常德市桃源县数学小学奥数系列7-2乘法原理(一)

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(完整版)小学奥数——乘法原理与加法原理

乘法原理与加法原理在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决．例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即：第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法：3×1=3．如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法：　共有六种走法，注意到3×2=6．在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的．在上面的例子中，完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数．一般地，如果完成一件事需要个步骤，其中，做第一步有种不同的方法，做第二步有n m1种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么，完成这件事一共有m2 n m n种不同的方法．N=m1×m2×……×m n这就是乘法原理．例1.某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？补充说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：①这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；②每个步骤各有若干种不同的方法来完成．这样的问题就可以使用乘法原理解决问题．例2.右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？例3.书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？例4.王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？例5.由数字0、1、2、3组成三位数，问： ①可组成多少个不相等的三位数？ ②可组成多少个没有重复数字的三位数？分析在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定．所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成． ①要求组成不相等的三位数．所以，数字可以重复使用，百位上，不能取0，故有3种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有4种不同的取法；个位上，也有4种不同的取法. ②要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取0，有3种不同的取法；十位上，由于百位已在1、2、3中取走一个，故只剩下0和其余两个数字，故有3种取法；个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有2种取法．例6.由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？分析要组成四位数，需一位一位地确定各个数位上的数字，即分四步完成，由于要求组成的数是奇数，故个位上只有能取1、3、5中的一个，有3种不同的取法；十位上，可以从余下的五个数字中取一个，有5种取法；百位上有4种取法；千位上有3种取法，故可由乘法原理解决．例7.右图中共有16个方格，要把A 、B 、C 、D 四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？分析由于四个棋子要一个一个地放入方格内．故可看成是分四步完成这件事．第一步放棋子A ，A 可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同的放法；第二步放棋子B ，由于A 已放定，那么放A 的那一行和一列中的其他方格内也不能放B ，故还剩下9个方格可以放B ，B 有9种放法；第三步放C ，再去掉B 所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放C ，C 有4种放法；最后一步放D ，再去掉C 所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D ，D 有1种放法，本题要由乘法原理解决．例8.现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？分析要从三种面值的人民币中任取几张，构成一个钱数，需一步一步地来做．如先取一角的，再取贰角的，最后取壹元的．但注意到，取2张一角的人民币和取1张贰角的人民币，得到的钱数是相同的．这就会产生重复，如何解决这一问题呢？我们可以把壹角的人民币4张和贰角的人民币2张统一起来考虑．即从中取出几张组成一种面值，看共可以组成多少种．分析知，共可以组成从壹角到捌角间的任何一种面值，共8种情况．（即取两张壹角的人民币与取一张贰角的人民币是一种情况；取4张壹角的人民币与取2张贰角的人民币是一种情况．）这样一来，可以把它们看成是8张壹角的人民币．整个问题就变成了从8张壹角的人民币和3张壹元的人民币中分别取钱．这样，第一步，从8张壹角的人民币中取；第二步，从3张壹元的人民币中取共4种取法，即0、1、2、3．但要注意，要求“至少取一张”.生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决．例如某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，此人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．一般地，如果完成一件事有类方法，第一类方法中有种不同做法，第二类方法中有种 k m 1 m 2 不同做法，…，第类方法中有种不同的做法，则完成这件事共有种 k m k N =m 1+m 2+……+m k 不同的方法．这就是加法原理．例1.学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？例2.一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？补充说明：由本题应注意加法原理和乘法原理的区别及使用范围的不同，乘法原理中，做完一件事要分成若干个步骤，一步接一步地去做才能完成这件事；加法原理中，做完一件事可以有几类方法，每一类方法中的一种做法都可以完成这件事．事实上，往往有许多事情是有几大类方法来做的，而每一类方法又要由几步来完成，这就要熟悉加法原理和乘法原理的内容，综合使用这两个原理．例3.如右图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走．那么，从甲地到丙地共有多少种走法？分析从甲地到丙地共有两大类不同的走法．第一类，由甲地途经乙地到丙地．第二类，由甲地直接到丙地．例4.如下页图，一只小甲虫要从A 点出发沿着线段爬到B 点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种不同的走法？分析从A 点到B 点有两类走法，一类是从A 点先经过C 点到B 点，一类是从A 点先经过D 点到B 点．两类中的每一种具体走法都要分两步完成，所以每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从A 到B 的全部走法时，只要用加法原理求和即可．例5.有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？分析要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性相同，即这两个数字要么同为奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑．例6.从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？分析从1到500的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9；要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理．要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理．补充说明：这道题也可以这样想：把一位数看成是前面有两个0的三位数，如：把1看成是001．把两位数看成是前面有一个0的三位数．如：把11看成011．那么所有的从1到500的自然数都可以看成是“三位数”，除去500外，考虑不含有4的这样的“三位数”．百位上，有0、1、2、3这四种选法；十位上，有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种选法；个位上，也有九种选法．所以，除500外，有4×9×9=324个不含4的“三位数”．注意到，这里面有一个数是000，应该去掉．而500还没有算进去，应该加进去．所以，从1到500中，不含4的自然数仍有324个．这是一种特殊的思考问题的方法，注意到当我们对“三位数”重新给予规定之后，问题很简捷地得到解决．例7.如图，要从A 点沿线段走到B ，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方．问有多少种不同的走法？分析观察下页左图，注意到，从A 到B 要一直向右、向上，那么，经过下页右图中C 、D 、E 、F 四点中的某一点的路线一定不再经过其他的点．也就是说从A 到B 点的路线共分为四类，它们是分别经过C 、D 、E 、F 的路线．自我检测1.某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地，现在知道从甲地到乙地有3条路可以走，从乙地到丙地有2条路可以走，从丙地到丁地有4条路可以走．问，罪犯共有多少种逃走的方法？2.如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）．在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：一共可以画出多少个这样的三角形？3.在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以组成多少个不同的减法算式？4.一个篮球队，五名队员A 、B 、C 、D 、E ，由于某种原因，C 不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？5.由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数？④百位为8的没有重复数字的三位数？⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？6.某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是0～9中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？1.如右图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？2.书架上有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多少种不同的拿法？3.如下图中，沿线段从点A 走最短的路线到B ，各有多少种走法？4.在1～1000的自然数中，一共有多少个数字0？5.在1～500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个？6.十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？。

小学奥数加乘原理之数字问题(一) 精选例题练习习题(含知识点拨)

