杭州师范大学高等代数2006--2019年考研真题
杭州师范大学2019考研试题834数学教育学
附件是初中“从自然数到有理数”的教材内容。请依据该内容设计一个详细的教学设计。要求包括以下内容: 学情分析, 教材分析, 教学目标，重点、难点，教学方法，教学过程(反映出教学指导思想和师生的活动情况。)（不低于1000字)
4.统计的核心是培养学生的数据分析观念，简述数据分析Байду номын сангаас程。
5.简述师生谈话法及其基本结构。
6.简述信息技术在数学教学中有效应用的原则。
二、计算题 （每题10分，共20分）
1.求值： .
2.求多项式的积分
三、论述题（每题15分，共30分）
1．谈谈你对数学抽象的认识。
2．结合实践谈谈选择数学教学方法的原则有哪些？
杭州师范大学
2019年招收攻读硕士研究生考试题
考试科目代码：834
考试科目名称：数学教育学
说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。
一、简答题（每题10分，共60分）
1.普通高中数学课程标准（2017年版）提出的数学学科核心素养包括哪些？
2.简述数学学习除一般学习特点外的显著特点。
3.简述如何挖掘数学教材中例题的教育价值。
2006—数一真题、标准答案及解析
2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题一、填空题（1）0ln(1)lim1cos x x x x→+=-.（2）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .（3）设∑是锥面z =（01z ≤≤）的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰.（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = .（5）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A BE =+，则B = .（6）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则{}max{,}1P X Y ≤= . 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（A ）0.dx y <<∆ （B ）0.y dy <∆<（C ）0.y dy ∆<<（D ）0.dy y <∆<【 】（8）设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（A ）2210(,).x xf x y dy -⎰⎰（B ）2210(,).x f x y dy -⎰⎰（C ）2210(,).y yf x y dx -⎰⎰（C ）2210(,).y f x y dx -⎰⎰【 】（9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数（A ）1nn a∞=∑收敛. （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.（C ）11n n n a a ∞+=∑收敛.（D ）112n n n a a ∞+=+∑收敛. 【 】（10）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.【 】（11）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 （A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】（12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1.C P AP -= （B ）1.C PAP -=（C ）.T C P AP =（D ）.TC PAP = 【 】（13）设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有 （A ）()().P A B P A ⋃> （B ）()().P A B P B ⋃>（C ）()().P A B P A ⋃=（D ）()().P A B P B ⋃= 【 】（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<（A ）1 2.σσ<（B ）1 2.σσ>（C ）1 2.μμ<（D ）1 2.μμ> 【 】三 解答题 15 设区域D=(){}22,1,0x y xy x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰. 16 设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<== . 求: (Ⅰ)证明lim n x x →∞存在,并求之 .(Ⅱ)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 17 将函数()22xf x x x =+-展开成x 的幂级数.18 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且22z fx y=+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=. (Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式. 19 设在上半平面D=(){},0x y y >内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的t>0都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L.20 已知非齐次线性方程组12341234123414351331x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有个线性无关的解 Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A = Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解21 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TTαα=--=-是线性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵A,使得TQ AQ A =.22 随机变量x 的概率密度为()()21,1021,02,,40,x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩令其他为二维随机变量(X,Y)的分布函数.(Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y (Ⅱ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭23 设总体X 的概率密度为()()01,0112010x F X x θθθθ<<⎧⎪=-≤<<<⎨⎪⎩其中是未知参数其它,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,1n x x x 中小于的个数,求θ的最大似然估计.2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题解析一、填空题（1）0ln(1)lim1cos x x x x→+-= 2 .221cos 1,)1ln(x x x x -+ （0x →当时）（2）微分方程(1)y x y x-'=的通解是(0)x y cxe x -=≠，这是变量可分离方程.