博弈的扩展式表述
博弈论讲义2-完全信息动态博弈
2.1 博弈的扩展式表述 2.2 扩展式博弈的策略与均衡 2.3 完美信息扩展式博弈的SPNE 2.4 子博弈精练下的策略性行动
动态博弈：参 与人行动有先 后顺序，且后
2.5 子博弈精炼NE应用举例
2.6 重复博弈
行动者能够观
察先行动者选 择的行动。
有限次重复博弈
海萨尼公理：当存在外生不确定性时，假定所有参与人对N的选择具有相同 的先验概率,且这种概率分布是共同知识。
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余向华
2
房地产开发博弈的 一种可能的扩展 开发 式表述
N
大 信息集
开发
A
参与人(A,B,N)
结：初始结 不开发
枝:行动 N
小
结：决策结 小
大
1/2
1/2
1/2
1/2
B
不开发
B
不开发 开发
B
开发
x
不开发
B
开发
x’
不开发
•
(-3,-3)
(1，0) （0，1)
(0,0)
•
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如何写出下面扩展式博弈的纯策略？ 男
足球
芭蕾
女
芭蕾
x
足球
女
芭蕾
x’
足球
(1,2)
(-1，-1)（0，0)
(2,1)
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又例
1 上 2 h2(1) 右 h1(2) 左 h1(3) h1(1) 下 2 h2(2) 右
集上可选行动的个数, ∑pij =1）。
行为策略中，不同信息集上的概率分布是相互独立的；
第3讲 完全信息动态博弈
最优化的一阶条件意味着： s（q1） （a q1 c） =1 2 2
第3讲 完全信息动态博弈
假定q1 a c。这实际上是库诺特模型中企业2的反应函数，不同的 是，这里，s（q1）是当企业1选择q1时企业2的实际选择，而在库诺 2 特模型中，R2 q1）是企业2对于假设的q1的最优反应。 （ 因为企业1预测到企业2将根据s（q1）选择q 2，企业1在第一阶段的问 2 题是： max 1 = q1，s（q1）=q1 a q1 s（q1） c） （ 2 2
第3讲 完全信息动态博弈
• 这个例子也说明，在博弈中，拥有信息优势可能 使参与人处于劣势，而这在单人决策中是不可能 的。企业2在斯坦克尔伯格博弈中的利润之所以低 于库诺特博弈中的利润，是因为它在决策之前就 知道了企业1的产量。即使企业1先行动，但如果 企业2在决策之前不能观测到企业1的产量，我们 就回到了库诺特均衡，因为此时，企业1的先动优 势就不存在了。
第3讲 完全信息动态博弈
* 1 回忆一下，在上一讲得到的库诺特模型的纳什均衡是q1 =q* = （a c）， 2 3 3 比较这两个结果，发现斯坦克尔伯格均衡的总产量 （a c）大于库诺特 4 2 的总产量 （a c）。但是，企业1的斯坦克尔伯格均衡产量大于库诺特 3
均衡产量，而企业2的斯坦克尔伯格均衡产量小于库诺特均衡产量。 因为企业1本来可以选择库诺特均衡产量但它没有选择，说明企业1在斯坦 克尔伯格博弈中的利润大于库诺特博弈中的利润，而总产量上升意味着 总利润下降了从而企业2的利润一定下降了。这就是所谓的“先动优势”。
第3讲 完全信息动态博弈
• 宏观经济政策的动态一致性 宏观经济学上与子博弈精炼纳什均衡相对应的概 念是政府政策的动态一致性（dynamic consistency 或time consistency）。政府政策 的动态一致性指的是，一个政策不仅在制定阶段 应该是最优的（从政府的角度），而且在指定之 后的执行阶段也应该是最优的，假设没有任何新 的信息出现。如果一个政策只是在制定阶段是最 优的，而在执行阶段并不是最优的，这个政策就 是动态不一致的。说它是动态不一致的，是因为
博弈论策略的扩展式和战略式表述
博弈论策略的扩展式和战略式表述下载温馨提示:该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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博弈的扩展式表述
03:23:30 经济管理学院 曹正勇 1
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RECALL) 5,完美回忆(PERFECT RECALL) 完美回忆( 指没有参与人会忘记自己以前知道的 事情, 事情,所有参与人都知道自己以前的选 择. 见下例: 见下例:
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参与人不具完美回忆的两个例子
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�
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以下按理对信息集进行直观的解释: 以下按理对信息集进行直观的解释:
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下例中: 下例中:B有2个信息集 ,每个信息集对应两个决策结
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4,完全且完美信息博弈 单结信息集. 只包含一个决策结的信息集称为单结信息集. 如果博弈树的所有信息集都是单结的, 如果博弈树的所有信息集都是单结的,该博弈称为 完美信息博弈. 注意:完美信息博弈意味着博弈中没有任何两 注意: 个参与人同时行动,并且所有后行动者能确切 确切地知 个参与人同时行动,并且所有后行动者能确切地知 道前行动者选择了什么行动,所有参与人都观测 都观测到 道前行动者选择了什么行动,所有参与人都观测到 自然的行动. 自然的行动.
