电子科技大学研究生试题图论及其应用 参考答案
11年研究生试卷(答案)
五．(10分)今有赵、钱、孙、李、周五位教师，要承担语文、数学、物理、化学、英语五门课程。已知赵熟悉数学、物理、化学三门课程，钱熟悉语文、数学、物理、英语四门课程，孙、李、周都只熟悉数学、物理两门课程。问能否安排他们都只上他们熟悉的一门课程，使得每门课程都有人教（用图论方法求解）。
3．设 是图 的推广邻接矩阵，则 的 行 列元 等于由 中顶点 到顶点 的长度为_n_途径数目。
4．完全图 的邻接矩阵的最大特征值为_n_。
5.不同构的3阶单图共有___4___个。
6.设 阶图 是具有 个分支的森林，则其边数 。
7. 阶树( )的点连通度为___1___；边连通度为____1___；点色数为__2___； 若其最大度为 ，则边色数为___ __。
8.图 是 连通的，则 中任意点对间至少有_k__条内点不交路。
9.5阶度极大非哈密尔顿图族为___ ___和__ _____。
10.完全图 能够分解为 个边不相交的一因子之并。
11. 设连通平面图 具有5个顶点，9条边，则其面数为__6_； ( )阶极大平面图的面数等于__ ___； ( )阶极大外平面图的顶点都在外部面边界上时，其内部面共有 个。
A1: LA, S ; A2: MA, LA, G ; A3: MA, G, LA;
A4: G, LA, AC ; A5: AC, LA, S ; A6: G, AC;
A7: GT, MA, LA ; A8: LA,GT, S ; A9: AC, S, LA;
A10: GT, S。人只上一门自己所熟悉的课程。
六．(6分)设 是赋权完全偶图G=(V,E)的可行顶点标号，若标号对应的相等子图 含完美匹配 ,则 是G的最优匹配。
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)考试时间：120分钟一．填空题(每题3分，共18分)1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个；2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。
则G 中顶点数至少有__9___个；3．设n 阶无向图是由k(k ?2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____;4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_.5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。
图G二．单项选择(每题3分，共21分)1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A )(A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333).2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ）3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ）4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ）AC DA B CD6．下列图中，不是偶图的是（ B ）7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ）三．作图(6分)1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图；解： 四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。
解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图：权和为：20.五．(8分)求下图G 的色多项式P k (G).解：用公式(G P k -G 的色多项式：)3)(3)()(45-++=k k k G P k 。
六．(10分) 22，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。
解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m.一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1 v v 13图G由上面两式可得：n 1=n 2+2n 3+…+(k -1)n k七．证明：(8分) 设G 是具有二分类(X,Y)的偶图，证明(1)G 不含奇圈；（2）若|X |≠|Y |，则G 是非哈密尔顿图。
电子科技大学图论作业
图论作业3一、填空题1. 完全图K2n共有个不同的完美匹配。
2. 超方体Q6的最小覆盖包含的点数为。
3. 图K m,n (m≤n)的最小覆盖包含的点数为。
4. 完全图K60能分解为个边不重的一因子之并。