1.复习乘法原理和加法原理；2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力．3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题．在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合．一、加乘原理概念生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．二、加乘原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．．的独立步骤．．．．来完成，这几步是完成这件任务缺一不．．．可的．．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”．【例 1】由数字1，2，3 可以组成多少个没有重复数字的数？【考点】加乘原理之综合运用【难度】2星【题型】解答【解析】因为有1，2，3共3个数字，因此组成的数有3类：组成一位数；组成二位数；组成三位数．它们的和就是问题所求．⑴组成一位数：有3个；⑵组成二位数：由于数字可以重复使用，组成二位数分两步完成；第一步排十位数，有3种方法；第二步排个位数也有3种方法，因此由乘法原理，有326⨯=个；⑶组成三位数：与组成二位数道理相同，有326⨯=个三位数；所以，根据加法原理，一共可组成36615++=个数．【答案】15【例 2】用数字1，2，3可以组成6个没有重复数字的三位数，这6个数的和是。

小学奥数- 加乘原理之数字问题(一)

知识要点
一、加乘原理概念
生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．
还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．
【例 13】从 1 到 100 的所有自然数中，不含有数字 4 的自然数有多少个?
【巩固】从 1 到 500 的所有自然数中，不含有数字 4 的自然数有多少个?
【巩固】从 1 到 300 的所有自然数中，不含有数字 2 的自然数有多少个?
【例 14】将各位数字的和是 10 的不同的三位数按从大到小的顺序排列，第 10 个数是
【例 19】自然数 8336，8545，8782 有一些共同特征，每个数都是以 8 开头的四位数，且每个数中恰好有两个数字相同．这样的数共有多少个？
【巩固】在 1000 到 1999 这 1000 个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？
【例 20】如果一个三位数 ABC 满足 A B ， B C ，那么把这个三位数称为“凹数”，求所有“凹数”的个数．
二、加乘原理应用
应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点： ⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和． ⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积． ⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互．不．影．响．的独．立．步．骤．来完成，这几步是完成这件任务缺．一．不．可．的．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”．

小学奥数——乘法原理与加法原理

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乘法的基本原理

乘法的基本原理乘法是数学中的一种基本运算，它在我们日常生活中有广泛的应用。

乘法的基本原理是一项重要的数学概念，它是我们进行乘法运算的基础。

本文将详细介绍乘法的基本原理及其应用。

一、乘法的定义及符号乘法是数学中的一种运算，用于表示两个或多个数的相乘关系。

在乘法中，我们使用符号"×"或者"*"来表示。

例如，对于两个数A和B，我们可以写成A×B或者A*B，表示A与B的乘积。

二、乘法的基本原理乘法的基本原理可以通过以下方式描述：对于两个数A和B的乘法运算，可以将A分别与B中的每个数字相乘，然后将所得的乘积相加，从而得到最终的结果。

例如，当我们计算2×3时，可以将2分别与3中的每个数字相乘，即2×3=6。

这是因为2乘以3中的每个数字1和3均得到2和6，然后将它们相加，得到最终的结果6。

乘法的基本原理也可以通过乘法表来展示。

乘法表是一个二维表格，其中每一行和每一列代表了某一个数的倍数。

我们可以通过查找乘法表中对应的行和列，找到两个数相乘的结果。

三、乘法的应用乘法的应用非常广泛，它在数学、科学以及日常生活中都起到了重要的作用。

1. 数学中的应用乘法在数学中有广泛的应用。

例如，在代数中，我们经常使用乘法对未知数进行求解。

在几何学中，乘法被用来计算面积和体积。

此外，乘法还在概率论、统计学和微积分等数学分支中扮演着重要的角色。

2. 科学中的应用乘法在科学研究中也具有重要意义。

在物理学中，乘法用于计算速度、力、功率等物理量。

在化学中，乘法用于计算化学反应的摩尔比例和化学方程式中各化合物之间的比例关系。

3. 日常生活中的应用乘法在我们的日常生活中也随处可见。

购物时，我们需要计算商品的价格和数量的乘积。

在计算成绩时，乘法用于计算各科目的得分和权重之间的关系。

在时间计算中，乘法用于计算小时数和分钟数之间的关系。

总结：乘法是数学中的一种基本运算，它通过将两个数的每个数字相乘，并将所得的乘积相加来得到最终的结果。

乘法的基本原理与运算技巧

乘法的基本原理与运算技巧乘法是数学中常见的基本运算符号，用于计算两个数的积。

在日常生活中，乘法被广泛应用于各个领域，如计算家庭开销、预测物体体积、解决实际问题等等。

本文将介绍乘法的基本原理和运算技巧，帮助读者更好地理解和运用乘法。

1. 乘法的基本原理乘法的基本原理是将两个数相乘得到一个新的数，这个新的数称为它们的乘积。

乘法的表示方法通常使用"×"或者"*"符号。

例如，把2乘以3，可以写作2×3或2*3，得到的乘积是6。

乘法可以简化重复相加的过程，使得计算更加高效。

例如，我们可以将5乘以4理解为"4个5相加"的结果，即5+5+5+5=20。

因此，乘法是加法的一种推广形式。

2. 乘法的运算法则乘法具有一些运算法则，例如交换律、结合律和分配律，这些法则可以帮助我们更灵活地使用乘法。

- 交换律：乘法的交换律指的是两个数相乘的顺序可以改变，乘积保持不变。

例如，2×3和3×2的结果都是6。

- 结合律：乘法的结合律指的是三个数相乘时，无论先乘哪两个数，最后的乘积都是相同的。

例如，(2×3)×4和2×(3×4)的结果都是24。

- 分配律：乘法的分配律指的是一个数乘以两个数相加的和，等于这个数分别乘以两个数的和。

例如，2×(3+4)等于2×3+2×4。

通过灵活运用这些乘法的运算法则，可以加速计算的过程，简化求解复杂问题的步骤。

3. 乘法的运算技巧乘法运算在日常生活和数学应用中经常出现，因此熟练掌握乘法的运算技巧可以提高计算效率。

下面介绍几种常见的乘法运算技巧：- 使用乘法表：乘法表是一个简单而又实用的工具，可以帮助我们记住乘法的结果。

通过多次阅读和背诵乘法表，可以快速提高对乘法结果的记忆和应用能力。

- 运用倍数关系：有时候，我们可以利用已知的倍数关系来求解未知的乘积。

乘法运算的基本原理知识点总结

乘法运算的基本原理知识点总结乘法是数学中一种基本的运算方法，用来表示重复的加法。

在乘法运算中，有一些基本的原理和知识点需要我们掌握。

本文将对乘法运算的基本原理进行总结，其中包括乘法的基本性质、乘法的运算规则以及乘法的特殊性质。

一、乘法的基本性质乘法具有以下基本性质，这些性质对于乘法运算的理解和应用非常重要。

1. 交换律：乘法运算的交换律指的是乘法运算中因子的顺序可以交换，即$a \times b = b \times a$。

例如，$2 \times 3 = 3 \times 2 = 6$。

2. 结合律：乘法运算的结合律指的是多个数相乘时，可以先计算任意两个数的乘积，然后再与剩下的数相乘，结果是一样的。

即$(a\times b) \times c = a \times (b \times c)$。

例如，$(2 \times 3) \times 4 = 2 \times (3 \times 4) = 24$。

3. 分配律：乘法运算的分配律指的是乘法与加法之间存在着一定的关系，即$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$。