完美信息博弈意味着博弈中没有任何两个参与人同时行动并且所有后行动者能确切地知道前行Байду номын сангаас者选择了什么行动所有参与人都观测到自然的行动
博弈论的extensive form
博弈论的extensive form博弈论是研究具有相互冲突和合作元素的情境下的决策制定的数学理论。
在博弈论中，一个游戏（博弈）可以被表示为扩展式（extensive form）或标准式（normal form）。
扩展式博弈也被称为树形结构，它详细地描述了游戏的所有可能的决策过程和时间顺序。
在扩展式博弈中，每个玩家根据游戏的历史（从根节点到当前决策点的路径）做出选择。
这种表示方法允许捕捉到玩家之间的行动顺序和信息传递，非常适合描述具有时间序列和信息不完全的动态决策过程。
扩展式博弈的主要组成部分包括：1. 历史（History）：历史是一个有序集合，表示从博弈的开始到当前决策点所采取的行动序列。
在扩展式博弈的树形结构中，历史从根节点开始，每个节点代表一个决策点，节点之间的路径代表了行动的历史。
2. 玩家函数（Player Function）：玩家函数P(h) 定义了在历史h 之后做出决策的玩家。
在扩展式博弈中，玩家函数确保了在每一个决策点，只有一个玩家负责做出选择。
3. 纯策略（Pure Strategy）：纯策略是玩家在每个决策点上可能采取的行动集合。
一个玩家在扩展式博弈中的纯策略可以被表示为一个函数，该函数将历史映射到一个具体的选择上。
4. 博弈长度（Length of the Game）：博弈长度l(G) 是指从根节点到叶节点的最长路径长度，它代表了博弈的持续时间。
扩展式博弈的优点在于它能够精确地描述玩家之间的决策顺序和信息结构，但它也有可能变得非常复杂，尤其是在参与者数量多或者决策序列长的情况下。
尽管如此，扩展式博弈是分析具有时序特征和信息不完全的决策问题的有力工具，特别是在经济学、政治学、心理学和人工智能等领域。
4.3博弈扩展式向策略式表述的转化
博弈扩展式表述转化为策略式表述有时为了理论研究，借助策略式表述博弈的结果分析扩展式博弈，需要将扩展式博弈转化为策略式表述博弈。
扩展式博弈的策略定义是：参与人在其每一个信息集上都要给出一个行动方案。
扩展式博弈分析的重要工作内容就是确定每个参与人在其每个信息集上如何进行行动选择。
策略一般地，若参与人i 的信息集集合为H i ，信息集i ∈H i 上的行动集为A i (i ),该行动集上的行动为a i (i )∈A i (i ),则参与人i 的策略则可表示为h i k i ∈ Hi {a i (i )}若参与人在每个信息集上的行动可以随机化，则称该策略为行为策略（behavioral strategy ），可记为h i k i ∈ Hi {i (i )}，其中，i (i )∈（A i (i )）策略——一个例子请写出右图所示的博弈树双方各自的策略。
1有2个信息集，第一个信息集有三个行动，第二个信息集有2个行动。
因此共有六个策略。
可记参与人1的策略集为S 1={Aa ,Ab ,Ba ,Bb ,Ca ,Cb }。
这样表示的含义，以策略Bb 为例，表示的是参与人1在第一个信息集选行动B ，第二个信息集选行动b 。
同理，参与人2有两个信息集的策略集可以表示为S 2={lL ,lR ,rL ,rR }支付函数的确定确定了一个策略组合，就确定了相关路径。
通过对相关路径结果的分析，就可以确定参与人在该策略组合下的支付值。
以Aa VS lL 为例，这个策略组合确定的路径为所以在策略组合{Aa , lL }对应的支付向量为（4，1）参与人1的策略集为S 1={Aa ,Ab ,Ba ,Bb ,Ca ,Cb }，参与人2的策略集为S 2={lL ,lR ,rL ,rR }支付函数的确定分析策略组合{Ca , lL }对应的博弈路径。
参与人在博弈开始首先选择行动C ，然后到达虚拟参与人结点Chance 。
