数学实验七代数方程与常微分方程课件

常微分方程的基本概念ppt课件

其中 P(x) cos x, q(x) esin x
1 2 1 y2 1 C
2
3x
通解
1 y2 1 C 3x
注意： y2 1 ,即y 1也是方程的解! 奇异解
例
设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
或写成 u ln | xu | C ,
再将 u y 代入,得通解为 y ln | y | C ；
x
x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C 1 ,
于是得所求特解为 y ln | y | 1 . x
例在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反
射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状.
但未知函数的导数必须出现.
未知函数是多元函数,含有未知函数的偏导数的微分方程称为偏微分方程.
定义2: ( 微分方程的阶 )未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.
例如 dy 4x2 ,
dx
一阶
d 2
dt 2

m
d
dt

g
l
0
二阶
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.
定义3: ( 微分方程的解)

gt C1,
再积一次分得：S

1 2
gt2

C1t

C2 , 其中C1，C2为任意常数.
5.1 微分方程的基本概念
定义1: 含有未知函数的导数的方程称为微
分方程.
未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微
分方程称为常微分方程.

高等数学-第七章微分方程ppt课件

练习: 求方程 dy ex y 的通解. dx
解法 1 分离变量 e ydy exdx
积分
ey ex C
即
(exC)ey1 0 ( C < 0 )
解法 2 令u x y, 则u 1 y
故有
u 1 eu
积分
1
d
u eu
x
C
(1 eu ) eu 1 eu
du
u ln (1 eu ) x C
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
dy 2x
①
dx
y x1 2
②
由 ① 得 y 2x dx x2 C (C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1.
引例2. 列车在平直路上以 20 m s 的速度行驶, 制动时
获得加速度 a 0.4 m s2 , 求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
已知
d2 dt
s
2
0.4 d
s
s t0 0 , d t
t
0 20
由前一式两次积分, 可得 s 0.2 t 2 C1 t C2
利用后两式可得
C1 20, C2 0
因此所求运动规律为 s 0.2 t 2 20 t
ln y x3 ln C
y Cex3
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
x ydx ( x2 1) dy 0
例2. 解初值问题 y(0) 1
解: 分离变量得
dy y
1
x x
2
dx
两边积分得 ln y ln 1 ln C x2 1

常微分方程 ppt课件

量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现
在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果
考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程
(1.1)可化为
d2x dt 2

g
(1.2)
将上式对t积分两次得
x(mt)xk12xgt2mgc1t c2
(1.3) (1.1)
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一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关系式. 如果其中的未知函数只是一个自变量的函数，则称为常微分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 本书所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程.
这样，从定义1.1可以直接验证：
F(x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微分形式的一阶方程.
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n 阶隐式方程的一般形式为
常微分方程
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1
常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗
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传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究.

常微分方程总结 PPT

2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . y 3 .齐次方程的求解方法: 令 u , x
8
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3. 解微分方程应用题的方法和步骤
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 )
线性无关概念.
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定义: 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如，在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
分类
偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F ( x, y, y,, y ( n ) ) 0
或
y ( n ) f ( x, y, y,, y ( n 1) ) ( n 阶显式微分方程)
y p( x) y q( x) y f ( x) ,
y
( n) ( n 1)
为二阶线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为
a1 ( x) y an 1 ( x) y an ( x) y f ( x) f ( x) 0 时, 称为非齐次方程 ;
f ( x) 0 时, 称为齐次方程.
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx

常微分方程PPT讲稿

则常向量组x1(t0 ), x2 (t0 ), , xn (t0 )线性相关,
从而存在不全为零的常数c1, c2, , cn,使得
c1x1(t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0, (3)
现在考虑函数向量
x(t) c1x1(t) c2 x2 (t) cn xn (t)
故x1(t), x2 (t), , xn (t)在a t b上线性无关.
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例1 证明:函数向量组
cos2 t
1 sin2 t
x1
(t
)
1
,x2(t) Nhomakorabea1
,
t
t
在任何区间都是线性相关的.
证明: 取c1 1, c2 1,则
cos2 t (1 sin2 t) 0
c1x1(t) c2 x2 (t)
11
0 ,
t t
0
故x 1
(t
),
x2
(t
)在任何区间线性相关
常微分方程课件
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§6.1 线性微分方程组的一般理论
2
一阶线性微分方程组:
dx A(t)x f (t)
(1)
dt
这里A(t)和f (t)在a t b上连续,
f (t) 0, 则式（1）变为
dx A(t ) x
(2)
dt
称式(2)为一阶齐次线性微分方程组.
称式（1）为非齐次线性微分方程组
注1:方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t), , xn (t)线性相关
W (t) 0, a t b.
注2: 方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t)， , xn (t)线性无关
W (t) 0, a t b. 即方程组(2)的n个解x1(t), x2 (t) , xn (t)所构成的 Wronsky行列式,或者恒等于零,或者恒不等于零。

