第四节 有理函数的不定积分
[不定积分公式]不定积分公式总结
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[不定积分公式]不定积分公式总结篇一 : 不定积分公式总结1不定积分小结一、不定积分基本公式xa+11?xdx=+Ca??1 ?dx=ln|x|+Ca?adx=+C ?sinxdx=?cosx+C lna?cosxdx=sinx+C ?tanxdx=?ln|cosx|+C?cotxdx=ln|sinx|+C ?secxdx=ln|secx+tanx|+C?cscxdx=ln|cscx?cotx|+C ?sec2xdx=tanx+C ?csc2xdx=?cot x+C ???dxdx 1xdx1+x2dxxax=arctanx+C1a?x=aarctana+C ?x?a=2aln|a+x+C x+a=2aln|a?x|+C ?a?x1a+x=arcsin??+??=ln|??+??????|+??=arcsin??+?? ??2xax??a2?x2dx=?a2?x2+arcsin+C2xa??dx=??ln|??+?+??二、两个重要的递推公式 ????=??????????????? ?cos???????????1?????1 则????=+?????2易得????:n为奇数时，可递推至D1=?sinxdx=?cosx+C; n为偶数时，可递推至D2=?sin2xdx=2?????????=?1??2???1则????+1=+????易得????可递推至??1=?x+a=aarctana+Cdx1xxsin2x4+C;2三、普遍方法换元积分法:第一类换元积分法这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。
[,首先我们来看一下最常见的一类有理函数的例子x例1: 注意到分母根号下为二次，其导数为一次，而分子正好就是一次，通过凑微分和配方可以得到解决。
x=11?+1d11=?+ 1=??5+x?x+dx2??xx3dx ?dx=?1242d1d1=???后面套公式就好啦21?dx dx1dxd?=?=? 例3:?31d?=arctan+C 2+tan2x接下来举几个我们可能不太熟悉的例子，不容易凑成微分。
4.1.4有理函数的积分
( x 2 + px + q ) n
前面三种积分已在例题中介绍了它们的解法， 前面三种积分已在例题中介绍了它们的解法，最后 已在例题中介绍了它们的解法
一种积分方法较繁，可查阅积分表中的公式. 一种积分方法较繁，可查阅积分表中的公式. 中的公式
dx
1 2x + 2 1 dx + ∫ dx = ∫ 2 x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 2
1 d( x 2 + 2 x + 2) d ( x + 1) = ∫ +∫ 2 2 x + 2x + 2 ( x + 1) 2 + 1 2
1 = ln x 2 + 2 x + 2 + arctan( x + 1) + C . 2
二、三角函数有理式的积分
1．三角函数有理式
由常数和三角函数经过有限次四则运算所得到的函数
称为三角函数有理式， 表示. 称为三角函数有理式，可用 R(sin x , cosx ) 表示. 三角函数有理式
2．半角代换法
2 R(sinxx= t cos则 dx 可用半角代换法化为有理函数的积分. , ， x ) x =可用半角代换法化为有理函数的积分. 2arctant ， dx = dt ， 令 tan
(t + 1)2 t 2 + 2t + 1 令 x − 1 = t, dx = d t dx ②∫ ∫ t 20 dt = ∫ t 20 dt ( x − 1)20
x2
t −17 t −18 t −19 − − +C = ∫ (t −18 + 2t −19 + t −20 )dt = − 17 9 19 1 1 1 =− − − +C . 17 18 19 17( x −1) 9( x −1) 19( x −1)
第4章不定积分
