《数字信号处理》朱金秀第三章习题及参考答案
数字信号处理 Chapter03答案
11
3.2 Properties of the z-Transform
Ex. ( linearity) x(n) = [3(2n) – 4(3n)] u(n) 3 4 – 1 – 2z –1 1 – 3z –1
X(z) =
ROC: |z| > 3
12
3.2 Properties of the z-Transform
z = re
jθ
=
n =−∞
∑ x ( n )r
−n
∞
− n − jθ n
e
X ( z) ≤
n =−∞
∞
∑
−1
x (n) r
+∑
n=0
∞
∞
x ( n) rn
x (n) rn
≤ ∑ x ( −n ) r + ∑
n n =1 n =0
7
3.1 The z-Transform
3.1.1 The Direct z-Transform
3.2 Properties of the z-Transform
X(z) = ∑ x(n) z – n
14
3.2 Properties of the z-Transform
X(z) = ∑ x(n) z – n
15
X(z) = ∑ x(n) z – n
16
3.3 Rational z-Transforms
1 2 −1 1 2 2
X ( z ) = 1+ z + (
X ( z) = 1 1− z
1 2 −1
)
z + .... + (
−2
1 n 2
)
z −n
数字信号处理第三版习题答案
数字信号处理第三版习题答案数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是一门研究如何对数字信号进行处理和分析的学科。
它在现代通信、音频处理、图像处理等领域有着广泛的应用。
为了更好地理解和掌握数字信号处理的知识，许多人选择了《数字信号处理（第三版）》这本经典教材。
本文将为大家提供一些《数字信号处理（第三版）》习题的答案，以帮助读者更好地学习和巩固所学知识。
第一章：离散时间信号和系统1.1 习题答案：a) 离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，而连续时间信号是在连续时间上取值的信号。
b) 离散时间系统是对离散时间信号进行处理的系统，而连续时间系统是对连续时间信号进行处理的系统。
c) 离散时间信号可以通过采样连续时间信号得到。
1.2 习题答案：a) 线性系统满足叠加性和齐次性。
b) 时不变系统的输出只与输入的时间延迟有关，与输入信号的具体形式无关。
c) 因果系统的输出只与当前和过去的输入有关，与未来的输入无关。
第二章：离散时间信号的时域分析2.1 习题答案：a) 离散时间信号的能量是信号幅值的平方和，而功率是信号幅值的平方的平均值。
b) 离散时间信号的能量和功率可以通过计算信号的幅值序列的平方和和平方的平均值得到。
2.2 习题答案：a) 离散时间信号的自相关函数是信号与其自身经过不同时间延迟的乘积的和。
b) 离散时间信号的自相关函数可以用于确定信号的周期性和频率成分。
第三章：离散时间信号的频域分析3.1 习题答案：a) 离散时间信号的频谱是信号在频率域上的表示，可以通过对信号进行傅里叶变换得到。
b) 离散时间信号的频谱可以用于分析信号的频率成分和频谱特性。
3.2 习题答案：a) 离散时间信号的频谱具有周期性，其周期等于采样频率。
b) 离散时间信号的频谱可以通过对信号进行离散傅里叶变换得到。
第四章：离散时间系统的频域分析4.1 习题答案：a) 离散时间系统的频率响应是系统在不同频率下的输出与输入之比。
(好)数字信号处理_习题+答案
20kHz ，整个系统的截止频率为
fc
1 1250 Hz 16T
二、离散时间信号与系统频域分析
计算题： 1．设序列 （1）
x(n) 的傅氏变换为 X (e j ) ，试求下列序列的傅里叶变换。
（2）
x(2n)
x * (n) （共轭）
解： （1） x(2n) 由序列傅氏变换公式
j ) DTFT [ x(n)] X (e
所以 h(n) 得截止频率
c 8 对应于模拟信号的角频率 c 为
cT
8
因此
fc
c 1 625Hz 2 16T
T
，因此对
由于最后一级的低通滤波器的截止频率为 （b）采用同样的方法求得 1 T
8T
没有影响，故整个系统的截止频率由 H (e
j
) 决定，是 625Hz。
（3）
1 X (e jw ) X (e jw ) 2
1 n 2
j X ( e ) d x(n)e j ( w ) n n
n
x 2 (n)e jwn
1 X (e j ) X (e j ( w ) )d 2 1 X (e j ) X (e jw ) 2
第二章 离散时间信号与系统分析基础
一、连续时间信号取样与取样定理
计算题： 1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T表示采样周期（假设T足够小，足以防止混迭效应） ，把从 的整个系统等效为一个模拟滤波器。 （a） （b） 如果 对于
x(t )到y(t )
h(n)截止于 8rad ,1 T 10kHz ，求整个系统的截止频率。
数字信号处理习题第三章
第3章频域中的离散时间信号3.16 求下面每个序列的DTFT:(a) x1[n]=αnμ[n−1],|α|<1(b) x2[n]=nαnμ[n],|α|<1(e) x5[n]= αnμ[−n−1],|α|>1答案：（a）X1(e jω)=∑αn e−jωn∞n=1=∑(αe−jω)n=∞n=1∑(αe−jω)n−1=αe−jω1−αe−jω∞n=0（b）X2(e jω)=j dX(e jω)dω=j ddω(11−αe−jω)=αe−jω(1−αe−jω)2（e）X5(e jω)=∑αn e−jωn=∑α−m e jωm=∑α−m e jωm−1=∞m=0∞m=1−1n=−∞e jωα−e jω3.17 求下面每个序列的DTFT：(a) xa[n]= μ[n+2]−μ[n−3](b) xb[n]=αn(μ[n−1]− μ[n−4]),|α|<1(c) xc[n]= 2nαnμ[n],|α|<1答案：（a）设μ[n]的DTFT变换为：μ(e jω)=11−e−jω+∑πδ(ω+2kπ)∞k=−∞Xa(e jω)=(e j2ω−e−j3ω)μ(e jω)=(e