5. 完全图K61能分解为个边不重的二因子之并。
6. 假设G是具有n个点、m条边、k个连通分支的无圈图，则G的荫度为。
7. 图G是由3个连通分支K1, K2, K4组成的平面图，则其共有个面。
8. 设图G与K5同胚，则至少从G中删掉条边才可能使其成为可平面图。
9. 设连通平面图G具有5个顶点，9条边，则其面数为。
10. 若图G是10阶极大平面图，则其面数等于。
11. 若图G是10阶极大外平面图，其内部面共有个。
二、不定项选择题1. 关于非平凡树T，下面说法错误的是( )(A) T至少包含一个完美匹配；(B) T至多包含一个完美匹配；(C) T的荫度大于1；(D) T是只有一个面的平面图；(E) T的对偶图是简单图。
2. 下列说法正确的是( )(A) 三正则的偶图存在完美匹配；(B) 无割边的三正则图一定存在完美匹配；(C) 有割边的三正则图一定没有完美匹配；(D) 有完美匹配的三正则图一定没有割边；(E) 三正则哈密尔顿图存在完美匹配。
3. 下列说法正确的是( )(A) 在偶图中，最大匹配包含的边数等于最小覆盖包含的点数；(B) 任一非平凡正则偶图包含完美匹配；(C) 任一非平凡正则偶图可以1-因子分解；(D) 偶度正则偶图可以2-因子分解；(E) 非平凡偶图的最大匹配是唯一的。
4. 下列说法中错误的是( )(A) 完全图K101包含1-因子；(B) 完全图K101包含2-因子；(C) 完全图K102包含1-因子；(D) 完全图K102包含2-因子；(E) 图G的一个完美匹配实际上就是它的一个1因子；(F) 图G的一个2-因子实际上就是它的一个哈密尔顿圈。
5. 下列说法正确的是( )(A) 方体Q n可以1-因子分解；(B) 非平凡树可以1-因子分解；(C) 无割边的3正则图可以1-因子分解；(D) 有割边的3正则图一定不可以1-因子分解；(E) 可1-因子分解的3正则图一定是哈密尔顿图。
电子科大研究生图论考试 附答案
1电子科技大学研究生试卷（考试时间： 至 ，共__2_小时）课程名称 图论及其应用 教师 学时 60 学分 教学方式 讲授 考核日期_2013__年_6__月__20__日 成绩 考核方式： （学生填写）一．填空题(每空2分，共20分)1． n 阶k 正则图G 的边数m =_____。
2．4个顶点的不同构单图的个数为________。
3．完全偶图,r s K (,2r s ≥且为偶数)，则在其欧拉环游中共含____条边。
4．高为h 的完全2元树至少有_______片树叶。
5. G 由3个连通分支124,,K K K 组成的平面图，则其共有_______个面。
6. 设图G 与5K 同胚，则至少从G 中删掉_______条边，才可能使其成为可平面图。
7. 设G 为偶图，其最小点覆盖数为α，则其最大匹配包含的边数为________。
8. 完全图6K 能分解为________个边不重合的一因子之并。
9. 奇圈的边色数为______。
10. 彼得森图的点色数为_______。
二．单项选择(每题3分，共15分) 1．下面说法错误的是( )学 号 姓 名 学 院…………………… 密……………封……………线……………以……………内……………答…… ………题……………无……………效……………………2(A) 图G 中的一个点独立集，在其补图中的点导出子图必为一个完全子图；(B) 若图G 连通，则其补图必连通； (C) 存在5阶的自补图； (D) 4阶图的补图全是可平面图. 2．下列说法错误的是（ ） (A) 非平凡树是偶图；(B) 超立方体图(n 方体,1n ≥)是偶图； (C) 存在完美匹配的圈是偶图； (D) 偶图至少包含一条边。
3.下面说法正确的是( )(A) 2连通图一定没有割点（假定可以有自环）； (B) 没有割点的图一定没有割边；(C) 如果3阶及其以上的图G 是块，则G 中无环，且任意两点均位于同一圈上；(D) 有环的图一定不是块。
图论及其应用 第一章答案
)2214(题后两个算法不作要求题，除第图的基本概念<1.>若G 是简单图，证明：()()2V G E G ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭。
证明：()()1()()()1v Gd v V G d v V G V G ∈≤-∴≤-∑（当且仅当G 是完全图时取等号） 又11()()()()122v G E G d v V G V G ∈=≤-∑ ()()2V G E G ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭。
<2.>设G 是(,)p q 简单图，且12p q -⎛⎫>⎪⎝⎭。
求证G 为连通图。
证明：反证法，假设G 为非连通图。