第4章不定积分一元函数积分学是一元函数微积分学的另一重要组成部分，包括不定积分，定积分和定积分的应用•不定积分的概念是由研究导数问题的逆问题而引入的，定积分的概念则是由研究微小量的无限累加问题而引入•这是一元函数积分学的两个基本问题，它们似乎互不相干，却可以通过微积分基本公式密切地联系起来.本章介绍不定积分的基本概念、性质及求不定积分的基本方法.§ 1不定积分的概念一、原函数的概念已知一个函数，求它的导数或微分，是微分学所研究的最基本的问题•在许多实际应用中，还会碰到它的逆问题•例如，从微分学知道，若已知曲线方程为y二f (x)，则可求出该曲线在任一点(x, f(x))处切线的斜率f(X).现假设知道某一曲线上在任一点处切线斜率为2x，且曲线经过原点，则如何求出此曲线方程？又如，若作变速直线运动的质点的位置函数为s =s(t)，则质点在任一时刻的瞬时速度为s (t).现若知道从静止状态开始作变速直线运动的质点在时刻t的瞬时速度为at，则如何求出它的位置函数s = s(t) ?以上两个例子，研究对象虽属于不同范畴，但本质上都是已知某一函数的导数，要求该函数表达式的问题.为了解决这类问题，我们引入原函数的概念.定义1设f (x)是定义在区间I (有限或无穷)上的已知函数，如果存在函数F(x), 使得对区间I上任一点x，恒有F (x)二f (x)或dF (x)二f (x)dx ,则称F(x)是f (x)在区间I上的一个原函数.1 1例如，当(-1,1)时，因为(arcsin x)：一-------- ，所以arcsinx是在区间J l-x2穴(-1,1)上的一个原函数.当X，(」：，=)时，因为(X2T=2X，所以X2是2x在(」：，=)上的一个原函数.当x • (—□•：：)时，因为(x2 1) = 2x，所以X21是2X在(-：：,•：：) 上的一个原函数•从上述后面两个例子可见，2X的原函数是不唯一的.一般地，若F(x)是f (X)在区间I上的一个原函数，由于常数的导数是零，所以对任意常数C，F(X) C也是f (X)在区间I上的一个原函数•因此，如果函数 f (X)存在原函数，则它的原函数必有无穷多个•为此需要讨论两个问题：(1 )一个函数满足什么条件才有原函数？(2)如果函数f(x)有原函数，它的无穷多个原函数相互之间有什么关系？对于上述两个问题，我们有以下两个结论：定理1 (原函数存在定理) 如果函数在某区间上连续，那么它在该区间上必定存在原函数.简单的叙述是：连续函数必定有原函数. 定理的证明将在下一章给出. 需要指出的是，因为一切初等函数在其定义区间上都是连续的，所以每个初等函数在其定义区间上都有原函数.定理2 (原函数族定理) 若F(x)是f (x)在某区间上的一个原函数，则F(x) • C是f (X)在该区间上的全部原函数，其中C是任意常数.证一方面，由于F(X)是f (X)的一个原函数，即F (x)二f (x) •因此对任意常数C , I.F(X)C\ - f (X)，即F(X) C 都是f (X)的原函数.另一方面，若G(X)是f (X)的任意一个原函数，即G(x)二f(x)，则由第3章§ 1定理2的推论2可得，G(X)与F(x)最多相差一个常数，即G(X HF(X) C •由以上两个方面可得，F(x)是f (X)在该区间上的全部原函数，其中C是任意常数.证毕.二、不定积分的概念定义2设F(X)是f (X)在区间I上的一个原函数，贝U F(X) C ( C是任意常数)称为f (X)在区间I上的不定积分，记为.f (x)dx，即f (x)dx 二F(x) C ,其中 称为积分号,f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，C 称为积分常数.例 1 求 3x 2dx .解 因为(x3) =3x 2，所以 3x 2dx = x 3• C .例 2 求 sin xdx .解因为 (_cosx)" = sinx ,所以 Jsinxdx = —cosx + C .1 例3求 2dx . 1+x 21解 因为(arctanx) 2，所以1 +x三、不定积分的几何意义设F(x)是f(x)的一个原函数，那么方程y 二F(x)的图形是平面直角坐标系上的一条曲线，称为f (x)的一条积分曲线.将这条积分曲线沿着 y 轴方向任意平行移动，就可以得到 f (x)的无穷多条积分曲 线，它们构成一个曲线族，称为f (x)的积分曲线族.不定积分.f(x)dx 的几何意义就是一个积分曲线族•它的特点是： 在横坐标相同的点处，各积分曲线的切线斜率相等，都是 f(x),即各切线相互平行(如图4-1).在求f (x)的所有原函数中，有时需要确定一个满足条件y(x 0)=y 0的原函数，也就是求通过点(X o ,y 。
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
第四节有理函数积分65002
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例9. 求
(a
sin
x
1 b
cos
x)
2
dx
(ab 0) .
解法 1
原式
dx (a tan x b)2 cos2 x
令 t tan x
dt (a t b)2
1 C a(a t b)
cos x
C
a(a sin x b cos x)
2
22
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思考与练习
如何求下列积分更简便 ?
