圆内接四边形练习进步一
九年级数学下册第24章圆24.3圆周角23.3.2圆内接四边形同步练习含解析沪科版
第 2 课时圆内接四边形知识点 1 圆内接多边形的看法1．以下说法正确的选项是 ( )A ．圆内接四边形是指四个极点都在这个圆内的四边形B ．圆内接多边形的各个极点在圆上或圆内C ．经过四边形各个极点的圆叫做这个四边形的内接圆D ．圆内接五边形是指五个极点都在这个圆上的五边形 2．以下多边形必定有外接圆的是 ( )A ．平行四边形B ．三角形C ．五边形D．六边形2圆内接四边形的性质24－ 3－ 20，四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形，若∠ A ＝ 70°，则∠ C 的度数是(图 24－ 3－20B ． 110°D． 130°4．如图 24－3－ 21，四边形 ABCD 是圆内接四边形， E 是 BC 的延长线上一点，若∠ BAD＝ 105°，则∠ DCE 的度数是 ()图 24－ 3－ 21A ． 115°B．105°C ． 100° D．95°5．2018·邵阳 如图 24－ 3－ 22 所示，四边形为⊙ O 的内接四边形， ∠＝ 120°，ABCDBCD则∠ BOD 的度数是 ()图 24－ 3－22A ． 80°B ． 120°C ． 100°D．90°6．2017·广东 如图 24－3－ 23，四边形 ABCD 内接于⊙ O ，DA ＝ DC ，∠ CBE ＝50°，则∠DAC A ． 100°C ． 120°知识点 3．如图)图 24－ 3－23 A． 130°B．100°C． 65°D．50°7．教材例 2 变式如图 24－ 3－ 24，在圆内接四边形ABCD中，若∠ A，∠ B，∠ C的度数之比为 4∶ 3∶ 5，则∠D的度数是 ________．图 24－ 3－248．如图 24－ 3－ 25，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别订交于点E，F，若∠ A＝55°，∠E＝ 30°，则∠F＝ ________° .图 24－ 3－259．教材练习第 1 题变式如图24－3－26，四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，若∠ABO ＋∠ ADO＝50°，则∠ BCD的度数是________．图 24－ 3－2610．教材习题 24.3 第 10 题变式已知：如图 24－ 3－ 27，⊙O1和⊙O2订交于A，B两点，经过点 A 的直线 CD与⊙ O1交于点 C、与⊙ O2交于点 D，经过点 B 的直线 EF与⊙ O1交于点 E、与⊙ O2交于点 F，连接 CE，DF.若∠ C＝110°，则∠ D的度数为________．图 24－ 3－2711．如图 24－ 3－ 28，四边形ABCD是圆内接四边形，AD，BC的延长线订交于点P，∠APB的均分线交 CD于点 E，交 AB于点 F.求证：∠ CEF＝∠ BFE.图 24－ 3－2812．如图 24－ 3－ 29，在圆内接四边形ABCD中， AD与 BC的延长线订交于点P，BD与 AC 订交于点 E.则图中的相似三角形有()图 24－ 3－29A．5 对B．4对C．3 对D．2对13．已知△ABC内接于⊙O，OD⊥AC于点D，假如∠COD＝ 32°，那么∠B的度数为 ()A． 16°B． 32°C． 16°或 164° D ．32°或 148°14．教材练习第 2 题变式如图 24－3－ 30，四边形内接于⊙，是⊙O 的直径，ABCD O BCAD∥ BC， AC与 BD订交于点 P，若∠ ABD＝70°，则∠ ADC的度数是________．图 24－ 3－ 30︵︵15． 2017·盐城如图24－3－31，将⊙ O沿弦AB折叠，点C在 AmB上，点 D在AB上，若∠ACB＝70°，则∠ ADB＝________°.图 24－ 3－3116． 2017·凉山州如图24－3－32，已知四边形ABCD内接于半径为4 的⊙O中，且∠C ＝2∠A，则BD＝ ________．图 24－ 3－ 3217．如图 24－ 3－ 33，四边形ABCD内接于⊙ O，点 P在 BC的延长线上，且PD∥ AC.求证： PC·AB＝ AD·CD.图 24－ 3－3318．如图 24－ 3－ 34，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B，点 A 的坐标为 (0 ， 4) ，M是圆上一点，∠BMO＝120°.求⊙ C的半径及圆心C的坐标．图 24－ 3－3419．如图 24－ 3－ 35，在△ABC中，∠C＝ 60°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙ O的半径为2 3.(1) 求证：△CDE∽△CBA；(2)求 DE的长．图 24－ 3－3520．如图 24－ 3－ 36，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点 C，使得 CD＝ BD，连接 AC交⊙ O于点 F，连接 AE， DE， DF.(1) 求证：∠E＝∠C；(2) 若∠E＝55°，求∠BDF的度数；2︵(3)设 DE交 AB于点 G，若 DF＝4，cos B＝3， E是 AB的中点，求 EG· ED的值．图 24－ 3－36教师详解详析1．D2．B3．B[解析]依据圆内接四边形的对角互补，可得∠C＝ 180°－∠ A＝ 110°.4．B[解析]因为四边形 ABCD是圆内接四边形， E 是 BC延长线上一点，因此∠DCE是圆内接四边形 ABCD的外角，因此∠ DCE＝ 180°－∠ BCD＝∠ BAD＝ 105° .5．B[解析 ]∵四边形 ABCD为⊙ O的内接四边形，∴∠ A＝ 180°－∠ BCD＝ 60°，由圆周角定理得∠ BOD＝ 2∠ A＝ 120° .6．C1 [解析]∵∠ CBE＝ 50°，∴∠ D＝∠ CBE＝ 50° . ∵ DA＝ DC，∴∠ DAC＝∠ DCA＝2×(180 °－ 50° ) ＝ 65° .7． 120° [ 解析 ] ∵∠ A，∠ B，∠ C 的度数之比为4∶ 3∶ 5，∴设∠ A＝ 4x，则∠ B＝ 3x，∠ C＝ 5x.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ A＋∠ C＝ 180°，即 4x＋5x＝ 180°，解得 x＝ 20°，∴∠ B＝ 3x＝60°，∴∠ D＝ 180°－ 60°＝ 120°.8． 409．130° [ 解析 ] 连接 AO，则∠ ABO＝∠ BAO，∠ ADO＝∠ DAO，∴∠ BAD＝∠ BAO＋∠DAO ＝∠ ABO＋∠ ADO＝ 50°，∴∠ BCD＝180°－ 50°＝ 130° .10． 70°[ 解析 ]连接AB，则∠ ABF＝∠ C＝110°，∴∠ D＝180°－110°＝70° .11．证明：∵ PF 均分∠ APB，∴∠ APF＝∠ BPE.又∵∠ CEF＝∠ ECP＋∠ BPE，∠ BFE＝∠ A＋∠ APF，∠ A＝∠ ECP，∴∠ CEF＝∠ BFE.12．B[ 解析 ]∵∠ BAE＝∠ CDE，∠ ABE＝∠ DCE，∴△ ABE∽△ DCE.∵∠ DAE＝∠ CBE，∠ ADE＝∠ BCE，∴△ ADE∽△ BCE.∵∠ P＝∠ P，∠ PAC＝∠ PBD，∴△ PAC∽△ PBD.∵∠ P＝∠ P，∠ PDC＝∠ PBA，∴△ PDC∽△ PBA.应选 B.13．D[ 解析 ]如图，∵△ OAC是等腰三角形，OD⊥ AC，∴ OD是∠ AOC的均分线，∴∠AOC＝ 2∠ COD＝ 64° .1①当点 B 在优弧 AC上时，由圆周角定理知，∠B＝2∠ AOC＝ 32°；②当点 B在如图点 E的地点时，由圆内接四边形的对角互补知，∠ E＝180°－∠ B＝148°.应选 D.14．100° [ 解析 ] 因为夹在两条平行弦之间的弧相等，∴∠ PBC ＝∠ PCB.又∵ BC 是⊙ O的直径，∠ ABD ＝ 70°，∴∠ APB ＝ 20°，则∠ PBC ＝∠ PCB ＝ 1∠ APB ＝ 10°，∴∠ ABC ＝80°， 2 ∴∠ ADC ＝ 100°.15．110 [ 解析 ] 如图，设点 D ′是点 D 折叠前的地点，连接 AD ′， BD ′，则∠ ADB ＝∠ AD ′B. 在圆内接四边形 ACBD ′中，∠ ACB ＋∠ AD ′B ＝ 180°，因此∠ AD ′B ＝ 180°－ 70°＝110°，因此∠ ADB ＝ 110° .16． 4 3 [ 解析 ] 连接 OD ， OB ，过点 O 作 OF ⊥ BD ，垂足为 F.∵ OF ⊥ BD ，∴ DF ＝ BF ，∠ DOF ＝∠ BOF. ∵四边形 ABCD 内接于⊙ O ， ∴∠ A ＋∠ C ＝ 180° .∵∠ C ＝ 2∠A ，∴∠ A ＝ 60°， ∴∠ BOD ＝ 120°，∴∠ BOF ＝60° .∵ OB ＝ 4，∴ BF ＝OB · sin ∠ BOF ＝ 4× sin 60°＝ 2 3， ∴ BD ＝ 2BF ＝ 4 3. 17．证明：连接 BD.∵四边形 ABCD 内接于⊙ O ， ∴∠ PCD ＝∠ DAB.又∵ PD ∥ AC ，∴∠ P ＝∠ ACB ＝∠ BDA ， ∴△ DPC ∽△ BDA ，∴ PC ∶ AD ＝CD ∶ AB ，即 PC ·AB ＝AD ·CD.18．解：∵∠ AOB ＝ 90°，∴ AB 为⊙ C 的直径．∵四边形 AOMB 是圆内接四边形，∠ BMO ＝ 120°， 依据圆内接四边形的对角互补获得∠ OAB ＝ 60°，∴∠ ABO ＝ 30° .∵点 A 的坐标为 (0 ，4) ，∴ OA ＝ 4，∴ AB ＝ 2OA ＝ 8，∴⊙ C 的半径为 4. 由勾股定理得 BO ＝ 4 3.如图，过点 C 作 CE⊥ y 轴，垂足为E，依据三角形的中位线定理得CE＝1BO＝ 23， AE2＝ OE＝2，∴圆心 C的坐标为 (－23，2) ．19．解： (1) 证明：∵四边形ABED为⊙ O的内接四边形，∴∠ CED＝∠ A( 或∠ CDE＝∠ B)．又∵∠ C＝∠ C，∴△ CDE∽△ CBA.(2)方法 1：连接 AE.DE CE由(1)得＝ .AB AC∵AB 是⊙ O的直径，∴∠AEB＝∠ AEC＝ 90° .在 Rt△AEC中，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝30°，DE CE1∴ ＝＝，∴ DE＝2 3.AB AC2方法 2：连接 DO， EO.∵AO＝ DO＝EO＝ BO，∴∠ CAB＝∠ ODA，∠ B＝∠ OEB.∵∠ A＋∠ B＝ 180°－∠ C＝ 120°，∴∠ ODA＋∠ OEB＝ 120° .∵∠ A＋∠ B＋∠ ADE＋∠ DEB＝ 360°，∴∠ ODE＋∠ OED＝ 360°－∠ A－∠ B－∠ ODA－∠ OEB＝ 360°－ 120°－ 120°＝ 120°，∴∠ DOE＝ 60°，∴△ ODE为等边三角形，∴DE＝ OB＝2 3.20．解： (1) 证明：如图，连接AD，∵AB 是⊙O的直径，∴∠ ADB＝ 90°，即 AD⊥ BC.又∵ CD＝ BD，∴AD垂直均分 BC，∴AB＝ AC，∴∠ B＝∠ C.又∵∠ B＝∠ E，∴∠ E＝∠ C.(2)∵四边形 AEDF是⊙ O的内接四边形，∴∠ AFD＝ 180°－∠ E＝ 125°，∴∠ CFD＝ 180°－∠ AFD＝ 55°，∴∠ CFD＝∠ E.又∵∠ E ＝∠ C ＝ 55°，∴∠ BDF ＝∠ C ＋∠ CFD ＝ 110° .(3) 如图，连接 OE ， ∵∠CFD ＝∠ AED ＝∠ C ，∴ BD ＝ CD ＝DF ＝ 4.2 ∵在 Rt △ ABD 中， cos B ＝ ， BD ＝ 4，3∴ AB ＝ 6.︵∵ E 是 AB 的中点， AB 是⊙ O 的直径，∴∠ AOE ＝ 90° .1∵ AO ＝ OE ＝2AB ＝ 3，∴ AE ＝3 2.︵∵ E 是 AB 的中点，∴∠ ADE ＝∠ EAB ，又∠ AEG ＝∠ DEA ， ∴△ AEG ∽△ DEA ，AE ED ∴ EG ＝ AE ，即 EG ·ED ＝ AE 2＝ 18.。
初中数学：圆内接四边形练习(含答案)
初中数学：圆内接四边形练习（含答案）知识点 1 圆内接四边形的性质——圆内接四边形的对角互补1．2016·丽水如图3－6－1，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．已知∠ BCD＝110°，则∠BAD＝_______ °.2．已知四边形ABCD内接于⊙ O，且∠ A∶∠C＝1∶2，则∠A＝_____ °.图3－6－23．如图3－6－2，四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，且∠ ABC＝115°，那么∠ AOC＝4．如图3－6－3，AB是半圆O的直径，C，D 是AB上两点，∠ ADC＝120°，则∠ BAC＝图3－6－3图3－6－45．如图3－6－4，点A，B，C，D都在⊙ O上，∠ B＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙ O的直径是____ ．6．在圆内接四边形ABCD中，∠ A∶∠ B∶∠ C＝2∶3∶6，求∠ D的度数．CD.7．如图3－6－5，四边形ABCD内接于⊙ O，AD∥BC，求证：AB＝图3－6－5知识点 2 圆内接四边形的性质的推论——圆内接四边形的外角等于其内对角8．2017·嵊州市模拟如图3－6－6，点A，B，C，D在圆O上，点 E 在AD的延长线上，若∠ ABC＝60°，则∠ CDE的度数为( )A．30°B．45°C．60°D．70°9．如图3－6－7，四边形ABCD内接于⊙ O，点E在BC的延长线上，若∠ BOD＝120°，则∠DCE＝___ °.10．如图3－6－8 所示，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点 E. 若BC＝BE.求证：△ ADE是等腰三角形．图3－6－6图3－6－811．如图3－6－9，△ ABC 内接于⊙ O ，∠ OBC ＝40°，则∠ A 的度数为 ( ) A ．80° B ．100° C ．110° D ．130°12．如图 3－6－10，在平面直角坐标系中， ⊙C 过原点 O ，且与两坐标轴分别交于点 A ，B ， 点 A 的坐标为(0，3)，M 是O ︵B 上一点，且在第三象限内．若∠BMO ＝120°，则⊙C 的半径为 ()A ．6B ．5C ．3 2D ．313．如图 3－6－11，已知四边形 ABCD 内接于半径为 4的⊙O 中，且∠C ＝2∠A ，则 BD ＝图 3－ 6－ 11图 3－6－1014．如图3－6－12，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝1，∠ACD＝60°，求四边形ABCD的面积．图3－6－1215．(1) 已知：如图3－6－13①，四边形ABCD内接于⊙ O，延长BC至点E，则∠A＋∠ BCD ＝180°，∠ DCE＝∠A.