相交线与平行线的证明过程精讲
平行线与相交线的性质推导与证明
平行线与相交线的性质推导与证明平行线和相交线是几何中常见的概念，它们之间存在一些有趣的性质和定理。
本文将推导和证明平行线和相交线的性质，以及相关的定理。
1. 平行线的性质推导与证明在几何中，平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。
接下来我们将推导平行线的性质，并给出相应的证明。
性质1：平行线具有传递性。
即若直线l1与l2平行，直线l2与l3平行，则直线l1与l3平行。
证明：设直线l1与l2平行，直线l2与l3平行。
可以假设直线l1与直线l3不平行，并且在某一点O处相交。
由于直线l1与直线l3不平行，所以在点O处有两条直线通过。
设通过点O的直线分别为m1和m2，其中直线m1与l1平行，直线m2与l3平行。
根据平行线的定义，直线m1与直线m2是平行的。
又根据平行线与相交线的性质，直线m1与直线l2平行，直线m2与直线l2平行。
因此，直线m1与直线l2、直线l2与m2平行。
然而，这与已知条件直线l1与l2平行，l2与l3平行产生矛盾。
因此，直线l1与l3必须平行。
于是我们证明了平行线的传递性。
2. 相交线的性质推导与证明相交线是指在同一个平面内相交于一点的两条非重合直线。
下面我们将推导相交线的性质，并给出相关的证明。
性质2：相交线的对顶角相等。
即相交线AB和CD形成的对顶角α与β相等。
证明：考虑平面内有两条相交线AB和CD，它们相交于点O。
接下来，我们需要证明∠AOC = ∠DOG，即角α = β。
通过点O分别作OA、OC和OD三条射线，构成△AOC和△COD。
根据△AOC和△COD的对应边分别平行，我们可以得出△AOC与△COD相似。
根据相似三角形的性质，两个相似三角形中对应角度相等。
因此，∠AOC = ∠COD，即角α = β。
因此，我们证明了相交线的对顶角相等的性质。
3. 平行线与相交线的定理在了解了平行线和相交线的性质之后，我们可以推导一些重要的定理，这些定理在几何证明中起到重要的作用。
平行线与相交线的性质与判定
平行线与相交线的性质与判定平行线与相交线是几何学中常见的概念，它们之间存在着一系列的性质与判定方法。
本文将重点探讨平行线与相交线的性质以及如何判断它们的关系。
一、平行线的性质与判定在平面几何中，平行线是指在同一平面内永不相交的直线。
以下是关于平行线的性质与判定方法：1. 平行线性质一：平行线具有相同的斜率。
如果两条直线的斜率相同，那么它们是平行线。
2. 平行线性质二：平行线在任意两个平行线上的相交线上的对应角是对应的等于角。
例如，平行线l1与l2被相交线m相交，角A与角B 是对应的内角，那么角A等于角B。
3. 平行线性质三：平行线上的两对内角和等于180度。
如果两条直线被一条横截线相交，那么交线两边的对应内角和等于180度。
4. 平行线判定一：如果两条直线的斜率乘积为-1，那么它们互相垂直，而不是平行。
这是因为在直角坐标系中，垂直线的斜率乘积为-1。
5. 平行线判定二：如果两条直线由同一直线上的两点确定，且这两点不在第三条直线上，那么它们是平行线。
这是因为这两条直线具有相同的斜率。
二、相交线的性质与判定相交线是指在同一平面内相交的两条直线。
以下是关于相交线的性质与判定方法：1. 相交线性质一：相交线的内角互补成180度。
如果两条直线交于一点，那么它们的内角互为补角，即和为180度。
2. 相交线性质二：相交线的外角互为补角。
如果两条直线交于一点，那么它们的外角互为补角，即和为180度。
3. 相交线性质三：相交线上的对应角相等。
如果两条直线相交于一点，那么它们的对应角相等。
4. 相交线判定一：如果两条直线的斜率互不相等，那么它们是相交线。
这是因为不同直线的斜率不同。
5. 相交线判定二：如果两条直线的斜率相等，但截距不相等，那么它们是相交线。
这是因为斜率相等但截距不相等的直线一定会有一个交点。
在实际问题中，我们可以利用上述的性质和判定方法来解决与平行线与相交线相关的几何问题。
例如，在证明两条直线平行时，可以计算它们的斜率是否相同；在判定两条直线相交时，可以计算它们的斜率和截距是否满足相交的条件。
平行线与相交线的证明
平行线与相交线的证明平行线与相交线是几何学中常见的概念，它们之间存在着一些有趣的性质和定理。
本文将探讨平行线与相交线之间的关系，并给出相关证明。
1.平行线的定义在平面几何中，两条直线如果在同一平面内无论延长多远都不会相交，那么它们被称为平行线。
常用符号表示为：∥。
2.相交线的定义两条直线在同一平面内相交于一点，则这两条直线被称为相交线。
3.平行线与相交线之间的性质（1）两条平行线分别与一条相交线相交，所得的对应角是相等的。
证明：设直线l和m为平行线，n为相交线，交于点A，如图所示。
A-------\| || n || |B-------C\要证明∠BAC=∠BCA，我们假设∠BAC=α，∠BCA=β。
由平行线l和m的性质可知，∠BAC与∠ACB是同位角，同位角相等，即α=∠ACB。
又∠BAC与∠BCA是内错角，内错角相等，即α=β。
综上所述，根据角的性质，得证∠BAC=∠BCA。
（2）两条平行线分别与一条相交线相交，所得的内错角之和等于180°。
证明：设直线l和m为平行线，n为相交线，交于点A，如图所示。
A-------\| || n || |B-------C\要证明∠BAC+∠BCA=180°，根据前述证明可知∠BAC=∠BCA=α。
根据角的定义，可知α+α=180°。
通过简单的运算得到2α=180°，即α=90°。
综上所述，根据角的性质，得证∠BAC+∠BCA=180°。
通过以上证明可以得出，平行线与相交线之间存在着一些重要的性质和定理，这些性质和定理在几何学中具有重要的应用。
深入理解这些性质和定理，有助于我们更好地理解和解决与平行线和相交线相关的问题。
总结：本文通过证明的方法，阐述了平行线与相交线的性质和定理。
通过证明我们可以得出两条平行线与一条相交线的角度关系和内错角之和等于180°的结论。
这些定理和性质在几何学中起着重要的作用，并且可以应用到实际问题中。
人教版七年级下册数学教学课件 第五章 相交线与平行线 命题、定理、证明
课程讲授
2 真命题与假命题
归纳： 1.要判断一个命题为真命题，可以用演绎推理加以
论证； 2.要判断一个命题为假命题，只要举出一个例子，
说明该命题不成立.
