同济大学材料力学 7 梁变形共28页文档
合集下载
新编文档-材料力学第7章弯曲变形-精品文档
材料力学
出版社 理工分社
第7章 弯曲变形
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
7.1概述 梁在载荷作用下，产生应力的同时也会发生变形。在许多工程问题中，梁不 仅要满足强度条件，同时还必须满足刚度条件，即梁的变形必须控制在工程 规定的许可范围之内，否则会影响正常工作。 例如，图7.1所示的齿轮轴，若弯曲变形过大，将影响齿轮的啮合和轴承的 配合，造成磨损不匀，产生噪声，降低寿命，还会影响加工精度。再比如， 桥式起重机大梁在起吊重物时，若变形过大，将使梁上小车行走困难，出现 爬坡现象，还会引起较严重的振动；管道变形过大，将影响管道内物料的正 常输送，出现积液、沉淀和法兰连接不密等现象；楼板梁变形过大，将使下 面的抹灰层开裂、脱落。因此，若变形超过允许范围，即使仍然是弹性的， 也被认为是一种失效。
挠度与转角是度量弯曲变形的两个基本量，二者都是梁截面位置x的函数。 在如图7.4所示的坐标系中，向上的挠度和逆时针的转角为正。
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
纯弯曲情况下，弯矩与曲率间的关系为公式(7.1)，即
横力弯曲时，梁截面上既有弯矩也有剪力。虽然式(a)只揭示了弯矩对弯曲 变形的影响，但对于跨度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 忽略，所以式(a)也可作为横力弯曲变形的基本方程，此时1/ρ 为x的函数， 即
(6)求指定截面挠度和转角 自由端处，x=l，代入以上两式即得自由端B处的转角与挠度，分别为
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
例7.2简支梁在左端支座处承受集中力偶作用，如图7.9所示。求梁的转角方
程和挠度方程，并确定
和
图7.9
页 退出
材料力学
解(1)计算简支梁的支反力，写出弯矩方程为 (2)建立挠曲线近似微分方程并积分 利用式(7.5)建立挠曲线近似微分方程，积分两次后得
出版社 理工分社
第7章 弯曲变形
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
7.1概述 梁在载荷作用下，产生应力的同时也会发生变形。在许多工程问题中，梁不 仅要满足强度条件，同时还必须满足刚度条件，即梁的变形必须控制在工程 规定的许可范围之内，否则会影响正常工作。 例如，图7.1所示的齿轮轴，若弯曲变形过大，将影响齿轮的啮合和轴承的 配合，造成磨损不匀，产生噪声，降低寿命，还会影响加工精度。再比如， 桥式起重机大梁在起吊重物时，若变形过大，将使梁上小车行走困难，出现 爬坡现象，还会引起较严重的振动；管道变形过大，将影响管道内物料的正 常输送，出现积液、沉淀和法兰连接不密等现象；楼板梁变形过大，将使下 面的抹灰层开裂、脱落。因此，若变形超过允许范围，即使仍然是弹性的， 也被认为是一种失效。
挠度与转角是度量弯曲变形的两个基本量，二者都是梁截面位置x的函数。 在如图7.4所示的坐标系中，向上的挠度和逆时针的转角为正。
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
纯弯曲情况下，弯矩与曲率间的关系为公式(7.1)，即
横力弯曲时，梁截面上既有弯矩也有剪力。虽然式(a)只揭示了弯矩对弯曲 变形的影响，但对于跨度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 忽略，所以式(a)也可作为横力弯曲变形的基本方程，此时1/ρ 为x的函数， 即
(6)求指定截面挠度和转角 自由端处，x=l，代入以上两式即得自由端B处的转角与挠度，分别为
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
例7.2简支梁在左端支座处承受集中力偶作用，如图7.9所示。求梁的转角方
程和挠度方程，并确定
和
图7.9
页 退出
材料力学
解(1)计算简支梁的支反力，写出弯矩方程为 (2)建立挠曲线近似微分方程并积分 利用式(7.5)建立挠曲线近似微分方程，积分两次后得
材料力学 第7章 弯曲变形
M
Fx 挠曲轴近似微分方程： w ' ' EI 3 2 Fx Fx w Cx D w' ( x) C 6 EI 2EI
梁的弯矩方程： M ( x ) Fx
2、确定积分常数
FAy
A x
F L
B
X=0, w=0 X=L, w=0
M
Me L C＝－ ，D＝0 6 EI
3、挠度方程、转角方程及B截面的转角
FAy
x
F L
B
M
3、挠度方程、转角方程及B截面的转角
Fx w' (x) 2EI 3 Fx w 6 EI
2
