心理统计学(一) 第三章 集中量数
第三章集中量数 心理统计学PPT课件
29
（二）应用 有极端值数据； 心理物理学中等距、等比量表编制
30
例3-6：某一研究者想研究介于S与S二感觉之 间的感觉的物理刺激是多少。他随机选10名被 试，让其调节一个可变的物理刺激，使产生的 感觉恰介于S与S之间。10名被试的结果如下： 5.7、6.2、6.7、6.9、7.5 、8.0、7.6、10.0、 15.6、18.0。问这10名被试二感觉之间的那个 感觉的物理刺激平均值是多少？
X11 35 02,X2
303 10
代入公式得：
MH 1
1 1
1
1 2.4 5
( )
2 2 3 12
答：该生学习生词的平均速度为 2.4字分 。
38
例3-9：在一个学习实验中，统计了6名被试在2小时的解题 量，依次为24题，20题，16题，12题，8题，4题。问这6 名被试平均每小时解多少题？
解：设六名被试单位时间解题数依次为 X 1,X2,X3,X4,X5,X6,
总体平均数——
3
（二）计算公式 1、未分组数据计算平均数方法
公式一：X Xi
N
例3-1：现有一组实验观测数据，25，27，28，27，25，29， 30，34，32，33。计算它们的平均数。
： 解：根据题意，已知N=10，根据公式
X2 52 7...3 3292 09 10 10
4
公式二：
—
7984 28
7
① 将 fm，N 代入上面第一个公式计算：
X=
fm
N
7984
= 100
=79.84
② 设 AM=79,将 AM， fd，N，i 代入上面第二个公式计算：
X = AM + fd N
心理统计学第三章
第三章第三章集中量数第一节算术平均数 ................................................. 错误!未定义书签。
第二节中位数 ................................................................. 错误!未定义书签。
第三节众数 ....................................................................... 错误!未定义书签。
第四节几何平均数和倒数平均数............................... 错误!未定义书签。
第五节 SPSS实验——均数、中数和众数...................... 错误!未定义书签。
同步练习与思考题 ............................................................... 错误!未定义书签。
学习目标1．识记和理解各种集中量指标的概念2．熟练掌握各种平均指标的计算方法3．掌握均数、中数和众数应用范围4．了解几何平均数和倒数平均数的应用在实验、测量或调查中获得的大量观测数据，具有一种向数据中央某一点靠拢的趋势，这种趋势在统计学中称为集中趋势（central tendency），它是数据分布的特征之一。
用于描述观测数据集中趋势的量数称为集中量数。
集中量数（central measures）是一组数据的代表值，用以说明一组数据分布的典型情况或一般水平，它比个别数据更能反映客观现象或事物的实际情况。
集中量数还可以用于组与组之间的差异比较。
譬如，某教师在两个平行班进行了传统教学法和多媒体教学的实验研究，通过一年实验后，观测到两个班级的平均成绩之间出现较大的差异。
描述客观现象集中趋势的数量指标有算术平均数、加权平均数、中数、众数、几何平均数和倒数平均数。
3集中量数
（五）调和平均数 1. 概念 调和平均数是一组数据倒数的算术平均数的倒数， 也称为倒数平均数。用 表示。 2. 在教育上的应用 调和平均数在教育方面主要用来求学习速度 学习速度（如： 学习速度 阅读速度、解题速度、识字速度等） 页书， 例：一名学生阅读2页书，读前一页时的速度折合为 一名学生阅读 页书 每小时20页 读后一页时的速度折合为每小时40页 每小时 页，读后一页时的速度折合为每小时 页， 问该生平均每小时的阅读速度为多少？ 问该生平均每小时的阅读速度为多少？
5. 离差平方和最小。 离差平方和最小。
算术平均数的优缺点
1. 优点 :
–反应灵敏 反应灵敏 –计算简单、严密 计算简单、 计算简单 –概念明了，简洁 概念明了， 概念明了 –适合于进一步的代数运算 适合于进一步的代数运算 –较少受抽样变动的影响 较少受抽样变动的影响
缺点： 2. 缺点：
–易受极端数据的影响（修剪平均 易受极端数据的影响（ 易受极端数据的影响 数） –出现模糊数据时，无法计算平均 出现模糊数据时， 出现模糊数据时 常用中位数） 数（常用中位数）
计算和应用平均数的原则