解: 1. 原式 1 3
dx3 (a3)2 (x3)2
66a1a133llnnxxxx3333aaaa3333 CC
2. 原式
sin2 x sin3
x
cos2 cos x
x
dx
dx sin x cos x
第四节
第四章
有理函数的积分
• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法
求导 • 初等函数
积分
初等函数
本节内容: 一、有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分举例
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一、 有理函数的积分
有理函数:
R(x) P(x) a0xn a1xn1 an Q(x)
cos sin 3
x x
dx
d tan x tan x
d sin sin 3
x x
ln tan x
1 2
1 sin 2
有理函数的不定积分
例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) d x 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 x 2) 2 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2)
2
2
1 C arctan(x 1) 2 x 2x 2
2
2
例11. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式, 取根指数 2, 3 的最小公倍数 6, 令 x t , 则有 5 1 2 6 t d t 原式 3 2 6 ( t t 1 ) dt 1 t t t
6
6
2 1t 3 1 ln 1 t t t 3 2
2
例3. 求 解: 原式
x 2x 3 2 d( x 1) 1 d( x 2 x 3) 3 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2 ( 2 ) 2 3 x 1 1 2 arctan C ln x 2 x 3 2 2 2
1 ( 2 x 2) 3 2
例2. 求 解: 已知 1 1 4 2x 1 2 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
2 d(1 2 x) 1 d(1 x ) 1 dx 原式 2 2 5 5 1 2x 5 1 x 1 x 2 1 1 2 ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x) 2 (1 2 x)(1 x ) 2 1 A(1 x ) ( Bx C)(1 2x), 1 4 1 取x 得A , 取x 0得1 A C, C , 5 5 2 2 取x 1得1 2 A 3( B C), B
不定积分-教案
不定积分 的几何意义就是，其表示了 的一族积分曲线 .这族积分曲线可由积分曲线 向上或向下平移得到，且在相同的横坐标的点处，任一曲线的切线有相同的斜率，即有平行的切线.
4.1.3基本积分公式表
1.求原函数或不定积分与求导数或求微分互为逆运算.
(1) ，或 ;
(2) ，或 .
（2） ；
（3） ；
（4） ;
（5） ;
（6） ;
*（7） ;
*（8） ;
*（9） ;
*（10） ．Biblioteka 授课序号03教 学 基 本 指 标
教学课题
第4章第3节分部积分法
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
分部积分法
教学难点
分部积分法
参考教材
作业布置
课后习题微积分标准化作业
例题讲解
例4.38求不定积分 ．
例4.39求不定积分 ．
例4.40求不定积分 ．
注多次使用分部积分时， 和 的选取类型要与第一次的保持一致，否则将回到原积分.本例选取幂函数为 ，正(余)弦函数为 ．并两次使用了分部积分法．
分部积分法的使用熟练后， 与 的选取不必写出，只要把被积表达式凑成 的形式，即可使用分部积分公式．
大纲要求
熟练掌握分部积分法.
教 学 基 本 内 容
定理4.4设 ， 在区间 上都有连续的导数，则有 ，即 ，简记为 ．
注1.分部积分法应用的基本步骤可归纳为：
= ．
2. 和 的选取非常关键．选取 和 一般要遵循下面两个原则：
(1)由 要容易求得 ；
(2) 要比 容易积分．
有理函数积分法
第21讲 理函数的不定积分一、有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为mm mn n n xxx x x Q x P x R βββααα++++++==-- 110110)()()(， (1)其中，m 为n 非负整数，n ααα,,,10 与m βββ ,,10都是常数，且00≠α，00≠β． 若n m >，则称它为真分式；若n m ≤，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式． 根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下(可与例1对照着做)： 第一步 对分母()x Q 在实系数内作标准分解： ()()()()()tt t s q p x q x p xa x a x x Q μμλλ++++--=21121121， （2）其中()t iji ,,2,1,1,0 ==μλβ均为自然数，而且.,,2,1,04;2211t j q p m j j si tj ji =-=+∑∑==μλ第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如()ka x -的因式，它所对应的部分分式是 ()();221kka x A a x A ax A -++-+-对每个形如()kq px x ++2的因式，它所对应的部分分式是()().22222211kkk q px xC x B q px xC x B qpx x C x B ++++++++++++把所有部分分式加起来，使之等于()x R ．(至此，部分分式中的常数系数i i i C B A ,,尚为待定的.)第三步 确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母()x Q ，而其分子亦应与原分子()x P 恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．