将 x=L 代入转角方程：
FL2 B 2 EI
例2：简支梁AB，弯曲刚 度 EI为常数，受力偶 M=FL作用，求w(x)，
FAy
A x
F L
B
θ(x)；
解：1、 建立挠曲轴微分方程并积分 A端约束反力 FAy=F
FA A a l
x
F D b
FB
B x
Fb 解：坐标系如图，求出反力。 FA l 分AD、DB两段分析：
y
Fa FB l
b AD段： 0 x a M x F x l b M x F x 则： EIw1 l
积分可得：
b M x F x EIw1 l
= 0
自由端：无位移边界条件。 位移连续与光滑条件 挠曲轴在B点连续且光滑 连续：wB左= wB右 光滑：左 = 右
F A B D
写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件。 例：
F A B C E D
思考： 1、 该梁可分几段积分？ 2、 各边界和内部分界点有多少位移边界与连续条件？ 分4段。 位移边界条件：A端：2个； C端：1个；D端：无。 位移连续条件：E：2个；B：1个；C：2个
工程力学(材料力学)8 弯曲变形与静不定梁
B
ql4 RBl3 0
8EI 3EI
q 约束反力为
B
RB
3 8
ql
RB
用变形比较法求解静不定梁的一般步骤：
（1）选择基本静定系，确定多余约束及反力。 （2）比较基本静定系与静不定梁在多余处的变形、确定 变形协调条件。 （3）计算各自的变形，利用叠加法列出补充方程。 （4）由平衡方程和补充方程求出多余反力，其后内力、 强度、刚度的计算与静定梁完全相同。
教学重点
• 梁弯曲变形的基本概念； • 挠曲线的近似微分方程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 梁的刚度条件。
教学难点
• 挠曲线近似微分方程的推导过程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 变形比较法求解静不定梁。
第一节 弯曲变形的基本概念
齿轮传动轴的弯曲变形
轧钢机（或压延机）的弯曲变形
例13-4 用叠加法求图示梁的 yC、A、B ，EI=常量。
M
P
解 运用叠加法
A
C
l/2
l/2
A
=
q
5ql4 Pl3 ml2
B
yC
384EI
48EI
16EI
A
ql3 24EI
Pl 2
16EI
ml 3EI
B
B
ql3 24EI
Pl2 16EI
ml 3EI
M
+
q
A
+
BA
B
二、梁的刚度条件
y max y,
A
max
A ql3
B
24EI
RA
q
A
θB
l
B θB RB
在梁跨中点 l /2 处有 最大挠度值
梁的变形
5ql 故有 yC = − (↓) 384 EI
4
ql θA = − (顺时针转动) 24
第八章 梁的变形
1 1 1 3 2 θ= ( qlx − qx ) + C EI 4 6 1 1 1 4 3 y= ( qlx − qx ) + Cx + D EI 12 24 边界条件： 边界条件： x = 0 时，y0 = 0 ； x = l 时，yl = 0 3 3 1 1 2 1 3 ql ql θ = ( qlx − qx − ) C=− EI 4 6 24 24EI 3 1 1 1 4 ql 3 D=0 y = ( qlx − qx − x) EI 12 24 24
第八章 梁的变形第二节 梁变形的基本方程来自一、挠曲轴线近似微分方程
M ( x) 1 = 梁任一截面的曲率 ρ ( x) EI y′′ 1 =± 曲线 y = f (x) 的曲率 ρ ( x) ′2 )3 / 2 (1 + y 二阶小量 y ′′ M ( x) =± 2 3/ 2 EI (1 + y ′ )
dy θ ≈ tan θ = y′ = dx
第八章 梁的变形
dy θ ≈ tan θ = y′ = dx
由此可知， 由此可知，只要知道梁的挠曲轴线方程 y = f (x) ， 就可求出挠度和转角。 就可求出挠度和转角。 挠度和转角的正负号的 挠度和转角的正负号的规定 挠度： 轴正方向同向为 挠度：与y轴正方向同向为正，反之为负； 轴正方向同向为正 反之为 转角： 逆时针方向转动为正 反之为 转角：以逆时针方向转动为正，反之为负。 方向转动为
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y′′ = ± EI
第八章 梁的变形 挠曲轴线 近似微分方程
4
ql θA = − (顺时针转动) 24
第八章 梁的变形
1 1 1 3 2 θ= ( qlx − qx ) + C EI 4 6 1 1 1 4 3 y= ( qlx − qx ) + Cx + D EI 12 24 边界条件： 边界条件： x = 0 时，y0 = 0 ； x = l 时，yl = 0 3 3 1 1 2 1 3 ql ql θ = ( qlx − qx − ) C=− EI 4 6 24 24EI 3 1 1 1 4 ql 3 D=0 y = ( qlx − qx − x) EI 12 24 24