1. 同质性原则
各科考试难易程度不同时，计 算总平均分；研究某团体中人们 的个人收入，常因有极值的情况 而掩盖真实情况。
2. 平均数与标准差、方差相结 合的原则
Hale Waihona Puke （二）中位数1、概念 一组按大小顺序排列的数据中，居中间位置对应 的数据值即为中位数，用符号 表示。 2、中位数的计算方法 （1）对原始数据计算中位数 步骤：数据排序 计算中位数位深
（2）对频数分布表计算中位数
关键： 关键：
表示中位数所在组的精确下限 表示小于中位数所在组下限的频数总和 表示中位数所在组的精确上限 表示大于中位数所在组上限的频数总和 表示中位数所在组的频数
统计心理-第三章 集中量数
例。
XT
ni X i ni
加权平均数
例1：某小学三年级举行英语测验。甲班32名学生的平均 分为72.6，乙班40名学生平均分为80.2，丙班36名学生的 平均分为75分。求全年级英语测验的总平均分数。
xwN1xN 11NN 2x22N N 33x3
加权平均数
例2：某课题组在8个省区进行一项调查，各省区的取样 人数和平均分数见下表，求该项调查的总平均数。
2
中数；若数据个数为偶数时，则 X N 2 X N 2 1 2为中 数。
①求数列4，6，7，8，12的中数。 ②有2，3，5，7，8，10，15，19共8个数，求其中数。
（二）中数的计算方法
（2）一组数据中有重复数值的情况
①当重复数值没有位于数列中间时 求数列5，5，6，10，12，15，17的中数。
集中趋势与离中趋势
集中趋势是指数据分布中大量数据向某方向集中 的程度。
集中趋势与离中趋势
集中趋势是指数据分布中大量数据向某方向集中 的程度。
离中趋势是指数据分布中数据彼此分散的程度。 集中量数与差异量数：描述一组数据集中趋势和
离中趋势的统计量，共同描述一组数据的全貌及 统计特征。 测度集中趋势即寻找数据水平的代表值或中心值 集中量数包括算术平均数、中数、众数、加权平 均数、几何平均数、调和平均数等。
Mo3Md2M
第三节 其他集中量数
一、加权平均数 所得数据单位权重不相等时要使用加权平均数。
k
M WW 1X W 1 1W W 2X 22 W W nnXni
1
W
k
i
W
X
i
i
i1
W为权数，指各变量在构成总体中的相对重要性。
心理统计学第三章集中量数
04 集中量数的计算方法
简单平均数计算方法
总结词
简单平均数是集中量数中最基本的计算方法，它通过将一组数值相加后除以数值 的数量来得出平均值。
详细描述
简单平均数计算公式为 $overline{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_i$，其中 $n$ 是数值的数量，$x_i$ 是每一个数值。这种方法适用于数据分布均匀且无异常值的 情况。
对未来研究的展望
01 02
探索新的集中量数
随着数据类型和复杂性的增加，传统的集中量数可能无法满足某些研究 需求。未来研究可以探索新的集中量数，以更准确地描述数据的集中趋 势。
改进现有集中量数的计算方法和性质
现有集中量数的计算方法和性质可能存在一些局限性和不足之处，未来 研究可以尝试改进这些方法和性质，以提高集中量数的准确性和可靠性。
06 总结与展望
总结心理统计学第三章集中量数的要点
集中量数
集中量数是描述数据集中趋势的统计量，用于反映一组 数据的中心位置或典型值。
常见集中量数
常见的集中量数包括算术平均数、中位数和众数等。
算术平均数
算术平均数是所有数值的和除以数值的个数，是最常用 的集中量数之一。它具有线性性和可加性，能够反映数 据的平均水平。
在社集中量数来描述被调查者的社会特征， 例如通过平均年龄和标准差等指标来分析被调查者的社会 经济地位和人口结构。
社会政策制定
政府和社会组织可以利用集中量数来制定社会政策，例如 通过分析不同地区居民的平均收入和收入分布来制定社会 保障政策。
社会问题研究
研究者可以利用集中量数来研究社会问题，例如通过平均 失业率和标准差等指标来分析社会经济不平等和就业状况。
心理统计学第三章 集中量数
有重复数时，需考虑重复数的影响。
例：求11，11，11，11，13，13，13，17， 17的中 数。
分析：N=9，中间位置为5，第5个数为13。
但是数据中有3个13，需要重新考虑。
有3个13，意味着3个13占了一个单位。
第五位的13 ，中数计算（12.5+12.83） /2=12.665
或者12.5+1/3*1/2=12.666
例题3-4 计算加权平均数
省区代码 1 2 3 4 5 6 7 8
人数 平均分数
627
98
268
60
400
82
670
96
411
80
314
65
610
96
500
88
3800
665
解：