在Chance 点，两条路径出现的概率分别为1/4和3/4，对应的支付向量分别为(0, 0)和(8, 8)。
博弈论(整理过名词解释和简答)
博弈论(整理过名词解释和简答)一、名词解释：1、博弈：一些个人、团体或其他组织，在一定的规则约束下，依据所掌握的信息，同时或者先后，一次或者多次从允许选择的行为或战略进行选择并加以实施，并从中各自取得相应结果或收益的过程。
2、囚徒困境：从博弈中的两个利益主体出发选择行为，结果是既没有实现两人总体的最大利益，也没有真正实现自身的个体最大利益，比如经济领域的寡头竞争、公共产品的供给。
3、非合作博弈与合作博弈：人们行为相互作用时，当事人能达成一个具有约束力的协议，也就是合作博弈，反之，就是非合作博弈。
4、常和博弈：是指博弈双方的得益总和为非零的常数变和博弈：是指在不同的策略组合或者结果下，所有博弈方的得益总和一般是不相同的零和博弈：是指在博弈中，一方的得益就是另一方的损失，所有博弈方的得益总和为零5、博弈论：研究决策主体的行为及其相互决策和均衡问题的学科。
在经济学中，博弈论是研究经济主体的决策相互影响6、战略：参与人在给定信息集的情况下的行为规则的完备描述。
7、均衡：所有参与人的最优战略组合。
8、均衡路径：如果一个博弈有几个子博弈，一个特定的纳什均衡决定了原博弈树上唯一的一条路径，或者说是一个纳什均衡结果在博弈树中所形成的路径。
9、占优均衡：无论其他参与人选择什么战略，参与人的某一种战略均是最优的。
10、重复剔除劣战略的占优均衡：首先找到某个参与人的劣战略（假定存在），把这个劣战略删除掉，重新构造一个不包含已删除的劣战略的新的博弈，然后再删除这个新的博弈中的某个参与人的劣战略，一直重复这个过程，直到只剩下唯一的战略组合为止。
11、纳什均衡：给定你的策略，我的策略是最好的策略；给定我的策略，你的策略也是最好的策略，即双方在给定的战略上不愿意改变自己的策略。
12、混合战略：如果一个战略规定参与人在给定信息情况下以某种概率随机选择不同的行为，我们称该战略为混合战略。
13、子博弈：从单结信息集开始至博弈结束的过程，由一个决策结x和所有的后续决策结T(x)构成，满足条件：(1)决策结x是单结信息集；(2)在一个信息集的决策结必须是同一个决策结的后续结。
金融数学博弈论基础3解析
（2）该参与者知道博弈进入该集合的某个决策结， 但不知道自己究竟处于哪一个决策结.
2.4.B 子博弈精炼纳什均衡 （回顾）前面第2.3.B 给出的子博弈精炼纳什均衡 战略，子博弈，共同知识等概念，仅限于重复博弈， 下面将子博弈精炼纳什均衡的概念 用于一般的完全信 息动态博弈. （回顾） 2.3.B子博弈的非正式定义，即从博弈进 行到的某一点开始，前面整个博弈的进行过程在所有 参与者中都是共同知识，始于该点的其余部分的博弈 就是原博弈的一个子博弈（限于重复博弈）.
一信息集中， 用虚线把这些决策节连起来.
看下面的例子， 三阶段动态博弈树
1. 参与者1 从可行集 A1 {L, R}中选择一个行动a1；
2. 参与者2观测到a1，然后从从可行集 A2 {L, R} 中选择一个行动a2；
3. 参与者3观测是否(a1, a2 ) (R, R), 然后从从可
行集 A3 {L, R}中选择一个行动a3 .
战略2：如果参与者1选择L，则选择 L, 如果参与者
1选择R，则选择 R, 表示为(L, R); 战略3：如果参与者1选择L，则选择 R, 如果参与者
1选择R，则选择 L, 表示为 (R, L); 战略4：如果参与者1选择L，则选择 R, 如果参与者
1选择R，则选择 R, 表示为 (R, R).
考虑参与者1的战略. 参与者1有两个行动，也只有1 个战略. 因为参与者1行动时，只面对一种情况，因此，
说明：一般来讲，静态博弈一般用标准式表述，动
态博弈一般用扩展式表述. 但不是绝对的. 任何博弈都
既可以用标准式表述，也可以用扩展式表述，只是选择
哪一种表述形式更方便些而已.