课程讲授
3 定理与证明
定义：数学中这些命题的正确性是人们在长期实践中
总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始 依据，即出发点.这样的真命题视为基本事实.我们也 称它为公理.
理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
证明几何命题的一般步骤：
1.明确命题中的_已__知___和__求__证__； 2.根据题意，_画__出__图__形__，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出_要__证__的__结__论_的途径，写出证明过程.
课程讲授
3 定理与证明
例 已知直线b∥c， a⊥b ．求证：
a⊥c．
b
c
证明：∵ a ⊥b（已知）， ∴ ∠1=90°（垂直的定义）.
1
2
a
∵ b ∥ c（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠2=∠1=90°（等量代换）， ∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
课程讲授
3 定理与证明
练一练：求证：内错角相等,两直线平行.
已知：如图，直线l3分别与l1，l2交于点A,点B，且∠1=∠2.
求证：l1∥l2. 证明：∵ ∠１=∠２ (已知)，
∠3=∠2 (对顶角相等)，
l3
1(
)3 B
l2
)2 A
l1
∴ ∠1=∠3 (等量代换).
∴ l１∥l２ (同位角相等,两直线平行).
随堂练习
１．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ ⑴对顶角相等； 是 ⑵画一个角等于已知角； 不是 ⑶两直线平行，同位角相等； 是 ⑷a，b两条直线平行吗？不是 ⑸温柔的李明明； 不是 ⑹玫瑰花是动物； 是 ⑺若a2＝4，求a的值； 不是 ⑻若a2＝ b2，则a＝b. 是
《相交线与平行线——命题、定理、证明》数学教学PPT课件(6篇)
二 真命题与假命题
观察下列命题,你能发现这些命题有什么不同的特点吗？ 命题1：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除” 命题2：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”
命题1是一个正确的命题;命题2是一个错误的命题.
特别规定： 正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.
练一练
判断下列命题的真假.真的用“√”，假的用“× 表示. （1）同旁内角互补（ × ） （2）一个角的补角大于这个角（ × ） （3）相等的两个角是对顶角（ × ）
命题、定理、证明
教学目标 了解命题的概念以及命题的构成 ( 如果……那么……的形式 ) ． 知道什么是真命题和假命题． 理解什么是定理和证明． 知道如何判断一个命题的真假．
教学重点 对命题结构的认识． 理解证明要步步有据．
教学难点 表述推理过程．
比较两组语句的区别
A组
1．对顶角相等； 2．两直线平行，同位角相等； 3．玫瑰花是动物； 4．若a²＝b²，则 a＝b．
（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条 直线平行； （5）两点确定一条直线．
真命题
假命题 假命题 真命题
真命题
练习
下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？
1、猪有四只脚；（ 是 ） 真命题 2、内错角相等；（ 是 ）假命题 3、画一条直线；（ 否 ） 4、四边形是正方形；（ 是 ）假命题 5、你的作业做完了吗？（ 否 ） 6、同位角相等，两直线平行；（ 是 ） 真命题 7、对顶角相等；（ 是 ）真命题 8、同垂直于一直线的两直线平行；（ 是 ）假命题 9、过点P画线段MN的垂线；（ 否 ） 10、x＞2.（ 否 ）
例题
判断下列语句是否是命题：
1．相等的角是对顶角；(是 ) 2．画一条线段等于已知线段；(否 ) 3．两直线平行，内错角相等；(是 ) 4．如果两角之和是 90°，那么这两角互余 (是 ) 5．点 P 在直线 AB 外；(否 ) 6．玫瑰花是动物；( 是 ) 7．若 a³＝8，求 a 的值；(否 ) 8．若 a²＝b²，则 a＝±b．( 是 )
《平行线的性质》相交线与平行线PPT免费课件(第2课时)
课堂检测 拓广探索题
如图，AB∥CD，猜想∠A、∠P 、∠PCD的数
量关系，并说明理由.