(2) 依已知条件和(1) 中的结论：如图②，若点 C 在⊙O外，且A，C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠ A＋∠ BCD 与180°的大小关系；如图③，若点 C 在⊙O内，且A，C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠ A＋∠ BCD与180°的大小关系．(3) 如图3－6－14，四边形ABCD内接于⊙ O，∠DAB＝130°，连结OC，P 是半径OC上任意一点，连结DP，BP，则∠ BPD的度数可能为_____ (写出一个即可)．图3－6－14详解详析1．702．60 ［解析］∵四边形ABCD内接于⊙ O，∴∠A＋∠C＝180°.又∵∠A∶∠C＝1∶2，∠A＝60°.3．130 ［解析］∵四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，且∠ ABC＝115°，∴∠ ADC＝180 －∠ ABC＝180°－115°＝65°，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×65°＝130°.4．305. 136．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ A＋∠ C＝180°，∠ B＋∠D＝180°.∵∠ A∶∠ B∶∠ C＝2∶3∶6，设∠ A＝2α，∠ B＝3α，∠ C＝6α，则2α＋6α＝180°，∴α ＝22.5 °，∴∠ B＝3α ＝67.5 °，∴∠ D＝180°－∠ B＝112.5 °.7．证明：∵ AD∥BC，∴∠ A＋∠ B＝180°.∵四边形ABCD内接于⊙ O，∴∠ A＋∠ C＝180°，∴∠ B＝∠ C，∴ AC＝BD，∴AC－AD＝BD－AD，即AB＝CD，∴AB＝CD.8．C ［解析］∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.∵∠CDE＋∠ADC＝180°，∠ ABC＝60°，∴∠CDE＝∠ABC＝60°.故选 C.9．60 ［解析］∵∠BOD＝120°，∴∠BAD＝60°. 又∠ BAD＋∠ BCD＝180 ＝180°，∴∠ DCE＝∠ BAD＝60°.10．证明：∵ BC＝BE，∴∠ E＝∠ BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ A＋∠ DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠ A＝∠ BCE，则∠ A＝∠E，∴AD＝DE，∴△ ADE是等腰三角形．11．D ［解析］如图，连结OC.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40∴∠ BOC＝100∵∠ 1＋∠ BOC＝360°，，∠DCE＋∠ BCD∴∠ 1＝260°.1∵∠A＝2∠1，∴∠A＝130°.故选 D.12．D ［解析］∵四边形ABMO内接于⊙ C，∴∠BMO＋∠BAO＝180°. ∵∠ BMO＝120°，∴∠BAO＝60°.又∵AO⊥BO，A（0，3），∴AB＝2AO＝6，∴⊙C的半径为 3.故选 D.13．4 3 ［解析］连结OD，OB，过点O作OF⊥BD，垂足为F，∴DF＝BF，∠DOF＝∠BOF.∵ 四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＋∠C＝180°.∵∠C ＝2∠A，∴∠A＝60°，∴∠BOD ＝120°，∴∠ BOF＝60°. ∵OB＝4，∴ BF＝2 3，∴ BD＝2BF＝4 3.14．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点 F.∵∠ADF＋∠ABC＝180°（圆内接四边形的对角互补），∠ ABE＋∠ ABC＝180∴∠ ADF＝∠ ABE.在△ AEB与△ AFD中，∠ABE＝∠ADF，∠AEB＝∠AFD，AB＝AD，∴△ AEB≌△ AFD，∴四边形ABCD的面积＝四边形AECF的面积，AE＝AF. 又∵∠ E＝∠AFC＝90°，AC＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△AFC.∵∠ACD＝60°，∠AFC＝90°，∴∠ CAF＝30°.∵AC＝1，∴ CF＝21，AF＝23，15．解：(2) 如图①，连结DE.∵∠ A＋∠ BED＝180°，∠ BED>∠ BCD，∴∠ A＋∠ BCD<180°.如图②，延长DC交⊙ O于点E，连结BE.∵∠ A＋∠ E＝180°，∠ BCD>∠E，∴∠ A＋∠ BCD>180 (3) 答案不唯一，如80∴四边形ABCD的面积＝2S△ ACF＝12×21CF×AF＝11。
九年级数学上册 24.1 圆周角 圆内接四边形课后作业1 (新版)新人教版
圆周角 圆内接四边形 题目来源于《典中点》(2015·漳州)如图，一块直角三角板ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重 合，点D 对应的刻度是58°，则∠ACD 的度数为________．(2015·山西)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为BD ︵ 的中点．若∠A ＝40°，则∠B ＝________．(2015·黑龙江)如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB 上的 动点，且1≤OP ≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是( )A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．30°或150°如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若∠ADB ＝100°，则∠ACB 的度数为( )A ．35°B ．40°C ．50°D ．80°如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A ，B ，点A 的坐标为(0，3)， M 是第三象限内OB ︵上一点，∠BMO ＝120°，求⊙C 的半径及点B 的坐标．6. 如图所示，四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，AC ⊥BD 于点E ，OF ⊥AB 于点F ，求证：2OF ＝CD .7.(2015·南京)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ，且DC ＝D E.(1)求证：∠A ＝∠AEB ；(2)连接OE ，交CD 于点F ，OE ⊥CD ，求证：△ABE 是等边三角形．答案典中点1．61° 点拨：取AB 中点为O ，连接OD ， ∵直角三角板ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，∴点A ，D ，B ，C 共圆．∵点D 对应 的刻度是58°，∴∠BOD ＝58°，∴∠BCD ＝12∠BOD ＝29°，∴∠ACD ＝90°－∠BCD ＝61°.2．70° 点拨：连接BD ，由AB 为⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是 直角，可求得∠ADB 的度数，继而求得∠ABD 的度数，由圆的内接四 边形的性质，求得∠C 的度数，然后由点C 为BD ︵的中点，可得CB ＝ CD ，即可求得∠CBD 的度数，继而求得答案．C 点拨：设E ，F 分别为弦AB 所对优弧和劣弧上的点，连接AE ，BE ， AF ，BF ，作OD ⊥AB ，如图，∵点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP ≤ 2，∴OD ＝1，∴∠OAB ＝30°，∴∠AOB ＝120°，∴∠AEB ＝12∠AOB＝60°.∵∠E ＋∠F ＝180°，∴∠F ＝120°，即弦AB 所对的圆周角的度数为60°或120°.4．B 点拨：连接OA ，OB ，如图，∵A ，O ，B ，D 都在小圆上，∴∠ADB ＋∠AOB ＝180°，而∠ADB ＝100°，∴∠AOB ＝80°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝40°.5．解：由题意知四边形AOMB 为⊙C 的内接四边形，所以∠BAO ＝180°－∠BMO ＝180°－120°＝60°，所以∠ABO ＝90°－∠BAO ＝90°－60°＝30°.在Rt △ABO 中，由OA ＝3，得AB ＝2OA ＝6，所以AC ＝BC ＝3，OB ＝62－32＝33，所以⊙C 的半径为3，点B 的坐标是(－33，0)．6．证明：过A 点作直径AG ，连接BG ，CG .∵AG 为⊙O 的直径，∴∠ACG ＝90°，∴CG ⊥AC . ∵BD ⊥AC ，∴BD ∥CG ，∴∠DBC ＝∠BCG ，∴DC ︵＝BG ︵，∴DC ＝BG .∵OF ⊥AB ，∴AF ＝BF .又∵AO ＝OG ，∴OF 是△ABG 的一条中位线，∴2OF ＝BG .∴2OF ＝CD .解题归纳：在圆中遇到中点，且要证一条线段的长度是另一条线段长度 的2 倍时，常作的辅助线是三角形的中位线．7．证明：(1)∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠A ＋∠BCD ＝180°.又∵∠DCE ＋∠BCD ＝180°，∴∠A ＝∠DCE .∵DC ＝DE ，∴∠DCE ＝∠AEB .∴∠A ＝∠AEB .(2)∵∠A ＝∠AEB ，∴△ABE 是等腰三角形．∵OE ⊥CD ，∴CF ＝DF . ∴OE 是CD 的垂直平分线．∴ED ＝EC .又∵DC ＝DE ，∴DC ＝DE ＝EC .∴△DCE 是等边三角形． ∴∠AEB ＝60°，∴△ABE 是等边三角形．。
圆内接四边形的性质判定定理习题及答案
圆内接四边形的性质与判定定理习题及答案2.处理过程：让学生独立完成这两道自测题成两组,每一组推荐一名同学说出解题思路和答案.例1 (2011·课标全国卷)如图3,D,E分别为△ABC 的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于方程x2-14x+mn=0的两个根.(1)证明:C,B,D,E四点共圆;(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径. 1.选题立意:本题考查三角形相似、四点共圆的基本知识与方法,考查推理论证能力及运算求解能力.2.处理过程：第(1)小题是证明四点共圆问题，那么要证四点共圆,我们有那些方法呢?通过提问让学生在大脑中搜索相关知识,寻找最佳解题方案这样问题可以转化为证明Rt△ADE与似,从而利用本节的推论来证明四点共圆题是计算问题，关键是引导学生如何确定圆心的位置.根据圆的性质可知,圆心即为该圆弦的中垂线的交点，问题就转化为在矩形AFHG半径了.3.老师点评：证明四点共圆主要是利用圆内接四能力锤炼:能说的让学生说,学生能做的让学生做第(2)小题实际上是证明角相等问题,请一个学生用分析法来寻求证明思路.当学生“找路”有困难时，及时正确引导，同时注意引导方式3.老师点评：解答平面几何问题时不仅要用到几何定理，而且还要用到各种不同的推理形式，推理策略，有时还要使用“添加辅助线”之类的技巧性较高的方法.在几何学习中，除了运用逻辑推理外，还要应用观察、比较、类比、直觉、猜想、归纳、概括等合情推理.如图6,已知△ABC 中,AB=AC,D 是△ABC 外接圆劣弧AC ⌒上的点(不与A,C 重合),延长BD 到E. (1)求证:AD 的延长线平分∠CDE;(2)若∠BAC=30°,△ABC 中BC 边上的高为2+ 3 ,求△ABC 外接圆的面积.设计意图:检验所学习的知识，从而熟练掌握本节的重点，形成相应的数学能力.1. 如图7,在Rt △ABC 中,∠BCA=90°,以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点,D 为AC 的中点,连结BD 交⊙O 于F 点.求证:BC BE = CF EF. 2. 如图8,AB 为⊙O 的弦,CD 切⊙O 于P,AC ⊥CD 于C,BD ⊥DC 于D,PQ ⊥AB 于Q,求证:PQ 2=AC ·BD.3. 如图9,已知AP 是⊙O 的切线,P 为切点,AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于B,C 两点,圆心O 在∠PAC 的内部,点M 是BC 的中点.(1)证明:A,P,O,M 四点共圆; (2)求∠OAM+∠APM 的大小.4.E,EG 平分∠E,且与BC 、AD F5.如图11,已知PA 、PB 是圆O 的切线分别是切点,C 为圆O 上不与A 重合的另一点,若∠ 一、 选择题1. 下列关于圆内接四边形叙述正确的有2. 3. 4.C.12aD.13a5.圆内接四边形ABCD 中，BA 与CD 的延长线交于点P,AC 与BD 交于点E,则图中相似三角形有A.5对B.4对C.3对D.2对6.如图，已知圆内接四边形ABCD 的边长为2,6,4AB BC CD DA ====，则四边形ABCD 面积为A.163 B.8 C.323D.DT6 T7 T127.如图，在以BC 为直径的半圆上任取一点P ,过弧BP 的中点A 作AD BC ⊥于D.连接BP 交AD 于点E,交AC 于点F,则:BE EF =A.1:1B.1:2C.2:1D.以上结论都不对8.直线370x y +-=与20kx y --=与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k = B.3 C.-6 D.6二、填空题9.圆内接四边形ABCD 中，cos cos cos cos A B C D +++= . 10.三角形三边长为5,12,13,则它的外接圆圆心到顶点的距离为 . 11.圆内接四边形ABCD 中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，则D ∠= .12.如图，AB 为半圆O 的直径，C 、D 为半圆上的两点，20BAC ∠=，则ADC ∠= .三、解答题13.如图，锐角三角形ABC 中，60A ∠=，BC 为圆O 的直径，⊙O 交AB 、AC 于D 、E ，求证：2BC DE =.DBOCEA14.求证：在圆内接四边形ABCD 中，AC BD AD BC AB CD ⋅=⋅+⋅.15.在等边三角形ABC 外取一点P ,若P A P B P C =+，求证：P 、A 、B 、C 四点共圆.16.如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，M 为CD 中点，N 为AB 中点，AC BD ⊥于点E ，连接ON 、ME ，并延长ME 交AB 于点F.求证：MF AB ⊥.ABC17.已知：如图所示，10,8,AB cm BC cm ==CD 平分ACB ∠. (1)(2)18.求证：19.E,交BC 于点F,(1)求⊙(2)设∠圆内接四边形的性质与判定定理(参考答案)一、 选择题1-5 BBCAB 6-8 DAB 二、填空题9. 0 10.13211.90 12.110三、解答题13.法一：302ABE ABE AB AE ∠=⇒∆=在Rt 中，12A D A E D E A D EA CB AC A B B C ∆∆⇒===∽ 法二：连接BE, 30ABE DE∠=⇒ 的度数为6060DOE ⇒∠=即ODE ∆为正∆ OD DE ⇒=14.在AC 上取点E,使1,23ADE ∠=∠∠=∠又A EB C A D E B D C A E B D A D B CA DB D⇒∆∆⇒=⇒⋅=⋅∽ ①1A D E A D B C D E A B D A C D A B D E C D∠=∠⇒∠=∠∠=∠∆∆又得∽AB BDBD EC AB CD EC CD⇒=⋅=⋅即 ② ①+②即可15.延长PC 至D,作CAD BAP ∠=∠，并取AD=AP ，则A D P A B P A B P A C D ∆≅∆⇒∠=∠⇒P 、A 、B 、C 四点共圆16.,DE EC DM MC EM DM ⊥=⇒=M D E D E M ⇒∠=∠ 90EAF AEF MDE AEF DEM MEC ⇒∠+∠=∠+∠∠=∠+∠=17.(1)6,52AC BD ==(2)49ACB ADB ABCD S S S ∆∆=+=四边形18.法一：连结EF,,9090180DE AB DF AC AED AFD ⊥⊥⇒∠+∠=+=⇒A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF BEF C ⇒∠=∠⇒∠+∠90180B E D D E F CD A F C =∠+∠+∠=+∠+∠=321BEADCPBAC法二： A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF ⇒∠=∠9090A E F D E F D A F C⇒∠=-∠=-∠=∠19.(1)10156104OE AO R R AEO ADC R CD AC -∆∆⇒=⇒=⇒=∽ (2)90EFB EGC βα∠=∠⇒+=。
