)
补充知识
实现数字滤波器的基本运算单元

单位延时
z-1
a
常数乘法器
加法器 这些单元有两种表示法： 1）方框图 2）信号流图
x(n) z-1
x(n-1)
x(n) a
ax(n)
x1(n)
x1(n)+x2(n)
x2(n)
方框图与信号流图
若二阶数字滤波器表示为：y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) b0x(n)
x(n)
y(n)
9.3有限长单位冲激响应（FIR）滤波 器的结构
特点：
1）系统的单位冲激响应h(n)在有限个n值时不为零； 2）系统函数H(z)在有限z平面中只有零点，全部的极
点都位于z=0处； 3）结构上不存在由输出到输入的反馈，仅在某些实
现结构（例如频率抽样型）中含有反馈的递归部分。