人教版八年级下期数学17.1 第1课时 勾股定理 (3)

a b
ac b
证明：
b ca
cb
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× 1 ab+c2
2
=c2+2ab，
a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2.
【变式题2】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜 边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
AB C
一直角边2 + 另一直角边2 = 斜边2
问题3 在网格中一般的直角三角形，以它的三边为 边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关 系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
C A
B
C A
B
这两幅图中A,B的 面积都好求，该 怎样求C的面积呢？
方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边 都在网格线上的正方形）：
据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股 定理的图形(如图).
很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他 们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化 的民族和国家都对勾股定理有所了解.
勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人 看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明 了这关系，下面让我们一起来通过视频来了解吧：
.
4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长
的平方为__7_4_或__2_4__.
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三 角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， ∴ x=±8（负值舍去）， ∴另一直角边长为8 cm，
能力提升： 7.如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直
角三角形．若斜边AB＝3，求△ABE及阴影部分的面积.
解：∵AE＝BE，
∴S△ABE＝
1 2
AE·BE＝
1 2
AE2.
又∵AE2＋BE2＝AB2，
∴2AE2＝AB2，
∴S△ABE＝
1 4
AB2＝
9 4
；
同理可得S△AHC＋S△BCF＝ 1 又∵AC2＋BC2＝AB2， 4
c2 4 1 ab b a2 a2 b2.
2
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪 明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被 选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的 直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系 后证明吧.
AC2＋ 1
4
BC2.
∴阴影部分的面积为
1 2
AB2＝ 9 .
2
a
b
c
证明：
S梯形
1 (a 2
b)(a
b),
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 c2, 2
c a
∴a2 + b2 = c2.
b
归纳总结
勾股定理
ac
如果直角三角形的两直角边长分 别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
b 在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理， 或百牛定理.
公式变形： a c2 - b2 ,
讲授新课
一 勾股定理的认识及验证 我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去
他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖 铺成的地面（如图）：
问题1 试问正方形A、B、 C面积之间有什么样的数 量关系？
AB
S正方形A S正方形B S正方形C
C
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角 形三边之间有什么特殊关系？
例2 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.
解：由勾股定理可得
A
AB2=AC2+BC2=25， 即 AB=5.
D 3
根据三角形面积公式，
∴ ∴
C12DA=C1×2B. C=
1 2
AB×CD.
C
4
Baidu Nhomakorabea
B
5
归纳 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角 边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联 合使用．
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
C A
B
C A
B
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之 间有怎样的特殊关系？
由上面的几个例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，
斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面
积为 36 cm².
8 cm
10 cm
3.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c= 17 .
（2）若c=13，b=12，则a= 5
直角三角形的面积是
(cm2).
6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°， AD=1，求△ABC的周长．
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°． 在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°， ∴∠B=∠BAD=45°， ∴BD=AD=1，∴AB= 2 ． 在Rt△ADC中，∵∠C=30°， ∴AC=2AD=2， ∴CD= 3 ，∴BC=BD+CD=1+ 3 ， ∴△ABC的周长=AB+AC+BC= 2 3 3 ．
练一练
求下列图中未知数x、y的值：
81 x
144
解：由勾股定理可得 81+ 144=x2，
解得x=15.
144 y
169
解：由勾股定理可得 y2+ 144=169，
解得 y=5
当堂练习
1.下列说法中,正确的是
（C）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C A
B
C A
B
左图： 右图：
SC
55
4
1 2
2 3
13
SC
7
7
4
1 2
4
3
25
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易 求出面积的三角形和四边形）：
C A
B
C A
B
左图：
SC
4
1 2
2 3
11 13
右图：
SC
4
1 2
4 3
11
25
你还有其他 办法求C的 面积吗？
（1）若a=b=5,求c;
B
（2）若a=1,c=2,求b.
解：(1)据勾股定理得
C
A
c a2 b2 52 52 50 5 2;
(2)据勾股定理得
b c2 a2 22 12 3.
【变式题1】在Rt△ABC中， ∠C=90°. （1）若a：b=1：2 ，c=5,求a; （2）若b=15，∠A=30°,求a,c. 解：(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得
x2+(2x)2=52，解得 x 5，a 5 .
(2) A 30,b 15 , c 2a . 因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152， 解得 x 5 3 . a 5 3 ，c 10 3 .
归纳 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两 边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方 程求解.
边的平方.
ac
b 下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以 前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所 拼的图形证明命题吧.
b
a
c
b
a
c
a
b
cb a b-a
赵爽弦图
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
b c2 - a2 ,
a、b、c为正数
c a2 b2
小贴士
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分 称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直 角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边 称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
勾2+股2=弦2
二 利用勾股定理进行计算
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
学习目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体 会数形结合的思想.（重点）
2.会用勾股定理进行简单的计算 .（难点）
导入新课
情景引入 其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世 界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人 类的语言、音乐、各种图形等.