设G 有两个连通分支1G 和2G ，且112212()1,()1,V G p V G p p p p =≥=≥+= 则1212()()22p p E G E G q ⎛⎫⎛⎫+=≤+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而1211221(1)(1)(1)(2)222222p p p p p p p p p -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+-=+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222221212121222()2()222p p p p p p p p p p +-+-+-+++-==12(1)(1)0p p =--≤（因为121,1p p ≥≥），矛盾。
<3.>超图H 是有序二元组((),())V H E H ，其中()V H 是顶点非空有限集合，()E H 是()V H 的非空子集簇，且()()i i E E H E V H ∈=。
其中，()E H 中的元素i E 称为超图的边，没有相同边的超图称为简单超图。
证明：若H 是简单超图，则21υε≤-，其中,υε分别是H 的顶点数和边数。
证明：()V H υ=，有一条边的子集个数为1υ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有i 条边的子集个数为,1,,.i n i υ⎛⎫= ⎪⎝⎭又02,211i i υυυυυυυ=⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 。
<4.>若G 是二部图，则2()()4V G E G ≤。
图论及应用习题答案
图论及应用习题答案图论及应用习题答案图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图论在现实生活中有着广泛的应用，涵盖了许多领域，如计算机科学、通信网络、社交网络等。
本文将为读者提供一些关于图论及应用的习题答案，帮助读者更好地理解和应用图论知识。
1. 图的基本概念题目：下面哪个不是图的基本概念？A. 顶点B. 边C. 路径D. 线段答案：D. 线段。
图的基本概念包括顶点、边和路径。
线段是指两个点之间的连线，而在图论中，我们使用边来表示两个顶点之间的关系。
2. 图的表示方法题目：以下哪个不是图的表示方法？A. 邻接矩阵B. 邻接表C. 边列表D. 二叉树答案：D. 二叉树。
图的表示方法包括邻接矩阵、邻接表和边列表。
二叉树是一种特殊的树结构，与图的表示方法无关。
3. 图的遍历算法题目：以下哪个不是图的遍历算法？A. 深度优先搜索B. 广度优先搜索C. 迪杰斯特拉算法D. 克鲁斯卡尔算法答案：D. 克鲁斯卡尔算法。
图的遍历算法包括深度优先搜索和广度优先搜索，用于遍历图中的所有顶点。
迪杰斯特拉算法是用于求解最短路径的算法，与图的遍历算法有所不同。
4. 最小生成树题目：以下哪个算法不是用于求解最小生成树？A. 克鲁斯卡尔算法B. 普里姆算法C. 弗洛伊德算法D. 公交车换乘算法答案：D. 公交车换乘算法。
最小生成树是指包含图中所有顶点的一棵树，使得树的边的权重之和最小。
克鲁斯卡尔算法和普里姆算法是常用的求解最小生成树的算法，而弗洛伊德算法是用于求解最短路径的算法，与最小生成树问题有所不同。
5. 图的应用题目：以下哪个不是图的应用？A. 社交网络分析B. 路径规划C. 图像处理D. 数字逻辑电路设计答案：D. 数字逻辑电路设计。
图的应用广泛存在于社交网络分析、路径规划和图像处理等领域。
数字逻辑电路设计虽然也涉及到图的概念，但与图的应用有所不同。
总结：图论是一门重要的数学分支，具有广泛的应用价值。
通过本文提供的习题答案，读者可以更好地理解和应用图论知识。
图论及其应用1-3章习题答案(电子科大) (1)
学号：201321010808 姓名：马涛习题14．证明图1-28中的两图是同构的证明 将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图作映射f : f(v i )→u i (1≤ i ≤ 10)容易证明，对∀v i v j ∈E((a)),有f(v i v j )=u i u j ∈E((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。
6．设G 是具有m 条边的n 阶简单图。
证明：m =⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n 当且仅当G 是完全图。
证明 必要性 若G 为非完全图，则∃ v ∈V(G),有d(v)< n-1 ⇒ ∑ d(v) < n(n-1) ⇒ 2m <n(n-1)⇒ m < n(n-1)/2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n , 与已知矛盾！充分性 若G 为完全图，则 2m=∑ d(v) =n(n-1) ⇒ m= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n 。
9.证明：若k 正则偶图具有二分类V = V 1∪V 2，则 | V 1| = |V 2|。