解法一：作∠PCE =∠APC,交AB于E.
A
∴ AP∥CE ∴ ∠AEC=∠A，∠P=∠PCE.
∴ ∠A+∠P=∠PCE+∠AEC,
C
∵AB∥CD ∴ ∠ECD=∠AEC,
∴∠A+∠P =∠PCE+∠ECD=∠PCD.
A
B
A
B
A E1
B
E
E1
E2
E2
E3
C
D
C
D
C
D
当有一个拐点时： ∠A+∠E+∠C= 360°
当有两个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠C = 540° 当有三个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠ E3 +∠C = 720°
探究新知 若有n个拐点，你能找到规律吗？
A
B
E1
E2 …
【思考】在填写依据时要注意什么问题？
巩固练习
如图，AB∥EF，∠ECD=∠E，则∠A=∠ECD.
理由如下：
B
A
∵∠ECD=∠E， ∴CD∥EF( 内错角相等，两直线平行 又AB∥EF，
D
C
)E
F
∴CD∥AB(平行于同一直线的两条直线互相__平__行_ ).
∴∠A=∠ECD( 两直线平行,同位角相等 __ ).
= ∠ E1 +∠ E2
探究新知
若左边有n个角，右边有m个角,你能找到规律吗？
A
F1 F2 Fn-1
B E1
《命题、定理、证明》相交线与平行线精品课件
相交线两端的点之间的距离叫做相交线的长度。相交线在数轴上的投影叫做相交 线的斜度。
相交线的判定方法
斜度法
通过测量两条直线的斜度是否相等来判断它们是否相交。
端点距离法
通过测量两条直线两端的点之间的距离是否相等来判断它们是否相交。
相交线在生活中的应用
建筑学
在建筑设计中，相交线被用来 确定点、线、面之间的位置关 系，以及建筑物的立体形状和
命题和定理都是数学中重要的 概念，它们之间有着密切的联
系。
许多重要的数学定理是由一系 列相关的命题组成的，这些命 题在证明过程中被逐步验证和
确认。
命题可以作为定理的中间步骤 或组成部分，而定理则是命题
的最终结论或推论。
02
相交线的性质与判定
相交线的定义与性质
相交线的定义
两条直线在同一平面内，如果它们不平行且不重合，那么这两条直线就叫做相交 线。
感谢您的观看
THANKS
增强学习兴趣
命题、定理、证明具有挑 战性和趣味性，可以增强 学生对数学的学习兴趣。
促进创新思维
命题、定理、证明鼓励学 生发挥创新思维，尝试解 决新的问题，推动数学的 发展。
命题、定理、证明在其他学科中的应用
自然科学
在物理学、化学、生物学 等自然科学中，命题、定 理、证明被广泛应用于建 立实验方法和理论框架。
命题、定理、证明在实际问题中的应用案例三
案例名称
设计一个高效、稳定的网络系统
应用定理解决问题
根据证明的定理，构建出符合要求
01
02
已知条件
网络系统的用途、用户数量、数据流 量等。
03
建立命题和定理
根据已知条件，设计出网络系统的架 构，并确定各部分的功能和连接方式 。
高中数学平行线与相交线性质的推导与应用
高中数学平行线与相交线性质的推导与应用在高中数学中，平行线与相交线是一个重要的概念，它们在几何题目中经常出现，并且在实际生活中也有很多应用。
本文将对平行线与相交线的性质进行推导与应用的讨论，帮助高中学生更好地理解和应用这些概念。
一、平行线的性质推导与应用平行线是指在同一个平面内永不相交的两条直线。
我们首先来推导平行线的一些性质，并通过具体的例题来说明。
1. 平行线的判定方法平行线的判定方法有多种，其中一种常用的方法是使用平行线的定义：两条直线在同一平面内，如果它们的任意两个点的连线都与第三条直线垂直，那么这两条直线是平行线。
例如，如图1所示，直线l和m在平面P内，通过任意两个点A、B，分别与第三条直线n垂直，那么可以判定直线l和m是平行线。
[图1]2. 平行线的性质平行线具有以下性质：（1）平行线的对应角相等：对于两条平行线l和m，它们被一条横截线n相交，那么对应的内角和外角相等。
具体来说，如图2所示，∠1 = ∠3，∠2 = ∠4。
[图2]（2）平行线的同位角相等：对于两条平行线l和m，它们被一条横截线n相交，那么同位角相等。
具体来说，如图3所示，∠1 = ∠5，∠2 = ∠6。
[图3]（3）平行线的内错角互补：对于两条平行线l和m，它们被一条横截线n相交，那么内错角互补。
具体来说，如图4所示，∠1 + ∠5 = 180°，∠2 + ∠6 = 180°。
[图4]通过以上性质，我们可以解决很多与平行线相关的几何题目。
例如，如图5所示，如果AB // CD，且∠1 = 80°，那么求∠2的度数。