3.6 圆内接四边形 浙教版数学九年级上册同步练习(含解析)
3.6 圆内接四边形基础过关全练知识点 圆内接四边形及其性质1.(2020浙江湖州中考)如图,已知四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=70°,则∠ADC的度数是( )A.70°B.110°C.130°D.140°2.【易错题】(2022浙江温州鹿城二模)如图,点B在AC上,∠AOC=100°,则∠ABC等于( )A.50°B.80°C.100°D.130°3.(2021辽宁盘锦中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴负半轴上,点B在y轴正半轴上,☉D经过A,B,O,C四点,∠ACO=120°,AB= 4,则圆心D的坐标是 .()4.【教材变式·P97课内练习T1】如图,AB是半圆O的直径,∠D=120°,则∠BAC= °.5.(2019浙江台州中考)如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连结AE.若∠ABC=64°,则∠BAE 的度数为 .6.【易错题】【新独家原创】如图,小明把一副三角尺放到圆中,斜边AC重合,点A、B、C、D均在圆上,其中∠ACB=30°,∠CAD=45°,点P 是圆上任意一点(不与A、B、C、D重合),则∠APB的度数为 .7.如图,已知AD是△ABC的外角平分线,与△ABC的外接圆交于点D.()(1)求证:DB=DC;(2)过D分别作DP⊥AC于点P,DQ⊥BE于点Q,求证:△CDP≌△BDQ.能力提升全练8.【一题多解】(2023浙江温州龙港期中,6,★☆☆)已知在圆的内接四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,则∠D的度数为( )A.40°B.60°C.100°D.120°9.(2023浙江杭州萧山期中,7,★★☆)如图,点A、B、C、D、E都是☉O上的点,AC=AE,∠D=130°,则∠B的度数为( )A.130°B.128°C.115°D.116°10.【数学文化】(2020湖南株洲中考,18,★★☆)斛是中国古代的一种量器.据《汉书·律历志》记载:“斛底,方而圜(huán)其外,旁有庣(tiāo)焉.”意思是说:“斛的底面为正方形的四个顶点都在一个圆上,此圆外有一个同心圆.”如图所示,问题:现有一斛,其底面的外圆直径为五尺(即5尺),“庣旁”为五寸(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺),则此斛底面的正方形的边长为 尺.11.【等面积法】(2023浙江杭州西湖期中,19,★★☆)如图,四边形ABCD内接于☉O,AC为☉O的直径,∠ADB=∠CDB.(1)试判断△ABC的形状,并给出证明;(2)若AB=2,AD=1,求CD、BD的长度.素养探究全练12.【推理能力】如图1,在☉O中,弦AD平分圆周角∠BAC,我们将圆中以A为公共点的三条弦BA,CA,DA构成的图形称为圆中“爪形A”.如图2,四边形ABCD内接于圆O,AB=BC,(1)证明:圆中存在“爪形D”;(2)若∠ADC=120°,求证:AD+CD=BD.答案全解全析基础过关全练1.B ∵四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=70°,∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°.2.D 如图,在优弧AC(不与点A、C重合)上取点D,连结AD、CD,由圆周角定理得∠ADC=1∠AOC=50°,2∵四边形ABCD为圆内接四边形,∴∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=180°-50°=130°,故选D.3.答案 (-3,1)解析 ∵四边形ABOC为圆内接四边形,∴∠ABO+∠ACO=180°,∵∠ACO=120°,∴∠ABO=180°-120°=60°.∵∠AOB=90°,∴AB为☉D的直径,∴D为AB的中点,在Rt△ABO中,∵∠ABO=60°,∴∠OAB=30°,AB=2,∴OA=23,∴OB=12∴A(-23,0),B(0,2),∴点D的坐标为(-3,1).4.答案 30解析 ∵四边形ABCD为圆内接四边形,∴∠B+∠D=180°,∵∠D=120°,∴∠B=60°,∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC+∠B=90°,∴∠BAC=30°.5.答案 52°解析 由已知得,∠D=180°-∠ABC=116°,∵点D关于AC的对称点E在边BC上,∴∠D=∠AEC=116°,∴∠BAE=∠AEC-∠ABC=116°-64°=52°.6.答案 30°或150°解析 当点P在优弧BCA上时,∠APB=∠ACB=30°;当点P在劣弧AB上时,四边形ACBP为圆内接四边形,∴∠APB+∠ACB=180°,∴∠APB=180°-30°=150°.∴∠APB的度数为30°或150°.7.证明 (1)∵AD是△ABC的外角平分线,∴∠EAD=∠DAC,∵四边形ABCD为圆内接四边形,∴∠BAD+∠DCB=180°,∵∠EAD+∠BAD=180°,∴∠EAD=∠DCB,∵∠DAC=∠DBC,∴∠DCB=∠DBC,∴DB=DC.(2)∵AD平分∠EAC,DP⊥AC,DQ⊥BE,∴DQ=DP,在Rt△CDP与Rt△BDQ中,DC=DB, PD=QD,∴Rt△CDP≌Rt△BDQ(HL).能力提升全练8.D 解法一:∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°,∵∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,∴∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶3∶7∶6,∴∠D=180°×63+6=120°,故选D.解法二:∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°,∵∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,设∠A=2x,∠B=3x,∠C=7x,∴2x+7x=180°,解得x=20°.∴∠B=60°,∴∠D=180°-∠B=120°,故选D.9.C 如图,连结AC、CE,∵点A、C、D、E都是☉O上的点,∴∠CAE+∠D=180°,∵∠D=130°,∴∠CAE=180°-130°=50°,∵AC=AE,×(180°-50°)=65°,∴∠ACE=∠AEC=12∵点A、B、C、E都是☉O上的点,∴∠AEC+∠B=180°,∴∠B=180°-65°=115°,故选C.10.答案 22解析 如图,∵四边形CDEF为正方形,∴∠D=90°,CD=DE,∴CE为直径,∠ECD=45°,由题意得AB=5尺,∴CE=5-0.5×2=4尺,∵CD2+DE2=CE2,CD=DE,∴2CD2=16,∴CD=22尺.11.解析 (1)△ABC是等腰直角三角形.证明:∵AC为☉O的直径,∴∠ADC=∠ABC=90°,∵∠ADB=∠CDB,∴AB =BC ,∴AB =BC ,又∵∠ABC =90°,∴△ABC 是等腰直角三角形.(2)在Rt △ABC 中,AB =BC =2,∴AC =2,在Rt △ADC 中,AD =1,AC =2,∴CD =AC 2―AD 2=3,过A 作AE ⊥BD 于E ,过C 作CF ⊥BD 于F,如图,则△ADE 和△CDF 均是等腰直角三角形,∴AE =22AD =22,CF =22CD =62,∵S 四边形ABCD =S △ACD +S △ABC =S △ABD +S △BCD ,∴12×1×3+12×2×2=12×22BD +12×62BD ,∴BD =2+62.素养探究全练12.证明 (1)∵AB =BC ,∴AB =BC ,∴∠ADB =∠CDB ,∴DB 平分圆周角∠ADC ,∴圆中存在“爪形D”.(2)如图,延长DC至点E,使得CE=AD,连结BE,∵∠A+∠DCB=180°,∠ECB+∠DCB=180°,∴∠A=∠ECB,∵CE=AD,AB=BC,∴△BAD≌△BCE(SAS),∴∠E=∠ADB,BD=BE,由(1)知,DB平分圆周角∠ADC,∠ADC=120°,∠ADC=60°,∴∠ADB=12∴∠E=∠ADB=60°,∴△BDE是等边三角形,∴DE=BD,∴AD+CD=BD.。
非学科数学学培训 圆内第四大定理之圆内接四边形(资料附答案)
自学资料一、圆内接四边形【知识探索】1．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形．这个圆叫做这个多边形的外接圆．2．圆内接四边形的对角互补．【错题精练】例1．如图，四边形ABCD的对角线CA平分∠BCD且AD=AB，AE⊥CB于E，点O为四边形ABCD的外接圆的圆心，下列结论：①OA⊥DB；②CD+CB=2CE；③∠CBA−∠DAC=∠ACB；④若∠DAB= 90∘，则CD+CB=√3CA．其中正确的结论（）第1页共25页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. ①③④；B. ①②④；C. ②③④；D. ①②③．【答案】D，例2．如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30∘，BD是⊙O的直径，如果CD=4√33则AD=．【答案】4．的值是例3．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则EFGH （）A. ；B. ；C. ；D. 2．【答案】C例4．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为第2页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训（）．A. cmB. 9 cmC. cmD. cm【解答】C【答案】C例5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD，∠C=2∠BAD．（1）求∠BOD的度数；（2）求证：四边形OBCD是菱形；（3）若⊙O的半径为r,∠ODA=45∘，求△ABD的面积（用含r的代数式表示）．【解答】（1）解：∠A+∠C=180，∠C=2∠A，∴∠A=60∘，∴∠BOD=2∠A=120∘（2）证明：连接OB，OC，OD，可以得出△BOC是等边三角形，∴OB=OC=OD=CD，∴四边形OBCD是菱形；（3）解：过D做DH⊥AB与H，∵DH=√62r，BH=√62r，AH=√22r，∴S△ABD=3+√34r2．第3页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】（1）∠BOD=2∠A=120∘；（2）略；（3）S△ABD=3+√3r2．4例6．如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．（1）若∠DFC=40∘，求∠CBF的度数；（2）求证：CD⊥DF．【解答】（1）解：∵∠ADB=∠ACB，∠BAD=∠BFC，∴∠ABD=∠FBC，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠CBF=∠BCF，∵∠BFC=2∠DFC=80°，∴∠CBF=50∘；（2）证明：令∠CFD=α，则∠BAD=∠BFC=2α，∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180∘−2α，又∵AB=AD，∴∠ACD=∠ACB，∴∠ACD=∠ACB=90∘−α，∴∠CFD+∠FCD=α+(90∘−α)=90°，∴∠CDF=90°，即CD⊥DF．【答案】（1）∠CBF=50∘；（2）CD⊥DF．例7．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．第4页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训（1）求证：△ABD为等腰三角形．（2）求证：AC⋅AF=DF⋅FE．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠DCB+∠DAB=180∘，∵∠MCD+∠DCB=180∘，∴∠MCD=∠DAB，∵CD为∠BCA的外角的平分线，∴∠MCD=∠ACD，∵∠DCA和∠DBA都对弧AFD，∴∠DCA=∠DBA，∴∠DAB=∠DBA，∴DB=DA，∴△ABD为等腰三角形．