(a)v 1v 2 v 3 v 4v 5 v 6v 7v 8 v 9v 10 u 1 u 2u 3u 4u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 (b)证明 由于G 为k 正则偶图，所以，k | V 1 | =m = k | V 2 | ⇒ ∣V 1∣= ∣V 2 ∣。
12.证明：若δ≥2，则G 包含圈。
证明 只就连通图证明即可。
设V(G)=｛v 1,v 2,…,v n ｝,对于G 中的路v 1v 2…v k ,若v k 与v 1邻接，则构成一个圈。
若v i1v i2…v in 是一条路，由于δ≥ 2，因此，对v in ，存在点v ik 与之邻接，则v ik ⋯v in v ik 构成一个圈 。
17.证明：若G 不连通，则G 连通。
证明 对)(,_G V v u ∈∀,若u 与v 属于G 的不同连通分支，显然u 与v 在_G 中连通；若u 与v 属于g 的同一连通分支，设w 为G 的另一个连通分支中的一个顶点，则u 与w ，v 与w 分别在_G 中连通，因此，u 与v 在_G 中连通。
图论及应用参考答案
图论及应用参考答案图论及应用参考答案图论是数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图由节点（顶点）和边组成，节点代表对象，边代表对象之间的关系。
图论不仅在数学中有广泛的应用，也在计算机科学、物理学、生物学等领域中发挥着重要的作用。
本文将介绍图论的基本概念和一些应用。
一、图论的基本概念1. 图的类型图分为有向图和无向图。
有向图中的边有方向，表示节点之间的单向关系；无向图中的边没有方向，表示节点之间的双向关系。
2. 图的表示方法图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示节点之间是否有边相连；邻接表是一个链表数组，数组中的每个元素对应一个节点，链表中存储了该节点相邻的节点。
3. 图的性质图的性质包括节点的度、连通性和路径等。
节点的度是指与该节点相连的边的数量；连通性指的是图中任意两个节点之间是否存在路径；路径是指由边连接的节点序列。
二、图论在计算机科学中的应用1. 最短路径算法最短路径算法是图论中的经典问题之一，它用于计算图中两个节点之间的最短路径。
著名的最短路径算法有迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
这些算法在网络路由、地图导航等领域中有广泛的应用。
2. 最小生成树算法最小生成树算法用于找到一个连通图的最小生成树，即包含所有节点且边的权重之和最小的子图。
普里姆算法和克鲁斯卡尔算法是常用的最小生成树算法。
这些算法在电力网络规划、通信网络设计等领域中有重要的应用。
3. 图的着色问题图的着色问题是指给定一个图，将每个节点着上不同的颜色，使得相邻节点之间的颜色不同。
这个问题在地图着色、任务调度等方面有实际应用。
三、图论在物理学中的应用1. 粒子物理学在粒子物理学中，图论被用来描述和分析粒子之间的相互作用。
图论模型可以帮助研究粒子的衰变、散射等过程，为理解物质的基本结构提供了重要的工具。
2. 统计物理学图论在统计物理学中也有应用。
例如，渗透模型中的图可以用来研究流体在多孔介质中的渗透性质，为石油勘探、水资源管理等提供了理论基础。
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)考试时间：120分钟一．填空题(每题3分，共18分)1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个；2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。
则G 中顶点数至少有__9___个；3．设n 阶无向图是由k(k ≥2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____;4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_.5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。
图G图G二．单项选择(每题3分，共21分)1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A )(A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333).2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ）3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ）4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ）A Bb c123A B 3CDAD6．下列图中，不是偶图的是（ B ）7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ）三．作图(6分)1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图；解：四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。