（3）设∑是锥面1)Z ≤≤的下侧，则23(1)2xdydz ydzdx z dxdy π∑++-=⎰⎰补一个曲面221:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩1上侧,2,3(1)P x Q y R z ===-1236P Q Rx y z∂∂∂++=++=∂∂∂ ∴16dxdydz ∑∑Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（Ω为锥面∑和平面1∑所围区域）6V =（V 为上述圆锥体体积）623ππ=⨯=而123(1)0dydz ydzdx z dxdy ∑⨯++-=⎰⎰（∵在1∑上：1,0z dz ==）（4）,1,0,4502x y z d ++==点(2)到平面3的距离22232412502345d ⨯+⨯====++(5)设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4,计算出|A -E |=2,因此|B |=2. （6）91 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分.若0>∆x ，则[A]0)(0)(0)(0)(<∆<<<∆<∆<∆<<y dy D dy y C dy y B y dy A()0,()f x f x '>因为则严格单调增加 ()0,()f x f x ''>则是凹的 y dy x ∆<<>∆0,0故又1(8)(,)(cos ,sin )[C](A)(,)(B)(,)xf x y d f r r rdr f x y dyf x y dyπθθθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰40设为连续函数,则等于222110(C)(,)(D)(,)y y yf x y dxf x y dx --⎰⎰⎰111111111(9)[D]()()(1)()()()2n n n n n n n n n n n n n n n a A a B a a a C a a D a ∞=∞∞==∞∞∞+++===-+∑∑∑∑∑∑ 若级数收敛,则级数收敛收敛收敛收敛也收敛00000000000000000(10)(,)(,)(,)0,(,)(,)0y x y x y x y x y f x y x y x y x y f x y x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x ϕϕϕ'≠=''''≠''''≠≠设与均为可微函数,且已知(,)是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是[D](A)若(,)=0,则(,)=0(B)若(,)=0,则(,)0(C)若(,)0,则(,)=0(D)若(,)0,则(,00000000000000000(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0(,)(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)(,)0x x x y y y y y xy x y y x y f x y x y f x y x y f x y x y x y f x y f x y x y x y f x y x y x y f x y λλϕλϕλϕϕϕϕλϕϕ≠+'''⎧+=⎪'''+=⎨⎪'=⎩'''''≠∴=-='''≠)0构造格朗日乘子法函数F=F =F =F =今代入(1)得今00,(,)0[]y f x y D '≠则故选(11)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（ ）成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(12设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1.(C) C =P T AP . (D) C =PAP T.解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA ,1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1（13）根据乘法公式与加法公式有： P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B)P(A ⋃B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A) 应选C （14）依题：).1,0(~),10(~2211N Y N x σμσμ--，,1}1{1111⎭⎬⎫<⎩⎨⎧-=<-σσμμX P X P .1}1{2222⎭⎫⎩⎨⎧<-=<-σσμμY P Y P 因 },1{}1{21<-><-μμY P X P即 .11222111⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-σσμσσμY P X p 所以.,112121σσσσ<>应选A三、解答题{}22222212120222021(15)(,)1,0,1:011ln(1)ln 21122DDDxyD x y x y x I dxdyx y xydxdy x yr I dxdy d dr r x yr ππππθ-+=+≤≥=++=++===+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 设区域计算二重积分解{}{}{}211112121(16)0,sin (1,2,)(1)lim (2)lim():(1)sin ,01,2sin ,0,lim ,n n n n n n x n n nn n n n n n n n x x x x n x x x x x x n x x x x x x x A π+→∞+→∞+→∞<<===∴<≤≥=≤≥∴= 设数列满足求证明存在,并求之计算解因此当时单调减少又有下界，根据准则1,存在递推公式两边取极限得sin ,0A A A =∴=21sin (2)lim(,n x n n n x x ∞→∞原式=为"1"型离散型不能直接用洛必达法则22011sin lim ln()0sin lim(t ttt tt t e t→→=先考虑2323203311(cos sin )1110()0()lim 26cos sin sin 1262limlim2262t t t t t t t t t t t t t t tt t t ttteeeee →→→⎡⎤⎡⎤--+--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-=====2(17)()2xf x x x x =+-将函数展开成的幂极数()(2)(1)21x A Bf x x x x x ==+-+-+解:2(1)(2)2,32,3A xB x x x A A ++-====令 11,31,3x B B =-=-=-令)](1[131)21(131)1(131)2(132)(x x x x x f --⨯--⨯=+⨯--⨯=10001111((1)(1),132332n n nn n n n n n x x x x ∞∞∞+===⎡⎤=--=+-<⎢⎥⎣⎦∑∑∑（18）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Z f=满足等式22220z z x y ∂∂+=∂∂ （I ）验证()()0f u f u u'''+= （II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式 证：（I ）(22222222zzf x y f x y xyx yx y∂∂''=+=+∂∂++()()22222222222222x x y x y zxf x yf x yxx y xy+-+∂'''=+++∂++()()222222322222x y f x yf x yx y x y '''=+++++()(()22222223222222zy x f x yf x yyx y x y ∂'''=+++∂++同理2222222222()()()0f x y z z f x yx y x yf u f u u'+∂∂''+=++=∂∂+'''∴+=代入得成立（II ）令(),;dp p dp du f u p c du u p u'==-=-+⎰⎰则ln ln ,()cp u c f u p u'=-+∴==22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+=== 由得于是（19）设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y-= 证明：对D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L.证：把2(,)(,)f tx ty t f x y t -=两边对求导 得：(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty tf x y ''+=- 令 1t =，则(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 再令 (,),(,)P yf x y Q xf x y ==-所给曲线积分等于0的充分必要条件为Q Px y∂∂=∂∂ 今(,)(,)x Qf x y x f xy x∂'=--∂(,)(,)y Pf x y y f xy y∂'=+∂ 要求Q Px y∂∂=∂∂成立，只要(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 我们已经证明，Q Px y∂∂∴=∂∂，于是结论成立. (20)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2.两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2→ 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0得同解方程组x 1=2-2x 3+4x 4，x 2=-3+x 3-5x 4，求出一个特解(2,-3,0,0)T 和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T ,(4,-5,0,1) T .得到方程组的通解:(2,-3,0,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(4,-5,0,1)T , c 1,c 2任意.(21) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T , α2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组AX =0的解.① 求A 的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得Q T AQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即 α0=(1,1,1)T 是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0.② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T . 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T . 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 .0 0 0 （22）随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=其他,020,4101,21)(x x x f X ，令2X Y =，),(y x F 为二维随机变量）（Y X ,的分布函数.（Ⅰ）求Y 的概率密度；（Ⅱ）)4,21(-F 解： （Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<=≤=≤=yy y y y X P y Y P y F Y 4,141,)2(10,)1(0,0)()()(2式式⎰⎰=+=≤≤-=-y yy dx dx y X y P 00434121)()1(式； ⎰⎰+=+=≤≤-=-y y dx dx y X y P 00141214121)()2(式. 所以：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<==其他,041,8110,83)()('y yy y y F y f Y Y 这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y 进行适当的讨论即可，在新东方的辅导班里我也经常讲到，是基本题型.（Ⅱ）)4,21(-F 212()22,21()4,21()4,21(2-≤≤-=≤≤--≤=≤-≤=≤-≤=X P X X P X X P Y X P 4121211==⎰--dx . （23）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<=其他,021,110,),(x x x f θθθ，其中θ是未知参数（0<θ<1）.n X X X ,,21为来自总体的简单随机样本，记N 为样本值n x x x ,,21中小于1的个数.求θ的最大似然估计.解：对样本n x x x ,,21按照<1或者≥1进行分类：pN p p x x x ,,21<1，pn pN pN x x x ,,21++≥1.似然函数⎩⎨⎧≥<-=++-其他，,01,,,1,,)1()(2121pn pN pN pN p p N n N x x x x x x L θθθ， 在pN p p x x x ,,21<1，pn pN pN x x x ,,21++≥1时，)1ln()(ln )(ln θθθ--+=N n N L ，01)(ln =---=θθθθN n N d L d ，所以nN =最大θ.。
《浙江大学高等代数2007-2019年考研真题及答案解析》
