复变函数与积分变换重要知识点归纳

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复变函数与积分变换重点公式归纳

复变函数与积分变换复习提纲第一章复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。

二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。

掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=ΛΛ1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。

1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。

4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值（2）复平面上处处解析（3）周期性（4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。

复变函数与积分变换知识点总复习

解析函数 f (z) 的导数仍为解析函数, 它的 n阶
导数为:
f
(n)
( z0
)
n! 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,)
其中C 为在函数 f (z) 的解析区域 D内围绕 z0 的
任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于 D.
8.调和函数与解析函数的关系
调和函数
满足 Laplace
但u iv不是解析函数。
证明：
因为 u x
2x,
2u x 2
2,
u y
2 y,
2u y 2
2,
2u 2u 2 2 0,所以，u是调和函数。 x2 y2
同理 2v 6x2 y 2y3 , 2v 6x2 y 2y3 , x2 (x2 y2 )3 y2 (x2 y2 )3
2v x 2
解：u(x, y) a ln(x2 y2 ),v(x, y) arct an y ,则 x
u 2ax , u 2ay , v y , v x , x x2 y2 y x2 y2 x x2 y2 y x2 y2 在区域x 0内连续，且 u v , v u 在区域x 0上成立时，2a 1, x y x y 即，当a 1 时，函数f (z)在区域x 0内是解析的。
Байду номын сангаас
而 u y2, u 2xy, v 2xy, v x2,在复平面上
x
y
x
y
处处连续，当x y 0时满足C R方程，
故f (z)仅在(0,0)点可导，在复平面上处处不解析。
2）因为f (z) x2 iy,则u(x, y) x2, v(x, y) y,

复变函数与积分变换重点公式归纳

复变函数与积分变换重点公式归纳复变函数与积分变换复习提纲第⼀章复变函数⼀、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== ⼆、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第⼆章解析函数⼀、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。

⼆、柯西——黎曼⽅程掌握利⽤C-R ⽅程-==x yyx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。

掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=??=+=??=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数⽅程的求解。

1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n n er z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平⾯上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1iz 2sin --=性质：（1）单值（2）复平⾯上处处解析（3）周期性（4）⽆界5、反三⾓函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+== 反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。

复变函数与积分变换重点公式归纳

二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。

掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。

复变函数与积分变换复习重点

复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。

(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。

2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。

复变函数与积分变公式汇总

复变函数复习重点 (一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示 1）模：22z x y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctanyx 之间的关系如下：当0,x >arg arctany z x =；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z x ππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。

(二) 复数的运算 1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法： 1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x i y x i y z x i y x x y y y x y x i z x i y x i y x i y x y x y+-++-===+++-++。

2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。

复变函数和积分变换重要知识点归纳

.WORD.格式.复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。

2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。

复变函数及积分变换重点公式归纳

复变函数及积分变换重点公式归纳复变函数是指定义在复数域上的函数，其自变量和函数值都是复数。

复变函数可以表示为两个实变量的函数，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)是实变量的函数。

复变函数的积分变换是指对复变函数进行积分变换，得到新的复变函数。

在复变函数的积分变换中，有一些重要的公式需要归纳，包括：1.度量公式：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其微分形式为dz=dx+idy。

根据度量公式，有dx=\frac{1}{2}(dz+d\bar{z})，dy=\frac{1}{2i}(dz-d\bar{z})。

2.柯西-黎曼方程：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，满足柯西-黎曼方程的充要条件是u_x=v_y和u_y=-v_x。

3.柯西-黎曼积分定理：对于一个闭合曲线C，如果复变函数f(z)在C内解析（即在C内柯西-黎曼方程成立），那么有\oint_C f(z)dz=0。

4.柯西积分公式：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西积分公式为\oint_C \frac{f(z)}{z-a} dz=2\pi i f(a)，其中C是D内包围点a 的闭合曲线。

5.柯西积分公式的推广：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西积分公式的推广形式为\oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^n} dz=2\pi i \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}，其中C是D内包围点a的闭合曲线。

6.柯西积分公式的应用：柯西积分公式可以用于计算复变函数的积分，如计算围道上的积分或者在无穷远处的积分等。

7.柯西主值公式：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西主值公式为\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-a} dz=PV\frac{1}{2\pii}\int_C \frac{f(z)}{z-a} dz=PVf(a)+\frac{1}{2}f(a)，其中PV表示柯西主值。

复变函数与积分变换复习重点

复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：22zx y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。

2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。

复变函数与积分变换重点公式归纳

二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。

掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。

复变函数与积分变换重点公式归纳

二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==x yyx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。

掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。

1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n n er z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。

4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值（2）复平面上处处解析（3）周期性（4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+== 反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。

复变函数及积分变换重点公式归纳

复变函数与积分变换复习提纲第一章复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+==二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。

二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==x yyx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。

掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。

1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n n er z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。

4、三角函数：2cos iz iz e e z -+=ie e z iziz 2sin --= 性质：（1）单值（2）复平面上处处解析（3）周期性（4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+== 反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。

复变函数与积分变换知识点总结

复变函数与积分变换知识点总结复变函数与积分变换是数学中重要的概念和工具，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

复变函数是指定义在复平面上的函数，具有复数作为自变量和函数值，积分变换是指通过对函数进行积分操作来获得新的函数。

本文将对复变函数与积分变换的相关知识进行总结，包括复变函数的定义与性质、积分变换的定义与性质、常见的复变函数以及常见的积分变换。

一、复变函数的定义与性质1. 复变函数的定义：复变函数是指定义在复平面上的函数，具有复数作为自变量和函数值。

一般来说，复变函数可以写成f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy表示复平面上的点，u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部函数。

2.复变函数的性质：（1）连续性：复变函数在复平面上连续，当且仅当实部和虚部函数分别在该点连续。

（2）可微性：复变函数在复平面上可微，当且仅当实部和虚部函数具有一阶连续偏导数，并满足复合函数的求导法则。

（3）调和函数：实部和虚部函数都是二阶偏导数连续的函数，若满足拉普拉斯方程△u=0，则称u(x,y)为调和函数。

二、积分变换的定义与性质1. 积分变换的定义：积分变换是一种将函数通过积分操作转换为另一种函数的方法。

一般来说，积分变换可以写成F(s)=∫f(t)e^(-st)dt，其中s为复变量，f(t)为原函数。

2.积分变换的性质：（1）线性性：积分变换具有线性性质，即对于常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有积分变换[a*f(t)+b*g(t)](s)=a*F(s)+b*G(s)。

（2）平移性：若对于函数f(t)，其积分变换为F(s)，则e^(at)*f(t)的积分变换为F(s-a)。

（3）卷积性：若函数f(t)和g(t)的积分变换分别为F(s)和G(s)，则f(t)*g(t)的积分变换为F(s)*G(s)。

三、常见的复变函数1. 复指数函数：复指数函数的表达式为e^(z)=e^(x+iy)=e^x*cos(y)+ie^x*sin(y)，其中x和y分别是实部和虚部。

复变函数与积分变换重点公式归纳

复变函数与积分变换重点公式归纳复变函数是指变量为复数的函数，可以表示为f(z)=u(x, y)+iv(x, y)，其中z=x+iy，u(x, y)和v(x, y)为实数函数。

复变函数与实变函数（实数域上的函数）相比较，具有一些独特的性质和变换。

复变函数的基本性质有：1. 复变函数的可导性：复变函数的可导性与实变函数的可导性略有不同。

如果f(z)=u(x, y)+iv(x, y)在域D上的偏导数u_x、u_y、v_x、v_y都存在，并且满足柯西-黎曼方程（u_x=v_y，u_y=-v_x），则f(z)在D上可导。

2. 柯西-黎曼方程：对于复变函数f(z)=u(x, y)+iv(x, y)，满足柯西-黎曼方程的函数可以表示为全纯函数，也即f'(z)=u_x+iv_x存在。

复变函数的积分变换（Integral Transform）是通过对函数进行积分变换，得到新的函数表示形式。

常见的复变函数积分变换包括拉普拉斯变换、傅里叶变换、反傅里叶变换、正变换等。

以下是复变函数积分变换中的一些重点公式：1. 拉普拉斯变换（Laplace Transform）拉普拉斯变换将函数f(t)变换为F(s)（s为复数变量）的形式，公式表示为：F(s) = ∫[0,∞] e^(-st)f(t) dt2. 逆拉普拉斯变换（Inverse Laplace Transform）逆拉普拉斯变换将函数F(s)变换为f(t)的形式，公式表示为：f(t) = 1/2πi ∫[-i∞, i∞] e^(st)F(s) ds3. 傅里叶变换（Fourier Transform）傅里叶变换将函数f(t)变换为F(ω)（ω为频率）的形式，公式表示为：F(ω) = ∫[-∞,∞] e^(-iωt)f(t) dt4. 反傅里叶变换（Inverse Fourier Transform）反傅里叶变换将函数F(ω)变换为f(t)的形式，公式表示为：f(t)=1/2π∫[-∞,∞]e^(iωt)F(ω)dω5. 正变换（Forward Transform）正变换是指从时域到频域的变换，例如：拉普拉斯变换、傅里叶变换等。