博弈树描述博弈的扩展式
2 扩展式博弈与标准式博弈
（1）标准式博弈转换为扩展式博弈 硬币游戏（零和博弈）
正面朝上
乙
甲1 乙 -1
正面
甲
朝上
反面朝上
甲 -1 乙1
反面 朝上
正面朝上
乙 反面朝上
甲 -1 乙1
甲1 乙 -1
• 信息集：当参与人轮到自己行动时所了 解的信息
• 在同时行动的博弈中，即使用扩展式博 弈来描述，甲、乙的行动也是不分先后 的
– 在上例中，可将乙放在甲的位置上，则甲的 两个结点属于同一信息集
猜硬币游戏/包袱剪子锤 最后通牒博弈
小结
• 博弈有两种形式：标准式（也称战略式）和扩 展式
– 标准式博弈描述的是同时行动（静态） – 扩展式博弈描述的是序贯行动（动态）
• 标准式和扩展式可以相互转化
– 动态博弈中将行动描述为相机战略，也可以用标准 式表示
– 标准式博弈使用信息集也可以用扩展式来表达
1，-1
下中上 1，-1
-1，1
1，-1
强 齐 王中
弱
博弈描述的复杂性
——再谈田忌赛马
强
中
田中
田忌 弱
忌弱
强
中
强
齐王
弱
田忌 弱 强
田 忌
田 忌中 弱强 中来自齐王 强 弱齐王 强
弱
田忌 弱
田忌 强
弱
田忌
强 中
田忌 强
中
弱
性别战 懦夫博弈（斗鸡博弈）
– 鹰鸽博弈
智猪博弈
假设猪圈里有一头大猪、一头小猪。猪圈的一头有猪食槽，另一头安装着控 制猪食供应的按钮，按一下按钮会有10个单位的猪食进槽，但是谁按按 钮就会首先付出2个单位的成本，若大猪先到槽边，大小猪吃到食物的收 益比是9∶1；同时到槽边，收益比是7∶3；小猪先到槽边，收益比是 6∶4。那么，在两头猪都有智慧的前提下，最终结果是小猪选择等待。
经典：博弈论-完全信息动态博弈
2、博弈的扩展式表述的要素
博弈的扩展式表述包含以下要素： （1） 参与人集合：i=1，2，…，n。此外，用N代表虚拟
参与人——自然。 （2） 行动顺序：谁在什么时候行动。 （3） 参与人的行动空间： （4） 参与人的信息集： （5） 参与人的策略集： （6） 参与人的支付函数： （7）外生事件的概率分布。
博弈的收益矩阵
（1）高需求
开发 开发商A 不开发
（2）低需求
开发 开发商A 不开发
开发商B
开发
不开发
2, 2
4, 0
0, 4
0, 0
开发商B
开发
不开发
－1, －1
1, 0
0, 1
0, 0
博弈分类
按开发商博弈的先后顺序分： 静态博弈：两个开发商同时决策，或后决策者不
能观察到先行动者的行动。 动态博弈：博弈有先后顺序，且后决策者能观察
完全信息动态博弈图示：N A B
开发 （2,2）
高需求
○
A
N
低需求
开发 不开发 开发 不开发
不开发 （4,0）
开发 （0,4） B 不开发 （0,0）
开发 （-1,-1） 不开发 （1,0）
开发 （0,1） 不开发 （0,0）
（4）不完全信息动态情形：ANB
开发商A不清楚市场的需求状态，决定是否开发； 开发商B 在观察到市场需求和A的决策后决定是否开发。
到先行动者的行动后再行动。 按开发商是否知道市场需求状态分：
完全信息博弈：若两个开发商都知道市场需求状 态（高需求或低需求）。
不完全信息博弈：由自然决定市场的需求状态， 两开发商不知道。 共同知识：在市场各种可能状态和各开发商不同策 略组合下的得益矩阵是双方的共同知识。
博弈模型扩展式
博弈模型扩展式博弈模型中的扩展式，亦称为“博弈树”，是描述动态博弈的一种方式。
这种方式注重对参与人在博弈过程中所遇到决策问题的序列结构的详细分析。
它包含以下要素：参与人集：即参与博弈的所有个体或团体。
参与人的行动集：每个参与人在博弈中可能采取的所有行动的集合。
博弈历史：指参与人行动之前所有参与人的行动序列，它影响当前参与人的信息集和可选行动。
信息集：描述参与人在特定时刻所掌握的信息，即他们在选择行动时所依据的信息。
博弈的先后顺序：即谁在什么时候行动，这决定了博弈的动态结构。
事前的概率分布：在不完全信息博弈中，“自然”根据客观的概率分布选择参与人的类型。
参与人的效用函数：描述每个参与人在博弈结束时所获得的收益或效用，它是参与人选择行动的依据。
扩展式博弈的每一个节点（称作决策节点）表示博弈进行中的每一个可能的状态。
博弈从唯一一个初始节点开始，通过由参与者决定的路径到达终端节点，此时博弈结束，参与者得到相应的收益。
每个非终端节点只属于一个参与者，参与者在该节点选择其可能的行动，每个可能的行动通过边从该节点到达另一个节点。
此外，扩展式允许互动的显式模型，这意味着一个参与者可以在博弈中多次行动，并且在不同的状态中可以做出不同的行为。
