2扩展式博弈与标准式博弈

2020/6/6
博弈树结构
• 结点（node）：表明由谁行动 • 分枝（branch）：表明参与人可选择的
行动 • 收益（payoff）：在最后的结点上，做为
博弈的结果，每种博弈的路径给参与人 带来的收益
2020/6/6
博弈树结构：分钱博弈
结点
分枝
接受
B
给B90
A
拒绝
给B10
接受 B
拒绝
2020/6/6
• 联盟博弈是合作博弈
2020/6/6
练习与思考1：田忌赛马
故事情节 博弈描述
参与人 战略（用静态博弈方法） 结果与收益
2020/6/6
田忌赛马
上中下
田忌
上下中 中上下 中下上
下上中
下中上
上中下 1，-1
1，-1
1，-1
上下中
1，-1
1，-1
齐 中上下 王 中下上
1，-1 1，-1 1，-1 1，-1
• 联盟：相互协调行动的一组博弈参与人 • 联盟价值：一个联盟的产出（收益）
2020/6/6
2-4 几种著名的博弈例子
囚徒困境
警方逮捕甲、乙两名嫌疑犯，但没有足够证据指控二人入罪。于是警方分开 囚禁嫌疑犯，分别和二人见面，并向双方提供以下相同的选择： （1）若一人认罪并作证检控对方（相关术语称“背叛”对方），而对方 保持沉默，此人将即时获释，沉默者将判监10年。 （2）若二人都保持沉默（相关术语称互相“合作”），则二人同样判 监1年。 （3）若二人都互相检举（相关术语称互相“背叛”），则二人同样判 监8年。
– 在上例中，可将乙放在甲的位置上，则甲的 两个结点属于同一信息集
2020/6/6
信息集的特点
• 如果两个结点同属一个信息集，意味着 参与人在两个（或两个以上）结点处知 道相同的信息，因此，参与人在这两个 （或两个以上）结点必然有同样的行动 集。
2020/6/6
（2）标准式博弈转换为扩展式博弈
ultimatum bargaining game(分配100元钱)
扩展式博弈中的战略
• 战略是行动计划，具体到扩展式博弈中 ，这是由每个参与人在它的每个行动结 点上对应的行动方案的组合。
• 例如：在最后通牒博弈中，A只有一个行 动结点，所以A的战略为{给B90；给 B10}；B有两个行动结点，每个行动结点 都是接受或拒绝，于是B的战略为：
2020/6/6
{（给90接受，给10接受），（给90 拒绝，给10接受），（给90接受， 给10拒绝），（给90拒绝，给10拒 绝）}
A 10 B 90
A0
结
B0
点
A 90 B 10
A0 B0
扩展式博弈的基本思维方式
• 向前展望，向后推理
– 向前展望：如果我给他留90，他会怎么做？ – 向后推理：如果他拒绝（接受），我该给他
留多少？
2020/6/6
2-3 两种形式的转换
• 描述扩展式博弈的博弈树与描述标准式 博弈的支付矩阵可以相互转换。
猜硬币游戏/包袱剪子锤 最后通牒博弈
2020/6/6
小结
• 博弈有两种形式：标准式（也称战略式）和扩 展式
– 标准式博弈描述的是同时行动（静态） – 扩展式博弈描述的是序贯行动（动态）
• 标准式和扩展式可以相互转化
– 动态博弈中将行动描述为相机战略，也可以用标准 式表示
– 标准式博弈使用信息集也可以用扩展式来表达
下上中
1，-1
1，-1
2020/6/6
下中上 1，-1
-1，1
1，-1
强 齐 王中
弱
2020/6/6
博弈描述的复杂性
——再谈田忌赛马
强
中
田中
田忌 弱
忌弱
强
中
强
齐王
弱
田忌 弱 强
田 忌
田 忌
中 弱
强 中
齐王 强 弱
齐王 强
弱
田忌 弱
田忌 强
弱
田忌
强 中
田忌 强
中
弱
2020/6/6
2-0 如何描述博弈
• 要分析博弈问题，首先要找到便于进行 博弈分析的表达方式
• 标准式和扩展式是描述博弈的两种方式 ：
– 支付矩阵（Payoff Matrix）（主要用于二人 博弈）
– 博弈树（game tree）
2020/6/6
2-1 标准式博弈（ normal form game
如果1-9分，接受 如果9-1分，拒绝；
如果1-9分，拒绝