j2ω−e−j3ω)[11−e−jω+∑πδ(ω+2kπ)]∞k=−∞（b）设x[n]= αnμ[n],|α|<1，其DTFT变换为：X(e jω)=11−αe−jωXb (e jω)=e−jωX(e jω)−e−j4ωX(e jω)=e−jω−e−j4ω1−αe−jω（c）xc[n]= 2nαnμ[n]=2(n+1)αnμ[n]−2αnμ[n],|α|<1X C (e jω)=2(1−αe−jω)2−21−αe−jω=2αe−jω(1−αe−jω)23.21 求下面每个DTFT的逆DTFT：(a) Xa (e jω)=∑δ(ω+2πk)∞k=−∞(b) Xb (e jω)=e jω(1−e jωN)1−e jω(c) Xc (e jω)=1+2∑cosωιNι=0(d) Xd (e jω)=−αe−jω(1−αe−jω)2,|α|<1答案：（a） xa [n]=12π∫δ(ω)e jωn∞−∞dω=1（b ） X b (e jω)=e jω(1−e jωN )1−e jω=e jω∑ejωnN−1n=0 令m =−n X(ejω)=∑e−jωm −N+1m=0 x[n]={1,−(N −1)≤n ≤00,其他X b (e jω)=e jω∑e−jωm−N+1m=0=e jωX(e jω) X b [n]=x[n+1]={1,−N ≤n ≤−10,其他（c ）X c (e jω)=1+2∑cosωιN ι=0=2+∑e−jωιN ι=−N , x c [n]={3,n =01,0<|n |<N 0,其他（d ）X 0(e jω)=11−αe −jω x o [n]=αn μ[n]X d (ejω)=−αe −jω(1−αe −jω)2=dX0(e jω)dωx d [n]=n x o [n]=nαn μ[n]3.26 X (e jω)是实序列x[n]的DTFT 。
(2021年整理)数字信号处理习题集(附答案)
数字信号处理习题集(附答案)(推荐完整)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（数字信号处理习题集(附答案)(推荐完整)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为数字信号处理习题集(附答案)(推荐完整)的全部内容。
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第一章数字信号处理概述简答题：1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。
此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。
在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。
判断说明题：2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了. ( ）答：错。
需要增加采样和量化两道工序。
《数字信号处理》朱金秀第三章习题及参考答案
第三章习题答案 3.1 （1）非周期（2）N=1 （3）N=10 （4）N=4 （5）N=20 3.2 02s f f ωπ=，1s sf T = （1）0153,2f ωπ==；0.3s T =，05f π= （2）010,25f ωπ==；0.3s T =，0503f =（3）0,0.55f πω==；0.3s T =，013f =（4）03.5,8.75f ωπ==；0.3s T =，0356f =（5） ()()()(){}0.20.210.20.20.20.2(0.2)(0.2)1cos(0.2)()2130.6cos(0.2)() 1.8()0.6()211.80.6()0.6()2110.910.610.6j n j n n n j n j n n nj n j n j j n e e F n u n F e e u n F e u n F e u n ee ππππππωπωπππ-+-----+=+⎡⎤⎡⎤-=-•+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-•-+-⎣⎦⎣⎦⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭3.3 function [X]=myDTFT(x, n, w)% 计算DTFT% [X]=myDTFT(x, n, w) %X=输出的DTFT 数组 %x=输入的有限长序列 %n=样本位置行向量 %w=频率点位置行向量 X=x*exp(-j*n ’*w)3.4 (1) 7()10.3j j X e eωω-=- （2）20.51()(10.5)10.5j j j j e X e e e ωωωω---=---（3）2()0.80.1610.4j j j e X e e ωωω--=⨯⨯-（4）112210.920.9()(10.9)10.9(10.9)j j j j j j e e X e e e e ωωωωωω-----⨯-⨯=-=---3.5(1) 23456()642246j j j j j j j X e e e e e e e ωωωωωωω------=++++++（2）234567()642246j j j j j j j j X e e e e e e e e ωωωωωωωω-------=+++++++ （3）234567()642246j j j j j j j j X e e e e e e e e ωωωωωωωω-------=+++---- （4）235678()642246j j j j j j j j X e e e e e e e e ωωωωωωωω-------=+++----3.6 00()()11()211j j j A X e ae ae ωωωωω---+⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦3.7 N=5，()5611()11j j j j j j e ee X e e e ωωωωωω----=+--N=25，()252611()11j j j j j j e e eX e e e ωωωωωω----=+-- N=100，()10010111()11j