例如，$2 \times (3 +4) = 2 \times 3 + 2 \times 4 = 14$。

二、乘法的运算规则除了基本的性质外，乘法还有一些特殊的运算规则，这些规则对于乘法的计算和应用非常重要。

1. 乘法的零元：任何数乘以零都等于零，即$a \times 0 = 0$。

例如，$2 \times 0 = 0$。

2. 乘法的幂运算：乘法运算还可以通过幂运算来表示。

例如，$a^2 = a \times a$，$a^3 = a \times a \times a$。

幂运算可以简化乘法运算，使计算更加方便。

3. 乘法的倒数：对于任何非零数a，都存在一个倒数$\frac{1}{a}$，使得$a \times \frac{1}{a} = 1$。

奥数：加法原理、乘法原理

题型一：乘法原理【知识要点】1. 乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，做第2步有m2种方法……做第n步有mn种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法。

2. 从乘法原理可以看出：将完成一件任务分成几步做，是解决问题的关键，而这几步是完成这件任务缺一不可的。

【典型例题】例1：马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。

问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？例2：从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。

问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？例3：用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？例4：如下图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？例5：有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。

问：共有多少种不同的吃法？【同步训练】1.有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。

从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。

问：有多少种不同的装束？2. 四角号码字典，用4个数码表示一个汉字。

小王自编一个“密码本”，用3个数码（可取重复数字）表示一个汉字，例如，用“011”代表汉字“车”。

问：小王的“密码本”上最多能表示多少个不同的汉字？3. “IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母写成三种不同颜色。

现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？4. 用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。

问：共有多少种不同的染色方法？题型二：加法原理（一）加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。

小学奥数：加乘原理之数字问题(一).专项练习及答案解析

1.复习乘法原理和加法原理；2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力．3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题．在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合．一、加乘原理概念生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．二、加乘原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．．的独立步骤．．．．来完成，这几步是完成这件任务缺一不．．．可的．．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”．【例 1】由数字1，2，3 可以组成多少个没有重复数字的数？【考点】加乘原理之综合运用【难度】2星【题型】解答【解析】因为有1，2，3共3个数字，因此组成的数有3类：组成一位数；组成二位数；组成三位数．它们的和就是问题所求．教学目标例题精讲知识要点7-3-2.加乘原理之数字问题（一）⑴组成一位数：有3个；⑵组成二位数：由于数字可以重复使用，组成二位数分两步完成；第一步排十位数，有3种方法；第二步排个位数也有3种方法，因此由乘法原理，有326⨯=个；⑶组成三位数：与组成二位数道理相同，有326⨯=个三位数；所以，根据加法原理，一共可组成36615++=个数．【答案】15【例 2】用数字1，2，3可以组成6个没有重复数字的三位数，这6个数的和是。

乘法的原理知识点总结

乘法的原理知识点总结一、乘法的概念乘法是指将一个数复制若干次再相加，或者将一个数分别加若干次。

简单地说，乘法就是重复加法的过程。

二、乘法的表示我们可以用符号“×”来表示乘法，比如，表示2乘以3，即为2×3，读作“2乘3”。

同时，我们也可以用字母表示未知数的乘法，比如，表示a乘以b，即为a×b，读作“a乘以b”。

三、乘法的性质1. 乘法的交换律即乘法可以交换次序，比如，对于任意实数a、b，有a×b=b×a。

这说明，在乘法中，乘数和被乘数可以交换位置，不影响结果。

2. 乘法的结合律即乘法可以结合进行，比如，对于任意实数a、b、c，有(a×b)×c=a×(b×c)。

这说明，在乘法中，乘数的顺序不同，但是乘法的结果是相同的。

3. 乘法的分配律即乘法可以与加法相互分配，比如，对于任意实数a、b、c，有a×(b+c)=a×b+a×c。

这说明，在乘法中，如果有一个数与其他两个数相加，可以先将该数与另外两个数分别相乘，再将两个乘积相加，结果是相同的。

四、乘法的应用1. 乘法在几何中的应用在几何学中，我们经常用到乘法。

比如，计算矩形的面积就是将长和宽相乘。

同样地，计算三角形的面积也可以用到乘法。

2. 乘法在日常生活中的应用在日常生活中，我们也经常用到乘法。

比如，计算购物的总价、计算体积、计算距离和速度等等，都需要用到乘法。

3. 乘法在进阶数学中的应用在进阶的数学学科中，乘法也有着各种应用。

比如，在代数学中，乘法是不可缺少的基本运算之一。

在微积分中，我们也需要用到乘法。

在数论中，乘法也是一个非常重要的概念。

五、乘法的计算方法1. 竖式乘法竖式乘法是我们在小学学习的一种基本乘法计算方法，它包括了逐位进行乘法运算、进位和相加等步骤。

2. 交叉乘法交叉乘法是一种简便的乘法计算方法，它通过在两个数的个位以上的位上进行乘法运算，然后交叉相加得到结果。

奥数乘法原理与加法原理

习题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。

一天中火车有4 班，汽车有 3 班，轮船有 2 班。

问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？4+3+2=9习题 2：南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。

如果每天有20 班火车、 6 班飞机、 8 班汽车和 4 班轮船，那末共有多少种不同的走法？习题 3：光明小学四、五、六年级共订 300 份报纸，每一个年级至少订 99 份报纸。

问：共有多少种不同的订法？012 021 003 030 102 111 120 201 210 300习题 4：小明去食堂买饭，有3 样主食，5 样菜。

小明要买一份主食一份菜，共有多少种不同的买法？3×5=15习题 5：某小姐有三件裙子, 四件上衣,两双鞋子, 问总共有几种不同的搭配方法？3×4×2=24习题 6：图书馆中有五本不同的三民主义书和八本不同的数学书,一学生欲从三民主义和数学各选一本,共有多少种选法？5×8=40习题 7：某篮球校队是由二位高一学生, 四位高二学生,六位高三学生所组成,现在要从校队中选出三人,每年级各选一人,参加篮球讲习会, 问总共有多少种选法？2×4×6=48在做一件事时，要分几步才干完成，而在完成每一步时又有不少种不决。

在做一件事时，有几类不同的方法，每一类方法中又有几种可能的做法。

那末做这件事所有可能的做法就需要用习题 8：如图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丁地有三条路，从甲地到丙地有两条路，从丙地到丁地有四条路。