第八章 梁的变形第二节 梁变形的基本方程来自一、挠曲轴线近似微分方程
M ( x) 1 = 梁任一截面的曲率 ρ ( x) EI y′′ 1 =± 曲线 y = f (x) 的曲率 ρ ( x) ′2 )3 / 2 (1 + y 二阶小量 y ′′ M ( x) =± 2 3/ 2 EI (1 + y ′ )
dy θ ≈ tan θ = y′ = dx
第八章 梁的变形
dy θ ≈ tan θ = y′ = dx
由此可知， 由此可知，只要知道梁的挠曲轴线方程 y = f (x) ， 就可求出挠度和转角。 就可求出挠度和转角。 挠度和转角的正负号的 挠度和转角的正负号的规定 挠度： 轴正方向同向为 挠度：与y轴正方向同向为正，反之为负； 轴正方向同向为正 反之为 转角： 逆时针方向转动为正 反之为 转角：以逆时针方向转动为正，反之为负。 方向转动为
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y′′ = ± EI
第八章 梁的变形 挠曲轴线 近似微分方程
同济大学材料力学第七章 弯曲应力PPT课件
截面上的最大拉应力和最大压应力。
y
F
150
A
L 2
B
L 2
Mmax
FL 4
16kNm
ym a x205 0 09.4 615.63mm
ym ax96.4mm
50
96.4
z
200
C
50
max
Mym ax IZ
24.09MPa
max
Mym ax IZ
15.12MPa
15
例题
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁 上承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗 弯强度［σ］=215MPa。
q30kNm
A
B
WZ
M max
61.2cm3
0.5m
FA46.9kN
31.9
2m FB28.1kN
查表 N0 12.6工字钢
WZ=77.5cm3
15
kN
28.1
13.16
kNm
16
3.75
例题
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴
的惯性矩Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ＋］ =50MPa，抗压强度［σ－］=125MPa。试按正应力强
材料力学
讲授:顾志荣
1
标题添加
点击此处输入相 关文本内容
标题添加
点击此处输入相 关文本内容
总体概述
点击此处输入 相关文本内容
点击此处输入 相关文本内容
2
材料力学
第七章 弯曲应力
同济大学航空航天与力学学院 顾志荣
3
第七章 弯曲应力
一 基本概念与假设 二 梁的正应力强度计算 三 梁的剪应力强度计算 四 梁的合理设计
材料力学 积分法求梁的变形
一、挠曲线近似微分方程
M ( x ) = r EI Z 1
1 = ± r d 2 w dx 2 d w é 2 ù 1 + ( ) ê ú dx ë û
3
±
d 2 w dx 2 d w 2 ù é 1 + ( ) ú ê dx û ë
3
M ( x ) = EI Z
边界条件、连续条件应用举例
弯矩图分三段，共6 个积分常数需6个边界条 件和连续条件 A B
P C D
w
铰连接
ω A点： A = 0, q A = 0
B 点 ： w B 左 = w B 右
C点 ： w C左 = w C右
D点：w D = 0
q C 左 = q C 右
边界条件、连续条件应用举例
y
边界条件
3 qL C1 = 6 EI z
EI zw =
1 (L - x )4 + C q 1 x + C 2 24
x = 0 x = 0 x = L
q = 0 w = 0
qL3 q B = 6 EI z
q =-
3 qL C2 =24 EI z
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EI z
L
共有四个积分常数
C
x
边界条件
x = a x = a + L
连续条件
w B = 0 wC = 0
y
x = a
w B1 = w B 2 q B1 = q B 2
例题 5.4 &
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
M ( x ) = r EI Z 1
1 = ± r d 2 w dx 2 d w é 2 ù 1 + ( ) ê ú dx ë û
3
±
d 2 w dx 2 d w 2 ù é 1 + ( ) ú ê dx û ë
3
M ( x ) = EI Z