[图5]解题思路：根据平行线的性质，我们知道∠1 = ∠2，所以∠2的度数也是80°。
二、相交线的性质推导与应用相交线是指在同一个平面内相交的两条直线。
我们接下来推导相交线的一些性质，并通过具体的例题来说明。
1. 相交线的判定方法相交线的判定方法也有多种，其中一种常用的方法是使用相交线的定义：两条直线在同一平面内，如果它们有一个公共点，那么这两条直线是相交线。
相交线与平行线重难点详解
相交线与平行线平面内，点与直线之间的位置关系分为两种：①点在线上②点在线外同一平面内，两条或多条不重合的直线之间的位置关系只有两种：①相交②平行一、相交线1、两条直线相交，有且只有一个交点。
（反之，若两条直线只有一个交点，则这两条直线相交。
）两条直线相交，产生邻补角和对顶角的概念：邻补角：两角共一边，另一边互为反向延长线。
邻补角互补。
要注意区分互为邻补角与互为补角的异同。
对顶角：两角共顶点，一角两边分别为另一角两边的反向延长线。
对顶角相等。
注：①、同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；等角的对顶角相等。
反过来亦成立。
②、表述邻补角、对顶角时，要注意相对性，即“互为”，要讲清谁是谁的邻补角或对顶角。
2、垂直是两直线相交的特殊情况。
注意：两直线垂直，是互相垂直，即：若线a垂直线b，则线b垂直线a 。
垂足：两条互相垂直的直线的交点叫垂足。
垂直时，一定要用直角符号表示出来。
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（注：这一点可以在已知直线上，也可以在已知直线外）3、点到直线的距离。
垂线段：过线外一点，作已知线的垂线，这点到垂足之间的线段叫垂线段。
垂线与垂线段：垂线是一条直线，而垂线段是一条线段，是垂线的一部分。
垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
（或说直角三角形中，斜边大于直角边。
）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫这点到直线的距离。
注：距离指的是垂线段的长度，而不是这条垂线段的本身。
所以，如果在判断时，若没有“长度”两字，则是错误的。
4、同位角、内错角、同旁内角三线六面八角：平面内，两条直线被第三条直线所截，将平面分成了六个部分，形成八个角，其中有：4对同位角，2对内错角和2对同旁内角。
注意：要熟练地认识并找出这三种角：①根据三种角的概念来区分②借助模型来区分，即：同位角——F型，内错角——Z型，同旁内角——U型。
特别注意：①三角形的三个内角均互为同旁内角；②同位角、内错角、同旁内角的称呼并不一定要建立在两条平行的直线被第三条直线所截的前提上才有的，这两条直线也可以不平行，也同样的有同位角、内错角、同旁内角。
人教版七年级下册数学《平行线的性质》相交线与平行线研讨说课教学课件
5.3.1 平行线的性质
第2课时
课件
平行性质
平行线性质1: 两直线平行，同位角相等 平行线性质2: 两直线平行，内错角相等
同旁内角之间又有什么关系呢？
1
【相关概念】性质3：两直线平行，同旁内角互补
如图，已知：AB// CD ,那么∠ 3与∠ 2有什么关系？ 例如：∵AB//CD,
D. 100°
1 【例题讲解】性质3：两直线平行，同旁内角互补
【例2】如图, AB//CD，AD//BC.
求证:∠A=∠C.
证明：∵AB//CD(已知)， ∴∠A+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补). ∵AD//BC(已知)， ∴∠C+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补). ∴∠A=∠C(同角的补角相等).
答：∠2 =110º．因为AB∥CD， ∠1和∠2是内错角， 根据两直线平行，内错角相等， 得到∠1=∠2． 因为∠1=110º，所以∠2 =110º．
例题
如图，平行线AB，CD被直线AE所截.
（2）从∠1=110º．可以知道∠3是多少度吗？为什么？
答：∠3 =110º．因为AB∥CD， ∠1和∠3是同位角， 根据两直线平行，同位角相等， 得到∠1=∠3． 因为∠1=110º，所以∠3 =110º．
练习
已知：如图，∠AGD=∠ACB，∠1=∠2，CD与EF平行吗？为什 么？ 答：CD∥EF．
理由如下： ∵ ∠AGD =∠ACB ， ∴ GD∥BC. ∵∠1和∠3是内错角， ∴∠1=∠3（两直线平行,内错角相等）. ∵∠1=∠2， ∴∠2=∠3. ∵∠2和∠3是同位角， ∴ CD∥EF（同位角相等，两直线平行）.