62798 268 60 50088
MW
3800
330496 86.97 3800
例题3-5 课堂练习
大。
练习
P79 5-6（10分钟）
第二节 中数与众数
一、中数 中位数又称中点数，中位数，中值，简称中数，用符
号Md 或Mdn表示，是位于按一定顺序排列的一组数 中央位置的数值。 中数是一种位置量数。 能将数据分成较大的一半和较小的一半。
（一）未分组数据的中数计算
1.中数附近无重复数时 若数据个数（N）为奇数时，中数则为（N+1）/2
2.众数的计算 （1）直接观察法 未分组数据——次数最多的数值 次数分布表——次数最多一组的组中值
例题3-3 计算众数
组别 81～ 78～ 75～ 72～ 69～ 66～ 63～ 60～
f
向上累加次数
17
(完整版)现代心理与教育统计学
心理统计学第一章概述描述统计定义：研究如何把心理与教育科学实验或调查得来的大量数据科学的科学的加以整理概括和表述作用：使杂乱无章的数字更好的显示出事物的某些特征，有助于说明问题的实质。
具体内容：1数据分组：采用图与表的形式。
2计算数据的特征值：集中量数（平均数中数）离散量数（方差）3计算量事物间的相关关系：积差相关（2列3列多列）推断统计定义：主要研究如何利用局部数据（样本数据）所提供的信息，依据数理统计提供的理论和方法，推论总体情形。
作用：用样本推论总体。
具体内容：1如何对假设进行检验。
2如何对总体参数特征值进行估计。
3各种非参数的统计方法。
心理与教育统计基础概念数据类型一从数据来源来划分1计数数据：计算个数或次数而获得的数据。
（都是离散数据）2测量数据：借助一定测量工具或测量标准而获得的数据。
（连续数据）二根据数据所反映的测量水平1称名数据（分类）定义：指用数字代表事物或数字对事物进行分类的数据。
特点：数字只是事物的符号，而没有任何数量意义。
统计方法：百分数次数众数列联相关卡方检验等。
（非参检验）2顺序数据（分类排序）定义：指代事物类别，能够表明不同食物的大小等级或事物具有的某种特征的程度的数据。
（年级）特点：没有相等单位没有绝对零点。
不表示事物特征的真正数量。
统计方法：中位数百分位数等级相关肯德尔和谐系数以及常规的非参数检验方法。
3等距数据（分类排序加减（相等单位））（真正应用最广泛的数据）定义：不仅能够指代物体的类别等级，而且具有相等的单位的数据。
（成绩温度）特点：真正的数量，能进行加减运算，没有绝对零点，不能进行乘除计算。
统计方法：平均数标准差积差相关Z检验t检验F检验等。
4比率数据（分类排序加减法乘除法（绝对零点））定义：表明量的大小，也具有相等单位，同时具有绝对零点。
（身高反应时）特点：真正的数字，有绝对零点，可以进行加减乘除运算。
在统计中处理的数据大多是顺序数据和等距数据。
三按照数据是否具有连续性离散数据连续数据变量观测值随机变量变量：指心理与教育实验观察调查种想要获得的数据。
心理与教育统计学第3章 集中量数
（3．9b）
公式中:La为中位数所在组的精确上限 fa为中位数所在组上限以上的累积频数 n为数据总数 fMd为中位数所在组的频数 i为组距
表3-7 52名学生数学成绩中位数计算表
成绩 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45
合计
频数f 2 2 3 5 8 11 9 5 4 2 1 52
次数分布表计算平均数的基本公式：
f1 X C1 f 2 X C 2 f k X Ck X f1 f 2 f k
f
j 1 k j 1
k
j
X Cj
j
1 X fX C N
f
(3.3)
N f f1 f 2 f k
Xc 为分组区间的组中值 f 为各组次数
正态分布的3σ准则
3.1.5 计算和应用算术平均数的 原则
• 同质性原则：算术平均数只能用于表 示同类数据的集中趋势。 • 平均数与个体数值相结合的原则：在 解释个体特征时，既要看平均数，也 要结合个体的数据。 • 平均数与标准差、方差相结合原则： 描述一组数据时既要分析其集中趋势， 也要分析离散程度。
n i Md Lb f b 2 f Md
（3．9a）
公式中:Lb为中位数所在组的精确下限 fb为中位数所在组下限以下的累积频数 n为数据总和 fMd为中位数所在组的频数 i为组距
由上至下累积频数计算公式
n i Md La f a 2 f Md
3.2.2 次数分布表计算中数
• 由次数分布表计算中位数需要用到 累积次数分布表。 • 当表中数据的累积方向不同时，计 算公式也不同。
表3-6 52名学生数学成绩次数分布表
统计学 第3章集中量数
MW
W1 X1 W2 X 2 W1 W2
72 4 86 6 46
80.4
3、计算方法
3）加权算数平均数(weighted mean)的计算：
用M W 表示