目录Ⅰ历年考研真题试卷 (2)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (2)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (5)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (7)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (9)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (11)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (13)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (15)浙江大学2015年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (16)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (17)浙江大学2017年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (18)浙江大学2018年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (19)浙江大学2019年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (21)Ⅱ历年考研真题试卷答案解析 (23)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (23)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (31)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (39)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (46)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (52)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (57)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (64)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (70)Ⅰ历年考研真题试卷浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：高等代数编号：601注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。
一、（17分）设整系数的线性方程组为),..2,1(,1n i b x ai j nj ij==∑=，证明该方程组对任意整数n b b b ,..,,21都有整数解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于1±。
杭州师范大学831高等代数专业课考研真题(2020年)
9.设 P[x]n 为数域 P 上全体次数不超过 n 的多项式构成的向量空间。
不付韶华 （1）证明：1, x − a,(x − a)2,,(x − a)n 构成 P[x]n 的一组基，其中 a ∈ P 。
（2）求基1, x − a, (x − a)2 ,, (x − a)n 到基1, x, x2 ,, xn 的过渡矩阵；
A
=
A1 0
0 A2
，其中
A1
和
A2
都是正交矩阵。
7.证明：n 阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是：对于 A 的任一特征值 λ0 ，矩阵
(λ0In − A)2 和 (λ0In − A) 有相同的秩，这里 In 是 n 阶单位矩阵。
以梦为马 8.一个整系数多项式称为是本原多项式，如果它的系数互素。证明：两个本原多项式的乘
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全国高校自命题专业课考研真题（原版试题）
6.设V 为 n 维欧式空间，σ 为V 的一个正交变换。设W 为V 的一个维数小于 n 的σ -不变子空
间，令W ⊥ 为W 的正交补。
（1）证明：W ⊥ 也是一个σ -不变子空间。
（2）证明：存在V 的一组标准正交基 ε1,,εn 使得 σ 在这组基下的矩阵为形如如下矩阵
秩， E 为 n 阶单位矩阵。
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（3）设 f (x) ∈ P[x]n ，证明 Taylor 公式
f (x=) f (a) + f '(a)(x − a) + f ''(a) (x − a)2 + + f (n) (a) (x − a)n 。
2!
n!
10. n 阶矩阵 A 为幂等矩阵（ A2 = A ）的充分必要条件是 r( A) + r(E − A) = n ，这里 r( A) 为 A 的
杭州师范大学高等代数2006--2020年考研初试真题
3.已知线性方程组 。
(1) 取何值时，该方程组有解。
(2)在有解的情况下，求出该方程组的解。
4.求满足 的所有 阶方阵 （这里 是 的伴随矩阵）。
5.求解行列式
。
6.设 为 维欧式空间， 为 的一个正交变换。设 为 的一个维数小于 的 -不变子空间，令 为 的正交补。
（1）证明： 也是一个 -不变子空间。
Dn= 其中b1b2…bn≠0．
3、(20分)设A= （k∈R）
求齐次线性方程组AX=0的解空间的基和维数．
4、(20分)已知n阶实对称阵A是幂等矩阵(即A2=A),且秩A=r, 求det(3I-A)的值．
2009年考试科目代码813考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第1页）
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
2007年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码：414
考试科目名称：高等代数
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；
2、命题时试题不得超过周围边框；
3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；
4、பைடு நூலகம்
5、
一、(20分)
设A∈Mn(C)，f(x)∈C[x]，且 0f(x)＞0，g(x)是以A为根的次数最低的多项式，求证：1、若(f(x)，g(x))=d(x)，则d(A)的秩与f(A)的秩相等；
二、(20分)
计算行列式
D= 。
三、(20分)
求矩阵A= 的逆。
四、(20分)
k为何值时，二次型q(x1,x2,x3)= 是正定的？
五、(20分)
n维向量空间V的任意一个子空间都是某一含n个未知量的齐次线性方程组的解空间。
六、(25分)
浙江师范大学数学分析与高等代数2006真题
入 学 考 试 试 题
考试科目： 数学分析与高等代数 报考学科、专业： 课程与教学论（数学教育学）
数 学 分 析 部 分
一、求下列极限（每小题 5 分，共 30 分） 1． n lim (1 1 ) n ， 3. 5.