边界条件、连续条件应用举例
弯矩图分三段，共6 个积分常数需6个边界条 件和连续条件 A B
P C D
w
铰连接
ω A点： A = 0, q A = 0
B 点 ： w B 左 = w B 右
C点 ： w C左 = w C右
D点：w D = 0
q C 左 = q C 右
边界条件、连续条件应用举例
y
边界条件
3 qL C1 = 6 EI z
EI zw =
1 (L - x )4 + C q 1 x + C 2 24
x = 0 x = 0 x = L
q = 0 w = 0
qL3 q B = 6 EI z
q =-
3 qL C2 =24 EI z
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EI z
L
共有四个积分常数
C
x
边界条件
x = a x = a + L
连续条件
w B = 0 wC = 0
y
x = a
w B1 = w B 2 q B1 = q B 2
例题 5.4 &
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
材料力学07(第七章 弯曲变形)
A a EI F=qa D a B a
3 3 3
B B×a Cq w
Cq
C
例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的中间铰梁铰 接点B处的挠度和B点右截面的转角以及D截面的挠度， 其中：F=2qa。
q F A a/2 a D EI B EI a C
解：可在铰接点处将梁分成图 a 和 b 所示两部分，并 可求得铰接点处的一对作用力与反作用力为：
qa4 qa4 qa4 6 EI 8EI 24EI
3
（向下）
2 3 qa 2a qa B B1 B 2
16EI
qa （顺时针） 3EI 12EI
（2）对图b，C截面的挠度和转角分别为：
qa4 wCq 8 EI
Cq
qa3 6 EI
F qa FB FB 2
A
F wB /2 wDF
直线
(a)
wB F/ 2 q F/ 2 wB B C
(b)
图a和b中分别给出了两部分的变形情况。 并且图b又可分解为图c所示两种载荷的组合。
q F/ 2
B
+
(c)
B
C
（1）对图b，可得其B截面的挠度和转角为：
qa wBFB 3EI 3 qa BFB 2 EI
原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即： 所以：
wC wCq B a
C B Cq
qa4 1 qa3 5qa4 wC a （向下） 8EI 12 EI 24EI qa qa qa C （顺时针） 6 EI 12EI 4 EI
C1 2l B1
wC1
wB1
Fl 3 wC1 3EI
3 3 3
B B×a Cq w
Cq
C
例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的中间铰梁铰 接点B处的挠度和B点右截面的转角以及D截面的挠度， 其中：F=2qa。
q F A a/2 a D EI B EI a C
解：可在铰接点处将梁分成图 a 和 b 所示两部分，并 可求得铰接点处的一对作用力与反作用力为：
qa4 qa4 qa4 6 EI 8EI 24EI
3
（向下）
2 3 qa 2a qa B B1 B 2
16EI
qa （顺时针） 3EI 12EI
（2）对图b，C截面的挠度和转角分别为：
qa4 wCq 8 EI
Cq
qa3 6 EI
F qa FB FB 2
A
F wB /2 wDF
直线
(a)
wB F/ 2 q F/ 2 wB B C
(b)
图a和b中分别给出了两部分的变形情况。 并且图b又可分解为图c所示两种载荷的组合。
q F/ 2
B
+
(c)
B
C
（1）对图b，可得其B截面的挠度和转角为：
qa wBFB 3EI 3 qa BFB 2 EI
原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即： 所以：
wC wCq B a
C B Cq
qa4 1 qa3 5qa4 wC a （向下） 8EI 12 EI 24EI qa qa qa C （顺时针） 6 EI 12EI 4 EI
C1 2l B1
wC1
wB1
Fl 3 wC1 3EI
材料力学 梁的变形
EIy ( x )
( M ( x)dx)dx C x C
1
2
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。
PF A
C
B
D
P
边界条件： y A 0 连续条件：y C 左 =
第七章 弯曲变形 y
C右
yB 0
yD 0 D 0
C左 C右
（1）固定支座处：挠度等于零、转角等于零。
第七章 弯曲变形
4
3
A
练习题
第七章 弯曲变形
