工程流体力学答案第二章 2

［陈书2-8］容器中盛有密度不同的两种液体，问测压管A 及测压管B 的液面是否和容器中的液面O-O 齐平？为什么？若不齐平，则A 、B 测压管液面哪个高？
［解］依题意，容器内液体静止。

测压管A 与上层流体连通，且上层流体和测压管A 均与大气连通，故A 测压管的液面与液面O-O 齐平。

测压管B 与上下层流体连通，其根部的压强为：
a p gh gh p ++=2211ρρ
其中1h 为上层液体的厚度，2h 为液体分界面到B 管根部的垂向距离，a p 为大气压 因测压管B 与大气连通，其根部的压强又可表示为：
a p gh p +=2ρ
其中h 为B 管内气液界面到B 管根部的垂向距离 所以：gh gh gh 22211ρρρ=
+
212
1
22211h h h h h +=+=
ρρρρρ
由此可知：若21ρρ<，B 测压管的液面低于A 测压管的液面和O-O 面；若21ρρ>，B 测
压管的液面高A 测压管的液面和O-O 面；若21ρρ=，A 、B 测压管的液面和O-O 面三者平
齐。

又因为密度为1ρ的液体稳定在上层，故21ρρ<。

［陈书2-12］容器中有密度为1ρ和2ρ的两种液体，试绘出AB 面上的压强分布图。

［解］令上、下层液体的厚度分别为1h 和2h ，取垂直向下的方向为z 轴的正方向，并将原点设在自由表面上，可写出AB 表面上压强的表达式：
()⎩⎨⎧+≤<-++≤≤+=21121111 0
h h z h h z g gh p h z gz p p a
a ρρρ
整理得：
()⎩⎨⎧+≤<+-+≤≤+=211212111
h h z h gz gh p h z gz p p a a ρρρρ
A
C
B
P 012P g AC g BC
ρρ++01P g AC
ρ+/h m
/P Pa
［陈书2-24］直径D=1.2m ，L=2.5的油罐车，内装密度3
900m kg =ρ的石油，油面高度为h=1m ，以2
2s m a =的加速度水平运动。

试确定油罐车侧盖 A 和B 上所受到的油液的作用
力。

［解］取x 坐标水平向右，y 坐标垂直纸面向内，z 坐标垂直向上，原点定在油罐的中轴线上。

油液受到的体积力为：
a f x -= 0=y f g f z -=
由欧拉方程积分可得：gz ax p p C ρρ--=
根据题意及所选的坐标系，当h z x ==,0时，a p p = 故：gh p p C a ρ-=
gh p p a C ρ+=
所以：()ax z h g p p a ρρ--+=
因大气压的总体作用为零，故上式中可令0=a p 于是：()ax z h g p ρρ--=
左侧盖形心的坐标：0,2
=-
=z L
x 故该处的压强：2
L
a gh p L ρρ+=
左侧盖所受油液的作用力：N D p F L L 7.125234
2
==π（取2m 81.9=g ） 右侧盖形心的坐标：0,2
==
z L
x 故该处的压强：2
L
a gh p R ρρ-=
左侧盖所受油液的作用力：N D p F R R 1.74394
2
==π（取2m 81.9=g ）
［陈书2-26］盛有水的圆筒形容器以角速度ω绕垂直轴作等速旋转，设原静水深为h ，容器半径为R ，试求当ω超过多少时可露出筒底？
解：非惯性坐标系中相对静止流体满足欧拉方程：()Zdz Ydy Xdx dp ++=ρ 等速旋转时液体所受的质量力为：
θωcos 2r X =，θωsin 2r Y =，g Z -=
将其代入欧拉方程，积分得：
C gz r p +⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=2221ωρ
自由表面中心处r=0，a p p =（大气压），再令此处的z 坐标为：C z （令筒底处z=0），代入上式，得：
C gz p C a +-=ρ
所以：C a gz p C ρ+=
所以：C a gz p gz r p ρωρ++⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=2
22
1
等压面的方程：
gz r gz p p C
a -=--222
1
ωρ
ρ 对于自由表面：a p p =，故自由表面的方程为：
gz r gz C
-=-222
1
ωρ
ρ 当筒底刚好露出时，0=C z ，所以自由面方程为：
2
221r g
z ω=
自由面与筒壁相交处的垂向坐标：2
221R g
H ω= 旋转后的水体体积：
4
2424222222422
2222
2
20
2244221212212R g
R g R g R g R g g R g
H g R g R dz gz
h R dz r H R V H
H ωπωπωπωωωπωπ
ω
πωπωπ
πππ=-=-
=
-=-=-=⎰⎰
将水视为不可压缩流体，根据质量守恒，旋转前后的水体体积应相等，所以：
h R R g
V 2424πωπ
==
所以：gh R
2
=
ω
［陈书2-39］在由贮水池引出的直径D=0.5m 的圆管中安装一蝶阀，h=10m ，蝶阀是一个与管道直径相同的圆板，它能绕通过中心的水平轴回转。