问：从甲地到丁地有多少条路？习题 9：用1 ，2，3，4 这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1 的五位数有多少个？1、甲班有40 位同学, 乙班有45 位同学, 丙班有50 位同学,若各班推选一人筹办文艺展览会, 共有几种选派法？40×45×50=900002、用0,1,2,3,4,5,6 组成四位数的密码共有几种？6×6×6×6×6×6×63、用0,1,2,3,4 五个数字排成的三位数有几个其中数字相异的三位数有几个？4×5×5=1004×4×3=484、从甲城到乙城有3 条不同的道路，从乙城到丙城有4 条不同的道路，那末从甲城经乙城到丙城共有多少条不同的道路？3×45、有1 角、2 角、5 角纸币各1 张，可以组成多少种面值不同的人民币。

小学奥数系列7-2乘法原理(一)及参考答案

小学奥数系列7-2乘法原理（一）一、1. 邮递员投递邮件由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条，那么邮递员从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？2. 如下图所示，从A地去B地有5种走法，从B地去C地有3种走法，那么李明从A地经B地去C地有多少种不同的走法？3. 如下图中，小虎要从家沿着线段走到学校，要求任何地点不得重复经过．问：他最多有几种不同走法？4. 在下图中，一只甲虫要从点沿着线段爬到点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同走法？5. 在下图中，一只甲虫要从点沿着线段爬到点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同走法？6. 在下图中，一只蚂蚁要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：这只蚂蚁最多有几种不同走法？7. 在下图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同走法？8. 在下图中，一只甲虫要从点沿着线段爬到点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同走法?9. 按下表给出的词造句，每句必须包括一个人、一个交通工具，以及一个目的地，请问可以造出多少个不同的句子？10. 题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷．问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？11. 文艺活动小组有3名男生，4名女生，从男、女生中各选1人做领唱，有多少种选法？（4级）12. 小丸子有许多套服装，帽子的数量为5顶、上衣有10件，裤子有8条，还有皮鞋6双，每次出行要从几种服装中各取一个搭配．问：共可组成多少种不同的搭配（帽子可以选择戴与不戴）？13. 要从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，有多少种不同的评选结果？14. 从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，如果要求同一个班级只能得到一个先进集体，那么一共有多少种评选方法？15. 从全班20人中选出3名学生排队，一共有多少种排法？16. 五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目．如果贝贝和妮妮不相邻，共有多少种不同的排法？17. 10个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法？18. “数学”这个词的英文单词是“MATH”．用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色去分别给字母染色，每个字母染的颜色都不一样．这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？19. “IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母用3种不同颜色来写，现有5种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？20. “学习改变命运”这六个字要用6种不同颜色来写，现只有6种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？21. 有6种不同颜色的笔，来写“学习改变命运”这六个字，要求相邻字的颜色不能相同，有多少种不同的方法？22. 用5种不同颜色的笔来写“智康教育”这几个字，相邻的字颜色不同，共有多少种写法？23. 北京到上海之间一共有6个站，车站应该准备多少种不同的车票？（往返车票算不同的两种）24. 一条线段上除了两个端点还有6个点，那么这段线段上可以有多少条线段？25. 某次大连与庄河路线的火车，一共有6个停车点，铁路局要为这条路线准备多少种不同的车票？26. 北京到广州之间有10个站，其中只有两个站是大站（不包括北京、广州），从大站出发的车辆可以配卧铺，那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？参考答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.。