A B DC123A B DC解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图：权和为：20.五．(8分)求下图G 的色多项式P k(G).解：用公式)()()(e G P G P e G P k k k •+=-，可得G 的色多项式：)3)(2()1()()(3)()(2345---=++=k k k k k k k G P k 。
六．(10分) 一棵树有n 2个顶点的度数为2，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。
电子科大图论-第二次作业
图论及其应用第二次作业要求：1、交电子档给助教【助教给每个班设置邮箱，助教设置提交回复】；2、第7章授课结束前均可以提交；3、希望能够独立完成。
1．判断图4-43所示的四个图是否可以一笔画。
上面四个图都是连通图，看是否能一笔画成问题本质上看图是否存在欧拉迹；连通图有欧垃迹当且仅当G 最多有两个奇点。
（a ）不可以 有4个奇点（b ）可以 一个奇点（c ）可以 两个奇点（d ）可以 没有奇点2.（1）画一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；（2）画一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；(3) 画一个有哈密尔顿圈但没有欧拉闭迹的图；（4）画一个既没有欧拉闭迹也没有哈密尔顿圈的图。
3. 设n 阶无向简单图G 有m 条边。
证明：若m ≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21n +2，则G 是哈密尔顿图。
(b) (c) (d ) 图4-43证明：G 是H 图。
若不然，因为G 是无向简单图，则n ≥3，由定理1：若G 是n ≥3的非单图，则G 度弱于C m,n 。
于是有：2,1()()(2)(1)(1)21111(1)(2)(1)(21) 1.222m n E G E C m n m n m m n n n m m m n m ⎡⎤≤=+---+-⎣⎦--⎛⎫⎛⎫=+-------≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 这与条件矛盾！所以G 是H 图。
4. 在图4-45中，哪些图是哈密尔顿图？哪些图中有哈密尔顿路？(a)非哈密尔顿图，没有哈密尔顿路(b)哈密尔顿图 （abcdejhfiga)(c)哈密尔顿图 （kjdhbagciefk)(d)非哈密尔顿图 有哈密尔顿路（hjaidebcgf)(e)不是哈密尔顿图，因为有割点a ，有哈密尔顿路（jaibcedkgfh ）5. 证明：若G 没有奇点，则存在边不重的圈C 1, C 2,…, C m ，使得，E (G ) = E (C 1)∪E (C 2)∪…∪E (C m )。
证明：将G 中孤立点除去后的图记为G 1，则G 1也没有奇点，且δ（G 1)，则G 1含圈C 1，在去掉()11G E C -的孤立点后，得图G 2，显然G 2仍无奇度点，且δ（G 2）≥ 2，从而G 2含圈C 1，如此重复下去，直到圈C m ，且G m －E (C m )全为孤立点为止，于是得到E (G ) = E (C 1)∪E (C 2)∪…∪E (C m )。
电子科大研究生图论——第1,2章基本概念,树
精品课件
例
G1
G2
K1,3
四个图均为偶图;
K 3,3
K1,3 , K3,3为完全偶图
精品课件
例
偶图
不是偶图
简单图G 的补图: 设 G =（V, E），则图 H =（V，E1\E） 称为G 的补图，记为 H G , 其中集合
例1 设 V ={v1, v2, v3, v4}，E ={v1v2 , v1v2, v2v3 }，则 G = (V, E) 是一个4阶图。
v1
v4
若用小圆点代
表点，连线代表边
，则可将一个图用
“图形”来表示,
如例精品课件
v3
注: 也可记边 uv 为e ，即 e = uv。
例2 设V = {v1,v2,v3,v4}，E = {e1,e2,e3,e4,e5}，其中 e1= v1v2， e2 = v2v3， e3 = v2v3， e4 = v3v4， e5
2. Hamilton 周游世界问题
1859年 Hamilton 提出这样一个 问题：一个正十二面体有20个顶点，它 们代表世界上20个重要城市。正十二面 体的每个面均为五边形，若两个顶点之 间有边相连，则表示相应的城市之间有 航线相通。 Hamilton 提出 “能否从某 城市出发经过每个城市一次且仅一次然 后返回出发点？”
精品课件
定理5 设有非负整数组Π = (d1, d2,…, dn)，且
n
di 2m
i 1
是一个偶数，n-1≥d1≥d2≥…≥dn， Π是可图的充要条件为