但需要注意的是，一些博弈中，参与者并不是一直能观察到另一个人的选择（例如，同时行动或者行动被隐藏），这使得参与者无法区分信息集里的多个节点。
每一个扩展式博弈都对应唯一的一个策略式博弈，但反过来不成立，因为同一个策略式博弈可能有不同的扩展式博弈与之相对应。
当我们继续深入探讨扩展式博弈模型时，可以进一步考虑以下几个方面：完美信息与非完美信息：完美信息博弈：在这种博弈中，每个参与者在选择行动时都能观察到之前所有参与者的行动。
换句话说，每个参与者都知道博弈的完整历史。
国际象棋和围棋都是完美信息博弈的例子，因为在这些游戏中，每个玩家都可以看到棋盘上的所有棋子及其移动历史。
非完美信息博弈：在这种博弈中，至少有一个参与者在选择行动时无法观察到之前所有参与者的行动。
扩展式博弈优质内容
1.战略式博弈从本质上来讲是一种静态模型
• 战略式博弈从本质上来讲是一种静态模型， 它假设所有的参与人同时选择战略并实现 博弈在各种情形下的结果，至于博弈中参 与人何时行动，战略式博弈并不考虑。
• 虽然战略式博弈也可用来对动态博弈进行 建模，但从所得到的模型中，我们无法直 观地观察到动态博弈所具有的动态特性。
• 此时，可以采用博弈树对一个扩展式博弈 进行描述；
• 博弈树：就是由结和有向枝构成的“有向 树”。
企有最业“上1开端的发的选”一择和个点(用空心圆 “表不示开)，发表”示，博弈的开始 。 分表别示用博标弈有达到 “该开点发时”企和业的 “所不得开，发其”中的， 有支向付枝向表量示中。的 第一个数字表 示企业1的所得， 第二个数字表 示企业2的所 得。
(4) 给出了博弈中各企业的支付。
• 除了“企业2行动时是否观测到企业1的选 择”这一点暂时无法从上图中知道以外， 完全信息动态的“新产品开发博弈” 扩 展式描述所需要的信息，都可以从上图中 得到。
• 问题：如何在博弈树中，将“企业2行动 时是否观测到企业1的选择”这一信息表 示出来？
• 在完全信息动态的“新产品开发博弈” 中，企业2决策时，企业1已经做出选 择。此时，企业2面临的决策情形就 有以下两种：
(1) 企业2知道企业1的选择；
(2) 企业2不知道企业1的选择。
• 对于第一种情形，企业2知道企业1的选择， 即知道企业1选择了“开发”还是“不开 发”，因此，企业2知道博弈是从x1到了x2 还是从x1到了x3。
• 对于第二种情形，企业2不知道企业1的选 择，即不知道博弈是从x1到了x2还是从x1到 了x3。
其中，对
si : Hi Ai (Hi )
博弈论算法讲义
博弈论算法一、博弈的战略式表述及纳什均衡的定义在博弈论里，一个博弈可以用两种不同的方式来表述：一种是战略式表述（strategic form representation ），另一种是扩展式表述（或译为“展开式表述”）（extensive form representation ）。
从分析的角度看，战略式表述更适合于静态博弈，而扩展式表述更适合于讨论动态博弈。
1.1博弈的战略式表述战略式表述又称为标准式表述（normal form representation ）。
在这种表述中，所参与人同时选择各自的战略，所有参与人选择的战略一起决定每个参与人的支付。
战略式表述给出：1.博弈的参与人集合：(),1,2,,i n ∈ΓΓ=。
2.每个参与人的战略空间：,1,2,,i S i n =。
3.每个参与人的支付函数：12(,,,),1,2,,i n u s s s i n =。
我们用()11,,;,,n n G S S u u =代表战略式表述博弈。
例如在两个寡头产量博弈里，企业是参与人，产量是战略空间，利润是支付;战略式表述博弈为：{}121122120, 0; (,), (,)G q q q q q q ππ=≥≥ (1.1)这里i q 、i π别表示第i 个企业的产量和利润。
1.2纳什均衡的定义有n 个参与人的战略式表述博弈()11,,;,,n n G S S u u =，战略组合{}1,,,,i n s s s s ****=是一个纳什均衡。
如果对于每一个i 、i s *是给定其他参与人选择{}111,,,,,i i i n s s s s s *****--+=的情况下第个参与人的最优战略，即(,)(,),,i i i i i i i i u s s u s s s S i***--≥∀∈∀ (1.2)或者用另一种表述方式，i s *是下述最大化问题的解:111argmax (,...,,,,...,),1,2,..., ;i i i i i n i i s u s s s s s i n s S *****-+∈=∈(1.3)我们用这个定义来检查一个特定的战略组合是否是一个纳什均衡。