小学奥数 7-2-3 乘法原理之染色法.教师版

1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系．3.培养学生准确分解步骤的解题能力；乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯．一、乘法原理概念引入老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上下午1点半的课．如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔．这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的．在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线．但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用场了．二、乘法原理的定义完成一件事，这个事情可以分成n 个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A 种不同的方法，第二步有B 种不同的方法，……，第n 步有N 种不同的方法．那么完成这件事情一共有A ×B ×……×N 种不同的方法．结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条．三、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N 个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘教学目标知识要点7-2-3乘法原理之染色问题四、乘法原理的考题类型1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法；3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法．【例 1】地图上有A ，B ，C ，D 四个国家(如下图)，现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？DC B A【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】 A 有3种颜色可选；当B ，C 取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时D 也有2种颜色可选．根据乘法原理，不同的涂法有32212⨯⨯=种；当B ，C 取不同的颜色时，B 有2种颜色可选，C 仅剩1种颜色可选，此时D 也只有1种颜色可选(与A 相同)．根据乘法原理，不同的涂法有32116⨯⨯⨯=种．综上，根据加法原理，共有12618+=种不同的涂法．【答案】18【巩固】如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给例题中的地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】第一步，首先对A 进行染色一共有4种方法，然后对B 、C 进行染色，如果B 、C 取相同的颜色，有三种方式，D 剩下3种方式，如果B 、C 取不同颜色，有326⨯=种方法，D 剩下2种方法，对该图的染色方法一共有43332284⨯⨯+⨯⨯=（）种方法．【注意】给地图染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，有的需要分类解决，前者分类做也可以解决问题．【答案】84【例 2】在右图的每个区域内涂上A 、B 、C 、D 四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜色，则一共有__________种不同的染色方法．7654321【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】解答【解析】因为每个圆内4个区域上染的颜色都不相同，所以一个圆内的4个区域一共有43224⨯⨯=种染色方法．如右图所示，当一个圆内的1、2、3、4四个区域的颜色染定后，由于6号区域的颜色不能与2、3、4三个区域的颜色相同，所以只能与1号区域的颜色相同，同理5号区域只能与4号区域的颜色相同，7号区域只能与2号区域的颜色相同，所以当1、2、3、4四个区域的颜色染定后，其他区例题精讲域的颜色也就相应的只有一种染法，所以一共有24种不同的染法．【答案】24【例 3】如图，地图上有A ，B ，C ，D 四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，有多少种不同染色方法?DCB A【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】为了按要求给地图上的这四个国家染色，我们可以分四步来完成染色的工作：第一步：给A 染色，有5种颜色可选．第二步：给B 染色，由于B 不能与A 同色，所以B 有4种颜色可选．第三步：给C 染色，由于C 不能与A 、B 同色，所以C 有3种颜色可选．第四步：给D 染色，由于D 不能与B 、C 同色，但可以与A 同色，所以D 有3种颜色可选．根据分步计数的乘法原理，用5种颜色给地图染色共有5433180⨯⨯⨯=种不同的染色方法．【答案】180【巩固】如图，一张地图上有五个国家A ，B ，C ，D ，E ，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？ED C BA【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】第一步，给A 国上色，可以任选颜色，有四种选择；第二步，给B 国上色，B 国不能使用A 国的颜色，有三种选择；第三步，给C 国上色，C 国与B ，A 两国相邻，所以不能使用A ，B 国的颜色，只有两种选择；第四步，给D 国上色，D 国与B ，C 两国相邻，因此也只有两种选择；第五步，给E 国上色，E 国与C ，D 两国相邻，有两种选择．共有4322296⨯⨯⨯⨯=种着色方法．【答案】96【例 4】如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块……，如此进行8步操作，问：如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜色不同，应该有多少种不同的染色方法？【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】对这张纸的操作一共进行了8次，每次操作都增加了一个区块，所以8次操作后一共有9个区块，我们对这张纸，进行染色就需要9个步骤，从最大的区块从大到小开始染色，每个步骤地染色方法有：4、3、2、2、2……，所以一共有：4322222221536⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种．【答案】1536【巩固】用三种颜色去涂如图所示的三块区域，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么共有几种不同的涂法？ABC【考点】乘法原理之染色问题【难度】2星【题型】解答【解析】涂三块毫无疑问是分成三步．第一步，涂A部分，那么就有三种颜色的选择；第二步，涂B部分，由于要求相邻的区域涂不同的颜色，A和B相邻，当A确定了一种颜色后，B只有两种颜色可选择了；第三步，涂C部分，C和A、B都相邻，A和B确定了两种不相同的颜色，那么C只有一种颜色可选择了．然后再根据乘法原理．3216⨯⨯=【答案】6【例5】如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同．那么一共可以有多少种染色方法？【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】这一道题实际上就是例题，因为两幅图各个字母所代表的国家的相邻国家是相同的，如果将本题中的地图边界进行直角化就会转化为原题，所以对这幅地图染色同样一共有4322296⨯⨯⨯⨯=种方法．【讨论】如果染色步骤为----C A BD E,那么应该该如何解答？答案：也是4322296⨯⨯⨯⨯=种方法．如果染色步骤为----C AD B E那么应该如何解答？答案：染色的前两步一共有4×3种方法，但染第三步时需要分类讨论，如果D与A颜色相同，那么B有2种染法，E也有2种方法，如果D与A 染不同的颜色，那么D有2种染法那么B只有一种染法，E有2种染法，所以一共应该有43(122212)96⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=种方法，(教师应该向学生说明第三个步骤用到了分类讨论和加法原理，加法原理在下一讲中将会讲授)，染色步骤选择的经验方法：每一步骤所染的区块应该尽量和之前所染的区块相邻．【答案】96【巩固】某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法?【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】解答【解析】为了便于分析，把地图上的7个县分别编号为A、B、C、D、E、F、G(如左下图)．G F D CB AE 为了便于观察，在保持相邻关系不变的情况下可以把左图改画成右图．那么，为了完成地图染色这件工作需要多少步呢?由于有7个区域，我们不妨按A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 的顺序，用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次分7步来完成染色任务．第1步：先染区域A ，有5种颜色可供选择；第2步：再染区域B ，由于B 不能与A 同色，所以区域B 的染色方式有4种；第3步：染区域C ，由于C 不能与B 、A 同色，所以区域C 的染色方式有3种；第4步：染区域D ，由于D 不能与C 、A 同色，所以区域D 的染色方式有3种；第5步：染区域E ，由于E 不能与D 、A 同色，所以区域E 的染色方式有3种；第6步：染区域F ，由于F 不能与E 、A 同色，所以区域F 的染色方式有3种；第7步：染区域G ，由于G 不能与C 、D 同色，所以区域G 的染色方式有3种．根据分步计数的乘法原理，共有54333334860⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种不同的染色方法．【答案】4860【例 6】用3种颜色把一个33⨯的方格表染色，要求相同行和相同列的3个格所染的颜色互不相同，一共有种不同的染色法．【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】根据题意可知，染完后这个33⨯的方格表每一行和每一列都恰有3个颜色．用3种颜色染第一行，有336P =种染法；染完第一行后再染第一列剩下的2个方格，有2种染法；当第一行和第一列都染好后，再根据每一行和每一列都恰有3个颜色对剩下的方格进行染色，可知其余的方格都只有唯一一种染法．所以，根据乘法原理，共有326⨯=种不同的染法．【答案】6【例 7】如右图，有A 、B 、C 、D 、E 五个区域，现用五种颜色给区域染色，染色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域染一色．有多少种不同的染色方式？EDC BA 【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】先采用分步：第一步给A 染色，有5种方法；第二步给B 染色，有4种方式；第三步给C 染色，有3种方式；第四步给D 染色，有3种方式；第五步，给E 染色，由于E 不能与A 、B 、D 同色，但可以和C 同色．此时就出现了问题：当D 与B 同色时，E 有3种颜色可染；而当D 与B 异色时，E 有2种颜色可染．所以必须从第四步就开始分类：第一类，D 与B 同色．E 有3种颜色可染，共有5433180⨯⨯⨯=（种）染色方式；第二类，D 与B 异色．D 有2种颜色可染，E 有2种颜色可染，共有54322240⨯⨯⨯⨯=（种）染色方式．根据加法原理，共有180240420+=（种）染色方式．【注意】给图形染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，但如果碰到有首尾相接的图形往往需要分类解决．【答案】420【巩固】如右图，有A，B，C，D四个区域，现用四种颜色给区域染色，要求相邻区域的颜色不同，每个区域染一色．有多少种染色方法？ADBC【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】A有4种颜色可选，然后分类：第一类：B，D取相同的颜色．有3种颜色可染，此时D也有3种颜色可选．根据乘法原理，不同的染法有43336⨯⨯=（种）；第二类：当B，D取不同的颜色时，B有3种颜色可染，C有2种颜色可染，此时D也有2种颜色可染．根据乘法原理，不同的染法有432248⨯⨯⨯=（种）．根据加法原理，共有364884+=(种)染色方法．【答案】84【巩固】用四种颜色对右图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：共有多少种不同的染色方法?学而奥数思【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】第一步给“而”上色，有4种选择；然后对“学”染色，“学”有3种颜色可选；当“奥”，“数”取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时“思”也有2种颜色可选，不同的涂法有32212⨯⨯=种；当“奥”，“数”取不同的颜色时，“奥”有2种颜色可选，“数”剩仅1种颜色可选，此时“思”也只有1种颜色可选(与“学”相同)，不同的涂法有32116⨯⨯⨯=种．所以，根据加法原理，共有43(222)72⨯⨯⨯+=种不同的涂法．【答案】72【例8】分别用五种颜色中的某一种对下图的A，B，C，D，E，F六个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：有多少种不同的染法？【考点】乘法原理之染色问题【题型】解答【解析】先按A，B，D，C，E的次序染色，可供选择的颜色依次有5，4，3，2，3种，注意E与D的颜色搭配有339⨯=(种)，其中有3种E和D同色，有6种E和D异色．最后染F，当E与D同色时有3种颜色可选，当E与D异色时有2种颜色可选，所以共有542(3362)840⨯⨯⨯⨯+⨯=种染法．【答案】840【例9】将图中的○分别涂成红色、黄色或绿色，要求有线段相连的两个相邻○涂不同的颜色，共有多少种不同涂法？D C BA【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】如右上图，当A ，B ，C ，D 的颜色确定后，大正方形四个角上的○的颜色就确定了，所以只需求A ，B ，C ，D 有多少种不同涂法．按先A ，再B ，D ，后C 的顺序涂色．按---A B D C 的顺序涂颜色：A 有3种颜色可选；当B ，D 取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时C 也有2种颜色可选，不同的涂法有32212⨯⨯=种；当B ，D 取不同的颜色时，B 有2种颜色可选，D 仅剩1种颜色可选，此时C 也只有1种颜色可选(与A 相同)，不同的涂法有32116⨯⨯⨯=(种)．所以，根据加法原理，共有12618+=种不同的涂法．【答案】18【例 10】用4种不同的颜色来涂正四面体（如图，每个面都是完全相同的正三角形）的4个面，使不同的面涂有不同的颜色，共有________种不同的涂法.（将正四面体任意旋转后仍然不同的涂色法，才被认为是不同的）【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，复赛，第9题【解析】不旋转时共有4×3×2×1=24种染色方式，而一个正四面体有4×3=12种放置方法（4个面中选1个作底面，再从剩余3个面中选1个作正面），所以每种染色方式被重复计算了12次，则不同的染色方法有24÷12=2种。