如高考的标准分换算法。 研究生入学考试总分不一样。 P69例3-7
3、计算方法
4）使用次数分布表计算平均数：
与无重复数据时求中数的方法相同； 当中间的数值为重复数时：可将重复数看
作一个连续区间，然后根据中间数在区间 内的位置来确定中位数。
3、计算方法
2）一组数据中有重复数据 当重复数值没有位于数列中间时，求中数
与无重复数据时求中数的方法相同； 当中间的数值为重复数时：可将重复数看
作一个连续区间，然后根据中间数在区间 内的位置来确定中位数。
例如：P70 例3-8
2、几何平均数的应用
2）应用几何平均数的变式计算： 一组数据彼此间变异较大，几乎按一定的比 例关系变化，所要求的不是平均数，而是平 均增长率。平均增长率=平均发展速度-1
学习方面的进步率 学生或人口增加率 教育经费增加率
本章主要内容
一．算术平均数 二．中数 三．众数 四．平均数、中数、众数三者之间的关系 五．加权平均数 六．几何平均数 七．调和平均数
平均数
中数
众数
① 感应灵敏② 严密确 ③④
定③ 意义简明，易理
于
优 点
解④ 容易计算⑤ 适合
代数法的处理⑥ 少受
抽
③④
样变动的影响
1．加权平均数 2．离差、相关计算 应 3、统计推断 用
1．有极端数值时 2．模糊数据时 3．快速估计集中
量数时
1．有极端数值时 2、数据不同质时 3、粗略估计数据的
心理统计学》重要知识点
《心理统计学》重要知识点第二章 统计图表简单次数分布表的编制：Excel 数据透视表列联表（交叉表）：两个类别变量或等级变量的交叉次数分布，Excel 数据透视表直方图（histogram ）：直观描述连续变量分组次数分布情况，可用Excel 图表向导的柱形图来绘制 散点图（Scatter plot ）：主要用于直观描述两个连续性变量的关系状况和变化趋向。
条形图（Bar chart ）：用于直观描述称名数据、类别数据、等级数据的次数分布情况。
简单条形图：用于描述一个样组的类别（或等级）数据变量次数分布。
复式条形图：用于描述和比较两个或多个样组的类别(或等级)数据的次数分布。
圆形图（circle graph ）、饼图（pie graph ）：用于直观描述类别数据或等级数据的分布情况。
线形图（line graph ）：用于直观描述不同时期的发展成就的变化趋势；第三章 集中量数● 集中趋势和离中趋势是数据分布的两个基本特征。
● 集中趋势：就是数据分布中大量数据向某个数据点集中的趋势。
● 集中量数：描述数据分布集中趋势的统计量数。
● 离中趋势：是指数据分布中数据分散的程度。
● 差异量数：描述数据分布离中趋势（离散程度）的统计量数 ● 常用的集中量数有：算术平均数、众数（M O ）、中位数（M d ） 1．算术平均数（简称平均数，M 、X 、Y ）：nx X i∑= Excel 统计函数AVERAGE算术平均数的重要特性：（1）一组数据的离均差（离差）总和为0，即0)(=-∑x x i（2）如果变量X 的平均数为X ，将变量X 按照公式bx a y +=转换为Y 变量后，那么，变量Y 2．中位数（median ，M d ）：在一组有序排列的数据中，处于中间位置的数值。
中位数上下的数据出现次数各占50%。
3．众数（mode ，M O ）：一组数据中出现次数最多的数据。
4．算术平均数、中数、众数之间的关系。
《心理统计学》重要知识点
《心理统计学》重要知识点《心理统计学》重要知识点第二章统计图表简单次数分布表的编制：Excel数据透视表列联表（交叉表）：两个类别变量或等级变量的交叉次数分布，Excel数据透视表直方图（histogram）：直观描述连续变量分组次数分布情况，可用Excel图表向导的柱形图来绘制散点图（Scatter plot）：主要用于直观描述两个连续性变量的关系状况和变化趋向。
条形图（Bar chart）：用于直观描述称名数据、类别数据、等级数据的次数分布情况。
简单条形图：用于描述一个样组的类别（或等级）数据变量次数分布。
复式条形图：用于描述和比较两个或多个样组的类别(或等级)数据的次数分布。
圆形图（circle graph）、饼图（pie graph）：用于直观描述类别数据或等级数据的分布情况。
线形图（line graph）：用于直观描述不同时期的发展成就的变化趋势；第三章集中量数● 集中趋势和离中趋势是数据分布的两个基本特征。
● 集中趋势：就是数据分布中大量数据向某个数据点集中的趋势。
● 集中量数：描述数据分布集中趋势的统计量数。
● 离中趋势：是指数据分布中数据分散的程度。