j j j j j e ee X e e e ωωωωωω----=+-- N=5，》n = -5:5; x =ones(1,11); % x(n)k = -500:499; w = (pi/500)*k; % [-pi, pi] X =1/11* x*exp(-j*pi/500*n'*k); % DTFT magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('幅度部分'); ylabel('幅值') subplot(2,2,2); plot(w/pi,angX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('相位部分'); ylabel('弧度')-1-0.500.5100.51以pi 为单位的频率幅度部分幅值-1-0.500.51-4-2024以pi 为单位的频率相位部分弧度N=25,>> n = -25:25; x =ones(1,51); % x(n)k = -500:499; w = (pi/500)*k; % [-pi, pi] X =1/51* x*exp(-j*pi/500*n'*k); % DTFT magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('幅度部分'); ylabel('幅值') subplot(2,2,2); plot(w/pi,angX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('相位部分'); ylabel('弧度')-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81以pi 为单位的频率相位部分弧度-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81以pi 为单位的频率幅度部分幅值N=100,>> n = -100:100; x =ones(1,201); % x(n)k = -500:499; w = (pi/500)*k; % [-pi, pi] X =1/201* x*exp(-j*pi/500*n'*k); % DTFT magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('幅度部分'); ylabel('幅值') subplot(2,2,2); plot(w/pi,angX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('相位部分'); ylabel('弧度')-1-0.500.5100.51以pi 为单位的频率幅度部分幅值-1-0.500.51-4-2024以pi 为单位的频率相位部分弧度随着N 的增大，DTFT 的幅度特性主瓣越尖锐，旁瓣越小，越接近于1)(=n x 的DTFT 特性。
《数字信号处理》第三版答案(非常详细完整)
答案很详细，考试前或者平时作业的时候可以好好研究，祝各位考试成功！！电子科技大学微电子与固体电子学陈钢教授著数字信号处理课后答案1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。
解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3)0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值；（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。
解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。
（2）()3(4)(3)(2)3(1)6()6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如 5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
（1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； （3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数； （5）2()()y n x n =； （7）0()()nm y n x m ==∑。
第三章习题答案1要点
第三章习题答案1要点数字信号处理学习拓展3-1画H（z）？解决方案：(2?0.379z?1)(4?1.24z?1?5.264z?2)(1?0.25z)(1?z?1?1?0.5z)?2级联型网络结构。
x（n）z？10.2524y（n）z？1-1.24-0.5-0.379z？十五点二六四(2?3z?1)(4?6z?1?5z?2)3－2画出h(z)?级联型网络结构。
?1?1?2(1?7z)(1?z?8z)解：x（n）24y（n）z？17? 3z？1.6.8z？十五523?z?1?z?2333－3已知某三阶数字滤波器的系统函数为h(z)?，试画出其1?11?11?2(1?z)(1?z?z)322并联型网络结构。
解：系统函数H（z）表示为一阶和二阶子系统的实系数之和，即：21?z?1?h(z)?1?11?11?21?z1?z?z322由上式可以画出并联型结构如题3-3图所示：3-1数字信号处理学习拓展2x（n）1/31z？1y（n）？1/2? 1/2z？1z？十一题3-3图3-4已知FIR滤波器的系统函数为h（z）？（1×10.7z×1×0.5z×2）（1×2Z×1），绘制fir滤波器的线性相位结构。
解决方案：因为H（z）？（1？0.7z？1？0.5z？2）（1？2z？1）？1.1.3z？1.0.9z？2.Z第二类线性相位结构画出该滤波器的线性相位结构，如题3-4图所示：x（n）1z？1z？1z？1y（n）11.3？零点九题3-4图3-5众所周知，FIR系统的传递函数为：h(z)?1?1.25z?1?2.75z?2?2.75z?3?1.23z?4?z?5找到以叶栅形式实现的结构流程图，并用MATLAB绘制其零点分布和频响曲线。
解：由转移函数可知，n?6，且h(n)偶对称，故为线性相位系统，共有5个零点，为5因此，必须有一个一阶系统，也就是Z？？1是系统的零点。