1B 3
2
平行线与相交线的性质推导
平行线与相交线的性质推导平行线与相交线是几何学中常见的概念，它们之间存在一些重要的性质关系。
在本文中，我们将推导并探讨平行线与相交线之间的性质。
1.平行线的性质首先，我们来研究平行线的性质。
平行线是指在同一个平面内永不相交的两条线。
根据平行线的定义，我们可以得出以下定理：定理1：如果两条直线分别与第三条直线相交，并且这两条交线都与第三条直线的某一边形成同侧内角，则这两条直线是平行线。
证明：假设有两条直线AB和CD与直线EF相交，且∠ABC和∠DEF同侧内角。
根据同侧内角和定理，我们知道这两条交线必定是平行线。
定理2：平行线具有传递性。
如果直线AB与直线CD平行，且直线CD与直线EF平行，那么直线AB与直线EF也平行。
证明：假设直线AB与直线CD平行，直线CD与直线EF平行。
由于两条平行线各自都与第三条直线相交，并且它们的同侧内角相等，根据同侧内角和定理，可以得出直线AB与直线EF是平行线。
2.相交线的性质接下来，我们来探讨相交线的性质。
相交线是指在同一个平面内相交的两条线。
根据相交线的定义，我们可以得出以下定理：定理3：相交线之间的对应角相等。
在平面内，如果两条直线AB 和CD相交于点O，那么∠AOB与∠COD对应角相等，∠BOC与∠AOD对应角相等。
证明：由于直线AB和CD相交于点O，我们可以得到斜线交错定理。
两对同位角∠AOB和∠BOC、∠COD和∠AOD对应角相等。
定理4：相交线之间的交错角互补。
在平面内，如果两条直线AB 和CD相交于点O，那么∠AOB与∠COD交错角互补，∠BOC与∠AOD交错角互补。
证明：根据交错角定义，由直线AB和CD相交于点O可得交错角∠AOB与∠COD、∠BOC与∠AOD交错角互补。
综上所述，平行线与相交线之间存在许多重要的性质关系。
通过了解和应用这些性质，我们可以更好地理解和解决几何学中涉及到平行线和相交线的问题。
在实际应用中，平行线和相交线的性质也被广泛应用于建筑、工程、地理测量等领域。
高中几何知识解析平行线与相交线的性质
高中几何知识解析平行线与相交线的性质在高中数学中，几何知识是学生们需要掌握的重要内容之一。
其中，平行线与相交线的性质是几何学的基础，对于解决各类平面几何问题具有重要的指导作用。
本文将从几何定义、性质推导以及应用实例等方面，对平行线与相交线的性质进行深入解析。
平行线的定义与性质首先，我们来探讨平行线的定义及其性质。
平行线是指在同一个平面上，永远不相交的两条直线。
根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：性质1：平行线上的任意两条线段与一条直线的对应交角相等。
性质2：平行线与同一条直线的相交角是对应交角，且这些对应交角相等。
性质3：两条与同一条直线相交的平行线之间的对应内角相等。
性质4：平行线与同一条直线的外角互补。
通过这些性质，我们可以运用平行线的特性解决一些几何问题。
相交线的定义与性质接下来，我们来讨论相交线的定义及其性质。
相交线是指在同一个平面上相交的两条直线。
根据相交线的定义，我们可以得出以下性质：性质1：相交线上任意两条线段与一条直线的对应交角相等。
性质2：相交线与同一条直线的相交角是对应交角，且这些对应交角相等。
性质3：相交线与同一条直线的内角互补。
这些性质与平行线的性质存在一些相似之处，但也有一些不同之处。
理解这些性质有助于我们更好地解决几何问题。
平行线与相交线的应用实例在实际的几何问题中，平行线与相交线的性质经常被应用。
下面，我们通过几个实例来展示它们的实际应用。
实例一：证明两条直线平行已知：直线AB与直线CD，两直线交于E点。
要求：证明AB || CD。
解法：根据相交线的性质，我们知道∠AEC = ∠BEC，又根据平行线的性质，平行线上的任意两条线段与一条直线的对应交角相等，即∠AEC = ∠BDC。
所以，∠BEC = ∠BDC，结合两个等式，我们得出∠BEC = ∠BDC，即AB || CD。
实例二：计算平行线之间的角度已知：平行线l和m被一条横切线n相交，其中∠A = 60°。
人教版七年级下册数学《平行线的判定》相交线与平行线说课研讨复习教学课件
是为什么？
解题秘方：找出AB，CD 被
AE 所截形成的同旁内角，利
用两个角之间的数量关系来
说明这两条直线平行.
感悟新知
解：因为∠ 1= ∠ AOD(对顶角相等)，∠ 1=70°， 所以∠ AOD=70°. 又因为∠ A=110°， 所以∠ A+ ∠ AOD=180°. 所以AB ∥ CD(同旁内角互补，两直线平行).
（3）直线l1，l2位置关系如何？
两直线平行
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个人简历：课件/jianli/
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手抄报：课件/shouchaobao/
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.P
A
B
1
相关概念：判定1：同位角相等，两直线平行
平行线判定1:
两条直线被第三条直线所截 ,
如果同位角相等, 课件 课件 课件 课件 课件
2. 表达方式：如图5.2-12， 因为∠ 1+ ∠ 2=180°(已 知)， 所以a ∥ b(同旁内角互补， 两直线平行).
感悟新知
特别解读 利用同旁内角说明两直线平行时，同旁内角之
间的关系是互补，不是相等.
感悟新知
例 3 如图5.2-13， 直线AE，CD 相交于点O， 如果
∠ A=110°，∠ 1=70°，就可以说明AB ∥ CD，这
【例1】如图，∠1=∠2=35°，
则AB与CD的关系是___A__B_∥_C_D____，
理课 课 课件 件 件 由课课课件件件 是___同___位__角__相__等__，__两__直__线__平__行__.
湘教版七年级数学下册_4.1 平面上两条直线的位置关系
特别提醒 ◆同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，没
有公共顶点，但有一条边落在同一条直线上. ◆两条直线被第三条直线截成的8个角中共有4对同
位角、2对内错角、2 对同旁内角.