( d 2 1 , d 3 1 , , d d 1 1 1 , d d 1 2 , , d n )
电子科技大学图论及其应用 第1章
例 判断下面两图是否同构。
u1
v1
解 两图不同构。 若两图同构，则两图中唯一的与环关联的两个点u1与v1一定 相对应，而u1的两个邻接点与v1的两个邻接点状况不同，u1 邻接有4度点，而v1没有。 所以，两图不同构。
例 指出4个顶点的非同构的所有简单图。
分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以 可按边数进行枚举。 解 (a) (b) (c)
四、顶点的度、度序列
设v为G 的顶点，G 中以v为端点的边的条数(环计算两次)称 为点v的度数，简称为点v的度，记为dG (v)，简记为d(v)。 相关术语和记号
G ： 图G 的顶点的最小度
G ：图G 的顶点的最大度
奇点：度数为奇数的顶点 偶点：度数为偶数的顶点 k-正则图: 每个点的度均为k 的简单图 例如，完全图和完全偶图Kn, n 均是正则图。
完全偶图是指具有二分类(X, Y )的简单偶图，其中X的 每个顶点与Y 的每个顶点相连，若 |X|=m，|Y|=n，则这 样的偶图记为Km,n。
例
偶图
不是偶图
例
G1
G2
K1, 3
K3, 3
四个图均为偶图
K1, 3, K3, 3为完全偶图
偶图是一种常见数学模型。
例 学校有6位教师将开设6门课程。六位教师的代号分别是 xi (i=1,2,3,4,5,6 )，六门课程代号是yi (i=1,2,3,4,5,6 )。已知教 师x1能够胜任课程y2和y3；教师x2能够胜任课程y4和y5；教师 x3能够胜任课程y2；教师x4能够胜任课程y6和y3；教师x5能够 胜任课程y1和y6；教师x6能够胜任课程y5和y6。请画出老师和 课程之间的状态图。 解
dG (v) dG (v) n 1 。
电子科大研究生图论05-14年图论期末试题
波士顿：亚特兰大，芝加哥，纳什维尔
芝加哥：亚特兰大，波士顿，丹佛，路易维尔
丹佛：芝加哥，路易维尔，迈阿密，纳什维尔
路易维尔：芝加哥，丹佛，迈阿密
迈阿密：亚特兰大，丹佛，路易维尔，纳什维尔
纳什维尔：亚特兰大，波士顿，丹佛，迈阿密
(要求用图论方法求解)
九．(8分)求下图G的色多项式Pk(G).
由T8导出的树中a到b路 就是最短路。
2006研究生图论期末试题(120分钟)
一、填空题(15分，每空1分)
1、若两个图的顶点与顶点之间，边与边之间都存在 对应，而且它们的关联关系也保持其 关系，则这两个图同构。
2、完全图 的生成树的数目为 ；阶为6的不同构的树有 棵。
3、设无向图 有12条边，已知 中度为3的结点有6个，其余结点的度数均小于3，则
六．(10分)设 是赋权完全偶图G=(V,E)的可行顶点标号，若标号对应的相等子图 含完美匹配 ,则 是G的最优匹配。
七.(10分)求证：在n阶简单平面图G中有 ，这里 是G的面数。
八、(10分)来自亚特兰大，波士顿，芝加哥，丹佛，路易维尔，迈阿密，以及纳什维尔的7支垒球队受邀请参加比赛，其中每支队都被安排与一些其它队比赛(安排如下所示)。每支队同一天最多进行一场比赛。建立一个具有最少天数的比赛时间表。
2．设V(G)= ， 则图 的补图是（）
3.下列图中，既是欧拉图又是哈密尔顿图的是( )
4.下列说法中不正确的是( )
(A)每个连通图至少包含一棵生成树；
(B)k正则偶图(k>0)一定存在完美匹配；
(C)平面图 ,其中 表示G的对偶图；
(D)完全图 可一因子分解。
三、(10分)设图G的阶为14，边数为27，G中每个顶点的度只可能为3，4或5，且G有6个度为4的顶点。问G中有多少度为3的顶点？多少度为5的顶点？
电子科大研究生图论06-14年图论期末试题
五．(10 分) 设 G 为 n 阶简单无向图，n>2 且 n 为奇数，G 与 G 的补 图 G 中度数为奇数的顶点个数是否相等？证明你的结论
六 ． (10 分 ) 设 G 是 具 有 n 个 顶 点 的 无 向 简 单 图 ， 其 边 数 m = 1 (n −1)(n − 2) + 2 ，证明(1) 证明 G 中任何两个不相邻顶点的度数之
6、若 K n 为欧拉图，则 n= _________ ；若 K n 仅存在欧拉迹而不存在欧拉回路，则 n= _________ 。 7、无向完全图 K n (n 为奇数)，共有 _________ 条没有公共边的哈密尔顿圈。
8、设 G 是具有二分类 (X ,Y) 的偶图，则 G 包含饱和 X 的每个顶点的匹配当且仅当
(B)
(C)
(D)
4.下列说法中不正确的是( )
(A)每个连通图至少包含一棵生成树；
(B)k 正则偶图(k>0)一定存在完美匹配；
(C)平面图 G ≅ (G*)* ,其中 G *表示 G 的对偶图；
(D)完全图 K2n 可一因子分解。
三、 (10 分)设图 G 的阶为 14，边数为 27，G 中每个顶点的度只可能 为 3，4 或 5，且 G 有 6 个度为 4 的顶点。问 G 中有多少度为 3 的顶 点？多少度为 5 的顶点？
四、求下图的最小生成树，并给出它的权值之和(10 分)。