《数字信号处理》第三版课后习题答案
数字信号处理课后答案1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。
解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3)0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值；（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。
解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。
（2）()3(4)(3)(2)3(1)6()6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。
3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1）3()cos()78x n A n ππ=-，A 是常数；（2）1()8()j n x n e π-=。
解：（1）3214,73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； （2）12,168w wππ==，这是无理数，因此是非周期序列。
5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
数字信号处理 答案 第三章
解： x1 ( n) 和 x2 (n) 的图形如图 P3.7_1 所示：
3.8 图 P3.8 表示一个 4 点序列 x( n) 。 （1）绘出 x( n) 与 x( n) 的线性卷积结果的图形。 （2）绘出 x( n) 与 x( n) 的 4 点循环卷积结果的图形。 （3）绘出 x( n) 与 x( n) 的 8 点循环卷积结果的图形，并将结果与（1）比较，说明线性卷积与循环卷 积之间的关系。
j [(2π k /10) + (π /10)]
={
3.7
N ,k=m或 k=−m 2 0,其 他
图 P3.7 表示的是一个有限长序列 x( n) ,画出 x1 ( n) 和 x2 (n) 的图形。 （1） x1 ( n) = x ⎡ ⎣( n − 2 ) ⎤ ⎦ 4 R4 (n)
（2） x2 ( n) = x ⎡ ⎣( 2 − n ) ⎤ ⎦ 4 R4 (n)
解： （1） X ( k )
= ∑ δ (n)WNnk = δ (0) = 1, 0 ≤ k ≤ N − 1
n=0
N −1
（2） X ( k ) =
∑ δ [(n − n )]
n =0 0
N −1
N
RN (n)WNnk = WNn0 k , 0 ≤ k ≤ N − 1
（3） （4）
X (k ) = ∑ a W
− jω N
−j
N ω 2
j
N ω 2
−j
N ω 2
⎛N ⎞ sin ⎜ ω ⎟ N −1 ) ⎝ 2 ⎠ e− j 2 ω = sin
ω
2
⎛N ⎞ sin ⎜ ω ⎟ ⎝ 2 ⎠ , ϕ (ω ) = − N − 1 ω | X (e jω ) |= ω 2 sin 2
《数字信号处理》第三版答案(非常详细完整)
答案很详细，考试前或者平时作业的时候可以好好研究，祝各位考试成功！！电子科技大学微电子与固体电子学陈钢教授著数字信号处理课后答案1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。
解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值；（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。
解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。
（2）()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如 5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
（1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； （3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数； （5）2()()y n x n =； （7）0()()nm y n x m ==∑。
数字信号处理课后答案第三章3
1e 4
1
(1)k
j k
1e 4
当 k 2,4,6,... 时，X%1(k) 0
序列2: X%2 (k)
2 j nk
e4
n0
j 3 k
1
e
4 j
k
1e 4
当 k 2,4,6,... 时，X%1(k) 0
序列3:
x%3(n) x%1(n) x%1(n 4)
故 f (n)中只有 n 5到 n 14的点对应于 x(n) y(n)
应该得到的点。
10. 已知两个有限长序列为
n 1, 0 n 3
x(n)
0,
4n6
y(n)
1,
1,
0n4 5n6
试用作图表示 x(n) ，y(n)以及 f (n) x(n) ⑦ y(n) 。
又因N必须为2的整数幂，所以一个记录中的
最少点数为 N 210 1024
x((n))5
x((n))6 x((n))6 R6 (n)
x((n 3))5 R5(n)
x((n))3 R3(n) x((n))7 R7 (n)
5. 试求以下有限长序列的N 点DFT（闭合形式表
达式）：
(2) x(n) anRN (n)
N 1
解：X (k) x(n)WNnk RN (k)
根据序列移位性质可知
X%3 (k )
X%1 (k )
e
j k X%1 (k )
(1
ej kΒιβλιοθήκη )1(1)k j k
1e 4
数字信号处理第三章习题答案
解 （1） 已知F＝50Hz （2） （3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变, 应该使记录时间 扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高1倍（F变为原来的1/2）.