小学四年级奥数教程乘法原理

现代数学中的乘法原理
在现代数学中，乘法原理不仅是基础数学知识之一，还被广泛应用于数论、代数、组合数学等学科中，为解决实际问题提供了重要的理论支持。
乘法原理的历史与发展
02
乘法原理基3
整数乘法是把一个数与另一个数合并的运算。
整数乘法定义
按照从左到右的顺序进行乘法运算，也可以使用括号改变运算顺序。
乘法结合律
乘法的交换律和结合律
乘法分配律的定义
一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把所得的积相加。用字母表示为：a × (b + c) = a × b + a × c。
乘法分配律的应用
在解决实际问题时，常常会用到乘法分配律，例如购物时计算总价等。
乘法的分配律
03
乘法原理的应用
乘法原理公式
什么是乘法原理
基础数学知识
乘法原理是小学数学中的基础知识，对于理解乘法的本质和解决乘法问题具有重要意义。
数学思维的培养
学习乘法原理有助于培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力，为后续学习更复杂的数学知识和解决实际问题打下基础。
乘法原理的重要性
古代数学中的乘法原理
在古代数学中，乘法原理已经得到广泛应用。例如，在古埃及和古希腊的数学文献中，都有关于乘法原理的记载和应用。
乘法运算的顺序
例如，3 × 4读作“3乘4”，或“三乘以四”。
乘法算式的读法
两个数相乘，交换因数的位置，积不变。例如，a × b = b × a。
乘法交换律
三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数，或者先把后两个数相乘，再乘以第一个数，积不变。例如，(a × b) × c = a × (b × c)。
乘法原理在商业中有着广泛的应用，如计算销售额、库存管理等。掌握乘法原理可以帮助我们更好地理解商业活动中的数量关系。