2n 1 1 lim ， x 1 x 1 ln x n k lim k ， n k 1 3 ln(1 x) ， tan x n 1 4． n lim ， k ( k 1) k 1 1 3 5 2 n 1 6. lim 。 x 2 4 6 2n
2.
a b b b a b b b a b b b
b b b a
。
七、当 a，b 取何值时，下列方程组有解，在有解的情况下，求解此 线性方程组，并写出方程组的一般解（ 12 分）
2 x1 x2 3 x3 2 x4 6 , 3 x1 3 x2 3 x3 2 x4 5 , ax4 3 , x1 2 x2 5 x 4 x 6 x x b . 2 3 4 1
Q3 的一个线性变换 A，满足：
1 A(ε1，ε2，ε3)＝(ε1，ε2，ε3) 2 3
1 1 3 7 ， 2 4
(1) 求线性变换 A 在 Q 上的特征值与特征向量； （ 8 分） (2) 分别求线性变换 A 的值域 AV 与核 A－1(0)的一组基。 （ 8 分） 十、设 A 是一个实对称矩阵，在 Rn 上定义线性变换 A： Aα＝Aα，
n 1
2．
n 1
n (n 1)!
四、设数列 an 满足 lim
a1 a2 an a a ， a 为实数. 求证 lim n 0 。 n n n n
高等代数考研试题及答案
高等代数考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列矩阵中，哪个不是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [1, -1; 2, 2]2. 设线性变换 \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) 由矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) 给出，那么 \( T(1, 2, 3) \) 的结果是：A. (3, 5, 3)B. (5, 3, 3)C. (1, 2, 3)D. (2, 3, 1)3. 多项式 \( p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的根的个数是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 设 \( V \) 是所有 \( n \) 次多项式的向量空间，\( T: V\rightarrow V \) 是一个线性变换，且 \( T(p(x)) = p'(x) \)。
如果 \( T \) 的特征值为 \( k \)，那么 \( k \) 等于：A. 0B. 1C. -1D. \( n \)5. 下列哪个命题是正确的？A. 每个线性映射都可以用一个矩阵来表示。
B. 矩阵的乘积总是可交换的。
C. 两个相似矩阵必定是同阶矩阵。
D. 行列式的值总是正数或零。
6. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶方阵，如果 \( A \) 的所有特征值的和等于 \( 0 \)，那么 \( A \) 必定是：A. 正交矩阵B. 对角矩阵C. 零矩阵D. 反对称矩阵7. 如果一个 \( n \) 阶方阵 \( A \) 的所有元素都等于 \( 1 \)，那么 \( A^n \) 的迹（trace）是：A. \( n \)B. \( n^n \)C. \( n! \)D. \( 0 \)8. 对于任意 \( n \) 阶方阵 \( A \)，下列哪个选项是正确的？A. \( \det(A^2) = (\det A)^2 \)B. \( \det(A^T) = \det A \)C. \( \det(A + I) = \det A + 1 \)D. \( \det(A) = \det(A^T) \)9. 设 \( V \) 是一个向量空间，\( T: V \rightarrow V \) 是一个线性变换，如果 \( T \) 的一个特征向量 \( v \) 满足 \( T(v) = \lambda v \)，那么 \( T \) 的逆变换 \( T^{-1} \)（如果存在）将 \( v \) 映射到：A. \( \lambda^{-1} v \)B. \( \frac{1}{\lambda} v \)C. \( v \)D. \( v + \lambda v \)10. 下列哪个矩阵是正交矩阵？A. \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)B. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)C. \( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)D. \( \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式 \( \det A \) 等于 _______。