解
、
和
(a)、(b)、(c)所示。
分别如题3解图
x1(n) (a)
x2(n) (b)
y (n)
(a)
(b)
(c) (c)
5.如果X(k)=DFT[ x(n)], 证明DFT的初值定 理 证明 由IDFT定义式
可知
14.两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为 x(n)=0, n<0, 8≤n y(n)=0, n<0, 20 ≤ n
对每个序列作20点DFT, 即
X (k)=DFT [x(n)],
Y(k)=DFT [y(n)],
如果
F(k)=X(k)▪Y(k),
k=0,1,…,19 k=0,1,…,19 k=0,1,…,19
f(n)=IDFT [F(k)], k=0,1,…,19
试问在哪些点上f(n)=x(n)*y(n)?为什么？
解 如前所述, 记
,而
fl(n)长度为27,f(n)长度为20.前面已推出二者的关系为
只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上, 才满足f(n)=fl(n)7
21-47
41-67
1-7
21-27
8-20
7-19 当从0开始时候
15.用微处理器对实数序列作谱分析, 要求谱分辨率F≤50Hz, 信号最高频率为1kHz, 试确定以下各参数；
教材第三章习题解答
信号处理-习题(答案)
数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a （j Ω)还原，其中⎪⎩⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ30321)(，，j H a 现有两个输入，x 1(t )=cos2πt ,x 2(t )=cos5πt 。
试问输出信号y 1（t )，y 2（t )有无失真？为什么？分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍,即满足Ωs ≥2Ωh 。
解:已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得 因为x 1（t ）=cos2πt ，而频谱中最高角频率πππ32621=<=Ωh ,所以y 1（t )无失真；因为x 2（t ）=cos5πt ，而频谱中最高角频率πππ32652=>=Ωh ，所以y 2（t ）失真.2.2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ，求：（1） 该信号的最小采样频率；（2） 若采样频率f s =5000Hz ，其采样后的输出信号； 分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。
错误!采样定理采样后信号不失真的条件为:信号的采样频率f s 不小于其最高频率f m 的两倍，即f s ≥2f m错误!采样公式)()()(s nT t nT x t x n x s===解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是f 1=1000Hz ，f 2=3000Hz ，f 3=6000Hz∴信号的最高频率f m =6000Hz由采样定理f s ≥2f m ，得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz （2）由于采样频率f s =5kHz ，则采样后的输出信号⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nTt s522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明：由上式可见,采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分，即kHzf f f kHzf f f ss 25000200052150001000512211======，，若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号,则恢复后的模拟信号()()t t t f t f t y ππππ4000sin 52000cos 132sin 52cos 13)(21-=-=可见，恢复后的模拟信号y （t ） 不同于原模拟信号x （t ），存在失真，这是由于采样频率不满足采样定理的要求,而产生混叠的结果.第三章 傅里叶分析I. 傅里叶变换概述3.1 ［习题3.2］设序列x （n )=δ(n-m ），求其频谱X (e j ω），并讨论其幅频和相频响应分析:求解序列的频谱有两种方法:○，1先求序列的z 变换X （z )，再求频谱ωωj e z j z X e X ==)()(,即X （e j ω）为单位圆上的z 变换；错误!直接求序列的傅里叶变换∑∞-∞=-=n nj j en x e X ωω)()(解：对序列x （n )先进行z 变换,再求频谱，得m z m n ZT n x ZT z X -=-==)]([)]([)(δ则ωωωjm e z j e z X e X j -===)()(若系统的单位采样响应h （n ）=x (n ），则系统的频率响应)}(exp{)(1)()(ωϕωωωωωj e H e e e X e H j jm jm j j ====--•故其幅频和相频响应(如图)分别为幅频响应 1)(=ωj e H 相频响应 ωωϕm -=)(由图可见,该系统的频率响应具有单位幅值以及线性相位的特点。
数字信号处理第3版课后答案市公开课一等奖百校联赛优质课金奖名师赛课获奖课件
（2）计算L点H(k)=FFT［h(n)］和L点X(k)=FFT［x(n)］;
（3） 计算Y(k)=H(k)X(k) （4） 计算Y(n)=IFFT［Y(k)］， n=0，1，2，3，…，L-1。 但当h(n)和x(n)中任一个长度很长或者无限长时， 需用书 上介绍重合相加法和重合保留法。
说明： 如上计算过程中DFT和IDFT均采取FFT算法时，
才称为快速算法， 不然比直接在时域计算循环卷积运算量
大3倍以上。
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第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
3.3.2 线性卷积快速计算——
序列h(n)和x(n)长度分别为N和M， L=N+M－1， 求 y(n)=h(n)*x(n)方法以下：
ze N
n
ze N
n
所以
~xN (n)
1 N
N
x(m)e
j
2π N
km
k 0 n
j2π k(nm)
eN
x(m)
m
1 N
N 1 j2π k (nm)
eN
k 0
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第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
因为
1
N
N 1 j2π k (nm)
eN
k 0
1 0
m n rN, r为整数 其它m
2X (0) [x(n) x(N 1 n)] 0
n0
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所以
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
X(0)=0 （2） 因为x(n)=x(N－1－n)， 所以
数字信号处理课后答案 第3章DFT FFT.