复变函数与积分变换重要知识点归纳

复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：22zx y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x >arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。

(二)复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。

2）若121122,i i z z e z z e θθ==,则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。

复变函数与积分变换重要知识点归纳(1)

复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下：当0,x > arg arctan yz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。

2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=。

复变函数与积分变换复习重点

复变函数与积分变换复习重点复变函数和积分变换是高等数学中的重要内容，它们在数学和工程学科中有着广泛的应用。

本文将对复变函数和积分变换的复习重点进行介绍，以帮助读者更好地理解和掌握这部分知识。

一、复变函数：复变函数是指定义在复数域上的函数。

在复变函数的研究中，我们经常涉及到复数的代数运算、复数平面、复变函数的连续性、全纯函数以及留数定理等概念。

1. 复数的代数运算：复数具有加法和乘法运算，复数的共轭和模等概念也是我们需要重点掌握的知识点。

2. 复数平面：复数在平面上的表示方法是通过复平面来实现的。

复平面的坐标轴分别表示实部和虚部，而复数则可表示为平面上的一个点。

3. 连续性：与实变函数类似，复变函数也有连续性的概念。

我们需要了解复变函数的连续与不连续点，以及连续性和全纯性之间的关系。

4. 全纯函数：全纯函数是复变函数中的重要概念，它是指在某个区域上处处可导，并且导数也是复变函数的性质。

5. 留数定理：留数定理是复变函数中非常重要的定理之一，它可以帮助我们计算复变函数的积分，通过计算留数可以得到积分的结果。

二、积分变换：积分变换是一种通过积分的方法将一个函数转换为另一个函数的方法。

常见的积分变换有拉普拉斯变换和傅里叶变换。

1. 拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是一种通过积分的方式将函数从时域转换到复频域。

它在控制论、信号处理等领域有着广泛的应用。

2. 傅里叶变换：傅里叶变换是一种将函数从时域转换到频域的方法。

它在信号处理、图像处理等方面具有重要的应用。

在学习积分变换时，我们需要掌握积分变换的定义、性质以及常见函数的变换公式。

同时，还需要了解积分变换的逆变换，以及如何通过积分变换求解微分方程等问题。

总结：复变函数和积分变换是数学中重要的内容，在理论和应用中都有广泛的应用。

本文对复变函数和积分变换的复习重点进行了梳理，希望能够对读者在复习和理解这部分知识时起到一定的帮助。

读者在学习过程中应注重理论与实际的结合，多进行习题练习，并通过实际问题的应用来加深对知识的理解和掌握。

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3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。

2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。

2）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（有n 个相异的值）（三）复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射. 2．复初等函数1）指数函数：()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。

注：z e 是以2i π为周期的周期函数。

（注意与实函数不同） 3）对数函数： ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2)k =±±（多值函数）；主值：ln ln arg z z i z =+。

（单值函数）Lnz 的每一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z平面处处解析，且()1lnz z'=；注：负复数也有对数存在。

（与实函数不同）3）乘幂与幂函数：(0)bbLnaae a =≠；(0)bbLnzze z =≠注：在除去原点及负实轴的z 平面处处解析，且()1b b z bz -'=。

4）三角函数：sin cos sin ,cos ,t ,22cos sin iz iz iz iz e e e e z zz z gz ctgz i z z---+====sin ,cos z z 在z 平面解析，且()()sin cos ,cos sin z z z z ''==-注：有界性sin 1,cos 1z z ≤≤不再成立；（与实函数不同） 4）双曲函数 ,22z z z ze e e e shz chz ---+==；shz奇函数，chz是偶函数。

,shz chz在z平面解析，且()(),shz chz chz shz ''==。

（四）解析函数的概念 1．复变函数的导数1）点可导：()0f z '=()()000lim z f z z f z z∆→+∆-∆； 2）区域可导： ()f z 在区域点点可导。

2．解析函数的概念1）点解析： ()f z 在0z 及其0z 的邻域可导，称()f z 在0z 点解析； 2）区域解析： ()f z 在区域每一点解析，称()f z 在区域解析； 3）若()f z 在0z 点不解析，称0z 为()f z 的奇点；3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1．函数可导的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在z x iy =+可导⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 可微，且在(),x y 处满足C D -条件：,u vu vx yy x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 此时，有()u v f z i xx∂∂'=+∂∂。

2．函数解析的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在区域解析⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 在D可微，且满足C D-条件：,u vu vx yy x∂∂∂∂==-∂∂∂∂；此时()u v f z i xx∂∂'=+∂∂。