§7 —5 梁的刚度校核
一、梁的刚度条件
ymax y ymax ymax L L
max
其中[]称为许用转角；[δ /L]称为许用挠跨比。
二、刚度计算 、校核刚度： 、设计截面尺寸； 、确定外载荷。
一、前提条件：弹性、小变形。
二、叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于
各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。
B ( F1 , F2 , , Fn ) B1 ( F1 ) B 2 ( F2 ) Bn ( Fn )
第七章 弯曲变形
1 1 2 C1 FL ; C2 FL3 2 6
d)
确定挠曲线、转角方程
F 2 y x 2 Lx 2 EI
e) 自由端的挠度及转角
y
FL3 y ( L) 3EI
第七章 弯曲变形
FL2 ( L) 2 EI
x
F y ( x) 3Lx 2 x 3 6 EI
y Ba qa4 ; 8 EI
材料力学教程7弯曲变形
积分一次：
EIZ x EIZ f x M x dx C1
再次积分：
EIZ yx M x dx dx C1x C2
积分常数：需要利用边界条件和连续光滑条件来确定。
边界条件和连续光滑条件：梁上某些横截面处 位移为已知的条件。
第三节 用积分法求弯曲变形
例题1：求该悬臂梁的最大挠度和转角
y
d 2wy 0,M 0
dx 2
d 2 wy M dx 2 EI
d 2wy 0,M 0
dx 2
y
d 2 wy M dx 2 EI
d2y d2x
f (x)
M (x) EIZ
挠曲线近似微分方程
M x：梁的弯曲方程
d 2 y f (x) M (x) 挠曲线近似微分方程
d2x
EIZ
* 荷载叠加：将作用在梁上的荷载分解成单个
A 0 0
D1
D2
0 Pl
2
C1 C2 16
1
1 EIZ
( Pl2 16
Px2 4
)
2
1 EIZ
[
P 2
(x
l )2 2
1 4
Px2
Pl 2 16
]
1 Pl2x Px3
y1 EIZ ( 16
) 12
y2
1 EIZ
[
P 6
(x
l )3 2
1 12
Px3
Pl 2 x ] 16
x 0，x l，max
、ymax
Pl3 3EIZ
例题2：求该简支梁的最大挠度和转角
A
x
Amax
q
解：
建立坐标、 写弯矩方程
B
L
ym a x
材料力学第7章
积分一次： Fb 2 EIw1 x C1 2l 积分二次： Fb 3 EIw1 x C1 x D1 6l
11
CB段（a x l）: 弯矩方程：
Fb M 2 x x F x a l
挠曲线近似微分方程：
Fb EIw2 x F x a l Fb 2 F 2 x x a C2 积分一次： EIw2 2l 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 x 0
Fab l b , B 2 6lEI
Fab l a B = 6lEI
Fl 3 Fl 3 Fl 3 2 EI 6 EI 3EI
7
wmax w x l
例题7.2：图示弯曲刚度为EI的简支梁，受集度为q的均布 荷载作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最 大挠度和最大转角。 解：由平衡方程得支座反力 ql FA FB 2 建立坐标系，得梁的弯矩方程为 1 1 2 M x qlx qx 2 2 梁挠曲线近似微分方程
1 3 C ql ， D 0 24
9
梁的转角方程
q w (4 x3 6lx 2 l 3 ) 24 EI
梁的挠曲线方程
(5)
qx w ( x3 2lx 2 l 3 ) 24 EI
最大转角
(6)
max
ql 3 A B 24 EI
2
最大挠度
M ( x) F l x
1
挠曲线近似微分方程
EIw M x F l x 2 两次积分，得 1 2 EIw Flx Fx C 2 1 1 3 2 EIw Flx Fx Cx D 2 6
材料力学第七章 梁的变形
EIy1=－Fx13/9＋ 5Fa2x1/9 EIy2=－Fx23/9＋F(x2－a )3/6＋ 5Fa2x2/9
（0≤x1 ≤a）
（ a ≤x2 ≤3a ）
7. 求ymax , θmax
x 0,
max
A
5Fa2 9EI
（）
x 1.367a,
ymax
0.4838 Fa3 EI
21
F
A
C
在如图所示的座标系下，顺时针转为正，反之为负。
转角方程 θ = θ（x）
平行于轴线方向的线位移忽略
7
挠度与转角的关系：
θ θ’
y
x y
小变形
θ =θ ′
tgθ ′ ≈ θ ′ = y′
y dy
dx
x
8
§7-2 直梁挠曲线近似微分方程
一、挠曲线近似微分方程
纯弯曲 k 1 M
EIz
(x)
F C yCF
42
例题4
怎样用叠加法确定C 和 yC ?