N 1
j
2π kn N
1 N 1 j(0 2Nπ k ) n N 1 j(0 2Nπ k ) n e e 2 j n 0 n 0
j0 N j0 N 1 1 e 1 e 2 2π j(0 - k) j(ω0 k ) 2j N N 1 e 1 e
（10） 解法一
X (k )
n 0
N 1
kn nWN
k 0, 1, , N 1
上式直接计算较难， 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因 为x(n)=nRN(n)， 所以 x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n)
等式两边进行DFT， 得到
X(k)－X(k)WkN+N=Nδ(k)
k 整数 m k 整数 m
所以
k mX m X (k ) 0
k 整数 m k 整数 m
7． 证明: 若x(n)为实序列， X(k)=DFT［x(n)］N， 则 X(k)为共轭对称序列， 即X(k)=X*（N－k)； 若x(n)实偶对 称， 即x(n)=x(N－n)， 则X(k)也实偶对称； 若x(n)实奇对称， 即x(n)=－x(N－n)， 则X(k)为纯虚函数并奇对称。
解法二
因为
由DFT共轭对称性可得同样结果。
x9 (n) cos(0 n) RN (n) Re[x7 (n)]
1 * X 9 (k ) X 7e (k ) [ X 7 (k ) X 7 ( N k )] 2
j 0 N j 0 N 1 1 e 1 e 2π 2π 2 j(0 k ) j(0 ) k N N 1 e 1 e
第三章 用直接型及正准型结构实现以下传递函数 数字信号处理习题答案
第三章 用直接型及正准型结构实现以下传递函数1．(1)321213315.025)(-----+++-+-=z z z z z z H x(n) -5 y(n) x(n) -5 y(n)直接型 正准型(2)3213212323234152238.0234)5223(8.0)(------++++=++++++=z z z z z z z z z z z z z H x(n) 0.8 3 y(n) x(n) 0.8 3 y(n)直接型 正准型(3)212128/34/112813282)(------+-=--+-=zz z z z z z z H x(n) 1/8 y(n) x(n) 1/8 y(n)2．用级联型结构实现以下传递函数)81.02728.11)(5.01()4142.11)(1(5)(211211------+--+--=z z z z z z z H 一共能有几种级联型网络？解：x(n) 5 y(n)级联型之一共有2！*2！=4种级联型网络。
3．用级联型及并联型实现以下传递函数：解：(1)2111211211223115.012)1)(5.01(35.235.313)5.0)(1(5.25.33)(---------+--+-=+--+-=-+-+-=zz z z z z z z z z z z z z z z H x(n) 3 y(n) 2级联型之一 并联型(2)21112234142.11)7071.01(27071.012)7071.0)(14142.1(8284.24)(----+--++=++-+-=z z z z z z z z z z z H x(n) 4 y(n) 2级联型之一 并联型4．设滤波器差分方程为：)2(81)1(43)1(31)()(---+-+=n y n y n x n x n y 用直接I 型，II 型以及全部一阶节的级联型，并联型结构实现它。
解：传递函数为：112114113721131081431311)(-------+-=+-+=z z z z z z H x(n) y(n) x(n) y(n) 直接I 型 直接II 型x(n) y(n) x(n) y(n)x(n) y(n) x(n) y(n)级联型10/3 -7/3并联型5．求以下结构的差分方程及传递函数：x(n) y(n) x(n) )(1n y )(2n y 2 y(n)(a) (b)解：(a)21183411412)()2(83)1(41)1(41)(2)(---+-+=---+-+=z z z z H n y n y n x n x n y (b)54321543212121111133112111221212113311221212113233111321211108.062.098.026.05.118.08.71.55.164.46)()()()8.02.01)(5.05.11()24)(25.01()()()()()2.01)(5.05.11(25.01)()()()(8.02.0124)()()(2.011)()()(,)()(5.05.1125.01)()()(2)()2(8.0)1(2.0)2(2)1()(4)()1(2.0)()()2(5.0)1(5.1)2(2)1(5.0)()(-----------------------------------+-+++++==+---++++==+--++==+-++==+===--++=+=---+-+-+=--=-+-+-+-+=z z z z z z z z z z z X z Y z H z z z z z z z z z X z Y z H z H z z z z z z X z Y z H z H z z z z z Y z Y z H z z Y z Y z H z X z Y z z z z z H n y n y n y n y n y n y n y n y n y n y n y n y n y n y n x n x n x n yy(n)=6x(n)+4.4x(n-1)+16.5x(n-2)+5.1x(n-3)+7.8x(n-4)+0.8x(n-5)+1.5y(n-1)-0.26y(n-2)+0.98y(n-3)+0.62y(n-4)+0.08y(n-5)6．求以下结构的差分方程及传递函数：解：设变量4321,,,u u u u有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==-+=--134423112421cos sin sin cos z u u u r r u u z u u u r u r x u θθθθ )2()1(cos 2)1(sin )(cos 21sin )(cos 21sin 22211322113---+-=+-=∴=+-=------n y r n y r n x r n y z r z r zr z H u Y z r z r z r x u θθθθθθ(b)设变量：321,,u u u有：33133213233123212211212211211111,u Y u z a u z a u u z a u z a u z a u x u z a u z a u =⎪⎩⎪⎨⎧+=++=++=-------用矩阵表示：[])(001)1()1()1(00)()()(:001,001003213332232221121132132131211133322322211211321n x n u n u n u a a a a a a a n u n u n u u u u Y x u z u z u z a a a a a a a u u u ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---即其中：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--++=++==322311332112332211233221123322331122113322113212a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a C a a a B a a A7．已知滤波器单位脉冲响应为⎩⎨⎧≤≤=nn n h n 其他,050,2.0)(，横截型结构。