博弈的描述
后，局中人 1 从 52 张纸牌中抽出一张牌，自己看完 牌的颜色后，决定是停牌（ fold ）还是加注 (raise) 。 若是停牌，需要将牌出示给 2 看，然后博弈结束。 此时，牌若是红色，局中人1赢，否则，则1输。若 是加注，局中人 1 需再拿出一元钱作为赌注，然后 局中人 2 决定是放弃（ pass ）还是追随 (meet) ，若 放弃，局中人1赢，博弈结束；若追随，则2需要也 拿出一元钱作为赌注，然后，1出示牌，若红色，1 赢，否则，1输。
Rf
Fr
Ff
(-2,2)
(1,-1)
(-1,1)
24
三、扩展式博弈的标准式表述
第一步：找出参与人的策略
参与人1的策略 S1={Rr,，Rf，Fr，Ff} 参与人2的策略 S2={M， P}
25
三、扩展式博弈的标准式表述
第二步：计算每一个策略组合下的报酬
策略组合（Rf, M）下参与人1和2的报酬
8
一、扩展式博弈（续5）
2、构成扩展式的要素
局中人集合
行动顺序
依赖行动的报酬 采取行动时掌握的信息 外生事件的概率分布
9
一、扩展式博弈（续）
3、扩展式的严格定义
节点：xm 枝： ( xm1 , xm ) 路径： {( x1 , x2 ), ( x2 , x3 ),, ( xm1 , xm )}
(2,-2)
(1,-1)
0
1
(1,-1)
(-2,2)
raise 2
(1,-1) (-1,1)
7
一、扩展式博弈（续4）
一个人不可能在他不知道有哪些选择的情 况下作出有意义的选择。 为了保证局中人在博弈的任何节点总是知 道他面临的选择，如果两个决策节属于同 一局中人的同一个信息集，那么他们的行 动分支就必须相同。
第6章：扩展式博弈及其均衡)
开发
-0.3,-0.3 -0.3,-0.3 0.1,0 0,0.1 0,0 0,0.1
0.1,0 0,0
A
不开发
注意：均衡与均衡结果是不同的!!!
SA = A(h(O))
= {开发，不开发 ; }
SB = A(h(x1)) × A(h(x2 )) ={{开发，开发},开发，不开发}, { {不开发，开发},不开发，不开发} { }
定义1：设 S = (s , s ,..., s ， S*为扩 ) 展式的一个Nash均衡，当且仅当 ∀i ∈Γ
* * 1 * 2 * n
s ∈argmaxUi (si , s−i )
* i * si∈Si
或者∀si ∈Si， i (si , s ) ≥ Ui (si , s )。 U
* −i * −i
所有参与人的一个纯战略组合
s = (s1, s2 ,..., sn )
决定了博弈树上的一个路径，例如（开发， {不开发，开发}）决定了博弈路径： A (0.1,0) 开发 B 不开发
战略组合（不开发，{开发，开发}）决定了 博弈路径： A (0,0.1) 不开发 B 开发
不同的纯战略组合可能决定同一个路 径，例如，战略组合（开发，{不开发， 开发}）和（开发，{不开发，不开发}） 决定了： A (0.1,0) 开发 B 不开发
∀x1, x2 ∈ X ,
≺
x1 ≺ x2 ⇔ x1在 2之 x 前
1）传递性（transitivity）：
≺满足：
∀x1, x2 , x3 ∈ X , 若 1 ≺ x2，x2 ≺ x3,则 x x1 ≺ x3
2）反对称性（asymmetricity）：
∀x1, x2 ∈ X , 若 1 ≺ x2， x 则 x2 ≺ x1 不 立 成 。
完全信息动态博弈
乙 借 不借 甲 借
乙
不借
甲 (1,0)
(1,0)
分
不分
分
不分
(2,2) (2,2) (0,4) 打
乙 不打 (0,4)
不可信的许诺 (1,0)
可信的威胁
先来后到博弈
在市场经济活动中常常有这样一种现象，当某个厂商先行开 拓或占领了某个市场以后，其他厂商为丰厚的利润所吸引也 会随后跟进。这时，先占领市场者大多都不会无动于衷，而 是利用自己先行一步的优势对后来者进行打击。但这种打击 往往需要付出一定代价，当然如果能够达到挤走后来者的目 的，它就会长期地独占或垄断市场，所以长期地看先到者还 是合算的。那么，当一个先到者面临一个后来者争夺市场的 威胁时，空间应该如何抉择呢？
* A t A n n * Bi t Bi i 1 i 1
(a v c) 2 (2n 1)(a v c) 2 , ] 解得： t [ 2 4n(n 1)b 4n(n 1) b
(a bQ v c)Q n(a w v)[a v nw (n 1)c] b(n 1) 2