例1 对()8425109422345234-+--+-++-=x x x x x x x x x x R 作部分分式分解解 按上述步骤依次执行如下：()=x Q 84252345-+--+x x x x x ()()().12222+-+-=x x x x部分分式分解的待定形式为()().122222210+-++++++-=x x C Bx x A x A x A x R （3）用()x Q 乘上式两边，得一恒等式()()1210942220234+-+≡-++-x x x A x x x x +()()()()()121222221+--++-+-x x x A x x x x A+()()()222+-+x x C Bx （4）然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--+=+----=+++-=++常数项的系数，的系数，的系数，的系数 .1082449483442433123,22102122103210410C A A A x C B A A x C B A A A x C B A A A x B A A 求出它的解：1,1,1,2,1210=-=-===C B A A A ，并代人(3)式，这便完成了)(x R 的部分分式分解：.11)2(12221)(22+---+-++-=x x x x x x x R上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代．例如可将x 的某些特定值(如0)(=x Q 的根)代人(4)式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值．对于上例，若分别用2=x 和2-=x 代人(4)式，立即求得1120-==A A 和，于是（4）式简化成为)1)(2)(2(161232134+-+-=-+-x x x x A x x x .)2)(2)((2+-++x x C Bx为继续求得C B A ,,1，还可用x 的三个简单值代人上式，如令1,1,0-=x ，相应得到⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+.83,233,42111C B A C B A C A 由此易得1,1,21=-==C B A ．这就同样确定了所有待定系数． 一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分．由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：⎰-I ka x dx)()(；()⎰<-+++I I )04()(22q p dx q px x M Lx k．对于()I ，已知()()⎪⎩⎪⎨⎧>+--=+-=--⎰.1,11,1,ln )(1k C a x k k C a x a x dx k k对于()II ，只要作适当换元(令2p x t +=)，便化为()⎰⎰++=+++dt rtNLt dx q px xMLx kk222)(⎰⎰+++=,)()(2222kkr t dt N dt r t t L （5）其中.2,422L p M N pq r-=-=．当1=k 时，（5）式右边两个不定积分分别为⎰++=+C r t dt rtt)ln(212222，.a r c t a n 122C rtr rtdt+=+⎰ （6） 当2≥k 时，（5）式右边第一个不定积分为C r t k dt r t tk k++-=+⎰-12222))(1(21)(.对于第二个不定积分，记 ,)(122⎰-+=k k r tdtI 可用分部积分法导出递推公式如下：dt r t t r t rI kk ⎰+-+=)()(1222222⎰+-=-dt r ttrI rkk )(11222212⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=--122212)(1)1(211k k r t td k r I r.)()1(2111122212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=---k k k I r t tk r I r 经整理得到.)1(232))(1(2121222----++-=k k k I k r k r t k r tI （7）重复使用递推公式(7)，最终归为计算1I ，这已由(6)式给出. 把所有这些局部结果代回(5)式，并令2p x t +=，就II ）的计算．例2 求.)22(1222dx x xx ⎰+-+解：在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为222222)22()12()22()22(1+--++-=+-+x x x x x x x x .)22(12221222+--++-=x x x x x现分别计算部分分式的不定积分如下：.)1arctan(1)1()1(22122C x x x d x x dx +-=+--=+-⎰⎰dx x xx dx x xx ⎰⎰+-+-=+--2222)22(1)22()22(12++-+-=⎰222)22()22(x xx x d []⎰+--221)1()1(x x d.)1(221222⎰+++--=tdtx x由递推公式（7）,求得其中⎰⎰+++=+121)1(2)1(2222tdtt t t dt .)1arctan(21)22(2122C x x x x +-++--=于是得到.)1a r c t a n (23)22(23)22(12222C x x x x dx x xx +-++--=+-+⎰二、三角函数有理式的不定积分⎰dx x x R )cos ,(sin 是三角函数有理式的不定积分。
不定积分的概念与性质
例如 (sin x) cos x, sin x 是 cos x 的原函数.
(ln x ) 1 , ln x 是 1 在的原函数 .
x
x
原函数存在定理
如果函数 f ( x) 在区间 I 内连续, 那么在区间 I 存在可导函数 F ( x) ,使对任意 x I , 都有
F ( x) f ( x).
简言之, 连续函数一定有原函数. 问题: (1) 原函数是否唯一?
(2) 若不唯一它们之间有什么联系?
例如 (sin x) cos x, (sin x C ) cos x. (C 为任意常数)
关于原函数的说明: (1) 若 F( x) f ( x),则对于任意常数 C, F(x) C 都是 f (x)的原函数. (2) 若 F ( x) 和G( x) 都是 f ( x)的原函数,则
[
f ( x)dx]
f ( x),
d[
f ( x)dx]
f ( x)dx,
F( x)dx F ( x) C, dF ( x) F ( x) C.
结论: 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
二、 基本积分表
例如,
x 1
x
1
x dx
x 1
1
C.
( 1)
启示: 能否根据求导公式得出积分公式?
dx
ln
x C.
例1 求积分 x5dx.