q
A
B
C
yC
l
l
C
2
2
43
A
B
l 2
q
C
yC
l
C
2
A
l 2
A
l 2
q
B
l 2
q
B
l 2
A
q
l
B
l
2
2
44
简单静不定梁（超静定梁）
一、静定梁
F Fl
A
B
C
l
l
2
2
qa
A
B
C
a
a
45
材料力学第7章 梁的变形
23
图7.15
图7.16
24
21
图7.14
22
第六节 用力法解简单超静定梁 前面几节分析的梁，如简支梁、悬臂梁、外伸 梁等，都是静定梁。在工程实际中，有时为了提高 强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使静 定梁变成了超静定梁或静不定梁(statically indeter minate beam)，如图7.15所示。超静定梁的特点 是，独立未知力的数目大于独立静力平衡方程式的 数目，仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座 反力和内力。超静定梁的基本求解方法与拉压超静 定问题相同，仍然是力法。本节将结合求梁变形的 叠加法，举例介绍简单超静定梁的求解。
1
图7.1
2
①挠度y。梁中任一横截面的形心C在垂直于 轴线方向的位移称为该截面处的挠度(deflection)， 用y表示。显然，梁中不同横截面处的挠度一般是 不同的，可表示为
3
②转角θ。梁中任一横截面绕其中性轴转过的 角度，称为该截面的转角 (slope)。转角沿梁长度 方向的变化规律可用转角方上任一点的曲率 为
由式(a)和式(c)可得
7
在选取的坐标系下，根据弯矩M的正负号规定 可以看出：弯矩M的正负号与y″的正负号总是相反 的，如图7.2所示。因此，式(d)中应取负号，即
式(7.2)即为梁的挠曲线近似微分方程，适用 于理想线弹性材料制成的细长梁的小变形问题。
13
第五节 梁的刚度计算 一、梁的刚度计算 梁的刚度计算，通常是校核其变形是否超过许 用挠度［f］和许用转角［θ］，可以表述为 式中,ymax和θmax为梁的最大挠度和最大转角。
14
在机械工程中，一般对梁的挠度和转角都进行 校核；而在土木工程中，通常只校核挠度，并且以 许用挠度与跨长的比值 作为校核的标准，即
图7.15
图7.16
24
21
图7.14
22
第六节 用力法解简单超静定梁 前面几节分析的梁，如简支梁、悬臂梁、外伸 梁等，都是静定梁。在工程实际中，有时为了提高 强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使静 定梁变成了超静定梁或静不定梁(statically indeter minate beam)，如图7.15所示。超静定梁的特点 是，独立未知力的数目大于独立静力平衡方程式的 数目，仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座 反力和内力。超静定梁的基本求解方法与拉压超静 定问题相同，仍然是力法。本节将结合求梁变形的 叠加法，举例介绍简单超静定梁的求解。
1
图7.1
2
①挠度y。梁中任一横截面的形心C在垂直于 轴线方向的位移称为该截面处的挠度(deflection)， 用y表示。显然，梁中不同横截面处的挠度一般是 不同的，可表示为
3
②转角θ。梁中任一横截面绕其中性轴转过的 角度，称为该截面的转角 (slope)。转角沿梁长度 方向的变化规律可用转角方上任一点的曲率 为
由式(a)和式(c)可得
7
在选取的坐标系下，根据弯矩M的正负号规定 可以看出：弯矩M的正负号与y″的正负号总是相反 的，如图7.2所示。因此，式(d)中应取负号，即
式(7.2)即为梁的挠曲线近似微分方程，适用 于理想线弹性材料制成的细长梁的小变形问题。
13