v1
1 v4
2
64 3
9
a
8 v2
2
v5 6
b
72 1
9 v3
4 2
v6
图G
五、给出一个同构函数证明 G1 ≅ G2 (10 分)
2019电子科技大学研究生试卷答案
电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 至 ，共 2 小时）课程名称 图论及应用 教师 学时 60 学分 3 教学方式 堂上授课 考核日期 2019 年 5 月 日 成绩 考核方式： （学生填写）一．填空题(每空3分，共15分) 1. 图G 的邻接矩阵为0111101111001100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 则G 的生成树的棵数为 8 . 2. 设1G 是11(,)n m 简单图,2G 是22(,)n m 简单图,则1G 和2G 的(Cartesian)积图12G G ⨯的边数()m G =1221n m n m +. 3. 图1中最小生成树T 的权值()W T = 23 .4. 图2中S 到T 的最短路的长度为 8 .5. 设G 是n 阶简单图,且不包含三角形,则其边数一定不超过24n ⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 二．单项选择题(每题3分，共15分) 学号姓名学院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………座位号 图1 图21. 关于彼得森(Petersen)图, 下面说法正确的是 ( B )A. 彼得森图是哈密尔顿图;B. 彼得森图是超哈密尔顿图;C. 彼得森图可1-因子分解;D. 彼得森图是可平面图.2. 下面说法正确的是 ( C )A. 有割点的三正则图一定没有完美匹配;B. 有割边的三正则图一定没有完美匹配;C. 存在哈密尔顿圈的三正则图必能1因子分解;D. 正则的哈密尔顿图必能2因子分解.3. 关于图的度序列, 下面说法正确的是 ( B )A. 任意两个有相同度序列的图都同构;B. 若图G 度弱于图H ，则图G 的边数小于等于图H 的边数;C. 若非负整数序列12(,,,)n d d d π=满足1ni i d =∑为偶数，则它一定是图序列;D. 如果图G 所有顶点的度和大于或等于图H 所有顶点的度和，则图G 度优于图H.4. 关于图的补图, 下面说法错误的是 ( A )A. 若图G 连通，则其补图必连通;B. 若图G 不连通，则其补图必连通;C. 图G 中的一个点独立集，在其补图中的点导出子图必为一个团;D. 存在5阶的自补图.5. 关于欧拉图, 下面说法正确的是 ( D )A. 每个欧拉图有唯一的欧拉环游;B. 每个顶点的度均为偶数的图是欧拉图;C. 欧拉图中一定没有割点;D. 欧拉图中一定没有割边.(三).(10分)若阶为25且边数为62的图G 的每个顶点的度只可能为3，4，5或6，且有两个度为4的顶点，11个度为6的顶点，求G 中5度顶点的个数。
图论第一章课后习题解答
bi 个 (i = 1,2,…,s)，则有 列。 定理 7
bi = n。故非整数组(b ,b ,…, b )是 n 的一个划分，称为 G 的频序
1 2 s
s
i 1
一个 n 阶图 G 和它的补图 G 有相同的频序列。
§1.2 子图与图的运算
且 H 中边的重数不超过 G 中对应边的 定义 1 如果 V H V G ，E H E G ， 重数，则称 H 是 G 的子图，记为 H G 。有时又称 G 是 H 的母图。 当 H G ，但 H G 时，则记为 H G ，且称 H 为 G 的真子图。G 的生成子图是 指满足 V(H) = V(G)的子图 H。 假设 V 是 V 的一个非空子集。以 V 为顶点集，以两端点均在 V 中的边的全体为边集 所组成的子图，称为 G 的由 V 导出的子图，记为 G[ V ]；简称为 G 的导出子图，导出子图 G[V\ V ]记为 G V ； 它是 G 中删除 V 中的顶点以及与这些顶点相关联的边所得到的子图。 若 V = {v}, 则把 G-{v}简记为 G–v。 假设 E 是 E 的非空子集。以 E 为边集，以 E 中边的端点全体为顶点集所组成的子图 称为 G 的由 E 导出的子图，记为 G E ；简称为 G 的边导出子图，边集为 E \ E 的 G 的 导出子图简记为 G E 。若 E e ，则用 G–e 来代替 G-{e}。 定理 8 简单图 G 中所有不同的生成子图（包括 G 和空图）的个数是 2m 个。 定义 2 设 G1，G2 是 G 的子图。若 G1 和 G2 无公共顶点，则称它们是不相交的；若 G1 和 G2 无公共边，则称它们是边不重的。G1 和 G2 的并图 G1∪G2 是指 G 的一个子图，其顶点 集为 V(G1)∪V(G2)，其边集为 E(G1)∪E(G2)；如果 G1 和 G2 是不相交的，有时就记其并图为 G1+G2。类似地可定义 G1 和 G2 的交图 G1∩G2，但此时 G1 和 G2 至少要有一个公共顶点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