为不使该阀自行转动，问所需施加的力矩应为多大？
［解］将阀门的圆心定为坐标原点，z 轴垂直向上，则压强分布为：
()z h g p -=ρ
由于静水压导致阀门所受的总力矩为：
()⎰
⎰⎰⎰
⎰
⎰
⎰
----
-----=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-==2
2
2242
2
242
2
3
32
2
224
2
2
2
3
2
2
232
2
222
2cos sin 2cos sin 23cos 2cos sin 2cos sin 2cos sin sin 22ππππππππ
ππππθ
θθρθθθρθρθ
θθρθθθρθθθθρd gR d gR h gR d gR
d h gR d R h gR dz z R pz pzdA M R R R R
()14cos 8
1
162422cos sin 442
222
2
2
2-=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=----θθθσ
θσ
θσθσθi i i i i i i i e e e e e e e e
所以：()()m
N gR gR d gR d gR M .08.3044sin 414114cos 4
1
14cos 81242
24242
4==⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫
⎝⎛--=--=--=---⎰⎰
ρππθρθθρθθρππππππ
［陈书2-43］图示一储水设备，在C 点测得绝对压强为Pa 29430=p ，h=2m ，R=1m 。

求半球曲面AB 所受到液体的作用力。

［解］建立如图所示的坐标系，其中坐标原点取在球心，z 轴垂直向上。

以C 为参考点，容器内任意点的压强可表达为：
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+
-=2h z g p p C ρ
作用在曲面AB 上任意点处的压强均与表面垂直，即压力的作用线通过球心。

简单分析可知，曲面上水平方向的液体合压力为零，液体的曲面的总作用力仅体现在垂直方向，且合力方向向上，且合力作用线通过球心。

球面的外法线方向：
()
k j i n
θϕθϕθsin ,sin cos ,cos cos =
其中θ为纬度角，ϕ为经度角。

曲面AB 上的垂向总液体压力：
⎰
=2
2πθπrRd pn F z z
其中：θsin =z n ，θcos R r =
所以：⎰
=2
2
cos sin 2πθθθπd p R
F z
⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
2020202202022
2cos sin 2cos sin cos sin 2cos sin 2cos sin 2cos sin 22ππππππθθθρθθθρθθθπθθθρθθθπθθθρπd h g d z g d p R d h z g d p R d h z g p R F C C C
z 将θsin R z =和2
1
cos sin 20=⎰πθθθd 代入上式，得：
⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫
⎝⎛--=⎪
⎭⎫
⎝⎛--=⎰⎰gh gR p R gh gR p R gh d gR p R gh d gR p R F C C C C z ρρπρρπρθθθρπρθθθρπππ2132413121241cos sin 21241cos sin 212220222022
将Pa 29430=C p ，h=2m ，R=1m ，3m kg 1000=ρ和2
m 81.9=g 代入，得：
N 6.41102=z F。