常微分方程的数值解及实验-PPT精品

第4章常微分方程数值解法
§1 引言 §2 欧拉法和改进的欧拉法
§3 龙格库塔法 §4 阿达姆斯方法 §5 二阶线性常微分方程边值问题的数值解
§1 引言
在常微分方程中，我们已经掌握了一些典型方程的解法。但许多形式的方程只能用数值方法求近似解，也就是求在某些点上满足一定精度的近似解。现以求一阶常微分方程初值问题
k1=f(xi，yi) k2=f(xi+λ1h，yi+μ11k1h) k3=f(xi+λ2h，yi+μ21k1h+μ22k2h) k4=f(xi+λ3h，yi+μ31k1h+μ32k2h+μ33k3h) 其中ω1、ω2、ω3、ω4、λ1、λ2、λ3、μ11、μ21、μ22、 μ31、μ32、μ33均为待定系数。
(4―11)
比较式(4―10)和(4―11)得
y(xi1)

yi1

h2 2!
y(xi
)

O(h2 )
(4―12)
2. 改进的欧拉公式的截断误差
由式(4―5)知
yi1yi h2[f(xi,yi)f(xi1,yi1)] y(xi)h2[f(xi,y(xi))f(xi1,yi1)]
这里必须特别说明，因为初值问题(4―1)满足李普
希茨条件
y y (k1) (k)
i1
i1
h 2
f(xi1,xi(k1))fi1yi(k11)
h2Lyi(k1)
y(k1) i1
当h足够小时，可使得q h L 1 于是有
2
y ( k 1) i 1
y (k ) i 1
若积分采用梯形公式
x x ii 1f( x ,y ( x ) ) d x 1 2 [f( x i,y i) f( x i 1 ,y i 1 ) ] ( x i 1 x i)

第7常微分方程1-PPT精品文档

称它为微分方程的积分曲线．也被称为微分方程初值问题的几何意义．
通解是一组平行的曲线簇．
d x 例1 验证 x C1 cos kt C2 sin kt 是 2 k 2 x 0 的 dt
2
解，其中 C1 , C2 为任意常数．并求满足初始条件
dx 0 的特解． x t 0 A ， dt t 0 dx 解: k1 C sin k tk 2 C cos kt dt 2 dx 2 2 2 k C cos kt k C sin kt k C cos kt C sin kt 1 2 1 2 2 dt d2x d 2x 2 将 2 , x 代入方程 2 k x 0 得： dt dt 2 2 k C c o s k t C s i n k t 0 k C cos kt C sin kt 1 2 1 2
t 0
M0
又由 M
t 0
M 0 得： C M 0
所以所求变化规律为： M M 0 e t ．
2、齐次方程
若一阶微分方程 y f x, y 中的函数 f x, y y y y 可化为的函数，即： f x, y ，称 x x x 该方程为齐次方程．
故 ln y x2 C1
y e
x2C 1
C1 x2
x2
e e
Ce
即方程的通解为 y Ce
x2
例3 求微分方程 x xy 2 dx x 2 y y dy 0 满足
1 的特解． x y 解：原方程变形为： 2 d x d y 2 x 1 1y 1 x2 1 1 2 1 2 ln x 1 ln y 1 C C 1 ln 2 1 2 2 2 y 1 2 即： x 1 C y2 1 1 y |x 1 C 0 2 x2 1 1 故所求特解为： 2 y 1 2

常微分方程的数值解及实验-PPT精品

这里必须特别说明，因为初值问题(4―1)满足李普
希茨条件
y y (k1) (k)
i1
i1
h 2
f(xi1,xi(k1))fi1yi(k11)
h2Lyi(k1)
y(k1) i1
当h足够小时，可使得q h L 1 于是有
2
y ( k 1) i 1
y (k ) i 1
k1=f(xi，yi) k2=f(xi+λ1h，yi+μ11k1h) k3=f(xi+λ2h，yi+μ21k1h+μ22k2h) k4=f(xi+λ3h，yi+μ31k1h+μ32k2h+μ33k3h) 其中ω1、ω2、ω3、ω4、λ1、λ2、λ3、μ11、μ21、μ22、 μ31、μ32、μ33均为待定系数。
y(xi+1)≈y(xi)+hy′(xi) =y(xi)+hf(xi，y(xi)) =yi+hf(xi，yi)
若取前三项，可得到截断误差为O(h3)的公式
y(xi1)y(xi)hy(xi)h22 y(xi)
y(xi)hf (xi, y(xi))
h2 2
[fx(xi,
y(xi))
k1 f (xi, yi)

k
2

f (xi h, yi hk1)

y i1

yi
h 2
(k1
k2)
i 0 , 1 , 2 ,
(4―8)
2.4误差估计
初值问题(4―1)的等价积分方程为
y(xi 1)y(xi)xx ii1 f(x,y(x))dx
设初值问题(4―1)的准确解为y=y(x)，则利用泰勒公式