（2）证明：由（1）知AD=BD，BC=AF，则弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，∴∠BDC=∠ADF，弧CD=弧DF，CD=DF①∴∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA，即∠CDA=∠BDF，而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180∘，∴∠FAE=∠BDF=∠CDA，同理∠DCA=∠AFE∴在△CDA与△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，∴△CDA∽△FAE，∴即CD⋅EF=AC⋅AF，又由①有AC⋅AF=DF⋅EF．【答案】（1）略；（2）略．例8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中弧AB上一点，延长DA至点E，使CE=CD．（1）求证：AE=BD；（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=CD．第5页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】例9．（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至E．求证：∠A+∠BCD=180°，∠DCE=∠A．（2）依已知条件和（1）中的结论：①如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系；②如图3，若点C在⊙O内，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系．第6页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【解答】【答案】见解析例10．如图1，已知△ABC，AB=AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：DE=DC．（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC 的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．【答案】（1）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，第7页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第8页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【解答】第9页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第10页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】【举一反三】1．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78∘，则∠EAC=度．【答案】27．2．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE，若∠D=78∘，则∠EAC=（）A. 37°；B. 32°；C. 21°；D. 18.5°．【答案】C．3．已知，如图：AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．给出以下四个结论：①∠EBC=22.5°；②AE=2EC；③劣弧AE是劣弧DE的2倍；④DE=DC．其中不正确结论的序号是（）A. ①B. ④C. ③D. ②【解答】【答案】D4．如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（）A. AB=AEB. AB=BEC. AE=BED. AB=AC【解答】【答案】C5．已知△ABC．（1）如图，AC⊥AB，点D为BC上一点，∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠CAD，求证：AE∥BC．（2）如图，点P是BC上一点，且∠APC＜90°，以AP为一边作正方形APMN，若NC⊥BC，则∠ACB= °，并证明你的结论．【答案】6．已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，直径AF⊥BC于点H，AD与BC的延长线交于点E，连接BD．（1）若BC=8，FH=2，求⊙O得半径长；（2）若∠EDC=70∘，求∠ADB的度数．【解答】（1）解：由垂径定理得BH=4，OH=r−2，由勾股得：r=5；（2）解：连接AC，由垂径定理得：AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠EDC=70∘，∴∠ABC=∠ACB=70∘，∵∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=70∘．【答案】（1）5；（2）70°．7．如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=6时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．【答案】8．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（-3，0），C（，0））（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】9．如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点．①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题．【解答】【答案】见解析10．已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于D，交AC于E，（1）如图①，若AB=6，CD=2，求CE的长；（2）如图②，当∠A为锐角时，使判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；（3）若②中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图③，CA的延长线与圆O相交于E．请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与（2）中你得出的关系相同？若相同，请加以证明，若不同，请说明理由．【解答】【答案】见解析11．我们学过圆内接三角形，同样，四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形，下面我们来研究它的性质．（I）如图（1），连接AO、OC，则有．∴，同理∠BAD+∠BCD=180°，即圆内接四边形对角（相对的两个角）互补．（II）在图（2）中，∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角，请你探究外角∠DCE与它的相邻内角的对角（简称内对角）∠A的关系，并证明∠DCE与∠A的关系．（III）应用：请你应用上述性质解答下题：如图（3）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD、AD延长线上的点，如果DE平分∠FDC，求证：AB=AC．【解答】【答案】见解析1．如图，已知⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45∘，试求AB的长．【解答】解：∵ABCD是正方形，∴∠DCO=90∘．∵∠POM=45∘，∴∠CDO=45∘．∴CD=CO．∴BO=BC+CO=BC+CD．∴BO=2AB．连接AO，∵MN=10，∴AO=5．在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，AB2+(2AB)2=52，解得：AB=√5，则AB的长为√5．【答案】√5．2．如图所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求四边形ADBC的面积．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90∘．在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，∴BC=√AB2−AC2=√62−22=4√2．∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠DCA=∠BCD．∴．∴AD=BD．∴在Rt△ABD中，AD=BD=3√2，AB=6．∴四边形ADBC的面积=S△ABC+S△ABD=12AC⋅BC+12AD⋅BD=12×2×4√2+12×3√2×3√2=9+4√2．故四边形ADBC的面积是9+4√2．【答案】9+4√2．3．（2015秋•嵊泗县期中）如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图①中∠APN的度数（写出解题过程）；（2）写出图②中∠APN的度数和图③中∠APN的度数；（3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）【解答】【答案】。
圆内接四边形习题
圆内接四边形一 、引入新课1. 如图(1)，△ABC 叫⊙O 的____________三角形，⊙O 叫△ABC 的_ ____ _圆。
2. 如上图(1),若的度数为1000,则∠BOC=_______,∠A=__________.3. 如图(2)四边形ABCD 中, 若∠B 与∠1互补,AD 的延长线与DC 所夹∠2=600,则∠1=___,∠B=___. 4.二、探索交流如图(3),四边形ABCD 的各顶点都在⊙O 上,所以四边形ABCD 是⊙O 的_____________四边形,⊙O 叫四边形ABCD 的________________圆.(1)如图3，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A 与∠C,∠B 与∠D 分别是它的两组对角，∠A 所对的弧是_______________, ∠C 所对的弧是________________.（2）∠A 与∠C 所对的两条弧的度数之和是________________度，由此你发现∠A 与∠C 有怎样的数量关系_______________，∠B 与∠D 呢_______________。
得到定理： ________________________ ___________________. （3）如右图，延长BC 到点E ，得到∠DCE, ∠DCE 是四边形ABCD 的一个 外角，∠A 称∠DCE 的内对角，它两个的大小有什么关系___________. 得到推论： __________________三、练一练（一）1、四边形ABCD 内接于⊙O ，则∠A+∠C=___________，∠B+∠ADC=____________;若∠B=800， 则∠ADC=___________ ∠CDE=___________(图1)、四边形AB CD 内接于⊙O ，∠BOD=1000，则∠BAD=___________，∠BCD=___________(图2)3、梯形ABC D 内接于⊙O,AD ∥BC, ∠B=750,则∠C=______________(图3)21E DCBAOC BA ODABC图3图2图1OEDCB A1题图3题图2题图4、四边形ABCD内接于⊙O，∠A:∠C=1: 3，则∠A=_______________,5、圆内接平行四边形必为( )A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形6、、在⊙O中，∠CBD=30°, ∠BDC=20°,求∠A四、练习1、已知如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B=30°，则∠D= _____ ．2、已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠C=1：2，则∠BOD= 度．3、如图，AB是半圆O的直径，C、D是AB 上两点，∠ADC=120°，则∠BAC的度数是度．4、如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=110°，则∠BOD= 度．5、如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内OB 上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为6、如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是7、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=36°，则∠A的度数为8、圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C=1：2：5，则∠D等于9、如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB的度数为1题图3题图4题图5题图6题图7题图10、如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为23．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）求DE的长．11、已知：如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，经过点A的直线与两圆分别交于点C，点D，经过点B的直线与两圆分别交于点E，点F．若CD∥EF，求证：（1）四边形EFDC是平行四边形；（2）弧CE = 弧DF巩固加深一、 选择题1. 下列关于圆内接四边形叙述正确的有①圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角；②圆内接四边形对角相等；③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；④在圆内部的四边形叫圆内接四边形. 个 个 个 个2.圆内接四边形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 交于点E ，在下图中全等三角形的对数为 对 对 对 对3.圆内接四边形ABCD 中，39,25,60,52AB BC CD DA ====,则圆的直径为PT2 T4 T54.如图，四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 为BD 的垂直平分线，60,ACB ABa ∠==，则CD =a C.12a D.13a 5.