二次函数与圆的综合

二次函数与圆的综合 Last revision date: 13 December 2020.

二次函数与圆的综合

5．（2012?济南）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；

（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

考

点：

二次函数综合题．

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）如答图1所示，由△AOC为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定△BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），

∴，

解得a=1，b=4，

∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3．

（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3，

∵令x=0，得y=3，

∴C（0，3），

∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形，

∴∠CAB=45°，

∴cos∠CAB=．

在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC==．

如答图1所示，连接O1B、O1C，

由圆周角定理得：∠BO1C=2∠BAC=90°，

∴△BO1C为等腰直角三角形，

∴⊙O1的半径O1B=BC=．

（3）抛物线y=x2+4x+3=（x+2）2﹣1，

∴顶点P坐标为（﹣2，﹣1），对称轴为x=﹣2．

又∵A（﹣3，0），B（﹣1，0），可知点A、B关于对称轴x=﹣2对称．

如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，∴D（﹣4，3）．

又∵点M为BD中点，B（﹣1，0），

∴M（，），

∴BM==；

在△BPC中，B（﹣1，0），P（﹣2，﹣1），C（0，3），

由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC=．

∵△BMN∽△BPC，

∴，即，

解得：BN=，MN=．

设N（x，y），由两点间的距离公式可得：

，

解之得，，，

∴点N的坐标为（，）或（，）．

点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大．难点在于第（3）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点N有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点N的坐标．

6．（2011?遵义）已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．

（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；

（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．

考

点：

二次函数综合题．

分析：（1）根据A（3，0），B（4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式；

（2）从当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°与当△PAB是以AB 为直角边的直角三角形，且∠PBA=90°，分别求出符合要求的答案；

（3）根据当OE∥AB时，△FEO面积最小，得出OM=ME，求出即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，∴，

解得：，

∴y=x2﹣x+3；

∴点C的坐标为：（0，3）；

（2）假设存在，分两种情况：

①当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°，

如图1，过点B作BM⊥x轴于点M，

∵A（3，0），B（4，1），

∴∠BAM=45°，

∴∠DAO=45°，

∴AO=DO，

∵A点坐标为（3，0），

∴D点的坐标为：（0，3），

∴直线AD解析式为：y=kx+b，将A，D分别代入得：

∴0=3k+b，b=3，

∴k=﹣1，

∴y=﹣x+3，

∴y=x2﹣x+3=﹣x+3，

∴x 2﹣3x=0，

解得：x=0或3，

∴y=3，y=0（不合题意舍去），

∴P点坐标为（0，3），

∴点P、C、D重合，

②当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PBA=90°，如图2，过点B作BF⊥y轴于点F，

由（1）得，FB=4，∠FBA=45°，

∴∠DBF=45°，

∴DF=4，

∴D点坐标为：（0，5），B点坐标为：（4，1），

∴直线BD解析式为：y=kx+b，将B，D分别代入得：

∴1=4k+b，b=5，

∴k=﹣1，

∴y=﹣x+5，

∴y=x2﹣x+3=﹣x+5，

∴x2﹣3x﹣4=0，

解得：x1=﹣1，x2=4（舍），

∴y=6，

∴P点坐标为（﹣1，6），

∴点P的坐标为：（﹣1，6），（0，3）；

（3）如图3：作EM⊥AO于M，

∵直线AB的解析式为：y=x﹣3，

∴tan∠OAC=1，

∴∠OAC=45°，

∴∠OAC=∠OAF=45°，

∴AC⊥AF，

∵S△FEO=OE×OF，

OE最小时S△FEO最小，

∵OE⊥AC时OE最小，

∵AC⊥AF

∴OE∥AF

∴∠EOM=45°，

∴MO=EM，

∵E在直线CA上，

∴E点坐标为（x，﹣x+3），