代数方程和微分方程求解PPT教学课件

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多项式运算的几个常用函数：
P=conv(p1,p2);
%多项式乘法
[d,r]=deconv(p1,p2); %多项式除法
Dp=polyder(p);
%多项式的导数
Ip=polyint(p) %多项式的积分（原函数）
Y=polyval(p,x)
%输出多项式p在向量x
的值
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多项式求根的函数为 r=roots(p)
求得多项式p的所有根。
例4.3：求多项式 x 6 2 x 5 0 1 x 4 3 3 x 8 3 2 2 x 8 2 2 13 x 6 19 22 6 的根并在多项式图形中表示。
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参考程序：
q =[1 -20 138 -328 -223 1692 1260]; r=roots(q); x=-2.2:0.05:8; y=polyval(q,x); y1=polyval(q,r); plot(x,y,r,y1,'p') xlim([-2.2,8]) legend('polynomial','roots')
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线性方程组的求解
线性方程组 Ax=b
可以利用矩阵除法直接得到。但当系数矩阵为稀疏矩阵时，利用稀疏矩阵函数可以得到更高的计算效率。稀疏矩阵利用函数
A1=sparse(A); 定义。
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例4.4：求解n阶线性方程组
2 1
0 x1 1
4
也可以利用下面的语句求解
>>

常微分方程全册ppt课件

z z (5) z ; x y
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
都是偏微分方程注: 本课程主要研究常微分方程，同时把常微分方程简称为微分方程或方程
微分方程的阶定义微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数.
z z (5) z ; x y
2 3
(2) xdy ydx 0 ;
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t ; 4 dt dt
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
常微分方程如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程
两种群竞争模型
Lorenz方程
Lorenz吸引子，蝴蝶效应
对初值的敏感性
分形（fractal）
吸引盆
总结
微分方程反映量与量之间的关系，与时间有关，是一个动态系统从已知的自然规律出发，考虑主要因素，构造出由自变量、未知函数及其导数的关系史，即微分方程，从而建立数学模型数学模型的建立有多种方式研究微分方程的解和解结构的性质，检查是否与实际相吻合，不断改进模型由微分方程发现或预测新的规律和性质
如:
dy (1) 2x dx
是一阶微分方程
(2) xdy ydx 0
d 2x dx (3) tx x 0 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t 4 dt dt
3
是二阶微分方程
是四阶微分方程
n阶微分方程的一般形式为
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教学课件
常微分方程

常微分方程课件

n 阶隐式方程的一般形式为 n 阶显式方程的一般形式为

（1.11）
(1.12)

在方程(1.11)中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数 y′,y″,…,y(n)的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程.这样，一个以y为未知函数，以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式：

而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹. 产生这种多解性的原因是因为方程(1.2)所表达的是任何一个自由落体，在任意瞬时t所满足的关系式，并未考虑运动的初始状态，因此，通过积分求得的其通解(1.3)所描述的是任何一个自由落体的运动规律.显然，在同一初始时刻，从不同的高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不同的运动轨迹. 为了求解满足初值条件的解，我们可以把例1中给出的两个初始值条件，即初始位置 x(0)= H 初始速度代入到通解中，推得于是，得到满足上述初值条件的特解为 (1.14)

上式两端同时积分，得到方程(1.19)的通积分
本节要点：
1．变量可分离方程的特征． 2．分离变量法的原理：微分方程（1.18）与分离变量后的积分方程（1.26）当时是同解方程． 3．变量可分离方程一定存在常数解 y=y_0, 并且满足．
第3讲齐次微分方程 1．什么是齐次方程？上一节，介绍了变量可分离方程的解法.有些方程，它们形式上虽然不是变量可分离方程，但是经过变量变换之后，就能化成变量可分离方程，本节介绍两类可化为变量可分离的方程. 如果一阶显式方程（1.9）的右端函数可以改写为的函数，那么称方程(1.9)为一阶齐次微分方程.
回通解，即得所求初值问题的例2 求方程的满足初值条件解方程通解为求导数后得