电子科技大学研究生试题
《图论及其应用》(参考答案)
考试时间：120分钟
一．填空题(每题3分，共18分)
1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个；
2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。
则G 中顶点数至少有__9___个；
3．设n 阶无向图是由k(k ≥2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____;
4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_.
5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。
图G
二．单项选择(每题3分，共21分)
1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A )
(A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333).
2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ）
3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ）
4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）
5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ）
A
C D
A B C
D
6．下列图中，不是偶图的是（ B ）
7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ）
三．作图(6分)
1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；
2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；
3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图；
解：
四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。
解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图：
权和为：20.
五．(8
分)求下图G 的色多项式P k
(G). 解：用公式
(G P k -G 的色多项式：
)3)(3)()(45-++=k k k G P k 。
六．(10分) 22，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。
解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m.
一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k
另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1
由上面两式可得：n 1=n 2+2n 3+…+(k -1)n k
七．证明：(8分) 设G 是具有二分类(X,Y)的偶图，证明(1)G 不含奇圈；（2）若|X |
v v 1
3 图G
≠|Y |，则G 是非哈密尔顿图。
证明：(1) 若不然，设C=v 1v 2…v m v 1为G 的一个奇圈，不妨设v 1∈X,
则：v m ∈X,这样推出v 1与v m 邻接，与G 是偶图矛盾。
(2)若 |X |≠|Y |，设|X |>|Y |，则 ω(G-Y)>|Y |,由H 图的必要条件，G 为非哈密尔顿图。
八．（8分）设G 是边数m 小于30的简单连通平面图，证明:G 中存在顶点v ，使d(v)≤4. 证明：若不然，则对任意的v ∈V(G),有d(v)≥5，这样，一方面有：
2m=∑d(v)≥5n (1)
另一方面，G 为简单连通平面图，有：
m ≤3n-6 (2)
由(1),m n 52≤,把该式代入(2)得：m ≥30,与题设矛盾。
九．(8分) 证明：每个没有割边的3正则图都有完美匹配。
证明：设G 是没有割边的3正则图，S 是V 的真子集，用G 1, G 2,…,G n 表示G-S 的奇
分支，并设m i 是一个顶点在G i 中，另一个端点在S 中的那些边的条数。
由于G 是3
正则图，所以
,)(3)()(i
G V v G V v d =∑∈ 1≤i ≤n (1) 且
S v d S
v 3)(=∑∈ （2）
由(1)式，∑∈-=
)()(2)(Gi V v i i G E v d m 是奇数。
又由于G 没有割边，所以m i
≠1 因此，mi ≥3, 1 ≤i ≤n (3)
由(3)可得：
由托特定理，G 中有完美匹配。