Bi qi a bQ w v bqi 0 awv qi ( n 1)b Q qi
i 1 n
n( a w v ) ( n 1)b
子博弈精炼纳什均衡的应用举例
斯坦克尔伯格(Stackelberg)寡头竞争模型 如同在库诺特模型中一样，在斯坦克尔伯格模型中，企业的行动也 是选择产量。不同的是，在斯坦克尔伯格模型中，企业1(称为领头 企业，leader)首先选择产量q1，企业2(称为尾随企业，follower) 观测到q1，然后选择自己的产量q2，此时他们选择的产量以及所得 利润分别是多少?
第六讲 博弈的扩展式表述
完美信息动态博弈
战略式表述的局限：忽略参与人的行动 顺序
NE的缺陷：部分NE包含不可置信的战略
精练NE的思路：利用（准确反映参与人 行动顺序的）扩展式表述剔除包含不可 置信战略的NE
Selten（1965） 子博弈精练（subgame perfect）NE （SPNE）
子博弈：（完美信息博弈中），每一个 决策结及其后续结构成一个子博弈
博弈本身构成自身的一个子博弈
房地产开发博弈中的三个子博弈
自身
两个只有开发商B决策的单人博弈
B
B
开发
不开发
开发
不开发
－3，－3
1,0
子博弈B1
0,1
0,0
子博弈B2
SPNE：一个战略组合
（1）它是整个博弈的NE
（2）其相关行动规则在每一子博弈上都 是NE
一个在（从最后一个决策结开始的）子 子博弈中NE所对应的战略构成的（从倒 数第二个决策结开始的）（新的）子博 弈的NE的特点：
（1）它将是从倒数第二个决策结开始的 子博弈的NE
（2）它将满足从最后一个决策结开始的 子博弈的NE的要求
以此类推
直到从初始结（initial node）开始的原博 弈
“灵活务实型”
不论A开发还是不开发，B都不开发，记为（不 开发，不开发）
含义：不论博弈到达B的哪一个信息集，B都选 择不开发
“木呐保守型”
B的战略空间： （（开发，开发）；（开发， 不开发）；（不开发，开发）；（不开发，不 开发）） 房地产开发博弈的战略式表述：
开发商B
A 开发
4.1博弈的扩展式表述方法
博弈论之博弈的扩展式表述方法21面旗子游戏A B两名对手之间有21面旗子，他们可以轮流移走这些旗子。
每次一方可以选择移走1支旗，2支旗或是3支旗。
不移旗，或是一次移动4支或4支以上的旗子是不允许的。
拿走最后1支旗的一方获胜，无论这支旗是最后1支，还是2支或是3支旗中的一支。
你的游戏策略是什么呢？21面旗子游戏A B21面旗子游戏A B 静态博弈动态博弈前向展望，后向推理参与人同时出招。
参与人的行动有先后顺序之分。
策略式表述博弈扩展式表述博弈博弈的扩展式表述参与人集合：i =1, … ,N ；参与人的行动顺序(the order of moves)； 参与人的信息集(information set)；信息集是对博弈过去发生历史的描述，表示参与人在做行动选择时，他对过去已经发生事实的了解。
记参与人i 的某个信息集为，k i = 1,…,K i 。
记参与人i 的信息集构成的集合为H i ， 。
博弈的扩展式表述参与人集合：i =1, … ,N ；参与人的行动顺序(the order of moves)；参与人的信息集(information set)； 参与人的行动空间(action set) ；参与人i 的行动空间是定义在他的信息集上的可选行动集合。
记为 。
在信息集上的一个具体行动，记为 ，k i = 1,…,K i博弈的扩展式表述参与人集合：i=1, … ,N；参与人的行动顺序(the order of moves)；参与人的信息集(information set)；参与人的行动空间(action set) ；参与人的支付函数(payoff)；描述各参与人在博弈结束后，各参与人的支付水平。
博弈的扩展式表述参与人集合：i=1, … ,N；参与人的行动顺序(the order of moves)；参与人的信息集(information set)；参与人的行动空间(action set) ；参与人的支付函数(payoff)；外生事件的概率分布，即虚拟参与者“自然”的可能选择的概率分布。
2.1_完全信息动态博弈
例如房地产开发博弈： a、假设B在决策时并不确切的 知道自然的选择。见图2.3 b、B知道自然的选择，但不知 道A的选择，见图2.4 完美信息博弈：指博弈树的所 有信息集都是单结的。它意味 着没有任何两个参与人同时行 动，并且所有后行动者能确切 的知道前行动者的行动，及大 家见到的自然行动。
图 2.3
“共同知识”( common knowledge)