圆内接四边形ABCD 中，BA 与CD 的延长线交于点P,AC 与BD 交于点E,则图中相似三角形有 对 对 对 对6.如图，已知圆内接四边形ABCD 的边长为2,6,4AB BC CD DA ====，则四边形ABCD 面积为A.163 C.323D.DT6 T7 T127.如图，在以BC 为直径的半圆上任取一点P,过弧BP 的中点A 作AD BC ⊥于D.连接BP 交AD 于点E,交AC 于点F,则:BE EF = :1 :2 :1 D.以上结论都不对8.直线370x y +-=与20kx y --=与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k = 二、填空题9.圆内接四边形ABCD 中，cos cos cos cos A B C D +++= . 10.三角形三边长为5,12,13,则它的外接圆圆心到顶点的距离为 . 11.圆内接四边形ABCD 中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，则D ∠= .12.如图，AB 为半圆O 的直径，C 、D 为半圆上的两点，20BAC ∠=，则ADC ∠= . 三、解答题13.如图，锐角三角形ABC 中，60A ∠=，BC 为圆O 的直径，⊙O 交AB 、AC 于D 、E ，求证：2BC DE =.14.求证：在圆内接四边形ABCD 中，AC BD AD BC AB CD ⋅=⋅+⋅.15.在等边三角形ABC 外取一点P,若PA PB PC =+，求证：P 、A 、B 、C 四点共圆.16.如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，M 为CD 中点，N 为AB 中点，AC BD ⊥于点E ，连接ON 、ME ，B并延长ME 交AB 于点F.求证：MF AB ⊥.ABC17.已知：如图所示，10,8,AB cm BC cm ==CD 平分ACB ∠. (1)求AC 和DB 的长； (2)求四边形ACBD 的面积.18.在锐角三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，,,,DE AB DF AC E F ⊥⊥为垂足. 求证：E 、B 、C 、F 四点共圆.BC19.如图，矩形ABCD 中，AD=8,DC=6,在对角线AC 上取一点O,以OC 为半径的圆切AD 于点E,交BC于点F,交CD 于点G. (1)求⊙O 的半径R ；(2)设,BFE GED αβ∠=∠=，请写出,,90αβ之间关系式，并证明.(参考答案)一、 选择题1-5 BBCAB 6-8 DAB 二、填空题9. 0 10.13211.90 12.110 三、解答题13.法一：302ABE ABE AB AE ∠=⇒∆=在Rt 中， 12AD AE DE ADE ACB AC AB BC ∆∆⇒===∽ 法二：连接BE,30ABE DE ∠=⇒的度数为6060DOE ⇒∠=即ODE ∆为正∆OD DE ⇒=14.在AC 上取点E,使1,23ADE ∠=∠∠=∠又AE BCADE BDC AE BD AD BC AD BD⇒∆∆⇒=⇒⋅=⋅∽ ①1ADE ADB CDE ABD ACD ABD ECD∠=∠⇒∠=∠∠=∠∆∆又得∽AB BDBD EC AB CD EC CD⇒=⋅=⋅即 ② ①+②即可15.延长PC 至D,作CAD BAP ∠=∠，并取AD=AP ，则ADP ABP ABP ACD ∆≅∆⇒∠=∠⇒P 、A 、B 、C 四点共圆16.,DE EC DM MC EM DM ⊥=⇒= MDE DEM ⇒∠=∠90EAF AEF MDE AEF DEM MEC ⇒∠+∠=∠+∠∠=∠+∠=AC17.(1)6,AC BD == (2)49ACB ADB ABCD S S S ∆∆=+=四边形18.法一：连结EF,,9090180DE AB DF AC AED AFD ⊥⊥⇒∠+∠=+= ⇒A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF BEF C ⇒∠=∠⇒∠+∠90180BED DEF C DAF C =∠+∠+∠=+∠+∠=法二： A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF ⇒∠=∠ 9090AEF DEF DAF C ⇒∠=-∠=-∠=∠ 19.(1)10156104OE AO R R AEO ADC R CD AC -∆∆⇒=⇒=⇒=∽ (2)90EFB EGC βα∠=∠⇒+=。
3.6 圆内接4边形练习
3.6 圆内接四边形 一、根底落实1、如图 ,⊙O 是正方形 ABCD 的外接圆 ,点 P 在⊙O 上 ,那么∠APB 等于 ( )A 30°B 45°C 55°D 60°2、如下图 ,A 、B 、C 、D 是圆上的点 ,17040A ∠=∠=°，°，那么C ∠=_ 度．3、如图 ,△ABC 内接于⊙O ,AB =BC ,∠ABC =120° ,AD 为⊙O 的直径 ,AD ＝6 ,那么BD ＝_________．4、如图 ,AB 是O ⊙的直径 ,点C 、D 在O ⊙上 ,110BOC ∠=° ,AD OC ∥ ,那么AOD ∠= ( )5、如图 ,点C D 、在以AB 为直径的O ⊙上 ,且CD 平分ACB ∠ ,假设215AB CBA =∠=，° ,那么CD 的长为 ．二、稳固应用6、如图 ,AB 为O ⊙的直径 ,CD 为O ⊙的弦 ,42ACD ∠=° ,那么BAD ∠= °7、如图 ,⊙O 的半径为5 ,弦AB =8 ,M 是弦AB 上的动点 ,那么OM 不可能为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5A 5米B 8米C 7米D 53米9、如图4 ,AB 、CD 是⊙O 的两条互相垂直的弦 ,圆心角∠AOC＝130° ,A D 、CB 的延长线相交于P ,∠P＝ °10、AB 是O ⊙的直径 ,弦CD AB ∥．假设65ABD ∠=° ,那么ADC ∠= ．三、拓展提高11、如图 ,AB 、CD 是⊙O 的直径 ,CE ∥AB 交圆于E ,连结AD 、AE 求证：AD =AEAB C D O=；12、如图 ,AB是⊙O的直径 ,C是弧BD的中点,CE⊥AB ,垂足为E ,BD交CE于点F． (1 )求证：CF BFAD=,⊙O的半径为3 ,求BC的长．(2 )假设213、13.如图,AE是⊙O的直径 ,△ABC内接于圆 ,AD⊥BC于D 求证：∠1 =∠2。
九年级数学：圆内接四边形练习(含答案)
九年级数学：圆内接四边形练习（含答案）1．圆内接四边形的对角________．2．圆内接四边形的外角等于内对角．A组基础训练1．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠C＝80°，则∠A等于( )A．120° B．100° C．80° D．90°第1题图2．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为( )第2题图A．100° B．120° C．140° D．160°3．圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C＝1∶2∶5，则∠D等于( )A．60° B．120° C．140° D．150°4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若∠BOD＝120°，则∠BCD的度数为( ) A．120° B．90° C．60° D．30°第4题图5.如图，已知∠BAE＝125°，则∠BCD＝________度．6．平行四边形ABCD 为圆内接四边形，则此平行四边形是________． 7．⊙O 的内接四边形ABCD ，∠AOC ＝140°，∠D ＞∠B ，则∠D ＝________．8．如图，已知四边形ABCD 内一点E ，若EA ＝EB ＝EC ＝ED ，∠BAD ＝70°，则∠BCD ＝________．第8题图9．如图，已知AD 是△ABC 的外角平分线，与△ABC 的外接圆交于点D. (1)求证：DB ＝DC ；(2)若过D 作DP⊥AC 于点P ，DQ ⊥BA 于点Q ，求证：△CDP≌△BDQ.第9题图10．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于点E ，交BC ︵于点D. (1)请写出四个不同类型的正确结论；(2)连结CD ，设∠CDB ＝α，∠ABC ＝β，试找出α与β之间的一种关系式，并予以证明．B 组 自主提高8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连结CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连结AC.若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )第11题图A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°12．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点O 在四边形ABCD 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD 的度数为________．第12题图13．如图所示，AB ＝AC ，AB 为⊙O 的直径，AC 、BC 分别交⊙O 于E 、D ，连结ED 、BE. (1)试判断DE 与BD 是否相等，并说明理由； (2)如果BC ＝6，AB ＝5，求BE 的长．第13题图C组综合运用14.如图，正方形ABCD，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF相交于P.(1)BE、CF有怎样的数量关系和位置关系？(2)判断点P，F，A，B共圆吗？(3)直接写出∠FPA相等的角．(4)求证：AP＝AB.第14题图3．6 圆内接四边形【课堂笔记】 1．互补 【课时训练】 1－4.BCBA 5. 125 6. 矩形 7.110° 8.110°9．(1)∵AD 是∠EAC 的平分线，∴∠DAC ＝∠DAE.∵四边形ABCD 内接于圆，∴∠DCB ＝∠DAE，∵∠DAC ＝∠DBC，∴∠DCB ＝∠DBC，∴DB ＝DC ； (2)∵AD 平分∠EAC，DP ⊥AC ，DQ ⊥BA ，∴DP ＝DQ ，又∵DB＝DC ，∴△CDP ≌△BDQ(HL)．10．(1)不同类型的正确结论有：①BE＝CE ；②BD ︵＝CD ︵；③∠BED＝90°；④∠BOD ＝∠A；⑤AC∥OD；⑥AC⊥BC；⑦OE 2＋BE 2＝OB 2；⑧S △ABC ＝BC·OE；⑨△BOD 是等腰三角形等； (2)α与β的关系式主要有如下两种形式：①α－β＝90°.证明如下：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠ABC＝90°①.又∵四边形ACDB 为⊙O 的内接四边形，∴∠A ＋∠CDB＝180°②.②－①，得∠CDB－∠ABC＝90°，即α－β＝90°. ②α>2β.证明如下：∵OD＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD.又∵∠OBD＝∠ABC＋∠CBD，∴∠ODB>∠ABC.∵OD ⊥BC ，∴CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD ，∴∠CDO ＝∠ODB＝12∠CDB ，∴12∠CDB>∠ABC ，即α>2β.11．B 12．60°13．(1)连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即AD⊥BC，∵AB ＝AC ，∴∠CAD ＝∠BAD，即∠EAD＝∠BAD，∴DE ＝BD ； (2)∵AD⊥BC，AB ＝AC ，∴BD ＝CD ＝12BC ＝3，∴ADAB 2－BD 2＝4，∵S △ABC ＝12×BC ·AD ＝12AC ×BE ，∴12×6×4＝12×5×BE ，∴BE ＝245.14．(1)BE ＝CF ，BE ⊥CF ，理由：证△BCE≌△CDF(SAS)得BE ＝CF ，∠CBE ＝∠DCF，∵∠DCF ＋∠BCF＝90°，∴∠CBE ＋∠BCF＝90°，即BE⊥CF； (2)点P ，F ，A ，B 共圆．理由：∵BE⊥CF，∠A＝90°，∴点P，F，A，B共圆．(3)∠FPA＝∠FBA＝∠FCD＝∠EBC.(4)证明：∵∠FPA＝∠FBA＝∠FCD＝∠EBC，∴∠APB＝90°－∠FPA＝90°－∠EBC＝∠ABP，∴AP ＝AB.。
九年级数学上册3.6圆内接四边形同步练习(新版)浙教版【含解析】