解
x
6
x5,
6
x5dx x6 C . 6
例2
求积分
1
1 x2
dx.
上交大微积分教学课件 第四章不定积分
3.原函数定理
定理1 若函数 f (x) 在区间D上连续，则 f (x) 在区间D上一定存在原函数 F(x) ．
定理2 如果函数F(x) 是 f (x)在区间D上的原 函数，则
(1) F (x) C 也是 f (x) 在区间D上的原函
数，其中C是任意常数； (2) f (x) 在区间D上的任意两个原函数之间 只相差一个常数．
❖ ④ 若被积函数中含有 x2 a2 (a 0) ，可令 x a sect ．
第三节 分部积分法
当被积函数是两类基本初等函数的乘积的形式 时，这种类型的积分用换元法一般不能求出．例
如： xcos xd x 和 xex d x 等.为此，我们再探讨一种
新的积分法—分部积分法，它是与导数(微分)运 算中乘积的导数(微分)公式相对应的积分方法．
换将被积函数中的根号去掉，就能顺利积分了，
这就是第二类换元积分法的思想 .
定理2 (第二类换元积分法) 若 x (t)单调可微 且 (t) 0，如果
f (x) d x f (t)(t) d t (t) C [ (x)] C
即 f (x) d x [ (x)] C 其中，t (x) 是 x (t)
当被积函数为幂函数与指数函数或三角函数乘积时， 选幂函数为 u(x) ；当被积函数为幂函数与对数函数或 反三角函数乘积时，选幂函数为v(x) ；当被积函数为 三角函数与指数函数乘积时，u(x) 可以任意选取．
❖ 例1 求 xcos xd x ．
❖ 分析 因被积函数是幂函数与三角函数的乘 积．把“cos x ”凑f [(x)](x) ．
因此 f (x)(x)d x f (u)du
．
❖ 注意：
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出 的答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经 过恒等变形后可以互化，其结果本质上只相差一个 常数．
第4节 有理函数的不定积分
Mx + N ; 特殊地： 特殊地：k = 1, 分解后为 2 x + px + q
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 将有理函数化为部分分式之和后， 现三类情况： 现三类情况：
A Mx + N (1) 多项式； ( 2) 多项式； ; ( 3) ; n 2 n ( x − a) ( x + px + q ) Mx + N dx , 讨论积分∫ 2 n ( x + px + q )
2x3 + 5x 2x2 + 5 解 原式 = ∫ x4 + 5x2 + 4dx + ∫ x4 + 5x2 + 4dx
1 d( x4 + 5x2 + 5) ( x2 +1) + ( x2 + 4) = ∫ 4 dx +∫ 2 2 2 2 x + 5x + 4 ( x +1)( x + 4)
1 1 1 4 2 + 2 )dx = ln x + 5x + 4 + ∫ ( 2 x +1 x + 4 2
1 = ln x4 + 5x2 + 4 + arctanx + 1arctan x + C. 2 2 2
注意 将有理函数分解为部分分式求积分虽可行, 将有理函数分解为部分分式求积分虽可行, 但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构 特点，灵活处理，寻求简便的方法求解. 特点，灵活处理，寻求简便的方法求解. 例6 求积分 解
2u+1+ u2 −1− u2 2u du du = 原式 = 2 2 (1+ u)(1+ u ) (1 + u)(1 + u )
第4节有理函数的不定积分
2
2
2
例2
求积分
1 sin4
x
dx.
解
令utanx, 2
sinx12uu2 ,
dx12u2du,
1 sin4
x
dx
13u28u34u4u6du
1 8[31 u3u 33uu 33]C 2 4 t1 a2 x n 38t3 a2 xn 8 3ta2 xn 2 1 4 ta2 x n 3C .
解法二
令 utaxn ,则sinx
u, 1u2
dx11u2
du,
1 sin4 xdx
1 u
4 11u2du
1u2
1 u2 u4
du
31u3
1C u
1co3xtcoxtC. 3
解法三
1 sin4
dx x
cs4cxdxcs2x ccs2xc dx
令 t pa x b,其中p为m,n的最小公.倍数
例1
求积分
1
dx 3x
2
.
解 令 t3x2, 则 xt32,dx3t2dt,
原式 13t2tdt 3(t211)t1dt 3(t11 1t)dt
31 t 2 tln1t C
2 33 (x2)2 33 x23ln13x2C.
原式 (1u)2u 1 (u2)du 2u( 11u)u(12 1u 2)u2du
(1(1u)u2)(1(1u2u)2)du
1u 1u2
du
1 du 1 u
arctuan 1ln(1u2)ln |1u|C
2
x ln| secx | ln|1taxn|C.