杭州师范大学数学分析与高等代数真题12-18
12
设函数
f
(x)
在0, 2
上导函数连续，且
f
x
0 ，求证：对任意自然数 n
有
2 0
f
xsin nxdx
2 n
f
2
f
0
13 证明：函数 f x nenx 在 0, 上连续。 n1
14
求函数
x, y
xn
yn 2
, n 1 在 x
y a,a 0, x 0, y 0 条件下的极值，并证
2n 3n
1x
2
n
的和函数。
（15 分）
六、求椭球面 x2 2 y2 4z2 1到平面 x y z 7 0 的最短距离。
（15 分）
2015 年 考试科目代码 720 考试科目名称数学分析（本考试科目共 2页，第 1 页）
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
七 、 计 算 积 分 zdxdydz ， 其 中 积 分 区 域 V 是 由 球 面 x2 y2 z2 4 与 抛 物 面
二
证明：若数列an满足： a1
0, an
an1 3 4
,n
2,
则 an 有极限，并求
之。（15 分）
三 设 f x | x 1|3 2, x ,, 试求 f 'x 和 f ''x， 又问 f '''1是否
2013 年 考试科目代码 721 考试科目名称 数学分析 （本考试科目共 2页，第 1 页）
0
3
x0,2
（15 分）
2015 年 考试科目代码 720 考试科目名称数学分析（本考试科目共 2页，第 2 页）
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
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2019年招收攻读硕士研究生考试题
考试科目代码：838
考试科目名称：高等代数
说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。
每题15分，共150分
1.求下列行列式的值： .
2.设 ，其中Q为有理数域.
（1）证明： 对于矩阵加法和数乘构成有理数域上的向量空间；
（2）求 的一组基；
（3）求 中的向量 在（2）中所求的基下的坐标.
5、(20分)设a，b为两个复数，令
Va={f(x)|f(x)∈F[x]，f(a)=0}，Vb={g(x)|g(x)∈F[x]，g(b)=0}，
为F[x]的两个子空间，试证：Va与Vb同构．
6、(20分)设V=V1 V2，σ，τ∈L(V)，对于 α=α1+α2∈V，都有σ(α)=α1，
(α1∈V1，α2∈V2)，求证V1与V2都是τ的不变子空间 στ=τσ．
Dn= 其中b1b2…bn≠0．
3、(20分)设A= （k∈R）
求齐次线性方程组AX=0的解空间的基和维数．
4、(20分)已知n阶实对称阵A是幂等矩阵(即A2=A),且秩A=r, 求det(3I-A)的值．
2009年考试科目代码813考试科目名称高等代数（本考试科目共2页本页第1页）
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
4、(15分)已知矩阵A= 与B= 相似，求实数a，b．
5、(10分)设σ是n维欧氏空间V的一个正交变换，求证如果V的一个子空间W是σ的不变子空间，那么W的正交补W⊥也是σ的不变子空间．
杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
杭州师范大学
2009年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码：813
考试科目名称：高等代数
2、f(A)可逆 (f(x)，g(x))=1．
二、(20分)
计算Dn=
三、(15分)
设A为n阶方阵，I为n阶单位阵，且满足A3=3A(A－I)，试证A－I为可逆阵，并求(A－I)-1．
四、(20分)
设A= （k∈R）分别求矩阵A的秩；并求AX=0的基础解系。
五、(15分)
a为何值时，下列线性方程组有惟一解？无解？无穷多解？并给出一般解。
研究方向：
考试科目：高等代数
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；
2、命题时试题不得超过周围边框；
3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；
4、
5、
一、(25分)
1）已知f(x)，g(x)∈Z[x]，g(x)是本原多项式，又f(x)=g(x)h(x)，则h(x)∈Z[x]。
2）求证，多项式f(x)=x6+x3+1在有理数域Q上不可约。
8.设有实对称矩阵 ，求正交矩阵 使得 为对角矩阵.