● 差异量数：描述数据分布离中趋势（离散程度）的统计量数● 常用的集中量数有：算术平均数、众数（M O ）、中位数（M d ）1．算术平均数（简称平均数，M 、X 、Y ）：n x X i∑= Excel 统计函数AVERAGE算术平均数的重要特性：（1）一组数据的离均差（离差）总和为0，即0)(=-∑x x i（2）如果变量X 的平均数为X ，将变量X 按照公式bx a y +=转换为Y 变量后，那么，变量Y 的平均数X b a Y +=2．中位数（median ，M d ）：在一组有序排列的数据中，处于中间位置的数值。
中位数上下的数据出现次数各占50%。
3．众数（mode ，M O ）：一组数据中出现次数最多的数据。
4．算术平均数、中数、众数之间的关系。
心理统计学(一) 第三章 集中量数
一项研究调查了19名大学生，他们的月消费（ 19名大学生 思考题 一项研究调查了19名大学生，他们的月消费（单 位：人民币元）如下： 人民币元）如下： 220，227，230，231，232，232，235，236， 220，227，230，231，232，232，235，236， 237，239，240，245，246，249，253，258， 237，239，240，245，246，249，253，258， 260，510， 260，510，600 现欲了解他们的平均月消费？ 现欲了解他们的平均月消费？
X
表示。 表示。 若以 X1，X2，···，XN 表示变量 X 的各个观察值，N 表示 的各个观察值， ，
观察值的个数，则算术平均数可表示为： 观察值的个数，则算术平均数可表示为：
X1 + X2 +L XN + ∑Xi X= = N N
算术平均数的特点
（1）在一组数据中每个变量与平均数之差的总和等于0， 在一组数据中每个变量与平均数之差的总和等于0 即
算术平均数的意义、 算术平均数的意义、适用条件及应用原则
算术平均数的意义 算术平均数是应用最普遍的集中量数，它是“真值”渐近、 算术平均数是应用最普遍的集中量数，它是“真值”渐近、最佳的估计 值。 算术平均数的适用的条件 一组数据是比较准确，可靠又同质，而且需要每一个数据都加入计算， 一组数据是比较准确，可靠又同质，而且需要每一个数据都加入计算， 同时还要作进一步代数运算时，这时就需要用算术平均数表示其集中趋势。 同时还要作进一步代数运算时，这时就需要用算术平均数表示其集中趋势。 计算和应用算术平均数的原则 同质性原则； ① 同质性原则； 平均数与个体数值相结合的原则； ② 平均数与个体数值相结合的原则； 平均数与标准差、 ③ 平均数与标准差、方差相结合的原则。
心理统计学-课程讲义3
【课程讲义】第三章集中量数【教学目标】明确一批数据的特征包括两个方面的内容：集中趋势、离散性；明确集中量数是描述数据集中趋势的量数，可以作为一批数据的代表值；明确算术平均数是所有集中量数中运用最广泛、最优的量数；明确各种集中量数的含义、计算方法、使用条件、性质及优缺点。
【学习方法】了解、理解、计算与应用。
【重点难点】算术平均数的概念及适用条件；算术平均数的计算方法；中位数的概念及适用条件；中位数的计算方法。
【讲义内容】前一章所讲的统计分组、统计表、统计图等，只是对研究工作中所获得的数据进行初步整理，其目的是对数据的性质、分布特征、差异情况及数据的一般规律有一直观和形象的认识。
因此说这一步还不是应用统计方法的步骤。
为了进一步发现和表示一组数据的规律性，需要计算出一些能够反映这组数据的统计特征的数字——称为统计量或特征数。
对于一组数据来讲，最常用的统计量有两类。
一类是表现数据集中性质或集中程度的，另一类是表现数据分散性质或分散程度的。
数据的集中情况指一组数据的中心位置。
集中趋势的度量，即确定一组数据的代表值。
描述数据集中情况的统计量有多种，包括算术平均数、中数、几何平均数等。
由于这些统计量的作用在于度量数据的集中趋势，因此它们都称为集中量数。
本章主要介绍几种常用的集中量数。
集中量数只描述数据的集中趋势和典型情况，它还不能说明一组数据的全貌。
数据除典型情况之外，还有变异性的特点。
对于数据变异性即离中趋势进行度量的一组统计量，称作差异量数，这些差异量数有方差、标准差、全距、平均差、四分差及各种百分差等等，下一章中将对常用的差异量数进行介绍。
第一节 算术平均数一、算术平均数的概念和适用条件（一）概念算术平均数一般简称为平均数或均数（Mean ）。
只有在与其他几种集中量数如几何平均数、加权平均数相区别的时候，才把它叫做算术平均数。
如果平均数是由X 变量计算的，就记为X （读作X 杠），若由Y 变量求得，则记为Y 。
第三章 集中量数
( xi x )
2
( xi c)
2
3、所有的观测值都加上常数C，则平均值也增加常数C
1 N
(x
i
c) x c
4、所有观测值都乘以不等于0的常数C，则平均值也增大C倍
1 N
(c x
i
) cx y) x y
5
1 N
(x
