工程优化方法1

其中
和 待定参数,为确定这些参数,
对x，y测得m个实验点:
试将确定参数的问题表示成最优化问题.
解:很显然对参数
和 任意给定的一组数值,就由上式确定了 y关于x的一个
函数关系式,在几何上它对应一条曲线,这条曲线不一定通过那m个测量点，而要产生“偏
差”.
将测量点沿垂线方向到曲线的距离的
平方和作为这种“偏差”的度量.即
第一章 基础知识
❖ 背景知识 ❖ 最优化问题举例 ❖ 优化问题的数学模型及其分类 ❖ 最优解与极值点
§1 背景知识
最优化技术是一门较新的学科分支。它是在本世纪五十年代初在电子计算机 广泛应用的推动下才得到迅速发展，并成为一门直到目前仍然十分活跃的新兴学科。 最优化所研究的问题是在一定的限制条件下，在众多的可行方案中怎样选择最合理 的一种方案以达到最优目标。
§2 最优化问题举例
最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经济管理等科学技术各 领域中有广泛应用。下面举几个专业性不强的实例。
例1.把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体，问圆柱体取什么尺寸 才能使它的表面积最小？
解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半径r、高h。 问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即
比如：结构最优设计、电子器件最优设计、光学仪器最优设计、化工工程最优设 计、运输方案、机器最优配备、油田开发、水库调度、饲料最优配方、食品结构优化 等等。
最优化技术工作被分成两个方面，一是由实际产生或科技问题形成最优化的数学 模型，二是对所形成的数学问题进行数学加工和求解。对于第二方面的工作，目前已 有一些较系统成熟的资料，但对于第一方面工作即如何由实际问题抽象出数学模型， 目前很少有系统的资料，而这一工作在应用最优化技术解决实际问题时是十分关键的 基础，没有这一工作，最优化技术将成为无水之源，难以健康发展。
因此，在学习本科程时要尽可能了解如何由实际问 题形成最优化的数学模型。 为了便于大家今后在处理实 际问题时建立最优化数学模型，下面我们先把有关数学 模型的一些事项作一些说明。
数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述所研究的系统，但要 注意到过于简单的数学模型所得到的结果可能不符合实际情况，而过于详细复 杂的模型又给分析计算带来困难。因此，具体建立怎样的数学模型需要丰富的 经验和熟练的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后，通常也必须对模型进 行必要的数学简化以便于分析、计算。
配料
石灰石 谷物 大豆粉
每磅配料中的营养含量
钙
蛋白质
纤维
0.380
0.00
0.00
0.001
0.09
0.02
0.002
0.50
0.08
每磅成本（元）
0.0164 0.0463 0.1250
解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:
设
是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。
一般的模型简化工作包括以下几类： （1）将离散变量转化为连续变量。 （2）将非线性函数线性化。 （3）删除一些非主要约束条件。
建立最优化问题数学模型的三要素：
（1）决策变量和参数。
决策变量是由数学模型的解确定的未知数。参数表示系统的控制变量，有 确定性的也有随机性的。
（2）约束或限制条件。
由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把决策变量限制在它们 可行值之内，即约束条件，而这通常是用约束的数学函数形式来表示的。
（3）目标函数。
这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的效率，即系统追求的 目标。
优化建模（modeling）：识别出给定问题的目标、 变量和约束的过程。
❖ 建立恰当模型：第一步、最重要的一步（太简单—不 能给实际问题提供有用的信息；太复杂—不易求解）
❖ 选择特定算法：很重要—决定求解速度及质量（无通 用优化算法，有求解特定类型优化问题的算法）
i0 j0
nn
min
cij xij
i0 j0
n
xij 1;i 1, 2,..., n
j0
n
s.t. xij 1; j 1, 2,..., n
i0
xij
1或0,i
1, 2,..., n,
j
1, 2,..., n
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例4.（混合饲料配合）以最低成本确定满足动物所需营养的最优混合饲料。设每 天需要混合饲料的批量为100磅，这份饲料必须含：至少达到0.8%而不超过1.2% 的钙;至少22%的蛋白质;至多5%的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、大 豆粉。这些配料的主要营养成分为：
显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好，从而我们的问题就转化为5 维无约束最优化问题。即：
例3：旅游售货员问题
旅游线路安排 预定景点走且只走一次 路上时间最短
配送线路—货郎担问题 送货地到达一次 总路程最短
v v v c v , v ,..., v ？ 有一旅行团从 出发要遍游城市 0
，已知从 到 的
12
n
旅费为 ，i 问应如j何安排行程使总ij费用最小
模型：
变量—是否从i第个城市到第j个城市
约x束ij—每1个,城0市; 只能到达一次、离开一次
n
n
xij 1;i 1, 2,...n xij 1; j 1, 2,...n
j0
i0
目标—总费用最小
nn
cij xij
即
,即
问题追求的目标是圆柱体表面积最小。即 min
则得原问题的数学模型：
s.t. Subject to.(以…为条件) 利用在高等数学中所学的Lagrange乘子法可求解本问题
分别对r, h,λ求偏导数,并令其等于零. 有:
此时圆柱体的表面积为 例2. 多参数曲线拟合问题 已知两个物理量x和y之间的依赖关系为:
例5.(运输问题)已知有m个生产地点Ai, i=1,2,…，m。可供 应某种物资，其供应量(产量)分别为ai，i=1，2，…，m， 有n个销地Bj，j=1,2,…,n，其需要量分别为bj，j=1,2,…,n， 从Ai到Bj运输单位物资的运价(单价)为cij，且
将达到最优目标的方案称为最优方案或最优决策，搜寻最优方案的方法称为最 优化方法，关于最优化方法的数学理论称为最优化理论。
最优化问题至少有两要素：一是可能的方案；二是要追求的目标。后者是前者 的函数。如果第一要素与时间无关就称为静态最优化问题，否则称为动态最优化问 题。
本科程专门讲授静态最优化问题。
最优化技术应用范围十分广泛，在我们日常生活中，在工农业生产、社会经济、 国防、航空航天工业中处处可见其用途。