3.6 圆内接四边形一、选择题（共10小题；共50分）1. 下列四个图中，∠x是圆周角的是 ( )A. B.C. D.2. 如图所示，圆周角有 ( )A. 9个B. 10个C. 11个D. 12个3. 如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70∘，则∠ABD= ( )A. 20∘B. 46∘C. 55∘D. \70°\）4. 如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，把标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持互相垂直．在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=4个单位，OF=3个单位，则圆的直径为 ( )A. 7个单位B. 6个单位C. 5个单位D. 4个单位5. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88∘，则∠BCD的度数是 ( )A. 88∘B. 92∘C. 106∘D. 136∘6. 如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有 ( )．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个7. 如图所示，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8，OF=6，则圆的直径为 ( )A. 12B. 10C. 4D. 158. 如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是55∘，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上安装这样的监视器 ( )A. 2台B. 3台C. 4台D. 5台9. 如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40∘，则∠A的度数为 ( )A. 80∘B. 100∘C. 110∘D. 130∘10. 如图，已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a<1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为 ( )A. √52a B. 1 C. √32D. a二、填空题（共10小题；共50分）11. 如图，AB为⊙O的直径，点C,D在⊙O上，∠BAC=50∘，则∠ADC=．12. 如图，点A，B，C是⊙O上的点，OA=AB，则∠C的度数为．13. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86∘，30∘，则∠ACB=．14. 如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD=130∘，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B=度．15. 已知△ABC的边BC=4 cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4 cm，则∠A的度数是．16. 如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55∘，∠E=30∘，则∠F=．17. 如图，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，连接PA，则∠PAB的度数可以是∘（写出一个即可）．18. 如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58∘，则∠ACD的度数为∘．19. 已知，如图：AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45∘．给出以下五个结论：① ∠EBC=22.5∘；② BD=DC；③ AE=2EC；④ 劣弧AE⏜是劣⏜的2倍；⑤ DE=DC．其中正确结论有．弧DE20. 如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45∘，给出下列五个结论：① ∠EBC=22.5∘；② BD=DC；③ AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE 的2倍；⑤ AE=BC．其中正确结论的序号是．三、解答题（共3小题；共39分）21. 已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点E，AD=CB．求证：AE=CE．22. 如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE=∠DAC．求证：DB=DC．23. 在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60∘得到点Q．点N为x轴上一动点（N不与A重合），将点M绕点N顺时针旋转60∘得到点P．PQ与x轴所夹锐角为α．Ⅰ如图 1，若点M的横坐标为1，点N与点O重合，则α=∘；2Ⅱ若点M、点Q的位置如图 2 所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求α的度数；Ⅲ当直线PQ与⊙O相切时，点M的坐标为．答案第一部分1. C2. D3. C4. C5. D6. D7. B8. C9. D 10. B第二部分11. 40∘12. 30∘13. 28∘14. 4015. 30∘16. 40∘17. 65（答案不唯一）18. 6119. ①②④⑤20. ①②④第三部分21. 连接AC．∵AD=BC，⏜=BC⏜，∴AD∴∠ACD=∠CAB，∴AE=CE．22. ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180∘．∵∠BAD+∠DAE=180∘，∴∠BCD=∠DAE．∵∠DAE=∠DAC，又∠DAC=∠DBC，∴∠BCD=∠DBC，∴DB=DC．23. （1）60（2）连接MQ，MP．记MQ，PQ分别交x轴于E，F．∵将点M绕点A顺时针旋转60∘得到点Q，将点M绕点N顺时针旋转60∘得到点P，∴△MAQ和△MNP均为等边三角形．∴MA=MQ，MN=MP，∠AMQ=∠NMP=60∘．∴∠AMN=∠QMP．∴△MAN≌△MQP．∴∠MAN=∠MQP．∵∠AEM=∠QEF，∴∠QFE=∠AMQ=60∘．∴α=60∘．（3）(√32,12)或(−√32,−12)。
3.6 圆内接四边形 浙教版数学九年级上册同步自主提升训练(含解析)
2022-2023学年浙教版九年级数学上册《3.6圆内接四边形》同步自主提升训练一．选择题1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD．若∠BCD＝2∠BAD，则∠BDE的度数是（ ）A．25°B．30°C．32.5°D．35°2．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（ ）A．140°B．130°C．120°D．100°3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（ ）A．138°B．121°C．118°D．112°4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝120°，BD平分∠ABC交AC于点E，若BA ＝BE，则∠ADB的大小为（ ）A．35°B．30°C．40°D．45°5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D 重合），连接BE，若∠A＝60°，则∠BED的度数可以是（ ）A．110°B．115°C．120°D．125°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BCD＝80°，AB＝AD，且∠ADC＝110°，若点E为的中点，连接AE，则∠BAE的大小是（ ）A．25°B．30°C．35°D．40°7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝60°，点D为弧AC 上的动点，点M、N、P分别是AD、DC、CB的中点，则PN+MN的最大值为（ ）A．1+B．1+2C．2+2D．2+8．如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E，F，若∠E＝30°，∠F＝40°，则∠A＝（ ）A．25°B．30°C．40°D．55°二．填空题9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE、BD．若∠BCD ＝115°，则∠EBD的大小为 ．10．如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 ．11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，若∠DCE＝75°，∠F＝20°，则∠E的度数为 ．12．如图，四边形ABCD是半径为2的⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠AOC：∠ABC＝4：3，则的长为 ．13．在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝BC＝3，则CD的最大值＝ ．14．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．例：如图1，四边形内接于⊙O，AB＝AD．则四边形ABCD是等补四边形．探究与运用：如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD 的延长线于点F，若CD＝10，AF＝5，则DF的长为 ．15．在圆内接四边形ABCD中，∠D﹣∠B＝40°，则∠D的度数为 ．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝30°，则∠E的度数为 度．17．如图，五边形ABCDE的顶点B，C、D、E在⊙O上，顶点A在⊙O外，且AB＝AE．若∠A＝100°，则∠CBA+∠CDE＝ °．18．圆的内接四边形中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠D的度数为 ．19．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为 ．20．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，，∠BCD＝120°，连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED＝150°，AC＝，则DE的长为 ．三．解答题21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AC平分∠BCD．（1）若BC＝5cm，CD＝12cm，求AB的长；（2）求证：BC+CD＝AC．22．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长于点E，连接AC．（1）若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；（2）若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．24．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．（1）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，AD＝AB，求AB的长；（2）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．参考答案一．选择题1．解：连接BE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BAD＝60°，由圆周角定理得：∠BED＝∠BAD＝60°，∵DE是⊙O的直径，∴∠EBD＝90°，∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，故选：B．2．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠B＝180°，∵∠D＝50°，∴∠B＝180°﹣50°＝130°，故选：B．3．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝180°﹣121°＝59°，∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，故选：C．4．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝30°，∵BA＝BE，∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣∠ABD）＝×（180°﹣30°）＝75°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°，故选：D．5．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝60°，∴∠C＝120°，∵∠BED＝∠C+∠CBE，∴∠BED＞120°，∴∠BED可能为125°．故选：D．6．解：如图，连接AC，由题意可得：∠BAD＝180°﹣∠BCD＝110°，∠ABC＝180°﹣∠ADC＝70°，∵AB＝AD，∴，∴∠ACB＝∠ACD＝＝40°，∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∵点E为的中点，∴∠BAE＝∠BAC＝35°．故选：C．7．解：连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，∵OA＝OC，OH⊥AC，∴∠COH＝∠AOH＝60°，CH＝AH，∴CH＝AH＝OC•sin60°＝，∴AC＝2，∵CN＝DN，DM＝AM，∴MN＝AC＝，∵CP＝PB，CN＝DN，∴PN＝BD，当BD是直径时，PN的值最大，最大值为2，∴PM+MN的最大值为2+．故选：D．8．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝∠FBC，∵∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠F，∠FBC＝∠A+∠E，∴180°﹣∠A﹣∠F＝∠A+∠E，则2∠A＝180°﹣（∠F+∠E）＝110°，解得，∠A＝55°，故选：D．二．填空题9．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝115°，∴∠BAD＝65°，∵BE是直径，∴∠BAE＝90°，∴∠EBD＝∠DAE＝25°．故答案为：25°．10．解：∵∠DCE＝72°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，故答案为：144°．11．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠EAB+∠DCB＝180°，∵∠ECD+∠DCB＝180°，∴∠EAB＝∠ECD＝75°，∵∠ECD是△FCB的外角，∴∠ABE＝∠ECD﹣∠F＝75°﹣20°＝55°，∴∠E＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝50°，故答案为：50°．12．解：由于∠AOC：∠ABC＝4：3，可设∠AOC＝4x，则∠ABC＝3x，∴∠ADC＝∠AOC＝2x，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，即2x+3x＝180°，∴x＝36°，∴∠AOC＝4x＝144°，∴则的长为＝，故答案为：．13．解：∵∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴四边形ABCD是圆内接四边形，∴当CD是直径时，CD达到最大值，连接OA，OB，∵OA＝OD，∠ADC＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝3，∴∠AOB＝∠BOC＝60°，∵OA＝OB＝OC，∴△AOB和△BOC都是等边三角形，∴OC＝BC＝3，∴CD＝2OC＝6，故答案为：6．14．