指的是“所有参与人知道所有参与人知道，所有参与人知道所有参与人知道 所有参与人知道……”的知识。
在现实有许多博弈中，即使所有参与人“共同”享 有某种知识，每个参与人也许并不知道其他参与人 知道这些知识，或者并不知道其他人知道自己拥有 这些知识。这种情况被称为“一致信 念”(concordant beliefs)。
2、扩展式除包括以上三要素外，更重要的是其
“扩展”，主要指参与人的战略空间。战略对 应于参与人的相机行动规则。
具体来讲，博弈的扩展式表述包括以下因素： （1）参与人集合：i=1，…，n；此外，用N代表虚拟参 与人“自然”； （2）参与人的行动顺序：谁在什么时候行动； （3）参与人的行动空间：在每次行动时，参与人有些什 么选择； （4）参与人的信息集：每次行动时，参与人知道些什么； （5）参与人的支付函数：在行动结束之后，每个参与人 得到些什么（支付是所有行动的函数）； （6）外生事件（即自然的选择）的概率分布。
琼 斯 （大，大） （大，小） （小，大） （小，小） -1 ， -1 1，1 （E3）
史 密 斯
大 小
2 ， 2（E1）
-1 ， -1
2 ， 2（E2）
1，1
-1 ，-1
-1 ， -1
总的表述：
均衡 E1 E2 E3 策略
（{L }，{L , L}）
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2,博弈的扩展式表述包括的要素
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例1:房地产博弈 假定博弈顺序如下: 假定博弈顺序如下:
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经济管理学院 曹正勇3 NhomakorabeaA
图2.1
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3,博弈树的构造
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1,博弈的扩展式与战略式的区别 博弈的扩展式表述"扩展" (1)博弈的扩展式表述"扩展"的主要是参与人 的战略空间. 的战略空间.
战略式表述简单地给出参与人有些什么战略可以 选择,而扩展式表述要给出每个战略的动态描述:谁 选择,而扩展式表述要给出每个战略的动态描述: 在什么时候行动,每次行动时有些具体行动可供选择, 在什么时候行动,每次行动时有些具体行动可供选择, 以及知道些什么. 以及知道些什么.
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以下按理对信息集进行直观的解释: 以下按理对信息集进行直观的解释:
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下例中: 下例中:B有2个信息集 ,每个信息集对应两个决策结
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4,完全且完美信息博弈 单结信息集. 只包含一个决策结的信息集称为单结信息集. 如果博弈树的所有信息集都是单结的, 如果博弈树的所有信息集都是单结的,该博弈称为 完美信息博弈. 注意:完美信息博弈意味着博弈中没有任何两 注意: 个参与人同时行动,并且所有后行动者能确切 确切地知 个参与人同时行动,并且所有后行动者能确切地知 道前行动者选择了什么行动,所有参与人都观测 都观测到 道前行动者选择了什么行动,所有参与人都观测到 自然的行动. 自然的行动.
即:在扩展式表述中,战略对应于参与人的相机 在扩展式表述中, 行动规则:什么情况下选择什么行动,而不是简单的, 行动规则:什么情况下选择什么行动,而不是简单的, 与环境无关的行动选择. 与环境无关的行动选择. 一般,扩展式表述用博弈树表示. (2)一般,扩展式表述用博弈树表示.
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RECALL) 5,完美回忆(PERFECT RECALL) 完美回忆( 指没有参与人会忘记自己以前知道的 事情, 事情,所有参与人都知道自己以前的选 择. 见下例: 见下例:
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参与人不具完美回忆的两个例子
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