感悟新知
例5 如图 4.1 － 6，结合图形解答下列问题： (1) ∠ 1 与∠ 2 是直线______ 和直线_______
知4－练
感悟新知
知4－练
方法点拨 在进行角的计算时，“对顶角相等”这个结论
常常被用来将要求的角和特征相同的两个角转化成 与已知条件相关的角来求解，即对顶角构建了一个 已知条件和待求结论之间的 “桥梁”.
感悟新知
知识点 5 同位角、内错角、同旁内角
同位角、内错角和同旁内角的识别如下表：
知5－讲
感悟新知
角的名称 位置特征
在截线同侧， 同位角 在被截两直
线同方向
内错角
在截线两侧 (交错)， 在被截两直 线之间
在截线同侧， 同旁内角 在被截两直
线之间
基本图形
图形结构特征知5－讲
形如字母“F” (或倒置、反置、 旋转)
形如字母“Z” (或倒置、反置、 旋转)
形如字母“U” (或 倒置、反 置、旋转)
感悟新知
4. 特征法： 看其是否符合“ F”“Z”“ U” 形特征； 5. 方位法： 同位角：同左、同上，同左、同下，同右、
同上，同右、同下；内错角：同内、异侧；同 旁 内 角： 同 内、 同侧 .
课堂小结
平面上两条直 线的位置关系
平行线的概念
平行线的 基本事实
平行线的基 本事实的推论
平面内 两条直 线的位 置关系
感悟新知
知3－练
方法点拨 判定两条直线平行的方法： 1. 若涉及相交问 题，则常用平行线的基本事实； 2. 若涉及三条直线的位置关系问题，则常用平行线的基本
(完整)相交线与平行线
第9讲相交线与平行线同学们对两条直线相交、平行一定不陌生吧！纵横交错的公路，棋盘中的横线和竖线，操场上的双杠，教室中的课桌面、黑板面相邻的两条边与相对的两条边……都给我们以相交线和平行线的形象．专题简介暑期我们学习了几何图形-—线段、直线、射线和角．本讲将进一步学习平面内不重合的两条直线间的位置关系：相交和平行．对于相交,我们要研究两条直线相交所成的角的位置关系和数量关系;对于平行，我们要借助于一条与两条平行直线相交的直线，通过研究相交所得角的位置和数量关系,进而得出平行线的性质和判定．同时,我们还会学习通过简单的逻辑推理证明数学结论的方法，培养分析问题的能力,树立言之有据的思考习惯．模块分类1．相交线相关概念．2．平行线性质和判定．3．平行线四大模型．学习目标1．掌握与相交线和平行线的相关概念和性质．2．掌握平行线的判定和性质．3．掌握平行线四大模型．考点汇总考试频率对应例题对应练习题相交线相关概念☆☆☆例1、2练1、2平行线性质和判定☆☆☆☆☆例3、4练3、4平行线四大模型☆☆☆☆例5～8练5模块一相交线相关概念题型一邻补角、对顶角、垂线段知识点睛相交线任意两条相交的直线，将圆周角一分为四，如图,∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线,(即∠1＋∠2＝ )，具有这种关系的两个角，互为．如图，∠1和∠3有一个公共顶点O,并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为．如图，因为∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角的定义），所以∠1＝∠3（同角的补角相等）．由此我们得到对顶角的性质:对顶角相等．垂直如图，若两条直线AB、CD所成的夹角α＝90°，我们说AB、CD互相．其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫做．如图,AB⊥CD，垂足为O．如果两条直线相交所成的四个角中任意一个角等于90°，那么这两条直线垂直．如果AB和CD交于点O，∠AOC＝90°，那么AB⊥CD．如图，连接直线l外一点P与直线l上格点O，A1，A2，A3，……，其中PO⊥l（称PO为P到直线l的垂线段），这些连成的线段中，不难发现, 最短．于是我们得到：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．基础夯实【例1】（1)如果∠AOB＋∠DOE＝180°，∠AOB和∠BOC互为邻补角，那么∠DOE与∠BOC的关系是．（2）如图,三条直线a、b、c相交于一点,则∠1＋∠2＋∠3＝．【练1】（1）下列语句，正确的有 (只填序号)．□，1有公共顶点且相等的两个角是对顶角；错误!有公共顶点且互补的两个角是邻补角；错误!对顶角的角平分线在同一直线上;错误!对顶角相等但不一定互补；错误!对顶角有公共的邻补角．（2）如图,EF、CD交于点O，OA⊥OB,且OD平分∠AOF，∠BOE＝2∠AOE，求∠EOD的度数．题型二同位角、内错角、同旁内角知识点睛同位角如图，直线AB，CD和EF相交（也可以说两条线AB、CD被第三条直线EF所截），构成8个角．现在我们关注那些没有公共顶点的两个角的关系．∠1和∠5这两个角分别在直线AB、CD的同一方（上方），并且都在直线EF的同侧(右侧），具有这种位置关系的一对角叫做同位角．思考：图中还有哪些角是构成同位角？内错角∠3和∠5这两个角都在直线AB、CD之间，并且分别在直线EF两侧（∠3在EF左侧，∠5在EF右侧)，具有这种位置关系的一对角叫做内错角．思考：图中还有哪些角是构成内错角？同旁内角∠3和∠6也都在直线AB、CD之间，但它们都在直线EF的同一旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．思考：图中还有哪些角是构成同旁内角？同位角:“F字型”内错角：“Z字型”同旁内角：“C字型”基础夯实【例2】(1）如图，∠DCE与∠B是直线AB、被直线所截而成的角；∠ACB与∠A是直线AB、被直线所截而成的角；∠ACE和∠A是直线AB、被直线所截而成的角．（2）如图，直线a、b、c两两相交，形成12个角中,完成填空：错误!∠1与∠2是，错误!∠3与∠5是，○3∠2与∠5是，错误!∠7与∠12是，错误!∠6与∠7是 ,错误!∠8与∠2是，强化挑战【练2】（1）（“希望杯”邀请赛)如图,平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交，图中同旁内角共有________ ．