A
无论B是否接受， 无论B是否接受，
给B90（ 9-1分 给B10（ 1-9分
）
）
10
90
90
10
10
0
90
0
0
90
0
10
0
0
0
0
2020/6/6
2-4 联盟博弈
– 吴、蜀之间存在利益冲突，并多次兵戎相见 ，但两国为什么在赤壁之战中能结为联盟？
同时行动博弈的基本思维方式
• 我认为他认为我认为…………
– 诸葛亮：认为曹操见到小路上的烟火会认为 是自己实行的“实则虚之”的战略，故在小 路放火、小路伏兵
– 曹操：认为小路烟火是诸葛亮“实则虚之” 的战略，故走小路
• 却不知道：诸葛亮知道自己知道“实则虚之”的 用兵之道
2020/6/6
2-2 扩展式博弈
– 计划里“如果”这一假设条件成为现实时， 该相机战略才会被执行
• 如果将战略视为相机战略, 则所有的博弈 都可以用标准式博弈(2×2博弈)的支付矩 阵表示
2020/6/6
分钱博弈中A、B的相机战略
• A：{无论B接受还是拒绝，给10； 无论B接受还是拒绝，给90}
• B: { 若给10接受, 若给90接受； 战略1 若给10接受, 若给90拒绝； 战略
） • 标准式博弈的描述工具是支付矩阵（
payoff matrix）
– 参与人多于两个时，这种描述便产生困难（ 见下图）
2020/6/6
支付矩阵的一个简单例子
硬币游戏（零和博弈的一个例子）
Payoff Matrix
乙
正面朝上
反面朝上
正面
1
-1
甲 朝上 -1
1
反面
-1
1
朝上 1
-1
2020/6/6
每参与人存在有限个更多的战略
性别战 懦夫博弈（斗鸡博弈）
– 鹰鸽博弈
智猪博弈
假设猪圈里有一头大猪、一头小猪。猪圈的一头有猪食槽，另一头安装着控 制猪食供应的按钮，按一下按钮会有10个单位的猪食进槽，但是谁按按 钮就会首先付出2个单位的成本，若大猪先到槽边，大小猪吃到食物的收 益比是9∶1；同时到槽边，收益比是7∶3；小猪先到槽边，收益比是 6∶4。那么，在两头猪都有智慧的前提下，最终结果是小猪选择等待。
• 扩展式博弈（extensive form game）： • 描述工具是博弈树
2020/6/6
Game tree: ultimatum bargaining game(分 配100元钱)
接受
B
A 10 B 90
给B90
A
A0
拒绝
B0
给B10
2020/6/6
接受 B
拒绝
A 90 B 10
A0 B0
2020/6/6
（1）标准式博弈转换为扩展式博弈 硬币游戏（零和博弈6/6
正面朝上
乙
反面朝上 正面朝上
乙 反面朝上
甲1 乙 -1
甲 -1 乙1 甲 -1 乙1
甲1 乙 -1
• 信息集：当参与人轮到自己行动时所了 解的信息
• 在同时行动的博弈中，即使用扩展式博 弈来描述，甲、乙的行动也是不分先后 的
乙 B1 B2 B3 … A1 甲 A2 A3 …
2020/6/6
思考：若每人有无限个战略如何 描述？
• 例如：在“西班牙叛乱”例子中，叛军 可以往任何一个方向出击。
• 尽管此例中以这样的战略描述叛军有点 可笑，但如果将叛军的处境想像为四面 受敌而准备突围，这样的战略描述就是 贴近现实的。
2020/6/6
2
若给10拒绝, 若给90接受； 战略
3
若给10拒绝, 若给90拒绝} 战略4
2020/6/6
扩展式博弈与标准式博弈在描述的相互转换（2 ）
ultimatum bargaining game(分配100元钱)
如果9-1分，接受；
如果1-9分，接受 如果9-1分，接受；
B
如果1-9分，拒绝 如果9-1分，拒绝；
Payoff Matrix
给B90
A 给B10
10
90
接受 90
10
B
0
0
拒绝 0
0
2020/6/6
相机战略
• 这种表达意味着A、B同时行动 • 正确的表达应该使用每个人的战略（而
不是行动） • 这里的战略是相机战略
– 相机战略: 仅在不确定性事件发生时才会采 取的战略
2020/6/6
• 只有对方实施了某种战略时，相机战略 才会生效