相交线与平行线的证明过程精讲

相交线与平行线的证明与计算题

一：证明的基本方法

1.等量代换：

（1）完成推理填空：如图：已知∠A ＝∠F ，∠C ＝∠D ，求证：BD ∥CE 。 请你认真完成下面的填空。

证明：∵∠A ＝∠F （ 已知 ）

∴AC ∥DF （ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ）

∴∠D ＝∠ （ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ）

又∵∠C ＝∠D （ 已知 ），

∴∠1＝∠C （ 等量代换 ）

∴BD ∥CE （ ）。

（2）如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2，∠BAC = 70°．将求∠AGD 的过程填写完整．

G F

E D

C

B A 32

1

证明：∵EF ∥AD （ ）

∴∠2 = 。 （ ）

∵∠1 = ∠2（ ）

∴ ∠1 = ∠3。（ ）

∴ AB ∥ 。（ ）

∴∠BAC + = 180°。（ ）

∵∠BAC = 70°，（ ）

∴∠AGD = 。

2.更复杂的等量代换

（1）如图，在四边形ABCD 中，∠A=104°－∠2，∠ABC=76°+∠2，BD ⊥CD 于D ，EF ⊥CD 于F ，能辨认∠1=∠2吗？试说明理由． 2 1 F

E D

C

B A

3.平行线的性质和判断定理

（1）已知，如图11，∠BAE+∠AED=180°，∠M=∠N,试说明：∠1=∠2.

解：∵∠BAE+∠AED=180°（ 已知 ）

∴ ∥ （ ）

∴∠BAE= ∠AEC （ ）

又∵∠M=∠N （ 已知 ）

∴ ∥ （ ）

∴∠NAE= ∠AEM （ ）

∴∠BAE-∠NAE= - ∴即∠1=∠2

（2）已知：如图，AB ∥CD ，∠B ＝∠D ． 求证：∠1＝∠2

（3）如图，直线AD 与AB 、CD 相交于A 、D 两点，EC 、BF 与AB 、CD 相交于E 、

C 、B 、F ，如果∠1=∠2，∠B=∠C ．求证：∠A=∠

D ．

12A

B C

D

4.等式的性质

如图，已知∠1=∠2，再添上什么条件可使AB ∥CD 成立？并就你添上的条件证明AB ∥CD ．

2

1N M F

E D C B

A 图5－6－10

5.角平分线的性质 如图，AOC ∠与BOC ∠是邻补角，OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线，试判断OD 与OE 的位置关系，并说明理由．

6.几条重要的性质

设a 、b 、c 为平面上三条不同直线，

（1） 若//,//a b b c ，则a 与c 的位置关系是_________；

（2） 若,a b b c ⊥⊥，则a 与c 的位置关系是_________；

（3） 若//a b ，b c ⊥，则a 与c 的位置关系是________．

二.设X ，来求角

1.直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB 于O ，且∠DOE ＝4∠COE ，求∠AOD 的度数．

O A B

C

D E

2. 已知一个角的余角比它的补角的9

4还少6º，求这个角。

3．如图，∠ABC 和∠ACB 的平分线BO 与CO 相交于点O ，EF 过点O ，且EF ∥BC ，若∠BOC ＝130°，∠ABC ∶∠ACB ＝3∶2，则∠AEF ＝_________，∠EFC ＝_________.并证明。

A

B C E

O F

4. 如图，已知直线AB 与CD 交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为O ，若∠DOE ＝3∠COE ，求∠BOC 的度数．

5.如图，已知直线AB 与CD 交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为O ，若∠DOE ＝3∠COE ，求∠BOC 的度数．

三．巧作辅助线

1.已知直线AB CD ∥，60ABE =∠，20CDE =∠，则BED =∠ 度．

2. 如图，直线MA ∥NB ，∠A ＝70°，∠B ＝40°，则∠P ＝＿＿＿＿＿.

3. 如图，AB ∥CD ，AD ，BC 相交于O ，∠BAD=35°，∠BOD=76°，则∠C 的度数是 （ ）

A ．31°

B ．35°

C ．41°

D ．76°

P

B M A N

第2题 第3题

4．（创新题）如图，若直线AB∥ED，你能推得∠B、∠C、∠D•之间的数量关系吗？请说明理由．

5．（探究题）如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，试探索∠BEF与∠EFC•之间的关系，并说明理由．