（2）在如下所示的图中，一共有对内错角．(3）用数码标记出下图与∠1是同位角的所有角．模块二平行线的性质与判定知识点睛同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线．如图,过点B作直线a的平行线，能画几条？再过点C画直线a的平行线，和前面过点B画出的直线平行吗？通过观察和画图，我们可以发现一个基本事实(平行公理)：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．由平行公理，进一步可以得到如下结论:如图两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．也就是说:如果b∥a,c∥a，那么b∥c．平行线三大判定：根据平行线的定义,如果平面内两条直线不相交,就可以判断两条直线平行．但是,由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义判断两条直线是否平行．判定方法1：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等，那么两条直线平行．示意图判定同位角相等，两直线平行若∠1＝∠2，则AB∥CD．判定方法2：两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等，那么两条直线平行．示意图判定内错角相等，两直线平行若∠1＝∠4,则AB∥CD．判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补,那么两条直线平行．示意图判定同旁内角互补，两直线平行若∠1＋∠3＝180°,则AB∥CD．平行线三大性质:将平行线三大判定的条件和结论互换,就可以得到平行线的三大性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截,同位角相等．简单说成:两直线平行，同位角相等．性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．性质1:两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行,同旁内角互补．基础夯实【例3】如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2,∠BAC＝70°,将求∠AGD的过程补充完整．解：∵EF∥AD（）∴∠2＝（）又∠1＝∠2( ）∴∠1＝∠3( )∴AB∥（）∴∠BAC＋＝180°（）又∠BAC＝70°( )∴∠AGD＝（）【练3】如图，∠A＝60°，∠ABD＝∠BDC，求∠ADC的度数是多少？强化挑战【例4】如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，求证：CE∥DF．【练4】已知∠1＝∠2，∠5＝∠6，AD∥BC，求证:∠3＝∠4．模块三平行线四大模型知识点睛铅笔模型结论若AE∥CF,则∠P＋∠E＋∠F＝360°猪蹄模型结论若AE∥CF，则∠P＝∠E＋∠F臭脚模型结论若AE∥CF，则∠P＝∠E－∠F骨折模型结论若AE∥CF，则∠P＝∠F－∠E总结：以上结论不要“机械地”记忆,要在掌握证明方法基础上,带着理解去记忆．不难发现，过拐点P点作平行线再导角，是证明这类结论的通法，这些模型是平行线问题中的常见模型，同学们需熟练掌握证明过程．强化挑战【例5】如图，已知AB∥CD，∠EAF＝14∠EAB,∠ECF＝14∠ECD,求证:∠AFC＝34∠AEC．【练5】已知，AD∥BC，BE平分∠ABC,DE平分∠ADC．求证：∠E＝(12∠A＋∠C）．巅峰突破【例6】如图，∠DAB＋∠ABC＋∠BCE＝360°,（1）说明AD和CE的位置关系,并说明理由．（2）作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠F的余角等于2∠B的补角，求∠BAH的度数．【例7】（武昌区期末考试)如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD,写出∠EDI与∠BHD的数量关系，并说明理由．【例8】（2013-2014洪山区期中统考）如左图,D为△ABC延长线上的一点,CE∥AB．（1）求证：∠ACD＝∠A＋∠B；（2）若右图,过A点作BC的平行线交CE于点H,CF平分∠ECD、FA平分∠HAD，若∠BAD＝70°，求∠F的度数;（3)如图，AH∥BD，G为CD上一点，Q为AC上一点，GR平分∠QGD交AH于R,QN平分∠AQG交AH于N,QM∥GR，猜想∠MQN与∠ACB的关系，说明理由．第9讲课后作业【习1】证明：过点O任意作7条直线,则在所有以O为顶点的角中，必有一个小于26°．【习2】下图中一共有对同旁内角？【习3】已知，如图，BCE、AFE是直线,AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4,求证：AD∥BE．证明:∵AB∥CD（已知)∴∠4＝∠（ )∵∠3＝∠4（已知)∴∠3＝∠ (等量代换）∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＋∠CAF＝∠2＋∠CAF（等式的性质）即∠BAF＝∠∴∠3＝∠（等量代换）∴AD∥BE（ )【习4】如图，AB∥CD，AE平分为∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E，求证:AD∥BC．【习5】如图，已知AB∥EF，求∠1－∠2＋∠3＋∠4＝．【习6】已知：AB∥CD，∠FBC＝13∠ABF,∠FDC＝13∠FDE，求∠C、∠F的关系．【习7】已知:AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系．