平均数的优缺点 优点:1.反映灵敏 2.计算严密 3.计算简单 4.简明易解 5.适合于进一步用代数方法演算 6.较少受抽样变动的影响 缺点:1.易受极端数据的影响 2.若出现模糊不清的数据时 ,无法计 算平均数
解：这里的数据为顺 序数据。变量为“回 答类别”
甲城市中对住房 表示不满意的户数最 多，为 108 户，因此 众数为“不满意”这 一类别，即 Mo＝不满意
合计
300
100.0
众数的意义与应用 （ 1 ）当需要快速而粗略地寻求一组数据的 代表值时 （ 2 ）当一组数据出现不同质的情况时，可 用众数表示典型情况 （ 3 ）当次数分布中有两极端的数目，除了 一般用中数外，有时也用众数 （ 4 ）当粗略估计次数分布的形态时，有时 用平均数与众数之差，作为表示次数分布是否 偏态的指标
x 1 N
x 79.8
（2）分组数据的计算方法
（组中值计算法）
分组区间
9590858075706560555045-
次数（f）
6 5 7 7 7 8 3 2 0 2 1
组中值（Xc）
97 92 87 82 77 72 67 62 57 52 47
N=48
方法：把组中值看成每一分组的平均数
顺序数据的中位数
心理统计学-课程讲义3
【课程讲义】第三章集中量数【教学目标】明确一批数据的特征包括两个方面的内容：集中趋势、离散性；明确集中量数是描述数据集中趋势的量数，可以作为一批数据的代表值；明确算术平均数是所有集中量数中运用最广泛、最优的量数；明确各种集中量数的含义、计算方法、使用条件、性质及优缺点。
【学习方法】了解、理解、计算与应用。
【重点难点】算术平均数的概念及适用条件；算术平均数的计算方法；中位数的概念及适用条件；中位数的计算方法。
【讲义内容】前一章所讲的统计分组、统计表、统计图等，只是对研究工作中所获得的数据进行初步整理，其目的是对数据的性质、分布特征、差异情况及数据的一般规律有一直观和形象的认识。
因此说这一步还不是应用统计方法的步骤。
为了进一步发现和表示一组数据的规律性，需要计算出一些能够反映这组数据的统计特征的数字——称为统计量或特征数。
对于一组数据来讲，最常用的统计量有两类。
一类是表现数据集中性质或集中程度的，另一类是表现数据分散性质或分散程度的。
数据的集中情况指一组数据的中心位置。
集中趋势的度量，即确定一组数据的代表值。
描述数据集中情况的统计量有多种，包括算术平均数、中数、几何平均数等。
由于这些统计量的作用在于度量数据的集中趋势，因此它们都称为集中量数。
本章主要介绍几种常用的集中量数。
集中量数只描述数据的集中趋势和典型情况，它还不能说明一组数据的全貌。
数据除典型情况之外，还有变异性的特点。
对于数据变异性即离中趋势进行度量的一组统计量，称作差异量数，这些差异量数有方差、标准差、全距、平均差、四分差及各种百分差等等，下一章中将对常用的差异量数进行介绍。
第一节 算术平均数一、算术平均数的概念和适用条件（一）概念算术平均数一般简称为平均数或均数（Mean ）。
只有在与其他几种集中量数如几何平均数、加权平均数相区别的时候，才把它叫做算术平均数。
如果平均数是由X 变量计算的，就记为X （读作X 杠），若由Y 变量求得，则记为Y 。
第三章集中量数ppt课件
ana01xn
例5．某高校1980年—1985年在校生人数如表3— 4。求年平均增长率。
解：
①先求逐年发展速度 。用每一年与其上一年量值的
环比求出逐年的发展速度列入表3—4的第3列。 ②计算平均发展速度 。将表中第3列数据代入公式
〔3.6〕得： MG n X1X2X3Xn
51.120.901.051.161.22
第三节、几何平均数
一、概念
N个数值的连乘积的 N次方根，称为几何平均 数，用符号 M G 表示。几何平均数也是平均数的 一种，如果一组数据值按比例递增或递减，表示 其平均水平时应使用几何平均数。几何平均数一 般用于计算平均发展速度、平均增长速率等统计 指标。
二、计算公式
几何平均数的计算公式为：
M GnX1X2X3 Xn （3.6）
第三章 集中量数
第一节 算术平均数 一、概念
二、计算方法 三、加权算术平均数 四、算术平均数的性质
第二节 中位数 中位数的计算方法 第三节 几何平均数
描述一组数据集中趋势的量数，称为集中量 数。
集中量数是统计总体各统计事项某一数量标 志的代表值，它概括说明总体某一数量标志的 综合特征，反映研究对象在一定时间、地点、 条件下的一般水平。
解：
（1〕求平均发展速度 ， 由公式〔3.7）。
MG n
an a0
4 1251.2223 56
（2〕计算平均增长率 ， 由公式〔3.8〕得
x' M G 1 1 .22 2 1 3 0 .2223
即年平均增长率为22.23%。
（3〕计算2019年该小学的教学设备数 。知
求 n 6,
a6 ?