(小学奥数)简单乘法原理

7-2-1.簡單乘法原理教學目標1.使學生掌握乘法原理主要內容，掌握乘法原理運用的方法；2.使學生分清楚什麼時候用乘法原理，分清有幾個必要的步驟，以及各步之間的關係．3.培養學生準確分解步驟的解題能力；乘法原理的數學思想主旨在於分步考慮問題，本講的目的也是為了培養學生分步考慮問題的習慣．知識要點一、乘法原理概念引入老師週六要去給同學們上課，首先得從家出發到長寧上8點的課，然後得趕到黃埔去上下午1點半的課．如果說申老師的家到長寧有5種可選擇的交通工具（公交、地鐵、計程車、自行車、步行），然後再從長寧到黃埔有2種可選擇的交通工具（公交、地鐵），同學們，你們說老師從家到黃埔一共有多少條路線？我們看上面這個示意圖，老師必須先的到長寧，然後再到黃埔．這幾個環節是必不可少的，老師是一定要先到長寧上完課，才能去黃埔的．在沒學乘法原理之前，我們可以通過一條一條的數，把線路找出來，顯而易見一共是10條路線．但是要是老師從家到長寧有25種可選擇的交通工具，並且從長寧到黃埔也有30種可選擇的交通工具，那一共有多少條線路呢？這樣數，恐怕是要耗費很多的時間了．這個時候我們的乘法原理就派上上用場了．二、乘法原理的定義完成一件事，這個事情可以分成n個必不可少的步驟（比如說老師從家到黃埔，必須要先到長寧，那麼一共可以分成兩個必不可少的步驟，一是從家到長寧，二是從長寧到黃埔），第1步有A種不同的方法，第二步有B種不同的方法，……，第n 步有N 種不同的方法．那麼完成這件事情一共有A ×B ×……×N 種不同的方法．結合上個例子，老師要完成從家到黃埔的這麼一件事，需要2個步驟，第1步是從家到長寧，一共5種選擇；第2步從長寧到黃埔，一共2種選擇；那麼老師從家到黃埔一共有5×2個可選擇的路線了，即10條．三、乘法原理解題三部曲1、完成一件事分N 個必要步驟；2、每步找種數（每步的情況都不能單獨完成該件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考題類型1、路線種類問題——比如說老師舉的這個例子就是個路線種類問題；2、字的染色問題——比如說要3個字，然後有5種顏色可以給每個字然後，問3個字有多少種染色方法；3、地圖的染色問題——同學們可以回家看地圖，比如中國每個省的染色情況，給你幾種顏色，問你一張包括幾個部分的地圖有幾種染色的方法；4、排隊問題——比如說6個同學，排成一個隊伍，有多少種排法；5、數碼問題——就是對一些數字的排列，比如說給你幾個數字，然後排個幾為數的偶數，有多少種排法．【例 1】郵遞員投遞郵件由A 村去B 村的道路有3條，由B 村去C 村的道路有2條，那麼郵遞員從A 村經B 村去C 村，共有多少種不同的走法？2号路1号路南中C B A【考點】簡單乘法原理【難度】1星【題型】解答【解析】把可能出現的情況全部考慮進去．第一步第二步例題精講A 村村 C 村中A 村村 C 村北南 C 村村A 村由分析知郵遞員由A 村去B 村是第一步，再由B 村去C 村為第二步，完成第一步有3種方法，而每種方法的第二步又有2種方法．根據乘法原理，從A 村經B 村去C 村，共有3×2=6種方法．【答案】6【巩固】如下圖所示，從A 地去B 地有5種走法，從B 地去C 地有3種走法，那麼李明從A 地經B 地去C 地有多少種不同的走法？【考點】簡單乘法原理【難度】1星【題型】解答【解析】從A 地經B 地去C 地分為兩步，由A 地去B 地是第一步，再由B 地去C地為第二步，完成第一步有5種方法，而每種方法的第二步又有3種方法．根據乘法原理，從A 地經B 地去C 地，共有5×3=15種方法．【答案】15【例 2】如下圖中，小虎要從家沿著線段走到學校，要求任何地點不得重複經過．問：他最多有幾種不同走法？【考點】簡單乘法原理【難度】1星【題型】解答【解析】從家到中間結點一共有2種走法，從中間結點到學校一共有3種走法，根據乘法原理，一共有3×2=6種走法．【答案】6【巩固】在下圖中，一只甲蟲要從A 點沿著線段爬到B 點，要求任何點不得重複經過．問：這只甲蟲最多有幾種不同走法？CBA【考點】簡單乘法原理【難度】1星【題型】解答【解析】甲蟲要從A點沿著線段爬到B點，需要經過兩步，第一步是從A點到C點，一共有3種走法；第二步是從C點到B點，一共也有3種走法，根據乘法原理一共有3×3=9種走法．【答案】9【巩固】在右圖中，一只甲蟲要從A點沿著線段爬到B點，要求任何點不得重複經過．問：這只甲蟲最多有幾種不同走法？D C BA【考點】簡單乘法原理【難度】2星【題型】解答【解析】從A點沿著線段爬到B點需要分成三步進行，第一步，從A點到C點，一共有3種走法；第二步，從C點到D點，有1種走法；第三步，從D點到B點，一共也有3種走法．根據乘法原理，一共有3×1×3=9種走法．【答案】9【巩固】在右圖中，一只螞蟻要從A點沿著線段爬到B點，要求任何點不得重複經過．問：這只螞蟻最多有幾種不同走法？BDCA【考點】簡單乘法原理【難度】2星【題型】解答【解析】解這道題時千萬不要受鋪墊題目的影響，第一步，A點到C點的走法是3種；第二步，從C點到D點，有1種走法；但第三步，從D點到B點的走法並不是3種，由D出去有2條路選擇，到下一岔路口又有2條路選擇，所總共有2×2=4（種）走法，根據乘法原理，這只螞蟻最多有31412⨯⨯=（種）不同走法．【答案】12【巩固】在右圖中，一只甲蟲要從A點沿著線段爬到B點，要求任何點不得重複經過．問：這只甲蟲最多有幾種不同走法？D C BA【考點】簡單乘法原理【難度】2星【題型】解答【解析】從A點沿著線段爬到B點需要分成三步進行，第一步，從A點到C點，一共有3種走法；第二步，從C點到D點，一共也有3種走法；第三步，從D 點到B點，一共也有3種走法．根據乘法原理，一共有33327⨯⨯=種走法．【答案】27【巩固】在右圖中，一只甲蟲要從A點沿著線段爬到B點，要求任何點不得重複經過．問：這只甲蟲最多有幾種不同走法?CBA【考點】簡單乘法原理【難度】3星【題型】解答【解析】解這道題時千萬不要受鋪墊題目的影響，A點到C點的走法不是3種，而是4種，C點到B點的走法也是4種，根據乘法原理，這只甲蟲最多有4416⨯=種走法．【答案】16【例 3】如果將四面顏色不同的小旗子掛在一根繩子上，組成一個信號，那麼這四面小旗子可組成種不同的信號。

奥数乘法原理

奥数乘法原理
乘法原理是解决组合问题时经常使用的一种方法。

它可以用来计算将两个或多个事件相互组合时的可能情况总数。

乘法原理的核心思想是，对于两个或多个独立事件的组合，每个事件都有自己的选择数目。

如果一个事件有m种选择，另
一个事件有n种选择，那么两个事件组合起来的可能情况总数就是m乘以n。

例如，假设有两个骰子，一个有6个面，另一个有4个面。

现在要计算同时投掷这两个骰子时出现的所有可能情况总数。

根据乘法原理，第一个骰子有6种选择，第二个骰子有4种选择，所以组合起来的可能情况总数就是6乘以4，即24种情况。

乘法原理在解决排列、组合、数列等问题时非常有用。

它可以帮助我们计算得出所有可能的情况总数，从而更好地理解和解决数学题目。

需要注意的是，乘法原理只适用于独立事件的组合。

如果事件之间存在依赖或重叠，那么乘法原理就不适用了。

在解决问题时，我们需要仔细分析事件之间的关系，选择合适的方法进行计算。

湖南省常德市小学数学小学奥数系列7-2乘法原理(二)