解：如图所示，连接AC，∵四边形ABCD是等补四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，又∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠BCD，∵AF平分∠EAD，∴∠FAD＝∠EAD，∵四边形ABCD是等补四边形，∴A，B，C，D四点共圆，∵AB＝AD，∴＝，∴∠ACD＝∠ACB，∴∠FCA＝∠BCD，∴∠FCA＝∠FAD，又∠AFC＝∠DFA，∴DF＝5﹣5．故答案为：5﹣5．15．解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠D+∠B＝180°，则，解得：，故答案为：110°．16．解：∵＝，∠BAC＝30°，∴∠DCF＝∠BAC＝30°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝105°，∴∠ADC＝75°，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCF＝75°﹣30°＝45°，故答案为：45．17．解：连接BE，∵AB＝AE．∠A＝100°，∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠A）＝40°，∵∠CDE+∠CBE＝180°，∴∠CBA+∠CDE＝∠CDE+∠CBE+∠ABE＝180°+40°＝220°，故答案为：220．18．解：设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、4x，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，即2x+4x＝180°，解得，x＝30°，∴∠B＝3x＝90°，∴∠D＝180°﹣∠B＝90°，故答案为：90°．19．解：∵点A的坐标为（0，3），∴OA＝3，∵四边形ABMO是圆内接四边形，∴∠BMO+∠A＝180°，又∠BMO＝120°，∴∠A＝60°，则∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，则则⊙C的半径为3，故答案为：3．20．解：连接BD，∵，∴AB＝AD，∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝∠ADB＝60°，∴∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠CDE＝30°，∴CD＝2CE，∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°，∵∠BED＝150°，∴∠AEB＝120°，在△ABE与△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（AAS），∴AE＝CD，∴AE＝2CE，∵AC＝，∴AE＝2，CE＝，∴CD＝AE＝2，∴DE＝＝，故答案为：．三．解答题21．（1）解：∵BD为直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，在Rt△BCD中，BD＝＝＝13（cm），∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，∴AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝BD＝cm；（2）证明：把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，如图，则∠CAE＝∠BAD＝90°，CA＝CE，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADE+∠ADC＝180°，∴E点在CD的延长线上，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，而CE＝CD+DE＝CD+CB，∴BC+CD＝AC．22．证明：如图2，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵＝，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．23．解：（1）∵∴∠DCF＝∠BAC＝25°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣∠B＝75°，又∵∠ADC＝∠DCE+∠E，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝50°；（2）∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，∵∠B＝2∠ADC，∴∠B＝120°，∠ADC＝60°，连接OA、OC，过点O作OM⊥AC于点M，∵，∴∠AOD＝2∠ADC＝120°，∵OA＝OC，OM⊥AC，∴，∠AOM＝60°，∴，∴．24．解：（1）∵∠DAB＝90°∴BD是直径，∴BD＝12，∴2AB2＝144，∴AB＝；（2）如图2，连接BD，∵∠DAB＝90°，AD＝5，AB＝3，∴BD＝，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∴＝，∴DC＝CB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∵∠DAB＝90°，∴∠DCB＝90°，∴BC＝，作BH⊥AC，∵∠CAB＝45°，∴AH＝BH＝，CH＝，∴AC＝．。
沪科版数学九年级下册-圆内接四边形习题
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【幸遇•书屋】
你来，或者不来
我都在这里，等你、盼你
等你婉转而至
盼你邂逅而遇
你想，或者不想
我都在这里，忆你、惜你
忆你来时莞尔
惜你别时依依
你忘，或者不忘
我都在这里，念你、羡你
念你袅娜身姿
羡你悠然书气
人生若只如初见
任你方便时来
随你心性而去
却为何，有人
为一眼而愁肠百转
为一见而不远千里
晨起凭栏眺
但见云卷云舒
风月乍起
春寒已淡忘
如今秋凉甚好
几度眼迷离
感谢喧嚣
把你高高卷起
砸向这一处静逸
惊翻了我的万卷
和其中的一字一句
幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了
被你默诵过，懂了
被你翻开又合起
被你动了奶酪和心思
不舍你的过往
和过往的你
记挂你的现今
和现今的你
遐想你的将来
和将来的你
难了难了
相思可以这一世
--------------------- 谢谢喜欢 --------------------。
九年级数学圆的内接四边形同步练习含答案.docx
第 2 章2.4第对称图形——圆3 课时圆的内接四边形知识点圆内接四边形的性质1．如图 2－ 4－ 30 所示，四边形ABCD为⊙ O的内接四边形．若∠BCD＝ 110°，则∠ BAD 的度数为A ． 140°()B． 110°C．90°D． 70°图2－ 4－30图 2－ 4－312．如图 2－ 4－ 31，四边形 ABCD 是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠ BAD＝ 105°，则∠ DCE 的大小是 ()A ． 115°B． 105°C．100° D ． 95°3．在圆内接四边形ABCD 中，若∠ A∶∠ B∶∠ C＝ 2∶3∶ 4，则∠ D 的度数是 ()A ． 60°B． 90°C． 120°D． 30°4．如图 2－ 4－ 32，四边形 ABCD 内接于⊙ O.若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ ADC 的大小为()A ． 45°B． 50°C． 60°D． 75°图2－ 4－32图2－ 4－33.如图 2－4－ 33，已知 AB 是⊙ O 的直径， C，D 是⊙ O 上两点，且∠ D＝ 130°，则∠BAC＝ ________° .6．如图 2－ 4－ 34，四边形 ABCD 内接于⊙ O.若∠ BOD ＝130°，则∠DCE＝ ________° .图2－ 4－347．如图 2－ 4－ 35，四边形 ABCD 为圆的内接四边形，DA， CB 的延长线交于点P，∠ P＝30°，∠ABC ＝ 100°，则∠ C＝ ________° .图2－ 4－35图2－ 4－368．如图 2－ 4－ 36，△ ABC 为⊙ O 的内接等边三角形，D为⊙ O上一点，则∠ADB＝ ________° .9．如图 2－ 4－ 37，已知 A， B，C， D 是⊙ O 上的四点，延长 DC ， AB 相交于点 E.若BC＝ BE.求证：△ ADE 是等腰三角形．图2－ 4－3710．已知：如图 2－4－ 38，四边形 ABCD 是圆的内接四边形，延长 AD ， BC 相交于点E，F 是 BD 延长线上的点，且 DE 平分∠ CDF .求证： AB＝AC.图2－ 4－3811． [2016 ·淮安清河区二模 ]如图2－4－39，在⊙ O∠ CAD ＝ 35°，∠ AED ＝ 115°，则∠ B 的度数是 ()A． 50°B．75°C． 80° D ．100°的内接五边形ABCDE中，图2－ 4－39图2－ 4－4012．如图 2－ 4－ 40，⊙ O 是钝角三角形∠ BCO ＝ x°，则 y 与 x 之间的函数表达式为．ABC 的外接圆，连接 OC.已知∠ BAC ＝y°，______________( 不必写出自变量的取值范围)13．教材练习第 3 题变式如图2－ 4－41，在⊙ O 中，点 A ， B ，C 在⊙ O 上，且∠ACB ＝ 110°，则∠α＝ ________．14.[ 2016 ·南京高淳区一模 ] 四边形 ABCD 为⊙ O 的内接四边形，已知∠ BOD ＝ 100°，则∠ BCD 的度数为 ________．图2－ 4－41图2－ 4－4215． [2016 ·南京溧水区一模 ]如图 2－ 4－ 42，在⊙ O 的内接四边形ABCD 中，︵AD上，则∠ E＝ ________°.AB ＝ AD ，∠ C＝ 110°.点 E 在16．如图 2－ 4－ 43， AD 为圆内接三角形ABC 的外角∠ EAC 的平分线，它与圆交于点D， F 为 BC 上的点．(1)求证： DB ＝ DC；(2)请你再补充一个条件使直线DF 一定经过圆心，并说明理由．图2－ 4－4317．如图 2－ 4－ 44，⊙ O 的内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E， F.(1)若∠ E＝∠ F，求证：∠ ADC ＝∠ ABC ；(2)若∠ E＝∠ F＝ 42°，求∠ A 的度数；(3)若∠ E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α，β的代数式表示∠ A 的大小．图2－ 4－44详解详析1． D [解析 ] ∵四边形 ABCD 为⊙ O 的内接四边形，∴∠BCD ＋∠ BAD ＝ 180° (圆内接四边形的对角互补 )．又∵∠BCD ＝ 110°，∴∠ BAD ＝ 70°.故选 D.2． B [ 解析 ] ∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠ BAD ＋∠ BCD ＝ 180°，而∠ BCD ＋∠ DCE ＝ 180°，∴∠ DCE＝∠ BAD.而∠ BAD ＝ 105°，∴∠ DCE＝ 105° .故选 B.3． B[ 解析 ] ∵∠ A∶∠ B∶∠ C＝ 2∶ 3∶4，∴设∠ A ＝ 2x，则∠ B＝ 3x，∠C＝ 4x.∵四边形ABCD 为圆内接四边形，∴∠ A＋∠ C＝ 180°，即2x＋ 4x＝ 180°，解得 x＝30°，∴∠ B＝ 3x＝ 90°，∴∠ D＝ 180°－∠ B＝ 180° －90°＝ 90° .故选 B. 4． C5． 40 [ 解析 ] ∵AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ACB ＝ 90° .∵∠ B＝ 180° －∠ D＝ 50°，∴∠ BAC ＝ 90° －∠ B ＝40° .6． 65[ 解析 ] ∵∠ BOD ＝ 130°，1∴∠ A＝ 2∠ BOD ＝ 65° .∵∠ A＋∠ BCD ＝ 180°，∠ DCE ＋∠ BCD ＝ 180°，∴∠ DCE＝∠ A ＝ 65° .7． 70[ 解析 ] ∵∠ ABC ＝ 100°，∠ P＝ 30°，∴∠ PAB ＝∠ ABC －∠ P＝ 70° .∵四边形ABCD 为圆的内接四边形，∴∠ C＋∠ BAD ＝ 180°.∵∠ BAD ＋∠ PAB ＝ 180°，∴∠ C＝∠ PAB ＝70° .8． 120.9．证明：∵ A， B，C， D 是⊙ O 上的四点，∴四边形ABCD 是⊙ O 的内接四边形，∴∠ A＋∠ DCB ＝ 180°.又∵∠ BCE＋∠ DCB ＝ 180°，∴∠ A＝∠ BCE.∵BC ＝ BE ，∴∠ BCE ＝∠ E，∴∠ A ＝∠ E，∴ AD ＝ DE ，即△ ADE 是等腰三角形．10．证明：∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠ ABC ＋∠ ADC ＝ 180° .∵∠ ADC ＋∠ CDE ＝ 180°，∴∠ ABC ＝∠ CDE.∵∠ FDE ＝∠ ADB ＝∠ ACB ，∠ CDE ＝∠ FDE，∴∠ ABC ＝∠ ACB ，∴AB ＝ AC.11． D [解析 ] ∵四边形ACDE 是圆内接四边形，∴∠ AED ＋∠ ACD ＝ 180° .∵∠ AED ＝ 115°，∴∠ ACD ＝ 65°.∵∠ CAD ＝ 35°，∴∠ ADC ＝ 80°.∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠ B＋∠ ADC ＝ 180°，∴∠ B＝ 100°，故选 D.12． y＝ x＋ 9013． 140°14． 130°或 50°15． 12516． (1) 证明：∵∠ DCB ＋∠ BAD ＝ 180°，∠ BAD ＋∠ DAE ＝ 180°，∴∠ DCB ＝∠ DAE.∵∠ DBC ＝∠ CAD ，∠ CAD ＝∠ DAE ，∴∠ DBC ＝∠ CAD ＝∠ DAE ＝∠ DCB ，∴DB ＝ DC.(2)答案不唯一，如：若 F 为 BC 的中点，则 DF 经过圆心．理由：∵△ DBC 是等腰三角形， F 是 BC 的中点，∴DF 是底边 BC 的垂直平分线．∵圆内接三角形的圆心是三边垂直平分线的交点，∴DF 必过圆心．17． (1) 证明：∵∠ E＝∠ F，∠ECD ＝∠ FCB ，∴∠ E＋∠ ECD ＝∠ F＋∠ FCB ，即∠ ADC ＝∠ ABC.(2)∵∠ A ＋∠ BCD ＝ 180°，∠ ECD ＋∠ BCD ＝180°，∴∠ A＝∠ ECD.∵∠ EDC＝∠ A ＋∠ F，∠EDC ＋∠ E＋∠ ECD ＝ 180°，∴2∠ A ＋∠ E＋∠ F＝180° .又∵∠ E＝∠ F＝ 42°，∴∠ A ＝ 48° .(3)由 (2)中的结论可知 2∠ A ＋∠ E＋∠ F＝ 180°，1∴ 2∠ A ＋α＋β＝ 180°，解得∠ A ＝ 90° －2( α＋β)．。