由公式〔3.9〕得
=8。
再如，一组数值为N4、158、71、98、41.50、12、
[教育学]心理统计学：绪论_集中量数_图表
![[教育学]心理统计学：绪论_集中量数_图表](https://img.taocdn.com/s3/m/9acf0a41a1c7aa00b42acb3a.png)
心理与教育统计学▪统计学是一种思想方法▪常用统计指标▪概率及概率分布▪抽样分布参数估计参数假设检验▪平均数差异的显著性检验方差分析▪相关分析回归分析▪χ2检验总体比率的推断非参数检验▪抽样设计问题▪某研究机构研制出一种能提高5岁幼儿阅读能力的游戏产品，该产品能在使用3个月之后提高幼儿的阅读能力，请设计一个实验验证这种游戏产品的作用。
——2007年心理学研究生入学试题统计学▪统计学是科学研究的基本技能。
▪统计学不难。
▪立足于自学。
▪从现实中寻找问题，在教材中寻找答案。
方案一▪抽取一组5岁幼儿，前测－游戏－后测。
▪如果成绩提高，说明产品有效。
▪问题：幼儿成熟，阅读水平也会提高。
方案二▪抽取A、B两组5岁幼儿，A组用该产品，B组不用，分别进行前测－游戏－后测。
▪如果两组前测成绩相当，后测A好于B，说明产品有效。
▪问题：前测成绩不等怎么办？方案三▪抽取A、B两组5岁幼儿，A组用该产品，B组不用，分别进行前测－游戏－后测。
▪A组后测成绩－前测成绩（提高幅度）高于B组，说明产品有效。
▪问题：谁能保证分数的差异不是出于随机误差？其他问题▪不能打百分制怎么办？▪及格－不及格▪及格人数－不及格人数▪如果有A、B、C三种产品竞争，如何设计研究方案？▪一次实验就能说明产品一定有效（或无效）吗？▪……统计资料也骗人（1）▪某城市公安局加大对带有黑社会性质的犯罪团伙的侦办力度，2004年共侦破此类案件50起，抓获犯罪嫌疑人800人，而2003年这两个数字分别是5起和100人。
一些人士惊呼：仅仅一年时间，该城市治安形势急剧恶化。
统计资料也骗人（2）▪某城市（人口数1000万）中过去没有禽流感传染给人的病例。
但是2003年出现了2例，2004年出现了4例。
由此可以得出结论：2003—2004年期间，该病发病率增加了100%。
这样的增幅足以令卫生部门和市民忧心忡忡。
统计资料也骗人（3）▪某公司在广告中声称，在过去的10年它销售的汽车中，10辆里面有9辆仍在道路上行驶。
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[学习重点]
集中量数
1.各种集中量数的概念和性质 2.各种集中量数的计算方法 3.各种集中量数的具体应用
第三章
集中量数
集中趋势与离中趋势是次数分布的两个 基本特征。数据的集中趋势就是指数据分布 中大量数据向某方向集中的程度，离中趋势 是指数据分布中数据彼此分散的程度。用来 描述一组数据这两种特点的统计量分别称为 集中量数和差异量数。这两种量数一起共同 描述或反映一组数据的全貌及其各种统计特 征。
算术平均数的计算方法
（1）未分组数据（原始数据）计算法
X X1 X 2 X N X i N N
fX c N
（2）数据分组后（次数分布表）计算法
X
（式中 XC 为各区间的组中值，f 为各区间的次数）
算术平均数的优缺点
算术平均数具备一个良好的集中量数所应具备的一些条件： ① 反应灵敏； ② 严密确定； ③ 简明易懂； ④ 计算简单； ⑤ 适合代数运算； ⑥ 较少受抽样变动的影响。 除此之外，算术平均数还有以下一些特殊的优点： ① 只知一组观察值的总和及总频数就可以求出算术平均数； ② 用加权法可以求出几个平均数的总平均数； ③ 用样本数据推断总体集中量数时，算术平均数最接近总体集中量数的 真值，它是总体平均数的最好估计值； ④ 在计算方差、标准差、相关系数以及进行统计推断时，都要用到它。 但是算术平均数也有一些缺点： ① 易受极端数据的影响； ② 若出现模糊不清的数据时，无法计算平均数。
算术平均数的概念
算术平均数是所有观察值的总和除以总频数所得之商。用
表示。 X
若以 X1，X2，· · · ，XN 表示变量 X 的各个观察值，N 表示 观察值的个数，则算术平均数可表示为：
X1 X 2 X N Xi X N N