湖南省常德市小学数学小学奥数系列7-2乘法原理（二）姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、 (共30题；共143分)1. （10分）假如电子计时器所显示的十个数字是“0126093028”这样一串数，它表示的是1月26日9时30分28秒．在这串数里，“0”出现了3次，“2”出现了2次，“1”、“3”、“6”、“8”、“9”各出现1次，而“4”、“5”、“7”没有出现．如果在电子计时器所显示的这串数里，“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”、“7”、“8”、“9”这十个数字都只能出现一次，称它所表示的时刻为“十全时”，那么2003年一共有多少个这样的“十全时”？2. （10分）一个自然数，如果它顺着看和倒过来看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数．问：从一位到六位的回文数一共有多少个?其中的第1996个数是多少?3. （10分）按下表给出的词造句，每句必须包括一个人、一个交通工具，以及一个目的地，请问可以造出多少个不同的句子？4. （5分）用红、黄、蓝三种颜色对一个正方体进行染色使相邻面颜色不同一共有多少种方法？如果有红、黄、蓝、绿四种颜色对正方体进行染色使相邻面颜色不同一共有多少种方法？如果有五种颜色去染又有多少种？（注：正方体不能翻转和旋转）5. （10分）北京到上海之间一共有6个站，车站应该准备多少种不同的车票？（往返车票算不同的两种）6. （5分）七位数的各位数字之和为60 ，这样的七位数一共有多少个？7. （1分）配成一套衣服，有________种不同的搭配方法？8. （5分）用6种不同的颜色来涂正方体的六个面，使得不同的面涂上不同的颜色一共有多少种涂色的方法？（将正方体任意旋转之后仍然不同的涂色方法才被认为是相同的）9. （5分）某次大连与庄河路线的火车，一共有6个停车点，铁路局要为这条路线准备多少种不同的车票？10. （5分）“数学”这个词的英文单词是“MATH”．用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色去分别给字母染色，每个字母染的颜色都不一样．这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？11. （1分）想一想，如果在他们中每次选三人排在一起照相，有________种不同的排法？12. （1分）从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内，使在任意相邻两个圆圈内数字之和都是不能被3整除的奇数，那么最多能找出________种不同的挑法来．（六个数字相同、排列次序不同的都算同一种）13. （1分）先选择策略，再解决问题．某商店有两种电话机，一种是按键的，一种是转盘的．每种电话机又有红、黄、绿3种颜色．每种颜色的电话机又有方、圆两种形状．一共有________种款式的电话机可供顾客选择？14. （1分）在下图的每个区域内涂上、、、四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜色，则一共有________种不同的染色方法．15. （5分）如图，地图上有A，B，C，D四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，有多少种不同染色方法?16. （5分）如图，一张地图上有五个国家，，，，，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？17. （5分）如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块……，如此进行8步操作，问：如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜色不同，应该有多少种不同的染色方法？18. （5分）将图中的○分别涂成红色、黄色或绿色，要求有线段相连的两个相邻○涂不同的颜色，共有多少种不同涂法？19. （5分）如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同．那么一共可以有多少种染色方法？20. （5分）某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法?21. （5分）奥苏旺大陆上的居民使用的文字非常独特，他们文字的每个单词都由个字母、、、、组成，并且所有的单词都有着如下的规律，⑴字母不打头，⑵单词中每个字母后边必然紧跟着字母，⑶ 和不会出现在同一个字母之中，那么由四个字母构成的单词一共有多少种？22. （5分）小丸子有许多套服装，帽子的数量为5顶、上衣有10件，裤子有8条，还有皮鞋6双，每次出行要从几种服装中各取一个搭配．问：共可组成多少种不同的搭配（帽子可以选择戴与不戴）？23. （1分）如图立体图形是由8个小正方体搭成的，将这个立体图形的表面涂上蓝色．其中，只有1个面是蓝色的小正方体有________个；只有2个面是蓝色的小正方体有________个；只有3个面是蓝色的小正方体有________个；只有4个面是蓝色的小正方体有________个；只有5个面是蓝色的小正方体有________个．24. （5分）聪聪给同学们安排了4项秋游内容．25. （5分）在下图中，一只蚂蚁要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：这只蚂蚁最多有几种不同走法？26. （1分）聪聪从家到姥姥家，然后去水上乐园，有________种乘车方法？27. （10分）一条线段上除了两个端点还有6个点，那么这段线段上可以有多少条线段？28. （5分） 1到60这60个自然数中，选取两个数，使它们的乘积是被5除余2的偶数，问，一共有多少种选法？29. （5分）用红、橙、黄、绿、蓝5种颜色中的1种，或2种，或3种，或4种，分别涂在正四面体各个面上，一个面不能用两色，也无一个面不涂色的，问共有几种不同涂色方式？30. （1分）快乐的秋游．一辆车恰好能坐一个班的同学，有________种坐法．参考答案一、 (共30题；共143分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、24-1、25-1、26-1、27-1、28-1、29-1、30-1、。

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常德市桃源县数学小学奥数系列7-2乘法原理（一）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！
一、 (共26题；共130分)
1. （5分）请把从猴山到飞禽馆的所有路线写出来 .
2. （5分）小刘有2种牙膏和3把牙刷，每次1把牙刷配一种牙膏，有几种不同的配法？请写具体方法来．
3. （5分）如图列出甲、乙和丙之间的交通方法，现在由乙出发，再回乙，途中需经过甲但不可经过乙，又不准走重复的路线，问共有多少种不同的去法？
4. （5分）用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数．
5. （5分）刘佳国庆节到北京旅游，她带了白色和黄色两件上衣，蓝色、黑色和红色3条裤子，她任意拿一件上衣和一条裤子穿上，共有多少种可能？
6. （5分）某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法?
7. （5分）如图，地图上有A，B，C，D四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，有多少种不同染色方法?
8. （5分）四对夫妇围一圆桌吃饭，要求每对夫妇两人都要相邻，那么一共有多少安排座位的方法？（如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种．）
9. （5分）在下图的方格内放入五枚棋子，要求每行、每列都只能有一枚棋子，共有多少种放法？
10. （5分）在下图的每个区域内涂上、、、四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜色，则一共有________种不同的染色方法．
11. （5分）从自然数1~40中任意选取两个数，使得所选取的两个数的和能被4整除，有多少种取法？
12. （5分） 3个3口之家在一起举行家庭宴会，围一桌吃饭，要求一家人不可以被拆开，那么一共有多少种排法？（如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种．）
13. （5分）如果一个三位数满足，，那么把这个三位数称为“凹数”，求所有“凹
数”的个数．
14. （5分）直线a，b上分别有4个点和2个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？
15. （5分） 1到60这60个自然数中，选取两个数，使它们的乘积是被5除余2的偶数，问，一共有多少种选法？
16. （5分）聪聪给同学们安排了4项秋游内容．
17. （5分）一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．问：
（1）如果4个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的安排顺序?
（2）如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安排顺序?
18. （5分）用红、橙、黄、绿、蓝5种颜色中的1种，或2种，或3种，或4种，分别涂在正四面体各个面上，一个面不能用两色，也无一个面不涂色的，问共有几种不同涂色方式？
19. （5分）奥苏旺大陆上的居民使用的文字非常独特，他们文字的每个单词都由个字母、、、
、组成，并且所有的单词都有着如下的规律，⑴字母不打头，⑵单词中每个字母后边必然紧跟着字母，⑶ 和不会出现在同一个字母之中，那么由四个字母构成的单词一共有多少种？
20. （5分）用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的
偶数？
21. （5分）
（1）由3、6、9这3个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？
（2）由3、6、9这3个数字可以组成多少个三位数？
22. （5分）如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同．那么一共可以有多少种染色方法？
23. （5分）用数字0，1，2，3，4可以组成多少个：
（1）三位数？
（2）没有重复数字的三位数？
24. （5分）在一个圆周上均匀分布10个点，以这些点为顶点，可以画出多少不同的钝角三角形？（补充知识：由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形，其中直径的边所对的角是直角，所以如果圆周上三点在同一段半圆周上，则这三点构成钝角三角形）．
25. （5分）右图中共有16个方格，要把A，B，C，D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？
26. （5分）某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成．现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工、电工都会．从7人中挑选4人完成这项工作，共有多少种方法？
参考答案
一、 (共26题；共130分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
17-2、
18-1、
19-1、
20-1、
21-1、
21-2、
22-1、
23-1、
23-2、
24-1、
25-1
、
26-1、
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