九年级数学下册第24章圆24.3圆周角第2课时圆内接四边形同步练习(含解析)沪科版(最新整理)
24.3第2课时圆内接四边形一、选择题1.如图K－8－1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠C的度数是( )图K－8－1A．100°B．110°C．120°D．130°2.如图K－8－2，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE 的度数是( )图K－8－2A．115°B．105°C．100°D．95°3.在圆内接四边形ABCD 中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶6，则∠D 的度数为( )A．67.5°B．135°C．112.5°D．45°4．2018·邵阳如图K－8－3 所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD 的度数是( )图K－8－3A．80°B．120°C．100°D．90°5.如图K－8－4，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，若∠BAC＝20°，则∠ADC 的度数为( )图K－8－4A．110°B．100°C．120°D．90°︵6.如图K－8－5，正方形ABCD 内接于⊙O，点E 在AD上，则∠AED 的度数为( )3 2A．100°B．120°C．135°D．150°7．2017·黄石如图 K－8－6，已知⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，点O 为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O 的半径为( )图 K－8－66A. B.2 23C. D.2 38．2018·黄ft月考如图 K－8－7，以△ABC 的一边AB 为直径的圆交AC 边于点D，交BC边于点E，连接DE，BD 与AE 相交于点F，则sin∠CAE 的值为( )图 K－8－7DF CDA. B.AD ACEF DEC. D.AF AB二、填空题9.四边形ABCD 是某个圆的内接四边形，若∠A＝100°，则∠C＝°.10.如图K－8－8，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB 与CD 的位置关系是.链接听课例2归纳总结图 K－8－811.如图 K－8－9，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝°.2 312．2018·扬州如图 K－8－10，已知⊙O 的半径为 2，△ABC 内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝．图 K－8－10三、解答题13．如图K－8－11 所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.︵︵求证：(1)AD＝CD；(2)AB 是⊙O 的直径．图 K－8－11︵14．2017·宿州月考如图 K－8－12，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点E 在AD上，连接BE 交AD 于点Q，若∠AQE＝∠EDC，∠CQD＝∠E.求证：AQ＝BC.图 K－8－1215．如图 K－8－13 所示，AB 为⊙O 的直径，弦DA，BC 的延长线相交于点P，且BC＝PC.︵︵求证：(1)AB＝AP；(2)BC＝CD.图 K－8－13规律探究2017·望江县月考正方形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，E 是⊙O 上的一点．︵(1)如图K－8－14①，若点E 在AB上，F 是DE 上的一点，DF＝BE.求证：△ADF≌△ABE；2AE，(2)在(1)的条件下，小明还发现线段DE，BE，AE 之间满足等量关系：DE－BE＝请你说明理由；︵(3)如图 K－8－14②，若点E 在AD上，写出线段DE，BE，AE 之间的等量关系，请你说明理由.链接听课例2归纳总结图 K－8－14详解详析[课堂达标]1．[解析] D ∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠C＋∠A＝180°，∴∠C＝180°－50°＝130°.故选 D.2．[解析] B 因为四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，所以∠DCE是圆内接四边形ABCD 的外角，所以∠DCE＝∠BAD＝105°.3．[解析] C ∵四边形ABCD 是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.∵∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶6，∴设∠A＝2a，∠B＝3a，∠C＝6a，则2a＋6a＝180°，∴a ＝22.5°，∴∠B＝3a＝67.5°，∴∠D＝180°－∠B＝112.5°.故选 C.4．[解析] B ∵四边形ABCD 为⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°－∠BCD＝60°.由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°.故选B.5．[解析] A ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠BAC＝20°，∴∠B＝90°－∠BAC＝70°.∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∴∠ADC＝180°－∠B＝110°.6．[解析] C 连接AC，则四边形ACDE 是⊙O的内接四边形，∴∠AED＝180°－∠ACD＝135°.7．[解析] D 连接BD，OB，OD，过点O 作OE⊥BD于点E.∵⊙O 为四边形 ABCD 的外接圆，∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°，∴∠BOD＝120°.∵AB＝AD＝2，∴△ABD 是等边三角形，∴BD＝2，1 1∴DE＝ BD＝1，∠DOE＝∠BOD＝60°，2 2DE 2 3∴OD＝＝.故选 D.sin60° 38．[解析] D ∵四边形ABED 是⊙O 的内接四边形，∴∠CDE＝∠CBA，∠CED＝∠CAB，∴△CE CD DECDE∽△CBA.又∵AB是直径，∴△ACE是直角三角形，∴sin∠CAE＝＝＝.AC CB AB 9．[答案] 8010．[答案] 平行11．[答案] 40[解析] ∵∠A＝55°，∠E＝30°，∴∠EBF＝∠A＋∠E＝85°.∵∠A＋∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°－55°＝125°.∵∠BCD＝∠F＋∠CBF，∴∠F＝125°－85°＝40°.故答案为 40.{ )12．[答案] 2 ︵[解析]在优弧AmB 上任取一点D ，连接AD ，BD ，OB ，OA ，∵∠ACB＝135°，则∠ADB ＝45°，∠AOB＝90°，∴△OAB 为等腰直角三角形．∵OA＝OB ＝2，∴AB＝2 2.13. 证明：(1)∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠ADC＝180°－∠B＝130°. ∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠ACD＝25°，︵ ︵∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD ，∴AD＝CD.(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝40°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°，∴AB 是⊙O 的直径．︵14.证明：∵∠A，∠E 是BD 所对的圆周角，∴∠A＝∠E.∵∠CQD＝∠E，∴∠CQD＝∠A， ∴AB∥CQ.∵四边形 BCDE 是⊙O 的内接四边形， ∴∠EBC＋∠EDC＝180°.又∠AQB＋∠AQE＝180°，∠AQE＝∠EDC， ∴∠AQB＝∠EBC，∴BC∥AQ， ∴四边形 ABCQ 是平行四边形， ∴AQ＝BC.15. 证明：(1)连接 AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. 又∵BC＝PC ，∴AB＝AP.(2)连接 CD ，BD ，∵四边形 ACBD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠PAC＝∠CBD.∵AB＝AP ，AC⊥PB，∴∠PAC＝∠BAC. ∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC＝∠CBD，︵ ︵∴BC＝CD ，∴BC＝CD.[素养提升]︵解：(1)证明：∵AE所对的圆周角是∠ADE 和∠ABE，∴∠ADE＝∠ABE.AD ＝AB ，在△ADF 和△ABE 中， ∠ADF＝∠ABE，DF ＝BE ， ∴△ADF≌△ABE(SAS)．2(2)由(1)得△ADF≌△ABE，∴AF＝AE，∠FAD＝∠EAB，∴∠EAF＝∠BAD＝90°，∴△EAF 是等腰直角三角形，∴EF2＝AE2＋AF2＝2AE2，∴EF＝2AE，即 DE－DF＝2AE，∴DE－BE＝2AE.(3)BE－DE＝2AE.理由如下：在 BE 上取点 F，使 BF＝DE，连接 AF.同理可证明△ADE≌△ABF，△EAF 是等腰直角三角形，∴AF＝AE，∠DAE＝∠BAF，EF2＝AE2＋AF2＝2AE2，∴EF＝2AE，即 BE－BF＝2AE，∴BE－DE＝2AE.“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
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圆内接四边形练习题一
1、如图，AD 为ABC ∆外接圆的直径，AD BC ⊥，垂足为点F ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD . (1) 求证：BD CD =；
(2) 请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由.
2、如图（d ）， 以B 点为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，
∠DCA =∠CBA =60°，连结BD ，过C 点作CE ∥DB ，求证：四边形CDBE 为平行四边形；（2分）
A
B
C
E
F
D
(第1题)
3、（本小题10分）
已知⊙O 的直径为10，点A 、点B 、点C 是在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D . （Ⅰ）如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC 、BD 、CD 的长； （Ⅱ）如图②，若∠CAB ＝60°，求BD 的长.
4、(10) 如图,正△ABC
内接于⊙O,P 是劣弧BC 上任意一点，PA 与BC
交于点E ，：
求证 PA PB PC =+;
图①
图②
D
C
A
B
D
A
B
O O
C
5、已知在O
e
中，弦AB AC ⊥，且6AB AC ==，点D 在O
e
上，连接AD 、
BD 、CD ， （1） 如图①， 若AD 经过圆心，求BD 、CD 的长； （2）如图② 若2BAD DAC ∠=∠，求BD 、CD 的长
6、 如图，在R t △ABC 中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD 是△ABC 的角平分线。
过A 、D 、C 三点的圆与斜边AB 交于点E ，连接DE 。
（1）求证：AC=AE
（2）求△ACD 的外接圆的半径。
A
B
C D
E
7、已知O
e
中，弦AB=AC ，点P 是BAC ∠所对弧上一动点，连接PB 、PA. ( 1 ) 如图
①，把ABP ∆绕点A 逆时针旋转到ACQ ∆，求证 点P 、C 、Q 三点在同一直线上。
（ 2 ）如图②，若0
60BAC ∠=，探究 PA 、PB 、PC 之间的关系，并注明你的结论。
（ 3 ）若0
120BAC ∠=时，（2）中的结论是否成立，若是，请证明，若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明。
8、如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(23,0),(0,2)，P 是AOB ∆外接圆上的一点，且0
45AOP ∠=， （ 1 ） 求点P 的坐标 （ 2 ）连接BP 、AP ，在PB 上任取一点E ，连接AE ，将线段AE 绕A 点顺时针旋转0
90到AF ，连接BF ，交AP 于点G ，当点E 在线段BP 上运动时，（不与B 、P 重合），求BE
PG
的值。
9、如图，ABC ∆是O
e
的内接三角形，D 为弧AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD =，
（ 1 ） 求证 ： AE BD =
（ 2 ） 若AC BC ⊥，求证 2AD BD CD +=
【答案】
1、（1）证明：∵AD 为直径，AD BC ⊥，
∴»»BD CD =.∴BD CD =. ········································································· 3分
（2）答：B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上. ························ 4分
理由：由（1）知：»»BD
CD =，∴BAD CBD ∠=∠. ∵DBE CBD CBE ∠=∠+∠，DEB BAD ABE ∠=∠+∠，CBE ABE ∠=∠， ∴DBE DEB ∠=∠.∴DB DE =. ································································· 6分 由（1）知：BD CD =.∴DB DE DC ==.
∴B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上. …………………7分
6
、
7、7、
PE AK PB PA BE PK ∴==∴=Q
由222BE
BPG FKG PG KG PK PG BE PG PG
∆≅∆∴=∴=∴=∴=。