第五节 梁的刚度计算 一、梁的刚度计算 梁的刚度计算，通常是校核其变形是否超过许 用挠度［f］和许用转角［θ］，可以表述为 式中,ymax和θmax为梁的最大挠度和最大转角。
14
在机械工程中，一般对梁的挠度和转角都进行 校核；而在土木工程中，通常只校核挠度，并且以 许用挠度与跨长的比值 作为校核的标准，即
梁的变形 演示文稿
Fl 3 Fl 3 Fl 3 y(l ) = − =− 48EI 8EI 24 EI Fl 2 Fl 2 θ (l ) = − =0 2 EI 2 EI
如果采用迭加法求解 由F在B点引起的挠度与转角 3
Fl y1 (l ) = − ,(↓) 3EI
Fl 2 θ1 (l ) = − 2 EI
由Fl在B点引起的挠度与转角
3)边界条件和连续条件
边界条件：y1(0)=0， y2(l)=0 连续条件： y1(l)=y2(l) , y1’ (l)=y2’ (l) 由边界条件式(a)可得C2=0， Fal 2 Fl 2 (l + a) D1l D2 − − + + =0 6 EI 3EI EI EI 由连续条件式(b)得： (a) (b)
=−
Fa (2l + 3a ) (↵) 6 EI
梁的变形
1.积分法计算梁的变形 5.2试用积分法求图示梁的挠度和 转角方程，并计算各梁截面B的挠 B 度和转角。己知梁的EI为常数。 (b) F Fl
A C FAy B
l /2
l /2
解：1)求支反力 F =F，M =0 2)分段写弯矩方程并积分 AC段：(0 ≤x1 ≤l/2) CB段(l/2≤x2 ≤l) M1(x1)
Fl2 Fl2 θ(l) =θ1(l) +θ2 (l) =− + =0 2EI 2EI
5.2(d)
F B FBy C A
l
a
FAy
解：1)求支反力 F =F(l+a)/l， F =-Fa/l 2)分段列弯矩方程并积分 BC段(0≤x1 ≤l) CA段(l ≤x ≤l+a)
Ay By
2
M(x1)=FByx1=-Fax1/l EIy1’’(x1)= =-Fax1/l EIy1’ (x1)=-Fax12/(2l)+C1 EIy1(x1)=-Fax13/(6l)+C1x1+C2
如果采用迭加法求解 由F在B点引起的挠度与转角 3
Fl y1 (l ) = − ,(↓) 3EI
Fl 2 θ1 (l ) = − 2 EI
由Fl在B点引起的挠度与转角
3)边界条件和连续条件
边界条件：y1(0)=0， y2(l)=0 连续条件： y1(l)=y2(l) , y1’ (l)=y2’ (l) 由边界条件式(a)可得C2=0， Fal 2 Fl 2 (l + a) D1l D2 − − + + =0 6 EI 3EI EI EI 由连续条件式(b)得： (a) (b)
=−
Fa (2l + 3a ) (↵) 6 EI
梁的变形
1.积分法计算梁的变形 5.2试用积分法求图示梁的挠度和 转角方程，并计算各梁截面B的挠 B 度和转角。己知梁的EI为常数。 (b) F Fl
A C FAy B
l /2
l /2
解：1)求支反力 F =F，M =0 2)分段写弯矩方程并积分 AC段：(0 ≤x1 ≤l/2) CB段(l/2≤x2 ≤l) M1(x1)
Fl2 Fl2 θ(l) =θ1(l) +θ2 (l) =− + =0 2EI 2EI
5.2(d)
F B FBy C A
l
a
FAy
解：1)求支反力 F =F(l+a)/l， F =-Fa/l 2)分段列弯矩方程并积分 BC段(0≤x1 ≤l) CA段(l ≤x ≤l+a)
Ay By
2
M(x1)=FByx1=-Fax1/l EIy1’’(x1)= =-Fax1/l EIy1’ (x1)=-Fax12/(2l)+C1 EIy1(x1)=-Fax13/(6l)+C1x1+C2