第四节 有理函数的不定积分

1 x
. 1
例3
(1
1 2 x )(1
x2
)
1
A 2x
Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x), 整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
A 2B 0,
B
2C
0,
A C 1,
1
(1 2x)(1
A x2 )
解: 1.原式 1 3
dx3 (a3)2 (x3)2
66a1a133llnn
xx33aa33 xx33aa33
CC
2. 原式
sin2 x sin3
cos2 x cos x
x
dx
dx sin x cos x
cos sin3
x x
dx
d tan x tan x
d sin sin3
x x
(sin2 x 1 sin2
1) d sin x x sin4 x
(t 2 1
1) d t2 t
t
4
1பைடு நூலகம்
arctan
t
1 t
C
3
3
1 arctan cos2 x C
3
3sin x
d(t
1 t
)
(t 1t )2 3
6. 求
解:
原式
a
2
1 cos 2
x
dx
1 [ x ln(1 sin x)] C 2
例11
求积分
1 sin4 x dx.
解（一）
u tan x , 2
sin
x
1
2u u2
,
dx
1
2 u2
du,
1 sin4
x
dx
1
3u2
3u4 8u4
u6du
1[ 8
1 3u3
3 u
3u
u3 3
]
C
24
1 tan
x 2
3
3 8 tan
1
2u u2
,
cos x
1 u2 1 u2
,
dx
1
2 u2
du,
1
sin x sin x cos
x
dx
(1
2u u)(1
u2
du )
(1 (1
u)2 (1 u)(1
u2 u2 )
)du
1 u 1 u2
du
1
1
du u
arctan u 1 ln(1 u2 ) ln | 1 u | C
dx
1 4
1 sin
x
dx
1 4
1 cos 2
x
dx
1 4
1 cos2
x
d
(cos
x)
1 4
csc
xdx
1 4
sec2
xdx
1 4cos
x
1 ln csc x 4
cot x
1 tan x C. 4
三、简单无理函数的积分
讨论类型
R( x, n ax b),
ax b
R( x, n
),
cx e
2
22
3.求
1
dx 3x
2
.
解: 令 u 3 x 2 , 则
原式
3u 1
2
u
du
3
(u 2 1) 1 du 1 u
3
(
u
1
1
1
u
)
du
3
1 2
u
2
u
ln
1
u
C
4. 求
解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的
最小公倍数 6 , 令 x t 6 , 则有
原式
6t 5dt
x
1 x x
2 1
C.
例14 求积分
1 x 1 3
dx. x1
解 令 t 6 x 1 6t5dt dx,
1 x 1 3
dx x1
t
3
1
t
2
6t
5dt
6 t 3 dt 2t 3 3t 2 6t 6ln | t 1 | C
t 1
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln( 6 x 1 1) C .
t3 t 2
6
(t
2
t
1
1 1
t
)
dt
6
1 3
t
3
1 2
t
2
t
ln 1 t
C
5. 求
1
cos3 sin
x
2
x
2
cos x sin 4 x
dx
.
解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令 t sin x ,
原式
(cos2 x 2) cos x dx 1 sin2x sin4 x
xa
（2）分母中若有二次质因式 ( x2 px q)k， p2 4q 0 ,则分解后为
M1x ( x2 px
N1 q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i都是常数(i 1,2,, k).
特别地：k
1,
分解后为
x
Mx N 2 px
第四节 有理函数的积分
一、 有理函数的积分
两个多项式的商表示的函数称为有理函数.
P( Q(
x) x)
a0 xn b0 xm
a1 x n1 b1 x m1
an1 x bm1 x
an bm
其中m、n都是非负整数；a0 ,a1 ,,an及 b0 , b1 ,,bm都是实数，并且a0 0，b0 0.
解: 原式 1 2
(x2 1) (x2 1) x4 1
dx
1 2
1
1 x2
x2
1 x2
dx
1 2
1
1 x2
x2
1 x2
dx
注意本题技巧
1 2
(
x
d(x
1 x
)
2
1 x
)
2
1 2
(
d(
x
1 x
)
x
1 x
)2
2
1
arctan
x
1 x
1
1
ln
x
1 x
2 C
22
2
22 2
x
1 x
2
二、三角函数有理式的积分
4sec4 u
2 cos2 udu
2 2
(1
cos
2u)du
2 (u sin 2u) C 2 (u sinucosu) C
2
2
2
原式 1
1
2 x2 2x 3
2
x 1 2( x 1)
(arctan
)C
2
2 x2 2x 3
dx
例9. 求 x4 1
本题用常规方法解很繁
ln tan x
1 2
1 sin 2
x
C
补充题 1. 求不定积分
解：令 t 1 , 则 x
1 1
t6
分母次数较高, 宜使用倒代换.
,故
1t5
t
5
2.求不定积分
解：原式 =
前式令 u
tan
x 2
;
后式配元
3
1
1u 1u
2 2
1
2 u
2
d
u
1 arctan u
2
2
1 arctan( 1 tan x)
dx 2
1 ln( x2 2x 3) 2 2 arctan x 1 C;
2
2
例8
x5
( x2 2x 3)2 dx
1 d( x2 2x 3)
2 ( x2 2x 3)2
4
[( x 1)2 2]2 dx
令x 1 2 tanu
4
dx
4
2 sec2 udu
[( x 1)2 2]2
2
x ln | sec x | ln | 1 tan x | C.