【习8】已知：AB∥GF，∠B＝50°,∠BCD＝120°，∠E＝30°，∠F＝100°，求证：BC∥DE．【习9】如图,四边形ABCD中，AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，且AE∥CF．(1）求证：∠B＝∠D；（2）延长AE、BC交于G，若∠ADC＝90°,∠G＝55°,求∠DAB的度数．【习10】如图，已知∠FEA＝∠EAF，EA平分∠CAF．（1）求证：EF∥AC；（2）若CA平分∠DAB,∠BAF与∠BAD互补,∠FEA－∠DAC＝50°，求∠F．【习11】已知，如图1，∠1＋∠2＝180°，∠AEF＝∠HLN．（1）判断图1中平行的直线，并给予证明；（2）如图2，∠PMQ＝2∠QMB,∠PNQ＝2∠QND，请判断∠P与∠Q的数量关系，并证明．图1 图2【习12】如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED,CE是∠ACB的平分线．求证：∠EDF＝∠BDF．【习13】如图，已知:DE∥AC,CD平分∠ACB,EF平分∠DEC，∠BDG与∠ADC互余．求证：DG∥EF．。
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相交线与平行线的证明与计算题
一：证明的基本方法
1.等量代换：
（1）完成推理填空：如图：已知∠A ＝∠F ，∠C ＝∠D ，求证：BD ∥CE 。
请你认真完成下面的填空。
证明：∵∠A ＝∠F （ 已知 ）
∴AC ∥DF （ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ）
∴∠D ＝∠ （ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ）
又∵∠C ＝∠D （ 已知 ），
∴∠1＝∠C （ 等量代换 ）
∴BD ∥CE （ ）。
（2）如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2，∠BAC = 70°．将求∠AGD 的过程填写完整．
G F
E D
C
B A 32
1
证明：∵EF ∥AD （ ）
∴∠2 = 。
（ ）
∵∠1 = ∠2（ ）
∴ ∠1 = ∠3。
（ ）
∴ AB ∥ 。
（ ）
∴∠BAC + = 180°。
（ ）
∵∠BAC = 70°，（ ）
∴∠AGD = 。
2.更复杂的等量代换
（1）如图，在四边形ABCD 中，∠A=104°－∠2，∠ABC=76°+∠2，BD ⊥CD 于D ，EF ⊥CD 于F ，能辨认∠1=∠2吗？试说明理由． 2 1 F
E D
C
B A
3.平行线的性质和判断定理
（1）已知，如图11，∠BAE+∠AED=180°，∠M=∠N,试说明：∠1=∠2.
解：∵∠BAE+∠AED=180°（ 已知 ）
∴ ∥ （ ）
∴∠BAE= ∠AEC （ ）
又∵∠M=∠N （ 已知 ）
∴ ∥ （ ）
∴∠NAE= ∠AEM （ ）
∴∠BAE-∠NAE= - ∴即∠1=∠2
（2）已知：如图，AB ∥CD ，∠B ＝∠D ． 求证：∠1＝∠2
（3）如图，直线AD 与AB 、CD 相交于A 、D 两点，EC 、BF 与AB 、CD 相交于E 、
C 、B 、F ，如果∠1=∠2，∠B=∠C ．求证：∠A=∠
D ．
12A
B C
D
4.等式的性质
如图，已知∠1=∠2，再添上什么条件可使AB ∥CD 成立？并就你添上的条件证明AB ∥CD ．
2
1N M F
E D C B
A 图5－6－10
5.角平分线的性质 如图，AOC ∠与BOC ∠是邻补角，OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线，试判断OD 与OE 的位置关系，并说明理由．
6.几条重要的性质
设a 、b 、c 为平面上三条不同直线，
（1） 若//,//a b b c ，则a 与c 的位置关系是_________；
（2） 若,a b b c ⊥⊥，则a 与c 的位置关系是_________；
（3） 若//a b ，b c ⊥，则a 与c 的位置关系是________．
二.设X ，来求角
1.直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB 于O ，且∠DOE ＝4∠COE ，求∠AOD 的度数．
O A B
C
D E
2. 已知一个角的余角比它的补角的9
4还少6º，求这个角。
3．如图，∠ABC 和∠ACB 的平分线BO 与CO 相交于点O ，EF 过点O ，且EF ∥BC ，若∠BOC ＝130°，∠ABC ∶∠ACB ＝3∶2，则∠AEF ＝_________，∠EFC ＝_________.并证明。
A
B C E
O F
4. 如图，已知直线AB 与CD 交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为O ，若∠DOE ＝3∠COE ，求∠BOC 的度数．
5.如图，已知直线AB 与CD 交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为O ，若∠DOE ＝3∠COE ，求∠BOC 的度数．
三．巧作辅助线
1.已知直线AB CD ∥，60ABE =∠，20CDE =∠，则BED =∠ 度．
2. 如图，直线MA ∥NB ，∠A ＝70°，∠B ＝40°，则∠P ＝＿＿＿＿＿.
3. 如图，AB ∥CD ，AD ，BC 相交于O ，∠BAD=35°，∠BOD=76°，则∠C 的度数是 （ ）
A ．31°
B ．35°
C ．41°
D ．76°
P
B M A N
第2题 第3题
4．（创新题）如图，若直线AB∥ED，你能推得∠B、∠C、∠D•之间的数量关系吗？请说明理由．
5．（探究题）如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，试探索∠BEF与∠EFC•之间的关系，并说明理由．。