4.4 几种特殊函数的不定积分
当 P( x) 的次数小于 Q( x) 时，
称这有理函数为真分式，否则为假分式。 总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分 式之和的形式
例1 将下列真分式分解为部分分式
4.4几种特殊函数的不 定积分
解
(1) 用拼凑法
x ( x 1) 1 1 1 2 2 2 ( x 1) x( x 1) x( x 1) x( x 1) 1 x ( x 1) 2 ( x 1) x( x 1) 1 1 1 2 x 1 x ( x 1)
4.4几种特殊函数的不 定积分
(2) 用赋值法，设
x3 x3 A B 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
解得
A 5, B 6
6 5 原式 x2 x 3
4.4几种特殊函数的不 定积分
(3) 设
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
.
2 2t 1 t2 dt sin x , cos x , dx 2 2 2 1 t 1 t 1 t
于是
1 1 du 2 dt 2 2 2 2 1 t 1 t 1 t 1 t 4t
sin x 1 sin x dx
x 设 tan t 2
4.4几种特殊函数的不 定积分
1 t2 cos x 1 t2
2t sin x , 2 1 t
x 2arctan t ,
从而
2 dx dt 2 1 t
称为万能代换
例5 求
x 解 设 tan 2 t ，则
1 sin x dx
4.4几种特殊函数的不 定积分 sin x
4-4第四节 有理函数的积分
高 等 数 学 电 子 教 案
数的导数灵活得多,一个积分可以用多种方法计算,并且 积分结果在形式上也可能不一样,在具体计算时,应尽可 能选择简单的积分法. 例9 求 从上面的不定积分看出,求一个函数的不定积分比求函
学 数
∫x
dx
2
4 − x2
高 等 数 学 电 子 教 案
三角函数有理式是指三角函数和常数经过有限次四则 运算所构成的函数,而各类三角函数都可用sinx及cosx 的有理式表示.
高 等 数 学 电 子 教 案
1 例2 把真分式 2 分解为部分分式之和 x( x − 1)
解:
A B C A( x − 1) 2 + Bx + Cx( x − 1) 1 = + + = 2 2 x( x − 1) x ( x − 1) x −1 x( x − 1) 2
A( x − 1) 2 + Bx + Cx( x − 1) = 1
当n > 1时,
Mx + N M b dx = − +∫ 2 dt 2 2 n +1 2 n ∫ ( x 2 + px + q)n 2(n − 1)(t + a ) (t + a ) 1 ∫ (t 2 + a 2 )n dt用递推公式解之,
学 数
有理函数的原函数都是初等函数
高 等 数 学 电 子 教 案
A B A( x − 3) + B ( x − 2) + = x−2 x−3 ( x − 2)( x − 3)
x + 3 = A( x − 3) + B( x − 2) = ( A + B) x − (3 A + 2 B)
【考研数学】高数有理分式积分法
第四节1•基本积分法: 直接积分法;换元积分法;分部积分法•初等函数求导初等函数积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容:第四章n1m>时,为真分式为假分式;n简单分式:形如3456789解:(1) 用拼凑法111-)1(--x x10112C +42-=B已知1⎡1=1213原式x x 22⎰+=)22(21+x 如何求变形方法同例3, 并利用上一节课件例1415⎰+++=x x x x x d 4552243⎰++x x 52416原式⎰+=x x 2(2)22(2++x x172arctan2211xx -=21-221 ln 21-+x x 21++x x C+比较系数定a , b , c , d . 得化为部分分式. 即令比较系数定A , B , C , D..此解法较繁18xcos-x sinxA=xsin)(cos++⎰x(sinR,20212223⎰=原式xxd 2cos 1⎰=tan d 12425xb cos +⎢⎣⎡2+b a a sin 22ba +x ba +tan(12226=Ct +-31C x +cos 22728uu d 1)1(32⎰+-=29为去掉被积函数分母中的根式6 ,t x =令30t t td )1(222--内容小结31 1. 可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,32:1.⎰-=233()(d 31a x 原式a x a x a +--=33333ln 61ax ax a -+33333ln 61作业33P218 1-2434⎰11t551t -=t -d x =511113x x +35前式令arctan21u=; 后式配元13cos x+cos x2tanxu =2d u ⋅1。
3-3有理式的不定积分与有理化方法
∴
ห้องสมุดไป่ตู้
4 2 1 − x+ 1 = 5 + 5 25. (1 + 2 x)(1 + x 2 ) 1 + 2 x 1+ x
dx 2 d(1+ 2x) 1 d(1+ x ) 1 = ∫ + − 2 5 1+ 2x 5 1+ x2 5 1+ x
∫
2
∫
2 = ln 1+ 2x 5
1 1 2 − ln (1+ x )+ arctan x + C 5 5
变分子为
B 2
(2x + p)+ C − B2p
再分项积分
2C 2x + Bx + C B B dx 3. dx = ∫ 2 2 2 x + px + q x + px + q Bp 2C C− 2x + p + −p B 2x + p B B 2 dx dx + dx = ∫ 2 = ∫ 2 x + px + q 2 x2 + px + q x2 + px + q
∫
∫
∫
而最后一个积分可以用上上一节例6中的递推公式.