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第三章习题答案 3.1 （1）非周期（2）N=1 （3）N=10 （4）N=4 （5）N=20 3.2 02s f f ωπ=，1s sf T = （1）0153,2f ωπ==；0.3s T =，05f π= （2）010,25f ωπ==；0.3s T =，0503f =（3）0,0.55f πω==；0.3s T =，013f =（4）03.5,8.75f ωπ==；0.3s T =，0356f =（5） ()()()(){}0.20.210.20.20.20.2(0.2)(0.2)1cos(0.2)()2130.6cos(0.2)() 1.8()0.6()211.80.6()0.6()2110.910.610.6j n j n n n j n j n n nj n j n j j n e e F n u n F e e u n F e u n F e u n ee ππππππωπωπππ-+-----+=+⎡⎤⎡⎤-=-•+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-•-+-⎣⎦⎣⎦⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭3.3 function [X]=myDTFT(x, n, w)% 计算DTFT% [X]=myDTFT(x, n, w) %X=输出的DTFT 数组 %x=输入的有限长序列 %n=样本位置行向量 %w=频率点位置行向量 X=x*exp(-j*n ’*w)3.4 (1) 7()10.3j j X e eωω-=- （2）20.51()(10.5)10.5j j j j e X e e e ωωωω---=---（3）2()0.80.1610.4j j j e X e e ωωω--=⨯⨯-（4）112210.920.9()(10.9)10.9(10.9)j j j j j j e e X e e e e ωωωωωω-----⨯-⨯=-=---3.5(1) 23456()642246j j j j j j j X e e e e e e e ωωωωωωω------=++++++（2）234567()642246j j j j j j j j X e e e e e e e e ωωωωωωωω-------=+++++++ （3）234567()642246j j j j j j j j X e e e e e e e e ωωωωωωωω-------=+++---- （4）235678()642246j j j j j j j j X e e e e e e e e ωωωωωωωω-------=+++----3.6 00()()11()211j j j A X e ae ae ωωωωω---+⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦3.7 N=5，()5611()11j j j j j j e ee X e e e ωωωωωω----=+--N=25，()252611()11j j j j j j e e eX e e e ωωωωωω----=+-- N=100，()10010111()11j j j j j j e ee X e e e ωωωωωω----=+-- N=5，》n = -5:5; x =ones(1,11); % x(n)k = -500:499; w = (pi/500)*k; % [-pi, pi] X =1/11* x*exp(-j*pi/500*n'*k); % DTFT magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('幅度部分'); ylabel('幅值') subplot(2,2,2); plot(w/pi,angX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('相位部分'); ylabel('弧度')-1-0.500.5100.51以pi 为单位的频率幅度部分幅值-1-0.500.51-4-2024以pi 为单位的频率相位部分弧度N=25,>> n = -25:25; x =ones(1,51); % x(n)k = -500:499; w = (pi/500)*k; % [-pi, pi] X =1/51* x*exp(-j*pi/500*n'*k); % DTFT magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('幅度部分'); ylabel('幅值') subplot(2,2,2); plot(w/pi,angX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('相位部分'); ylabel('弧度')-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81以pi 为单位的频率相位部分弧度-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81以pi 为单位的频率幅度部分幅值N=100,>> n = -100:100; x =ones(1,201); % x(n)k = -500:499; w = (pi/500)*k; % [-pi, pi] X =1/201* x*exp(-j*pi/500*n'*k); % DTFT magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('幅度部分'); ylabel('幅值') subplot(2,2,2); plot(w/pi,angX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('相位部分'); ylabel('弧度')-1-0.500.5100.51以pi 为单位的频率幅度部分幅值-1-0.500.51-4-2024以pi 为单位的频率相位部分弧度随着N 的增大，DTFT 的幅度特性主瓣越尖锐，旁瓣越小，越接近于1)(=n x 的DTFT 特性。