注意：若()(),,,u x y v x y 在区域D 具有一阶连续偏导数，则()(),,,u x y v x y 在区域D 是可微的。

因此在使用充要条件证明时，只要能说明,u v 具有一阶连续偏导且满足C R -条件时，函数()f z u iv =+一定是可导或解析的。

3．函数可导与解析的判别方法1）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1） 2）利用充要条件（函数以()()(),,f z u x y iv x y =+形式给出，如第二章习题2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。

（函数()f z 是以z 的形式给出，如第二章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质1．复变函数积分的概念：()()1lim nk k c n k f z dz f z ξ→∞==∆∑⎰，c 是光滑曲线。

注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。

2．复变函数积分的性质 1） ()()1c cf z dz f z dz -=-⎰⎰ （1c -与c 的方向相反）；2） ()()()()[],,c c c f z g z dz f z dz g z dz αβαβαβ+=+⎰⎰⎰是常数； 3）若曲线c 由1c 与2c 连接而成，则()()()12c c c f z dz f z dz f z dz =+⎰⎰⎰。

3．复变函数积分的一般计算法1）化为线积分：()c c c f z dz udx vdy i vdx udy =-++⎰⎰⎰；（常用于理论证明） 2）参数方法：设曲线c ： ()()z z t t αβ=≤≤，其中α对应曲线c 的起点，β对应曲线c 的终点，则 ()()[]()c f z dz f z t z t dt βα'=⎰⎰。

（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1．柯西—古萨基本定理：设()f z 在单连域B 解析，c 为B 任一闭曲线，则()0cf z dz =⎰2．复合闭路定理：设()f z 在多连域D 解析，c 为D 任意一条简单闭曲线，12,,n c c c 是c 的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以12,,n c c c 为边界的区域全含于D ，则① ()cf z dz ⎰()1,knk c f z dz ==∑⎰ 其中c 与k c 均取正向；② ()0f z dz Γ=⎰，其中Γ由c 及1(1,2,)c k n -=所组成的复合闭路。

3．闭路变形原理：一个在区域D 的解析函数()f z 沿闭曲线c 的积分，不因c 在D 作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c 不经过使()f z 不解析的奇点。

4．解析函数沿非闭曲线的积分：设()f z 在单连域B 解析，()G z 为()f z 在B 的一个原函数，则()()()212112(,)z z f z dz G z G z z z B =-∈⎰说明：解析函数()f z 沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。

5。

柯西积分公式：设()f z 在区域D 解析，c 为D 任一正向简单闭曲线，c 的部完全属于D ，0z 为c 任意一点，则()()002c f zdz if z z z π=-⎰6．高阶导数公式：解析函数()f z 的导数仍为解析函数，它的n 阶导数为()()()0102(1,2)()!n n cf z i dz f z n z z n π+==-⎰其中c 为()f z 的解析区域D 围绕0z 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的部完全属于D 。

7．重要结论：12,010,()n ci n dz n z a π+=⎧=⎨≠-⎩⎰。

（c 是包含a 的任意正向简单闭曲线）8．复变函数积分的计算方法1）若()f z 在区域D 处处不解析，用一般积分法()()()[]c f z dz f z t z t dt βα'=⎰⎰2）设()f z 在区域D 解析，● c 是D 一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，()0c f z dz =⎰ ● c 是D 的一条非闭曲线，12,z z 对应曲线c 的起点和终点，则有()()()()2121z cz f z dz f z dz F z F z ==-⎰⎰3）设()f z 在区域D 不解析 ●曲线c 仅有一个奇点：()()()()()0001022()!cn n c f z dz i f z z z f z i dz f z z z n ππ+⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩⎰⎰（()f z 在c 解析） ● 曲线c 有多于一个奇点：()cf z dz ⎰()1knk c f z dz ==∑⎰（i c 只有一个奇点k z ）或：()12Re [(),]nk k cf z dz i s f z z π==∑⎰（留数基本定理）● 若被积函数不能表示成()1()n o f z z z +-，则须改用第五章留数定理来计算。

（八）解析函数与调和函数的关系1．调和函数的概念：若二元实函数(,)x y ϕ在D 有二阶连续偏导数且满足22220x yϕϕ∂∂+=∂∂，(,)x y ϕ为D 的调和函数。

2．解析函数与调和函数的关系● 解析函数()f z u iv =+的实部u 与虚部v 都是调和函数，并称虚部v为实部u 的共轭调和函数。

● 两个调和函数u 与v 构成的函数()f z u iv =+不一定是解析函数；但是若,u v 如果满足柯西—黎曼方程，则u iv +一定是解析函数。