1 x 2n −1 + I 递推公式 In+1 = 2 2 2 n 2 n 2n a (x + a ) 2n a 1 x 说明: 说明 已知 I1 = arctan + C 利用递推公式可求得 In . a a 例如, 1 x 3 I3 = 2 2 2 2 + 2 I2 4a (x + a ) 4a 1 x 3 1 x 1 = 2 2 2 2 + 2 ( 2 2 2 + 2 I1 ) 4a (x + a ) 4a 2a x + a 2a 1 x 3 x 3 x = 2 2 2 2 + 4 2 2 + 5 arctan + C a 4a (x + a ) 8a x + a 8a
有理函数的不定积分
有理函数的不定积分有理函数的不定积分是指函数在变量x上的不定积分。
它关注的是变量x的积分，并不关注变量x的形式。
这种方式的不定积分可以帮助研究者更好地研究函数的特性，以及对不定函数的运算。
一、什么是有理函数的不定积分有理函数的不定积分是指以变量x作为函数的不定积分的形式，即函数f（x）可以表达为以下表达式：∫f（x）dx 。
它指的是x的积分，而不是f（x）本身。
它可以帮助我们分析函数特性，例如曲线的行为，最小和最大特性，以及它在某些范围内的增长和减少。
二、有理函数的不定积分的本质有理函数的不定积分可以用来就指定函数中变量x在指定范围内变化所产生的影响进行研究，它可以让我们理解不定函数的变化规律，以及不定函数的实际运算。
例如，以x为变量的一元函数的不定积分可以用来求得函数在指定范围内的变化。
三、计算有理函数的不定积分计算有理函数的不定积分的方式有以下几种：（1）积分表法将函数的不定积分使用积分表进行计算，积分表是专门为计算不定积分而提供的工具。
（2）函数展开法将函数展开为多项式，然后使用常见解法计算不定积分。
（3）图形法将函数画成图像，按照图像的形状和变化规律结合数值积分公式对函数的不定积分进行计算。
（4）数学软件计算利用计算机软件，输入函数表达式，利用计算机软件计算出函数的不定积分。
四、有理函数的不定积分的应用有理函数的不定积分可以用来分析函数的特性和变化规律，弥补函数的表示欠缺。
它可以用于多变量函数的导数计算，函数最大最小值求解，空间定位，参数估计，统计建模，地震位移分析以及动力学、物理和化学中的数值计算。
总之，有理函数的不定积分是一个重要的数学工具，它可以帮助我们分析函数的特点，以及函数本质变化的规律，并且可以在多个领域中有效地应用，为这些领域的研究提供便利。
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说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例15 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
原式 (
x( 3x 1 2x 1) 3x 1 2x 1)( 3x 1
dx 2x 1)
( 3x 1 2x 1)dx
1 3
3
x
1d (3
x
1)
1 2
2x 1d(2x 1)
解决方法 作代换去掉根号.
例13
求积分
1 x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
2
1
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12dt
2
t 2dt t2 1
2
1
t
2
1
1
dt
2t ln t 1 t 1
C
2
1 x x
ln
解: 1.原式 1 3
dx3 (a3)2 (x3)2
66a1a133llnn
xx33aa33 xx33aa33
CC
2. 原式
sin2 x sin3
cos2 x cos x
x
dx
dx sin x cos x
cos sin3
x x
dx
d tan x tan x
d sin sin3
x x
1
4, B 5 4
5 2x
2,C 5
2x1 55 1 x2
1 5
.
,
例4 求积分
1 x( x 1)2dx.
解
1 x(x
1)2dx
1 x
(x
1 1)2
x
1
1
dx
1dx x
(
x
1 1)2
dx
x
1
dx 1
ln | x | 1 ln x 1 C. x 1
1
例5 求积分 (1 2x)(1 x2 ) dx.
2(3
x
3
1)2
1
(2x
3
1)2
C.