9.设整系数的线性方程组 ，证明：该方程组对任意整数 都有整数解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于 .
10.设欧氏空间 中有向量
.证明：如果对于所有 都有 ,那么 .
杭州师范学院
2006年攻读硕士学位研究生入学考试题
学科专业：基础数学、应用数学
六、(20分)
σ是向量空间F4上的线性变换，对于任意ξ∈F4，有σ(ξ)=Aξ；其中
A=
求线性变换σ的像和核的基与维数．
七、(20分)
设A= ，B= ，C= ．
若A为三维向量空间V的线性变换σ关于基{α1，α2，α3}的矩阵，则B与C是σ关于V的其他基的矩阵吗?试予以判断，并说明理由。
八、(20分)
3.已知矩阵 ，计算 .
4.设 是实矩阵， 是m维列向量. 证明：方程组 恒有解.
5.设 ，其中 为互不相同的整数，试判断： 在有理数域上是否可约，并说明理由.
6.设 为数域P上n阶方阵，在数域P上有多项式 .设 分别是齐次线性方程组 的解空间.假设 ，证明： .
7.证明：设实二次型 的矩阵为 ，若 ，则必存在一组数 使得 .
已知二次型f(x1,x2,x3)=5 +5 +t -2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩为2，
1）确定参数t；
2）用正交变换把二次型化为标准形，并给出所用的正交阵；
3）指出方程f(x1,x2,x3)=1表示何种二次曲面。
杭州师范大学
2008年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码：814
考试科目名称：高等代数
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；
2、命题时试题不得超过周围边框；
3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；
4、
5、
1、(15分)求证，多项式x6+x3+1在有理数域上不可约．
2、(15分)计算行列式
Dn= （注：主对角线以外全是x）
3、(15分)设A= （k∈R），求AX=0的解空间的基和维数．
7、(20分)设W为n维欧空间V的n-1维子空间，且V中的非零向量α与W正交，即<α，W>=0；若σ∈L(V)，且对于 ξ∈W，都有σ(ξ)=ξ，而σ(α)=-α，则σ是一个正交变换．
2007年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码：414
考试科目名称：高等代数
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；
2、命题时试题不得超过周围边框；
3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；
4、
5、
一、(20分)
设A∈Mn(C)，f(x)∈C[x]，且 0f(x)＞0，g(x)是以A为根的次数最低的多项式，求证：1、若(f(x)，g(x))=d(x)，则d(A)的秩与f(A)的秩相等；
二、(20分)
计算行列式
D= 。
三、(20分)
求矩阵A= 的逆。
四、(20分)
k为何值时，二次型q(x1,x2,x3)= 是正定的？
五、(20分)
n维向量空间V的任意一个子空间都是某一含n个未知量的齐次线性方程组的解空间。
六、(25分)
σ是向量空间F4上的线性变换，对于任意(x1,x2,x3,x4)∈F4，
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；
2、命题时试题不得超过周围边框；
3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；
4、
5、
1、(15分)设f(x)∈Z[x]，f(x)对四个不同整数ai(i=1、2、3、4)的值都为1，即f(ai)=1，则f(x)+1无整数根．
2、(15分)利用升阶法计算n阶行列式
有σ(x1,x2,x3,x4)= (x1-x2+5x3-x4，x1+x2-2x3+3x4，3x1-x2+8x3+x4，x1+3x2-9x3+7x4)；
求线性变换σ的像Im(σ)和核Ker(σ)的基与维数。
七、(20分)
已知A= ，求一个矩阵B，使A=B2。
（提示：利用A的特征根、特征向量）
杭州师范学院