算术平均数的特点
（1）在一组数据中每个变量与平均数之差的总和等于0，
一项研究调查了19名大学生，他们的月消费（单位： 思考题
人民币元）如下： 220，227，230，231，232，232，235，236， 237，239，240，245，246，249，253，258， 260，510，600 现欲了解他们的平均月消费？
由于这19名大学生的月消费中存在极端数据，算术平 解：
均数（
元）不能很好地反映他们的平均月消费 X 272.63 （19人中17人月消费低于272.63元），应求中数：
N 1 19 1 10 2 2
（元） Md 239 答：这些大学生的平均月消费是239元。
众数的概念
众数有理论众数和粗略众数两种定义方法。理论众数是指 与次数分布曲线最高点相对应的横坐标上的一点。粗略众数是 指一组数据（或次数分布）中次数出现最多的那个数的数值。
第三章
集中量数
对一组数据集中趋势的度量，就是确定 描述一组数据这种特点的代表性的统计量。 用于描述数据集中程度的统计量，即集中量 数有多种，包括算术平均数、中数、众数、 加权平均数、几何平均数、调和平 中数与众数
第三节
其他集中量数
第一节
算术平均数
一、平均数的计算方法 二、平均数的特点 三、平均数的意义 四、平均数的优缺点 五、计算和应用平均数的原则
即
Xi X 0 。
（2）在一组数据中，每一个数都加上一常数C，则所得的平均数为原 。
来的平均数加常数C，即 X i C X C
N
（3）在一组数据中，每一个数都乘以一常数C，则所得的平均数为原 来的平均数乘以常数C，即 X i C C X
N
。
a
Fb i f Md
或
Fa Md La i f Md
N 2
中数的意义与应用
中数的意义
中数虽然也具备一个良好集中量数所应具备的一些条件，如计算简单，
严密确定，简明易懂；但与算术平均数相比是相形见绌的，如反应不够灵
敏，受抽样的影响较大，不适合代数运算等。因此，在一般情况下，中数 不被普遍应用，但在一些特殊情况下，它的应用受到重视。 中数适用的情况 （1）当一组观测结果中出现两极端数目时； （2）当次数分布的两端数据或个别数据不清楚时； （3）当需要快速估计一组数据的代表值时。
2
数据分组后（次数分布表）求中数的方法
将原始数据整理成次数分布表后，求中数的原理同重复数目求中数是一
样的，也是取序列中将N平分为两半的那一点的值作为中数。
Md Lb
b
N 2
式中 为中数所在分组区间的精确下限， 为中数所在分组区间的精确 L L
上限， 为该组以下各组的累加次数， 为该组以上各组的累加次数， 为 Fa Fb f Md 该组的次数。
算术平均数的意义、适用条件及应用原则
算术平均数的意义
算术平均数是应用最普遍的集中量数，它是“真值”渐近、最佳的估计 值。 算术平均数的适用的条件 一组数据是比较准确，可靠又同质，而且需要每一个数据都加入计算， 同时还要作进一步代数运算时，这时就需要用算术平均数表示其集中趋势。 计算和应用算术平均数的原则 ① 同质性原则； ② 平均数与个体数值相结合的原则； ③ 平均数与标准差、方差相结合的原则。
第二节
中数与众数
一、中数 二、众数 三、平均数、中数与众数的关系
中数的概念
中数是按顺序排列在一起的一组数据中居于中间位置的数，即在这组数据中， 有一半的数据比它大，有一半的数据比它小。中数用Ｍd 表示。
未分组数据（原始数据）求中数的方法
（1）一组数据中无重复数值的情况
指一组数据中没有相同的数，这时取处于序列中间位置的那个数为中数。 1 如果数据个数为奇数，则中数为 N 位置的那个数；如果数据个数为偶数，则 2 N N 1 中数为居于中间位置两个数的平均数，即第 与第 位置的两个数据的平 2 2 均数。 （2）一组数据中有重复数值的情况 指一组数据中有相同数值的数据，这时计算中数的方法基本与无重复数 值的单列数据相同。但根据重复数值数据在该组数据中所处的位置又细分为 以下两种情况： ① 当重复数值没有位于数列中间时，求中数的方法与无重复数据时求中 数的方法相同。 ② 当重复数目位于数列中间时，需要假设位于中间的几个重复数目为连 N 续数目，取序列中上下各 那一点上的数值为中数。