9
3
内容小结
1. 可积函数的特殊类型
有理函数
万能代换
分解
根式代换
多项式及部分分式之和
三角函数有理式
三角代换
简单无理函数
2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不 一定简便 , 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .
思考与练习
如何求下列积分更简便 ?
x
解 令 t e 6 x 6ln t,
dx 6dt,
t
1
xx
x
dx
1
t
3
1
t
2
t
6 t
dt
1e2 e3 e6
6
t(1
t
1 )(1
t
2
)
dt
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
6ln t 3ln(1 t) 3 2
d(1 t 2 ) 1 t2 3
2
22
3.求
1
dx 3x
2
.
解: 令 u 3 x 2 , 则
原式
3u 1
2
u
du
3
(u 2 1) 1 du 1 u
3
(
u
1
1
1
u
)
du
3
1 2
u
2
u
ln
1
u
C
4. 求
解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的
最小公倍数 6 , 令 x t 6 , 则有
原式
6t 5dt
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式；
(2) n m, 这有理函数是假分式；
代数理论:
(1)一个实系数多项式在实数范围内
可分解为一次因式与二次质因式的乘积;
(2)利用多项式除法, 假分式可以
化为一个多项式和一个真分式之和.
例
x5 x2
x
1
1
x3
x
2x x2
1. 1
cot x 1 cot 3 x C. 3
结论 比较以上三种解法, 便知万能代换不一定 是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考 虑其它手段, 不得已才用万能代换.
例12
求积分
1 sin x sin 3x sin
x
dx.
解 sin A sin B 2sin A B cos A B
2
x
1 x x
2 1
C.
例14 求积分
1 x 1 3
dx. x1
解 令 t 6 x 1 6t5dt dx,
1 x 1 3
dx x1
t
3
1
t
2
6t
5dt
6 t 3 dt 2t 3 3t 2 6t 6ln | t 1 | C
t 1
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln( 6 x 1 1) C .
4sec4 u
2 cos2 udu
2 2
(1
cos
2u)du
2 (u sin 2u) C 2 (u sinucosu) C
2
2
2
原式 1
1
2 x2 2x 3
2
x 1 2( x 1)
(arctan
)C
2
2 x2 2x 3
dx
例9. 求 x4 1
本题用常规方法解很繁
解
(1
1 2 x )(1
x2
dx )
1
4
5 2x
dx
2x 5 1 x2
1 5dx
2 5
1 d(1 1 2x
2x)
1 5
2x 1 x2
dx
1 5
1 1 x 2 dx
2 ln 1 2x 1 ln(1 x 2 ) 1 arctan x C.
5
5
5
例6 求积分
1
xx
x dx.
1e2 e3 e6
. 3
例2
x(
1 x1)2
A x
(x
B 1)2
C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B, C
取 x 0, A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B 值代入 (1) C 1
1 x(x
1)2
1 x
(x
1 1)2
解: 原式 1 2
(x2 1) (x2 1) x4 1
dx
1 2
1
1 x2
x2
1 x2
dx
1 2
1
1 x2
x2
1 x2
dx
注意本题技巧
1 2
(
x
d(x
1 x
)
2
1 x
)
2
1 2
(
d(
x
1 x
)
x
1 x
)2
2
1
arctan
x
1 x
1
1
ln
x
1 x
2 C
22
2
22 2
x
1 x
2
二、三角函数有理式的积分
2
1 sin x sin 3x sin
x
dx
2
1 sin x sin 2x cos
x
dx
4
1 sin x sin x cos2
x
dx
1 4
sin
1 x cos2
x
dx
1 4
1 cos 2
x
dx
1 4
sin2 x cos2 sin x cos2 x
x
dx
1 4
1 cos 2
x
dx
1 4
sin x cos2 x
dx
1 4
1 sin
x
dx
1 4
1 cos 2
x
dx
1 4
1 cos2
x
d
(cos
x)
1 4
csc
xdx
1 4
sec2
xdx
1 4cos
x
1 ln csc x 4
cot x
1 tan x C. 4
三、简单无理函数的积分
讨论类型
R( x, n ax b),
ax b
R( x, n
),
cx e
1 [ x ln(1 sin x)] C 2
例11
求积分
1 sin4 x dx.
解（一）
u tan x , 2
sin
x
1
2u u2
,
dx
1
2 u2
du,
1 sin4
x
dx
1
3u2
3u4 8u4
u6du
1[ 8
1 3u3
3 u
3u
u3 3
]
C
24
1 tan
x 2
3
3 8 tan
第四节 有理函数的积分
一、 有理函数的积分