2
2
2
1 [ x ln(1 sin x)] C 2
法二
1
sin sin x
x
cos
x
dx
sin
x
[(sin x cos 2sin xcos x
x)
1]dx
1 2
(tan
x
1
sec
x)dx
1[ln sec x x ln sec x tan x ] C 2
. 3
例2
x(
1 x1)2
A x
(x
B 1)2
C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B, C
取 x 0, A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B 值代入 (1) C 1
1 x(x
1)2
1 x
(x
1 1)2
1 tan 2 x
2
sec2 x
1 u2 1 u2
2
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
,
dx
1
2 u
2
du
R(sin x,cos x)dx
R
1
2u u
2
,
1 1
u2 u2
1
2 u2
du.
例10 求积分
1
sin sin x
x
cos
x
dx.
解 由万能代换公式
sin x
1
4, B 5 4
5 2x
2,C 5
2x1 55 1 x2
1 5
.
,
例4 求积分
1 x( x 1)2dx.
解
1 x(x
1)2dx
1 x
(x
1 1)2
x
1
1
dx
1dx x
(
x
1 1)2
dx
x
1
dx 1
ln | x | 1 ln x 1 C. x 1
1
例5 求积分 (1 2x)(1 x2 ) dx.
2
1 sin x sin 3x sin
x
dx
2
1 sin x sin 2x cos
x
dx
4
1 sin x sin x cos2
x
dx
1 4
sin
1 x cos2
x
dx
1 4
1 cos 2
x
dx
1 4
sin2 x cos2 sin x cos2 x
x
dx
1 4
1 cos 2
x
dx
1 4
sin x cos2 x
2(3
x
3
1)2
1
(2x
3
1)2
C.
9
3
内容小结
1. 可积函数的特殊类型
有理函数
万能代换
分解
根式代换
多项式及部分分式之和
三角函数有理式
三角代换
简单无理函数
2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不 一定简便 , 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .
思考与练习
如何求下列积分更简便 ?
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例15 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
原式 (
x( 3x 1 2x 1) 3x 1 2x 1)( 3x 1
dx 2x 1)
( 3x 1 2x 1)dx
1 3
3
x
1d (3
x
1)
1 2
2x 1d(2x 1)
x
解 令 t e 6 x 6ln t,
dx 6dt,
t
1
xx
x
dx
1
t
3
1
t
2
t
6 t
dt
1e2 e3 e6
6
t(1
t
1 )(1
t
2
)
dt
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
6ln t 3ln(1 t) 3 2
d(1 t 2 ) 1 t2 3
x 2
3 tan 8
x 2
1 24
tan
x 2
3
C.
解（二）
1 sin4
x
dx
sec4 x
tan 4
dx x
1 tan 2 x
tan4 x d(tan x)
1 cot 3 x cot x C. 3
解（三）
1 sin4
x
dx
csc2
x(1
cot 2 x)dx
(1 cot2 x)d(cot x)
解决方法 作代换去掉根号.
例13
求积分
1 x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
2
1
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12dt
2
t 2dt t2 1
2
1
t
2
1
1
dt
2t ln t 1 t 1
C
2
1 x x
ln
解
(1
1 2 x )(1
x2
dx )
1
4
5 2x
dx
2x 5 1 x2
1 5dx
2 5
1 d(1 1 2x
2x)
1 5
2x 1 x2
dx
1 5
1 1 x 2 dx
2 ln 1 2x 1 ln(1 x 2 ) 1 arctan x C.
5
5
5
例6 求积分
1
xx
x dx.
1e2 e3 e6
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式；
(2) n m, 这有理函数是假分式；
代数理论:
(1)一个实系数多项式在实数范围内
可分解为一次因式与二次质因式的乘积;
(2)利用多项式除法, 假分式可以
化为一个多项式和一个真分式之和.
例
x5 x2
x
1
1
x3
x
2x x2
1. 1
由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数
称为三角有理式．一般记为 R(sin x,cos x)
令u tan x , x 2 arctan u（万能代换公式）
2
则sin x 2sin x cos x 22
x
2 tan
sec2
2 x
2u
1 u2
2
cos x cos2 x sin2 x
2
2
真分式的积分方法
将真分式化为部分分式之和，再逐项积分.
准备工作：先将分母在实数范围内 分解为一次因式与二次质因式的乘积.
难点 将真分式化为部分分式之和.
真分式化为部分分式之和的一般规律：
（1）分母中若有因式 ( x a)k，则分解后为
(x
A1 a)k
(x
A2 a)k1
Ak xa
,
其中A1 , A2 ,, Ak 都是常数. 特别地：k 1, 分解后为 A ;
1 1 t 2 dt
6ln t 3ln(1 t) 3 ln(1 t 2 ) 3arctan t C 2
x
3ln(1
x
e6 )
3 ln(1
x
e3
)
x
3arctan(e 6
)
C.
2
例7
x5
x2 2x 3 dx
1
2
d( x2 2x 3) x2 2x 3
4
( x 1)2
q
;
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x2
x3 5x
6
(x
x3 2)( x
3)
A x2
B x
, 3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
cot x 1 cot 3 x C. 3
结论 比较以上三种解法, 便知万能代换不一定 是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考 虑其它手段, 不得已才用万能代换.
例12
求积分
1 sin x sin 3x sin
x
dx.
解 sin A sin B 2sin A B cos A B
2