3.83.8(1) [()]()j F x n X eω--=(2) [()]()j F x n X e ω**-=(3) ()*1{Re[()]}()()2j j F x n X e X e ωω-=+ (4) ()*1{Im[()]}()()2j j F j x n X e X e ωω-=-(5) [()]Re[()]j e F x n X e ω= (6) [()]*Im[()]j o F x n j X e ω=3.9 (5)(5)(5)(),51()[()()],()520,nx n y n x n x n x n ⎧⎪=+-=⎨⎪⎩是的倍数其中其他n3.10 (1) DTFT 为纯虚数（2）DTFT 为纯实数 （3）DTFT 为纯实数 3.11（1）x(n)为奇序列 （2）x(n)为偶序列3.12（1）22()132()()10.5j j j j j j j Y e e e H e X e e e ωωωωωωω-----+==-+b=[1,-3,2]; a=[1,-1,0.5];[H,w]=freqz(b,a);%0到pi 分成512个点 subplot(2,1,1);plot(w/pi,abs(H));gridxlabel('频率以pi 为单位'); ylabel('|H|') title('幅度响应')subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(H)/pi);grid xlabel('频率以pi 为单位'); ylabel('相位(单位：pi)') title('相位响应')0.10.20.30.40.50.60.70.80.9101234频率以pi 为单位|H |幅度响应0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.500.51频率以pi 为单位相位(单位：p i )相位响应（2）22()13()()10.25j j j j j j Y e e H e X e e eωωωωωω----==++ b=[1,0,-3]; a=[1,1,0.25];[H,w]=freqz(b,a);%0到pi 分成512个点 subplot(2,1,1);plot(w/pi,abs(H));grid xlabel('频率以pi 为单位'); ylabel('|H|') title('幅度响应')subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(H)/pi);grid xlabel('频率以pi 为单位'); ylabel('相位(单位：pi)') title('相位响应')0.10.20.30.40.50.60.70.80.9102468频率以pi 为单位|H |幅度响应0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.500.51频率以pi 为单位相位(单位：p i )相位响应（3）6()1()()1j j j j j Y e e H e X e eωωωωω---==- b=[1,0,0,0,0,0,-1]; a=[1,-1];[H,w]=freqz(b,a);%0到pi 分成512个点 subplot(2,1,1);plot(w/pi,abs(H));grid xlabel('频率以pi 为单位'); ylabel('|H|') title('幅度响应')subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(H)/pi);grid xlabel('频率以pi 为单位'); ylabel('相位(单位：pi)') title('相位响应')00.10.20.30.40.50.60.70.80.91246频率以pi 为单位|H |00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.500.5频率以pi 为单位相位(单位：p i )相位响应（4）44()10.4()()10.4j j j j j Y e e H e X e e ωωωωω---==-b=[1,-0.4];a=[1,0,0,0,-0.4^4]; [H,w]=freqz(b,a);%0到pi 分成512个点 subplot(2,1,1);plot(w/pi,abs(H));grid xlabel('频率以pi 为单位'); ylabel('|H|') title('幅度响应')subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(H)/pi);grid xlabel('频率以pi 为单位'); ylabel('相位(单位：pi)') title('相位响应')00.10.20.30.40.50.60.70.80.910.511.5频率以pi 为单位|H |0.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.050.10.150.2频率以pi 为单位相位(单位：p i )相位响应3.13 2411()1313j j H ee ωωω--=*- 3.14 21100~~~~()()()()N N j knknN N n n X k DFS x n x n e x n W π---==⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑（1）24135555~(){4,4*,4*,4*,4*}X k W W W W =（2）~(){42,3,0,13}X k j j j =++- （3）~(){2,0,2,0}X k =--（4）~(){2,26,2,26}X k j j j j =+-+3.15 21100~~~~11()()()()N N j kn kn NNk k x n IDFS X k X k e X k W N N π---==⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑ （1）~(){0.75,0.25,0.75,0.75}x n =- （2）~(){2.5,0.50.5,0.5,0.50.5}x n j j =+- （3）~(){0,0.44720.671,0.4472 1.4662,0.4472 1.4662,0.44720.671}x n j j j j =---+-+（4）~(){0.750.5,0.250.5,0.750.5,1.250.5}x n j j j j =+-+-3.16 （1）解法11,,1,0)(10-==∑-=N k nW k X N n knN上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。